Model Ekonomi Mikro & Univariat Time Series

∗ = / / / / / / − / / / − / / /
∗ = / / / / / / − / / / − / / /
∗ = − / / / − / / /
∗ = − / / / − / / /

Juga menunjukkan hasil yanga sama, yaitu fungsi laba maksimum dengan
kendala adalah pengaruh dari harga jual, harga sewa, tingkat upah, dan

jumlah output;  = f(p, r, w, Q).

Hotelling’s Lemma

Dapat juga dilakukan pembalikan, yaitu bila diketahui fungsi laba

maksimum, maka dapat diturunkan untuk mendapatkan nilai K dan L
optimal (K* dan L*), yaitu menurunkan fungsi laba maksimum, baik

terhadap harga r maupun w nya; dapat dituliskan sebagai berikut.

∗ =
= −

∗ = = −

Misalkan
= − / / / − / / /

Turunkan terhadap r

∗ = / / / − / 0.5 / /
= − = −0.5
/ / 0.5 / / −0.5 / / −0.5 / /
0.5 / − / = /
− ∗ = −

/ / / /

∗ = / = =

Turunkan terhadap w

∗ = = = − / 0.5 / / − 0.5 / / /
−
0.5 / / 0.5 / / −0.5 / / −0.5 / /
− / − / = /
− ∗ =

Maksimasi Laba Dengan Kendala | 43

/ / / /
/
∗ = = =

KESIMPULAN

1. Laba adalah pendapatan dikurangi biaya,  = R – C.
2. Laba maksimum adalah persinggungan antara garis isoprofit dan kurva

isoquan dengan tingkat output tertentu.
3. Menggeser garis isoprofit ke kanan agar terjadi persinggungan dengan

kurva isoquan bermakna menentukan laba maksimum.
4. Fungsi laba maksimum dengan kendala ini dipengaruhi oleh harga jual,

harga sewa, tingkat upah, dan jumlah output;  = f(p, r, w, Q).

GLOSARI

Laba maksimum dengan kendala adalah memaksimumkan isoprofit dengan
kendala isoquan.

Isoprofit adalah kombinasi K dan L yang menunjukkan tingkat keuntungan
yang sama.

Hotelling’s Lemma adalah proses pembalikan untuk menentukan nilai K dan

L optimal bila fungsi laba maksimumnya diketahui.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Besaran laba dipengaruhi oleh besaran R dan C.
2. Bila R lebih besar daripada C, maka laba adalah maksimum.
3. Semakin tinggi produksi, maka akan semakin tinggi pula laba.
4. Fungsi laba maksimum bila garis isocost memotong kurva isoquan.
5. Fungsi produksi menentukan fungsi laba.

Pertanyaan Essay
Bila diketahui, fungsi produksi Q = 2K1/2L1/2, tentukan laba maksimumnya.

44 | Maksimasi Laba Dengan Kendala

BAB 7
MAKSIMASI LABA TANPA KENDALA

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu menurunkan fungsi laba.
2. Mampu menentukan K dan L yang memaksimumkan laba.

PENDAHULUAN

Maksimasi laba adalah menentukan tingkat output yang menghasilkan laba
maksimum, dimana laba adalah revenue dikurangi cost,  = R – C. Bila
diketahui fungsinya, maka dapat langsung diturunkan terhadap K dan L,
yaitu mencari titik maksimum atau turunan pertamanya adalah sama
dengan nol. Oleh karenanya penting untuk memastikan bahwa fungsi laba
adalah memiliki titik maksimum. Memastikan titik maksimum dapat
menggunakan matrik Hessian dari turunan keduanya.

CARA BELAJAR

Langkah-langkah maksimasi laba, sebagai berikut:
(1) Menentukan fungsi laba,  = R – C; dimana R = pQ, dan C = rK – wL.
(2) Mencari derivatif pertama dan kedua terhadap variabel K dan L, dan

membuat matrik Hessian, serta turunan keduanya adalah negatif.
(3) Kondisi optimal akan tercapai bila turunan atau derivatif pertamanya

adalah sama dengan nol.
(4) Tentukan fungsi K optimal, kemudian substitusikan ke fungsi L optimal,

sehingga diperoleh nilai L optimal (L*).
(5) Tentukan fungsi L optimal, kemudian substitusikan ke fungsi K optimal,

sehingga diperoleh nilai K optimal (L*).
(6) K* dan L* merupakan fungsi permintaan akan input (factor demand

function) yang memaksimalkan laba. Selanjutnya nilai K* dan L* ini
dapat disubstitusikan ke laba , sehingga menjadi fungsi laba
maksimum, *.

Maksimasi Laba Tanpa Kendala | 45

Contoh: Tentukan K dan L Yang Memaksimumkan Laba
, =

Jawab:
 = − −

Turunan pertama


 = = −

 = = −

Turunan kedua


 = = 0


 = =


 = = 0


 = =

Matrik Hessian
 
| | =   = ( .  ) − ( )>0

| | = 0 = 0 − = − <0
0
Artinya, syarat maksimum dan matrik Hessian nya tidak terpenuhi.

Misalkan:
, = 2 / /

maka,
 = 2 / / − −

46 | Maksimasi Laba Tanpa Kendala

Turunan pertama
 = / / −
 = / / −

Turunan kedua
 = −1.5 / /
 = −1.5 / /
 = −0.5 / /
 = −0.5 / /

Matrik Hessian
 
| | =   = ( .  ) − ( )>0

| | = − − >0
− −

Syarat Maksimum
 ,  ℎ
| | ℎ

Optimalkan fungsi K dan L
= 0  0 = / / −
= 0  0 = / / −

Sederhanakan K optimal menjadi fungsi K

0 = / / −

= / /

/ = /

/ /
=

/ = /

/ / = / / /
= / = / /

Maksimasi Laba Tanpa Kendala | 47

Substitusikan fungsi K ke fungsi L optimal

= / / /  0 = ( / / / ) / / −

0 = ( / / / ) / −

= / / / /

= / / /

/ = / /

/ / /
=
/ /
/ =

∗ = / / / / / = / / /
= /

Sederhanakan L optimal menjadi fungsi L

0 = / / −

= / /

/ = /

/ /
=

/ = /

/ / = / / /
= / = / /

Substitusikan fungsi L ke fungsi K optimal

= / / /  0 = / ( / / / ) / −

0 = / / / / −

= / / / /

= / / /

/ = / /

/ / /
=

48 | Maksimasi Laba Tanpa Kendala

/ / /
=
/ / /
∗ = / / = / = / / /


Jadi fungsi K* dan L* adalah fungsi permintaan barang input (factor
demand function), yaitu menentukan K dan L optimal yang dipengaruhi oleh
harga jual, harga sewa, dan tingkat upah; K* = f(p, r, w) atau L* = f(p, r, w).

Bila K* dan L* disubstitusikan ke fungsi laba, maka * /)
∗ = / / / ; ∗ = / / / 
∗ = 2 ( / / / ) / ( / / / ) / − ( / /

− ( / / / )
∗ = 2 / / / / / / − / / /

− / / /
∗ = 2 / / / − / / / − / / /
∗ = 2 / / / − / / / − / / /
∗ = 2 / / / − / / / − / / /

Jadi, fungsi laba maksimum tanpa kendala adalah fungsi permintaan
barang input yang dipengaruhi oleh harga jual, harga sewa, dan tingkat
upah; * = f(p, r, w).

Tentukan Nilai Produksi dari K dan L Optimal
Misalkan:
, = 2 / /
∗ = / / / ; ∗ = / / /

Maka, /
∗ = / / / ; ∗ = / / / 
∗ = 2( / / / ) / ( / / / )
∗ = 2 / / / / / /
∗ = 2 / / /
∗ = 2 / / /

Maksimasi Laba Tanpa Kendala | 49

∗ = 2 / / /

Jadi fungsi produksi optimal Q* adalah fungsi penawaran barang output
(output supply function), yaitu fungsi penawaran barang output yang
dipengaruhi oleh harga jual, harga sewa, dan tingkat upah; Q* = f(p, r, w).

KESIMPULAN

1. Fungsi laba maksimum tanpa kendala adalah menentukan titik
maksimum dari fungsi labanya.

2. Syarat titik maksimum adalah turunan kedua dari fungsinya adalah
negatif, dan determinan matrik Hessian-nya adalah positif.

GLOSARI

Fungsi permintaan barang input adalah fungsi K dan L optimal, yang
dipengaruhi oleh harga jual, harga sewa, dan tingkat upah.

Fungsi penawaran barang ouput adalah fungsi produksi dengan
menggunakan K dan L optimal, yang dipengaruhi oleh harga jual, harga
sewa, dan tingkat upah.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Besaran laba maksimum bergantung pada fungsi laba.
2. Bila R lebih besar daripada C, maka laba adalah maksimum.
3. Laba maksimum dapat ditentukan bila persamaan atau fungsinya

berbentuk garis lengkung (concave).
4. Nilai K dan L optimal dapat bermakna penggunaan K dan L yang

mamaksimumkan hasil produksi.
5. Nilai K dan L optimal dapat bermakna penggunaan K dan L dalam proses

produksi mamaksimumkan laba.

