a) ວຽກ_ບ້ານ2 ຜູ_ລະ28ໜ້າ (1)

74

สรปุ เนอื้ หาบทที่ 2
1. กฎของเคอร์ชอฟฟ์ประกอบดว้ ยกฎกระแส KCL และกฎแรงดัน KVL
2. กฎกระแส KCL คือกฎทีม่ าจากกฎการอนุรักษป์ ระจุไฟฟา้ กฎน้คี ือกฎการรวมกระแสที่ปมของวงจร
3. กฎกระแส KVL คือกฎท่ีมาจากกฎการอนุรักษ์พลังงานไฟฟ้า กฎนี้คือกฎการรวมแรงดันที่เส้นทางที่เรียกว่า วง

ปิด ในวงจร
4. กฎของเคอร์ชอฟฟ์จะเป็นวธิ ีท่ีตอ้ งใช้ หากพบวงจรที่มีอุปกรณห์ ลายชิ้นตอ่ ปะปนกัน จนไม่สามารถยุบรวมความ

ต้านทานได้ดว้ ยวิธีตอ่ อนกุ รมหรอื ตอ่ ขนาน
5. ขนั้ ตอนการคานวณวงจร เอกสารฯเลม่ น้ีขอแนะนาใหม้ ขี ้ันตอนดงั ต่อไปนี้

5.1. รวมความต้านทานท่ีสามารถรวมได้
5.2. กาหนดปม กาหนดตัวแปรและทิศการไหลของกระแส กาหนดขัว้ กาหนดวงปิด
5.3. ทีป่ ม เขยี นสมการ KCL ที่วงปิดเขยี นสมการ KVL
5.4. แก้ระบบสมการหาคาตอบ
6. เรามวี ิธีการยุบรวมแหล่งจ่ายไฟ มากวา่ สองเคร่ืองที่ตอ่ แบบอนุกรม หรอื ตอ่ แบบขนานได้ ดใู นหวั ข้อ 2.3
__________________________________________________________________________________

75

แบบฝกึ หดั ทา้ ยบทท่ี 2 จ่าย

2.1 จากรูป EX 2.1 จงหากาลังรวมที่ตัวต้านทานได้รับจากวงจร จงหา vx และค่ากระแสท่ีแหล่งจ่าย
ใหก้ บั วงจร

รูป EX 2.1 สาหรับ
แบบฝกึ หัดข้อ 2.1

2.2 จากรูป EX 2.2 จงหากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานทุกตัว และจงหาว่าแหล่งจ่ายกระแส 0.15 A จ่ายกาลัง
หรอื ใช้กาลงั เปน็ ค่าก่วี ัตต์

รปู EX 2.2 สาหรับ
แบบฝึกหัดขอ้ 2.2

2.3 รูป EX 2.3 แสดงชิ้นสว่ นของวงจรทม่ี ีแหลง่ จา่ ยสามตวั และตัวตา้ นทานสามตัว จงใช้ความรเู้ ร่อื งการแปลงและ
การรวมแหลง่ จ่าย เพื่อแหล่งจา่ ยแรงดันสมมูล และแหล่งจ่ายกระแสสมมูล สาหรับปลาย ab

รปู EX 2.3 สาหรับ
แบบฝึกหัดขอ้ 2.3

__________________________________________________________________________________

76

เอกสารอา้ งอิง

1. ชัญชนา ตงั้ วงศ์ศานต์ และคณะ (2556). ทฤษฎีวงจรไฟฟ้า ภาควงจรกระแสตรง. กรุงเทพฯ: สานกั พมิ พแ์ ห่ง
จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย

2. Raymond A. Serwey, Chris Vuille (2012). College Physics. (9th ed), China: China Tranlsation &
Printing Services Limited.

3. Halliday & Resnick (2014). FUNDAMENTAL OF PHYSICS. (10th ed), United States of America:
Walker, Jearl.

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 3

รายวชิ า การวเิ คราะหว์ งจรไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์เบื้องต้น
Circuit Analysis and Introduction to Electronics

หวั ขอ้ เนอ้ื หา
3.1. การวเิ คราะห์วงจรไฟฟา้ ด้วยเทคนคิ กา้ วหน้า
3.2. กฎของเคอร์ชอฟฟใ์ หส้ มการซ้าซ้อนไดอ้ ยา่ งไร
3.3. หลักการของการวเิ คราะห์กระแสเมช
3.4. วิธกี ารเขยี นสมการ KVL ส้าหรับเมช

3.4.1. กรณตี วั ต้านทานถกู ผา่ นด้วย 1 เมช
3.4.2. กรณีแหล่งจ่ายอสิ ระ (อดุ มคติ) ผ่านดว้ ย 1 เมช
3.4.3. กรณีตัวต้านทานผ่านดว้ ย 2 เมช
3.4.4. แหลง่ จา่ ยอิสระ (อุดมคต)ิ ผา่ นดว้ ย 2 เมช

วตั ถุประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
เม่อื ส้นิ สดุ การเรียนการสอน ผเู้ รียนสามารถ
1. แกป้ ญั หาวงจรตัวตา้ นทานที่ซบั ซ้อนด้วยการวิเคราะห์กระแสเมช
2. ใชก้ ฎของคราเมอร์แก้ระบบสมการ

วธิ ีสอนและกจิ กรรมการเรยี นการสอนประจาบท
1. บรรยายเนือ้ หาทางฟสิ ิกส์
2. แสดงการคา้ นวณตวั อยา่ ง
3. ใหน้ กั ศึกษาฝึกแบบฝึกหดั ในห้องเรยี น
4. ร่วมอภิปรายฝึกแบบฝกึ หดั ทน่ี กั ศกึ ษาได้ท้า
5. ซักถามในชน้ั เรยี น และ ผู้สอนสรปุ เน้อื หา
6. นักศกึ ษาถามข้อสงสยั

สอื่ การเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนวิชาอิเลก็ ทรอนิกส์
2. ทฤษฎกี ารวเิ คราะห์วงจรไฟฟ้า
3. ตวั อย่างจากหนังสือหรอื ต้าราเล่มอนื่ ๆ

78

การวัดผลและการประเมนิ ผล
1. ระยะเวลาทนี่ ักศึกษาท้าแบบฝึกหัดในหอ้ งเรยี น
2. การบวนการทา้ แบบฝกึ หัดของนกั ศกึ ษา
3. การซกั ถามในช้นั เรียน
4. ประเมินจากการสอบ

79

บทที่ 3 การวิเคราะหก์ ระแสเมช

3.1. การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าดว้ ยเทคนคิ ก้าวหน้า

ในบทที่ 2 เราได้ศึกษากฎของเคอร์ชอฟฟ์ ซ่ึงเป็นกฎที่ส้าคัญในทฤษฎีวงจรไฟฟ้า เพราะเป็นกฎที่ช่วยให้
เราสามารถเขียนสมการเพื่อค้านวณหาสิ่งต่างๆ ที่ต้องการในวงจรไฟฟ้าได้ การแก้ปัญหาส้าหรับวงจรไฟฟ้าหนึ่ง
วงจร กค็ ือการท่ีตอ้ งแก้สมการเพอื่ หาค้าตอบ n ตวั แปร ซึ่งตอ้ งใช้อย่างน้อย n สมการ แต่กฎของเคอร์ชอฟฟ์ ท้ัง
KCL และ KVL มกั จะใหส้ มการมากกวา่ n แตม่ ีหลายสมการท่ซี ้าซ้อนกัน และไมก่ อ่ ประโยชน์ในการแก้สมการ ย่งิ
วงจรไฟฟา้ ทมี่ คี วามซบั ซอ้ น สมการทีไ่ ม่กอ่ ประโยชน์กจ็ ะมจี า้ นวณมากขึ้นตามไปด้วย

เพื่อท่ีจะลดจ้านวนสมการลงให้เหลือเพียงสมการท่ีจ้าเป็นหรือสมการท่ีมีประโยชน์ต่อการแก้ค้าตอบ n
ตัวแปร จึงได้มีการศึกษาในหัวข้อ ท่ีผมขอเรียกว่า การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าด้วยเทคนิคก้าวหน้า ซึ่งผมรู้จักอยู่สอง
เทคนิคหลักๆ คือ การวิเคราะห์กระแสเมช (mesh current analysis) และ การวิเคราะห์แรงดันโนด (node
voltage analysis) ในบทที่ 3 จะเป็นการศึกษาการวิเคราะห์กระแสเมชก่อน และในบทท่ี 4 จะเปน็ การวิเคราะห์
แรงดนั โนด

3.2. กฎของเคอร์ชอฟฟ์ใหส้ มการซา้ ซ้อนได้อย่างไร

พจิ ารณาวงจรดงั รูป 3.1 (รูปเดียวกันกับรูป 2.3) ถ้าโจทย์ให้ค้านวณหาค่ากระแสที่ไหลในทุกๆ ก่ิง จาก
รูป วงจรนี้มีท้ังสิ้น 6 กิ่ง กล่าวหยาบๆ นั้นคือมี 6 ตัวแปรที่ต้องแก้ การใช้กฎของเคอร์ชอฟฟ์คือการเขียนสมการ
KCL จากปม และ KVL จากวงปดิ วงจรน้ีมปี มอยูส่ ามปมและมีวงปิดท่เี ป็นไปไดอ้ ยู่ถงึ หกวงเปดิ

รูป 3.1 เป็นวงจรที่
มี 4 ปม และมีวง
ปิด 6 วงปดิ

แต่ละปม แต่ละวงปิด ต่างให้สมการ 1 สมการ นั้นคือเรามีสมการรวมกัน 10 สมการ หมายความว่า อย่างน้อย 4
สมการคือสมการที่ซ้าซ้อนและไม่ก่อประโยชน์ต่อการแก้สมการ การเลือก 6 สมการที่มีประโยชน์ออกมาจาก 10
สมการ ฟังดูเหมือนเปน็ การเส่ยื งดวงมากกวา่ เปน็ การค้านวณในวิชาฟิสิกส์ ตวั อย่างท้ังหลายท่ีผมได้เฉลยในบทท่ี 2
ดูเหมือนไม่ซับซ้อนเกิดไปก็เพราะ วงจรไม่ได้ซับซ้อนมากอยู่แล้ว และการเฉลยที่แสดงก็แสดงวิธีท่ีตรงเข้าหา

80

ค้าตอบมากที่สุดไว้แล้ว ถ้าผู้เรียนลองท้าตัวอย่างแต่ละข้อด้วยตัวเอง ควรมีบ้างที่จะรู้สึกว่า "เราควรใช้ปมไหนดี"
และ "เราควรใชว้ งปดิ ไหนดี วงใหญห่ รือวงเลก็ " และ "เราได้สมการจา้ นวน 4 สมการ ใช้สมการไหนดี"

3.3. หลกั การของการวิเคราะหก์ ระแสเมช

การวเิ คราะห์กระแสเมชจะเป็นวิธที ใ่ี ชก้ ารเขยี นสมการจาก KVL โดยไมใ่ ช่ หรือ หลกี เลยี ง KCL ท้าใหล้ ด
จ้านวนสมการลงไปไดห้ ลายสมการ นอกจากนีว้ งปิดท่จี ะใชเ้ ขียน KVL คอื วงปิดที่เรยี กว่า เมช (mesh)

เมชคือวงปิดในวงจรที่เล็กท่ีสุด ค้าว่าเล็กที่สุดในที่น้ีหมายความว่าจะไม่มีวงปิดใดๆ ท่ีซ้อนอยู่ในเมชอีก
ยอ้ นกลบั มาที่รปู 3.1 อีกคร้งั

วงปดิ a  3  c  6  d  4  b  1  a ไมใ่ ชเ่ มช เพราะวงปิดนสี้ ามารถมีวงปิดอื่น เช่น
วงปดิ a  3  c  5  d  4  b  2  a ซอ้ นอย่ไู ด้

วงปิดทเ่ี ป็นเมชมเี พยี ง 3 วงปดิ คอื

วงปิดแรกคือ a  1  b  2  a เรยี ก เมช 1

วงปดิ ทส่ี องคือ a  3  c  5  d  4  b  2  a เรียก เมช 2

และวงปดิ สุดทา้ ยคือ c  6  d  5  c เรยี ก เมช 3

นอกจากเมชเป็นวงปิดแล้ว ความพิเศษอีกอย่างหนึ่งคือ เมชเป็นตัวแทนของตัวแปรกระแสในวงจรด้วย
เรียกว่ากระแสเมช แตล่ ะเมชก็จะมีกระแสเมช 1 ตัวแปร ดงั น้ัน วงจรในรูป 3.1 ก็จะมกี ระแสเมชสามตวั แปร ไดแ้ ก่
I1 I2 และ I3 โดยที่กระแสเมช I1 จะไหลเฉพาะในเมชที่ 1 เท่านั้น ถือว่าไม่มีส่วนใด I1 ที่จะรั่วไปยังกิ่งอื่น
เช่นเดียวกัน I2 ก็จะไหลเพียงในเส้นทางของเมช 2 เท่านั้น และ I3 ก็ไหลในเมช 3 เท่าน้ัน เราลองเขียนเมชทั้ง
สามลงในรูป 3.1 ผลควรจะได้หน้าตาเหมอื นดัง่ รูป 3.2

รูป 3.2 คือวงจรตามรูป 3.1 ท่ีถูกก้าหนดเม
ชลงไปแล้ว สงเกตุว่าการหมุนวนของเม
ชควรเลือกให้หมุนวนทางเดียวกัน เช่น หมุน
ทวนเขม็ นาฬกิ าทกุ เมช เปน็ ต้น

