วิชาคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาทักษะการคิด

เอกสารประกอบการเรยี น

1 วชิ า คณิตศาสตรเ์ พอ่ื พฒั นาทกั ษะการคดิ

1

1

1

จดั ทาโดย
นางสาวศศิธร จูมี
วิทยาลยั อาชีวศกึ ษาเพชรบรุ ี
สานักงานคณะกรรมการการอาชวี ศกึ ษา

แผนการจดั การเรยี นรแู้ บบฐานสมรรถนะ

หลักสตู รหลกั สูตรประกาศนยี บตั รวิชาชีพชัน้ สูง (ปวส.) พทุ ธศักราช 2557
รหัส 3000 - 1401 วชิ าคณิตศาสตรเ์ พอื่ พฒั นาทักษะการคดิ

จัดทาโดย
นางสาวศศธิ ร จมู ี

แผนกวิชาสามัญสัมพนั ธ์
วทิ ยาลยั อาชวี ศึกษาเพชรบุรี

คานา

แผนการสอนวิชา “คณิตศาสตร์เพ่ือพัฒนาทักษะการคิด” รหัสวิชา 3000 - 1401 จัดทาข้ึนเพ่ือใช้เป็น
แนวทางในการจัดการเรียนการสอน วิชาคณิตศาสตร์เพ่ือพัฒนาทักษะการคิด ตามหลักสูตรประกาศนียบัตร
วิชาชพี (ปวส.) พุทธศกั ราช 2557 ของสานกั งานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา
โดยจัดการเรียนการสอนทั้งหมด 18 สัปดาห์ สัปดาห์ละ 3 ช่ัวโมง เน้ือหาภายใน ประกอบด้วย บทนา การ
แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ การสื่อสารความหมายทางคณิตศาสตร์และการ
นาเสนอ การเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ และการคดิ ริเริ่มสรา้ งสรรค์ทางคณิตศาสตร์

สาหรับแผนการสอนรายวิชาน้ี ผู้จัดทาได้การศึกษาค้นคว้า ทดลอง เพ่ือให้เกิดประสิทธิภาพต่อการเรียน
การสอน และการจัดการเรียนการสอนตามแนวทางหลักปรชั ญาของเศรษฐกิจแบบพอเพยี ง

ทา้ ยที่สดุ นี้ ผจู้ ดั ทาขอขอบคณุ ผ้ทู สี่ ร้างแหลง่ ความรู้ และผทู้ ีม่ สี ว่ นเก่ียวข้องต่าง ๆ ซึ่งเป็นส่วนสาคัญท่ีทา
ให้แผนการสอนวชิ าคณิตศาสตรเ์ พอื่ พฒั นาทักษะการคิด เล่มนีเ้ สร็จสมบรู ณเ์ ปน็ ท่ีเรียบร้อย

ลงช่อื
(นางสาวศศธิ ร จมู )ี

ลักษณะรายวิชา
หลักสูตร ประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวส.) พุทธศกั ราช 2557
รหัสวชิ า 3000 – 1401 ชือ่ วชิ า คณิตศาสตรเ์ พ่ือพัฒนาทกั ษะการคดิ
ทฤษฎี 3 ชวั่ โมง/สัปดาห์ ปฏิบัติ 0 ชัว่ โมง/สัปดาห์ จานวน............3..........หน่วยกิต

จุดประสงคร์ ายวิชา
เพอ่ื ให้

1. เกดิ ความคดิ รวบยอดเกี่ยวกบั ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
2. นาความรเู้ รอื่ งทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรป์ ระยุกต์ใชใ้ นงานอาชีพ
3. มีเจตคตทิ ี่ดีตอ่ การเรียนรู้ทางคณติ ศาสตร์

สมรรถนะรายวิชา

1. แก้ปัญหาทางคณติ ศาสตรใ์ นงานอาชพี
2. ใหเ้ หตผุ ลทางคณติ ศาสตร์ในงานอาชพี
3. สอ่ื สาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตรแ์ ละนาเสนอในงานอาชีพ
4. เช่ือมโยงความรทู้ างคณติ ศาสตร์ในงานอาชีพ
5. ประยุกต์ความคิดริเร่มิ สรา้ งสรรค์ทางคณิตศาสตร์ในงานอาชีพ

