Buku Teks Lukisan Kejuruteraan 2020

KPMEEANMLDAEYINDSTIIAEKRAINAN PMKEEANMLDAEYINDSTIIAEKRAINAN

LUKISAN LUKISAN

KEJURUTERAAN KEJURUTERAAN

Tingkatan Tingkatan

KPMEEANMLDAEYINDSTIIAEKRAINAN PMKEEANMLDAEYINDSTIIAEKRAINAN

LUKISAN LUKISAN

KEJURUTERAAN KEJURUTERAAN

Tingkatan Tingkatan

RUKUN NEGARA MATA PELAJARAN ELEKTIF TEKNIKAL

Bahawasanya Negara Kita Malaysia LUKISAN
mendukung cita-cita hendak; KEJURUTERAAN

Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan TINGKATAN 4
seluruh masyarakatnya;
Penulis
Memelihara satu cara hidup demokrasi; Kashnani Binti Mat Nor
Nurul Mukhlis Bin Kostor
Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara Wan Norehan Binti Wan Abd. Aziz
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;
Editor
Menjamin satu cara yang liberal terhadap Masliya Binti Yahya
tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;
Ilustrator
Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan Maski Yu Bin Latif Yu
sains dan teknologi moden;
Pereka Grafik
MAKA KAMI, rakyat Malaysia, Nurazlina Binti Hambal
berikrar akan menumpukan
2019
seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tersebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:

KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN
KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA

KELUHURAN PERLEMBAGAAN
KEDAULATAN UNDANG-UNDANG
KESOPANAN DAN KESUSILAAN

(Sumber: Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

ISI KANDUNGAN

No. Siri Buku: 0159 PENGHARGAAN Pendahuluan v
Pengenalan Ikon vi
KPM2019 ISBN 978-967-2212-61-4 Penerbitan buku ini melibatkan kerjasama banyak
pihak. Sekalung penghargaan dan terima kasih BAB 1 PENGENALAN KEPADA LUKISAN KEJURUTERAAN 1
Cetakan Pertama2019 ditujukan kepada semua pihak yang terlibat. 1. Pengenalan kepada Lukisan Kejuruteraan 2
© Kementerian Pendidikan Malaysia 2. Simbol dan Kepiawaian dalam Lukisan Kejuruteraan 5
• Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf Muka 3. Jenis-jenis Lukisan Kejuruteraan 6
Hak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan dalam Surat, Bahagian Sumber dan Teknologi 4. Peralatan dan Bahan dalam Lukisan Kejuruteraan 8
buku ini, tidak dibenarkan diterbitkan semula, Pendidikan, Kementerian Pendidikan Malaysia. 5. Penyediaan Kertas dalam Lukisan Kejuruteraan 12
disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan 6. Penghurufan dalam Lukisan Kejuruteraan 14
lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk • Jawatankuasa Penyemakan Pembetulan Pruf 7. Garisan dalam Lukisan Kejuruteraan 16
atau cara, baik dengan elektronik, mekanik, Muka Surat, Bahagian Sumber dan Teknologi 8. Lakaran dalam Lukisan Kejuruteraan 17
penggambaran semula mahupun dengan cara Pendidikan, Kementerian Pendidikan Malaysia.
perakaman tanpa kebenaran terlebih dahulu BAB 2 GEOMETRI 19
daripada Ketua Pengarah Pelajaran Malaysia, • Jawatankuasa Penyemakan Naskhah Sedia 1. Pembinaan dan Pembahagian Garisan 20
Kementerian Pendidikan Malaysia. Perundingan Kamera, Bahagian Sumber dan Teknologi 2. Sudut 25
tertakluk kepada perkiraan royalti atau honorarium. Pendidikan, Kementerian Pendidikan Malaysia. 3. Segi Tiga 31
4. Segi Empat 36
Diterbitkan untuk KementerianPendidikan • Pegawai-pegawai Bahagian Sumber dan 5. Poligon 42
Malaysia oleh: Teknologi Pendidikan dan Bahagian 6. Skala 49
Aras Mega (M) Sdn. Bhd. (164242-W) Pembangunan Kurikulum, Kementerian 7. Pembesaran dan Pengecilan 51
No. 18 & 20, Jalan Damai 2, Pendidikan Malaysia. 8. Rajah Sama Luas 58
Taman Desa Damai, Sungai Merab, 9. Bulatan 64
43000 Kajang, Selangor Darul Ehsan. • Jawatankuasa Peningkatan Mutu, 10. Elips dan Parabola 68
No. Telefon:03-8925 8975 Aras Mega (M) Sdn. Bhd. 11. Ketangenan 72
No. Faksimili: 03-8925 8985
Laman Web: www.arasmega.com Semua pihak yang terlibat secara langsung dan 85
tidak langsung dalam usaha menjayakan penerbitan 86
Reka Letak dan Atur Huruf: buku ini. 89
Aras Mega (M) Sdn. Bhd. 98
BAB 3 LUKISAN ORTOGRAFIK
Muka Taip Teks: Minion Pro 1. Pengenalan kepada Lukisan Ortografik 99
Saiz TaipTeks: 11 point 2. Lukisan Ortografik unjuran Sudut Ketiga 100
3. Aplikasi Lukisan Ortografik Unjuran Sudut Ketiga 108
Dicetak oleh: 114
Mudah UrusEnterprise, BAB 4 PANDANGAN BANTUAN
No. 143, Jalan KIP 8, 1. Pengenalan kepada Lukisan Pandangan Bantuan iii
Taman PerindustrianKIP, 2. Pandangan Tambahan
Bandar Sri Damansara, 3. Aplikasi Pandangan Tambahan
52200 Kuala Lumpur.

ii

BAB 5 LUKISAN ISOMETRI 119 PENDAHULUAN
1. Pengenalan kepada Lukisan Isometri 120
2. Lukisan Isometri Paksi Biasa 123 Buku teks Lukisan Kejuruteraan Tingkatan 4 ini dihasilkan berpandukan Dokumen Standard
3. Aplikasi Lukisan Isometri 130 Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Kurikulum Standard Sekolah Menengah (KSSM). Kurikulum
ini dilaksanakan secara berperingkat mulai tahun 2017 yang akan menggantikan Kurikulum
BAB 6 LUKISAN OBLIK 135 Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM) yang mula dilaksanakan pada tahun 1989.
1. Pengenalan kepada Lukisan Oblik 136
2. Lukisan Oblik 139 KSSM Lukisan Kejuruteraan ini digubal bagi menyediakan murid yang berpengetahuan
3. Aplikasi Lukisan Oblik 142 teras teknikal, kemahiran bekerjasama serta mempunyai nilai dan etika profesionalisme bagi
menghadapi gelombang cabaran Revolusi Industri 4.0 dan memenuhi keperluan tenaga kerja
BAB 7 LUKISAN PERSPEKTIF 145 industri untuk memacu ekonomi Malaysia.
1. Pengenalan kepada Lukisan Perspektif 146
2. Lukisan Perspektif Dua Titik 149 KSSM Lukisan Kejuruteraan adalah mata pelajaran elektif teknikal dalam kelompok Sains,
3. Aplikasi Lukisan Perspektif 155 Teknologi dan Kejuruteraan dan Matematik (STEM) untuk para pelajar Tingkatan 4 dan 5. STEM
memberi fokus dan bermatlamat menyediakan murid dengan asas dan ilmu pengetahuan,
BAB 8 LUKISAN PENGORAKAN 159 kemahiran dan nilai dalam bidang kejuruteraan sebagai usaha ke arah melahirkan jurutera
1. Pengenalan kepada Lukisan Pengorakan 160 yang boleh menjana idea kreatif dan bijak dalam membuat keputusan, inovatif dan berdaya
2. Kaedah Lukisan Pengorakan 165 saing di peringkat global untuk mendepani cabaran abad ke-21.
3. Aplikasi Lukisan Pengorakan 177
Di dalam buku ini, terdapat sembilan topik utama yang diperkenalkan kepada murid, yang
BAB 9 PENGENALAN KEPADA LUKISAN TERBANTU KOMPUTER 179 kesemuanya menekankan kepada pemahaman tentang perkara-perkara yang asas terlebih
1. Pengenalan kepada Lukisan Terbantu Komputer (CAD) 180 dahulu sebelum menjurus kepada perbincangan lebih mendalam. Kandungan buku teks yang
2. Perintah Kendalian AutoCAD 184 dipersembahkan dengan cara yang ringkas, diharap murid akan beroleh manfaat sebanyak
3. Sistem Koordinat 2D 193 yang mungkin.
4. Perintah Toolbar Draw 194
5. Perintah Object Snap 199 Selain daripada keterangan dan fakta di dalam buku teks utama yang diperkenalkan kepada
6. Perintah View Toolbar 201 murid, terdapat penyendal-penyendal yang boleh menambah pengetahuan tentang pelbagai
7. Perintah Modify Toolbar 203 maklumat tambahan yang berkaitan dengan topik yang dipelajari. Pada akhir setiap bab juga
8. Format Penghurufan 210 disediakan juga latihan di mana ruang untuk menguji kefahaman murid terhadap topik yang
9. Pendimensian 213 dipelajari.
10. Penggunaan Layer 215
11. Perintah Print/Plot 217 Buku teks Lukisan Kejuruteraan Tingkatan 4 ini diharap boleh dijadikan instrumen untuk
membantu dan menyediakan murid yang berminat dalam bidang teknikal dengan pengetahuan
Rujukan 218 dan kemahiran asas bagi membolehkan mereka mengikuti pembelajaran pada peringkat yang
lebih tinggi. Diharap buku ini juga dapat dijadikan panduan serta rujukan yang berguna kepada
Glosari Indeks guru dalam proses pengajaran dan pembelajaran di dalam kelas.

Sila imbas QRCode Sila imbas QRCode v
di atas untukmengakses di atas untukmengakses

senarai glosari. senarai indeks.

iv

PENERANGAN IKON PENGENALAN
KEPADA LUKISAN
Standard Memberikan maklumat KEJURUTERAAN
Pembelajaran tambahan dalam bentuk QR
ARCode Code yang boleh diimbas
Hasil pembelajaran yang perlu diperoleh oleh menggunakan aplikasi khas
murid setelah mempelajari sesuatu bab di di dalam telefon pintar atau Lukisan kejuruteraan ialah dokumen yang mengandungi lukisan yang dihasilkan bagi
dalam buku. Guru akan menjelaskan dengan tablet. Selain itu, dicatatkan menggambarkan bentuk sebenar bongkah yang bakal dihasilkan. Sebelum teknologi komputer
lebih terperinci mengenai topik yang bakal juga pautan yang berkenaan berkembang pesat, kebanyakan lukisan kejuruteraan dilukis secara manual. Di zaman teknologi
diajar oleh guru kepada murid di sekolah. bagi memudahkan murid dan ini, kebanyakan lukisan banyak dilukis dengan bantuan komputer.
guru menggunakan Internet
Mengemukakan maklumat tambahan yang untuk mendapatkanmaklumat STANDARD KANDUNGAN
berkaitan dengan topik yang dibincangkan tambahan.
dalam buku teks. 1.1 Pengenalan kepada Lukisan Kejuruteraan
Teknologi yang 2. Simbol dan kepiawaian dalam Lukisan Kejuruteraan
TAHUKAH menggabungkan duniamaya 3. Jenis-jenis Lukisan Kejuruteraan
ANDA dan nyata dalam bentuk 2D 4. Peralatan dan bahan dalam Lukisan Kejuruteraan
atau 3D. Untuk mengimbas 5. Penyediaan kertas dalam Lukisan Kejuruteraan
Mengemukakan fakta-fakta yang menarik kod ini pengguna perlu 6. Penghurufan dalam Lukisan Kejuruteraan
tentang perkara yang relevan dengan topik memuat turun aplikasi 7. Garisan dalam Lukisan Kejuruteraan
perbincangan di dalam kelas. augmented reality. 8. Lakaran dalam Lukisan Kejuruteraan

KBAT Aktiviti pengukuhan yang disediakan
untuk mengukur tahap kefahaman murid
Mengemukakan soalan yang menggalakkan berkaitan standard kandungan dan standard
perkembangan murid berfikir dengan pembelajaran.
kemahiran berfikir aras tinggi yang sesuai
dengan kemahiran murid. Kegiatan tambahan yang dapat membantu
murid meningkatkan lagi kefahaman tentang
Mengemukakan soalan yang dapat topik yang dipelajari.
mencetuskan kemahiran berfikir aras tinggi
yang sesuai dengan kemahiran murid. LATIHAN

Latihan disediakan untuk menguji tahap
kefahaman murid terhadap topik yang
dipelajari.

vi vii

1.1 Pengenalan ke p a d a Lukisan Kejuruteraan BAB 1: PENGENALAN KEPADA LUKISAN KEJURUTERAAN

Standard 1.1.1 Lukisan Kejuruteraan Manual, CAD dan
Pembelajaran Lukisan Seni

Murid boleh: Lukisan merupakan satuseni visualyang dihasilkan menggunakan Rajah 1.1 Lukisan Water Clock.
• Menerangkan tentang lukisan pelbagai alat lukisan. Individu yang melukis ini dipanggil pelukis,
manakala hasilnya dipanggil lukisan. Terdapat dua jenis lukisan Permulaan teknik perspektif pusat dalam lukisan kejuruteraan Imbas QR Code di atas untuk
i. Lukisan Kejuruteraan yang boleh dihasilkan iaitu lukisan seni dan lukisan kejuruteraan. dikaitkan dengan Filippo Brunelleschi dalam membangunkan
Lukisan seni merupakan karya yang dihasilkan di atas kertas Dome of the Florence Cathedral sekitar 1420. Pada abad ke-15, menonton video sejarah lukisan
(manual) lukisan atau kanvas dengan pelbagai alat dan pewarna dengan pelbagai peranti teknikal telah diperkenalkan oleh Taccola. Castle Clock al-Jazari. (Dicapai
Kemudiannya, lukisan teknik telah disempurnakan lagi oleh
ii. Lukisan Kejuruteraan tujuan menunjukkan estetika dan tafsiran subjektif karya Leonardo da Vinci dengan kaedah menyampaikan maklumat p a d a 29 Mei 2019)
seseorang pelukis. mesin dan bahagian mesin secara realistik, malah dia juga
(Lukisan Terbantu menambah unsur-unsur pada lukisannya untuk pemahaman
Komputer – CAD) Lukisan kejuruteraan pula merupakan satu lukisan piawai yang lebih baik.
yang dihasilkan bagi menggambarkan dengan tepat sesuatu objek
iii. Lukisan Seni daripada aspek kejuruteraan. Bidang kejuruteraan mekanikal,
• Menerangkan perkembangan kejuruteraan awam, kejuruteraan elektrik dan elektronik, seni
bina dan sebagainya menggunakan lukisan kejuruteraan sebagai
Lukisan Kejuruteraan medium komunikasi dan bahasa piawai untuk menyampaikan
• Mengenal pasti perisian Lukisan idea dan maklumat dengan berkesan.

Terbantu Komputer – CAD
• Menghubungkait pekerjaan

yang berkaitan dengan

lukisan kejuruteraan serta

kepentingannya kepada

bidang kejuruteraan.

Lukisankejuruteraanboleh dihasilkandenganmenggunakankaedah manualatau menggunakan
perisian Lukisan Terbantu Komputer (LTK) atau lebih dikenali sebagai Computer Aided Drafting
(CAD). Kaedah manual memerlukan pelukis melukis di atas kertas menggunakan alatan manual

seperti papan lukisan, pensel, jangka lukis, sesiku set dan sebagainya, manakala CAD memerlukan

pelukis melukis menggunakan komputer dengan menggunakan perisian CAD.

Lukisan kejuruteraan yang telah siap dilukis seperti lukisan terperinci, lukisan kerja, lukisan
pemasangan dan sebagainya akhirnya akan dijadikan dokumen rasmi pelan tindakan blue-print yang
sangat penting bagi tujuan pembuatan, pengilangan, pembangunan dan pemasaran sesuatu produk.