81

ค่ากระแสไฟฟ้า (ไปจนถึงทิศทางการไหล) มาจากตีความกระแสเมช เช่น อุปกรณ์ 1 จะมีกระแสไหล
ผ่านเท่ากับค่ากระแสเมช I1 ทิศไหลจาก b ไป a อุปกรณ์ 3 และ 4 มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่าน เท่ากับ
ค่ากระแสเมช I2 ในทศิ a ไป c และ b ไป d ตามล้าดบั ส่วนอปุ กรณ์ 6 มกี ระแส I3 ในทศิ c ไป d

ส้าหรับอุปกรณ์ 2 กระแสท่ีไหลผ่านคือการซ้อนทับแบบหักล้างของกระแสเมช I1 และ I2 นั้นคือ
I1  I2 ซึ่งสมมติไว้ก่อนว่าทิศไหล จาก a ไป b (สมมติตามกระแสเมชล้าดับก่อน) ถ้าค่า I1  I2 ผลลบเป็นบวก
กค็ อื ทิศการไหลสทุ ธคิ อื ทิศจาก a ไป b จรงิ ๆ ตามท่ไี ด้สมมตไิ ว้

ในท้านองเดียวกัน ส้าหรับอุปกรณ์ 5 กระแสที่ไหลผ่านคือการซ้อนทับแบบหักล้างของกระแสเมช I2
และ I3 น้นั คอื คา่ กระแส I2  I3 ซึ่งสมมตไิ วก้ อ่ นวา่ ทศิ ไหล จาก c ไป d (สมมติตามกระแสเมชล้าดับกอ่ น) แต่ถ้า
พบวา่ ค่า I2  I3 ผลลบเปน็ ค่าติดลบ น้ันคือ ทิศการไหลสุทธิคือทศิ จาก d ไป c ตรงข้ามกับที่ไดส้ มมติไว้

หมายเหตุ ผมนยิ มต้งั การลบกระแสเมชใหเ้ ป็นล้าดบั กระแสเมชลา้ ดับก่อนเปน็ ตวั ตั้ง ลบด้วย กระแสเมชล้าดับหลงั
เชน่ ผมชอบตง้ั I7  I8 แต่จะหลกี เลี่ยงการตงั้ I8  I7 อย่างไรกต็ าม การตั้งผลลบกเ็ ปน็ การค้านวณทเี่ ลอื กท้าได้

จากที่กล่าวมา นั้นแสดงว่า ในวงจรตามรูป 3.1 ถ้าเรารู้กระแสเมช I1 I2 และ I3 ก็จะสามารถแก้หา
กระแสได้ทุกก่ิง จ้านวนตัวแปรจากเดมิ ที่กล่าวไว้ว่า มี 6 ตัว ลดเหลือตัวแปรเพียง 3 ตวั ซ้าด้วยวงจรมีเมชจ้านวน
3 เมช ซ่ึงได้ 3 สมการ พอดีกับท่ีต้องการ จะเห็นวา่ วิธีคิดแบบการวิเคราะห์กระแสเมชท้าให้วงจรตามรูป 3.1 ลด
จากระบบ 6 ตวั แปร 10 สมการ ไปเปน็ ระบบ 3 ตวั แปร 3 สมการ!!!

หมายเหตุ ข้อจ้ากัดของการวิเคราะห์กระแสเมช คือ ถ้าหากพบวงจรท่ีมีการพันไขว้กันของสายตัวน้า ไม่สามารถ
คลีออกจากกันได้ หรือเรียกวา่ ไม่ใช่วงจรไฟฟ้าชนิดระนาบ (non-planer circuits) วงจรลักษณะน้ีจะไม่มีวงปดิ ท่ี
เมช หรือ ถึงมีเมช ก็มีไม่ครบจ้านวนที่ต้องการ ท้าให้ไม่สามารถใช้วิธีของเมชได้ เราต้องใช้กฎของเคอร์ชอฟฟ์
หรือไม่ก็ใชว้ ธิ กี ารวิเคราะห์แรงดนั โนดแทน อย่างไรก็ตาม วงจรทไ่ี ม่เปน็ ขนิดระนาบจะไม่มใี นเอกสารฯน้ี

3.4. วิธกี ารเขียนสมการ KVL สาหรบั เมช

โดยหลักการ เมชก็คือวงปิด การเขียน KVL ตามเมชก็ใช้แนวคิดเดียวกัน แต่ความพิเศษคือ
เมชจะมีตัวแปรและทิศของกระแสเมชอยู่ในตัวอยู่แล้ว ถัดไปจะเป็นตัวอย่างการแทนค่าแรงดันลงใน

82

KVL เม่ือเมชผ่านอุปกรณ์ในกรณีต่างๆ โดยที่ต่อไปนี้ให้เป็นที่รู้กันว่า เราจะเรียก เมชท่ี n คือเมช

ส้าหรบั กระแสเมช In เสมอ

3.4.1. กรณีตัวตา้ นทานถกู ผา่ นด้วย 1 เมช
พจิ ารณารปู 3.3 รูปน้ีแสดงตัวต้านทาน R ทีม่ เี มชท่ี 1 ผ่านเทา่ น้ัน ให้เราก้าหนดข้ัวในลักษณะท่ีเมชทิศช้ี

เขา้ ทีข่ ว้ั บวกของตวั ตา้ นทาน

รูป 3.3 แสดงตัวตา้ นทานท่ถี ูกเมชผ่าน 1 เมช

จากรูป 3.3 ซา้ ย ตัวตา้ นทานนี้จะใหค้ า่ VR  IR1 เขา้ ไปในสมการ KVL สา้ หรบั เมชที่ 1

3.4.2. กรณแี หล่งจ่ายอสิ ระ (อดุ มคต)ิ ผา่ นด้วย 1 เมช
พจิ ารณารูป 3.4 แสดงตัวตา้ นทานแหลง่ จา่ ยแรงดัน Vs ถกู ผา่ นด้วยเฉพาะเมชที่ 2

รปู 3.4 แสดงแหล่งจ่ายแรงดันถูกเมชผ่าน 1 เมช

ในรปู 3.4 ซา้ ย เมชเขา้ ท่ขี ้ัวลบ ดงั น้ัน แหล่งจา่ ยนีจ้ ะใหค้ า่ Vs เข้าไปในสมการ KVL ส้าหรับเมชที่ 2 และส้าหรบั
รูป ในรูป 3.4 ขวา เมชเข้าที่ขวั้ บวก ท้าให้ แหล่งจ่ายน้ีจะให้คา่ Vs เข้าไปในสมการ KVL ส้าหรับเมชท่ี 2 โดยคา่
Vs มกั จะเปน็ คา่ ที่เรารู้ ดังนัน้ การมคี ่าในลกั ษณะนี้ในสมการ KVL เยอะๆ ถอื ว่าเปน็ เรอ่ื งที่ดี

83

รูป 3.5 คือกรณีที่เมชท่ี 2 ผ่านแหล่งจ่ายกระแส Is เราต้องสมมติค่าแรงดันท่ีตกคร่อมอาจให้เป็นตัวแปร
Vs และข้ัว   ให้กับแหล่งจ่ายกระแสก่อน ฝ่ังของข้ัว สามารถเลือกได้ตามใจขอบ แต่จะขอเลือกโดยสมมติว่า
แหล่งจ่ายนี้จ่ายกา้ ลงั ใหก้ บั วงจรไว้กอ่ น (หากจ้าไมไ่ ด้ ย้อนไปดรู ูป 1.34 ในบทที่ 1) จงึ จะเขียนสมการเมชได้

รูป 3.5 คอื เมชท่ี 2 ผา่ นแหลง่ จา่ ยกระแสทงั้ สองกรณี ในรูปนไ้ี ด้กา้ หนดตัวแปรแรงดนั และขว้ั ไวแ้ ล้ว

ส้าหรับกรณีตามรูป 3.5 ซ้าย KVL ของเมชที่ 2 จะมี Vs ปรากฏอยู่ เพราะเมชเข้าท่ีขั้วลบของ
แหล่งจ่าย ส่วนในกรณีตามรูป 3.5 ขวา KVL ของเมชท่ี 2 จะมี Vs โดยปกติแรงดันท่ีตกคร่อมแหล่งจ่ายกระแส
เช่นตามตวั แปร Vs น้ี มักเป็นตัวแปรทไี่ มร่ คู้ ่า สมการ KVL ท่ีมีตัวแปรแบบนีอ้ าจจะไม่ถกู ใช้

อย่างไรก็ตาม กรณีตามรูป 3.5 จัดว่าเปน็ กรณีที่ดมี าก เพราะเป็นกรณีท่ีจะเฉลยกระแสเมช ในท่ีน้ีคือ I2
ในทันที เพราะเราจะมีสมการชว่ ย

I2  Is ส้าหรบั 3.5 ซ้าย หรอื I2  Is สา้ หรับ 3.5 ขวา (ติดลบเพราะไหลสวนทาง) (3.1)

โดยปกติ Is เป็นปรมิ าณท่ีรคู้ ่า สมการ (3.1) กค็ อื เปน็ สมการทเ่ี ฉลยกระแสเมช I2 นัน้ เอง

หมายเหตุ ถ้ามีแหลง่ จา่ ยควบคมุ ถูกผา่ นดว้ ย 1 เมช วธิ ีท้าก็ใชก้ ารพิจารณาเหมอื นกบั ในหัวข้อน้เี กอื บทุกประการ

หมายเหตุ กรณีแหล่งจ่ายกระแสดังรูป 3.5 ในต้าราเล่มอนื่ ๆ จะถูกพจิ ารณาในหัวข้อ ซุปเปอร์เมช (super mesh)
ซ่ึงจะไม่ขอกล่าวถึงในเอกสารฯเล่มนี้ เพราะผู้เขียนเชื่อว่า การพิจารณาแหล่งจ่ายกระแสในหัวข้อน้ี ร่วมกับการใช้
สมการช่วยที่มีลกั ษณะตามสมการ (3.1) กค็ รอบคลุมเทคนคิ ของซุปเปอร์เมชแลว้

3.4.3. กรณตี ัวตา้ นทานผา่ นด้วย 2 เมช

พิจารณารูป 3.6 รูปน้ีแสดงตัวต้านทาน R ที่มีเมชท่ี 2 ผ่าน ให้เราก้าหนดขั้วในลักษณะที่เมชทิศช้ีเข้าท่ี
ขั้วบวกของตัวต้านทาน การก้าหนดข้ัว ผู้เขียนแนะน้าให้ก้าหนดขั้วในลักษณะที่ เมชในล้าดับก่อนไหลเข้าทาง
ขัว้ บวก สว่ นเมชในลา้ ดับหลัง แมจ้ ะไหลเขา้ ทางข้วั ลบกไ็ มเ่ ป็นไร

84

รูป 3.6 แสดงตวั ต้านทานทถ่ี กู เมชผา่ น 2 เมช

จากรูป 3.6 เมชท่ี 1 คือเมชล้าดับก่อน เมชที่ 3 คือเมชล้าดับหลัง ข้ัว
  ท่ีตัวต้านทานจะเลือกในลักษณะที่ให้เมชล้าดับก่อนไหลเข้าขั้วบวก
กระแสท่ีไหลผา่ นตัวต้านทานคือต้ังว่า

รปู 3.7 คอื ตัวตา้ นทานจากรปู กระแสเมชลาดบั ก่อน ลบ กระแสเมชลาดบั หลงั แลว้ ถือวา่ ผลลบนค้ี ือกระแส
3.6 ท่ีพรอ้ มใสใ่ นสมการ KVL ทไ่ี หลเข้าทางบวก

ขอใหด้ ูรปู 3.7 ประกอบด้วย

ดังน้ัน ส้าหรับเมชที่ 1 ตัวต้านทานน้ีจะให้ VR  I1  I3  R และส้าหรับเมชท่ี 3 ตัวต้านทานน้ีจะให้ค่า
VR  I1  I3  R ท่ีติดลบก็เพราะว่าเมชท่ี 3 มีทิศเข้าหาข้ัวลบ หมายความว่าตัวต้านทานนี้มีส่วนในสมการ
KVL ถงึ สองสมการ

3.4.4. แหล่งจา่ ยอิสระ (อุดมคต)ิ ผา่ นดว้ ย 2 เมช
สา้ หรับกรณีของแหลง่ จ่ายแรงดัน Vs ถกู ผ่านดว้ ยเมชที่ 2 และเมชที่ 4 ตามรูป 3.8

รูป 3.8 คือแสดงแหล่งจ่ายแรงดัน
ท่ีผา่ นโดยเมชที่ 2 และเมชท่ี 4

แม้จะมีสองเมชผ่านแหล่งจ่ายแรงดัน แต่ก็เป็นกรณีท่ีตรงไปตรงมา คือ KVL ส้าหรับสมการเมชท่ี 2 จะมี
Vs สว่ นสมการของเมชท่ี 4 จะมี Vs โดยปกติเรารคู้ ่า Vs ดงั นั้น กรณตี ามรปู 3.8 จดั วา่ เปน็ กรณที ่ีดี เพราะเรา
เพ่มิ ค่าท่เี รารู้ค่าลงในสมการ KVL ได้สองสมการ

