ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต จงแสดงวาลําดับ เปนลําดับลูเขา n n lim a →∞ = n 3 2n lim →∞ n + = n n 3 lim lim 2 →∞ →∞ n + 3 2n n n + = 3 2 n + = 0 2 + = 2 ดังนั้น ลําดับนี้เปนลําดับลูเขา n 3 2n a n + = นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต จงแสดงวาลําดับ เปนลําดับลูเขา 3 n 3 3n n b 5n 17 − = + n n lim b →∞ = 3 3 n 3n n lim →∞ 5n 17 − + = 3 3 2 n 3n n − = ดังนั้น ลําดับนี้เปนลําดับลูเขา 3 3 3 17n 5n n − 3 2 n 3 3 1 n 3 n lim 17 n 5 n →∞ − − 2 n n 3 n n 1 lim 3 lim n 17 lim 5 lim n →∞ →∞ →∞ →∞ − − = 3 0 5 0 − − = 3 5 = = 3 2 1 n 3 n − 3 3 17 n 5 n − นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
จงตรวจสอบวาลําดับ เมื่อ เปนลําดับลูเขาหรือลําดับลูออก 2 n n a n 1 = + ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต ให a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลําดับซึ่ง a n ≠ 0 สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n ถา แลว ลําดับ a1 , a2 , a3 , …, an , … จะลูออก n n 1 lim 0 →∞ a = n n 1 lim →∞ a = 2 n n 1 lim →∞ n + = 2 n n 1 1 lim lim →∞ →∞ n n + = 0 2 2 n 1 n n + = 2 1 1 n n + ดังนั้น ลําดับ a n ลูออก นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต ให p(n) และ q(n) เปนพหุนามดีกรี k และ m ตามลําดับ ถา a n เปนลําดับที่อยูในรูปของเศษสวนพหุนาม ซึ่ง เมื่อ q(n) ≠ 0 แลว n p(n) a q(n) = 1 2 3 ถา แลว k m = n n r lim a →∞ s = ถา แลว k m < n n lim a 0 →∞ = ถา แลว ไมมีคา k m > n n lim a →∞ โดยที่ p(n) และ q(n) มีพจนที่มีเลขชี้กําลังสูงสุดเปน rnk และ snm ตามลําดับ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต จงหาลิมิตของลําดับเมื่อกําหนดพจนทั่วไปในแตละขอตอไปนี้ 2 n 3 2 4 3n n a 2n 3n 5 − + = − + 1 2 3 3 n 3 3n n b 5n 17 − = + 2 n n a n 1 = + 1 n n lim a →∞ = 2 3 2 n 4 3n n lim →∞ 2n 3n 5 − + − + = 0 2 n n lim b →∞ = 3 3 n 3n n lim →∞ 5n 17 − + = 3 5 3 n n lim a →∞ = 2 n n lim →∞ n 1+ ไมมีคา นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต จงหาลิมิตของลําดับ เมื่อ n n lim a →∞ = 2 3 n 2 n n a n1 n 3 = − + − = 2 3 3 2 n 3n n lim →∞ n n 3n 3 − − +−− −1 2 3 2 n n n1 n 3 − + − 22 3 2 n (n 3) n (n 1) (n 1)(n 3) −− + + − = 4 243 3 2 n 3n n n n 3n n 3 − −− −+− = 2 3 3 2 3n n n n 3n 3 − − +−− = = n a นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
จงหาลิมิตของลําดับ เมื่อ n 4n 1 a n 1 − = + ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม ลิมิตของลําดับอนันต ให a n เปนลําดับของจํานวนจริงที่มากกวาหรือเทากับศูนย L เปนจํานวนจริง และ m เปนจํานวนเต็มที่มากกวาหรือเทากับสอง จะไดวา ถา n แลว n lim a L →∞ = n n lim a →∞ = n 4n 1 lim →∞ n 1 − + = 4 = 2 m m m n n n n lim a lim a L →∞ →∞ = = = n 4n 1 lim →∞ n 1 − + นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรม ถา a1, a2, a3 …, an เปนลําดับจํากัดที่มี n พจน จะเรียกการเขียนแสดงการบวกของพจนทุกพจนของลําดับ ในรูป a1 + a2 + a3 + … + an วา อนุกรมจํากัด (finite series) พจนที่ 1 ของอนุกรม พจนที่ 2 ของอนุกรม พจนที่ 3 ของอนุกรม พจนที่ n ของอนุกรม 1 a 2 a 3 a n a นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรม ตัวอยางของอนุกรมจํากัด 1 2 3 1111 1 2456 ++++ เปนอนุกรมจํากัดที่ไดจากลําดับ 1111 1, , , , 2456 2 4 6 ... 