คาอธิบายรายวชิ า

ศึกษาเก่ียวกับการฝึกทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทักษะการแก้ปัญหา ทักษะการให้เหตุผล
ทักษะในการส่ือสารการส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ ทักษะในการเช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ทาง
คณติ ศาสตร์และเชอ่ื มโยงคณิตศาสตร์ในงานอาชีพ และทกั ษะการคดิ ริเรม่ิ สรา้ งสรรค์

โครงสร้างหนว่ ยการเรยี นรู้

หนว่ ย หนว่ ยการเรียนรู้ เวลาเรียน (ชม.)
ที่ ทฤษฏี ปฏบิ ัติ รวม

1 ความสาคญั ของวชิ าคณติ ศาสตร์การแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ 303
2 การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 12 0 12
3 การแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ (ตอ่ ) 909
4 การให้เหตผุ ลทางคณติ ศาสตร์ 909
5 การสอื่ สารความหมายทางคณิตศาสตรแ์ ละการนาเสนอ 606
6 การเช่ือมโยงทางคณติ ศาสตร์ 606
7 ความคดิ รเิ ร่ิมสร้างสรรค์ทางคณติ ศาสตร์ 906

สอบปลายภาค

รวม 51 0 51

ตารางวิเคราะห์หลักสูตร

รหสั วิชา 3000 – 1401 ชื่อวชิ า คณิตศาสตรเ์ พ่ือพัฒนาทักษะการคดิ
ทฤษฎี 3 ชัว่ โมง/สัปดาห์ ปฏิบัติ 0 ช่ัวโมง/สปั ดาห์ จานวน............3..........หน่วยกิต

พฤติกรรม พุทธิพสิ ัย

ชอ่ื หน่วยการเรียนรู้ ความรู้
1. ความสาคัญของวิชาคณิตศาสตร์ ความเ ้ขาใจ
2. การแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ การนาไปใ ้ช
3. การแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร(์ ตอ่ ) การ ิวเคราะห์
4. การใหเ้ หตุผลทางคณิตศาสตร์ การสังเคราะห์
5. การสอื่ ความหมายทางคณิตศาสตร์ การประเมินค่า
6. การเช่อื มโยงทางคณิตศาสตร์
7. การคิดรเิ ร่ิมสรา้ งสรรค์ทางคณิตศาสตร์ ทักษะพิ ัสย
ิจต ิพ ัสย
รวม
ลา ัดบ
จานวน ั่ชวโมง

2 22 12 97 3
4 353 3 5 23 1 12
1 233 3 3 15 3 9
2 232 5 3 17 2 9
1 221 4 2 12 5 6
1 221 2 2 10 6 6
2 232 2 3 14 4 6

รวม 13 15 20 12 20 20 100 51
ลาดบั ความสาคัญ 1 22

กาหนดการสอน

หน่วย ชอื่ หน่วยการเรยี นรู้/รายการสอน สมรรถนะประจาหน่วย สปั ดาห์ ชัว่ โมง
ที่ ท่ี ท่ี
นาทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ 1 1-3
1 ความสาคัญของวชิ าคณติ ศาสตร์ ไปประยุกต์ใชใ้ นการเรยี นรู้ส่งิ ตา่ งๆ
แก้ปญั หาทางคณิตศาสตรโ์ ดยใช้ยุทธวธิ ี 2-5 4-15
2 การแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ ต่างๆ
3 การแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ (ต่อ) แกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์โดยใชย้ ุทธวธิ ี 6-8 16-25
ตา่ งๆ
4 การให้เหตผุ ลทางคณิตศาสตร์ 9-11 26-34
ใหเ้ หตผุ ลทางคณิตศาสตร์ 12-13 35-39

5 การส่ือสาร การส่ือความหมายทาง สื่อสารแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์ 14-15 40-45
คณติ ศาสตร์และการนาเสนอ
16-17 46-51
6 การเช่อื มโยงทางคณิตศาสตร์ เชอื่ มโยงความรตู้ ่างๆ ทางคณิตศาสตรก์ บั
18
ศาสตรอ์ ื่นๆ