85

ถ้าเป็นกรณีท่ีแหล่งจ่ายกระแส Is ถูกผ่านโดยเมชจ้านวน 2 เมช ดังรูป 3.9 น่ีคือกรณีที่ยากท่ีสุดท่ีจะเจอ
ไดใ้ นการวเิ คราะห์กระแสเมช

รูป 3.9 คือแสดงแหล่งจ่ายกระแสที่ผ่าน
โดยเมชท่ี 2 และเมชที่ 4 ซ่ึงได้กา้ หนดตวั
แปรแรงดันและขัว้ แลว้

ให้เราก้าหนดแรงดันเป็นตัวแปร Vs และก้าหนดขั้ว   ให้เรียบร้อย การเขียนสมการ KVL ส้าหรับเมช
ที่ 2 จะมี Vs ส่วนสมการส้าหรับเมชท่ี 4 จะมี Vs ปรากฏ แต่เพราะว่า เรามักไม่รู้ค่าแรงดันที่ตกคร่อม
แหลง่ จา่ ยกระแส ตัวแปร Vs ในสมการท้ังสองสมการจัดว่าเปน็ อุปสรรค ซึง่ ตอ้ งใช้สองสมการมาชว่ ยกันแก้

อย่างไรก็ตาม หากท้าความเข้าใจทิศทางกระแส่ของรูป 3.7 ก่อน แล้วจึงมาดูรูป 3.9 อกี ครั้ง เราจะพบว่า
รูป 3.9 มีสมการช่วยคือ

I2  I4  Is (3.2)

โดย Is มักเป็นตัวแปรท่ีรู้ค่า ท้าให้สมการลักษณะที่เหมือนกับสมการ (3.2) เป็นตัวช่วยก้าหนดความสัมของ
กระแสเมชสองคา่

หมายเหตุ เช่นกัน กรณีแหล่งจ่ายกระแสดังรูป 3.8 ก็มักจะถูกพิจารณาในหัวข้อ ซุปเปอร์เมช (super mesh) ซ่ึง
จะไมข่ อกลา่ วถงึ ในเอกสารฯเลม่ นี้

__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างที่ 3.1 ตัวอย่างนี้ยังไม่ใช่การแก้วงจรไฟฟ้าจริง
แต่เป็นตัวอย่างที่มีจุดประสงค์ให้เข้าใจหลักการซ้อนทับ
ของกระแสเมชให้มากข้ึน รวมถึงช่วยให้เข้าใจการเขียน
สมการช่วยท่ีมลี กั ษณะเหมือน (3.1) และ (3.2) ดว้ ย

จากรูป 3.10 ถ้ากระแสเมชที่รู้ค่าในตอนน้ีคือ รปู 3.10 แสดงวงจรสา้ หรับตัวอย่าง 3.1
I3  5 mA และ I4  20 mA จงหากระแสเมชท่ี
เหลือ และ จงหากระแสไฟฟ้าท่ไี หลในทกุ ๆ อุปกรณ์

86

วิธีทา

ข้ันตอน 1: หากดเู มชท่ี 2 ให้ดๆี จะเห็นวา่ แหล่งจ่าย 36 mA เป็นทางผ่านของเมชท่ี 2 เท่าน้ัน แตท่ ิศของเมชวน
สวนทางกบั ทศิ กระแสของแหลง่ จ่าย ดงั น้นั เราจึงมีสมการ I2  36 mA ตอบ

ข้ันตอน 2: ดูที่แหล่งจ่ายกระแส 48 mA แหล่งจ่ายนี้มีเมชผ่านสองเส้นทางเหมือนกับกรณีของรูป 3.9 เรา
สามารถตัง้ สมการได้ว่า

I1  I2  48103 แลว้ แทนค่า I2  36 mA จะได้ I1  12 mA ตอบ
ขัน้ ตอน 3: หาคาตอบ ค้านวณหาค่ากระแสทไ่ี หลผา่ นอปุ กรณ์

อุปกรณ์ 1 มกี ระแสเปน็ คา่ เทา่ กบั กระแสเมช I1 นน้ั คอื 12 mA ทิศการไหลคอื b ไป a

อปุ กรณ์ท่ีอยู่ในก่ิง ad (หมายเลข 2 และแหล่งจ่ายกระแส) มีกระแสเป็นค่าเท่ากับกระแสเมช I2 นั้นคือ 36 mA
แต่เน่ืองจากกระแสเมช I2 เป็นค่าติดลบ นั้นคือไหลส่วนทางกับทิศของเมชท่ี 2 ดังน้ันทิศการไหลคือ ทิศการไหล
คือ d ไป a (ไมใ่ ช่ a ไป d)

อุปกรณ์ 3 มีกระแสไหลเปน็ I1  I3 จงึ เป็นค่า 7 mA จาก c ไป b

อปุ กรณ์ 4 มีกระแสไหลเป็น I2  I4 จึงเป็นค่า 16 mA จากรูป 3.7 ทิศ I2  I4 เดิมควรถูกสมมตใิ ห้ไหลตาม
การไหลของเมชล้าดับก่อน นั้นคือเมชท่ี 2 สรุปคือ I2  I4 มีการไหลจาก d ไป c แต่ในที่นี้ผลลบเป็นค่าติดลบ
น้นั คอื ต้องกลบั ทิศเป็น 16 mA ไปลจาก c ไป d

อปุ กรณ์ 5 มีกระแสไหลเท่ากบั I3  5 mA ทศิ e ไป b

แหล่งจ่ายแรงดัน 30 V มีกระแสไหล I3  I4 น้ันคือ
25 mA ทิศตามเมชท่ี 3 คือ c ไป e แสดงว่าแหล่งจ่าย
แรงดนั น้ีดงึ พลงั งานไฟฟา้ ไปใช้

รปู 3.11 สรุปค้าตอบของตวั อยทางที่ 3.1 อาจ และ อุปกรณ์ 6 มีกระแสไหลเท่ากับกระแสเมชท่ี 4 นั้นคือ
ตรวจคา้ ตอบโดยใช้ KCL ทที่ ุกปม I4  20 mA ซ่ึงติดลบ ดังนั้นควรตอบว่า มีกระแสไหล
20 mA ทิศ e ไป d

__________________________________________________________________________________

87

ตวั อย่างท่ี 3.2 จากวงจรดังรปู 3.12 จงหากา้ ลังไฟฟ้าทตวั ต้านทานทกุ ตัวไดร้ ับ

รปู 3.12 สา้ หรบั
ตวั อย่างที่ 3.2

วิธีทา

ข้ันตอน 1: จากรูปจะเห็นว่ามีชุดตัวต้านทาน RP1 ประกอบด้วยตัวต้านทาน 125  325  และ 900  ที่
สามารถยุบได้เป็น RP1  300  และ ชุดตัวต้านทาน RP2 ประกอบด้วย 600  และ 300  ที่สามารถยุบ
ไดเ้ ป็น RP2  200 

ข้ันตอน 2: หลังจากยุบตัวต้านทานแล้ว วงจรจะง่ายลงมาก ให้ก้าหนดเมช (ควรก้าหนดให้วนทางเดียวกัน) และ
ก้าหนดข้ัว โดยข้ัวที่ตวั ต้านทาน 100  จะก้าหนดให้ข้ัวบวกอยู่ในด้านท่ีเมชท่ี 1 ช้ีเข้าทางข้ัวบวก แต่เมชที่สองชี้
เข้าหาขัว้ ลบ (กลา่ วคือ ให้เมชลา้ ดบั ก่อนเข้าดา้ นขว้ั บวกกอ่ นเสมอ) ผลจะได้เป็นดังรูป 3.13

รูป 3.13 คือวงจรในรูป 3.12 ที่ยุบ
ความต้านทานในกิ่งท่ียุบได้ พร้อม
ก้าหนดทั้งขั้วและเมชแล้ว

ขั้นตอน 3: เขียนสมการ KVL ดงั นี้

เมชท่ี 1 ได้สมการ 26  300I1 100I1  I2   0 แล้วจัดรปู ไดเ้ ปน็

200I1  50I2  13 (3.3)

เมชท่ี 2 ได้สมการ 12 100I1  I2   200I2  0 แลว้ จดั รปู ไดเ้ ปน็

I1  3  75I2 แทนค่าในสมการ (3.3)
25

แล้วจะแก้สมการได้ว่า I2  20 mA กระแสเมชติดลบคือกระแสเมชนี้ไหลส่วนทางกับทิศการวนของเมชที่ 2
และ I1  60 mA

88

ข้ันตอน 4: หาคาตอบ จากรูปเราจะเห็นว่า 100  มีกระแสผ่านคือ I1  I2  80 mA น้ันคือกระแส 80 mA
ไหลตามทศิ ของเมชที่ 1 เม่อื รู้กระแสแลว้ กจ็ ะหาก้าลงั ไฟฟา้ ได้ คอื P100  0.64 W

ชุดตัวต้านทาน RP1 มีกระแสไหลคือเป็นค่า 60 mA (ทิศสวนกับเมชท่ี 1) ให้เราแบ่งกระแสเข้าไปที่ชุด
อนกุ รม 125  กับ 325  จะได้กระแสคอื I125  I325  40 mA และ ตวั ทีข่ นาน I900  20 mA ทา้ ให้
เราหาก้าลังไฟฟา้ ของตวั ตา้ นทานในชุดน้ี ไดว้ า่ P125  0.2 W P325  0.52 W และ P900  0.36 W

ส่วนชุดตัวตา้ นทาน RP2 มีกระแสไหลคือ 20 mA (ทิศสวนกับเมชท่ี 2) จึงแบ่งกระแสเข้าไปในชุดขนาน
I600  6.67 mA และ I300  13.33 mA กา้ ลังคิดได้เปน็ P600  0.027 W และ P300  0.53 W
__________________________________________________________________________________

ตวั อยา่ งท่ี 3.3 ท่คี ือโจทยข์ องตัวอยา่ งที่ 2.16ที่เราได้ใช้วธิ ีแปลงวายเป็นเดลต้าและใช้หลกั แหลง่ จา่ ยในการแก้
จากวงจรดังรูป 3.14 จงหากระแสและแรงดันท่ีตัวต้านทาน 100  นอกจากนี้จงหาแรงดันท่ีตกคร่อม

แหล่งจ่ายกระแสท้ังสองตวั

รปู 3.14 ส้าหรับ
ตวั อยา่ งที่ 3.3

วิธีทา
ข้ันตอน 1: ให้ก้าหนดเมช (ควรก้าหนดให้วนทางเดียวกัน และให้ให้เมชล้าดับก่อนเข้าด้านขั้วบวกก่อนเสมอ)
ก้าหนดข้ัว ขั้วท่ีแหล่งจ่ายกระแสจะเลือกโดยสมมติว่าแหล่งจ่ายก้าลังจ่ายพลังงานให้วงจร ขั้วบวกจึงอยู่ที่หัวลูกศร
และก้าหนดตัวแปรแรงดันท่ีแหล่งจ่ายกระแสไว้ด้วย ให้แหล่งจ่าย 0.2 A มีแรงดัน Vs1 และ แหล่งจ่าย 0.5 A
มแี รงดนั Vs2 ผลจะไดเ้ ป็นดงั รูป 3.15

รูป 3.15 คือวงจรตามรูป 3.14 ท่ี
ก้าหนดท้ังข้ัว เมช และตัวแปรแรงดัน
ส้าหรบั แหล่งจ่ายกระแสแลว้

89

ขนั้ ตอน 3: จากหวั ข้อ 3.4.2 ตามรูป 3.5 เราจะมีสมการชว่ ย คือ

I1  0.2 A และ I3  0.5 A (3.4)

ขัน้ ตอน 4: เขยี นสมการ KVL ดงั นี้

เมชท่ี 1 ได้ Vs1  40I1  I3   20I1  I2   0 แทนค่าสมการ (3.4) แล้วจัดรปู เป็น

Vs1  20I2  8  0 (3.5)

เมชท่ี 2 ได้ 100I2  20I1  I2  80I2  I3   0 แทนค่าสมการ (3.4) ซึง่ จะแกไ้ ด้เลยวา่ (3.6)
(3.7)
I2  0.22 A

เมชที่ 3 ได้ Vs2 80I2  I3   40I1  I3   0 แทนค่าสมการ (3.4) แล้วจดั รปู เป็น

Vs2  80I2  52  0

ข้ันตอน 5: หาคาตอบ ค้านวณหาค้าตอบ ตัวตา้ นทาน 100  จะมีกระแสไหลผ่านคือกระแสของเมชท่ี 2 นั้นคือ
มีค่า 0.22 A ทิศไหลในลักษณะท่ีสวนทางกับการวนของเมชที่ 2 และจะท้าให้เราหาแรงดันได้ว่า 22 V ซ่ึงเป็น
คา้ ตอบทคี่ ่อนข้างใกล้เคยี งกับคา้ ตอบของตัวอยา่ งที่ 2.16

หาแรงดัน Vs1 จากสมการที่ (3.5) ท่ีแทนค่าด้วย (3.6) ได้ Vs1  12.4 V แรงดันเป็นค่าติดลบแสดงว่า
ขัว้   ของแหล่งจา่ ยกระแส 0.2 A สลบั กับที่ใหไ้ ว้ในรูป 3.15 นั้นคือแหลง่ จ่ายนี้ใชพ้ ลังงานจากวงจร

หาแรงดัน Vs2 จากสมการท่ี (3.7) ท่ีแทนค่าด้วย (3.6) ได้ Vs2  34.4 V มีขั้ว   ตรงกับที่ให้ไวใ้ นรปู
3.15 นน้ั คอื แหล่งจา่ ยนจ้ี า่ ยพลงั งานให้แกว่ งจร

