แบบประเมินการปฏิบัติงาน

ภาคเรยี นท่ี 1 ปีการศกึ ษา 2562

โดย

นางสาวกติ ิยา จากรมั ย์
ตำแหนง่ ครอู ตั ราจา้ ง

แผนกสามัญสัมพันธ์ หมวดวิชาคณติ ศาสตร์

วทิ ยาลยั เทคนคิ ระยอง
สำนักงานคณะกรรมการการอาชีวศกึ ษา

กระทรวงศึกษาธิการ











1.1 การสร้างและการพฒั นาหลกั สูตร
1.2 การออกแบบหน่วยการเรียนรู้
1.3 แผนการเรียนรู้ (แผนการสอน)
1.4 เทคนิควิธีการสอน (กุลยทุ ธ์)
1.5 ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียน
1.6 คุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์
1.7 การสร้างพฒั นาสื่อการสอน นวตั กรรม เทคโนโลยี
1.8 การวดั ผล ประเมินผล
1.9 การวจิ ยั การแกป้ ัญหาการเรียนการสอน

ลำดบั ท่ี ผลงำนรำยงำนกำรปฏบิ ัตงิ ำน หลกั ฐำนอ้ำงองิ
1. การสร้างและการพฒั นาหลกั สูตร
2. การออกแบบหน่วยการเรียนรู้ -โครงการสอน
3. แผนการเรียนรู้ (แผนการสอน)
-โครงการสอน
4. เทคนิควธิ ีการสอน (กุลยทุ ธ์) -แผนการสอนและ บนั ทึกหลงั
5. ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียน การสอน
6. คุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ -แผนการสอน
-คะแนนสอบหลงั เรียน
7. การสร้างพฒั นาสื่อการสอน นวตั กรรม -แบบประเมินความตรงต่อเวลา
-แบบประเมินจิตพิสยั
เทคโนโลยี -ส่ือการเรียนการสอน

8. การวดั ผล ประเมินผล -แบบบนั ทึกคะแนน
9. การวจิ ยั การแกป้ ัญหาการเรียนการสอน -วจิ ยั ในช้นั เรียน

1 ด้านการจดั การเรียนการสอน
1.3 การสร้างและหรอื พัฒนาสอื่ นวตั กรรม เทคโนโลยที าง

การเรียนการสอนโดยส่อื เทคโนโลยี การเรยี นการสอนโดยส่อื เทคโนโลยี

ประมวลการสอนรายวิชา (Course Syllabus)
ชือ่ วชิ า คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน รหสั วชิ า 20000 – 1401

จานวนคาบ : หน่วยกิต 2:2
ประจาภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2562

ครูผูส้ อน
นางสาวกิติยา จากรมั ย์

แผนกวิชาสามญั สมั พันธ์ (คณิตศาสตร์)
วทิ ยาลยั เทคนิคระยอง

ประมวลการสอนรายวิชา (Course Syllabus)
ชื่อวิชา คณิตศาสตร์พนื้ ฐานอาชพี รหัสวิชา 20000 – 1401 จานวนคาบ : จานวนหนว่ ยกิต (3 : 3)

ประจาภาคเรยี นท่ี 1 ปีการศกึ ษา 2562 ผู้สอน นางสาวกติ ยิ า จากรัมย์

จดุ ประสงค์รายวิชา

1. เพอ่ื ให้รแู้ ละเข้าใจเก่ยี วกับสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร สถิตเิ บอ้ื งตน้ การ
วัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง การวัดตาแหนง่ และการวัดการกระจายของข้อมลู

2. มีทักษะกระบวนการคิดและแก้ปัญหาเก่ียวกบั สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร
สถิตเิ บอ้ื งต้น การวัดแนวโนม้ เข้าส่สู ่วนกลาง การวดั ตาแหน่งและการวดั การกระจายของขอ้ มลู และนาไปประยุกตใ์ ช้
ในงานอาชีพ

3. มีเจตคตแิ ละกิจนิสยั ที่ดใี นการคดิ วิเคราะห์ แก้ปญั หาในสถานการณต์ ่างๆ อย่างเป็นระบบมคี วามละเอียด
รอบคอบในการปฏิบตั งิ าน

สมรรถนะรายวิชา
1. ประยกุ ตค์ วามร้เู กยี่ วกบั สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรไปใช้ในสถานการณ์

หรอื ปญั หาที่กาหนด
2. สร้างตารางแจกแจงความถี่ กราฟหรือแผนภมู ิ และตีความหมายหรือวเิ คราะห์ขอ้ มลู จากตาราง กราฟหรือ

แผนภมู ิ
3. เลือกใชค้ ่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมให้เหมาะสมกับข้อมลู
4. วัดตาแหนง่ ทขี่ องข้อมูลโดยใช้เปอร์เซ็นไทล์
5. วดั การกระจายขอ้ มูลโดยใชพ้ สิ ัย สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน สัมประสิทธ์ิของพิสัยและสมั ประสิทธ์ิ

การแปรผนั

คาอธิบายรายวิชา

ศึกษาและฝกึ ทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตรเ์ กยี่ วกบั สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว ระบบสมการเชงิ เส้น
สองตวั แปร สถิตเิ บ้ืองตน้ การวัดแนวโน้มเขา้ สูส่ ่วนกลาง การวดั ตาแหน่งและการวดั การกระจายข้อมลู

โครงการสอน
รหสั วิชา 20000 – 1401 วิชา คณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ กล่มุ สาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์
ระดบั ชั้น ปวช. เวลา 2 ช่ัวโมง / สปั ดาห์ จานวน 2 หน่วยกติ ภาคเรียนท่ี 1

ลาดบั ท่ี ชอ่ื หน่วยการสอน จานวนคาบ สปั ดาห์ที่
(ชัว่ โมง)
1 สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว 1-2
2 ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร 4 3-4
3 สถติ เิ บอ้ื งตน้ 4 5-6
4 การวดั แนวโนม้ เขา้ สสู่ ว่ นกลาง 4 7 - 12
5 การวดั ตาแหนง่ ของข้อมลู 12 13
6 การวดั การกระจายของข้อมูล 2 14 - 17
8 18
ประเมนิ สรุป 2
รวม 6 หน่วยการสอน 36

การวัดผลและการประเมินผล

1. คะแนนจิตพิสัย 20 คะแนน

พจิ ารณาจากการเข้าเรยี น ตรงเวลา มรี ะเบยี บวินัย ความสนใจใฝ่รู้ และความสามคั คใี นการร่วมกิจกรรม

ในชั้นเรยี น โดยใช้แบบประเมินพฤติกรรมรายบุคคล รายกลุ่มและแบบประเมินพฤติกรรมทางดา้ นคุณธรรม จรยิ ธรรม

2. คะแนนแบบฝึกหัด 10 คะแนน

พจิ ารณาจากการทาแบบประเมนิ ผลในหนังสือเรยี น โดยดคู วามถูกต้อง ความตรงต่อเวลา ความครบถ้วน

และความใส่ใจในการทางาน

3. คะแนนใบงาน 10 คะแนน

พิจารณาจากใบงานท่ีมอบหมาย โดยดเู นอ้ื หาสาระ ความถูกต้อง ครบถว้ นและความตรงตอ่ เวลา

4. คะแนนโครงงาน 10 คะแนน

พจิ ารณาจากเน้ือหา (ถูกต้อง ครบถว้ น) รูปแบบการนาเสนอ และความตรงตอ่ เวลา

5. คะแนนทดสอบย่อย 30 คะแนน

ทดสอบแต่ละหนว่ ยและสอบปากเปล่า

6. คะแนนประเมินสรุป 20 คะแนน

7. ดาเนนิ การวัดผลในสปั ดาห์ท่ี 18 ของภาคเรียนเมินผลการเรยี น โดยนาคะแนนตั้งแต่ข้อ 1 ถึง 6 มารวมกัน

แลว้ พิจารณาผลการเรยี นตามเกณฑ์ต่อไปน้ี

เกณฑป์ ระเมนิ ผลการเรยี น

ระดับคะแนน เกรด

80 – 100 4

75 – 79 3.5

70 – 74 3

65 – 69 2.5

60 – 64 2

55 – 59 1.5

50 – 54 1

0 – 49 0

เอกสารประกอบการเรียนการสอน
1. หนงั สอื เรยี นวิชาคณิตศาสตร์พน้ื ฐานอาชพี ( 20000-1401 ) ของ รศ.ดร.สรุ ศกั ด์ิ อมรรัตนศกั ดิ์ สานกั พมิ พ์
ศนู ยก์ ารส่งเสรมิ วิชาการ
2. เอกสารคณิตศาสตร์ท่ีมีเน้ือหาเหมือนกนั