Pertanyaan Essay
Bila diketahui, fungsi produksi Q = 4K1/4L3/4, tentukan:
(1) Fungsi permintaan input-nya.
(2) Fungsi penawaran output-nya.

50 | Maksimasi Laba Tanpa Kendala

BAB 8
DATA TIME SERIES

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu membedakan pola variasi data time series.
2. Mampu membedakan baik pola jangka pendek maupun jangka panjang

dari deret data time series.

PENDAHULUAN

Data time series merupakan data yang dikumpulkan, dicatat atau
diobservasi sepanjang waktu secara berurutan. Periode waktu observasi
dapat berbentuk tahun, kuartal, bulan, minggu dan di beberapa kasus dapat
juga hari atau jam. Data time series tersebut dapat dikumpulkan dalam
interval waktu yang sama (data stock, seperti: tingkat bunga, aset, jumlah
penduduk); dapat juga dikumpulkan melalui akumulasi dalam periode
waktu tertentu (data flow, seperti: data PDRB, investasi, ekspor, impor).
Data time series dianalisis untuk menemukan pola variasi masa lalu yang
dapat digunakan untuk memperkirakan nilai masa depan dan membantu
dalam manajemen operasi serta membuat perencanaan. Menganalisis time
series berarti membagi data masa lalu menjadi komponen-komponen dan
kemudian memproyeksikannya ke masa depan.

CARA BELAJAR

Mengamati data time series adalah untuk melihat empat komponen yang
membentuk pola atau pergerakan data masa lalu hingga sekarang, yang
cenderung berulang di masa mendatang. Empat komponen tersebut
adalah:
(1) Trend, yaitu komponen jangka panjang yang mendasari pertumbuhan

(atau penurunan) suatu data time series. Merupakan pergerakan data
sedikit demi sedikit meningkat atau menurun.
(2) Siklikal atau siklus (cyclical), yaitu suatu pola dalam data yang terjadi
setiap beberapa tahun yang bersifat jangka pendek. Fluktuasi atau siklus
dari data time series adalah akibat perubahan kondisi ekonomi.

Data Time Series | 51

(3) Musiman (seasonal), yaitu pola data yang berulang pada kurun waktu
tertentu. Fluktuasi musiman yang sering dijumpai pada data kuartalan,
bulanan atau mingguan.

(4) Tak beraturan (irreguler), yaitu pola acak yang disebabkan oleh peristiwa
yang tidak bisa diprediksi atau tidak beraturan.

Contoh
Pola Trend

Penjualan

Tahun

52 | Data Time Series

Pola Musim

Penjualan

Jan 2001 Jan 2002

Pola Siklus

Penjualan

Th 2000 Th 2010

Data Time Series | 53

KESIMPULAN

1. Komponen data time series meliputi elemen trend, musim, siklus, dan
tak beraturan.

2. Pola trend menunjukkan pola variasi jangka panjang, sementara pola
musim dan siklus menunjukkan pola variasi jangka pendek.

GLOSARI

Pola musim, adalah pergerakan data yang turun-naiknya adalah identik
untuk tiap tahunnya.

Pola siklus, fluktuasi jangka pendek yang menggambarkan pergerakan data
yang berulang.

Pola trend, adalah pergerakan data yang naik atau turun selama periode
tertentu.

Tak beraturan, adalah pergerakan data yang tidak memiliki pola tertentu
yang fluktuasinya acak.

Time series, adalah data yang dikumpulkan menurut urutan waktu, dapat
berupa data tahunan, triwulanan, bulanan, mingguan, harian, bahkan
setiap jam.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Trend adalah pola variasi yang menunjukkan pola pergerakan data time

series dalam jangka panjang.
2. Trend selalu menunjukkan data yang meningkat dari periode ke periode.
3. Data yang cenderung stabil atau konstan, bukan menunjukkan pola data

trend.
4. Siklus adalah bagian dari trend.
5. Analisis trend merupakan analisis multivariat.
6. Siklus adalah pola variasi yang menunjukkan pola pergerakan data time

series dalam jangka pendek.
7. Pola siklus adalah sama dengan pola musim.
8. Pola musim dapat dilihat dari data atau grafik selama periode waktu

dalam satu tahun.
9. Pola musim adalah pola yang berulang dari tahun ke tahun.

54 | Data Time Series

10.Siklus bisnis juga menunjukkan pola berulang dari tahun ke tahun.
Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah (Aplikasi GRETL)
1. Aplikasi atau software GRETL dapat dioperasikan baik yang berbasis

windows ataupun macOS, juga android.
2. GRETL adalah singkatan dari Gnu Regression, Economics and Time-

series Library.
3. Untuk memulai input data baru pada gretl, adalah dengan mengklik

sub menu New data workfile.
4. Set sample range berfungsi untuk menentukan jumlah sampel dalam

input data.
5. Ekstensi file gretl adalah gdt.
6. Open data dapat juga digunakan untuk import data.
7. Contoh data bawaan dalam aplikasi gretl dapat dilihat di User file...
8. Edit attributes digunakan untuk mengubah nama variabel.
9. Clear data set adalah untuk menghapus semua variabel.
10.Quit adalah perintah untuk menutup aplikasi.

Data Time Series | 55

HALAMAN KOSONG
56 | Data Time Series

BAB 9
METODE PERAMALAN

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu membedakan istilah data original, data estimasi/prediksi, dan
data forecast.

2. Mampu meramalkan data masa depan dengan metode peramalan
trend, moving average, dan exponential smoothing.

PENDAHULUAN

Meramalkan data di masa depan dinamakan forecasting. Bila menggunakan
teknik peramalan yang bersifat pasti, maka dinamakan proses
deterministik, yaitu menggunakan pendekatan fungsi matematika; dan bila
menggunakan teknik peramalan yang bersifat tidak pasti, maka dinamakan
proses stokastik, yaitu menggunakan pendekatan fungsi probabilitas atau
statistik.

Analisis univariat adalah meramalkan data masa depan dengan
menggunakan data dirinya sendiri atau data masa lalunya. Tentunya
metode peramalan yang baik adalah peramalan yang dapat memberikan
hasil yang tidak jauh berbeda dengan kenyataan yang terjadi. Dengan kata
lain, metode yang terbaik adalah yang menghasilkan tingkat kesalahan atau
error yang kecil.

Beberapa teknik peramalan yang bersifat analisis univariat seperti: trend,
moving average, exponential smoothing, autoregressive, ARIMA, ARCH,
maupun GARCH. Beberapa diantaranya menggunakan teknik kausal atau
sebab-akibat, yaitu dengan menguji pengaruh variabel independent
terhadap variabel dependent-nya.

CARA BELAJAR
Metode trend dilakukan dengan cara regresi; dimana periode atau tahun
adalah sebagai variabel independent-nya. Metode rata-rata bergerak
adalah peramalannya menggunakan nilai rata-rata dari beberapa periode

Metode Peramalan | 57

yang ditentukan. Metode exponential smoothing adalah mengalikan data
original dengan alpha (α), sementara (1 – α) dikalikan dengan data forecast
periode sebelumnya; dimana nilai (α) adalah terletak antara 0 dan 1.

Error atau deviasi dalam metode peramalan adalah selisih antara data
original dengan data forecast-nya. Nilai forecast biasanya diletakkan pada
periode berikutnya. Oleh karena itu, nilai forecast adalah tidak sama
dengan nilai estimasi atau prediksinya. Dengan kata lain, hasil estimasi atau
prediksi yang ditempatkan ke periode berikutnya itulah yang dinamakan

forecast. Tetapi untuk metodel trend, nilai prediction-nya adalah juga
forecast-nya

Metode Trend
Secara matematis ditulis:

Contoh Bulan t = +
Jan 1
Tahun y Forecast
2001 Feb 2 189 324.6126
Mar 3 229 338.2586
2002 Apr 4 249 351.9045
May 5 289 365.5505
Jun 6 260 379.1964
Jul 7 431 392.8423
Aug 8 660 406.4883
Sep 9 777 420.1342
915 433.7802
Oct 10 613 447.4261
Nov 11 485 461.0721
Dec 12 277 474.7180
Jan 13 244 488.3640
Feb 14 296 502.0099
319 515.6559
Mar 15 370 529.3018
Apr 16 313 542.9477
May 17 556 556.5937
Jun 18 831 570.2396
Jul 19 960 583.8856
Aug 20

58 | Metode Peramalan

Sep 21 1152 597.5315

Oct 22 759 611.1775

Nov 23 607 624.8234

Dec 24 371 638.4694

2003 Jan 25 298 652.1153

Feb 26 378 665.7613

Mar 27 373 679.4072

Apr 28 443 693.0532

May 29 374 706.6991

Jun 30 660 720.3450

Jul 31 1004 733.9910

Aug 32 1153 747.6369

Sep 33 1388 761.2829

Oct 34 904 774.9288

Nov 35 715 788.5748

Dec 36 441 802.2207

2004 Jan 37 - 815.8667

Menggunakan aplikasi Data Analysis ToolPak Excel:

SUMMARY OUTPUT

Intercept Coefficients Standard Error t Stat
t 310.9667 94.9235 3.2760
13.6459 4.4739 3.0501

RESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted Y Residuals Standard Residuals

1 324.6126 -135.6126 -0.4934
2 338.2586 -109.2586 -0.3975
3 351.9045 -102.9045 -0.3744
4 365.5505 -0.2785
5 379.1964 -76.5505 -0.4337
6 392.8423 -119.1964 0.1388
7 406.4883 0.9224
8 420.1342 38.1577 1.2984
9 433.7802 253.5117 1.7509
10 447.4261 356.8658 0.6024
11 461.0721 481.2198 0.0871
12 474.7180 165.5739 -0.7194
23.9279
-197.7180

Metode Peramalan | 59

13 488.3640 -244.3640 -0.8891
-0.7495
14 502.0099 -206.0099 -0.7155
-0.5796
15 515.6559 -196.6559 -0.8366
-0.0022
16 529.3018 -159.3018 0.9488
1.3685
17 542.9477 -229.9477 2.0174
0.5378
18 556.5937 -0.5937 -0.0648
-0.9732
19 570.2396 260.7604 -1.2884
-1.0470
20 583.8856 376.1144 -1.1148
-0.9098
21 597.5315 554.4685 -1.2105
-0.2196
22 611.1775 147.8225 0.9824
1.4749
23 624.8234 -17.8234 2.2803
0.4696
24 638.4694 -267.4694 -0.2677

25 652.1153 -354.1153 -1.3143

26 665.7613 -287.7613

27 679.4072 -306.4072

28 693.0532 -250.0532

29 706.6991 -332.6991

30 720.3450 -60.3450

31 733.9910 270.0090

32 747.6369 405.3631

33 761.2829 626.7171

34 774.9288 129.0712

35 788.5748 -73.5748

36 802.2207 -361.2207

YtSecara grafik, dapat digambarkan:

1600
1400
1200
1000

800
600
400
200

0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
t

Yt Predicted Yt

60 | Metode Peramalan

Untuk data yang ke-37, kita dapat meramalkannya, yaitu:
= +
= 310,9667 + 13,6459(37) = 815,8667

Metode Moving Average
Secara matematis ditulis:

1 ( )
( ) =
Standard
Contoh Error
#N/A
Tahun Bulan t Yt MA(3) #N/A Forecast
#N/A
2001 Jan 1 189 #N/A #N/A 222.3333
2002 Feb 2 229 #N/A 24.8879 255.6667
2003 Mar 3 249 222.3333 63.3313 266.0000
Apr 4 289 255.6667 135.2548 326.6667
May 5 260 266.0000 161.9304 450.3333
Jun 6 431 326.6667 168.2656 622.6667
Jul 7 660 450.3333 147.3185 784.0000
Aug 8 777 622.6667 159.0445 768.3333
Sep 9 915 784.0000 174.7438 671.0000
Oct 10 613 768.3333 158.9754 458.3333
Nov 11 485 671.0000 118.0165 335.3333
Dec 12 277 458.3333 57.6455 272.3333
Jan 13 244 335.3333 33.4830 286.3333
Feb 14 296 272.3333 32.8848 328.3333
Mar 15 319 286.3333 86.8449 334.0000
Apr 16 370 328.3333 173.9369 413.0000
May 17 313 334.0000 201.5660 566.6667
Jun 18 556 413.0000 208.7092 782.3333
Jul 19 831 566.6667 182.5837 981.0000
Aug 20 960 782.3333 202.0097 957.0000
Sep 21 1152 981.0000 213.2657 839.3333
Oct 22 759 957.0000 194.4707 579.0000
Nov 23 607 839.3333 141.7965 425.3333
Dec 24 371 579.0000 76.5925 349.0000
Jan 25 298 425.3333
Feb 26 378 349.0000
Mar 27 373 349.6667

Metode Peramalan | 61

Apr 28 443 398.0000 33.7167 349.6667
May 32.0584 398.0000
Jun 29 374 396.6667 101.0790 396.6667
Jul 211.3720 492.3333
Aug 30 660 492.3333 244.4835 679.3333
Sep 254.1508 939.0000
Oct 31 1004 679.3333 222.1623 1181.6667
Nov 248.2154 1148.3333
Dec 32 1153 939.0000 259.8790 1002.3333
Jan 686.6667
33 1388 1181.6667 -

34 904 1148.3333

35 715 1002.3333

36 441 686.6667

2004 37 - -

YtSecara grafik, dapat digambarkan:

1600
1400
1200
1000

800
600
400
200

0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
t

Actual Forecast

Metode Exponential Smoothing
Secara matematis ditulis:

( ) = + (1 − )

Contoh:

Simple Exponential Smoothing

Alpha
.30

t Yt Smoothed Forecast % error

274.5 *

62 | Metode Peramalan

1 189 248.9 275 -45.5
2 229 242.9 249 -8.7
3 249 244.7 243 2.4
4 289 258.0 245 15.2
5 260 258.6 258 0.8
6 431 310.3 259 39.9
7 660 415.2 310 53.0
8 777 523.8 415 46.6
9 915 641.1 524 42.7
10 613 632.7 641 -4.6
11 485 588.4 633
12 277 495.0 588 -30.5
13 244 419.7 495 -112.3
14 296 382.6 420 -102.9
15 319 363.5 383
16 370 365.5 364 -41.9
17 313 349.7 365 -20.1
18 556 411.6 350
19 831 537.4 412 1.6
20 960 664.2 537 -16.6
21 1,152 810.5 664 37.1
22 759 795.1 811 50.4
23 607 738.7 795 44.1
24 371 628.4 739 42.4
25 298 529.2 628
26 378 483.9 529 -6.9
27 373 450.6 484 -31.0
28 443 448.3 451 -99.2
29 374 426.0 448 -110.7
30 660 496.2 426 -39.9
31 1,004 648.6 496 -29.8
32 1,153 799.9 649
33 1,388 976.3 800 -1.8
34 904 954.6 976 -19.8
35 715 882.7 955 35.5
36 441 750.2 883 50.6
37 750 43.7
42.4

-8.0
-33.6
-100.2

77,201.0 Mean Squared Error
Mean Absolute Percent
39.2% Error
44.4%
Percent Positive Errors

* initial value- mean of first six data values

Metode Peramalan | 63

YtSecara grafik, dapat digambarkan:

1600
1400
1200
1000

800
600
400
200

0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
t

Actual Forecast

KESIMPULAN

1. Metode trend menggunakan persamaan regresi, prediksi y = f(t); dimana
periode waktu t diawali dengan t = 1 sampai dengan t = n (disebut
dengan istilah time invariant atau deterministik atau bersifat diskrit).

2. Metode moving average, adalah metode rata-rata dari beberapa
periode; dimana nilai MA-nya dapat diletakkan di posisi awal atau
tengah atau akhir dari rentang rata-rata tersebut.

3. Metode exponential smoothing menggunakan alpha (antara 0 sampai
1), sebagai penghalus dalam proses estimasinya.

GLOSARI

Data forecast, adalah data time series yang merupakan hasil dari ramalan
di masa yang akan datang.

Data original, adalah data time series yang dikumpulkan pada periode
waktu tertentu dari masa lalu.

Metode exponential smoothing, adalah metode peramalan dengan
menggunakan alpha (beta, gamma) sebagai pengali.

Metode moving average, adalah metode peramalan dengan teknik rata-
rata bergerak.

64 | Metode Peramalan

Metode trend, adalah metode peramalan dengan pendekatan regresi,
dimana periode adalah sebagai variabel independennya.

Proses deterministik, adalah proses meramalkan data masa depan dengan
menggunakan fungsi matematika.

Proses stokastik, adalah prosesn meramalkan data masa depan dengan
menggunakan fungsi statistika.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Nilai prediksi dari metode trend adalah sama dengan nilai forecast-nya.
2. Time invariant artinya data periode t adalah bilangan bulat.
3. MA adalah singkatan dari Moving on Average.
4. MA(3) adalah rata-rata bergerak untuk data tiga bulan.
5. Bila  = 0,75; maka (1- ) = 0,25.
6. Metode moving average, dapat juga digunakan pada data yang bersifat

cross-section.
7. Dalam metode simple exponential smoothing, besaran alpha dikalikan

dengan data forecast-nya.
8. Teknik peramalan (forecasting) adalah upaya memperkirakan nilai atau

apa yang mungkin terjadi di masa depan dengan berpedoman pada data
masa lalu, dapat dikatakan sebagai analisis univariat.
9. Metode peramalan rata-rata bergerak (moving average) adalah lebih
mudah daripada metode penghalusan eksponensial (exponential
smoothing).
10.Pergerakan original data adalah lebih stabil daripada smoothed data.

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah (Aplikasi GRETL)
1. Simple moving average pada gretl terdapat pada menu variable.
2. The mean of the first n observations adalah juga nilai awal forecast.
3. Number of observations in average adalah jumlah periode yang

digunakan dalam metode MA.

Metode Peramalan | 65

HALAMAN KOSONG
66 | Metode Peramalan

BAB 10
MAD, MSE, MAPE, MPE

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu menghitung nilai MAD, MSE, MAPE, dan MPE.
2. Mampu menentukan metode peramalan terbaik dengan kriteria atau

pendekatan error atau deviasi terkecil.

