แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

4) (ก) ถา้ ab = 0 แล้ว a = 0 หรอื b = 0
(ข) ถา้ a ≠ 0 และ b ≠ 0 แล้ว ab ≠ 0

____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
5) (ก) ถา้ x เป็นจ�ำ นวนเตม็ และ x2 เปน็ จ�ำ นวนคู่ แลว้ x เป็นจำ�นวนคู่ดว้ ย
(ข) ถา้ x เปน็ จำ�นวนเตม็ และ x2 เป็นจ�ำ นวนคี่ แลว้ x เปน็ จ�ำ นวนคี่ดว้ ย
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น 43

3ตอนท่ี ให้นักเรียนพิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ สมมูลกบั ข้อความในขอ้ ใด

1) p → (~q → p) ข. ~p ∨ (q ∧~p)
ก. ~p ∨ (~q ∧ p)

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

2) (p ∧ q) → r
ก. (p → r) ∧ (q → r) ข. (p → r) ∨ (q → r)

____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

3) ~p ↔q ข. (~p ∨ q) ∧ (~q ∨~p)
ก. (~p → q) ∧ (q →~p)

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

44 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4

4) ~[(p ∧ q) → (~q ∨ r)]
ก) (~r ∧ p) ∧ q ข) (p ∧ q) → (~q ∧ r)

____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

5) (p ∧ q) ↔ (~q ∨~p) ข. ~ (p ∧ q) ∧ (q ∨ p)
ก. ~(p → q) ∧ (q → p)

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้ 45

4ตอนที่ ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณารูปแบบของประพจนท์ กี่ �ำ หนดให้วา่ สมมูลกันหรอื ไม่
โดยการลดรปู

1) [(p → r) ∧ (q → r)] กับ ~(p ∨ q) ∨ r
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

2) (~r ∨ p) →q กบั (r ∧ ~p) ∨ q
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

3) p → (q → r) กับ ~(p ∧ q) ∨ r
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

46 ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

4) (q ∨ r) ∧ (q ∨ p) กบั (r ∨ p) ∧ q
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

5) ~(p→q) →r กบั ~r →(~p ∨ q)
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบ้ืองตน้ 47

5ตอนที่ ใหน้ ักเรียนพจิ ารณารูปแบบของประพจนท์ ่กี ำ�หนดใหว้ า่ สมมูลกันหรือไม่
โดยการลดรูป

1) [(p → r) ∧ (q → r)] กบั ~(p ∨ q) ∨ r
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

2) (~r ∨ p) → q กับ (r ∧~p) ∧ q
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

3) p → (q → r) กบั ~(p ∧ q) ∨ r
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

48 ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4

4) [p ∧ (q ∨~q)] → [(q ∨ r) ∨ (p ∧~q)] กับ ~p ∨ q ∨ r
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

5) [(p → r) ∧ (q → r)] กบั ~(p ∨ q) ∨ r
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

คะแนนเต็ม ตอนท่ี 1 ตอนที่ 2 ตอนท่ี 3 ตอนที่ 4 ตอนที่ 5 รวมคะแนน คดิ เปน็ รอ้ ยละ
คะแนนท่ไี ด้ 55 5 5 5 25

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บื้องต้น 49

6. สจั นิรันดร์

จุดประสงค์การเรยี นรู้

1. นักเรียนสามารถหาคา่ ความจริงของรูปแบบของประพจน์ได้
2. นักเรยี นสามารถตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ท่ีเปน็ สจั นิรันดรไ์ ด้

50 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4

6 สจั นริ ันดร์
Tautology

รูปแบบของประพจนท์ ่ีมคี า่ ความจริงเป็นจรงิ ทุกกรณี ไม่วา่ ประพจน์ย่อยตา่ ง ๆ จะมีค่า
ความจรงิ เปน็ จรงิ หรอื เทจ็ กต็ าม เราเรียกรปู แบบของประพจนว์ า่ สจั นริ ันดร์
การตรวจสอบวา่ ประพจนใ์ ดเปน็ สจั นิรันดร์ เราสามารถตรวจสอบได้ 3 วธิ ี ดังน้ี

1 การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสร้างตาราง

โดยการพิจารณารูปแบบของประพจน ์ ถ้าคา่ ความจริงเป็นจริงทุกกรณี
แสดงวา่ ประพจน์นนั้ เปน็ สจั นิรนั ดร์

ต ัวอย่าง ท่ี 1 ก�ำ หนด p, q เปน็ ประพจน์ ให้พิจารณาประพจน์ [(p → q) ∧ p] →q

เป็นสัจนริ นั ดรห์ รอื ไม่
วธิ ีทำ� สร้างตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์ p ∨~ q และ ~(~p ∧ q)

p q p → q (p → q) ∧ p [(p → q) ∧ p] →q

TT T T T

TF F F T

FT T F T

FF T F T

จะเหน็ ไดว้ ่า ประพจน์ [(p → q) ∧ p] →q มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ ทุกกรณี
ดงั น้นั ประพจน์ [(p → q) ∧ p] →q เปน็ สจั นริ ันทร์