2n +++ + เปนอนุกรมจํากัดที่ไดจากลําดับ n 11 1 1 ... 3 9 27 3 ++ ++ เปนอนุกรมจํากัดที่ไดจากลําดับ 2, 4, 6, ..., 2n n 11 1 1 , , , ..., 3 9 27 3 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรม S1 = 1 a S2 = 1 2 a a + S3 = 123 aaa + + S4 = 1234 aaaa +++ Sn = 1234 n a a a a ... a + + + ++ ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม นั่นคือ S1 แทนผลบวก 1 พจนแรกของอนุกรม S2 แทนผลบวก 2 พจนแรกของอนุกรม S3 แทนผลบวก 3 พจนแรกของอนุกรม S4 แทนผลบวก 4 พจนแรกของอนุกรม Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเลขคณิต อนุกรมที่ไดจากลําดับเลขคณิต เรียกวา อนุกรมเลขคณิต (arithmetic series) กําหนดให a1 , a2 , a3 , …, an เปนลําดับเลขคณิตที่มี d เปนผลตางรวม จะได Sn = 1 2 3 n1 n a a a ... a a + + ++ + − = 1 a 1 + + (a d) 1 + + (a 2d) + ... 1 + +− [a (n 1)d] 1 + +− [a (n 2)d] Sn Sn = n n1 3 2 1 a a ... a a a + ++ + + − = n a n + − (a d) n + − (a 2d) + ... n + −− [a (n 1)d] n + −− [a (n 2)d] Sn + = 1 n 2Sn (a a ) + 1 n + + (a a ) 1 n + + (a a ) + ... 1 n + + (a a ) n วงเล็บ = 1 n n(a a ) + = Sn 1 n n (a a ) 2 + นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเลขคณิต ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต a1 + a2 + a3 + … + an หาไดจากสูตร = Sn 1 n n (a a ) 2 + จงหาผลบวก 7 พจนแรกของอนุกรมที่ไดจากลําดับเลขคณิต 7, 15, 23, … จาก = Sn 1 n n (a a ) 2 + จะได = S7 7 (7 ) 2 + 55 = n a 1 a (n 1)d + − = 7 a 7( 1 + −7 )(8) = 7 48 + = 217 = 55 d = 8 ดังนั้น ผลบวก 7 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 217 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม ครูชํานาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมบักดองวิทยา คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเลขคณิต จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 10 + 13 + … + 157 จาก Sn = 1 n n (a a ) 2 + จะได S51 = (7 2 1 ) 5 +157 = n a 1 a (n 1)d + − 157 = 7 (n 1 ) + − )(3 150 = (n 1)( ) − 3 50 = n 1− n = 51 = 4,182 d = 3 ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 4,182 Facebook เพจ : คณิตครูไอ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเลขคณิต จงหาผลบวกของจํานวนคูตั้งแต 18 ถึง 482 จํานวนคูตามขอมูลในโจทย 18, 20, 22, …, 482 สิ่งที่โจทยตองการทราบ 18 + 20 + 22 + … + 482 d = 2 จาก = Sn 1 n n (a a ) 2 + จะได = S233 18 2 ( 2 3 ) 3 + 482 = n a 1 a (n 1)d + − 482 = 18 + − (n 1)( ) 2 464 = (n 1)( ) − 2 232 = n 1− n = 233 = 58,250 