แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

คำ�น�ำ

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้ หนว่ ยที่ 2 เรอ่ื งตรรกศาสตร ์
เบอื้ งต้น รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม รหัสวชิ า ค 31201 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 ใชค้ วบคูก่ ับแผน
การจัดการเรียนรู้ เรอ่ื งตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้ เพอ่ื พัฒนาผเู้ รยี นตามหลักการและจุดมงุ่ หมาย
ของหลักสตู ร ทต่ี อ้ งการพฒั นาผเู้ รียนให้สามารถพัฒนาตนเองตามธรรมชาติและเต็มศกั ยภาพ
โดยยึดหลกั ผู้เรียนเปน็ ส�ำ คัญ กระบวนการจดั การเรียนรู้ไดจ้ ดั เนือ้ หา กิจกรรมทสี่ อดคลอ้ ง
กับความสนใจและความถนัดของผู้เรยี นโดยค�ำ นึงถึงความแตกตา่ งระหว่างบคุ คล ฝกึ กระบวน
การคดิ ตามกระบวนการทางคณิตศาสตร์ การจัดการและการประยุกตค์ วามรไู้ ปใชใ้ นชีวติ ปร
ะจ�ำ วัน มเี จตคติท่ีดตี ่อวิชาคณิตศาสตร์ สามารถท�ำ งานรว่ มกับผอู้ ืน่ ได้ การจดั ล�ำ ดบั เน้อื หา
ในแบบฝึกทักษะ ไดจ้ ดั ตามหลกั สตู รคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท ี่ 4 ของสถาบัน สง่ เสริมการ
สอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี จดั ให้สอดคลอ้ งกบั หน่วยการเรียนรู้ จ�ำ นวนชวั่ โมง จุดประสงค์
การเรยี นรู้สอดคล้องกบั หลกั สูตรโรงเรียนเบญจมราชูทศิ จงั หวัดปัตตาน ี
จัดล�ำ ดบั เนื้อหาจากง่ายไปหายาก มีตวั อย่างใหศ้ ึกษาเหมาะกบั ความสามารถของผู้เรยี น ท�ำ ให้สะ
ดวกในการนำ�ไปใช้จัดกิจกรรมการเรยี นการสอนและทบทวนเนือ้ ด้วยตนเองหรือศกึ ษาเปน็ กลุม่
ผจู้ ัดทำ�หวงั เป็นอย่างยง่ิ ว่านวตั กรรมชุดน้ีจะเป็นประโยชน์ ต่อนักเรียนและครูผู้สอน
เพอ่ื เพ่ิมประสิทธภิ าพในการจดั การเรียนรไู้ ดเ้ ปน็ อย่างดี ผ้จู ดั ท�ำ ขอขอบพระคุณผู้เชีย่ วชาญ
และผู้เก่ียวข้องทุกทา่ นที่ใหค้ �ำ ปรึกษา แนะน�ำ ตรวจแกไ้ ขจนเอกสารเสรจ็ สมบูรณ์
โทวฒั น์ เพช็ รเพ็ง

C ก

สารบัญ ก
ข
คำ�น�ำ ค
สารบัญ ง
คำ�แนะนำ�สำ�หรับครู จ
ค�ำ แนะนำ�ส�ำ หรบั นักเรยี น จ
ผลการเรยี นร้ทู ี่คาดหวัง 1
จดุ ประสงคก์ ารเรียนร้ ู 2
เรอ่ื งที่ 1 ประพจน ์ 5
แบบฝึกทักษะท่ี 1 9
เรอ่ื งท่ี 2 การเช่อื มประพจน ์ 15
แบบฝกึ ทักษะที่ 2 17
เรอ่ื งที่ 3 การหาคา่ ความจริงของประพจน์ 27
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3 29
เรอ่ื งท่ี 4 การสร้างตารางคา่ ความจริง 37
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 40
เร่ืองที่ 5 รูปแบบของประพจนท์ ส่ี มมูลกนั 51
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5 54
เรื่องที่ 6 สจั นริ นั ดร ์ 63
แบบฝึกทกั ษะท่ี 6 66
เรอ่ื งท่ี 7 การอ้างเหตุผล 73
แบบฝึกทักษะท่ี 7 74
เร่ืองที่ 8 ประโยคเปิด 77
แบบฝึกทักษะที่ 8 78
เรอ่ื งท่ี 9 ตวั บง่ ปริมาณ 81
แบบฝึกทกั ษะท่ี 9 84
เร่ืองที่ 10 ค่าความจริงของประโยคทม่ี ีตวั บ่งปริมาณตัวเดยี ว 91
แบบฝึกทักษะที่ 10 94
เรือ่ งท่ี 11 สมมลู และนิเสธของประโยคทีม่ ตี วั บง่ ปรมิ าณ 99
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 11
บรรณานกุ รม

Dข

ค�ำ ชี้แจงสำ�หรับครู

แบบฝกึ ทกั ษะวิชา เร่อื งตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งต้น สำ�หรับนกั เรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาชั้นปที ่ี 4
เปน็ แบบฝกึ ทกั ษะทม่ี ุง่ ให้ผเู้ รยี นได้ลงมอื ท�ำ ใหผ้ ู้เรยี นฝึกทักษะและเรยี นรเู้ นอ้ื หาบทเรียน
ได้ง่ายข้ึน เป็นสื่อใชป้ ระกอบการจัดการเรยี นการสอนของครู การสร้างแบบฝกึ ทกั ษะ
เรื่องตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งต้น ส�ำ หรบั นักเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 จะบรรลจุ ุดมงุ่ หมายของหลกั สตู ร
การศึกษาขั้นพ้ืนฐานพทุ ธศกั ราช 2551 ครคู วรปฏบิ ตั ดิ งั นี้
1. ทำ�ความเขา้ ใจและศึกษาและศึกษาแบบฝึกทกั ษะวิชาเร่อื งตรรกศาสตร์
สำ�หรบั นกั เรยี นชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ให้เข้าใจตลอดท้งั เลม่ กอ่ นใช้
2. เตรียมแบบฝกึ ทกั ษะวชิ าเร่ืองตรรกศาสตร์ สำ�หรับนักเรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4
ใหค้ รบตามจ�ำ นวนนกั เรยี น
3. เตรียมเฉลยแบบฝกึ ทกั ษะวิชาเร่ืองตรรกศาสตร ์ สำ�หรับนักเรยี นช้นั มัธยมศกึ ษา
ปที ่ี 4 ใหพ้ รอ้ มกอ่ นใช้
4. ตรวจทานความถกู ตอ้ งของแบบฝึกทักษะและเฉลย
5. ผลการทดสอบและผลการท�ำ แบบฝกึ หัดของนักเรียน มาประมวลผลเปรยี บเทียบ
สรุปผลสัมฤทธ์ิทางการเรยี นของนกั เรยี น เพื่อให้นักเรียนและครทู ราบพฒั นาการ
ของการเรยี นรู้
6. ควรกระตุ้นใหน้ ักเรียนทกุ คน มีส่วนรว่ มในการศกึ ษาเนือ้ หา แสดงความคดิ เห็น
และรว่ มกันสรปุ บทเรียน ตลอดจนมคี วามซ่อื สตั ย์และรับผิดชอบตอ่ ตนเอง

