Model Ekonomi Mikro & Univariat Time Series

MODEL EKONOMI MIKRO &
UNIVARIAT TIME SERIES

Analisis Matematis & Aplikasi Excel/Gretl
YANTO

PENERBIT FEB UNTAN



MODEL EKONOMI MIKRO &
UNIVARIAT TIME SERIES

Analisis Matematis & Aplikasi Excel/Gretl
YANTO

PENERBIT FEB UNTAN

Model Ekonomi Mikro & Univariat Times Series: Analisis Matematis &
Aplikasi Excel/Gretl
Oleh: Yanto, S.E., M.Sc.
Hak Cipta © 2021 pada Penulis
Hak Cipta dilindungi oleh undang-undang. Dilarang memperbanyak
sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, baik secara
elektronik maupun mekanik, termasuk memfotocopi, merekam, atau
dengan menggunakan sistem penyimpanan lainnya, tanpa seijin penulis
dan penerbit.

Penerbit FEB UNTAN
Fakultas Ekonomi dan Bisnis, Universitas Tanjungpura
Jl. Prof. Hadari Nawawi, Pontianak-Kalimantan Barat 78124
Website: http://feb.untan.ac.id
Email: [email protected]
Telp: (0561)785342, 583865

Yanto
Model Ekonomi Mikro & Univariat Times Series: Analisis Matematis
& Aplikasi Excel/Gretl
Pontianak: FEB UNTAN, 2021
v + 124 hlm; 15 x 23 cm
ISBN: 978-602-53460-7-1
1. Ekonomi Mikro 2. Ekonometrika
I. Judul

ii

KATA PENGANTAR DEKAN FEB UNTAN

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Salam sejahtera untuk semua.
Puji syukur ke hadirat Allah SWT karena dengan ridha-Nya saya diberi
kesempatan untuk menyampaikan penilaian saya terhadap buku ini.
Isi buku ini adalah cukup singkat dan sederhana, namun berisikan materi
yang cukup lengkap. Penjelasan singkat pada pendahuluan sangat
memudahkan untuk memahami materi yang akan bahas; sementara
metode cara belajar memberi arahan untuk pemahaman secara bertahap
atau step by step. Oleh karenanya, buku ini dapat menjadi referensi bagi
pembaca yang ingin mempelajari materi pemodelan ekonomi.
Saya berharap, penulisan buku seperti ini dilanjutkan dengan materi yang
lebih kompleks tetapi tetap mempertahankan kesederhanaan tulisan dan
pembahasannya.
Demikian ulasan saya mengenai buku ini, semoga bermanfaat dan menjadi
inspirasi bagi pembaca untuk menciptakan karya bukunya.

Pontianak, Oktober 2021
Dekan FEB UNTAN,

Dr. Barkah, S.E., M.Si.

iii

PRAKATA

Bismillah hirrahmanirrahim. Puji syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan
rahmat dan karunianya-Nya, serta shalawat dan salam kepada Baginda Nabi
beserta keluarga Ahlul Bait nya. Allahumma shalli’ala Muhammad wa’ali
Muhammad.
Buku referensi ini disusun untuk memudahkan pembaca terutama
mahasiswa Jurusan Ilmu Ekonomi untuk mempelajari dan memahami
materi Pemodelan Ekonomi (Economic Modelling). Walupun belum
mencakup model ekonomi secara keseluruhan, buku ini menyajikan
pembahasan teori ekonomi mikro dengan analisis matematis dan
penjelasan mengenai analisis univariat time series dengan menggunakan
aplikasi Excel/Gretl.
Kami menyadari bahwa penyusunan buku ini masih jauh dari sempurna,
untuk itu saran dan kritik adalah sangat diharapkan untuk perbaikan di
masa yang akan datang. Akhir kata, semoga buku ini memberi manfaat
kepada pembacanya.

Pontianak, Oktober 2021
Penulis,

Yanto, S.E., M.Sc.

iv

DAFTAR ISI

COVER................................................................................................... i
KATA PENGANTAR DEKAN FEB UNTAN ................................................. iii
PRAKATA............................................................................................... iv
DAFTAR ISI ............................................................................................ v

BAB 1 OPTIMASI DENGAN KENDALA ........................................... 1
BAB 2 METODE LAGRANGE ......................................................... 9
BAB 3 MODEL PERMINTAAN MARSHALLIAN ............................... 15

BAB 4 MODEL PERMINTAAN HICKSIAN ....................................... 23
BAB 5 MINIMASI BIAYA ............................................................... 31
BAB 6 MAKSIMASI LABA DENGAN KENDALA ............................... 39
BAB 7 MAKSIMASI LABA TANPA KENDALA .................................. 45
BAB 8 DATA TIME SERIES ............................................................ 51
BAB 9 METODE PERAMALAN ...................................................... 57
BAB 10 MAD, MSE, MAPE, MPE .................................................... 67
BAB 11 DEKOMPOSISI ................................................................... 75
BAB 12 PERILAKU DATA TIME SERIES ............................................ 81
BAB 13 MODEL AUTOREGRESSIVE................................................. 87
BAB 14 MODEL ARIMA (BOX-JENKINS).......................................... 99
BAB 15 MODEL ARCH/GARCH ....................................................... 113

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 121
INDEKS.................................................................................................. 123
SINOPSIS

v

HALAMAN KOSONG
vi

BAB 1
OPTIMASI DENGAN KENDALA

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu memodifikasi fungsi kedalam bentuk implisit.
2. Mampu menentukan tidak potong yang menyamakan slope dari fungsi

garis lurus dan garis lengkung.

PENDAHULUAN

Optimasi dengan kendala adalah menentukan sebuah titik potong dari dua
persamaan/fungsi, yaitu misalkan fungsi yang melengkung disinggung oleh
fungsi garis lurus; atau sebaliknya fungsi garis lurus disinggung oleh fungsi
yang melengkung. Dengan kata lain, titik optimum dengan kendala adalah
titik potong yang terjadi ketika dua fungsi tersebut bersinggungan (hanya
memotong pada satu titik saja). Contoh penerapannya dalam teori ekonomi
mikro adalah seperti: antara kurva indiferen dan garis anggaran; atau
antara kurva isoquan dan garis isocost.

