สถิติเพื่อการวิจัย

- 51 -

นยิ ามที่ 2.6 ความนา จะเปน เชงิ ความถส่ี มั พทั ธ (Relative Frequency Probability)

ในการทดลองสุมใด ๆ ถาเราทาํ การทดลอง n คร้ัง ปรากฏวา เกดิ กรณที ต่ี องการ s คร้งั คาความนาจะเปนของเหตุการณค ํานวณหา
s
ไดด ังน้ี P( A) = n

หรอื สามารถกลาวไดว า การคาํ นวณความนา จะเปน โดยใชความถส่ี ัมพัทธนัน้ เปน การนําขอมูลทไี่ ดเ กิดข้ึนจริงในอดตี มาคํานวณความ

นาจะเปนท่ีจะเกดิ เหตุการณใ นอนาคต โดยมีขอตกลงเบือ้ งตนวาสภาพการณต า งๆ ในอนาคตไมแ ตกตางจากอดตี ซึ่งสามารถพจิ ารณาตวั อยา ง

ตอ ไปน้ปี ระกอบ

ตัวอยางที่ 2.14 ในการศึกษาเก่ียวกบั ระดบั ผูบริหารในโรงงานขนาดใหญแ หง หนง่ึ ไดข อมูลดังตารางตอไปนี้

อายุ (ป) ผูบ ริหารระดบั สูง ผบู รหิ ารระดับกลาง ผูบรหิ ารระดับลา ง
ชาย หญงิ ชาย หญิง ชาย หญิง

นอ ยกวา 30 ป 1 0 5 3 20 5

30 – 50 7 3 17 9 25 6

มากกวา 50 ป 9 2 12 10 22 4

รวม 17 5 34 22 67 15

ถาสุมผูบริหารจากโรงงานขางตน มา 1 คน จงคาํ นวณความนาจะเปนที่

ก. เปน ผูบรหิ ารระดบั สูง เพศหญงิ ข. เปน ผูบ ริหารเพศหญิง

ค. เปนผบู ริหารที่มีอายุนอ ยกวา 30 ป ง. เปน ผบู รหิ ารเพศชายท่ีมีอายตุ งั้ แต 30 ปข้นึ ไป

จ. เปนผบู ริหารชายที่มีอายุเกนิ 30 ป ฉ. เปน ผูบรหิ ารเพศหญงิ ท่มี ีอายตุ ่าํ กวา 50 ป

วิธีทํา

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 52 -

คณุ สมบัติของความนา จะเปน

สาํ หรับการทดลองสุมใดๆ ที่ใหแซมเปล สเปซ คือ S และผลลัพธภ ายใตก ารทดลองสุม มี n ผลลพั ธ คอื E1 , E2 , ... , En จะ

ไดว า

( )1. ความนา จะเปน ท่จี ะเกดิ เหตกุ ารณใ ดๆ มีคาตงั้ แต 0 ถงึ 1 หรือ 0 ≤ P Ek ≤ 1 โดยท่ี k = 1 , 2 , ... , n
( ) ( )ซง่ึ ถา P Ek = 0 หมายถึง เหตกุ ารณ Ek ไมมโี อกาสเกดิ ข้ึน และถา P Ek = 1 หมายถึง เหตกุ ารณ Ek

โอกาสเกดิ ขึ้นแนนอน ซงึ่ สามารถพิจารณาไดด ังรูป

2. k∑=n1P(Ek ) = 1

3. P(S) = 1 และ P(φ) = 0 โดยท่ี φ เปน เซตวา ง

4. ถา A และ B เปนเหตุการณณท ไี่ มเกิดรวมกัน (Mutually Exclusive Event) แลว ความนา จะเปน ทีจ่ ะเกิดเหตุการณ A หรือ B
เปน ผลบวกของความนา จะเปน ที่จะเกิดเหตุการณ A และความนา จะเปน ทีจ่ ะเกดิ เหตกุ ารณ B แทนดวย
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

5. ในทาํ นองเดียวกัน ถา A1 , A 2 ,…, An เปน เหตุการณท ไ่ี มเ กิดรว มกัน (Mutually Exclusive Event) แลว

P(A1 ∪ A1 ∪ ... ∪ An ) = P(A1)+ P(A2 )+ ... + P(An )

2.2.2 กฎของความนา จะเปน

กฎท่ี 1 ถา A และ B เปนเหตกุ ารณใ ด ๆ ความนา จะเปนที่เหตกุ ารณเหตกุ ารณห นึง่ จะเกดิ ขึน้ คือ
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
และในทํานองเดยี วกนั ถา A B และ C เปน เหตกุ ารณใด ๆ ความนา จะ เปนท่ีเหตุการณเ หตกุ ารณหนึง่ จะเกดิ ข้นึ คือ
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)

+ P(A ∩ B ∩ C)

และสามารถขยายผลไปสู ถา A1 A 2 และ An เปน เหตกุ ารณใด ๆ ความนาจะเปนที่เหตกุ ารณเ หตกุ ารณห นงึ่ จะเกิดขึ้น คอื

P⎛⎜( ( ))หรือn ⎞⎟ n P⎛⎜ n ⎞⎟
⎝ A i ⎠ = P(A i )− ∑ P(Ai )−P Aj + ... + ⎝ A n ⎠
U ∑ I
all i,j
i=1 i=1 i=1 n

กฎที่ 2 ถา E′ เปน คอมพลีเมนตของเหตกุ ารณ E แลว P(E′) = 1 − P(E)

กฎท่ี 3 ถา A และ B เปน เหตุการณใ ด ๆ ภายใตแ ซมเปล สเปซ S และ A ⊆ B จะไดวา P( A) ≤ P(B)

ตวั อยางที่ 2.15 ความนาจะเปนท่ีนกั เรยี นคนหนึ่งจะสอบคณติ ศาสตรผานเทากบั 2 และความนา จะเปน ที่เขาสอบภาษาองั กฤษผานเทากบั 4
39

ถา ความนาจะเปน ท่เี ขาสอบผา นท้ัง 2 วชิ าเทา กบั 1 จงหาความนาจะเปนที่นกั เรยี นคนหนึ่งจะ
5
ก. สอบผานอยา งนอยหนง่ึ วิชา ข. สอบไมผานท้ัง 2 วิชา

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 53 -

วธิ ที าํ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยา งที่ 2.16 ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอ มกัน 1 ครัง้ จงหาความนาจะเปนที่

ก. ผลบวกของแตมเปน 7 หรือ 11 ข. ผลบวกของแตมไมน อยกวา 3

วธิ ที าํ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 54 -

2.2.3 ความนา จะเปนแบบมเี ง่ือนไข

ให A และ B เปนเหตุการณ 2 เหตุการณ ความนาจะเปน ท่เี หตุการณ B จะเกดิ ข้ึนโดยมีเงื่อนไขวาเหตกุ ารณ A ได

เกดิ ขึ้นแลว เขียนแทนดว ย P(B A ) ซงึ่ คาํ นวณจาก P(B A) = n( A ∩ B)
n( A)

ตวั อยางท่ี 2.17 ในการตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑข องโรงงานแหงหนงึ่ โดยทาํ การสุม ผลติ ภณั ฑม า 3 ช้ิน และกําหนดวาช้ินแรกท่ีสมุ ไดจะตอง

เปนผลิตภณั ฑท่ีดี จงหาความนาจะเปนท่ใี นการตรวจสอบคณุ ภาพผลติ ภณั ฑด งั กลาว จะพบผลิตภณั ฑด ี อยางนอย 2 ชน้ิ

วธิ ีทํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

นยิ ามท่ี 2.7

ความนา จะเปนทเ่ี หตุการณ B จะเกิดขึน้ โดยมเี งอ่ื นไขวา เหตกุ ารณ A ไดเกดิ ข้นึ แลว คือ

P(B A ) = P(A ∩ B) , P(A) ≠ 0
P( A )

ตัวอยางที่ 2.18 จากตัวอยางท่ี 2.17 จงใหน ิยามท่ี 2.7 เพื่อคํานวณความนาจะเปน ทใ่ี นการตรวจสอบคณุ ภาพผลิตภัณฑด งั กลาว จะพบ

ผลติ ภณั ฑดี อยา งนอย 1 ชิน้ โดยกาํ หนดวา

ก. ชิ้นแรกที่สมุ ไดจะตองเปน ผลติ ภณั ฑท ่ดี ี ข. ชน้ิ แรกท่สี มุ ไดจะตอ งเปนผลติ ภณั ฑทชี่ ํารุด

วธิ ีทาํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 55 -

2.2.4 ความนาจะเปนของเหตกุ ารณท่ีเปน อิสระตอกัน

นิยามที่ 2.8 เหตุการณอ ิสระ

เหตกุ ารณ A และ B เรียกวาเปนอิสระตอกันก็ตอเม่ือ P(A|B) = P(A) และ P(B|A) = P(B)

กลาวคอื P(A∩B) = P(A)P(B)

ตัวอยา งท่ี 2.19 จากตัวอยา งที่ 2.17 และ 2.18 ถาโรงงานระบุวา กระบวนการผลติ จะมีผลิตภัณฑช ํารุด 1% จงหาความนาจะเปนที่

ก. พบสินคาดที ง้ั 3 ช้ิน ข. พบสินคาดี 2 ช้ิน

ค. พบสินคาดี 1 ช้ิน ง. พบสินคาชํารุดทงั้ 3 ช้ิน
วธิ ีทาํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3.2 กฎของความนา จะเปน รวม

สมมตวิ าแซมเปลสเปซ S ของการทดลองสมุ แบง ไดเ ปน 2 สว น คือ B1 และ B2 ถา A เปน เหตกุ ารณห นึ่งจากการทดลอง
สมุ นี้ และ A เขียนไดเ ปน

A = (A∩B1)∪(A∩B2) โดยท่ี (A∩B1) ∩(A∩B2) = φ

ดงั นนั้ ความนา จะเปน รวมคอื P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2)
ตวั อยางท่ี 2.20 โรงงานแหง หนง่ึ มเี ครอ่ื งจกั ร 3 เคร่ือง ซ่ึงสามารถผลิตสนิ คาได 25% , 35% และ 40% ของสินคาทั้งหมดตามลาํ ดับ

เปอรเ ซน็ ตของสินคา ทีผ่ ลติ โดยเคร่อื งจักรเครื่องที่ 1 , 2 และ 3 จะชํารุดมีคา เทา กับ 1% , 2% และ 2.5% ตามลําดบั ถาเลอื กสินคามาชิ้น
หนง่ึ จงหาความนาจะเปน ทส่ี ินคา ชน้ิ น้ันเปนสินคา ชาํ รดุ
วิธีทํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 56 -
แบบฝกหัดทา ยบทท่ี 2

ขอท่ี 1
ขอที่ 2
ขอท่ี 3
ขอท่ี 4
ขอที่ 5

ขอที่ 6

ขอที่ 7

ขอ ท่ี 8
ขอ ท่ี 9

ขอที่ 10 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ
ขอที่ 11
เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1

- 57 -

ขอ ที่ 12

ขอ ที่ 13 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

ขอ ท่ี 14
ขอที่ 15
ขอท่ี 16
ขอ ท่ี 17
เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1

- 58 -

ตัวแปรสมุ และการแจกแจงความนา จะเปนของตัวแปรสมุ

3.1 ความหมายและชนดิ ของตวั แปรสมุ

3.1.1 ความหมายของตวั แปรสมุ
3.1.2 ชนดิ ของตัวแปรสุม
3.2 การแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสุม

3.2.1 การแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสุมแบบไมตอ เน่อื ง
3.2.2 การแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ แบบตอ เนอ่ื ง
3.3 คาคาดหวงั และความแปรปรวนของตัวแปรสมุ

3.3.1 คาคาดหวงั ของตวั แปรสุม
3.3.2 ความแปรปรวนของตวั แปรสุม
3.4 การแจกแจงตวั แปรสุมชนิดไมต อเนอ่ื ง

3.3.1 การแจกแจงแบบทวนิ าม
3.3.2 การแจกแจงแบบปว สซ อง
3.5 การแจกแจงตวั แปรสุมชนิดตอเนื่อง

3.4.1 การแจกแจงแบบปกติ
3.4.2 การแจกแจงแบบอ่ืน ๆ
3.1 ความหมายและชนิดของตวั แปรสุม

การทดลองสุมใดๆ ผลลัพธท่ีเปนไปไดท้ังหมดสามารถนําไปเขียนในรูปแซมเปลสเปซ ซึ่งโดยทั่วไป มีทั้งใหคาเปนตัวเลขและไมใช
ตัวเลข มักข้ึนอยูกับรูปแบบความสนใจของผูทดลอง แตถาจําเปนตองนําผลลัพธท่ีไดจากการทดลองสุมดังกลาวไปดําเนินการตอในเร่ืองความ
นาจะเปน เราควรกําหนดคาท่ีเปนจํานวนจริงใหกับทุกสมาชิกในแซมเปลสเปซ ซ่ึงคาดังกลาวจะเรียกวา ตัวแปรสุม (Random Variable) และ
สามารถพิจารณาไดจากการทดลองสุม คือ การโยนเหรียญเท่ียงตรง 2 ครั้ง ถาเปลี่ยนความสนใจเปนจํานวนครั้งในการหงายหัวของเหรียญ
สามารถพจิ ารณาผลการทดลองสุมไดด ังนี้