Eค

ค�ำ ช้ีแจงสำ�หรับนักเรยี น

เพ่ือให้การเรียนรู้โดยใชแ้ บบฝึกทักษะเรือ่ งตรรกศาสตรเ์ บอื้ งตน้ รายวชิ าคณิตศาสตร์
เพม่ิ เติม 1 สำ�หรับนกั เรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 มปี ระสิทธภิ าพ และประสบความส�ำ เรจ็
นักเรยี นควรปฎิบตั ติ ามนี้
1. วัดความรูพ้ ้นื ฐาน เรอื่ งตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น ก่อนเรียน โดยทำ�แบบทดสอบวดั ผล
สมั ฤทธ์ทิ างการเรยี น และบนั ทกึ คะแนน
2. ใหค้ วามรว่ มมอื ในการจัดกกิ รรมการเรียนรู้ และร่วมกจิ กรรมอย่างเต็มความสามารถ
3. ท�ำ แบบฝกึ ทักษะ เร่อื งตรรกศาสตรเ์ บื้องต้น ด้วยตนเองทกุ ครั้งโดยมคี วามม่งุ ม่ัน
และตั้งใจ
4. นกั เรียนตรวจแบบฝึกทักษะดว้ ยตนเองหรือร่วมเฉลยไปกบั ครู ตามกจิ กรรม
การเรียนรูท้ ่ีครูจัดขนึ้ นกั เรียนบันทึกผลคะแนนเปน็ รายบุคคล
5. นกั เรยี นท�ำ แบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธหิ์ ลังเรียน เพื่อวดั ผลสมั ฤทธท์ิ างการเรยี นหลัง
จัดกจิ กรรมการเรยี นรู้โดยใช้แบบฝึกทักษะ

Fง

ผลการเรียนร้ทู ีค่ าดหวัง

1. หาคา่ ความจรงิ ของประพจน์
2. หารูปแบบของประพจน์ทส่ี มมูล
3. ตรวจสอบประพจนท์ ีเ่ ป็นสัจนริ ันดร์
4. ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอา้ งเหตผุ ล
5. หาคา่ ความจรงิ ของประโยคท่มี ตี ัวบง่ ปรมิ าณตัวเดียว

6. ตรวจสอบสมมูลและนเิ สธของประโยคที่มตี วั บ่งปรมิ าณตัวเดยี ว

จุดประสงค์การเรยี นรู้

1. นกั เรยี นสามารถจ�ำ แนกขอ้ ความทเี่ ปน็ ประพจน์หรือไมเ่ ป็นประพจนไ์ ด้
2. นักเรียนสามารถเขียนประพจนใ์ นรปู สัญลักษณ์ และหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์
ทเ่ี ชอ่ื มด้วยค�ำ ว่า "และ" หรอื " "ถ้า...แลว้ ..." "กต็ อ่ เมอื " และนิเสธของประพจน์ได้
3. นกั เรยี นสามารถหาคา่ ความจริงของประพจนแ์ ละหานิเสธของประพจน์
ทก่ี ำ�หนดใหไ้ ด้
4. นักเรียนสามารถสร้างตารางค่าความจรงิ ของรูปแบบของประพจนท์ ่กี �ำ หนดใหไ้ ด้
5. นักเรียนสามารถตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมลู กนั ได้
6. นกั เรียนสามารถเขียนขอ้ ความท่สี มมูลกับขอ้ ความทกี่ �ำ หนดให้ได้
7. นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ได้
8. นกั เรยี นสามารถตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ทเ่ี ปน็ สัจนิรนั ดร์ได้
9. นกั เรียนสามารถเชือ่ มประพจนท์ เี่ ป็นเหตุกบั เหตุ และหาผลสรุปได้
10. นักเรยี นสามารถตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอา้ งเหตุผลทีก่ �ำ หนดให้ได้
11. นักเรียนสามารถยกตวั อยา่ ง จำ�แนก ประโยคหรอื ข้อความที่เปน็ ประโยคเปดิ ได้
12. นักเรียนสามารถเขียนข้อความหรือสญั ลักษณ์แทนประโยคเปิดท่ีมตี วั บ่งปริมาณได้
13. นกั เรยี นสามารถเขยี นขอ้ ความหรือสัญลกั ษณแ์ ทนประโยคเปิดท่ีมตี ัวบง่ ปริมาณได้
14. นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มตี วั บ่งปริมาณได้
15. นกั เรยี นสามารถตรวจสอบความสมมูลกัน และหานิเสธของประโยคที่มตี วั บ่งปริมาณ
ที่กำ�หนดให้ได้

จG

1. ประพจน์

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

นักเรยี นสามารถจ�ำ แนกขอ้ ความทเี่ ปน็ ประพจน์
หรือไม่เป็นประพจนไ์ ด้

Hฉ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4

1 ประพจน์Propositions / Statements

ภาษาท่มี นษุ ยใ์ ช้ส่วนใหญม่ ปี ระโยคท่ีแตกตา่ งกัน วิชาตรรกศาสตรเ์ ปน็ วิชาเกย่ี วกับเหตุผล
การอ้างองิ และความสมเหตสุ มผล มีรูปแบบของประโยคท่ีเรยี กว่า “ประพจน์” ซึ่งมีลักษณะ โดยมี
นยิ าม ดังนี้

นิย าม ประพจน์ คอื ประโยคหรอื ขอ้ ความที่เป็นจรงิ หรือเทจ็

อยา่ งใดอยา่ งหนงึ่ เทา่ นั้น ประโยคหรือขอ้ ความท่มี ลี ักษณะดงั กล่าวจะอยู่ในรูปบอกเลา่
หรือประโยคปฏเิ สธก็ได้

