a) ວຽກ_ບ້ານ2 ຜູ_ລະ28ໜ້າ (1)

124

ตวั อย่างท่ี 4.7 จากรูป 4.18 จงหากระแสไฟฟา้ ที่ไหลผ่านตวั ต้านทานทุกตัว

รปู 4.18 สาหรับ
ตวั อยา่ งที่ 4.7

วธิ ีทา

ขน้ั ตอน 1: กาหนดปม กาหนดกราวน์ กาหนดทางไหลของกระแส กาหนดขวั้ เมอ่ื ผ่านขัน้ ตอนน้ี กน็ า่ จะไดว้ งจรดัง
รปู 4.19

รปู 4.19 คือวงจร 4.17 (4.19)
ท่ีกาหนดสิ่งต่างๆ แลว้ (4.20)

ขั้นตอน 2: ตงั้ สมการ KCL
ปม b ตง้ั ได้ 30103  0.01Vb Vd   0.03Va Vb   0.02Vc Vb   0
จัดรปู ไดเ้ ปน็ 6Va  2Vb Vc  3
ปม c ตัง้ ได้ 250103  0.04Vc Va   0.02Vc Vb   0.05Vc Vd   0
จดั รปู ได้เป็น 2Va 11Vb  5Vc  25
ปม d ตงั้ ได้ 80103  0.01Vb Vd   250103  0.05Vc Vd   0

125

จดั รปู ได้เป็น Va  5Vb  6Vc 17 (4.21)

ข้ันตอน 3: แก้ระบบสามสมการสามตัวแปรโดยใช้กฎของคราเมอร์ เขียนระบบสมการ (4.19) (4.20) และ (4.21)
ในรูปของเมทรกิ ซ์

 6 2 1 Vb   3 
  Vc   
 2 11 5     25 

 1 5 6  Vd  17 

 6 2 1
 65 แล้วหาดเี ทอรม์ ิแนนต์ไดว้ ่า det
ทาใหม้ ีเมทรกิ ซ์   2 11   191
1 5

 3 2 1
 
จะมีเมทริกซ์ 1   25 11 5  ได้ดีเทอร์มแิ นนตเ์ ป็น det  1  191 ดงั น้นั Vd 1 V

17 5 6 

 6 3 1
 5 ได้ดเี ทอรม์ ิแนนตเ์ ปน็ det 2   382 ดังน้นั Vc  2 V
และ จะมเี มทริกซ์ 2   2 25

 1 17 6

ถงึ ข้นั น้ี ให้แทนค่า Vb 1 V และ Vc  2 V ลงในสมการ (4.19) ก็จะแกไ้ ด้ไม่ยากว่า Vd  1 V

ขั้ น ต อ น 4: ห า ค า ต อ บ I0.03S  0.030 1  30 mA ซ่ึ ง ไห ล กลั บทางกับ ทิ ศ ที่ให้ ไว้ใน รู ป 4 .19

 I0.01S  0.01 1 1  20 mA I0.02S  0.022 1  20 mA I0.04S  0.042  0  80 mA แ ล ะ
 I0.05S  0.05 2  1 150 mA

__________________________________________________________________________________
ตัวอย่างท่ี 4.8 จากรูป 4.20 จงหากาลังไฟฟ้าของแหล่งจ่ายกระแสท้ังสองเคร่ือง และจงหากระแสท่ีไหลผ่านตัว
ต้านทานชุดขนาน 500  และ 125 

126

รูป 4.20 สาหรับ
ตวั อยา่ งที่ 4.8

วธิ ที า
ขั้นตอน 1: ยุบความต้านทานแบบขนาน 500  และ 125  ก่อน ได้ RP 100  จากนั้น กาหนดสิ่งที่
จาเป็นให้กับวงจร เพื่อที่จะไดพ้ ร้อมกับการเขียน KCL ซ่ึงจะไดด้ ังรูป 4.21 วงจรน้ีมีกิ่งแหล่งจ่ายแรงดันอนุกรมกับ
ตัวตา้ นทาน จึงตอ้ งกาหนดปม x ที่มศี กั ย์ไฟฟา้ ปมเป็นตวั แปร Vx ด้วย

รูป 4.21 คือวงจร 4.20
ทกี่ าหนดสิ่งต่างๆ แล้ว

ขน้ั ตอน 2: เราจะหาสมการช่วยท่ีจะบอกถงึ กระแสทผี่ า่ น RP 100  ก่อน เร่มิ จากเขียน

I RB  Va Vx และ 20  Vb Vx แลว้ แกไ้ ดว้ ่า
100

I RB  Va Vb  20 (4.22)
100

ขั้นตอน 3: วงจรน้ีแม้จะดูยุ่งเหยิงแตห่ ลังจากยุบ RP และกาหนดกราวน์แล้ว จะพบว่าเหลือเพยี งสองปมเท่านั้นท่ี

ต้องเขียน KCL

ปม a ได้สมการ 0.2  Va Vb  Va Vb  20  Va Vc  0 แล้วจดั รูปได้

200 100 250

Va  15 Vb (4.23)
19

ปม b ไดส้ มการ 0.1 Va Vb  Va Vb  20  Vb Vc  0 แล้วจดั รปู ได้

200 100 100

127

3Va  5Vb  60 (4.24)

แทนค่าสมการ (4.23) ลงใน (4.24) ไดว้ ่า Vb  22.8 V และ Va 18 V

ข้นั ตอน 4: หาคาตอบ แรงดันของแหลง่ จ่ายกระแส 0.2 A คือ 18 V และแรงดนั ของ 0.1 A คือ 22.8 V

ใช้สมการ (4.22) ค่ากระแสท่ีไหลผ่านชุดขนานคือ IRP  18 22.8 20 /100 152 mA จากน้ันใช้
เทคนิคการแบง่ กระแสจะไดว้ า่ I500  30.4 mA และ I125  121.6 mA

__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างท่ี 4.9 จากรูป 4.22 จงหากระแส ix แรงดนั ที่ตัวตา้ นทานทุกตวั และแรงดนั ท่ีแหล่งจ่าย

รปู 4.22 สาหรับ
ตัวอยา่ งที่ 4.9

วธิ ที า
ข้ันตอน 1: กาหนดส่ิงที่จาเป็นให้กับวงจร เพ่ือท่ีจะได้พร้อมกับการเขียน KCL ซ่ึงจะได้ดังรูป 4.23 วงจรนี้มีก่ิง
แหลง่ จ่ายแรงดันอนกุ รมกบั ตวั ตา้ นทาน จงึ ตอ้ งกาหนดปม x ท่มี ีศักยไ์ ฟฟ้าปมเปน็ ตัวแปร Vx ด้วย

รูป 4.23 คอื วงจร 4.22
ที่กาหนดสง่ิ ตา่ งๆ แล้ว

ขน้ั ตอน 2: เราจะหาสมการชว่ ยทีจ่ ะบอกถงึ กระแสที่ผ่าน 20  ก่อน เรม่ิ จากเขยี น

I 20   Vx Va และ 45  Vx Vc แต่ Vc  0 และ I20  ix จึงได้
20

128

I 20   ix  45 Va (4.25)
20

ข้ันตอน 3: สมการเขยี น KCL

ปม a ได้สมการ 45 Va  Vb Va  2  45 Va   Va Vc 0 แลว้ จัดรูปได้
20 10  20  25

9Va 10Vb  225 (4.23)

ปม b ได้สมการ  Vb Va  2  45 Va   1.5  Vb Vc 0 ซึง่ จะแก้ได้เลยว่า
10  20  15

Vb  36V แล้วแทนคา่ ในสมการ (4.23) กจ็ ะได้ Vb 15 V

ข้ันตอน 4: หาคาตอบ ค่ากระแส ix 1.5 A ค่าแรงดันที่ตัวต้านทาน V20  30 V V25 15 V และ
V10  21 V ซึ่งจะเทา่ กับแรงดนั ทแี่ หล่งจา่ ย ดว้ ย และ V15  36 V

__________________________________________________________________________________

ตัวอยา่ งที่ 4.10 จากรปู 4.24 จงหาแรงดนั vx จงหากระแสท่ไี หลผา่ น และแรงดนั ทุกตวั ในวงจร

รปู 4.24 สาหรบั
ตวั อย่างท่ี 4.10

วิธีทา
ขั้นตอน 1: กาหนดสิ่งท่ีจาเป็นให้กับวงจร เพื่อท่ีจะได้พร้อมกับการเขียน KCL ซึ่งจะได้ดังรูป 4.25 วงจรนี้มีก่ิง
แหลง่ จา่ ยแรงดนั ควบคมุ

รูป 4.25 คือวงจร 4.24
ทกี่ าหนดสง่ิ ตา่ งๆ แลว้

129

ข้นั ตอน 2: วงจรนี้มีกง่ิ ท่เี ปน็ แหล่งจ่ายแรงดนั ซ่งึ จะกาหนดใหม้ ีกระแสไหลผ่าน Is ไหลจากปม a ไปปม b จะ
มีสองปมทต่ี ้องใชก้ ารพิจารณาเหมอื นหวั ขอ้ 4.2.3 ท่กี ่ิง ab จะมสี มการชว่ ย

Vb Va  3vx (4.24)

และที่กิ่ง cd เราก็จะเขียนแรงดัน vx ได้ว่า vx  Vc Vd โดยที่ Vd  0 ดังน้ัน vx  Vc แทนค่าลงในสมการ
(4.24) จะได้

Va Vb  3Vc  0 (4.25)

ขนั้ ตอน 3: เขียน KCL (จะแทน Vd  0 ลงไปเลย)

ปม a จะได้สมการ Is  50 103  Va 0 (4.26)
100

ปม b จะได้สมการ Is  Vb Vc  Vb 0 (4.27)
40 100

ตัวแปร Is จะไม่สามารถหาไดใ้ นขั้นตอนน้ี ใหก้ าจัดทงิ้ โดยใช้สมการ (4.26) บวกกบั สมการ (4.27) จะได้

50103  Va  Vb Vc  Vb  0 แลว้ จัดรปู ได้เปน็ (4.28)

100 40 100
2Va  7Vb  5Vc  10

ปม c จะไดส้ มการ 50103  Vb Vc  Vc  0 แลว้ จดั รปู เปน็

40 200

5Vb  6Vc  10 (4.29)

ข้ันตอน 4: ระบบสามสมการสามตัวแปรท่ีจะใช้แก้คือ สมการ (4.25) สมการ (4.28) และ สมการ (4.29) การแก้
จะใช้กฎของคราเมอร์ ระบบสมการในรปู เมทรกิ ซค์ ือ

 1 1 3  VVba  0 
 7 5   10 
 2    

 0 5 6Vc  10

 1 1 3
 
กาหนด   2 7 5  หาดีเทอร์มิแนนต์ ได้ว่า det    1
0 5 6

130

 0 1 3
กาหนด 1  10 7 
5  หาดเี ทอรม์ แิ นนต์ ไดว้ า่ det  1  70

10 5 6 

 1 0 3
 
และ 2   2 10 5  หาดเี ทอร์มแิ นนต์ ได้วา่ det 2   50 V

 0 10 6

ศักย์ท่ีปมในข้ันนี้จึงเป็น Va  70 / 1  70 V และ Vb  50 / 1  50 V แทนค่า Vb ลงในสมการ
(4.29) แกห้ า Vc  40 V

ข้ันตอน 5: หาคาตอบ เราได้ vx  40 V หาแรงดันสาหรับตัวต้านทาน ได้แก่ ท่ีกิ่ง ad V100  70 V แสดง
ว่ า ข้ั ว   ส ลั บ กั บ ท่ี เ ลื อ ก ไ ว้ ใ น รู ป 4 . 2 5 ถั ด ไ ป ท่ี ก่ิ ง bd V100  50 V ถั ด ไ ป V40 10 V แ ละ

V200  40 V

แรงดันของแหล่งจา่ ยกระแส 50 mA คอื Vs1  Va Vb  110 V ได้ค่าตดิ ลบ แสดงว่าขัว้ บวกจะอยูท่ ี่
ปม b แล้วตคี วามได้วา่ แหล่งจา่ ยนดี้ ึงพลังงานจากวงจรไปใช้