1.1.2 Perkembangan LukisanKejuruteraan Rajah 1.3 Lukisan Invention Steam oleh Leonardo Da Vinci. Rajah 1.2 Lukisan perspektifpusat
Filippo Brunelleschi.
Lukisan telah mula digunakan bagi menggambarkan idea dan sebagai alat komunikasi sejak awal Pada abad ke-19 kaedah penghasilan lukisan teknik klasik
ketamadunan manusia. Penemuan simbol dan gambar hidupan pada dinding gua zaman pra sejarah semakin baik dengan penggunaan pelbagai alat lukisan seperti Imbas QR Code untuk m encari
membuktikan kewujudannya. Kemudiannya terus berkembang seiring peredaran zaman dan jangka lukis, pensel, pemadam, pemadam serat kaca, pencontoh lima misteri tersembunyi dalam
kemajuan teknologi. huruf, pembaris lengkung serta pen dakwat. lukisan Leonardo Da Vinci.
(Dicapai p a d a 25 Mei 2019)
Pada zaman pertengahan, lukisan kejuruteraan dilihat mula digunakan oleh beberapa ilmuan Pada abad ke-20, lukisan kejuruteraan dibuat menggunakan
dalam karya. Antaranya ialah pelan seni bina Saint Gall yang dikatakan wujud pada abad ke-9. pensel atau dakwat pada medium tracing paper. Kemudian,
Aplikasi lukisan kejuruteraan juga dapat dilihat dalam Kitáb fí ma’rifat al-hiyal al-handasiyya (Buku diregangkan dengan drawing pin atau pita pelekat pada papan
Pengetahuan Ilmu Mekanik) karangan Al-Jazari yang menerangkan 50 alat mekanik lengkap melukis. Teknik penyalinan yang lebih moden seperti blueprint,
dengan arahan bagaimana membinanya pada abad ke-12. Pada abad ke-13 pula, Guido da Vigevano kertas surih dan filem mikro juga telah diperkenalkan.
menyerlah dengan lakaran sistem engkol Crank Wagon.
Pada pertengahan tahun 1960-an dunia mula beralih
kepada sistem komputer, perisian CAD dan plotter. Perisian
untuk menghasilkan lukisan 2D telah dibangunkan hingga objek

2 3

dapat dilukis dalam 3D dan dipaparkan secara digital pada pertengahan 1980-an. Penggunaan 1.2 Simbol Kepiawaian dalam Lukisan Kejuruteraan BAB 1: PENGENALAN KEPADA LUKISAN KEJURUTERAAN
penyimpanan digital storage juga telah mula digunakan sebagai menggantikan kertas.
1.2.1 Kepiawaian, Konvensyen, Agensi dan Standard
Kini, CAD telah digunakan secara konsisten dan meluas mengatasi kaedah manual. Walaupun Kepentingan Pembelajaran
begitu, kaedah manual masih perlu diajar sebagai asas penguasaan melukis secara digital.
Kepiawaian dan keseragaman sangat diperlukan dalam lukisan Murid boleh:
3. Perisian Lukisan Terbantu Komputer (CAD) • Menyatakan agensi yang
kejuruteraan. Penggunaan simbol, perspektif (sudut pandang),
Perisian lukisan terbantu komputer juga dikenali sebagai Computer Aided Drafting (CAD) atau terlibat dalam menentukan
Computer Aided Draftingand Design(CADD). Terdapatduajenisperisian CADiaituduadimensi(2D) unit pengukuran, sistem notasi, gaya visual dan susun atur kepiawaian di Malaysia dan
dan tiga dimensi (3D) yang telah dibangunkan khas bagi membantu dan memudahkan kerja-kerja antarabangsa:
berkaitan lukisan kejuruteraan. membentuk satu bahasa visual khusus yang membantu i. SIRIM
ii. Kepiawaian British (BS)
Perisian CAD bukan sahaja digunakan untuk melukis, malahan ia memudahkan dan memastikan lukisan itu mudah difahami oleh semua pengamal iii. Institut Kepiawaian
mempercepatkan kerja melukis, membuat pembetulan, mewarnakan, melorek, mendimensi,
menyimpan fail dan sebagainya. Perisian CAD 3D boleh digunakan untuk menghasilkan bidang kejuruteraan. Kebangsaan Amerika
lukisan dalam 3D, animasi, menganalisis dan memberi kesan khas pada lukisan yang dihasilkan. (ANSI)
Kebanyakan simbol dan prinsip lukisan teknikal telah dikodkan iv. Pertubuhan Kepiawaian
Lukisan yang telah disiapkan dengan CAD boleh dicetak dalam 2D menggunakan pencetak Antarabangsa (ISO)
atau plotter dan lukisan 3D boleh dicetak menggunakan 3D printer. Teknologi CAD-CAM pula oleh agensi piawaian tempatan atau antarabangsa. Antaranya ialah: v. Piawaian Industri German
membolehkannya disambungkan dengan mesin Computer Numerical Control (CNC) untuk • Mengenal simbol asas dalam
menghasilkan produk akhir. Walaupun begitu, kualiti lukisan menggunakan CAD adalah sangat (a) Institut Piawaian dan Penyelidikan Perindustrian Malaysia lukisan kejuruteraan
bergantung kepada ketelitian, kecekapan pengendali perisian dan peralatan CAD seperti jenis (SIRIM). (www.sirim.my) • Mengenal pasti kepentingan
komputer, jenis perisian CAD dan peranti tambahan yang digunakan. konvensyen dan kepiawaian
(b) Jabatan Standard Malaysia(JSM). (www.jsm.gov.my) dalam lukisan kejuruteraan.
4. Pekerjaan Berkaitan Lukisan Kejuruteraan dan Kepentingan (c) Kepiawaian British (BS).(www.bsigroup.com)
(d) Institut Piawaian Kebangsaan Amerika (ANSI). (www.ansi.org) Imbas QR Code untuk
Kerjaya dalam bidang kejuruteraan termasuklah jurutera, teknologis, juruteknik, pekerja mahir, (e) Pertubuhan Kepiawaian Antarabangsa (ISO). (www.iso.mrg) mengenal simbol asas dalam
pereka bentuk, pelukis pelan dan sebagainya memerlukan kemahiran lukisan kejuruteraan (f) Institut Kepiawaian German (DIN). (www.din.de/en) lukisan kejuruteraan.
dalam pekerjaan mereka. Jenis lukisan kejuruteraan yang digunakan pula adalah berdasarkan (g) Kepiawaian Perindustrian Jepun (JIS). (www.jisc.gov.jp.eng)
bidang kejuruteraan yang diceburi sama ada kejuruteraan mekanikal, kejuruteraan awam, seni
bina, kejuruteraan elektrik dan elektronik dan lain-lain. Selain simbol, terdapat juga piawaian bagi ukuran. Semenjak
1960-an Sistem Metrik yang mengggunakan Unit SI telah
diterima pakai di kebanyakan negara seluruh dunia berbanding
Sistem Imperial yang hanya digunakan di beberapa negara. SI
yang merupakan singkatan dari Système International d'Unités
(SI) dalam bahasa Perancis dan sistem ukuran perpuluhan bagi
jisim, panjang, dan eletrik. Di Malaysia, sistem ini telah mula
digunakan pada tahun 1982. Walau bagaimanapun Sistem
Imperial yang dikenali sebagai Sistem Inggeris atau Sistem British
yang telah digunakan sejak zaman penjajahan British hingga
sekarang masih kekal diguna pakai hingga kini.

Jadual 1.1 Sistem Imperial berbanding Sistem Unit SI.

Jadual Penukaran Ukuran

Imperial Metrik Imperial Metrik

Rajah 1.4 Juru kimpal melakukan Rajah 1.5 Pereka bentuk industri Rajah 1.6 Pelukis pelan menyiapkan 1 in = 2.54 cm 0.6214 batu = 1km
tugas berdasarkan kepakaranmereka. dan pereka bentuk kejuruteraan yang lukisan kejuruteraan mengikut
1 kaki = 0.3048 m 1.093.6 ela = 1km
merancang hasil kreatif. kehendak pereka bentuk.
= 30.48 cm 1 in2 = 6.4516 cm2

1 ela = 0.9144 m 1 kaki2 = 0.0929m2

1 ekar = 0.4047 hektar 1 ela2 = 0.8361m2

1 batu = 1.6093 km 1 batu2 = 2.5900 km2

0.03937 in = 1 mm 0.1550 in2 = 1 cm2

0.3937 in = 1 cm 10.7639 kaki2 = 1 m2

39.3701 in = 1m 1.1960 ela2 = 1 m2

3.2808 kaki = 1m 0.3860 batu2 = 1 km2

1.0936 ela = 1m

4 5

1.3 Jenis Lukisan Kejuruteraan 1.3.2 Lukisan Berkaitan BidangKejuruteraan BAB 1: PENGENALAN KEPADA LUKISAN KEJURUTERAAN

Lukisan berkaitan bidang kejuruteraan adalah lukisan kejuruteraan yang digunakan dalam bidang
tertentu seperti ditunjukkan pada Rajah 1.9, Rajah 1.10 dan Rajah 1.11 berikut.

Standard 1.3.1 LukisanGeometri Lukisan Mekanikal Lukisan Bangunan
Pembelajaran
Lukisan geometri berasal dari perkataan Greek iaitu geo yang Digunakan untuk menunjukkan butiran Digunakan untuk memberi gambaran berkaitan
Murid boleh: bermaksud bumi dan metron bermaksud pengukuran. Lukisan komponen mekanikal dalam bentuk lukisan bangunan dalam bentuk lukisan pelan, lukisan
• Menerangkan pengkelasan geometri adalah berkaitan konsep matematik yang berkisar terperinci, lukisan keratan, lukisan pemasangan bangunan dan lukisan perpaipan.
tentang bentuk, saiz, kedudukan relatif suatu bentuk dan ciri atau lukisan tercerai.
Lukisan Geometri dalam ruang. Lukisan ini boleh dibina menggunakan peralatan lukisan
Lukisan Kejuruteraan termasuk pembaris sesiku T, sesiku set, jangka lukis dan lengkok
i. Geometri satah Perancis. Geometri bongkah adalah bentuk objek tiga dimensi
ii. Geometri bongkah yang mempunyai ukuran lebar (L), dalam (D) dan tinggi (T),
• Menerangkan lukisan manakala geometri satah adalah bentuk dua dimensi.
berkaitan dalam Lukisan
Kejuruteraan Rajah 1.7 dan Rajah 1.8 berikut menunjukkan contoh lukisan
i. Lukisan Mekanikal geometri satah dan geometri bongkah.
ii. Lukisan Bangunan
iii. Lukisan Elektrik Pandangan atas

Dalam, D

Rajah 1.9 Lukisan terperinci. Rajah 1.10 Lukisan bangunan.

Tinggi, T Lukisan Elektrik

Imbas QR Code di atas Lukisan elektrik digunakan untuk menunjukkan cara pendawaian dan pemasangan alat tambah
untuk menonton kisah elektrik dalam bangunan.
pengasas geometri.
Lebar, L
Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan
Rajah 1.7 Geometri satah menunjukkan bentuk dua dimensi.

Pandangan atas

Lorong

Tandas 2 Tandas 1

D apur

Tinggi, T

Bilik tidur2 Bilik tidur1 Ruang tamu Ruang makan

Pandangan hadapan Pandangan 7
sisi kanan

Rajah 1.8 Geometri bongkah menunjukkan bentuk tiga dimensi. Rajah 1.11 Lukisan elektrik.

6

1.4 Peralatan d a n Bahan dalam Lukisan Kejuruteraan Sesiku Set BAB 1: PENGENALAN KEPADA LUKISAN KEJURUTERAAN

Standard 1.4.1 Peralatan, Penggunaan danPenjagaan Set ini mengandungi dua pembaris segi tiga iaitu sesiku bersudut Antara kesalahan penggunaan
Pembelajaran 90°, 45°dan sesiku 90°, 30°, 60°. Sesiku boleh digunakan secara pembaris sesiku T seperti rajah
Pelbagaijenisperalatansertabahankeperluanlukisankejuruteraan bersendirian, kombinasi dua sesiku atau bersama pembaris di bawah.
Murid boleh: boleh ditemui di pasaran. Pemilihan jenis peralatan yang sesuai, sesiku T. dan boleh digunakan sebagai pembaris, membina
• Mengenal pasti peralatan dan teknik penggunaan diperlukan untuk menghasilkan lukisan garisan bersudut tepat, garisan dengan sudut sesiku atau Renggang
yang baik. kombinasi sudut sesiku dan garisan selari. Bahagian bawah
dan bahan yang digunakan sesiku hendaklah selalu dibersihkan daripada kotoran yang
dalam lukisan kejuruteraan Meja Lukisan mengakibatkan kertas lukisan kotor. Elakkan sesiku set daripada
• Menggunakan peralatan dan jatuh bagi mengelakkannya patah.
bahan lukisan dengan betul Merupakan tempat melukis dengan menggunakan kertas lukisan
dan selamat. dan pembaris sesiku T atau pembaris I. Biasanya meja boleh Antara penggunaansesiku set
• Mempraktikkan penjagaan dilaras kecondongan dan ketinggiannya. Bersihkan permukaan dengan sesiku T yang betul.
peralatan dan bahan lukisan sebelum dan selepas digunakan.
dengan betul. Klip

Papan Lukisan Rajah 1.15 Sesiku set. Pembaris Papan lukisan
225° sesiku T
Terdapat papan lukisan jenis kayu dan pastik. Kegunaannya
adalah untuk melekatkan kertas lukisan bagi menggantikan meja
lukisan dan digunakan bersama pembaris sesiku T dan sesiku set.
Bersihkan permukaan dan elakkan terjatuh supaya bahagian tepi
tidak rosak.

Rajah 1.12 Meja lukisan.

Rajah 1.13 Jenis-jenis papan lukisan. Rajah 1.16 Kombinasi sesiku set dan sudutnya.

Kepala Pembaris Sesiku T Jangka Lukis Pemegang
Bilah
Pembaris sesiku T merupakan satu pembaris (bilah) yang Jangka lukis merupakan alat yang mempunyai dua kaki di mana
Rajah 1.14 Pembaris sesikuT. pada satu hujungnya disambungkan dengan bahagian kepala
membentuk seakan-akan huruf T. Ia boleh digunakan bersama sebelah kaki terdapat mata jarum dan sebelah kaki bermata Matapensel
papan lukisan, tanpa atau dengan sesiku set untuk membina pensel yang digunakan untuk membina bulatan atau lengkok.
garisan mengufuk, garisan bersudut dan garisan selari. Bahagian
kepala diletakkan sentiasa rapat dengan tepi papan yang rata bagi Terdapat juga set jangka lukis yang mengandungi pelbagai
membolehkan bilah digerakkan ke atas dan ke bawah dengan
lancar. Ini membolehkan bilah dijadikan sebagai pembaris jangka lukis, pembahagi dan aksesori. Elakkan jangka sudut
mengufuk dan sebagai landasan sesiku set. Elakkan pembaris
sesiku T daripada jatuh, bagi mengelakkan patah. daripada jatuh bagi mengelakkannya rosak dan sentiasa berhati- Mata jarum

hati semasa menggunakan bagi mengelakkan kecederaan. Rajah 1.17 Jangkalukis.

8 9

Lengkung Perancis dan Lengkung Boleh Lentur Kertas Lukisan BAB 1: PENGENALAN KEPADA LUKISAN KEJURUTERAAN

Kedua-dua alat ini digunakan untuk membina lengkung atau lengkok. Lengkung yang baik dibina Pelbagai saiz piawai kertas lukisan boleh ditemui di pasaran. Pilihan saiz kertas adalah berdasarkan
dengan penyambungan yang licin bagi sekurang-kurangnya tiga titik dengan alat ini. Elakkan keperluan pengguna. Rajah 1.23 menunjukkan saiz piawai kertas.
lengkung Perancis daripada terjatuh bagi mengelakkannya patah.

A4
A5 210 x
148 x 2 9 7 m m
Terdapat juga kertas dalam siri
210mm A7-A10, Siri B1-B12 yang lebih
besar daripada siri A d a n Siri C
A3 A2 untuk sampul surat.

420 x594mm

297 x420mm

Rajah 1.18 Lengkung Perancis. Rajah 1.19 Lengkung boleh lentur. A0

841 x 1189mm

Pensel Biasa dan PenselMekanikal A1

Pengguna boleh memilih menggunakan pensel biasa atau pensel mekanikal untuk melukis. 594 x841mm
Gred mata pensel yang sesuai dengan kegunaannya, mata pensel yang sentiasa tajam dan kawalan
pensel yang baik diperlukan untuk mendapatkan hasil lukisan yang baik. Lukisan kejuruteraan Rajah 1.23 Saiz piawai kertaslukisan.
dibina sebahagian besarnya menggunakan lakaran dan penghurufan. Maka pensel yang sesuai
digunakan adalah gred sederhana. Pita Perekat dan Klip Kertas
Pita perekat dan klip kertas digunakan untuk melekatkan kertas pada papan lukisan supaya tidak
Grafik Penghurufan Hasil seni bergerak semasa lukisan dibina. Klip kertas biasanya telah terpasang pada papan plastik yang dibeli.
dan lakaran Klip kertas dan pita perekat perlu disimpan dengan cermat supaya keadaannya baik semasa ingin
digunakan.
Keras Sederhana Lembut
(cerah) Rajah 1.20 Gred mata pensel dan kegunaannya (gelap)

Rajah 1.21(a) Penselbiasa.

Rajah 1.21 (b) Penselmekanikal. Rajah 1.24 (a) Klip kertas.

Pemadam dan Perisai Pemadam
Pemadam digunakan untuk memadam lukisan yang salah. Pastikan pemadam yang ingin digunakan
dalam keadaan bersih dan lembut serta disimpan di tempat yang sesuai. Perisai pemadam digunakan
untuk melindungi garisan yang diperlukan supaya tidak hilang semasa memadam garisan yang salah.

Rajah 1.22 (a) Pemadam. Rajah 1.22 (b) Perisaipemadam. Rajah 1.24 (b) Pita perekat.

10 11

1.5 Penyediaan Kertas dalam Lukisan Kejuruteraan 1.5.2 Melukis Garisan Sempadan dan Ruang Tajuk Mengikut Piawaian BAB 1: PENGENALAN KEPADA LUKISAN KEJURUTERAAN

Standard Garisan sempadan dibina sebagai had lukisan supaya tidak terkeluar dan ruang tajuk disediakan pada
Pembelajaran kertas lukisan. Guru boleh menetapkan piawaian yang juga disebut pencontoh berdasarkan keperluan
masing-masing. Berikut merupakan contoh piawai yang boleh digunakan seperti Rajah 1.26.
Murid boleh:
• Melaras kertas di atas papan 1.5.1 Melaras Kertas pada PapanLukisan

lukisan Langkah melaras kertas pada papan lukisan adalah seperti Rajah 1.25.
• Melukis garisan sem padan
Langkah 1
dan ruang tajuk mengikut
piawaian yang ditetapkan Imbas QR Code di atas
• Merancang susun atur lukisan untuk menonton kaedah
pada kertas lukisan. melukis garisan sempadan.

Kotak tajuk Garisan
sempadan
Siapkan papan dengan pembaris sesiku T. Rapatkan di bahagian 150 mm 150 mm
bawah. 10 mm

NAMA: TAJUK: 3 mm
KELAS: TARIKH:

Langkah 2 Rajah 1.26 Contoh penyediaan garissempadan.

Imbas QR Code di atas untuk 1.5.3 Susun Atur padaKertas
menonton kaedah melaraskan
kertas pada papan lukisan. Sebelum mula melukis, penggunaan ruang pada kertas lukisan perlulah dirancang dan disusun atur
supaya lukisan yang dihasilkan tidak terkeluar dari kertas lukisan dan ruang lukisan digunakan
secara maksimum seperti dalam Rajah 1.27.