ตัวอย ่างท่ี 1 ขอ้ ความตอ่ ไปนเ้ี ปน็ ประพจน์หรอื ไม่ ถา้ เปน็ ประพจน์ใหห้ าค่าความจริง



1. จงั หวดั ปัตตานี อยูท่ างภาคใต้ของประเทศไทย เป็นประพจน์ มคี ่าความจริงเปน็ จริง
2. กรณุ าอย่าส่งเสียงดงั ไม่เป็นประพจน์
3. โรงเรียนของเราน่าอยู่ คณุ ครูใจดีทกุ คน ไมเ่ ปน็ ประพจน์
4. ดวงอาทติ ยข์ ึ้นทางทิศเหนือ เปน็ ประพจน์ มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ
5. x2 + 5 = 0 ไม่เปน็ ประพจน์
6. 2 เป็นจ�ำ นวนตรรกยะ เปน็ ประพจน์ มีค่าความจรงิ เป็น เท็จ
7. x เปน็ ตัวประกอบของ x2 + x เปน็ ประพจน์ มคี า่ ความจริงเป็น จริง
8. 1+2+3+...+10 ไม่เปน็ ประพจน์
9. รกั ดีหามจ่วั รักชั่วหามเสา ไมเ่ ปน็ ประพจน์
10. 0 เปน็ จ�ำ นวนเต็ม เป็นประพจน ์ มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบือ้ งตน้ 1

แบบฝึกทักษะที่ 1

1ตอนที่ ใหน้ ักเรยี นพิจารณาประโยคหรือข้อความตอ่ ไปน้ีวา่ เปน็ ประพจน์หรือไม่
ถ้าเปน็ ใหร้ ะบุคา่ ความจรงิ ของประพจน์

1) ดวงจนั ทร์มีแสงสวา่ งในตวั เอง
______________________________________________________________________

2) โตข้ึนผมจะเป็นครู
_____________________________________________________________________

3) ว้าย ! ชว่ ยด้วย
_____________________________________________________________________

4) วันนี้รถตดิ มากเลย
_____________________________________________________________________

5) {x | x ∈ Z+ และ x2=1 } เปน็ เซตว่าง
_____________________________________________________________________

6) จงหาเซตค�ำ ตอบของอสมการ x-3 >10
_____________________________________________________________________

7) 5 และ -4 เปน็ ค�ำ ตอบของสมการ x2+ x - 20 = 0
_____________________________________________________________________

8) 20 หารดว้ ย 7 ลงตวั
_____________________________________________________________________

10) รกั วัวให้ผกู รักลกู ใหต้ ี
_____________________________________________________________________

11) {1,2,3} = {a,b,c}
_____________________________________________________________________

12) 2 ไมเ่ ป็นจำ�นวนเฉพาะ
_____________________________________________________________________

2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

2ตอนที่ ให้นกั เรียนเขียนประโยคหรือขอ้ ความทเ่ี ปน็ ประพจน์ 5 ประพจน์
พร้อมทง้ั บอกค่าความจริงของประพจน์นน้ั ๆ

1)__________________________________________________________________
2)__________________________________________________________________
3)__________________________________________________________________
4)__________________________________________________________________
5)__________________________________________________________________

3ตอนที่ ให้นักเรียนเขียนประโยคหรือขอ้ ความท่ีไมเ่ ป็นประพจน์ 5 ประพจน์

1)____________________________________________________________________
2)____________________________________________________________________
3)____________________________________________________________________
4)____________________________________________________________________
5)____________________________________________________________________

คะแนนเต็ม ตอนท่ี 1 ตอนท่ี 2 ตอนที่ 3 รวมคะแนน คิดเปน็ ร้อยละ
คะแนนท่ีได้ 12 5 5 22

แบบฝกึ ทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งต้น 3

2. การเช่ือมประพจน์

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

นักเรยี นสามารถเขียนประพจน์ในรูปสญั ลักษณ์ และหาคา่ ความจรงิ
ของประพจน์ที่เชือ่ มดว้ ยคำ�วา่ "และ" "หรอื " "ถ้า...แลว้ ..." "กต็ อ่ เมือ" และ
นิเสธของประพจนไ์ ด้

4 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

2 การเช่อื มประพจน์
Propositional Connectives

ในวชิ าคณิตศาสตรห์ รอื ในชีวติ ประจ�ำ วัน จะพบประโยคทีไ่ ดจ้ ากการเช่ือมประโยคอ่ืน ๆ ดว้ ย
ค�ำ ว่า “และ” “หรือ” “ถ้า...แลว้ ...” “ก็ต่อเมือ่ ” หรอื พบประโยคทีเ่ ปล่ียนแปลงมาจากประโยคเดมิ
โดยเตมิ คำ�ว่า “ไม่” คำ�เหลา่ น้เี รยี กวา่ ตัวเช่อื ม โดยประพจนท์ นี่ �ำ มาเช่อื มกันด้วยตัวเชอ่ื มตา่ ง ๆ จะ
เรียกว่า ประพจนย์ อ่ ย (atomic statement) หรือ ประพจน์เชงิ เดยี ว (simple statement) และ
ประพจนท์ ่ีเกดิ จากการเชอื่ มประพจน์ยอ่ ยดว้ ยตัวเชอื่ ม จะเรยี กว่า ประพจน์เชงิ ประกอบ (com-
pound statement)
การเชอื่ มประพจน์ คอื การน�ำ ประพจนย์ ่อยมาเชือ่ มด้วยตวั เชือ่ ม เพ่ือสะดวกในการเชอื่ ม
ประพจน์ นยิ มใช้ p, q, r, … แทนประพจน์ทีก่ ำ�หนดให้ค่าความจรงิ ของประพจน์

1 การเชอ่ื มประโยคด้วย “และ”

การเชื่อมประพจน์ 2 ประพจน์ด้วยตัวเชอื่ ม “และ” มขี ้อตกลงว่าประพจนใ์ หมจ่ ะมีคา่ ความ
จริงเปน็ จรงิ ในกรณีท่ีเป็นประพจนท์ ่ีนำ�มาเชื่อมกนั นัน้ เปน็ จรงิ ทง้ั คู่ กรณีอืน่ ๆ เปน็ เทจ็ ทกุ กรณี
เราสามารถเขียนตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของการเชื่อมประพจน์ ดว้ ย “และ” โดยให้ p
และ q เปน็ ประพจน์ และใช้สัญลกั ษณ์ “” แทนตัวเชอ่ื มและ ได้ดงั นี้

p q pÏq
T T T
T F F
F T F
F F F

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งต้น 5

2 การเชือ่ มประโยคดว้ ย “หรอื ”

การเชอ่ื มประพจน์ 2 ประพจนด์ ้วยตัวเชือ่ ม “หรือ” ประพจนใ์ หม่จะมคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็
ในกรณีท่ีประพจนท์ น่ี �ำ มาเช่ือมกนั เป็นเทจ็ ท้งั คู่ กรณอี นื่ ๆ จะเป็นจรงิ ทุกกรณี
เราสามารถเขียนตารางแสดงคา่ ความจริงของการเช่อื มประพจน์ ด้วย “หรือ” โดยให้ p
และ q เปน็ ประพจน์ และใช้สญั ลกั ษณ์ “Á” แทนตัวเชื่อมและ ไดด้ ังนี้

p q pÎq
T T T
T F F
F T T
F F T

3 การเชือ่ มประโยคด้วย “ถา้ ....แลว้ ....”