แผนการจัดการเรียนรู้

หลกั สูตร ประกาศนียบัตรวิชาชีพ พทุ ธศักราช 2562

ของสำนกั งำนคณะกรรมกำรกำรอำชีวศึกษำ กระทรวงศึกษำธิกำร

ประเภทวชิ า………....………..…………… สาขาวชิ า ………………..….…….… รหสั วชิ า 20000-1401

ช่ือวชิ ำ คณิตศำสตร์พ้นื ฐำนอำชีพ จำนวน 2 ชวั่ โมง /สปั ดำห์ 2 หน่วยกิต

จุดประสงค์รายวชิ า
1. เพ่อื ใหร้ ู้และเขำ้ ใจเก่ียวกบั สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร สถิติ

เบ้ืองตน้ กำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำง กำรวดั ตำแหน่งและกำรวดั กำรกระจำยของขอ้ มูล
2. มีทกั ษะกระบวนกำรคิดและแกป้ ัญหำเกี่ยวกบั สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว ระบบสมกำรเชิงเส้น

สองตวั แปร สถิติเบ้ืองตน้ กำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำง กำรวดั ตำแหน่งและกำรวดั กำรกระจำยของขอ้ มูล
และนำไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นงำนอำชีพ

3. มีเจตคติและกิจนิสยั ท่ีดีในกำรคิด วเิ ครำะห์ แกป้ ัญหำในสถำนกำรณ์ต่ำงๆ อยำ่ งเป็ นระบบมีควำม
ละเอียดรอบคอบในกำรปฏิบตั ิงำน

สมรรถนะรายวชิ า
1. ประยกุ ตค์ วำมรู้เกี่ยวกบั สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรไปใชใ้ น

สถำนกำรณ์หรือปัญหำท่ีกำหนด
2. สร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถ่ี กรำฟหรือแผนภมู ิ และตีควำมหมำยหรือวเิ ครำะห์ขอ้ มูลจำกตำรำง

กรำฟหรือแผนภมู ิ
3. เลือกใชค้ ่ำเฉล่ียเลขคณิต มธั ยฐำน และฐำนนิยมใหเ้ หมำะสมกบั ขอ้ มูล
4. วดั ตำแหน่งท่ีของขอ้ มูลโดยใชเ้ ปอร์เซ็นไทล์
5. วดั กำรกระจำยขอ้ มูลโดยใชพ้ ิสยั ส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน สมั ประสิทธ์ิของพสิ ัยและสมั ประสิทธ์ิ

กำรแปรผนั
คาอธิบายรายวชิ า

ศึกษำและฝึกทกั ษะกระบวนกำรทำงคณิตศำสตร์เกี่ยวกบั สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว ระบบสมกำร
เชิงเส้นสองตวั แปร สถิติเบ้ืองตน้ กำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำง กำรวดั ตำแหน่งและกำรวดั กำรกระจำย
ขอ้ มูล

โครงการสอน
รหัสวชิ า 20000 – 1401 วชิ า คณิตศำสตร์พ้ืนฐำนอำชีพ กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศำสตร์
ระดับช้ัน ปวช. เวลา 2 ชว่ั โมง / สปั ดำห์ จานวน 2 หน่วยกิต ภาคเรียนที่ 1

ลาดับท่ี ชื่อหน่วยการสอน จานวนคาบ สัปดาห์ที่
(ช่ัวโมง)
1 สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว 1-2
2 ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร 4 3-4
3 สถิติเบ้ืองตน้ 4 5-6
4 กำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำง 4 7 - 12
5 กำรวดั ตำแหน่งของขอ้ มลู 12 13
6 กำรวดั กำรกระจำยของขอ้ มลู 2 14 - 17
8 18
ประเมินสรุป 2
รวม 6 หน่วยการสอน 36

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยที่ 1
ชื่อวชิ า วชิ า คณติ ศาสตร์พนื้ ฐานอาชีพ (20000-1401) สอนสัปดาห์ที่ 1-2
ชื่อหน่วย สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว ชั่วโมง 4 ช่ัวโมง

ชื่อเร่ือง สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว ชั่วโมง 2 ชั่วโมง

1. หวั ข้อเร่ือง

1. ควำมหมำยของสมกำร
2. คำตอบของสมกำร
3. กำรแกส้ มกำร
4. สมกำรเชิงเส้นตวั แปรตวั แปรเดียว
5. กำรนำสมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นงำนอำชีพ
2. สมรรถนะประจาหน่วย

นำควำมรู้เก่ียวกบั สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวไปใชใ้ นสถำนกำรณ์จริงหรือปัญหำที่กำหนด

3. สาระสาคญั
สมกำร คือ ประโยคสัญลกั ษณ์ท่ีแสดงถึงกำรเท่ำกนั โดยใชเ้ คร่ืองหมำยเท่ำกบั (=) ประโยคสญั ลกั ษณ์

น้นั อำจมีตวั แปรหรือไม่มีตวั แปรก็ได้
สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว คือ สมกำรท่ีมีตวั แปรเพยี งตวั เดียว และมีเลขช้ีกำลงั ของตวั แปรเป็ น 1

สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวสำมำรถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปอยำ่ งง่ำย คือ ax + b = 0 เมื่อ a, b คือค่ำคงตวั ใดๆ และ
a≠0
4. จุดประสงค์การเรียนรู้
จุดประสงค์ทว่ั ไป

1. เขำ้ ใจควำมหมำยของสมกำร
2. มีควำมรู้เร่ืองประเภทของสมกำร
3. เขำ้ ใจวธิ ีกำรหำคำตอบของสมกำรเชิงเส้นหน่ึงตวั แปร

จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม / บูรณาการเศรษฐกจิ พอเพยี ง

1) บอกควำมหมำยของสมกำรและสมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวได้ (ด้านความรู้)
2) คำนวณคำ่ ตวั แปรของสมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวได้ (ด้านความรู้)
3) เปลี่ยนประโยคภำษำของโจทยป์ ัญหำใหเ้ ป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ได้ (ด้านความรู้)
4) แกโ้ จทยป์ ัญหำเกี่ยวกบั สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวได้ (ด้านทักษะ)

5) ประยกุ ตค์ วำมรู้เกี่ยวกบั สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวไปใชใ้ นสถำนกำรณ์จริงหรือปัญหำที่กำหนด
ได้ (ดำ้ นจิตพสิ ัย)

6) มีคุณธรรม จริยธรรม คำ่ นิยม และคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (ดำ้ นคุณธรรม จริยธรรม/บูรณำกำร
เศรษฐกิจพอเพยี ง)

5. เนือ้ หาสาระการสอน/การเรียนรู้

ความหมายของสมการ

สมกำร (Equation) คือ ประโยคสัญลกั ษณ์ที่แสดงควำมสัมพนั ธ์ของจำนวน จะมีเคร่ืองหมำย “_” บอก

ควำมสมั พนั ธ์ระหวำ่ งจำนวน ซ่ึงอำจจะมีตวั แปรหรือไม่มีกไ็ ด้ เช่น

1) 7 + 5 = 12 สมกำรน้ีเป็ นจริ ง
2) x – 3 =8 สมกำรน้ีจะเป็นจริงหรือเทจ็ ข้ึนอยกู่ บั ค่ำของ x
3) 2x + 3 = 11 สมกำรน้ีจะเป็นจริงหรือเทจ็ ข้ึนอยกู่ บั ค่ำของ x

 จำกสมกำร x – 3 = 8 จะเป็นจริงเมื่อแทนคำ่ x ดว้ ย 11

ถำ้ แทนค่ำ x ดว้ ยจำนวนใดๆ ท่ี  11 (ไมเ่ ท่ำกบั 11) จะทำใหส้ มกำรเป็นเทจ็ จึงกล่ำวไดว้ ำ่ 11 เป็น
คำตอบของสมกำร

 จำกสมกำร 2x + 3 = 11 จะเป็นจริงเมื่อแทนค่ำ x ดว้ ย 4

ถำ้ แทนค่ำ x ดว้ ยจำนวนใดๆ ที่  (ไม่เท่ำกบั 4) จะทำใหส้ มกำรเป็นเทจ็ จึงกล่ำวไดว้ ำ่ 4 เป็นคำตอบ
ของสมกำร
ตวั แปร (Variable) คือ จำนวนที่ยงั ไม่ทรำบคำ่ หรือเป็ นจำนวนที่ตอ้ งกำรหำคำ่ นิยมเขียนแทนดว้ ย
พยญั ชนะในภำษำองั กฤษ เช่น x, y, z, … ฯลฯ
สมั ประสิทธ์ิของตวั แปร หมำยถึง จำนวนท่ีคูณอยกู่ บั ตวั แปรน้นั เช่น
7x สมั ประสิทธ์ิของ x คือ 7
y สัมประสิทธ์ิของ y คือ

z สมั ประสิทธ์ิของ z คือ 1
คาตอบของสมการ

คำตอบของสมกำร คือ จำนวนที่แทนตวั แปรในสมกำรแลว้ ทำใหส้ มกำรเป็นจริง และกล่ำววำ่ จำนวน