Letakkan kertas A3 selari atas bilah pembaris sesiku T dan Jarak A Jarak D
lekatkan bahagian ataskertas. Jarak B
Langkah 3
Langkah 4 Jarak E

NAMA: JarakC
KELAS:
TAJUK:
TARIKH:

Gerakkan pembaris sesiku T ke atasdan lekatkan Kertas A3 siap dilaraskan pada papan lukisan. Rajah 1.27 Jarak antara objek (jarak E), jarak dari garis sempadan
bahagian bawahkertas. atas dan bawah (jarak A dan jarak C) dan jarak dari garis sempadan
kanan dan kiri (jarak B dan jarak D) perlu diselaras bagi mendapatkan
Rajah 1.25 Langkah melaraskertas. penggunaan ruang optimum.

12 13

1.6 Penghurufan dalam Lukisan Kejuruteraan 1.6.2 TeknikPenghurufan dalam Penyediaan BAB 1: PENGENALAN KEPADA LUKISAN KEJURUTERAAN
Kertas Lukisan

Standard Nota, dimensi dan spesifikasi ditulis sebagai sokongan bagi Penghurufan seragam dari segi saiz, tinggi, lebar dan jarak
Pembelajaran penjelasan pada lukisan kejuruteraan. Tulisan dan lakaran penting dalam menyiapkan butiran lukisan kejuruteraan. Berikut
yang baik akan memudahkan pengguna mentafsir lukisan merupakan beberapa panduan yang boleh diikuti.
Murid boleh: kejuruteraan dan kebiasaannya boleh dijadikan petunjuk kepada
• Mengenal pasti teknikmenulis tahap kemahiran seseorang pelukis. Penghurufan biasanya dibuat Penggunaan Garisan Panduan Menulis dengan kecondongan pensel
menggunakan pensel gred H, F atau HB. 60°pada permukaan bolehdigunakan
bentuk huruf mengikut Digunakan sebagai panduan ketinggian huruf. Pensel gred keras untuk memperoleh tulisan yang baik.
piawaian 1.6.1 Teknik Menulis Bentuk Huruf Mengikut seperti 2H biasanya digunakan untuk membina garisan ini.
• Mengaplikasikan teknik Piawaian 60°
penghurufan dalam Garisan panduan
penyediaan kertas lukisan Penghurufan yang seragam penting dalam menyiapkan lukisan
i. Penggunaan garisan kejuruteraan sebagai dokumen rasmi. Terdapat dua jenis Jarak antara Huruf
penghurufan iaitu huruf tegak piawai dan huruf condong piawai.
panduan Keseragaman jarak antara huruf membolehkan perkataan
ii. Jarak antara huruf kelihatan lebih kemas.
iii. Jarak antara perkataan
iv. Keseragaman penghurufan

Jarak seragam Meletakkan alas di bawah
tangan semasa menulisboleh
Jarak tidak seragam mengelakkan kertasdaripada
kotor semasamenulis.
Jarak antara Perkataan
Keseragaman jarak antara perkataan membolehkan penghurufan
lebih kemas.

Rajah 1.28 Huruf tegak piawai ditulis pada sudut 90°pada Keseragaman Penghurufan
garisan panduan dengan saiz, tinggi dan lebar seragam.
Segi saiz, tinggi, lebar dan jarak seragam -baik.

Rajah 1.30 (a) Penghurufan yangbaik. Kesilapan
Penghurufan

Gaya penghurufan tidak seragam.

Ketinggian huruf tidak seragam.

Kecondongan huruftidak seragam.

Rajah 1.29 Huruf condong piawai ditulis pada sudut 60°hingga 75° Ketebalan huruf tidakseragam.
pada garisan panduan dengan saiz, tinggi dan lebar seragam.
Jarak antara huruf tidak seragam.
14 Rajah 1.30 (b) Pelbagai kesilapan penghurufan.

15

1.7 Garisan dalam Lukisan Kejuruteraan 1.8 Lakaran dalam Lukisan Kejuruteraan BAB 1: PENGENALAN KEPADA LUKISAN KEJURUTERAAN

Standard 1.7.1 Jenis Garisan, Ciri dan Kegunaan Lakaran merupakan sejenis lukisan yang dihasilkan untuk Standard
Pembelajaran menggambarkan rupa bentuk dan ciri objek dengan cepat. Pembelajaran
Lakaran biasanya disiapkan hanya menggunakan alatan asas
Murid boleh: 1. Garisan Objek seperti pensel, pemadam dan kertas bagi menggambarkan idea Murid boleh:
• Mengenal pasti jenis-jenis 2. Garisan terlindung awal reka bentuk. • Mengenalpasti jenis-jenis
3. Garisan tengah
garisan dalam Lukisan 4. Garisan sempadan 1.8.1 JenisLakaran lakaran dalam lukisan
Kejuruteraan 5. Garisan binaan kejuruteraan:
i. Garisan objek 6. Garisan panduan Lakaran dalam dua dimensi seperti unjuran ortografik dan dalam i. Lukisan Ortografik
ii. Garisan terlindung 7. Garisan dimensi tiga dimensi seperti lukisan isometri, oblik atau perspektif boleh ii. Lukisan Isometri
iii. Garisan tengah 8. Garisan keratan dibuat. Kertas grid koordinat dan grid isometri boleh digunakan iii. Lukisan Oblik
iv. Garisan sempadan 9. Garisan tambahan untuk memudahkan proses melakar rajah. • Mengaplikasi teknik lakaran
v. Garisan binaan 10. Garisan satah untuk melakar garisan lurus,
vi. Garisan panduan bulatan dan lengkok.
vii. Garisan dimensi pemotongan • Menentukan perkadaran yang
viii. Garisan keratan 11. Garisan unjuran betul untuk menghasilkan
ix. Garisan tambahan 12. Garisan fantom lakaran sesuatu objek.
x. Garisan satah
garisan terlindung 100 Rajah 1.32 Lakaran unjuran ortografik Rajah 1.33 Lakaran oblik yang dibina Rajah 1.34 Lakaran isometriyang
pemotongan A dibina pada grid isometri.
xi. Garisan unjuran garisan objek dibina pada grid koordinat. pada grid isometri.
xii. Garisan fantom A
• Mengenal pasti ciri abjad 1.8.2 Teknik Lakaran Garisan Lurus, Bulatan, Lengkok dan Lengkung
garisan yang digunakan
dalam Lukisan Kejuruteraan.
• Menentukan kegunaan
garisan untuk memberi
maklumat terperinci Lukisan
Kejuruteraan.
• Mengenal pasti jenis-jenis
garisan lurus dalam Lukisan
Kejuruteraan
i. Garisan ufuk
ii. Garisan tegak
iii. Garisan condong
iv. Garisan selari
v. Garisan serenjang
• Mengaplikasi kaedah melukis
garisan lurus.

garisan satah pemotongan Kebanyakan lukisan dibina berasaskan garisan lurus, bulatan, lengkok dan lengkung. Rajah 1.35
berikut menunjukkan beberapa panduan untuk menghasilkan teknik lakaran garisan luerus,
garisan unjuran bulatan, lengkok dan lengkung..
garisan keratan
garisan tengah A Garisan Tebal B GarisanSederhana
garisan binaan
•Garisan objek •Garisan tersembunyi
garisan fantom • Garisan satah pemotongan Separa bulat

Bermata bulat

garisan tambahan

C GarisanNipis D Garisan Halus

130 •Garisan tengah •Garisan binaan
garisan dimensi •Garisan dimensi Separa bulat dan tajam

KOMPONEN - A garisan panduan Mata tajam

Rajah 1.31 Jenis garisan, kegunaan dan ketebalan. Rajah 1.35 Garisan lurus dan ketajaman mata pensel yang betul memudahkan proses melakar.

16 17

Langkah MelakarLengkok Kaedah Kotak

Langkah 1 Langkah 2 Langkah 3

GEOMETRI

Bina kotak dengan pusatbulatan. Lengkok dibina menyentuh dua Lengkapkan lengkok yang
titik tangen pada sukuan bulatan. membentuk bulatan.

Langkah MelakarLengkok Kaedah Jejari

Langkah 1 Langkah 2 Langkah 3

Bina pusat bulatan dan tanda Tanda jejari pada 4 sudut 45°. Lakar bulatan yangmenyentuh

panjang jejari. semua titik jejari.

Langkah MelakarLengkung Menurut kamus dewan, geometri ialah tentang perhubungan dan sifat-sifat garisan, sudut,
permukaan dan bongkah. Konsep geometri ini sangat unik kerana dapat dilihat jelas pada
Langkah 1 Langkah 2 Langkah 3 kubah sesebuah masjid, gereja atau rumah ibadat yang lain. Pemilihan corak atau reka bentuk
geometri ini seringkali berkait rapat dengan sejarah, kaum atau seni bina sesebuah negara. Bentuk
12345678 12345678 12345678 geometri dapat dilihat jelas pada seni bina Masjid Selat Melaka yang terletak di Bandar Melaka.

A AA STANDARD KANDUNGAN

O BBB 1. Pembinaan dan pembahagian garisan
2. Sudut
Bina garisan koordinat OO 3. Segi tiga
menegak danmelintang. 4. Segi em pat
Tanda titik lengkung pada titik Lakarlengkung yangmenyentuh 5. Poligon
6. Skala
koordinat. semua titik bertanda. 7. Pengecilan dan pembesaran
8. Rajah sama luas
Imbas QR Code di sebelah bagi 9. Bulatan
mengakses latihan pengukuhan. 10. Elips d a n Parabola
11. Ketangenan
18
19

2.1 Pembinaan d a n Pembahagian Garisan Langkah 1 Langkah 2 Langkah 3 BAB 2: GEOMETRI

C C

Standard Garisan Selari A TB A TB T
Pembelajaran AB
Garisan selari ialah dua atau lebih garisan yang mempunyai jarak Berpusat di T, bina lengkok Berpusat di A dan B, bina
Murid boleh: serenjang yang sama di antara satu sama lain di sepanjang garisan. menyilang pada garisan. lengkok berjejari sama Lukiskan garisan serenjang
• Menerangkan kaedah yang Kaedah pembinaan garisan selari ditunjukkan dalam Rajah 2.1. Titik A dan B diperoleh. menyilang di C. CT.

betul untuk melukis garisan Langkah 1 Rajah 2.2 Kaedah melukis garisan serenjang pada satu titik di atas garisan.
selari, garisan serenjang dan
membahagi garisan. p
• Melukis garisan selari,garisan
serenjang dan membahagi AB
garisan dalam Lukisan AB
Kejuruteraan.

Diberi satu garisan AB dan Bina dua garisan serenjang (b) Melukisgarisan serenjang pada satu titik di luar garisan
jarak antara garisanp. pada garisan AB. Kaedah melukis garisan serenjang pada satu titik di luar
garisan ditunjukkan dalam Rajah 2.3.
Langkah 2 Langkah 3
KBAT Langkah 1 AR Code

TT

Bagaimanakah pekerja binaan D CD C Imbas AR Code di atas untuk
memastikan pemasangan jubin p p B memahami dan melihat kaedah
dalam keadaan yang lurus? A BA melukis garisan serenjang.

Berpusat di A dan B, bina Lukiskan garisan CD. Garisan Diberi satu titik T di luar AB
lengkok dengan jejari p CD adalah selari dengan garisan.
menyilang pada titik C dan D. garisan AB. Berpusat di T, bina lengkok
Langkah 2 menyilang pada garisan.
Lukis garisan selari jika diberi panjang Rajah 2.1 Kaedah pembinaan garisan selari. Titik A dan B diperoleh.
AB = 50 m m dan P = 30 mm. T
Langkah 3
Garisan Serenjang
T

Garisan serenjang ialah dua garisan yang bersilang antara satu sama A BA B
lain pada sudut tepat 90 darjah.

(a) Melukis garisan serenjang pada satu titik di atas garisan
Kaedah melukis garisan serenjang pada satu titik di atas
garisan ditunjukkan dalam Rajah 2.2.

T U U

Diberi titik T di atas satu garisan. Berpusat di A dan B, bina Lukiskan garisan serenjang TU.
20 lengkok berjejari sama
menyilang di U.

Rajah 2.3 Kaedah melukis garisan serenjang pada satu titik di luar garisan.

21

(c) Melukis garisan serenjang di hujung garisan Langkah 2 Langkah 3 BAB 2: GEOMETRI
Kaedah melukis garisan serenjang di hujung garisan ditunjukkan dalam Rajah 2.4.

Langkah 1 C C

O

O AB AB

AB

A B DD
P
Dengan jejari yang sama, bina lengkok berpusat Lukiskan garisan CD yang membahagi dua AB.
Diberi satu garisan AB dan titik O. Berpusat di O, bina bulatan berjejari OB di B yang menyilang di C dan D.
Langkah 2 melalui titik B menyilang di P.
Rajah 2.5 Kaedah membahagi dua sama garisan.
Langkah 3

Q Q Bahagikan d u a s a m a garisan jika diberi jarak AB = 65 m m .
O O
(b) Membahagi garisan kepada beberapabahagianyangsama
Rajah 2.6 menunjukkan kaedah membahagi garisan kepada beberapa bahagian yang sama panjang.

A B A B Langkah 1 Langkah 2
P P

Bina garisan PO dan panjangkan ke Q. Lukiskan garisan serenjang QB. AB A B
12345 67 12345 67
Rajah 2.4 Kaedah melukis garisan serenjang di hujung garisan. AB
Dari titik A, bina garisan Bina garisan dari 7 ke B.
Pembahagian Garisan Diberi garisan AB. Bahagikan condong dan tandakan tujuh
kepada tujuh bahagian yang bahagian yang sama jarak
Garisan boleh dibahagikan kepada beberapa bahagian. sama. pada garisan condong.
(a) Membahagi dua samagarisan
Langkah 3 Langkah 4
Rajah 2.5 menunjukkan kaedah membahagi dua sama garisan.

Langkah 1

A B AB AB 1 23456 7
AB
Diberigarisan AB. Berpusat di A, bina lengkok berjejari lebih 12345 67
separuh jarak AB. 12345 67
Bina garisan yang selari
dengan garisan 7B pada titik Garisan AB telahdibahagikan
1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. kepada tujuh bahagian yang
sama.

Rajah 2.6 Kaedah membahagi garisan kepada beberapa bahagian yang sama.

Bahagikan garisan AB kepada lima bahagian yang s a m a jika panjang jarak AB = 70 m m .

22 23

(c) Membahagi garisan mengikutnisbah 2.2 Sudut BAB 2: GEOMETRI
Rajah 2.7 menunjukkan kaedah membahagi garisan mengikut nisbah.

Langkah 1 Langkah 2 B 2.2.1 Menyatakan Pelbagai JenisSudut Standard
Pembelajaran
AB AB A Sudut terbentuk apabila dua garisan bersilang antara satu sama
1 lain. Satu bulatan mempunyai sudut 360 darjah, manakala satu Murid boleh:
Diberi satu garisan AB. 1 2 garisan lurus mempunyai sudut 180 darjah. Nilai sudut dinyatakan • Menyatakan pelbagai jenis
Bahagikan mengikut nisbah 2 3 dalam darjah dan dilabelkan dengan simbol darjah (°). Rajah 2.8
3:2. 3 4 menunjukkanpelbagai jenis sudut. sudut.
4 5 • Mengaplikasi kaedah yang
5
Bina garisan dari 5 ke B. betul untuk membina sudut
Pada titik A, bina garisan dengan kaedah geometri dan
condong dan tandakan lima Sudut Tirus (x°<90°) Sudut Tepat (x° = 90°) sesiku set.
bahagian yang sama jarak • Membahagi dua sudut
pada garisan condong. mengikut kaedah yang betul.
• Mengaplikasi kaedah yang
Langkah 3 Langkah 4 betul untuk memindah sudut.

AB 3 2 Bahagikan garisan AB kepada nisbah
A B 3:5 jika nilai jarak AB = 85 mm.
1
2 1 x° x°
3 2
4 3
5 4
5
Selarikan garisan 5B kepada
titik 3 menyentuh pada Garisan AB telahdibahagikan Sudut Cakah (90°<x°<180°) Sudut Penggenap (x°+y°=180°) KBAT
garisan AB. kepada nisbah 3:2.
y°
Rajah 2.7 Kaedah membahagi garisan mengikut nisbah.
x°
LATIHAN 2.1 x° Mengapakah b u m b u ng rum ah
1. Bina satu garisan 70 mm dan bahagikan kepada empat bahagian yang sama.
dibina secara condong?
2. Diberi satu garisan lurus dengan panjang 110 mm. Bahagikan kepada nisbah 5:4. Berapakah sudut yang sesuai
untuk membina bumbung
rumah?

3. Lukis semula rajah di bawah dengan menggunakan kaedah geometri. Sudut Refleks (180°<y°<360°) Sudut Pelengkap (x°+y°=90°)
Nisbah BC:CD:DE adalah 1:1:3 manakala PO:OM:MK:IF:FE = 5 mm. JK dan H I dibahagikan
kepada lima bahagian yang sama. y° x°
y°
65
AB

R C
Q NL J HG D
50

P OM K IFE

Rajah 2.8 Pelbagai jenis sudut.

