MODUL LANGKAH KERJA LENGKAP T3

TP 3
3. Dalam rajah di sebelah lengkok QPT = 3RS. Diberi bahawa ∠QRT = 66°, ∠QST = 26° dan

∠PTS = 100°.

Q

P 66° R
U 26°

100° S

T

Tentukan nilai
(a) ∠ RQS
(b) ∠ TUS
(c) ∠ TPS

Penyelesaian :

(a) ∠ RQS = 66
3

= 22°
(b) ∠ TUS = 180° – 40° – 22°

= 118°
(c) ∠ TPS = 180° – 40° – 100°

= 40°

101

UJI MINDA 6.1c TP 3
1. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O.

x

Tentukan nilai yO (c) z
z
(a) x
40°
Penyelesaian : (b) y

(a) x = 40° Segitiga kaki sama

(b) y = 2 × 40°
= 80°

(c) z  180 80
2

 50

2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa panjang lengkok TP 3
PQ = QR dan sudut major POQ = 310°.

P 310°

y

Qx

O
z

RS

Tentukan nilai (b) y (c) z
Segitiga kaki sama
(a) x

Penyelesaian :

(a) x = 360° – 310°
= 50°

(b) y  180  50
2

 65
(c) z = 25° + 25°

= 50°

102

3. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. TP 3
TP 3
y
250°

x

z

Tentukan nilai (b) y (c) z

(a) x

Penyelesaian :

(a) x = 360° – 250°
= 110°

(b) y  110
2

 55
(c) z  250

2
 125

4. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa ∠POR = 112° dan
∠PUT = 88°.

Q

P R
112°
O

88° U

Tentukan nilai T (c) ∠ RTS
(a) ∠ PQR S

(b) ∠ UST

Penyelesaian :

(a) ∠ PQR = 360 112
2

= 124°
(b) ∠ UST = ∠ POT ÷ 2

 180 112
2

= 34°
(c) ∠ RTS = 180° – (180° – 88°) – 34°

= 54°

103

UJI MINDA 6.1d

1. Berdasarkan rajah-rajah di bawah, hitung nilai y. y TP 2
(a) (b) 65° TP 3

y 65°
O
5 cm
45° 10 cm

(c) (d) 110°
10 cm O

y y

58° 58°

O

5 cm

Penyelesaian : (b) y = 5 cm
(a) y = 45°
(c) y = 10 cm (d) y  110
2

 55

2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O dengan panjang lengkok AB = PQ.

A BR

xO
80°

PQ
Tentukan
(a) Nilai x
(b) sudut yang sama nilai dengan x
Penyelesaian :
(a) y  80

2
 40
(b) ∠PRQ

104

TP 3
3. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa panjang lengkok CD = 10

cm dan ∠BOD = 160°. Jika panjang lengkok BCD = 2CD dan ∠FEG = 1 ∠BOD.
4

EF
y

B
Ox

160° G
C D

10 cm

Tentukan

(a) nilai y

(b) panjang x dalam cm

Penyelesaian :

(a) y = 1  BOD
4

= 1 160
4

= 40°
(b) x  1  20

4
 5 cm

UJI MINDA 6.1e

1. Rajah-rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Hitung nilai x TP 3

(a) (b)

O x
x 35° 50°

O

(c) 5 cm (d)

O Ox
x 110° 120°

10 cm

105

Penyelesaian : (b) x  180 130
(a) x = 180° – 90° – 35° 2

= 55°  25

(c) x  55 (d) x  180 120
2 2

 27.5  30

2. Rajah di bawah menunjukkan semi bulatan dengan pusat di O. TP 4

O
x y 18°

Tentukan nilai x + y

Penyelesaian :

x = 180° – 90° – 18°
= 72°

y = 180° – 18° – 18°
= 144°

Maka,
x + y = 72° + 144°

= 216°

TP 4

3. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Jika panjang lengkok AB = PQ,

P y

120°
Q

O 20°
Bx

A

hitung nilai x + y x = 180° – 90° – 40°
= 60°
Penyelesaian :

y = 180° – 120° – 40°
= 30°

x + y = 90°

106

UJI MINDA 6.1f

TP 4
1. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. OSU dan PST ialah garis lurus. Diberi

bahawa diameter bulatan ialah 16 cm, ∠ROS = 70°, ∠QRP = 40° dan ST = TU.

