ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค คณิตศาสตรเพิ่มเติม n a Sn S∞ ∑ n lim →∞ ⊕
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค คณิตศาสตรเพิ่มเติม ความหมายของลําดับ พิจารณาตัวอยางตอไปนี้ 1 สุนียเก็บเงินทุกเดือน เดือนละ 500 บาท เปนเวลา 8 เดือน เขียนตารางแสดงจํานวนเงินสะสมในแตละเดือน ไดดังนี้ เดือนที่ จํานวนเงินสะสม (บาท) 1 500 2 1,000 3 1,500 4 2,000 5 2,500 6 3,000 7 3,500 8 4,000 โดเมน {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} เรนจ {500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000}
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ความหมายของลําดับ พิจารณาตัวอยางตอไปนี้ 2 จํานวนแบคทีเรียที่เพิ่มขึ้นดวยการแบงเซลลจากหนึ่งเปนสอง โดยเริ่มตนมีแบคทีเรียหนึ่งเซลลและแบงเซลล ทุกวินาที เขียนตารางแสดงจํานวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผานไปในแตละวินาทีไดดังนี้ เวลาที่ผานไป (วินาที) จํานวนแบคทีเรีย (เซลล) 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 … … โดเมน {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, n, …} เรนจ {2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 2n , …} นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ความหมายของลําดับ ลําดับ (sequence) คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} หรือมีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก ในการเขียนแสดงลําดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจเรียงกัน ถา a เปนลําดับ a(1) = a1 พจนที่ 1 ของลําดับ a(2) = a2 พจนที่ 2 ของลําดับ a(3) = a3 พจนที่ 3 ของลําดับ a(n) = a n พจนที่ n ของลําดับ … หรือ พจนทั่วไปของลําดับ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ความหมายของลําดับ ลําดับที่มีโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} เรียกวา ลําดับจํากัด (finite sequence) ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก เรียกวา ลําดับอนันต (infinite sequence) จงพิจารณาวา ลําดับในแตละขอตอไปนี้เปนลําดับจํากัดหรือลําดับอนันต 1 2 3 4 7, 14, 21, 28, 35, 42 1, 3, 5, 7, 9, …, 99 6, 11, 16, 21, 26, …, 5n + 1, … 4, 9, 16, 25, 36, …, (n + 1) 2 , … ลําดับจํากัด a1 , a2 , a3 , …, an ลําดับอนันต a1 , a2 , a3 , …, an , … ลําดับจํากัด ลําดับจํากัด ลําดับอนันต ลําดับอนันต นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม การเขียนแสดงลําดับ การเขียนแสดงลําดับโดยเขียนแจกแจงพจนของลําดับ กรณีที่เปนลําดับจํากัดและมีพจนไมมาก จะใชวิธีเขียนพจนทั้งหมดของลําดับ เชน หยอดเงินในกระปุกออมสินวันละ 5 บาท จํานวนเงินในกระปุก 7 วันแรกสามารถเขียนเปนลําดับไดดังนี้ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 กรณีที่เปนลําดับจํากัดแตมีจํานวนพจนมาก อาจเขียนเพียงพจนแรก ๆ และใชเครื่องหมาย … เพื่อละพจนกลาง ๆ ไว แลวเขียนพจนสุดทายกํากับ เชน จํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 100 เขียนเปนลําดับไดดังนี้ 1, 2, 3, …, 100 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม การเขียนแสดงลําดับ การเขียนแสดงลําดับโดยเขียนแจกแจงพจนของลําดับ กรณีที่เปนลําดับอนันต จะเขียนเพียงพจนแรก ๆ และใชเครื่องหมาย … เพื่อละพจนตอ ๆ ไป โดยตองเปนที่เขาใจ ตรงกันวา พจนที่ละไวหมายถึงอะไร เชน จํานวนแบคทีเรียที่เพิ่มขึ้นดวยการแบงเซลลจากหนึ่งเปนสอง โดยเริ่มตนมีแบคทีเรียหนึ่งเซลลและแบง ทุกวินาที เขียนจํานวนแบคทีเรียในวินาทีที่ 1, 