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 รปู ที่ 1 แสดงการเกิดตวั แปรสุม จากเซตของแซมเปลสเปซ
อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 59 -

จากรูปที่ 1 เม่ือเปลี่ยนผลการทดลองสุม เปนจํานวนครั้งท่ีเหรียญหงายหัว ซึ่งจะใหคาเปนตัวเลข 0 , 1 และ 2 ซ่ึงคาทไดนี้จะมีชื่อ
เรยี กวา ตวั แปรสมุ ดงั นิยามตอไปนี้

3.1.1 ความหมายของตัวแปรสุม
นยิ าม 3.1 ตวั แปรสมุ คือ ฟงกช นั ทม่ี ีคาเปนจาํ นวนจริง โดยมโี ดเมนคอื เซตของสมาชกิ ในแซมเปล สเปซ

3.1.2 ชนิดของตัวแปรสุม
ซึ่งโดยท่ัวไปสามารถจําแนก ตัวแปรสุม เปน 2 ชนิดคือ ตัวแปรสุมชนิดไมตอเน่ือง (Discrete Random Variable) และ ตัว
แปรสุมชนิดตอเน่ือง (Continuous Random Variable) ดงั รายละเอยี ดตอ ไปนี้

1. ตวั แปรสุมแบบไมต อเนื่อง หมายถึง ตวั แปรสุมทใี่ หคา เปน จํานวนนบั ซึง่ ไดจ ากการนับ โดยทว่ั ไปสามารถจาํ แนกไดเ ปน
จํานวนนับจํากัด และจํานวนนับอนันต เชน จํานวนคร้ังในการหงายกอย สําหรับการโยนเหรียญ 4 ครั้ง (จํากัด) , ผลรวมแตมของการโยน
ลูกเตา 2 คร้ัง (จํากัด) , จํานวนแผน CD ท่ีชํารุด ใน 1 กลอง (จํากัด) , จํานวนลูกคาที่เขามาใชบริการรานสะดวกซื้อในชวงเวลา 06.00– 08.00
น.(อนนั ต) และจาํ นวนรถทวี่ ่ิงเขามหาวทิ ยาลัยแหง หน่ึงใชวงเวลา07.00–08.00 น. (อนนั ต) เปนตน

2. ตวั แปรสมุ แบบตอเนือ่ ง หมายถึง ตวั แปรสมุ ทใี่ หค า เปน จํานวนจรงิ ซ่งึ ไดจากการวัด การตวง และ การช่งั เชน แทนอณุ หภมู ิใน
แตละวัน , แทนนาํ้ หนักของนกั ศกึ ษา และแทนปริมาณนมท่รี ดี ไดจ ากโคของฟารมโคนม เปนตน
3.2 การแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสุม

3.2.1 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ ชนดิ ไมตอเน่อื ง

จากการทดลองสุมทอดลูกเตา 2 คร้ัง และให X เปนตัวแปรสุมแทน ผลรวมแตมของลูกเตา จะไดวา คาของตัวแปรสุม X คือ
x = 2 , 3 , ... , 12 ซึ่งสามารถพจิ ารณาการเกดิ ตัวแปรสมุ และการแจกแจงตัวแปรสมุ ดังนี้

การทดลองสมุ ทอดลกู เตา 2 ครงั้ ไดผลดังรปู

สามารถพิจารณาการแจกแจงของตัวแปรสมุ X ไดด ังนี้ P(X = x)
X จํานวนจดุ ตัวอยา ง
1/36 = 0.03
21 2/36 = 0.06
32 3/36 = 0.08
43 4/36 = 0.11
54 5/36 = 0.14
65 6/36 = 0.17
76 5/36 = 0.14
85 4/36 = 0.11
94 3/36 = 0.08
10 3 2/36 = 0.06
11 2 1/36 = 0.03
12 1
1.00
36
อาจารยเพลิฬ สายปาระ
และเมื่อนํามาเขียนแผนภาพ การแจกแจงของตวั แปรสมุ X ไดดังน้ี

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1

- 60 -

โดยทั่วไปมักแทนการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปแบบฟงกชันของตัวแปร X แทนดวย f( x) หรือ
P( X = x) สําหรับทุกคาของ x และจะเรยี กชอื่ เฉพาะวา ฟงกชันความนาจะเปน (Probrability Function) หรือ การแจกแจงความนาจะเปน
ของตวั แปรสุม X (Probrability Distribution) และสามารถกาํ หนดนยิ ามของฟง กช นั ดังกลาวดงั ตอไปนี้

ฟงกช ันความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ ชนดิ ไมตอ เนือ่ ง

นยิ าม 3.2 ฟง กชนั ความนา จะเปน

ถา X เปน ตัวแปรสุมชนิดไมตอเน่ือง โดยที่ X มีคา x1 , x2 , ... , xn แลวจะเรียกความนาจะเปนท่ี X = x วาฟงกชัน
ความนา จะเปน ของ X แทนดว ยสัญลกั ษณ f( x) หรอื P( X = x) โดยมีคณุ สมบัตดิ ังน้ี

1. 0 ≤ P( X = x) ≤ 1

2. ∑P( X = x) = 1

∀x∈S

3. ถา A ⊆ S จะไดวา P( A) = ∑P( X = x)

x∈A

ตัวอยา งท่ี 3.1 รา นขายรถจกั รยานแหงหน่งึ ไดบันทกึ จาํ นวนรถจกั รยานท่ขี ายไดแ ตล ะวนั ในรอบเดือนมกราคม ไดขอ มลู ดงั ตาราง

จาํ นวนรถทขี่ ายไดแ ตล ะวนั 012345

จํานวนวนั 5 6 10 5 3 2

จงสรา งตารางแจกแจงความนา จะเปนของจาํ นวนรถท่ขี ายไดใ นแตละวนั และเขยี นกราฟแทง แสดงการแจกแจงของตวั แปรสมุ

วธิ ีทาํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 61 -

ตัวอยางท่ี 3.2 จากตัวอยางท่ี 3.1 จงคํานวณ

ก. P( X < 5) ข. P( X ≥ 1)

ค. P( X > 2) ง. P( X ≤ 3)

จ. P(1 < X ≤ 4) ฉ. P( X ≥ 5)

วธิ ที าํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.2.2 การแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ ชนิดตอ เนือ่ ง
ฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสมุ ชนดิ ตอเนอื่ ง
นิยาม 3.3 ฟงกช นั ความนา จะเปน

ถา X เปนตัวแปรสุมชนิดตอเน่ือง แลวจะเรียกความนาจะเปนท่ี X = x วาฟงกชันความนาจะเปนของ X แทนดวย

สัญลกั ษณ f( x) หรอื P( X = x) โดยมีคุณสมบัติดังนี้
1. 0 ≤ f( x) ≤ 1

2. ∫ f( x) dx = 1

all x

b

3. ถา a < x < b จะไดว า P(a < X < b) = ∫ f( x) dx

x=a

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 62 -

3.2.3 คาคาดหวงั และความแปรปรวนของตวั แปรสุม

คา คาดหวังและความแปรปรวนของตวั แปรสุมชนดิ ไมต อเน่อื ง

สาํ หรบั ตวั แปรสมุ ใดๆ จําเปน ตอ งศกึ ษาเก่ยี วกับคาเฉลีย่ และความแปรปรวนของตวั แปรสุม เพอื่ ประโยชนใ นการนําการแจกแจงความ

นาจะเปนไปประยกุ ตใ ชต อ ไป ดงั นยิ ามตอ ไปน้ี

นิยามที่ 3.4 คา เฉลย่ี และความแปรปรวน

ถา X เปนตัวแปรสุมชนิดไมตอเนื่อง โดยที่ X มีคา x1 , x2 , ... , xn และมีฟงกชันความนาจะเปนคือ

P(X = x) จะไดวา คา เฉลยี่ ของตวั แปรสมุ X แทนดว ย E(X ) หรือ μ X โดยท่ี

nn

E(X ) = ∑ xi f (xi ) = ∑ xi P(X = xi )

i=1 i=1

และความแปรปรวน ของตวั แปรสุม X แทนดวย Var(X ) หรือ σ 2 โดยที่
X

Var ( X ) = σ 2 = E(X − μ X )2 หรือ Var ( X ) = σ 2 = E(X − E(X ))2 .
X X

ตัวอยางท่ี 3.3 จากตัวอยางที่ 3.1 จงคาํ นวณคา เฉลีย่ และความแปรปรวนของจาํ นวนรถจักรยานทีข่ ายไดแ ตล ะวนั

วธิ ที าํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยางท่ี 3.4 กาํ หนดให X เปนตัวแปรสุมท่ีมกี ารแจกแจงความนา จะเปนคือ P(X = x) = 3Cx , x = 0,1, 2,3
8
จงคํานวณ

ก. P( X = 2) ข. P( X > 1)

ค. P( X ≤ 2) ง. P(1 < X ≤ 2)

จ. E( X) ฉ. Var( X)

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 63 -

วธิ ที ํา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
คา คาดหวงั และความแปรปรวนของตัวแปรสุมชนดิ ตอ เนอื่ ง

นิยามที่ 3.5 คา เฉลย่ี และความแปรปรวน

ถา X เปนตัวแปรสุมชนิดตอเน่ือง และมีฟงกชันความนาจะเปนคือ f( x) จะไดวา คาเฉล่ียของตัวแปรสุม X แทน

ดวยE( X) หรอื μX โดยที่

E( X) = ∫ xf( x) dx

all x

และความแปรปรวน ของตวั แปรสมุ X แทนดว ย Var (X) หรือ σ2X โดยท่ี

Var( X) = σ2X = E(X − μX )2

หรือ Var( X) = σ 2 = E(X − E( X))2 .
X

ตวั อยางท่ี 3.5 กําหนด X เปน ตวั แปรสุมชนดิ ตอ เนอ่ื ง และมฟี งกช นั ความนา จะเปนคือ

f( x ) = ⎧3 x 2 , 0 <x<1
⎨ , other
⎩ 0

จงหา ก. P(0 < X < 0.5) ข. E( X) ค. Var( X)

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 64 -

วธิ ีทํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.4 การแจกแจงความนา จะเปน ของตวั แปรสุมชนิดไมตอเนือ่ ง ทสี่ ําคัญบางการแจกแจง

สําหรับการพิจารณาความนาจะเปนของตัวแปรสุมชนิดไมตอเนื่องนั้น มีลักษณะการเกิดท่ีหลากหลายข้ึนอยูกับการทดลองสุม และ

ประเด็นความสนใจของผูทดลอง ซึ่งสาํ หรบั การแจกแจงท่ีสามารถนาํ ไปใชประโยชนไ ดจรงิ และมีการนิยามไวแลวน้ัน เชน การแจกแจงแบบเบอร

นูลลี (Bernulli Distribution) การแจกแจงแบบทวินาม (Binomial Distribution) การแจกแจงแบบปวสซอง (Poisson Distribution) ซ่ึงสามารถ

กลาวถึงรายละเอียดของการแจกแจงดังกลา วตอ ไปน้ี

การแจกแจงแบบเอกรูปชนิดไมตอเนือ่ ง

นิยามท่ี 3.6 ถา X เปนตัวแปรสุมชนิดไมตอเน่ือง ที่มีคาเปน x1 , x2 , . . . , xm โดยแตละคามีโอกาสเกิดข้ึนเทาๆ กัน แลว X จะ
มีการแจกแจงแบบเอกรูปชนิดไมตอ เนือ่ ง (Distribution Uniform Distribution) โดยมีฟงกช นั ความนา จะเปน คอื
1
( )โดยที่ f x;m = m ; x = x1 , x2 ,..., xm

m คือ พารามิเตอรข องการแจกแจง

คา คาดหวงั และความแปรปรวน
ถา X เปนตวั แปรสุมแบบเอกรปู ชนิดไมต อ เนื่อง แลว คาเฉลีย่ และความแปรปรวนของ X หาไดจาก
1 1
X)( )E( m m xi m m 2
= และ Var( X) = xi − E( X) ตามลําดับ
∑ ∑

i=1 i=1

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 65 -

ตวั อยางที่ 3.6 ให X เปนแตมลูกเตาทหี่ งาย จากการทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง จงหา
1. ฟงกช นั ความนา จะเปนของ X
2. P( X > 2)
3. คา เฉล่ีย และความแปรปรวนของ X

วธิ ีทาํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
การแจกแจงแบบเบอรนลู ลี