Q

40° O P
R 70°

S
Tθ

U

Tentukan
(a) Hitung nilai θ

(b) Panjang PQ, dalam cm, betul kepada 3 angka bererti

Penyelesaian :

(a) ∠QRP = ∠OSP = ∠TSU
θ = 180° – 40° – 40°
= 100°

(b) sin 40  PQ
16

PQ  16sin 40

 10.3cm

2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa PQ = QR, ∠PSQ = 30° TP 4
dan
∠SPR = 32°.

S 30°

O R
x z

32° Q
y

P

Hitung nilai x + y + z.

107

Penyelesaian :

x = 2 × 30°
= 60°

∠PQR = 360  60
2

= 150°

x + y + z = 60° + 15° + 15°
= 90°

TP 4
3. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa TS adalah selari dengan PO

dan ∠TSP = 44°.

S

44° R
T Oy

x
Q

P

Hitung nilai x + y.

Penyelesaian :

∠TPS = ∠OPS
x = 44° + 44°
= 88°
x  y  88  88

2
 132

108

UJI MINDA 6.2a

1. Bagi setiap bulatan berikut O ialah pusat bulatan. TP 2

(i) S (ii) D

TR E
OG
O
F
PQ

(iii) P (iv) F
Q A

N E
BO
O
K D
C
LM

(a) Kenal pasti sisi empat kitaran yang terdapat dalam setiap bulatan di atas dan jelaskan
jawapan anda.

(b) Nyatakan sudut bertentangan yang wujud dalam setiap sisi empat kitaran yang telah anda
kenal pasti.

Penyelesaian :

(a) (i) Bukan, bucu P bukan pada lilitan (ii) Ya, DEFG

(iii) Ya, KNPQ dan KLMN (iv) Ya, ABDE
(ii) ∠D & ∠F, ∠DEF & ∠DGF
(b) (i) Tiada (iv) ∠BAE & ∠BDE
(iii) ∠KQP & ∠KNP
∠NPQ & ∠NKQ ∠ABD & ∠AED
∠KLM & ∠KNM
∠LMN & ∠LKN

109

UJI MINDA 6.2b

1. Rajah-rajah di bawah ialah bulatan dengan O ialah pusat bulatan. (c) TP 3
(a) (b)
50°70°
40°x 140° x O
O O x
50°

60°

Hitung nilai x. (b) x  180 140 (c) x = 180° – 60°
2 =120°
Penyelesaian :
(a) x = 180° – 90° – 60°  20

= 30°

TP 3
2. Rajah di bawah menunjukkan sisi empat kitaran ABCD dalam bulatan. Diberi bahawa ∠ADB =
30° dan ∠ABD = 20°.

20° A D
30°

B

C

Hitung nilai ∠BCD.

Penyelesaian :

∠BAD = 180° – 30° – 20°
= 130°

∠BCD = 180° – 130°
= 50°

110

TP 3
3. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Jika POS ialah segi tiga sama sisi dan

∠SOR = 20°,

Q
PO

20°
SR

hitung nilai ∠PQR.

Penyelesaian :

∠PQR = POS
2

= 80
2

= 40°

4. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa ∠KNM = 55° dan KL = TP 3
LM.

K
L

O M

55°
N

Tentukan nilai

(a) ∠ KLM

(b) ∠ LMN

Penyelesaian :

(a) ∠ KLM = 180° – 55°
= 125°

(b) ∠ LMN = 90° + (180 125)
2

= 90° + 27.5°
=117.5°

111

UJI MINDA 6.2c TP 2

1. Salin dan lengkapkan jadual di bawah berdasarkan rajah di bawah.
e

cd

b
af

Sudut peluaran Sudut pedalaman bertentangan
a yang sepadan
e d

b

TP 3
2. Lukis bulatan seperti di bawah. Labelkan sudut pedalaman bertentangan yang sepadan untuk

sudut peluaran θ dan α dengan simbol p dan q masing-masing.