2, 3, 4, 5, … เปนลําดับไดดังนี้ 2, 4, 8, 16, 32, … นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม การเขียนแสดงลําดับ การเขียนแสดงลําดับโดยเขียนพจนทั่วไปของลําดับ หยอดเงินในกระปุกออมสินวันละ 5 บาท เปนเวลา 7 วัน จํานวนเงินในกระปุกในวันที่ n เขียนเปนลําดับไดดังนี้ a n = 5n เมื่อ n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} จํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 100 เขียนเปนลําดับไดดังนี้ a n = n เมื่อ n ∈ {1, 2, 3, …, 100} จํานวนแบคทีเรียที่เพิ่มขึ้นดวยการแบงเซลลจากหนึ่งเปนสอง โดยเริ่มตนมีแบคทีเรียหนึ่งเซลลและแบงทุกวินาที เขียนจํานวนแบคทีเรียในวินาทีที่ n เปนลําดับไดดังนี้ a n = 2n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม การเขียนแสดงลําดับ จงหาสี่พจนแรกของลําดับที่ an = 3n – 2 แทน n ใน an = 3n – 2 ดวย 1, 2, 3 และ 4 จาก a = 3n – 2 n จะได a = 3(1) – 2 1 = 1 a = 3(2) – 2 2 = 4 a = 3(3) – 2 3 = 7 a = 3(4) – 2 4 = 10 ดังนั้น สี่พจนแรกของลําดับนี้ คือ 1, 4, 7 และ 10 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม การเขียนแสดงลําดับ จงหาหกพจนแรกของลําดับที่ an = n + (–1) n n แทน n ใน an = n + (–1) n n ดวย 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 = n + (–1) n จาก a n n = 1 + (–1) 1 จะได a (1) 1 = 0 ดังนั้น หกพจนแรกของลําดับนี้ คือ 0, 4, 0, 8, 0 และ 12 = 2 + (–1) 2 a (2) 2 = 4 = 3 + (–1) 3 a (3) 3 = 0 = 4 + (–1) 4 a (4) 4 = 8 = 5 + (–1) 5 a (5) 5 = 0 = 6 + (–1) 6 a (6) 6 = 12 a = n 2n 0 เมื่อ n เปนจํานวนคู เมื่อ n เปนจํานวนคี่ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม การเขียนแสดงลําดับ การเขียนแสดงลําดับโดยใชความสัมพันธเวียนเกิด เมื่อกําหนดพจนเริ่มตนจํานวนหนึ่งพรอมกับสูตรการหาพจนถัดไปจากพจนกอนหนา จะเรียกการกําหนดลําดับ ดวยวิธีนี้วา การนิยามโดยใช ความสัมพันธเวียนเกิด (recurrence relation) นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม การเขียนแสดงลําดับ กําหนดลําดับ a n ซึ่ง a1 = 2 และ a n = a n – 1 + 3 เมื่อ n ≥ 2 จงหาหาพจนแรกของลําดับนี้ แทน n ใน a n = a n – 1 + 3 ดวย 2, 3, 4 และ 5 = a1 จะได a + 3 2 = 5 = a2 a + 3 3 = 8 = a3 a + 3 4 = 11 = a4 a + 3 5 = 14 ดังนั้น หาพจนแรกของลําดับนี้ คือ 2, 5, 8, 11 และ 14 = 2 + 3 = 5 + 3 = 8 + 3 = 11 + 3 = a2 – 1 + 3 = a3 – 1 + 3 = a4 – 1 + 3 = a5 – 1 + 3 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม การเขียนแสดงลําดับ กําหนดลําดับ b n ซึ่ง b1 = 1 และ b n = nb n – 1 เมื่อ n ≥ 2 จงหาหกพจนแรกของลําดับนี้ แทน n ใน b n = nb n – 1 ดวย 2, 3, 4, 5 และ 6 = 2b1 จะได b2 = 2 = 3b2 b3 = 6 = 4b3 b4 = 24 = 5b4 b5 = 120 ดังนั้น หกพจนแรกของลําดับนี้ คือ 1, 2, 6, 24, 120 และ 720 = 2(1) = 3(2) = 4(6) = 5(24) = 2b2 – 1 = 3b3 – 1 = 4b4 – 1 = 5b5 – 1 = 6b5 b6 = 6b = 6(120) = 720 6 – 1 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม การเขียนแสดงลําดับ การเขียนแสดงลําดับโดยบอกเงี่อนไขของลําดับหรือสมบัติของพจนของลําดับ a n เปนจํานวนเฉพาะตัวที่ n 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … b n เปนทศนิยมตําแหนงที่ n ของ π 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, … นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต ลําดับเลขคณิต (arithmetic sequence) คือ ลําดับซึ่งมีผลตางที่ไดจากการนําพจนที่ n + 1 ลบดวย พจนที่ n เปนคาคงตัวที่เทากัน สําหรับจํานวนเต็มบวก n