แรงดันท่ี คือ Vs2 120 V สุดท้าย คือการหากระแสท่ีไหลผ่าน น้ันคือ Is ให้แทนค่าในสมการ
(4.27) ได้ Is  0.75 A

__________________________________________________________________________________

131

สรุปเนอ้ื หาบทที่ 4
1. การวิเคราะห์แรงดันโนด เปน็ เทคนิคการวเิ คราะห์วงจรแบบกา้ วหนา้ ท่ตี ่อยอดมาจาก KCL
2. การวิเคราะห์แรงดันโนด ได้เปรียบกว่าการใช้กฎของเคอร์ชอฟฟ์เพราะวิธีนี้ช่วยลดตัวแปรในวงจรลง จนเหลือ

จานวนตวั แปรนอ้ ยกว่าวิธกี ฎของเคอร์ชอฟฟ์ และยังสรา้ งสมการได้พอดกี บั จานวนตัวแปรทีต่ อ้ งการแก้ดว้ ย คอื
จะไม่มีสมการมากเกินไปแต่ไรป้ ระโยชน์ หรอื จะไมม่ ีสมการนอ้ ยเกินไปจนแก้หาคา่ ตวั แปรไมไ่ ด้
3. ขนั้ ตอนการคานวณวงจรโดยใช้การวเิ คราะหแ์ รงดนั โนด เอกสารฯเลม่ น้ีขอแนะนาให้มีขน้ั ตอนดงั ตอ่ ไปนี้
4.1. รวมความต้านทานท่สี ามารถรวมได้
4.2. กาหนดปม เลือกหนึ่งปมใหเ้ ป็นกราวน์ ทิศการไหลของกระแส กาหนดขวั้
4.3. เขยี นสมการ KCL ท่ีปม ดหู วั ข้อ 4.2 ประกอบ
4.4. แก้ระบบสมการหาคาตอบ
4. ใชก้ ฎของคราเมอรช์ ่วยแกร้ ะบบสมการได้
5. การวิเคราะห์ด้วยวิธีแรงดันโนด จะช่วยเพิ่มพูนทักษะการอ่านวงจรได้มากกว่าวิธีใดๆ เพราะวงจรไฟฟ้าในโลก
ความเปน็ จรงิ มกั เขียนแบบต่อปม การกาหนดคา่ แรงดนั โนด การกาหนดกราวน์ เปน็ ต้น
__________________________________________________________________________________

132
แบบฝกึ หัดทา้ ยบทท่ี 4
4.1. จากวงจรดังรปู EX 4.1 จงหาค่ากระแสทไี่ หลในทุกเส้นทาง และจงหากาลงั ไฟฟ้าของแหลง่ จา่ ยไฟทกุ เครื่องใน

วงจร

รปู EX 4.1 สาหรับ
แบบฝกึ หดั ขอ้ 4.1

4.2. จากวงจรดังรูป EX 4.2 จงหา ix แรงดันที่ตก
คร่อมตว้ ตา้ นทาน 10  และจงหาแรงดนั โนดที่
จุด a และ b (คาตอบแตกต่างกันได้ ขึ้นอยู่กับ
การเลือกกราวน์)

รปู EX 4.2 สาหรับแบบฝึกหัดขอ้ 4.2

4.3. จากวงจรตามรูป EX 4.3 จงหาแรงดันและค่ากาลังไฟฟ้าทตี่ ัวต้านทาน Ra Rb Rc และ Rd ละจงหาแรงดัน
ที่ตกคร่อมแหล่งจ่ายกระแส

รปู EX 4.3 สาหรบั
แบบฝึกหัดขอ้ 4.3

133
4.4. จากวงจรดังรูป EX 4.4 จงหากระแสที่ จ่ายให้กับวงจร และจงหากาลังไฟฟ้ารวมของแหล่งจ่ายทุกตวั ใน

วงจรนี้

รปู EX 4.4 สาหรับ
แบบฝึกหัดข้อ 4.4

__________________________________________________________________________________

134

เอกสารอา้ งอิง

1. ชัญชนา ตง้ั วงศ์ศานต์ และคณะ (2556). ทฤษฎีวงจรไฟฟ้า ภาควงจรกระแสตรง. กรุงเทพฯ: สานกั พมิ พแ์ ห่ง
จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

2. Raymond A. Serwey, Chris Vuille (2012). College Physics. (9th ed), China: China Tranlsation &
Printing Services Limited.

3. Halliday & Resnick (2014). FUNDAMENTAL OF PHYSICS. (10th ed), United States of America:
Walker, Jearl.

แผนบรหิ ารการสอนประจาบทที่ 5

รายวชิ า การวิเคราะหว์ งจรไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกสเ์ บอ้ื งตน้
Circuit Analysis and Introduction to Electronics

หวั ข้อเนอ้ื หา
5.1. ระบบวงจรไฟฟ้ากระแสสลบั
5.2. ทมี่ าของแรงดันเฉล่ยี อารเ์ อ็มเอส
5.3. การตอบสนองชวั่ ขณะในวงจรไฟ DC

5.3.1. แนวคิด
5.3.2. วงจร RC จังหวะปดิ สวติ ซ์
5.3.3. วงจร RL จังหวะปิดสวติ ซ์
5.4. การตอบสนองของ L และ C ในระบบไฟ AC
5.4.1. วงจร C ในระบบไฟ AC
5.4.2. วงจร L ในระบบไฟ AC
5.5. จานวนเชงิ ซอ้ น
5.6 การวิเคราะหว์ งจรไฟ AC ด้วยวิธจี านวนเชงิ ซอ้ น
5.6.1. วงจร RC ตอ่ อนกุ รม
5.6.2. วงจร RC ตอ่ ขนาน
5.6.3. วงจร RL ต่ออนกุ รม

วตั ถุประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม
เมื่อส้นิ สุดการเรยี นการสอน ผู้เรียนสามารถ
1. คานวณซา้ ในหัวขอ้ การตอบสนองของ C และ L ในระบบไฟ DC
2. คานวณจานวนเชิงซ้อนได้
3. อธบิ ายกระบวนการคานวณวงจรไฟ AC ดว้ ยวธิ จี านวนเชิงซ้อนได้
4. แสดงการการแก้ปญั หาวงจรไฟ AC

136

วธิ สี อนและกจิ กรรมการเรยี นการสอนประจาบท
1. บรรยายเนอื้ หาทางฟสิ กิ ส์
2. แสดงการคานวณตัวอย่าง
3. ให้นักศกึ ษาฝกึ แบบฝึกหัดในหอ้ งเรียน
4. รว่ มอภิปรายฝกึ แบบฝึกหดั ที่นักศกึ ษาไดท้ า
5. ซักถามในชนั้ เรียน และ ผสู้ อนสรปุ เน้ือหา
6. นกั ศึกษาถามข้อสงสัย

ส่ือการเรยี นการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนวชิ าอิเลก็ ทรอนิกส์
2. ทฤษฎกี ารวเิ คราะหว์ งจรไฟฟา้
3. ตวั อยา่ งจากหนงั สอื หรือตาราเลม่ อืน่ ๆ

การวัดผลและการประเมนิ ผล
1. ระยะเวลาที่นักศกึ ษาทาแบบฝกึ หัดในหอ้ งเรียน
2. การบวนการทาแบบฝึกหัดของนักศกึ ษา
3. การซักถามในช้นั เรียน
4. ประเมินจากการสอบ

137

บทที่ 5 ไฟฟ้ากระแสสลบั

ในบทเรยี นทผี่ า่ นมาทัง้ หมด เราได้เรยี นวงจร ไฟฟา้ กระแสตรง (direct current) หรอื เรียกยอ่ ว่า DC ท่ีทง้ั
ค่ากระแสและแรงดนั เปน็ ค่าคงท่ี ในบทเรียนต่อไปน้จี ะเป็นการเรยี นการวเิ คราะห์วงจรไฟฟา้ กระแสสลบั ด้วยความ
ท่ีเป็นไฟฟ้ากระแสสลับ ค่ากระแสและค่าแรงดันจะไม่ใช่ค่าคงท่ีอีกต่อไป แม้กฎทางฟิสิกส์ของไฟฟ้ากระแสสลับ
ยังคงเหมือนกับกฎทางฟิสิกส์ของไฟฟ้ากระแสตรง โดยเฉพาะกฎของโอห์มและกฎของเคอร์ชอฟฟ์ แต่นัก
คณิตศาสตร์ท่ีจะนามาใช้คานวนจะยากชึ้นมาก เพราะค่าต่างๆ ในไฟฟ้ากระแสสลับไม่ใช่ค่าคงที่อย่างท่ีกล่าวไป
แลว้ น้ันเอง

5.1. ระบบวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

ระบบหรือวงจร ไฟฟ้ากระแสสลับ (alternating current) หรือนิยมเรียกย่อว่า AC คือวงจรท่ีภายในมี
แหล่งจ่ายไฟไม่คงที่และเปลี่ยนข้ัวหรือเปล่ียนทิศทางการไหลตลอดเวลา ผลคืออุปกรณ์ต่างๆ ในวงจรนั้นมี
ค่ากระแสและแรงดันท่สี ลับระหว่าง ค่าบวกกับค่าลบตลอดเวลา ทิศการไหลกระแสกม็ ีการสลับทิศตลอดเวลา โดย
การสลบั ไปมาเกดิ ขึ้นในลักษณะเป็นคาบทแ่ี น่นอน

แหล่งจ่ายที่ปรากฏในวงจรอยู่บ่อยๆคือแหล่งจ่ายแรงดันแบบกระแสสลับ เป็นแหล่งจ่ายท่ีให้ค่าแรงดัน
เปล่ียนแปลงตามเวลาในลักษณะของกราฟรูปฟังก์ชัน่ ไซน์(sine) น่ีคือฟังก์ชนั ไฟกระแสสลับที่เป็นพ้ืนฐานมากทสี่ ุด
เม่ือใดท่ีเราพูดถึงแหล่งจ่ายไฟกระแสสลับ (แหล่งจ่าย AC) เรามักจะหมายถึงแหล่งจ่ายแรงดันรูปไซน์อยู่เสมอ
สัญลักษณ์ในวงจรของแหล่งจ่ายน้ีคือ ค่าที่ระบุไว้มักเป็นแรงดันที่เป็น ค่ารากของค่าเฉล่ียกาลังสอง (root-
mean-square) หรอื เรยี กกันว่า แรงดนั เฉลีย่ เฉล่ียอารเ์ อ็มเอส ใชต้ วั แปร Vrms และ อกี ปรมิ าณหนงึ่ ทจี่ ะถูกระบุไว้
ท่แี หล่งจา่ ยคอื ค่าความถ่ี f

ตัวอย่างของสัญลักษณ์แหล่งจ่ายแรงดัน AC (เป็นแหล่งจ่ายแรงดันในอุดมคติ) ท่ีระบุค่าว่า
12V,30 Hz ก็หมายความว่าแหล่งจ่ายแรงดันนี้มี Vrms 12 V และความถ่ี 30 Hz มีกราฟของแรงดังเปรียน
ตามเวลาเป็ฯกราฟไซน์ดังทีแ่ สดงใน รปู 5.1

138

รปู 5.1 แสดงสญั ลักษณแ์ หลง่ จา่ ยแรงดนั AC และกราฟของแรงดันในเวลา

ฟังก์ชันแรงดันที่สอดคล้องกับ 12V,30 Hz คือ vt 16.97sin60t V ทาให้แรงดันสูงสุดและ
ตอ่ สดุ อยู่ทีค่ า่ 16.97 V มีความถี่เชงิ มุม   60 rad/s

ของฟงั กช์ นั ของแรงดนั โดยท่ัวไปจะถกู เขียนอยู่ในรูป

vt   Vmsin t   (5.1)

โดยท่ี Vm คือค่าแรงดันสูงสุดและต่อสุด ในตัวอย่างของรูป 5.1 Vm 16.97 V ค่าแรงดันสูงสุดสัมพันธ์กับค่า
Vrms โดยสมการ