θ

α

Penyelesaian :

θq
pα

112

UJI MINDA 6.2d
TP 4

1. Rajah di bawah menunjukkan sisi empat kitaran KLMP dan garis lurus KPN. Diberi
bahawa ∠KNM = 48° dan ∠NMP = 35°.

Hitung nilai ∠MLK.

Penyelesaian : ∠KPM = 180° – 97°
= 83°
∠NPM = 180° – 48° – 35°
= 97°

Maka,
∠MLK = 180° – 83°

= 97°

TP 4

2. Rajah di bawah menunjukkan sisi empat kitaran PQRT dan garis lurus TRS. Sisi-sisi PT dan
QR adalah selari. Diberi bahawa ∠PRQ = 54° dan ∠QRS = 92°.

Px Q
S
54° 92°
R

Hitung nilai x. ∠SPR = ∠PRQ = 54°
∠RSP = 92°
Penyelesaian : ∠PQR = 180° – 92°

∠SRP = 180° – 54° – 92° = 88°
= 34°

Maka,
x + 54° + 88° = 180°

x = 38°

113

TP 4

3. Dalam rajah di bawah, sisi empat kitaran ABCD terletak dalam bulatan berpusat di O.

A
O

158°
DB

x
C

E
Hitung nilai x jika DCE ialah garis lurus dan ∠DOB = 158°.

Penyelesaian :

x = 180° – 101°
= 79°

TP 4
4. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. PQRS ialah suatu sisi empat kitaran. Diberi

∠QSR = 36°. Jika panjang sisi PS = PQ dan RST ialah garis lurus.

P

T xO Q
S 36° R
Hitung nilai x
Penyelesaian :
∠SPQ = 90°
∠PSQ = 45°
x + 45° + 36° = 180°

x = 180° – 81°
x = 99°

114

TP 5
5. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa ∠BCD = 126, panjang

lengkok AB = BC dan AOD ialah garis lurus.

A

O B
126°

D
xC

Hitung nilai x. ∠ABC = 180° – 36°– 36° ∠ADC = 360° – 54°– 108° – 126°
Penyelesaian : = 108° = 72°
∠DAB = 180° – 126°

= 54°

x + 72° = 180°
x = 108

UJI MINDA 6.3a

1. Dalam rajah-rajah di bawah, kenal pasti (iii) bukan TP 2
(i) Tangen (ii) titik ketangenan tangen (iv) bukan titik ketangenan

Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

(a) Q (b) D E
P
AB G B

R T F H
X Y F C

Penyelesaian : S

(a) (i) Tangen (ii) titik (iii) bukan (iv) bukan titik
tangen ketangenan
ketangenan PQ A dan B

RS & ST X&Y (iii) BF (iv) F & G

(b) (i) BC&BD (ii) H & E

115

UJI MINDA 6.3b

TP 4
1. Dalam rajah di bawah, ABC ialah garis lurus dan O ialah pusat bulatan. Diberi bahawa AB = OB

dan ∠BAO = 28°.

A B C
28°

x
O

Hitung nilai x.

Penyelesaian :

∠ABO = 180° – 28° – 28°
= 124°

x = 180° – (180° – 124°) – 90°
= 34°

TP 4
2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa ∆OQS ialah segi tiga sama

sisi dan PQR ialah tangen kepada bulatan.
P

y x
Q O

Hitung nilai zS (c) z
R
(a) x
(b) y
Penyelesaian :

(a) x = 180° – 30° – 30°
= 120°

(b) y = 90° – 30°
= 60°

(c) z = 180° – 90° – 60°
= 30°

116

TP 4
3. Dalam rajah di bawah, O ialah pusat bulatan dan PQR ialah tangen kepada bulatan. Diberi

bahawa QT = ST dan ∠QTS = 48°.