Karena sifatnya yang bersinggungan, perlu diketahui bahwa fungsi tersebut
adalah dapat digeser (ke atas atau ke bawah). Dengan kata lain, kita dapat
mengasumsikan bahwa bila fungsi yang melengkung adalah tetap, maka
fungsi garis lurusnya dapat digeser ke atas atau ke bawah agar terjadi
persinggungan tanpa mengubah slope-nya. Atau sebaliknya, bila fungsi
garis lurusnya adalah tetap, maka kita dapat menggeser fungsi lengkungnya
ke atas atau ke bawah agar terjadi persinggungan tanpa merubah slope-
nya. Dengan demikian, konsep persinggungan adalah slope-nya sama,
sementara konstantanya dapat diubah.

CARA BELAJAR

Ada beberapa cara atau metode yang dapat digunakan untuk menentukan
titik persinggungan diantara dua persamaan/fungsi; dimana yang umum
digunakan adalah metode substitusi. Karena konsep persinggungan adalah
memiliki slope yang sama dan konstanta yang dapat diubah, maka adalah
lebih mudah jika fungsinya dimodifikasi dalam bentuk implisit (ruas kiri

Optimasi Dengan Kendala | 1

adalah konstantanya, sementara ruas kanan adalah variabelnya). Adapun
langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
(1) Kedua fungsi tersebut ditulis kedalam bentuk fungsi implisit, kemudian

mengganti nilai konstantanya dengan simbol C untuk fungsi garis
lengkung, dan simbol K untuk fungsi garis lurus.
(2) Menentukan turunan pertama (turunan parsialnya) dari fungsi yang
sudah dalam bentuk implisit, baik terhadap variabel x maupun terhadap
variabel y.
(3) Selanjutnya adalah menyamakan slope-nya, sehingga memperoleh nilai
x tertentu.
(4) Langkah yang terakhir adalah mensubstitusi nilai x tertentu tersebut
kedalam fungsi garis lurus atau fungsi garis lengkung, sehingga diperoleh
nilai y nya atau titik persinggungannya.

Slope Fungsi (Ekplisit  Implisit)
Jika:
= ( )  = ( ; ) = ( ; )
: ℎ ,

= ( )  = ( ; ) = ( ; )
: ℎ ,

maka:
∆ ∆ ⁄∆
∆ = ∆ ⁄∆ =

∆ ⁄∆ / /
: ∆ ⁄∆ = / = / =

∆ ∆ ⁄∆
∆ = ∆ ⁄∆ =

∆ ⁄∆ / /
: ∆ ⁄∆ = / = / =

2 | Optimasi Dengan Kendala

Buktikan bahwa:

∆ ∆
∆ = ∆ =

Jawab:

∆ = ∆ (1⁄∆ ) = ∆ ⁄∆ = 1 (∆ ⁄∆ )
∆ ∆ (1⁄∆ ) ∆ ⁄∆ (∆ ⁄∆ )

1 ∆ ⁄∆ 1 ∆ ∆ 1 1 ∆ ∆ 1
= ∆ ⁄∆ 1 = 1 ∆ ∆ 1 = 1 ∆ ∆ 1

∆ ∆ ∆ ∆ (∆ ⁄∆ )
= ∆ ∆ = ∆ ∆ = (∆ ⁄∆ ) = ;

Contoh:
Diketahui: = − 2 + 5; = −4 + 2
Tentukan titik persinggungannya!

Jawab:
Turunan parsial fungsi C

= − 2 + 5  −5 = − 2 − 

= − 2 −
= 2 − 2
= −1

Turunan parsial fungsi K

= −4 + 2  −2 = −4 − 
= −4 −
= −4
= −1

Slope C = Slope K

=

Optimasi Dengan Kendala | 3

2 − 2 −4
−1 = −1

(2 − 2)(−1) = (−1)(−4)
−2 + 2 = 4
−2 = 4 − 2

(4 − 2)
= −2 = −1
Artinya, slope kedua persamaan tersebut adalah sama ketika x = –1
Bila fungsi C diasumsikan tetap, maka substitusikan nilai x ini ke fungsi C
(yang ekplisit) untuk mendapatkan nilai y –nya:
= −1  = (−1) − 2(−1) + 5 = 8
Jadi titik singgungnya adalah {−1; 8}
Selanjutnya kita dapat menentukan fungsi K yang baru dengan cara
menubstitusikan nilai x dan y:
= −1 ; = 8  = −4(−1) − (8) = −4
Sehingga fungsi garis lurus –nya adalah:
= −4  −4 = −4 −
= −4 + 4

4 | Optimasi Dengan Kendala

Bila fungsi K diasumsikan tetap, maka substitusikan nilai x ini ke fungsi K
(yang ekplisit) untuk mendapatkan nilai y –nya:
= −1  = −4(−1) + 2 = 6
Jadi titik singgungnya adalah {−1; 6}
Selanjutnya kita dapat menentukan fungsi C yang baru dengan cara
mensubstitusikan nilai x dan y:
= −1 ; = 6  = (−1) − 2(−1) − (6) = −3
Jadi fungsi lengkung –nya adalah:
= −3  − 3 = − 2 −
= − 2 + 3

Optimasi Dengan Kendala | 5

KESIMPULAN

1. Titik singgung dari dua buah fungsi (fungsi garis lengkung dan fungsi
garis lurus) dapat diperoleh dengan cara menggeser salah satu fungsi
sehingga terjadi persinggungan atau memotong pada satu titik.

2. Metode substitusi adalah dengan cara menyamakan slope kedua fungsi
implisit tersebut, sehingga diperoleh nilai x tertentu, dan kemudian
mensubstitusi nilai x tersebut untuk mendapatkan nilai y nya.