Vrms  Vm เฉพาะไฟ AC ทเี่ ปน็ คลื่นไซน์ (หรอื โคไซนเ์ ท่าน้ัน) (5.2)
2

ค่า  คือความถ่ีเชิงมุม ซึ่งสัมพันธ์กับความถี่โดย   2 f แหล่งจ่าย AC ตามรูป 5.1 มี   60 rad/s
นั้นเอง คา่ คาบ (ใช้ตัวแปร T มีหน่วยเป็น วินาท)ี ความถเ่ี ชงิ มุม และความถ่ี ต่างกส็ มั พนั ธ์ผ่านสมการ

  2 f  2 (5.3)
T

ส่วนปริมาณ  คือมุม (หรือเรียกว่า เฟส) เร่ิมต้นของฟังก์ชัน เมื่อเวลา t  0 มีหน่วยเป็น rad ในรูป
5.1 คือกรณีท่ี   0 rad ในภายหลังที่เราเรียนวงจรท่ีมีตัวเก็บประจุหรือตัวเหน่ียวนา มุมเร่ิมต้นจะมีบทบาท
สาคญั มาก

รูป 5.2 และ 5.3 แสดงระบบไฟ AC พน้ื ฐานอีกสองแบบ ที่ไม่ใช่ฟังก์ชันไซน์ คือไฟ AC แบบฟนั ปลา และ
ไฟ AC แบบสเี่ หลย่ี ม

139

รปู 5.2 แสดงแรงดันของไฟ AC แบบฟันปลา

รปู 5.3 แสดงแรงดนั ของไฟ AC รูปเหล่ยี ม

5.2. ทม่ี าของแรงดนั เฉล่ยี อาร์เอม็ เอส

ค่าเฉล่ียอาร์เอ็มเอสถูกกาหนดข้ึนในระบบไฟ AC เนื่องจากแรงดันไม่ใช่ค่าคงท่ี เราจึงอยากจะกล่าวถึง
ค่าเฉลี่ยของแรงดัน แต่ว่า ฟังก์ช่ันไซน์ (และโคไซน์) เป็นฟังก์ชั่นท่ีค่าอยู่ในฝ่ังบวกและฝั่งลบเท่าๆ กัน การเฉลี่ย
ฟังก์ชัน่ ไซน์จึงเป็นศูนย์ หากเราใชค้ ่าเฉล่ียท่ีเป็นศูนย์น้ีจะเกิดปัญหา เพราะเราไม่มีทางรู้เลยวา่ ไซน์ท่ีทาให้ผลเฉล่ีย
เป็นศนู ย์มีรปู รา่ งอย่างไรกนั แน่ (ทกุ ๆ ฟังก์ชันไซนใ์ ห้คา่ เฉล่ียเปน็ ศูนยห์ มด)

เมื่อการเฉล่ียแบบตรงๆ ไม่เหมาะกับฟังก์ช่ันไซน์เราจึงต้องใช้วิธีเฉลี่ยใหม่คือการเฉล่ียแบบอาร์เอ็มเอส
ต่อไปนี้จะแสดงตัวอย่างของการหาค่าเฉล่ียอาร์เอ็มเอสของฟังก์ชันแรงดัน vt  Vmsint โดยให้มุมเริ่มต้น
  0 rad ก่อน ขั้นตอนการทาคือ

1. ยกกาลังสอง v2 t  Vm 2 sin2 t

2. ทาการหาค่าเฉล่ีย แต่การเฉลี่ยของปริมาณที่มีความต่อเน่ือง หรือ เป็นฟังก์ชัน การเฉลี่ยต้องใช้การคานวณ

ปรพิ นั ธ์ สาหรับฟงั ก์ชนั ไซน์ การเฉลยี่ ทาในชว่ งเวลา 1 คาบ กเ็ พียงพอ การปรพิ ันธจ์ ากดั เขตจึงเป็น T

dt

0

140

T

  v2 0 v t  dt  Vm2 T t  dt
T
T sin 2

dt 0

0

ใชเ้ อกลกั ษณต์ รโี กณมิติ cos2 t 1 2sin2  t นั้นคือ sin2 t  1cos2t

2

แทนคา่ แล้วทาปรพิ นั ธ์

v2Vm2 T  1  1 cos  2t   dt  Vm2   sin 2t  t T
T 0  2 2  2T t  0
 2 t

นั้นคือ ผลของแรงดันกาลังสองเฉล่ียคือ v2 Vm2 / 2 เม่ือนามาถอดรากจะได้การเฉลี่ยแบบอาร์เอ็มเอส คือ

Vrms  Vs2  Vm / 2 ตรงกับสมการ (5.2) แตน่ ่ีได้มาจากการเฉลี่ยแรงดันท่ีเป็นไซน์ (หรือโคไซน์) หากกาลัง
พิจารณาถึงไฟ AC ทเ่ี ปน็ กราฟรูปอืน่ อยา่ งเชน่ รูปฟันปลา หรอื รปู ส่ีเหล่ยี ม เป็นตน้ เราต้องคานวณหาสูตรการหา
Vrms ใหมต่ ง้ั แตต่ น้

5.3. การตอบสนองชวั่ ขณะในวงจรไฟ DC

5.3.1. แนวคิด

ในบทเรียนที่ผ่านมาเราแทบจะไม่สนใจวงจรที่มีตัวเก็บประจุหรือวงจรที่มีตัวเหน่ียวนาเลย เพราะวา่ วงจร
ไฟ DC ที่เราคานวณเป็นวงจรท่ีค่ากระแสและแรงดันในทุกๆ ที่ของวงจรเป็นค่าคงที่ ในสภาพนี้ตัวเก็บประจุทุกตัว
ในวงจรจะสมมลู กับวงจรขาด สว่ นตัวเหนีย่ วนาทกุ ตัวในวงจรจะสมมลู กบั ชอ๊ ต ดังรูป 5.4

รปู 5.4 แสดงการสมมูลของตวั เหลย่ี วนาและตัวเก็บประจุ ในวงจรไฟ DC ทกี่ ระแสและแรงดันทกุ ๆ ทีใ่ นวงจรเป็นค่าคงที่

141

ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนาจะมีบทบาทในวงจรไฟฟ้าที่กระแสและแรงดันไม่เป็นค่าคงที่ (แต่ไม่เจาะจงว่าต้อง
เป็น DC หรือ AC) วงจรไฟฟ้า AC คือหนึ่งในวงจรที่กระแสและแรงดันไม่ใช้ค่าคงท่ี ดังน้ัน เราไม่สามารถใช้ความ
สมมูลท่ีแสดงในรูป 5.4 อีกต่อไป จาเป็นต้องพัฒนากระบวนการเพื่อคานวณปริมาณต่างๆ ของวงจรที่มีพวกมัน
รวมอยู่ดว้ ยโดยเฉพาะ

ต่อแต่นี้ไปจะขอใช้ตัวย่อดังน้ี ตัวต้านทาน ย่อว่า R ตัวเก็บประจุย่อว่า C และ ตัวเหน่ียวนาย่อว่า L
เป้าหมายของบทนี้คือการคานวณวงจรไฟ AC ที่มีทั้ง R L และ C แต่ก่อนเข้าสู่เน้ือหาของไฟ AC เราจะมาเรียน
สมบัติท่ีน่าสนใจของตัว C และตัว L ในวงจรไฟฟ้า DC ก่อน ไม่ใช่วงจรคงท่ีแบบท่ีเรียนมา แต่เป็นวงจร DC ใน
จังหวะท่ี I และ V ยงั ไม่คงที่ โดยเฉพาะตอนทเ่ี ราปิดสวติ ซ์ใหว้ งจรทางาน

5.3.2. วงจร RC จังหวะปดิ สวติ ซ์

พิจารณาวงจร RC ต่ออนุกรม และมีแหล่งจ่ายแรงดัน (อุดมคติ) ระบุด้วย Vs คงที่ ดังรูป 5.5 ในรูป
ดา้ นซ้าย คือวงจร RC ที่ยังไม่ทางาน จากนั้นจะมีการปิดสวติ ซ์ ในจังหวะที่ตวั นาของสวติ ซ์กระทบกัน (ชว่ งเวลาอยู่
ในระดับไมโครจนถึงนาโนวินาที) คือช่วงเวลาท่ีกระแส รวมในวงจร i t แรงดันท่ี R vR t และแรงดันที่ C
vC t ยงั ไมเ่ ป็นคา่ คงท่ี แต่จะขน้ึ กับเวลา ในจังหวะน้เี อง C ยังไม่สมมูลกับวงจรขาด แตจ่ ะมบี ทบาทในวงจร

รูป 5.5 แสดงจงั หวะปิดสวิตซข์ องวงจร RC อนกุ รม

การพิจารณาเร่ิมจาก ในข้ัว   ท่ี R และ C โดยเราควรถือให้ C เป็นอุปกรณ์ใช้พลังงาน ขั้ว   ก็จะ
เหมือนกบั R จากนัน้ กาหนดวงปิด (ซง่ึ มอี ยูว่ งเดียว อาจเรียกว่าเมชก็ได้) แลว้ เขียนสมการ KVL

Vs  iR  vC  0 (5.4)

142

แต่เรารู้จากวิชาฟิสิกส์ว่า vC t  qt / C เมื่อ qt คือปริมาณประจุท่ีเวลาใดๆ ที่ถ่ายเทในวงจร จากนั้น
แทนค่า it  dqt / dt ลงในสมการ (5.4) กจ็ ะไดส้ มการเชิงอนพุ นั ธว์ ่า

R dq  q  Vs แล้วจัดรปู เปน็ CR dq  dt
dt C CVs  q

คานวณปริพนั ธ์จากัดเขต โดยที่เวลา t  0 ให้ q  0 และท่ีเวลา t ใดๆ ประจุกเ็ ป็น q จึงไดร้ ปู

CR In  CVs  Q   t
 CVs 
 

จดั รูปเป็น  qt  CVs 1 et/RC (5.5)

สมการ (5.5) ใช้คานวณหาค่าประจุที่ถ่ายเทในเวลาใดๆ แต่เราไม่ต้องการหาค่าประจุ เราต้องการหา
ค่ากระแสและแรงดัน จาก it  dqt / dt เราจึงทาอนุพันธ์เทียบเวลากับสมการ (5.5) เพ่ือหาฟังก์ชันกระแส
รวม เม่อื ทาเสร็จแลว้ จะได้

 i t  Vs et/RC (5.5)

R

แรงดันของตัวต้านทานคานวณโดยใช้กฎของโอหม์ ส่วนแรงดันของตัวเกบ็ ประจหุ าจากการแทนคา่ สมการ
(5.4) ลงใน vC t  qt / C กจ็ ะไดฟ้ งั กช์ ันแรงดันทงั้ สองในรูป

  vR t  Vs et/RC และ vc t   Vs 1 et/RC (5.6)

รปู 5.6 ซ้ายสาหรับสมการ (5.5) ขวาสาหรับสมการ (5.6)

143

กระแสตามสมการ (5.5) และแรงดนั ตามสมการ (5.6) เขยี นเป็นกราฟได้ดงั รปู 5.6 จะเหน็ วา่ เมื่อเวลาผ่าน
ไป กระแสรวมในวงจรท่ีอนุกรมกับ C จะเข้าใกล้ศูนย์ น้ันคือเข้าใกล้กับสภาพวงจรขาด น่ีคือเหตผลท่ีทาให้ C มี
ความสมมลู กับสิง่ ทีแ่ สดงในรปู 5.4 เมือ่ เวลาผ่านไปนาน

5.3.3. วงจร RL จงั หวะปิดสวิตซ์
พิจารณาวงจร RL ต่ออนุกรม และมีแหล่งจ่ายแรงดัน (อุดมคติ) Vs คงท่ี ดังรูป 5.7 ในรูปด้านซ้าย คือ

วงจร RL ทยี่ ังไมท่ างาน จากนน้ั จะมกี ารปดิ สวติ ซ์ ในจงั หวะที่ตัวนาของสวติ ซ์กระทบกัน คอื ชว่ งเวลาที่กระแส รวม
ในวงจร i t แรงดันที่ R vR t และแรงดันท่ี L vL t ซ่ึงท้ังหมดยังไม่เป็นค่าคงที่ แต่จะขึ้นกับเวลา ใน
จังหวะนีเ้ อง L ยังไม่สมมลู การช๊อต