T

48°
P

z x
Qy S

Hitung nilai x + y + z. y  90  42 R
 48
Penyelesaian : z  180  2(42)  48
2
x  180  2(48)
2  24

 42

x + y + z = 42° + 48° + 24°
= 114°

UJI MINDA 6.3c

TP 5
1. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berjejari 5 cm dan berpusat di O. Diberi bahawa PQ dan

PR ialah tangen kepada bulatan dan ∠QSR = 60°.
Q

x yP
S 60° O
(b) nilai y
5 cm (d) panjang OP

R

Hitung
(a) nilai x
(c) panjang PQ

117

Penyelesaian : (b) y = 180° – 90° – 60°
= 30°
(a) x  120
2 (d) kos60  5
OP
 60
(c) tan60  PQ PQ  5
kos60
5
PQ  5 tan60  10cm

 8.66cm

TP 5
2. Dalam rajah di bawah, O ialah pusat bulatan dengan jejari 3 cm dan ROS ialah garis lurus. Diberi

bahawa ∠ORP = 25° dan PS ialah tangen kepada bulatan.

R
25° O

3 cm

P xS

Hitung (b) panjang PS

(a) nilai x (b) tan40  3
PS
(c) panjang RS
PS  3
Penyelesaian : t an 4 0

(a) ∠RPS = 90° + 25°  3.58cm
∠RPS = 115°
x + 115° + 25° = 180°
x = 180° – 140°
x = 40°

(c) RS  3  32  3.582
 3  4.67
 7.67cm

118

UJI MINDA 6.3d

1. Nyatakan pasangan sudut yang sama nilai di dalam bulatan-bulatan berikut. TP 2

(a) (b) (c) xb y
ea
za ca
c df
b zx z
xy by

Penyelesaian : (b) ∠x = ∠b (c) ∠x = ∠y
∠y = ∠a ∠f = ∠e
(a) ∠y = ∠z ∠z = ∠a
∠x = ∠a

TP 3
2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan dengan AB ialah tangen kepada bulatan tersebut. Diberi

∠BAC = 42°.

D xB

C

42°
A

Hitung nilai x.

Penyelesaian :

∠CAB = ∠CDA
= 42°

x = 180° – 42° – ∠BCA
= 180° – 42° – 111°
= 27°

119

TP 3
3. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. PQ ialah tangen kepada bulatan. Diberi

∠PSR = 38°

P
Rx

O 38° Q

S

Hitung nilai x.

Penyelesaian :

∠PRS = x
x = 180° – 90° – 38°
= 52°

TP 3
4. Rajah di bawah menunjukkan bulatan dengan PLN ialah tangen kepada bulatan. ∆KLM ialah segi

tiga sama kaki. Diberi ∠KLN = 68°

N

K 68° L
x

P
M

Hitung nilai x.

Penyelesaian :

x = 180° – 68° – 68°
= 44°

120

UJI MINDA 6.3e

TP 5
1. Rajah di bawah menunjukkan keratan rentas dari pandangan atas sebuah tong berpusat di O.

Dinding lurus KLM menyentuh tong bulat itu di titik L. Diberi bahawa ∠KLN = 75° dan
∠LNP = 65°.

N

K 65°
O

75° x

LP

M

Hitung nilai x.

Penyelesaian :

∠LOP = 2 × ∠LNP
= 130

∠OLP = 25
x = 75 – 25
= 50

TP 5
2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. PQ ialah tangen kepada bulatan.

Diberi bahawa PQ = 2OP.

R
y

O

xQ
P
Tentukan nilai ∠x dan ∠y. Nyatakan jawapan dalam minit dan darjah.

Penyelesaian :

T an x  1 ∠POQ = 180° – 26°33’ – 90°
2 = 63°27’

x  2633'

y  180 11633'
2

 3143'

121

TP 5
3. Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada sistem gear pada suatu mesin. Rantai lurus

AE dan BC bertemu pada kedua-dua gear pada titik-titik A, B, C, dan E. Gear-gear itu berbentuk
bulat dengan pusat-pusat O dan D, masing-masing. Diberi bahawa OA = 6 cm, DC = 4 cm dan
∠CDE = 130°.

A C
6 cm M 4 cm
Ox
130° D
B
E

(a) hitung nilai x.