__________________________________________________________________________________

90

ตัวอย่างท่ี 3.4 จากวงจรดังรูป จงค้านวณหาก้าลังไฟฟ้าของแหล่งจ่ายแรงดันทุกเคร่ือง และจงวิเคราะห์ว่าแหล่ง
แรงดนั ใดที่กา้ ลังจ่ายพลังงาน หรอื แหล่งจา่ ยแรงดันใดท่ีกา้ ลังใชพ้ ลงั งาน

รูป 3.16 ส้าหรับ
ตัวอย่างที่ 3.4

วิธที า
ข้ันตอน 1: ใหก้ ้าหนดเมช กา้ หนดขว้ั ผลจะได้เป็นดังรูป 3.17

รูป 3.17 คือวงจร ที่ก้าหนดท้ังขั้ว (3.8)
และเมชแล้ว (3.9)

ขัน้ ตอน 2: เขยี นสมการ KVL ดังนี้
เมชที่ 1 ได้ 50I1  50 100I1  I3   70  20I1  I2   0 จัดรปู เป็น

17I1  2I2 10I3  2

เมชท่ี 2 ได้ 38 10I2  20I1  I2   50I2  I3   0 จดั รปู เปน็

10I1  45I2  25I3  19

เมชท่ี 3 ได้ 50I2  I3   70 100I1  I3   40I3  22  0 จดั รปู เปน็

91

50I1  25I2  95I3  24 (3.10)

ข้ันตอน 3: สมการ (3.8) (3.9) และ (3.10) เป็นระบบสามสมการสามตัวแปร จะมีวิธีท่ีสะดวกมากคือการใช้ กฎ
ของคราเมอร์ (Cramer's Rule) จะเขยี นระบบสมการทง้ั สามในรปู ของเมทรกิ ซ์

 17 2 10   I1  2 
 45 25   I2  19 
 10     

 50 25 95   I3   24

 17 2 10 
 25 จากนน้ั ค้านวณดเี ทอรม์ ิแนนต์ ได้ว่า
จากสมการเมทรกิ ซ์น้ี จะกา้ หนดให้   10 45

 50 25 95 

det   252907 100 100  900  425  76  251306

 2 2 10 

จากนนั้ ก้าหนด 1  19 45 25 จากน้ันค้านวณดีเทอร์มิแนนต์ ได้วา่

 24 25 95 

det 1 10 855 120  475  1080 125  361  101306

 17 2 10 
 
จากนั้นก้าหนด 2   10 19 25  จากนั้นค้านวณดเี ทอรม์ ิแนนต์ ได้ว่า

 50 24 95 

det 2   56137  500  480  1900  2040  380  55877
ในตอนนเ้ี ราสามารถหาไดแ้ ลว้ สองคา้ ตอบ คอื

I1  det  1  0.4 A และ I2  det  2  0.9 A
det   det  

จะมีเมทริกซ์ 3 แต่จะไม่ขอท้า เราจะหา I3 ด้วยการแทน I1 และ I2 ลงในสมการที่ (3.8) แทน ซึ่งจะแก้ได้ว่า

I3  0.7 A

ข้ันตอน 4: หาคาตอบ จะหากระแสที่ไหลผ่านแหล่งจ่ายก่อน แหล่งจ่ายแรงดัน 50 V มีกระแสไหลผ่าน 0.4 A
ทิศตามเมชที่1 แหล่งจ่าย 70 V มีกระแสไหลผ่าน 0.3 A น้ันคือค่า 0.3 A แต่มีทิศตามเมชที่ 3 แหล่งจ่าย

92

22 V มีกระแสไหล 0.7 A ตามทศิ ของเมชท่ี 3 นัน้ คอื กระแสไหลเขา้ ทางขั้วบวก แสดงวา่ แหล่งจา่ ยนใี้ ชพ้ ลังงาน
และสดุ ท้ายสา้ หรับแหลง่ จา่ ย 38 V มกี ระแส 0.9 A ทิศการไหลตามเมชที่ 2

กา้ ลังค้านวณไดค้ ่าเป็น P50V  20 W P70V  21 W P22V  15.4 W และ P38V  34.2 W
__________________________________________________________________________________
ตัวอยา่ งท่ี 3.5 จากวงจรดงั รูป 3.18 จงหาก้าลังไฟฟ้าท่ีแหลง่ จา่ ยกระแส

รูป 3.18 ส้าหรับ
ตัวอย่างท่ี 3.5

วธิ ีทา

ขั้นตอน 1: ให้ก้าหนดเมช ก้าหนดขั้ว โดยข้ัวท่ีแหล่งจ่ายกระแสจะเลือกให้ขั้วบวกจึงอยู่ท่ีหัวลูกศร และก้าหนดตัว
แปรแรงดนั Vs ผลจะไดเ้ ปน็ ดงั รปู 3.15

รูป 3.19 คือวงจร 3.18 ท่ีก้าหนด
ทั้งข้ัว เมช และตัวแปรแรงดัน
สา้ หรับแหล่งจา่ ยกระแสแล้ว

ขัน้ ตอน 2: ทีแ่ หลง่ จ่ายกระแส จะให้สมการช่วยเป็น I1  I3  0.7 หรอื เขียนเป็น

10I1 10I3  7 (3.11)
(3.12)
ขัน้ ตอน 3: เขยี นสมการ KVL ดงั นี้

เมชท่ี 1 ได้ 14  40I1  I2  Vs  80I1  I3   0 จัดรปู เป็น

120I1  40I2  80I3 Vs  14

93

เมชท่ี 2 ได้ 40I1  I2   80I2 120I2  I3   0 จดั รปู เป็น

I1  6I2  3I3  0 (3.13)

เมชท่ี 3 ได้ 80I1  I3  Vs 120I2  I3   40I3  0 จัดรปู เป็น

80I1 120I2  240I3 Vs  0 (3.14)

สมการ (3.12) และสมการ (3.14) ติดตัวแปร Vs เหมือนกัน ก้าจัดทิ้งได้โดยน้าสองสมการบวกกัน ซึ่งจะ
ได้ผลเป็น

20I1  80I2  80I3  7 (3.15)

ขั้นตอน 4: สมการ (3.12) และสมการ (3.14) เราใช้งานไปแล้ว (แนะน้าให้กากบาทไว้) จะเหลือสมการ (3.11)
(3.13) และ (3.15) เป็นระบบสามสมการสามตัวแปร ทีจ่ ะแกด้ ว้ ยกฎของคราเมอร์ เขยี นระบบสมการเมทริกซ์

10 0 10   I1   7 
    
 1 6 3  I2    0 

 20 80 80   I3   7 

10 0 10
 
จากสมการเมทรกิ ซ์น้ี จะก้าหนดให้   1 6 3  จากนัน้ ค้านวณดีเทอรม์ แิ นนต์ ไดว้ า่
20 80 80

det   200 24  4  6 12  20014

 7 0 10
 
จากนั้นก้าหนด 1   0 6 3  จากนัน้ ค้านวณดเี ทอรม์ แิ นนต์ ได้ว่า

 7 80 80 

det 1  42 80  10  40  4250

10 7 10 
 
จากน้นั กา้ หนด 2   1 0 3  จากนัน้ คา้ นวณดเี ทอร์มิแนนต์ ไดว้ า่

 20 7 80 

det 2   7 60 10  30 80  760

ในตอนน้เี ราสามารถหาได้แลว้ สองคา้ ตอบ คือ

94

det  1  0.75 A และ det  2  0.15 A
I1  det   I2  det  

จะมีเมทริกซ์ 3 แต่จะไม่ขอท้า เราจะหา I3 ด้วยการแทน I1 ลงในสมการท่ี (3.11) แทน ซ่ึงจะแก้ได้ว่า

I3  0.05 A

ขั้นตอน 5: หาคาตอบ การจะหาก้าลังของแหล่งจ่ายกระแส เราจ้าเป็นต้องรู้ค่า Vs ซึ่งแก้ได้จากการแทน
คา่ กระแสเมชลงในสมการ (3.14) ซง่ึ แกไ้ ด้ Vs  66 V ซง่ึ จ่ายพลงั งานใหว้ งจร กา้ ลงั คือ 46.2 W

__________________________________________________________________________________

ตวั อย่างท่ี 3.6 จากรปู 3.20 จงหากา้ ลงั ไฟฟ้ารวมของแหล่งจ่ายไฟทกุ ตวั ในวงจร

รปู 3.20 ส้าหรบั
ตัวอย่างที่ 3.6

วิธีทา

ขน้ั ตอน 1: ใหก้ ้าหนดเมช ก้าหนดข้ัว ขั้วท่ีแหลง่ จ่ายกระแสพรอ้ มระบตุ วั แปร Vs ผลจะได้ดงั รปู 3.21

รปู 3.21 คอื วงจร 3.20 ทีก่ ้าหนด (3.16)
ทั้งข้ัว เมช และตัวแปรแรงดัน
ส้าหรับแหล่งจ่ายกระแสแล้ว

ข้นั ตอน 2: ทแ่ี หล่งจา่ ยกระแส จะใหส้ มการชว่ ยเป็น I2  I1  0.2 หรือเขยี นเปน็

5I1  5I2  1

95

ขัน้ ตอน 3: เขยี นสมการ KVL ดงั น้ี

เมชท่ี 1 ได้ 80  400I1 150I1  I2  Vs 160I1  I3   0 จัดรปู เป็น

2150I1 150I2 1600I3 Vs  80 (3.17)

เมชท่ี 2 ได้ 90  80I2  I3  Vs 150I1  I2  100I2  0 จดั รูปเปน็

150I1  330I2  80I3 Vs  90 (3.18)

จังหวะน้ี กา้ จดั ตัวแปร Vs ทงิ้ ไดโ้ ดยน้าสมการ (3.17) และสมการ (3.18) มาบวกกัน จะได้ผลเป็น

200I1 18I2 168I3  17 (3.19)

เมชท่ี 3 ได้ 1600I1  I3  80I2  I3   2000I3  0 จัดรปู เป็น

20I1  I2  46I3  0 (3.20)

ขั้นตอน 4: สมการ (3.16) (3.19) และ (3.20) เป็นระบบสามสมการสามตัวแปร ที่จะแก้ด้วยกฎของคราเมอร์
เขยี นระบบสมการเมทรกิ ซ์

 5 5 0   I1  1 
    17 
 200 18 168   I 2   

 20 1 46  I3   0 

 5 5 0 
 
จากสมการเมทรกิ ซ์นี้ จะก้าหนดให้   200 18 168  จากนั้นคา้ นวณดเี ทอรม์ ิแนนต์ ได้ว่า

 20 1 46 

det   20 207  840  42  2300  201625

1 5 0 
1  17 
จากน้ันกา้ หนด 18 168  จากนนั้ คา้ นวณดีเทอร์มิแนนต์ ไดว้ ่า

 0 1 46 

det 1  2 414  84 1955  21625

96

 5 1 0 
 
จากนน้ั กา้ หนด 2   200 17 168  จากนน้ั ค้านวณดเี ทอรม์ ิแนนต์ ได้วา่

 20 0 46 

det 2  10 391 336  920  10975
ในตอนน้ีเราสามารถหาได้แลว้ สองคา้ ตอบ คอื

det  1   0.1 A และ det  2   0.3 A
I1  det   I2  det  

แทน I1 และ I2 ลงในสมการท่ี (3.20) แทน ซ่ึงจะแกไ้ ด้วา่ I3  0.05 A

ข้ันตอน 5: หาคาตอบ แหล่งจ่ายแรงดัน 80 V มีกระแสไหลเท่ากับกระแสเมชที่ 1 เข้าท่ีข้ัวลบ คือ 0.1 A จึง
จ่ายก้าลัง P80V  8 W ส่วนแหล่งจ่ายกระแส 90 V มีกระแสไหลเท่ากับกระแสเมชที่ 2 เข้าท่ีข้ัวลบ จ่ายก้าลัง

P80V  27 W

การจะหาก้าลังของแหล่งจ่ายกระแส เราจ้าเป็นต้องรู้ค่า Vs ซ่ึงแก้ได้จากการแทนค่ากระแสเมชลงใน
สมการ (3.18) ซ่ึงแก้ได้ Vs  10 V นั้นคือ ข้ัว   ที่แหล่งจ่ายกระแสต้องสลับกับท่ีได้ให้ไว้ในรูป 3.21 ท้าให้
ตีความวา่ เป็นการใช้ก้าลังคือ 2 W กา้ ลังรวมของแหล่งจ่ายทงั้ สามจึงเปน็ (ให้การจา่ ยก้าลังเปน็ เคร่ืองหมายบวก)

PT  8  27  2  33 W

__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างท่ี 3.7 รูป 3.22 คือวงจรสมมลู ของทรานซิสเตอรช์ นิดก้าลงั ขยายภาคกระแสตรงคอื   80 และแรงดัน
ขา BE ก้าหนดให้เป็น 10 V ดังรูป จงหาค่ากระแส ix IC ท่ีไหลผ่านตัวต้านทาน 50  และ IE ที่ไหลผ่านตัว
ตา้ นทาน 20  และจงหา VCE

