Model Ekonomi Mikro & Univariat Time Series

Breusch-Godfrey test for autocorrelation up to order 12
OLS, using observations 2001:04-2003:12 (T = 33)
Dependent variable: uhat

coefficient std. error t-ratio p-value

---------------------------------------------------------

const −135.323 127.464 −1.062 0.3032

Yt_1 0.416253 0.700086 0.5946 0.5600

Yt_2 −0.0178630 1.13489 −0.01574 0.9876

Yt_3 −0.139422 0.621331 −0.2244 0.8251

uhat_1 −0.372259 0.706997 −0.5265 0.6053

uhat_2 −0.213027 0.600769 −0.3546 0.7273
uhat_3 −0.322810 0.309963 −1.041 0.3123

uhat_4 −0.239477 0.310158 −0.7721 0.4506

uhat_5 0.510595 0.272408 1.874 0.0782 *

uhat_6 0.476239 0.289239 1.647 0.1180

uhat_7 0.182652 0.302792 0.6032 0.5543

uhat_8 −0.0741966 0.266575 −0.2783 0.7841

uhat_9 0.176382 0.254221 0.6938 0.4972

uhat_10 0.113583 0.255836 0.4440 0.6627
uhat_11 −0.318267 0.257065 −1.238 0.2325

uhat_12 0.686008 0.263739 2.601 0.0186 **

Unadjusted R-squared = 0.804538

Test statistic: LMF = 5.831115,
with p-value = P(F(12,17) > 5.83111) = 0.000584

Alternative statistic: TR^2 = 26.549750,
with p-value = P(Chi-square(12) > 26.5498) = 0.00897

Ljung-Box Q' = 36.964,
with p-value = P(Chi-square(12) > 36.964) = 0.000226

Model Autoregressive | 93

Forecast Model AR(3): OLS

1400 Yt
1200 forecast
95 percent interval

1000

800

600
400
200

0

-200

-400 2002.8 2003 2003.2 2003.4 2003.6 2003.8 2004 2004.2
2002.6

... dan seterusnya.

Model AR(1): MLE, using observations 2001:01-2003:12 (T = 36)

Dependent variable: Yt

Standard errors based on Hessian

Coefficient Std. Error z p-value

const 519.870 136.846 3.799 0.0001 ***
***
phi_1 0.792790 0.0971940 8.157 <0.0001

Mean dependent var 563.4167 S.D. dependent var 310.1764
Mean of innovations 10.87546 S.D. of innovations 185.0738
R-squared 0.635075 Adjusted R-squared 0.635075
Log-likelihood −239.5241 Akaike criterion 485.0482
Schwarz criterion 489.7987 Hannan-Quinn 486.7062

94 | Model Autoregressive

Real Imaginary Modulus Frequency

AR 1.2614 0.0000 1.2614 0.0000
Root 1

Forecast evaluation statistics using 36 observations

Mean Error 10.875
Root Mean Squared Error 185.07
Mean Absolute Error 153.1
Mean Percentage Error -8.2997
Mean Absolute Percentage Error 28.183
Theil's U 0.92831

Test for autocorrelation up to order 12

Ljung-Box Q' = 57.9264,
with p-value = P(Chi-square(11) > 57.9264) = 2.245e-008

Model AR(2): MLE, using observations 2001:01-2003:12 (T = 36)

Dependent variable: Yt

Standard errors based on Hessian

Coefficient Std. Error z p-value

const 540.418 88.5847 6.101 <0.0001 ***
***
phi_1 1.17892 0.145696 8.092 <0.0001 ***

phi_2 −0.480093 0.146510 −3.277 0.0010

Mean dependent var 563.4167 S.D. dependent var 310.1764
Mean of innovations 3.627468 S.D. of innovations 161.9342
R-squared 0.719883 Adjusted R-squared 0.711645
Log-likelihood −234.9858 Akaike criterion 477.9716
Schwarz criterion 484.3057 Hannan-Quinn 480.1823

Real Imaginary Modulus Frequency

AR 1.2278 -0.7586 1.4432 -0.0881
Root 1 1.2278 0.7586 1.4432 0.0881
Root 2

Forecast evaluation statistics using 36 observations

Mean Error 3.6275
Root Mean Squared Error 161.93
Mean Absolute Error 132.92
Mean Percentage Error -8.2827

Model Autoregressive | 95

Mean Absolute Percentage Error 25.666

Theil's U 0.85372

Test for autocorrelation up to order 12

Ljung-Box Q' = 45.7948,
with p-value = P(Chi-square(10) > 45.7948) = 1.562e-006

Model AR(3): MLE, using observations 2001:01-2003:12 (T = 36)

Dependent variable: Yt

Standard errors based on Hessian

Coefficient Std. Error z p-value

const 549.379 55.3735 9.921 <0.0001 ***
***
phi_1 0.962013 0.144486 6.658 <0.0001
***
phi_2 0.0512137 0.216214 0.2369 0.8128

phi_3 −0.455575 0.147186 −3.095 0.0020

Mean dependent var 563.4167 S.D. dependent var 310.1764
Mean of innovations −1.097242 S.D. of innovations 143.2188
R-squared Adjusted R-squared 0.767811
Log-likelihood 0.781079 Akaike criterion 471.8447
Schwarz criterion −230.9224 Hannan-Quinn 474.6082

479.7623

Real Imaginary Modulus Frequency

AR 0.9435 -0.5889 1.1122 -0.0888
Root 1 0.9435 0.5889 1.1122 0.0888
Root 2 -1.7746 0.0000 1.7746 0.5000
Root 3

Forecast evaluation statistics using 36 observations

Mean Error -1.0972

Root Mean Squared Error 143.22
Mean Absolute Error 114.06
Mean Percentage Error -7.7069
Mean Absolute Percentage Error 23.041
Theil's U 0.8258

Test for autocorrelation up to order 12

Ljung-Box Q' = 34.6161,
with p-value = P(Chi-square(9) > 34.6161) = 6.962e-005

96 | Model Autoregressive

Forecast Model AR(3): MLE

1400 Yt
1200 forecast
95 percent interval

1000

800

600

400

200

0

-200

-400 2002.8 2003 2003.2 2003.4 2003.6 2003.8 2004 2004.2
2002.6

... dan seterusnya.