24 25

2.2.2 Mengaplikasikan Kaedah yang Betul untuk Membina Sudut dengan Langkah 2 Langkah 3 F BAB 2: GEOMETRI
kaedah Geometri dan Sesiku Set
C C
MembinaPelbagai Sudut Menggunakan Kaedah Geometri E E
J
Pelbagai jenis sudut dapat dibina menggunakan kaedah geometri. A DB A DB
(a) Membinasudut60°
Berpusat di A, bina lengkok berjejari Jmenyilang Berpusat di D dan E, bina lengkok berjejari
Membina sudut 60°menggunakan kaedah geometri ditunjukkan dalam Rajah 2.9. sudut ∡BAC. Titik D dan E diperoleh. sama menyilang di F.
Langkah 1
Langkah 4
J

A C

AB EF Lukis sudut berikut dengan m enggunakan
30°
Diberi satu garisan dan titik A. Pada titik A, bina lengkok berjejari J.Titik B kaedah geometri:
diperoleh. A DB ( a ) 15°
( b ) 75°
( c ) 135°

Langkah 2 Langkah 3 Bina garisan AF. ∡BAF = ∡CAF. Sudut 30°
diperoleh.
C C
Rajah 2.10 Membina sudut 30°menggunakan kaedah geometri.

(c) Membinasudut 90°
Membina sudut 90°menggunakan kaedah geometri ditunjukkan dalam Rajah 2.11.

J 60° Langkah 1

AB AB A BA C

Berpusat di B, bina lengkok berjejari J. Lukiskan garisan AC. Sudut BAC ialah 60°.
Titik C diperoleh.

Rajah 2.9 Membina sudut 60°menggunakan kaedah geometri.

(b) Membinasudut30° Diberi garisan dan titik A. Berpusat di A, bina lengkok menyilang garisan
Membina sudut 30°menggunakan kaedah geometri ditunjukkan dalam Rajah 2.10. di B dan C.
Langkah 2
Langkah 1 Langkah 3
D
D

C

A 60° B BA C BA C

Diberi satu garisan dan titik A. A Berpusat di B dan C, bina lengkok berjejari Lukiskan garisan serenjang DA.
sama menyilang di D. ∡CAD = ∡BAD =90°.
∡ BAC 60°dibina.

Rajah 2.11 Membina sudut 90°menggunakan kaedah geometri.

26 27

MembinaPelbagai Sudut Menggunakan Sesiku Set (c) Membinasudut 75° BAB 2: GEOMETRI
Kaedah membina sudut 75°menggunakan sesiku set ditunjukkan dalam Rajah 2.14.
Pelbagai jenis sudut juga dapat dibina dengan menggunakan sesiku set.
(a) Membinasudut45° Langkah 1

Kaedah membina sudut 45°menggunakan sesiku set ditunjukkan dalam Rajah 2.12. 45°
Langkah 1
A
45° A 60°
A
A 45°
45° 30°

Diberi satu garisan dan titik A. Letakkan sesiku set 45°di atas pembaris sesiku Diberi garisan dan titik A. Letakkan sesiku set30°dan 45°di ataspembaris
Langkah 2 T. Bina garisan dari titik A. Langkah 2 sesiku T seperti rajah di atas. Bina garisan dari
titik A.

45° 75° Bina sudut berikut dengan menggunakan
A A
sesiku set:
Garisan bersudut 45°dilukis. ( a ) 105°
( b ) 120°
Rajah 2.12 Kaedah membina sudut 45°menggunakan sesiku set. ( c ) 135°

(b) Membinasudut60° Garisan bersudut 75°dilukis.
Kaedah membina sudut 60°menggunakan sesiku set ditunjukkan dalam Rajah 2.13.
Langkah 1 Rajah 2.14 Kaedah membina sudut 75°menggunakan sesiku set.

30° 2.2.3 Membahagi Dua Sudut Mengikut kaedah yang Betul

AA Kaedah membahagi dua sama sudut ditunjukkan pada Rajah 2.15.
Langkah 1
60°
B

X° J
C
A
Diberi satu garisan dan titik A. Letakkan sesiku set 60°di atas pembaris sesiku A
Langkah 2 T. Bina garisan dari titik A. Diberi dua garisan bersudut x°.
Berpusat di A, bina lengkok berjejari J. Titik B
dan C diperoleh.

Langkah 2 Langkah 3 D

B D B

60° CC
A
AA
Garisan bersudut 60°dilukis.
Berpusat di B dan C, bina lengkok berjejari Bina garisan AD. ∡ BAD = ∡ DAC.
Rajah 2.13 Kaedah melukis sudut 60°menggunakan sesiku set.
sama, menyilang di D.
28
Rajah 2.15 Membahagi dua sudut mengikut kaedah yang betul.

29

2.2.4 Mengaplikasi kaedah yang Betul untuk Memindah Sudut 2.3 Segi Tiga BAB 2: GEOMETRI

Kaedah memindahkan sudut ditunjukkan dalam Rajah 2.16. B' Segi tiga merupakan rajah satah yang mempunyai tiga sisi lurus. Standard
Jumlah semua sudut dalam satu segi tiga ialah 180°(x°+ y°+ z°). Pembelajaran
Langkah 1 Rajah 2.17 menunjukkan ciri ciri segi tiga, manakala Rajah 2.18
menunjukkanjenis-jenis segi tiga. Murid boleh:
CC • Mengenal pasti jenis-jenis
E Puncak
Sudut puncak segi tiga
B' i. Segi tiga sisis am a
ii. Segi tiga kakis am a
x° B Jx iii. Segi tiga tepat
A A' iv. Segi tiga kaki tak s am a
AB • Membina segi tiga mengikut
D A' y° kaedah yang betul
berdasarkan parameter yang
Diberi sudut x°dan kedudukan baharu AB di Berpusat di A, bina lengkok berjejari Jx Sisi diberi
A' B'. menyilang di D dan E. i. Segi tiga s am a sisi apabila
Tinggi
diberi sisi
Langkah 2 Langkah 3 x° Sudut tapak ii. Segi tiga tepat apabila diberi
Tapak z°
hipotenus dan satu sisi.
C C iii. Segi tiga apabila diberi
E E
perimeter d a n nisbah sisi.
B' Jy B' Garis penengah iv. Segi tiga apabila diberi
Jx D' D'
tapak, sudut puncak dan
AB AB satu sisi.
D A' D A' v. Segi tiga apabila diberi
tapak, sudut puncak dan
Dengan menggunakan jejari Jx, bina lengkok Berpusat di D, bina lengkok berjejari Jy tinggi.
berpusat di A’. menyilang di E. vi. Segi tiga apabila diberi
tapak, sudut puncak dan
Rajah 2.17 Ciri-ciri segitiga. satu sudut tapak.
vii.Gabungan
pelbagai segi tiga.

Langkah 4 Langkah 5 Jenis-jenis Segi Tiga

C E' C C' Segi tiga sisi sama Segi tiga tepat
E Jy
E E'
B'
D' B' Anda berada di dalam kelas
Lukisan Kejuruteraan. Secara
AB D' berkumpulan, cari tiga objek
D A' X° yang berbentuk segi tiga.
X° Bentangkan dapatan anda.
Dengan menggunakan jejari Jy, bina lengkok
berpusat di D’menyilang di E’. AB
D A'

Lukisan garisan A'E'. Sudut BAC telah
dipindahkan ke kedudukan baharu A'B'.

Rajah 2.16 Mengaplikasi kaedah yang betul yang untuk memindah sudut. Segi tiga kaki sama Segi tiga kaki taksama

y°

Imbas QR Code di sebelah bagi y° y° z°
mengakses aktiviti berkaitan sudut dalam x°
topik geometri.
Rajah 2.18 Jenis-jenis segitiga.
30
31

2.3.2 Membina Segi Tiga Mengikut kaedah yang Betul Berdasarkan Parameter MembinaSegi Tiga Apabila Diberi Perimeter dan Nisbah Sisi BAB 2: GEOMETRI
yang Diberi
Kaedah membina segi tiga apabila diberi perimeter dan nisbah sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.21.

(i) MembinaSegi Tiga SisiSama Apabila Diberi Sisi Langkah 1 Langkah 2

Kaedah membina segi tiga sisi sama apabila diberi sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.19.

Langkah 1 Langkah 2 A A A

C C B 4x yB 4x yB

AB Diberi panjang perimeter AB 5 5
dan nisbahsisi 4:5:3.
AB AB 3 3

Berpusat di A dan B, bina Lukiskan sisi AC dan BC. Bahagikan garisan AB Berpusat di x, bina lengkok
lengkok berjejari AB yang mengikut nisbah 4:5:3. berjejari xA.
menyilang di C. Tandakan x dan y.
Diberi sisi AB.

Langkah 3 Langkah 4

Rajah 2.19 Kaedah membina segi tiga sisi sama apabila diberi sisi. C C Lukis segi tiga jika diberi
A A panjang perimeter AB = 70 m m
d a n nisbah sisi 2:3:5.
4x 4x
yB yB
Lukis segi tiga sisi s a m a jika
diberi panjang AB = 70mm. 5 5

(ii) MembinaSegi Tiga Tepat Apabila diberi Hipotenus dan Satu Sisi 3 3

Berpusat di y, bina lengkok Lukiskan garis xC, xy dan yC.
berjejari yB, menyilang di C.

Kaedah membina segi tiga tepat apabila diberi hipotenus dan satu sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.20. Rajah 2.21 Kaedah membina segi tiga apabila diberi perimeter dan nisbah sisi.
Langkah 1
Membina Segi Tiga Apabila Diberi Tapak, Sudut Puncak dan Satu Sisi
h
Kaedah membina segi tiga apabila diberi tapak, sudut puncak dan satu sisi ditunjukkan dalam
AB Rajah 2.22.

Ax B

Langkah 1 Langkah 2

Diberi panjang hipotenus AB dan panjang satu Bahagi dua sama AB untuk mendapatkan titik x°
sisi h. tengah x. Berpusat di x, bina separuh bulatan. s

Langkah 2 Langkah 3 A B A BO
x° AB

C B C Lukis segi tiga tepat jika diberi
A panjang sisi AB = 70 m m dan
h hipotenus, h = 30 m m
A B

Berpusat di A, bina lengkok Lukiskan garisan AC dan CB. D iberi panjang tapak AB, Pada titik A atau B, bina Bahagi dua sama AB supaya
berjejari h menyilang di C. sudut puncak x°dan sisi s. sudut x°di bahagian bawah menyilang di O. Berpusat di O,
dan garisan berserenjang. bina bulatan berjejari OA/OB,
melalui titik A dan B.
Rajah 2.20 Kaedah membina segi tiga tepat apabila diberi hipotenus dan satu sisi.

32 33

Langkah 3 Langkah 4 MembinaSegi Tiga Apabila Diberi Tapak, Sudut Puncak dan Sudut Tapak BAB 2: GEOMETRI

C C Kaedah membina segi tiga apabila diberi tapak, sudut puncak dan sudut tapak ditunjukkan dalam
s Lukis segi tiga jika diberi panjang
Rajah 2.24.
O O tapak AB = 70 m m , sisi = 45 m m
A dan sudut puncak = 60°. Langkah 1 Langkah 2

AB C

B O

x° y° A B O
A B x°
y°
Berpusat di A, bina lengkok Sambungkan AC dan BC. AB
berjejari s menyilang di C.
Diberi tapak AB, sudut puncak • Pada titik A atau B, bina • Berpusat di O, bina
Rajah 2.22 Kaedah membina segi tiga apabila diberi tapak, sudut puncak dan satu sisi. bulatan berjejariOA/OB
melalui titik A dan B.
MembinaSegi Tiga apabila Diberi Tapak, Sudut Puncak dan Tinggi x°dansudut tapak y°. garisan serenjang dan
• Bina garisan sudut y°
sudut puncak x° pada titik B menyilang
lilitan bulatan. Titik C
Kaedah membina segi tiga apabila diberi tapak, sudut puncak dan tinggi ditunjukkan dalam Rajah 2.23. di bahagian bawah. diperoleh.

• Bahagi dua sama

Langkah 1 Langkah 2 garisan AB. Titik O

diperoleh.

C Langkah 3

y° O hO C Sudut ACB Lukis segi tiga jika diberi nilai:

h AB x° C C' d a n AC’B Tapak AB = 80 m m
AB O Sudut Tapak= 75°
Berpusat di O, bina bulatan adalah sama Sudut puncak = 30°
berjejari OA/OB melalui y°
titik A dan B. AB x° x° jika segi tiga
Tanda ketinggian h pada
A y° B garisan tengah AB. O menggunakan
Bina garisan pada tinggi tapak AB
h yang selari dengan AB,
Diberi panjang tapak AB, • Pada titik A atau B, bina • menyilang pada C. y° dan puncak
sudut y°di bahagian bawah A y° segi tiga
dan garisan berserenjang. •
Bahagi dua sama garisan • B menyentuh
AB. Titik O diperoleh.
tinggi h dan sudut puncak y°. lilitan bulatan.

Lukiskan garisan AC, BC.

• Rajah 2.24 Kaedah membina segi tiga apabila diberi tapak, sudut puncak dan sudut tapak.

Langkah 3 LATIHAN 2.3

1. Lukis segi tiga apabila diberi panjang hipotenus 60 mm dan sisi 40 mm.

2. Lukis segi tiga apabila diberi panjang tapak 45 mm dan jarak sisi 35 mm.

C 3. Lukis segi tiga apabila diberi panjang tapak 60 mm dan sudut puncak 30°, sudut tapak 45°.

y° O C C' 4. Lukis gabungan segi tiga seperti rajah di bawah dengan skala penuh.
AB O
Tinggi Pada ketinggian yang sama, segi (a) (b)

AB tiga ABC adalah s a m a dengan 45 55 30°
segi tiga BAC’.
60°

Lukiskan garisan AC dan BC. 40 40
70
Rajah 2.23 Kaedah membina segi tiga apabila diberi tapak, sudut puncak dan tinggi.

34 35

2.4 Segi Empat Trapezium Lelayang BAB 2: GEOMETRI

Standard 2.4.1 Jenis dan Ciri-ciri SegiEmpat
Pembelajaran
Segi empat merupakan rajah yang mempunyai empat sisi dan • Dua sisi yang bertentangan adalah selari • Dua sisi sama panjang dan persilangan
Murid boleh: empat penjuru. Jumlah sudut dalam segi empat ialah 360°. Rajah antara dua pepenjuru adalah serenjang.
• Menerangkan jenis dan 2.25 menunjukkan jenis dan ciri-ciri segi empat.

ciri-ciri Segi Empat Sama Segi Empat Tepat
i. Segi em pat s am a
ii. Segi em pat tepat Rajah 2.25 Jenis dan ciri-cirisegi empat.
iii. Segi em pat selari
iv. Rombus 2.4.2 Membina Segi Empat Sama dan Segi Empat Tepat Mengikut
v. Trapezium kaedah yang Betul
vi. Lelayang
• Membina segi empat sama MembinaSegi Empat Sama Apabila Diberi Sisi
dan segi empat tepat
mengikut kaedah yang betul • Sisi sama panjang • Sisi bertentangan adalah Kaedah membina segi empat sama apabila diberi sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.26.
berdasarkan parameter • Sisi bertentangan adalah sama panjang dan selari Langkah 1
yang diberi
i. Sisi selari • Sudut dalam adalah A D AD
ii. Pepenjuru • Sudut dalam adalah sudut tepat C
• Membina rombus mengikut Diberi panjang sisi AD. Bina garisan serenjang di A.
kaedah yang betul sudut tepat Rombus Langkah 2
berdasarkan parameter • Persilangan antara dua
yang diberi B
i. Sisi penjuru adalahbersudut
ii. Sudut tepat
• Membina segi empat selari
apabila diberi dua sisi Segi Empat Selari
bersebelahan dan
parameter berikut
i. Sudut kandung
ii. Pepenjuru

Langkah 3 C

B

y°
x°

• Sisi bertentangan adalah • Sisi sama panjang AD AD
sama panjang dan selari • Sisi bertentangan adalah
antara satu samalain • Bina lengkok berjejari AD pada A Lukiskan segi empat sama ABCD.
selari menyilang di B.
• Jumlah sudut yang • Persilangan antara dua
bersebelahan adalah 180° • Berpusat di B dan D, bina lengkok berjejari
(x°+ y°= 180°) penjuru adalahserenjang AB menyilang di C.

Rajah 2.26 Kaedah membina segi empat sama apabila diberi sisi.

Lukis segi e m p a t s a m a jika diberi panjang sisi 65 m m .

36 37

MembinaSegi Empat Tepat Apabila Diberi Dua Sisi Langkah 2 Langkah 3 BAB 2: GEOMETRI
Kaedah membina segi empat tepat apabila diberi dua sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.27
B B
Langkah 1
AO AO
C C

y D Ax D D
Ax
Bina garisan serenjang di A. Berpusat di O, bina bulatan berjejari OA/OC, Lukiskan segi empat sama ABCD.
D menyilang garisan di B dan D.

Diberi panjang sisi x dan y. Rajah 2.28 Kaedah membina segi empat sama apabila diberi pepenjuru.

Langkah 2 x C Langkah 3 C Lukis segi e m p a t s a m a jika diberi panjang pepenjuru 70 m m .

B B MembinaSegi Empat Tepat Apabila Diberi Pepenjuru
Kaedah membina segi empat tepat apabila diberi pepenjuru ditunjukkan dalam Rajah 2.29.
yy
Langkah 1
AD AD

• Bina lengkok berjejari y di A dan D. Titik Lukiskan segi empat tepat ABCD.
B diperoleh.
s AO C
• Berpusat di B, bina lengkok berjejari x A
menyilang di C.

Rajah 2.27 Kaedah membina segi empat tepat apabila diberi dua sisi. C

Diberi garisan pepenjuru AC dan sisi s. Bina dan bahagi dua sama garisan pepenjuru
AC. Pusat bulatan O diperoleh.
Lukis segi e m p a t tepat jika diberi panjang sisi x = 70 m m d a n sisi y = 45 m m .
Langkah 2 Langkah 3
MembinaSegi Empat Sama Apabila Diberi Pepenjuru
Kaedah membina segi empat sama apabila diberi pepenjuru ditunjukkan dalam Rajah 2.28. B B

Langkah 1 s O C AC
A s

AC AO C D D

Berpusat di O, bina bulatan berjejari OA/OC. Lukiskan segi empat tepat ABCD .
Berpusat di A dan C, bina lengkok jejari s
menyilang pada B dan D.