รปู 3.22 ส้าหรับ
ตัวอย่างที่ 3.7

97

วิธีทา
ขน้ั ตอน 1: ให้แทนคา่   80 จากนนั้ ก้าหนดเมช กา้ หนดข้วั ขัว้ ท่ีแหล่งจ่ายกระแสพร้อมระบตุ ัวแปร Vs ผลจะ
ไดด้ งั รปู 3.23

รูป 3.23 คือวงจร 3.22 ที่
ก้าหนดท้ังขั้ว เมช และตัวแปร
แรงดันส้าหรับแหล่งจ่ายกระแส
แล้ว

ข้ันตอน 2: จากรูป 3.23 กระแสท่ีโจทย์ถามคือ IC  I1  I3  80ix และ IE  I2  I3 น้ันเองและยังมีสมการ
ชว่ ยอกี หน่งึ สมการ คอื ix  I2  I1 แทนสิ่งนลี้ งใน I1  I3  80ix แลว้ จดั รปู เปน็

81I1  80I2  I3  0 (3.21)

ส่วนแรงดัน VCE กค็ ือแรงดันทีต่ กครอ่ มระหว่างปม C และ E แตถ่ า้ สงั เกตดๆี จะมองออกวา่

VCE  Vs (3.22)

ขั้นตอน 3: เขียนสมการ KVL ดังนี้

เมชท่ี 1 ได้ 2500I1  50I1  I3  Vs 10  0 จัดรูปเป็น

2550I1  50I3 Vs  0 (3.23)

เมชที่ 2 ได้ 2300I2 10  20I2  I3   0 จดั รปู เปน็

232I2  2I3  1 (3.24)

เมชที่ 3 ได้ 30  20I2  I3  Vs  50I1  I3   0 จัดรปู เป็น

50I1  20I2  70I3 Vs  30 (3.25)

กา้ จัดตัวแปร Vs ทง้ิ ได้โดยนา้ สมการ (3.23) บวกกบั สมการ (3.25) จดั รปู เปน็

125I1  I2  I3  1 (3.26)

98

ขั้นตอน 4: สมการ (3.21) (3.24) และ (3.26) เป็นระบบสามสมการสามตัวแปร ที่จะแก้ด้วยกฎของคราเมอร์
เขยี นระบบสมการเมทรกิ ซ์

 81 80 1  I1  0 
 232   I2  1 
 0 2     
125 1
1  I3  1 

 81 80 1
 21 จากนนั้ คา้ นวณดีเทอรม์ แิ นนต์ ไดว้ า่
จากสมการเมทรกิ ซ์น้ี จะกา้ หนดให้   0 232
125 1

det   67630

 0 80 1
 
จากนน้ั ก้าหนด 1   1 232 2  จากน้นั คา้ นวณดีเทอรม์ ิแนนต์ ไดว้ า่

 1 1 1

det  1  473

 81 0 1
 
จากนั้นกา้ หนด 2   0 1 2  จากน้นั คา้ นวณดเี ทอร์มิแนนต์ ไดว้ า่

 125 1 1

det 2   368
ในตอนนเ้ี ราสามารถหาไดแ้ ล้วสองค้าตอบ คอื

det  1  6.99 mA และ det  2  5.44 mA
I1  det   I2  det  

แทน I2 ลงในสมการที่ (3.24) แทน เพื่อแก้ได้วา่ I3  131 mA

ขั้นตอน 5: หาคาตอบ ix 1.55 mA IC 124 mA และ IE 125.55 mA และแทนค่ากระแสเมชลงใน
สมการ (3.23) แก้ได้ Vs  11.27 V เปน็ ค่าตดิ ลบหมายความว่าแหล่งจ่าย มขี ว้ั   ท่สี ลบั กบั ในรปู 3.23
นน้ั คอื เป็นแหลง่ จ่ายท่ดี งึ พลังงานไปใช้

__________________________________________________________________________________

99

ตัวอย่างท่ี 3.8 ข้อนี้อาจจะเป็นข้อแรกที่มีโอกาสได้พบแหล่งจ่าย ในบทของการวิเคราะห์กระแสเมช ดังรูป

3.24 จงหาค่า iy และ vx และจงหาว่า จ่ายแรงดันเท่าใด แหล่งจ่าย จ่ายกระแสเท่าใด และจงหา
แรงดนั ท่ตี ัวต้านทาน 400  และท่ี 800 

รปู 3.24 สา้ หรบั
ตวั อย่างที่ 3.8

วธิ ที า

ขั้นตอน 1: ยุบตัวต้านทานแบบขนานได้ RS 1200  ก้าหนดเมช ก้าหนดขั้ว ข้ัวท่ีแหล่งจ่ายกระแสพร้อมระบุ
ตัวแปร ขอให้ Vs1 คือแรงดนั ของแหล่งจ่าย กระแส และให้ Vs2 คือแรงดันของแหล่งจ่ายกระแส 0.2 A ผล
จะไดด้ ังรูป 3.25

รูป 3.25 คือวงจร 3.24 ท่ี
ก้าหนดท้ังข้ัว เมช และตัวแปร
แรงดันส้าหรับแหล่งจ่ายกระแส
ทงั้ สองเครอื่ งแลว้

ข้ันตอน 2: ข้อนี้ดูยุ่งเหยิงมาก เสมือนเป็นโจทย์ทดสอบความเชาว์ และก็เป็นตัวอย่างท่ีดีที่จะช่วยให้เราฝึกอ่าน
และจัดการกบั สมการช่วยตา่ งๆ ท่สี ามารถมีได้ในวงจร

2.1. ท่แี หลง่ จา่ ย 0.2 A จะใหส้ มการชว่ ย I1  0.2 A (3.27)

2.2. ท่ีแหลง่ จา่ ย เราจะมี 0.02vx  I1  I3 เมอ่ื ใช้ (3.27) กจ็ ะเขียน vx  10  50I3 (3.28)
2.3. ทตี่ ้วตา้ นทาน 600  เราจะเขียนสมการกระแสไดว้ ่า

100

I 600   vx  I1  I2
600

การต้ังผลลบ I1  I2 ก็เพราะได้ถือให้ I600 ไหลเข้าทางขั้วบวกที่โจทย์ก้าหนดให้ จากน้ัน แทน I1  0.2 A
แล้วจัดรูปไดเ้ ป็น

vx  120  600I2 (3.29)
(3.30)
4. และสมการช่วยสดุ ทา้ ย iy  I3  I2 หรอื กค็ ือ iy  I3  0.2
ขน้ั ตอน 3: จัดการกบั สมการช่วย จะแทน vx จาก (3.29) เขา้ ไปใน (3.28) ท้าให้แกไ้ ด้เลยวา่ (3.31)

I2  0.2 A

ขนั้ ตอน 4: เขยี นสมการ KVL ดังนี้

เมชที่ 1 ได้ vx Vs2 VS1  0 จัดรปู เป็น

10  50I3 Vs2 Vs1  0 (คงไม่ได้ใช้สมการน)ี้ (3.32)

เมชท่ี 2 ได้ 300I2  vx  900I2  I3  300iy  0 แทนคา่ (3.28) (3.30) และ (3.31) ท้าใหเ้ ราแก้ได้เลยว่า

I3  0.248 A (3.33)

เมชที่ 3 ได้ 900I2  I3  Vs1 1200I3  0 จัดรูปเปน็

900I2  2100I3 Vs1  0 (คงไมไ่ ดใ้ ช้สมการน้)ี (3.34)

สมการ (3.34) เราสามารถแทนค่าเพื่อหาแรงดัน Vs1 ได้ และส้าหรับสมการ (3.32) ก็สามารถแทนค่าเพื่อหา
แรงดัน Vs2 ได้ แตโ่ จทย์ไมไ่ ด้ถาม (แต่กข็ อให้ผเู้ รยี นลองทา้ ดู)

ข้ันตอน 5: หาคาตอบ ขณะนี้เรารู้กระแสเมช I1  0.2 A I2  0.2 A และ I3  0.248 A เป็นท่ี
เรียบร้อยแล้ว ค้านวณสมการ (3.30) หา iy  0.048 A น้ันคือกระแส iy ไหลกลับด้านกบั ในรูป 3.24 ส่งผลให้
ขว้ั   ทตี่ ว้ ตา้ นทาน 900  ต้องสลบั และ คา้ นวณ (3.28) หา vx  2.4 V

หาแรงดันที่ จ่ายให้วงจรคือ 300iy  14.4 V เป็นค่าติดลบ นั้นคือข้ัว   ของ ต้องสลับ
ดา้ น จากนนั้ หากระแสท่ี จา่ ยใหว้ งจร ซ่งึ คอื 0.02vx  0.048 A

101

ชดุ อนกุ รม RS มีกระแสไหลผา่ นคอื คา่ กระแสเมชที่ 3 คือคา่ 0.248 A ทิศการไหลตรงกันข้ามกบั การวน
ของเมชที่ 3 แรงดันจะหาไดเ้ ป็น V400   99.2 V และ V800   198.4 V
__________________________________________________________________________________

102

สรปุ เน้อื หาบทท่ี 3
1. การวิเคราะหก์ ระแสเมช เป็นเทคนคิ การวเิ คราะห์วงจรแบบก้าวหน้า ท่ตี ่อยอดมาจาก KVL
2. เมชคอื วงปดิ ท่ีเล็กทีส่ ุด จนไมส่ ามารถมวี งปดิ ใดๆ ซ้อนอยภู่ ายในเมชได้อีก
3. การวิเคราะห์กระแสเมชได้เปรียบกว่าการใช้กฎของเคอร์ชอฟฟ์เพราะวิธีนี้ช่วยลดตัวแปรในวงจรลง จนเหลือ

จ้านวนตัวแปรน้อยกวา่ วธิ ีกฎของเคอร์ชอฟฟ์ และยังสร้างสมการได้พอดีกับจ้านวนตวั แปรท่ีต้องการแก้อีกด้วย
คอื จะไมม่ ีสมการมากเกินไปแตไ่ รป้ ระโยชน์ หรือจะไมม่ สี มการน้อยเกินไปจนแกห้ าคา่ ตัวแปรไมไ่ ด้
4. ข้นั ตอนการคา้ นวณวงจรโดยใชก้ ารวิเคราะหก์ ระแสเมช เอกสารฯเลม่ นข้ี อแนะน้าให้มีข้นั ตอนดังตอ่ ไปน้ี
4.1. รวมความตา้ นทานทสี่ ามารถรวมได้
4.2. กา้ หนดเมช ก้าหนดข้ัว
4.3. เขยี นสมการ KVL ที่เมช ดหู วั ขอ้ 3.4 ประกอบ
4.4. แก้ระบบสมการหาคา้ ตอบ
5. ใชก้ ฎของคราเมอร์ชว่ ยแกร้ ะบบสมการได้
__________________________________________________________________________________

103
แบบฝกึ หัดทา้ ยบทท่ี 3
3.1. จงค้านวณหรคา่ กระแสทไ่ี หลทกุ ก่งิ ในวงจรดังรปู EX 3.1 และจงตอบว่า จ่ายแรงดันเปน็ คา่ เทา่ ใด

รปู EX 3.1 ส้าหรบั
แบบฝึกหดั ข้อ 3.1

3.2. จากวงจรตามรปู EX 3.2 จงหากระแสและคา่ ก้าลังไฟฟ้าท่ีตวั ต้านทาน Ra Rb Rc และ Rd ละจงหาแรงดนั
ที่ตกคร่อมแหล่งจ่ายกระแส

รปู EX 3.2 ส้าหรับ
แบบฝกึ หัดข้อ 3.2

3.3. จากวงจรดังรูป EX 3.3 จงหาแรงดันท่ี จ่าย
ให้กับวงจร และจงหาก้าลังไฟฟ้ารวมของแหล่งจ่าย
ทกุ ตวั ในวงจรนี้

รปู EX 3.3 สา้ หรบั แบบฝึกหดั ข้อ 3.3

104

3.4. จากวงจรทก่ี ้าหนดใหใ้ นรปู EX 3.4 จงหาแรงดันที่ตวั ตา้ นทาน แหลง่ จ่ายกระแส และ และจงหา
ค่ากระแสทแี่ หลง่ จา่ ย จ่ายใหว้ งจร

รปู EX 3.4 ส้าหรับ
แบบฝกึ หัดข้อ 3.4

__________________________________________________________________________________

105

เอกสารอา้ งอิง

1. ชัญชนา ตั้งวงศศ์ านต์ และคณะ (2556). ทฤษฎวี งจรไฟฟ้า ภาควงจรกระแสตรง. กรุงเทพฯ: ส้านกั พิมพแ์ หง่
จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลยั

2. เพือ่ ชาติ สขุ เรือน (2013). การวิเคราะหว์ งจรทรานซสิ เตอร์. กรงุ เทพฯ: โอเดียนสโตร์, สนพ.

3. Raymond A. Serwey, Chris Vuille (2012). College Physics. (9th ed), China: China Tranlsation &
Printing Services Limited.