KESIMPULAN

1. Pengujian diagnostik autokorelasi terhadap data error atau residualnya,

baik menggunakan metode OLS maupun MLE dengan kriteria Ljung-Box
Q' menunjukkan bahwa masih terdapat lag atau ordo yang signifikan
alias masih terdapat autokorelasi, dimana model AR yang diestimasi
adalah sudah pada AR(3). Selanjutnya dapat dilanjutkan mengestimasi
model AR untuk lag berikutnya (p), sampai tidak terdapat autokorelasi

pada data residualnya.
2. Penggunaan lag optimal dapat menggunakan kriteria seperti: Akaike,

Schwarz, dan Hannan-Quinn criterion; dimana lag yang optimal adalah
yang nilai kriterianya kecil (bila nilainya negatif, pilih yang paling
negatif).

Model Autoregressive | 97

3. Setelah mendapatkan lag optimal (residual yang tidak mengandung
autokorelasi), maka bila ingin membandingkan antara metode OLS atau
metode MLE yang terbaik, maka dapat menggunakan kriteria MAPE.
Nilai MAPE terkecil adalah menunjukkan model terbaik dalam
mengestimasi model autoregressive.

GLOSARI

Akaike criterion, adalah kriteria untuk menentukan lag operator optimal
dari suatu model lag.

Autoregressive, adalah metode peramalan dengan menggunakan data
historisnya.

Hannan-Quinn criterion, adalah kriteria untuk menentukan lag operator
optimal dari suatu model lag.

Least square, adalah metode penaksiran parameter dengan cara
mengunakan error terkecil.

Ljung-Box Q, adalah pengujian autokorelasi antar lag operatornya.
Maximum likelihood, adalah metode penaksiran parameter dengan cara

memaksimumkan fungsi likelihoodnya.
Schwarz criterion, adalah kriteria untuk menentukan lag operator optimal

dari suatu model lag.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Model AR adalah model peramalan jangka panjang.
2. AR adalah kependekan dari Autoregressive.
3. Metode OLS adalah sama dengan metode MLE.
4. Metode OLS adalah lebih unggul daripada metode MLE.
5. Statistik Q adalah untuk pengujian ada tidaknya autokorelasi dari data

time series.
6. OLS adalah kependekan dari Ordinary Least Square.
7. MLE adalah kependekatan dari Maximum Likelihood Estimator.
8. AIC adalah kependekan dari Akaike Criterion.
9. SIC adalah kependekan dari Schwarz Criterion.
10.HQC adalah kependekan dari Hannan-Quinn Criterion.

98 | Model Autoregressive

BAB 14
MODEL ARIMA (BOX-JENKINS)

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu mengidentifikasi kemungkinan besaran AR(p) dan MA(q)
dengan menggunakan pendekatan correlogram.

2. Mampu menentukan model ARMA yang terbaik dengan pengujian
diagnostik dari berbagai model tentatif.

PENDAHULUAN

ARIMA menggunakan nilai masa lalu dalam bentuk AR (Autoregressive) dan
MA (Moving Average) sebagai variabel independent untuk menghasilkan
peramalan jangka pendek yang akurat, namun untuk peramalan jangka
panjang ketepatan peramalannya adalah kurang baik.

Model ARIMA dibagi dalam 3 unsur, yaitu: model autoregressive (AR),
moving average (MA), dan Integreted (I). Ketiga unsur ini bisa dikombinasi
sehingga membentuk beberapa model, seperti: AR, ARI, IMA, ARMA,
ARIMA. Integreted adalah menyatakan difference supaya syarat data
stasioner terpenuhi. Apabila data stasioner pada level, maka ordonya sama
dengan 0, namun apabila stasioner pada first difference maka ordonya 1,
dan seterusnya.

Bentuk umum model I dengan ordo d, ditulis I(d) atau model ARIMA (0,d,0),
dapat dituliskan:

(1 − )(1 − ) = + (1 − )
Bentuk umum model AR dengan ordo p, ditulis AR(p) atau model ARIMA
(p,0,0), dapat dituliskan:

= + + + ⋯ + +
Bentuk umum model MA dengan ordo q, ditulis MA(q) atau model ARIMA
(0,0,q), dapat dituliskan:

= + − − − ⋯ −
Bentuk umum model ARMA dengan ordo p dan q, atau model ARIMA
(p,0,q), dapat dituliskan:

Model ARIMA (Box-Jenkins) | 99

= + + + ⋯ + + − − − ⋯ −

CARA BELAJAR

Empat tahapan menentukan model ARIMA, yaitu: (1) identifikasi, (2)
estimasi, (3) diagnostik, dan (4) peramalan; sebagai berikut:

Tahap Identifikasi
Tahap ini adalah menentukan nilai AR dan MA dengan menggunakan
pendekatan correlogram. Syarat utama dari data yang akan digunakan

adalah stasioner. Bila data tidak stasioner, maka akan dilakukan proses

differencing terlebih dahulu sampai pada kondisi yang stasioner (biasanya

tidak lebih dari sekali differencing atau berderajat 1st). Apabila
kestasioneran telah diperoleh, langkah selanjutnya adalah menentukan

nilai-nilai p dan q berdasarkan plot fungsi autokorelasi (ACF) dan fungsi
autokorelasi parsial (PACF) atau correlogram-nya. Pada masing-masing plot

ACF dan PACF terdapat dua garis putus-putus dengan nilai ±1.96 x 1/√n.