Diberi garisan pepenjuru AC. Bina dan bahagi dua sama garisan pepenjuru Rajah 2.29 Kaedah membina segi empat tepat apabila diberi pepenjuru.
38 AC. Pusat bulatan O diperoleh.

Lukis segi e m p a t tepat jika diberi panjang pepenjuru 80 m m .

39

2.4.3 Membina Rombus Apabila Diberi Sisi dan Sudut Langkah 2 Langkah 3 BAB 2: GEOMETRI

Kaedah membina rombus apabila diberi sisi dan sudut ditunjukkan dalam Rajah 2.30. B p C BC
Langkah 1 p AD
q q
B A D

x° p • Berpusat di A dan D, bina lengkok sisi q. Lukiskan segi empat selari ABCD.
p • Berpusat di B, bina lengkok berjejari p
D
A menyilang di C.

x° p A Rajah 2.31 Kaedah membina segi empat selari apabila diberi dua sisi bersebelahan dan sudut kandung.
D

Diberi sisi p dan sudut x°. Bina sisi p. Berpusat di A, bina sudut x°dan
lengkok sisi p menyilang di B.

Lukis segi e m p a t selari jika diberi panjang sisi p = 70 m m , sisi q = 50 m m d a n sudut kandung = 60°.

Langkah 2 Langkah 3

B p C B C Membina Segi Empat Selari Apabila Diberi Dua Sisi Bersebelahan dan Pepenjuru

p Kaedah membina segi empat selari apabila diberi dua sisi bersebelahan dan pepenjuru ditunjukkan
dalam Rajah2.32.

A D Langkah 1 Langkah 2

AD Lukiskan rombusABCD. pC

Berpusat di B dan D, bina lengkok sisi p q pp
menyilang di C.
r
Rajah 2.30 Kaedah membina rombus apabila diberi sisi dan sudut. r qq

A DA D

Lukis rom bus jika diberi panjang sisi p = 55 m m d a n sudut 60°. Diberi pepenjuru p, sisi q Bina sisi q. Berpusat di A, Berpusat di D, bina lengkok
dan sisi r. bina lengkok pepenjuru p. sisi r menyilang di C.

Langkah 3 Langkah 5

2.4.4 Membina Segi Empat Selari Apabila Diberi Dua Sisi Bersebelahan dan Bq C BC Lukiskan segi em pat selari jika
Sudut Kandung diberi panjang:
Pepenjuru p = 70 m m
Kaedah membina segi empat selari apabila diberi dua sisi bersebelahan dan sudut kandung r Sisi q = 50 m m
ditunjukkan dalam Rajah 2.31. Sisi r = 40 m m
AD AD
Imbas QR Code di atas
Langkah 1 • Berpusat di C, bina Lukiskan segi empat selari untuk mengakses aktiviti
lengkok sisi q. ABCD. berkaitan segi empat.
y°
• Berpusat di A, bina
q
Ap D A y° p D lengkok sisi r menyilang
di B.

Diberi sisi p, sisi q dan sudut kandung y°. Bina sisi p dan bina sudut y°di A. Rajah 2.32 Kaedah membina segi empat selari apabila diberi dua sisi
bersebelahan dan pepenjuru.

40 41

2.5 Poligon 2.5.2 Membina Pentagon Sekata Mengikut Kaedah yang Betul BAB 2: GEOMETRI

MembinaPentagon Sekata ApabilaDiberi Panjang Sisi

Standard 2.5.1 Poligon Sekata dan Poligon Tidak Sekata Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi panjang sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.35.
Pembelajaran
Poligon merupakan rajah satah yang terdiri daripada beberapa Langkah 1 Langkah 2
Murid boleh: sisi sekata atau tidak sekata. Jadual 2.1 menunjukkan perbezaan
• Mengenal pasti poligon antara poligon sekata dan poligon tidak sekata. Rajah 2.33 AE 6
menunjukkan poligon tidak sekata, manakala Rajah 2.34
sekata dan poligon tidak menunjukkan poligon sekata. Diberi panjang sisi AE. 4
sekata Langkah 3
i. Pentagon Jadual 2.1 Perbezaan antara poligon sekata dan poligon tidak sekata. AE A 45° 60° E
ii. Heksagon
iii. Heptagon Poligon Sekata Poligon Tidak Sekata Bina sisi AE dan bahagi dua Bina garisan bersudut 45°dan
iv. Oktagon sama serenjang. 60°di titik A dan E bersilang
• Membina pentagon sekata Bilangan paksi simetri sama Bilangan paksi simetri di garisan serenjang. Titik 4
mengikut kaedah yang betul dengan bilangan sisi. bergantung kepada Langkah 4 dan 6diperoleh.
berdasarkan parameter yang bentuk poligon.
diberi Nilai sudut dalam sama. Nilai sudut dalam berbeza. C Langkah 5
i. Panjang sisi Sisi sama panjang. Sisi tidak sama panjang.
ii. Bulat terterap lilit C
• Membina heksagon
sekata mengikut sekata 6 B DB 6 D
mengikut kaedah yang betul 5 6
berdasarkan parameter yang 55
diberi 4 44
i. Panjang sisi
ii. Jarak antara rata AE AE AE
iii. Jarak antara sudut
• Membina oktagon sekata Pentagon Heksagon
mengikut sekata mengikut
kaedah yang betul Bahagi dua sama panjang 4 • Berpusat di titik 5, bina Lukiskan pentagonABCDE.
berdasarkan parameter yang dan 6, titik 5 diperoleh.
diberi
i. Panjang sisi
ii. Bulatan terterap lilit

bulatan berjejari 5A/5E

melalui titik A dan E

menyilang garisan

serenjang di C.

• Berpusat di A dan E, bina

lengkok berjejari AE

Heptagon Oktagon menyilang di B dan D.

Rajah 2.35 Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi panjang sisi.

Lukis pentagon sekata jika diberi panjang sisi = 70 m m .

Nonagon Dekagon

Rajah 2.33 Poligon tidak sekata. Rajah 2.34 Poligon sekata.

42 43

MembinaPentagon Sekata ApabilaDiberi Bulatan Terterap Lilit 2.5.3 Membina Heksagon Sekata Mengikut Kaedah yang Betul BAB 2: GEOMETRI
Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit ditunjukkan dalam Rajah 2.36.
MembinaHeksagon SekataApabilaDiberi Panjang Sisi
Langkah 1 Langkah 2 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi panjang sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.37.

AA Langkah 1

1 21
2
33
4 4
O 5 2' 5 2' P

AF O

Diberi bulatan berpusat di O. X X bina AF
AX
• Bina garisan diameter Berpusat di A dan X, Diberi panjang sisi AF. • Berpusat pada titik A dan F, bina lengkok
AX dan bahagikan lengkok berjejari berjejari AF menyilang pada O.
kepada lima bahagian menyilang di P.
yang sama. • Berpusat di O, bina bulatan berjejari OA
melalui titik A dan F.
• Selarikan titik 2 kepada
garisan 5X. Titik 2’ Langkah 2 Langkah 3
diperoleh.
C C
D D

Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5 B OE BE

A A A
E 2' E
E B B
P

AF AF

X D XC D XC Berpusat di A dan F, bina lengkok berjejari AF Lukiskan heksagon sekataABCDEF.

Bina garisan dari P melalui Menggunakan panjang AE, Lukiskan pentagonABCDE. menyilang pada lilitan bulatan. Titik B, C, D
titik 2’ dan menyilang pada bina lengkok yang bersilang
lilitan bulatan di E. pada lilitan bulatan. Titik B, C dan Ediperoleh.
dan D diperoleh.
Rajah 2.37 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi panjang sisi.

Rajah 2.36 Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit. Lukis heksagon sekata jika diberi panjang sisi 55 m m .

Lukis pentagon sekata jika diberi bulatan terterap lilit berjejari = 55 m m . MembinaHeksagon SekataApabilaDiberi Jarak Antara Rata
Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara rata ditunjukkan dalam Rajah 2.38.
Kaedah ini juga boleh
digunakan untuk membina Langkah 1
sebarang poligon iaitu dengan
cara membahagikan diameter XY XO Y
bulatan mengikut bilangan sisi
yang dikehendaki.

Diberi jarak antara rata XY. Bahagi dua sama garisan XY. Titik O diperoleh.
45
44

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4 2.5.4 Membina Oktagon Sekata Mengikut kaedah yang Betul BAB 2: GEOMETRI

MembinaOktagon SekataApabila Diberi Panjang Sisi

E A E 30° 30° A E A Kaedah membina oktagon apabila diberi panjang sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.40.
X 30° O 30° Y X 30° O 30° Y XO Y
Langkah 1 Langkah 2
30° 30°
O
G AH G
45°
• Bina garisan tegak pada Pada titik A, B, D dan E, bina Lukiskan heksagon ABCDEF. AH AH

titik X dan Y. garisan bersudut 30°. Titik C

• Berpusat pada titik O, dan Fdiperoleh. Diberi panjang sisi AH. Pada titik H, bina garisan Bahagi dua sama sisi AH dan
bersudut 45° dan lengkok HG. Titik O diperoleh.
bina sudut 30°menyilang berjejari AH menyilang di G.

pada garis tegak. Titik A,

B, D dan E diperoleh.

Rajah 2.38 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara rata. Langkah 3 Langkah 4

DE D E

Lukis heksagon sekata jika diberi panjang jarak antara rata = 70 m m . C F C F
G B G
MembinaHeksagon SekataApabila Diberi Jarak Antara Sudut O
Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara sudut ditunjukkan dalam Rajah 2.39. B

Langkah 1 Langkah 2 AH AH Lukis oktagon sekata jika diberi
panjang sisi = 40 m m
B • Berpusat pada O, bina Lukiskan oktagon sekata

C bulatan berjejari OA ABCDEFGH.

melalui titik A, H dan G.

A D AO D AO D • Bina lengkok berjejari

AH menyilang pada

lilitan bulatan. Titik B, C,

FE D, E dan F diperoleh.

Diberi jarak antara sudut AD. • Bahagi dua sama garisan Berpusat pada A dan D, Rajah 2.40 Kaedah membina oktagon apabila diberi panjang sisi.

AD. Titik O diperoleh. bina lengkok berjejari AO MembinaOktagon SekataApabila Diberi Bulatan Terterap Lilit
Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit ditunjukkan dalam Rajah 2.41.
• Berpusat pada O, bina menyilang pada lilitan
Langkah 1
bulatan berjejari OA bulatan. Titik B, C, E dan F

melalui titik A dan D. diperoleh.

Langkah 3 C

B

AO D O
O

AE

Lukis heksagon sekata jika diberi nilai jarak antara sudut = 60 m m.

FE Diberi satubulatan. Bina diameter AE. Bina garisan serenjangAE
di O.
Lukiskan heksagon ABCDEF.
47
Rajah 2.39 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara sudut.

46

Langkah 2 Langkah 3 2.6 Skala BAB 2: GEOMETRI

G F G F
H H

A OE A OE Lukis oktagon sekata jika diberi Skala ialah nisbah atau kadar jarak sebagai ganti saiz sebenar. Standard
bulatan terterap lilit berjejari Dalam lukisan kejuruteraan, skala digunakan untuk mengecilkan Pembelajaran
= 50mm. atau membesarkan sesuatu lukisan. Contohnya, struktur sesebuah
bangunan tidak dapat dilukis menggunakan ukuran penuh di Murid boleh:
BD BD atas sekeping kertas lukisan. Namun dengan menggunakan • Mengenal pasti jenis-jenis
skala bersesuaian, keseluruhan struktur bangunan tersebut
CC dapat dilukis dengan terperinci. Begitu juga dengan objek yang skala:
terlalu kecil tidak dapat dilihat dengan jelas di atas kertas lukisan i. Skala biasa
• Bahagi setiap sukuan Lukiskan oktagon sekata jika menggunakan ukuran sebenar. Oleh itu penggunaan skala ii. Skala pepenjuru
kepada dua bahagian yang ABCDEFGH. tertentu diperlukan untuk membesarkan objek di atas kertas • Menyatakan skala dengan
sama supaya membentuk lukisan tanpa mengubah bentuk asal objek. cara:
i. Nisbah
lapan bahagian. Skala terbahagi kepada dua iaitu skala biasa dan skala ii. Pecahan
pepenjuru. iii. Pernyataan
• Titik B, C, D, F, G dan H

diperoleh.

Rajah 2.41 Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit.

MembinaOktagon SekataApabila Diberi Segi Empat Sama

Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi segi empat sama ditunjukkan dalam Rajah 2.42. 2.6.1 Jenis-jenisSkala Contoh pembaris skala yang
biasa digunakan.
Langkah 1 Langkah 2 (a) SkalaBiasa
Skala biasa digunakan sebagai ukuran yang boleh diambil m (unit meter)
S T SD ET terus bacaannya daripada pembaris skala. Saiz dan nisbah 1m
bagi pembaris skala metrik ditunjukkan dalam Jadual 2.2, 0 1m 2m 3m 4m
CF manakala Rajah 2.43 menunjukan skala biasa. 1:50
XX Rajah 2.43 Skalabiasa.
Jadual 2.2 Saiz dan nisbah bagi pembaris skala metrik.
BG
Nisbah Skala
VU VA HU Pengecilan
1:2
Diberisegi empat sama. Bina garisan pepenjuru SU • Berpusat padaS, bina 1:50
dan TV. Titik persilangan X 1:100
Langkah 3 diperoleh.
lengkok berjejari SX 1:1 Saiz penuh
DE Pembesaran
menyilang pada B dan E. 2:1
50:1
• Ulang langkah untuk 150:1

titik T, U dan V untuk

mendapatkan titik D, G, A,

F, C danH. (b) SkalaPepenjuru
Skala pepenjuru digunakan bagi menunjukkan pecahan unit
CF yang lebih kecil contohnya bagi unit bacaan sekecil 0.01 unit.
Rajah 2.44 menunjukkan skala pepenjuru.
Lukis oktagon sekata jika diberi panjang sisi segi em pat s am a = 55 m m .
BG

AH Bahagian 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2.53 2m 3m
pepenjuru 1m
Lukiskan oktagon sekata skala
ABCDEFGH. Rajah 2.42 Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi segi empat sama. Bacaan = 2.53

48 Rajah 2.44 Skala pepenjuru.

49

2.6.2 MenyatakanSkala 2.7 Pembesaran d a n Pengecilan BAB 2: GEOMETRI

Skala boleh dinyatakan dalam tiga cara iaitu nisbah, pecahan dan pernyataan. Jadual 2.3 di bawah
menunjukkan cara menyatakan skala, manakala Rajah 2.45 menunjukkan aplikasi pembaris skala.

Jadual 2.3 Cara menyatakan skala. 2.7.1 Konsep Pembesaran danPengecilan Standard
Pembelajaran
Cara MenyatakanSkala Keterangan Rajah boleh dibesarkan atau dikecilkan dengan menggunakan
konsep pembesaran dan pengecilan. Ini bermaksud rajah Murid boleh:
Nisbah (x:y) x unit pada lukisan mewakili y unit pada objek sebenar. mempunyai bentuk dan sudut yang sama tetapi saiz yang • Menerangkan konsep
berlainan dan boleh dibandingkan dengan kaedah nisbah sisi
Pecahan (x/y) x unit pada lukisan diwakili y unit pada objek sebenar. atau nisbah luas. pembesaran dan pengecilan.
• Membezakan kaedah nisbah
Pernyataan x unit pada lukisan mewakili y unit pada objek sebenar. Rajah 2.46 menunjukkan poligon tidak sekata ABCD,
(x mewakili y) A'B'C'D' dan A''B''C''D'' yang serupa. sisi dan nisbah luas bagi
pembesaran dan pengecilan
= 59 mm Poligon tidak sekata A'B'C'D' adalah rajah yang dikecilkan rajah.
dengan nisbah sisi 1:2 daripada rajah ABCD manakala poligon • Melukis rajah yang dibesarkan
Secara berkumpulan, ukur 0 10 mm 20 mm 30 mm 40 mm 50 mm 60 mm 70mm tidak sekata A''B''C''D'' adalah rajah yang dibesarkan dengan dan dikecilkan mengikut
meja lukisan di bilik Lukisan nisbah 2:1. i. Nisbah sisi
Kejuruteraan dan berapakah 1:1 = 340 mm ii. Nisbah luas
skala yang sesuai digunakan Imej
untuk melukis meja tersebut 2:1 TAHUKAH
di atas kertas lukisan. D'' ANDA

0 100 mm 200 mm 300 mm 400 mm Imej Objek C'' Pengecilan dan pembesaran
1:2 D B'' kaedah nisbah sisi adalah
1:5 D' A'' berbeza dengan kaedah
= 2900 mm C nisbah luas.
C'
0 1m 2m 3m 4m Pusat B Pengecilan nisbah
pengecilan/ B' A 2:3
pembesaran 1 A'
4 Rajah yang dilukis Rajah asal
1:50 2
Rajah 2.45 Aplikasi pembarisskala. Pembesaran nisbah
5 :2
Contoh pengiraan skala
Hubungkait penukaran antara unit-unit panjang dapat dirumuskan seperti di bawah. Rajah yang dilukis Rajah asal

× 1000 × 100 × 10 Rajah 2.46 Konsep pembesaran dan pengecilan mengikut nisbah sisi.

KM M CM MM 2.7.2 Membezakan Kaedah Nisbah Sisi dan Nisbah Luas bagi Pembesaran dan
Pengecilan Rajah
÷ 1000 ÷ 100 ÷ 10
Bagi kaedah nisbah sisi, panjang sisi rajah yang berkaitan akan dikurangkan atau ditambahkan
mengikut nisbah tertentu. Manakala bagi kaedah nisbah luas, luas sesuatu rajah dikecilkan atau
dibesarkan mengikut nisbah tertentu. Rajah 2.47 menunjukkan perbezaan antara kaedah nisbah
sisi dengan kaedah nisbah luas bagi dua rajah yang serupa.