การเช่อื มประพจน์ 2 ประพจน์ด้วยตวั เชอ่ื ม “ถา้ ...แลว้ ...” ประพจนใ์ หมจ่ ะมีคา่ ความจริงเ
ปน็ เท็จ ในกรณที เ่ี หตเุ ปน็ จริง ผลเปน็ เทจ็ เทา่ น้ัน กรณีอื่น ๆ จะเป็นจริงทกุ กรณี
เราสามารถเขียนตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของการเช่อื มประพจน์ ด้วย “ถ้า...แลว้ ...” โดย

ให้ p และ q เป็นประพจน์ และใชส้ ญั ลกั ษณ์ “Д แทนตวั เช่อื มและ ไดด้ ังนี้

p q p Ð q
T T T
T F T
F T T
F F F

6 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

4 การเชื่อมประโยคดว้ ย “ก็ต่อเมื่อ”

การเช่ือมประพจน์ 2 ประพจน์ดว้ ยตวั เช่อื ม “ก็ตอ่ เมอ่ื ” ประพจนใ์ หม่จะมคี ่าความจริง
เป็นจรงิ ในกรณีทีป่ ระพจนท์ ี่นำ�มาเชอ่ื มกันเปน็ จรงิ หรือเป็นเท็จทงั้ คู่ เหตุเป็นจรงิ กรณีอนื่ ๆ
จะเปน็ เทจ็ ทุกกรณี
เราสามารถเขยี นตารางแสดงค่าความจริงของการเชอ่ื มประพจน์ ด้วย “กต็ ่อเม่อื ” โดยให้
p และ q เปน็ ประพจน์ และใชส้ ญั ลกั ษณ์ “Ä” แทนตัวเชอ่ื มและ ได้ดงั นี้

p q p Ä q
T T T
T F F
F T F
F F T

5 นเิ สธของประพจน์

นิเสธของประพจน์ คอื ประพจนท์ ค่ี ่าความจรงิ ตรงกนั ขา้ มกบั ค่าความจรงิ เดิม
เราสามารถเขียนตารางแสดงค่าความจริงของ “นิเสธ”ของประพจน์ โดยให้ p เป็นประพจน์
และใชส้ ัญลักษณ์ “~” แทนตัวเช่ือมและ ไดด้ ังนี้

p ~p
T F
F T

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งตน้ 7

ตัวอยา่ งที่ 1 ใหน้ กั เรยี นเปลีย่ นประโยคต่อไปนีใ้ หอ้ ยูใ่ นรปู สัญลักษณ์
1) 2 เปน็ จำ�นวนคี่ และ 3 เปน็ จำ�นวนคู่
2) ถา้ 1+3=2 แล้ว 3+1=2

1) 2 เปน็ จ�ำ นวนค่ี และ 3 เปน็ จำ�นวนคู่
วิธีท�ำ p แทน 2 เป็นจำ�นวนค่ี

q แทน 3 เป็นจ�ำ นวนคู่
จะได้ p ∧ q แทน 2 เป็นจำ�นวนคี่ และ 3 เปน็ จำ�นวนคู่

2) ถ้า 1+3=2 แล้ว 3+1=2
วธิ ที �ำ p แทน 1+3=2

q แทน 3+1=2
จะได ้ p → q แทน ถ้า 1+3=2 แลว้ 3+1=2

ตวั อ ย่างท่ี 2 ใหน้ ักเรียนเขยี นนเิ สธของประพจน์ต่อไปนี้ พรอ้ มบอกคา่ ความจรงิ

1) 12 < 7
2) 5+12 = 10+7
3) 10 เปน็ ตัวประกอบของ 45
4) 3 × 4 นอ้ ยกวา่ 4 × 3
1) 12 < 7
นิเสธของประพจน์ คือ 12 ≥ 7 มีค่าความจริงเป็นจริง
2) 5+12 = 10+7
นเิ สธของประพจน์ คอื 5+12 ≠ 10+7 มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็
3) 10 เปน็ ตัวประกอบของ 45
นเิ สธของประพจน์ คอื 10 ไมเ่ ปน็ ตัวประกอบของ 45 มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ
4) 3 × 4 นอ้ ยกว่า 4 × 3
นิเสธของประพจน์ คอื 3 × 4 ไม่นอ้ ยกว่า 4 × 3 มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ

8 ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

แบบฝึกทักษะที่ 2

1ตอนท่ี ให้นกั เรียนเขยี นประโยคตอ่ ไปน้ีให้อยใู่ นรูปสัญลกั ษณ์

1) 3 เป็นจำ�นวนจรงิ และ 2 เป็นจ�ำ นวนตรรกยะ
วิธที ำ� ให ้ p แทน___________________________________________________

q แทน___________________________________________________
จะได_้ ____________แทน____________________________________
2) -|2|=2 และ 4 = 2

วธิ ีท�ำ ให้ p แทน___________________________________________________
q แทน___________________________________________________
จะได_้ ____________แทน____________________________________
3) 777 ไม่เท่ากับ 9 หรือ 9 ไมน่ ้อยกวา่ 6

วธิ ีทำ� ให ้ p แทน___________________________________________________
q แทน___________________________________________________
จะได้_____________แทน____________________________________
4) 16 เปน็ จ�ำ นวนคู่ ก็ตอ่ เม่อื 2 หาร 16 ลงตวั

วิธีท�ำ ให ้ p แทน___________________________________________________
q แทน___________________________________________________
จะได_้ ____________แทน____________________________________
5) 3 เป็นจำ�นวนจริง แต ่ 3 ไม่เปน็ จ�ำ นวนตรรกยะ

