ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 33 47. กาหนดให้ U = จ านวนเต็ม จงหาค่าความจริงของ (a) xy [ x y = y x ] (b) xy [ x + y = 0 ] 1. (a) จริง (b) จริง 2. (a) จริง (b) เท็จ 3. (a) เท็จ (b) จริง 4. (a) เท็จ (b) เท็จ 48. กาหนดให้ U = {–1 , 0 , 1} จงหาค่าความจริงของ (a) xy [ 2x + y = 2 ] (b) xy [ x + y 2 ] 1. (a) จริง (b) จริง 2. (a) จริง (b) เท็จ 3. (a) เท็จ (b) จริง 4. (a) เท็จ (b) เท็จ 49. กาหนดให้ U = {–1 , 0 , 1} จงหาค่าความจริงของ (a) xy [ x y ] (b) xy [ x + y = 0 ] 1. (a) จริง (b) จริง 2. (a) จริง (b) เท็จ 3. (a) เท็จ (b) จริง 4. (a) เท็จ (b) เท็จ 50. กาหนดให้ U = {–1 , 0 , 1} จงหาค่าความจริงของ (a) xy [ x + y = 0 ] (b) xy [ x y ] 1. (a) จริง (b) จริง 2. (a) จริง (b) เท็จ 3. (a) เท็จ (b) จริง 4. (a) เท็จ (b) เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 34 เฉลยบทที่ 1 ตรรกศาสตร ์ เบื้องตน้ 1. ตอบข้อ2. 2. ตอบข้อ 3. 3. ตอบข้อ 1. 4. ตอบข้อ 3. 5. ตอบข้อ 3. 6. ตอบข้อ2. 7. ตอบข้อ1. 8. ตอบข้อ1. 9. ตอบข้อ1. 10. ตอบข้อ1. 11. ตอบข้อ3. 12. ตอบข้อ2. 13. ตอบข้อ2. 14. ตอบข้อ1. 15. ตอบข้อ1. 16. ตอบข้อ3. 17. ตอบข้อ1. 18. ตอบข้อ2. 19. ตอบข้อ2. 20. ตอบข้อ2. 21. ตอบข้อ1. 22. ตอบข้อ 3. 23. ตอบข้อ 2. 24. ตอบข้อ4. 25. ตอบข้อ4. 26. ตอบข้อ2. 27. ตอบข้อ4. 28. ตอบข้อ1. 29. ตอบข้อ1. 30. ตอบข้อ1. 31. ตอบข้อ1. 32. ตอบข้อ3. 33. ตอบข้อ1. 34. ตอบข้อ 2. 35. ตอบข้อ 1. 36. ตอบข้อ1. 37. ตอบข้อ 2. 38. ตอบข้อ 1. 39. ตอบข้อ3. 40. ตอบข้อ1. 41. ตอบข้อ1. 42. ตอบข้อ 1. 43. ตอบข้อ2. 44. ตอบข้อ3. 45. ตอบข้อ1. 46. ตอบข้อ2. 47. ตอบข้อ2. 48. ตอบข้อ2. 49. ตอบข้อ1. 50. ตอบข้อ2.
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 35 ตะลุยโจทย์ทั่วไป บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 1.1 ประพจน์ 1. ประโยคต่อไปนี้ มีกี่ประโยคที่เป็นประพจน์ ก. อยามายุ่งก่ บฉันได้ไหม ั ข. ท าไมมาโรงเรียนสาย ค. 2 เป็นจ านวนเต็ม ง. 2 หรือ –3 เป็นค าตอบของ x2 –x = 6 จ. ขอให้เดินทางกลับโดยสวัสดิภาพ ฉ. 16 หารด้วย 5 ลงตัว 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 1.2 การเชื่อมประพจน์ 2. ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ก. 2 > 2 หรือ 4 < 2 ข. 2 > 2 หรือ 2 < 2 ค. ถ้ำ 2 หำร 7 ไม่ลงตัว แล้ว 7 เป็ นเลขคี่ ง. ถ้ำ 2 < 1 แล้ว 2 < 0 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 3. ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ก. ถ้ำ 2 < 1 แล้ว 1 > 0 ข. 2< 8 ก็ต่อเมื่อ 3 < 1 ค. 2 เป็ นจำนวนเต็ม หรือไม ่ใช่จำนวนเต็ม ง. 8 < 1 ก็ต่อเมื่อ 9 < 2 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 4. ประพจน์ข้อใดต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็นจริง 1. 2 + 4 = 4 + 2 ก็ต่อเมื่อ 5 x 2 = 2 x 3 2. ถ้า 2 x 3 = 3 x 2 แล้ว { 2 + 3 = 3 + 2 และ 2 – 3 = 3 – 2} 3. { –2 = 2 หรือ –2 = –2 } ก็ต่อเมื่อ 1 + 2 = 2 – 1 4. ไม่จริงที่ 3 เป็นทั้ งเลขคี่และเลขคู่
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 36 1.3 การหาค่าความจริงของประพจน์ 5. กาหนดให้ P , Q , R , S มีค่ำควำมจริงเป็ น T , F , T , F ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ก. (P Q) R ข. (P Q) R ค. (P Q) R 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 6. กาหนดให้ P , Q , R , S มีค่ำควำมจริงเป็ น T , F , T , F ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ก. (P Q) R ข. (P Q) S ค. (P S) Q 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 7. กาหนดให้ P , Q , R , S มีค่ำควำมจริงเป็ น T , F , T , F ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ก. (R S) Q ข. (Q P) R ค. (S R) P 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 8. กาหนดให้ P , Q , R , S มีค่ำควำมจริงเป็ น T , F , T , F ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้ มีกี่ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ก. (P S) Q ข. (R S) Q ค. Q (S P) 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 9. กาหนดให้ P , Q , R , S มีค่ำควำมจริงเป็ น T , F , T , F ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) [(P S) (R Q)] P (ข) [S Q) (R P)] S (Q P) 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 37 10. กาหนดให้ P , Q , R , S มีค่ำควำมจริงเป็ น T , F , T , F ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) [(S P) R] [(Q P) S] (ข) [(P Q) R] S [(S R) Q] P 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 11. กาหนดให้ P , Q , R , S มีค่ำควำมจริงเป็ น T , F , T , F ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) [(P Q) R] S (P R) S (ข) (S Q) (R P) [(P Q) R] S 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 12. กาหนดให้ p , q , r , s และ t มีค่าความจริ งเป็ น จริ ง เท็จ จริง เท็จ และ เท็จ ตามล าดับ ประพจน์ต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) [ (p q) (t r) ] s (ข) [ (pq) (ts) ] [ (qr) s ] 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 13. ให้ p , q , r มีค่ำควำมจริงเป็ น T , F , T ตำมลำดับ จงหำว ำประพจน์ ่ [ p (q r) ] [ (p q) (p r) ] มีค่ำควำมจริงตรงกบข้อใด ั 1. [(p q) p] 2. p (p q) 3. [(p q) (p q)] 4. q p 14. ประพจน์และเงื่อนไขที่กาหนดให้ต ่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ (ก) (p q) r เมื่อ r มีค่ำควำมจริงเป็ น F (ข) p (p q) เมื่อ q มีค่ำควำมจริงเป็ น T 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 38 15. จงหาค่าความจริงของประพจน์ที่กาหนดให้ต ่อไปนี้ ก. q (p q) ถ้า q เป็นเท็จ ข. p (q r) ถ้า q เป็นเท็จ ค. p (q r) ถ้า p เป็นเท็จ 1. ก. จริง ข. จริง ค. จริง 2. ก. จริง ข. จริง ค. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. เท็จ ค. เท็จ 4. ก. เท็จ ข. จริง ค. เท็จ 16. ถ้ำ p (q r) มีค่ำควำมจริงเป็ นเท็จ แล้วค่ำควำมจริงของ p , q , r คือ 1. pจริง qจริง rจริง 2. pจริง qจริง r เท็จ 3. pจริง q เท็จ r เท็จ 4. pเท็จ qจริง r เท็จ 17. ถ้า (p q) (r s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของ p , q , r , s คือ 1. pจริง qจริง rจริง s เท็จ 2. pเท็จ qจริง r เท็จ s เท็จ 3. pจริง qเท็จ rจริง s เท็จ 4. pเท็จ qจริง rจริง s เท็จ 18. ถ้ำ p (q r) เป็ นเท็จ แล้ว [p (q r)] [(p q) (p r)] มี ค่ำควำมจริง เป็ นอยำงไร ่ 1. จริง 2. เท็จ 3. ทั้ งจริงและเท็จ 4. ข้อมูลไม่เพียงพอ 19. ถ้ำ p q เป็ นเท็จ และ q r เป็ นจริง ข้อใดต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็ นเท็จ 1. p (q r) 2. (p q) r 3. (q p) r 4. (p q) r 20. ถ้า [(p r) (r s) q มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของ p , q , r , s คือ 1. pจริง qจริง rจริง s เท็จ 2. pเท็จ qจริง r เท็จ s เท็จ 3. pจริง qเท็จ rจริง s เท็จ 4. p เท็จ q เท็จ rจริง s เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 39 21. ถ้า [(p q) (p s)] (r s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริง p , q , r , s คือ 1. pจริง qจริง rจริง s เท็จ 2. pเท็จ qจริง r เท็จ s เท็จ 3. pจริง qเท็จ rจริง s เท็จ 4. p เท็จ qจริง rจริง s เท็จ 22. ถ้ำ (p q) และ (r p) มีค่ำควำมจริงเป็ นจริงแล้ว ข้อใดต่อไปนี้มีค่ำควำมจริง เป็ นเท็จ 1. (p q) (r q) 2. (p q) (r q) 3. [(p q) (r q)] p 4. [(p r) (q p)] q 23. กาหนดให้ (p q) , (q r) , (r s) มีค่าความจริงเป็นจริง ส่วน p r มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของ p , q , r , s ตามล าดับคือ 1. pจริง qจริง rจริง s เท็จ 2. pเท็จ qจริง r เท็จ s เท็จ 3. pจริง qเท็จ rจริง s เท็จ 4. p เท็จ q เท็จ r เท็จ s เท็จ 24. ถ้ำ [p (q r)] (s r) เป็ นจริง และ (p s) เป็ นเท็จ แล้ว ข้อใดถูกต้อง 1. p q เป็ นจริง 2. q r เป็ นจริง 3. r s เป็ นเท็จ 4. s p เป็ นเท็จ 25. ถ้ำ (p q) และ [ p(q)(pq) ] [ (pq) (pq) ] มีค่ำควำมจริงเป็ นเท็จ และจริง ตำมลำดับ จงหำค ่ำควำมจริงของ p และ q 1. p จริง q จริง 2. p จริง q เท็จ 3. p เท็จ q จริง 4. p เท็จ q เท็จ 26. กำหนด (p q) r เป็ นจริง และ r s เป็ นเท็จ ประพจน์ใดต่อไปนี้ มีค่ำควำมจริงเป็ นเท็จ 1. s p 2. (p q) r 3. (p q) r 4. r (s p)
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 40 27. ประพจน์ (p q) (r s) มีค่ำควำมจริงเป็ นเท็จ แล้วประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่ำ ควำมจริงเป็ นจริง ก. (p r) (q s) ข. r (p q) ค. (p s) r 1. ข้อ ก. 2. ข้อ ข. 3. ข้อ ค. 4. จริงทั้ ง 3 ข้อ 28. เมื่อ p , q , r เป็ นประพจน์ ถ้ำพบวำ ่ (p q) (r r) เป็ นจริง ประพจน์ใดต่อไปนี้ มีค่ำควำมจริงเป็ นเท็จ 1. q 2. p 3. p q 4. p q 29. ถ้ำ [ (p q) r] (q r) มีค่ำควำมจริงเป็ นเท็จ ค่ำควำมจริงของ p , q , r คือ 1. pจริง qจริง rจริง 2. pจริง qจริง r เท็จ 3. pเท็จ q เท็จ r เท็จ 4. pเท็จ qจริง r เท็จ 30. กำหนดให้ เข็มพูดจริงเสมอ , อั้ มพูดเท็จเสมอ , เมย์พูดจริงบ้ำงเท็จบ้ำง ถ้ำได้ยินทั้ งสำมคนพูดดังนี้ เข็ม : หนุ่มอยูที่เมืองเลย หรือขวัญอยู ่ ที่เมืองเลย ่ อั้ ม : แตงโมอยูที่เมืองเลย หรือหนุ ่ ่มอยูที่เมืองเลย ่ เมย์ : ถ้ำแตงโมอยูที่เมืองเลย แล้วจุ๋ยอยู ่ ที่เมืองเลยด้วย ่ ข้อควำมต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็ น T 1. แตงโมอยูที่เมืองเลย ่ 2. หนุ่มอยูที่เมืองเลย ่ 3. ขวัญอยูที่เมืองเลย ่ 4. ถ้ำจุ๋ยอยูเมืองเลยแล้ว แตงโมอยู ่ ที่เมืองเลยด้วย ่
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 41 1.4 การสร้างตารางค่าความจริง 31. เมื่อสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ (q p) (p q) แล้ว มีกี่กรณีที่มีค่า ความจริงเป็นจริง 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 32. เมื่อสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ (p q) (p r) แล้ว มีกี่กรณีที่มีค่า ความจริงเป็นจริง 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 1.5 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 33. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. (p q) r กบั (p q) r ข. (p q) r กบั r (p q) 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 34. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. p q กบั (p q) (q p) ข. (p q) r กบั r (p q) 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 35. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. ( p q ) ( r s ) กบ ั ( r s ) ( p q ) ข. p ( q r ) กบ ั (p q ) r 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 42 36. ประพจน์ใดต่อไปนี้ สมมูลกบประพจน์ ั r (p q) 1. r (p q) 2. (p q) r 3. r (p q) 4. (p q) r 37. m (n k) สมมูลกบประพจน์ในข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. m (k n) 2. n (m k) 3. (n k) m 4. k (n m) 38. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. p (q r) กบั (p q) r ข. p (q r) กบั (p q) (p r) 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 39. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. p q กบ ั ( p q ) p ข. ( p q ) ( p r ) กบ ั p ( q r ) 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 40. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. (p q) r กบั [(q r) (p r)] ข. p (q r) กบั (r p) (q p) 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 41. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. p q กบั [p (q q)] [q (p p)] ข. (p q) (r r) กบั p q 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 43 42. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. p q กบั [(p q) r] [(p q) r] ข. (p q) (r r) กบั (q p) 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 43. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. [(q r) (p s) (q r)] กบ ั q p s ข. (r s) [(p p) q] กบ ั r s q 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 44. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. (p q) (q q) กบั (q p) ข. q กบั [q (r r)] [p (q q)] 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 45. ประพจน์ในข้อต่อไปนี้สมมูลกนหรือไม ั ่ ก. [q (r r)] [p (q q)] กบ ั q ข. [p (q q)] w กบ ั w 1. ก. สมมูล ข. สมมูล 2. ก. สมมูล ข. ไม่สมมูล 3. ก. ไม่สมมูล ข. สมมูล 4. ก. ไม่สมมูล ข. ไม่สมมูล 46. ข้อควำม “ ถ้ำ ab < 0 แล้ว a < 0 หรือ b < 0” มีควำมหมำยตรงกบประพจน์ ั ในข้อใด 1. ถ้ำ ab 0 แล้ว a 0 หรือ b 0 2. ab 0 หรือ a 0 หรือ b 0 3. ถ้ำ ab 0 แล้ว a 0 และ b 0 4. ถ้ำ a 0 หรือ b 0 แล้ว ab 0