GLOSARI

Fungsi eksplisit, adalah suatu fungsi atau persamaan yang posisi variabelnya
berada pada ruas yang sama.

Fungsi garis lengkung, adalah fungsi non linear berupa fungsi polinomial
(kuadrat, kubik, double kuadrat), fungsi eksponensial, ataupun fungsi
resiprokal.

Fungsi garis lurus, adalah fungsi linear yang berbentuk garis lurus dari
hubungan variabel x dan y.

6 | Optimasi Dengan Kendala

Fungsi implisit, adalah suatu fungsi atau persamaan yang posisi variabel
terikatnya di ruas kiri, sementara variabel bebasnya berada di ruas
kanan.

Konstanta atau intercept, adalah nilai variabel y di saat x adalah sama
dengan nol.

Metode substitusi, adalah metode yang bila suatu nilai diketahui, maka nilai
tersebut disubstitusikan ke fungsi yang lain untuk mendapatkan nilai
tertentu.

Optimasi dengan kendala, adalah menentukan titik singgung atau titik
potong dari dua atau beberapa fungsi, dengan cara menggeser atau
mengubah konstantanya.

Slope, adalah kemiringan atau lereng suatu fungsi yang dihitung dengan
cara membandingkan perubahan variabel y (y) tehadap perubahan
variabel x (x).

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Fungsi implisit adalah fungsi yang dinyatakan secara tegas.
2. Fungsi implisit adalah fungsi yang dinyatakan secara tidak tegas.
3. Jumlah parameter adalah sama dengan jumlah variabel.
4. Konstanta adalah juga merupakan keofisien suatu fungsi.
5. Koefisien bukan merupakan parameter.
6. Fungsi garis lurus dan garis lengkung akan selalu berpotongan.
7. Slope fungsi garis lurus dan slope fungsi garis lengkung adalah sama.
8. Sebuah fungsi dapat digeser kiri-kanan dengan cara mengganti

parameternya.
9. Sebuah fungsi dapat digeser atas-bawah dengan cara mengganti

parameternya.
10.Suatu fungsi hanya dapat digambar bila paling sedikit memiliki dua

variabel, yaitu: satu variabel terikat (y) dan satu variabel bebas (x).

Pertanyaan Essay
1. Tuliskan contoh fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
2. Gambarkan contoh fungsi garis lurus dan fungsi garis lengkung.

Optimasi Dengan Kendala | 7

HALAMAN KOSONG
8 | Optimasi Dengan Kendala

BAB 2
METODE LAGRANGE

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu menyatukan kedua fungsi menjadi fungsi Lagrangian.
2. Mampu menentukan titik potong dari fungsi optimalnya.

PENDAHULUAN

Sebagai mana metode substitusi, metode Lagrange juga menggunakan
bentuk fungsi implisit. Prinsip metode Lagrange adalah menggabung kedua
persamaan dan menambahkan variabel baru atau pengali Lagrange
(Lagrange multiplier) atau pengali lamda () pada fungsi kendalanya;
sehingga menjadi satu fungsi, yaitu fungsi Lagrangian.

CARA BELAJAR

Untuk metode Lagrange, dapat dilakukan dengan cara, sebagai berikut:
(1) Menggabung dua fungsi menjadi fungsi Lagrangian, yaitu fungsi utama

dan fungsi kendala, dimana fungsi kendalanya dikali dengan lamda .
(2) Menentukan turunan parsial dari fungsi lagrangian-nya, baik terhadap x,

y maupun  (dinotasikan: Lx, Ly, L).
(3) Menentukan titik optimal-nya, yaitu ketika turunan parsialnya sama

dengan nol.
(4) Mensubstitusi ketiga fungsi optimal tersebut secara bertahap, yaitu

subsitusi antara fungsi optimal Lx dan Ly terlebih dahulu sehingga
diperoleh nilai x atau y optimal. Kemudian subtitusikan nilai x atau y
optimal tersebut kedalam fungsi optimal L untuk mencari nilai y atau x
optimal nya.

Metode Lagrange | 9

Jika:
= ( ; ); = ( ; )
: = ; =

maka:
= ( ; ) +  − ( ; ) ;
= ( ; ) +  − ( ; )

Contoh, fungsi C dapat bergeser; fungsi K adalah tetap
: = − 2 − ; : −2 = −4 −

Jawab:
Fungsi Lagrangian
= ( − 2 − ) + (−2 + 4 + )
= ( − 2 − ) + (−2 + 4  + )
= − 2 − − 2 + 4  + 

Turunan parsial
= 2 − 2 + 4
= −1 + 
 = −2 + 4 +

Optimalkan fungsi Lx dan Ly
= 0  0 = 2 − 2 + 4
= 0  0 = −1 + 

Optimalkan fungsi L
 = 0  0 = −2 + 4 +

Substitusikan antara fungsi Lx dan Ly optimal
0 = −1 +    = 1
 = 1  0 = 2 − 2 + 4(1)
0 = 2 − 2 + 4
−2 = −2 + 4

10 | Metode Lagrange

−2 + 4
= −2 = −1

Substitusikan nilai x optimal ke fungsi L optimal
= −1  0 = −2 + 4(−1) +
0 = −2 − 4 +
−y = −2 − 4

−2 − 4
= −1 = 6

Jadi titik singgungnya adalah {−1; 6}

Contoh, fungsi K dapat bergeser; fungsi C adalah tetap
: = −4 − ; : −5 = − 2 −

Jawab:
Fungsi Lagrangian
= (−4 − ) + (−5 − + 2 + )
= (−4 − ) + (−5 −  + 2  + )
= −4 − − 5 −  + 2  + 