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งต้น 51

2 การตรวจสอสจั นิรนั ดรโ์ ดยการหาขอ้ ขัดแยง้

เมอ่ื รปู แบบประพจนเ์ ชอื่ มดว้ ย “ถ้า…แลว้ …” สามารถตรวจสอบความเปน็ สจั นริ นั ดรข์ อง
ประพจน์ โดยวิธีการหาข้อขัดแยง้ ซึง่ เปน็ การพจิ ารณาวา่ รูปแบบของประพจนน์ ั้นมีโอกาสเป็นเทจ็
หรอื ไม่ ถา้ มีโอกาสเป็นเทจ็ ได้ แสดงวา่ ไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์ โดยวธิ นี จ้ี ะสมมติใหร้ ปู แบบประพจน์
ที่ตอ้ งการตรวจสอบมีค่าความจริงเป็นเท็จ จากน้ันใหห้ าคา่ ความจริงของประพจน์ย่อย แล้ว
พิจารณาคา่ ความจรงิ ของประพจนย์ อ่ ยว่าขัดแยง้ หรอื ไม่
ถ้ามขี อ้ ขดั แย้งเกิดข้ึน หมายความว่ารูปแบบของประพจน์น้ันไมม่ โี อกาสทคี่ า่ ความจรงิ จะ
เป็นเทจ็ นั่นคือรปู แบบของประพจน์นนั้ เปน็ สัจนริ ันดร์
ถ้าไม่มขี ้อขดั แยง้ เกดิ ขน้ึ หมายความว่ารปู แบบของประพจน์นั้นมโี อกาสที่ค่าความจริงจะ
เป็นเทจ็ น่นั คอื รปู แบบของประพจนน์ นั้ เป็นไมเ่ ปน็ สัจนิรนั ดร์

ตัวอยา่ งท่ี 2 กำ�หนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ให้ตรวจสอบวา่

[(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)] เปน็ สัจนิรนั ดร์หรอื ไม่

วิธีท�ำ ก�ำ หนดให้ [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)] มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ
จะได้ [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)]
F

TF

TT T F

T T TF

เกิดข้อขัดแย้ง
จะเห็นไดว้ ่า ค่าความจริงของประพจน์ยอ่ ย r สองต�ำ แหนง่ ไม่ตรงกนั (ขดั แย้งกัน)
ดังนัน้ [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)] เปน็ สัจนิรนั ดร์

52 ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4

ตัวอยา่ งท่ี 3 ก�ำ หนดให้ p, q และ r เป็นประพจนใ์ ห้ตรวจสอบวา่

[(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)] เป็นสัจนิรนั ดรห์ รอื ไม่

วธิ ที �ำ กำ�หนดให้ [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)] มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ
จะได้ [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)]
F

TF

TT T F

T T TF
เกดิ ข้อขัดแย้ง

จะเหน็ ได้ว่า ค่าความจรงิ ของประพจน์ย่อย r สองต�ำ แหน่งไมต่ รงกัน(ขัดแย้งกนั )
ดงั น้ัน [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)] เปน็ สัจนริ นั ดร์

3 การตรวจสอบการสมมูลกนั ของประพจน์ทีอ่ ยใู่ นรูป p ↔ q

การพิจารณารูปแบบของประพจน์ p ↔ q ถ้าแสดงได้วา่ ประพจน์ p สมมูลกับ q
จะไดว้ ่า p ↔ q เปน็ สัจนิรันดร์ เพราะ p และ q มีคา่ ความจริงเหมือนกัน เมื่อเช่ือมด้วย “↔”
จะมคี ่าความจรงิ เปน็ จริงเสมอ

ตวั อย่างท่ี 4 กำ�หนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ใหต้ รวจสอบว่า

~(p → q) ↔ (p ∧ ~q) เปน็ สจั นริ นั ดร์หรือไม่
วธิ ีท�ำ จากรูปแบบของประพจน์ ~(p → q) ↔ (p ∧~q) ตอ้ งพจิ ารณาวา่ ~(p → q)

และ (p ∧ ~q) สมมลู กนั หรือไม่
จะได้ ~(p → q) ≡ ~ (~p ∨ q)
≡ p ∧ ~q
ฉะน้ัน ~(p → q) สมมูลกับ (p ∧ ~q)
ดงั น้นั ~(p → q) ↔ (p ∧~q) เปน็ สัจนิรนั ดร์
ตอบ ~(p → q) ↔ (p ∧~q) เปน็ สจั นริ ันดร์

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองตน้ 53

แบบฝกึ ทักษะท่ี 6

1ตอนท่ี ใหน้ ักเรียนพิจารณาประพจน์ที่ก�ำ หนดใหเ้ ปน็ สัจนิรนั ทร์หรือไม่ โดยการสรา้ งตาราง

1) (p ∧ q) → p
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

2) [~p ∧ (p → q)] → q
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

3) [(~p ∨ q) ∧ q] → (~p ∨ q)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

54 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

4) ~(p ↔ r) → (~p ↔ ~q)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

5) [p → (q ∨ r)] → [(p ∧ ~q) → r]
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองตน้ 55

2ตอนที่ จงตรวจสอบวา่ รปู แบบของประพจน์ที่กำ�หนดให้ต่อไปนีเ้ ป็นสัจนริ นั ดร์หรือไม่ โดย
การใชว้ ิธีการหาข้อขัดแย้ง

1) (p ∧ q) → p
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

2) [p ∧ (p → q)] → q
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

3) [p → ( q ∨ r)] → [(p ∧~q) → r]
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

56 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

4) [(p → q) ∧ (p → r)] → (q ∧ r)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

5) [(p ↔ q) ∧ (r → p)] → p
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

6) [(p ∧ ~q) → ~q] → (p → q)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

7) [(p ↔ q) ∧ (r → p] → p
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งต้น 57

8) (p → ~q) ∨ (q → ~r)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

9) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

10) [(p→r) ∧ (q→s) ∧ (p ∨ q)] →( r ∨s)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