PENDAHULUAN

Untuk menentukan model peramalan terbaik adalah dengan cara
membandingkan tingkat error atau deviasi dari beberapa model yang

digunakan. Error atau deviasi yang terkecil adalah menunjukkan model
yang terbaik. Beberapa kriteria yang bisa digunakan untuk memilih model
terbaik, diantaranya: MAD (Mean Absolute Deviation), MSE (Mean Square
Error), MAPE (Mean Absolute Percentage Error), MPE (Mean Percentage
Error).

CARA BELAJAR

Secara umum, perhitungan MAD, MSE, MPE, dan MAPE adalah
menggunakan rata-rata dari absolut atau square ataupun persentase dari
error atau deviasinya, sebagai berikut:

∑| − |
=

∑( − )
=

∑ | − |

=

∑ ( − )

=

MAD, MSE, MAPE, MPE | 67

Dimana Y adalah data original, F adalah data forecast, dan n banyaknya data
atau periode waktu.

Contoh: Trend F =abs(Y-F) =(Y-F)^2 =abs(Y-F)/Y =(Y-F)^2/Y
324.61
Th t Y 338.26 135.6126 18390.7773 0.7175 97.3057
2001 1 189 351.90 109.2586 11937.4417 0.4771 52.1286
365.55 102.9045 10589.3361 0.4133 42.5275
2 229 379.20 0.2649 20.2767
3 249 392.84 76.5505 5859.9791 0.4584 54.6453
4 289 406.49 119.1964 14207.7818 0.0885
5 260 420.13 0.3841 3.3782
6 431 433.78 38.1577 1456.0101 0.4593 97.3760
7 660 447.43 253.5117 64268.1820 0.5259 163.9037
8 777 461.07 356.8658 127353.1992 0.2701 253.0847
9 915 474.72 481.2198 231572.4959 0.0493 44.7222
10 613 488.36 165.5739 27414.7164 0.7138
11 485 502.01 1.0015 1.1805
12 277 515.66 23.9279 572.5444 0.6960 141.1278
2002 13 244 529.30 197.7180 39092.4075 0.6165 244.7285
14 296 542.95 244.3640 59713.7645 0.4305 143.3786
15 319 556.59 206.0099 42440.0789 0.7347 121.2337
16 370 570.24 196.6559 38673.5430 0.0011
17 313 583.89 159.3018 25377.0635 0.3138 68.5867
18 556 597.53 229.9477 52875.9447 0.3918 168.9327
19 831 611.18 0.4813
20 960 624.82 0.5937 0.3525 0.1948 0.0006
21 1152 638.47 260.7604 67995.9862 0.0294 81.8243
22 759 652.12 376.1144 141462.0419 0.7209 147.3563
23 607 665.76 554.4685 307435.3175 1.1883 266.8709
24 371 679.41 147.8225 21851.4915 0.7613 28.7898
2003 25 298 693.05 0.8215
26 378 706.70 17.8234 317.6736 0.5645 0.5234
27 373 720.35 267.4694 71539.8799 0.8896 192.8299
28 443 733.99 354.1153 125397.6457 0.0914 420.7975
29 374 747.64 287.7613 82806.5658 0.2689 219.0650
30 660 761.28 306.4072 93885.3722 0.3516 251.7034
31 1004 250.0532 62526.6028 0.4515 141.1436
32 1153 332.6991 110688.6911 295.9591
33 1388
60.3450 3641.5190 5.5175
270.0090 72904.8601 72.6144
405.3631 164319.2428 142.5145
626.7171 392774.3234 282.9786

68 | MAD, MSE, MAPE, MPE

34 904 774.93 129.0712 16659.3747 0.1428 18.4285
35 715 788.57 73.5748 5413.2512 0.1029 7.5710
36 441 802.22 0.8191
361.2207 130480.3941 16.8878 295.8739
Jumlah 8179.1660 2643895.8521 4590.8794

MAD 227.1991 =8179.1660/36

MSE 73441.5514 =2643895.8521/36

MAPE 0.4691 =16.8878/36

MPE 127.5244 =4590.8794/36

Menggunakan Aplikasi GRETL

Model estimation range: 2001:01- 2003:12
Standard error of residuals = 278.858

2001:01 Y fitted residual
2001:02 189.000 324.613 -135.613
2001:03 229.000 338.259 -109.259
2001:04 249.000 351.905 -102.905
2001:05 289.000 365.550 -76.5505
2001:06 260.000 379.196 -119.196
2001:07 431.000 392.842 38.1577
2001:08 660.000 406.488 253.512
2001:09 777.000 420.134 356.866
2001:10 915.000 433.780 481.220
2001:11 613.000 447.426 165.574
2001:12 485.000 461.072 23.9279
2002:01 277.000 474.718 -197.718
2002:02 244.000 488.364 -244.364
2002:03 296.000 502.010 -206.010
2002:04 319.000 515.656 -196.656
2002:05 370.000 529.302 -159.302
2002:06 313.000 542.948 -229.948
2002:07 556.000 556.594 -0.593694
2002:08 831.000 570.240 260.760
2002:09 960.000 583.886 376.114
2002:10 1152.00 597.532 554.468
759.000 611.177 147.823

MAD, MSE, MAPE, MPE | 69

2002:11 607.000 624.823 -17.8234
2002:12 371.000 638.469 -267.469
2003:01 298.000 652.115 -354.115
2003:02 378.000 665.761 -287.761
2003:03 373.000 679.407 -306.407
2003:04 443.000 693.053 -250.053
2003:05 374.000 706.699 -332.699
2003:06 660.000 720.345 -60.3450
2003:07 1004.00 733.991 270.009
2003:08 1153.00 747.637 405.363
2003:09 1388.00 761.283 626.717
2003:10 904.000 774.929 129.071
2003:11 715.000 788.575 -73.5748
2003:12 441.000 802.221 -361.221

Forecast evaluation statistics using 36 observations

Mean Error 1.2632e-014

Root Mean Squared Error 271
Mean Absolute Error 227.2
Mean Percentage Error -22.612
Mean Absolute Percentage Error 46.911
Theil's U 1.5948

Contoh: MA(3) F =abs(Y-F) =(Y-F)^2 =abs(Y-F)/Y =(Y-F)^2/Y

Th t Y 222.33 66.6667 4444.4489 0.2307 15.3787
2001 1 189 255.67 4.3333 18.7775 0.0167 0.0722
266.00 0.3828
2 229 326.67 165.0000 27225.0000 0.5051 63.1671
3 249 450.33 333.3333 111111.0889 0.4204 168.3501
4 289 622.67 326.6667 106711.1329 0.3195 137.3374
5 260 784.00 292.3333 0.2790
6 431 768.33 171.0000 85458.7583 0.5842 93.3976
7 660 671.00 283.3333 29241.0000 1.4224 47.7015
8 777 458.33 394.0000 80277.7589 0.8784 165.5212
9 915 335.33 214.3333 155236.0000 0.1329 560.4188
10 613 272.33 39.3333 45938.7635 0.1463 188.2736
11 485 46.6667
12 277 1547.1085 5.2267
2002 13 244 2177.7809 6.8269
14 296
15 319

70 | MAD, MSE, MAPE, MPE

2003 16 370 286.33 83.6667 7000.1167 0.2261 18.9192
17 313 328.33 15.3333 235.1101 0.0490 0.7512
18 556 334.00 222.0000 0.3993
19 831 413.00 418.0000 49284.0000 0.5030 88.6403
20 960 566.67 393.3333 174724.0000 0.4097 210.2575
21 1152 782.33 369.6667 154711.0849 0.3209 161.1574
22 759 981.00 222.0000 136653.4691 0.2925 118.6228
23 607 957.00 350.0000 0.5766
24 371 839.33 468.3333 49284.0000 1.2624 64.9328
25 298 579.00 281.0000 122500.0000 0.9430 201.8122
26 378 425.33 47.3333 219336.0799 0.1252 591.2024
27 373 349.00 24.0000 0.0643 264.9698
28 443 349.67 93.3333 78961.0000 0.2107
29 374 398.00 24.0000 2240.4413 0.0642 5.9271
30 660 396.67 263.3333 576.0000 0.3990 1.5442
31 1004 492.33 511.6667 8711.1049 0.5096 19.6639
32 1153 679.33 473.6667 576.0000 0.4108 1.5401
33 1388 939.00 449.0000 0.3235 105.0673
34 904 1181.67 277.6667 69344.4269 0.3072 260.7598
35 715 1148.33 433.3333 261802.8119 0.6061 194.5882
36 441 1002.33 561.3333 224360.1427 1.2729 145.2457
8318.9998 201601.0000 14.5941 85.2863
Jumlah 262.6262
77098.7963 714.5013
187777.7489 4969.6873
315095.0737
2991260.0254

MAD 252.0909 =8318.9998/33

MSE 90644.2432 =2991260.0254/33

MAPE 0.4422 =14.5941/33

MPE 150.5966 =4969.6873/33

Contoh: ES (alpha = 0.3)