Turunan parsial
= −4 − 2  + 2
= −1 + 
 = −5 − + 2 +

Optimalkan fungsi Lx dan Ly
= 0  0 = −4 − 2  + 2
= 0  0 = −1 + 

Optimalkan fungsi L
 = 0  0 = −5 − + 2 +

Substitusikan antara fungsi Lx dan Ly optimal
0 = −1 +    = 1

Metode Lagrange | 11

 = 1  0 = −4 − 2 (1) + 2(1)
0 = −4 − 2 + 2
2 = −4 + 2

−4 + 2
= 2 = −1

Substitusikan nilai x optimal ke fungsi L optimal
= −1  0 = −5 − (−1) + 2(−1) +
0 = −5 − 1 − 2 +
−y = −5 − 1 − 2

−5 − 1 − 2
= −1 = 8

Jadi titik singgungnya adalah {−1; 8}

KESIMPULAN

1. Fungsi Lagrangian adalah fungsi gabungan dari fungsi pokok dan fungsi
kendala; dimana fungsi utamanya menunjukkan fungsi yang dapat
digeser atau merubah nilai konstantanya; sementara fungsi kendalanya
memiliki konstata yang tetap.

2. Metode Lagrange menggunakan turunan pertama sama dengan nol
sebagai titik optimalnya.

GLOSARI

Fungsi Lagrangian, adalah gabungan dari fungsi pokok (fungsi pertama) dan
fungsi kendalanya (fungsi kedua).

Lagrange multiplier, adalah pengali atau operator yang dinamakan lamda
() yang terdapat pada fungsi kendala.

Titik optimal, adalah nilai variabel x atau y atau  pada saat turunan
pertamanya adalah sama dengan nol.

Turunan parsial, adalah menurunkan atau menentukan diferensial atas
variabel tertentu saja.

12 | Metode Lagrange

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Metode Lagrange adalah metode matematik statistik.
2. Metode Lagrange mengggunakan fungsi yang bersifat implisit.
3. Metode Lagrange digunakan untuk menentukan titik potong sumbu x.
4. Metode Lagrange mengggunakan metode turunan parsial.
5. Metode Lagrange diselesaikan dengan cara substitusi.
Pertanyaan Essay
1. Bila fungsi garis lengkung dapat digeser, sementara fungsi garis

lurusnya tetap, tentukan titik singgungnya.
2. Bila fungsi garis lurus dapat digeser, sementara fungsi garis

lengkungnya tetap, tentukan titik singgungnya.

Metode Lagrange | 13

HALAMAN KOSONG
14 | Metode Lagrange

BAB 3
MODEL PERMINTAAN MARSHALLIAN

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu menentukan nilai X dan Y optimal.
2. Mampu menentukan nilai utilitas tidak langsungnya.

PENDAHULUAN

Sebagaimana yang kita ketahui bahwa kurva permintaan adalah kurva yang
diturunkan dari kurva indiferen dan garis anggaran. Dengan kata lain kurva
permintaan merupakan titik persinggungan antara kurva indiferen dan garis
anggaran ketika terjadi perubahan tingkat harga. Ketika menggeser kurva
indiferen agar bersinggungan dengan garis anggaran, maka proses ini
disebut memaksimumkan utilitas, disebut juga maksimasi Marshallian atau
model permintaan Marshallian. Metode penyelesaian secara matematika
umumnya menggunakan metode Lagrange.

CARA BELAJAR

Sebagaimana yang kita ketahui bahwa metode Lagrange adalah metode
menggabung dua persamaan kedalam fungsi Lagrangian dengan
menambah variabel lamda (λ); maka langkah-langkahnya adalah:
(1) Membuat fungsi Lagrangian-nya.
(2) Mencari derivatif-nya baik terhadap variabel X dan Y, serta variabel λ-

nya.
(3) Sebagaimana yang kita ketahui bahwa kondisi optimal akan tercapai bila

turunan atau derivatifnya adalah sama dengan nol, kemudian tentukan
nilai X dan Y optimal dengan menggunakan metode substitusi.
(4) Perlu diketahui bahwa, fungsi permintaan Mashallian adalah fungsi dari
harga barang X, Px dan harga barang Y, Py, serta total anggaran, M.

Model Permintaan Marshallian | 15

Model Permintaan Marshallian
Contoh: Tentukan nilai X dan Y optimal
: =
: = +

Jawab:
Fungsi Lagrangian
= ( ) + ( − − )
= ( ) + ( −  −  )
= +  −  − 

Turunan parsial
= − 
= − 
 = − −

Optimalkan fungsi Lx dan Ly
= 0  0 = − 
= 0  0 = − 

Optimalkan fungsi L
 = 0  0 = − −

Substitusikan antara fungsi Lx dan Ly optimal
0 = − 
 =


 =


 =  0 = −


− = −


=


=

16 | Model Permintaan Marshallian

atau

1 =
=


=

Substitusikan fungsi X atau Y optimal ke fungsi L optimal


=  0 = − −


0 = − −
0 = − −

0 = − 2

2 =

= ∗ = =
2
atau


=  0 = − −


0 = − −

0 = − −

0 = − 2

2 =

= ∗ = =
2

Jadi nilai barang X dan Y optimal adalah ; ; dengan kata lain, fungsi
permintaan Marshallian adalah: = ( , , ), yaitu permintaan
barang X dan Y dipengaruhi oleh harga barang X, harga barang Y, dan
anggaran.

Bila nilai X dan Y optimal disubsitutsikan ke fungsi utilitas, maka disebut
fungsi utilitas tidak langsung, = ∗ = ( ∗; ∗); sebagai berikut:

Model Permintaan Marshallian | 17

;  = ∗ = ∗ ∗
2 2


= 2 2


= 4

Jadi, fungsi utilitas tidak langsung adalah fungsi dari harga barang X, harga
barang Y, dan anggaran; V = U* = f(Px, Py, M).