Garis tersebut merupakan batas atas dan batas bawah pada selang
kepercayaan 95% untuk suatu deret acak. Banyaknya ordo atau lag yang

nilai ACF atau PACF nya melebihi dari batas atas-bawah tersebut akan
dijadikan nilai untuk menentukan besaran p dan q di dalam model ARMA.

Dengan kata lain, ordo dari proses AR dan MA dapat ditentukan dengan

melihat banyaknya lag operator dari koefisien ACF dan PACF yang tidak
berada dalam batas tersebut. Tabel berikut dapat digunakan sebagai

pedoman dalam menentukan nilai p dan q yang menunjukkan ordo dari
proses AR dan MA, sebagai berikut:

Model ACF PACF

AR(p) Menurun secara Terputus atau berhenti

eksponensial. Koefisien setelah lag p.
mungkin turun-naik.

MA(q) Terputus atau berhenti Menurun secara
setelah lag q. eksponensial. Koefisien

mungkin turun-naik.

ARMA(p, q) Menurun secara Menurun secara

eksponensial. Koefisien eksponensial. Koefisien
mungkin turun-naik. mungkin turun-naik.

100 | Model ARIMA (Box-Jenkins)

Tahap Estimasi
Setelah menentukan model yang akan digunakan dalam peramalan ARIMA,
maka tahap berikutnya adalah mengestimasi parameternya. Persamaan
model AR, MA, ARMA ataupun ARIMA pada dasarnya merupakan suatu
bentuk regresi. Oleh karena itu, parameter dari model ARMA dapat
diestimasi menggunakan metode kuadrat terkecil, atau dapat juga
diestimasi menggunakan metode maximum likelihood (exact ML)
sebagaimana di dalam aplikasi GRETL.

Tahap Pemeriksaan Diagnostik
Pemeriksaan diagnostik merupakan tahap untuk menguji kesesuaian dan
kecukupan model peramalan dari parameter p dan q (phi & theta) secara
parsial dan secara keseluruhan. Suatu model dikatakan baik bila
parameternya adalah signifikan, dan error atau residual yang dihasilkan
bersifat random (tidak memiliki pola tertentu), dan merupakan proses
white noise, yaitu proses random dari variabel yang berurutan, yang berarti
residual adalah bersifat independen (tidak autokorelasi) dan berdistribusi
normal. Dengan membuat plot ACF dan PACF (correlogram) dari
residualnya dapat disimpulkan bahwa error atau residual yang dihasilkan
merupakan proses white noise, yaitu semua nilai ACF dan PACF adalah tidak
signifikan (tidak ada lag yang di luar batas atas-bawah). Atau dapat
melakukan pengujian white noise nya dengan statistik Q (Ljung-Box), yaitu
pengujian tidak terdapat autokorelasi pada deret residualnya.
Tahap Peramalan
Bila hasil pengujian menunjukkan bahwa model sudah memenuhi asumsi
persyaratan, maka model tersebut dapat digunakan untuk memprediksi
nilai-nilai time-series yang akan datang. Untuk melihat tingkat ketepatan
model dalam peramalan maka dapat digunakan perhitungan nilai MAPE.

Model ARIMA (Box-Jenkins) | 101

Contoh menggunakan aplikasi GRETL

Model ARMA (2, 1)
Model 1: ARMA, using observations 2001:01-2003:12 (T = 36)

Dependent variable: Y

Estimated using AS 197 (exact ML)

Standard errors based on Hessian

const Coefficient Std. Error z p-value ***
phi_1 548.921 40.2634 13.63 <0.0001 ***
phi_2 1.62727 0.106553 15.27 <0.0001 ***
theta_1 −9.215 <0.0001 ***
−0.863617 0.0937146 −4.039 <0.0001
−0.637230 0.157788

Mean dependent var 563.4167 S.D. dependent var 310.1764
Mean of innovations −5.852113 S.D. of innovations 146.4150
R-squared Adjusted R-squared 0.758150
Log-likelihood 0.771970 Akaike criterion 473.5671
−231.7835
Schwarz criterion Hannan-Quinn 476.3305
481.4846

Real Imaginary Modulus Frequency

AR 0.9421 -0.5199 1.0761 -0.0803
Root 1 0.9421 0.5199 1.0761 0.0803
Root 2
1.5693 0.0000 1.5693 0.0000
MA
Root 1

Test for autocorrelation up to order 8

Ljung-Box Q' = 16.4164,
with p-value = P(Chi-square(5) > 16.4164) = 0.005750

Correlogram residual, ARMA (2, 1)

Autocorrelation function for residual
***, **, * indicate significance at the 1%, 5%, 10% levels
using standard error 1/T^0.5

LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]

102 | Model ARIMA (Box-Jenkins)

1 -0.0822 -0.0822 0.2640 [0.607]
[0.318]
2 0.2244 0.2192 2.2907 [0.430]
[0.354]
3 -0.1067 -0.0786 2.7628 [0.071]
[0.117]
4 -0.1959 -0.2718 4.4033 [0.047]
[0.037]
5 0.3614 ** 0.4312 *** 10.1670

6 -0.0188 0.1300 10.1832

7 0.2938 * 0.0276 14.2548

8 -0.2103 -0.2517 16.4164

ACF for residual 9
0.4 +- 1.96/T^0.5 9
0.2

0
-0.2
-0.4

012345678
lag

PACF for residual
0.4 +- 1.96/T^0.5
0.2

0
-0.2
-0.4

012345678
lag

Evaluasi residual, ARMA (2, 1)
Model estimation range: 2001:01- 2003:12

Standard error of residuals = 146.415

2001:01 Y fitted residual
2001:02 189.000 352.322 -163.322
229.000 252.580 -23.5804

Model ARIMA (Box-Jenkins) | 103

2001:03 249.000 342.885 -93.8846
2001:04 289.000 389.509 -100.509
2001:05 260.000 445.114 -185.114
2001:06 431.000 419.932 11.0677