Th t Y F =abs(Y-F) =(Y-F)^2 =abs(Y-F)/Y =(Y-F)^2/Y

2001 1 189 275 86 7396 0.4550 39.1323
400 0.0873 1.7467
2 229 249 20 36 0.0241 0.1446
0.1522 6.6990
3 249 243 6 1936 0.0077 0.0154
4 0.3991
4 289 245 44 68.6404
29584
5 260 258 2

6 431 259 172

MAD, MSE, MAPE, MPE | 71

2002 7 660 310 350 122500 0.5303 185.6061
2003 8 777 415 362 131044 0.4659 168.6538
9 915 524 391 152881 0.4273 167.0831
10 613 641 0.0457
11 485 633 28 784 0.3052 1.2790
12 277 588 148 21904 1.1227 45.1629
13 244 495 311 96721 1.0287 349.1733
14 296 420 251 63001 0.4189 258.2008
15 319 383 124 15376 0.2006 51.9459
16 370 364 0.0162 12.8401
17 313 365 64 4096 0.1661
18 556 350 6 36 0.3705 0.0973
19 831 412 0.5042 8.6390
20 960 537 52 2704 0.4406 76.3237
21 1152 664 206 42436 0.4236 211.2647
22 759 811 419 175561 0.0685 186.3844
23 607 795 423 178929 0.3097 206.7222
24 371 739 488 238144 0.9919 3.5626
25 298 628 1.1074 58.2273
26 378 529 52 2704 0.3995 365.0243
27 373 484 188 35344 0.2976 365.4362
28 443 451 368 135424 0.0181 60.3201
29 374 448 330 108900 0.1979 33.0322
30 660 426 151 22801 0.3545 0.1445
31 1004 496 111 12321 0.5060 14.6417
32 1153 649 0.4371 82.9636
33 1388 800 8 64 0.4236 257.0359
34 904 976 74 5476 0.0796 220.3088
35 715 955 234 54756 0.3357 249.0951
36 441 883 508 258064 1.0023 5.7345
504 254016 14.1215 80.5594
Jumlah 588 345744 443.0023
72 5184 4284.8431
240 57600
442 195364
7823 2779235

MAD 217.3056 =7823/36

MSE 77200.9722 =2779235/36

MAPE 0.3923 =14.1215/36

MPE 119.0234 =4284.8431/36

72 | MAD, MSE, MAPE, MPE

Misalkan, menggunakan kriteria MAPE, maka besaran MAPE metode trend
adalah 46,91%, metode MA(3) adalah 44,22%, dan metode ES (alpha = 0.3)
adalah 39,23%. Jadi dapat disimpulkan bahwa metode Exponential Smoothing
adalah yang terbaik.

KESIMPULAN

Membandingkan nilai error atau deviasi terkecil antara metode trend,
moving average, dan exponential smoothing dengan menggunakan kriteria
MAD, MSE, MAPE, dan MPE adalah upaya untuk memilih model peramalan
terbaik.

GLOSARI

Error atau deviasi, adalah selisih antara data forecast dengan data
originalnya.

Overestimate, adalah nilai data forecast-nya terlalu besar atau tinggi
daripada data originalnya.

Underestimate, adalah nilai data forecast-nya terlalu kecil atau rendah
daripada data originalnya.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. MAD dari metode peramalan trend bernilai 20, metode MA bernilai 15,

sementara metode ES bernilai 10. Metode peramalan yang terbaik
dengan kriteria MAD adalah teknik trend.
2. EMA adalah singkatan dari Exponential of Moving Average.
3. Absolut artinya positif.
4. Nilai MPE yang besar dan negatif bermakna underestimate.
5. Error adalah selisih dari data original dikurangi data forecast.

MAD, MSE, MAPE, MPE | 73

HALAMAN KOSONG
74 | MAD, MSE, MAPE, MPE

BAB 11
DEKOMPOSISI

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu menentukan komponen data time series yang terdiri dari unsur
trend, musim, siklus, dan tak beraturan, dengan menggunakan teknik
multiplicative.

2. Mampu menentukan atau membersihkan data, sehingga data bebas
dari efek trend ataupun musimannya.

PENDAHULUAN

Dekomposisi adalah teknik untuk menentukan komponen atau unsur yang
terdapat di dalam data time series; dimana komponen tersebut terdiri dari
trend (Tr), musim (Sn), siklus (Cl), dan acak (Ir). Oleh karena itu, data Yt
merupakan gabungan atau komposit dari Tr, Sn, Cl, dan Ir.

Terdapat dua teknik dekomposisi, yaitu: (1) teknik additive, secara
matematis ditulis: Yt = Tr + Sn + Cl + Ir, dan (2) teknik multiplicative, secara
matematis ditulis: Yt = Tr * Sn * Cl * Ir.

CARA BELAJAR

Sebagaimana diketahui bahwa Yt = Tr*Sn*Cl*Ir; maka dapat juga ditulis
bahwa: (Tr*Cl) = Yt / (Sn*Ir) atau (Sn*Ir) = Yt / (Tr*Cl) atau (Tr*Sn) = Yt /
(Cl*Ir) atau (Cl*Ir) = Yt / (Tr*Sn), dan seterusnya. Adapun langkah-langkah
dekomposisi teknik multiplicative, adalah sebagai berikut:
(1) Menghitung (Tr*Cl) dengan metode CMA (Centered Moving Average),

misalkan datanya perbulan maka hitungannya MA-nya adalah 12
periode CMA(12).
(2) Menentukan (Sn*Ir) dengan rumus: (Sn*Ir) = Yt / (Tr*Cl), sehingga
diperoleh indeks per bulannya. Bila data indeks per bulannya lebih dari
12 periode, maka penetapannya dapat menggunakan metode rata-rata
atau metode median. Indeks ini dinamakan indeks musiman (seasonal
factor). Bila penjumlahan seasonal factor ini lebih atau kurang dari 12,
maka perlu disesuaikan dengan pengali (multiplier) agar jumlahnya 12,

Dekomposisi | 75

sehingga didapatlah indeks musim disesuaikan (adjusted seasonal),
selanjutnya dinamakan Sn.
(3) Menghilangkan unsur musim (deseasonal) dengan rumus: Yt/Sn.
(4) Menentukan data trend dari data deseasonal (Predicted Yt/Sn),
selanjutnya dinamakan Tr.
(5) Menghitung (Tr*Sn).
(6) Menghitung (Cl*Ir) dengan rumus: (Cl*Ir) = Yt / (Tr*Sn).
(7) Menentukan Cl dengan metode CMA(3), selanjutnya dinamakan Cl.
(8) Menentukan Ir dengan rumus: Ir = (Cl*Ir) / Cl atau : Ir = (Yt/Sn) / Tr,

selanjutnya dinamakan Ir. Untuk membuktikan nilai Yt, maka dapat
dihitung dengan rumus: Yt = Tr*Sn*Cl*Ir.

Contoh

Tahun Bulan t Yt CMA12 (Tr * Cl) = (Sn*Ir) =
CMA12 Yt/(Tr*Cl)

2001 Jan 1 189

Feb 2 229

Mar 3 249

Apr 4 289

May 5 260

Jun 6 431 447.8333

Jul 7 660 452.4167 450.1250 1.4663

Aug 8 777 458.0000 455.2083 1.7069

Sep 9 915 463.8333 460.9167 1.9852

Oct 10 613 470.5833 467.2083 1.3120

Nov 11 485 475.0000 472.7917 1.0258

Dec 12 277 485.4167 480.2083 0.5768

2002 Jan 13 244 499.6667 492.5417 0.4954

Feb 14 296 514.9167 507.2917 0.5835

Mar 15 319 534.6667 524.7917 0.6079

Apr 16 370 546.8333 540.7500 0.6842

May 17 313 557.0000 551.9167 0.5671

Jun 18 556 564.8333 560.9167 0.9912

Jul 19 831 569.3333 567.0833 1.4654

Aug 20 960 576.1667 572.7500 1.6761

Sep 21 1152 580.6667 578.4167 1.9916

Oct 22 759 586.7500 583.7083 1.3003

Nov 23 607 591.8333 589.2917 1.0301

76 | Dekomposisi

2003 Dec 24 371 600.5000 596.1667 0.6223
Jan 25 298 614.9167 607.7083 0.4904
Feb 26 378 631.0000 622.9583 0.6068
Mar 27 373 650.6667 640.8333 0.5821
Apr 28 443 662.7500 656.7083 0.6746
May 29 374 671.7500 667.2500 0.5605
Jun 30 660 677.5833 674.6667 0.9783
Jul 31 1004
Aug 32 1153
Sep 33 1388
Oct 34 904
Nov 35 715

Dec 36 441

t indeks 1 indeks 2 rata-rata seasonal Sn = adjusted deseasonal
factor seasonal = Yt/Sn