รปู 5.7 แสดงจงั หวะปดิ สวติ ซ์ของวงจร RL อนุกรม

เร่ิมจาก ในขั้ว   ท่ี R และ L โดยเราอาจถือให้ L เป็นอุปกรณ์ใช้พลังงาน ขั้ว   ก็จะเหมือนกับ R
จากนน้ั กาหนดวงปดิ แลว้ เขียนสมการ KVL

Vs  iR  vL  0 (5.7)

จากนนั้ แทน vL  L di / dt แล้วจัดรูปเปน็

Ldi  dt
Vs  iR

คานวณปริพันธ์จากัดเขต โดยที่เวลา t  0 ให้กระแสเร่ิมต้นเป็นศูนย์ i  0 และท่ีเวลา t ใดๆ กระแสก็เป็นค่า
ใดๆ i จึงผลการปรพิ นั ธ์คอื

144

 L In  Vs  iR   t
R  Vs 
 

จัดรูปเป็น i t   Vs  1 eRt/L (5.8)
R

แรงดันของตัวต้านทานคานวณโดยใชก้ ฎของโอห์ม ส่วนแรงดันของตัวเหน่ียวนาหาจากการแทนค่าสมการ
(5.8) ลงใน vL t  Ldi / dt ก็จะไดฟ้ ังก์ชนั แรงดนั ทั้งสองในรปู

  vR t  Vs 1 eRt/L และ vL t   Vs eRt/L (5.9)

กระแสตามสมการ (5.8) และแรงดนั ตามสมการ (5.9) เขียนเป็นกราฟไดด้ ังรูป 5.8 จะเห็นวา่ เม่อื เวลาผ่าน
ไป กระแสรวมในวงจรท่ีอนุกรมกับ L จะเข้า i  I Vs / R ซ่ึงเสมือนกับว่า L หมดสิ้นบทบาทเมื่อเวลาผ่านไป
นานๆ จนกลายเป็นว่า L มคี วามสมมูลซ๊อตทแ่ี สดงในรปู 5.4

รูป 5.8 ซ้ายสาหรับสมการ (5.8) ขวาสาหรับสมการ (5.9)

5.4. การตอบสนองของ L และ C ในระบบไฟ AC

5.4.1. วงจร C ในระบบไฟ AC
ในหวั ข้อนีเ้ ราจะศกึ ษาว่าเมอ่ื C ต่อเข้ากับแหลง่ จ่ายไฟกระแสสลับแล้ว C จะประพฤตติ ัวอย่างไร มคี ่าแรง

ดนั และกระแสอย่างไร แตน่ อนว่า C ในวงจรน้ีจะไม่ขาด เพราะในวงจรไฟ AC จะไม่มีทางเป็นวงจรที่ปริมาณตา่ งๆ
เปน็ ค่าคงทเี่ หมือนอยา่ งทเ่ี กิดในไฟ DC (ทีเ่ วลานานๆ) อย่างแน่นอน

145

พิจารณาตัวเก็บประจุหน่ึงตัวต่อกับแหล่งจ่ายไฟ AC ท่ีจ่ายแรงดันเป็นฟังก์ชัน vt Vm sin t เรา
จะใช้ KVL กับวงจรน้ี จริงอยู่ที่วงจรไฟ AC จะมีข้ัว   ไม่แน่นอน แต่สลับกลับไปกลับมาตลอดเวลา แต่ขอให้
สมมติ เสมือนวา่ เราถ่ายรูปวงจร 1 รูป ในรูปน้ี จังหวะน้ี เราเห็นข้ัว   ท่ีแน่นอน เราจึงเขียนขั้วตามที่ปรากฏใน
รปู ถ่าย ในที่น้เี ปน็ ดงั รปู 5.9

รูป 5.9 แสดงวงจร C และมีการสมมติขว้ั ดงั นี้

ใช้ KVL จะเขียนสมการได้ว่า vt  vC t  0 แต่เรามี vC t  qt / C และ vt Vm sin  t ท่ี
กาหนดไว้ จงึ ไดส้ มการ

vC t   qt   Vm sin  t  (5.10)

C

เป้าหมายการคานวณคร้ังน้ีคือการหาฟังก์ชันกระแส iC ท่ีไหลผ่าน C เรารู้ว่า it  dqt / dt ดังน้ันจึงทา
อนุพนั ธเ์ ทยี บเวลาตลอดสมการ (5.10) ได้ผลเปน็

iC t   VmC  cos t 

ใช้เอกลกั ษณต์ รโี กณมิติ cos t   sin  t   แทนคา่ ได้
 2 

 iC    หรือ (5.11)
t  VmCsin  t + 2  iC t   VmCsin t +90

รูป 5.10 เปรียบเทียบกราฟ จากสมการ (5.11) เราอ่านออกมาได้ว่า ถ้า vC t Vm sin t
กระแสและแรงดนั ท่ี C แลว้ กระแส iC t มีความถีเ่ ชงิ มุม  เช่นเดยี วกบั vC t ส่ิงท่ีตา่ งคือ

ฟงั กช์ชนั กระแส iC t มีมมุ เร่มิ ต้นนาหน้าฟงั กช์ ันแรงดัน vC t อยู่  / 2 rad หรือก็คอื มมุ 90

146

กราฟของฟังก์ชันทั้งสองจะเป็นดังรูป 5.10 นอกจากนี้ เรายังอ่านออกมาได้ด้วยว่า กระแสสูงสุดที่ผ่าน C
คือ ImC  VmCC โดย ในที่น้ี VmC Vm คือแรงดันสูงสุดที่ตกคร่อม C หากเทียบกับกฎของโอห์มที่ควรเขียนได้
ในรูป ImC  VmC / RC โดย RC คือ ความตา้ นทานเชิงความจุ (capacitive reactance) เอกสารฯเล่มอ่ืนอาจใช้
สัญลักษณ์ XC แตเ่ อกสารฯเล่มนีจ้ ะขอใช้ RC ซึ่งมคี ่าเป็น

RC  1  1 (5.12)
C 2 fC

จุดท่ตี อ้ งระวงั สาหรับผ้เู ร่ิมต้นเรียนหัวขอ้ ไฟฟ้ากระแสสลับคือ การใชก้ ฎของโอหม์ ในระบบไฟ AC จะ
ใช้ได้กับกระแสและแรงดันสูงสุดท่ีอุปกรณ์ เช่น VmC  ImCRC หรือ กระแสและแรงดันเฉลี่ยแบบอาร์เอ็มเอส
Vrms C  Irms CRC แต่ห้ามใช้กับฟังก์ชันกระแสและฟังก์ชันแรงดัน ถ้ามีการเขียนว่า vC t  iC t RC น่ีคือ
การเขียนท่ไี ม่ถูกต้อง

5.4.2. วงจร L ในระบบไฟ AC

พิจารณาตัวเหน่ียวนาหนึ่งตัวต่อกับแหล่งจ่ายไฟ AC ท่ีจ่ายแรงดันเป็นฟังก์ชัน vt Vm sin t
ขอให้สมมติขั้วดงั ท่ีได้เขียนไว้ในรปู 5.11

รปู 5.11 แสดงวงจร L และมีการสมมติขวั้ ดงั น้ี

จากรูป สมการ KVL เขียนเปน็ vt  vL t  0 จากน้นั แทนฟงั ก์ชัน v  Vm sin t และใช้ความรู้
จากวิชาฟสิ กิ สว์ า่ vL t  LdiL t / dt จะไดส้ มการ

147

vL t   L diL  Vm sin t  (5.13)
dt

เนอ่ื งจากเราต้องการหาฟังกช์ นั กระแส iL t จงึ ปรพิ นั ธ์ตลอดสมการ

iL t  iL 0   Vm cos t   1 (5.14)


โดยท่ี iL 0 คือกระแสท่ีไหลผ่าน L ท่ีเวลา t  0 ซึ่งกาหนดให้มีค่าเป็น iL 0  Vm / L ดังนั้น สมการ
(5.14) จึงเหลือเพยี ง

iL  t    Vm cos t 
L

ใช้เอกลักษณต์ รีโกณมติ ิ  cos t   sin  t    แทนค่าได้
 2 

รูป 5.11 เปรียบเทียบกราฟกระแส iL t   Vm sin  t   หรอื iL t    Vm sin t  90  (5.15)
L  2 
L

และแรงดันที่ L จากสมการ (5.15) เราอ่านออกมาได้ว่า ถ้า vL t Vm sin  t

แลว้ กระแส iL t มคี วามถีเ่ ชิงมมุ iCt เชน่ เดยี วกบั vL t โดยที่

ฟงั กช์ ันกระแส iL t มีมุมเร่มิ ต้นตามหลงั ฟงั ก์ชนั แรงดัน vL t อยู่  / 2 rad หรอื กค็ อื ตามอยู่ 90

ทาให้กราฟของฟังก์ชันทั้งสองจะเป็นดังรูป 5.12 นอกจากน้ี เรายังอ่านออกมาได้ด้วยว่า เมื่อแรงดันสูงสุดที่ตก
คร่อม L คือ VmL  Vm กระแสสูงสุดที่ผ่าน L จะเป็น ImL  VmL / RL โดย RL คือ ความต้านทานเชิงเหนี่ยวนา
(inductive reactance) ในหลายครง้ั อาจใช้สัญลักษณ์ XL แต่เอกสารฯเลม่ ยังคงขอใช้ RL ซึง่ มีค่าเป็น

RL  L  2 fL (5.16)

__________________________________________________________________________________

148

ตัวอย่างที่ 5.1 ถ้าตัวเหน่ียวนา L  330 mH มกี ระแสไหลผ่านเป็นฟงั ก์ชนั

i t  95sin 850t 88  mA

จงหาฟงั ก์ชันแรงดันและแรงดันเฉลย่ี อารเ์ อม็ เอสทต่ี กคร่อมตวั เหน่ยี วนานี้

วธิ ที า

ขั้นตอน 1: หาความต้านทานเชงิ เหนี่ยวนากอ่ น จากฟงั ก์ชนั กระแส เราอา่ นไดว้ ่า   850 rad จากน้ันใชส้ มการ
(5.16) จะได้วา่

 RL  850 330103  280.5 

ขั้นตอน 2: หาค่าแรงดันสูงสุดโดยใช้กฎของโอห์ม (อย่าลืม กฎนี้ในไฟ AC ใช้ได้เฉพาะกับค่าสูงสุดหรือค่าอาร์เอ็ม
เอส ห้ามใชก้ บั ฟังกช์ นั )

 VmL  ImRL  95103 280.5  26.65 V ตอบ

และหาแรงดนั เฉลยี่ แบบอารเ์ อม็ เอส เปน็ Vrms L  VmL  26.65  18.84 V ตอบ
2 2

ข้ันตอน 3: เพราะว่าท่ีตัวเหนี่ยวนา ฟังก์ชันกระแสตามหลังแรงดันอยู่ 90 หมายความว่า ถ้ากระแสมีมุม
850t  88 แลว้ แรงดนั ก็ควรจะมมี มุ 850t  88  90  850t  2 ดงั นนั้

vL t  26.65sin 850t  2  V ตอบ

__________________________________________________________________________________

ตวั อยา่ งท่ี 5.2 ถ้าวัดแรงดนั คร่อมตัวเก็บประจุ C  47 μF พบวา่ ได้ฟังกช์ นั แรงดนั เปน็

vC t 12sin 430t  52  V

จงหาฟังก์ชนั กระแสและกระแสเฉลยี่ อารเ์ อม็ เอสทีผ่ า่ นตวั เกบ็ ประจุนี้

วิธที า

149

ข้ันตอน 1: จากฟังกช์ นั แรงดัน เราอา่ นได้ว่า   430 rad จากน้นั ใชส้ มการ (5.12) เพ่อื หาความตา้ นทานเชิง
ความจุ