น้นั สอดคลอ้ งสมกำร เช่น

จำกสมกำร 3x – 7 = 8 จำนวนจริงท่ีกำหนดให้ คือ x = 5

แทนคำ่ x = 5 ในสมกำร

จะได้ 3(5) -7 =8

15 - 7 = 8

8=8

ทำใหส้ มกำรเป็นจริง ดงั น้นั 5 เป็นคำตอบของสมกำร

การแก้สมการ

กำรแกส้ มกำร คือ กำรหำคำตอบของสมกำร

กำรแกส้ มกำรจำเป็ นตอ้ งใชส้ มบตั ิของกำรเท่ำกนั และสมบตั ิของจำนวนจริงตอ่ ไปน้ี

สมบตั ิของกำรเทำ่ กนั

1. สมบตั ิสมมำตร (symmetric property)

เช่น ถำ้ a + b = c แลว้ c = a + b
ถำ้ 10 = 2x แลว้ 2x = 10

2. สมบตั ิถ่ำยทอด

เช่น ถำ้ a + b = x และ x = 5 แลว้ a + b = 5
ถำ้ อมั๊ มีอำยเุ ท่ำกบั มิล้ และมิล้ มีอำยุ 21 ปี แลว้ อม๊ั มีอำยุ 21 ปี

3. สมบตั ิกำรบวก (additive property)

เช่น ถำ้ 2x – 1 = 3 แลว้ 2x – 1 + 1 = 3 + 1 หรือ 2x = 4
ถำ้ 3x + 2 = 3 แลว้ 3x + 2 – 2 = 3 – 2 หรือ 3x = 1

4. สมบตั ิกำรคูณ

เช่น ถำ้ x = 2a แลว้ x(3) = 2a(3) หรือ 3x = 6a
ถำ้ x = 12 แลว้ x = 12(2) หรือ x = 24

ถำ้ 3a = 18 แลว้ = หรือ a = 6

ถำ้ -2 = 4 แลว้ -x = - หรือ x = -2
-

สมบตั ิของจำนวนจริง

1. สมบตั ิกำรสลบั ท่ี (commutative property)

1.1 สมบตั ิกำรสลบั ท่ีกำรบวก (commutative property of addition)

เช่น 3 + 5 = 5 + 3
8= 8

1.2 สมบตั ิสลบั ท่ีกำรคูณ (commutative property of multiplication)

เช่น 2  3 = 3  2

6= 6
2. สมบตั ิกำรเปล่ียนกลุ่ม (associative property)

2.1 สมบตั ิกำรเปล่ียนกลุ่มกำรบวก (associative property of addition)

เช่น (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)
3+3 = 1+5

6= 6
2.2 สมบตั ิกำรเปล่ียนกลุ่มกำรคูณ (associative property of multiplication)

เช่น (3  2)  4 = 3  (2  4)
64 = 38
24 = 24

2.3 สมบตั ิของศนู ย์

เช่น 5 + 0 = 0 + 5 = 5
2.4 สมบตั ิของหน่ึง

เช่น 3  1 = 1  3 = 3
2.5 สมบตั ิกำรแจกแจง (distributive property)

เช่น 2  (3 + 4) = (2  3) + (2  4)
27 = 6+8
14 = 14

หรือ (2 + 5)  3 = (2  3) + (5  3)
7  3 = 6 + 15
21 = 21

สมการเชิงเส้ นตัวแปรเดียว
สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว (Linear Equation with One Variable) คือ สมกำรท่ีมีตวั แปรหน่ึงตวั และ

เลขช้ีกำลงั ของตวั แปรเป็นหน่ึง ซ่ึงสำมำรถเขียนเป็นรูปทว่ั ไปไดค้ ือ ax + b = 0 เม่ือ a และ b เป็นคำ่ คงตวั โดยที่
a  0 และ x เป็นตวั แปร

ตวั อยำ่ งของสมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว
1) 4x + 6 = 0
2) 3y = 5
3) x + = 4x
ตวั อยำ่ งท่ี 1 จงแกส้ มกำร 3x + 2 = 8
วธิ ีทำ 3x + 2 = 8
นำ 2 มำลบท้งั สองขำ้ งของสมกำร
จะได้ 3x + 2  2 = 8  2

3x = 6
นำ 3 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร
จะได้ x =

x =2
ดงั น้นั คำตอบของสมกำร คือ x = 2

ตวั อยำ่ งท่ี 2 จงแกส้ มกำร 7x  6 = 15
วธิ ีทำ 7x  6 = 15

นำ 6 มำบวกท้งั สองขำ้ งของสมกำร
จะได้ 7x  6 + 6 = 15 + 6

7x = 21
นำ 7 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร
จะได้ x =

x =3
ดงั น้นั คำตอบของสมกำร คือ x = 3

ตวั อยำ่ งที่ 3 จงแกส้ มกำร (6x  3) + (10  3x) = 2x  (5  4x)
วธิ ีทำ ถอดวงเล็บท้งั สองขำ้ งของสมกำร

(6x  3) + (10  3x) = 2x  (5  4x)
3x + 7 = 6x  5

นำ 6x มำลบออกท้งั สองขำ้ งของสมกำร
จะได้ 3x + 7  6x = 6x  5  6x

3x + 7 = 5
นำ 7 มำลบออกท้งั สองขำ้ งของสมกำร
จะได้ 3x + 7  7 = 5  7

3x = 12
นำ 3 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร
จะได้  x = 



x =4
ดงั น้นั คำตอบของสมกำร คือ x = 4

ตวั อยำ่ งที่ 4 จงแกส้ มกำร 3(x + 1) = 2x 
วธิ ีทำ นำ 3 มำคูณเขำ้ ในวงเล็บ

3x + 3 = 2x 
นำ 2 มำคูณท้งั สองขำ้ งของสมกำร

2(3x + 3) = 2(2x) 2 ( )
6x + 6 = 4x  1

นำ 4x มำลบออกท้งั สองขำ้ งของสมกำร
6x + 6  4x = 4x  1  4x

2x + 6 =  1
นำ 6 มำลบออกท้งั สองขำ้ งของสมกำร

2x + 6  6 = 1  6
2x = 7

นำ 2 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร
x =

ดงั น้นั คำตอบของสมกำร คือ x = 

ตวั อยำ่ งท่ี 5 จงแกส้ มกำร x - = x
วธิ ีทำ คูนไขวห้ รือคูณทแยง

3(2x  5) = 4(x + 2)
6x  15 = 4x + 8
นำ 4x มำลบท้งั สองขำ้ งของสมกำร
6x  15  4x = 4x + 8  4x
2x  15 = 8
นำ 15 มำบวกท้งั สองขำ้ งของสมกำร
2x  15 + 15 = 8 + 15

2x = 23
นำ 2 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร

x=
x=
ดงั น้นั คำตอบของสมกำร คือ x =

ตวั อยำ่ งที่ 6 จงแกส้ มกำร x  x = 4
วธิ ีทำ นำ ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ 6 มำคูณตลอดท้งั สองขำ้ งของสมกำร

6 (x )  6 (x) = (6)4
3(x + 3) – 2x = 24
3x + 9 2x = 24

นำ 9 มำลบออกท้งั สองขำ้ งของสมกำร
x + 9  9 = 24  9
x = 15

ดงั น้นั คำตอบของสมกำร คือ x = 15

การนาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี วไปประยุกต์ใช้ในงานอาชีพ
นกั เรียนสำมำรถนำควำมรู้เกี่ยวกบั สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวไปใชใ้ นสถำนกำรณ์จริง หรือปัญหำที่

กำหนด หลกั ในกำรแกป้ ัญหำโจทยส์ มกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวขอนำเสนอเทคนิควธิ ีที่นิยมใชแ้ พร่หลำย คือ แก้
โจทยป์ ัญหำ 4 ข้นั ตอนของโพลยำ Poly ’s four – stage Method)

ตวั อยำ่ งที่ 7 สี่เหลี่ยมผนื ผำ้ รูปหน่ึงมีดำ้ นยำวยำวกวำ่ ดำ้ นกวำ้ ง 4 นิ้ว ถำ้ เส้นรอบรูปของส่ีเหล่ียมผนื ผำ้ รูปน้ียำว
36 นิ้ว จงหำขนำดของดำ้ นกวำ้ งและดำ้ นยำวของส่ีเหล่ียมผนื ผำ้ รูปน้ี

วธิ ีทำ โจทยต์ อ้ งกำรใหห้ ำควำมกวำ้ งและควำมยำวของส่ีเหลี่ยมผนื ผำ้
สมมติใหส้ ี่เหลี่ยมผนื ผำ้ มีควำมกวำ้ ง x นิ้ว
ดำ้ นยำวยำวกวำ่ ดำ้ นกวำ้ งอยู่ 4 นิ้ว
ดงั น้นั จะไดค้ วำมยำวเป็น x + 4 นิ้ว

ควำมยำวของเส้นรอบรูป = ควำมยำว 2 ดำ้ น + ควำมกวำ้ ง 2 ดำ้ น
นน่ั คือ ควำมยำวของเส้นรอบรูป = 2(x + 4) + 2x
เนื่องจำกโจทยก์ ำหนดควำมยำวของเส้นรูป = 36 นิ้ว
ดงั น้นั สมกำรท่ีไดค้ ือ 2(x + 4) + 2x = 36
นำ 2 คูณเขำ้ ในวงเล็บ