Untuk menukarkan unit besar kepada unit Untuk menukarkan unit kecil kepada unit
kecil, perlu mendarabkannya (×). Contoh: besar, perlu membahagikannya (÷). Contoh:
Tukarkan 3 cm kepada unit mm. Tukarkan 90 cm kepada unit m.
1 cm = 10 mm 100 cm = 1 m
3 cm = 3 ×10 mm 90 cm = 90 ÷100

= 30 mm = 0.9 m

50 51

Nisbah Kaedah Nisbah Sisi Kaedah Nisbah Luas Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4
D
Pengecilan D C C C BAB 2: GEOMETRI
Rajah O O O
D' B O' C' B O' C' B O' C'
Nisbah 2:3 B' B' B'
D' C Ppeunsagtecilan C' C
Pembesaran 3 21
Rajah Pusat C' D D
pengecilan D' D'
Nisbah 3:2 A B' B D
A B' B D'
1
Pusat pembesaran 23 A E' E A
dan pengecilan
boleh dipilih pada D' D' 1 A E' E 1 E' E
m ana-m ana titik D 2
pada rajah. 3 1 2
4 2
D C' C' 3 3 4
C 4

E' C E' B B' • Bina garisan selari ED dari Berpusat di O', bina lengkok Lukis dan hitamkan AB'C'D'E'.
E
E 3 titik E' menyilang garisan berjejari O'C' melalui titik C'
Pusat 2
pembesaran Pusat 1A
pembesaran AD. Titik D' diperoleh. dan B'.
A12 B B'
3
• Begitu juga dengan garisan

yang selari DC, CO dan

Rajah 2.47 Perbezaan antara kaedah nisbah sisi dengan kaedah nisbah luas. OB sehingga titik C', O',

dan B'diperoleh.

2.7.3 MelukisRajah yang Dibesarkan dan Dikecilkan Mengikut Nisbah Sisidan Rajah 2.48 Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah sisi.
Nisbah Luas

Pembesaran Rajah MengikutNisbah Sisi

Pengecilan Rajah MengikutNisbah Sisi

Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.49.

Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah sisi Langkah 1 C Langkah 1 Langkah 2
ditunjukkan dalam Rajah 2.48.
O DD D'
C B B CO E B C O E
D
O D B' C'
B
B CO
D E'
E

AE A1 E' E AF A 1 F F' A F F'

Diberi rajah ABCDE serta pusat lengkok O. 2 23 34
Kecilkan rajah mengikut kaedah nisbah sisi 3:4. 3 4
4
Diberi rajah ABCDEF dan • Pilih A sebagai pusat • Bina garisan yang selari
• Pilih A sebagai pusat pengecilan.
• Bina garisan pancaran AB, AO, AC, AD bulatan berpusat O. Besarkan pembesaran. dengan FE dari titik F'

dan AE. rajah mengikut nisbah sisi 4:3. • Bina garisan pancaran AB, menyilang pada garisan
• Bina garisan condong pada titik A dan
AC, AD, AO, AE dan AF. AE. Titik E' diperoleh.
bahagikan kepada empat bahagian yang
sama. • Bina garisan condong • Begitu juga dengan garisan
• Bina garisan 4-E dan selarikan kepada
titik 3 bagi mendapatkan E'. pada titik A dan yang selari dengan ED,

bahagikan kepada 4 DC dan CB sehingga titik

bahagian yang sama. D', C' dan B' diperoleh.

• Bina garisan pada 4 selari

dengan garisan 3-F. Titik

F' diperoleh.

52 53

Langkah 3 Langkah 4 Langkah 2 Langkah 3 BAB 2: GEOMETRI

D' D' CO CO
BD BD
B' C' D x' D
C x O' B' C' O' 54 3 E 543 E
B O y' E E' E' 5' 3' 21 F 5' 3' 21 F' F
B CO
A A
E

y

A F F' A F F' Y Y
X X
33
44 • Bina garisan condong pada A dan
bahagikan kepada 5 bahagian sama.
• Bina garisan FO menyilang lilitan bulatan. Lukis dan hitamkan garisan AB'C'D'E'F' dan • Bina garisan pada X-F dan selarikan
• Bina garisan yang selari dengan 5-5' dari dengan titik Y. Titik F' diperoleh.
Titik x dan y diperoleh. bulatan. titik 3. Titik 3' diperoleh.
• Bina garisan pancaran AB, AC, AO, AD,
• Bina garisan pancaran Ax dan Ay. • Bahagi dua sama jarak F-3'dan bina separuh AE dan AF.
bulatan menyilang garisan serenjang pada Y.
• Bina garisan yang selari dengan FO dari

tiitk F' menyilang pada garisan AO. Titik

O', x',y' diperoleh.

• Bina bulatan berpusat O' berjejari O'x' Langkah 4 Langkah 5

melalui pada titik x' dan y'.

Rajah 2.49 Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah sisi. CO CO
B C' O' D B C' O' D
Pengecilan Rajah MengikutNisbah Luas 543 B' D' 543 B' D'
Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah luas ditunjukkan dalam Rajah 2.50. 5' 3' 5' 3' 2 1 E' E
2 1 E' E
Langkah 1 A F' F
A F' F

CO CO YY
BD BD XX

E A E • Bina garisan yang selari dengan FE dari F' • Berpusat pada titik O', bina lengkok berjejari
AF F menyilang padagarisanAE. TitikE'diperoleh. O'D' melalui pada titik C' dan D'.
5'
• Begitu juga dengan garisan-garisan • Lukis dan hitamkan rajah AB'C'D'E'F'
X yang selari dengan ED, DO, OC dan CB yang mempunyai keluasan 3:5 dari rajah
sehingga titik D', O', C', dan B' diperoleh. ABCDEF.
• Pilih A sebagai pusat pengecilan.
Diberi rajah ABCDEF dan pusat lengkok O. • Pada titik A, bina garisan serenjang dan Rajah 2.50 Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah luas.
Kecilkan rajah mengikut nisbah luas 3:5.
separuh bulatan berjejari AF menyilang
pada X. Titik 5' diperoleh.

54 55

Pembesaran Rajah MengikutNisbah Luas Langkah 4 Langkah 5 BAB 2: GEOMETRI

Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah luas ditunjukkan dalam Rajah 2.51. D' D'
O,' D
Langkah 1 E' O,' D E'
O, E O,
y' E
D C' O, 45 C' O,' y 45
O, C 23 C O,
D E 1 23
O, O, x' x 1
C A
C O, E B' B 3' 5' B' B A 3' 5'

BA 3'

BA XX
YY

X

Diberi rajah poligon ABCDE dan pusat lengkok • Pilih A sebagai pusat pembesaran. • Bina garisan yang selari dengan BC dari • Bina garisan BO2 menyilang lilitan
O1dan pusat bulatan O . 2Lukis pembesaran • Panjangkan garisan BA. B' menyilang pada garis AC. Titik C' bulatan. Titik x dan y diperoleh.
rajah dengan kaedah nisbah luas 5:3. • Pada titik A, bina garisan serenjang dan diperoleh.
• Bina garisan pancaran Ax dan Ay.
separuh bulatan berjejari AB menyilang • Begitu juga dengan garisan yang selari • Bina garisan yang selari dengan BO2 dari
pada X. Titik 3' diperoleh. dengan CO1, O1D, DE sehingga titik O1',
D' dan E' diperoleh. tiitk B' menyilang titik O2', x' dan y'.
Langkah 2 Langkah 3 • Bina bulatan berpusat O2' berjejari O2'x'
• Berpusatpada titik O1', bina lengkok berjejari
O1'C'melalui pada titik C' dan D'. melalui pada titik x' dan y'.

D E O, D Langkah 6
O, C E
B' B
O, 4 5 O, 4 5 D'
C 23
23 O,' D E'
1 1 E

BA 3' 5' A 3' 5' O, 34 5
12
O,'
A 3'
X C' O,
C
Y X
B' B 5'
• Bina garisan condong pada A dan Y
bahagikan kepada 5 bahagian yang sama. X
• Bina garisan pada Y selari dengan garisan Y
• Bina garisan yang selari dengan 3-3' dari X-B. Titik B'diperoleh.
titik 5. Titik 5' diperoleh . Lukis dan hitamkan rajah AB'C'D'E' yang
• Bina garisan pancaran AB, AC, AO1, AO2, mempunyai keluasan 5:3 dari rajah ABCDE.
• Bahagi dua sama jarak B-5' dan bina AD danAE.
separuh bulatan menyilang pada titik Y. Rajah 2.51 Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah luas.

Imbas QR Code di sebelah
untuk mengakses aktiviti
berkaitan pembesaran
dan pengecilan.

56 57

2.8 Rajah Sama Luas Langkah 2 Langkah 3 BAB 2: GEOMETRI

BC B C

Standard 2.8.1 Konsep Rajah SamaLuas DD
Pembelajaran
Rajah sama luas merupakan dua rajah yang berlainan bentuk tetapi YA XE YA XE
Murid boleh: mempunyai luas yang sama. Contohnya segi tiga yang mempunyai
• Menerangkan konsep rajah ukuran tapak dan tinggi yang sama dan berada pada garisan selari, • Bina garisan yang selari dengan CA dari B Lukis dan hitamkan segi tiga CXY. Poligon
maka segi tiga tersebut adalah sama luas. Rajah 2.52 menunjukkan menyilang padagarisanAE. Titik Y diperoleh. tidak sekata ABCDE adalah sama luas dengan
s am a luas. segi tiga yang terletak di antara dua garisan selari. Luas segi tiga segi tiga CXY.
• Menunjukkan peringkat ABC adalah sama dengan segi tiga ABC' dan segi tiga ABC''. • Bina garisan CY.

perubahan bentuk rajah C' C C'' Rajah 2.53 Perubahan bentuk poligon kepada segi tiga.
mengikut turutan yang betul.
• Melukis mengikut turutan
perubahan bentuk pelbagai
rajah kepada bentuk segi
empat sama.

Tinggi Segi Tiga kepada Segi Empat Tepat

Kaedah perubahan bentuk segi tiga kepada segi empat tepat ditunjukkan dalam Rajah 2.54.

Langkah 1

B
B

AB
Rajah 2.52 Segi tiga sama luas.

2.8.2 Pembinaan Rajah SamaLuas A C AC

Poligon kepada Segi Tiga Diberi segi tiga ABC. • Bina garisan tinggi berserenjang dari
puncak B.
Kaedah perubahan bentuk poligon kepada segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 2.53.
Langkah 1 • Bahagi dua sama garis tinggi.

BC BC Langkah 2 Langkah 3

DD Y B Y B
X X

AE A XE AC AC

Diberi bentuk poligon tidak sekata ABCDE. • Bina garisan yang selari dengan CE dari Bina garisan berserenjang pada titk A dan C Lukis dan hitamkan segi empat tepat AYXC.
D menyilang pada garisan AE. Titik X menyilang pada X dan Y. Segi tiga ABC adalah sama luas dengan segi
diperoleh. empat tepatAYXC.

• Bina garisan CX. Rajah 2.54 Perubahan bentuk segi tiga kepada segi empat tepat.

58 59

Segi Empat Tepat kepada Segi Empat Sama Langkah 2 Langkah 3 BAB 2: GEOMETRI

Kaedah perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat sama ditunjukkan dalam Rajah 2.55. B B
X X

Langkah 1

N

BC BC A CD A CD

Bina garisan DX. Lukis dan hitamkan segi tiga AXD. Segi tiga

AD ABC adalah sama luas dengan segi tiga AXD.

A DM Rajah 2.56 Perubahan bentuk segi tiga kepada segi tiga yang diberi satu sisi.

Diberi segi empat tepat ABCD. • Panjangkan garisan AD. Segi Empat Sama kepada Segi Empat Tepat yang Diberi Satu Sisi
• Berpusat di D, bina lengkok berjejari DC
Kaedah perubahan bentuk segi empat sama kepada segi empat tepatyang diberi satu sisi ditunjukkan
menyilang di M. dalam Rajah2.57.
• Bahagi dua sama AM dan bina separuh
Langkah 1
bulatan menyilang di N.

Langkah 2 Langkah 3 BC BC

B NQ B NQ
C C

E AD E FA D

A D MP A D MP Diberi segi empat sama ABCD dan sisi DE. Bina dan bahagi dua sama garisan EB
menyilang padaF.
• Berpusat di D, bina lengkok berjejari DN Lukis dan hitamkan segi empat sama DNQP.
dan menyilang di P. Segi empat tepat ABCD adalah sama luas Langkah 2 Langkah 3
dengan segi empat sama DNQP.
• Berpusat di N dan P,bina lengkok berjejari I I
DN dan menyilang di Q. B C BC
H H
Rajah 2.55 Perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat sama.

Segi Tiga kepada Segi Tiga yang Diberi Satu Sisi

Kaedah perubahan bentuk segi tiga kepada segi tiga yang diberi satu sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.56. E FA GD E FA GD

Langkah 1 • Berpusat di F, bina lengkok berjejari FE Lukis dan hitamkan segi empat tepat AEIH.
menyilang pada G. Segi empat sama ABCD adalah sama luas
BB dengan segi empat tepat AEIH.
X • Berpusat di A, bina lengkok berjejari AG
menyilang pada H.

• Bina garisan serenjang di E dan H
menyilang pada I.

A CD A CD Rajah 2.57 Perubahan bentuk segi empat sama kepada segi empat yang diberi satu sisi.

Diberi bentuk segi tiga ABC dan sisi AD. Bina garisan yang selari dengan DB dari C
menyilang pada garisan AB. Titik X diperoleh.

60 61

Segi Empat Tepat kepada Segi Empat Tepat Lain yang Diberi Satu Sisi Langkah 2 D Langkah 3 D BAB 2: GEOMETRI

Kaedah perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat tepat lain yang diberi satu sisi C C
ditunjukkan dalam Rajah 2.58.

Langkah 1 BE

CD C D GA FH IG H

F • Bina garisan yang selari dengan DF dari E • Bina garisan yang selari dengan DG dari C
menyilang pada titik H. menyilang pada titik I.
E BA E BA
• Bina garisan DH. Rajah CDHG adalah • Bina garisan DI. Segi tiga D HI adalah
Diberi segi empat ABCD dan sisi AE. Bina garisan yang selari dengan ED dari B sama luas dengan poligon tidak sekata sama luas dengan Rajah CDHG.
menyilang pada garisan AD. Titik F diperoleh. ABCDEF.

Langkah 2 CD Langkah 3 CD Langkah 4 D Langkah 5 MP
F F K K
G G J J

E BA E BA IH I H LN

• Berpusat di E, bina lengkok berjejari AF. Lukis dan hitamkan segi empat tepat AEGF. • Bina garisan tinggi serenjang dari • Berpusat di H, bina lengkok berjejari HK
• Berpusat di F, bina lengkok berjejari AE Segi empat tepat ABCD adalah sama luas puncak D. menyilang di L.
dengan segi empat tepat AEGF.
menyilang di G. • Bahagi dua sama garisan tinggi. • Bahagi dua sama garisan IL dan bina
• Bina garisan serenjang pada titik I dan H separuh bulatan menyilang di M.
Rajah 2.58 Perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat tepat lain yang diberi satu sisi.
menyilang pada titik Jdan K. • Berpusat di H, bina lengkok berjejari H M
2.8.3 Melukis Mengikut Turutan Perubahan Bentuk Pelbagai Rajah Sama Luas • Bina segi empat HIJK. Segi tiga DHI menyilang di N.

Kaedah melukis turutan perubahan bentuk pelbagai rajah kepada bentuk segi empat sama adalah sama luas dengan segi empat tepat • Berpusat di M dan N, bina lengkok
ditunjukkan dalam Rajah 2.59. HIJK. berjejari H M menyilang di P.

D Langkah 1 D • Bina segi empat sama HMPN. Segi empat
C tepat HIJK adalah sama luas dengan segi
C empat sama HMPN.

Rajah 2.59 Perubahan bentuk pelbagai rajah kepada bentuk segi empat sama.

BE BE
AF
GA F D P
Diberi bentuk poligon tidak sekata ABCDEF. CM

• Panjangkan garisan AF. B E N Imbas QR Code di atas untuk
• Bina garisan yang selari dengan CA dari B IA FH mengakses aktiviti berkaitan
rajah s ama luas.
menyilang pada G.
• Bina garisan GC.

Poligon tidak sekata ABCDEF adalah s a m a
luas dengan segi e m p a t s a m a HMPN.

62 63

2.9 Bulatan 2.9.2 Menentukan Pusat Bulatan atau Lengkok dengan Menggunakan kaedah BAB 2: GEOMETRI
Dua Perentas

Bulatan

Standard Kaedah menentukan pusat bulatan dengan menggunakan kaedah dua perentas ditunjukkan dalam
Pembelajaran
2.9.1 Ciri-ciri dan Istilah dalamBulatan Rajah 2.61.
Murid boleh:
• Menerangkan ciri-ciri istilah Bulatan ditakriThan sebagai lokus bagi titik yang bergerak dengan Langkah 1 Langkah 2
jarak yang sama dari satu titik tetap. Titik yang bergerak itu
dalam bulatan menghasilkan lilitan bulatan, manakala titik tetap dinamakan C O C
i. Pusat bulatan pusat bulatan. Jarak titik yang bergerak dengan titik tetap pula A A
ii. Jejari dipanggil jejari. Rajah 2.60 menunjukkan ciri-ciri bulatan,
iii. Diameter manakala Jadual 2.4 menerangkan beberapa istilah yang Diberi satubulatan. BB
iv. Lilitan digunakan dalam bulatan.
v. Perentas Bina dua garisan perentas AB • Bahagi dua sama perentas
vi. Tembereng Lilitan bulatan
vii. Sukuan dan BC. AB dan BC.
viii. Lengkok
ix. Sektor • Persilangan garisan
• Menentukan pusat bulatan
atau lengkok dengan pembahagi dua perentas
menggunakan kaedah dua
perentas. Pusat bulatan adalah pusat bulatan O.
• Membina bulatan atau
lengkok apabila diberi Rajah 2.61 Kaedah menentukan pusat bulatan dengan menggunakan kaedah dua perentas.
parameter berikut
i. Jejari Diameter Lengkok
ii. Diameter
iii. Tiga titik Jejari Kaedah menentukan pusat lengkok dengan menggunakan kaedah dua perentas ditunjukkan dalam
• Membina bulatan terterap lilit
i. Di luar segi tiga Rajah 2.62.
ii. Di d a l a m segi tiga
Langkah 1 Langkah 2

Sukuan Tembereng AA
O

CC

BB

Perentas Diberi satulengkok. Bina dua garisan perentas AB • Bahagi dua sama perentas
Lengkok
dan BC. AB dan BC.