และเรียกคาคงตัวที่เปนผลตางนี้วา ผลตางรวม (common different) ลําดับ a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลําดับเลขคณิต ก็ตอเมื่อ มีคาคงตัว d ที่ทําให an + 1 – a n = d สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n ตัวอยางของลําดับเลขคณิต 1 5, 10, 15, 20, 25, …, 5n, … d = 5 2 1, 1, 1, 1, 1, … d = 0 3 5, 3, 1, –1, –3, … d = –2 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต กําหนดลําดับ a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลําดับเลขคณิต จาก an + 1 – a n = d จะได an + 1 = a n + d a2 = a1 นั่นคือ + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d a n = a n – 1 + d = a1 + (n – 1)d … พจนที่ n ของลําดับเลขคณิต คือ a n = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 เปนพจนแรก และ d เปนผลตางรวมของ ลําดับเลขคณิต นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต จงหาสี่พจนถัดไปของลําดับเลขคณิต –1, 6, 13, … จาก d = 6 – (–1) = a3 จะได a + d 4 = ดังนั้น สี่พจนถัดไปของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 20, 27, 34 และ 41 = 7 และ a = 13 3 13 + 7 = 20 = a4 a + d 5 = 20 + 7 = 27 = a5 a + d 6 = 27 + 7 = 34 = a6 a + d 7 = 34 + 7 = 41 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต ถาลําดับเลขคณิตมี a1 = 22 และ a2 = 35 จงหาพจนที่ 100 ของลําดับนี้ = a2 – a1 จาก d จะได a = 22 + (100 – 1)(13) 100 ดังนั้น พจนที่ 100 ของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 1,309 = a1 และ a + (n – 1)d n = 35 – 22 = 13 = 22 + 1,287 = 1,309 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต จงหาพจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต 6, 2, –2, –6, … จาก d = 2 – 6 จะได a = 6 + (n – 1)(–4) n ดังนั้น พจนทั่วไปของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 10 – 4n = a1 และ a + (n – 1)d n = –4 = 6 – 4n + 4 = 10 – 4n นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต ถาลําดับเลขคณิตมีพจนที่ 5 คือ 3 และพจนที่ 10 คือ 13 จงหาพจนที่ 100 = a1 จาก a + (n – 1)d n ดังนั้น พจนที่ 100 ของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 193 = 193 = a1 13 + 9d = a1 3 + 4d = a1 จะได a + 99d 100 10 = 5d d = 2 = a1 3 + 4(2) a = –5 1 = –5 + 99(2) = –5 + 198 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต ถา 6 และ 10 เปนพจนสองพจนของลําดับเลขคณิตที่มีพจนอีกหนึ่งพจนอยูระหวางพจนทั้งสองนี้ จงหาพจนที่อยู ระหวางพจนทั้งสองนี้ ให a เปนพจนที่อยูระหวาง 6 และ 10 ดังนั้น พจนที่อยูระหวาง 6 และ 10 คือ 8 จะไดลําดับ 6, a, 10 เปนลําดับเลขคณิต นั่นคือ a – 6 = 10 – a 2a = 16 a = 8 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต จงหาวาจํานวนนับที่มากกวา 7 แตนอยกวา 1,610 ซึ่งหารดวย 6 ลงตัว มีทั้งหมดกี่จํานวน จํานวนแรก 12 จํานวนสุดทาย 1,608 12 , 18 , 24, …, 1608 ลําดับเลขคณิต d = 6 an = a1 จาก + (n – 1)d นั่นคือ n = 267 ดังนั้น จํานวนนับที่มากกวา 7 แตนอยกวา 1,610 ซึ่งหารดวย 6 ลงตัว มีทั้งหมด 267 จํานวน จะได 1,608 = 12 + (n – 1)(6) 1,596 = (n – 1)(6) 266 = n – 1 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต นภาเริ่มตนทํางานที่บริษัทแหงหนึ่ง ในปแรก นภาไดรับเงินเดือนเดือนละ 15,000 บาท ถานภาไดรับเงินเดือน เพิ่มขึ้นปละ 300 บาท จงหาวาในอีก 10 ปขางหนา นภาจะไดรับเงินเดือนเดือนละเทาใด เงินเดือนที่นภาไดรับในแตละป ดังนั้น ในอีก 10 