7 ความคดิ รเิ ร่ิมสรา้ งสรรคท์ าง นาความคดิ รเิ ร่ิมสรา้ งสรรคไ์ ปประยุกต์ใช้

คณติ ศาสตร์ กบั งานทางคณิตศาสตร์

สอบปลายภาค

กรอบการจัดการเรียนรูแ้ บบบรู ณาการเปน็ เร่อื ง/ชิ้นงาน/โครงการ
และบรู ณาการหลักปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง

ความพอประมาณ

ให้นักเรียนทาแบบประเมนิ ผล ใบงาน และกจิ กรรม ให้พอดี
กับเวลา และความสามารถของนกั เรยี นไมม่ ากไมน่ ้อยเกินไป

ความมเี หตุผล หนว่ ยที่ 1 การมีภมู ิคมุ้ กนั
ใหน้ กั เรียนอธบิ ายเหตผุ ลในการกระทานนั้ ความสาคญั ของ
ๆ ได้ และคานงึ ผลท่คี าดวา่ จะเกดิ ขนึ้ จาก ใหน้ กั เรยี นเตรียมความพร้อมในการเรยี น
การกระทานั้น ๆ อยา่ งรอบคอบ วิชาคณิตศาสตร์ และเตรยี มตัวทีพ่ บสถานการณต์ ่าง ๆ ใน
อนาคต
เง่อื นไขด้านความรู้และทกั ษะ
1. ความสาคัญของคณติ ศาสตรต์ อ่ ตนเอง เง่อื นไขด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม
2. ความสาคญั ของวชิ าคณติ ศาสตร์ตอ่ วิชาชีพ คุณลักษณะท่พี ึงประสงค์
3. ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์
นักเรียนมคี วามขยัน อดทน ซื่อสตั ย์ มคี วาม
ตรงตอ่ เวลา ในการนาความรู้คณติ ศาสตรไ์ ปใช้
ในชวี ติ ประจาวัน

ผลกระทบเพ่ือความสมดุล พร้อมรบั การเปล่ยี นแปลง

ด้านสังคม ดา้ นเศรษฐกิจ ด้านวัฒนธรรม ดา้ นส่ิงแวดลอ้ ม

1. รู้และเข้าใจ 1.ใหน้ ักเรยี นทา ใบงาน 1.ร้แู ละเขา้ ใจ การ 1.รู้และเขา้ ใจแหลง่ เรียนรใู้ น
กระบวนการทางานกลมุ่
และกิจกรรม โดยการใช้ ช่วยเหลอื แบ่งปนั ซึง่ กนั หอ้ งเรียน

วัสดุ อุปกรณ์ ท่ี และกนั

มอบหมายอย่างประหยดั

แผนการจัดการเรยี นรู้ หน่วยที่ 1

หลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชพี ชนั้ สูง สอนครั้งท่ี 1

รหัสวชิ า 3000 -1401 ชอื่ วิชาคณิตศาสตรเ์ พื่อพัฒนาทักษะการคดิ ท-ป-น 3-0-3
ชอ่ื หนว่ ยการเรยี นรู้ ความสาคญั ของวิชาคณติ ศาสตร์ ทฤษฏี 3 ชวั่ โมง ปฏบิ ตั ิ 0 ช่ัวโมง

1. สาระสาคญั
คณิตศาสตรม์ ีบทบาทสาคญั ย่ิงตอ่ การพัฒนาความคดิ ของมนษุ ยแ์ ละความเจรญิ ก้าวหน้าของโลก มนุษย์ใช้