• Persilangan garisan

Sektor pembahagi dua perentas

Rajah 2.60 Ciri-ciri dan istilah dalam bulatan. adalah pusat bulatan O.
Jadual 2.4 Istilah dalam bulatan.
Rajah 2.62 Kaedah menentukan pusat lengkok dengan menggunakan kaedah dua perentas.
Keterangan
Istilah Titik tetap yang jaraknya dari sebarang titik pada sempadan adalah malar. 2.9.3 Membina Bulatan atau Lengkok Apabila Diberi
Pusat bulatan Garis lurus dari pusat bulatan ke sebarang titik pada lilitan bulatan.
Jejari Garis lurus dari satu sisi bulatan ke sisi yang bertentangan dan melalui pusat bulatan. Jejari
Diameter Panjang sempadan atau perimeter bulatan.
Lilitan Garis lurus yang menyambungkan sebarang dua titik pada lilitan bulatan. Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi jejari ditunjukkan dalam Rajah 2.63.
Perentas Satu rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan perentas.
Tembereng Satu per empat daripada satu bulatan. Langkah 1 Langkah 2
Sukuan Mana-mana satu bahagian daripada lilitan bulatan.
Lengkok Satu rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari di kedua-dua hujung lengkok itu. JJ
Sektor OO

Diberijejari J. Tentukan kedudukan pusat Berpusat di O, lukiskan bulatan

bulatan atau lengkok. atau lengkok dengan jejari J.

Rajah 2.63 Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi jejari.

64 65

Diameter Langkah 3 BAB 2: GEOMETRI

Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi diameter ditunjukkan dalam Rajah 2.64. x

Langkah 1 Langkah 2 BO

DO Cy Bina bulatan terterap lilit di luar sebuah segi tiga apabila diberi
A panjang sisi 45 mm, 55 m m dan 70 m m .

O Lukiskan bulatan berjejari Oy
menyentuh pada titik x dan y.
Diberi diameter,D. Lukis diameter D dan bahagi Berpusat di O, bina bulatan

dua sama diameter untuk atau lengkok berjejari ½ D. Rajah 2.66 Kaedah membina bulatan terterap lilit di luar segi tiga.

menentukan pusat bulatan atau

lengkok. Titik O diperoleh. MembinaBulatan Terterap Lilit di Dalam Segi Tiga

Rajah 2.64 Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi diameter.

Tiga Titik Kaedah membina bulatan terterap lilit di dalam segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 2.67.

Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi tiga titik ditunjukkan dalam Rajah 2.65. Langkah 1 Langkah 2

BB B
y
A Langkah 1 B Langkah 2 B x
B
A A A AA
O O OO

C CC C CC

Diberi tiga titik A, B dan C. • Bina garisan AC dan BC. Berpusat di O, bina bulatan Diberi segi tiga ABC. Bahagi dua sama sudut BAC Bina garisan serenjang dari O
dan ACB untuk menentukan ke garisan AB dan BC supaya
• Bahagi dua sama garisan atau lengkok melalui titik A,B kedudukanpusat bulatan O. menyilang di x dan y.

tersebut untuk menentukan dan C. Bina bulatan terterap lilit di dalam sebuah segi tiga apabila diberi
panjang sisi 50 mm, 60 m m dan 70 m m.
pusat bulatan atau lengkok. Langkah 3

Titik O diperoleh. x
A
Rajah 2.65 Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi tiga titik. B
O y
2.9.4 Membina Bulatan Terterap Lilit Di Luar dan Di Dalam Segi Tiga

MembinaBulatan Terterap Lilit di Luar Segi Tiga

Kaedah membina bulatan terterap lilit di luar segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 2.66.

B Langkah 1 Langkah 2 x C

C B B Berpusat di O, bina bulatan
A
p° berjejari Ox menyentuh titik x
Diberi segi tiga ABC. O
O dan y.
Rajah 2.67 Kaedah membina bulatan terterap lilit di dalam segi tiga.
q°
C Cy Imbas QR Code di sebelah
untuk mengakses aktiviti
AA berkaitan bulatan.

• Panjangkansisi AB dan AC. Bina garisan serenjang dari O
• Bahagi dua sama sudut p° ke garisan AB dan AC supaya

dan q° supaya menyilang menyilang di x dan y.
di O.

66 67

2.10 Elips d a n Parabola Parabola BAB 2: GEOMETRI

Standard 2.10.1 Ciri-ciri Elips danParabola Parabola adalah satu titik yang bergerak dari satu titik tetap (titik AD
Pembelajaran fokus) yang sentiasa mempunyai jarak yang sama dengan jarak
Elips serenjang titik itu dengan satu garis lurus (direktriks). Parabola BC
Murid boleh: mempunyai mercu dan paksi simetri. Mercu parabola adalah E
• Menyatakan ciri-cirielips dan Elips adalah satu titik yang bergerak supaya jumlah jaraknya separuh daripada jarak serenjang titik fokus dengan direktriks
dari dua titik tetap (fokus) adalah sama. Elips mempunyai paksi yang ditetapkan manakala paksi simetri adalah pembahagi dua Titik Eadalah titik tangen
parabola major dan paksi minor. Paksi yang panjang adalah paksi major, parabola. Rajah 2.69 menunjukkan kedudukan mercu, titik fokus, bagi lengkung parabola
i. Elips manakala paksi yang pendek adalah paksi minor. Hubungan paksi simetri dan direktriks. di dalam segi empat tepat.
antara paksi major, paksi minor, dan titik fokus (F) ditunjukkan
(a) Pusat dalam Rajah2.68. Direktriks
(b) Paksi major
(c) Paksi minor Pusat Elips Mercu
ii. Parabola
(a) Mercu KBAT
(b) Paksi simetri
• Membina elips menggunakan Paksi minor Paksi simetri
kaedah bulatan sepusat
• Membina parabola Titik fokus
menggunakan kaedah segi
empat tepat

Rajah 2.69 Kedudukan mercu, titik fokus, paksi simetri dan direktriks.

D Paksi major J= 12paksi major Pelajar dibahagikan kepada beberapa kumpulan kecil. Mengapakah piring
Setiap kumpulan diminta bergerak di sekitar kawasan sekolah pemancar dan penerima
AC (a) Paksi major dan paksi minor. untuk mencari objek yang berbentuk elips dan parabola. isyarat telekomunikasi
Bentangkan hasil dapatan setiap kumpulan. berbentuk parabola?
B B
Titik A, B, C d a n D adalah titik
tangen bagi lengkung elips A C 2.10.2 Membina Elips Menggunakan kaedah Bulatan Sepusat
di dalam segi empat tepat. F, F,
Kaedah pembinaan elips menggunakan kaedah bulatan sepusat ditunjukkan dalam Rajah 2.70.

D

(b) Titik fokus F dibina pada paksi major dengan jejari separuh Langkah 1 Langkah 2
paksi major.
½ paksi major
B xy
AC = Paksi major paksi minor a ½ paksi
paksi major b minor
F1B + F2B = AC
A C F1x + F2x = AC
F,
F, F1y + F2y = AC

D D iberi paksi minor a dan paksi Bina dua bulatan sepusat Bahagi bulatan kepada 12

(c) Paksi minor adalah sama panjang dengan hasil tambah major b. dengan jejari ½ paksi minor a bahagian yang sama.
mana-mana dua garisan yang menyentuh elips dan kedua-
dua titik fokus F1 dan F2. dan ½ paksi major b.

Rajah 2.68 Ciri-ciri elips dan hubungan antara paksi minor, paksi major 69
dan titikfokus, F.

68

Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5 Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5 BAB 2: GEOMETRI

B 4 13E2 C B d e f 13E21 f' e' 23 B d e f 13E21 f' e' 23
def
d' C d' C

1 1 11 1
2c 2 c c' 2 2 c c' 2

3 b 3 b b' 3 3 b b' 3
4 4 4 4 4

a a a' a a'

Bina garisan mengufuk pada Bina garisan menegak pada titik Lukiskan lengkung elips AF D • AF D AF D
setiap titik persilangan garisan persilangan garisan pembahagi melalui titik persilangan garisan •
pembahagi 12 dengan bulatan 12 dengan bulatan major. mengufuk dan menegak. Bina garisan menegak dari d, Ulang langkah untuk Lukis lengkung parabola melalui
minor. Gunakan lengkung Perancis bahagian simetri.
atau lengkung boleh lentur. e dan f menyilang di garisan Titik-titik parabola titik persilangan menggunakan
bahagian simetri ini
Ea, Eb dan Ec. Titik lengkung juga boleh di tentukan lengkung Perancis atau lengkung
menggunakan konsep
parabola diperoleh. pantulan. boleh lentur.
Gunakan jangka lukis dan
Rajah 2.70 Kaedah pembinaan elips menggunakan kaedah bulatan sepusat. • pembaris sesiku T.

Rajah 2.71 Langkah pembinaan parabola menggunakan kaedah segi empat tepat.

Lukis elips apabila diberi panjang paksi m ajor=90 m m d a n paksi m inor= 60 m m

2.10.3 Membina Parabola Menggunakan kaedah Segi Empat Tepat Lukis parabola jika diberi panjang AB = 55 m m d a n AD = 70 m m .

Kaedah pembinaan parabola menggunakan kaedah segi empat tepat ditunjukkan dalam Rajah 2.71.

Langkah 1 Langkah 2 LATIHAN 2.10

B EC B 4 3 E2 C B d 4 31E2 C 1. Lukiskan elips apabila diberi ukuran seperti berikut. (c)
AD def 1 D ef D (a) (b)
30
1 1 70 120
70 30°
2c 2c
45
3 b 3 b 50
4 4

a a

AF AF

Diberi segi empat ABCD dan Bina paksi simetri EF dan Bina garisan dari mercu E ke 2. Lukis parabola apabila diberi ukuran berikut. Titik A adalah mercu parabola.
kedudukan mercuE. bahagikan AB, BE kepada 4 titik pembahagian A, a, b dan c. (a) (b)
bahagian sama. Titik a, b, c, d,
e, dan fdiperoleh. 120
60
80

80 A

45°
A

70 71

2.11 Ketangenan 2.11.2 Melukis Garisan Bertangen kepada Bulatan BAB 2: GEOMETRI

Titik Berada pada Lilitan Bulatan

Standard 2.11.1 Konsep dan Ciri-ciriKetangenan Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik berada pada lilitan bulatan
Pembelajaran ditunjukkan dalam Rajah 2.73.
Tangen adalah satu garis lurus atau bulatan yang bersentuhan
Murid boleh: dengan bulatan atau lengkok pada satu titik. Titik ini dikenali Langkah 1 Langkah 2
• Menerangkan konsep dan ciri sebagai titik tangen. Garisan yang menyambungkan pusat
bulatan dengan titik tangen tersebut adalah garisan normal dan T A TB C
ketangenan garisan ini berserenjang dengan garisan tangen. Konsep dan O O A TB
i. Tangen garisan kepada ciri-ciri ketangenan dapat dilihat seperti Rajah 2.72. O

bulatan Diberi satu bulatan dengan • Bina dan panjangkan Berpusat di A dan B, bina
ii. Tangen bulatan kepada pusat O dan titik tangen T.
Garisan J garisan normal OT. lengkok berjejari sama
bulatan normal
• Melukis garisan bertangen • Berpusat di T, bina lengkok menyilang di C.

kepada bulatan apabila menyilang pada garisan OT.
i. Titik berada p a d a lilitan
Titik A dan B diperoleh.
bulatan
ii. Titik berada di luar bulatan Titik tangen Langkah 3
iii. Titik m enyentuh luar d u a (a)Bulatan menyentuh garisan.
O
bulatan Jj Titik C R35 Sentiasa membina garisan
iv. Titik bersilang antara dua O, O, tangen A TB OT normal untuk menentukan
Garisan titik tangen.
bulatan normal
• Membina bulatan bertangen Lukiskan garisan tangen Lukis garisan bertangen kepada
CT yang bertangen dengan bulatan berjejari 35 mm.
kepada bulatan.
i. Satu garisan lurus apabila (b) Bulatan menyentuh bulatan di sebelah dalam.

diberi jejari bulatan Rajah 2.73 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik berada pada lilitan bulatan.
ii. Dua garisan lurus apabila
Titik Titik Berada di Luar Bulatan
diberi jejari bulatan tangen
• Membina bulatan bertangen Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik
J berada di luar bulatan ditunjukkan dalam Rajah 2.74.
kepada j
i. Satu bulatan lain dan Langkah 1
O, O,
menyentuh di sebelah luar
ii. Satu bulatan lain dan

menyentuh disebelah
dalam
iii. Dua bulatan lain yang
menyentuh di sebelah
dalam
iv. Dua bulatan lain yang
menyentuh di sebelah luar
• Melukis pencontoh yang
diberi menggunakan kaedah
ketangenan, elips dan parabola

Garisan OO
normal
(c) Bulatan menyentuh bulatan di sebelah luar. A
TT
Rajah 2.72 Konsep dan ciri-ciri ketangenan.

Konsep tangen boleh dilihat Secara berkumpulan, bincangkan tiga objek/produk yang Diberi satu bulatan dengan Bina garisan OT dan bahagi
pada rantai basikal seperti menggunakan konsep ketangenan. pusat O dan titik tangen T dua sama. Titik A diperoleh.
gambar di atas. di luar bulatan.

72 73

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4 BAB 2: GEOMETRI

PP T T, J40
P
J35 A J25
90
O O 30° T, Lukis garisan bertangen kepada bulatan
apabila titik menyentuh luar dua bulatan.
A A 75 B
T T
Lukis garisan bertangen di luar Lukiskan garisan tangen T1T2.
• Berpusat di A, bina Lukiskan garisan tangen PT. bulatan.
separuh bulatan supaya
menyilang di P. Rajah 2.75 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik menyentuh luar dua bulatan.

• Bina garisan normal OP.

Rajah 2.74 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik Titik Bersilang antara Dua Bulatan
berada di luar bulatan.

Titik MenyentuhLuar Dua Bulatan Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik bersilang antara dua bulatan
ditunjukkan dalam Rajah 2.76.
Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik menyentuh luar dua bulatan
ditunjukkan dalam Rajah 2.75. Langkah 1

Langkah 1 J

J A A
A j O
B
j
B B

Diberi dua bulatan berjejari Jdan j. A Diberi dua bulatan berjejari Jdan j. • Bina garisan AB dan bahagi dua sama,
O titik tengah O diperoleh.
Langkah 2
B • Bina bulatan berjejari OA atau OB.
(J-j) P
A • Bina garisan AB dan bahagi dua sama. Langkah 2 Langkah 3
B Titik tengah O diperoleh.

Berpusat di A. bina lengkok berjejari (J-j) • Bina separuh bulatan berjejari OA atau OB.
menyilang di P.
Langkah 3 P P
T,
T, (J + j)
P
A T, A A
B
B B
Berpusat di A, bina lengkok berjejari (J+j) T,
• Bina garisan normal dari titik A melalui P menyilang di P.
hingga menyilang pada T1. • Bina garisan normal dari titik A melalui P
menyilang pada T1.
• Bina garisan selari dengan AT1 dari B
menyilang pada T2. • Bina garisan yang selari dengan AT1 dari
B menyilang padaT2.
• Titik T1 dan T2 adalah titik ketangenan.
• Titik T1 dan T2 adalah titik ketangenan.

74 75

Langkah 4 Dua Garisan Lurus apabila Diberi Jejari Bulatan

P J 45 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua garisan lurus apabila diberi jejari bulatan BAB 2: GEOMETRI
T, ditunjukkan dalam Rajah 2.78.
J 20
A 100 Langkah 1 Langkah 2
Lukis garisan bertangen kepada
B bulatan apabila titik bersilang CCC
T, antara dua bulatan.
J O
Lukiskan garisan tangen T1T2. Bulatan baharu (hasil tambah/
tolak) mesti berpusatkan pada BA BA J
Rajah 2.76 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik pusat bulatan besar. BA
bersilang antara duabulatan. Diberi dua garis lurus dan Berpusat di B, bina lengkok
jejari bulatan J. dan bahagi dua sama sudut • Bina garisan serenjang di B
2.11.3 Membina BulatanBertangen ABC. dan tandakan ketinggian J.

Satu Garisan Lurus apabila Diberi Jejari Bulatan Langkah 3 Langkah 4 • Bina garisan selari BA
Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu garisan lurus berketinggian Jmenyilang
apabila diberi jejari bulatan ditunjukkan dalam Rajah 2.77. C C di O.

Langkah 1 T, T,

J O O Lukis bulatan bertangen kepada
B T, A
dua garisan lurus apabila diberi

B T, A jejari bulatan, J = 55 m m dan
sudut ABC = 60°.

A Bina garisan serenjang dari titik Berpusat di O, lukiskan bulatan
O ke garisan AB dan BC. Titik berjejari J yang bertangen di
tangen T1 dan T2 diperoleh. T1 dan T2.