1 0.4954 0.4904 0.4929 0.4929 0.4933 383.1543

2 0.5835 0.6068 0.5951 0.5951 0.5956 384.4771

3 0.6079 0.5821 0.5950 0.5950 0.5954 418.1817

4 0.6842 0.6746 0.6794 0.6794 0.6800 425.0306

5 0.5671 0.5605 0.5638 0.5638 0.5643 460.7767

6 0.9912 0.9783 0.9847 0.9847 0.9855 437.3245

7 1.4654 1.4663 1.4658 1.4658 1.4670 449.8969

8 1.6761 1.7069 1.6915 1.6915 1.6929 458.9825

9 1.9916 1.9852 1.9884 1.9884 1.9900 459.7978

10 1.3003 1.3120 1.3062 1.3062 1.3072 468.9318

11 1.0301 1.0258 1.0279 1.0279 1.0288 471.4408

12 0.6223 0.5768 0.5996 0.5996 0.6001 461.6264

13 0.4929 0.4933 494.6543

14 0.5951 0.5956 496.9660

15 0.5950 0.5954 535.7428

16 0.6794 0.6800 544.1568

17 0.5638 0.5643 554.7042

18 0.9847 0.9855 564.1588

19 1.4658 1.4670 566.4611

20 1.6915 1.6929 567.0826

21 1.9884 1.9900 578.8929

22 1.3062 1.3072 580.6187

23 1.0279 1.0288 590.0301

Dekomposisi | 77

24 0.5996 0.6001 618.2794

25 0.4929 0.4933 604.1269

26 0.5951 0.5956 634.6390

27 0.5950 0.5954 626.4328

28 0.6794 0.6800 651.5175

29 0.5638 0.5643 662.8095

30 0.9847 0.9855 669.6848

31 1.4658 1.4670 684.3886

32 1.6915 1.6929 681.0898

33 1.9884 1.9900 697.4856

34 1.3062 1.3072 691.5406

35 1.0279 1.0288 695.0107

36 0.5996 0.6001 734.9359

t Tr = Predicted (Tr*Sn) (Cl*Ir) = Cl = Ir = Ir =
Yt/Sn Yt/(Tr*Sn) CMA(3) (Cl*Ir)/Cl (Yt/Sn)/Cl
192.1852
1 389.6115 237.7108 0.9834 0.9901 0.9730 0.9834
243.2903 0.9634 1.0011 1.0223 0.9634
2 399.1020 284.2760 1.0235 1.0392 0.9782 1.0235
241.2646 1.0166 1.0316 1.0446 1.0166
3 408.5925 430.7433 1.0777 1.0286 0.9728 1.0777
655.0967 1.0006 1.0048 1.0026 1.0006
4 418.0830 772.0273 1.0075 1.0005 1.0059 1.0075
926.4181 1.0064 0.9938 0.9939 1.0064
5 427.5735 620.9665 0.9877 0.9826 1.0046 0.9877
498.4518 0.9872 0.9649 1.0084 0.9872
6 437.0640 296.4301 0.9730 0.9633 0.9701 0.9730
248.3621 0.9345 0.9619 1.0214 0.9345
7 446.5545 305.5429 0.9824 0.9922 0.9764 0.9824
311.1020 0.9688 1.0057 1.0196 0.9688
8 456.0450 361.7129 1.0254 1.0243 0.9987 1.0254
305.5265 1.0229 1.0238 1.0007 1.0229
9 465.5355 542.9823 1.0245 1.0197 1.0042 1.0245
822.1679 1.0240 1.0099 1.0008 1.0240
10 475.0260 964.8221 1.0107 1.0016 0.9934 1.0107
1153.0519 0.9950 0.9933 1.0058 0.9950
11 484.5165 769.8413 0.9991 0.9903 0.9955 0.9991
615.6133 0.9859 0.9963 0.9896 0.9859
12 494.0070 0.9860 0.9860

13 503.4975

14 512.9880

15 522.4785

16 531.9690

17 541.4595

18 550.9500

19 560.4405

20 569.9310

21 579.4215

22 588.9120

23 598.4025

78 | Dekomposisi

24 607.8930 364.7677 1.0171 0.9939 1.0234 1.0171
25 617.3835 304.5391 0.9785 1.0027 0.9759 0.9785
26 626.8741 373.3751 1.0124 0.9918 1.0208 1.0124
27 636.3646 378.9137 0.9844 1.0018 0.9826 0.9844
28 645.8551 439.1498 1.0088 1.0015 1.0072 1.0088
29 655.3456 369.7883 1.0114 1.0091 1.0022 1.0114
30 664.8361 655.2213 1.0073 1.0112 0.9961 1.0073
31 674.3266 989.2390 1.0149 1.0061 1.0088 1.0149
32 683.8171 1157.6169 0.9960 1.0057 0.9904 0.9960
33 693.3076 1379.6857 1.0060 0.9953 1.0107 1.0060
34 702.7981 918.7161 0.9840 0.9886 0.9953 0.9840
35 712.2886 732.7748 0.9757 0.9927 0.9830 0.9757

36 721.7791 433.1052 1.0182 1.0182

KESIMPULAN

1. Data time series adalah komposit dari elemen trend (Tr), musim (Sn),
siklus (Cl), maupun tak beraturan (Ir), atau, Yt = Tr*Sn*Cl*Ir.

2. Mengetahui pola trend, musim, siklus maupun tak beraturan dari data
time series adalah dalam upaya untuk menghilangkan pengaruh atau
efek dari komponennya, misalnya detrending adalah menghilangkan
efek atau pengaruh dari unsur trend yang ada di dalam data times series.

3. Deseasonal adalah menghilangkan efek atau pengaruh dari unsur musim
yang ada di dalam data times series.

GLOSARI

CMA(12) atau Centered Moving Average 12, adalah teknik menetukan
unsur siklus dan tak beraturan pada data time series dalam satu tahun.

Dekomposisi, adalah teknik memecah data time series kedalam komponen
atau unsur.

Deseasonal, adalah teknik menghilangkan efek musiman dari data time
series.

Detrending, adalah teknik menghilangkan efek trend dari data time series.
Seasonal adjusted, adalah seasonal factor yang sudah disesuaikan dengan

memperhitungkan jumlahnya yang sebesar 12 (= jumlah bulan dalam

satu tahun).

Dekomposisi | 79

Seasonal factor, adalah indek musiman selama satu tahun periode waktu,
yang dihitung dengan cara rata-rata atau median.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Seasonal factor diperoleh dari rata-rata atau median dari rasio data

original terhadap Tr*Cl-nya.
2. CMA(12) adalah termasuk kedalam komponen musim dan siklus.
3. Komponen Sn diukur dalam satuan yang sesuai atau sama dengan

satuan data original-nya.
4. Teknik multiplicative adalah teknik dekomposisi dalam analisis univariat.
5. Teknik multiplicative adalah lebih baik daripada teknik additive.
6. Data time series dapat juga disusun secara tidak berurutan.
7. Komponen trend merupakan kenaikan atau penurunan data time series

dalam jangka panjang.
8. Data deseasonal diperoleh dengan cara membagi data original-nya

terhadap indeks musim-nya.
9. Meningkatnya nilai penjualan pada saat peringatan hari besar, misalkan

pada saat menjelang lebaran, adalah salah satu efek siklus bisnis.
10.Tr atau Trend dalam dekomposisi adalah nilai forecast dari persamaan

regresi, dimana dependent variabel nya adalah data originalnya.
11.Yt adalah Tr*Sn*Cl*Ir.
12.Cl adalah CMA(3).
13.Dalam model trend, data forecast adalah berbeda dengan data

prediction.
14.Cl*Sn adalah Yt / (Tr*Ir).
15. Tr adalah Yt/Sn.
16. Cl*Ir adalah Yt / (Tr*Sn).

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah (Aplikasi GRETL)
1. Add Time trend adalah menu regresi trend.
2. Regresi model trend, dimana Regressors nya adalah variabel const dan

time.

80 | Dekomposisi

BAB 12
PERILAKU DATA TIME SERIES

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu memahami istilah Autocorrelation Function (ACF) dan
Autocorrelation Partial Function (PACF), yang tergambar dari
correlogram.

2. Mampu memahami makna stasioner dari data time series.

PENDAHULUAN

Dapat dikatakan bahwa data time series cenderung bergerak meningkat
atau menurun alias memiliki trend. Dengan kata lain, pergerakannya adalah
tidak konstan atau tidak bergerak menuju nilai rata-ratanya, alias
dinamakan tidak stasioner, atau tidak random walk. Walaupun cenderung
tidak stasioner untuk data aslinya atau data levelnya, proses stokastik dapat
menjelaskan bahwa bisa jadi yang data levelnya tidak stasioner, namun
data perubahannya adalah stasioner. Ataupun bisa jadi data perubahannya
tidak stasioner, namun data perubahan dari perubahannya adalah
stasioner, dan seterusnya. Jadi, data time series bisa stasioner pada level,
bisa stasioner pada 1st difference, atau baru bisa stasioner pada data 2nd
difference-nya, dan seterusnya. Jadi proses stasioneritas adalah upaya
untuk menjadikan pergerakan data menjadi konstan.

Terkadang, pergerakan data time series adalah terus meningkat, namun
peningkatannya tersebut adalah karena pengaruh trendnya, sehingga bila
diperhatikan data tersebut bergerak di seputar garis trendnya. Ini berarti
data tersebut adalah cenderung untuk stasioner. Untuk memastikan
stasioneritas, memang harus dilakukan pengujian. Secara empiris, data
time series adalah stasioner pada 1st difference.