ปขางหนา นภาจะไดรับเงินเดือนเดือนละ 18,000 บาท 15,000 15,300 15,600 a11 1 2 3 11 จะได a = 15,000 + 10(300) 11 = a1 จาก a + (n – 1)d n = 15,000 + 3,000 = 18,000 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเลขคณิต กําหนดลําดับเลขคณิต 1, 4, 7, 10, 13, … จงพิจารณาวา 12,345 อยูในลําดับนี้หรือไม สมมติให12,345 เปนพจนที่ n ตองการทราบวา n เปนเทาใด จาก an = a1 และ + (n – 1)d นั่นคือ n = ดังนั้น 12,345 ไมอยูในลําดับนี้ d = 4 – 1 = 3 นั่นคือ an = 12,345 จะได 12,345 = 1 + (n – 1)(3) 12,344 = (n – 1)(3) = n – 1 12,344 3 12,344 1 3 + ไมเปนจํานวนเต็ม นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต ลําดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือ ลําดับซึ่งมีอัตราสวนของพจนที่ n + 1 ตอพจนที่ n เปนคาคงตัว ที่เทากัน สําหรับจํานวนเต็มบวก n และเรียกคาคงตัวที่เปนอัตราสวนนี้วา อัตราสวนรวม (common ratio) ลําดับ a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลําดับเรขาคณิต ก็ตอเมื่อ มีคาคงตัว r ที่ทําให สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n n 1 n a r a + = ตัวอยางของลําดับเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, …, 2n – 1 1 , … r = 2 –1, 1, –1, 1, …, (–1) n 2 ,… r = –1 3 16, 8, 4, 2, 1, … r = 1 2 4 –1, 4, –16, 64, –256, … r = –4 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต กําหนดลําดับ a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลําดับเรขาคณิต จาก = r จะได an + 1 = a n r a2 = a1 นั่นคือ r a3 = a2 r = (a1 r)r = a1 r 2 a4 = a3 r = (a1 r 2 )r = a1 r 3 a n = a n – 1 r = a1 r n – 1 … พจนที่ n ของลําดับเรขาคณิต คือ a n = a1 r n – 1 เมื่อ a1 เปนพจนแรก และ r เปนอัตราสวนรวมของลําดับ เรขาคณิต n 1 n a a + นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต จงหาสี่พจนแรกของลําดับเรขาคณิตที่มี เปนพจนแรก และ 4 เปนอัตราสวนรวม จาก a = 1 = a1 จะได a r 2 = และ r = 4 = 3 = a2 a r 3 = 3(4) = 12 = a3 a r 4 = 12(4) = 48 3 4 3 4 3 ( 4 4) ดังนั้น สี่พจนแรกของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ , 3, 12 และ 48 3 4 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต จงหาพจนที่ 7 ของลําดับเรขาคณิต 4, 20, 100, … จาก r = = 4(57 – 1 จะได a ) 7 และ = 4(56 ) = 62,500 20 4 ดังนั้น พจนที่ 7 ของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ 62,500 = 5 = a1 r n – 1 an = 4(15,625) นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต จงหาพจนทั่วไปของลําดับเรขาคณิต 8, 16, 32, 64, … จาก r = = 8(2n – 1 จะได a ) n และ = 23 (2n – 1 ) = 2n + 2 16 8 ดังนั้น พจนทั่วไปของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ 2n + 2 = 2 = a1 r n – 1 an = 23 + n – 1 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต ถา 6 และ 24 เปนพจนสองพจนของลําดับเรขาคณิตที่มีพจนอีกพจนหนึ่งอยูระหวางพจนทั้งสองนี้ จงหาพจนที่อยู ระหวางพจนทั้งสองนี้ที่เปนไปไดทั้งหมด ให a เปนพจนที่อยูระหวาง 6 และ 24 จะไดลําดับ 6, a, 24 เปนลําดับเรขาคณิต จะได = a = 2 144 นั่นคือ a = 12 ดังนั้น พจนที่อยูระหวาง 6 และ 24 คือ 12 หรือ –12 a 6 24 a หรือ –12 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต จงหา a, b และ c ของลําดับเรขาคณิต 1 8, a, b, c, 2 จาก = 8r 4 จะได = r 4 นั่นคือ r = an = a1r n – 1 1 2 1 16 1 2 หรือ 1 2 − เมื่อ 1 r 2 = a, b และ c คือ 1 8 2 2 1 , 8 2 และ 3 1 8 2 