แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

2 นเิ สธของประโยคที่มตี ัวบง่ ปริมาณ

นเิ สธของประโยคทม่ี ตี ัวบ่งปริมาณ ซ่ึงใชว้ ธิ กี ารเดียวกนั กับนเิ สธของประพจน์ นิเสธ p คอื
~p และประพจนท์ ีเ่ ป็นนเิ สธตอ้ งมีค่าความจรงิ ตรงข้ามกันทุกกรณี ในประโยคท่มี ตี วั บ่งปริมาณ
จะตกลงให้เตมิ “~” ข้างหน้าประโยค เชน่

นเิ สธของ ∀x[P(x)] คือ ~∀x[P(x)] ≡ ∃x~[P(x)]
นิเสธของ ∃x[P(x)] คอื ~∃x[P(x)] ≡ ∀x~[P(x)]

ตัวอย่างท่ี 3 3 จงหานิเสธของประโยค ∃x[P(x) ∨ ~Q(x)]

วิธีทำ� นเิ สธของ ∃x[P(x)∨~Q(x)] คือ ~∃x[P(x)∨~Q(x)]
จะได้ ~∃x[P(x) ∨ ~Q(x)] ≡ ∀x[~{P(x) ∨ ~Q(x)}]
≡ ∀x[~P(x)∧Q(x)]
ดังนั้น นเิ สธของ ∃x[P(x)∨~Q(x)] คอื ∀x[~P(x)∧Q(x)]

ตวั อย่างท่ี 4 จงหานิเสธของประโยค ∀x[(x+5=3) → (3-x=5)]

วิธีท�ำ นเิ สธของ ∀x[(x+5=3) → (3-x=5)] คือ ~∀x[(x+5=3) → (3-x=5)]

จะได้ ~∀x[(x+5=3) → (3-x=5)] ≡ ∃x[~{(x+5=3)→(3-x=5)}]

≡ ∃x[(x+5=3) ∧ ~(3-x=5)]

≡ ∃x[(x+5=3) ∧ 3-x≠5]

ดงั น้ัน นิเสธของ ∀x[(x+5=3) → (3-x=5)] คอื ∃x[(x+5=3) ∧ 3-x≠5]

แบบฝกึ ทักษะ ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งตน้ 93

แบบฝึกทกั ษะท่ี 11

1ตอนที่ จงตรวจสอบว่าประโยคในแต่ละคู่นส้ี มมลู กนั หรอื ไม่

1) ∀x[P(x) → Q(x)] กบั ∃x[~Q(x) → ~P(x)]
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

2) ∀x[3x+1>0] กับ ~∃x[3x+1≤5]
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

94 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4

3) ∃x[x+4=7 ∧ x∊N] กับ ∃x[x+4≠7 ∧ x⊄N]
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

4) ∀x[x∊I] → ∃x[x∊N] กบั ∀x[x∊N]→∃x[x∊Z]
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
____________________________________________________________________

5) ∀x[x∊I ∧ x+2=5] กบั ∀x[x+2=5 ∧ x∊Z]
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น 95

6) ∀x[x>2 → x2>4] กับ ∃x[x2≤4 → x≤2]
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

7) ~∀x[ X =9 → x=3] กบั ∃x[ X =9 ∧ x≠3]
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

8) ∃x[x=2 ↔ x3=8] กับ ∃x[(x=2→x3=8)∧(x3=8 → x=2)]
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

96 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4

2ตอนที่ จงหานิเสธของประโยคในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี เมื่อ U=R

ประโยคทีม่ ีตวั บ่งปรมิ าณ นิเสธของประโยคทมี่ ีตัวบ่งปรมิ าณ
1) ∀x[x+3≤9]
2) ∃x[x2>0] ____________________________________
3) ∀x[x-1>0] ____________________________________
4) ∃x[4x-2≥ 5] ____________________________________
5) ∃x[x≤0 → x2≥0] ____________________________________
6) ∀x[x≠1] → ∃x[x>1] ____________________________________
7) ∃x[(x>3) ∨ ~(x+2≥2)] ____________________________________
8) ∀x[P(x) ∧ Q(x)] ____________________________________
9) ∃x[x-3≤0] → ∃y[y+5≥0] ____________________________________
10) ∃x[x=0 ]∨ ∀x[x2≥0] ____________________________________
11) ∃x[x-3≤0] → ∃y[y+5≥1] ____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________

แบบฝึกทกั ษะ ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้น 97

ประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปริมาณ นิเสธของประโยคท่มี ีตัวบ่งปริมาณ

12) ∀x[x>0 ∨ ~(x-2≤0) ] ____________________________________

____________________________________

13) ∃x[~P(x) ∧ Q(x)] ____________________________________

____________________________________

14) ∀x∃y[P(x,y)] ____________________________________

____________________________________

15) ∃x∀y[P(x)→Q(x)] ____________________________________

____________________________________

16) ∃x∀y∀z[xyz = x+y+z] ____________________________________

____________________________________

17) ∀x∀y∀z[xyz = 0] ____________________________________

____________________________________

18) จำ�นวนตรรกยะทุกจ�ำ นวนเปน็ จ�ำ นวนจรงิ ____________________________________

____________________________________

19) จำ�นวนนับบางจำ�นวนเปน็ จ�ำ นวนคู่ ____________________________________

____________________________________

20)จำ�นวนเตม็ บางจ�ำ นวนเป็นจ�ำ นวนตรรกยะ ____________________________________

____________________________________

คะแนนเต็ม ตอนท่ี 1 ตอนท่ี 2 ตอนที่ 3 ตอนที่ 4 รวมคะแนน คดิ เป็นร้อยละ
คะแนนที่ได้ 8 20 - - 28

98 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

บรรณานุกรม

จนิ ดา อยเู่ ป็นสขุ , (2
553). คู่มอื เตรียมสอบคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ เลม่ 1 ชนั้ ม. 4 -6.
กรุงเทพฯ : สำ�นกั พมิ พภ์ มู ิบัณฑิต
ณรงค์ ป้ันนิ่ม, ศ.ดร. และคณะ. (2559). หนงั สอื เรยี นรายวิขาเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์
ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4-6 เล่มที่ 1. พมิ พ์ครง้ั ท ่ี 1. กรุงเทพมหานคร : ไทยรม่ เกลา้ ,
ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา, (2555). หนังสือเรยี นเสรมิ คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม. 4 ภาคเรียนท่ี 1.
กรุงเทพฯ : ส�ำ นักพิมพแ์ มค็
ธนวฒั น์ สนทราพรพล, (2554). แบบฝกึ ทักษะและวธิ คี ิดเลขเรว็ คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ

เล่ม 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4-6. พมิ พ์ครั้งท ี่ 1. กรงุ เทพมหานคร : ไซนเ์ ซนเตอร์
ฝา่ ยวิชาการดอกหญา้ วชิ าการ, (2553). แบบฝึกตวิ เข้ม คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 เลม่ ท่ี 1. พมิ พค์ ร้งั ท่ี 1. กรุงเทพมหานคร : ดอกหญา้ วชิ าการ
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี,กระทรวงศึกษาธิการ. (2555).
หนังสอื เรยี นราขวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4-6.
พิมพค์ รั้งท่ี 4. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว

แบบฝึกทักษะ ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้ 99