ดังนั้น ผลบวกของจํานวนคูตั้งแต 18 ถึง 482 คือ 58,250 482 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเลขคณิต จาก Sn = 1 n n (a a ) 2 + และ n a = 1 a (n 1)d + − จะได Sn = 1 1 n [a (a (n 1)d)] 2 + +− = 1 n [2a (n 1)d] 2 + − a1 , a2 , a3 , …, an เปนลําดับเลขคณิตที่มี d เปนผลตางรวม ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต คือ = Sn 1 n n (a a ) 2 + = Sn 1 n [2a (n 1)d] 2 + − 1 2 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเลขคณิต หอประชุมของโรงเรียนแหงหนึ่งมีเกาอี้จัดไวแถวแรก 12 ตัว แถวที่สอง 14 ตัว แถวที่สาม 16 ตัว เชนนี้ไปเรื่อย ๆ ถาจัดเกาอี้ไวในหอประชุมทั้งหมด 15 แถว จะมีเกาอี้ในหอประชุมนี้ทั้งหมดกี่ตัว 1 2 3 15 12 + 14 + 16 + … d = 2 จาก Sn = 1 n [2a (n 1)d] 2 + − จะได S15 = [2 ( 15 12 15 1) )] 2 ⋅+ − (2 = 390 ดังนั้น จะมีเกาอี้ในหอประชุมนี้ทั้งหมด 390 ตัว = (24 2 15 + 28)] 12 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมที่ไดจากลําดับเรขาคณิต เรียกวา อนุกรมเรขาคณิต (geometric series) กําหนดให a1 , a2 , a3 , …, an เปนลําดับเรขาคณิตที่มี r เปนอัตราสวนรวม จะได Sn = 1 2 3 n1 n a a a ... a a + + ++ + − = 1 a 1 + a r 2 1 + a r + ... n 1 1 a r − + n 2 1 a r − Sn + n rS = = n n rS S− = n 1 a (r 1) − n (r 1)S − = 1 a r 2 1 + a r 3 1 + a r + ... n 1 + a r n 1 1 a r − + n 1 a r 1 − a Sn n 1 a (r 1) r 1 − −เมื่อ r 1 ≠ Sn = n 1 a (1 r ) 1 r − −เมื่อ r 1 ≠ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเรขาคณิต ให a1, a2, a3, …, an เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่งมี r เปนอัตราสวนรวม ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ เมื่อ n 1 n a (1 r ) S 1 r − = − จงหาผลบวก 8 พจนแรกของอนุกรมที่ไดจากลําดับเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, … จาก = Sn n 1 a (1 r ) 1 r − − จะได = S8 8 1 1 2 2 ( ) 1 − − r = 2 ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ คือ 255 r 1 ≠ 1 = − − (1 256) = 255 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเรขาคณิต จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนุกรมที่ไดจากลําดับเรขาคณิต 11 1 1 , , , , ... 2 6 18 54 1 2 r = 1 3 จาก = Sn n 1 a (1 r ) 1 r − − จะได = S10 10 2 1 3 1 3 1 1 1 − − ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ คือ = = 10 1 3 1 2 3 1 2 − 10 3 1 1 4 3 − 10 3 1 1 4 3 − = 10 1 1 2 3 2 3 1 − นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเรขาคณิต จงหาผลบวกของอนุกรมที่ไดจากลําดับเรขาคณิต 111 1 1, , , , ..., 2 4 8 256 1 r = 1 2 ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ คือ 511 256 1 256 จาก = Sn n 1 a (1 r ) 1 r − − จะได = S9 9 1 1 2 1 2 1 1 − − = = 511 512 1 2 511 256 = 1 1 512 1 2 − = n a n 1 1 a r − = 1 256 n 1 1 2 1 − = 8 1 2 n 1 1 2 − 8 = n 1− n = 9 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเรขาคณิต กานตั้งใจจะออมเงินเพื่อซื้ออุปกรณกีฬา