คณติ ศาสตร์เป็นพื้นฐานในการศึกษาวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยีและศาสตร์อ่ืนๆ รวมทั้งใช้คณิตศาสตร์เป็นเคร่ืองมือ
ในการพฒั นาการคดิ ทหี่ ลากหลาย ทั้งการคดิ วิเคราะห์ สังเคราะห์ คิดอย่างเป็นเหตุเป็นผล คิดอย่างมีวิจารณญาณ
และคิดอย่างเป็นระบบ และมีระเบียบแบบแผน ลักษณะการคิดดังกล่าวทาให้มนุษย์สามารถวิเคราะห์ปัญหาและ
สถานการณ์ คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ และแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพ (สถาบันส่งเสริมการสอน
วทิ ยาศาสตร์ และเทคโนโลยี (สสวท.), 2555) ในปัจจุบันความต้องการใช้งานคณิตศาสตร์เปลี่ยนแปลงไปจากอดีต
เนอื่ งมาจากความเจริญของสังคม เช่น ในด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี เศรษฐกิจ อุตสาหกรรม การแพทย์ การใช้
งานของคณิตศาสตร์มีความซับซ้อนมากขึ้น ความรู้คณิตศาสตร์บางอย่างท่ีเรียนในอดีตก็อาจไม่จาเป็นสาหรับ
ปัจจุบัน เน่ืองจากมีเครื่องมือหรือเทคโนโลยีท่ีสามารถทางานแทนมนุษย์ได้ เช่น การใช้เครื่องคิดเลขหรือเคร่ือง
คานวณแทนการคิดคานวณด้วยมือ คณิตศาสตร์ในปัจจุบันจึงมีความหมายและขอบเขตของเนื้อหามากกว่าเรื่อง
ของตัวเลข และการคานวณ โดยมุ่งเน้นการเช่ือมโยงความรู้ในเนื้อหามาประกอบการคิดเพ่ือแก้ปัญหาอย่างมี
ประสิทธิภาพและสมเหตุสมผล ความสาเรจ็ ของการเรียนรู้คณิตศาสตร์จึงอยู่ที่ความสามารถในการนาคณิตศาสตร์
ไปใช้แก้ปัญหาได้จรงิ (อัมพร ม้าคนอง, 2557)

2. สมรรถนะประจาหน่วย
นาทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ไปประยุกต์ใชใ้ นการเรียนรสู้ ่งิ ต่างๆ

3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
จดุ ประสงคท์ ่ัวไป

1. เพือ่ ให้เกดิ ความคดิ รวบยอดเก่ียวกบั ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
2. เพอื่ ใหน้ าความรูเ้ ร่ืองทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้ในงานอาชพี
3. เพื่อให้มเี จตคติทดี่ ตี ่อการเรยี นรูท้ างคณิตศาสตร์
จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม
1. อธบิ ายลักษณะของวชิ าคณติ ศาสตร์ได้
2. จาแนกสมรรถภาพทางคณติ ศาสตร์ได้
3. นาทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรไ์ ปประยุกต์ใชใ้ นชวี ติ ประจาวนั ได้

4. สาระการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์มีบทบาทสาคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์และความเจริญก้าวหน้าของโลก มนุษย์ใช้
คณิตศาสตร์เปน็ พ้ืนฐานในการศึกษาวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยีและศาสตร์อื่นๆ รวมทั้งใช้คณิตศาสตร์เป็นเคร่ืองมือ
ในการพฒั นาการคดิ ท่หี ลากหลาย ทงั้ การคดิ วิเคราะห์ สังเคราะห์ คิดอย่างเป็นเหตุเป็นผล คิดอย่างมีวิจารณญาณ
และคิดอย่างเป็นระบบ และมีระเบียบแบบแผน ลักษณะการคิดดังกล่าวทาให้มนุษย์สามารถวิเคราะห์ปัญหาและ
สถานการณ์ คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ และแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพ (สถาบันส่งเสริมการสอน
วิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี (สสวท.), 2555) ในปจั จุบันความต้องการใช้งานคณิตศาสตร์เปล่ียนแปลงไปจากอดีต
เนอื่ งมาจากความเจริญของสังคม เช่น ในด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี เศรษฐกิจ อุตสาหกรรม การแพทย์ การใช้
งานของคณิตศาสตร์มีความซับซ้อนมากขึ้น ความรู้คณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียนในอดีตก็อาจไม่จาเป็นสาหรับ
ปัจจุบัน เน่ืองจากมีเครื่องมือหรือเทคโนโลยีท่ีสามารถทางานแทนมนุษย์ได้ เช่น การใช้เครื่องคิดเลขหรือเครื่อง
คานวณแทนการคิดคานวณด้วยมือ คณิตศาสตร์ในปัจจุบันจึงมีความหมายและขอบเขตของเนื้อหามากกว่าเรื่อง
ของตัวเลข และการคานวณ โดยมุ่งเน้นการเช่ือมโยงความรู้ในเน้ือหามาประกอบการคิดเพื่อแก้ปัญหาอย่างมี
ประสิทธภิ าพและสมเหตสุ มผล ความสาเรจ็ ของการเรียนร้คู ณิตศาสตรจ์ งึ อยทู่ ีค่ วามสามารถในการนาคณิตศาสตณ์
ไปใช้แกป้ ัญหาไดจ้ รงิ (อมั พร ม้าคนอง, 2557)
1.1 ลกั ษณะสาคัญของวชิ าคณติ ศาสตร์
ยพุ นิ พพิ ิธกลุ (2539) และ องั พร ม้าคนอง (2557) ได้กล่าวถึงลกั ษณะของวชิ าคณติ ศาสตร์ไวด้ งั นี้

1. คณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ีเก่ียวกับความคิด เราใช้คณิตศาสตร์พิสูจน์อย่างมีเหตุผลว่า ส่ิงท่ี
เราคดิ ข้ึนนน้ั เปน็ จรงิ หรือไม่ด้วยวิธคี ดิ เรากจ็ ะสามารถนาคณติ ศาสตร์ไปแกป้ ัญหาทางวิทยาศาสตร์ได้
คณิตศาสตร์ช่วยให้คนเป็นผู้ที่มีเหตุผล เป็นคนใฝ่รู้ ตลอดจนพยายามคิดสิ่งที่แปลกและใหม่
คณติ ศาสตรจ์ ึงเปน็ รากฐานแหง่ ความเจรญิ ของเทคโนโลยดี า้ นตา่ งๆ

2. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เก่ียวกับความคิดของมนุษย์ มนุษย์สร้างสัญลักษณ์แทนความคิด
น้ันๆ และสร้างกฎในการนาสัญลักษณ์มาใช้ เพ่ือสื่อความหมายให้เข้าใจตรงกัน คณิตศาสตร์จึงมี
ภาษาเฉพาะของตวั มนั เอง เปน็ ภาษาทกี่ าหนดขึน้ ดว้ ยสญั ลักษณท์ ่ีรัดกุม และสื่อความหมายได้ถูกต้อง
เป็นภาษาที่มีตัวอักษร ตัวเลข และสัญลักษณ์แทนความคิด เป็นภาษาสากลที่ทุกชาติท่ีเรียน
คณิตศาสตรจ์ ะเขา้ ใจตรงกนั เช่น x + 9 = 17 ทุกคนที่เข้าใจคณิตศาสตร์จะอ่านประโยคสัญลักษณ์น้ี
ได้ และเขา้ ใจความหมายตรงกนั

3. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีรูปแบบ (Pattern) เราจะเห็นว่าการคิดทางคณิตศาสตร์น้ัน
จะต้องมีแบบแผน มีรูปแบบ ไม่ว่าจะคิดเรื่องใดก็ตาม ทุกขั้นตอน จะตอบได้ และจาแนกออกมาให้
เห็นจรงิ เชน่
จานวนคู่ 2, 4, 6, 8, … เพ่ิมขน้ึ ทลี ะสอง
จานวนค่ี 1, 3, 5, 7, … เพม่ิ ขึ้นทีละสอง

จานวนจดุ 3 6 10
ทปี่ ระกอบเปน็ 1

4. คณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ีมีโครงสร้าง มีเหตุมีผล คณิตศาสตร์จะเริ่มต้นด้วยง่ายๆ ก่อนเช่น

เร่มิ ตน้ ดว้ ยอนิยาม ได้แก่ จดุ เส้นตรง ระนาบ เร่อื งงา่ ยๆ นจ้ี ะเป็นพน้ื ฐานนาไปสเู่ ร่ืองอื่นๆ ต่อไป เช่น
บทนยิ าม สัจพจน์ ทฤษฎบี ท การพิสูจน์

1.2 สมรรถภาพทางคณติ ศาสตร์ของผ้เู รยี น

อมั พร มา้ คะนอง (2557) และ สสวท. (2555) ได้กล่าวถึงสมรรถภาพทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน โดยจาแนกเป็น
3 ดา้ น คอื