หรือ 4, 2 และ 1 เมื่อ 1 r 2 = − a, b และ c คือ 1 8 2 − 2 1 , 8 2 − และ 3 1 8 2 − หรือ –4, 2 และ –1 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต ในเมืองหนึ่งมีประชากรอาศัยอยู 100,000 คน ถาจํานวนประชากรในเมืองนี้เพิ่มขึ้น 2% ทุกป ในอีก 10 ป ขางหนา จะมีจํานวนประชากรในเมืองนี้ประมาณกี่คน เริ่มตน 100,000 ครบ 1 ป 100,000 ครบ 2 ป + 100,000(0.02) = 100,000(1 + 0.02) = 100,000(1.02) 100,000(1.02) + 100,000(1.02)(0.02) = 100,000(1.02)(1 + 0.02) = 100,000(1.02) (1.02) = 100,000(1.02) 2 100000, 100000(1.02), 100000(1.02) 2 a11 1 2 3 11 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต ในเมืองหนึ่งมีประชากรอาศัยอยู 100,000 คน ถาจํานวนประชากรในเมืองนี้เพิ่มขึ้น 2% ทุกป ในอีก 10 ป ขางหนา จะมีจํานวนประชากรในเมืองนี้ประมาณกี่คน 100000, 100000(1.02), 100000(1.02) 2 a11 1 2 3 11 = 100,000(1.02) 11 – 1 จะได a11 จาก = 100,000(1.02) 10 ≈ 121,899 ดังนั้น ประชากรในอีก 10 ปขางหนามีจํานวนประมาณ 121,899 คน = a1 r n – 1 an ≈ 100,000(1.218994) นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับฮารมอนิก ลําดับฮารมอนิก (harmonic sequence) คือ ลําดับ a n ซึ่งมีสมบัติวา ลําดับของสวนกลับ เปนลําดับเลขคณิต n n 1 b a = จงแสดงวาลําดับที่ n เปนลําดับฮารมอนิก 2 a 3n = ให bn = n 1 a = 3n 2 จะได bn 1+ = 3(n 1) 2 + = 3n 3 2 + = 3n 3 2 2 + นั่นคือ b b n1 n + − = = 3n 3 3n 222 + − 3 2 คาคงตัว ลําดับเลขคณิต ดังนั้น ลําดับ an เปนลําดับฮารมอนิก นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลําดับเรขาคณิต กําหนดให an เปนลําดับฮารมอนิก ซึ่ง และ จงหา a 2 1 1 a 3 = 3 1 a 5 = = n 1 a n b ดังนั้น = 2 1 a 2 b = 3 = 3 1 a 3 b = 5 d = 2 2 b 1 b 3 b 1 3 5 = 1 1 b 1 a = 1 1 = 1 ลําดับเลขคณิต นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 an n 0 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต พิจารณากราฟของลําดับ เมื่อ n n 1 a 2 = an n 1 2 3 4 5 6 7 8 … 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 … นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
1 2 3 4 5 6 7 8 an 1 0 2 3 n ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต พิจารณากราฟของลําดับ เมื่อ n a 2 = นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 an n 0 an n 1 2 3 4 5 6 7 8 … ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต พิจารณากราฟของลําดับ เมื่อ n n ( 1) a 1 n − = + 9 8 0 3 … 2 2 3 5 4 4 5 7 6 6 7 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
1 2 3 4 5 6 7 8 an 5 0 10 15 n an n 1 2 3 4 5 6 7 8 … ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต พิจารณากราฟของลําดับ เมื่อ n a 2n 1 = − 1 3 5 7 9 11 13 15 … นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
1 2 3 4 5 6 7 8 an 0 –1 1 n ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต พิจารณากราฟของลําดับ เมื่อ n 1 n a ( 1) + = − นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต ให a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลําดับอนันต n n lim a L →∞ = ถา n มากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุดแลว a n เขาใกลหรือเทากับจํานวนจริง L เพียงจํานวนเดียวเทานั้น จะเขียน (อานวา ลิมิตของลําดับ a n เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด เทากับ L) และจะเรียก L วา ลิมิตของลําดับ (limit of a