58 ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4

3ตอนท่ี จงตรวจสอบวา่ รูปแบบของประพจนท์ ่กี �ำ หนดใหต้ อ่ ไปนเ้ี ป็นสจั นริ ันดรห์ รือไม่ โดย
ใช้วิธีตรวจสอบการสมมูลกนั ของประพจน์

1) (p ∧ q) ↔ (~p ∨~q)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

2) ~ (p →~q) ↔ (p ∧ q)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

3) (p → q) ↔ [(p ∨ r) → (q ∨ r)]
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งตน้ 59

4) [(p → r) ∧ (q → r)] ↔ [(p ∨ r) → r]
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

5) [(p →q) ∧ p] ↔ q ∧ p
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

6) [~p ∨ (r → s)] ↔ [(~r ∧ s) → p]
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

60 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

7) (p → q) →r ↔ [(p → r) ∧ (q → r)]
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

8) (p ↔ q) ↔ [(q ∨ ~p) ∧ (p ∨ ~q)]
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

คะแนนเต็ม ตอนที่ 1 ตอนท่ี 2 ตอนท่ี 3 ตอนท่ี 4 รวมคะแนน คิดเป็นรอ้ ยละ
คะแนนที่ได้ 5 10 8 - 23

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น 61

7. การอา้ งเหตุผล

จุดประสงค์การเรยี นรู้

1. นักเรียนสามารถเช่อื มประพจน์ทีเ่ ปน็ เหตุกับเหตุ และหาผลสรุปได้
2. นกั เรยี นสามารถตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอา้ งเหตผุ ล
ทก่ี �ำ หนดให้ได้

62 ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 4

7 การอ้างเหตุผล
Argument

การอา้ งเหตผุ ล คือ การอา้ งวา่ ข้อความ p1 , p2 , p3, … ,pn ชุดหน่งึ
แลว้ สามารถสรปุ ได้ข้อความ C ขอ้ ความหน่ึงได้ การอ้างเหตผุ ลประกอบด้วยส่วนสำ�คัญสองส่วน
คือ เหตหุ กราอื รสอ่งิ า้ ทง่ีกเหำ�ตหผุนลดอใหาจ้ ไจดะ้แสกม่ เขห้อตุสpม1 ,ผpลห2 ร, อืpไ3ม, ส่…ม,เpหnต สุ แมลผะลผกลไ็หดร้ ือซขึ่งส้อาสมราปุ รถไดตแ้รกวจ่ ขส้ออคบวไาดม้ C

โดยใช้ตวั เชอ่ื ม “∧” เชอื่ มเหตทุ ง้ั หมดเข้าด้วยกัน และใช้ตวั เชือ่ ม “→” เช่ือมสว่ นทเ่ี ป็นเหตุกบั ผล

( p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ … ∧ pn ) → C
แล้วตรวจสอบรปู แบบประพจน์ ( p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ … ∧ pn ) → C วา่ เปน็ สัจนิรันดร์
หรือไม ่
ถ้าเป็นสจั นิรันดร์ จะกลา่ วได้ว่า การอ้างเหตผุ ลน้ี สมเหตสุ มผล
ถ้าไม่เป็นสจั นิรนั ดร์ จะกล่าวได้ว่า การอ้างเหตุผลน้ี ไม่สมเหตสุ มผล

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 63

ตัวอย่างท่ี 1 ก�ำ หนด p และ q เป็นประพจน์ พจิ ารณาการอา้ งเหตผุ ลตอ่ ไปนีส้ มเหตุ
สมผลหรือไม่
เหตุ 1. p ∧ q
2. p ↔ ~q
ผล p → q

วธิ ีท�ำ 1. นำ�เหตุทงั้ หมดมาเชอ่ื มด้วย “∧” และเชื่อมด้วย “→” กับผล จะได้รปู แบบประพจน ์
คือ [(p ∧ q) ∧ (p ↔ ~q)] → (p → q)
2. ตรวจสอบรปู แบบประพจน์วา่ เปน็ สจั นิรันดร์
จะได้ [(p ∧ q) ∧ (p ↔ ~q)] → (p → q)
F

TF

TT TF

TT TT เกดิ ขอ้ ขัดแยง้
F

จากแผนภาพ จะพบวา่ คา่ ความจริงของประพจน์ย่อย q มีข้อขัดแย้งกนั
ดงั นั้น รปู แบบของประพจน์ [(p ∧ q) ∧ (p ↔ ~q)] → (p → q) เปน็ สัจนริ ันดร์
น่ันคอื การอ้างเหตผุ ลสมเหตสุ มผล

ตัวอย่างท่ี 2 ก�ำ หนด p, q และ r เป็นประพจน์ พิจารณาการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปนี้
สมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. p → (q →~r)
2. q
3. r
ผล p

วิธีท�ำ 1. นำ�เหตุท้ังหมดมาเช่ือมดว้ ย “∧” และเชอ่ื มดว้ ย “→” กบั ผล จะไดร้ ปู แบบประพจน์
คอื [ p → (q →~r) ∧ q ∧ r] → p
2. ตรวจสอบรปู แบบประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์

64 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

จะได ้ {[ p → (q →~r)] ∧ (q ∧ r)}F →F p
T

TT

F F T T

TF

T

จากแผนภาพ จะพบวา่ คา่ ความจรงิ ของประพจน์ย่อยไมม่ ีขอ้ ขดั แย้งกัน
ดงั นน้ั รปู แบบของประพจน์ {[ p → (q →~r)] ∧ q ∧ r} → p ไม่เป็นสัจนิรนั ดร์
น่ันคอื การอา้ งเหตุผลไม่สมเหตุสมผล