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 44 1.6 สัจนิรันดร์ 47. ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. ( p q ) ( p q ) ข. [ p (q) ] [ q (p) ] 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น 48. ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. (p q) (q r) (p r) ข. (p q) (p q) 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น 49. ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. p (p q) ข. [ ( p q ) q ] q 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น 50. ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. (p q) (q p) ข. [p (p q)] q 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น 51. ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. [ (p ) ( p q ) ] q ข. ( p q ) (p q) 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น 52. ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. (p q) q ข. (p q) (p q) 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 45 53. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็ นสัจจนิรันดร์ 1. [p (p q)] p 2. [ p (p q) ] q 3. p (p q) p 4. [(p q) (q r)] (p r) 54. ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ก. ( p q ) ( p q ) ข. [p (q r)] [ (p q) r ] 1. ก. เป็น ข. เป็น 2. ก. เป็น ข. ไม่เป็น 3. ก. ไม่เป็น ข. เป็น 4. ก. ไม่เป็น ข. ไม่เป็น 55. ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ( p q ) r p (q r) 1. เป็น 2. ไม่เป็น 3. เป็น และไม่เป็น 4. ข้อมูลไม่เพียงพอ 1.7 การอ้างเหตุผล 56. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. p q ข. เหตุ 1. p q 2. p 2. q ผล q ผล p ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล ข. ไม่สมเหตุสมผล 3. ก.ไม่สมเหตุสมผล ข. สมเหตุสมผล 4. ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล 57. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. p q ข. เหตุ 1. p q 2. p 2. q ผล q ผล p ข้อใดถูก 1. ก. สมเหตุผล ข. สมเหตุผล 2. ก. สมเหตุผล ข. ไม่สมเหตุผล 3. ก. ไม่สมเหตุผล ข. สมเหตุผล 4. ก. ไม่สมเหตุผล ข. ไม่สมเหตุผล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 46 58. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. p q ข. เหตุ 1. p q 2. r (p q) 2. p (q r) ผล p r ผล r ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. สมเหตุผล ข. สมเหตุผล 2. ก. สมเหตุผล ข. ไม่สมเหตุผล 3. ก. ไม่สมเหตุผล ข. สมเหตุผล 4. ก. ไม่สมเหตุผล ข. ไม่สมเหตุผล 59. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. (p q) (r s) ข. เหตุ 1. p q 2. (r s) 2. p (q r) ผล p q ผล r ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล ข. ไม่สมเหตุสมผล 3. ก.ไม่สมเหตุสมผล ข. สมเหตุสมผล 4. ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล 60. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. p q ข. เหตุ 1. p q 2. q r 2. q r ผล p 3. p ผล r ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล ข. ไม่สมเหตุสมผล 3. ก.ไม่สมเหตุสมผล ข. สมเหตุสมผล 4. ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 47 61. พิจำรณำกำรอ้ำงเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. p q ข. เหตุ 1. p q 2. p 2. q r 3. q r 3. r s ผล p ผล s ข้อใดถูก 1. ก. สมเหตุผล ข. สมเหตุผล 2. ก. สมเหตุผล ข. ไม่สมเหตุผล 3. ก. ไม่สมเหตุผล ข. สมเหตุผล 4. ก. ไม่สมเหตุผล ข. ไม่สมเหตุผล 62. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. p q ข. เหตุ 1. p q 2. r p 2. p r 3. q 3. p s 4. r t ผล r s ผล t ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล ข. ไม่สมเหตุสมผล 3. ก.ไม่สมเหตุสมผล ข. สมเหตุสมผล 4. ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล 63. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. ถ้ำ ข ทำยอดขำยตำมเป้ ำหมำยที่ผู้จัดกำรตั ้ งไว้ แล้ว เขำจะได้รับโบนัส 2. ข ทำยอดขำยตำมเป้ ำหมำยที่ผู้จัดกำรตั ้ งไว้ ผล ข จะได้รับโบนัส ข. เหตุ 1. ถ้ำ ค ซื้อกระเป๋ ำถือสีดำ แล้ว ค จะซื ้อรองเท้ำสีดำด้วย 2. ค ซื้อรองเท้ำสีดำ ผล ค ซื้อกระเป๋ ำสีดำ ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล ข. ไม่สมเหตุสมผล 3. ก.ไม่สมเหตุสมผล ข. สมเหตุสมผล 4. ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 48 64. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. ถ้ำ ก พบคนพิกำรที่ขำยล็อตเตอรี่ แล้ว ก จะซื้อล็อตเตอรี่ 2. ก ไม่ได้ซื้อล็อตเตอรี่ ผล ก ไม่พบคนพิกำรที่ขำยล็อตเตอรี่ ข. เหตุ 1. ก ซื้อสินค้ำโดยใช้บัตรเครดิต หรือซื้อสินค้ำโดยใช้เงินสด 2. ก ไม่ได้ซื้อสินค้ำโดยใช้บัตรเครดิต ผล ก ซื้อสินค้ำโดยใช้เงินสด ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล ข. ไม่สมเหตุสมผล 3. ก.ไม่สมเหตุสมผล ข. สมเหตุสมผล 4. ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล 65. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1. ถ้าฝนตก และอากาศหนาวแล้ว เอกจะไม่ซักผ้า 2. ถ้าเอกไม่ซักผ้าแล้วเอกจะกวาดบ้าน 3. เอกไม่ได้กวาดบ้าน ผล ฝนไม่ตก หรืออากาศไม่หนาว ข. เหตุ 1. ถ้า a2 = 4 แล้ว a = 2 2. ถ้า a2 4 แล้ว a2 > 4 3. a 2 ผล a2 > 4 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล ข. ไม่สมเหตุสมผล 3. ก.ไม่สมเหตุสมผล ข. สมเหตุสมผล 4. ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 49 1.8 ประโยคเปิ ด 1.9 ตัวบ่งปริมาณ 1.10 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว 66. กาหนดให้ U = {2 , 3} แล้วค่าความจริงของประโยคข้อใดต่อไปนี้เป็นเท็จ 1. x [x > 1] 2. x [x > 2] 3. x [x > 2] 4. x [x > 0] 67. ให้ U = { 2 , 3 , 4 , 5 } แล้ว ค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้เป็นไปตาม ตัวเลือกใด ก. x [x2 < 20] ข. x [x3 > 100] 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 68. ค่าความจริงของประโยคที่กาหนดให้ต ่อไปนี้ เป็นไปตามตัวเลือกใด ก. x [ (x > 4 ) (x < 7) ] เมื่อ U = { x x เป็ นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว ำ ่ 10} ข. x [x2 0] เมื่อ U = I 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 69. ให้ U = เซตของจำนวนจริง ประพจน์ในข้อใดต ่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็ นเท็จ 1. x [x2 < 0] x [x 0] 2. x [x > 0] x [x > 4] 3. x [x > 2] x [–2 < x < 3] 4. x [x < 3] x [3 < x < 7]