1. ด้านความรู้ เป็นความรู้ความสามารถทางสติปัญญาของผู้เรียนในการทาความเข้าใจ

ความรทู้ างคณติ ศาสตร์ ท้ังความรู้เชิงมโนทัศน์ และความรู้เชิงข้ันตอน หรือกระบวนการที่ครอบคลุม
เน้อื หาคณิตศาสตรใ์ นสาระหลัก ไดแ้ ก่

-จาแนกและการดาเนินการ
-การวัด
-เรขาคณติ
-พีชคณติ
-การวิเคราะหข์ อ้ มูลและความนา่ จะเปน็

2. ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เป็นความสามารถหรือชานาญของผู้เรียน

ในการใช้ความรหู้ รอื การทางานทางคณติ ศาสตร์ ไดแ้ ก่
-การแกป้ ญั หา (Problem Solving)
-การใหเ้ หตุผล (Reasoning)
-การเชื่อมโยง (Connections)
-การส่ือ ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ (Communications and

presentations)
-การคิดรเิ ร่ิมสรา้ งสรรค์ (Creativity)

3. ด้านคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ เป็นคุณลกั ษณะที่มอี ยใู่ นตวั ผ้เู รยี น ได้แก่
-ความสามารถในการทางานเป็นระบบ
-ความมีระเบยี บวนิ ัย
-ความรอบคอบ
-ความรับผิดชอบ
-การมวี จิ ารณญาณ
-ความเช่อื ม่นั ในตนเอง
-ความตระหนกั ในคณุ ค่าของคณติ ศาสตร์
-การมเี จตคตทิ ่ดี ีตอ่ คณิตศาสตร์

1.3 ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์

สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (2555) ได้กล่าวถึงทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ว่า
เป็นความสามารถในการนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ไปประยุกต์ใช้ในการเรียนรู้ส่ิงต่างๆ หรือแก้ปัญหาใน

สถานการณ์ในสถานการณ์ที่เก่ียวข้องกับชีวิตประจาวันได้อย่างมีประสิทธิภาพ ทักษะและกระบวนการทาง
คณติ ศาสตรท์ ีจ่ าเป็นต่อการเรยี นรูค้ ณิตศาสตรต์ ามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาขั้นพืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551 มี 5
ประการ คอื

1. ความสามารถในการแก้ปัญหา
2. ความสามารถในการให้เหตุผล
3. ความสามารถในการสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณติ ศาสตรแ์ ละการนาเสนอ
4. ความสามารถในการเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และการเชื่อมโยง
คณติ ศาสตร์กับศาสตรอ์ ื่นๆ และ
5. ความสามารถในการคิดริเรม่ิ สร้างสรรค์
ส่วนสภาครูคณิตศาสตร์แห่งชาติ (National Council of Teachers of Mathematics หรือ NCTM, 2001) ได้
กาหนดมาตรฐานกระบวนการสาหรับการเรียนรู้คณิตศาสตร์ตั้งแต่นักเรียนระดับก่อนอนุบาล (Prekindergarten)
ไปจนถึงระดับชนั้ เกรด 12 ไว้ 5 ประการ คือ
1. การแก้ปญั หา (Problem Solving)
2. การใหเ้ หตผุ ลและการพิสจู น์ (Reasoning and Proof)
3. การสือ่ สาร (Communication)
4. การเชอ่ื มโยง (Connections)
5. การใช้ตัวแทน (Representation)

ใบปฏิบตั ิกิจกรรม ท่ี 1 หน่วยที่ 1

หลักสูตรประกาศนยี บตั รวชิ าชพี ช้ันสงู สอนครั้งที่ 1

รหสั วชิ า 3000 -1401 ชือ่ วิชาคณิตศาสตรเ์ พื่อพัฒนาทกั ษะการคดิ เวลา 1 ชม.
ชือ่ เรอื่ ง ความสาคัญของวิชาคณติ ศาสตร์

จุดประสงคเ์ ชงิ พฤติกรรม
1. อธิบายลกั ษณะของวชิ าคณติ ศาสตรไ์ ด้
2. จาแนกสมรรถภาพทางคณติ ศาสตรไ์ ด้
3. นาทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ไปประยกุ ต์ใชใ้ นชวี ิตประจาวนั ได้

สมรรถนะประจาหน่วย
นาทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรไ์ ปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการเรียนรู้ส่ิงต่างๆ