 430 1  49.48 
47 106
 RC

ขั้นตอน 2: หาคา่ กระแสสูงสุดโดยใชก้ ฎของโอหม์

I mC  Vm  12  0.24 A ตอบ
RC 49.48

และหากระแสเฉล่ยี แบบอาร์เอม็ เอส เปน็ I rms C  I mC  0.24  0.17 A ตอบ
2 2

ข้ันตอน 3: ท่ีตวั เก็บประจุ ฟังก์ชันกระแสนาหน้าแรงดันอยู่ 90 หมายความว่า ถ้าแรงดันมีมุม 430t  52 แลว้
แรงดนั ก็ควรจะมมี ุม 430t  52  90  850t 142 ดงั นั้น

iC t  0.24sin 850t 142  A ตอบ

__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างที่ 5.3 ในอุปกรณ์ไฟฟ้าเดี่ยวช้ินหนึ่งที่ยังไม่แน่ใจว่าเป็น L ที่มีค่า L  270 mH หรือ C ที่มีค่า
C 130 μF แตจ่ ากการวดั พบวา่ มีฟงั ก์ชนั แรงดนั ทต่ี กครอ่ ม และ ฟังกช์ ันกระแสท่ไี หลผา่ น เปน็

vt  36sin t 144  V และ it  285sin t  234  mA ตามลาดบั

จงหาว่าอุปกรณ์ท่ีกล่าวถึงน้ี คืออะไรระหว่าง L หรือ C และจงหาค่าความต้านทาน และจงหาความถี่ f ของไฟ
AC ในวงจรน้ี

วิธีทา

ขั้นตอน 1: จากฟังก์ชันท่ีกาหนดให้ พบว่ามุมของกระแสนาหน้ามุมของแรงดันอยู่ 90 อุปกรณ์เดี่ยวที่มีสมบัตินี้
คอื ตวั เก็บประจุ และโจทยบ์ อกแลว้ วา่ ถ้าอุปกรณ์เด่ียวน้ีคือ C มนั จะมคี า่ C 130 μF ตอบ

150

ข้ันตอน 2: ใช้กฎของโอห์มร่วมกันแรงดันสูงสุด 36 V และกระแสสูงสุด 285 mA เพ่ือหา RC ได้
RC  126.3  ตอบ

ข้ันตอน 3: จาก RC 1/ C จึงคานวณได้ว่า

   1  1  60.91 rad/s ตอบ

RCC 126.3 130106

แลว้ หาความถี่ f    60.91  9.69 Hz ตอบ
2 2

__________________________________________________________________________________

5.5. จานวนเชิงซ้อน

ถัดไปเราจะเริ่มเข้าสู่เน้ือหาการวเิ คราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับที่แท้จริง บทเรียนจะคล้ายกับเร่ืองการต่อ
ตัวต้านทานแบบอนุกรมหรือแบบขนานในบทท่ี 1 เพียงแต่จะเปลี่ยนจากไฟ DC ไปเป็นไฟ AC นอกจากนี้จะ
เปล่ียนจากเดิมที่เคยมีแต่ค่าความต้านทานล้วน R ก็จะมีส่วนของค่าความต้านทานเชิงความจุ RC และความ
ตา้ นทานเชงิ ความเหนยี่ วนา RL เพม่ิ เข้ามา

จานวนเชิงซ้อนเป็นจานวนที่ประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ โดยทั่วไปจานวนเชิงซอ้ นมักเขียนใน
รูป  a  bj โดย a และ b เป็นเปน็ ตวั เลขจานวนจรงิ หรือเปน็ ฟงั กช์ ันค่าจรงิ ก็ได้ เราเรยี กคา่ a ว่า ส่วนจริง
และเรียก bj ว่า ส่วนจินตภาพ เราใช้ j  1 ขณะที่ตาราคณิตศาสตร์จะใช้ i  1 เหตุผลที่ตารา
อิเล็กทรอนิกส์รวมถึงเอกสารฯน้ีต้องเปล่ียนมาเป็น j เพราะ i ซ้ากับตัว
แปรกระแสค่า

จานวนเชิงซ้อน ท่ีเขียนในรูป a  bj นี้เป็นรูปแบบเชิงพิกัด
ฉากท่ีมีแกนนอนเป็นแกนจริงและแกนต้ังเป็นแกนจินตภาพ ค่า จะ
ปรากฏตวั บนแกนเหลา่ นั้นคล้ายกบั เวกเตอรท์ ่ีมีความยาวเท่ากบั และ

รปู 5.12 แสดงจานวนเชงิ ซอ้ น

151

ทามมุ กับแกนจรงิ เป็น  ดังรูป 5.12 ทาให้เราเขียน ไดอ้ ีกรปู แบบหนง่ึ คอื การเขยี นแบบเชิงขั้ว คอื กลา่ ววา่

a  cos และ b  sin

ดังน้ัน  cos  j sin  จากน้ันใช้ สูตรของออยเลอร์ (Euler's formular) e j  cos  j sin จึง
เขยี นไดว้ า่

 e j โดยที่ขนาดของจานวนเชิงซ้อน   *  a2  b2 (5.17)

มุม  คอ่ นขา้ งซบั ซ้อน โดยทว่ั ไปตาราคณิตศาสตร์จะเขยี นว่า

  arctan  b  (5.18)
 a 

แต่ผลเฉลยของฟังก์ชัน arctan มีหลายคาตอบ และยังข้ึนอยู่กับความเป็นบวกและเป็นลบของ a และ b ด้วย
เอกสารฯเล่มนจ้ี ะขอสรุปการหามุมตามสมการ (5.18) ไวว้ ่า ให้คานวณโดยไม่ตอ้ งแทนค่าเครื่องหมายของ a และ
b เช่น  7  3 j นั้นคือ a เป็นค่าติดลบ อย่างไรก็ตาม ก็ขอให้ใช้ a คือ 7 เมื่อแทนค่าใน (5.18) จากน้ัน
กดเคร่ืองคิดเลข   arctan3/ 7  23.2 ถ้าเคร่ืองคิดเลขใช้มุมในหน่วยองศา หรือ จะได้   0.4 rad ถ้า
เคร่ืองคิดเลขต้ังให้ใช้มุมในหน่วยเรเดียน แต่ค่ามุมนี้ยังไม่ใช่คาตอบสุดท้าย ให้เก็บค่า  23.2 หรือ
  0.4 rad ไวก้ อ่ น จากนน้ั เราจะแยกพจิ ารณาเปน็ 4 กรณี

กรณีควอแดรนท์ท่ี 1 คือ a เป็นบวก และ b เป็นบวกด้วย ตัวอย่างของกรณีนี้ 1  7  3 j กรณีนี้คือกรณีท่ี
ง่ายทส่ี ุด มุมคือการแทนค่าตามสมการ (5.18) กดเครือ่ งคดิ เลข และตอบตวั เลขน้ันได้เลย น้นั คือ 1  23.2

ดังนนั้ 1  7  3 j  58 cos 23.2   j sin 23.2 

กรณีควอแดรนท์ท่ี 2 คือ a เป็นลบ สว่ น b เป็นบวกด้วย ตวั อย่างของกรณนี ้ี 2  7  3 j มมุ คอื การแทนค่า
ตามสมการ (5.18) โดยไม่ต้องสนใจเครื่องหมายลบ กดเคร่ืองคิดเลข และตอบตัวเลขน้ันได้เลย นั้นคือ 23.2
จากนน้ั ดูรปู 5.13

152

รปู 5.13 แสดงจานวนเชงิ ซอ้ นท้งั สี่ควอแดรนท์

จากรูป จะเห็นว่า 2  7  3 j อยู่ในควอแดรนท์ท่ีสอง มุม 23.2 คือมุมแหลมที่วัดจากแกนนอน (ดูท่ีวงเล็บ
ปีกกา) แต่มุมท่ีถูกต้องต้องวัดจากแกนนอนขวามือ ดังนั้น มุมที่ถูกต้องต้องคิดจาก 2 180  23.2 156.8
(ดูรูปลูกศรวงกลมท่ีวนจากแกนจริงทางขวาไปถึง 2 ) เราสามารถมีได้อีกคาตอบที่ต้องในรูปของมุมกลับ คือ

2  203.2

ดงั น้ัน อาจเขียน 2  7  3 j  58 cos156.8   j sin 156.8 
หรอื 2  58 cos 203.2   j sin 203.2  ได้

กรณีควอแดรนทท์ ่ี 3 คอื a เปน็ ลบ และ b เป็นลบด้วย ตัวอย่างของกรณนี ี้ 2  7 3 j อยู่ในควอแดรนท์ที่
สาม มุมคือการแทนค่าตามสมการ (5.18) โดยไม่ต้องสนใจเครื่องหมายลบ ได้ 23.2 จากน้ันดูรูป 5.13 มุมน้ีคือ
มุมที่วงเล็บอีกกาที่ยังไม่ใช่คาตอบ คาตอบคือ 3 180  23.2  203.2 หรือ อาจตอบแบบมุมกลับคือ

3  156.8

ดังนั้น อาจเขยี น 3  7  3 j  58 cos 203.2   j sin 203.2 
หรอื 3  58 cos 156.8   j sin 156.8  ได้

กรณีควอแดรนท์ที่ 4 คือ a เป็นบวก แต่ b เป็นลบ ตวั อย่างของกรณีนี้ 2  7  3 j อยู่ในควอแดรนท์ท่ีส่ี มุม
คือการแทนคา่ ตามสมการ (5.18) โดยไม่ตอ้ งสนใจเครือ่ งหมายลบ ก็ยังคงได้ 23.2 จากนั้นดูรูป 5.13 มุมนี้คือมุม

153

ที่วงเล็บอีกกาท่ียังไม่ใช่คาตอบ คาตอบคือ 4  360  23.2  336.8 หรือ อาจตอบแบบมุมกลับคือ

3  23.2

ดงั นั้น อาจเขียน 4  7  3 j  58 cos 336.8   j sin 336.8 
หรือ 4  58 cos 23.2   j sin 23.2  ได้

หมายเหตุ หากยอ้ นไปดูกรณที ่ี 1 เราก็สามารถตอบแบบมุมกลับได้คือ 1  336.8

1  7  3 j  58 cos 336.8   j sin 336.8 

__________________________________________________________________________________

ตัวอยา่ งที่ 5.4 จงเขยี นจานวนเชิงซ้อนทก่ี าหนดให้ ใหอ้ ยู่ในรูปเชงิ ขั้ว ก. 1  12 13 j ข. 2  1 9 j และ

ค. 3  1  1
2 3j

วิธที า

ข้อ ก. ใหห้ าขนาดกอ่ น โดยการคานวณ 1  1 * โดยที่

1

 1 *  12 13 j12 13 j 144 169  291 น้ันคอื 1  291  17.06
1

จากน้ันคานวณ arctan  13   47.29 เน่อื งจาก 1 อยคู่ รอแดรนทท์ ีส่ อง
 12 

มมุ ทเี่ ป็นคาตอบคือ 180  47.29 132.71

จงึ เขยี น 1  17.06 e j132.71 หรอื ใชม้ มุ กลบั ตอบ1  17.06 e j227.29

ขอ้ ข. ใหห้ าขนาดก่อน โดยการคานวณ 2  2 * โดยที่

2

2 *  1 9 j1 9 j 1 81  82 น้นั คอื 2  82  9.06

2

จากนั้นคานวณ (ขอใชม้ มุ ในหน่วยองศา)

154

arctan 9  83.66 เนอื่ งจาก 1 อยูค่ รอแดรนทท์ ีส่ าม มมุ ที่เป็นคาตอบคือ 180  83.66  263.66

จงึ เขียน 2  9.06 e j263.66 หรือ ถา้ ใชม้ ุมกลบั ตอบ2  9.06 e j96.34

ข้อ ค. 3 1 1 ยังไมไ่ ด้อยู่ในรูปของ a  bj โดยตรง จงึ ขอจัดรปู ก่อนโดย
2 3j

 1  1  j  1   j  1  j โดยเราได้ใช้ j j  1 1  1
2 3 j  2  3  2 3
3 j 

จากน้นั หาขนาด โดยการคานวณ

3  1  j    1  j   1  1  0.6
 2 3   2 3  49

จากนั้นคานวณ

arctan  2   33.69 เนื่องจาก 3  1  j อยคู่ รอแดรนทท์ ห่ี นง่ึ มมุ จึงเป็น 33.69 ได้เลย
 3  2 3

จงึ เขยี น 3  0.6e j33.69 หรือ ถ้าใช้มุมกลบั ตอบ3  0.6 e j326.31

__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างที่ 5.5 จงเขียนจานวนเชิงซ้อนแบบเชิงขั้วท่ีกาหนดให้ ให้กลับไปอยู่แบบ a  bj พร้อมท้ังตอบด้วยว่า
จานวนเชิงซ้อนนั้นอยู่ในควอแดรนท์ใด ก. 1  9e j166 และ ข. 2  19e j105 j