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 50 1.11 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 70. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. นิเสธของ x [x + 2 = 3] คือ x [x + 2 3] ข. นิเสธของ x [ x + 5 4] คือ x [x + 5 = 4] 1. ก. ถูก ข. ถูก 2. ก. ถูก ข. ผิด 3. ก. ผิด ข. ถูก 4. ก. ผิด ข. ผิด 71. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. นิเสธของ x [x + 2 3] คือ x [x + 2 3] ข. นิเสธของ x [ x + 5 20] คือ x [x + 5 20] 1. ก. ถูก ข. ถูก 2. ก. ถูก ข. ผิด 3. ก. ผิด ข. ถูก 4. ก. ผิด ข. ผิด 72. นิเสธของ xy [ x2 y ] คือข้อใด 1. x y [x2 y] 2. x y [x2 > y] 3. xy [x2 y] 4. xy [x2 > y] 73. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. นิเสธของ x [ (x + 2 = 3) (x – 2 = –3) ] คือ x [ (x + 2 3) (x – 2 –3) ] ข. นิเสธของ x [ (x + 1 2) (x + 2 7) ]คือ x [ (x + 1 = 2) (x + 2 = 7 ) ] 1. ก. ถูก ข. ถูก 2. ก. ถูก ข. ผิด 3. ก. ผิด ข. ถูก 4. ก. ผิด ข. ผิด 74. นิเสธของประพจน์ xy [ P(x,y) Q(x,y)] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. xy [P(x,y) Q(x,y)] 2. xy [P(x,y) Q(x,y)] 3. xy [P(x,y) Q(x,y)] 4. xy [P(x,y) Q(x,y)]
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 51 75. นิเสธของประพจน์ x [ P(x) Q(x) ] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. x [ P(x) Q(x) ] 2. x [ P(x) Q(x) ] 3. x [ P(x) Q(x) ] 4. x [ P(x) Q(x) ] 76. นิเสธของประพจน์ x y [ (x 3) (y 5) ] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. x y [(x 3) (y 5)] 2. x y [(x 3) (y 5)] 3. x y [(x 3) (y 5)] 4. x y [(x 3) (y 5)] 77. นิเสธของ xy [ (x + y = 5) (xy = 6) ] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. xy [ ( xy = 6) (x + y = 5) ] 2. xy [ (x + y = 5) ( xy 6)] 3. xy [ ( xy = 6) (x + y = 5) ] 4. xy [ (x + y = 5) ( xy 6)] 78. นิเสธของ xy [ (x + y = 8) ( x – y = 1) ] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. xy [ (x + y = 8) (x – y = 1) ] 2. xy [ (x + y = 8) (x – y 1) ] 3. xy [ (x + y = 8) (x – y = 1) ] 4. xy [ (x + y = 8) (x – y 1) ] 79. นิเสธของ x y [ (xy = 0 x 0) (y = 0) ] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. x y [(xy = 0 x = 0) (y 0)] 2. x y [(xy 0 x = 0) (y = 0) ] 3. x y [(xy = 0 x 0) (y 0)] 4. x y [(xy = 0 x = 0) (y = 0)] 80. พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้ ก. x (x < 6) x [x 8] สมมูลกบั x [x 6] x [x 8] ข. { x (x < 6) (x 8) } สมมูลกบั x x < 6 x < 8 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด ข. ผิด
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 52 81. นิเสธของ “ ส าหรับ x ทุกตัวท าให้ x + 5 4 ” คือข้อใดต่อไปนี้ 1. มี x บางตัวที่ท าให้ x + 5 4 2. มี x บางตัวที่ท าให้ x + 5 4 3. มี x บางตัวที่ท าให้ x + 5 4 4. มี x บางตัวที่ท าให้ x + 5 4 82. นิเสธของ “มี x บางตัว ซึ่งท าให้ x + 2 4 ” คือข้อใดต่อไปนี้ 1. ส าหรับ x ทุกตัว จะท าให้ x + 2 4 2. ส าหรับ x ทุกตัว จะท าให้ x + 2 4 3. ส าหรับ x ทุกตัว จะท าให้ x + 2 4 4. ส าหรับ x ทุกตัว จะท าให้ x + 2 4 1.12 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว 83. กาหนดให้ U = {–1 , 0 , 1} ค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ จะเป็นไปตาม ตัวเลือกใด ก. xy [x + y > –3] ข. xy [x + y > –2] 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 84. กาหนดให้ U = {–1 , 0 , 1} ค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ จะเป็นไปตาม ตัวเลือกใด ก. xy [x + y = 1] ข. xy [x + y = 5] 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 85. ค่าความจริงของประโยคที่กาหนดให้ต ่อไปนี้ เป็นไปตามตัวเลือกใด ก. xy [ x + y = y + x ] เมื่อ U = { 0 , 1 } ข. xy [ x + 3 = 2y ] เมื่อ U = { 0 , 5 , 6 } 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 53 86. กาหนดให้ U = {–1 , 0 , 1} ค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ จะเป็นไปตาม ตัวเลือกใด ก. xy [ x – y = 0 ] ข. x y [ x + y = 1] 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 87. กาหนดให้ U = {–1 , 0 , 1} ค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ จะเป็นไปตาม ตัวเลือกใด ก. xy [ x + y > –1 ] ข. xy [ x + y = 1 ] 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ 88. ให้ U เป็นเซตของจ านวนจริงค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้จะเป็นไปตาม ตัวเลือกใด ก. x y[x+y = 0] ข. yx[x+y = 0 ] 1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ 3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 54 เฉลยตะลุยโจทย์ท่วัไป บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 1. ตอบข้อ 1. 2. ตอบข้อ 3. 3. ตอบข้อ 3. 4. ตอบข้อ 4. 5. ตอบข้อ 3. 6. ตอบข้อ2. 7. ตอบข้อ 3. 8. ตอบข้อ 3. 9. ตอบข้อ3. 10. ตอบข้อ4. 11. ตอบข้อ2. 12. ตอบข้อ1. 13. ตอบข้อ2. 14. ตอบข้อ3. 15. ตอบข้อ2. 16. ตอบข้อ3. 17. ตอบข้อ4. 18. ตอบข้อ1. 19. ตอบข้อ3. 20. ตอบข้อ4. 21. ตอบข้อ1. 22. ตอบข้อ4. 23. ตอบข้อ4. 24. ตอบข้อ 1. 25. ตอบข้อ4. 26. ตอบข้อ4. 27. ตอบข้อ4. 28. ตอบข้อ2. 29. ตอบข้อ4. 30. ตอบข้อ3. 31. ตอบข้อ 2. 32. ตอบข้อ4. 33. ตอบข้อ1. 34. ตอบข้อ2. 35. ตอบข้อ1. 36. ตอบข้อ4. 37. ตอบข้อ2. 38. ตอบข้อ1. 39. ตอบข้อ1. 40. ตอบข้อ1. 41. ตอบข้อ2. 42. ตอบข้อ1. 43. ตอบข้อ1. 44. ตอบข้อ1. 45. ตอบข้อ1. 46. ตอบข้อ2. 47. ตอบข้อ2. 48. ตอบข้อ1. 49. ตอบข้อ1. 50. ตอบข้อ 3. 51. ตอบข้อ2. 52. ตอบข้อ1. 53. ตอบข้อ4. 54. ตอบข้อ 1. 55. ตอบข้อ 1. 56. ตอบข้อ2. 57. ตอบข้อ1. 58. ตอบข้อ1. 59. ตอบข้อ1. 60. ตอบข้อ1. 61. ตอบข้อ 3. 62. ตอบข้อ2. 63. ตอบข้อ2. 64. ตอบข้อ1. 65. ตอบข้อ1. 66. ตอบข้อ2. 67. ตอบข้อ3. 68. ตอบข้อ1. 69. ตอบข้อ4. 70. ตอบข้อ1. 71. ตอบข้อ1. 72. ตอบข้อ2. 73. ตอบข้อ4. 74. ตอบข้อ4. 75. ตอบข้อ4. 76. ตอบข้อ2. 77. ตอบข้อ2. 78. ตอบข้อ4. 79. ตอบข้อ3. 80. ตอบข้อ3. 81. ตอบข้อ4. 82. ตอบข้อ2. 83. ตอบข้อ2. 84. ตอบข้อ2. 85. ตอบข้อ2. 86. ตอบข้อ2. 87. ตอบข้อ2. 88. ตอบข้อ2.