โดยวันแรกจะออม 20 บาท วันที่สอง 40 บาท วันที่สาม 80 บาท เชนนี้ไปเรื่อย ๆ เมื่อครบ 7 วัน กานจะมีเงินออมทั้งหมดเทาใด 1 2 3 7 20 + 40 + 80 + … r = 2 จาก = Sn n 1 a (1 r ) 1 r − − จะได = S7 7 20 2 2 (1 ) 1 − − = − − 20(1 128) = 2,540 ดังนั้น เมื่อครบ 7 วัน กานจะมีเงินออมทั้งหมด 2,540 บาท นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเรขาคณิต วรรัตนเปนแพทยหญิงบรรจุใหมที่โรงพยาบาลแหงหนึ่งในชนบทซึ่งเปนบานเกิดของเธอ ในความเปนจริงแลว วรรัตนสามารถเลือกที่จะบรรจุที่โรงพยาบาลใหญในกรุงเทพ ฯ ไดเพราะมีผลการเรียนดีเดน แตเธอเลือกที่จะ กลับมาพัฒนาบานเกิดตามอุดมการณของเธอ และดูแลบิดามารดาอยางใกลชิด โดยวรรัตนจะใหเงินบิดามารดา ไวจายสวนตัวเดือนละ 2,000 บาท และจะเพิ่มเงินใหรอยละ 7 ตอป จงหาวา ในปที่ 7 วรรัตนจะใหเงินบิดามารดาเดือนละเทาใด เมื่อเวลาผานไป 15 ป วรรัตนใหเงินบิดามารดารวมแลวเปนเงินเทาใด 1 2 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเรขาคณิต ให a1 , a2 , a3 , … เปนเงินรายเดือนที่วรรัตนใหบิดามารดาในปที่ 1, 2, 3, … จะไดวา a1 = ตองการทราบ a7 2,000 a2 = 2,000 + 2,000(0.07) = 2,000(1 + 0.07) = 2,000(1.07) a3 = = 2,000(1.07)(1 + 0.07) 2,000(1.07) + 2,000(1.07)(0.07) = 2,000(1.07) 2 2000, 2000(1.07), 2000(1.07) 2 , … a7 = 2,000 1.07 1.07 (1.07) 6 » 2,680 ดังนั้น ในปที่ 7 วรรัตนจะใหเงินบิดามารดาประมาณเดือนละ 2,680 บาท 1 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมเรขาคณิต ให a1 , a2 , a3 , … เปนเงินรวมที่วรรัตนใหบิดามารดาในปที่ 1, 2, 3, … จะไดวา a1 = 12(2,000) a2 = 12(2,000)(1.07) a3 = 12(2,000)(1.07) 2 12(2,000), 12(2,000)(1.07), 12(2,000)(1.07) 2 , … » 1.07 1.07 517,885.53 ดังนั้น เมื่อเวลาผานไป 15 ป วรรัตนใหเงินบิดามารดารวมเปนเงินประมาณ 517,885.53 บาท จาก = Sn n 1 a (1 r ) 1 r − − จะได = S15 15 12( )[(1 ( ) ] 2, 1.07 1 07 000 1. − − 2 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต ถา a1, a2, a3 , …, an, … เปนลําดับอนันต จะเรียกการเขียนแสดงการบวกในรูป a1 + a2 + a3 + … + an + … วา อนุกรมอนันต (infinite series) พจนที่ 1 ของอนุกรม พจนที่ 2 ของอนุกรม พจนที่ 3 ของอนุกรม พจนที่ n ของอนุกรม 1 a 2 a 3 a n a นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต ตัวอยางของอนุกรมอนันต 1 2 3 11 1 1 ... ... 3 5 2n 1 ++++ + −เปนอนุกรมอนันตที่ไดจากลําดับอนันต 11 1 1, , , ..., , ... 3 5 2n 1− 4 8 12 ... 4n ... ++ + + + เปนอนุกรมอนันตที่ไดจากลําดับอนันต n 111 1 ... ... 248 2 ++++ + เปนอนุกรมอนันตที่ไดจากลําดับอนันต 4, 8, 12, ..., 4n, ... n 111 1 , , , ..., , ... 248 2 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต พิจารณาอนุกรมอนันต n 111 1 1 ... ... 