ตัวอยา่ งที่ 3 ก�ำ หนด p, q และ r เป็นประพจน์ พิจารณาการอ้างเหตุผลตอ่ ไปนี้

สมเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1. ถ้านกรอ้ งเพลง แลว้ ดอกไม้บาน
2. นกรอ้ งเพลง
ผล ดอกไม้บาน

วธิ ที ำ� 1. ให้ p แทน นกรอ้ งเพลง q แทน ดอกไม้บาน
เหตุ 1. p → q
2. p
ผล q
2. นำ�เหตทุ งั้ หมดมาเช่ือมดว้ ย “∧” และเชอ่ื มด้วย “→” กับผล จะไดร้ ูปแบบประพจน ์
คอื [(p → q) ∧ p] → q
3. ตรวจสอบรปู แบบประพจนว์ ่าเป็นสัจนิรนั ดร์
จะได ้ [(p → q) ∧ p] → q
F
T TF
FF
จากแผนภาพ จะพบวา่ คา่ ความจรงิ ของประพจนย์ อ่ ย p มขี อ้ ขดั แย้งกนั
ดงั นนั้ รูปแบบของประพจน์ [p → q ∧ p] → q เป็นสจั นริ ันดร์
นั่นคือ การอา้ งเหตผุ ลสมเหตสุ มผล

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น 65

แบบฝึกทักษะท่ี 7

1ตอนท่ี จงตรวจสอบว่ารปู แบบประพจนท์ ก่ี ำ�หนดให้ตอ่ ไปน้เี ป็นสัจนิรนั ดร์หรอื ไม่

1) ก�ำ หนดให้ เหตุ 1. p → q
2. q → r
ผล r

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2) ก�ำ หนดให ้ เหตุ 1. p → (q ∨ r)
2. ~q ∧ p
ผล r

_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

66 ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 4

3) ก�ำ หนดให้ เหตุ 1. p → q
2. p → r
ผล ~r → ~p

_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
4) ก�ำ หนดให้ เหตุ 1. p → (r → s)
2. ~r → ~p
3. p
ผล s
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบือ้ งตน้ 67

5) ก�ำ หนดให้ เหตุ 1. q →~r
2. s ∨ q
3. p
4. s → p
ผล r

_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

2ตอนที่ จงตรวจสอบวา่ รปู แบบประพจนท์ ี่กำ�หนดใหต้ อ่ ไปนเ้ี ป็นสัจนริ นั ดรห์ รอื ไม่

1) ก�ำ หนดให้ เหตุ 1. ถา้ นนดืม่ นม แลว้ เขาจะอว้ น
2. นนไมด่ ่ืมนม
ผล นนไม่อ้วน

_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

68 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

2) ก�ำ หนดให้ เหตุ 1. ถ้าเจมส์ออกกำ�ลงั กาย แลว้ เขาจะแข็งแรง
2. ถา้ เจมส์ไมอ่ อกกำ�ลงั กาย แล้วเขาจะเป็นไข้
3. เจมส์ไม่แข็งแรง
ผล เจมสเ์ ปน็ ไข้

_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

3) กำ�หนดให้ เหตุ 1. ถา้ ฝนตกแล้วนำ�ท้ ว่ มโรงเรยี น
2. ถา้ ฝนไม่ตกแล้ว นนท์ไปโรงเรยี น
3. น�ำ ้ไม่ทว่ มโรงเรยี น
ผล ฝนตกและนนทไ์ มไ่ ปโรงเรียน

_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบอื้ งตน้ 69

4) ก�ำ หนดให้ เหตุ 1. ถ้านกมี 4 ขา แล้วแมวจะมีปีก
2. ถ้านกไมม่ ี 4 ขา แล้วช้างจะบินได้
3. ถ้าหนูมีหาง แลว้ ชา้ งบินไมไ่ ด้
4. แมวไมม่ ีปีก
ผล หนไู มม่ หี าง

_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

3) กำ�หนดให้ เหต ุ 1. ถ้ากบร้อง แลว้ ฝนตก
2. ถ้าฝนตก แลว้ ไม้ฟนื เปยี ก
3. ถ้าไมฟ้ นื เปยี ก แลว้ ไฟไม่ติด
4. ไฟติด
ผล กบไมร่ อ้ ง

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

70 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

6) ก�ำ หนดให้ เหตุ 1. เอสอบผา่ นวิชาคณิตศาสตร์ หรือ สอบผ่านวิชาภาษาองั กฤษ
2. เอสอบไมผ่ ่านวชิ าคณิตศาสตร์
3. ถ้าเอไมข่ ยนั แล้วเอสอบไมผ่ ่านวชิ าภาษาองั กฤษ
4. ถ้าเอขยัน แลว้ เอสอบผ่านทุกวชิ า
ผล คนขยนั

_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

คะแนนเตม็ ตอนท่ี 1 ตอนที่ 2 ตอนที่ 3 ตอนที่ 4 รวมคะแนน คิดเปน็ รอ้ ยละ
คะแนนทไี่ ด้ 5 6 - - 13

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น 71

8. ประโยคเปิด

จุดประสงค์การเรยี นรู้

1. นกั เรียนสามารถยกตัวอยา่ งประโยคหรอื ข้อความที่เปน็ ประโยคเปดิ ได้
2. นกั เรยี นสามารถเขยี นข้อความหรือสญั ลักษณแ์ ทนประโยคเปิด
ท่ีมตี วั บ่งปรมิ าณได้