2x + 8 + 2x = 36
4x + 8 = 36

นำ 8 มำลบท้งั สองขำ้ งของสมกำร
4x + 8  8 = 36  8
4x = 28

นำ 4 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร
x=
x =7

ดงั น้นั ควำมกวำ้ งเทำ่ กบั 7 นิ้ว
จะไดค้ วำมยำวเทำ่ กบั 7 + 4 = 11 นิ้ว

ตวั อยำ่ งท่ี 8 โรงงำนแห่งหน่ึงมีคนงำนและช่ำงเทคนิครวมท้งั สิ้น 180 คน จำนวนช่ำงเทคนิคเป็ น ของจำนวน
คนงำน อยำกทรำบวำ่ โรงงำนแห่งน้ีมีคนงำนและช่ำงเทคนิคประเภทละก่ีคน

วธิ ีทำ โจทยต์ อ้ งกำรใหห้ ำจำนวนคนงำนและช่ำงเทคนิค
สมมติใหม้ ีคนงำนจำนวน x คน
แตจ่ ำนวนช่ำงเทคนิคเป็น ของจำนวนคนงำนจะได้

จำนวนช่ำงเทคนิค x คน
เน่ืองจำกมีจำนวนคนงำนและช่ำงเทคนิครวมท้งั สิ้น 180 คน
ดงั น้นั สมกำรที่ไดค้ ือ x + x = 180
นำ 3 มำคูณท้งั สองขำ้ งของสมกำร

3x + 3 ( x) = 180(3)

3x + 2x = 540
5x = 540

นำ 5 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร
x=
x = 108

ดงั น้นั มีคนงำนจำนวน 108 คน
มีช่ำงเทคนิคเท่ำกบั (108) = 72 คน

ตวั อยำ่ งท่ี 9 ช่ำงก่อสร้ำงเทคอนกรีตผสมเสร็จในกำรเทพ้ืนเขำใช้ปูน ทรำย และหิน ผสมกนั โดยจำนวน
ส่วนผสมของคอนกรีตใช้ทรำยเป็ นสองเท่ำของปูนและหินเป็ นส่ีเท่ำของปูน ได้คอนกรีต
ผสมเสร็จท้งั หมด 350 คิว จงหำวำ่ ส่วนผสมของคอนกรีตจะใช้ ปูน ทรำย และหินอยำ่ งละเทำ่ ไร

วธิ ีทำ โจทยต์ อ้ งกำรใหห้ ำจำนวนของปนู ทรำย และหิน
สมมติใหจ้ ำนวนส่วนผสมของคอนกรีตใชป้ ูน x คิว
แตใ่ ชท้ รำยเป็ นสองเทำ่ ของปูน และหินเป็นส่ีเทำ่ ของปนู
ดงั น้นั ส่วนผสมของคอนกรีตใชท้ รำย 2x คิว และใชห้ ิน 4x คิว
เน่ืองจำกไดค้ อนกรีตผสมเสร็จท้งั หมด 350 คิว
ดงั น้นั สมกำรท่ีไดค้ ือ x + 2x + 4x = 350
7x = 350
นำ 7 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร
x=

ดงั น้นั ส่วนผสมของคอนกรีตจะใช้ ปนู x คิว = 50 คิว
ทรำย 2x คิว = 2  50 = 100 คิว

หิน 4x คิว = 4  50 = 200 คิว

ตวั อยำ่ งท่ี 10 รถยนตค์ นั หน่ึงแล่นดว้ ยอตั รำเร็ว 64 กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง รถยนตอ์ ีกคนั หน่ึงแล่นดว้ ยอตั รำเร็ว 80
กิโลเมตรต่อชว่ั โมง รถยนตท์ ้งั สองคนั จะแล่นไดท้ ำงรวมกนั 480 กิโลเมตร ในเวลำกี่ชวั่ โมง

วธิ ีทำ สมมุติวำ่ รถยนตท์ ้งั สองคนั แล่นไดท้ ำงรวมกนั 480 กิโลเมตร ในเวลำ x ชว่ั โมง

ในเวลำ x ชวั่ โมง รถยนตค์ นั ที่แล่นดว้ ยอตั รำเร็ว 64 กิโลเมตรต่อชว่ั โมง

จะแล่นไดท้ ำง 64x กิโลเมตร

ในเวลำ x ชวั่ โมง รถยนตค์ นั ท่ีแล่นดว้ ยอตั รำเร็ว 80 กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง

จะแล่นไดท้ ำง 80x กิโลเมตร

ดงั น้นั รถยนตท์ ้งั สองคนั จะแล่นไดท้ ำง 64x + 80x = 480

นำ 114 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร 144x = 480
x=

x =3

ดงั น้นั รถยนตท์ ้งั สองคนั จะแล่นไดท้ ำงรวมกนั 480 กิโลเมตร ในเวลำ 3 ชวั่ โมง

6. กจิ กรรมการเรียนการสอน
1. ข้ันนาเข้าสู่บทเรียน

1. ผูส้ อนจดั เตรียมเอกสำร พร้อมกบั แนะนำรำยวิชำ วิธีกำรให้คะแนนและกำรประเมินผลที่ใชก้ บั วิชำ
คณิตศำสตร์พ้นื ฐำนอำชีพ

2. ผสู้ อนช้ีแจงหวั ขอ้ กำรเรียนและจุดประสงคก์ ำรเรียนประจำบทที่ 1 เรื่อง สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว
3. ผสู้ อนใหผ้ เู้ รียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนหน่วยท่ี 1 หนำ้ ท่ี 3
2. ข้ันให้ความรู้

1. ผูส้ อนเปิ ด PowerPoint เร่ือง สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวพร้อมเปิ ดเอกสำรประกอบกำรสอนวิชำ
คณิตศำสตร์พ้ืนฐำนอำชีพ

2. ผสู้ อนให้ผเู้ รียนเปิ ดหนงั สือหน้ำที่ 5 แลว้ อธิบำยเน้ือหำเรื่อง ควำมหมำยของสมกำร และคำตอบของ
สมกำรใหผ้ เู้ รียนฟัง

3. ผสู้ อนใหผ้ เู้ รียนเปิ ดหนงั สือหนำ้ ท่ี 6 แลว้ อธิบำยเน้ือหำเรื่อง กำรแกส้ มกำรใหผ้ เู้ รียนฟัง
4. ผสู้ อนใหผ้ เู้ รียนเปิ ดหนงั สือหนำ้ ท่ี 9 แลว้ อธิบำยเน้ือหำเร่ือง สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวใหผ้ เู้ รียนฟัง
5. ผสู้ อนอธิบำยและคำนวณตวั อยำ่ งที่ 1 – 6 ใหผ้ เู้ รียนฟัง และเปิ ดโอกำสใหผ้ เู้ รียนซกั ถำมหำกมีขอ้ สงสัย
6. ผสู้ อน ผสู้ อนอธิบำยและคำนวณตวั อยำ่ งที่ 7 – 10 ให้ผเู้ รียนฟัง และเปิ ดโอกำสใหผ้ เู้ รียนซกั ถำมหำกมี
ขอ้ สงสยั
3 ข้นั สรุปและประเมินผล

1. ผสู้ อนทบทวนควำมเขำ้ ใจและสรุปเน้ือหำเพื่อใหผ้ เู้ รียนมีควำมเขำ้ ใจในทิศทำงเดียวกนั
7. ผสู้ อนใหผ้ เู้ รียนทำแบบทดสอบหลงั เรียนหน่วยที่ 1 หนำ้ ที่ 24
7. ส่ือและแหล่งการเรียนรู้
1. เอกสำรประกอบกำรสอนวชิ ำ คณิตศาสตร์พืน้ ฐานอาชีพ
2. แบบทดสอบก่อนเรียนหน่วยท่ี 1
3. แบบฝึกหดั บทท่ี 1.1
4. แบบฝึกหดั บทที่ 1.2
5. แบบทดสอบหลงั เรียนหน่วยที่ 1
8. การวดั และการประเมนิ ผล
ก่อนเรียน

1. ตรวจแบบทดสอบก่อนเรียนหน่วยท่ี 1
ขณะเรียน

1. ตรวจแบบฝึกหดั ท่ี 1.1
2. ตรวจแบบฝึกหดั ที่ 1.2

หลงั เรียน

1. ตรวจแบบทดสอบหลงั เรียนหน่วยท่ี 1
9. กจิ กรรม/งานทมี่ อบหมาย

1. แบบทดสอบก่อนเรียนหน่วยที่ 1
2. แบบฝึกหดั ที่ 1.1
3. แบบฝึกหดั ที่ 1.2
4. แบบทดสอบหลงั เรียนหน่วยท่ี 1