การทดลองสุมหลายการทดลองท่ใี หผลลพั ธข องการทดลองไดเพยี ง 2 อยาง เชน การโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ ผลลัพธอาจเปน
หัว หรอื กอ ย การสมุ ตรวจสนิ คาจากกระบวนการผลติ ผลลัพธ คือ เปนไปตามมาตรฐาน หรอื ไมเปน ไปตามมาตรฐาน เปนตน ซึ่งการทดลองสุม
ดังกลา ว มชี ่อื เฉพาะเรยี กวา การทดลองแบบเบอรน ลู ลี ซงึ่ สามารถนยิ ามไดด งั น้ี
นิยามที่ 3.7 การทดลองแบบเบอรน ลู ลี คอื การทดลองท่มี ลี ักษณะดังนี้

1. ผลลพั ธใ นการทดลองสมุ ในแตละคร้ัง มไี ด 2 อยา ง คือ สาํ เร็จ และไมส ําเรจ็
2. ในแตละครั้งของการทดลอง ความนาจะเปนท่ีจะเกิดความสําเร็จ มีคา p และความนาจะเปนที่จะเกิดความไมสําเร็จ มี

คา q = 1 − p โดยที่ p + q = 1

นยิ ามที่ 3.8 ฟง กชนั ความนา จะเปนของการทดลองแบบเบอรน ูลลี

ถา X เปนตัวแปรสุม ซึ่งใหคาเปน 0 เม่ือเกิดความสําเร็จ และ 1 เม่ือเกิดความไมสําเร็จ แลวจะเรียก X เปนตัวแปรสุมแบบ

เบอรนลู ลี ทม่ี ฟี งกชนั ความนา จะเปน คือ ; x =0,1

( )f x ; p = pxq1−x

โดยที่ p เปน พารามิเตอรข องการแจกแจงแบบเบอรนูลลี

คา คาดหวงั และความแปรปรวน E( X) = p และ

ถา X เปนตัวแปรสุมแบบแบบเบอรนูลลี แลว คาเฉล่ีย และความแปรปรวนของ X หาไดจาก

Var( X) = pq ตามลําดับ

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 66 -

ตวั อยา งที่ 3.7 สมุ หยิบสินคา 1 ชน้ิ จากกลองที่มสี ินคา 10 ชิน้ ซึ่งมีสินคา ชํารดุ ปนอยู 4 ชนิ้ จงหาความนา จะเปน ทจ่ี ะสุมหยิบไดสนิ คา ชํารดุ
วธิ ที ํา

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
การแจกแจงทวนิ าม (Binomial distribution)

เปน การแจกแจงของตัวแปรสุมแบบไมต อเนอ่ื งทเ่ี กดิ ข้นึ ในการทดลองทวินามท่มี ีลกั ษณะของการทดลองดังนี้
1). มกี ารทดลองซา้ํ ๆ กนั หลายครัง้
2). ในการทดลองแตล ะครงั้ จะมผี ลลัพธท เี่ ปนไปไดค ือประสบความสาํ เร็จหรอื ลมเหลว
3). ให p แทนความนาจะเปนของการประสบความสําเร็จในแตละครั้งของการทดลอง โดย p มีคาคงที่เสมอ และ q = 1-p แทนความ
นา จะเปนของการประสบความลม เหลวในแตละครัง้ ของการทดลอง
4). การทดลองซ้าํ ในแตล ะคร้งั เปนอสิ ระกัน
เชนในการโยนเหรยี ญเที่ยง 1 อัน 5 ครั้ง ในการโยนเหรียญแตละคร้ังผลลัพธอาจเกิดหัวหรือกอย ถาเราใหการเกิดหัวเปนการประสบ
ความสําเร็จ เน่อื งจากใชเหรยี ญอันเดียวกันโยน ดงั น้นั ความนาจะเปนของการเกดิ หวั ยอ มคงที่ และการเกดิ หวั และกอยในการโยนแตละครั้งไมมี
ผลตอการเกดิ หวั หรอื กอ ยในการโยนครัง้ อ่ืน

ให X แทนจํานวนคร้ังในการประสบความสําเร็จ เราจะเรียก X วา ตัวแปรสุมทวินาม อาจมีคาเปน 0, 1, 2,…, n โดยการแจกแจง

ความนา จะเปนของ X เรียกวาการแจกแจงทวนิ าม ฟง กช นั ความนา จะเปน ของ X เขียนแทนดวย P( X = x)

P( X = x) = ⎛ n ⎞ p x (1 − p)n−x , x = 0, 1, 2,..., n
⎜ x ⎟
⎝ ⎠

( )ถา X เปนตัวแปรสุม ทวินาม จะไดว าคา คาดหวังของ X สามารถคํานวณจาก E X = np

และความแปรปรวนของ X สามารถคาํ นวณจาก Var(X ) = npq

ตัวอยา งท่ี 3.8 จากการศึกษา พบวา 10% ของแบตเตอร่ที ี่ใชก บั กลองถายรปู ชํารุดในขณะท่ีขนสงจากโรงงาน ถาสุมแบตเตอรี่มา 40 กอน จงหา

จํานวนแบตเตอรีท่ ค่ี าดวา จะชาํ รดุ และความแปรปรวน
วธิ ที าํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 67 -

ตวั อยา งท่ี 3.8 (เพ่ิม) กาํ หนดให X เปนตัวแปรสมุ ทวินาม จงเปด ตารางทวนิ ามเพื่อหาความนาจะเปนตามเงอ่ื นไขตอไปนี้
ก. ถา X เปน ตวั แปรสุม ทวนิ าม หรอื X ~ b(0.25 , 15) จงหา P(X = 7)

ข. ถา X เปนตัวแปรสมุ ทวนิ าม หรอื X ~ b(0.15 , 9) จงหา P(X > 5)

ค. ถา X เปนตวั แปรสมุ ทวนิ าม หรือ X ~ b(0.40 ,12) จงหา P(X < 4)

ง. ถา X เปนตัวแปรสมุ ทวินาม หรือ X ~ b(0.50 ,19) จงหา P(1≤ X < 4)

จ. ถา X เปน ตัวแปรสมุ ทวนิ าม หรอื X ~ b(0.30 ,11) จงหา P(X ≥ 7)

วธิ ีทาํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
การแจกแจงปวสซ อง (Poisson distribution)

เปนการแจกแจงของตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่องท่ีเกิดขึ้นในการทดลองปวสซองโดยลักษณะของการทดลองคือมีความสําเร็จเกิดข้ึนใน
ชวงเวลาใดเวลาหนึง่ หรือพน้ื ทีใ่ ดพื้นที่หนึ่ง เชนจาํ นวนผเู ขา มาใชบรกิ ารตู ATM ในชวงเวลา 16.00-17.00 น. จํานวนคําที่พิมพผิดในรายงานการ
ประชุม 1 หนา

ให X แทนจํานวนคร้ังของความสําเร็จในการทดลองปวซอง เราจะเรียก X วา ตัวแปรสุมปวสซอง อาจมีคาเปน 0, 1, 2,… โดยการแจกแจง

ความนาจะเปน ของ X เรียกวาการแจกแจงปวสซอง ฟงกช ันความนาจะเปนของ X เขยี นแทนดวย P( X = x)

P(X = x) = e−λλ x , x = 0,1, 2,...
x!
ถา X เปน ตัวแปรสมุ ปว สซอง จะไดวา คา คาดหวงั ของ X สามารถคาํ นวณจาก E( X) = λ

และความแปรปรวนของ X สามารถคํานวณจาก Var( X) = λ

ตัวอยางที่ 3.9 ถาจํานวนคร้ังที่เสียงโทรศัพทดังขึ้นภายในหนวยงานแหงหนึ่งเฉล่ียได 4 คร้ังตอนาที จงหาความนาจะเปนท่ีเสียงโทรศัพทจะดัง

ขนึ้ 6 ครง้ั ใน 2 นาทีขา งหนา
วิธีทาํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 68 -

ตวั อยา งที่ 3.9 (เพิม่ ) กําหนดให X เปน ตัวแปรสมุ ทวินาม จงเปด ตารางปวสซ องเพอ่ื หาความนาจะเปนตามเงือ่ นไขตอ ไปนี้
ก. ถา X เปนตัวแปรสมุ ปวสซองหรอื X ~ poi (λ = 5.5) จงหา P(X = 3)
ข. ถา X เปน ตัวแปรสุม ปวสซองหรือ X ~ poi (λ = 3.0) จงหา P(X > 2)
ค. ถา X เปน ตวั แปรสมุ ปว สซ องหรอื X ~ poi (λ = 7.2) จงหา P(X < 5)
ง. ถา X เปน ตวั แปรสมุ ปวสซองหรือ X ~ poi (λ = 9.3)จงหา P(1≤ X < 4)
จ. ถา X เปน ตวั แปรสมุ ปว สซ องหรอื X ~ poi (λ = 0.7) จงหา P(X < 2)

วิธที ํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.5 การแจกแจงความนา จะเปนของตัวแปรสมุ ชนดิ ตอ เนื่อง ทีส่ ําคัญบางการแจกแจง

การพจิ ารณารปู แบบการแจกแจง นอกจากตวั แปรสมุ ชนิดไมตอเน่อื ง แลวยังสามารถพิจารณาการแจกแจงของตัวแปรสุมชนดิ
ตอเนือ่ ง เชน การแจกแจงปกติ การแจกแจงไคสแควร และการแจกแจงเอฟ ซึ่งสามารถพิจารณารายละเอียดไดด งั ตอไปนี้

3.5.1 การแจกแจงแบบปกติ (The Normal Distribution)

1. ฟงกช นั ความหนาแนน นา จะเปน

ถา X ตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงแบบปกติ ดวยพารามเิ ตอร μ และ σ2 แทนดว ย X ~ N(μ,σ2 ) มฟี งกชันความ

หนาแนนนา จะเปน คอื

f(x) = 1 exp⎨⎧− 1 ⎝⎛⎜ x −μ ⎞⎠⎟2 ⎫ ; −∞<x<∞
2πσ2 ⎩ 2 σ ⎬
⎭
σโดยที่ μ คือ พารามเิ ตอรแสดงคาเฉล่ยี และ คือ พารามิเตอรแสดงสว นเบยี่ งเบนมาตรฐาน

2. แผนภาพแสดงเสน โคง ของฟงกช นั ความหนาแนนนาจะเปนของการแจกแจง

จากฟง กช นั ความหนาแนนนาจะเปนของการแจกแจงแบบปกติ เม่ือนาํ มาเขียนเสนโคงการแจกแจง พบวา เม่ือกําหนดพารามเิ ตอร
แสดงคาเฉลี่ยเปน 0 และพารามเิ ตอรแสดงสวนเบยี่ งเบนมาตรฐานเปน 1.5 เสนโคง ความหนาแนน นาจะเปน สามารถพิจารณาดงั รปู

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 69 -

รูป 1 แสดงฟง ชันกค วามหนาแนนนา จะเปน ของการแจกแจงแบบปกติ เมือ่ กาํ หนดพารามเิ ตอรแ สดงคาเฉลี่ยเปน 0 และพารามเิ ตอรแ สดงสวน
เบยี่ งเบนมาตรฐานเปน 1.5

จากรปู ที่ 1 พบวา การแจกแจงแบบปกตจิ ะใหเสนโคง การแจกแจงท่สี มมาตร มีลกั ษณะเปน รปู ระฆงั ควาํ่ โดยจดุ สมมาตร คอื คาเฉลย่ี
ซง่ึ แบง พืน้ ท่ีใตโคง ออกเปนสองสว นเทาๆกนั และเม่ือกําหนดพารามิเตอรแ สดงคาเฉล่ยี มคี า คงท่ี และพารามเิ ตอรแสดงสว นเบ่ียงเบนมาตรฐานไม
คงท่ี สามารถเขียนโคง การแจกแจง ไดดังรูป 2

รูป 2 แสดงฟงชันกค วามหนาแนน นา จะเปนของการแจกแจงแบบปกติ เม่ือกาํ หนดพารามิเตอรแ สดงคาเฉล่ียมีคา คงที่ และพารามเิ ตอรแ สดง
สวนเบย่ี งเบนมาตรฐานไมค งที่

จากรูปที่ 2 เมอื่ กาํ หนดพารามเิ ตอรแสดงคา เฉลี่ยมีคาคงที่ และพารามเิ ตอรแ สดงสว นเบี่ยงเบนมาตรฐานมคี าลดลง พบวา เสนโคง มี
ความโดงมากขน้ึ และการกระจายของขอ มูลจะนอ ยลงดว ย และเมื่อกําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉล่ยี มคี า ไมค งที่ และพารามิเตอรแ สดงสวน
เบย่ี งเบนมาตรฐานคงที่ สามารถเขียนโคง การแจกแจง ไดดังรูป 3

รปู 3 แสดงฟงกช ันความหนาแนน นา จะเปนของการแจกแจงแบบปกติ เมือ่ กําหนดพารามเิ ตอรแสดงคาเฉล่ียมคี า ไมคงท่ี และพารามิเตอรแสดง

สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานคงที่

จากรปู ท่ี 3 เมอื่ กําหนดพารามิเตอรแสดงคาเฉลีย่ มคี า ไมค งท่ี และพารามเิ ตอรแสดงสว นเบี่ยงเบนมาตรฐานมคี า คงที่ พบวา เสนโคงมี