วิธีท�ำ ให้ p แทน___________________________________________________
q แทน___________________________________________________
จะได_้ ____________แทน____________________________________
6) พระอาทติ ยข์ ้ึนทางทิศตะวนั ตก กต็ อ่ เมอื่ แมวออกลูกเปน็ ไข่

วธิ ีทำ� ให ้ p แทน___________________________________________________
q แทน___________________________________________________
จะได_้ ____________แทน____________________________________

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งต้น 9

2ตอนที่ จงเขียน T หน้าขอ้ ของประพจน์ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นจรงิ และเขยี น F หน้าขอ้ ของ
ประพจน์ทม่ี ีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ
1) ____ถ้า 1+2 = 4 แล้ว 6÷3=2
2) ____ถ้า 5 เปน็ จ�ำ นวนเตม็ แล้ว 15 เป็นจำ�นวนคู่
3) ____ 9 =±3 และ |6|≠|-6|
4) ____22 = (-2)2 กต็ ่อเมือ่ 2 =-2
5) ____ถา้ 12+3 = 15 แล้ว 15-3 ≠ 12
6) ____ 3 เปน็ จ�ำ นวนจรงิ และ 3 เปน็ จ�ำ นวนตรรกยะ
7) ____ 2 เปน็ จ�ำ นวนตรรกยะ หรือ 2 เปน็ จำ�นวนอตรรกยะ
8) ____ถา้ 1+2 = 4 แล้ว 3=4
9) ____2(4-8) = 16 หรือ 2(1-4) = 6
10)____-|2|=2 และ √4=2

3ตอนที่ จงหานเิ สธของประพจนต์ อ่ ไปน้ี

1) 5+7 = 10
นเิ สธของ 5+7 = 10 คือ__________________________________________________

2) 5 หาร 10 ไดล้ งตัว
นเิ สธของ 5 หาร 10 ได้ลงตวั คือ____________________________________________

3) 2 ไม่เป็นจ�ำ นวนเฉพาะ
นเิ สธของ 2 ไม่เป็นจำ�นวนเฉพาะ คอื _________________________________________

4) 2-9 ≤ 9-2
นเิ สธของ 2-9 ≤ 9-2 คอื _________________________________________________

5) ∅ ∈ {0}
นิเสธของ ∅∈ {0} คือ__________________________________________________

6) |5|>|-4|
นเิ สธของ |5|>|-4| คือ____________________________________________________

10 ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4

7) สุชาตเิ ป็นนกั ดนตรี
นิเสธของ สชุ าติเป็นนกั ดนตรี คือ____________________________________________
8) 1 ∈ {1,2,3,…}
นิเสธของ 1∈ {1,2,3,…} คอื _______________________________________________
9) {1,2,3} ∩ {4,5,6} = ∅
นิเสธของ {1,2,3} ∩ {4,5,6} = ∅ คอื ________________________________________
10) จ�ำ นวนเต็ม เป็นจ�ำ นวนตรรกยะ
นิเสธของ จ�ำ นวนเต็ม เป็นจ�ำ นวนตรรกยะ คอื ___________________________________

4ตอนที่ จงเตมิ คา่ ความจริงของประพจนล์ งในช่องว่างตอ่ ไปนใี้ ห้ถูกตอ้ ง เม่ือก�ำ หนด p
และ q เป็นประพจน์ใดๆ
1) pÎq มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็
แล้ว p มีคา่ ความจริงเป็น____________และ q มคี ่าความจรงิ เปน็ _______________
2) ถา้ p มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ แลว้ p ∧ q มคี า่ ความจรงิ เปน็ ______________________
3) ถา้ p มคี า่ ความจริงเปน็ จริง แล้ว p ∨ q มีคา่ ความจริงเป็น______________________
4) ถ้า p มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ แล้ว p → q มีคา่ ความจรงิ เปน็ ______________________
5) ถ้า q มคี ่าความจริงเปน็ จริง แล้ว p → q มคี ่าความจริงเปน็ ______________________
6) ถ้า p → q มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็
แลว้ p มคี า่ ความจรงิ เปน็ __________และ q มีคา่ ความจรงิ เปน็ __________________
7) ถา้ p ↔ q มคี า่ ความจริงเป็นจริง
แล้ว p มคี ่าความจรงิ เป็นจริง และ q มีค่าความจริงเปน็ ________________________
8) ถา้ p ↔ q มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง
แลว้ p มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ และ q มีคา่ ความจริงเป็น________________________

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น 11

9) ถ้า p ↔ q มีคา่ ความจริงเปน็ เท็จ
แลว้ p มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ และ q มีคา่ ความจรงิ เปน็ __________________
10) ถา้ p ↔ q มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็
แลว้ p มคี ่าความจริงเปน็ จริง และ q มีค่าความจริงเปน็ __________________
11) p ∨~p มีค่าความจริงเปน็ _______________________________________
12 p∧~p มคี า่ ความจริงเป็น________________________________________

5ตอนท่ี จงเตมิ ค่าความจริงของประพจน์ลงในชอ่ งว่างตอ่ ไปน้ีใหถ้ กู ตอ้ ง เมือ่ ก�ำ หนด p , q
และ r เปน็ ประพจน์ใดๆ

1) (p ∨ q) ∧ r เมอ่ื r มคี วามความจรงิ เป็นเทจ็
ตอบ________________________________________________________________
2) p → (r ∨ q) เมือ่ q มคี วามความจรงิ เปน็ จรงิ
ตอบ________________________________________________________________
3) p → (q ∧ r) เม่ือ p มีความความจริงเป็นเทจ็
ตอบ________________________________________________________________
4) (p → q) ↔ (p ∨ q) เม่อื (p ∨ q) มคี วามความจริงเปน็ เทจ็
ตอบ________________________________________________________________
5) (p ∨ q) → (r ∨ s) เมื่อ p มีความความจรงิ เป็นจริง และ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ตอบ________________________________________________________________
6) (p ∨ q) → (p ∧ q) เมือ่ p มีความความจรงิ เปน็ จรงิ
ตอบ________________________________________________________________

12 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

7) (p → q) ↔ (~p ∨ q) เมื่อ q มคี วามความจรงิ เป็นจรงิ
ตอบ________________________________________________________________

8) (p ↔ q) ∧ ~p เม่อื q มคี วามความจรงิ เป็นจรงิ
ตอบ________________________________________________________________