2001:07 660.000 599.637 60.3632
2001:08 777.000 793.108 -16.1079
2001:09 915.000 834.419 80.5811
2001:10 613.000 896.291 -283.291
2001:11 485.000 517.541 -32.5407
2001:12 277.000 410.297 -133.297
2002:01 244.000 246.573 -2.57330
2002:02 296.000 289.207 6.79336
2002:03 319.000 396.355 -77.3554
2002:04 370.000 442.497 -72.4967
2002:05 313.000 502.528 -189.528
2002:06 556.000 440.305 115.695
2002:07 831.000 690.462 140.538
2002:08 960.000 912.272 47.7283
2002:09 1152.00 943.836 208.164
2002:10 759.000 1042.63 -283.632
2002:11 607.000 550.686 56.3137
2002:12 371.000 426.119 -55.1186
2003:01 298.000 244.360 53.6399

2003:02 378.000 260.079 117.921
2003:03 373.000 412.342 -39.3424
2003:04 443.000 435.330 7.67011
2003:05 374.000 523.599 -149.599
2003:06 660.000 451.081 208.919
2003:07 1004.00 747.612 256.388
2003:08 1153.00 1030.15 122.849
2003:09 1388.00 1060.63 327.375
2003:10 904.000 1184.03 -280.025
2003:11 715.000 580.529 134.471
2003:12 441.000 426.835 14.1646

Forecast evaluation statistics using 36 observations

104 | Model ARIMA (Box-Jenkins)

Mean Error -5.8521
Root Mean Squared Error 146.41
Mean Absolute Error 115.33
Mean Percentage Error -9.041
Mean Absolute Percentage Error 23.332
Theil's U 0.81192

Forecast, ARMA (2, 1)
For 95% confidence intervals, z(0.025) = 1.96

Obs Y prediction std. error 95% interval
2004:01 undefined 220.849 146.415 (-66.1189, 507.817)
2004:02 undefined 108.261 206.034 (-295.558, 512.080)
2004:03 undefined 115.175 233.295 (-342.075, 572.425)
2004:04 undefined 223.660 239.217 (-245.198, 692.517)
2004:05 undefined 394.222 239.366 (-74.9263, 863.371)

1400 Y
1200 forecast
95 percent interval

1000

800

600

400

200

0

-200

-400 2002.8 2003 2003.2 2003.4 2003.6 2003.8 2004 2004.2
2002.6

Model ARIMA (Box-Jenkins) | 105

Model ARMA (2, 3)
Model 2: ARMA, using observations 2001:01-2003:12 (T = 36)

Dependent variable: Y

Estimated using AS 197 (exact ML)
Standard errors based on Hessian

const Coefficient Std. Error z p-value ***
phi_1 552.196 50.2136 11.00 <0.0001 ***
phi_2 1.46709 0.169549 8.653 <0.0001 ***
theta_1 −5.555 <0.0001 **
theta_2 −0.713827 0.128504 −1.965 0.0494 ***
theta_3 −0.413483 0.210420 5.070 <0.0001 ***
0.778931 0.153635 −3.207 0.0013
−0.720366 0.224639

Mean dependent var 563.4167 S.D. dependent var 310.1764
Mean of innovations −2.105533 S.D. of innovations 109.8656
R-squared Adjusted R-squared 0.854906
Log-likelihood 0.871488 Akaike criterion 462.6681
Schwarz criterion −224.3341 Hannan-Quinn 466.5370

473.7528

Real Imaginary Modulus Frequency

AR 1.0276 -0.5873 1.1836 -0.0826
Root 1 1.0276 0.5873 1.1836 0.0826
Root 2
1.3882 0.0000 1.3882 0.0000
MA -0.1534 -0.9882 1.0000 -0.2745
Root 1 -0.1534 0.9882 1.0000 0.2745
Root 2
Root 3

Test for autocorrelation up to order 8

Ljung-Box Q' = 7.56613,
with p-value = P(Chi-square(3) > 7.56613) = 0.05588

106 | Model ARIMA (Box-Jenkins)

Correlogram residual, ARMA(2, 3)

Autocorrelation function for residual

***, **, * indicate significance at the 1%, 5%, 10% levels
using standard error 1/T^0.5

LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]

1 -0.0037 -0.0037 0.0005 [0.982]
2 0.0316 0.0316 0.0407 [0.980]
3 -0.0073 -0.0071 0.0429 [0.998]
4 -0.2177 -0.2189 2.0683 [0.723]
5 0.2164 0.2261 4.1339 [0.530]
6 0.0554 0.0688 4.2738 [0.640]
7 0.1548 0.1441 5.4037 [0.611]

8 -0.2104 -0.3020 * 7.5661 [0.477]

ACF for residual

0.4 +- 1.96/T^0.5
0.3
0.2
0.1

0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4

0123456789
lag

PACF for residual

0.4 +- 1.96/T^0.5
0.3
0.2
0.1

0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4

0123456789
lag

Model ARIMA (Box-Jenkins) | 107

Evaluasi residual, ARMA (2, 3)
Model estimation range: 2001:01- 2003:12

Standard error of residuals = 109.866

2001:01 Y fitted residual *
2001:02 189.000 321.908 -132.908
2001:03 229.000 249.404 -20.4036
2001:04 249.000 316.156 -67.1565
2001:05 289.000 395.005 -106.005
2001:06 260.000 383.839 -123.839
2001:07 431.000 367.770 63.2300
2001:08 660.000 550.495 109.505
2001:09 777.000 843.711 -66.7108
2001:10 915.000 877.644 37.3563
2001:11 613.000 775.253 -162.253
2001:12 485.000 526.472 -41.4719
2002:01 277.000 293.053 -16.0527
2002:02 244.000 278.232 -34.2325
2002:03 296.000 326.377 -30.3772
2002:04 319.000 392.246 -73.2462
2002:05 370.000 424.300 -54.3000
2002:06 313.000 437.133 -124.133
2002:07 556.000 405.992 150.008
2002:08 831.000 619.110 211.890
2002:09 960.000 1052.15 -92.1466
2002:10 1152.00 1049.37 102.630
2002:11 759.000 877.353 -118.353
2002:12 607.000 618.086 -11.0856
2003:01 371.000 333.885 37.1149
2003:02 298.000 304.062 -6.06203
2003:03 378.000 347.523 30.4774
2003:04 373.000 432.335 -59.3351
2003:05 443.000 465.766 -22.7664
2003:06 374.000 461.618 -87.6179
2003:07 660.000 438.903 221.097
2003:08 1004.00 700.803 303.197
1153.00 1229.45 -76.4510