ลกั ษณะเหมือนกันทุกเสน แตตาํ แหนงของขอ มูลจะมีคา มากขึ้น

3. ฟง กชันการแจกแจงสะสม ( The Cumulative Function )

ถา X ตัวแปรสุมทม่ี ีการแจกแจงแบบปกติ ดวยฟง กชนั ความหนาแนน นา จะเปน f(x) แลวฟง กชันการแจกแจงสะสม

(Cumulative Distribution Function) ของการแจกแจงแบบปกติ คอื

F(X) = P(X < x) = 1 x exp⎧⎨− 1 ⎜⎝⎛ x −μ ⎞⎟⎠2 ⎫⎬dx
2πσ2 2 σ ⎭
∫
−∞ ⎩

หรือ F(X) = 1 − P( X > x) = 1 − 1 ∞∫ exp⎨⎧− 1 ⎜⎝⎛ x −μ ⎞⎟⎠ 2 ⎫⎬dx
2πσ2 x⎩ 2 σ ⎭

4. การคาํ นวณความนาจะเปน สาํ หรับการแจกแจงแบบปกติ

ในการคาํ นวณความนา จะเปน สาํ หรบั เหตกุ ารณท่ีตวั แปรสุม X ทม่ี กี ารแจกแจงแบบปกติ เชน ตอ งการคาํ นวณความนา จะเปน ของ
เหตกุ ารณท ต่ี วั แปรสุม X มีคา มากกวา คาคงทใี่ ดๆ a ( P( X > a) ) หรอื เหตุการณท ่ตี วั แปรสมุ X มีคา นอยกวา คาคงทใี่ ดๆ a
(P( X < a) ) หรือเหตุการณทต่ี ัวแปรสุม X มีคาอยรู ะหวางคา คงทสี่ องคา ใดๆ a และ b (P( a < X < b) ) เปนตน ซึง่ การคาํ นวณคา

ดงั กลา วตามหลักการทางคณิตศาสตรมักใชการอนิ ทเิ กรตมาชว ยดงั น้ี

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 70 -

∞ ซง่ึ ในทาง

P(X > a) = ∫ f(x)dx

a
a

P(X > a) = ∫ f(x)dx

−∞
b

P(a < X < b) = ∫ f(x)dx

a
สาํ หรับการอินทิเกรตฟงกชนั ความหนาแนนนาจะเปน ของการแจกแจงแบบปกตนิ ้ัน เปน กระบวนการทค่ี อนขา งยุงยาก

ปฏบิ ัตมิ ักจะหาคา ดังกลาวโดยการเปด ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน ซึ่งจะกลาวถึงรายละเอียดดงั นี้

เน่ืองจาก X เปนตวั แปรสมุ ท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ ดว ยฟงกช นั ความหนาแนน นา จะเปน

f(x) = 1 exp⎨⎧− 1 ⎝⎜⎛ x −μ ⎟⎞⎠2 ⎫ ; −∞<x<∞
2πσ2 ⎩ 2 σ ⎬
⎭

ให z = x −μ จะไดว า z เปน ตัวแปรสุม ทีม่ กี ารแจกแจงแบบปกตมิ าตรฐาน (Standard Normal Distribution) ดวยฟง กชันความ
σ
หนาแนนนาจะเปน

f(z) = 1 σ2 exp⎧⎨− z2 ⎫ ; −∞<z<∞
2π ⎩ 2 ⎬
⎭

ดังน้ัน การคํานวณความนา จะเปนสําหรับการแจกแจงปกติ สามารถกระทําไดด ังน้ี

∞ จะไดวา P⎛⎝⎜ z > a − μ ⎟⎠⎞ = ∞
σ
จาก P(X > a) = ∫ f(x)dx ∫ f(z)dz

a a−μ

σ
a−μ

a จะไดว า P⎜⎛⎝ z < a −μ ⎠⎟⎞ = σ
σ
จาก P(X > a) = ∫ f(x)dx ∫ f(z)dz b−μ

−∞ −∞

b จะไดวา P⎛⎝⎜ a − μ < z < b − μ ⎞⎟⎠ = σ
σ σ
จาก P(a < X < b) = ∫ f(x)dx a ∫ f(z)dz

a −μ

σ
และการคํานวณความนา จะเปนของตัวแปรสมุ ทม่ี ีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน สามารถพจิ ารณาจากการเปด ไดจากตารางการแจก

แจงปกตมิ าตรฐาน (ภาคผนวก) ไดด ังนี้

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 71 -

จากรูปสามารถเปด ตารางเพื่อหาความนาจะเปน เร่ิมเปด ตัง้ แต z = 0 นั่นคือ ความนาจะเปนท่ี z นอ ยกวา 0 มีคา เทา กบั 0.5000
และถาตอ งการหาคา ความนา จะเปน ที่ z นอยกวา a ทมี่ ีคาเปนบวก สามารถเปดตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานเพือ่ หาคาความนา จะเปน ได
เลย เชน ความนา จะเปน ท่ี z นอยกวา 2.08 แทนดว ยสัญลกั ษณ P( z < 2.08) สามารถเปด ตารางทีค่ า z ในแนวตัง้ มีคา 2.0 และคา z

ในแนวนอนมีคา 0.08 จะไดคา ความนา จะเปนที่ z < 2.08 มีคา เทากับ 0.9812 ดังรปู

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

สาํ หรับการหาคาความนา จะเปนที่ z มากกวา a ทมี่ ีคาเปน บวก สามารถเปดตารางสว นทีเ่ ปน ความนาจะเปนที่นอยกวา a กอ น แลว
จงึ นาํ ไปลบออกจาก 1 เชนการหาความนาจะเปนที่ z มากกวา 2.08 สามารถดาํ เนนิ การโดยเปดตารางหาความนา จะเปน ที่ z นอยกวา 2.08

กอ น แลวจงึ นาํ ไปลบออกจาก 1 จะไดค าความนา จะเปน ท่ี z > 2.08 มคี าเทากบั 1 - 0.9812 = 0.0188 ดงั รูป

สาํ หรบั การหาคาความนา จะเปน ท่ี z มากกวา a ทมี่ ีคา เปน ลบ สามารถเปดตารางความนา จะเปน ไดโดยการเปล่ียนคาลบใหเ ปน คา
บวกแลว จึงนําไปเปดตารางที่ z นอยกวา a ท่มี คี าเปน บวก เชนถาตอ งการหาความนา จะเปนท่ี z มากกวา -1.59 สามารถเปดตารางความ
นาจะเปนไดโ ดยการเปลยี่ น -1.59 ใหเปน 1.59 แลว จงึ ทาํ การเปด ตารางหาความนาจะเปนท่ี z นอ ยกวา 1.59 ดงั นี้

จาก P(z < −1.59) = P(z < 1.59) = 0.9441
ดงั นั้น ความนา จะเปน ที่ z มากกวา -1.59 เทากับ 0.9441 ดังรูป

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.09.4944118 0.9429 0.9441

สาํ หรบั การหาคาความนา จะเปน ที่ z นอ ยกวา a ท่ีมีคาเปน ลบ สามารถเปดตารางไดท ํานองเดียวกับกรณี z มากกวา a ที่มีคา
เปนบวก เชน ถาตองการหาความนา จะเปนที่ z นอ ยกวา -1.59 สามารถเปดตารางความนา จะเปน ทํานองเดยี วกับความนา จะเปนท่ี z มากกวา

1.59 ไดดงั นี้

จาก P(z > −1.59) = 1 − P(z < −1.59)
นั่นคือ P(z < −1.59) = 1 − P(z > −1.59)

= 1− P(z < 1.59)

= 1 − 0.9441

= 0.0559
ดังน้นั ความนา จะเปน ที่ z นอยกวา -1.59 เทากับ 0.0559 ดงั รูป

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 72 -

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

สําหรับการหาคาความนาจะเปนท่ี z อยูระหวางจํานวนจรงิ สองคา a และ b , หรอื a < z < b เราสามารถเปดตารางเพ่อื หาคา

ความนา จะเปนไดดงั ตารางตอ ไปน้ี

a b รูปพ้ืนทคี่ วามนา จะเปน ความนา จะเปน
สามารถเปด ตารางโดยอาศยั ความสมั พันธ
++
P(a < z < b) = P(z < b) − P(z < a)

-- สามารถเปดตารางโดยอาศยั ความสัมพันธ
P(−a < z < −b) = P(z < a) − P(z < b)

-+ สามารถเปดตารางโดยอาศยั ความสัมพนั ธ
P(−a < z < b) = P(z < b) − (1 − P(z < a))

ตัวอยา งที่ 3.10 จงหาความนาจะเปน ตอ ไปนี้

1. P(z < 2.51) 5. P(0.21 < z < 1.29)

2. P(z < −0.95) 6. P(− 2.21 < z < −0.29)

3. P(z > −2.78) 7. P(− 2.89 < z < 2.59)

4. P(z > 1.51) 8. P(− 1.67 < z < 0.35)

วิธที ํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 73 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยางท่ี 3.11 กําหนดขอ มลู ชดุ หน่ึงสุมไดจากประชากรมีการแจกแจงปกติทีม่ คี า เฉล่ีย 30 และสว นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 1.5 จงหาความนาจะ

เปนตอ ไปนี้

1. P( X < 30) 5. P(27 < X < 29.5)

2. P( X < 35) 6. P(30.75 < X < 33.25)

3. P( X > 29.5) 7. P(28.5 < X < 30.75)

4. P( X > 31.25) 7. P(30 < X < 40)

วธิ ีทํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 74 -

…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา งที่ 3.12 ในการวดั กระแสในขดลวดซึง่ มีการแจกแจงปกตดิ วยคาเฉลยี่ 10 mA และความแปรปรวน 4 (mA)2 จงหาความนา จะเปนท่ี
คา ทีว่ ัดได จะมคี ากระแสมากกวา 13 mA
วิธีทํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การแจกแจงแบบอน่ื ๆ

กรแจกแจงตวั แปรสมุ ชนดิ ตอ เนอ่ื งมีหลากหลาย เชน การแจกแจงแบบที การแจกแจงแบบไคสแควร การแจกแจงแบบเอฟ การ
แจกแบบแกมมา การแจกแจงแบบเบตา การแจกแจงแบบไวบูลล การแจกแจงแบบอินเวอรสเกาสเซียน เหลาน้ีเปนตนน้ัน สามารถศึกษา
รายละเอียดทม่ี ากขน้ึ ในวชิ าสถติ ขิ นั้ สูงตอ ไป

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 75 -
แบบฝกหดั ทายบทที่ 3

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 76 -

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 77 -

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 78 -

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 79 -

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 80 -

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 81 -

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 82 -

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 83 -

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 84 -

การแจกแจงของตัวอยา ง ( Sampling distribution )

การอนุมานเชิงสถิติเปนการใชขอมูลจากตัวอยางไปทําการสรุปผลหรือทํานายผลเก่ียว กับคาวัดลักษณะของประชากรหรือ
คา พารามิเตอร เนื่องจากคาสถิติมีคาไดหลายคาในประชากรหน่ึง ๆ ซึ่งจะขึ้นอยูกับตัวอยางท่ีเราสุมได ดังนั้นคาสถิติจึงเปนตัวแปรสุมที่ข้ึนอยูกับ
ตัวอยาง

เม่อื สมุ ตัวอยางดว ยตัวอยางขนาดหน่งึ จากประชากรหรือทําการทดลองสมุ ซํ้าๆกันหลายครั้งจะไดตัวอยางขึ้นมาหลายชุด เมื่อพิจารณา

คาท่ีไดจากตัวอยางแตละชุด เชน คาเฉลี่ย (x) สัดสวน (pˆ ) และ ความแปรปรวน (s 2 ) จะเห็นวาคาตัวแปรเหลานี้เปน random variable

(ตัวแปรสุม ) เม่ือศกึ ษาเกย่ี วกบั การแจกแจงของตัวแปรเชิงสุม จะเรียกวา การแจกแจงของตัวอยาง
การแจกแจงของตัวอยางจะข้ึนอยูกบั ขนาดของประชากร ขนาดของตัวอยาง และวิธีการเลือกหนวยตัวอยาง เพ่ือจะใหไดตัวอยางท่ีจะ

เปนตัวแทนของประชากรไดด ี เรามกั จะเลือกหนวยตวั อยางจากประชากรตามความเหมาะสมและขอ จํากัดท่ีมอี ยู ดังนนั้ การเลือกตัวอยางจึงทําได
หลายวิธี โดยทัว่ ไปแลวเราตองการตัวอยางสมุ เพือ่ ขจดั ความลาํ เอียงของผสู มุ ตัวอยา ง