A Rajah 2.78 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua garisan lurus apabila diberi jejari bulatan.

Diberi satu titik A pada garisan Berpusat di A, bina garisan

dan jejari J. serenjang. 2.11.4 Membina BulatanBertangen

Langkah 2 Langkah 3 Satu Bulatan Lain dan Menyentuhdi SebelahLuar

Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah luar
ditunjukkan dalam Rajah 2.79.

Langkah 1 Langkah 2

O OJ JJ j
J OT O TP

AA O TP

Berpusat di A, bina lengkok Berpusat di O, lukis bulatan Diberi satu bulatan berjejari J, • Bina dan panjangkan Berpusat di P, lukiskan bulatan
berjejari Jmenyilang di O. berjejari OA bertangen pada
titik A.
Lukis bulatan bertangen titik tangen T dan satu jejari j. garisan normal OT. berjejari j yang menyentuh
kepada satu garisan lurus
Rajah 2.77 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu garisan lurus apabila diberi jejari = 55 mm. • Berpusat di O, bina titik tangenT.
apabila diberi jejari bulatan.
lengkok berjejari (J+j)

menyilang pada P.

Rajah 2.79 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah luar.

76 77

Satu Bulatan Lain dan Menyentuhdi Sebelah Dalam Langkah 3

Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam T, R T, 95 BAB 2: GEOMETRI
ditunjukkan dalam Rajah 2.80. A B J100

Langkah 1 Langkah 2 Lukis bulatan bertangen
kepada dua bulatan lain yang
P menyentuh di sebelah dalam.

J j j J45 J25
TO T PO T PO

Diberi satu bulatan berjejari J, • Bina dan panjangkan Berpusat di P, lukiskan bulatan Berpusat di P, lukiskan bulatan
titik tangen T dan satu jejari j. garisan normal OT. berjejari j yang menyentuh atau lengkok berjejari R yang
Berpusat di O, bina titik tangenT. menyentuh titik tangen T1
• lengkok berjejari (J-j) dan T2.
menyilang di P.
Rajah 2.81 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah dalam.

Dua Bulatan Lain yang Menyentuhdi Sebelah Luar

Rajah 2.80 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam. Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar
ditunjukkan dalam Rajah 2.82.

Langkah 1 Langkah 2

Lukis bulatan bertangen kepada satu bulatan lain d a n m enyentuh di sebelah d a l a m jika diberi
nilai J=45 m m dan j= 30 mm.

J j AB A B
A B T, T,
Dua Bulatan Lain yang Menyentuhdi Sebelah Dalam
R
Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah dalam
ditunjukkan dalam Rajah 2.81. P P

Langkah 1 Langkah 2 D iberi dua bulatan berjejari J Berpusat di A, bina lengkok • Bina garisan normal
berjejari (R+J). • dari titik P ke A hingga
T, • dan j serta satu jejari R. • Berpusat di B, bina lengkok menyilang pada T1.
berjejari (R+j). Titik Bina garisan normal dari
Jj AB T, Langkah 3 persilangan Pdiperoleh. titik P ke B hingga
AB AB menyilang pada T2.

R PP A B
T, R T,
D iberi dua bulatan berjejari J Berpusat di A, bina • Bina garisan normal dari 90
lengkok berjejari(R-J). titik P melalui A hingga
• dan j serta satu jejari R. • Berpusat di B, bina lengkok menyilang pada T1. P J40
berjejari (R-j). Titik Bina garisan normal dari J20
• persilangan Pdiperoleh. titik P melalui B hingga
menyilang pada T2.
Berpusat di P, bina bulatan

atau lengkok berjejari R yang J50

menyentuh titiktangen T1 Lukis bulatan bertangen kepada d u a bulatan lain yang
dan T2. menyentuh di sebelah luar.

Rajah 2.82 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar.

78 79

Dua Bulatan Lain dan Menyentuhdi Sebelah Dalam dan Luar Satu Bulatan Lain yang MenyentuhTitik Tangen Bulatan dan Melalui Satu Titik yang Diberi BAB 2: GEOMETRI

Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam dan Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh titik tangen bulatan
luar ditunjukkan dalam Rajah 2.83. melalui satu titik yang diberi ditunjukkan dalam Rajah 2.84.

Langkah 1 Langkah 1

TT

Jj AB O
AB Q

O
Q

R P

Diberi dua bulatan dengan jejari Jdan j serta • Berpusat di A, bina lengkok berjejari (R-J). Diberi satu titik tangen T pada bulatan dan Bina dan panjangkan garisan dari titik tangen
satu jejari R. • Berpusat di B, bina lengkok berjejari (R+j). titik Q. T ke pusat O.

Titikpersilangan P diperoleh. Langkah 2 Langkah 3

Langkah 2 Langkah 3 T, T T

T, B A RB O O
A T, T, Q Q

P P

PP

• Bina garisan normal dari titik P melalui A • Bina garisan dari titik tangen T ke Q. Berpusat di P, lukis bulatan atau lengkok yang

hingga menyilang pada T1. • Bahagi dua sama garisan TQ dan menyentuh titik tangen T dan melalui titik Q.

• Bina garisan normal dari titik P ke B Berpusat di P, bina lengkok atau bulatan panjangkan sehingga menyilang garisan

menyilang pada T2. berjejari R yang menyentuh titik tangen T1 TO. Titik P diperoleh.

dan T2. Rajah 2.84 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh

titik tangen bulatan dan melalui satu titik yang diberi.

Rajah 2.83 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam dan luar. Satu Bulatan Lain yang Menyentuhdi Sebelah Luar Bulatan yang Diberi dan Menyentuh
Satu Titik Tangenpada Garisan

85 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar
J50 bulatan yang diberi dan menyentuh satu titik tangen pada garisan ditunjukkan dalam Rajah 2.85.

J35 Lukis bulatan bertangen kepada d u a bulatan lain Langkah 1
yang menyentuh di sebelah dalam dan luar.
O
J20
P
O
Diberi satu bulatan dan titik P pada garisan.
P

Bina garisan serenjang pada titik P.

80 81

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 2 Langkah 3 BAB 2: GEOMETRI

A A T T

O O T AB AB
T, D T,
P
C CD
Bina garisan AP yang menyilang pada bulatan.
P Titik T diperoleh. O O

Dari titik O, bina garisan selari dengan garisan • Bina garisan TD menyilang di T2. Berpusat di O, jejari OT/OB lukis bulatan atau
• Bina dan panjangkan garisan BT2 hingga lengkok menyentuh titik tangen T dan T2.
serenjang P dan menyilang pada lilitan bulatan.
menyilang di O.
Titik A diperoleh.

Langkah 4 Langkah 5 Rajah 2.86 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar
dan dalam titik tangen pada bulatan diberi.

A C A C 2.11.5 Melukis Pencontoh yang Diberi Menggunakan Kaedah Ketangenan, Elips
dan Parabola
T T
O O

P P Rajah 2.87 menunjukkan kaedah melukis pencontoh yang menggabungkan konsep ketangenan,
elips dan parabola.
Bina garisan OT dan dipanjangkan hingga Berpusat di C, lukis bulatan berjejari CP/CT
menyilang garisan serenjang. Titik C diperoleh. yang menyentuh titik tangen T dan P. B Separuh elips
O paksi major = 120mm
Rajah 2.85 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh A paksi minor = 70mm Diberi pencontoh ABCDEF. Titik A,B,C,D,E
di sebelah luar bulatan yang diberi dan menyentuh satu titik tangen pada garisan. J 20 F D C dan F adalah titik-titik tangen. Titik O ialah
60 pusat separuh elips, manakala titik D adalah
Satu Bulatan Lain yang Menyentuhdi Sebelah Luar dan DalamTitik Tangenpada BulatanDiberi J 25 80 mercu bagi suku parabola. Lukis pencontoh
E itu mengikut saiz penuh dengan menggunakan
Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar dan kaedah geometri.
dalam titik tangen pada bulatan diberi ditunjukkan dalam Rajah 2.86. J 30

Langkah 1 Suku parabola

TT

AB AB Langkah 1 • Tentukan pusatelips O dan bina dua semi bulatansepusatdengan

Diberi dua bulatan dan titik tangen T. D B jejari ½ panjang paksi major dan ½ panjang paksi minor.
C AO
• Bahagikan semi bulatan kepada 6 bahagian yang sama.
• Bina dan panjangkan garisan dari titik T
ke pusat bulatan A menyilang di C. • Pada setiap titik persilangan garisan pembahagi 6 dengan

• Bina garisan yang selari dengan TC dari C bulatan minor, bina garisan mengufuk.
titik B menyilang di D. • Pada setiap titik persilangan garisan pembahagi 6 dengan

bulatan major, bina garisan menegak.

• Lukis separuh elips melalui titik persilangan yang diperoleh

menggunakan lengkung Perancis atau lengkung boleh lentur.

82 83

Langkah 2 • Bina segi empat tepat berukuran 60 mm ×80 mm pada titik O.
• Bahagi garisan CX dan DX kepada empat bahagian yang
B
sama. Titik a, b, c, d, e dan f diperoleh.
A C • Bina garisan dari mercu D ke titik pembahagian C, a, b dan c. LUKISAN
O • Bina garisan menegak dari d, e dan f menyilang di garisan ORTOGRAFIK
a
b Da, Db dan Dc. Titik lengkung parabola diperoleh. Unjuran ortografik ialah lukisan dua dimensi kerana objek yang dilukis menggunakan kaedah
• Lukis lengkung parabola melalui titik persilangan ini akan memberikan dua dimensi ukuran, iaitu lebar dan tinggi atau panjang dan tinggi
c sesuatu objek tersebut. Kenal pasti dan senaraikan bangunan yang anda tahu di Malaysia, dan
menggunakan lengkung Perancis atau lengkung boleh lentur. sediakan lukisan ortografik yang menunjukkan reka bentuk sebenar bangunan tersebut. Bincang
Df e d X bersama guru anda.

Langkah 3 • Bina bulatan berjejari 20 mm pada pusat bulatan O1 dan 30 STANDARD KANDUNGAN
mm pada pusat bulatan O2.
B 1. Pengenalan kepada Lukisan Ortografik
• Berpusat pada O1, bina bulatan berjejari 45 mm (20 mm + 2. Lukisan Ortografik unjuran sudut ketiga
A O, O C 25 mm) manakala berpusat pada O2 bina lengkok 55 mm 3. Aplikasi Lukisan Ortografik unjuran sudut ketiga
F
(25 mm + 30 mm) menyilang pada P. 85
P • Bina garisan normal dari titik O1 ke P menyilang di F.
E • Bina garisan normal dari titik O2 ke P menyilang di E.
• Berpusat pada P, bina lengkok berjejari 25 mm. Titik tangen
O, D
F dan Ediperoleh.
• Lukis dan hitamkan pencontoh ABCDEF.

Rajah 2.87 Kaedah melukis pencontoh yang menggabungkan konsep ketangenan, elips dan parabola.

Imbas QR Code di sebelah
untuk mengakses aktiviti
berkaitan ketangenan.

Imbas QR Code di sebelah untuk
mengakses latihan pengukuhan
berkaitan geometri.

84

3.1 Pengenalan ke p a d a Lukisan Ortografik 3.1.2 Membezakan Antara Lukisan Ortografik Unjuran Sudut Pertama dan BAB 3: LUKISAN ORTOGRAFIK
Unjuran Sudut Ketiga
Standard 3.1.1 Menerangkan Konsep Lukisan Ortografik
Pembelajaran Unjuran Sudut Pertama dan Sudut Ketiga Kedudukan sesuatu objek yang terletak dalam sukuan sudut pertama atau sukuan sudut ketiga
dapat dibezakan dengan menggunakan simbol unjuran.
Murid boleh: Lukisan ortografik merupakan lukisan yang dilihat bersudut tepat
• Menerangkan konsep 90°kepada sesuatu bongkah objek. Bongkah objek di unjurkan Simbol unjuran sudut pertama dan unjuran sudut ketiga ditunjukkan dalam Jadual 3.1. Simbol
melalui tiga pandangan iaitu pandangan atas, pandangan hadapan ini menggambarkan bentuk kon terpenggal dan bulatan yang biasanya diletakkan di
Lukisan Ortografik unjuran dan pandangan sisi. penghujung sebelah kanan bawah kertas lukisan.
sudut pertama dan unjuran
sudut ketiga. Berdasarkan Rajah 3.1 (a), satu objek diletakkan di dalam Jadual 3.1 Simbol unjuran sudut pertama dan unjuran sudut ketiga.
• Membezakan antara kotak kaca. Jika pandangan yang dilihat diunjurkan tepat kepada
Lukisan Ortografik unjuran permukaan kotak kaca, maka lukisan yang terhasil adalah seperti SukuanSudut Pertama SukuanSudut Ketiga
sudut pertama dan unjuran Rajah 3.1 (b).
sudut ketiga. Pandangan atas Pandangan atas

Pandangan atas Pandangan atas
Kotak kaca Kotak kaca

Pandangan Pandangan Pandangan Pandangan Pandangan Pandanga
hadapan sisi hadapan sisi n sisi
hadapan
Rajah 3.1 (a) Objek Pandangan
hadapan Pandangan atas

Rajah 3.1 (b) Pandangan yang diunjurkan.

Merujuk Rajah 3.1 (b) dari pandangan atas, permukaan A dapat dilihat manakala permukaan

B dan C tidak kelihatan. Dari pandangan hadapan pula, hanya permukaan B atau C sahaja yang Pandangan sisi Pandangan hadapan

kelihatan. Dari arah pandangan sisi kanan, hanya permukaan C sahaja yang kelihatan manakala dari

arah sisi kiri, permukaaan B sahaja yang kelihatan. Jika empat kotak kaca disusun secara bertindih

dan bersebelahan di antara satu sama lain, empat sukuan akan terhasil. Objek yang diletakkan

dalam sukuan sudut pertama dan sukuan sudut ketiga ditunjukkan dalam Rajah 3.2.

21 Pandangan atas Pandangan hadapan Pandangan sisi
34

Anda berada di dalam kelas simbol unjuran sudut pertama simbol unjuran sudut ketiga
Lukisan Kujuruteraan.
Ambil satu objek yang terdapat Rajah 3.2 Objek di dalam kotak sukuan pertama dan sukuan ketiga.
berdekatan dengan anda.
Dapatkah anda melakarkan 87
pandangan atas, pandangan
hadapan dan pandangan sisi
objek tersebut?

86

Prinsip Sukuan Ortografik 3.2 Lukisan Ortografik Unjuran Sudut Ketiga BAB 3: LUKISAN ORTOGRAFIK

Terdapat dua prinsip unjuran yang digunakan dalam unjuran ortografik iaitu unjuran sudut pertama (a) Bongkah yang Mempunyai Permukaan Rata Standard
dan unjuransudut ketiga. Pembelajaran
Bongkah berpermukaan rata mempunyai pinggir yang selari
Unjuran sudut pertama merupakan unjuran yang terawal dan tertua digunakan dalam lukisan dengan satah mengufuk dan menegak sahaja. Ukuran yang Murid boleh:
kejuruteraan. Lukisan dalam sudut unjuran ini dianggap sebagai unjuran piawai tradisi British diunjurkan ke satah mengufuk dan menegak merupakan ukuran • Membina Lukisan Ortografik
dan Eropah untuk kegunaan para arkitek dan jurutera. Kedudukan pandangan hadapan berada panjang sebenar objek.
di sebelah atas yang selari dengan pandangan sisi manakala bagi pandangan atas berada di bawah unjuran sudut ketiga bagi
kedudukan pandangan hadapan. Rajah 3.3 (a) menunjukkan contoh bongkah berpermukaan bongkah yang mempunyai
rata. Rajah 3.3 (b) menunjukkan kaedah membina lukisan permukaan
Unjuran sudut ketiga dikenali juga sebagai unjuran Amerika. Kini, penggunaannya telah ortografik bagi bongkah permukaan rata. i. Rata
meluas di serata dunia. Kedudukan pandangan atas berada di atas dan selari dengan pandangan ii. Condong
hadapan di bawah manakala kedudukan pandangan sisi pula berada sebaris dengan pandangan Pandangan atas iii. Bulat
hadapan. Jadual 3.2 menunjukkan perbandingan antara unjuran sudut pertama dan unjuran iv. Oblik
sudut ketiga. v. Lengkung
vi. Gabungan pelbagai
Jadual 3.2 Perbandingan antara unjuran sudut pertama dan unjuran sudut ketiga.
permukaan
D D1 L1 L
A
Unjuran Sudut Pertama Unjuran Sudut Ketiga

Pandangan atas Pandangan atas B
TC
D T2
T1 Pandangan sisi kanan
E
F G

Pandangan hadapan

Pandangan Pandangan Pandangan Pandanga Rajah 3.3 (a) Contoh bongkah berpermukaan rata.
hadapan sisi n hadapan sisi

40 25 70 Pandanga Pandangan atas Langkah 1 Langkah 2
50 20 n Pandangan sisi hadapan
Pandangan atas L
L L1

L1

DA E D1 A E
1D D

C C

Berdasarkan rajah di atas, B
lakarkan pandangan atas,
pandangan hadapan dan Pandangan atas Pandangan Pandangan sisi T T1 F T2
pandangan sisi dal am hadapan
unjuran sudut ketiga.

Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan

Simbol unjuran sudut pertama Simbol unjuran sudut ketiga • Pindahkan ukuran kelebaran (L, L1) dan • Unjurkan ukuran kelebaran (L, L1) dari
kedalaman (D, D1) bagi keseluruhan pandangan atas dan pindahkan ukuran
objek pada pandangan atas. ketinggian (T, T1, T2) pada pandangan
hadapan.
• Permukaan A, C dan E diperoleh.
• Permukaan B dan F diperoleh.
88
89