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 1 บทที่ 2 ระบบจำ นวนจริง 2.1 จ ำนวนจริง จ ำนวนที่เรำใช้ในวิชำคณิตศำสตร์มีหลำยประเภท ซึ่งสำมำรถจ ำแนกแยกประเภทได้ดังนี้ จ ำนวนจริง ( R ) คือจ ำนวนที่สำมำรถเขียนแสดงบนบนเส้นจ ำนวนได้ เช่น –3 , –3 5 , 0 , 0.5 , 3 , o 33. เป็นต้น จ ำนวนตรรกยะ ( Q ) คือจ ำนวนจริงที่สำมำรถเขียนให้อยูในรูปเศษส ่ ่วนของจ ำนวนเต็มโดย ที่ส่วนไม่เป็ นศูนย์ ได้แก่จ ำนวนเต็ม เศษส่วน จ ำนวนอยู่ในรูปทศนิยมธรรมดำและทศนิยมซ ้ำ เช่น 8 , –6 , 0 , 4 3 , 4.3 , o 33. เป็นต้น จ ำนวนเหล่ำนี้สำมำรถเขียนให้อยูในรูปเศษส ่ ่วนของ จ ำนวนเต็มได้เสมอจึงเป็นจ ำนวนตรรกยะ เช่น 8 = 1 8 , –6 = –1 6 , 0 = 1 0 , 4.3 = 10 43 , o 33. = 9 33 จ ำนวนตรรกยะ( Q/ )คือจ ำนวนจริงที่ไม่สำมำรถเขียนให้อยูในรูปเศษส ่ ่วนของจ ำนวนเต็มได้ เช่น 3 , 5+2 , p เป็นต้น 3 = 1.7320508…… มีค่ำเป็นจ ำนวนทศนิยมไม่ซ ้ ำและไม่รู้จบ จึงเขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้ p = านศู่ นย์กลางเส้นผ ลมเส้นรอบวงก ปัจจุบันยังหำค่ำที่แน่นอนไม่ได้ จึงเขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้ จ ำนวนเชิงซ้อน ( C จ ำนวนจริง ( R ) จ ำนวนตรรกยะ ( Q จ ำนวนอตรรกยะ ( Q) จ ำนวนเต็ม ( I ) จ ำนวนไม่เต็ม ( I) จ ำนวนเต็มบวก ( I+ ) หรือจ ำนวนนับ ( N ) จ ำนวนเต็มลบ ( I– ) จ ำนวนเต็มศูนย์ ( 0 ) จ ำนวนจินตภำพ –3 –2 –1 0 1 2 3 –3 –3 5 0 0.5 3 o 33.
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 2 จ ำนวนตรรกยะ ( Q )ยังแบ่งได้เป็นจ ำนวนเต็ม ( I ) และจ ำนวนที่ไม่ใช่จ ำนวนเต็ม ( I/ ) จ ำนวนเต็ม ( I ) ยังแบ่งเป็นจ ำนวนเต็มบวก(I) , จ ำนวนเต็มลบ (I/ ) และจ ำนวนเต็มศูนย์(0) จ ำนวนเต็มศูนย์(0) ไม่ใช้จ ำนวนเต็มบวกหรือจ ำนวนเต็มลบ จ ำนวนเต็มบวกเรียกอีกอยำงว่ำ่ จ ำนวนนับ ( N ) เพรำะเป็นจ ำนวนที่ใช้ในกำรนับจ ำนวน คน สัตว์ สิ่งของใดๆ 1. จ ำนวนที่กำหนดให้ต ่อไปนี้ มีกี่จ ำนวนที่เป็นจ ำนวนตรรกยะ 8 , 0 , –2 , 3 4 , 1.2693 , 95. , 3 , 1+ 3 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 2. 95. มีค่ำเป็นเช่นไรเมื่อเทียบกบั 6 1. น้อยกวำ่ 2. มำกกวำ่ 3. เท่ำกบั 4. เทียบไม่ได้ 3(แนว O-net) พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้ (ก) มีจ ำนวนตรรกยะที่มำกที่สุดที่น้อยกวำ่ 6 (ข) มีจ ำนวนอตรรกยะที่มำกที่สุดที่น้อยกวำ่ 6 ข้อสรุปใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. (ก) ถูก (ข) ถูก 2. (ก) ถูก (ข) ถูก 3. (ก) ผิด (ข) ถูก 4. (ก) ผิด (ข) ผิด
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 3 2.2 สมบัติของระบบจ ำนวนจริง สมบัติของจ ำนวนจริงเกี่ยวกับกำรบวก สมบัติ ควำมหมำย ตัวอย่ำง 1. ปิ ด ถ้ำ a , b R แล้ว a + b R 1 , 2 R ดังนั้น 1 + 2 R 2. กำรสลับที่ a + b = b + a 1 + 2 = 2 + 1 3. กำรเปลี่ยนหมู a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3 ่ 4. กำรมีเอกลักษณ์ มีจ ำนวนจริง 0 ซึ่ง 0 + a = a = a + 0 0 + 5 = 5 = 5 + 0 5. กำรมีอินเวอร์ส ส ำหรับจ ำนวนจริง a จะมีจ ำนวนจริง –a ที่ (–a) + a = 0 = a + (–a) (–3) + 3 = 0 = 3 + (–3) สมบัติจ ำนวนจริงเกี่ยวกับกำรคูณ สมบัติ ควำมหมำย ตัวอย่ำง 1. ปิ ด ถ้ำ a , b R แล้ว a .b R 1 , 2 R ดังนั้น 1 x 2 R 2. กำรสลับที่ a . b = b . a 1 x 2 = 2 x 1 3. กำรเปลี่ยนหมู a ( b . c ) = ( a . b ) . c 1 ่ x ( 2 x 3 ) = ( 1 x 2 ) x 3 4. กำรมีเอกลักษณ์ มีจ ำนวนจริง 1 ซึ่ง 1 . a = a = a . 1 1 x 5 = 5 = 5 x 1 5. กำรมีอินเวอร์ส ส ำหรับจ ำนวนจริง a ที่a ≠ 0 จะมีจ ำนวน จริง a–1 ที่ (a–1) a = 1 = a ( a–1 ) ( 3 1 ) x 3 = 1 = 3 x (3 1 ) นอกจำกนี้ยังมีสมบัติที่เกี่ ยวกบทั ั้ งกำรบวกและกำรคูณ ซึ่งได้แก่คุณสมบัติกำรแจกแจง กล่ำวคือ a (b + c ) = ab + ac เช่น 3 ( 2 + 5 ) = 3 (2) + 3 (5) 4. ตัวเลือกใดต่อไปนี้เป็นจริงตำมคุณสมบัติกำรมีอินเวอร์สส ำหรับกำรบวกจ ำนวนจริง 1. (–6) + 0 = –6 2. [2 + (c + d)] + 3(c + d)] = 2 + [(c + d) + 3 (c + d)] 3. –7 1 + 7 1 = 0 4. 2 + (m + 1) = 2 + (1 + m)
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 4 5. ตัวเลือกใดต่อไปนี้เป็นจริงตำมคุณสมบัติปิ ดของกำรคูณจ ำนวนจริง 1. 3 1 (2 + 7) = (2 + 7) 3 1 2. (–5) ( 5 1 ) = 1 3. 1 x = x เมื่อx คือจ ำนวนจริงใดๆ 4. ผลลัพธ์ของ 7 ( –3) เป็นจ ำนวนจริง 6. ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริงตำมสมบัติของกำรกระจำยจ ำนวนจริง 1. q x 37 = 37 x q 2. (2 + 3) p = 2 p + 3 p 3. 6 + (5 + y) = (6 + 5) + y 4. (2 + 3) (5 + 6) = (5 + 6) (2 + 3) 7. จงหำอินเวอร์สกำรบวกของจ ำนวน ( a + b ) ตรงกบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. – a + b 2. a – b 3. –a –b 4. a + b
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 5 8. ให้ a , b เป็ นจ ำนวนจริ งใดๆ และ a * b = a – b + 1 จงพิจำรณำข้อควำมที่ก ำหนดให้ ต่อไปนี้วำเป็นจริงก ่ ี่ข้อ ก. a * b = b * a ข. ( a * b ) * c = a * ( b * c ) ค. เซตของจ ำนวนจริงกบั * มีสมบัติปิ ด ง. เซตของจ ำนวนจริง มีเอกลักษณ์ของ * จ. ส ำหรับจ ำนวนจริง a ใดๆ มีจ ำนวนจริงที่เป็นอินเวอร์สของ a 1. 1 ข้อ 2. 2 ข้อ 3. 3 ข้อ 4. 4 ข้อ 2.3 ทฤษฏีบทเศษเหลือและกำรแก้สมกำรพหุนำมตัวแปรเดียว 2.3.1 ทฤษฏีบทเศษเหลือ ทฤษฏีบทเศษเหลือ “ เมื่อ p(x) เป็นพหุนามใดๆ ถ้าหาร p(x) ด้วยพหุนาม x – c แล้วเศษ จากการหารจะเท่ากบั p(c) เมื่อ c เป็นจ านวนจริง ” เราใช้ทฤษฏีบทเศษเหลือหาเศษเหลือจากการหารพหุนามได้ดังตัวอยางต่ ่อไปนี้ ตัวอย่ำง จงหาเศษที่เหลือจากการหาร p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 ด้วย x – 1 แนวคิด ขั้นที่ 1 ให้ x – 1 = 0 จะได้ x = 1 ขั้นที่ 2 จาก p(x) = x3 + x2 + 4 x + 1 ( แทนค่า x = 1 ) จะได้ p(1) = (1)3 + (1)2 + 4( 1 ) + 1 p(1) = 7 นันคือเศษที่เหลือจากการหารมีค ่่าเท่ากบั 7