CARA BELAJAR

Memahami perilaku data time series adalah memahami bagaimana data
masa lalu menjelaskan perubahan data sekarang, alias memahami
stasioneritas data. Untuk itu, cara atau pendekatan yang digunakan adalah

Perilaku Data Time Series | 81

dengan melihat correlogram-nya. Correlogram merupakan nilai
autokorealasi dan autokorelasi parsial dari tiap-tiap lag (ordo) masa lalunya;
yang dinamakan ACF dan PACF. Jadi correlogram adalah kumpulan dari nilai
ACF dan PACF dari masing-masing ordo atau lagnya.

Selain menggunakan pendekatan correlogram, pendekatan pengujian (uji
stasioner) lebih umum digunakan untuk memastikan apakah suatu data
time series memiliki akar unit atau tidak. Memiliki akar unit bermakna tidak
stasioner; dan sebaliknya, tidak memiliki akar unit berarti stasioner. Jadi

pengujian akar unit adalah upaya untuk memastikan apakah data time
series adalah stasioner pada level, atau pada first difference, ataupun pada
second difference, dan seterusnya. Rumus atau pendekatan yang sering
digunakan dalam uji stasioner atau uji akar unit adalah Augmented Dickey
Fuller test atau uji ADF.

Contoh: Data level, 1st difference, 2nd difference

Tahun t Y D(Y) D(Y,2)

2001 1 189

2 229 40

3 249 20 -20

4 289 40 20

5 260 -29 -69

6 431 171 200

7 660 229 58

8 777 117 -112

9 915 138 21

10 613 -302 -440

11 485 -128 174

12 277 -208 -80

2002 13 244 -33 175

14 296 52 85

15 319 23 -29

16 370 51 28

17 313 -57 -108

18 556 243 300

19 831 275 32

20 960 129 -146

82 | Perilaku Data Time Series

21 1152 192 63
22
23 759 -393 -585

24 607 -152 241
25
26 371 -236 -84
27
2003 28 298 -73 163
29
30 378 80 153
31
373 -5 -85
32
33 443 70 75
34
35 374 -69 -139

36 660 286 355

1004 344 58

1153 149 -195

1388 235 86

904 -484 -719

715 -189 295

441 -274 -85

Aplikasi GRETL: Correlogram

Autocorrelation function for Y
***, **, * indicate significance at the 1%, 5%, 10% levels
using standard error 1/T^0.5

LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]

1 0.7772 *** 0.7772 *** 23.6091 [0.000]
2 0.4383 *** -0.4185 ** 31.3389 [0.000]
3 0.0240 -0.4102 ** 31.3627 [0.000]
4 -0.2573 0.0898 34.1936 [0.000]
5 -0.3831 ** 0.0438 40.6702 [0.000]
6 -0.4414 *** -0.3782 ** 49.5540 [0.000]
7 -0.3772 ** 0.0876 56.2640 [0.000]

Perilaku Data Time Series | 83

ACF for Y +- 1.96/T^0.5
1 678

0.5 +- 1.96/T^0.5
678
0

-0.5

-1
012345
lag

PACF for Y
1

0.5

0

-0.5

-1
012345
lag

Aplikasi GRETL: Uji Stasioner ADF

k = 9: AIC = 269.976
k = 8: AIC = 268.318
k = 7: AIC = 286.692
k = 6: AIC = 310.071
k = 5: AIC = 320.357
k = 4: AIC = 344.142
k = 3: AIC = 342.336
k = 2: AIC = 340.677
k = 1: AIC = 348.314
k = 0: AIC = 354.214

Augmented Dickey-Fuller test for Y
testing down from 9 lags, criterion AIC
sample size 27
unit-root null hypothesis: a = 1

84 | Perilaku Data Time Series

with constant and trend
including 8 lags of (1-L)Y
model: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e
estimated value of (a- 1):-5.3606
test statistic: tau_ct(1) =-9.70524
asymptotic p-value 1.263e-018
1st-order autocorrelation coeff. for e:-0.076
lagged differences: F(8, 16) = 100.402 [0.0000]

Augmented Dickey-Fuller regression
OLS, using observations 2001:10-2003:12 (T = 27)
Dependent variable: d_Y

coefficient std. error t-ratio p-value
---------------------------------------------------------

const 1783.41 183.335 9.728 4.03e-08 ***

Y_1 −5.36060 0.552341 −9.705 1.26e-018 ***

d_Y_1 3.69237 0.404896 9.119 9.75e-08 ***

d_Y_2 3.73981 0.354003 10.56 1.27e-08 ***

d_Y_3 3.59901 0.402013 8.952 1.25e-07 ***

d_Y_4 2.62467 0.390388 6.723 4.89e-06 ***

d_Y_5 1.99844 0.207139 9.648 4.51e-08 ***
d_Y_6 1.92731 0.195055 9.881 3.24e-08 ***

d_Y_7 1.81206 0.236403 7.665 9.61e-07 ***

d_Y_8 0.852409 0.192588 4.426 0.0004 ***

time 51.5859 5.33615 9.667 4.39e-08 ***

AIC: 276.841 BIC: 291.095 HQC: 281.079

Hasil statistik ADF (-9.70524) menunjukkan bahwa data Y adalah stasioner
atau tidak memiliki akar unit, alias berderajat integrasi nol. Selanjutnya,
data level Y ini dapat digunakan untuk penaksiran seperti ARIMA tanpa
harus dilakukan proses differencing.

KESIMPULAN

1. Pola data time series yang menggambarkan pergerakan trend baik yang
meningkat ataupun menurun terkadang mengalami kejutan-kejutan

sehingga terjadi lompatan.
2. Data time series akan selalu berurutan sehingga cenderung untuk

berkorelasi dengan masa lalunya; atau dengan kata lain dapat dikatakan

Perilaku Data Time Series | 85

bahwa data perubahannya (Yt) adalah karena pengaruh dari data masa
lalunya (Yt-1), atau Yt-1 adalah karena Yt-2, atau Yt-2 adalah karena Yt-3,
dan seterusnya.
3. Memahami perilaku data adalah upaya untuk menjelaskan tentang
stasioneritas data, yaitu data times series yang stasioner pada level
(memiliki derajat integrasi 0) atau stasioner pada first difference
(memiliki derajat integrasi 1) ataupun stasioner pada second difference
(memiliki derajat integrasi 2), dan seterusnya.

GLOSARI

Akar unit, adalah pengujian stasioneritas data. Memiliki akar unit dapat
bermakna tidak stasioner.

Autocorrelation Function, adalah nilai korelasi deret terhadap data masa
lalunya.

Correlogram, adalah diagram untuk ACF dan PACF dari setiap lag atau
ordonya.

Differencing, adalah menentukan data perubahan atau deltanya.
Partial Autocorrelation Function, adalah nilai korelasi deret secara parsial

terhadap data masa lalunya.
Random walk, adalah proses stokastik atau deret acak data.
Stasioner, adalah proses stokastik atau gerak acak data, dimana deretnya

adalah konstan.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Correlogram adalah figure atau gafik batang/garis dari ACF dan PACF

untuk setiap lag nya.
2. PACF adalah singkatan dari Partial Autocorrelation Figure.
3. Data level menunjukkan data original.
4. ACF adalah singkatan dari Autocorrelation Figure.
5. ADF test adalah untuk menguji stasioneritas data.

86 | Perilaku Data Time Series

BAB 13
MODEL AUTOREGRESSIVE

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu memahami makna autoregressive.
2. Mampu menentukan model autoregressive dengan metode Ordinary

Least Square (OLS) maupun metode Maximum Likelihood Estimator
(MLE).

PENDAHULUAN

Model autoregressive atau disingkat AR adalah analisis mengenai kondisi
data sekarang yang disebabkan oleh fenomena atau kondisi data masa
lalunya. Jadi, data Y adalah karena data Yt-1, Yt-2, Yt-3, dan seterusnya. Secara
model ditulis, Y = f(Yt-1, Yt-2, Yt-3, ..., Yt-p), dimana p adalah tingkat ordo atau
lagnya. Atau juga ditulis, Yt = β0 + β1 Yt-1 + β2 Yt-2 + β3 Yt-3 + ... + βpYt-p + εt; atau
juga, Yt = β0 + β1 AR(1) + β2 AR(2) + β3 AR(3) + ... + βp AR(p) + εt; dimana βp
adalah parameter AR(p) dan ε adalah error term.

Perlu diketahui bahwa, menentukan parameter model AR dapat dilakukan
dengan metode OLS, dapat juga dilakukan dengan metode MLE. Bila
menggunakan metode OLS, maka syarat atau asumsi klasiknya harus
terpenuhi, seperti: error nya adalah sama dengan nol, atau memiliki varian
yang sama, dan juga error periode t tidak berkorelasi dengan error periode
t-p nya (alias tidak terjadi autokorelasi). Sementara metode MLE biasanya
cenderung menghasilkan parameter yang bias bila sampel atau data yang
digunakan adalah kecil, karena sudah menjadi sifat metode ML yang
mengestimasi dengan cara memaksimalkan fungsi atau mencari titik
maksimal dari fungsi likelihood nya. Untuk berberapa kasus atau
pertimbangan (misalnya data sudah dalam jumlah besar atau big data),
metode MLE adalah lebih diunggulkan daripada metode OLS.