108 | Model ARIMA (Box-Jenkins)

2003:09 1388.00 1222.23 165.771
2003:10 904.000 1005.58 -101.578
2003:11 715.000 694.156 20.8438
2003:12 441.000 341.433 99.5667

Note: * denotes a residual in excess of 2.5 standard errors

Forecast evaluation statistics using 36 observations

Mean Error -2.1055
Root Mean Squared Error 109.87
Mean Absolute Error 88.366
Mean Percentage Error -6.0267
Mean Absolute Percentage Error 18.023
Theil's U 0.70772

Forecast, ARMA (2, 3)
For 95% confidence intervals, z(0.025) = 1.96

Obs Y prediction std. error 95% interval
2004:01 undefined 321.087 109.866 (105.755, 536.420)

2004:02 undefined 355.053 159.593 (42.2566, 667.849)
2004:03 undefined 356.215 238.308 (-110.861, 823.291)
2004:04 undefined 405.400 257.622 (-99.5309, 910.330)
2004:05 undefined 476.728 258.199 (-29.3333, 982.790)

Model ARIMA (Box-Jenkins) | 109

1400 Y
1200 forecast
95 percent interval

1000

800

600

400

200

0

-200 2002.8 2003 2003.2 2003.4 2003.6 2003.8 2004 2004.2
2002.6

KESIMPULAN

1. Pengujian parameter dari kedua model tentatif ARMA (2, 1) dan ARMA
(2, 3) menunjukkan koefisien parameter di kedua model adalah
signifikan. Menurut kriteria Schwarz/Akaike/Hannan-Quinn, model
ARMA (2, 3) adalah yang lebih baik, karena menunjukkan nilai
perhitungan yang lebih kecil bila dibandingkan model ARMA (2, 1).

2. Pengujian autokorelasi dan autokorelasi parsial terhadap data residual
dari masing-masing model menunjukkan bahwa (asumsi alpha 5%) pada
model ARMA (2, 1) terdapat lag atau ordo yang berada di luar batas atas-
bawah; sementara pada model ARMA (2, 3) tidak terdapat lag atau ordo
yang diluar batas atas-bawah. Bila menggunakan pengujian autokorelasi
statistik Q (lag 8), maka model ARMA (2, 1) mengandung autokorelasi;
sementara model ARMA (2, 3) tidak terdapat autokorelasi. Ini berarti,
model ARMA (2, 3) adalah yang lebih baik.

110 | Model ARIMA (Box-Jenkins)

3. Menggunakan kriteria MAPE, model ARMA (2, 1) menunjukkan nilai
persentase yang lebih besar dibandingkan dengan model ARMA (2, 3).
Hal ini juga menunjukkan model ARMA (2, 3) adalah yang lebih baik.

GLOSARI

Model ARIMA, adalah model gabungan dari parameter AR, parameter MA,
dari syarat data yang stasioner.

White noise, adalah proses random (stokastik) dari variabel yang berurutan
yang tidak mengandung autokorelasi dan berdistribusi normal.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. ARIMA adalah kependekan dari Autoregressive Integrated Moving

Average.
2. MA(3) dalam model ARIMA menggunakan rata-rata bergerak tiga

periode.
3. Diagnostik model terbaik dari beberapa model tentatif ARIMA adalah

menentukan nilai error atau residual yang terkecil.
4. Model ARMA (2, 1) adalah tidak sama dengan model ARIMA (2, 0, 1).
5. Uji normalitas model ARIMA dilakukan pada data level.
6. Metode ARIMA merupakan analisis statistik univariat.
7. Bila nilai autokorelasi atau ACF menurun secara eksponensial, maka

model yang digunakan adalah AR.
8. Bila nilai autokorelasi atau ACF menurun secara eksponensial, maka

model yang digunakan adalah MA.
9. Syarat utama data pada model ARIMA adalah harus stasioner pada level.
10.Model ARIMA termasuk kategori peramalan jangka pendek.

Model ARIMA (Box-Jenkins) | 111

HALAMAN KOSONG
112 | Model ARIMA (Box-Jenkins)

BAB 15
MODEL ARCH/GARCH

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu mengidentifikasi kemungkinan adanya kondisi
heteroskedastisitas dalam pemodelan data time series.

2. Mampu menentukan model ARCH atau GARCH yang terbaik dari
berbagai model tentatifnya.

PENDAHULUAN

Model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) dan model
Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedascity (GARCH)
adalah model yang memperhitungkan unsur heteroskedastisitas dalam
analisis deret waktu. Misalkan suatu model rata-rata (mean model) dengan
metode OLS, yaitu model yang hanya memiliki konstantanya saja, Y = f(C);
maka analisisnya adalah apakah residual mean model tersebut
mengandung heteroskedastisitas atau tidak, sehingga dikembangkanlah
analisis residualnya, yaitu model fungsi variannya, yaitu:
(1) Model ARCH dapat ditulis, Yt = 0 + εt, dan model variannya, 2t = α0 + α1

ε2t-1 + α2 ε2t-2 + ... + αq ε2t-q + vt.
(2) Model GARCH dapat ditulis, Yt = 0 + εt, dan model variannya, 2t = α0 +

α1 ε2t-1 + α2 ε2t-2 + ... + αq ε2t-q + β1 2t-1 + β2 2t-2 + ... + βp 2t-p + vt.