2 4 8 16 2 +++ ++ + S2 = 1 1 2 4 + = 3 4 = 0.75 S3 = 111 248 + + = 7 8 = 0.875 S4 = 111 1 2 4 8 16 +++ = 15 16 = 0.9375 S5 = 111 1 1 2 4 8 16 32 +++ + = 31 32 = 0.96875 k Sk 5 0.96875 10 0.99902344 15 0.99996948 20 0.99999905 25 0.99999997 ∞ 1 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต กําหนด a1 + a2 + a3 + … + an + … เปนอนุกรมอนันต ให a1 S = 1 a1 + a2 S = 2 a1 + a2 + a3 S = 3 a1 + a2 + a3 + … + an S = n เรียก Sn วา ผลบวกยอย (partial sum) n พจนแรกของอนุกรม เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก เรียกลําดับอนันต S1, S2, S3 , …, Sn, … วา ลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม (sequence partial sums) นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จากอนุกรมอนันต n 111 1 1 ... ... 2 4 8 16 2 +++ ++ + S2 = 1 1 2 4 + = 3 4 S3 = 111 248 + + = 7 8 S4 = 111 1 2 4 8 16 +++ = 15 16 S1 = 1 2 Sn = n 1 a (1 r ) 1 r − − = n 1 1 1 2 2 1 1 2 − − = n 1 1 2 − 1 2 3 , 4 7 , 8 15 , 16 , ... n 1 , 1 2 ลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม − , ... Sn = n n 1 lim 1 →∞ 2 − n n lim S →∞ = n n n 1 lim 1 lim →∞ →∞ 2 − = 1 n 111 1 1 ... ... 2 4 8 16 2 +++ ++ + = 1 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต กําหนดอนุกรมอนันต a1 + a2 + a3 + … + an + … ให S1, S2, S3 , …, Sn, … เปนลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ ถาลําดับ Sn เปนลําดับลูเขา โดย เมื่อ S เปนจํานวนจริง n n lim S S →∞ = แลวจะกลาววาอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … เปน อนุกรมลูเขา (convergent series) และเรียก S วา ผลบวกของอนุกรม ถาลําดับ Sn เปนลําดับลูออก จะกลาววาอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … เปน อนุกรมลูออก(convergent series) นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จงพิจารณาวาอนุกรม 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + … เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาเปนอนุกรมลูเขา จงหาผลบวกของอนุกรม และ = Sn 1 n n (a a ) 2 + จะได ดังนั้น อนุกรมอนันตที่กําหนดใหเปนอนุกรมลูออก จากอนุกรม 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + … อนุกรมเลขคณิต = Sn n [1 (2n 1)] 2 + − = 2 n = n n lim S →∞ 2 n lim n →∞ ไมมีคา นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จงพิจารณาวาอนุกรม เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาเปนอนุกรมลูเขา จงหาผลบวกของอนุกรม และ = Sn จะได ดังนั้น อนุกรมอนันตที่กําหนดใหเปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ จากอนุกรม อนุกรมเรขาคณิต = Sn = n n lim S →∞ n n 1 1 lim 1 →∞ 3 10 − n 33 3 3 ... ... 10 100 1,000 10 + + ++ + n 33 3 3 ... ... 10 100 1,000 10 + + ++ + n 1 a (1 r ) 1 r − − n 3 1 1 10 10 1 1 10 − − = n 1 1 1 3 10 − = 1 3 1 3 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จงหาผลบวกยอยสิบพจนแรกของอนุกรม จะได Sn ดังนั้น ผลบวกยอยสิบพจนแรกของอนุกรมนี้เทากับ ให 234 n 1 3 2 3 3 3 4 3 ... n 3 ... ⋅+⋅ +⋅ +⋅ + +⋅ + = 234 n 1 3 2 3 3 3 4 3 ... n 3 ⋅+⋅ +⋅ +⋅ + +⋅ n 3S = 2 3 4 5 n1 3 2 3 3 3 4 3 ... n 3 + +⋅ +⋅ +⋅ + +⋅ S 3S n n − = n −2S = n 3(1 3 ) 1 3 − − n 1 n 3 + − ⋅ Sn = 3 n (1 3 ) 4 − n n 1 3 2 + + ⋅ นั่นคือ S10 = 3 10 11 (1 3 ) 3 10 4 2 − +⋅ = = 3 19 11 3 4 4 + ⋅ 3 19 11 3 4 4 + ⋅ 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 + 3 + ... n + 3 n 1 n 3 + − ⋅ 3 4 11 3 4 − 20 11 3 4 + ⋅ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จงหาผลบวกยอยยี่สิบพจนแรกของอนุกรม จะได Sn ให n 11 1 1 1 1 2 3 4 ... n ... 