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 หน่วยท่ี 2
ชื่อวชิ า วชิ า คณติ ศาสตร์พนื้ ฐานอาชีพ (20000-1401) สอนสัปดาห์ท่ี 3-4
ช่ือหน่วย ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร ช่ัวโมง 4 ช่ัวโมง

ชื่อเรื่อง ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร ชั่วโมง 2 ช่ัวโมง

1. หวั ข้อเรื่อง

6. ควำมหมำยของสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร
7. ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร
8. กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร

3.1 กำรแกส้ มกำรโดยกำรแทนค่ำตวั แปรหน่ึงลงในตวั แปรน้นั ของอีกสมกำรหน่ึง
3.2 กำรแกส้ มกำรโดยกำรกำจดั ตวั แปรใดตวั หน่ึงใหห้ มดไป
9. กรำฟของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร
10. กำรนำระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นงำนอำชีพ

2. สมรรถนะประจาหน่วย
นำควำมรู้เกี่ยวกบั สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียวไปใชใ้ นสถำนกำรณ์จริงหรือปัญหำท่ีกำหนด

3. สาระสาคญั
1. สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร หมำยถึง สมกำรที่มีตวั แปรสองตวั เลขช้ีกำลงั ของตวั แปรแต่ละตวั
เป็นหน่ึงและไม่มีกำรคูณกนั ของตวั แปร มีรูปทว่ั ไป คือ Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เป็นคำ่ คงตวั ที่ A
และ B ไมเ่ ท่ำกบั ศนู ยพ์ ร้อมกนั เช่น 2x  y  6 = 0 หรือ 2x  y = 6
2. โดยทว่ั ไปเรำเรียกคู่อนั ดบั (x, y) ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมกำร Ax + By + C = 0 เม่ือ A, B และ C เป็นค่ำคง
ตวั ท่ี A และ B ไม่เป็นศูนยพ์ ร้อมกนั วำ่ คำตอบของสมกำร และกรำฟแสดงคำตอบของสมกำร Ax + By
+ C =0 น้ีจะเป็นเส้นตรง Ax + By + C = 0
3. ให้ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนจริง ท่ี a, b ไม่เป็นศนู ยพ์ ร้อมกนั และ c, d ไมเ่ ป็นศูนยพ์ ร้อมกนั เรียก
ระบบท่ีประกอบดว้ ยสมกำร ax + by = e และ cx + dy = f วำ่ ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรท่ีมี x และ
y เป็นตวั แปร กล่ำววำ่ a และ c เป็นสัมประสิทธ์ิของ x, b และ d เป็นสัมประสิทธ์ิของ y คำตอบของ
สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร คือ คู่อนั ดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำรท้งั สองของระบบสมกำร หรือคู่
อนั ดบั (x, y) ที่ค่ำ x และคำ่ y ทำใหส้ มกำรท้งั สองของระบบสมกำรเป็นจริง
4. กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร หมำยถึง กำรหำคำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร
ทำไดโ้ ดยใชก้ รำฟและวธิ ีกำรทำงพชี คณิต ซ่ึงวกี ำรทำงพีชคณิตมี 2 วธิ ี คือ

4.1 กำรแทนคำ่ ตวั แปรหน่ึงลงในตวั แปรน้นั ของอีกสมกำรหน่ึง
4.2 กำรกำจดั ตวั แปรตวั ใดตวั หน่ึงใหห้ มดไปเขียนกรำฟของสมกำร Ax + By + C = 0 เมื่อ x, y เป็นตวั

แปร A, B และ C เป็นคำ่ คงตวั ที่ A และ B ไม่เท่ำกบั ศนู ยพ์ ร้อมกนั อำจจดั สมกำร
5. กำรเขียนกรำฟของสมกำร Ax + By + C = 0 เมื่อ x, y เป็นตวั แปร A, B และ C เป็นคำ่ คงตวั ที่ A และ B

ไมเ่ ทำ่ กบั ศนู ยพ์ ร้อมกนั อำจจดั สมกำรใหอ้ ยใู่ นรูปใหม่ไดด้ งั น้ี

Y =  x  ถำ้ ให้ a = - และ b = - จะได้ y = ax + b เมื่อ a และ b เป็นคำ่ คงตวั เรียก a วำ่

สัมประสิทธ์ิของ x แลว้ หำคู่อนั ดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำร y = ax + b ซ่ึงมีมำกมำยนบั ไมถ่ ว้ น
6. กำรเขียนกรำฟของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรทำไดห้ ลำยวธิ ี แต่วธิ ีที่จะนำเสนออีกวหี น่ึง คือ วธิ ี

หำจุดตดั แกน x และแกน y โดยมีหลกั กำรเขียนกรำฟ คือ
6.1 หำจุดตดั บนแกน x โดยกำหนดให้ y = 0 แลว้ พจิ ำรณำคำ่ x ท่ีเป็นไปได้ หรือหำจุด (x, 0)
6.2 หำจุดตดั บนแกน y โดยกำหนดให้ x = 0 แลว้ พิจำรณำคำ่ y ที่เป็นไปได้ หรือหำจุด (0, y)
4. จุดประสงค์การเรียนรู้
จุดประสงค์ทว่ั ไป
1. เพื่อใหม้ ีควำมรู้เก่ียวกบั ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร (ด้านความรู้)
2. เพื่อใหม้ ีทกั ษะในกำรแกโ้ จทยป์ ัญหำเกี่ยวกบั ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร(ด้านทักษะ)
3. เพ่อื ใหม้ ีเจตคติที่ดีในกำรประยกุ ตค์ วำมรู้เกี่ยวกบั ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร (ด้านเจตคติ)
จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม / บูรณาการเศรษฐกจิ พอเพยี ง
1. บอกควำมหมำยของสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรได้ (ดำ้ นควำมรู้)
2. หำคำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรโดยกำรแทนค่ำตวั แปรหน่ึงลงในตวั แปรน้นั ของ
อีกสมกำรหน่ึงได้ (ด้านทักษะ)
3. หำคำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรโดยกำรกำจดั ตวั แปรตวั ใดตวั หน่ึงให้หมดไปได้
(ด้านทักษะ)
4. ประยกุ ตค์ วำมรู้เก่ียวกบั ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรไปใชส้ ถำนกำรณ์จริงหรือปัญหำที่
กำหนดได้ (ดำ้ นจิตพิสัย)
5. มีคุณธรรม จริยธรรม คำ่ นิยม และคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (ดำ้ นคุณธรรม จริยธรรม/บรู ณำกำร

เศรษฐกิจพอเพียง)
5. เนือ้ หาสาระการสอน/การเรียนรู้

ความหมายของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร หมำยถึง สมกำรที่มีตวั แปรสองตวั เลขช้ีกำลงั ของตวั แปรแตล่ ะตวั เป็นหน่ึง

และไมม่ ีกำรคูณกนั ของตวั แปร

มีรูปทวั่ ไป คือ Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เป็นคำ่ คงตวั ท่ี A และ B ไม่เท่ำกบั ศูนยพ์ ร้อมกนั เช่น 2x
 y = 6 แลว้ ทำใหส้ มกำรเป็ นจริง เรำเรียกคู่อนั ดบั ท่ีสอดคลอ้ งเหล่ำน้นั วำ่ คำตอบของสมกำร 2x  y = 6 คู่
อนั ดบั (x, y) ท่ีเป็นคำตอบมีมำกมำยนบั ไมถ่ ว้ น ดงั น้นั สมกำร 2x  y = 6 จึงมีคำตอบมำกมำยไม่จำกดั เช่น (0,
6), (1, 4), (2,  , , , …

โดยทว่ั ไปเรำเรียกคูอ่ นั ดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำร Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เป็นค่ำคงตวั ท่ี
A และ B ไมเ่ ป็นศูนยพ์ ร้อมกนั วำ่ คำตอบของสมกำร และกรำฟแสดงคำตอบของสมกำร Ax + By + C = 0 น้ีจะ
เป็นเส้นตรง Ax + By + C = 0
ระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