วิธที า

ข้อ ก. ใช้สูตรของออยเลอรเ์ ปลยี่ น e j166  cos166   j sin 166  ดงั น้ัน

1  9 cos 166   j sin 166   90.97  j0.24

น้ันคอื 1  8.73 2.18 j อยู่ในควอแดรนท์ที่สอง ตอบ

ขอ้ ก. ใช้สูตรของออยเลอรเ์ ปล่ียน e j105  cos105   j sin 105  ดงั นั้น

155

2  19 cos 105   j sin 105   190.26  j0.97

นนั้ คอื 2  4.94 18.43 j อยใู่ นควอแดรนทท์ สี่ าม ตอบ
ถา้ คิดตอ่ : เราสามารถใช้การคานวณในตวั อย่างน้เี พ่ือตรวจคาตอบในตวั อย่างท่ี 5.4 เชน่ ตรวจวา่

3  0.6 e j326.31  0.499  0.333 j ซงึ่ ตรงกบั 3  1  j ดงั นน้ั 3  0.6 e j326.31 คอื คาตอบท่ถี ูก
2 3

__________________________________________________________________________________

5.6 การวเิ คราะหว์ งจรไฟ AC ด้วยวิธีจานวนเชงิ ซ้อน

5.6.1. วงจร RC ต่ออนุกรม
พจิ ารณาการตอ่ อนกุ รมกนั ของ R และ C ดังรปู 5.14

รปู 5.14 แสดง RC
ต่ออนุกรม

จากรูป 5.14 สมมติให้กระแสที่ไหลผ่านชุดอนุกรมคือ iS t  Im sin t  20  สิ่งที่จะคานวณคือแรงดันรวม

และ ความตา้ นทานเชิงซ้อน (impedance) รวมของชดุ อนุกรม RS

อยา่ ลมื ว่า แม้น่จี ะเปน็ ไฟ AC แต่กฎของการต่ออนุกรมยงั คงเดมิ คอื

กระแสทไ่ี หลผา่ น R และ C เปน็ ฟังก์ชัน iS เดียวกันกัน
และ แรงดัน vS ถกู แบง่ ใหก้ บั R เป็นฟงั กช์ ัน vR และให้กับ C เปน็ vC ตามสมการ vS  vR  vC
เขยี นฟังกช์ นั แรงดันท่ตี กครอ่ ม R โดย

vR t  ImRsin t  20  (5.19)

156

เราได้ใช้กฎของโอห์มท่ีค่าสูงสุด VmR  ImR ไปแล้ว แรงดันของ R และกระแสท่ีผ่าน R จะมีมุมเหมือนกันทุก
ประการ

เขียนฟังก์ชันแรงดันที่ตกคร่อม C ต้องใช้ความรู้ในหัวข้อ 5.3.3 ร่วมด้วยเราจะใช้กฎของโอห์ม ได้ว่า
VmC  ImRC  Im / C ส่วนมุมท่ีกระแสจะมีมุมนาแรงดันอยู่ 90 เม่ือกระแสมีมุมที่ 20 แสดงว่าแรงดันต้อง
มีมุมที่ 70 เพราะ 20 นา 70 อยู่ 90 นัน้ เอง ดังนัน้

 vCt Im (5.20)
 C sin t  70

การคานวณหาแรงดนั รวมคอื

vS t  ImR sin t  20  Im sin t  70  (5.21)
C

ซ่งึ ทาไม่ได้ เพราะจะไม่มเี อกลกั ษณต์ รีโกณใดๆ มาช่วยในการบวกนี้

การจะคานวณการบวกกันตามสมการ (5.21) เราต้องใช้ความรู้ของจานวณเชงิ ซ้อนมาช่วย โดยการเปล่ียน
ฟังก์ชัน ท้ังฟังก์ชันแรงดันและฟังก์ชันกระแส ให้เป็นจานวนเชิงซ้อน การเปล่ียนแรงดันตามสมการ (5.19) และ
(5.20) ให้เปน็ จานวนเชิงซอ้ น คือการเปลีย่ นแรงดนั ใหเ้ ปน็

และvR  R  ImRe j t20  vC  C  Im RCe j t70  (5.22)

สมการ (5.22) คือเขียนแบบใช้ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ในตาราเล่มอื่นอาจเขียนว่า R  ImR20 และ
C  ImRC  20 ตามลาดบั แต่เอกสารฯน้จี ะคงใช้เปน็ ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล และเปลี่ยนกระแสให้เป็น

 iS t  S  Ime j t20  (5.23)

โดยที่ R และ C คือแรงดันจานวนเชิงซ้อนของ R และ C ตามลาดับ ให้ S  R  C คือแรงดันเชิงซ้อนรวม
ของการต่ออนกุ รม การบวกคือ

157

 Im Re j t20   Im RCe j t70   Ime j t20   R  RC e j 90 
 
S

แทนคา่ สมการ S  Ime j t20  จากน้ันใช้สตู รของออยเลอร์ e j90  cos90  j sin 90   j จึงได้

S  S R  jRC  (5.24)

สมการ (5.24) มีความน่าสนใจมาก ตรงท่ี มันมีหน้าตาคล้ายกฎของโอห์มสาหรับชุดอนุกรมเป็นอยา่ งมาก
แตเ่ ปน็ กฎของโอห์มที่เขียนจากแรงดันเชิงซ้อนและกระแสเชิงซ้อน ถา้ เรายอมรบั ว่าความต้านทานรวมเชิงซ้อนของ
RC อนกุ รมคอื

S R C  R  j (5.25)
C

เมื่อ R  R คือความตา้ นทานเชิงซ้อนของ R และ C   jRC   j / C คือความต้านทานเชงิ ซอ้ นของ C

สมการ (5.24) และ (5.25) ยังบอกให้เรารู้ว่า หากเขียนความต้านทานของ R และ C ให้เป็นจานวน
เชงิ ซ้อนแลว้ กฎการรวมความตา้ นทานก็คือการบวกกนั แบบอนุกรม เหมือนกบั ท่ีเราเรียนในบทท่ี 1

อย่างไรก็ตาม แม้ว่า (5.24) และ (5.25) จะทาให้เรามีกฎการรวมความต้านทานและกฎของโอห์มก็ตาม
แต่สมการเหล่าน้ีก็ยังจัดว่าเป็นเพียงเคร่ืองมือทางคณิตศาสตร์ ไม่สามารถวัดค่าได้ด้วยเคร่ืองมือวัด (มัลติมิเตอร์
หรอื ออสซิโลสโคป) เราจะทาการแปลงทง้ั (5.24) และ (5.25) กลับไปอยใู่ นรปู ของฟังกช์ ัน ที่จะสามารถวดั ค่าได้

เริ่มจากความต้านเชิงซ้อนทานรวมตามสมการ (5.25) แปลงกลับเป็นความต้านทานในโลกความเป็นจริง
ได้โดยคานวณหา ขนานของจานวนเชิงซ้อนสาหรับชุดอนกุ รม น้ันคอื RZS  S ดังนัน้

RZS  S R2   1 2 (ผมเช่อื วา่ มหี ลายคนจาสูตรน้ไี ดจ้ ากมธั ยมปลาย) (5.26)
 C 

ตัวแปร RZ หมายถึงค่า ขนาดความต้านทานเชิงซ้อนในวงจร หรือ ขนาดของ impedance (ตารา
เล่มอ่ืนๆ ใช้ตัวแปร Z ) โดย RZ จะไม่ได้มีแค่ความต้านทานท่ีมาจาก R แต่มีมีได้ท้ังส่วนของ R หรือ RC
(ภายหลงั จะมี RL ) จากทง้ั R C (หรอื L) อย่ดู ้วยกนั

158

สาหรบั แรงดันจากสมการ (5.24) ใหท้ าการคานวณสองแบบ คือ
1. ตอ้ งการหาแรงดนั รวมสงู สดุ โดยไม่สนใจวา่ ฟงั ก์ชนั vS t จะมีหนา้ ตาอย่างไร

VmS  S  S  R  jRC

ซี่ง S  Im e j t20   Im เพราะ e j 1 เสมอ ส่วน R  jRC ก็คือ RS นน้ั เอง สรุปว่าจะได้

VmS  Im R2   1 2 (5.27)
 C 

2. เป็นแบบซับซ้อนมากข้ึน คือ ต้องการอยากรู้ฟังก์ชัน vS t อย่างสมบูรณ์ การคานวณ ย้อนกลับไปที่สมการ
(5.24) เราจะเปล่ียนจานวณเชิงซ้อน S  R  jRC (ซึ่งตอนน้ีเสมือนว่าเขียนในรูป  a  bj ) ให้ไปเป็น
ในรูปเชิงข้ัว เรารู้แล้วว่า S ก็คือผลท่ีแสดงไว้แล้วในสมการ (5.26) ท่ีเหลือคือมุม ซึ่งแทนค่าสมการ (5.18)
และใชก้ ารพจิ ารณาตามกรณคี วอแดรนท์ท่ี 4 คาตอบของมุมคอื

  360  arctan  RC  หรอื ตอบมมุ กลับ    arctan  RC  (5.28)
 R   R 

หลงั จากไดม้ ุม  แลว้ สมการ (5.24) จะปรับไปอยู่ในรปู

   S  ImRSe j t20   ImRS cos t  20   j sin t  20   (5.29)

ฟงั กช์ ันแรงดนั รวม (ที่วัดไดใ้ นโลกจริง) คือส่วนจินตภาพของสมการ (5.29) จึงตอบวา่

 vS t  ImRS sin t  20 

สรุปการคานวณวงจร RC อนุกรม
ขอให้ผู้เรียนอย่าท่องสมการต่างๆ เป็นสูตร แต่จะขอให้ผู้เรียนเข้าใจแนวคิดและกระบวนการ เพราะถ้า

เราทาวงจรอื่นทไี่ ม่ใช่ RC อนุกรม ตอ้ งเรยี กว่าสมการ อยา่ งสมการ (5.26) (5.27) หรือ (5.28) ไม่มีประโยชน์เลย

การทาวงจร RC อนุกรมทผ่ี า่ นมา ขอให้เกดิ การเรยี นรดู้ ังน้ี

159

1. ถ้าเราเปล่ียนฟังก์ชันกระแส แรงดัน และความต้านทาน ไปเป็นจานวนเชิงซ้อน เราจะสามารถใช้กฎของโอห์ม
และกฎการรวมความต้านทานแบบอนกุ รมได้

2. ความต้านทานเชิงซ้อนของตัวต้านทานคือ R  R ส่วนความต้านทานเชิงซ้อนของตัวเก็บประจุคือ

C   j / C

3. ความต้านทาน (คือความต้านทานท่ี ใช้เขียนกฎของโอห์มร่วมกับแรงดันสูงสุดกับกระแสสูงสุด หรือ ร่วมกับ
แรงดนั อารเ์ อ็มเอสกบั กระแสอารเ์ อ็มเอส) ทีเ่ ปน็ คาตอบคือการหาขนาดความตา้ นทานเชิงซ้อน

4. คา่ แรงดันสูงสดุ (รวมถึงคา่ กระแสสูงสุด) คอื ขนาดของแรงดันเชิงซ้อน (และกระแสเชงิ ซ้อน)
5. ฟังก์ชนั แรงดัน (รวมถึงฟังก์ชันกระแส) ถ้าอยากได้เป็นรูปไซน์ กใ็ ห้เลือกส่วนจินตภาพของแรงดันเชิงซ้อน (และ

กระแสเชิงซ้อน) ออกมาตอบ หรือ ถ้าอยากได้รูปโคไซน์ ก็ให้เลือกส่วนจริงของแรงดันเชิงซ้อน (และกระแส
เชิงซอ้ น) ออกมาตอบ
5.6.2. วงจร RC ต่อขนาน

พิจารณาการต่อขนานกนั ของ R และ C ดังรปู 5.15 เนือ้ หาการคานวณตอ่ ไปนี้จะขออนุญาตไปเร็วขนึ้

รปู 5.15 แสดง RC
ตอ่ ขนาน

แมว้ า่ จะเป็นวงจรไฟ AC แตก่ ฎการต่อขนานยงั คงเดิมคอื
แรงดันภายในชุดขนานเท่ากัน vP  vR  vC แตก่ ระแสจะเกิดการแบง่ จงึ เขียนเปน็ สมการ iP  iR  iC