3 9 27 81 3 ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ + +⋅ + = n 11 1 1 1 1 2 3 4 ... n 3 9 27 81 3 ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ + +⋅ n 1 S 3 = n 1 11 1 1 1 1 2 3 4 ... n 9 27 81 243 3 + ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ + +⋅ n 2 S 3 = = n 1 1 1 3 3 1 1 3 − − n 1 n 3 + − = n 1 1 1 2 3 − n 1 n 3 + − Sn = n 3 1 1 4 3 − n n 2 3 − ⋅ S20 = 20 20 3 1 1 43 2 20 3 − − ⋅ = = 20 20 3 3 40 4 43 43 − − ⋅ ⋅ = 20 3 43 4 43 − ⋅ 1 3 1 9 + 1 27 + 1 81 + + ... n 1 3 + n 1 1 n 3 + − ⋅ n 3 3⋅ 3 4 20 3 4 3 − ⋅ 20 10 3 − นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จงพิจารณาวาอนุกรม เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาเปนอนุกรมลูเขา จงหาผลบวกของอนุกรม จาก = Sn ดังนั้น อนุกรมอนันตที่กําหนดใหเปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 1 111 1 ... ... 1 2 2 3 3 4 n(n 1) + + ++ + ⋅ ⋅⋅ + 111 1 ... 1 2 2 3 3 4 n(n 1) + + ++ ⋅ ⋅⋅ + 1 1 1 2 − + 1 1 2 3 − + 1 1 3 4 − + ... + 1 1 n n1 − + = 1 1 n 1 − + = = n 1 lim 1 → ∞ n 1 − + n n lim S → ∞ จะได = 1 a n = 1 n(n 1) + = n1n n(n 1) + − + = n1 n n(n 1) n(n 1) + − + + = 1 1 n n1 − + นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จงพิจารณาวาอนุกรม เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาเปนอนุกรมลูเขา จงหาผลบวกของอนุกรม จาก = Sn ดังนั้น อนุกรมอนันตที่กําหนดใหเปนอนุกรมลูออก 11 1 1 1 ... ... 2 1 3 2 4 3 n n1 + + + ++ + + + + +− = n lim n → ∞ n n lim S → ∞ จะได 11 1 1 1 ... 2 1 3 2 4 3 n n1 + + + ++ + + + +− a n = 1 n n1 + − n n1 n n1 − − ⋅ − − = n n1 n (n 1) − − − −และ = n n1 − − = Sn 1 0 − + 2 1 − + 3 2 − + 4 3 − + ... + n n1 − − = n ไมมีคา นั่นคือ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จากอนุกรมเรขาคณิต a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 + … + a1r n – 1 + … เมื่อ a1 ≠ 0 พิจารณากรณี r 1 = จะได r = 1 หรือ r = –1 ถา r = 1 จะไดอนุกรมดังกลาวเปน ถา r = –1 a1 และลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมเปน , 0 , a1 , 0 , … ไมมีลิมิต a1 และลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมเปน , 2a1 , 3a1 , 4a1, … , na1, … ไมมีลิมิต a1 + a1 + a1 + a1 + … จะไดอนุกรมดังกลาวเปน a1 – a1 + a1 – a1 + … อนุกรมเรขาคณิต เมื่อ เปนอนุกรมลูออก r 1 = นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จากอนุกรมเรขาคณิต a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 + … + a1r