Roy’s identity

Dapat juga dilakukan pembalikan, yaitu bila diketahui fungsi utilitas tidak

langsungnya, maka dapat diturunkan fungsi utilitas tidak langsung tersebut

untuk mendapatkan nilai X dan Y optimal (X* dan Y*). Proses ini dinamakan
Roy’s identity (identitas Roy). Rumus atau formula Roy’s identity
merupakan rasio atau perbandingan negatif dari turunan terhadap Px

ataupun Py nya dengan turunan terhadap M nya, dapat dituliskan sebagai

berikut.

= ∗ = X = −
= −



= ∗ = = − = −



Misalkan


= 4 = 4

Turunkan terhadap Px dan M


= = (−4 ) = −4

2
= = 2 4 = 4

18 | Model Permintaan Marshallian

maka:

= ∗ = X = − = − = − 2
−4 : 4

− 4 −4
= −4 ∗ 2 = −4 2 = 2

Turunkan terhadap Py dan M


= = 4 (− ) = −4

2
= = 2 4 = 4

maka:

= ∗ = Y = − = − = − 2
−4 : 4

− 4 −4
= −4 ∗ 2 = −4 2 = 2

KESIMPULAN

1. Fungsi permintaan Marshallian merupakan efek total (efek substitusi
dan efek pendapatan) dari bergesernya kurva indiferen karena adanya
perubahan harga barang.

2. Dalam ilmu ekonomi, fungsi utilitas tidak langsung adalah konsumen
memberikan utilitas yang dapat dicapai maksimal (dirasakan), yaitu

ketika dihadapkan pada penurunan/kenaikan harga barang tersebut. Ini
mencerminkan preferensi konsumen atas kondisi pasar. Contoh nyata,
misalnya, adanya promo minyak goreng (harga turun) menyebabkan
konsumen menambah pembelian minyak gorengnya, dan tidak hanya
pada minyak goreng tersebut, tetapi juga pada barang lain (efek

substitusi dan pendapatan).

Model Permintaan Marshallian | 19

GLOSARI

Efek pendapatan, adalah efek total dikurangi efek substitusi.
Efek substitusi, adalah bergeraknya titik keseimbangan (persinggungan

antara kurva indiferen dan garis anggaran) tetapi pada kurva indiferen
yang sama, misalkan karena adanya perubahan harga.
Efek total, adalah bergesernya titik keseimbangan (persinggungan antara
kurva indiferen dan garis anggaran) ke keseimbangan baru pada kurva
indiferen yang berbeda, misalkan karena adanya perubahan harga.
Fungsi permintaan Marshallian, adalah fungsi yang menjelaskan pengaruh
harga barang (Px dan Py) dan anggaran (M) terhadap pemintaan barang
X dan Y.
Fungsi utilitas tidak langsung, adalah besaran utilitas pada konsumsi nilai
barang X dan Y optimal.
Garis anggaran, adalah kombinasi konsumsi barang X dan Y pada berbagai
tingkat harga.
Kurva indiferen, adalah kombinasi konsumsi barang X dan Y yang
menunjukkan tingkat utilitas yang sama.
Roy’s identity, adalah proses pembalikan untuk menentukan nilai barang X
dan Y optimal bila fungsi utilitas langsungnya diketahui.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Optimasi adalah menentukan titk singgung dari dua fungsi.
2. Fungsi Lagrangian adalah fungsi gabungan dari dua fungsi eksplisit, yaitu

fungsi pokok dan fungsi kendala.
3. Subject to adalah istilah yang digunakan untuk fungsi yang bersifat

kendala dalam fungsi Lagrangian.
4. Dalam fungsi Lagrangian, variabel lamda ditambahkan kedalam fungsi

kendala dan fungsi pokoknya.
5. Kombinasi konsumsi barang X dan barang Y pada uitilitas tertentu

disebut fungsi utilitas atau kurva indiferen (indifference curve).
6. Kombinasi konsumsi barang X dan barang Y pada harga tertentu disebut

fungsi atau garis anggaran (budget line).

20 | Model Permintaan Marshallian

Pertanyaan Essay
1. Buat contoh perhitungan permintaan Marshallian, lengkap dengan

fungsi utilitas tidak langsungnya. Bila harga barang x meningkat sebesar
nilai tertentu, maka: (1) tentukan kuantitas barang x optiimal, dan (2)
tentukan utilitas tidak langsungnya.
2. Diketahui fungsi utilitas: U = XY ; dan fungsi anggaran: M = 2X + 5Y.
Hitunglah kuantitas barang X dan barang Y optimal, untuk permintaan
Marshallian, serta tentukan utilitas tidak langsungnya.

Model Permintaan Marshallian | 21

HALAMAN KOSONG
22 | Model Permintaan Marshallian

BAB 4
MODEL PERMINTAAN HICKSIAN

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu menentukan nilai X dan Y optimal.
2. Mampu menentukan nilai pengeluaran minimumnya.

PENDAHULUAN

Sebagaimana yang kita ketahui bahwa kurva permintaan adalah kurva yang
diturunkan dari kurva indiferen dan garis anggaran. Dengan kata lain kurva
permintaan merupakan titik persinggungan antara kurva indiferen dan garis
anggaran ketika terjadi perubahan tingkat harga. Ketika menggeser garis
anggaran agar bersinggungan dengan kurva indiferen, maka proses ini
disebut meminimumkan anggaran, disebut juga minimasi Hicksian atau
model permintaan Hicksian. Metode penyelesaian secara matematika
umumnya menggunakan metode Lagrange.

CARA BELAJAR

Sebagaimana yang kita ketahui bahwa metode Lagrange adalah metode
menggabung dua persamaan kedalam fungsi Lagrangian dengan
menambah variabel lamda (λ); maka langkah-langkahnya adalah sebagai
berikut:
(1) Membuat fungsi Lagrangian-nya.
(2) Mencari derivatif-nya baik terhadap variabel X dan Y, serta variabel λ

nya.
(3) Sebagaimana yang kita ketahui bahwa kondisi optimal akan tercapai bila

turunan atau derivatifnya adalah sama dengan nol, kemudian tentukan
nilai X dan Y optimal dengan menggunakan metode substitusi.
(4) Perlu diketahui bahwa, fungsi permintaan Hicksian adalah fungsi dari
harga barang X, Px dan harga barang Y, Py, serta total utilitas, U.