CARA BELAJAR

Mengestimasi model autoregressive dengan metode OLS atau MLE adalah
sebagai berikut:

Model Autoregressive | 87

(1) Meregres data Y terhadap data lagnya, baik menggunakan metode OLS
maupun MLE. Adapun langkahnya adalah dilakukan cara bertahap, yaitu
mulai meregres terhadap lag terpanjangnya (pendekatan intuitif)
sampai kepada lag terkecilnya, yaitu dengan melihat signifikansi
koefisien parameternya. Namun dapat juga dimulai dari lag pertama
atau ordo pertamanya, kemudian dilanjutkan kepada ordo yang lebih
tinggi, sampai parameter menjadi tidak signifikan atau berubah tanda.
Menggunakan kriteria seperti: AIC, SIC, dan HQC, adalah dapat juga
digunakan untuk menentukan lag yang optimal.

(2) Kemudian adalah melakukan pengujian diagnostik terhadap error dari
model AR yang diestimasi; misalnya pengujian autokorelasi Breusch-
Godfrey, atau pengujian white noise dengan statistik Q (Ljung-Box), yaitu
pengujian tidak terdapat autokorelasi pada deret residualnya. Atau juga
dapat menggunakan correlogram, yaitu memastikan ACF dan PACF data

residualnya tidak berada di luar batas atas-bawah (tidak signifikan).
(3) Selanjutnya adalah menggunakan kriteria MAPE untuk menentukan

model terbaik dalam membandingakan antara metode OLS atau metode
MLE.
(4) Forecasting.

Contoh data: Yt, Yt-1, Yt-2, Yt-3

Tahun t Yt Yt-1 Yt-2 Yt-3

2001 1 189 189 189
229 229
2 229 189 249 249
289 289
3 249 229 260 260
431 431
4 289 249 660 660
777 777
5 260 289 915 915
613 613
6 431 260 485 485
277 277
7 660 431 244

8 777 660

9 915 777

10 613 915

11 485 613

12 277 485

2002 13 244 277

14 296 244

15 319 296

88 | Model Autoregressive

2003 16 370 319 296 244
17 313 370 319 296
18 556 313 370 319
19 831 556 313 370
20 960 831 556 313
21 1152 960 831 556
22 759 1152 960 831
23 607 759 1152 960
24 371 607 759 1152
25 298 371 607 759
26 378 298 371 607
27 373 378 298 371
28 443 373 378 298
29 374 443 373 378
30 660 374 443 373
31 1004 660 374 443
32 1153 1004 660 374
33 1388 1153 1004 660
34 904 1388 1153 1004
35 715 904 1388 1153
36 441 715 904 1388

Menggunakan aplikasi GRETL

Model AR(1): OLS, using observations 2001:02-2003:12 (T = 35)
Dependent variable: Yt

const Coefficient Std. Error t-ratio p-value *
Yt_1 131.706 66.7619 1.973 0.0569 ***
0.780379 0.103366 7.550 <0.0001

Mean dependent var 574.1143 S.D. dependent var 307.8930
Sum squared resid 1181846 S.E. of regression 189.2446
R-squared 0.633324 Adjusted R-squared 0.622213
F(1, 33) 56.99774 P-value(F) 1.10e-08
Log-likelihood −232.1396 Akaike criterion 468.2791
Schwarz criterion 471.3898 Hannan-Quinn 469.3529
rho 0.387426 Durbin's h 2.896815

Forecast evaluation statistics using 35 observations

Model Autoregressive | 89

Mean Error 4.5475e-014
Root Mean Squared Error 183.76
Mean Absolute Error 155.08
Mean Percentage Error -9.6144
Mean Absolute Percentage Error 27.903
Theil's U 0.92999

Breusch-Godfrey test for autocorrelation up to order 12
OLS, using observations 2001:02-2003:12 (T = 35)
Dependent variable: uhat

coefficient std. error t-ratio p-value

-------------------------------------------------------

const −59.3278 78.6878 −0.7540 0.4592
Yt_1 0.112462 0.142325 0.7902 0.4383

uhat_1 0.159747 0.263888 0.6054 0.5514

uhat_2 0.294649 0.240729 1.224 0.2345

uhat_3 −0.541882 0.230989 −2.346 0.0289 **

uhat_4 −0.722836 0.250819 −2.882 0.0089 ***

uhat_5 0.353399 0.268437 1.317 0.2022

uhat_6 0.243246 0.273775 0.8885 0.3843

uhat_7 −0.536433 0.273000 −1.965 0.0628 *
uhat_8 −0.593820 0.292862 −2.028 0.0555 *

uhat_9 0.254965 0.271940 0.9376 0.3591

uhat_10 0.362613 0.272368 1.331 0.1974

uhat_11 −0.495144 0.267168 −1.853 0.0779 *

uhat_12 0.475042 0.283753 1.674 0.1089

Unadjusted R-squared = 0.885531

Test statistic: LMF = 13.537945,
with p-value = P(F(12,21) > 13.5379) = 2.74e-007

Alternative statistic: TR^2 = 30.993575,
with p-value = P(Chi-square(12) > 30.9936) = 0.00197

Ljung-Box Q' = 57.2259,
with p-value = P(Chi-square(12) > 57.2259) = 7.2e-008

90 | Model Autoregressive

Model AR(2): OLS, using observations 2001:03-2003:12 (T = 34)
Dependent variable: Yt

const Coefficient Std. Error t-ratio p-value ***
Yt_1 179.062 63.9648 2.799 0.0087 ***
Yt_2 1.17417 0.161581 7.267 <0.0001 ***
0.158533 −3.067 0.0045
−0.486177

Mean dependent var 584.2647 S.D. dependent var 306.5215
Sum squared resid 904672.8 S.E. of regression 170.8303
R-squared 0.708220 Adjusted R-squared 0.689395
F(2, 31) 37.62218 P-value(F) 5.11e-09
Log-likelihood −221.4564 Akaike criterion 448.9127
Schwarz criterion 453.4918 Hannan-Quinn 450.4743
rho −0.231294 Durbin's h −4.024369

Forecast evaluation statistics using 34 observations

Mean Error -3.3437e-014

Root Mean Squared Error 163.12
Mean Absolute Error 135.04
Mean Percentage Error -7.9389
Mean Absolute Percentage Error 24.844
Theil's U 0.83336

Breusch-Godfrey test for autocorrelation up to order 12
OLS, using observations 2001:03-2003:12 (T = 34)
Dependent variable: uhat

coefficient std. error t-ratio p-value

-----------------------------------------------------------
const −254.841 128.919 −1.977 0.0628 *

Yt_1 0.775462 0.625451 1.240 0.2301

Yt_2 −0.302854 0.480871 −0.6298 0.5363

uhat_1 −0.777284 0.647173 −1.201 0.2445

uhat_2 −0.0128449 0.360111 −0.03567 0.9719

uhat_3 −0.379056 0.255377 −1.484 0.1541

uhat_4 −0.733719 0.261511 −2.806 0.0113 **

uhat_5 0.185368 0.306328 0.6051 0.5523
uhat_6 0.681237 0.299137 2.277 0.0345 **

uhat_7 0.0917763 0.290212 0.3162 0.7553

Model Autoregressive | 91

uhat_8 −0.496751 0.284354 −1.747 0.0968 *
uhat_9 0.0732038 0.254740 0.2874 0.7769
uhat_10 0.637742 0.269122 2.370 0.0285 **
uhat_11 0.00171076 0.281105 0.006086 0.9952
uhat_12 0.499265 0.282092 1.770 0.0928 *

Unadjusted R-squared = 0.874642

Test statistic: LMF = 11.047128,
with p-value = P(F(12,19) > 11.0471) = 3.66e-006

Alternative statistic: TR^2 = 29.737817,
with p-value = P(Chi-square(12) > 29.7378) = 0.00306

Ljung-Box Q' = 48.4375,
with p-value = P(Chi-square(12) > 48.4375) = 2.62e-006

Model AR(3): OLS, using observations 2001:04-2003:12 (T = 33)
Dependent variable: Yt

const Coefficient Std. Error t-ratio p-value ***
Yt_1 260.190 65.1131 3.996 0.0004 ***
Yt_2 0.955912 0.165134 5.789 <0.0001
Yt_3 0.0534915 0.241651 0.2214 0.8264 ***
0.165715 −2.832 0.0083
−0.469238

Mean dependent var 594.4242 S.D. dependent var 305.4055
Sum squared resid 699029.0 S.E. of regression 155.2561
R-squared 0.765797 Adjusted R-squared 0.741570
F(3, 29) 31.60815 P-value(F) 2.82e-09
Log-likelihood −211.1805 Akaike criterion 430.3610
Schwarz criterion 436.3470 Hannan-Quinn 432.3751
rho −0.017531 Durbin's h −0.318298

Forecast evaluation statistics using 33 observations

Mean Error 4.8231e-014
Root Mean Squared Error 145.54
Mean Absolute Error 116.11

Mean Percentage Error -5.9974
Mean Absolute Percentage Error 21.511
Theil's U 0.77708

92 | Model Autoregressive