ในการสุมตัวอยา งจากประชากรแยกออกไดเ ปน 2 วธิ ีใหญ ๆ คือ
1. การสมุ ตวั อยา งท่ีทราบความนา จะเปน (Probability Sampling) เปนการสมุ ตวั อยา งที่แตล ะหนว ยตัวอยา งท่สี มุ ไดท ราบคา
ความนาจะเปน การสุมตัวอยางดวยวธิ นี ้ีในทางสถิตินิยมใชก ันมาก เน่อื งจากสามารถวัดความคลาดเคลอื่ น และลดความอคติของการสุม ตวั อยาง
ได
2. การสุมตัวอยางทไ่ี มท ราบความนาจะเปน (Non-Probability Sampling) เปน การเลือกตวั อยา งจากประชากรโดยใช
วจิ ารณญาณของผูเลือกตวั อยางเอง หรือจากความสะดวกของการเลือกเปน หนวยตวั อยาง
ถึงแมใ นทางปฏิบัติจะนิยมใชก ารสุมตวั อยา งโดยวธิ แี รก แตในบางกรณีการสมุ ตัวอยางดวยวธิ ที ี่สองก็ยงั มคี วามจําเปนอยู เชน การ
เลือกตัวอยา งจากประชากรโดยใชโควตา(Quota Sampling) เชน ในการสมั ภาษณค รัวเรอื นเก่ยี วกบั เรอ่ื งตาง ๆ กอ นการเก็บตัวอยาง เราอาจมี
การกาํ หนดโควตาของหนว ยตัวอยางแยกตามอายุ เพศ รายได และที่ตั้ง เปนตน
ในการสุมตวั อยางที่ทราบคาความนาจะเปนมเี ทคนคิ การสมุ ตวั อยา งหลายชนดิ ดว ยกัน สําหรบั การสมุ ตัวอยา งท่นี ยิ มใชกันมี 4
ประเภท ดังนี้
1. การเลือกตัวอยา งอยางงาย (Simple Random Sampling) เปนการเลอื กตวั อยา งทที่ ุกหนวยในประชากรมีโอกาสถูกเลือกเทา ๆ
กนั การเลอื กตวั อยางแบบงา ยเปนวธิ ที ส่ี ะดวกและงา ยท่สี ดุ เหมาะสาํ หรับประชากรทีม่ หี นว ยตวั อยางคลา ยคลงึ กนั ในบางครงั้ เราเรยี กตวั อยางท่ีได
จากวิธนี วี้ า ตัวอยางสุม (Random Sample)
2. การเลือกตวั อยา งแบบมีระบบ (Systematic Sampling) เปนการสมุ ตัวอยา งท่ีมกี ารเลอื กหนว ยตวั อยา งทกุ หนว ยที่ k ใน
ประชากร โดยหนว ยตวั อยา งสุมเรม่ิ ตนเปน การเลอื กสุมระหวา ง k หนวยแรก การเลอื กตัวอยางโดยวธิ ีนง้ี ายและไดห นว ยตวั อยางทก่ี ระจายทวั่ ไป
ในประชากร อยางไรกต็ ามการเลือกตวั อยางแบบนีย้ ังมขี อเสีย คือ ถาหนว ยตวั อยางในประชากรไมเ กิดขึ้นโดยสุม เราจะไดห นว ยตวั อยางทไี่ มด ี
3. การเลอื กตัวอยางแบบแบง ชนั้ ภูมิ (Stratified Random Sampling) เปนการเลอื กตัวอยา งแบบงา ยจากประชากรท่มี กี ารแบงชน้ั ภมู ิ
(Stratum) โดยอาศัยหลกั เกณฑท ่แี ตล ะชนั้ ภมู มิ ลี ักษณะของหนว ยตวั อยางทีค่ ลายคลงึ กนั และถาตางช้ันภมู ลิ ักษณะหนว ยตัวอยา งมลี ักษณะที่
แตกตางกนั ในกรณีประชากรมีลกั ษณะตา งกันตามแตละชัน้ ภมู ิ การสุมตัวอยา งโดยวธิ ีนส้ี ามารถเพิ่มความแมน ยาํ ในการประมาณคา ของ
ประชากรไดดกี วาวิธกี ารเลอื กตัวอยา งแบบงา ย

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 85 -

4. การเลอื กตัวอยา งแบบแบง กลมุ (Cluster Sampling) เปน การเลอื กกลมุ ของหนว ย ตัวอยา งโดยสมุ จากประชากร การเลอื กหนวย
ตัวอยางจากแตละกลมุ อาจะเลอื กหนวยตัวอยางทงั้ หมด หรือ เลอื กเพยี งบางหนวยกไ็ ด

การแจกแจงของกลุม ตวั อยาง

การแจกแจงของคา เฉลยี่ จากตวั อยาง (X)
ถา สมุ ตัวอยางขนาด n จากประชากรหนึง่ ทม่ี ีการแจกแจงปกติมคี า เฉลย่ี μ และ สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน σ คาเฉลย่ี ของ

n Xi σ
n
∑

ตัวอยา ง ( X = i=1 ) จะมคี าเฉลย่ี เทา กบั μ และมสี ว นเบ่ียงเบน มาตรฐานเปน

n N(μ, σ2 )
n
หรือถา X ~ N(μ,σ2 ) จะได X ~

สว นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคา เฉล่ียของตัวอยางจะเรียกวา ความคลาดเคล่อื นมาตรฐานของคาเฉลีย่ ของตวั อยาง หรือ ความคลาด

เคลอ่ื นมาตรฐาน ( The standard error of the sample mean : σx ) จะไดว า

Z = X − μ ~ N(0,1)
σ n

ตวั อยา ง 4.1 ชวงเวลาการโฆษณา ของรายการโทรทศั นร ายการหนง่ึ มีการแจกแจงปกติ มคี าเฉลี่ยเทา กับ 3 สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 2 นาที ถา สุม

ตัวอยางชว งการโฆษณา 25 ชว ง จงหาความนา จะเปนที่คา เฉลย่ี ของชว งเวลาโฆษณาจะสูงกวา 4 นาที

วิธที ํา

………………………………………………………………………………………………………… แรเงาบริเวณความนาจะเปน
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 86 -

ตวั อยา ง 4.2 คะแนนการสอบครั้งหน่ึงมีการแจกแจงปกติ คาเฉล่ยี 480 คะแนน สวนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 100 คะแนน ทาํ การสุม คะแนนสอบ

จาํ นวน 64 คน จงหาความนา จะเปนท่ี

1. คะแนนเฉลย่ี ของทงั้ 64 คน มากกวา 500 คะแนน

2. คะแนนเฉลย่ี ของทงั้ 64 คน มีทงั้ คา ระหวาง 450 ถงึ 500 คะแนน

วิธที าํ

………………………………………………………………………………………………………… แรเงาบริเวณความนา จะเปน
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………… แรเงาบรเิ วณความนาจะเปน

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยา ง 4.3 อายหุ ลอดไฟของบรษิ ทั แหง หนงึ่ มกี ารแจกแจงงแบบปกติมคี า เฉลยี่ เทา กับ 800 ชั่วโมง และสว นเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา กบั 40 ชว่ั โมง

ถาสมุ ตวั อยา งขนาด 16 หลอด จงหาความนาจะเปน ทอี่ ายหุ ลอดไฟเฉลย่ี จะตาํ่ กวา 775 ชวั่ โมง

วธิ ีทาํ

………………………………………………………………………………………………………… แรเงาบริเวณความนา จะเปน
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 87 -

ทฤษฎีลิมติ สูสวนกลาง (Central limit Theorem)

ถา X เปนคา เฉลย่ี ของตวั อยา งสุมขนาด n ที่มีขนาดใหญพ อ จากประชากรทม่ี ีการแจกแจงใด ๆ มีคา เฉลีย่ เปน μ และความ

แปรปรวน σ2 แลว การแจกแจงคาเฉลยี่ ตวั อยาง (X) จะมกี ารแจกแจงใกลเคียงกบั การแจกแจงปกตทิ ีม่ ีคา เฉล่ียเปน μ ความแปรแรวนเปน

σ2 เม่อื n ใหญพ อจะได X ~ N(μ, σ2 ) โดยที่ Z = X−μ ~ N(0, 1)
n n σn

เม่ือ n ≤ 30 หรือไมท ราบคาความแปรปรวนประชากร จะใชค วามนาจะเปนของตัวอยา งประมาณคา ดงั น้นั ฟงกชันทไ่ี ดจ ากตัวอยางสุม

จะเปน T = X −μ เมื่อ df = n – 1
s n

ตวั อยา ง 4.4 ถา คาจา งแรงงานตอ วนั ของคนงานในโรงงานใหญแหงหน่ึงมคี าเฉล่ยี 180 บาท คา เบยี่ งเบนมาตรฐาน 5 บาท ถาสุมคนงานมา 75

คน จงหาความนาจะเปน ทคี่ นงานจะไดค า จา งแรงงานในโรงงานตอวนั โดยเฉล่ียระหวา ง 179 และ 181 บาท

วิธที ํา

………………………………………………………………………………………………………… แรเงาบริเวณความนาจะเปน

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยาง 4.5 บรษิ ัทผลติ หลอดวทิ ยุแหง หนึง่ ไดผลิตหลอดวทิ ยซุ ง่ึ มอ่ี ายกุ ารใชงานโดยเฉล่ีย μ เดอื นสวนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 4 เดือน เพ่อื ควบคมุ

คุณภาพของสินคา ซง่ึ สมุ จากตวั อยา งหลอดวิทยมุ าจาํ นวน 49 หลอด จงหา

1. ความนา จะเปน ท่อี ายกุ ารใชง านเฉลี่ยของตวั อยา งแตกตา งไปจาก μ นอยกวา 1 เดอื น

2. ถาความนา จะเปน เฉล่ยี จากตัวอยา งแตกตา งไปจาก μ มากกวา 1.2 เดือน ขนึ้ ไปมีคาเทา กบั 0.0124 จะตอ งสมุ เทาไร โดยใชสวน

เบ่ยี งเบนมาตรฐานเทา เดมิ

วิธีทํา

………………………………………………………………………………………………………… แรเงาบรเิ วณความนา จะเปน
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 88 - แรเงาบรเิ วณความนาจะเปน

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 89 -

การประมาณคา
5.1 การประมาณคาทางสถติ ิ

5.1.1 ชนดิ ของการประมาณคา
5.1.2 ระดับความเชอื่ มั่น
5.2 การประมาณคา เฉลี่ย
5.2.1 การประมาณคาเฉลี่ยของประชากรเดยี ว
5.2.2 การประยุกตใชการประมาณคาเฉลีย่ ของประชากรเดียว

วัตถปุ ระสงคท่สี ําคัญในการศึกษาวิชาสถิตนิ ั้น เพือ่ จะหาขอ สรุปเก่ียวกบั ลักษณะตา งๆของประชากรท่สี นใจศึกษา เชนรายไดเ ฉลี่ยของ
คนไทย สัดสวนของคนไทยทรี่ หู นังสือ เปนตน สําหรับการศึกษาขางตน ถา ตอ งการทราบขอ สรปุ ท่ีแทจรงิ ของประชากรจาํ เปนตอ งรูรายละเอียด
ของประชากรทีส่ นใจทุกๆหนวย ซ่งึ ในทางปฏิบัตมิ เี ง่อื นไขเร่ืองเวลา และคา ใชจา ยมาเกีย่ วของกอนท่จี ะไดมาซึ่งรายละเอยี ดของทกุ หนวย
ประชากรทส่ี นใจ ดังน้ัน จาํ เปน ตอ งใชร ายละเอียดบางหนวยของประชากรมาเปน ตัวแทนเพือ่ นําไปอนมุ านประชากรที่สนใจ เชน ถา ตองการหา
รายไดเฉล่ยี ของคนไทย ในทางปฏบิ ัติเราไมสามารถท่ีสอบถามขอมลู เกี่ยวกบั รายได กับทกุ ๆหนว ยของประชากรได ดังนน้ั ผทู ต่ี อ งการศึกษาใน
เร่ืองดงั กลา วจําเปน ตอ งหาตวั อยางมาสวนหนง่ึ เพ่อื นํามาหาขอ สรปุ เกยี่ วกับรายไดเ ฉลย่ี ของคนไทย ซง่ึ การใชตัวอยางในการอนุมานดังกลาว
สามารถทาํ ได 2 แนวทาง คอื

1. การประมาณคา
2. การทดสอบสมมติฐาน
การประมาณคาเปน การอนุมานเชิงสถิตใิ นรูปของการตอบคําถามวา ลกั ษณะของประชากรเปน เชน ไร โดยลกั ษณะของประชากรท่ี
เราสนใจมกั จะสรปุ ไดใ นรูปคา พารามเิ ตอร เราตองการทราบวา คาพารามิเตอรเปน เทาไรโดยใชต ัวอยา งมาทําการประมาณ และการประมาณคา
โดยท่วั ๆไป คือการประมาณคา เฉลย่ี ประชากร สัดสวนประชากร และความแปรปรวนประชากร
5.1 วธิ กี ารประมาณคา
การประมาณคา เปน การประมาณพารามิเตอรหรอื ลักษณะของประชากร โดยใชข อ มลู จากตัวอยา ง ซ่ึงสามารถแบง การประมาณ
คา เปน 2 แบบ คอื การประมาณคา แบบจุด (Point Estimation) และการประมาณคาแบบชว ง (Interval Estimation) รายละเอยี ดดังตอไปนี้