ใหน้ กั เรียนพิจำรณำปัญหำต่อไปน้ี
ถำ้ นกั เรียนทรำบแต่เพยี งวำ่ “ปิ งและปองมีหนงั สือรวมกนั 9 เล่ม” นกั เรียนจะบอกไดแ้ น่นอนหรือไม่
วำ่ ปิ งมีหนงั สือก่ีเล่ม
ถำ้ ให้ x แทนจำนวนหนงั สือของปิ ง และ y แทนจำนวนหนงั สือของปอง
เรำเขียนขอ้ ควำมขำ้ งตน้ เป็นประโยคสัญลกั ษณ์ไดว้ ำ่ x + y = 9
จะเห็นวำ่ คำตอบของสมกำรน้ีมีหลำยคำตอบ ไดแ้ ก่ (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2) และ
(8, 1)
ดงั น้นั นกั เรียนจะไม่ทรำบแน่นอนวำ่ ปิ งมีหนงั สือก่ีเล่ม และปองมีหนงั สือกี่เล่ม
ถำ้ นกั เรียนทรำบขอ้ มูลเพม่ิ ข้ึนอีกวำ่ “ปองมีหนงั สือนอ้ ยกวำ่ ปิ ง 5 เล่ม” นกั เรียนจะทรำบแน่นอน
หรือไม่วำ่ ปิ งและปองมีหนงั สือคนละกี่เล่ม เรำเขียนขอ้ ควำม “ปองมีหนงั สือนอ้ ยกวำ่ ปิ ง 5 เล่ม” ประโยชน์
สัญลกั ษณ์ไดว้ ำ่ x  y = 5 คำตอบของสมกำรน้ีมีหลำยคำตอบ ไดแ้ ก่ (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4) (10, 5), (11,6),
…
เมื่อพจิ ำรณำคำตอบของสมกำร x + y = 9 และ x  y = 5 จะเห็นวำ่ (7, 2) เป็นคำตอบเดียวท่ีสอดคลอ้ ง
กบั สมกำรท้งั สองสมกำร ดงั น้นั เม่ือทรำบขอ้ มูลเพ่มิ เติม นกั เรียนจะทรำบแน่นอนวำ่ ปิ งมีหนงั สือ 7 เล่ม และ
ปองมีหนงั สือ 2 เล่ม ต่อไปเรำจะเรียกระบบที่ประกอบดว้ ยสมกำร x + y = 9 และ x  y = 5 วำ่ ระบบสมกำรเชิง
เส้นสองตวั แปร
ให้ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนจริง ที่ a, b ไม่เป็นศูนยพ์ ร้อมกนั และ c, d ไมเ่ ป็นศูนยพ์ ร้อมกนั เรียก
ระบบที่ประกอบดว้ ยสมกำร

ax + by = e

cx + dy = f
วำ่ ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรที่มี x และ y เป็นตวั แปร
กล่ำววำ่ a และ c เป็นสัมประสิทธ์ิของ x

b และ d เป็นสมั ประสิทธ์ิของ y
คำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร คู่อนั ดบั (x, y) ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมกำรท้งั สองของระบบ
สมกำร หรือคูอ่ นั ดบั (x, y) ท่ีค่ำ x และ y ทำใหส้ มกำรท้งั สองของระบบสมกำรเป็นจริง

การแก้ระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร หมำยถึง กำรหำคำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร

ทำไดโ้ ดยใชก้ รำฟและวธิ ีกำรทำงพีชคณิต ในที่น้ีจะแสดงกำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร โดยวธิ ีกำร

ทำงพีชคณิต 2 วธิ ี คือ

1. กำรแทนค่ำตวั แปรหน่ึงลงในตวั แปรน้นั ของอีกสมกำรหน่ึง
2. กำรจำกดั ตวั แปรตวั ใดตวั หน่ึงใหห้ มดไป
1. กำรแกส้ มกำรโดยกำรแทนค่ำตวั แปรหน่ึงลงในตวั แปรน้นั ของอีกสมกำรหน่ึง
มีวธิ ีกำรทำดงั น้ี
1) กำหนดระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร คือ

ax + by = e ……………………… 
cx + dy = f ……………………… 
ข้นั ที่ 1 จำกสมกำร  หรือ  เลือกสมกำรใดสมกำรหน่ึงท่ีสะดวก โดยเขียนตวั แปรหน่ึงในรูปของ

อีกตวั แปรหน่ึง นนั่ คือ เขียน x ในรูปของ y หรือ เขียน y ในรูปของ x อยำ่ งใดอยำ่ งหน่ึง

ข้นั ท่ี 2 นำผลจำกข้นั ท่ี 1 ไปแทนคำ่ ตวั แปรน้นั ในอีกสมกำรหน่ึง เม่ือแทนแลว้ สมกำรที่ไดจ้ ะเป็น

ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร

ข้นั ที่ 3 แกส้ มกำรในข้นั ที่ 2 จะไดค้ ำ่ ของตวั แปรตวั ท่ีหน่ึง

ข้นั ท่ี 4 นำคำ่ ตวั แปรที่ไดใ้ นข้นั ที่ 3 ไปแทนในสมกำรที่ไดใ้ นข้นั ที่ 1 จะไดค้ ำ่ ของตวั แปรตวั ท่ีสอง

ตวั อยำ่ งที่ 1 จงแกส้ มกำร x + y = 3 และ 3x  y = 5

วธิ ีทำ ให้ x + y = 3 …………………… 

3x  y = 5 …………………… 

จำกสมกำร  ; y = 3  x ……………………  (ได้ y ในรูปของตวั แปร x)

นำคำ่ y ที่ไดใ้ นสมกำร  แทนคำ่ ในสมกำร 

จะได้ 3x  (3  x) = 5

3x  3 + x = 5 (นำ 1 คูณในวงเลบ็ )

4x = 5 + 3 (นำ 3 มำบวกท้งั สองขำ้ งของสมกำร)

x = (นำ 4 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร)

x =2

นำ x = 2 แทนคำ่ ในสมกำร 

จะได้ y = 3  2

Y =1

ดงั น้นั ระบบสมกำรน้ีมีคำตอบ คือ (2, 1)

ตวั อยำ่ งท่ี 2 จงแกส้ มกำร x + 2y = 7 และ 2x  y = 4

วธิ ีทำ ให้ x + 2y = 7 …………………… 

2x  y = 4 …………………… 

จำกสมกำร  ; x = 7  2y ……………………  (ได้ x ในรูปของตวั แปร y)

นำค่ำ x ท่ีไดใ้ นสมกำร  แทนคำ่ ในสมกำร 

จะได้ 2(7  2y)  y = 4

14  4y  y = 4 (นำ 2 คูณในวงเลบ็ )

5y = 4  14 (นำ 14 มำลบท้งั สองขำ้ งของสมกำร)

5y = 10

y = - (นำ 5 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร)
-

y =2

นำ y = 2 แทนคำ่ ในสมกำร 

จะได้ x = 7  2(2)

x = 74

x =3

ดงั น้นั ระบบสมกำรน้ีมีคำตอบ คือ (3, 2)

ตวั อยำ่ งท่ี 3 จงแกส้ มกำร 2x  5y = 1 และ 7x + 3y = 24

วธิ ีทำ ให้ 2x  5y = 1 …………………… 

7x + 3y = 5 …………………… 
จำกสมกำร  ; x = y ……………………  (ได้ x ในรูปของตวั แปร y)

นำค่ำ x ที่ไดใ้ นสมกำร  แทนคำ่ ในสมกำร 

จะได้ 7( y ) + 3y = 24

(2)(7)( y ) + (2)(3y) = (2)24 (นำ 2 มำคูณท้งั สองขำ้ งของสมกำร)

7(5y + 1) + 6y = 48

35y + 7 + 6y = 48 (นำ 7 คูณในวงเลบ็ )

41y + 7 = 48

41y = 48  7 (นำ 7 มำลบท้งั สองขำ้ งของสมกำร)

41y = 41

นำ 41 มำหำรท้งั สองขำ้ งของสมกำร

y=

y =1

นำ y = 1 แทนคำ่ ในสมกำร 

จะได้ x = ( )

x=

x =3

ดงั น้นั ระบบสมกำรน้ีมีคำตอบ คือ (3, 1)
2. กำรแกส้ มกำรโดยกำรกำจดั ตวั แปรตวั ใดตวั หน่ึงใหห้ มดไป

มีวธิ ีกำรทำดงั น้ี
1) ทำสัมประสิทธ์ิของตวั แปรใดตวั แปรหน่ึงในสมกำรท้งั สองใหเ้ ท่ำกนั โดยนำจำนวนจริงคูณใน
สมกำร
2) นำสมกำรท้งั สองมำบวกหรือลบกนั จะเหลือเพียงตวั แปรเดียวเป็นระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร
โดยมีหลกั กำรดงั น้ี

2.1) บวกกนั เมื่อเคร่ืองหมำยหนำ้ สมั ประสิทธ์ิของตวั แปรที่จะกำจดั ต่ำงกนั
2.2) ลบกนั เมื่อเครื่องหมำยหนำ้ สัมประสิทธ์ิของตวั แปรที่จะกำจดั เหมือนกนั
3) แกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร หำค่ำตวั แปร
4) นำค่ำตวั แปรท่ีไดไ้ ปแทนคำ่ ในสมกำร หำคำ่ ตวั แปรท่ีเหลือ

ตวั อยำ่ งท่ี 4 จงแกส้ มกำร 3x + y =  16 และ x  2y = 3

วธิ ีทำ ให้ 3x + y = 16 ……………………… 

X  2y = 3 ……………………… 

3 ; 3x  6y = 9 ……………………… 

   ; (3x + y)  (3x  6y) = 16 (9)

3x + y  3x + 6y = 16 + 9

7y = 7
y =

y = 1

นำ y = 1 แทนค่ำในสมกำร 

จะได้ x  2(1) = 3

x + 2 = 3

x = 3  2

x = 5

ดงั น้นั ระบบสมกำรน้ีมีคำตอบ คือ (5, 1)

ตวั อยำ่ งท่ี 5 จงแกส้ มกำร x  2y = 6 และ 3x  y = 7

วธิ ีทำ ให้ x  2y =6 ……………………… 
= 7 ……………………… 
3x  y = 14 ……………………… 
= 14 6
2 ; 6x  y = 20

   ; (6x  2y)  (x  2y)

6x  2y  x + 2y

5x = 20

x =-

x = 4

นำ x = 4 แทนค่ำในสมกำร 

จะได้ 4  2y = 6

 2y = 6 + 4

y =-
y = 5

ดงั น้นั ระบบสมกำรน้ีมีคำตอบ คือ (4, 5)

ตวั อยำ่ งท่ี 6 จงแกส้ มกำร 2x + 5y = 11 และ 3x  4y = 18

วธิ ีทำ ให้ 2x + 5y = 11 ……………………... 