4. Halliday & Resnick (2014). FUNDAMENTAL OF PHYSICS. (10th ed), United States of America:
Walker, Jearl.

106

แผนบริหารการสอนประจาบทท่ี 4

รายวิชา การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกสเ์ บื้องต้น
Circuit Analysis and Introduction to Electronics

หัวข้อเนือ้ หา
4.1. หลกั การของการวิเคราะหแ์ รงดันโนด
4.2. วิธกี ารเขยี นสมการ KCL

4.2.1. สมการ KCL สาหรบั กิง่ ตัวตา้ นทานล้วน
4.2.2. กรณที กี่ งิ่ บางกงิ่ มีแหล่งจา่ ยกระแส (อุดมคติ)
4.2.3. กรณที กี่ ิง่ บางก่งิ มแี หลง่ จ่ายแรงดนั (อุดมคต)ิ
4.2.4. กรณที กี่ ง่ิ บางกง่ิ มีชุดอนุกรมของแหล่งจ่ายแรงดัน (อุดมคติ) และตวั ต้านทาน

วัตถุประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
เมอื่ สน้ิ สุดการเรียนการสอน ผเู้ รียนสามารถ
1. แกป้ ญั หาวงจรตัวต้านทานทซ่ี ับซ้อนดว้ ยการวิเคราะหแ์ รงดันโนด
2. ใช้กฎของคราเมอรแ์ กร้ ะบบสมการ
3. อา่ นและอธบิ ายวงจรอเิ ล็กทรอนกิ สท์ ่ีมกี ราวนไ์ ด้

วิธีสอนและกจิ กรรมการเรียนการสอนประจาบท
1. บรรยายเนือ้ หาทางฟิสกิ ส์
2. แสดงการคานวณตัวอย่าง
3. ใหน้ กั ศึกษาฝึกแบบฝกึ หัดในห้องเรยี น
4. รว่ มอภปิ รายฝึกแบบฝึกหดั ทีน่ กั ศึกษาได้ทา
5. ซกั ถามในชน้ั เรยี น และ ผ้สู อนสรุปเนอื้ หา
6. นักศกึ ษาถามข้อสงสยั

ส่อื การเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนวิชาอเิ ล็กทรอนิกส์
2. ทฤษฎีการวเิ คราะหว์ งจรไฟฟ้า
3. ตวั อย่างจากหนังสอื หรอื ตาราเลม่ อื่นๆ

108

การวดั ผลและการประเมินผล
1. ระยะเวลาที่นักศึกษาทาแบบฝึกหดั ในหอ้ งเรยี น
2. การบวนการทาแบบฝกึ หัดของนกั ศกึ ษา
3. การซกั ถามในชั้นเรียน
4. ประเมินจากการสอบ

109

บทที่ 4 การวเิ คราะห์แรงดันโนด

4.1. หลกั การของการวเิ คราะห์แรงดนั โนด

ในบทที่ 2 และบทท่ี 3 ที่เราไดเ้ รียนการวเิ คราะห์วงจรดว้ ยกฎของเคอร์ชอฟฟแ์ ละวิเคราะห์กระแสเมช ซง่ึ
เป็นวิธีการมุ่งเน้นไปที่กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ หรือ KVL เป็นหลัก สมการสาหรับการคานวณเพ่ือหาคาตอบ
สร้างข้ึนจากวงปดิ หรือเมชในวงจร หลังจากเปลี่ยนตวั แปรแรงดันให้เป็นตัวแปรกระแสด้วยวิธี V  IR (พร้อมท้ัง
วิเคราะห์เคร่ืองหมาย) คาตอบท่เี ป็นผลลพั ธข์ องการคานวณมกั จะอยู่ในรูปของคา่ กระแสตามกงิ่ หรือตามเมช

ในบทท่ี 4 น้ีเป็นการเรียนรู้เทคนิคใหม่ที่เน้นความสนใจไปที่ปมของวงจร แล้วตั้งสมการสาหรับคานวณ
โดยใชก้ ฎกระแสของเคอรช์ อฟ หรือ KCL ตามสมการ

All (4.1)

 In  0
n

คาตอบท่ีได้จากกระบวนการนี้มักจะอยู่ในรูปของปริมาณท่ีเรียกว่า แรงดันโนด (node voltage) แต่ ระวัง! คา
เรียกน้ีอาจทาให้สับสน เพราะ แรงดันโนด สอดคล้องกับปริมาณทางฟิสิกส์คือ ศักย์ไฟฟ้าท่ีโนด ส่วนแรงดันก็คือ
ผลต่างของศักย์ไฟฟ้า (รายละเอียดเพิ่มเติมอยู่ในหัวข้อ 1.1.4) ต่อไปน้ีเอกสารฯนี้จะขอหลีกเลียงการเรียกว่า
แรงดันโนด จะเรียกว่าศักย์ไฟฟ้าท่ีปม หรือศักย์ไฟฟ้าท่ีโนด แทน นอกจากน้ี น้ีสัญลักษณ์ เช่น Va และ Vb จะ
ขอให้หมายถึง ศักยไื ฟฟา้ ที่ปม a และ b ตามลาดบั แรงดนั ระหว่าง Vab สองปมน้อี าจคานวณได้โดย Va Vb

4.2. วิธีการเขียนสมการ KCL

อย่างท่ีได้กล่าวไปคือ วิธีการน้ีเราจะใช้ KCL เป็นหลัก ซ่ึงเป็นสมการที่ตั้งขึ้นจากการพิจารณาปมตา่ งๆ ที่
อยู่ในวงจร โดยปมในท่ีน้ีจะขอหมายถึงปมทีเ่ ปน็ จุดเชอื่ มตอ่ ของสามก่ิงหรือมากกว่าเท่าน้ัน ที่หน่ึงปมจะเขียนได้ 1
สมการ ในวงจรไฟฟ้าท่ีมีอยู่ N เราจะใช้ปมจานวน N 1 ปม เพ่ือเขียนได้ N 1 สมการท่ีไม่ซ้ากัน (อีกหนึ่ง
ปมหนึ่ง เป็นปมสุดท้ายจะให้สมการถือว่าซ้าซ้อนกับสมการอื่น) เราจะใช้อีกหน่ึงปม ที่เป็นปมสุดท้ายในการ
กาหนดให้เป็น จุดต่อสายดิน (ในทางทฤษฎี) หรือ ก็คือ ต่อกราวน์ (ground) ปมท่ีต่อกราวน์น้ีคือปมท่ีศักย์ไฟฟ้า
เปน็ ศูนย์

อย่างไรก็ดี ก่อนท่ีจะไปทาตัวอย่างการวิเคราะห์วงจร จะขอกล่าวถึงวิธีการเขียนสมการ KCL สาหรับปม
ในแบบต่างๆ เริ่มจาก

110

4.2.1. สมการ KCL สาหรับกิง่ ตัวตา้ นทานลว้ น
พจิ ารณาชน้ิ ส่วนดงั รูป 4.1 ซ้าย เราจะมีวธิ ีเขียนสมการ KCL ดงั นี้

รปู 4.1 ซา้ ย แสดงสว่ นของวงจร ท่มี ีสามกง่ิ มาเช่ือมต่อกัน ขวา คือสว่ นของวงจรเดียวกัน ทไ่ี ดก้ าหนดสงิ่ ต่างๆ แลว้ พรอ้ มทจ่ี ะ
เขยี นสมการ KCL

จากรูป 4.1 ซ้าย เราจะเขียนสมการสาหรับปมท่ีเป็นปมเช่ือมต่อของก่ิงความตา้ นทานทั้งสามก่ิง สิ่งที่ต้อง
ทาเป็นลาดับแรกกอ่ นทจี่ ะเขยี นสมการ KCL คือ

1. การกาหนดชื่อปมต่างๆ ที่เกี่ยวข้อง ในท่ีนี้ได้มีการกาหนดช่ือ a b c และ d น้ันคือ ปมที่จะเขียนสมการคือปม
b ทีป่ มใหส้ มมติตัวแปรศกั ย์ไฟฟา้ ไว้ ในทนี่ ้คี ือตวั แปร Va Vb Vc และ Vd

2. ต้องกาหนดหรือสมมติทิศการไหลของกระแส แต่เราจะกาหนดตัวแปรกระแสหรือไม่ก็ได้ แต่ในเบ้ืองต้น ขอ
กาหนดให้เปน็ ตัวแปร I1 I2 และ I3

3. ใส่ขั้ว   ท่ีอุปกรณ์ เพราะว่าตัวต้านทานเป็นอุปกรณ์ท่ีดึงกาลังไฟฟ้าออกจากวงจรเสมอ จึงควรกาหนดให้
ขว้ั บวกคือขัว้ ที่กระแสไหลเข้าหา

เม่ือผ่านข้นั ตอน 1. ถึง 3. นี่แล้วเราควรจะได้รูปท่ีคลา้ ยกบั รูป 4.1 ขวาซ่ึงอยู่ในสภาพท่พี รอ้ มต่อการเขยี น
สมการ KCL ท่ีปม b การเขียนจะใช้ทิศและ (อาจจะ) ใช้ตัวแปรกระแสตามท่ีได้กาหนดไวใ้ นข้อ 2. ในรูป

I1  I2  I3  0 (4.2)

111

จากนัน้ จะทาการเปลีย่ นตัวแปรกระแสเปน็ ตัวแปรศักยท์ ี่ปม ซึง่ กฎของโอหม์ จะถกู ปรบั รูป คอื แรงดันจะถูกเขยี นใน
รูปผลต่างของศักยท์ ่ีปม เช่น แรงดันคร่อมตัวตา้ นทาน R1 คือ Va Vb ซึ่งทาโดย เอาศักย์ของปมที่อยู่ใกล้ขวั้ บวก
ของ R1 เปน็ ตวั ตั้ง ลบด้วยศักย์ของปมท่ีอยู่ใกลข้ ั้วลบ เมอ่ื เราได้แรงดนั น้มี าแล้ว กระแส I1 ท่ีผ่าน R1 จงึ เปน็

I1  Va Vb
R1

สาหรับแรงดันตกคร่อม R2 คือ เอาศักย์ของปมที่อยู่ใกล้ขั้วบวกของ R2 เป็นตัวตั้ง ลบด้วยศักย์ของปมที่อยู่ใกล้
ข้ัวลบของ R2 ดังนัน้ แรงดนั คร่อม R2 จึงเป็น Vb Vc เมอื่ ไดแ้ รงดนั แลว้ กระแสคอื

I2  Vb Vc
R2

และใช้วิธีคดิ เดียวกัน จะได้ I3  Vb Vd
R3

แทนคา่ กระแสท้ังหมดลงในสมการ (4.2) ได้เป็น

Va Vb  Vb Vc  Vb Vd  0 (4.3)
R1 R2 R3

น่ีจึงถือว่าเสร็จในขั้นตอนของการเขียน KCL สาหรับปม b วงจรท่ีมีปมท้ังสิ้น N จะมีสมการลักษณะน้ีอยู่ N 1
สมการ (เพราะเราจะไม่เขียน KCL กับปมที่เป็นกราวน์) ผู้เรียนควรฝึกฝนเพ่ือเขียนสมการ (4.3) ได้โดยที่ไม่ต้อง
เขียนสมการ (4.2) หากฝึกฝนจนชา่ ชองในระดับน้ี กไ็ ม่จาเปน็ ตอ้ งกาหนดตวั แปรกระแส

4.2.2. กรณีท่กี ่งิ บางกิง่ มีแหล่งจ่ายกระแส (อดุ มคติ)

พจิ ารณาชนิ้ สว่ นของวงจรดงั รปู 4.2 ซา้ ย

112

รูป 4.2 ซา้ ย แสดงส่วนของวงจรทีม่ สี ่ีกิง่ มาเชือ่ มต่อกัน ขวา คือสว่ นของวงจรเดียวกัน ท่ีไดก้ าหนดสงิ่ ต่างๆ แลว้ แตข่ อละที่จะใส่ตวั
แปรศกั ยท์ ปี่ ม มิใหร้ ปู เกิดความรก

ส่วนของวงจรคราวน้ีมีส่ีก่ิง หน่ึงในกิ่งเป็นกิ่งของแหล่งจ่ายกระแสท่ีจะจ่ายกระแสออกมาเป็น Is ก่อนท่ี
จะเขียนสมการ KCL ใหท้ าตามขั้นตอน

1. กาหนดช่ือปมเป็น a b c d และ e ปมที่จะเขียนสมการคือปม b สมมติตัวแปรศักย์ไฟฟ้าท่ีปมให้เป็น Va Vb
Vc Vd และ Ve

2. ต้องกาหนดทิศการไหล และตัวแปรกระแสให้เป็น I1 I2 และ I3

3. ใส่ขว้ั   ทีต่ ัวตา้ นทาน โดยให้ข้วั บวกคือขว้ั ทกี่ ระแสไหลเข้า

ผลการกาหนดทง้ั สามขัน้ ตอน ควรได้ในลักษณะของรูป 4.2 ขวา

เขียนสมการ KCL ท่ีปม b โดยเร่ิมจาก Is  I1  I2  I3  0 จากน้ันหาแรงดันควรเป็นดังน้ี ท่ี R1 คือ
Vb Va ที่ R2 คือ Vb Ve และที่ R3 คือ Vc Vb สาหรับ KCL ที่ปม b ที่เรากาลังพิจารณาน้ี ศักย์ปม Vd จะ
ไม่ถูกใชง้ าน แล้วเปลี่ยนตวั แปรกระแสใหเ้ ปน็ ตวั แปรศกั ยท์ ปี่ ม ซงึ่ จะได้

Is  Vb Va  Vb Ve  Vc Vb 0 (4.4)
R1 R2 R3

โดยท่ี Is โดยทวั่ ไปจะเปน็ ตัวทีร่ คู้ ่า นีจ่ ัดวา่ เสรจ็ สาหรบั การเขียนสมการ KCL ทป่ี ม b

4.2.3. กรณีท่กี ิ่งบางกงิ่ มีแหลง่ จา่ ยแรงดนั (อดุ มคติ)
นถี่ ือเปน็ กรณีทมี่ ีความยาก พิจารณาสว่ นของวงจรดงั รปู 4.3