Dengan demikian, model ARCH dapat dilihat dari ordo q (atau MA-nya),
sementara model GARCH dapat dilihat dari ordo p (atau AR-nya). Namun
penentuan ordo GARCH tidak dapat dilakukan secara pasti, melainkan
dengan cara dicoba-coba, yaitu menetapkan ordo q terlebih dahulu baru
kemudian menetapkan ordo p nya; misalnya ditetapkan ordo q = 1,
selanjutnya menetapkan ordo p = 1, baru kemudian menetapkan ordo p =
2, dan seterusnya yang lebih tinggi. Diagnostik model dapat dilihat dari
pengujian normalitas dari residual vt nya, dengan menggunakan uji Chi-
square atau Jarque-Bera.

Model ARCH/GARCH | 113

Model ARCH dan GARCH tidak dapat diestimasi dengan metode OLS, karena
keberadaan error atau residual yang tidak konstan. Oleh karenanya, model
ARCH/GARCH diestimasi dengan metode MLE.

CARA BELAJAR

Langkah menentukan model ARCH, sebagai berikut:
(1) Langkah pertama adalah menentukan model rata-ratanya atau mean

model dengan metode OLS.
(2) Kemudian menguji residualnya untuk memastikan keberadaan

heteroskedastisitas dengan ARCH test atau ARCH LM test, misalkan
dimulai dengan lag 1. Bila siginifikan berarti memang terdapat
heteroskedastisitas di dalam mean model tersebut. Ini berarti model
yang akan dikembangkan berikutnya adalah yang mempertimbangan
keberadaan heteroskedastisitas; dengan kata lain parameter dari model
ARCH harus signifikan.
(3) Selanjutnya estimasi model ARCH menggunakan metode MLE, misalkan
dengan lag atau ordo, q = 1. Pengujian koefisien parameter ARCH dapat
dilihat dari nilai signifikansi alpha-nya, yaitu bila nilainya signifikan
berarti model ARCH tepat digunakan.
(4) Diagnostik berikutnya adalah pengujian normalitas residualnya
(diharapkan berdistribusi normal).
(5) Forecasting model ARCH.

Langkah menentukan model GARCH, sebagai berikut:
(1) Langkah pertama adalah menentukan model rata-ratanya atau mean

model dengan metode OLS.
(2) Kemudian menguji residualnya untuk memastikan keberadaan

heteroskedastisitas dengan ARCH test atau ARCH LM test, sampai
dengan lag 12. Penggunaan lag yang panjang adalah upaya untuk
melihat proses autokorelasinya. Bila pengujiannya siginifikan berarti
memang terdapat heteroskedastisitas di dalam mean model tersebut.
(3) Selanjutnya estimasi model GARCH menggunakan metode MLE,
misalkan dengan ordo, p = 1 dan q = 1.
(4) Berikutnya adalah menguji normalitas residualnya.
(5) Forecasting model GARCH.

114 | Model ARCH/GARCH

Mean Model: OLS, using observations 2001:01-2003:12 (T = 36)
Dependent variable: Y

const Coefficient Std. Error t-ratio p-value
563.417 51.6961 10.90 <0.0001 ***

Mean dependent var 563.4167 S.D. dependent var 310.1764
Sum squared resid 3367329 S.E. of regression 310.1764
R-squared 0.000000 Adjusted R-squared 0.000000
Log-likelihood −257.1118 Akaike criterion 516.2236
Schwarz criterion 517.8071 Hannan-Quinn 516.7763
rho 0.780670 Durbin-Watson 0.399526

Test for ARCH of order 1

coefficient std. error t-ratio p-value
----------------------------------------------------------

alpha(0) 52684.1 25558.5 2.061 0.0472 **
alpha(1) 0.412606 0.159244 2.591 0.0141 **

Null hypothesis: no ARCH effect is present
Test statistic: LM = 5.91665
with p-value = P(Chi-square(1) > 5.91665) = 0.0149984

Test for ARCH of order 12

coefficient std. error t-ratio p-value

----------------------------------------------------------------
alpha(0) −58505.7 116101 −0.5039 0.6243
alpha(1) 0.205281 0.186745 1.099 0.2951

alpha(2) 0.0574678 0.194908 0.2948 0.7736
alpha(3) −0.0275618 0.214181 −0.1287 0.8999

alpha(4) −0.0369454 0.360742 −0.1024 0.9203

alpha(5) −0.169298 0.358000 −0.4729 0.6455
alpha(6) 0.00746605 0.376580 0.01983 0.9845
alpha(7) 0.0985225 0.382291 0.2577 0.8014

alpha(8) −0.0734190 0.372893 −0.1969 0.8475
alpha(9) 0.0421362 0.375799 0.1121 0.9127
alpha(10) 0.153843 0.368655 0.4173 0.6845

alpha(11) 0.149640 0.362758 0.4125 0.6879
alpha(12) 1.71669 0.365913 4.692 0.0007 ***

Model ARCH/GARCH | 115

Null hypothesis: no ARCH effect is present
Test statistic: LM = 19.4179
with p-value = P(Chi-square(12) > 19.4179) = 0.0789296

Model ARCH menggunakan aplikasi GRETL

Model ARCH(1): using observations 2001:01-2003:12 (T = 36)

Dependent variable: Y

Standard errors based on Hessian

Coefficient Std. Error z p-value

const 386.468 39.4062 9.807 <0.0001 ***

alpha(0) 16222.5 6934.70 2.339 0.0193 **
alpha(1) 0.931401 0.338736 2.750 0.0060 ***

Mean dependent var 563.4167 S.D. dependent var 310.1764
Akaike criterion 507.3502
Log-likelihood −249.6751 Hannan-Quinn 509.5609