3x  4y = 18 ……………………... 

4 ; 8x + 20y = 44 ……………………... 

  5 ; (8x + 20y) + (15x  20y) = 44 + (90)

8x + 20y + 15x  20y = 44  90

23x = 46

x =-

x = 2

นำ x = 2 แทนคำ่ ในสมกำร 

จะได้ 2(2) + 5y = 11

4 + 5y = 11

5y = 11 + 4

5y = 15

y=

y =3

ดงั น้นั ระบบสมกำรน้ีมีคำตอบ คือ (2, 3)

กราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
ทบทวนลกั ษณะของกรำฟสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร
ในกำรเขียนกรำฟของสมกำร Ax + By + C = 0 เม่ือ x, y เป็นตวั แปร A, B และ C เป็นคำ่ คงตวั ท่ี A และ

B ไมเ่ ท่ำกบั ศูนยพ์ ร้อมกนั เพื่อควำมสะดวกอำจจดั สมกำรใหอ้ ยใู่ นรูปใหมไ่ ดด้ งั น้ี
Ax + By + C = 0
By = Ax  C

y = - x

ถำ้ ให้ a = - และ b = -
จะได้ y = ax + b เมื่อ a และ b เป็นค่ำคงตวั
เรียก a วำ่ สัมประสิทธ์ิของ x
แลว้ หำคูอ่ นั ดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำร y = ax + b ซ่ึงมีมำกมำยนบั ไม่ถว้ นแต่ในท่ีน้ีจะหำเพยี ง 3
คูอ่ นั ดบั ดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี

ตวั อยำ่ งท่ี 7 จงเขียนกรำฟของสมกำร 3x  2y = 4

วธิ ีทำ จำกสมกำร 3x  2y =4

3x  4 = 2y
x =y

x2 = y

จะได้ y = x  2 ( , - )

หำคู่อนั ดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำร y = x  2

เน่ืองจำกคู่อนั ดบั ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำร 3x  2y = 4 มีมำกมำยนบั ไม่ถว้ น
ดงั น้นั สมกำร 3x  2y = 4 จึงมีคำตอบมำกมำยไม่จำกดั
เขียนกรำฟของสมกำร 3x  2y = 4 ไดด้ งั น้ี

กำรเขียนกรำฟของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรของแต่ละสมกำรบนระนำบ เรำจะใชแ้ กนคู่
เดียวกนั ดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี
ตวั อยำ่ งท่ี 8 จงเขียนกรำฟของสมกำร 3x  y = 2 และ 2x + y = 3

วธิ ีทำ จำกสมกำร 3x  y = 2 และ สมกำร 2x + y = 3

3x  2 = y จะได้ y = 2x + 3

จะได้ y = 3x  2

หำคู่อนั ดบั (x, y) ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมกำรท้งั สองในท่ีน้ีจะหำเพียง 3 คูอ่ นั ดบั

เขียนกรำฟของสมกำรท้งั สองไดด้ งั น้ี

จำกกรำฟจะเห็นวำ่ มีคูอ่ นั ดบั มำกมำยที่เป็นคำตอบของสมกำร 3x  y = 2 และมีคูอ่ นั ดบั มำกมำยที่เป็น
คำตอบของสมกำร 2x + y = 3

เนื่องจำกกรำฟของสมกำรท้งั สองเป็นเส้นตรงสองเส้นซ่ึงตดั กนั ที่จุด (1, 1) เพยี งจุดเดียวแสดงวำ่ มีคู่
อนั ดบั เพียงคูเ่ ดียว คือ (1, 1) ที่เป็นคำตอบของระบบสมกำร

ดงั น้นั ระบบสมกำรน้ีจึงมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว คือ (1, 1)

ตวั อยำ่ งที่ 10 จงเขียนกรำฟของสมกำร x  2y = 2 และ 2y  x = 4 2y  x = 4
วธิ ีทำ จำกสมกำร x  2y = 1 และ สมกำร 2y = x + 4
x  2 = 2y
จะได้ y = x  1

หำคู่อนั ดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำรท้งั สองในท่ีน้ีจะหำเพียง 3 คูอ่ นั ดบั

เขียนกรำฟของสมกำรท้งั สองไดด้ งั น้ี

จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ มีคู่อนั ดบั มำกมำยท่ีเป็นคำตอบของสมกำร x – 2y = 2 และมีคูอ่ นั ดบั มำกมำยที่เป็น
คำตอบของสมกำร 2y  x = 4

เนื่องจำกกรำฟของสมกำรท้งั สองเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ขนำนกนั จึงไมม่ ีคู่อนั ดบั ใดเป็ นคำตอบของ
สมกำรท้งั สอง

ดงั น้นั ระบบสมกำรน้ีจึงไมม่ ีคำตอบ

นกั เรียนสำมำรถเขียนกรำฟของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรไดห้ ลำยวธิ ี แตว่ ธิ ีท่ีจะนำเสนออีกวธิ ี
หน่ึง คือ วธิ ีหำจุดตดั บนแกน x และแกน y

หลกั กำรเขียนกรำฟ
1) หำจุดตดั บนแกน x โดยกำหนดให้ y = 0 แลว้ พจิ ำรณำค่ำ x ที่เป็นไปได้ หรือหำจุด (x, 0)
2) หำจุดตดั บนแกน y โดยกำหนดให้ x = 0 แลว้ พิจำรณำคำ่ y ที่เป็นไปได้ หรือหำจุด (0, y)
ตวั อยำ่ งท่ี 11 จงเขียนกรำฟของสมกำร x + y = 3 และ 2x + 3y = 6
วธิ ีทำ จำกสมกำร x + y = 3 และ สมกำร 2x + 3y = 6

หำจุดตดั แกน x หำจุดตดั แกน x
โดยกำหนดให้ y = 0 โดยกำหนดให้ y = 0
จะได้ x + 0 = 3
2x + 2(0) = 6
x =3 x =3
ดงั น้นั กรำฟตดั แกน x ท่ีจุด (3, 0)
หำจุดตดั แกน y ดงั น้นั กรำฟตดั แกน x ที่จุด (3, 0)
โดยกำหนดให้ x = 0 หำจุดตดั แกน y
จะได้ 0 + y = 3 โดยกำหนดให้ x = 0

y =3 2(0) + 3y = 6
ดงั น้นั กรำฟตดั แกน y ท่ีจุด (0, 3) y =2
เขียนกรำฟของสมกำรท้งั สองไดด้ งั น้ี
ดงั น้นั กรำฟตดั แกน y ท่ีจุด (0, 2)

จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ มีคูอ่ นั ดบั มำกมำยท่ีเป็นคำตอบของสมกำร x + y = 3 และมีคูอ่ นั ดบั มำกมำยที่เป็น
คำตอบของสมกำร 2y + 3y = 6

เนื่องจำกกรำฟของสมกำรท้งั สองเป็นเส้นตรงสองเส้นซ่ึงตดั กนั ที่จุด (3, 0) เพยี งจุดเดียว แสดงวำ่ มีคู่ดนั
ดบั เพยี งคูเ่ ดียวคือ (3, 0) ท่ีเป็ นคำตอบของระบบสมกำร

ดงั น้นั ระบบสมกำรน้ีจึงมีคำตอบเพยี งคำตอบเดียว คือ (3, 0)
กำรนำระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นงำนอำชีพ

นกั เรียนสำมำรถนำควำมรู้และทกั ษะท่ีไดจ้ ำกกำรเรียนเรื่อง ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรไปใช้
สถำนกำรณ์จริงหรือปัญหำท่ีกำหนด หลกั กำรในกำรแกป้ ัญหำโจทยร์ ะบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรในท่ีน้ีขอ
นำเสนอเทคนิควธิ ีที่นิยมใชแ้ พร่หลำย คือ แกโ้ จทยป์ ัญหำ 4 ข้นั ตอนของโพลยำ Poly ’s four – stage Method)