113

รูป 4.3 ซา้ ย แสดงส่วนของวงจรทีม่ ีสามกิ่ง หนง่ึ ก่ิงเปน็ แหล่งจา่ ยแรงดนั ขวา คือสว่ นของวงจรเดียวกัน ที่ไดก้ าหนดส่ิงตา่ งๆ แลว้
แตข่ อละทีจ่ ะใส่ตัวแปรศักย์ทีป่ ม มิใหร้ ปู เกิดความรก

1. กาหนดช่ือปมเป็น a b c และ d ปมท่ีจะเขียนสมการคือปม a สมมติตัวแปรศักย์ไฟฟ้าที่ปมให้เป็น Va Vb Vc
และ Vd

2. ต้องกาหนดทิศการไหล และตัวแปรกระแสให้เป็น I1 I2 และ I3 โดย I3 คือกระแสที่ไหลผ่านแหล่งจ่าย
แรงดนั

3. ใส่ขั้ว   ที่ตวั ต้านทาน ส่วนแหล่งจ่ายแรงดนั ก็ใชข้ ั้ว   ท่ีระบุไว้แล้วในสัญลกั ษณ์ โดยให้ขว้ั บวกคือ
ขั้วท่กี ระแสไหลเขา้

เขียนสมการ KCL ที่ปม b โดยเริ่มจาก I1  I2  I3  0 จากนั้นหาแรงดันควรเป็นดังน้ี ที่ R1 คือ
Vd Va ท่ี R2 คือ Vb Va ส่วนท่ีแหล่งจ่ายแรงดัน เราจะมีสมการ Vs  Vc Va สาหรับ KCL ที่ปม b ท่ีเรา
กาลังพจิ ารณานี้ ศักย์ปม Vd จะไมถ่ กู ใช้งาน แลว้ เปล่ียนตวั แปรกระแสใหเ้ ป็นตัวแปรศักยท์ ี่ปม ซงึ่ จะได้

Vd Va  Vb Va  I3 0 (4.5)
R1 R2

ตัวแปรกระแส I3 เป็นตวั แปรไม่สามารถแทนค่าใดๆ ได้ ในขั้นตอนนี้ สมการที่ตดิ ตวั แปรในลักษณะน้ี ส่วนมากจะ
ไม่ถูกนามาใชใ้ นการคานวณวงจร นอกจากสมการ (4.5) แล้ว เรายังมีอีกสมการท่ีเป็นประโยชน์ (ผู้เขียนชืน่ ชอบที่
จะเรยี กสมการนีว้ ่า สมการช่วย) นน้ั คอื

Vs  Vc Va (4.6)

ซึ่งโดยมาก Vs จะเปน็ ตัวแปรทร่ี ู้คา่ ทาให้สมการ (4.6) จะมีประโยชน์ตรงท่ีช่วยกาหนดความสัมพันธ์ระหวา่ งศกั ย์
ทป่ี ม c และ a

หมายเหตุ ปมท่ีมีแหล่งจ่ายแรงดัน ตาราเล่มอ่นื ๆ จะสอนในลักษณะท่ีใชส้ ิ่งที่เรียกว่า ซุปเปอร์โนด (super node)
อย่างไรก็ดี ผู้เขียนมีความคิดว่า การเขียนสมการท่ี (4.5) และ (4.6) ก็มีความเรียบง่ายในตัวแล้ว และสามารถใช้
คานวณไดไ้ มต่ ่างไปจากการใชซ้ ปุ เปอรโ์ นด ดังนัน้ เอกสารฯน้ีจะขอละการกลา่ วถึงเนอ้ื หาของซุปเปอร์โนด

114

4.2.4. กรณีทกี่ ง่ิ บางกิ่งมีชดุ อนกุ รมของแหล่งจา่ ยแรงดนั (อดุ มคติ) และตวั ตา้ นทาน
นี่คือกรณีท่ีผู้เขียนคิดว่าเป็นหน่ึงในกรณียากที่สุดในเร่ืองของการวิเคราะห์แรงดันโนด (หากไม่นับถึง

อุปกรณไ์ ฟฟา้ ทีซ่ บั ซ้อน หรอื อปุ กรณส์ ารกึ่งตวั นา) ดงั รูป 4.4

รปู 4.4 ซา้ ย แสดงส่วนของวงจรทีม่ ีสามกิ่ง หน่ึงก่ิงเปน็ ชดุ อนกุ รมของแหล่งจา่ ยแรงดนั และตวั ต้านทาน ขวา คือส่วนของวงจร
เดยี วกนั ทีไ่ ด้กาหนดสงิ่ ต่างๆ แลว้ แตข่ อละท่จี ะใส่ตวั แปรศักยท์ ป่ี ม มิใหร้ ูปเกดิ ความรก

จากรูป 4.4 ขวา หากเขียนสมการ KCL ทถ่ี กู ตอ้ ง ควรจะได้

 Vb Va  Vd Vb  I3 0 (4.7)
R1 R2

สมการที่ 4.7 ห้ามแทนค่า I3  Vb Vc  / R3 เพราะแรงดัน Vb Vc ไม่ได้ตกตร่อมแค่ตัวต้านทาน R3 แต่จะ
เปน็ เพยี งผลลบทไี่ มม่ ีความหมาย การพจิ ารณาการส่วนของ I3 จะขอกงิ่ bc ออกมาวเิ คราะหด์ ังรปู 4.5

รปู 4.5 คอื กิ่งของชดุ อนุกรม bc จากสว่ นของวงจรในรปู 4.4

ในรูป 4.5 จะมีการเติมปมพเิ ศษ เป็นปมท่ีเชื่อมตอ่ ระหว่างตวั ต้านทานและแหล่งจ่าย ปมน้ีจะกาหนดให้มี
ศักย์ปม Vx เราจะเห็นวา่ แรงดันที่ตกครอ่ ม R3 คือ Vb Vx และแรงดันที่ตกคร่อมแหล่งจ่ายคอื Vc Vx นั้นคือ
เรามีสมการช่วย (ชว่ั คราว) ว่า

115

I3  Vb Vx และ Vs  Vc Vx ใช้สองสมการน้ีกาจัด Vx ออก จะได้
R3

I3  Vb  Vc  Vs (4.8)
R3

แทนค่าสมการ (4.8) ลงในสมการ (4.7) สมการ KCL สาหรบั ปม b ของรปู 4.4 จึงสรปุ ไดว้ ่า

 Vb Va  Vd Vb  Vb Vc  Vs  0 (4.8)
R1 R2 R3

โดยทั่วไป Vs เป็นปริมาณท่ีรู้ค่า ส่วนสมการ (4.7) ถือเป็นสมการช่วย (ที่ใช้จริง) ที่จะช่วยให้เราสามารถหา
ค่ากระแส I3 ไดใ้ นเวลาหลังจากท่ีเราแกห้ าศักย์ไฟฟ้าปมครบทกุ ตัวแล้ว

หมายเหตุ ในกรณีของรูป 4.4 ตาราเล่มอ่ืนๆ จะสอนในลักษณะที่ใชส้ ่ิงท่ีเรียกวา่ ซุปเปอร์โนด ซ่ึงเอกสารฯเล่มน้ีจะ
ไม่ขอกลา่ วถึง แต่จะใช้วิธกี ารเขียนสมการช่วยจนไดส้ มการ KCL ลักษณะเหมือนสมการ (4.8) แทน

__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างท่ี 4.1 ตวั อย่างน้ียังไม่ใช่การแก้วงจรไฟฟ้าดว้ ยวิธีการวิเคราะห์แรงดันโนด แต่เป็นตัวอย่างท่ีใช้ฝึกฝนการ
คานวณหาแรงดันท่ตี กครอ่ มอปุ กรณจ์ ากการคานวณผลต่างศักย์ไฟฟ้าท่ีปม หากผเู้ รยี นมคี วามคุ้นเคยแล้ว สามารถ
ขา้ มไปดูตวั อยา่ งท่ี 4.2 ไดเ้ ลย

จากรปู 4.6 ทกี่ าหนดศักย์ที่ปม กราวน์ และข้ัว   ไว้ จงหาแรงดนั ท่ีตกครอ่ มอุปกรณ์ไฟฟา้ ทกุ ชน้ิ

รูป 4.6 สาหรับ
ตัวอย่างท่ี 4.1

วิธีทา

ข้ันตอน 1: กาหนดตัวแปร Va Vb ไปจนถึง Vg คือศักย์ไฟฟ้าที่ปม a b จนถึง g ตามลาดับ โจทย์ได้กาหนดค่า
ศักย์ท่ีปมบางปมมาให้ ทาให้ถือว่าเรารู้ค่าตัวแปรบางตัว เช่น Vb  45 V ฯลฯ แต่ก็จะมีบางปมท่ีตอนนี้ยังไม่ได้
ถูกกาหนด เชน่ ปม Vd Ve Vf และ Vg ศักย์ไฟฟา้ สามารถเป็นค่าตดิ ลบได้ เชน่ Va  18 V เป็นตน้

116

ขนั้ ตอน 2: หาคาตอบ แรงดนั ทอี่ ปุ กรณ์ต่างๆ เปน็ ดังนี้
ทอ่ี ุปกรณ์ 1 แรงดนั คอื Vb Va  45 18  63 V
ทีอ่ ปุ กรณ์ 2 แรงดันคอื Vb Vc  45  30 15 V
ท่ีอุปกรณ์ 3 แรงดันคือ Vd Va แต่ปม d คือกราวน์ จะต้องรู้ด้วยตัวเองว่ากราวน์มีศักย์ไฟฟ้า ถูกกาหนดให้เป็น
ศูนย์ หมายความว่า Vd  0 จงึ คานวณว่า ที่อุปกรณ์ 1 แรงดนั เทา่ กับ Vd Va  0 18 18 V
ทอ่ี ุปกรณ์ 4 แรงดนั คือ Vc Vd  30  0  30 V
ท่ีอุปกรณ์ 5 แรงดันคือ Vg Vf ในเบ้ืองตน้ เรายังไม่รู้ค่าศักย์ที่สองปมนี้ แตถ่ ้าดูรูป 4.6 ดีๆ จะเห็นว่า กิ่ง dg ไม่
มีอุปกรณ์อะไรอยู่เลย น้ันคือ ปม d และ ปม g คือปมเดียวกัน ได้ Vg  Vd  0 (และในทานองเดียวกัน
Vc  Ve  30 V ) ในการหาค่าของ Vf จาเป็นต้องใช้สมการช่วยท่ีเขียนจากแหล่งจ่ายแรงดัน 45 V น้ันคือ
สมการ 45 Ve Vf  30 Vf จึงแก้ได้ว่า Vf  15 V จุดน้ีเราจะคานวณได้ว่า ที่อุปกรณ์ 5 แรงดันคือ
0  15 15 V

ถา้ คดิ ต่อ: ใหเ้ ขยี นคา่ แรงดนั ลงในรูป แลว้ ใช้ KVL วา่ เปน็ จริงหรอื ไม่
__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างท่ี 4.2 นถี่ อื ว่าเปน็ ตวั อยา่ งขอ้ แรกที่จะใช้วธิ กี ารวเิ คราะห์แรงดนั โนดในการแกห้ าปริมาณต่างๆ ที่โจทยถาม
จากวงจรดังรูป จงหาค่ากระแสท่ีไหลผ่าน 10  และ 20  และจงหาแรงดันท่ีตกคร่อมแหล่งจ่าย

กระแสทั้งสองตัว (โดยหลักการคือจะใช้วิธีการที่ได้เรียนมาก่อนหน้าน้ีทาก็ได้ แต่โจทย์ในบทน้ีจะทาโดยใช้วิธี
แรงดนั โนด)

รูป 4.7 สาหรับ
ตวั อยา่ งท่ี 4.2

วิธีทา
ขั้นตอน 1: กาหนดปม กาหนดกราวน์ กาหนดทางไหลของกระแส ในขอ้ นีจ้ ะกาหนดตวั แปรกระแสดว้ ย กาหนดข้วั
เมื่อผา่ นขน้ั ตอนน้ี กน็ ่าจะได้วงจรดังรปู 4.8

117

รูป 4.8 คือวงจร
4.7 ท่ีกาหนดส่ิง
ตา่ งๆ แล้ว

ขั้นตอน 2: รูป 4.8 แสดงให้เห็นว่าวงจรน้ีมีปมสองปม คือ a และ b ตัวแปรศักย์ก็จะมี Va และ Vb เมื่อ b ถูก
เลือกให้เป็นกราวน์แล้ว ก็เหลือเพียงปม a เท่าน้ันที่จะต้ังสมการ KCL ซึ่งจะได้ 0.4  I1  0.1 I2  0 จากน้ัน
แปลงตวั แปรกระแสใหเ้ ปน็ ตวั แปรศกั ย์ไฟฟา้

0.3  Va Vb  Va Vb โดย Vb  0 (4.9)
10 20

แกส้ มการได้ Va  2 V

ข้ันตอน 3: หาค่ากระแส I1  2  0 /10  0.2 A ตอบ และ I2  2  0 / 20  0.1 A ตอบ ส่วนแรงดันท่ี
ตกคร่อมแหลง่ จ่ายกระแส 0.4 A คอื Va Vb  2 V ตอบ