72 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 4

8 ประโยคเปิด
Open sentence

เมือ่ พิจารณาประโยค เช่น เขาเปน็ นกั เรยี นชั้น ม.4 ประโยคน้ียังไมท่ ราบวา่ เป็นจริง หรอื
เทจ็ จนกว่าจะแทนค�ำ ว่า เขา ดว้ ยชอื่ ของใครสกั คน จึงจะทราบค่าความจรงิ ของประโยคนั้น
ประโยคลกั ษณะแบบนี้ เรียกวา่ ประโยคเปดิ

นยิ าม ประโยคเปิด คอื ประโยคบอกเล่าหรอื ประโยคปฏเิ สธที่มี

ตวั แปรและไม่เป็นประพจน์ แต่เมื่อแทนตวั แปรดว้ ยสมาชกิ ในเอกภพสัมพนั ธ์แล้วเป็น
ประพจน์

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงพิจารณาประโยคต่อไปนี้ว่าเปน็ ประพจนห์ รือประโยคเปดิ หรือไมใ่ ชท่ ้ัง

ประพจน์และประโยคเปดิ

1) ถา้ {5} ⊄ {1,6} แล้ว 5 ∊ {1,6} เป็นประพจน์
2) เขาเปน็ นักดนตรี เปน็ ประโยคเปดิ
3) 2y+3 ไมใ่ ชท่ ัง้ ประพจนแ์ ละประโยคเปิด
4) ดวงอาทิตยข์ ้นึ ทางทศิ เหนอื เปน็ ประพจน์
5) x2+5 = 0 เปน็ ประโยคเปิด
6) 2x+4x = 6x เปน็ ประพจน์
7) เขาเปน็ คนใจด ี ไม่ใช่ท้งั ประพจนแ์ ละประโยคเปิด
8) x+y > 4 เปน็ ประโยคเปดิ

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบื้องตน้ 73

แบบฝึกทกั ษะที่ 8

1ตอนท่ี จงพิจารณาประโยคตอ่ ไปนี้วา่ เป็นประพจน์หรือประโยคเปิด หรือไม่ใช่ทั้งประพจน์

1) เขาเป็นนกั ฟุตบอลทีมชาติ
ตอบ_________________________________________________________________

2) x เป็นจำ�นวนจรงิ
ตอบ_________________________________________________________________
3) 3+5 > 8
ตอบ_________________________________________________________________

4) จังหวัดภเู ก็ตเป็นเกาะ
ตอบ_________________________________________________________________
5) x2-2x-8=0
ตอบ_________________________________________________________________
6) y=x+5 เปน็ สมการเสน้ ตรง
ตอบ_________________________________________________________________
7) 5 และ -4 เป็นคำ�ตอบของสมการ x2+x-20=0
ตอบ_________________________________________________________________
8) 20 หารดว้ ย 7 ลงตวั
ตอบ_________________________________________________________________
9) ประชาชนชาวไทยส่วนใหญ่นบั ถือศาสนาพุทธ
ตอบ_________________________________________________________________
10) x3-3x2+5x-6
ตอบ_________________________________________________________________
11) รักวัวให้ผูก รกั ลกู ให้ตี
ตอบ_________________________________________________________________
12) 2 เป็นคำ�ตอบของ x2-3x+2=0
ตอบ_________________________________________________________________

74 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

2ตอนที่ ให้นักเรียนเขียนประโยคหรือข้อความทเี่ ปน็ ประโยคเปดิ 5 ประโยคและประโยคเปดิ

1)____________________________________________________________________
2)____________________________________________________________________
3)____________________________________________________________________
4)____________________________________________________________________
5)____________________________________________________________________

3ตอนท่ี ให้นกั เรยี นเขยี นประโยคหรือข้อความท่ไี ม่เปน็ ประโยคเปิด 5

1)____________________________________________________________________
2)____________________________________________________________________
3)____________________________________________________________________
4)____________________________________________________________________
5)____________________________________________________________________

คะแนนเต็ม ตอนท่ี 1 ตอนที่ 2 ตอนท่ี 3 ตอนที่ 4 รวมคะแนน คิดเปน็ รอ้ ยละ
คะแนนทไี่ ด้ 12 5 5 - 22

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บื้องต้น 75

9. ตัวบง่ ปริมาณ

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

นักเรยี นสามารถเขยี นข้อความหรือสัญลกั ษณ์แทนประโยคเปดิ
ท่ีมีตัวบ่งปริมาณได้

76 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 4

9 ตวั บ่งปรมิ าณ
Quantifier

ขอ้ ความทเ่ี ตมิ ลงไปหน้าประโยคเปิด แล้วทำ�ใหบ้ ่งบอกถงึ สมาชิกทุกตวั หรอื สมาชกิ บางตวั
ในเอกภพสัมพันธท์ ีท่ �ำ ใหป้ ระโยคกลายเปน็ ประพจน์ และบอกคา่ ความความจรงิ ได้ เรยี กวา่
ตวั บง่ ปรมิ าณ(Quantifier) ซึ่งมอี ยู่ 2 แบบ ดังน้ี

∀ แทน ส�ำ หรบั ...ทกุ ตัว
∃ แทน สำ�หรับ...บางตวั
กรณีที่ประโยคทีเ่ กีย่ วกับจ�ำ นวนมีตัวบง่ ปริมาณแตไ่ มม่ กี ารระบเุ อกภพสมั พนั ธ์ ใหถ้ ือว่า
เอกภพสมั พนั ธ์ คอื เซตของจำ�นวนจรงิ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขยี นประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณตอ่ ไปนี้ ให้อยู่ในรปู สัญลกั ษณ์