การประมาณคาแบบจดุ
เปน การประมาณพารามิเตอรหรอื ลกั ษณะของประชากร โดยใชตวั เลขเพยี งตวั เดียวจากตวั อยางสมุ เชน

ใชคา เฉล่ียตัวอยาง ( X ) ในการประมาณคาเฉลย่ี ประชากร ( μ )
ใชสัดสว นตัวอยาง ( pˆ ) ในการประมาณสดั สว นประชากร ( p )
ใชค วามแปรปรวนตวั อยา ง( S 2 ) ในการประมาณความแปรปรวนประชากร ( σ2 ) ซง่ึ สามารถทําความเขาใจไดดงั รปู ท่ี 1

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 90 -

สุมตวั อยา ง

ประชากร ตัวอยาง

อนมุ าน

รปู ที่ 1 แสดงการสมุ ตวั อยา งและการอนุมานทางสถติ ิ
คาประมาณแบบจุด อาจจะมีคา เทากบั คาพารามเิ ตอรหรือไมกไ็ ด และมีโอกาสคลาดเคลอื่ นจากคา พารามเิ ตอรไดม ากขึ้นขนึ้ อยกู ับวา
การสุม ตวั อยางไดตวั อยา งเปนตวั แทนทีด่ ีของประชากรมากนอยขนาดใหน ถาตัวอยางทเี่ ลอื กมาเปนตัวแทนที่ดีของประชากร คาสถติ ทิ ีไ่ ดก็จะมี
คาใกลเ คยี งหรอื เทา กับคา พารามเิ ตอรข องประชากร เชน ถา ตอ งการทราบรายไดเ ฉลยี่ ของประชากรจังหวัดเชียงใหม จึงใหบ ุคคล 3 คน คอื นาย
ก. นาย ข. และนาย ค. เปนผดู ําเนนิ การดงั กลาว พบวา นาย ก. นาย ข. และนาย ค. ทาํ การเลอื กตัวอยา งและคาํ นวณคาเฉลย่ี

( X ) เทา กับ 3,000 , 10,500 และ 8,500 บาท ตามลําดับ สมมตุ ิวา จากอดีตมคี นเคยหารายไดเ ฉลยี่ ของประชากรดงั กลา วนีไ้ ว คอื 8,450 บาท

สงั เกตวา นาย ก. และนาย ข. มรี ายไดเฉลีย่ คลาดเคลอื่ นจากคา เฉล่ียประชากรคอนขางมาก สว น นาย ค. มีรายไดเ ฉลยี่ คลาดเคล่ือนจากคา เฉล่ยี
ประชากรใกลเ คยี งกบั รายไดเฉล่ยี ประชากรมากท่สี ดุ ซ่ึงแสดงวาในขนั้ ตอนการสุม ตัวอยา ง นาย ค. สามารถสุมตวั อยางไดต ัวอยาที่เปนตวั แทนทีด่ ี
ของประชากร เปนตน
การประมาณคาแบบชว ง

เปนการประมาณคา พารามิเตอรข องประชากรวา อยูใ นชว งใดชวงหนึง่ โดยใชต ัวอยา งสมุ ซึง่ ชวงของการประมาณคาจะบอกถึงคา

ต่าํ สดุ และคา สูงสุดของพารามเิ ตอร เชน ถา ประมาณไดวา L < μ < U หมายถึง คาเฉลีย่ ของประชากร ( μ ) จะอยูระหวาง L และ U
ยกตวั อยา งเชน รายไดเ ฉล่ยี ของคนเชียงใหมอยูในชว ง 5,000 ถงึ 9,500 บาท หรอื 5,000 < μ < 9,500 พบวา ถา กําหนดรายไดเ ฉลีย่

ของคนเชยี งใหมทเ่ี คยศึกษาไวเทากบั 8,450 บาท ไดว าการประมาณชว งขา งตน คลอบคลมุ คา พารามเิ ตอร ซง่ึ เปน ตวั บง ชีว้ า การประมาณแบบ
ชวงมีโอกาสคลาดเคลือ่ นจากพารามิเตอรนอยกวา การประมาณแบบจุด และสามารถแสดงใหเหน็ ชัดเจนไดด ังรปู ที่ 2

รูปท่ี 2 แสดงการประมาณคาแบบจุด และแบบชว ง

จากรปู พบวา การประมาณคาแบบจุด จดุ e มีคา ใกลเคยี งกับพารามเิ ตอรแ สดงคา เฉลย่ี ประชากรมากทสี่ ุด แสดงวาในขนั้ ตอนการสมุ

ตัวอยางที่ไดมาซง่ึ คา ประมาณแบบจุด e เปน ตวั แทนคอ นขางดกี วาคา ประมาณแบบจดุ a , b , c , d และ f และสาํ หรบั การประมาณคา แบบชวง

พบวา ชวงการประมาณคา A , B , C , D และ E เปน ชว งทค่ี ลอบคลุมคา พารามิเตอรแสดงคาเฉลยี่ ของประชากร มเี พียงชวงการประมาณคา F

เทาน้นั ทไี่ มคลอบคลมุ จากเหตผุ ลขางตนจะเห็นไดช ัดวา การประมาณคาแบบจุดมกั มโี อกาสคลาดเคล่อื นมากกวา การประมาณคา แบบชวง

สาํ หรับการประมาณคาแบบชวงนั้น การไดมาซึง่ คาต่ําสุด ( L ) และคาสูงสุด ( U ) จะข้ึนอยกู ับระดบั ความเช่อื มั่นในการประมาณคา

หรอื สามารถกลา วไดว าความกวางของการประมาณคา แบบชว งจะข้ึนอยูกับระดับความเช่อื ม่ัน และการกระจายของสง่ิ ท่ีสนใจศึกษา ถาชว งความ

เชอ่ื มั่นสงู และการกระจายมีคา มาก ชว งการประมาณจะกวา ง นนั่ คือ L และ U มคี วามแตกตางกนั มาก และในทางตรงกันขามถาชว งความ
เชือ่ ม่ันตํา่ และการกระจายมีคานอ ย ชวงการประมาณจะกวา ง นน่ั คือ L และ U มีความแตกตางกันนอ ย

ระดับความเชื่อมน่ั (Level of Confidence) คอื ความนา จะเปนทพ่ี ารามิเตอรข องประชากรจะอยูในชว งของคา ประมาณได หรอื ความ

นาจะเปน ที่การประมาณคา แบบชว งจะคลอบคลุมพารามิเตอรของประชากร ยกตวั อยางเชน

( )P L < μ < U = 0.95 หมายถงึ ความนาจะเปน ที่พารามิเตอรแสดงคา เฉล่ียประชากรμ จะอยูในชวงระหวา ง L และ U

เทากบั 0.95 หรือ 95% และพบวา ความนาจะเปนท่ี พารามเิ ตอรแสดงคาเฉล่ียประชากร μ จะไมอยใู นชว งระหวา ง L และ U
นน่ั คือ μ นอยกวา L หรือ μ มากกวา U มีคาเทากับ 0.05 หรอื 5% ซึ่งเขียนสัญลกั ษณไ ดเ ปน

P(μ < L) + P(μ > U)= 0.05

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 91 -

( )P pL < p < pU = 0.95 หมายถึงความนา จะเปน ทพ่ี ารามิเตอรแสดงสดั สว นประชากรp จะอยใู นชวงระหวา ง pL

และ pU เทา กบั 0.95 หรอื 95% และพบวาความนาจะเปนทพ่ี ารามเิ ตอรแ สดงสดั สวนประชากร p จะไมอยใู นชว งระหวาง pL และ pU

( ) ( )น่นั คือ p นอยกวา pL หรอื p มากกวา pU มีคา เทา กบั 0.05 หรือ 5% ซ่งึ เขียนสัญลักษณไดเ ปน

P p < pL + P p > pU = 0.05

( )หรือกลาวไดวา P L < μ < U = 0.95 คือ สาํ หรบั การสุมตวั อยา งขนาด n จากประชากร 100 คร้ังๆละ n หนวย การ

ประมาณคาเฉลยี่ ประชากรแบบชวงจะคลอบคลมุ พารามเิ ตอรข องประชากร μ จํานวน 95 ครง้ั และไมคลอบคลมุ พารามิเตอรข องประชากร μ

จํานวน 5 คร้งั และเปนในทาํ นองเดยี วกันสําหรบั พารามิเตอรอ ่ืนๆ
นอกจากนแ้ี ลวยังสามารถทําเขาใจไดงา ยขึ้นโดยพจิ ารณาจากรูปที่ 3 โดยทําการสุมตวั อยา งจากประชากร 20 คร้งั ๆ ละ n หนว ย

แลว ทาํ การประมาณคา เฉลย่ี ประชากรแบบชว งจะไดช วงทงั้ หมด 20 ชว ง ถากําหนดชวงความเชอ่ื มั่น 0.95 หรอื 95% หมายถงึ การประมาณ

คาเฉลยี่ ประชากรแบบชว งจะคลอบคลมุ พารามิเตอรข องประชากร μ จํานวน 19 ครงั้ และไมค ลอบคลุมพารามเิ ตอรข องประชากร μ จาํ นวน 1

ครั้ง ดังรปู ท่ี 3

รปู ที่ 3 แสดงการไมค ลอบคลุมพารามิเตอรของประชากร μ สาํ หรบั การประมาณคา แบบชว ง

สาํ หรบั กรณที ่ัวไป กาํ หนดใหร ะดับความเชื่อมนั่ เปน 1− α หรือ (1 − α)100% คือความนาจะเปน ทก่ี ารประมาณคา ผิดพลาด
เปน α หรือ α100% ถากําหนดใหร ะดบั ความเชอื่ มัน่ มีคามาก จะทาํ ใหค วามนา จะเปนท่กี ารประมาณคา ผิดพลาดในการประมาณมีคานอย

และความนา จะเปนทกี่ ารประมาณคา ผดิ พลาดดังกลา วสามารถเรยี กช่ือเปน ระดับนยั สําคญั ซง่ึ สามารถเขียนสมการทัว่ ไปในการประมาณคา แบบ
ชว งเปน

( )คา เฉลย่ี ของประชากร P L < μ < U = 1− α
( )สดั สว นของประชากร P pL < p < pU = 1− α

( )ความแปรปรวนของประชากร P σL2 < σ2 < σU2 = 1 − α

โดยที่ L , p L , σ2L คอื ขีดจาํ กัดความเชื่อม่นั ลาง (Lower Confidence Limit)
Uระ,ดับpคUวามเ,ช่ือσมัน่2ทUี่นิยคมอื ใขชีดใ นจาํงกานดั วคจิวัยามทเัว่ ชไ่อืปมค่นั อื บน0.(U9p0p,e0r .C9o5nfid, e0n.c9e9Liหmรitือ) 90% , 95% , 99% ตามลาํ ดับ

5.2 การประมาณคาพารามเิ ตอร

5.2.1 การประมาณคาเฉล่ยี ของประชากรกลุมเดียว

การประมาณคา เฉลย่ี แบบจดุ

ในการประมาณพารามิเตอรแสดงคา เฉล่ยี ของประชากรแบบจดุ μ ดวยคา สถิติ X ซึง่ สามารถพิจารณาจากสมการตอไปนี้

N Xi n Xi

∑ ∑

μ = i=1 และ X = i=1
N
n
โดยท่ี Xi เปนคาสงั เกตคาท่ี i , n เปน ขนาดตวั อยา งและ N เปน ขนาดประชากร

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 92 -

ตวั อยา งท่ี 5.1 ในการประมาณราคาขายปลีกเฉล่ียของเนอ้ื หมแู ดงในจังหวดั นา น จึงไดท าํ การสุมตวั อยางผูค า ปลกี จากตลาดตา งๆ ในจังหวดั นาน

จาํ นวน 30 รานคา สอบถามราคาขายเนือ้ หมูแดงตอ กโิ ลกรมั ไดข อ มูลดังน้ี

90 102 105 95 95 105

95 99 99 96 94 104

92 95 98 93 91 99

90 96 94 92 99 92

95 94 91 90 102 93

จงประมาณราคาขายปลีกเฉล่ียของเนื้อหมแู ดงในจังหวัดนานดังกลาว โดยการใชตวั ประมาณแบบจุด

วิธที ํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การประมาณคา เฉลยี่ แบบชว ง

สาํ หรับการประมาณคาเฉล่ยี ประชากรแบบชว งจากสมการความนาจะเปน ตอ ไปน้ี

P(L < μ < U) = 1− α

สงั เกตวา 1 − α เปน ระดบั ความเช่อื มั่นที่กําหนดขึน้ และสิ่งท่ีจาํ เปน ตอ งหา คอื ขดี จาํ กดั ความเช่อื ม่นั ลาง ( L ) และขีดจาํ กัดความเช่ือมน่ั
บน ( U ) ซง่ึ ในการดําเนนิ การดังกลา วตองพจิ ารณาถงึ