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 6 9. เศษเมื่อหาร x3 – 7x2 + 11x – 4 ด้วย x – 3 มีค่าเท่ากบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. –5 2. –6 3. –7 4. –8 10. เศษเมื่อหาร x3 + x2 + 4x + 1 ด้วย x มีค่าเท่ากบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. 1 2. 3 3. 5 4. –5 11. เศษเมื่อหาร 4x4 – 3x2 + 8 ด้วย x2 – 3 มีค่าเท่ากบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. 40 2. 35 3. 30 4. 25
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 7 12. ค่า a ที่ท าให้ x – 2 หาร x2 – 7x + a ลงตัวพอดี มีค่าเท่ากบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20 13(แนว มช) ถ้าพหุนาม p(x) = 6x3 + ax2 + bx – 1 มี (x – 1) เป็นตัวประกอบ และเมื่อหาร ด้วย ( x + 1) จะเหลือเศษ –24 แล้ว a b จะมีค่าเท่ากบข้อใด ั 1. 44 2. –44 3. 66 4. –66 2.3.2 กำรแก้สมกำรพหุนำมตัวแปรเดียว สมกำรพหุนำมตัวแปรเดียว คือสมกำรที่เขียนอยูในรูป ่ a n x n + an–1 x n + an+2 x n+2 + …… + a1 x + a0 = 0 เมื่อ n เป็นจ ำนวนเต็มบวก กำรแกสมกำรพหุนำมที่มีดีกรีสูง ้ (ตั้ งแต่ดีกรี 3 ขึ้นไป ) สำมำรถท ำได้ดังตัวอยำงต่ ่อไปนี้
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 8 14. ค าตอบของสมการ x3 + x2 – 8x – 12 = 0 อยูในช ่ ่วงข้อใดต่อไปนี้ 1. –3 < x < 4 2. –2 < x < 3 3. –1 < x < 5 4. 0 < x < 6 15. เซตค าตอบของสมการ x3 – 10x2 + 27x = 18 เป็นสับเซตของข้อใดต่อไปนี้ 1. { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 2. { 5 , 6 , 9 , 13 , 15 } 3. { 1 , 3 , 6 , 9 , 12 } 4. { 1 , 2 , 5 , 6 , 9 } 16(แนว มช) ค ำตอบของสมกำร x3 – x2 – 5x – 3 = 0 ที่สอดคล้องกบเงื่อนไข ั x2 > 2 อยู่ ในช่วงข้อใดต่อไปนี้ 1. –3 < x < 0 2. –2 < x < 3 3. 0 < x < 5 4. –1 < x < 1 17. ค าตอบของสมการ 1 – 3x2 + 2x3 = 0 อยูในช ่ ่วงข้อใดต่อไปนี้ 1. –1 < x < 2 2. 0 < x < 1 3. –3 < x < 0 4. 0 < x < 6
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 9 18. ค าตอบของสมการ 2x4 – 13x3 + 28x2 = 23x – 6 อยูในช ่ ่วงข้อใดต่อไปนี้ 1. –5 < x < 0 2. 0 < x < 5 3. –4 < x < 2 4. –3 < x < 3 19. ค าตอบของสมการ x3 + 5x2 + 6x = 0 อยูในช ่ ่วงข้อใดต่อไปนี้ 1. –3 < x < 2 2. –2 < x < 1 3. –4 < x < 1 4. 0 < x < 3 20. ค าตอบของสมการ x3 – 5x2 – 16x + 80 = 0 อยูในช ่ ่วงข้อใดต่อไปนี้ 1. –5 < x < 0 2. –6 < x < 6 3. –4 < x < 8 4. 0 < x < 10
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 10 21(แนว PAT1) ผลบวกของต ำตอบของสมกำร 2x3 – 7x2 + 7x –2 = 0 เท่ำกบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. 3.0 2. 3.5 3. 4.0 4. 4.5 22(แนว En) เซตในข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตค ำตอบของสมกำร 9x3 + 12x2 + x – 2 = 0 1. { – 2 , 3 1 , 2 3 } 2. { – 1 , –3 1 , 2 1 } 3. { – 1 , 3 1 , 3 2 } 4. { – 1 , – 3 2 , 3 1 } 23. ให้ a เป็นจ ำนวนเต็ม ถ้ำ x – a หำร x 3 + 2 x2 – 5x – 2 เหลือเศษ 4 แล้วผลบวกของ ค่ำ a ทั้ งหมดที่สอดคล้องกบเงื่อนไขดังกล ั ่ำวเท่ำกบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. –6 2. –2 3. 3 4. 6
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 11 2.4 สมบัติของกำรไม่เท่ำกัน สมบัติบำงประกำรของกำรไม่เท่ำกัน ให้ a , b , c เป็นจ ำนวนจริงใดๆ 1) สมบัติกำรถ่ำยทอด ถ้ำ a > b และ b > c แล้ว a > c เช่น 10 > 8 และ 8 > 7 จะได้วำ่ 10 > 7 2) สมบัติกำรบวกด้วยจ ำนวนที่เท่ำกนั ถ้ำ a > b แล้ว a + c > b + c เช่น 2 > 1 จะได้ 2 + 4 > 1 + 4 นันคือ ่ 6 > 5 3) สมบัติกำรคูณด้วยจ ำนวนที่เท่ำกนั 3.1) ถ้ำ a > b แล้ว a c > b c เมื่อ c > 0 เช่น 2 > 1 จะได้ 2 x 4 > 1 x 4 นันคือ ่ 8 > 4 3.2) ถ้ำ a > b แล้ว a c < b c เมื่อ c < 0 เช่น 2 > 1 จะได้ 2 x (–5) < 1 x (–5) นันคือ ่ – 10 < – 5 3.3) ถ้ำ a > b แล้ว a c = b c เมื่อ c = 0 เช่น 2 > 1 จะได้ 2 x 0 = 1 x 0 นันคือ ่ 0 = 0 4) ถ้ำ a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d 5) ถ้ำ a < b และ c < d แล้ว a – d < b – c 6) ถ้ำ 0 < a < b และ 0 < c > d แล้ว ac < bd 7) ถ้ำ 0 < a < b และ 0 < c > d แล้ว d a < c b 8) ถ้ำ 0 < a < b แล้ว a 1 < b 1
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 12 2.5 ช่วงและกำรแก้อสมกำร 2.5.1 ช่วง บทนิยำม เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจ ำนวนจริง และ a < b ช่วงเปิ ด ช่วงปิ ด ช่วงครึ่ งเปิ ด ช่วงครึ่ งเปิ ด ช่วง ช่วง ช่วง ช่วง ช่วง (a , b) [a , b] (a , b] [a , b) (a , ) [a , ) (– , a) (– , a] (– , ) หมำยถึง หมำยถึง หมำยถึง หมำยถึง หมำยถึง หมำยถึง หมำยถึง หมำยถึง หมำยถึง { x a < x < b } { x a x b } { x a < x b } { x a x < b } { x x > a} { x x a} { x x < a } { x x a } เซตของจ ำนวนจริง R ฝึ กท ำ จงเขียนช่วงต่อไปนี้ในรูปของเซต พร้อมทั้ งแสดงช่วงด้วยกรำฟบนเส้นจ ำนวน 1. ( –2 , 1) 2. [ 4 , 7 ] 3. [ –3 , 1 ) 4. ( –3 , 0 ] -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 0 1 2 a b a b a b a b a a a a