1) สำ�หรบั x ทกุ ตัว x2 ≥ 0 เมอ่ื เอกภพสัมพนั ธเ์ ปน็ เซตของจ�ำ นวนจริง
เขยี นแทนด้วย ∀x[x2 ≥ 0], U=R

2) ส�ำ หรับ x บางตัว x-1 = 0 เมอ่ื U={0,1,2,3,4,5}
เขียนแทนด้วย ∃x[x-1 = 0] , U={0,1,2,3,4,5}

3) สำ�หรับทกุ ๆ ค่าของ x ท่เี ป็นจำ�นวนเตม็ 2x+3x=5x
เขียนแทนด้วย ∀x[2x+3x = 5x], U=Z

4) มจี ำ�นวนจรงิ y บางจ�ำ นวนที่ 2y+1=0
เขียนแทนด้วย ∃y[ 2y+1 = 0], U=R

5) สำ�หรับจำ�นวนจริง x ทกุ จำ�นวน ที่ x2+2 ≤ x+2
เขยี นแทนด้วย ∀x[x2+2 ≤ x+2], U=R

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น 77

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 9

1ตอนท่ี ใหเ้ ขยี นข้อความตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยูใ่ นรปู ประโยคสญั ลกั ษณแ์ ละประโยคเปิด

1) แตล่ ะจำ�นวน x ซ่งึ x2=x·x
เขยี นได้เปน็ ___________________________________________________________
2) มีจำ�นวนเตม็ อย่างนอ้ ย 1 ตัว ซง่ึ x2=4
เขียนได้เปน็ ___________________________________________________________
3) มีจำ�นวนจรงิ x บางตัว ถา้ x เป็นจ�ำ นวนเตม็ แล้ว เป็นจำ�นวนเต็ม
เขียนได้เป็น___________________________________________________________
4) สำ�หรบั จำ�นวนเตม็ x ทุกตัว ซ่งึ x+7=7+x
เขยี นได้เป็น___________________________________________________________
5) จำ�นวนจริงแตล่ ะจำ�นวนคณู กับ 1 แลว้ เทา่ กบั 1 คณู กบั จำ�นวนจริงน้ัน
เขียนไดเ้ ปน็ ___________________________________________________________
6) มีจำ�นวนจริง x ซงึ่ x2=2
เขียนได้เปน็ ___________________________________________________________
7) มจี �ำ นวนจริง x ซงึ่ |x|+1≤1
เขียนไดเ้ ปน็ ___________________________________________________________
8) จ�ำ นวนนับทกุ จ�ำ นวนเปน็ จำ�นวนตรรกยะ
เขียนไดเ้ ป็น___________________________________________________________
9) สำ�หรับจำ�นวนเต็ม x ทุกจ�ำ นวน ซึ่ง x2>0
เขียนไดเ้ ป็น___________________________________________________________
10) มจี ำ�นวนจริง x บางจ�ำ นวน ถ้า x เป็นจ�ำ นวนเฉพาะ แลว้ x เปน็ จ�ำ นวนคู่
เขยี นไดเ้ ป็น___________________________________________________________

78 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

2ตอนที่ ใหเ้ ขยี นประโยคสญั ลักษณต์ อ่ ไปนี้ใหอ้ ยู่ในรูปแบบขอ้ ความ
1) ∀x[x2-3x+2 = (x-2)(y-1)], U=R
เขียนได้เป็น___________________________________________________________

2) ∃y[2y+5 ≤ 2]
เขียนได้เป็น___________________________________________________________

3) ∃x[x∊Q → x2=2]
เขยี นไดเ้ ป็น___________________________________________________________

4) ∃x[(x2-1) > 0 ∧ (x-3 < 4)], U=R

เขียนได้เปน็ ___________________________________________________________

5) ∀x[ 2x - 3 = 2 ],U=N
x+1
เขยี นได้เป็น___________________________________________________________

6) ∀x[x∊R+→ x2 =|x|]
เขยี นได้เปน็ ___________________________________________________________

7) ∃x[x+3=0], U=R
เขยี นได้เป็น___________________________________________________________

8) ∀x[12x-51≤4],U=Z
เขยี นได้เป็น___________________________________________________________

9) ∃x[x2=9 ∨3x=9],U=R
เขยี นได้เปน็ ___________________________________________________________

10) ∃x[x2+1>0] หรอื ∃y[y∊R ∧ y2+1>10]
เขยี นได้เป็น___________________________________________________________

คะแนนเต็ม ตอนท่ี 1 ตอนท่ี 2 ตอนที่ 3 ตอนที่ 4 รวมคะแนน คดิ เป็นรอ้ ยละ
คะแนนทไ่ี ด้ 10 10 - - 21

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบ้ืองตน้ 79

10. ค่าความจริงของประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปริมาณตวั เดยี ว

จุดประสงค์การเรยี นรู้

นักเรยี นสามารถหาค่าความจรงิ ของประโยคที่มีตัวบ่งปรมิ าณ
ตัวแปรเดยี วได้

80 ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 4

10 คา่ ความจรงิ ของประโยค
ทมี่ ีตัวบ่งบรมิ าณตัวเดยี ว

ข้อความทเ่ี ตมิ ลงไปหน้าประโยคเปิด แล้วทำ�ให้บ่งบอกถงึ สมาชกิ ทุกตัวหรือสมาชกิ บางตวั
ในเอกภพสัมพนั ธ์ทท่ี �ำ ใหป้ ระโยคกลายเปน็ ประพจน์ และบอกค่าความความจรงิ ได้ เรยี กว่า
ตวั บง่ ปรมิ าณ(Quantifier) ซง่ึ มีอยู่ 2 แบบ ดังน้ี