1. การแจกแจงของประชากร

2. ขนาดตวั อยาง

3. ความแปรปรวนของประชากรซ่งึ อาจจะทราบหรือไมกไ็ ดแ ละในการคํานวณ L และU สามารถพิจารณาไดเ ปน 3 กรณี ดงั น้ี
กรณีท1ี่ ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติทราบความแปรปรวนของประชากร( σ2 )
เนื่องจากคาประมาณแบบจดุ ของคา เฉลยี่ ประชากร( μ ) คอื คาเฉลย่ี ตัวอยา ง ( X ) โดยท่ี X เปน ตวั แปรสุมท่ีมีคา เฉลย่ี เปน

E( X) = μX = μ และมคี า ความแปรปรวน V( X ) = σ 2 = σ2
X n

( )นน่ั คือ ถา X ~ N μ , σ2 จะไดวา X ~ N⎛⎜⎝⎜ μ , σ2 ⎟⎞⎟⎠
n
( )การประมาณคาเฉล่ยี ประชากรแบบชว งดว ยระดับความเชื่อมั่น 1− α หรือ 1− α 100% นนั้ ในทางปฏบิ ัติตองแปลงตวั แปร

X ใหเปนตัวแปรมาตรฐาน z ซงึ่ มกี ารแจกแจงปกติมาตรฐาน
X − μ
( )นั่นคอืz σ ~
= N 0,1 ซึ่งเปน สว นอาํ นวยความสะดวกในการคํานวณเพราะสามารถเปด ตารางการแจกแจง

n

ปกตมิ าตรฐาน และการประมาณคาเฉลีย่ แบบชว งสามารถพจิ ารณาไดดงั นี้

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 93 -

รูปที่ 4 แสดงการคา เฉล่ยี ตวั อยา งเปน คะแนนมาตรฐาน

จากรูปที่ 4 จะไดวา

1−α = P⎛⎜⎝⎜ − z α < z < z α ⎞⎟ = P⎜⎜⎝⎛ X − z α σ < μ < X + z α σ ⎟⎞
2 2 ⎠⎟ 2 n 2 n ⎠⎟
1− 1− 1− 1−

นน่ั คอื L = X − z α σ และ U = X + z α σ
2 n 2 n
1− 1−

( )ดังน้ัน การประมาณคาเฉลี่ยประชากรแบบชว งดว ยระดับความเชอ่ื ม่ัน1− α หรือ 1− α 100% คือ

⎛⎜ X − z α σ , X + z α σ ⎟⎞
⎜⎝ n n ⎟⎠
1− 2 1− 2

หรอื X − z α σ < μ < X + z α σ
2 n 2 n
1− 1−

ตวั อยางที่ 5.2 จากตวั อยา งท่ี 5.1 ถา ความแปรปรวนของราคาเน้ือหมแู ดงของกรงุ เทพมหานคร ( σ2 ) เปน 10.25 บาท จงประมาณราคาเนอ้ื

หมแู ดงเฉล่ียของกรุงเทพมหานครแบบชว งทร่ี ะดับ ความเชอ่ื มั่น 90% , 95% และ 99% ตามลาํ ดบั

วิธีทาํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 94 -

กรณที ี่ 2 ประชากรมีการแจกแจงแบบใดๆ และตวั อยางขนาดใหญ ( n ≥ 30 )

ในการประมาณคา แบบชว งสาํ หรบั กรณีจําเปนตอ งอาศยั ทฤษฎลี ิมิตสูสว นกลาง กลาวคอื ถาสมุ ตัวอยา งขนาดใหญจากประชากรทม่ี ี

การแจกแจงแบบใดๆ จะไดว าคา เฉลย่ี ตัวอยางจะมกี ารแจกแจงโดยประมาณแบบปกติดว ยคาเฉล่ยี μ และความแปรปรวน σ2 ซง่ึ สามารถ
n
ประมาณคา เฉลย่ี แบบชว งโดยจําแนกเปน การทราบหรือไมท ราบความแปรปรวนของประชากร ไดด งั น้ี

- ทราบคาความแปรปรวนของประชากร

คาประมาณแบบชว งของ μ ท่รี ะดับความเชอ่ื ม่นั 1− α เม่ือตวั อยา งขนาดใหญ ( n ≥ 30 ) เปน

X − z α σ < μ < X + z α σ
2 n 2 n
1− 1−

ตวั อยางที่ 5.3 สายการบนิ แหงหนง่ึ มักจะมีจํานวนท่นี ั่งทีว่ า งในการบนิ แตล ะเทีย่ วและทราบวาคา เบ่ียงเบนมาตรฐานของจํานวนท่นี งั่ ทีว่ า งเปน

4.1 ทนี่ ง่ั จงึ สมุ ตวั อยางเที่ยวบินในปท แี่ ลว มา 225 เทย่ี วบนิ คํานวณหาจํานวนท่นี ง่ั วา งโดยเฉลี่ยเปน 11.6 ทนี่ งั่ จงประมาณจํานวนที่นงั่ วา งโดย

เฉล่ียตอ 1 เทีย่ วบนิ ทร่ี ะดับความเชื่อมน่ั 95%

ตัวอยางที่ 5.2 จากตัวอยางที่ 5.1 ถา ความแปรปรวนของราคาเน้ือหมูแดงของกรงุ เทพมหานคร ( σ2 ) เปน 10.25 บาท จงประมาณราคาเน้ือ

หมูแดงเฉล่ียของกรุงเทพมหานครแบบชว งท่รี ะดับ ความเชอ่ื มนั่ 90% , 95% และ 99% ตามลําดบั
วิธีทาํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ไมทราบคา ความแปรปรวนของประชากร

เนื่องจากไมท ราบความแปรปรวนของประชากร ( σ2 ) ดงั นัน้ จงึ ใชตัวประมาณแบบจดุ จากตัวอยาง( s2 ) และคา ประมาณแบบ
ชวงของ μ ท่ีระดบั ความเชอ่ื มั่น 1− α เมอื่ ตัวอยา งขนาดใหญ ( n ≥ 30 ) เปน

X − z α s < μ < X + z α s
2 n 2 n
1− 1−

( )โดยท่ี n Xi − X 2
n−1
s2 = ∑

i=1

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 95 -

ตวั อยา งท่ี 5.4 ในการประมาณเวลาเฉลย่ี ( ชัว่ โมง ) ท่ีนกั ศกึ ษาระดับปรญิ ญาตรีในประเทศไทย ใชในการสืบคน ขอ มูลทางอนิ เตอรเ นต จึงทาํ สุม
ตัวอยา งนักศกึ ษามา 1,500 คน มาสอบถามถงึ เวลาที่ใชใ นการสืบคนขอมลู ทางอนิ เตอรเนตและคาํ นวณหาเวลาเฉลย่ี เปน 6.8 ชว่ั โมง และสว น
เบีย่ งเบนมาตรฐาน 2.5 ช่วั โมง จงประมาณเวลาทน่ี กั ศึกษาระดบั ปริญญาตรีในประเทศไทย ใชใ นการสบื คนขอ มลู ทางอนิ เตอรเนต ท่ีระดบั ความ
เชื่อม่ัน 99%
วธิ ที าํ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กรณีท่ี 3 ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติหรอื ใกลเคียงปกติ ไมท ราบความแปรปรวนและตัวอยา งขนาดเล็ก ( n < 30 )

เมอ่ื ประชากรมกี ารแจกแจงแบบปกตหิ รือใกลเคียงปกติ ไมท ราบความแปรปรวนและตวั อยางขนาดเล็ก จะประมาณความแปรปรวน
X
ของประชากร ดว ยตวั ประมาณแบบจดุ จากตวั อยาง และจาก t = − μ มกี ารแจกแจงแบบ t ดว ยองศาอสิ ระ n − 1 และเนอ่ื งจากการ
s

n
แจกแจงแบบ t เปน การแจกแจงท่สี มมาตรเหมอื นกบั การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ( z ) ดงั รูปท่ี 7

รปู ท่ี 7 แสดงผลตางคาเฉลยี่ เปนคะแนนมาตรฐาน

จากรปู ที่ 7 จะไดวา

1−α = P⎝⎜⎜⎛ − t − α .=n−1 <t < t − α .=n−1 ⎠⎞⎟⎟ = P⎝⎛⎜⎜ X − t s < μ < X + t s ⎞⎟
n n ⎠⎟
1 2 , d.f 1 2 , d.f 1− α , d.f.=n−1 1− α , d.f.=n−1

2 2

นน่ั คือ L = X − t α , d.f.=n−1 s และ U = X + t α , d.f.=n−1 s
2 n 2 n
1− 1−

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 96 -

( )ดงั น้ัน การประมาณคาเฉลีย่ ประชากรแบบชวงดว ยระดับความเชอื่ ม่ัน1− α หรอื 1− α 100% คือ

X − t α , d.f.=n−1 s < μ < X + t 1− α , d.f.=n−1 s
2 n 2 n
1−

ตัวอยา งที่ 5.5 จากการทดสอบอายุ (ช่ัวโมง) การใชงานของหลอดไฟย่ีหอ SANWA001 ซ่ึงผผู ลติ อา งวาจากการศกึ ษาในอดตี พบวาหลอดไฟ
ดังกลา วมกี ารแจกแจงแบบปกติโดยทําการสุมตวั อยา งหลอดไฟดังกลาวมาทดสอบอายกุ ารใชง านในหอ งปฏบิ ตั กิ ารจาํ นวน 12 หลอด และคํานวณ
อายุการใชงานเฉลยี่ ของหลอดไฟดงั กลาวเทา กับ 1,598 ชว่ั โมง และคา เบยี่ งเบนมาตรฐานเปน 65 ชวั่ โมง จงประมาณอายกุ ารใชงานเฉลย่ี แบบ
ชวงของหลอดไฟยห่ี อ SANWA 001 ท่รี ะดับนยั สาํ คัญ 5%
วิธีทาํ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 97 -

การทดสอบสมมติฐาน
6.1 การทดสอบสมมติฐาน

6.1.1 ความหมายของการทดสอบสมมตฐิ าน
6.1.2 การต้งั สมมติฐาน
6.1.3 ระดบั ความมนี ยั สาํ คัญและคาวิกฤต
6.1.4 การทดสอบแบบทางเดียวและสองทาง
6.1.5 ขน้ั ตอนการทดสอบสมมติฐาน
6.2 การทดสอบสมมติฐานของคาเฉล่ีย
6.2.1 การทดสอบสมมตฐิ านคาเฉล่ยี ของประชากรเดยี ว
6.2.2 การประยุกตใชก ารทดสอบสมมติฐานคาเฉลี่ยของประชากรเดยี ว

6.1 การทดสอบสมมติฐาน
ในกระบวนการหาคําตอบใหกบั ปญ หาทเี่ กิดขนึ้ ในทกุ แขนงวชิ าการจําเปน อยางยง่ิ ทต่ี อ งวเิ คราะหปญ หาในเชิงวิทยาศาสตร เพ่ือ

กําหนดแนวทางในการตอบปญหาดงั กลาว หลงั จากน้ันจงึ ใชกระบวนความรูใ นแขนงวชิ านน้ั ในการตรวจสอบหรือพสิ จู นวาแนวทางท่ีกาํ หนดข้ึน
นั้นเปน จรงิ หรือไม ซ่ึงอาจอาศัยการเก็บตวั อยา ง หรือการทดลอง เพื่อใหไ ดข อมลู มาทําการวิเคราะหเ กย่ี วกับขอสรุปสําหรบั ปญหา ซึ่งการตัดสินใจ
สรปุ เกย่ี วกับปญหามกั เก่ียวกบั พารามเิ ตอรข องประชากรท่สี นใจ และกระบวนการดงั กลาว เรียกวา การทดสอบสมมติฐาน โดยที่ แนวทางท่ี
นาํ ไปสูคาํ ตอบ เรียกวา สมมติฐาน สามารถพิจารณากระบวนการดงั กลาว ดังรปู ท่ี 12

ปญหา

แนวทางตอบปญ หาเชิงวทิ ยาศาสตร

สมมติฐาน

พิสจู นโดยใชความรูในแตละแขนงวชิ า

ทดสอบสมมติฐาน

ขอ สรุปเกี่ยวกับปญ หา
รูปที่ 12 แสดงกระบวนการทดสอบสมมติฐาน

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 98 -

6.1.1 ความหมายของการทดสอบสมมตฐิ าน

สมมตฐิ านทางสถิติ คอื แนวทางที่เปน ไปไดท เ่ี กิดจากกระบวนการวเิ คราะหป ญหา โดยบุคคล หรอื องคกร รวมถึงความเชือ่ ของ

บคุ คลหรือองคกรทค่ี าดวา จะเกิดขนึ้ ซง่ึ เมื่อมกี ารพสิ ูจนแลว อาจเปน จรงิ หรือไมก ไ็ ด ยกตวั อยางเชน