ข้นั ตอนวธิ ีแกโ้ จทยป์ ัญหำ 4 ข้นั ตอนของโพลยำ
ข้นั ที่ 1 ทำควำมเขำ้ ใจโจทย์ โดยวเิ ครำะห์โจทยเ์ พื่อหำวำ่ โจทยก์ ำหนดอะไรมำให้ และโจทยต์ อ้ งกำรให้
หำอะไร
ข้นั ที่ 2 วำงแผนแกป้ ัญหำ โดยกำหนดตวั แปรแทนส่ิงที่โจทยต์ อ้ งกำร หรือแทนสิ่งที่เกี่ยวขอ้ งกบั สิ่งที่
โจทยต์ อ้ งกำรใหห้ ำ และเปล่ียนประโยคภำษำในโจทยป์ ัญหำใหเ้ ป็ นประโยคสญั ลกั ษณ์ และเขียนระบบสมกำร
เชิงเส้นสองตวั แปร
ข้นั ท่ี 3 ปฏิบตั ิตำมแผน โดยแกส้ มกำรหำคำ่ ตวั แปรเพ่ือหำคำตอบที่โจทยต์ อ้ งกำรใหห้ ำ
ข้นั ที่ 4 ตรวจสอบ โดยนำคำตอบท่ีไดม้ ำตรวจสอบกบั เงื่อนไขในโจทย์

ตวั อยำ่ งท่ี 12 มีลวดขดหน่ึงยำว 32 เมตร นำไปลอ้ มร้ัวรอบพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผนื ผำ้ มีดำ้ นกวำ้ งส้ันกวำ่ ดำ้ นยำว
4 เมตร ไดพ้ อดี จงหำดำ้ นกวำ้ งและดำ้ นยำวของที่ดินน้ี

วธิ ีทำ ใหเ้ ดินกวำ้ งมีควำมยำว x เมตร
ดำ้ นยำวมีควำมยำว y เมตร

จำกโจทยล์ วดหนำมขดหน่ึงยำว 32 เมตร ลอ้ มรอบร้ัวเป็นรูปส่ีเหล่ียมผนื ผำ้ พอดี

จะไดส้ มกำรเป็น 2x + 2y = 32 ……………………….. 

จำกโจทยด์ ำ้ นกวำ้ งส้ันกวำ่ ดำ้ นยำว 4 เมตร

จะไดส้ มกำรเป็น yx = 4 ……………………….. 

จำกสมกำร  ; y = 4 + x ……………………….. 

นำค่ำ y ที่ไดใ้ นสมกำร  แทนในสมกำร 

จะได้ 2x + 2(4 + x) = 32

2x + 8 + 2x = 32
4x + 8 = 32
4x = 32  8
x=
x =6

นำคำ่ x = 6 แทนคำ่ ในสมกำร 
จะได้ y = 4 + 6

y = 10
ดงั น้นั ที่ดินมีขนำดดำ้ นกวำ้ ง 6 เมตร และดำ้ นยำว 10 เมตร

ตวั อยำ่ งท่ี 13 ถำ้ จำกหนองคำยอยหู่ ่ำงจำกอุบลรำชธำนี 390 กิโลเมตร นำยณฐั พลขบั รถยนตอ์ อกจำกหนองคำย
ไปอุบลรำชธำนี ส่วนนำยณฐั ชยั ขบั รถออกจำกอุบลรำชธำนีไปหนองคำยใชเ้ ส้นทำงเดียวกนั และ
ออกรถพร้อมกนั ในเวลำ 8.00 น. เขำพบกนั เวลำ 12.00 น. แต่ณฐั พลไดร้ ะยะทำงมำกกวำ่ ณฐั ชยั
10 กิโลเมตร จงหำวำ่ แต่ละคนขบั รถดว้ ยอตั รำเร็วเทำ่ ไร

วธิ ีทำ ใหณ้ ฐั พลขบั รถดว้ ยอตั รำเร็ว x กิโลเมตรต่อชว่ั โมง

ณฐั ชยั ขบั รถดว้ ยควำมอตั รำเร็ว y กิโลเมตรต่อชว่ั โมง

ท้งั สองขบั รถต้งั แตเ่ วลำ 08.00 น. ถึง 12.00 น. คิดเป็ นเวลำ 4 ชวั่ โมง

ณฐั พลขบั รถดว้ ยอตั รำเร็ว x กม./ชม. เวลำ 4 ชว่ั โมง ไดร้ ะยะทำง 4x กม.

ณฐั ชยั ขบั รถดว้ ยอตั รำเร็ว y กม./ชม. เวลำ 4 ชว่ั โมง ไดร้ ะยะทำง 4y กม.

จำกโจทยท์ ้งั สองขบั รถไดร้ ะยะทำงรวม 390 กม.

ไดส้ มกำร 4x + 4y = 390 ……………………….. 

จำกโจทย์ ณฐั พลไดร้ ะยะทำงมำกกวำ่ ณฐั ชยั 10 กิโลเมตร

ไดส้ มกำร 4x  4y = 10 ……………………….. 

 ; 8y = 380

y=

y = 47.5

นำ y = 47.5 แทนค่ำในสมกำร 

จะได้ 4x + 4(47.5) = 390

4x + 190 = 390

4x = 200

x=

x = 50

ดงั น้นั ณฐั พลขบั รถดว้ ยอตั รำเร็ว 50 กิโลเมตรต่อชวั่ โมง

ณฐั ชยั ขบั รถดว้ ยอตั รำเร็ว 47.5 กิโลเมตรต่อชว่ั โมง

ตวั อยำ่ งท่ี 14 ผลรวมของควำมตำ้ นทำนสองตวั เป็น 11,500 โอห์ม และผลต่ำงเป็น 2,100 โอห์ม จงหำคำ่ ควำม
ตำ้ นทำงของตวั ตำ้ นทำนท้งั สอง

วธิ ีทำ ใหต้ วั ตำ้ นทำนตวั แรกมีคำ่ ควำมตำ้ นทำนเป็ น x โอห์ม
ตวั ตำ้ นทำนตวั ท่ีสองมีค่ำควำมตำ้ นทำนเป็ น y โอห์ม
จำกโจทยผ์ ลรวมของควำมตำ้ นทำงสองตวั เป็น 11,500 โอห์ม
จะไดส้ มกำรเป็น x + y = 11,500 ……………………….. 
จำกโจทย์ ผลต่ำงของควำมตำ้ นทำนสองตวั เป็น 2,100 โอห์ม
จะไดส้ มกำรเป็น x  y = 2,100 ……………………….. 
+ ; (x + y) + (x  y) = 11,500 + 2,100
2x = 13,600
x= ,

x = 6,800
นำ x = 6,800 แทนค่ำในสมกำร 

6,800 + y = 11,500
y = 11,500  6,800
y = 4,700

ดงั น้นั ค่ำควำมตำ้ นทำนท้งั สองคือ 6,800 โอห์ม และ 4,700 โอห์ม

6. กจิ กรรมการเรียนการสอน

1. ข้นั นาเข้าสู่บทเรียน

4. ผสู้ อนช้ีแจงหวั ขอ้ กำรเรียนและจุดประสงคก์ ำรเรียนประจำบทท่ี 2 เร่ือง ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั
แปร

5. ผสู้ อนใหผ้ เู้ รียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนหน่วยท่ี 2
2. ข้ันให้ความรู้

8. ผูส้ อนอธิบำย เรื่อง ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรพร้อมเปิ ดเอกสำรประกอบกำรสอนวิชำ
คณิตศำสตร์พ้นื ฐำนอำชีพ หน่วยท่ี ผสู้ อนใหผ้ เู้ รียนดูตวั อยำ่ ง แลว้ อธิบำยเน้ือหำเรื่องควำมหมำยของสมกำรเชิง
เส้นสองตวั แปร และระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรใหผ้ เู้ รียนฟัง

9. ผสู้ อนให้ผเู้ รียนดูตวั อยำ่ ง แลว้ อธิบำยเน้ือหำเร่ืองกำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรให้ผูเ้ รียน
ฟัง

10.ผสู้ อนอธิบำยและคำนวณตวั อยำ่ งที่ 1 – 6 ให้ผเู้ รียนฟัง และเปิ ดโอกำสให้ผเู้ รียนซกั ถำมหำกมีขอ้
สงสยั

11.ผสู้ อนใหผ้ เู้ รียนดูตวั อยำ่ งแลว้ อธิบำยเน้ือหำเร่ืองกรำฟของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรให้ผเู้ รียน
ฟัง

12.ผสู้ อนอธิบำยและคำนวณตวั อยำ่ งที่ 7 – 11 ให้ผเู้ รียนฟัง และเปิ ดโอกำสให้ผเู้ รียนซกั ถำมหำกมีขอ้
สงสัย

13. ผเู้ รียนเปิ ดหนงั สือหน้ำที่ 46 แลว้ อธิบำยเน้ือหำเร่ืองกำรนำระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรไป
ประยกุ ตใ์ ชใ้ นงำนอำชีพใหผ้ เู้ รียนฟัง

1. ผสู้ อนอธิบำยและคำนวณตวั อยำ่ งที่ 12 – 14 ใหผ้ เู้ รียนฟัง และเปิ ดโอกำสใหผ้ เู้ รียนซกั ถำมหำกมีขอ้
สงสยั