(b) panjang dalam cm, betul kepada 4 angka bererti

(i) AM (ii) CM (iii) OD

Penyelesaian :

(a) ∠CME = ∠AMB
= 180° – 130°

= 50°

Maka,

x + 50° = 180°

x = 130°

(b) (i) tan65  AM (ii) tan65  CM (iii) OD

6 4  62 12.862  42  8.5782
AM  6  tan65 CM  4  tan65

 12.87cm  8.578cm = 14.19 + 9.46

= 23.65

122

TP 5
4. Rajah di bawah menunjukkan dua bulatan dengan jejari 3 cm dan 2 cm dan berpusat di O dan P

masing-masing. Diberi panjang CD = DP.

A R
3 cm

OP T
CD

S
B

Hitung panjang, dalam cm, betul kepada dua tempat perpuluhan.

(i) OP (ii) BS (iii) BST

Penyelesaian : (ii) BS = 42 12 (iii) ∠AOB = 2 × 75.52°
= 151.04°
(i) CD = DP = 3.87
Maka, ∠ATB = 180° – 151.04°
OP = 2 + 1 + 1 = 28.96°
= 4 cm
tan14.48  3
BST

BST  3
t an 1 4 .4 8

 11.62cm

UJI MINDA 6.4a

TP 5
1. Rajah di bawah menunjukkan dua bulatan dengan pusat C dan D. Diberi jejari kedua-dua bulatan

tersebut ialah 6 cm dan 3 cm masing-masing. PQRS ialah tangen sepunya kepada kedua-dua
bulatan.

C
D

PQ RS

Hitung

(a) panjang QR, dalam cm. Nyatakan jawapan betul kepada 3 angka bererti

(b) luas sisi 4 CDRQ dalam cm2. Nyatakan jawapan betul kepada 4 angka bererti.

123

Penyelesaian :

(a) QR  92  32
 8.49 cm

(b)  1  (6  3)  8.49
2

 38.21cm2

TP 5
2. Rajah di bawah menunjukkan dua bulatan berpusat di A dan B dengan jejari 4 cm dan 8 cm

masing-masing. Diberi bahawa PQRS dan PTUV ialah tangen sepunya kepada kedua-dua bulatan
tersebut dan ∠PAQ = 70°.

S
Ry
Q

4 cm 8 cm
70° x
P AB

T V
U

Hitung
(a) nilai x
(b) nilai y
(c) panjang QR, dalam cm betul kepada 4 angka bererti.
Penyelesaian :
(a) x  180 110

2
 35
(b) y = 90° – 35°
= 55°
(c) QR  122  42

 11.31cm

124

UJI DIRI TP 3
TP 3
1. Rajah di bawah menunjukkan suatu bulatan.

30°
40° x

y

Hitung nilai x dan y.
Penyelesaian:
x= 40°
y + 30° = 180°

y = 180° – 30°
y = 150°

2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O.

10 cm 50° x 20 cm
O

Hitung nilai x.

Penyelesaian:

10  50
20 x
10x 1000

x  100

125

3. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. ABC ialah tangen kepada bulatan. Diberi

bahawa ∠BDE = 60°. D TP 3

60°
E

O

A x C
y
Hitung nilai
(a) x B
(b) y
Penyelesaian:
(a) x + 60° + 90° = 180°

x = 180° – 150°
x = 30°
(b) 30° + y = 90°
y = 90° – 30°
y = 60°

TP 3

4. Rajah di bawah menunjukkan sisi empat kitaran.

50°

80°
x

y

Hitung nilai x + y.
Penyelesaian:
x + y + 50° + 80° = 360°

x + y = 360° – 130°
x + y = 230°

126

TP 2
5. Bulatan berpusat di O di bawah mempunyai dua tangen kepada bulatan seperti yang ditunjukkan.

yO

x

Apakah hubungan antara sudut x dan sudut y?
Penyelesaian:
x + y = 180°

TP 4

6. Rajah di bawah menunjukkan bulatan. Diberi bahawa PQR ialah tangen kepada bulatan.

∠RQT = 36° dan ∠PQW = 50°. R

36° T

Q
50°

S

PW

Hitung nilai sudut TSW.

Penyelesaian:
∠TSQ = 36°
∠QSW = 50°
∠TSW = 36° + 50°

= 86°

127

MAHIR DIRI
TP 4

1. Dalam rajah di bawah, O ialah pusat bulatan dan MN ialah tangen kepada bulatan. Diberi bahawa
∠LKN = 52° dan ∠MLO = 136°.

N

O

K 52° 136°

L x
M

Hitung nilai x.

Penyelesaian:

∠LON = 2 × 52°
= 104°

x + 136° + 104° + 90° = 360°
x = 360° – 330°
x = 30°

TP 4
2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. ABC ialah tangen kepada bulatan. Diberi

bahawa BD = BE dan ∠CBD = 65°.

C
D

65° O
Bx

E
A

Hitung nilai x.

Penyelesaian:

x = 65° × 2
= 130°

x + 25° + 25° = 180°
x = 180° – 50°
x = 130°

128

TP 4
3. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. ABC dan CDE ialah tangen kepada bulatan.

Diberi bahawa ∠BCD = 48°.

A

B
O

48° xE
C D

Hitung nilai x.

Penyelesaian:

∠BOD + 48° = 180°
∠BOD = 132°

BDO  180  132
2

 24
x = 24° + 90°
x = 114°

TP 4
4. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. AD ialah tangen kepada bulatan. Diberi

bahawa ∠BSR = 15°.

A

B O
15° S
xR
C

D

Hitung nilai x.

Penyelesaian:

∠BOR = 2 × 15°
= 30°

x + 90° + 30° = 180°
x = 180° – 120°
x = 60°

129

MISTERI KENDIRI
TP 5

1. Rajah di bawah menunjukkan dua bulatan. PTQ ialah tangen sepunya kepada kedua-dua bulatan
tersebut. Diberi panjang KT = LT, ∠KLT = 61° dan ∠SNT = 42°.
P

K S N
42°
61°
L x
T

M

Q

Hitung
(a) ∠ LTQ

(b) nilai x

Penyelesaian:

(a) LTQ  180  58
2

 61
(b) ∠KTL = 180° – 61° – 61°

= 58°
x + 58° + 42° = 180°

x = 180° – 100°
x = 80°

TP 5
2. Rajah di bawah menunjukkan dua bulatan berpusat di O dan di P masing-masing. ABCD ialah

tangen sepunya kepada kedua-dua bulatan.

O P
5.2 cm 93° 4.5 cm
AB
CD

Hitung luas trapezium OBCP, dalam cm2, betul kepada 3 angka bererti.

130

Penyelesaian:

Tan3  0.7 0.7 cmO P
BC 4.5 cm 93° 4.5 cm
AB
BC = 13.36 cm CD

luas trapezium OBCP = 1  (4.5  5.2) 13.36
2

= 64.80

TP 5
3. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa jejari bulatan ialah 3 cm,

QR = 8 cm dan PQR ialah tangen kepada bulatan.

S

O T
3 cm 8 cm

P Q R

Tentukan
(a) ∠ TRQ

(b) panjang ST, dalam cm.

Penyelesaian:

(a) TanTRQ  6
8

TRQ  Tan1 6 
8

TRQ  36.87
(b) ∠ TSQ = 180° – 90° – 36.87°

= 53.13°

kos53.13  ST
6

ST = 3.765 cm

131

4. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. PQ ialah tangen kepada bulatan.

8 cm O
Q
P 12 cm

Hitung nilai

(a) jejari bulatan, dalam cm

(b) Panjang OP dalam cm
(c) luas ∆OPQ, dalam cm2

Penyelesaian:

(a) Biarkan, jejari = x

OP2 = PQ2 + OQ2
(x + 8)2 = 122 + x2
x2 + 16x + 64 = 144 + x2

16x = 80
x = 5 cm

(b) OP = 8 cm + 5 cm
= 13 cm

(c) OPQ  1 12  5
2

 30cm2

132

BAB PLAN DAN DONGAKAN
7

133

UJI MINDA 7.1a

TP 2
1. Setiap rajah di bawah menunjukkan objek dan unjurannya kepada suatu satah. Tentukan sama ada

unjuran itu ialah unjuran ortogon atau bukan.
(a) (b)

(c) (d)

Penyelesaian: (b) Ya
(a) Ya (d) Ya
(c) Bukan

134

TP 2
2. Seorang murid melihat objek berikut dari arah pandangan yang diberi. Antara kombinasi berikut

yang manakah menunjukkan unjuran ortogon yang betul?

Objek Unjuran ortogon
(a)

(b)

Penyelesaian:

2(a) Betul
2(b) Salah

UJI MINDA 7.1b

TP 3
1. Setiap objek di bawah terletak pada suatu satah mengufuk. Lukis unjuran ortogon bagi setiap objek

tersebut pada

(a) satah mengufuk sebagaimana dilihat dari arah Z.

(b) satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah Y.

(i) (ii) Z (iii) Z
Z C
E 2cm
V FG H 1cm
IJ

5cm 5cm 4cm L K C
NM B D 4cm
K 4 cm L A
4 cm A 6cm B
Y
Y
Y

135

Penyelesaian : M (b) Pandangan Arah Y
V
(i) (a) Pandangan Arah Z

N

V

K L
(ii) (a) Pandangan Arah Z
K L
(b) Pandangan Arah Y

C

AC B

(iii) (a) Pandangan Arah Z A B
(b) Pandangan Arah Y
EH K
J CF G
L

F G K BA B
136

UJI MINDA 7.1c

TP 4

Z Z

E 1cm T 1cm U
F S

3cm Q 2cm
2cm R
AD

4cm C
B 2cm

X P
X

Rajah 1 Rajah 2

1 (a) Rajah 1 dan Rajah 2 di atas menunjukkan dua prisma tegak yang terletak pada satah mengufuk.
Lukiskan dengan skala penuh unjuran ortogon kedua-dua prisma tersebut pada

(i) satah mengufuk sebagaimana dilihat dari arah Z.

(ii) satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah X.

(b) Nyatakan kesimpulan anda tentang panjang sisi dan saiz sudut antara objek dengan unjuran
ortogon bagi Rajah 1 dan Rajah 2. Jelaskan kesimpulan anda.

Penyelesaian: C Kaedah alternatif:
F A ED
1 (a) Rajah 1 B
(i) Pandangan Arah Z Pandangan Arah Z
D

E

A

BFC

137

(ii) Pandangan Arah X F
F
Pandangan Arah X C
BC B

Rajah 2
(i) Pandangan Arah Z

TUR
S
P
(ii) Pandangan Arah X
SU

PR

(b) Pandangan arah Z :
Berubah – panjang sisi AE, AD, BF dan FC.
Tidak berubah – panjang sisi EF, AB, DC, AD dan BC dan semua saiz sudut.

Pandangan arah X
Tiada perubahan pada panjang sisi dan saiz sudut.

138

UJI MINDA 7.2a

TP 3
1. Rajah di bawah menunjukkan prisma dengan tapak segi empat tepat PQUT terletak pada suatu

satah mengufuk. PQSR ialah keratan rentas seragam prisma tersebut. Lukis dengan skala penuh.

W 3cm V
4cm Y
UT
R S
2cm

P 1cm Q
X

(a) pelan prisma.
(b) dongakan prisma dari arah X
(c) dongakan prisma dari arah Y

Penyelesaian: V W 3 cm V

1 (a) Pelan

WUT

4 cm

R U T
2 cm S

Y

P 1 cm Q

R PQS X

139

(b) Dongakan dari arah X (c) Dongakan dari arah Y V
RS S

PQ Q T

1 Kaedah alternatif:

(a) Pelan
WU T V

R PQ S S V

RS
3cm

PQ QT
(b) Dongakan dari arah X (c) Dongakan dari arah Y

140

TP 5

2. Rajah di bawah menunjukkan suatu bongkah dengan tapak segi empat tepat ABCD terletak pada
suatu satah mengufuk. ABVSRONKJGF ialah keratan rentas seragam bongkah tersebut. Sisi-sisi AF,
JG, KN, RS dan BV adalah tegak. Lukis dengan skala penuh

E HM P T 1cm U

IL Q
3cm
F GN O
D SV
C
JK
R
3cm Y

A 6cm B

X
(a) pelan objek.
(b) dongakan objek dari arah X
(c) dongakan objek dari arah Y

141

Penyelesaian: TU 1 cm
SV
2 (a) Pelan E HM P TU
EHM P
I L Q
F GNO O
F GN 3 cm
(b) Dongakan dari Arah X D SV Y
F GNO
JK JK C
R

3 cm

A 6 cm B

SV X
R
(c) Dongakan dari Arah Y
VU

RQ

A BB C

142

2 Kaedah alternatif: (a) Pelan
E H MP TU

F GNO SV U
FGNO SVV Q

JK RR

A BB C

(b) Dongakan dari arah X (c) Dongakan dari arah Y

143

TP 5
3. Rajah di bawah menunjukkan gabungan kuboid dan prisma tegak terletak pada suatu satah mengufuk.

Sebuah semi silinder dikeluarkan dari kuboid tersebut. ADEFKJ ialah keratan rentas seragam objek.
Sisi-sisi AD dan FEJ adalah tegak. Lukis dengan skala penuh.

I

4cm J
C 4cm H L
2cm
BG E
F 2cm K
5cm D
Y

A

X

(a) pelan objek.
(b) dongakan objek dari arah X.
(c) dongakan objek dari arah Y.

144

Penyelesaian: I LI

3 (a) Pelan

C

DJ 4 cm J

C 4 cm H

2 cm
B GL
DE
5 cm

KY

A F 2 cm K

(b) Dongakan dari Arah X (c) Dongakan dari Arah Y X
I J
J

DE C D
A
A FK B

145

3 Kaedah alternatif:

(a) Pelan IL
C

D JK

IJ J

C DD E

B AA F K

(c) Dongakan dari Arah Y (b) Dongakan dari Arah X

146

UJI MINDA 7.2b

TP 5
1. Rajah di bawah menunjukkan pelan, dongakan depan dan dongakan sisi bagi gabungan sebuah

kuboid dan prisma tegak. Lakar bentuk tiga dimensi gabungan objek tersebut.

Dongakan sisi E/H Dongakan depan F/G
2cm 5cm

F/E G/H

C/D J/I 3cm
D/I C/J

4cm
4cm

B/A K/L 3cm
A/L B/K

45° J/K G
H I/L

1cm 3cm 1cm

E D/A C/B F

Pelan

147

1 H Lukisan Alternatif: G
E H F

G E J
IF I C
D
D
J
C

L L K
A B
A
K

B

TP 5
2. Rajah di bawah menunjukkan pelan, dongakan depan dan dongakan sisi gabungan kuboid, prisma

tegak dan semi silinder. Lakar bentuk tiga dimensi gabungan objek tersebut.

Dongakan sisi Dongakan depan
L K L/K

2cm J/G I/J
I/H H/G

8cm

C/B/A 10cm 4cm 6cm C/D
D/E/F A/F B/E D

45° G/F J/E

10cm

H/A I/B 6cm C
4cm

Pelan

148

2 K Lukisan Alternatif: J
L G K

H J LG
I HI
F
A E FE D
B
C D

AB C

UJI MINDA 7.2c

TP 5
1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak segi empat sama ABCD terletak

pada suatu satah mengufuk ABNKJGF ialah keratan rentas seragam prisma tersebut.

EH M

F 1cm G N
6cm

I L
5cm C

D 5cm

2cm B Y
JK
1cm
A 5cm

X

149

(a) Lukiskan dengan skala penuh

(i) pelan prisma tersebut.

(ii) dongakan pada satah mencancang selari dengan AB dari arah X.

(iii) dongakan pada satah mencancang selari dengan BC dari arah Y.

(b) Prisma tegak ini merupakan hasil daripada sebuah kuboid dengan ukuran 5 cm × 5 cm × 6 cm.
Sebuah prisma tegak lain GJKNMLIH telah dikeluarkan daripada kuboid. Hitung
(i) isi padu prisma yang dikeluarkan.

(ii) nisbah isi padu prisma GJKNMLIH dengan isi padu prisma yang tinggal.

Penyelesaian:

1 (a) (i) Pelan

EH L M 1 cm M
EH

FG N
6 cm
5 cm I
D L
C
2 cm Y
5 cm
1 cm J K B

FG K N A 5 cm

X

150