Model Permintaan Hicksian | 23

Model Permintaan Hicksian
Contoh: Tentukan nilai X dan Y optimal
: = +
. . : =

Jawab:
Fungsi Lagrangian
= ( + ) + ( − )
= ( + ) + ( −  )
= + +  − 

Turunan parsial
= − 
= − 
 = −

Optimalkan fungsi Lx dan Ly
= 0  0 = − 
= 0  0 = − 

Optimalkan fungsi L
 = 0  0 = −

Substitusikan antara fungsi Lx dan Ly optimal
0 = − 
 =


 =


 =  0 = −


=

=
=

24 | Model Permintaan Hicksian


=
atau


=

Substitusikan fungsi X atau Y optimal ke L optimal


=  0 = −


0 = −

=


= 1 :


= 1


=

= ∗ = =


atau


=  0 = −


0 = −

=


= 1 :


= 1


=

Model Permintaan Hicksian | 25

= ∗ = =


Jadi barang X dan Y optimal adalah ; ; dengan kata lain,

fungsi permintaan Hicksian adalah: = ( , , ), yaitu permintaan
barang X atau Y dipengaruhi oleh harga barang X, harga barang Y, dan
utilitas.

Bila nilai X dan Y optimal disubsitutsikan ke fungsi anggaran atau
pengeluaran, maka disebut fungsi pengeluaran minimum, = ∗ =
∗ + ∗; sebagai berikut:

 = ∗ = ∗ + ∗
;


= +

= ( ) + ( )



= +

= ( ) + ( )

= 2( )

Jadi, fungsi pengeluaran minimum adalah fungsi dari harga barang X, harga
barang Y, dan utilitas ; E = M* = f(Px, Py, U).

Shephard’s Lemma
Dapat juga dilakukan pembalikan, yaitu bila diketahui fungsi pengeluaran

minimumnya, maka dapat diturunkan fungsi pengeluaran minimumnya
tersebut untuk mendapatkan nilai X dan Y optimal (X* dan Y*). Proses ini
dinamakan Shephard’s Lemma, yaitu menurunkan fungsi pengeluaran

26 | Model Permintaan Hicksian

minimumnya, baik terhadap harga barang Px ataupun Py nya; dapat
dituliskan sebagai berikut.

= ∗ = X =
= ∗ = X = =


=

Misalkan
= 2( ) / = 2 / / /

Turunkan terhadap Px

= ∗ = X = / ) / / 2 / /
= = 2(0.5 = 0.5 /
/ / / /

= / = =

Turunkan terhadap Py

= ∗ = Y = = = 2 / (0.5 / ) / 2 / /
= 0.5 /

/ / / /
= / = =

KESIMPULAN

1. Fungsi permintaan Hicksian merupakan efek substitusi (terkompensasi)

dari bergeraknya suatu titik ke titik lain pada kurva indiferen karena
adanya perubahan harga barang.
2. Dalam ilmu ekonomi, fungsi pengeluaran minimum konsumen
menunjukkan pengeluaran minimum ketika dihadapkan dengan turun
atau naiknnya harga barang. Hal ini mencerminkan preferensi

konsumen akan barang tersebut. Contoh nyata, misalnya promo laptop
Asus Gaming, dan konsumen memang loyal terhadap merk Asus,
sehingga tidak mau merk yang lain. Sebagai dampak turunnya harga,

Model Permintaan Hicksian | 27

maka konsumen akan membeli laptop Asus Gaming tersebut sesuai
dengan harapan untuk memilik laptop merk Asus (efek substitusi).

GLOSARI

Fungsi permintaan Hicksian, adalah fungsi yang menjelaskan pengaruh
harga barang (Px dan Py) dan utilitas (U) terhadap pemintaan barang X
dan Y.

Fungsi pengeluaran minimum, adalah besaran anggaran pada konsumsi
barang X dan Y optimal.

Shephard’s Lemma, proses pembalikan untuk menentukan nilai barang X
dan Y optimal bila fungsi pengeluaran minimumnya diketahui.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Dalam maksimasi Mashallian ataupun minimasi Hicksian, dua fungsi

yang dimaksud adalah fungsi utilitas dan fungsi anggaran.
2. Maksimasi permintaan Mashallian adalah menentukan titik singgung

dengan menggeser fungsi utilitas sementara garis anggarannya tetap.
3. Minimasi permintaan Hicksian adalah menentukan titik singgung

dengan menggeser garis anggaran sementara fungsi utilitasnya tetap.
4. Fungsi permintaan Mashallian dipengaruhi oleh tingkat harga dan

jumlah anggaran.
5. Fungsi permintaan Hicksian dipengaruhi oleh tingkat harga dan tingkat

utilitas.
6. Mau beli hp Samsung, tapi uangnya tidak cukup, solusinya nabung dulu

sampai uangnya cukup, adalah contoh permintaan Marshallian.
7. Mau beli hp Samsung, tapi uangnya tidak cukup, sehingga yang dibeli

adalah hp Oppo, adalah contoh permintaan Hicksian.
8. Utilitas tidak langsung adalah nilai utilitas pada tingkat harga optimal.
9. Pengeluaran minimum adalah anggaran yang dikeluarkan pada tingkat

harga optimal.
10.Diketahui fungsi utilitas: U = XY; dan fungsi anggaran: 100 = 2X + 5Y.

Maka konsumsi optimal barang X adalah sebesar 10 unit.
11.Diketahui fungsi utilitas: U = XY; dan fungsi anggaran: 100 = 2X + 5Y.

Maka konsumsi optimal barang Y adalah sebesar 10 unit.