160

กรณีของการตอ่ ขนานจะกาหนดให้วา่ เรารแู้ รงดนั รวม vP t Vm sin t  48  เปา้ หมายการคานวณ

คือการหาความต้านทานรวม RP และหาฟังก์ชันกระแสรวมของชุดขนาน iP t เมื่อเรากาหนด vP แล้ว จะ
สามารถตอบได้ไมย่ ากว่า

 vP  vR  vC  Vm sin t  48 (5.30)

จากนน้ั เขยี นฟังกช์ นั กระแส ซง่ึ จะได้

 Vm sin และ iC  VmC sin t  48  90
R
   iR (5.31)
t  48

ความต้องการของเราคือการคานวณ iP  iR  iC ซึ่งไม่สามารถหาเอกลักษณ์ตรีโกณใดๆ มาทาได้ จึง
จาเปน็ ตอ้ งใชค้ วามรู้เรอ่ื งจานวนเชิงซอ้ นมาชว่ ย ทาการแปลงแรงดันไปเปน็ แรงดันเชิงซอ้ น

vP  P  Vme j t48  (5.32)

และทาการแปลงกระแสให้เปน็ กระแสเชงิ ซอ้ น คือ

 Vm e j t48  iC  C  VmCe jt48 90   PCe j 90 
R
และiR R  P

R

ทาการคานวณกระแสเชงิ ซ้อนรวม P  R  C พรอ้ มทงั้ แทน e j 90   cos90  j sin 90  j ดงั น้นั

P P  1  jC  หรือเราอาจเขยี นว่า P P  1   1  ได้ (5.33)
 R   R jRC 
 

ซึ่งเห็นไดว้ ่า P เปน็ จานวนเชิงซอ้ น กรณีควอแดรนทท์ ี่ 1

จากสมการ (5.33) เราเรียนรู้ว่าถ้าเขียนความต้านทานในรูปจานวณเชิงซ้อนแล้ว ความต้านทานรวมจะ
คานวณได้เหมือนกับการความความตา้ นทานแบบขนาน น้นั คือ

111

P RC

การหาคา่ ความต้านทาน คือการทาขนาดกาลังสองของ 1/ P นั้นคือ

161

1 1 1  C2 (5.34)
RZP R2
ZP

หลังจากได้ผลความตา้ นทานแลว้ ถดั ไปจะเปน็ การคานวณหากระแสรวม ซึง่ อาจเลอื กทาได้สองวิธคี ือ

1. ตอ้ งการอยากรู้เพียงกระแสสูงสดุ ของชดุ ขนาน ImP กใ็ ห้หาขนาดของสมการ (5.33) โดย

แต่ImP  1 1 P  Vm e j t48   Vm
P P  R   jRC

ดังนน้ั ImP  Vm 1  C2 (5.35)
R2

2. ต้องการอยากรฟู้ ังก์ชนั กระแส iP t ใหน้ าสมการ (5.33) มาคานวณต่อเขยี น

 Vm e j t48   Vm
RZP RZP
   P
 P e j  cos t  48   j sin t  48  
RZP

ฟังก์ชัน iP t ในรปู ของไซน์ ให้เลอื กสว่ นจนิ ตภาพของ P มาตอบ น้นั คอื

Vm sin (5.36)
RZP (5.37)
 iP t  
t  48

เมอ่ื   arctan CR หรอื แบบมมุ กลบั   360  arctan CR

สรปุ การคานวณวงจร RC ขนาน

ขอให้ผู้เรียนอย่าท่องสมการต่างๆ เป็นสูตร แต่จะขอให้ผู้เรียนเข้าใจแนวคิดและกระบวนการ โดยถือว่า
การคานวณที่ไดแ้ สดงไมใ่ ช่การพสิ ูจน์สูตร แตเ่ ป็นการทาตวั อย่างข้อหนึ่ง

การทาวงจร RC ขนาน ขอใหเ้ กิดการเรยี นรูด้ ังนี้

1. ถ้าเราเปล่ียนฟังก์ชันกระแส แรงดัน และความต้านทาน ไปเป็นจานวนเชิงซ้อน เราจะสามารถใช้กฎของโอห์ม
และกฎการรวมความต้านทานแบบขนานได้

162

2. ความต้านทานเชิงซ้อน R  R และ C   j / C ใชไ้ ดก้ ับวงจรขนาน
3. (ย้า) ความต้านทาน (คอื ความต้านทานท่ี ใชเ้ ขยี นกฎของโอหม์ ร่วมกบั แรงดันสูงสุดกบั กระแสสูงสดุ หรอื รว่ มกับ

แรงดันอาร์เอ็มเอสกับกระแสอาร์เอ็มเอส) ทเี่ ปน็ คาตอบคือการหาขนาดความตา้ นทานเชงิ ซอ้ น
4. ในตัวอย่างน้ีจะเห็นว่า ค่ากระแสสงู สุดคอื ขนาดของกระแสเชงิ ซ้อน
5. และได้เห็นว่าฟังก์ชันกระแส ถ้าอยากได้เป็นรูปไซน์ ก็ให้เลือกส่วนจินตภาพของกระแสเชิงซ้อนออกมาตอบ

หรือ ถ้าอยากไดร้ ปู โคไซน์ ก็ให้เลอื กส่วนจรงิ ของกระแสเชิงซอ้ นแทน

5.6.3. วงจร RL ต่ออนุกรม

พิจารณาการต่ออนุกรมของ R และ L โดยกาหนดให้กระแสชุดอนุกรมคือ iS t  Im sin t 120 

จะทาการคานวณหาแรงดันรวมและความต้านทานรวม การคานวณในส่วนน้ีจะไปใหถ้ ึงขอ้ สรูปอย่างรวดเรว็

รูป 5.16 แสดง RL
ตอ่ อนกุ รม

นี่คอื การตอ่ อนกุ รม แนน่ อนว่าจะต้องมกี ฎกระแสเท่าและแรงดนั แบง่ ตามสมการ vS  vR  vL

เขียนแรงดนั และกระแสในรปู ของจานวณเชงิ ซอ้ น เริ่มจากกระแสชดุ อนกุ รม

 iSt   I e j t120  (5.38)
m
S

และแรงดัน vR  R  ImRe j t120  และ vL  L  Im RLe j t120 90  (5.39)

โดย เหตุท่ีเป็นมุม t 120  90 ใน L ก็มาจากความรู้ในหวั ข้อ 5.3.4 ทีบ่ อกว่า สาหรับตัวเหนี่ยวนา กระแส
จะมีมมุ ตามหลงั แรงดันอยู่ 90

163

หาแรงดนั เชิงซ้อนรวมของชดุ อนกุ รม ได้

S  S R  RCe j90   S  R  jRC  (5.40)

พบวา่ S กรณีควอแดรนท์ท่ี 1

น้ันคือ ความต้านทานของ L ก็สามารถรวมกับความต้านทานของ R แบบอนุกรมได้ ถ้าให้ความต้านทานเชิงซ้อน
ของตัวเหนยี่ วนาเปน็ L  jRL  jL

ในจังหวะนเ้ี ราจะลองหาฟังก์ชันแรงดนั โดยตรง เริ่มจากการเปลย่ี นรปู แบบ R  jRC  RZSe j โดย RZS
คือ ขนาดความต้านทานเชิงซ้อนสาหรบั RL อนกุ รม ที่คานวณโดย

RZS  R2  RL2 (5.41)

และ   arctan  RL  หรอื ถ้าอยากไดม้ ุมกลับ   360  arctan  RL  (5.42)
 R   R 

   ดังน้ัน เราสามารถเขยี น S  ImRZSe j t120   ImRZS cos t 120   j sin t 120  

ตอบแบบไซน์ เลือกส่วนจินตภาพ vS t  ImRS sint 120   (5.43)

ขอ้ สรุปใหม่การคานวณวงจร RL อนกุ รม

ความต้านทานเชิงซอ้ นของตัวเก็บประจคุ ือ L  jRL  jL และจะขอสรปุ โดยไมท่ าการพสิ ูจน์ ว่า ถ้า
เราทาวงจร RL ต่อขนาน ความต้านทาน L  jRL  jL ก็ควรจะใช้ได้ และกฎการรวมความต้านทานแบบ
ขนานในรปู

1 1 1 1 1 ก็ควรจะได้ใชด้ ว้ ย
L R jL
P R

และความต้านทานรวม RL แบบขนานกจ็ ะได้เปน็ 1  1 1   1 2
R2  L 
RP P

__________________________________________________________________________________

164

ตวั อย่างที่ 5.6 จากวงจรดังรปู 5.17 ขนานของความตา้ นทานเชงิ ซ้อน และ ฟงั ก์ชันแรงดันรวม และแรงดันรวม
แบบเฉลีย่ อาร์เอ็มเอส

รูป 5.17 สาหรบั ตัวอยา่ ง 5.6

วิธที า จะขอแสดงวิธแี บบย่อเพื่อไปใหถ้ งึ คาตอบ

ขนั้ ตอน 1: คานวณความตา้ นทานเชงิ ประจุและความต้านทานเชิงเหน่ียวนา ซง่ึ จะได้

และ 1
50 106
   RL  400 250103
 100  RC  400  50 

ขั้นตอน 2: วาดรูป 5.17 ใหม่ แคค่ ราวน้ีใหร้ ะบุความตา้ นทานเป็นเปน็ จานวณเชิงซอ้ น ไดด้ ังน้ี

รูป 5.18 คือสว่ นของวงจรตามรูป 5.16 ท่รี ะบุความต้านทานแบบจานวนเชิงซ้อน

ข้นั ตอน 3: รวมความต้านทานเชิงซอ้ นแบบอนกุ รม จะไดว้ ่า

S  R  L  C  35 100 j  50 j  35  50 j 

ขนาดความต้านทานเชงิ ซ้อนคอื RZS  352  502  61  ตอบ
และ S อยูใ่ นควอแดรนท์ที่ 1 จงึ หามุมไดเ้ ปน็ 59.7

ขั้นตอน 4: หาแรงดันรวมสูงสดุ จากกฎของโอห์มและขนาดความต้านทานเชงิ ซ้อน

165

VmS  0.261 12.2 V จงึ ได้ Vrms S  12.2  8.63 V ตอบ
2

ดงั น้นั vS t 12.2sin 400t 84  59.7  12.2sin 400t 143.7  V ตอบ

ถ้าคิดต่อ: ขอเชิญชวนให้ทาข้อน้ีซ้าอีกครั้ง โดยเปล่ียนจากการต่ออนุกรมเป็นการต่อขนาน และสิ่งที่จะหาคือ
แรงดันสาหรบั ชุดขนาน

__________________________________________________________________________________

ตวั อย่างท่ี 5.7 จากวงจรดังรปู 5.19 จงคานวณหาฟังกช์ นั กระแส iT t i1 t และ i2 t

รปู 5.19 แสดงวงจร
สาหรบั ตวั อยา่ งที่ 5.7

วธิ ีทา

ขั้นตอน 1: แหล่งจ่ายไฟแรงดันบอกถึง Vrms  32 V ดังน้ัน Vm  45.3 V ความถี่รู้ว่า f  250 /  Hz
ความถี่มุมจึงเป็น   500 rad/s จากนน้ั คานวณความตา้ นทานเชิงประจุและความตา้ นทานเชิงเหนี่ยวนา ซง่ึ จะ
ได้คา่ ว่า

1
50 106
    RL160mH  500 160103
 80  RC 50μF  500  40 

1
200 106
 และ
RC 200μF  500  10 

ขัน้ ตอน 2: วาดรปู 5.19 ใหม่ แค่คราวนใ้ี หร้ ะบุความต้านทานเป็นเป็นจานวณเชิงซอ้ น ไดด้ ังรปู 5.20