n – 1 + … เมื่อ a1 ≠ 0 พิจารณากรณี r 1 ≠ = จะได Sn n 1 a (1 r ) 1 r − − = n 1 1 a ar 1 r − − = n 1 1 a ar 1r 1r − − − ถา r และ n = n lim S → ∞ n 1 1 n a ar lim → ∞ 1r 1r − − − = n 1 1 n n a ar lim lim → ∞ 1r 1r → ∞ − − − = 1 a 1 r − n 1 n n a r lim r 1 r − → ∞ − จะได n n lim r → ∞ = 0 < 1 นั่นคือ = n n lim S → ∞ 1 a 1 r − อนุกรมเรขาคณิต เมื่อ เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกของอนุกรมเทากับ r 1 < 1 a 1 r − นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จากอนุกรมเรขาคณิต a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 + … + a1r n – 1 + … เมื่อ a1 ≠ 0 พิจารณากรณี r 1 ≠ = จะได Sn n 1 a (1 r ) 1 r − − = n 1 1 a ar 1 r − − = n 1 1 a ar 1r 1r − − − ถา r และ n = n lim S → ∞ n 1 1 n a ar lim → ∞ 1r 1r − − − = n 1 1 n n a ar lim lim → ∞ 1r 1r → ∞ − − − = 1 a 1 r − n 1 n n a r lim r 1 r − → ∞ − จะได n n lim r → ∞ > 1 นั่นคือ n n lim S → ∞ ไมมีคา ไมมีคา อนุกรมเรขาคณิต เมื่อ เปนอนุกรมลูออก r 1 > นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
จงพิจารณาวาอนุกรม เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาเปนอนุกรมลูเขา จงหาผลบวกของอนุกรม n 1 24 8 2 1 ... ... 3 9 27 3 − − + + + +− + ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต กําหนดอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเรขาคณิต มี a1 เปนพจนแรก และr เปนอัตราสวนรวม ถา แลว อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรมเทากับ r 1 < 1 a 1 r − ถา แลว อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูออก r 1 ≥ เนื่องจากอนุกรมนี้เปนอนุกรมเรขาคณิต จะได ผลบวกของอนุกรมนี้คือ = , r 2 3 a1 = 1 = − 1 a 1 r − 2 1 1 3 − − = 1 5 3 = 3 5 ,r 1 < นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จงพิจารณาวาอนุกรม เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาเปนอนุกรมลูเขา จงหาผลบวกของอนุกรม เนื่องจากอนุกรมนี้เปนอนุกรมเรขาคณิต ดังนั้น อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูออก r n 1 n 2 8 32 128 2 ... ... 3 9 27 81 3 + ++ + ++ + 1 a = 2 3 = 4 3 r > 1 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต ถาปลอยลูกบอลจากความสูง 6 เมตร แลวลูกบอลกระดอนขึ้นมา 75% ของความสูงเดิมในแตละครั้ง จงหาระยะทางเคลื่อนที่ทั้งหมดในแนวตั้งของลูกบอล 6 เมตร S = 6 6 4 2 3 +⋅⋅ 2 6 2 3 4 +⋅ ⋅ 3 6 2 3 4 +⋅ ⋅ + ... = 2 3 33 3 6 12 12 12 ... 44 4 ++ + + = 2 3 33 3 6 12 ... 44 4 + +++ = 3 4 6 12 3 1 4 + − = 3 4 6 12 1 4 + = 6 12(3) + = 6 36 + = 42 ดังนั้น ระยะทางเคลื่อนที่ทั้งหมดในแนวตั้งของลูกบอล เทากับ 42 เมตร นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม อนุกรมอนันต จงเขียนทศนิยมซ้ํา ใหอยูในรูปเศษสวน = 5.427 5.427 5.4272727... = 5.4 0.027 0.00027 0.0000027 ... ++ + + = 357 27 27 27 5.4 ... 10 10 10 ++++ = 357 111 5.4 27 ... 