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 13 24. ถ้า A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ช่วงค าตอบของ A B คือข้อใดต่อไปนี้ 1. ( –1 , 4 ] 2. ( –1 , 5 ] 3. ( –1 , 6 ] 4. ( –1 , 7 ] 25. ถ้า A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ช่วงค าตอบของ A B คือข้อใดต่อไปนี้ 1. [0 , 1) 2. [0 , 2) 3. [0 , 3) 4. [0, 4) 26. ถ้า A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ช่วงค าตอบของ A – B คือข้อใดต่อไปนี้ 1. (–1 , –2) 2. (–1 , –1) 3. (–1 , 0) 4. (–1 , 1) 27. ถ้า A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] ช่วงค าตอบของ B – A คือข้อใดต่อไปนี้ 1. [1 , 2] 2. [1 , 4] 3. [2 , 2] 4. [2 , 4]
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 14 ฝึ กท ำ จงเขียนช่วงต่อไปนี้ในรูปของเซต พร้อมทั้ งแสดงช่วงด้วยกรำฟบนเส้นจ ำนวน 1. ( 1 , ) 2. [ 0 , ) 3. ( – , 1 ) 4. ( – , –2 ] 28. ถ้า A = (– , 2) , B = [0 , ) ช่วงค าตอบของ A B คือข้อใดต่อไปนี้ 1. [0 , 1) 2. [0 , 2) 3. [0 , 3) 4. [0, 4) -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 15 29. ถ้า A = (–1 , 2) ช่วง A คือข้อใดต่อไปนี้ 1. (– , 1] [2 , ) 2. (– , 0] [2 , ) 3. (– , –1] [2 , ) 4. (– , 1] [2 , ) 2.5.2 กำรแก้อสมกำรตัวแปรเดียวดีกรี 1 กำรแกอสมกำรพหุนำมดีกรีหนึ่ งตัวแปรเดียว ้ สำมำรถท ำได้โดยใช้วิธีคูณไข้วย้ำยข้ำงคล้ำย กำรแกสมกำร้ แต่ต้องระวังวำหำกมีกำรคูณตลอดด้วยจ ำนวนที่มีค ่ ่ำเป็นลบ ต้องเปลี่ยนเครื่องหมำย อสมกำรด้วยเสมอ ดังแสดงในโจทย์ตัวอยำงต่ ่อไปนี้ 30. เซตค ำตอบของอสมกำร 4 x + 2 x + 7 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 0 ) 2. ( – , 3 5 ) 3. (3 5 , ) 4. ( 2 , ) 31. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x – 1 x + 9 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 0 ) 2. ( – , 10 ) 3. ( 10 , ) 4. ( 2 , )
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 16 32. เซตค ำตอบของอสมกำร 8x – 5 3x + 15 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 0 ] 2. ( – , 4 ] 3. [ 4 , ) 4. [ 10 , ) 33. เซตค ำตอบของอสมกำร 3x – 2 x คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 0 ] 2. ( – , 1 ] 3. [ 0 , ) 4. [ 2 , ) 34. เซตค ำตอบของอสมกำร 8 – 3x x คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 0 ) 2. ( – , 2 ) 3. ( 0 , ) 4. ( 2 , ) 35. เซตค ำตอบของอสมกำร 5 – 3m 19 + 4m คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 0 ] 2. (– , 2 ) 3. [–2 , ) 4. [2 , )
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 17 36. เซตค ำตอบของอสมกำร 6 – 3m 3m คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 0 ] 2. ( – , 1 ] 3. [ 0 , ) 4. [ 2 , ) 37. ช่วงค ำตอบของอสมกำร 6x – 7 > 6 (5 + x) เท่ำกบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. 2. (–13 , 13) 3. (–,–13) (13 , ) 4. (– , ) 38. ช่วงค ำตอบของอสมกำร 8x – 3 < 8 (x +1) เท่ำกบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. 2. (–7 , 7) 3. (– , –7) (7 , ) 4. (– , )
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 18 2.5.3 กำรแก้อสมกำรตัวแปรเดียวดีกรีสูง วิธีการแกอสมการตัวแปรเดียวดีกรีสูง ้ ให้ศึกษาจากตัวอยางต่ ่อไปนี้ 39. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 5x + 6 < 0 คือเซตข้อใดต่อไปนี้ 1. (–∞ , 3 ) 2. ( 2 , 3 ) 3. (0 , 5) 4. (2 , ∞) 40. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 7x + 12 0 คือเซตข้อใดต่อไปนี้ 1. (–∞ , 5 ] 2. (3 , 4) 3. [3 , 4 ] 4. [2 , ∞) 41. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 – 3x – 10 > 0 คือเซตข้อใดต่อไปนี้ 1. ( –∞ , –2 ) ( 5 , ∞ ) 2. ( –∞ , –6 ) ( 1 , ∞ ) 3. ( –∞ , –2 ] [ 5 , ∞ ) 4. ( –∞ , –6 ] [ 1 , ∞ )
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 19 42. เซตค ำตอบของอสมกำร 5x 6 – x2 คือเซตข้อใดต่อไปนี้ 1. ( –∞ , –2 ) ( 5 , ∞ ) 2. ( –∞ , –6 ) ( 1 , ∞ ) 3. ( –∞ , –2 ] [ 5 , ∞ ) 4. ( –∞ , –6 ] [ 1 , ∞ ) 43. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – 3x2 10x คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (– , –2 ] [0 , 5 ] 2. [–2 , 0 ] [5 , ) 3. [–2 , 5 ] 4. [0 , 2] 44. เซตค ำตอบของอสมกำร x (x2 + 4) < 5x2 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (– , 0 ) (1 , 4 ) 2. (0 , 1 ) (4 , ) 3. (0 , 4 ) 4. (1 , 4 )
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 20 45. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x > 2x2 – 2 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (– , –1 ) (1 , 2) 2. (–1 , 1) (2 , ) 3. (–1 , 2 ) 4. (1 , 2 ) 46(แนว มช) ให้A เป็นเซตค ำตอบของอสมกำร 3y2 – 2y – 5 0 คอมพลีเมนต์ของ A คือข้อใด 1. [–1 , 3 5 ] 2. [ 3 5 , 1 ] 3. ( – , 3 5 ) (1 , ) 4. ( – , –1) ( 3 5 , ) สิ่งต้องทรำบเพิ่มเติมเกี่ยวกับกำรแก้อสมกำรโดยใช้เส้นจ ำนวน 1) อสมการพหุนามที่จะแกโดยวิธีนี ้ ้ได้ ต้องเรียงล าดับตัวแปรจากตัวแปรที่มีกาลังสูงไปหา ตัวแปรที่มีกาลังน้อย และตัวแปรที่อยูหน้าสุดต้องมีค ่ ่าสัมประสิทธิ์เป็นบวกเท่านั้น 2) กรณีที่โจทย์อยูในรูปเศษส ่ ่วน ต้องระวังวาค าตอบที่ได้ต้องไม ่ ่ท าให้ส่วนเป็น 0 3) ตัวแปรที่ไมทราบค่ ่าวาเป็นบวกหรือเป็นลบห้ามคูณไขว้ ่ 4) ตัวแปรซึ่ งยกกาลังจ านวนเต็มคี่ให้คิดเป็ นตัวแปรยกก าลัง 1 ตัวแปรรูปยกกาลังด้วย จ านวนเต็มคู่ ช่วงที่อยู่ติดกบจุดวิกฤติที่เก ั ิดจากตัวแปรยกกาลังคู ่นั้นให้ใช้เครื่องหมายบวกหรือลบ เหมือนกนทั ั้ งช่วงที่ติดด้านซ้ายและด้านขวา และที่จุดวิกฤตนั้ นให้เติมจุดด้วยเสมอ
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 21 47. เซตค ำตอบของอสมกำร 6x – x2 5 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. [ 2 , 3 ] 2. [1 , 5] 3. [1 , 3] 4. [3 , 5] 48. เซตค ำตอบของอสมกำร 9 – x2 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (– , –3] 2. (– , –3] [3 , ) 3. [3 , ) 4. [–3 , 3] 49. เซตค ำตอบของอสมกำร 4) (x 5) (x 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (– , 4) 2. (4 , 5) 3. [4 , 5] 4. (4 , 5]
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 22 50. เซตค ำตอบของอสมกำร 2) (x 3) (x 1) (x 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (– , –3 ] [1 , 2 ) 2. (– , 1 ] [2 , 3 ) 3. (– , –2 ] [1 , 3 ) 4. (– , –3 ] [–2 , –1 ) 51. เซตค ำตอบของอสมกำร x 12 2x > 7 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 3 ) 2. (– , 0) ( 3 , 4) 3. ( 4 , ) 4. (0 , 3) ( 4 , ) 52. จ ำนวนเต็มน้อยที่สุดในเซตค ำตอบของอสมกำร 4 x 6 x + 1 มีค่ำเท่ำกบข้อใดต ั ่อไปนี้ 1. –2 2. –1 3. 4 4. 5
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 23 53. เซตค ำตอบของอสมกำร 1 x 1 4) (x 1 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (– , 1) (4 , ) 2. (– , –4) (–1 , ) 3. (1 , 4) 4. (–4 , –1) 54. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (–∞ , 1) 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2) (–2 , 1) 4. {–2} (1 , ∞) 55. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 > 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (–1 , 0) 2. (1 , ∞) 3. (–∞ , 1) 4. (–1 , 1)
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 24 56. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 < 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (–∞ , 1) 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2) (–2 , 1) 4. (–2 , ∞) 57. เซตค ำตอบของอสมกำร (x – 1)3 (x + 2)4 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (–∞ , 1] 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2] [–2 , 1] 4. {–2} [1 , ∞) 58. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2) (x – 3)6 (x – 5) < 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. { –3 } ( –2 , 5 ) 2. (–2 , 5 ) 3. { –2 } ( 3 , 5 ) 4. (–2 , 3 ) (3 , 5 )
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 25 59. เซตค ำตอบของอสมกำร 3) (x 7 1) (x 7) (x 2 2) (x 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. [ 3 , 7 ] 2. (– , 1 ) (3 , 7 ] 3. (– , 0 ] 4. (– , 1 ) {2} (3 , 7 ] 60. เซตค ำตอบของอสมกำร (2x + 1)3 (x + 1)5 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( –1 , – 2 1 ) 2. (– , –1 ] [– 2 1 , ) 3. (– , –1 ) 4. (– 2 1 , ) 61. เซตค ำตอบของอสมกำร x3 – x2 – x + 1 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. [ –1 , ) 2. (– , –1 ] [ 0 , ) 3. (– , –1 ] 4. (– , 0 ] [ 1 , )
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 26 62. เซตค ำตอบของอสมกำร 15) 2x 2 (x 6) x 2 10)(x 3x 2 (x 0 คือข้อใดต่อไปนี้ 1. [–3 , 3) 2. (–∞ , –3] (3 , ∞) 3. (–∞ , –3] {2} (3 , ∞) 4. (–∞ , –5) (–5 , –3] {2} (3 , ∞) 63. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 2 < 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 2 ) ( 2 , ) 2. (– 2 , 2 ) 3. 4. R 64. เซตค ำตอบของอสมกำร x2 + 5 > 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 5 ) ( 5 , ) 2. (– 5 , 5 ) 3. 4. R
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 27 65. เซตค ำตอบของอสมกำร (x2 + 5) (x – 2) (x – 6) 0 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( – , 2 ) (6 , ) 2. [2 , 6] 3. 4. R 66. จ ำนวนเต็มบวกที่เป็นสมำชิกของเซตค ำตอบของอสมกำร 3x – 1 < x + 2 < 5 มีกี่จ ำนวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 67. จ ำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นสมำชิกของเซตค ำตอบของอสมกำร –2x – 5 < 7 < 3x – 2 มีกี่ จ ำนวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
ติวสบายคณิต เล่ม 1 http://www.pec9.com บทที่ 2 ระบบจ านวนจริง 28 68. เซตค ำตอบของอสมกำร x < x2 – 12 < 4 x คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (4 , 6) 2. (5 , 6) 3. (6 , 6) 4. (7 , 6) 2.6 ค่ำสัมบูรณ์ ค่ำสัมบูรณ์ของจ ำนวนจริง a ใดๆ หมำยถึงระยะห่ำงจำกจุด 0ถึงจ ำนวนจริง a นั้น บนเส้น จ ำนวน เช่น 2 = 2 –3 = 3 –1 = 1 0 = 0 สมบัติบำงประกำรของค่ำสัมบูรณ์ 1. x = x เมื่อx เป็นจ านวนลบ x เมื่อ x วกหรือศูนเป็นจ านวนบ ย์ 2. x 0 3. x x 4. x = –x 5. x . y = x y 6. y x = y x 7. x – y = y – x 8. x 2 = x 2 = x 2 9. ถ้ำ x a จะได้วำ่ –a x a ถ้ำ x a จะได้วำ่ –a x a ถ้ำ x a จะได้วำ่ x –a x a ถ้ำ x a จะได้วำ่ x –a x a –3 –2 –1 0 1 2 3