166

รูป 5.20 แสดงวงจร
ของรปู 5.19 ในแบบ
จานวนเชงิ ซ้อน

ขนั้ ตอน 3: คานวณความตา้ นทานชดุ ขนาน P โดย

1 1 1   1  1  1    1  1 ดงั นน้ั P  80 j
80 j 40 j  80 40  j  80  j
P

ขั้นตอน 4: คานวณความตา้ นทานรวมท่ีประกอบดว้ ย R80 P และ C200μF จะได้

T  80 90 j  อยู่ในควอแดรนท์ทีส่ ี่

ซงึ่ จะได้ขนาดความต้านทานเชิงซอ้ นเปน็ RZT 120.4  และมุม   360  48.4  331.6

ดงั นัน้ ความต้านทานจะเขยี นในรูปเชงิ ขว้ั เป็น T 120.4e j331.6 

ขน้ั ตอน 5: เราจะคานวณหาจานวนเชิงซ้อน T

T  Vme j500t  0.38e j500t331.6 A
T 120.4e j331.6

ปรับให้อย่ใู นรูป a  bj

   T  0.38 cos 500t  331.6  j sin 500t  331.6  A

ดังน้นั iT t  0.38sin 500t 331.6  A ตอบ

ข้ันตอน 6: ถัดไปจะเป็นการคานวณการแบ่งกระแส ให้เร่ิมจากคานวณหาแรงดันท่ีตกคร่อมชุดขนาน P โดย
P  T P จากนน้ั กระแสทแ่ี บง่ คอื

167

1  P  T P  T 80 j    T

80 j 80 j 80 j

ดังนัน้    1  0.38 cos 500t  331.6  j sin 500t  331.6  A

ซง่ึ จรงิ ๆ แล้วกส็ ามารถตอบได้ แต่มีความนิยมท่ีจะไม่เกบ็ เคร่ืองหมายลบไวด้ ้านหน้า จึงใชเ้ อกลักษณ์ตรีโกณที่วา่

cos 180   cos  และ sin  180   sin  

ดงั นั้น    1  0.38 cos 500t  331.6 180  j sin 500t  331.6 180  A
เทา่ กับ    1  0.38 cos 500t 151.6  j sin 500t 151.6  A

จึงไดฟ้ งั กช์ นั กระแส i1 t  0.38sin 500t 151.6  A ตอบ

และกระแสอีกทางหนึ่งคอื 2  P j  T j  80 j  2 T

40 40

ดังนั้น    2  0.76 cos 500t  331.6  j sin 500t  331.6  A

จงึ ไดฟ้ งั ก์ชนั กระแส i2 t  0.76sin 500t 331.6  A ตอบ

__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างที่ 5.8 จากวงจรดังรูป 5.21 จงหาฟังก์ชันกระแสในทุก
เส้นทาง และจงหาฟังก์ชันแรงดันที่ตกคร่อมอุปกรณ์ชุดขนานและ
ท่ตี ัวต้านทาน 15 

วิธที า รปู 5.21 แสดงวงจรสาหรบั ตัวอย่างที่ 5.8

ขั้นตอน 1: โจทย์ข้อน้ีไดก้ าหนดความต้านทานเชิงประจุมาให้แล้ว
จงึ ทาการเขยี นวงจรในรูปจานวนเชงิ ซ้อนได้เลย ไดด้ งั รปู 5.21

168

รูป 5.22 แสดงวงจร
ของรปู 5.21 ในแบบ
จานวนเชิงซอ้ น

ขนั้ ตอน 2: ความต้านทานในชุดขนานคือ

1  1  1  5 j  3 หรือกค็ อื P  150 j j  3  5 j   22.1  13.2 j
3  5  3  5 j 
P 30 50 j 150 j  

และความตา้ นทานรวมคอื T  37.113.2 j อย่ใู นควอแดรนทท์ ่ี 4

หาขนาดความต้านทานและมมุ ได้เป็น RZT  39.4  และ   360 19.6  340.4

ดงั นน้ั T  39.4e j340.4 

กอ่ นทจี่ ะไปขั้นตอนท่ี 3 จะใชว้ ธิ เี ดียวกนั เพื่อเขยี น P  25.4e j329.2  เก็บเอาไว้

ข้ันตอน 3: เขียนแรงดันรวมได้ในรูป  23.5e j 200t60  แลว้ คานวณหากระแสรวมในวงจร โดย

T P  23.5e j 200t60   0.6e j 200t400.4  A
T 39.4e j340.4

ดังน้นั ฟงั ก์ชันกระแสรวมจึงเป็น iT t  0.6sin200t  400.4  A

การตอบแบบน้ีถูกต้อง แต่เราไม่นิยมตอบมุมเกิน 360 จึงใช้เอกลักษณ์ตรีโกณที่ว่า sin 360   sin 

มาช่วยจัดรปู จึงได้เปน็

iT t  0.6sin 200t  40.4  A โดยกระแสนีจ้ ะเทา่ กับกระแสที่ไหลผา่ น 15  ดว้ ย ตอบ

169

ขนั้ ตอน 4: จากกระแสรวม iT t เราสามารถคานวณหาแรงดันทตี่ กคร่อม 15  ไดท้ นั ที คือ

 v15 t  3sin 200t  40.4 V ตอบ

ขนั้ ตอน 5: หาแรงดันที่ตาครอ่ มชดุ ขนาน P  T P  0.6 25.4e j329.2 e j 200t400.4  คานวณไดเ้ ปน็

P  15.2e j 200t71.2  ดงั นั้นฟังกช์ นั แรงดันคอื vP t 15.2sin 200t  71.2  V ตอบ

ขั้นตอน 6: จะทาการแบง่ กระแส โดยการคานวณ

15.2 e j 200t71.2  30  0.51e j200t71.2  A
ซึง่ จะได้30P  30

30

ดังนน้ั ฟังก์ชนั กระแสคอื i30 t  0.51sin 200t  71.2  A ตอบ

และกระแสทีผ่ ่านชุดอนุกรมของ C คือ

 P  15.2  j e j 200t71.2   0.3 je j 200t71.2  ซึง่ ควรตอ้ งเปลีย่ น j  e j90
50 j j
C 50 j

 แทนคา่ ได้ C  0.3e j90 e j 200t71.2   0.3e j 200t18.8  A ดงั น้นั iC t   0.3sin 200t 18.8 A ตอบ

__________________________________________________________________________________

170

สรปุ เนอื้ หาบทท่ี 5

1. ความต้านทานท่ีเป็นจานวนเชิงซ้อนของสามอปุ กรณ์ไดแ้ ก่ R L และ C ก็มีกฎการความความตา้ นทาน
แบบอนกุ รมและแบบขนาน คล้ายกับที่ไดเ้ รยี นมาในบท่ี 1 โดยที่

2. กระแสและแรงดันท่ีเขียนในรูปของจานวนเชิงซ้อน คือ และ ตามลาดับ สามารถใช้กฎของโอห์มได้
โดยตรง คือ 

ถา้ ตอ้ งการฟงั กช์ นั ไซน์ vt คือสว่ นจนิ ตภาพของ และ i t คือส่วนจินตภาพของ

ตารารางดา้ นลา่ งคือบทสรุปการแปลงจากปริมาณไปเป็นปรมิ าณเชงิ ซอ้ นสาหรบั ไฟ AC

ระบบฟังก์ชนั ระบบเชิงซอ้ น

f t   F sin t    Fe jt  F cost    j sin t  
และ f t ส่วนจินตภาพของ หรือ ตาราเล่มอนื่ อาจเขยี น  F

ความต้านทาน R R R

ความต้านทานเชงิ ประจุ j
C
RC  1 (หรอื XC ) C   jRC 
C

ความตา้ นทานเชิงเหนี่ยวนา L  jRL  jL

RL  L (หรอื X L )

ขนาดความตา้ นทานเชงิ ซ้อน อนกุ รม T  1  2  3  ...
RZ  (หรือ Z ) ขนาน 1  1  1  1  ...

T 123

กฏของโอหม์ Vm  ImRZ 
หรอื Vrms  Irms RZ

เปน็ กฎที่ตอ้ งใช้กับค่าสูงสดุ หรือ คา่ อาร์เอม็ เอส และจะใช้
รว่ มกันขนาดความต้านทานเชิงซ้อน

171

3. (อภิปราย) ในบทท่ี 2. 3. และ 4. เรารู้วา่ กฏของโอห์ม กฎกระแสและแรงดันของการต่ออนุกรม กฎกระแสและ
แรงดันของการต่อขนาน มีบทบาทหลักในการพัฒนากระบวนการในกฎของเคอร์ชอฟฟ์ การวิเคราะห์กระแส
เมช และการวิเคราะห์แรงดันโนด ในระบบไฟ AC เราก็มีกฎทั้งสามน้ีเช่นกัน ในรูปของปริมาณที่เป็นจานวน
เชิงซ้อน นี่ควรหมายความว่า เราสามารถมีกฎของเคอร์ชอฟฟ์ การวิเคราะห์กระแสเมช และการวิเคราะห์
แรงดันโนด ถา้ ปริมาณทุกอย่างถูกเขยี นเป็นจานวนเชิงซอ้ น อยา่ งไรกต็ าม เอกสารฯเล่มนี้จะยังไม่ขอลงลึกไปถึง
การคานวณด้วยวิธีเหล่าน้นั

__________________________________________________________________________________

172

แบบฝกึ หดั ทา้ ยบทท่ี 5

5.1. หากมีปริมาณหน่ึงในระบบไฟฟ้ากระแสสลับที่เขียนในรูป f t  F cost จงพิสูจน์ว่าค่าเฉล่ียของ f
เปน็ 0 และคา่ รากของกาลงั สองเฉลี่ยคือ F

2

5.2. จากวงจร RLC ท่ีต่ออนุกรมกันดังรูป EX 5.1 กาหนดให้แหล่งจ่าย
แรงดนั AC จ่ายแรงดนั เป็นฟังก์ชนั

VS t  30sin 5t  30  V รูป EX 5.1 สาหรบั แบบฝกึ หดั ขอ้ 5.2

จงหาฟังก์ชันกระแสรวม ฟังก์ชันแรงดันที่อุปกรณ์ทุกตัว และแรงดัน
เฉล่ียอารเ์ อ็มเอสท่ีอุปกรณ์ทกุ ตวั

5.3. จากวงจร RLC ท่ีต่ออนุกรมกันดังรูป EX 5.1 กาหนดให้ รูป EX 5.2 สาหรับแบบฝกึ หัดขอ้ 5.3
แหล่งจา่ ยแรงดนั AC จา่ ยแรงดนั เป็นฟังก์ชัน

VS  20sin t  Volt

จงหากระแสที่ไหลผ่านก่ิงท้ังสองกิ่งท่ีอยู่ในชุดขนาน และ
จงหาฟงั กช์ นั แรงดนั ทตี่ าครอ่ มตวั เก็บประจุ

5.4. จากรูปวงจร EX 5.3 จงหาฟังก์ชันกระแส it และฟงั กช์ นั รปู EX 5.3 สาหรบั แบบฝกึ หัดขอ้ 5.4
vL t ท่ีตัวเหนี่ยวนา ถ้าแหล่งจ่ายกระแสในวงจรคือ
แหล่งจา่ ยกระแสแบบ AC ที่มฟี ังกช์ นั กระแสเป็น

iS t  6sin t  65  mA

173
5.5. พิจารณาวงจรขนานของอุปกรณ์ไม่ทราบชนิดสามตัวชื่อ A B และ C ต่อขนานกัน ถ้าพบว่ากระแสที่ไหลผ่าน

อุปกรณ์ A คือ iA  0.25sin 50t 89  A ไหลผ่านอุปกรณ์ B คือ iB  0.42sin 50t 35  Aและ
ไหลผ่านอุปกร์ C คือ iC  0.33sin 50t  90  A จงหาฟงั ก์ชนั กระแสรวม

5.6. ถา้ มีอปุ กรณ์ไมท่ ราบชนิดตอ่ อนุกรมกันดงั รปู EX 5.4 จงหาแรงดันทอ่ี ุปกรณ์ B และ D

รูป EX 5.4 สาหรับ
แบบฝกึ หัดข้อ 5.6

ถ้ากาหนดให้ แรงดนั ของแหลง่ จ่าย แรงดนั ท่อี ปุ กรณ์ A และ แรงดันทอี่ ปุ กรณ์ C ต่างเป็นฟงั ก์ชัน

vt  30sin 100t V vA t  20sin 100t  45  V และ vC t 10sin 100t  63  V

__________________________________________________________________________________