1 ตวั บง่ ปรมิ าณ ส�ำ หรับ x ทุกตวั (∀x)

นยิ าม

∀x[P(x)] มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ กต็ อ่ เม่อื แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชกิ
แต่ละตวั ในเอกภพสัมพนั ธ์ แลว้ ได้ประพจน์ท่มี ีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ ทงั้ หมด
∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ตอ่ เมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก
อยา่ งนอ้ ยหน่งึ ตัวในเอกภพสัมพนั ธ์ แล้วได้ประพจนท์ ี่มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็

ตวั อยา่ งท่ี 1 หาคา่ ความจรงิ ของประโยคทีม่ ีตัวบ่งปรมิ าณต่อไปนี้

∀x[x-2>3], U = {6,7,8}
วธิ ีทำ� ให ้ P(x) = x-2 >3

จะได้ P(6) แทน 6-2 > 3 เป็นจรงิ
P(7) แทน 7-2 > 3 เป็นจริง
P(8) แทน 8-2 > 3 เป็นจรงิ
จะพบวา่ เม่อื แทน x ใน P(x) ดว้ ยสมาชกิ แตล่ ะตวั ใน U แลว้ ไดป้ ระพจน์
ท่ีมีค่าความจริงเปน็ จริงทัง้ หมด
ดงั น้ัน ∀x[x-2 > 3], U={6,7,8} เป็นจรงิ

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น 81

ตวั อย่างที่ 2 หาคา่ ความจรงิ ของประโยคทม่ี ีตวั บ่งปรมิ าณต่อไปน้ี

∀x[x-2>5],U = {5,6,7}

วธิ ีทำ� ให ้ P(x)=x-2>5
จะได P(5) แทน 5-2>3 เป็นเท็จ
จะพบวา่ เม่อื แทน x ใน P(x) ดว้ ยสมาชกิ อยา่ งนอ้ ยหน่งึ ตัวใน U แล้วได้ประพจน์
ทีม่ ีค่าความจริงเปน็ เท็จ
ดงั น้นั ∀x[x-2>5], U={5,6,7} เป็นเท็จ

2 ตัวบ่งปรมิ าณ ส�ำ หรับ x บางตัว (∃x)

นยิ าม

∃x[P(x)] มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ ก็ต่อเมอ่ื แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชกิ
∃x[P(x)] อย่างน้อยหน่งึ ตวั ในเอกภพสัมพันธ์ แล้วได้ประพจน์ทม่ี ีคา่ ความจรงิ
เปน็ จรงิ
มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ กต็ ่อเมื่อ แทนตวั แปร x ใน P(x) ดว้ ยสมาชกิ
แต่ละตัวในเอกภพสมั พันธ์ แล้วได้ประพจนท์ ม่ี คี ่าความจริง
เป็นเท็จทัง้ หมด

ตัวอยา่ งท่ี 3 หาคา่ ความจรงิ ของประโยคที่มีตวั บง่ ปริมาณตอ่ ไปน้ี

∃x[x เป็นจำ�นวนคู่], U={1,2}

วธิ ที �ำ ให ้ P(x)=x เป็นจำ�นวนคู่
จะได ้ P(2) แทน 2 เปน็ จ�ำ นวนคู่ เป็นจรงิ
จะพบวา่ เมือ่ แทน x ใน P(x) ดว้ ยสมาชกิ อยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ใน U แลว้ ไดป้ ระพจน์
ท่มี ีค่าความจรงิ เป็นจริง
ดังนนั้ ∃x[x เปน็ จำ�นวนคู่], U={1,2} เป็นจรงิ

82 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

ตัวอย่างท่ี 4 หาค่าความจรงิ ขอ งประโยคทมี่ ตี วั บง่ ปรมิ าณตอ่ ไปนี้

∃x[x เป็นจำ�นวนคู]่ , U={1,3}
วธิ ที �ำ ให้ P(x) = x เป็นจำ�นวนคู่

จะได้ P(1) แทน 1 เปน็ จ�ำ นวนคู่ เป็นเทจ็
P(3) แทน 3 เป็นจ�ำ นวนคู่ เป็นเทจ็
จะพบว่า เม่อื แทน x ใน P(x) ดว้ ยสมาชกิ แต่ละตวั ใน U แล้วไดป้ ระพจน์
ที่มคี ่าความจริงเปน็ เท็จทั้งหมด
ดงั น้ัน ∃x[x เปน็ จ�ำ นวนคู่],U={1,3} เปน็ เท็จ

แบบฝกึ ทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บื้องตน้ 83

แบบฝึกทักษะที่ 10

1ตอนที่ จงหาคา่ ความจริงของประโยคทม่ี ีตวั บง่ ปริมาณต่อไปน้ี

1) ∀x[x+x=x2 ], U={0,2}
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

2) ∀x[x2>8], U={-1,0,2}
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

84 ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4

3) ∃x[x<0], U={0,4,7}
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

4) ∀x[x+1>4], U={1,2,3,4}
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

5) ∃x[x2<0], U=R
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
___________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้ 85

6) ∃x[5+x≠0], U=Z
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

7) ∃x[x>0], U=Z
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

8) ∀x[x เปน็ จำ�นวนอตรรกยะ], U=R
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

86 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

2ตอนท่ี จงหาค่าความจรงิ ของประโยคท่มี ีตัวบง่ ปริมาณต่อไปนี้

1) ∀x[x2>0 ∨ x>0], U={-1,0,1}
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