ขั้นตอน 4: การหาแรงดันทแี่ หลง่ จ่ายกระแส 0.2 A มคี วามซับซ้อน ต้องขอ
แยกกิ่งน้อี อกมาพิจารณาตา่ งหาก เหมอื นกบั กงิ่ ท่ีอยู่ในรปู 4.5

จากรปู 4.9 แรงดันที่ตวั ตา้ นทาน 50  เขยี นว่า

0.150  Va Vx เมื่อ Va  2 V

แลว้ จะแกไ้ ดว้ า่ Vx  3 V จากนัน้ แรงดันท่ีแหลง่ จา่ ยกระแสในก่งิ น้ีก็คือ รูป 4.9 กง่ิ จากวงจรตามรปู 4.7
Vb Vx  0  3  3 V ตอบ

__________________________________________________________________________________

ตวั อย่างที่ 4.3 จากวงจรในรปู 4.10 จงหาแรงดนั ที่ตกครอ่ มทุกอปุ กรณ์

รปู 4.10 สาหรบั
ตวั อย่างท่ี 4.3

118

วธิ ีทา
ข้นั ตอน 1: กาหนดปม กาหนดกราวน์ กาหนดทางไหลของกระแส กาหนดข้ัว เมือ่ ผ่านขัน้ ตอนนี้ ก็นา่ จะไดว้ งจรดัง
รูป 4.11

รูป 4.11 คือวงจร
4.10 ท่ีกาหนดสิ่ง
ตา่ งๆ แล้ว

ขั้นตอน 2: รูป 4.11 แสดงใหเ้ ห็นว่าวงจรนม้ี ีปมสองปม คอื a b และ c ตัวแปรศักย์ก็ควรมี Va Vb และ Vc ด้วย
โดย Vc  0 V เม่ือ c ถูกเลือกให้เป็นกราวน์แล้ว ก็เหลือเพียงปม a และ b เท่าน้ันที่จะต้ังสมการ KCL ซึ่งจะได้
โจทยข์ ้อน้ีจะเปน็ การตง้ั สมการ KCL โดยไมก่ าหนดตวั แปรกระแส

ท่ปี ม a สมการ คอื 0.31 Va Vc  Va Vb  0 แลว้ จัดรูปได้

20 50

7Va  2Vb  31 (4.10)

ท่ีปม b สมการคือ Va  Vb  Vb  Vc  0.14  0 แล้วจัดรูปได้ Va  6Vb 7 แทนค่าในสมการ (4.10) แล้วจะ
50 10

แก้ไดว้ ่า

Vb  2 V และ Va  5 V (4.11)

ข้ันตอน 3: แรงดันทีต่ ัวต้านทานต่างๆ จึงเป็น

V50  3 V V20  5 V และ V10  2 V ตอบ

__________________________________________________________________________________

119

ตวั อยา่ งที่ 4.4 จากรปู 4.14 จงคานวณหากระแสท่ีไหลผา่ นในทกุ ตวั ตา้ นทาน

รูป 4.12 สาหรับ
ตวั อยา่ งที่ 4.4

วิธีทา
ขัน้ ตอน 1: จากรูป จะเหน็ วา่ มคี วามต้านทานในชุดท่ตี ั้งชอ่ื วา่ RB ประกอบดว้ ยตัวต้านทาน 15  10 k และ
10 k สามารถยบุ ได้ ซ่งึ จะยบุ ได้คา่ RB  20 
ขั้นตอน 2: วาดรูปวงจรใหม่ที่มีการยุบชุด RB กาหนดปม กาหนดกราวน์ กาหนดทางไหลของกระแส กาหนดขั้ว
เม่ือผ่านข้ันตอนนี้ ก็น่าจะได้วงจรดงั รูป 4.13 คนส่วนใหญน่ ิยมใช้ปมล่างสุดเปน็ กราวน์ แต่กราวน์จะถูกเลอื กให้อยู่
ปมไหนกไ็ ด้ ขอ้ นี้ เรามาลองเลอื กปมบนๆ เปน็ กราวนด์ บู ้าง

รูป 4.13 คือวงจร 4.12 ที่ยุบความ
ต้านทานในกิ่งท่ียุบได้ พร้อมท้ัง
กาหนดส่ิงตา่ งๆ แลว้

ขั้นตอน 3: วงจรในตอนนี้เหลือปม b เท่าน้ันท่ีจะเขียนสมการ KCL ซ่ึงได้ แต่ที่ปมนี้มีก่ิงท่ีเป็นแหล่งจ่ายแรงดัน
อนุกรมกันตัวต้านทาน ซึ่งจะต้องใช้หลักการเหมือนในหัวข้อ 4.2.4 เราจะเร่ิมจากเขียนสมการชว่ ยก่อนกาหนดปม
ที่มีศักย์ Vx กระแสที่ผ่านตัวต้านทาน 5  คือ I5  Vb Vx  / 5 และท่ีแหล่งจ่ายแรงดันเราจะเขียนสมการ
วา่ 5  Va Vx เมือ่ ใชส้ มการชว่ ยทั้งสองตวั น้ี เราจะได้

120

I5  Vb  Va 5 (4.12)
5

จดุ น้ี เขยี น KCL ได้วา่  Vb  Va 5 1 Va Vb  0 เม่อื a เปน็ กราวน์ จึงแทน Va  0 แล้วจดั รูปได้
5 20

Vb  8 V (4.13)

ข้ันตอน 4: หาคาตอบ แทนค่าสมการ (4.13) ลงในสมการ (4.12) เราจะแกห้ ากระแส I5  0.6 A ตอบ นน้ั คือ
กระแสไหลกลับขั้วกบั ที่ทศิ ที่เลอื กไวใ้ นรปู 4.13

แก้หากระแสที่ผ่านชุด RB ได้ว่า IRB  0 8  / 5 1.6A หากย้อนกลับไปดูรูป 4.12 ก็จะเห็นวา่

I15  IRB 1.6A และสาหรับตัวต้านทาน 10  ในชุดขนาน เพราะความต้านทานเท่ากัน กระแสแบ่งคนละ
ครงึ่ I10  0.8 A

__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างที่ 4.5 จากรูป 4.14 คือวงจรไฟฟ้าท่ีระบุค่าที่ตัวต้านทานด้วยค่า การนาไฟฟ้า (conductance) ตัวแปร
G มีหนว่ ยเป็นซเี มนส์ สัญลักษณ์ S จงหาคา่ กาลังไฟฟ้าของแหล่งจา่ ยกระแสท้ังสามตวั

รปู 4.14 สาหรับ
ตัวอย่างท่ี 4.5

วธิ ีทา
ข้อน้ีหากใช้การวิธีแปลงแหล่งจายกระแสทางปฏิบัติไปเป็นแหล่งจ่ายแรงดัน เราจะได้เป็นวงจรแหล่งจ่าย

แรงดันสามตัวต่ออนุกรม ซึง่ เป็นวงจรสมมูลที่งา่ ย แตใ่ นท่ีนีจ้ ะแกว้ งจรโดยใช้วิธแี รงดนั โนด
ข้ันตอน 1: กาหนดปม ตั้งปมที่เป็นกราวน์ กาหนดทางไหลของกระแส กาหนดขั้ว เมื่อผ่านขั้นตอนน้ี ก็น่าจะได้
วงจรดงั รปู 4.15

121

รูป 4.15 คือวงจร
4.14 ที่ได้กาหนดสิ่ง
ตา่ งๆ แล้ว

ขั้นตอน 2: เขียน KCL แต่ในโจทย์ข้อน้ีปรับสมการเล็กน้อย โดยใช้ I  GV แทน เพราะ G 1/ R และเป็น
สงิ่ ที่โจทยใ์ หม้ า

ปม a ไดส้ มการ 20103  0.02Va Vc   0.03Vb Va   40103  0 จดั รปู ไดเ้ ปน็

5Va  3Vb  6 (4.13)

ปม b ไดส้ มการ 0.03Vb Va   40103  0.04Vb Vc   420103  0 จัดรูปไดเ้ ป็น

3Va  7Vb  38 (4.14)

ข้ันตอน 3: การแก้ระบบสองสมการสองตัวแปรในข้อน้ีเราจะลองใช้กฎของคราเมอร์ จากสมการ (4.13) และ
(4.14) ให้เขยี นใหม่ในรปู เมทรกิ ซ์คอื

5 3  Va    6 
 7  Vb   38 
 3    

จะมกี ารกาหนดเมทริกซ์   5 3  จากน้นั หาดีเทอรม์ ิแนนต์ det    26
 3 
 7 

กาหนดเมทรกิ ซ์   6 3 จากนัน้ หาดีเทอร์มแิ นนต์ det  1  156
 38 
1  7 

กาหนดเมทรกิ ซ์  5 6 จากนนั้ หาดเี ทอรม์ แิ นนต์ det  2   208
 38 
2  3

หมายเหตุ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ควรต้องมีหน่วยด้วย แต่ในที่นี้ จะขอละการกล่าวถึงหน่วยของ det 
det 1 และ det 2 

det  1  6 V และ Vb  det  2  8 V
Va  det   det  

122

ข้ันตอน 4: หาคาตอบในส่ิงที่โจทย์ถาม แรงดันที่แหล่งจ่าย 20 mA คือ Va Vc  6 V ท่ีแหล่งจ่าย 40 mA
คือ Vb Va  2 V และ ทีแ่ หล่งจ่าย 420 mA คือ Vb Vc  8 V

เมอ่ื ได้ดังนแ้ี ล้ว จะหากาลงั ได้ 120 mW 80 mW และ 3.36 W
__________________________________________________________________________________

ตัวอย่างท่ี 4.6 จากวงจรในรูป 4.16 จงหาแรงดันและกระแสที่ผ่านตัวต้านทาน 300  2.1 k และ
1050 k (จะทาโดยใชว้ ธิ แี รงดันโนด)

รูป 4.16 สาหรับ
ตวั อยา่ งท่ี 4.6

วธิ ที า
ขั้นตอน 1: จากรูป จะเห็นว่ามีความต้านทานในชุดท่ีตั้งช่ือว่า RB ประกอบด้วยตัวต้านทาน 300  2.1 k
และ 1050 k สามารถยบุ ได้ ซึ่งจะยุบไดค้ ่า RB 1000 
ขั้นตอน 2: วาดรูปวงจรใหม่ท่ีมีการยุบชุด RB กาหนดปม กาหนดกราวน์ กาหนดทางไหลของกระแส กาหนดขั้ว
เมอ่ื ผ่านข้ันตอนนี้ ก็น่าจะได้วงจรดงั รปู 4.17

รูป 4.17 คือวงจร 4.16 ท่ียุบความ
ต้านทานในก่ิงที่ยุบได้ พร้อมทั้ง
กาหนดสง่ิ ต่างๆ แลว้

ขั้นตอน 3: ต้ังสมการ KCL

ปม a ตง้ั ได้ 40 103  Vb Va  Va Vd 0 จัดรูปได้เปน็ 3Va  2Vb  40 (4.15)
500 1000 (4.16)

ปม b ตั้งได้ 20 103  Vb Va  Vb Vc 0 จดั รูปไดเ้ ปน็ 3Va  4Vb Vc  30
500 1500

123

ปม c ต้ังได้ Vb Vc   30103  Vc Vd 0 จัดรูปไดเ้ ป็น 2Vb  5Vc  90 (4.17)
1500 1000

ขั้นตอน 4: นี่คือระบบสามสมการสามตัวแปร จะมีวิธีการแก้หาคาตอบท่ีสะดวกมากคือการใช้กฎของคราเมอร์
เขยี นระบบสมการ (4.15) (4.16) และ (4.17) ในรปู ของเมทรกิ ซ์

3 2 0  VV12   40 
 4 1    30 
 3     

 0 2 5 V3   90 

 3 2 0 
 51 แลว้ หา ดเี ทอร์มิแนนต์ ไดว้ า่ det   24
กาหนด   3 4
0 2

 3 2 40
 
เราจะหา Vc จึงกาหนด 3   3 4 30  แล้วหา ดีเทอรม์ แิ นนต์ ไดว้ ่า det  3 1200

 0 2 90 

หาคาตอบ Vc  det  3  1200  50 V (4.18)
det   24

ขน้ั ตอน 5: หาคาตอบ จะเป็นการหาคาตอบในสง่ิ ทโ่ี จทยถาม

แรงดันท่ีตกคร่อมชุด RB คือ VB  Vc Vd  50 V แรงดันตดิ ลบแสดงวา่ ขั้ว (และจะสืบไปถึงทิศการ
ไหลของกระแส) สลบั กบั ท่ีไดเ้ ลือกไว้ในรูป 4.17

ค่ากระแสท่ีไหลผ่าน RB คือ IB  50 /1000  50 mA ค่าติดลบ ตีความว่ากระแสไหลจาก d ไป c
ซึง่ สลับกบั ทิศทไี่ ด้เลอื กไว้ หมายเหตุ ต่อจากนจ้ี ะขอละเครื่องหมายลบท่ีอาจมใี นการคานวณแรงดันและกระแส

หากย้อนกลับไปดูรูป 4.16 ก็น่าจะมองออกได้ไม่ยากว่า กระแส I300  IB  50 mA จากนั้นใช้วิธีแบ่ง
กระแสเพอ่ื หา

I 2.1k  1050  50  16.67 mA และ I 2.1k  2100  50  33.33 mA
2100 1050 2100 1050

 หาแรงดนั V300  50103 300 15 V และ ตอบได้เลยวา่ V21k  V1050  35 V

__________________________________________________________________________________