Schwarz criterion 513.6843

Unconditional error variance = 236484
Likelihood ratio test for (G)ARCH terms:
Chi-square(1) = 14.8734 [0.000114972]

Test for normality of residual-
Null hypothesis: error is normally distributed

Test statistic: Chi-square(2) = 10.3354
with p-value = 0.0056976

Model persamaan ARCH, adalah:
Yt = 386.468 + εt

2t = 16222.5 + 0.931401 ε2t-1 + vt

116 | Model ARCH/GARCH

Forecast Model ARCH(1)

1400 Y
1200 forecast
95 percent interval

1000

800

600

400

200

0

-200

-400 2002.8 2003 2003.2 2003.4 2003.6 2003.8 2004 2004.2
2002.6

Model GARCH menggunakan aplikasi GRETL

Model GARCH (1, 1): using observations 2001:01-2003:12 (T = 36)

Dependent variable: Y

Standard errors based on Hessian

Coefficient Std. Error z p-value

const 438.559 104.312 4.204 <0.0001 ***

alpha(0) 24563.7 19982.7 1.229 0.2190
alpha(1) 0.593925 0.477992 1.243 0.2140
beta(1) 1.63548e-012 0.395383 4.136e-012 1.0000

Mean dependent var 563.4167 S.D. dependent var 310.1764
Akaike criterion 511.6940
Log-likelihood −250.8470 Hannan-Quinn 514.4575

Schwarz criterion 519.6116

Model ARCH/GARCH | 117

Unconditional error variance = 60490.5
Likelihood ratio test for (G)ARCH terms:
Chi-square(2) = 12.5295 [0.00190215]

Warning: norm of gradient = 1.57534

Test for normality of residual-
Null hypothesis: error is normally distributed
Test statistic: Chi-square(2) = 10.3354
with p-value = 0.0056976

Model persamaan GARCH, adalah:
Yt = 438.559 + εt
2t = 24563.7 + 0.593925 ε2t-1 + 1.63548e-012 2t-1 + vt

Forecast Model GARCH(1, 1)

1400 Y
1200 forecast
95 percent interval

1000

800

600

400

200

0

-200 2002.8 2003 2003.2 2003.4 2003.6 2003.8 2004 2004.2
2002.6

118 | Model ARCH/GARCH

KESIMPULAN

1. Pengujian statistik ARCH LM pada mean model dengan lag 1
menunjukkan adanya kondisi heteroskedastisitas di dalam model;
begitu juga bila menggunakan lag 12, juga menunjukkan adanya kondisi
heteroskedastisitas (asumsi alpha 10%).

2. Estimasi model ARCH menunjukkan koefisien parameter alpha nya
adalah signifikan, namun pengujian diagnostik Chi-square terhadap
residualnya masih menunjukkan distribusi yang tidak normal.

3. Estimasi model GARCH menunjukkan koefisien parameter alpha dan
beta nya adalah tidak signifikan; serta pengujian diagnostik normalitas
Chi-square nya juga disimpulkan tidak berdistribusi normal. Bila
dibandingkan di sini, maka penggunaan model ARCH adalah lebih baik
daripada menggunakan model GARCH.

GLOSARI

Mean model, adalah model regresi time series dari fungsi konstantanya.
Model ARCH, adalah mean model dengan keberadaan heteroskedastisitas

dengan ordo q dari lag operator MA nya.
Model GARCH, adalah mean model dengan keberadaan heteroskedastisitas

dengan ordo q dan p dari lag operator MA dan AR nya.

EVALUASI

Pertanyaan Dengan Jawaban Benar-Salah
1. Mean model adalah termasuk analisis univariat.
2. Model ARCH memperhatikan proses MA, sementara model GARCH

memperhatikan proses AR dalam menentukan ordo atau lag
operatornya.
3. Model ARCH/GARCH tidak dapat diestimasi dengan metode OLS.
4. Nilai konstanta pada model ARCH adalah akan sama dengan nilai
konstanta pada model GARCH.
5. Diagnostik residual pada model ARCH/GARCH menggunakan statistik
Jarque-Bera.

Model ARCH/GARCH | 119

HALAMAN KOSONG
120 | Model ARCH/GARCH

DAFTAR PUSTAKA

Bruce L. Bowerman, Richard T. O’Connell, Emily S. Murphree (2014)
Business Statistics in Paractice, Seventh edition. New York: The
McGraw-Hill Companies, Inc.

Dedi Rosadi (2012) Ekonometrika & Analisis Runtut Waktu Terapan dengan
EViews: Aplikasi Untuk Bidang Ekonomi, Bisnis, dan Keuangan.
Yogyakarta: ANDI.

http://pikasilvianti.staff.ipb.ac.id/files/2013/05/Analisis-ARCH-dan- 22
GARCH-menggunakan-EViews-WM.pdf. Diakses tanggal
September 2021

Jogiyanto Hartono (2004) Teori Ekonomi Mikro: Analisis Matematis.
Yogyakarta: ANDI.

Josep Bintang Kalangi (2005) Matematika Ekonomi dan Bisnis, Buku 2.
Jakarta: Salemba Empat.