คะแนนเต็ม ตอนท่ี 1 ตอนท่ี 2 ตอนท่ี 3 ตอนท่ี 4 ตอนท่ี 5 รวมคะแนน คิดเป็นรอ้ ยละ
คะแนนทไ่ี ด้ 6 10 10 12 8 46

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บื้องต้น 13

3.การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

นกั เรียนสามารถหาค่าความจรงิ ของประพจนแ์ ละสามารถหานเิ สธ
ของประพจนท์ กี่ �ำ หนดใหไ้ ด้

14 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4

3 การหาคา่ ความจริง
ของประพจน์
Truth Value

ประพจนเ์ ชงิ ประกอบ คือ ประพจนท์ ่เี กดิ จากประพจนย์ ่อย หรือประพจนเ์ ชิงเดยี ว หลายๆ
ประพจน์มาเช่อื มกนั ดว้ ยตัวเชื่อมตา่ ง ๆ กลายเปน็ ประพจน์ใหญ่ 1 ประพจน์
การหาค่าความจริงของประพจน์ ท่มี ีตัวเชื่อมต้ังแตส่ องตัวขน้ึ ไป จะหาคา่ ความจริงของ
ประพจนย์ ่อยในวงเลบ็ ก่อน แต่ถา้ ประพจนน์ ัน้ ไม่ได้ใสว่ งเล็บใหห้ าคา่ ความจริงของตวั เชื่อม “~”
กอ่ น แลว้ จงึ หาคา่ ความจรงิ ของตวั เชือ่ ม “∧” “∨” “→” “↔” ตามล�ำ ดับ และเมื่อทราบาคงามจรงิ
ประพจนย์ ่อยให้ ก็แทนค่าความจริงของประพจน์ยอ่ ยแล้วพจิ ารณาวา่ ประพจน์ย่อยท่ีเช่ือมกนั มีค่า
ความจรงิ เป็นจริงหรอื เท็จ

ต วั อยา่ ง ที่ 1 ถา้ ประพจน์ p, q และ r มคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ จริง และจรงิ ตามลำ�ดับ

จงหาค่าความจริงของ (p Ï q) Ð r
วิธที ำ� ( p ∧ q ) → r

F TT
F
T

ตอบ (p Ï q) Ð r มคี วามจริงเป็นจรงิ (T)

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งตน้ 15

ต ัวอย่าง ที่ 2 จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ย่อย เม่ือ (~p Ï q) Ð r

มคี ่าความจริงเป็นเท็จ

วธิ ีทำ� ( ~p ∧ q ) → r
F
TF

TT
F

ตอบ p,r มีคา่ ความจริงเป็น เทจ็ (F) q มีความจรงิ เป็นจริง (T)

ต ัวอย่าง ท่ี 3 กำ�หนดให้ p Ð q มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ q Î ~r มคี า่ ความจริงเปน็ จรงิ

ให้หาค่าความจริงของประพจนต์ อ่ ไปน้ี
1) ~ p Ï (~r Ð q) 2) (p Ä q) Ï (~s Ð ~q)

วิธที ำ� p → q มคี ่าความจริงเป็นเทจ็ และ q Î ~r มคี ่าความจริงเป็นจริง
F T
TF FT
F
จากโจทย์จะได้ว่า p มคี ่าความจรงิ เป็นจริง(T) q,r มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ (F)
1) ~ p Ï ( ~ r Ð q ) 2) ( p Ä q ) Ï ( ~ s Ð ~ q )
แทนค่า T F F แทนคา่ T F F
FT FT
FF
FF

ตอบ 1) ~p Ï (~r Ð q ) มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ (F)
2) (p Ä q) Ï (~s Ð~q) มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ (F)

16 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4

แบบฝกึ ทักษะท่ี 3

1ตอนท่ี กำ�หนดให้ p, q, r, s มคี ่าความจรงิ เป็นจริง และ u, t, w มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ
จงหาค่าความจรงิ ต่อไปนี้

1) (~p ∨ q) → r 2) ~(p → t ) ∨ s

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

3) ~[(t → ~s ) ↔ r] ∧ p 4) [(s Î ~r) → t] ↔ (p ∧ ~q)

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

5) [(p → ~s ) ↔ r] → (p ∧ ~u) 6) [(u ↔ w) ∧ (~q → t)] → p

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

แบบฝกึ ทกั ษะ ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น 17

2ตอนท่ี ใหน้ ักเรียนหาค่าความจริงของประพจน์ย่อย เมื่อก�ำ หนดค่าความจรงิ ของประพจน์
ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1) p → (q ∨ r) มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ 2) (r ∨ q) → (q ∨ s) มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________ ________________________

3) (p ↔ q) → p มีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ 4) (~q ↔ ~s) ∧ (q → p)
________________________ มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________
5) (~r → s) ↔ s มีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ
________________________ 6) [~(p ∨ q)] ∧ (s → q) มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________

18 ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4

7) (p ∨ ~q) ∨ (r → s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ 8) [(p ∧ q) ∧ r] → (p ∧ s)
________________________ มคี ่าความจริงเป็นเทจ็
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
9) (p ∧ s) → (p ↔ q) มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ ________________________
________________________ 10) [r ∧ (q → s)]∧(r ↔ ~s) มีคา่ ความจริง
________________________ เปน็ จรงิ
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________
________________________ ________________________

________________________

3ตอนท่ี ใหน้ กั เรยี นหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ย่อย เม่ือกำ�หนดค่าความจริงของรูปแบบ
ประพจน์

1) (p ∨ ~q) → (p → q) เมื่อ q มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบอ้ื งต้น 19

2) (p ∨ ~q) → (p ↔ q) เมอื่ p มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

3) (p → q) ∧ (s → p) ∧ (s → q) เมือ่ p, r, p → q มคี ่าความจริงเปน็ เท็จ
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

4) r เมื่อ p ∧ (p ↔ ~r) ∧ (q → r) มีค่าความจรงิ เป็นจริง
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

5) [~q ∧ (p ∨ r) ] → ~r เมอ่ื p → q มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ และ p ∨ r มีคา่ ความจริงเป็นจริง
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

20 ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4

6) n → [(m ∨ q) → ~ s] เมอื่ q → n มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

7) (p ∨ r) ∧ q เมอ่ื p → q มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ q ∨ r มีค่าความจรงิ เป็นจริง
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

8) (q ∨ p) → (r ∧ s) เมอ่ื (p → q) ∧ (r ∨ s) มีคา่ ความจริงเป็นจริง
และ q ∨ s มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งตน้ 21