- ผจู ัดการโรงงานเงาะกระปอ ง เช่ือวา นาํ้ หนกั เฉล่ยี ของเงาะกระปองหนักอยา งนอ ยเปน 200 กรัม

- กลมุ งานตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑข องโรงงานอตุ สาหกรรม เช่อื วาในกระบวนการผลติ ของโรงงานมสี ดั สวนของเสียนอยกวา

1เปอรเ ซน็ ต เปน ตน

6.1.2 การตั้งสมมตฐิ าน

1. ชนิดของสมมตฐิ านทางสถติ ิ

สมมติฐานทางสถิติสามารถจําแนกไดเปน 2 ชนิด ดงั ตอไปน้ี

- สมมตฐิ านวา ง (Null Hypothesis) คือ สมมติฐานที่กาํ หนดคาท่แี นนอนใหก ับพารามเิ ตอร ซงึ่ สงสัยวาเปน คาน้จี ริงหรอื ไม แทน

ดวยสญั ลักษณ H0 ยกตวั อยา งดังตารางตอ ไปน้ี
ประชากรเดียว สองประชากร

คาเฉลยี่ H0 : μ = 500 H0 : μ1 − μ2 = 25

สัดสวน H0 : p = 0.75 H0 : p1 − p2 = 0.20

ความแปรปรวน H0 : σ2 = 20 H0 : σ12 = σ22

- สมมติฐานแยง (Alternative Hypothesis) เปน สมมตฐิ านทีข่ ัดแยง กบั สมมติฐานวา ง ( H0 ) มวี ัตถปุ ระสงคเพื่อเปนทางเลอื ก
ในการตัดสินใจปฏิเสธสมมตฐิ านวา ง แทนดว ยสญั ลักษณ H1 ยกตัวอยา งดังตารางตอ ไปนี้
ประชากรเดียว สองประชากร

คา เฉลยี่ H1 : μ ≠ 500 H1 : μ1 − μ2 ≠ 25

H1 : μ > 500 H1 : μ1 − μ2 > 25

H1 : μ < 500 H1 : μ1 − μ2 < 25

สัดสวน H1 : p ≠ 0.75 H1 : p1 − p2 ≠ 0.20

H1 : p > 0.75 H1 : p1 − p2 > 0.20

H1 : p < 0.75 H1 : p1 − p2 < 0.20

ความแปรปรวน H1 : σ2 ≠ 20 H1 : σ12 ≠ σ 2
2

H1 : σ2 > 20 H1 : σ12 > σ22

H1 : σ2 < 20 H1 : σ12 < σ 2
2

โดยหลกั การทางคณิตศาสตร เคร่ืองหมายเทากับ (=) จะถกู ขัดแยง ดว ยเคร่ืองหมายไมเ ทา กบั ( ≠ ) นอ ยกวา (<) และมากกวา (>)
ดังนั้น ในสมมติฐานวางจะกําหนดใหพารามเิ ตอรท่ีตองการทดสอบเทา กับคาคงท่ีใดๆ แตสาํ หรับสมมตฐิ านแยง จะกําหนดใหพ ารามิเตอรไ มเทา กับ
นอยกวา หรอื มากกวาคาคงทน่ี ั้นๆ

6.1.3 การทดสอบสมมตฐิ านทางสถิติ

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ เปนกรรมวธิ ีการทีม่ กี ฎเกณฑ และเกณฑ (Criteria) เพ่อื ใชใ นการตัดสนิ ใจสรุปสมมตฐิ านตางๆ การ
ตดั สินใจลกั ษณะการยอมรับสมมติฐาน (Accept Hypothesis) คือ เชอื่ ในสมมติฐานวา ง และการไมย อมรับสมมตฐิ าน (Reject Hypothesis) คือ ไม
เช่ือในสมมติฐานวาง หรอื เชอื่ สมมติฐานแยง ซึ่งกรรมวิธดี งั กลา วจะอาศยั ตัวสถิติประกอบเปนเกณฑในการทดสอบ ดงั น้นั การตัดสินใจยอมมคี วาม
คลาดเคลอ่ื นไปจากคาพารามิเตอรจ รงิ

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 99 -

ความคลาดเคลือ่ นในการทดสอบสมมตฐิ าน

เนือ่ งจากการทดสอบสมมติฐานเปนกระบวนการท่ตี อ งอาศยั ตัวอยา งสุม เพ่อื หาขอสรุปเกีย่ วกับพารามเิ ตอร ดังนนั้ ยอ มเกิด

ความผิดพลาดเกดิ ขึ้นเสมอ เชนการไมย อมรับสมมตฐิ าน H0 ทงั้ ท่ี H0 เปน จรงิ หรือ การยอมรบั สมมติฐาน H0 ทั้งท่ี H0 ไมจริง ซ่ึง

ความคลาด ดงั กลา วสามารถแบง เปน 2 ประเภท ดังน้ี

ความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 1 (Type 1 Error) คือ ความคลาดเคลอื่ นในการปฏิเสธหรอื ไมยอมรับ H0 ทัง้ ท่ี H0 เปน จริง หรอื
ความนา จะเปนทจี่ ะปฏเิ สธหรอื ไมยอมรบั H0 ทัง้ ที่ H0 เปนจรงิ ซึง่ มักจะเรยี กวา ระดับนัยสําคัญ (Level of Significant) แทนดวย สัญลักษณ
α

ความคลาดเคล่ือนประเภทที่ 2 (Type 2 Error) คอื ความคลาดเคล่ือนในการยอมรับ H0 ท้งั ที่ H0 ไมจริง หรือความนา จะเปน ท่ี
จะยอมรบั H0 ท้ังที่ H0 ไมจรงิ ซึง่ มักจะแทนดวยสัญลกั ษณ β

ความคลาดเคลอ่ื นท้ัง 2 ประเภท สามารถที่จะสรุปไดดังตารางตอ ไปนี้

ผลการทดสอบ ความจรงิ

ยอมรบั H0 H0 จริง H0 ไมจ ริง
ปฏิเสธ H0
ผลสรปุ ถกู ตอง Type 2 Error ( β )
Type 1 Error (α ) ผลสรปุ ถูกตอง

สําหรบั α และ β สามารถนํามาเขยี นพ้ืนท่ไี ด ดังรูปท่ี 13

รปู ที่ 13 แสดงความคลาดเคลอ่ื นประเภทท่ี 1 และ 2

โดยทฤษฎี การทดสอบสมมติฐานที่ดตี อ งทําใหเกดิ ความคลาดเคล่อื นทัง้ สองแบบใหน อยที่สุด แตในทางปฏบิ ัติ คา α และ β ไม
สามารถทําใหเปนศนู ยพรอ มกันได จากรปู ...แสดงใหเหน็ วา ถา คา α มีคา นอ ย จะทําให β มคี ามาก และในทางตรงกนั ขาม ถาคา α มีคา
มาก จะทําให β มีคานอ ย ดังนนั้ ในทางปฏบิ ตั มิ กั จะกําหนดคา α แลว พยายามควบคมุ ใหค า β มคี าใหน อ ยทส่ี ุด ซ่ึงการดาํ เนนิ การดังกลา ว

กระทาํ โดยการเพมิ่ ขนาดตัวอยางใหมากขน้ึ

การทดสอบแบบทางเดียวและสองทาง

การทดสอบสมมติฐานทางสถิตนิ ้ัน กฎเกณฑ หรอื เกณฑที่ใชใ นการประกอบการตดั สนิ ใจเกี่ยวกบั สมมติฐาน คือ อาณาเขตการยอมรบั

(Accept Region) ซง่ึ เปน บริเวณทย่ี อมรับสมมติฐานวา ง อาณาเขตวิกฤต (Critical Region) ซง่ึ เปนบริเวณท่ปี ฏิเสธ หรอื ไมย อมรบั สมมตฐิ านวา ง

โดยมี คา วิกฤต (Critical Value) ซ่ึงเปน ขอบเขตทแ่ี บง อาณาเขตการยอมรับ และอาณาเขตวกิ ฤต ออกจากกัน และสามารถจําแนกอาณาเขตทั้ง

สองไดเปน 2 ประเภท ดังนค้ี อื

การทดสอบแบบหางเดยี ว (One-tailed Test) เกิดขึ้นสําหรบั กรณที ส่ี มมตฐิ านแยง มี

การบงชว้ี า พารามิเตอรม ีคา นอ ยกวา หรอื มากกวาคาคงท่ีใดๆ สาํ หรับกรณที ี่สมมติฐานแยง มีคา นอ ยกวาคาคงที่ ( H1 : μ < 500 ) มกั ถกู

เรียกวา การทดสอบแบบหางเดียวขางนอ ย และในสวนกรณีท่ีสมมตฐิ านแยงมีคามากกวา คา คงท่ี ( H1 : μ > 500 ) มักถูกเรียกวา การ

ทดสอบแบบหางเดียวขางมาก และสามารถพจิ ารณาอาณาเขตตา งๆ ไดต อไปน้ี

การทดสอบแบบหางเดียวขางนอ ย

สําหรบั สมมตฐิ าน H0 : μ = a H1 : μ < a

สามารถพจิ ารณาอาณาเขต ดงั รปู ท่ี 14

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 100 -

รูปที่ 14 แสดงอาณาเขตวกิ ฤติ และอาณาเขตการยอมรับ สําหรับการทดสอบหางเดียวขา งนอย โดยที่ คาวกิ ฤต คือ z = C
อาณาเขตวกิ ฤตคอื z < C ( ความนาจะปฏเิ สธสมมติฐานเปน α )
อาณาเขตการยอมรบั คอื z > C ( ความนาจะเปน ท่จี ะยอมรับสมมติฐานเปน 1 − α )

การทดสอบแบบหางเดียวขางมาก H1 : μ > a

สําหรบั สมมตฐิ าน H0 : μ = a

สามารถพจิ ารณาอาณาเขต ดังรปู ที่ 15

รูปท่ี 15 แสดงอาณาเขตวิกฤติ และอาณาเขตการยอมรบั สาํ หรับการทดสอบหางเดียวขางมาก โดยท่ี คาวกิ ฤต คอื z = C

อาณาเขตวิกฤตคอื z > C ( ความนา จะปฏิเสธสมมตฐิ านเปน α )

อาณาเขตการยอมรบั คอื z < C ( ความนา จะเปนทจ่ี ะยอมรับสมมตฐิ านเปน 1 − α )

การทดสอบแบบสองหาง (Two-tailed Test) เกิดขึ้นสาํ หรับกรณที ่สี มมติฐานแยงมี

การบงชว้ี า พารามเิ ตอรม คี า ไมเ ทา กบั คา คงท่ใี ดๆ สามารถพิจารณาอาณาเขตตางๆ ไดตอไปน้ี
สําหรบั สมมตฐิ าน H0 : μ = a H1 : μ ≠ a

สามารถพิจารณาอาณาเขต ดงั รูป 16

รปู ที่ 16 แสดงอาณาเขตวกิ ฤตแิ ละอาณาเขตการยอมรับ สาํ หรับการทดสอบสองหางโดยที่ คาวกิ ฤต คือ z = C1 และ z = C2
อาณาเขตวิกฤตคอื z < C1หรือ z > C2 ( ความนาจะปฏเิ สธสมมติฐานเปน α )

อาณาเขตการยอมรบั คือ C1 < z < C2 ( ความนา จะเปนท่จี ะยอมรบั สมมติฐานเปน 1 − α)

6.1.5 ขน้ั ตอนการทดสอบสมมติฐาน
สําหรบั การทดสอบสมมติฐาน ซ่งึ อาจเกีย่ วกบั คาเฉลย่ี ประชากร สัดสวนประชากร และความแปรปรวนของประชากร สามารถสรปุ
ขนั้ ตอนการทดสอบสมมตฐิ านดังตอไปนี้
ขั้นตอน 1 ตงั้ สมมตฐิ าน ตอ งสอดคลอ งกบั แนวทางท่เี ปน ไปไดห รือความเชอ่ื ท่ีตองการจะพสิ จู น
ขนั้ ตอน 2 กําหนดสถติ ทิ ดสอบ (Test Statistics) ท่ีเหมาะสมกับพารามิเตอรท ่ี ตองการพิสูจน
ขน้ั ตอน 3 กาํ หนดระดับนัยสาํ คญั และอาณาเขตวิกฤต
ขั้นตอน 4 คาํ นวณสถิติทดสอบ จากตัวอยา งสมุ
ขน้ั ตอน 5 เปรียบเทียบสถิตทิ ดสอบทคี่ ํานวณไดในข้ันตอน 4 กับจดุ วกิ ฤตในขัน้ ตอน 3 ถาสถิตทิ ดสอบตกอยูในอาณาเขตการยอมรับ จะยอมรบั
สมมตฐิ านวาง แตถา สถิติทดสอบตกอยูใ นอาณาเขตวกิ ฤต จะไมย อมรับหรอื ปฏิเสธสมมติฐานวา ง หรอื ยอมรับสมมติฐานแยง
ข้นั ตอน 6 สรปุ ผลวา เปนไปตามสมมตฐิ านหรือไม

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