28 | Model Permintaan Hicksian

12.Diketahui fungsi utilitas: 10 = XY; dan fungsi anggaran: M = 2X + 5Y.
Maka konsumsi optimal barang X adalah sebesar 5 unit.

13.Diketahui fungsi utilitas: 10 = XY; dan fungsi anggaran: M = 2X + 5Y.
Maka konsumsi optimal barang Y adalah sebesar 5 unit.

14.Nilai atau besaran utilitas tidak langsungnya adalah sebesar 250 poin.
15.Nilai atau besaran pengeluaran minimumnya adalah sebesar 20 poin.
Pertanyaan Essay
1. Buat contoh perhitungan permintaan Hicksian, lengkap dengan fungsi

pengeluaran minimumnya. Bila harga barang x meningkat sebesar nilai
tertentu, maka: (1) tentukan kuantitas barang x optiimal, dan (2)
tentukan pengeluaran minimumnya.
2. Diketahui fungsi utilitas: U = XY; dan fungsi anggaran: M = 2X + 5Y.
Hitunglah kuantitas barang X dan barang Y optimal untuk permintaan
Hicksian, serta tentukan pengeluaran minimumnya.

Model Permintaan Hicksian | 29

HALAMAN KOSONG
30 | Model Permintaan Hicksian

BAB 5
MINIMASI BIAYA

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu menurunkan fungsi biaya total minimum.
2. Mampu menentukan fungsi biaya marginal dan biaya rata-rata.

PENDAHULUAN

Minimasi biaya adalah perilaku produsen untuk mengkombinasikan
penggunaan input atau faktor produksi (Kapital-Labor) untuk menghasilkan
tingkat output tertentu. Dengan kata lain, minimasi biaya adalah
persinggungan antara garis isocost dan kurva isoquan yang menunjukkan
tingkat output tertentu. Secara umum, metode penyelesaian secara
matematika adalah menggunakan metode Lagrange.

CARA BELAJAR

Sebagaimana yang kita ketahui bahwa metode Lagrange adalah metode
menggabung dua persamaan menjadi fungsi Lagrangian dengan
menambah variabel lamda (λ); maka langkah-langkahnya adalah sebagai
berikut:
(1) Membuat fungsi Lagrangian, yaitu gabungan fungsi isocost dan fungsi

isoquan, yaitu fungsi utama isocost dan fungsi kendalanya isoquan dikali
dengan lamda.
(2) Mencari derivatifnya baik terhadap variabel K dan L, serta λ.
(3) Kondisi optimal akan tercapai bila turunan atau derivatif pertamanya
adalah sama dengan nol.
(4) Substitusikan fungsi K optimal ke fungsi L optimal, kemudian
substitusikan ke fungsi λ optimal untuk memperolah nilai K dan L
optimal (K* dan L*).
(5) Substitusikan nilai K* dan L* ke fungsi biaya C, sehingga menjadi fungsi
biaya total minimum, C*.

Minimasi Biaya | 31

Fungsi Biaya Minimum
Contoh: Tentukan nilai K dan L optimal, dengan fungsi produksi, Q = KL
: = +
. . : =

Jawab:
Fungsi Lagrangian
= ( + ) + ( − )
= ( + ) + ( −  )
= + +  − 

Turunan parsial


= = − 


= = − 


 =  = −

Optimalkan fungsi LK dan LL
= 0  0 = − 
= 0  0 = − 

Optimalkan fungsi L
 = 0  0 = −

Substitusikan antara fungsi LK dan LL optimal

0 = − 

 =

 =
=  0 = −



=

=

32 | Minimasi Biaya

=


=
atau


=

Substitusikan fungsi K atau L optimal ke fungsi L optimal

=  0 = −


0= −

=

= 1 :

= 1
= =

∗ =


dan,

=  0 = −

0 = −


=

= 1 :

= 1
= =

∗ =


Minimasi Biaya | 33

Jadi nilai input faktor produksi K dan L optimal adalah ; ;
dengan kata lain, fungsi biaya adalah pengaruh dari sewa, upah, dan
output, = ( , , )

Bila nilai K dan L optimal (K* dan L*) disubsitutsikan ke fungsi biaya C, maka
disebut fungsi biaya total minimum, ∗ = ∗ + ∗; sebagai berikut:

 ∗ = ∗ + ∗
;

∗ =
+

∗ = ( ) + ( )


∗ =
+

∗ = ( ) + ( )

∗ = 2( )

Jadi, fungsi biaya total minimum adalah penggunaan K dan L optimal yang
dipengaruhi oleh harga sewa, tingkat upah, dan jumlah output; C* = f(r, w,
Q).

Shephard’s Lemma

Dapat juga dilakukan pembalikan, yaitu bila diketahui fungsi biaya total

minimumnya, maka dapat diturunkan untuk mendapatkan nilai K dan L
optimal (K* dan L*). Proses ini dinamakan Shephard’s Lemma, yaitu

menurunkan fungsi biaya total minimum, baik terhadap harga r maupun w
nya; dapat dituliskan sebagai berikut.

∗ =
=

∗ = =

34 | Minimasi Biaya

Misalkan
= 2( ) / = 2 / / /

Turunkan terhadap r

∗ = / ) / / 2 / /
= = 2(0.5 = 0.5 /
/ / /
/
∗
= / = =

Turunkan terhadap w

∗ = = 2 / (0.5 / ) / 2 / /
= = 0.5 /
/ / /
/ = /
∗
= =

Fungsi Biaya Marginal, MC


=
= 2( ) / = 2 / / /

= 2 / / 0.5 / = / / / = / / 1
/

/ / /
= / =

Fungsi Biaya Rata-rata, AC


=

= 2( ) / = 2 / / /

2 / / / 2 / / /
= = / /

2 / / /
= / = 2

Minimasi Biaya | 35

Hubungan MC dan AC
Buktikan:

= −

/ 2 / / = 2 / / /
= 2 = /

= 2 / / 0.5 / = / / /


= / / 1 / /
/ = /

/ 2 / /
= 2 = /

2 / / 2 / / 1 2 / /
= / : 1 = / = /

2 / / 2 / / / /
= / = / / / = 2 /

/ / /
= = /

/ / / / 1 / /
= / : 1 = / = /

/ / / / / /
= / = / / / = /

/ / / /
− = 2 / − /
/ /
− = /

36 | Minimasi Biaya

Buktikan:

= −

/ / = / / / = / / /
= /

= / / / / /
= /

/ / / / / /
− = 2 / − / = /

Bila

= 0

maka,

= 0  0 = −
0 = −

=

KESIMPULAN

1. Biaya adalah harga atau biaya yang dikeluarkan untuk proses produksi
dalam menghasilkan barang output, meliputi harga sewa dan upah dari
penggunaan input kapital dan labor.