9) r → s เมอ่ื (p ∨ r) → (q ∨ s) มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ และ p → q มีคา่ ความจรงิ เป็นจริง
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
10) (p ∨ r) → ~q เมื่อ (p ∧ ~r) → (p → q) มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

4ตอนท่ี กำ�หนดให้ p r มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
จงหาคา่ ความจริงต่อไปนี้
1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s)

22 ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 4

2) [(q → s) ∨ r] ∨ [(q ↔ s) ∧ r]
3) [(r ↔ q) ∨ (p → q)] → (p → ~q)
4) [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~s

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น 23

5) [(q → p) ∧ r] ↔ ~(~r)
6) [(p ∧ q) → r] ∧ [(~p ∨ q) ↔ r]
7) [(p ∧ ~q) ∨ ~r] ∧ [(r ∨ ~s)∧(~ p ∨ ~q)]
24 ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4

8) [(s → ~q) ∧ ~r] ∧ (p ↔ ~s)

คะแนนเตม็ ตอนท่ี 1 ตอนที่ 2 ตอนที่ 3 ตอนที่ 4 รวมคะแนน คดิ เปน็ รอ้ ยละ
คะแนนที่ได้ 6 10 10 8 24

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งตน้ 25

4. การสรา้ งตาราคา่ ความจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้

นกั เรียนสามารถสรา้ งตารางค่าความจริงของรูปแบบของประพจนท์ ่ี
ก�ำ หนดใหไ้ ด้

26 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4

4 การสร้างตาราง
คา่ ความจริง
Truth Table

การสรา้ งตารางค่าความจริง เป็นการหาคา่ ความจริงของรปู แบบของประพจน์กรณที ่ีโจทย์
ไมไ่ ด้บอกควาความจรงิ ของประพจนย์ อ่ ยมาให้
การหาค่าความจริงในลกั ษณะเช่นน้ี ตอ้ งพจิ ารณาค่าความจริงที่อาจเกิดข้ึนไดท้ งั้ หมดทุก
กรณี นน่ั คือ
ถ้ามปี ระพจน์ยอ่ ย 1 ประพจน์ ค่าความจรงิ ทเี่ กิดข้นึ มี 2 กรณี (21=2)
ถ้ามปี ระพจน์ยอ่ ย 2 ประพจน์ ค่าความจริงท่ีเกิดขนึ้ มี 4 กรณี (22=4)
ถา้ มปี ระพจนย์ ่อย 3 ประพจน์ ค่าความจรงิ ทเ่ี กิดขนึ้ มี 8 กรณี (23=8)
ถ้ามปี ระพจน์ย่อย n ประพจน ์ เมือ่ n เป็นจำ�นวนนบั คา่ ความจรงิ ทเี่ กิดขึน้ เทา่ กับ 2n

ตวั อย่า งที่ 1 ก�ำ หนดให้ p, q เป็นประพจน์ ให้สร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์

(p → q) ∧ ~(q → p)

วธิ ที �ำ p q p → q q → p ~(q → p) (p→q) ∧~(q →p)

TT T T F F

TF F T F F

FT T F T T

FF F T F F

แบบฝกึ ทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งตน้ 27

ต วั อยา่ ง ท่ี 2 กำ�หนดให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ ใหส้ ร้างตารางค่าความจริงของประพจน์

(p → q) ∨ (~q ↔ r)

วธิ ีทำ�

pq r p→q ~q ~q ↔ r (p → q) ∨ (~q ↔ r)
TT TT F FT
TT FT F TT
TF TF T TT
TF FF T FF
FT TT F FT
FT FT F TT
FF TT T TT
FF FT T FT

28 ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4

แบบฝึกทกั ษะที่ 4

1ตอนท่ี ใหน้ ักเรียนสรา้ งตารางค่าความจริงจากประพจน์ทก่ี ำ�หนดให้

1) p → [(q ∨ p) ∧ p]

วิธีทำ� p q q ∨ p (q ∨ p) ∧ p p → [(q ∨ p) ∧ p]

2) (p → q) → (q → p) q →p (p → q) → (q → p)
วิธีท�ำ p q p→q

3) (~p → q) ∨ ~(p ∧ q)
วิธที �ำ p q ~p ~p→q p∧q ~(p∧q) (~p → q) ∨ ~(p ∧ q)

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบอื้ งตน้ 29

4) (p ∨ q) → (~q ∨ p)
p q p ∨ q ~q ~q ∨ p (p ∨ q) → (~q ∨ p)

5) (q → r) ∨ (r → p)
p q r q→ r r→ p (q → r) ∨ (r → p)

6) ~(p→ r) ∧ ~s ~s ~ (p→ r) ∧ ~s
p r s p → r ~ (p→ r)

30 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

7) (~p ∨ q) → (q ↔ r)
p q r ~p ~p ∨ q q ↔ r (~p ∨ q) → (q ↔ r)

8) (q ∨ p) ↔ (~q ∨ r)
p q r q ∨ p ~q ~q ∨ r (q ∨ p) ↔ (~q ∨ r)

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บื้องตน้ 31

9) ~ [~(s ∨ r) ∧ ~q ]
10) ~[(p ∧ ~q) → (p ∨ ~r)]
32 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

2ตอนที่ ใหน้ ักเรียนสรา้ งตารางคา่ ความจริงจากประพจน์ทีก่ �ำ หนดให้

1) ~ [(p→ r) ∧ ~q] ∨ r
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________

2) ~[(~p ∨ q) ↔ r] → ~q
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบ้ืองตน้ 33

3) ~[(p ∨ r) ∧ (~q → r)]
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________

4) [(p ∨ ~q) → (q → r)] ∧~ (p ∨ q)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________

34 ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4

5) (q → r) ∧ ~[ (p ∨ r) ↔ (p ∨ ~q)]
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________

คะแนนเต็ม ตอนที่ 1 ตอนท่ี 2 ตอนท่ี 3 ตอนท่ี 4 รวมคะแนน คิดเปน็ รอ้ ยละ
คะแนนทไ่ี ด้ 10 5 - - 15

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บื้องต้น 35

5. รปู แบบของประพจน์ทส่ี มมลู กัน

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

1. นกั เรียนสามารถตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ท่ีสมมลู กนั ได้
2. นักเรยี นสามารถเขียนขอ้ ความทสี่ มมลู กบั ข้อความทีก่ ำ�หนดใหไ้ ด้