Rosna Ningsih Bilondatu, Nurwan, Dewi Rahmawaty Isa (2019) Model
ARCH(1) dan GARCH(1,1) Pada Peramalan Harga Saham PT. Cowell
Development, Tbk. Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan (Barekeng).
Volume 13, Nomor 1, Halaman 009 – 018.
https://ojs3.unpatti.ac.id/index.php/barekeng/article/download/67
6/683/. Diakses tanggal 22 September 2021

Siana Halim (19 Jan 2006) Diktat – Time Series Analysis. Surabaya: Jurusan
Teknik Industri – UK Petra
http://faculty.petra.ac.id/halim/index_files/Forecasting/forecast.pd
f. Diakses tanggal 26 Sepetember 2021

Daftar Pustaka | 121

HALAMAN KOSONG
122 | Daftar Pustaka

INDEKS

ACF, 73, 74, 75, 78, 80, 92, 93, 94, 99, 103 Implisit, 2
Akaike criterion, 81, 83, 84, 86, 87, 88, 90, Intercept, 51
Koefisien, 7, 32, 33, 34, 35, 38, 92
94, 98, 107, 108, 109 Konstanta, 7
Akar unit, 78 Kurva indiferen, 20
ARCH, 49, 105, 106, 107, 108, 109, 110, Lagrange multiplier, 9, 12
Lagrangian, 9, 12, 15, 20, 23
111 Least square, 90
ARIMA, 49, 77, 91, 92, 93, 103 Ljung-Box Q, 82, 84, 85, 87, 88, 89, 90, 94,
Autocorrelation function, 75, 94, 99
Autoregressive, 90, 91, 103, 105 98
Centered Moving Average, 67, 71 MAD, 59, 61, 63, 64, 65
Chi-square, 82, 84, 85, 87, 88, 94, 98, 105, Maksimasi, 28
MAPE, 59, 61, 63, 64, 65, 80, 90, 93, 103
107, 108, 110, 111 Marshallian, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 28
Correlogram, 73, 75, 78, 94, 99 Maximum likelihood, 90
Data original, 57 Maximum Likelihood Estimator, 79, 90
Data time series, 43, 71, 72, 77 Mean Absolute Error, 62, 82, 83, 84, 87, 88,
Dekomposisi, 67, 71
Derivatif total, 38 97, 101
Deseasonal, 71 Mean Absolute Percentage Error, 59, 62,
Detrending, 71
Diferensial total, 38 82, 83, 84, 87, 88, 97, 101
Differencing, 78 Mean Error, 62, 81, 83, 84, 87, 88, 97, 101
Efek pendapatan, 20 Mean model, 111
Efek substitusi, 20 Mean Percentage Error, 59, 62, 82, 83, 84,
Efek total, 20
Error, 50, 51, 53, 56, 59, 62, 65, 81, 82, 83, 87, 88, 97, 101
Metode substitusi, 6, 7
84, 86, 87, 88, 94, 97, 98, 101, 107, 108, Minimasi, 28
109 MLE, 79, 80, 86, 87, 88, 89, 90, 105, 106
Forecast, 50, 53, 55, 62, 81, 83, 84, 86, 87, MPE, 59, 61, 63, 64, 65
88, 89, 96, 97, 101, 109, 110 MSE, 59, 61, 63, 64, 65
Fungsi, 2, 6, 7, 12, 19, 20, 27, 28, 32 Musim, 45
Fungsi eksplisit, 6 OLS, 77, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 89,
Fungsi garis lengkung, 6
Fungsi garis lurus, 6, 7 90, 105, 107, 111
Fungsi implisit, 7 Optimasi, 1, 7, 20
Fungsi Lagrangian, 12, 20 Ordinary Least Square, 79, 90
GARCH, 49, 105, 106, 109, 110, 111 Overestimate, 65
Garis anggaran, 20 PACF, 73, 74, 75, 78, 80, 92, 93, 94, 99
Hannan-Quinn criterion, 90 Pengaruh langsung, 38
Hicksian, 23, 24, 26, 27, 28, 29 Pengaruh tidak langsung, 38
Hubungan langsung, 32, 33, 34 Pengeluaran minimum, 28
Peramalan, 93

Indeks | 123

Persamaan, 39, 93 Siklus, 45, 46
Pola musim, 46 Slope, 2, 4, 7
Pola siklus, 46 Stasioner, 76, 78
Pola trend, 46 Tak beraturan, 44, 46
Random, 78 Time series, 46
Random walk, 78 Titik optimal, 12
Rekursif, 38 Trend, 43, 44, 46, 50, 60, 72
Root Mean Squared Error, 62, 81, 83, 84, Turunan parsial, 3, 10, 11, 12, 16, 24
Underestimate, 65
87, 88, 97, 101 Utilitas, 28
Schwarz criterion, 81, 83, 84, 86, 87, 88, Utilitas tidak langsung, 28
White noise, 103
90, 94, 98, 107, 108, 109
Seasonal adjusted, 71
Seasonal factor, 71, 72

124 | Indeks



SINOPSIS

Buku ini merupakan pengenalan atau pengantar dalam mempelajari Model
Ekonomi (Economic Modelling), yaitu buku yang menerapkan analisis
matematis dan aplikasi Excel/Gretl. Penyusunan buku ini menggunakan dua
aspek modelling, yaitu pendekatan teori (theory approach) dan pendekatan
bukan teori (data approach). Pendekatan teori yang dibahas adalah teori
ekonomi mikro dengan analisis matematis; sementara pendekatan data
menggunakan analisis univariat time series.

Adapun materi teori ekonomi mikro dalam buku ini meliputi pembahasan
tentang metode Lagrange, permintaan Marshallian/Hicksian, minimasi
biaya, dan maksimasi laba; sementara pembahasan univariat time series
meliputi dekomposisi, trend, moving average, exponential smoothing,
autoregressive, ARIMA, dan ARCH/GARCH.

Buku ini memberikan langkah-langkah dalam pemodelan, sehingga
memudahkan pembaca untuk belajar secara mandiri. Buku ini juga
dilengkap dengan tujuan pembelajaran, kesimpulan, glosari, serta evaluasi
pertanyaan, yang diharapkan dapat membantu memahami isi dari buku ini.
Penggunaan software seperti Excel/Gretl menjadikan buku ini lebih praktis
dan aplikatif tanpa harus melakukan perhitungan secara manual.

Penulis, dapat dihubungi melalui:
Email: [email protected]
Website: https://sites.google.com/ekonomi.untan.ac.id/pemodelan-ekonomi