2. Fungsi biaya total dipengaruhi oleh harga barang input (sewa r dan upah
w) dan output yang dihasilkan (Q). Bila r dan w dianggap tetap, maka
biaya total dipengaruhi oleh Q.

3. Biaya marginal (MC) adalah perubahan biaya karena adanya perubahan

output (C/Q).
4. Biaya rata-rata (AC) adalah total biaya dibagi dengan output yang

dihasilkan (C/Q).

Minimasi Biaya | 37

GLOSARI

Minimasi biaya adalah meminimumkan isocost dengan kendala isoquan.
Isocost adalah kombinasi K dan L yang menunjukkan tingkat biaya yang

sama.
Isoquan adalah kombinasi K dan L yang menunjukkan tingkat produksi

tertentu.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Fungsi biaya minimum dipengaruhi oleh tingkat output Q.
2. Biaya marjinal sama dengan biaya rata-rata.
3. Simbol r digunakan sebagai harga sewa; sementara simbol w digunakan

sebagai tingkat upah.
4. Fungsi produksi dipengaruhi oleh harga sewa dan tingkat upah.
5. Fungsi produksi menentukan fungsi biaya.
Pertanyaan Essay
Bila diketahui, fungsi produksi Q = 2K1/2L1/2, tentukan:
(1) Fungsi biaya total minimum.
(2) Fungsi biaya marginal.
(3) Fungsi biaya rata-rata.

38 | Minimasi Biaya

BAB 6
MAKSIMASI LABA DENGAN KENDALA

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu menurunkan fungsi laba.
2. Mampu menentukan K dan L yang memaksimumkan laba.

PENDAHULUAN

Maksimasi laba adalah menentukan tingkat output yang menghasilkan laba
maksimum, dimana laba adalah revenue dikurangi cost,  = R – C. Laba
maksimum dapat dicapai bila menggunakan input K dan L yang optimal.
Dengan kata lain, maksimasi laba adalah persinggungan antara garis
isoprofit,  = pQ – rK – wL dan kurva isoquan, Q = f(K, L). Secara umum,
metode penyelesaian secara matematika adalah menggunakan metode
Lagrange.

CARA BELAJAR

Langkah-langkah maksimasi laba dengan kendala, sebagai berikut:
(1) Menentukan fungsi laba,  = R – C; kemudian menentukan garis

isoprofit,  = pQ – rK – wL dan kurva isoquan, Q = f(K, L).
(2) Menentukan fungsi Lagrangian-nya.
(3) Mencari derivatif terhadap variabel K, L, serta λ.
(4) Kondisi optimal akan tercapai bila turunan atau derivatif pertamanya

adalah sama dengan nol.
(5) Substitusikan fungsi K optimal ke fungsi L optimal, kemudian

substitusikan ke fungsi λ optimal untuk memperolah nilai K dan L
optimal (K* dan L*).
(6) Substitusikan nilai K* dan L* ke fungsi laba , sehingga menjadi fungsi
laba maksimum, *.

Maksimasi Laba Dengan Kendala | 39

Contoh: Tentukan Laba Maksimum dengan Fungsi Produksi, Q = KL
 = − −

Jawab:
:  = − −
. . : =

Fungsi Lagrangian
= ( − − ) + ( − )
= ( − − ) + ( −  )
= − − +  − 

Turunan parsial


= = − − 


= = − − 


 =  = −

Optimalkan fungsi LK dan LL
= 0  0 = − − 
= 0  0 = − − 

Optimalkan fungsi L
 = 0  0 = −

Substitusikan antara fungsi LK dan LL optimal

0 = − − 

 = −
−
 = −
=  0 = − − −
= − +


=

40 | Maksimasi Laba Dengan Kendala


=
=


=
atau


=

Substitusikan fungsi K atau L optimal ke fungsi L optimal

=  0 = −


0= −

=

= 1 :

= 1
= =

∗ =


dan

=  0 = −

0 = −


=

= 1 :

= 1
= =

Maksimasi Laba Dengan Kendala | 41

∗ =


Substitusikan nilai K dan L optimal (K* dan L*) ke fungsi laba, sehingga
menjadi fungsi laba maksimum, *

∗ = ; ∗ = 

∗ = − ∗ − ∗

∗ = −
−
/ /
∗ = − / / − / /

/ / / /
− / − /
∗ =

/ / / / / / / /
− / − /
∗ =

∗ = − / / / − / / /

Jadi, fungsi laba maksimum dengan kendala adalah penggunaan K dan L
optimal yang dipengaruhi oleh harga jual, harga sewa, tingkat upah, dan

jumlah output;  = f(p, r, w, Q).

Bila dinyatakan bahwa fungsi produksi, Q = KL, maka dapat disubstitusikan
nilai K* dan L* kedalam fungi *, sebagai berikut:

∗ = ; ∗ = 

∗ = ( ∗ ∗) − / / / − / / /

∗ = − / / / − / / /

/ /
∗ = / / / / − / / / − / / /

∗ = ( / / / )( / / / ) − / / /

− / / /

42 | Maksimasi Laba Dengan Kendala