sequence) และกลาววาลําดับนี้มีลิมิตเทากับ L เรียกลําดับอนันตที่มีลิมิตวา ลําดับลูเขา (convergent sequence) และเรียกลําดับอนันตที่ไมใชลําดับลูเขาวา ลําดับลูออก (divergent sequence) นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต 1 2 3 4 n n 1 a 2 = จากกราฟของลําดับอนันตที่ผานมา จะไดวา n n lim a 0 →∞ = และ a n เปนลําดับลูเขา n a 2 = n n lim a 2 →∞ = และ a n เปนลําดับลูเขา n n lim a 1 →∞ = และ a n เปนลําดับลูเขา n n ( 1) a 1 n − = + n n lim a →∞ และ a n a 2n 1 n = − ไมมีคา เปนลําดับลูออก 5 n n lim a →∞ และ a n ไมมีคา เปนลําดับลูออก n 1 n a ( 1) + = − ลําดับแกวงกวัด (oscillating sequence) นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต จงหาลิมิตของลําดับเมื่อ 1 n 2 1 a n = 2 3 n a n = 1 n 2 1 a n = 1 1 , 4 1 , 9 1 , 16 , ... 2 1 , n , ... คาจะลดลงเรื่อย ๆ และเขาใกล 0 ดังนั้น 2 n 1 lim 0 →∞ n = 2 3 n a n = 1, 8 , 27, 64 , ... 3 , n , ... คาจะมากขึ้นเรื่อย ๆ และไมเขาใกลจํานวนใดเลย ดังนั้น 3 n lim n →∞ ไมมีคา นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต ให r เปนจํานวนจริงบวก จะไดวา และ ไมมีคา r n lim n →∞ จงหาลิมิตของลําดับ n n 1 a 2 = − n n 1 a 2 = − 1 2 − 1 , 4 1 , 8 − , ... n 1 , 2 − , ... ดังนั้น n n 1 lim 0 →∞ 2 − = r n 1 lim 0 →∞ n = an n 1 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต จงหาลิมิตของลําดับ n n 5 a 4 = − n n 5 a 4 = − 5 4 − 25 , 16 125 , 64 − , ... n 5 , 4 − , ... 1 2 3 4 5 6 7 8 –3 0 n 3 an ดังนั้น n n 5 lim →∞ 4 − ไมมีคา นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต จงหาลิมิตของลําดับ n n a 2 = ดังนั้น n n lim 2 →∞ ไมมีคา a n = 2n 2 , 4 , 8, …, 2n , … 1 2 3 4 5 2 4 6 8 a n n 0 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต ให r เปนจํานวนจริง จะไดวา 1 ถา r 1 < แลว n n lim r 0 →∞ = 2 ถา r 1 > แลว n n lim r →∞ ไมมีคา นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต ให a n , bn , tn เปนลําดับของจํานวนจริง A, B เปนจํานวนจริง และ c เปนคาคงตัวใด ๆ โดยที่ 1 ถา t n = c ทุกจํานวนเต็มบวก n แลว n n lim t c →∞ = 2 n n n n lim ca c lim a cA →∞ →∞ = = n n lim a A →∞ = และ จะไดวา n n lim b B →∞ = 3 4 5 6 nn n n n n n lim(a b ) lim a lim b A B →∞ →∞ →∞ + = + =+ nn n n n n n lim(a b ) lim a lim b A B →∞ →∞ →∞ − = − =− nn n n n n n lim(a b ) lim a lim b A B →∞ →∞ →∞ ⋅ = ⋅ =⋅ n n n n n n n lim a a A lim b lim b B →∞ →∞ →∞ = = ถา b n ≠ 0 ทุกจํานวนเต็มบวก n และ B ≠ 0 แลว นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
จงหาลิมิตของลําดับ เมื่อ n 5 a n = ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต จงหาลิมิตของลําดับ เมื่อ a n = 5 n n lim a →∞ = n lim 5 →∞ = 5 คาคงตัว n n lim a →∞ = n 5 lim →∞ n = n 1 5lim →∞ n = 5(0) = 0 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต จงหาลิมิตของลําดับ เมื่อ n n lim a →∞ = 2 3 2 n 4 3n n lim →∞ 2n 3n 5 − + − + 2 n 3 2 4 3n n a 2n 3n 5 − + = − + 3 n 3 2 3 3 3 4 3 n n n n n n − + 3 3 3 3 3 5 2 n n n n n − + = 3 3 2 n 3 3 4 31 n nnn lim 3 5 n 2 n n →∞ − + − + = 3 2 nnn 3 nn n 4 31 lim lim lim nnn 3 5 lim 2 lim lim n n →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ − + − + = 000 200 − + − + = 0 3 3 2 4 31 n n n n − + 3 3 n n 3 5 2 n − + = = นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค