3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 1 บทที 1 เซต 1.1 เซต (Sets) “ เซต ” เป็ นคําที ใช้กล่าวถึงกลุ่มของสิ งต่างๆ ซึ งทราบแน่นอนแล้ววามีสิ ่ งใดอยูในกลุ ่ ่ม และสิ งใดไม่อยูในกลุ ่ ่ม เช่น เซตของจํานวนเต็มตั งแต่1 ถึง 3 คือกลุ่มจํานวน 1 , 2 , 3 เซตคําตอบของสมการ x 2 = 9 คือกลุ่มของจํานวน +3 และ –3 เป็ นต้น การเขียนเซตโดยทัวไป สามารถเขียนได้ 2 แบบดังนี 1) แบบแจกแจงสมาชิก เป็ นการเขียนเซตโดยแสดงสมาชิกของเซตลงในวงเล็บปี กกา “ { } ” และใช้เครื องหมายจุลภาค “ , ” คันระหว างสมาชิกของเซตแต ่ ่ละตัว เช่น A = { 1 , 2 , 3 } จากตัวอยางนี ่ จะได้วา ่ 1 เป็ นสมาชิกของเซต A เขียนเป็ นสัญลักษณ์จะได้ 1 Î A [ Î อ่านวา เป็ นสมาชิก ่] และ 2 Î A 3 Î A แต่4 Ï A [ Ï อ่านวา ไม ่ ่ เป็นสมาชิก ] 2) แบบบอกเงื อนไขของสมาชิก เป็ นการเขียนเซตโดยใช้ตัวแปรแทนสมาชิกแล้ว บรรยายสมบัติของสมาชิกที อยูในรูปตัวแปร เช ่ ่น A = { x x เป็ นจํานวนเต็มตั งแต่ 1 ถึง 3 } อ่านวา ่A เป็ นเซตของ x โดยที x เป็ นจํานวนเต็มตั งแต่ 1 ถึง 3 ซึ งเมื อทําการแจกแจงสมาชิกจะได้วา่ A = { 1 , 2 , 3 } นันเอง
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 2 1. ข้อใดเป็ นเท็จ 1) 0 Î 0 , 1 , 23 2) 1 Î 0 , 1 , 23 3) 2 Î 0 , 1 , 23 4) 23 Î 0 , 1 , 23 เซตที ควรร้จักู 1) เซตว่าง (empty set หรือ null set ) คือเซตที ไม่มีสมาชิกเลย เช่น D = {x | x เป็ นเดือนที มี 40 วัน } เซตวาเขียนแทนด้วย ่ สัญลักษณ์ { } หรือ ( อ่านวา พี ) ่ 2) เซตจํากัด ( finite set ) คือเซตที สามารถบอกจํานวนสมาชิกได้วามีก ่ ี ตัว เช่น A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } B = { 1 , 2 , 3 , …. , 95 } ควรทราบวา่เซตวางเป็ นเซตจําก ่ด ัเพราะสามารถบอกจํานวนสมาชิกได้วา่ มี 0 ตัว 3) เซตอนันต์ ( infinite set ) คือเซตที มีจํานวนสมาชิกมากมายจนนับจํานวนไม่ได้ เช่น C = { 5 , 6 , 7 , 8 , … } 4) เซตที เท่ากัน (equal sets หรือ identical set ) หมายถึงเซต 2 เซต หรือหลายเซต ซึ งมี สมาชิกเหมือนกนโดยตลอด ั เช่น ถ้า A = { a , b , c , d } และ B = { b , c , a , d } จะได้วา่ A = B ถ้า C = { 1 , 2 , 3 } และ D = { 2 , 6 , 7 } จะได้วา่ C ¹ D 2(แนว O–Net) เซตต่อไปนี เซตใดเป็ นเซตจํากัด 1. { x | x เป็ นจํานวนเต็มบวกคู่ที น้อยกว่า 0 } 2. { x | x = n 1 โดยที n เป็ นจํานวนนับ } 3. { x | x = n 1 โดยที n เป็ นจํานวนเต็มที น้อยกว่า 10 } 4. { x | x เป็ นจํานวนเต็มที หารด้วย 3 ลงตัว }
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 3 3. พิจารณาเซตแต่ละข้อต่อไปนี มีกี ข้อที เป็ นเซตที เท่ากนั ก. A = { xx = 1 – n 1 เมื อ n เป็ นจํานวนนับ } B = { 0 , 2 1 , 3 2 , 4 3 , … } ข. C = { 0 , 1 , 3 , 7 } D = { xx เป็ นจํานวนเต็มที น้อยกวา ่ 10 } ค. K = { xx เป็ นจํานวนเต็มคู่ที น้อยกวา ่ 10 } L = { 2 , 4 , 6 , 8 } ง. M = { xx เป็ นจํานวนเต็ม และ x 2= 36 } N = { 6 } 1. 1 ข้อ 2. 2 ข้อ 3. 3 ข้อ 4. 4 ข้อ
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 4 1.2 สับเซตและเพาเวอร์เซต เซต A เป็ นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื อสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A B ( อ่านวา เป็ นสับเซต ) ่ เซต A ไม่เป็ นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื อมีสมาชิกของเซต A อยางน้อยหนึ งตัวไม ่ ่เป็ น สมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A B ( อ่านวา ่ ไมเป็ นสับเซต ) ่ ตัวอย่าง ถ้า A = { 2 , 3 } และ B = { 2 , 3 , 4 , 5 } จะเห็นวาสมาชิกของ ่เซต A ทุกตัวล้วนเป็ นสมาชิกของเซต B จึงสรุปได้วา ่A B ตัวอย่าง ถ้า A = { 6 , 8 } และ B = { 3 , 4 , 5 , 6 } จะเห็นวาสมาชิกของ ่เซต A บางตัว( คือเลข 8 ) ไม่ เป็ นสมาชิกของ B จึงสรุปได้วา ่A B ตัวอย่าง ถ้า A = 6 , 8 และ B = { 2 , 4 , 6 , 8 } จะเห็นวา่ A ไม่ เป็ นเซต ( เพราะไม่มีวงเล็บปี กกา ) จึงสรุปได้วา ่A B 4. ข้อใดต่อไปนี เป็ นเท็จ 1. { 0 , 1 } 0 , 1 , {2, 3} , {4} 2. {4} 0 , 1 , {2, 3} , {4} 3. {2,3} 0 , 1 , {2, 3} , {4} 4. 0 , 1 0 , 1 , {2, 3} , {4} 5. ให้ A = { 2 , {4,5} , 4 } จงพิจารณาวาข้อความต ่ ่อไปนี มีถูกกี ข้อ a) { 5 } A b) {4 , 5} A c) {{4,5}} A d) 5 Î A e) {4 , 5} Î A f) { 5 } Î A 1. 2 ข้อ 2. 3 ข้อ 3. 4 ข้อ 4. 5 ข้อ
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 5 6(แนว O-Net) ถ้า A เป็ นเซตอนันต์ และ B เป็ นเซตจํากด ั ข้อใดต่อไปนี ผิด 1. มีเซตจํากดเป็ นสับเซตของ ัA 2. มีเซตจํากดเป็ นสับเซตของ ัB 3. มีเซตอนันต์เป็ นสับเซตของ A 4. มีเซตอนันต์เป็ นสับเซตของ B 6. ตอบข้อ 4. ควรทราบเพิ มเติมเกี ยวกับสับเซต 1) เซตวางเป็ นสับเซตของทุกเซต ่เสมอ 2) เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของตัวมันเองเสมอ 3) จํานวนสับเซตของเซตใดๆ = 2n เมื อ n = จํานวนสมาชิกของเซตนั นๆ ตัวอย่าง ให้ A = {2 , 4 , 6} จะได้วา จํานวนสับเซตของ ่A = 23 = 8 สับเซต ได้แก่ {2} {4} {6} {2, 4} {2, 6} {4, 6} {2, 4, 6} 4) สับเซตทั งหมดที ไม่ใช่เซตของตัวมันเอง เรียกเป็ นสับเซตแท้ จํานวนสับเซตแท้ของเซตใดๆ = 2n– 1 เมื อ n = จํานวนสมาชิกของเซตนั นๆ ตัวอย่าง ให้ A = { 2 , 4 , 6 } สับเซตแท้ของ A ได้แก่ {2} {4} {6} {2, 4} {2, 6} {4, 6} {2, 4, 6} จะได้วา ่ จํานวนสับเซตแท้ของ A = 23 – 1 = 7 สับเซต 5) เพาเวอร์เซต คือเซตของสับเซต เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) จํานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต = จํานวนสับเซตของเซต = 2n เมื อ n = จํานวนสมาชิกของเซตนั นๆ ตัวอย่าง ให้ A = { 2 , 4 , 6 } จะได้วา่ P(A) = {2} , {4} , {6} , {2, 4} , {2, 6} , {4, 6} , {2, 4, 6} ,
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 6 ฝึ กทํา. จงเขียนเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี 1. A = { 0 , 2 } 2. A = { x } 3. A = { } เฉลย 1. P(A) = , {0} , {2} , {0, 2} 2. P(A) = , {x} 3. P(A) = 7. กาหนดให้ ํA = แล้ว ข้อใดต่อไปนี ผิด 1. P(A) 2. P(A) 3. Î P(A) 4. Î P(A) 1.3 เอกภพสัมพัทธ์ ( Relative Universe ) และแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เอกภพสัมพัทธ์ (U )คือเซตซึ งตกลงเอาไว้วาให้เป็ นเซตที ใหญ ่ ่ที สุดในกรณีนั นๆ และเรา จะไม่กล่าวถึงสิ งอื นใดนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ เช่น ถ้ากาหนดให้ ํ U = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } และ A = { 2 , 4 , 6 } ดังนั นจํานวนซึ งไม่ เป็ นสมาชิกของ A คือ 1 , 3 , 5 สังเกตวาเราจะไม ่ ่กล่าวถึง 7 , 8 , 9 , ...... เพราะจํานวนเหล่านี ไม่อยูใน ่ U การเขียนแสดงเซตนั น เราอาจเขียนแสดงเป็ น แผนภาพซึ งเวนน์กบัออยเลอร์ เป็ นผู้คิดค้นไว้ ดัง ตัวอยางต่ ่อไปนี กาหนดให้ ํ U = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } A = { 2 , 4 , 6 } และ B = { 1 , 2 , 3 } A B 4 , 6 , 2 , 1 , 3 5 , 7 U
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 7 8. กาหนดให้ ํ U เป็ นเอกภพสัมพัทธ์ และ A เป็ นเซต แล้วข้อใดต่อไปนี เป็ นไปได้ 1. A U 2. U A 3. มีข้อที ถูกมากกวา ่1 ข้อ 4. ไม่มีข้อที ถูก 1.4 อินเตอร์เซกชัน ยูเนียน ผลต่าง และคอมพลีเมนต์ของเซต 1.4.1. อินเตอร์เซกชัน ( Intersection , ) อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B ( เขียนแทนด้วย A B ) คือเซตที ประกอบ ด้วยสมาชิกซึ งเป็ นสมาชิกของทั งเซต A และเซต B หรือเซตของสมาชิกที เซต A และเซต B มีซํ ากนั เช่นถ้า A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 3 , 4 , 5 } ดังนั น A B = { 3 } 1.4.2 ยูเนียน ( Union , ) ยูเนียนของเซต A และเซต B ( เขียนแทนด้วย A B ) คือเซตที ประกอบด้วย สมาชิกซึ งเป็ นสมาชิกของเซต A หรือ B หรือเซตของสมาชิกที เป็ นสมาชิกของเซต A รวมกบสมาชิกของเซต ัB เช่นถ้า A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 3 , 4 , 5 } ดังนั น A B = { 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 } = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 1 , 2 3 4, 5 A B U A B 1 2 3 4 5 A B U A B
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 8 1.4.3. ผลต่าง ( Difference , – ) ผลต่างของเซต A กบ ัB ( เขียนแทนด้วย A – B ) คือเซตที ประกอบด้วยสมาชิก ของเซต A แต่ไม่ เป็ นสมาชิกของเซต B เช่นถ้า A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 3 , 5 , 6 } จะได้ A – B = { 1 , 2 } และ B – A = { 5 , 6 } 1.4.4. คอมพลีเมนต์ ( Complement , ) คอมพลีเมนต์ของเซต A (เขียนแทนด้วย Aอ่านวา ่A ไพร์ม หรือ A คอมพลีเมนต์) คือเซตที ประกอบด้วยสมาชิกที ไม่ใช่สมาชิกของเซต A แต่ เป็ นสมาชิกของ U เช่นถ้า U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } และ A = { 1 , 2 } จะได้วา่ A = { 3 , 4 , 5 } สมบัติเกี ยวกับการกระทําของเซตที สําคัญ 1) A A = A 6) A A = A 2) A B = B A 7) A B = B A 3) (A B) C = A ( B C) 8) (A B) C = A ( B C) 4) A = 9) A = A 5) A U = A 10) A U = U 11) A ( BC ) = (AB) (AC) 12) A ( BC ) = (AB) (AB) 13) (A) = A 14) U = และ = U 15) (A B) = A B (A B) = A B 16) A A = A A = U 17) A – B = A B A B U B – A A B U A – B A U A
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 9 9. ให้ A = { 2 , 4 , 6 } และ B = { } แล้วข้อใดต่อไปนี เป็ นเซตวาง่ 1. A B 2. A B 3. มีข้อที ถูกมากกวา ่1 ข้อ 4. ไม่มีข้อที ถูก 10. ให้ U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } , A = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } B = { 1 , 3 , 5 , 7 } และ C = { 3 , 4 , 5 , 6 } เซตในข้อใดต่อไปนี มีกี ข้อที มีจํานวนสมาชิก 2 สมาชิก 1) A B 2) B C 3) C A 4) (A – B) C 1. 1 ข้อ 2. 2 ข้อ 3. 3 ข้อ 4. 4 ข้อ 11(แนว O-Net) ถ้า A – B = { 0 , 1 , 3 } , B – A = { 2 , 4 , 6 } และ A B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } แล้ว A B เป็ นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี 1. { 0 , 1 , 4 , 5 , 6 } 2. { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 } 3. { 0 , 1 , 3 , 5 , 7 } 4. { 0 , 2 , 4 , 5 , 6 }
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 10 12(แนว O-Net) ให้ A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,…. และ B = {1,2} , {3,4,5} , 6 , 7 , 8 , …. ข้อใดต่อไปนี ถูกต้อง 1. A – B เป็ นเซตวาง่ 2. จํานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของ B – A เท่ากบ ั2 3. จํานวนสมาชิกของ (A – B) (B – A) เป็ นจํานวนคู่ 4. A B คือเซตของจํานวนนับที มีค่ามากกวา ่5
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 11 1.5 จํานวนสมาชิกของเซตจํากัด พิจารณาโจทย์ตัวอยาง่ต่อไปนี ตัวอย่าง กาหนดํ จํานวนสมาชิก U [ n (U) ] = 20 สมาชิก จํานวนสมาชิก A [ n (A) ] = 7 สมาชิก จํานวนสมาชิก B [ n (B) ] = 8 สมาชิก จํานวนสมาชิก (A B) [ n (A B) ] = 3 สมาชิก จงหาจํานวนสมาชิกของ A B [ n (A B) ] ตอบ 12 วิธีทํา วิธีที 1 เขียนแผนภาพ ขั นที 1 ให้เขียนแผนภาพของเซตทั งหมด ขั นที 2 ให้ระบุจํานวนสมาชิกของพื นที ด้านในสุดก่อน แล้วจึงระบุจํานวนสมาชิก ในพื นที ถัดออกมา โดยโจทย์บอก จํานวนสมาชิก (A B) = 3 ดังนั นพื นที ในสุดจึงเติมจํานวนสมาชิก = 3 จํานวนสมาชิก A = 7 แสดงวาวงกลม ่A เต็มวงมีจํานวนสมาชิก = 7 แต่อยูในพื ่ นที อินเตอร์เซกชันตรงกลาง = 3 ดังนั นในพื นที A – B ( เสี ยวพระจันทร์ A ) จึงเหลือจํานวนสมาชิก = 7 – 3 = 4 จํานวนสมาชิก B = 8 แสดงวาวงกลม ่B เต็มวงมีจํานวนสมาชิก = 8 แต่อยูในพื ่ นที อินเตอร์เซกชันตรงกลาง = 3 ดังนั นในพื นที B – A ( เสี ยวพระจันทร์ B ) จึงเหลือจํานวนสมาชิก = 8 – 3 = 5 จํานวนสมาชิก U = 20 แสดงวากรอบสี เหลี ยม ่ U เต็มพื นที มีจํานวนสมาชิก = 20 แต่อยูในพื ่ นที วงกลม = 4 + 3 + 5 = 12 ดังนั นในพื นที นอกวงกลมจึงเหลือจํานวนสมาชิก = 20 –12 = 8 จากแผนภาพจะได้วาจํานวนสมาชิก ่A B = 4 + 3 + 5 = 12 20 – (4+3+5) = 8 7 – 3 A B U A B = 4 8 – 3 = 5 3
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 12 วิธีที 2 ใช้สูตรคํานวณ จาก n (A B) = n(A) + n(B) – n(A B) จะได้ n (A B) = 7 + 8 – 3 n (A B) = 12 นันคือจํานวนสมาชิกของ A B มี 12 สมาชิก โปรดจําให้แม่นว่า n (A B) = n(A) + n(B) – n(A B) n(ABC) = n(A) +n(B) +n(C) – n(AB) – n(BC) –n(AC) + n(ABC) เมื อ n คือจํานวนสมาชิกของเซตนั นๆ 13. กาหนด ํn U = 150 , n A = 40 , n B = 30 , n (A B) = 10 จงหา n (AB) 14(แนว O-Net) นักเรียนกลุ่มหนึ งจํานวน 50 คน แต่ละคนมีเสื อสีเหลืองหรือเสื อสีฟ้าอยางน้อย ่ สีละหนึ งตัว ถ้านักเรียน 40 คน มีเสื อสีเหลือง และ 20 คน มีเสื อสีฟ้า แล้วนักเรียน กลุ่มนี ที มีทั งเสื อสีเหลืองและ เสื อสีฟ้ามีจํานวนเท่ากบข้อใดต ั ่อไปนี 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 13 15(แนว O-Net) ในการสอบถามพอบ้านจํานวน ่3000 คน พบวา มีคนที ไม ่ ่ดื มทั งชาและกาแฟ 1000 คน มีคนที ดื มชา 1000 คน และ มีคนที ดื มกาแฟ 1500 คน พอบ้านที ดื มทั ่ งชาและกาแฟมีจํานวนเท่าใด 16(แนว O-Net) ในการสํารวจความชอบในการดื มชาเขียวและกาแฟของกลุ่มตัวอย่าง 32 คน พบว่าผู้ชอบดื มชาเขียวมี 18 คน ผู้ชอบดื มกาแฟมี 16 คน ผู้ไม่ชอบดื มชาเขียวและไม่ ชอบดื มกาแฟมี 8 คน จํานวนคนที ชอบดื มกาแฟอยางเดียวเท ่ ่ากบข้อใดต ั ่อไปนี 1. 6 คน 2. 8 คน 3. 10 คน 4. 12 คน
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 14 17. ร้านค้าแห่งหนึ งได้ทําการสํารวจความนิยมของลูกค้าเกี ยวกบการใช้พัดลม พบว ัา ่60% ใช้ พัดลมชนิดตั งโต๊ะ 45% ใช้ชนิดแขวนเพดาน และ 15% ใช้ทั งสองชนิด อยากทราบว่า ลูกค้าที ใช้พัดลมเพียงชนิดเดียวมีกี เปอร์เซ็นต์ 18(มช 56) ถ้าในการสํารวจหมู่บ้าน ก และหมู่บ้าน ข พบว่ามีการทําไร่มันสําปะหลัง 45 ครัวเรือน ทําไร่มันสําปะหลังและไร่อ้อย 30 ครัวเรือน ทําไร่มันสําปะหลังหรือไร่อ้อย อยางใดอย ่ างหนึ ง ่60 ครัวเรือนแล้ว จํานวนครัวเรือนที ทําไร่อ้อยเป็ นเท่าไร 1. 45 2. 60 3. 75 4. 90
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 15 19(แนว O-Net) นักเรียนกลุ่มหนึ งจํานวน 50 คน มี 32คน ไม่ชอบเล่นกีฬาและไม่ชอบฟัง เพลง ถ้ามี 6 คน ชอบฟังเพลงแต่ไม่ชอบเล่นกีฬา และมี 1 คน ชอบเล่นกีฬาแต่ไม่ชอบ ฟังเพลง แล้วนักเรียนในกลุ่มนี ที ชอบเล่นกีฬาและชอบฟังเพลงมีจํานวนเท่ากบข้อใดต ั ่อไปนี 1. 11 คน 2. 12 คน 3. 17 คน 4. 18 คน 20(แนว O-Net) ในการสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ ง พบวามีผู้สอบผ ่ านวิชาต ่ ่างๆ ดังนี คณิตศาสตร์ 72 คน สังคมศึกษา 100 คน ภาษาไทย 88 คน คณิตศาสตร์และสังคมศึกษา 30 คน ภาษาไทยและสังคมศึกษา 24 คน คณิตศาสตร์และภาษาไทย 14 คน ทั งสามวิชา 10 คน จํานวนผู้สอบผานอย่ างน้อยหนึ งวิชามีก ่ ี คน
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 16 21. จากการสํารวจผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ฯ จํานวน 3000 คน พบวามีผู้ถือหุ้นของบริษัท ่ A , B และ C ดังนี ผู้ถือหุ้นบริษัท A มีจํานวน 200 คน ผู้ถือหุ้นบริษัท B มีจํานวน 250 คน ผู้ถือหุ้นบริษัท C มีจํานวน 300 คน ผู้ถือหุ้นบริษัท A และ B มีจํานวน 50 คน ผู้ถือหุ้นบริษัท B และ C มีจํานวน 40 คน ผู้ถือหุ้นบริษัท A และ C มีจํานวน 30 คน และไม่มีผู้ที ถือหุ้นครบทั งสามบริษัท จากจํานวนผู้ถือหุ้นที สํารวจ ผู้ถือหุ้นบริษัทอื น ๆ ที ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี มีจํานวนเท่าไร
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 17 22. ในการสํารวจผู้ใช้บริการขนส่ง พบวามี ่ ผู้ใช้บริการขนส่งทางรถไฟ มีจํานวน 100 คน ผู้ใช้บริการขนส่งทางรถยนต์ มีจํานวน 150 คน ผู้ใช้บริการขนส่งทางเรือ มีจํานวน 200 คน ผู้ใช้บริการขนส่งทางรถไฟและรถยนต์ มีจํานวน 50 คน ผู้ใช้บริการขนส่งทางรถยนต์และเรือ มีจํานวน 25 คน ไม่มีผู้ใช้บริการขนส่งทางรถไฟและเรือ ไม่มีผู้ใช้บริการขนส่งทั งทางรถไฟ รถยนต์ และเรือ ผู้ใช้บริการขนส่งแบบอื นๆ ที ไม่ใช่ทางรถไฟ รถยนต์ หรือเรือ มี 30 คน อยากทราบวาจํานวนผู้ใช้บริการขนส ่ ่งที ได้รับการสํารวจมีทั งหมดก ี คน
3 วันพร้อมสอบคณิต O-Net เล่ม http://www.pec9.com บทที เซต 18 23(แนว O-Net) ในการสํารวจงานอดิเรกของนักเรียน 20 คน ปรากฏวา ่ 12 คน ชอบอ่านหนังสือ 11 คน ชอบดูภาพยนตร์ 13 คน ชอบเล่นกีฬา 6 คน ชอบอ่านหนังสือและดูภาพยนตร์ 7 คน ชอบอ่านหนังสือและเล่นกีฬา 5 คน ชอบดูภาพยนตร์และเล่นกีฬา นักเรียนที ชอบเล่นกีฬาเพียงอยางเดียวมีก ่ ี คน
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 1 บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 1.1 ประพจน์ ประพจน์ คือข้อความที่อยูในรูปของประโยคบอกเล ่ ่า หรือประโยคปฏิเสธ ซึ่งจะเป็นจริง หรือเท็จอยางหนึ่งอย ่ างใดเท ่ ่านั้ น เช่น หนึ่งสัปดาห์มี 7 วัน เป็นจริง ถือวาเป็นประพจน์ ่ หนึ่งเดือนมี 45 วัน เป็นเท็จ ถือวาเป็นประพจน์ ่ หนึ่งปี มี 15 เดือน เป็นเท็จ ถือวาเป็นประพจน์ ่ ขอให้โชคดี บอกจริงเท็จไม่ได้ ไม่ถือวาเป็นประพจน์ ่ จะไปไหนกนั บอกจริงเท็จไม่ได้ ไม่ถือวาเป็นประพจน์ ่ 1. ประโยคต่อไปนี้ มีกี่ประโยคที่เป็นประพจน์ ก. เดือนสิงหาคม มี30วัน ข. 7 {1 , 3 , 5 , 7 , 9} ค. (8 + 22)3 หารด้วย 102 ไม่ลงตัว ง. กรุณารักษาความสะอาด จ. จงตอบค าถามต่อไปนี้ ฉ. 3 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 2. ประโยคต่อไปนี้ มีกี่ประโยคที่เป็นประพจน์ ก. 9 เป็นจ านวนเฉพาะ ข. {1 , 2 } ค. โทรได้ตามอ าเภอใจ ง. x เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ x2 – x จ. {ก , ข , ค} = {1 , 2 , 3} ฉ. { 0 } { , 0 } 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 2 1.2 การเชื่อมประพจน์ หากเรามีประพจน์ย่อยหลายๆ ประพจน์ เราสามารถน าประพจน์ยอยเหล่ ่านั้นมารวมกนั ให้ประพจน์เดียวได้โดยใส่ตัวเชื่อมประพจน์เข้าไประหวางประพจน์ย ่อยเหล่ ่านั้น ตัวเชื่อมประพจน์มี 4 ตัว ได้แก่ 1) และ () 2) หรือ () 3) ถ้า.......แล้ว....... ( ) 4) ก็ต่อเมื่อ ( ) เช่น ไก่มี 2 ขา และ ช้างมีงวง 1.2.1 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม และ ( ) ประพจน์ที่ถูกเชื่อมด้วยตัวเชื่อมประพจน์ และ ประพจน์รวมที่ได้จะเป็นจริงหรือเท็จให้ พิจารณาตามตารางต่อไปนี้ p q p q T T T T F F F T F F F F ตัวอยาง่ ไก่มี 2 ขา และ หมีมีนอ ตัวอยาง่ 6 เป็นเลขคู่ และ 3 เป็นเลขคี่ T F T T F T 1.2.2 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม หรือ ( ) ประพจน์ที่ถูกเชื่อมด้วยตัวเชื่อมประพจน์ หรือ ประพจน์รวมที่ได้จะเป็นจริงหรือเท็จ ให้พิจารณาตามตารางต่อไปนี้ p q p q T T T T F T F T T F F F ตัวอย่าง ไก่มี 2 ขา หรือ หมีมีนอ ตัวอย่าง 6 เป็นเลขคี่ หรือ 3 หารด้วย 2ลงตัว T F F F T F จำง ่ำย ๆ ถ้ำ T T ตอบ T นอกนั้ น F หมด จำง ่ำย ๆ ถ้ำ F F ตอบ F นอกนั้น T หมด
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 3 1.2.3 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ถ้า.......... แล้ว.......... ( ) ประพจน์ที่ถูกเชื่อมด้วยตัวเชื่อมประพจน์ ถ้า.........แล้ว..... ประพจน์รวมที่ได้จะเป็นจริง หรือเท็จ ให้พิจารณาตามตารางต่อไปนี้ p q p q T T T T F F F T T F F T ตัวอย่าง ตัวอย่าง ถ้า ไก่มี 2 ขา หรือ หมีมีนอ ถ้า 6 เป็นเลขคี่ แล้ว 3 หารด้วย2ลงตัว T F F F T T 1.2.4 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อ ( ) ประพจน์ที่ถูกเชื่อมด้วยตัวเชื่อมประพจน์ ก็ต่อเมื่อ ประพจน์รวมที่ได้จะเป็นจริงหรือเท็จ ให้พิจารณาตามตารางต่อไปนี้ p q p q T T T T F F F T F F F T ตัวอย่าง ตัวอย่าง ไก่มี 2 ขาก็ต่อเมื่อ หมีมีนอ 6 เป็นเลขคี่ ก็ต่อเมื่อ 3 หารด้วย2ลงตัว T F F F F T 1.2.5 นิเสธของประพจน์ () นิเสธของประพจน์ใด คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกนข้ามก ั บประพจน์เดิมนั ั้ น p p T F F T จำง ่ำยๆ ถ้ำ T F ตอบ F นอกนั้น T หมด
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 4 ฝึ กท า. จงสร้างตารางต่อไปนี้ให้สมบูรณ์ p q p q รอบ 1 p q รอบ 2 p q รอบ 3 p q รอบ 4 p q รอบ 5 T T T F F T F F 3. ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่เป็นจริง ก. 2> 3 และ 5 x 3 = 18 ข. กรุงเทพเป็นเมืองหลวงและเป็นเมืองใหญ่ของประเทศไทย ค. 5 + 3 8 แต่ 8 – 3 = 5 ง. 3 2 มากกวา่ 1 และ เป็นจ านวนเต็ม 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 ฝึ กท า. จงสร้างตารางต่อไปนี้ p q p q รอบ 1 p q รอบ 2 p q รอบ 3 p q รอบ 4 p q รอบ 5 T T T F F T F F
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 5 4. ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่เป็นจริง ก. 2 > 3 หรือ 3 > 2 ข. x ทุกตัวในจ านวนเต็มเป็นเลขคู่ หรือ ไม่มีจ านวนเต็มที่เท่ากบั 0 ค. กรุงเทพเป็นเมืองหลวงของไทย หรือ เชียงใหม่เป็นเมืองหลวงของไทย ง. โสภีเป็นผู้หญิง หรือ สมชายเป็นผู้ชาย 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 ฝึ กท า. จงสร้างตารางต่อไปนี้ให้สมบูรณ์ p q pq รอบ 1 pq รอบ 2 pq รอบ 3 pq รอบ 4 pq รอบ 5 T T T F F T F F 5. ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่เป็นจริง ก. ถ้าโสภีเป็นผู้ชาย แล้ว สมชายเป็นผู้หญิง ข. ถ้า 5 x 2 = 10 แล้ว 5 + 2 = 10 ค. ถ้า 3 + 2 = 6 แล้ว 6 – 2 = 3 ง. ถ้า 3x 2 = 6 แล้ว 2 6 = 3 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 6 ฝึ กท า. จงสร้างตารางต่อไปนี้ให้สมบูรณ์ p q pq รอบ 1 pq รอบ 2 pq รอบ 3 pq รอบ 4 pq รอบ 5 T T T F F T F F 6. ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่เป็นจริง ก. 2 + 2 = 4 ก็ต่อเมื่อ 2 x 2 = 4 ข. 3 + 5 = 15 ก็ต่อเมื่อ 15 – 5 = 10 ค. เมืองไทยไม่ใช่เมืองร้อน ก็ต่อเมื่อ เมืองไทยมีหิมะตก ง. 20 เป็นจ านวนคี่ ก็ต่อเมื่อ 20 4 ลงตัว 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 นิเสธของประพจน์ () คือประพจน์ที่มีค่ำควำมจริงตรงกนข้ำมก ั บประพจน์เดิม ั p p T F F T ฝึ กท า. จงสร้างตารางต่อไปนี้ให้สมบูรณ์ p q p q p q p q p q p T T T F F T F F
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 7 1.3 การหาค่าความจริงของประพจน์ 7. ก าหนดให้ p , q , r , s และ t มีค่าความจริ งเป็ น จริ ง เท็จ จริ ง เท็จ และ เท็จ ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) (p q) r (ข) (p r) (t s) 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 8. ก าหนดให้ p , q , r , s และ t มีค่าความจริ งเป็ น จริ ง เท็จ จริ ง เท็จ และ เท็จ ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) (p s) (p r) (ข) [(p q) t] 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 8 9. ก าหนดให้ p , q , r , s และ t มีค่าความจริ งเป็ น จริ ง เท็จ จริ ง เท็จ และ เท็จ ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) [ (r s) p] (ข) (p q) (r t) 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 10. กาหนดให้ p , q , r , s และ t มีค่าความจริงเป็ น จริง เท็จ จริง เท็จ และ เท็จ ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) (r q) (s t) (ข) (p q) (r s) 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 9 11. กาหนดให้ p , q , r , s และ t มีค่าความจริงเป็ น จริง เท็จ จริง เท็จ และ เท็จ ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) (s p) (q r) (ข) (q r) (p s) 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ ฝึ กท า. จงเติมค าลงในช่องวางต่ ่อไปนี้ให้ถูกต้องและสมบูรณ์ 1. F = …………… 2. F = …………… 3. F ก = …………… 4. ก F = …………… 5. F ก = …………… 6. F ก = …………… ฝึ กท า. จงเติมค าลงในช่องวางต่ ่อไปนี้ให้ถูกต้องและสมบูรณ์ 1. T = …………… 2. T = …………… 3. T ก = …………… 4. ก T = …………… 5. T ก = …………… 6. T ก = …………… 7. ก = …………… 8. F ก = …………… ฝึ กท า. จงเติมค าลงในช่องวางต่ ่อไปนี้ให้ถูกต้องและสมบูรณ์ 1. F T = …………… 2. F = …………… 3. T = …………… 4. F ก = …………… 6. T ก = …………… 7. ( F ) = …………
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 10 12. จงหาค่าความจริงของประพจน์ที่กาหนดให้ต ่อไปนี้ ก. (q r) (s p) ถ้า q เป็น จริง ข. (q r) (s p) ถ้า q เป็นเท็จ 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 13. จงหาค่าความจริงของประพจน์ที่กาหนดให้ต ่อไปนี้ ก. (q r) (s p) ถ้า q เป็นเท็จ และ s เป็นจริง ข. ( s r) (q p) ถ้า p เป็นจริง ค. ( ~p r) (q p) ถ้า p เป็นจริง 1. ก. จริง ข. จริง ค. จริง 2. ก. จริง ข. จริง ค. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. เท็จ ค. เท็จ 4. ก. เท็จ ข. จริง ค. เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 11 14. กาหนดให้ ( p q ) r มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของ p , q , r คือข้อใดต่อไปนี้ ( ตอบตามล าดับ ) 1. T , T , F 2. T , F , F 3. T , F , T 4. F , F , F 15. กาหนดให้ ( p q) (r s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของ p , q , r , s คือข้อใดต่อไปนี้ ( ตอบตามล าดับ ) 1. T , T , F , F 2. T , F , F , F 3. T , F , T , T 4. F , F , F , T
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 12 16. กาหนดให้ ( p q) (r q) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของ p , q , r คือข้อใดต่อไปนี้ ( ตอบตามล าดับ ) 1. T , T , F 2. T , F , F 3. T , F , T 4. F , F , F 17. ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์(p q) (p q) 1. จริง 2. เท็จ 3. ทั้ งจริงและเท็จ 4. ข้อมูลไม่เพียงพอ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 13 18(แนว En) ให้ p , q และ r เป็นประพจน์ ถ้า (p q) (q r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็นจริง 1. p q 2. p r 3. p q 4. q r 19(แนว มช) ให้ค่าความจริงของ r และ s เป็นจริงและเท็จตามล าดับ แล้วค่าความจริงของ p และq ที่ท าให้ประพจน์ [ (p q ) r ] ( p s ) มีค่าความจริงเป็นเท็จคือข้อใด 1. p เป็นจริง q เป็นจริง 2. p เป็นเท็จ q เป็นเท็จ 3. p เป็นเท็จ q เป็นจริง 4. p เป็นจริง q เป็นเท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 14 20. ถ้า [ p(q r) ] (s r ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของp , q , r และ s ( ตอบตามล าดับ ) 1. T , T , F , F 2. T , T , F , T 3. T , F , T , T 4. F , F , F , T 21(แนว มช) ถ้าประพจน์ [ p (q r) ] (q r) มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้วค่าความจริง ของประพจน์ p , q , r ตามล าดับคือ.......... ( ตอบตามล าดับ ) 1. T , T , F 2. T , F , F 3. T , F , T 4. F , F , F
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 15 1.4 การสร้างตารางค่าความจริง การสร้างตารางค่าความจริงเป็นวิธีการหาค่าความจริงของประพจน์ในทุกกรณีที่เป็นไปได้ ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p q) (p q) วิธีท า รูปแบบของประพจน์ (p q) (p q) ประกอบด้วยประพจน์ยอยสอง่ ประพจน์คือ p , q จึงมีกรณีเกี่ ยวกบคั ่าความจริงที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้ งหมด 4 กรณี p q p q p q p q (p q) (p q) T T F F T F T F T F T T F F T T F T F T F F F T F T F T ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงของ ( p q ) r วิธีท า รูปแบบของประพจน์( p q ) r ประกอบด้วยประพจน์ยอยสามประพจน์คือ ่ p , q และ r จึงมีกรณีเกี่ ยวกบคั ่าความจริงที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้ งหมด 8 กรณี p q r p q (p q ) r T T T T F F F F T T F F T T F F T F T F T F T F T T F F F F F F T F T T T T T T
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 16 22. เมื่อสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ p (r p) แล้ว มีกี่กรณีที่มีค่าความจริง เป็นจริง 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 23. เมื่อสร้างตารางค่าความจริงของ (p q) r แล้ว มีกี่กรณีที่มีค่าความจริงเป็นจริง 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 17 1.5 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกนได้ก ั ็ต่อเมื่อค่าความจริงของ 2 ประพจน์นั้น มีค่า ตรงกนทุกกรณี ั ตัวอย่าง จงแสดงวา่ (p q) สมมูลกบั p q หรือไม่ p q p q (p q) p q p q T T F F T F T F T T T F F F F T F F T T F T F T F F F T จะเห็นวา่ ค่าความจริงของ (p q) กบั p q ตรงกนทุกกรณี ั ดังนั้น (p q) สมมูลกบั p q ประพจน์แต่ละค่ต่อไปนี้สมมู ูลกันเสมอ 1) p q q p 2) p q q p 3) p ( q r) ( p q ) r 4) p ( q r) ( p q ) r 5) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 6) p ( q r) ( p q ) ( p r) 7) ( p q ) p q 8) ( p q ) p q 9) p q p q ตัวอยาง่ A B A B K L K L 10) ( p q ) ( p q ) p q 11) p q q p 12) p q ( p q ) ( q p) วิธีท า
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 18 13) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 14) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 15) ( q r ) p ( q p ) ( r p ) 16) ( q r ) p ( q p ) ( r p ) 17) p p p 18) p p p 19) p ~p F 20) p ~ p T 21) p F F 22) p T T 23) p T p 24) p F p ฝึ กท า. จงเติมค าลงในช่องวางให้ถูกต้อง ่ 1) p q .................................... 2) p q .................................... 3) p ( q r) .................................... 4) p ( q r) .................................... 5) p ( q r ) .................................... 6) p ( q r) .................................... 7) ( p q ) .................................... 8) ( p q ) .................................... 24. ประพจน์ p ( q r) สมมูลกบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. ( p q ) r 2. ( q p ) r 3. ( p r ) q 4. ถูกทุกข้อ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 19 25. ประพจน์ p ( q r) สมมูลกบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. ( p q ) ( p r ) 2. ( p q ) r 3. ( q p ) ( r p ) 4. มีข้อถูกมากกวา่ 1 ข้อ 26. ประพจน์ ( p q r) สมมูลกบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. p q r 2. p q r 3. p q r 4. มีข้อถูกมากกวา่ 1 ข้อ ฝึ กท า. จงเติมค าลงในช่องวางให้ถูกต้อง ่ 1) p q .................................... 2) ( p q ) .................................... 3) p q .................................... 4) p q ....................................
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 20 27. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้ มีกี่ข้อที่สมมูลกนั ก. P Q กบั Q P ข. (P Q) กบั P Q ค. (~X Y ) กบั Y X 1. 0 ข้อ 2. 1 ข้อ 3. 2 ข้อ 4. 3 ข้อ 28. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. (P Q ) R กบั (~P ~Q ) R ข. (P Q) (X Y) กบั (~P ~Q) (X Y) 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 21 29. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. ( P Q ) ( R S ) กบั ( R S ) ( P Q ) ข. p q กบั ( q p ) ( q p) 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 30. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. p ( q p) กบั p ( p q ) ข. p ( q r ) กบั ( p q ) r 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 22 31. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. p ( q ( r p ) ) กบั p ( q ) r ข. p q กบั ( p q ) p 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 32. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. p ( q q ) กบั q ข. p ( p q ) กบั q p 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 23 33. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. (p q) (r r) กบั q p ข. p q กบั [p (q q)] [q (p p)] 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 1.6 สัจนิรันดร์ สัจนิรันดร์ คือประพจน์ก็มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี วิธีการตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็ นสัจนิรันดร์ ( ส าหรับโจทย์ทั่วไป ) ขั้นที่1 ให้สมมุติค่าความจริงของประพจน์รวม เป็นเท็จ ขั้นที่2 หาค่าความจริงของประพจน์ยอย่ๆ ขั้นที่3 พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ยอย่ หากมีความขัดแย้งทุกกรณี จะสรุปวาประพจน์รวมนั ่้นเป็นสัจนิรันดร์ หากไม่ขัดแย้งแม้กรณีเดียว จะสรุปวาประพจน์รวมนั ่้ นไม่เป็นสัจนิรันดร์ วิธีการตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็ นสัจนิรันดร์ ( ส าหรับหรับประพจน์ที่มีตัวเชื่อม ) ขั้นที่1 พิจารณาวาประพจน์ด้านซ้ายและขวาของ ่ สมมูลกนหรือไม ั ่ ขั้นที่2 หากประพจน์ด้านซ้ายและขวาของ สมมูลกนั ประพจน์รวมจะเป็นสัจนิรันดร์ หากประพจน์ด้านซ้ายและขวาของ ไม่สมมูลกนั ประพจน์รวมจะไม่เป็นสัจนิรันดร์
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 24 34. ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. ( p q) p ข. ( ~ p ) ( p q ) 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น 35. ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. ( p q ) ( p q ) ข. ( p q ) ( p q ) 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 25 36. ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. [ (p q) p] p ข. ( p q ) ( p q) 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น 37. ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. [ ( q p ) q ] p ข. ( p q ) ( p q) 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 26 38. ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. ( p q ) ( p q ) ข. ( p q ) ( p q ) 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น 1.7 การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผล คือการใช้เหตุการณ์ซึ่งสมมุติวาจะเก่ ิดขึ้นจริง มาอ้างถึงผลที่เกิดตามมา ขั้นตอนการตรวจสอบว่า การอ้างเหตุผลนั้น ๆ สมเหตุสมผลหรือไม่ ขั้นที่ 1 สมมุติให้เหตุทุกเหตุเป็นจริง และผลเป็นเท็จ ขั้นที่ 2 หาค่าความจริงของประพจน์ยอยๆ่ ขั้นที่ 3 พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ยอย่ หากมีความขัดแย้งทุกกรณี จะสรุปวาเป็นการอ้างแบบสมเหตุสมผล ่ หากไม่ขัดแย้งแม้กรณีเดียว จะสรุปวาเป็นการอ้างแบบไม ่ ่สมเหตุสมผล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 27 39(แนว En) พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. p (q r ) ข. เหตุ 1. ( p q ) r 2. q 2. ( r s ) 3. r 3. p ผล p ผล q ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล ข. ไม่สมเหตุสมผล 3. ก.ไม่สมเหตุสมผล ข. สมเหตุสมผล 4. ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล 40. จงตรวจสอบวาการอ้างเหตุผลต ่ ่อไปนี้สมเหตุผลหรือไม่ เหตุ 1. p q 2. p r 3. s r 4. q ผล s 1. สมเหตุผล 2. ไม่สมเหตุผล 3. สม และไม่สมเหตุผล 4. ข้อมูลไม่เพียงพอ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 28 41. จงตรวจสอบวาการอ้างเหตุผลต ่ ่อไปนี้สมเหตุผลหรือไม่ เหตุ 1. สมชายไปวายน ่ ้ า หรือ สมหญิงไปเล่นเทนนิส 2. สมหญิงไม่เล่นเทนนิส ผล สมชายไปวายน ่ ้ าหรือไปตลาด 1. สมเหตุผล 2. ไม่สมเหตุผล 3. สม และไม่สมเหตุผล 4. ข้อมูลไม่เพียงพอ 1.8 ประโยคเปิ ด ประโยคเปิ ดคือประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และเมื่อแทนตัวแปรด้วย สมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ เช่น x + 5 > 0 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจ านวนเต็ม ฝึ กท า. ประโยคต่อไปนี้ ข้อใดเป็นประโยคเปิ ด 1. เขากาลังเรียนอยู ชั ่้ นมัธยมศึกษาปี ที่ 4 ใช่หรือไม่ 2. ถ้า {3} {0 , 1} แล้ว 3 {0 , 1} 3. x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) 4. เธอเป็นนักร้องเพลงไทยสากลของโรงเรียน 5. ทิ้ งขยะให้เป็นที่จะช่วยให้บ้านเมืองสะอาด 6. x + x = 2x และ x – x = 0 7. 2 1 x – x2 6 8. ถ้า x เป็นจ านวนเต็มแล้ว 3 ไม่ใช่จ านวนจริง
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 29 1.9 ตัวบ่งปริมาณ โดยล าพังประโยคเปิ ดอยางเดียวจะบอกค ่ ่าความจริง ( บอกวาเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ่ )ไม่ได้ แต่ถ้ามีวลีบ่งปริมาณอยูด้วย ่ อาจสามารถบอกค่าความจริงของประโยคเปิ ดนั้นได้ วลีบ่งปริมาณมี 2 ตัว คือ 1) x อ่านวา่ ส าหรับ x บางตัว 2) x อ่านวา่ ส าหรับ x ทุกตัว ตัวอย่าง x( x + 5 = 9) อ่านวา่ “ ส าหรับ x บางตัว x + 5 = 9 ” ประโยคนี้เป็นจริง x ( x + 5 = 9) อ่านวา่ “ ส าหรับ x ทุกตัว x + 5 = 9 ” ประโยคนี้เป็นเท็จ 1.10 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว การพิจารณาค่าความจริงของประโยคเปิ ดใดๆ ต้องพิจารณา 3 ส่วนต่อไปนี้ 1. พิจารณาตัวประโยคเปิ ด 2. พิจารณาวลีบ่งปริมาณ 3. พิจารณาเอกภพสัมพัทธ์ ควรทราบว่า x [ P (x) ] 1) จะเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนค่า x ทุกค่าใน U แล้วท าให้ประโยค P(x) เป็นจริง 2) จะเป็นเท็จ เมื่อมี x ใน U แม้แต่เพียง 1 ตัว ที่ท าให้ประโยค P(x) เป็นเท็จ ตัวอย่าง. x ( x + 1 x2 ) กาหนด U = { 2 , 3 , 4 , ……} อ่านวา่ “ ส าหรับ x ทุกตัวในเซต { 2 , 3 , 4 , …. } จะได้วา่ x + 1 x2 ” ประโยคนี้เป็นจริง เพราะไม่ว่าใช้เลขใดใน U มาแทน x สมการ x + 1 x2 จะเป็นจริง 2. x ( x + 1 x2 ) กาหนด U = { 1 , 2 , 3 , 4 , ……} อ่านวา่ “ ส าหรับ x ทุกตัวในเซต { 1 , 2 , 3 , 4 , …… } จะได้วา่ x + 1 x2 ” ประโยคนี้เป็นเท็จ เพราะหากแทนค่า x เป็น 1 สมการ x + 1 x2 จะเป็นเท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 30 ควรทราบว่า x [ P (x) ] 1) จะเป็นจริง เมื่อมีค่า x ใน U อยางน้อย ่ 1 ตัว ที่ท าให้ประโยค P (x) จริง 2) จะเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ใน U ที่ท าให้ประโยค P(x) เป็นจริง ตัวอย่าง 1. x (x2 > 2x) กาหนด U = { 1 , 2 , 3 } อ่านวา่ “ มี x บางตัวในเซต {1 , 2 , 3 } ที่ท าให้ x2 > 2x ” ประโยคนี้เป็นจริง เพราะหากแทนค่า x เป็น 3 สมการ x2 > 2x จะเป็นจริง 2. x (x2 > 2x) กาหนด U = { 0 , 1 , 2 } อ่านวา่ “ มี x บางตัวในเซต {0 , 1 , 2 } ที่ท าให้ x2 > 2x ” ประโยคนี้เป็นเท็จ เพราะไม่มีเลขใดใน U ที่ท าให้สมการ x2 > 2x จะเป็นจริง 42. ประโยคต่อไปนี้ มีกี่ข้อที่มีค่าความจริงเป็นจริง ก. x ( x – 5 = 10) ข. x( x2 > 0) ค. x ( x + 6 = 18 ) ง. x ( x2 > 0) จ. x( | x |< 0) 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 43. กาหนดให้ ก. x [ x2 – 2x = 3 ] เมื่อ U = { –2 , –1 , 0 , 1 , 2 } ข. x [ x + 2 > 2 – x ] เมื่อ U = I แล้วค่าความจริงของ ก. และ ข. เป็นไปตามข้อใดต่อไปนี้ 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 31 1.11 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ นิเสธของฟังกชันที่ควรทราบมีดังตารางต ์ ่อไปนี้ นิเสธคือ x P(x) = x ~ P(x) 44. นิเสธของประโยค xy [ (xy < 0) ( x < 0 y < 0) ] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. x y [ (xy < 0) ( x < 0 y < 0) ] 2. x y [ (xy > 0) ( x > 0 y > 0) ] 3. x y [ (xy > 0) ( x > 0 y > 0) ] 4. x y [ (xy > 0) ( x > 0 y > 0) ] 45. จงหานิเสธของประโยค x y [ ( xy < 0 ) ( x < 0 ) ] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. xy [ ( xy < 0 ) ( x 0 ) ] 2. xy [ ( xy < 0 ) ( x 0 ) ] 3. xy [ ( xy 0 ) ( x 0 ) ] 4. xy [ ( xy 0 ) ( x 0 ) ]
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 32 1.12 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว สามารถเขียนได้ 8 รูปแบบ ได้แก่ xy [P(x, y)] xy[P(x , y)] xy[P(x, y)] xy[P(x , y)] yx [P(x, y)] yx[P(x , y)] yx[P(x, y)] yx[P(x , y)] การหาค่าความจริงของประโยคเหล่านี้ เราจะอาศัยบทนิยามต่อไปนี้ บทนิยาม ประโยค xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วท าให้ P(a , b) เป็นจริงเสมอ ประโยค xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วท าให้P(a , b) เป็นเท็จเสมอ บทนิยาม ประโยค xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(a , b) เป็นจริง ประโยค xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(a , b) เป็นเท็จ บทนิยาม ประโยค xy [P(x , y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกa ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วท าให้ประโยค y [P(a , y)] เป็นจริง ประโยค xy [P(x , y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกa บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วท าให้ประโยค y [P(a , y)] เป็นเท็จ บทนิยาม ประโยค xy [P(x , y)] มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกa บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประโยค y [P(a , y)] เป็นจริง ประโยค xy [P(x , y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกa ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประโยค y [P(a , y)] เป็นเท็จ 46. กาหนดให้ U = {–1 , 0 , 1} ค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ คือข้อใด (a) xy [ x y 2 ] (b) xy [ x + y 2 ] 1. (a) จริง (b) จริง 2. (a) จริง (b) เท็จ 3. (a) เท็จ (b) จริง 4. (a) เท็จ (b) เท็จ