2) ∀x[x2≥0 ∧ x>0], U={-1,0,1}
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งตน้ 87

3) ∃x[x2≥0 ∨ x≥0], U={-1,0,1}
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

4) ∃x[x2>0 → x>0], U={-1,0,1}
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

5) ∀x[x2>0] ∧ ∃x[x>0], U={-1,0,1}
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

88 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4

6) ∃x[x เปน็ จำ�นวนคู่]∧∀x[x เป็นจ�ำ นวนตรรกยะ], U={3,4,5}

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

7) ∃x[x≠1] ∨ ∀x[x≠1], U=R

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

8) ∃x[x2>0] → ∃x[|x|<0], U=R

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

ตอนท่ี 1 ตอนท่ี 2 ตอนท่ี 3 ตอนที่ 4 รวมคะแนน คิดเปน็ ร้อยละ

คะแนนเตม็ 8 8- - 16

คะแนนทไ่ี ด้

แบบฝกึ ทกั ษะ ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น 89

11. สมมลู และนเิ สธของประโยคทม่ี ีตัวบ่งปริมาณ

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

1. นักเรยี นสามารถตรวจสอบประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณที่สมมลู กัน
2. นักเรยี นสามารถหานเิ สธของประโยคทมี่ ีตวั บง่ ปริมาณที่ก�ำ หนดใหไ้ ด้

90 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

11 สมมลู และนเิ สธ
ของประโยคท่มี ีตัวบง่ ปริมาณ

1 การสมมูลกนั ของประโยคทม่ี ีตัวบง่ ปรมิ าณ

การสมมูลกันของประโยคทมี่ ีตวั บ่งปริมาณ จะพจิ ารณาประโยคเปดิ น้นั วา่ สมมลู กนั หรอื ไม่
โดยการพจิ ารณาเหมือนกบั การสมมูลกนั ของประพจน์ ซง่ึ สามารถเปรยี บเทยี บรูปแบบการสมมลู
กนั ของประโยคเปดิ กบั การสมมูลของประพจนไ์ ด้ ดงั นี้

ประพจนท์ ี่สมมลู กนั สมมลู ของประโยคเปดิ

1) ~(~p) ≡ p ~[~P(x)] ≡ P(x)
2) p ∧ q ≡ q ∧ p P(x) ∧ Q(x) ≡ Q(x) ∧ P(x)
3) p ∨ q ≡ q ∨ p P(x) ∨ Q(x) ≡ Q(x) ∨ P(x)
4) p → q ≡ ~q →~p P(x)→Q(x) ≡ ~Q(x)→~P(x)

≡ ~p ∨ q ≡ ~P(x)∨Q(x)

5) p ↔ q ≡ q ↔ p P(x)↔Q(x) ≡ Q(x)↔P(x)

≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡[P(x)↔Q(x)]∧ [Q(x)↔P(x)]

6) ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨~q ~[P(x)∧Q(x)] ≡ ~P(x) ∨ ~Q(x)
7) ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧~q ~[P(x)∨Q(x)] ≡ ~P(x) ∧ ~Q(x)
8) ~(p → q) ≡ p ∧~q ~[P(x)∧Q(x)] ≡ ~P(x) ∨ ~Q(x)

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองตน้ 91

ประพจน์ทส่ี มมูลกนั สมมูลของประโยคเปิด
9) ~(p ↔ q) ≡ p ↔~q ~ [P(x)↔Q(x)] ≡ P(x) ↔ ~Q(x)

≡ ~p ↔ q ≡ ~P(x)↔ Q(x)
10) p ∧(q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) P(x)∧[Q(x)∨R(x)]≡ [P(x)∧ Q(x)]∨ [P(x)∧R(x)]
11) p ∨(q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) P(x)∨[Q(x)∧ R(x)]≡ [P(x)∨Q(x)] ∧ [P(x)∨R(x)]

ตัวอยา่ งที่ 1 จงพิจารณาว่า ∃x[P(x)→Q(x)] กบั ∃x~[P(x)∨Q(x)] สมมูลกันหรือไม่

วธิ ีท�ำ จาก p → q ≡ ~p ∨ q
จะได้ P(x)→Q(x) ≡ ~P(x)∨Q(x)
∃x[P(x)→Q(x)] ≡∃x~[P(x)∨Q(x)]
ดงั นนั้ ∃x[P(x)→Q(x)] สมมลู กบั ∃x~[P(x)∨Q(x)]

ตวั อยา่ งท่ี 2 พจิ ารณาว่า ∀x[x≥0→x2≥0] กับ ∀x[x2≥0→x<0] สมมลู กนั หรอื ไม่

วธิ ที �ำ ให้ P(x) แทน x≥0 Q(x) แทน x2≥0
จาก ∀x[x≥0 → x2≥0] จะได้ ∀x[P(x) → Q(x)]
∀x[x2≥0 → x<0] จะได้ ∀x[Q(x) → ~P(x)]
และจาก p → q ≡ ~q → ~p
P(x)→Q(x) ≡ ~Q(x) → ~P(x)
∀x[P(x) → Q(x)] ≡ ∀x[~Q(x) → ~P(x)]
∀x[x≥0 → x2≥0] ≡ ∀x[~(x2≥0) → ~(x≥0)]
∀x[x≥0 → x2≥0] ≡ ∀x[x2<0 → x<0]
ดงั นน้ั ∀x[x≥0 → x2≥0] ไม่สมมูลกบั ∃x[x2≥0 → x<0]

92 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4