36 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4

5 ประพจน์ท่ีสมมลู กัน
Logically Equivalence

รูปแบบของประพจนส์ องรูปแบบใด ๆ ที่มีค่าความจรงิ ตรงกันทกุ ๆ กรณี สามารถใชแ้ ทนกนั
ได้ จะเรยี กสองรูปแบบของประพจนด์ ังกล่าววา่ “รปู แบบของประพจน์ทส่ี มมูลกนั ”

สัญลกั ษณท์ ี่ใช้แสดงแทนการสมมูลคือ “≡”

การตรวจสอบความสมมลู ของประพจนม์ หี ลายวิธี เชน่ การตรวจสอบโดยใช้ตาราง โดยการ
ลดรูปประพจน์

1 การตรวจสองความสมมูลโดยการสรา้ งตาราง
การตรวจสอบการสมมลู น้ัน เราจะใช้วิธีการสรา้ งตารางค่าความจริงของทงั้ สองประพจน์
เพ่อื เปรียบเทยี บคา่ ความจริง โดยประพจน์สองประพจน์จะสมมลู กัน เม่อื มคี วามจริงเหมือนกนั
ทกุ กรณี
1 ก�ำ หนด p, q เปน็ ประพจน์ ให้พิจารณาประพจน์ p ∨~ q
ต วั อย่าง ที่
และ ~(~p ∧ q) สมมูลกันหรือไม่

วธิ ที ำ� สรา้ งตารางค่าความจรงิ ของประพจน์ p ∨~q และ ~(~p ∧ q)

p q ~p ~q p∨~q ~p∧q ~(~p∧q)

TT F F T F T

TF F T T F T

FT T F F T F

FF T T T F T

จะเหน็ ได้วา่ ค่าความจริงของประพจน์ p ∨~ q และ ~(~p∧ q) ตรงกันทกุ กรณี
ดังนัน้ p∨~ q สมมลู ~(~p ∧ q) หรอื p ∨~ q ≡ ~(~p ∧ q)

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบ้ืองตน้ 37

ต วั อย่าง ที่ 2 ใหต้ รวจสอบวา่ ขอ้ ความทก่ี �ำ หนดให้ สมมูลกันหรอื ไม่

(ก) ถ้า 4 + 3 = 7 แล้ว 7 เป็นจ�ำ นวนนบั
(ข) 7 ไมใ่ ช่จำ�นวนนับ แต่ 4 + 3 = 7

วิธที ำ� ให้ p แทน 4 + 3 = 7 q แทน 7 เปน็ จ�ำ นวนนับ
น่ันคือ ประโยค (ก) แทนด้วย p → q
(ข) แทนด้วย ~q ∧ p

p q p → q ~q ~q ∧ p

TT F F F

TF F T T

FT T F F

FF T T F

จะเหน็ ได้ว่า คา่ ความจริงของประพจน์ p ∨~ q และ ~(~p ∧ q) ตรงกันทกุ กรณี
ดังนนั้ p ∨~ q สมมูล ~(~p ∧ q) หรือ p ∨~ q ≡ ~(~p ∧ q)

2 การตรวจสอบความสมมูลโดยใชว้ ิธกี ารลดรปู ประพจน์

การตรวจสอบการสมมลู นอกจากใช้วิธกี ารสรา้ งตารางค่าความจรงิ แลว้ ยังสามารถน�ำ รปู แบบ
ประพจน์ทสี่ มมลู กันขา้ งต้นมาตรวจสอบได้อกี หนง่ึ วธิ ี

รูปแบบของประพจนท์ ่สี มมูลกนั ทคี่ วรทราบ
1. ~(~p) ≡ p
2. p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p
3. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
5. p ↔ q ≡ q ↔ p ≡ (p → q) ∧ (q → p)
6. p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q
7. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
8. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
9. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q

38 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

ต วั อยา่ ง ท่ี 3 รูปแบบของประพจน์ p → (q ∨ r) และ (~r ∧ p) → q

สมมลู กันหรอื ไม่
วิธที �ำ p →(q ∨ r) ≡ ~p ∨ (q ∨ r)

≡ ~p ∨ q ∨ r
≡ r ∨ ~p ∨ q
≡ (r ∨ ~p) ∨ q
≡ ~ (r ∨ ~p) → q
≡ (~r ∧ p) → q
ดังนน้ั p → (q ∨ r) สมมูล (~r ∧ p) → q

ต ัวอยา่ ง ที่ 4 ใหน้ กั เรียนตรวจสอบวา่ ขอ้ ความ (ก) และขอ้ ความ (ข) สมมูลกนั หรอื ไม่

(ก) ถ้า 2+3= 5 แล้ว 2+3= 5
(ข) ถา้ 5-2 ≠ 3 แลว้ 2+3 ≠ 5

วธิ ีทำ� ให ้ p แทน 2+3= 5 q แทน 2+3= 5
นั่นคือ ประโยค (ก) แทนดว้ ย p → q
(ข) แทนด้วย ~q → ~p

p → q ≡ ~p ∨ q
≡ q ∨ ~p
≡ ~q → ~p
ดังนนั้ p → q สมมูล ~q →~p

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น 39

แบบฝึกทักษะท่ี 5

1ตอนท่ี ให้นักเรยี นพิจารณารูปแบบของประพจน์ท่ีก�ำ หนดให้ว่าสมมูลกันหรอื ไม่ โดยการ
สร้างตารางคา่ ความจริง

1) ~(p ∧ q) และ ~p ∧ ~q
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

2) p ∨ (~p ∧ q) และ p ∨ q
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

3) p → (q ∨ r) และ ~p ∨ (q ∨ r)
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

40 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

4) (~p → ~r) ∧ (~p ∨ r) และ r ↔ p
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

5) p ∨ (~p ∧ q) และ p ∨ q
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งตน้ 41

2ตอนที่ ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณารปู แบบของประพจน์ที่ก�ำ หนดใหว้ า่ สมมูลกันหรอื ไม่

1) (ก) x เปน็ จ�ำ นวนคู่และเป็นจ�ำ นวนเตม็ บวก
(ข) x เป็นจำ�นวนคี่หรือเป็นจ�ำ นวนเต็มลบ

____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

2) (ก) ถา้ ม้ินอ่านหนงั สือ แล้ว ม้นิ จะง่วงนอน
(ข) มนิ้ ไม่อ่านหนังสือ หรอื ม้นิ ง่วงนอน

____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

3) (ก) ถ้าเจเจกินผัก แล้วเจเจไม่แขง็ แรง
(ข) เจเจไมก่ ินผัก หรอื เจเจไมแ่ ข็งแรง

____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

42 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4