10 10 10 + +++ = 1 1000 5.4 27 1 1 100 + − = 1 1000 5.4 27 99 100 + = 1 5.4 27 990 + = 3 5.4 110 + = 54 3 10 110 + = 597 110 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม สัญลักษณแสดงการบวก n i i 1 a = ∑ ∑ สัญลักษณแสดงการบวก (อานวา ซิกมา) 123 n a a a ... a + + ++ i i 1 a ∞ = a a a ... a ... 123 n + + ++ + ∑ ซัมเมชัน ai เมื่อ i มีคาเทากับ 1 ถึง n ซัมเมชัน ai เมื่อ i มีคาเทากับ 1 ถึง ∞ เรียกตัวแปร i ที่ปรากฏในสัญลักษณ หรือ วา ดัชนี (index) ซึ่งอาจจะใชตัวแปรอื่นแทน i ได n i i 1 a = ∑ i i 1 a ∞ = ∑ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม สัญลักษณแสดงการบวก จงเขียนสัญลักษณแสดงการบวกในแตละขอตอไปนี้ใหอยูในรูปการบวก 1 2 3 5 2 i 1 i = ∑ 4 k 1 (2k 1) = ∑ − k k 1 1 2 ∞ = ∑ 4 5 i 1 (i 3) ∞ = ∑ + 3 i 1 i ∞ = ∑ = 2 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 = (2 1 ⋅ −1 ) + ⋅− (2 1) 2 + ⋅− (2 1) 3 + ⋅− (2 1) 4 = 1 1 2 2 1 2 + 3 1 2 + 4 1 2 + + ... n 1 2 + + ... = (1+ 3) + + ( 3 2 ) + + ( 3 3 ) + ... + + ( 3 n ) + ... = 3 1 3 + 2 3 + 3 + ... 3 + n + ... นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม สัญลักษณแสดงการบวก พิจารณาสัญลักษณแสดงการบวกตอไปนี้ 4 i 1 (i 1)i = ∑ − = ( 1) ( 1) 1−⋅+ −⋅ + −⋅ + −⋅ 12 233 ( 1) ( 1) 4 4 = 0 2 6 12 +++ 3 i 0 i(i 1) = ∑ + = 0 0 11 2 2 ( 1) ( 1 ++ ++ ++ + ) ( 1) ( 1) 3 3 = 0 2 6 12 +++ จะพบวา และ ตางก็แทนอนุกรม 0 + 2 + 6 + 12 เชนเดียวกัน 4 i 1 (i 1)i = ∑ − 3 i 0 i(i 1) = ∑ + นั่นคือ ดัชนีที่กํากับไวในสัญลักษณแทนการบวกไมจําเปนตองเริ่มจาก 1 เสมอไป นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
จงหาคา 4 2 i 1 (i i 1) = ∑ − + ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม สัญลักษณแสดงการบวก จงแสดงวา 10 i 1 3 30 = ∑ = 10 i 1 3 = ∑ = 3 3 3 ... 3 +++ + 10 ตัว = 30 = 2 (1 − +1 1) 4 2 i 1 (i i 1) = ∑ − + 2 + −+ ( 1 2 2 ) 2 + −+ ( 1 3 3 ) 2 + −+ ( 1 4 4 ) = 1 3 7 13 +++ = 24 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม สัญลักษณแสดงการบวก ให x เปนจํานวนจริงใด ๆ จงเขียน โดยใชสัญลักษณ ∑ = 12345 2x 2 x 2 x 2 x 2 ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅ 12 3 4 5x 234 5 2x 4x 6x 8x 10x ++++ 234 5 2x 4x 6x 8x 10x ++++ = 5 i i 1 2ix = ∑ จงหาคา 5 2 i 1 i = ∑ = 22222 12345 ++++ 5 2 i 1 i = ∑ = 1 4 9 16 25 +++ + = 55 นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม สัญลักษณแสดงการบวก จงแสดงวา = 222 2 2 2 2 ... 2 ⋅ +⋅ +⋅ + +⋅ 123 10 10 10 2 2 i 1 i 1 2i 2 i = = ∑ ∑ = 10 2 i 1 2i = ∑ = 222 2 2(1 3 10 + + ++ 2 ... ) = 10 2 i 1 2 i = ∑ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ลําดับและอนุกรม คณิตศาสตรเพิ่มเติม สัญลักษณแสดงการบวก จงแสดงวา = ( 3) ( 3) ( 3) 1 2 3 10 + + + + + ++ + ... ( 3) 10 10 10 i 1 i1 i1 (i 3) i 3 = = = ∑ ∑∑ += + 10 i 1 (i 3) = ∑ + = ( ... ) (3 3 3 ... 3) 123 1 +++ + + +++ + 0 = 10 i 1 i = ∑ 10 i 1 3 = + ∑ นางแกวตา ภูพานทอง ครูชํานาญการ โรงเรียนยโสธรพิทยาสรรค