ข้ันตอนการปฏิบตั ิกิจกรรม

1. ครูแบ่งกลุ่มนักศึกษาออกเป็นกลุ่มละ 3-5 คน ให้ระดมสมองในเรื่อง “คณิตศาสตร์มี
ความสาคญั อยา่ งไรต่อนกั ศกึ ษาเอง” แล้วออกมานาเสนอหน้าชั้นเรยี น

2. ให้นักศึกษาตอบคาถามท่ีว่า “คณิตศาสตร์มีความสาคัญต่อสาขาวิชาท่ีตนเองเรียน
อย่างไร”

กรอบการจดั การเรยี นร้แู บบบูรณาการเปน็ เร่ือง/ช้นิ งาน/โครงการ
และบรู ณาการหลกั ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง

ความพอประมาณ

ให้นกั เรยี นทาแบบประเมินผล ใบงาน และกจิ กรรม
ใหพ้ อดีกบั เวลา และความสามารถของนกั เรยี นไม่มาก
ไมน่ อ้ ยเกินไป

ความมเี หตุผล หน่วยท่ี 2 การมีภูมิคมุ้ กัน

ให้นักเรียนอธบิ ายเหตผุ ลในการ การแกป้ ัญหาทาง ให้นักเรยี นเตรียมความพร้อมในการ
กระทาน้ัน ๆ ได้ และคานึงผลที่ คณิตศาสตร์ เรียน และเตรยี มตวั ท่ีพบสถานการณ์
คาดว่าจะเกิดขน้ึ จากการกระทา ตา่ ง ๆ ในอนาคต
น้ัน ๆ อย่างรอบคอบ
เง่อื นไขด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม
เงอ่ื นไขด้านความรู้และทกั ษะ คณุ ลักษณะทพ่ี ึงประสงค์

1. ความหมายของปญั หาทางคณิตศาสตร์ นกั เรยี นมีความขยนั อดทน ซื่อสัตย์ มีความ
2. ความหมายของการแก้ปญั หา ตรงต่อเวลา ในการนาความรู้คณติ ศาสตร์ไปใช้
3. ประเภทของปญั หา ในชีวติ ประจาวนั
4. กระบวนการแกป้ ัญหา
5. ความสามารถในการแก้ปญั หา
6. ยทุ ธวธิ ใี นการแกป้ ญั หา

ผลกระทบเพื่อความสมดลุ พรอ้ มรบั การเปลี่ยนแปลง

ด้านสงั คม ด้านเศรษฐกจิ ด้านวัฒนธรรม ด้านส่งิ แวดล้อม

1. รแู้ ละเขา้ ใจ 1.ให้นักเรียนทา ใบงาน 1.รู้และเข้าใจ การ 1.รู้และเขา้ ใจแหล่งเรียนรูใ้ น
กระบวนการทางานกลมุ่
และกจิ กรรม โดยการใช้ ชว่ ยเหลือแบง่ ปันซ่ึงกัน หอ้ งเรียน

วัสดุ อปุ กรณ์ ท่ี และกัน

มอบหมายอย่างประหยัด

แผนการจัดการเรยี นรู้ หนว่ ยท่ี 2

หลกั สูตรประกาศนยี บัตรวิชาชพี ช้ันสูง สอนครง้ั ท่ี 2-5

รหัสวิชา 3000 -1401 ช่ือวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ือพัฒนาทักษะการคิด ท-ป-น 3-0-3

ช่ือหน่วยการเรียนรู้ การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ทฤษฏี 3 ชว่ั โมง ปฏิบตั ิ 0 ชวั่ โมง

1. สาระสาคัญ
ในชีวิตประจาวันกิจกรรมที่เราทาอยู่เป็นประจา คือ การแก้ปัญหาท่ีเกิดข้ึนในชีวิตจริง เช่น ปัญหาการ

เดินทาง ปัญหาการเรียน ปัญหาการทางาน เป็นต้น ในบรรดาปัญหาเหล่าน้ันมีทั้งปัญหาท่ีเราสามารถแก้ได้ง่าย
โดยใช้ความรู้หรือประสบการณ์เดิมๆ และปัญหาท่ีมีความยุ่งยากซับซ้อนมาก จนเราไม่สามารถแก้ปัญหานั้นได้
ทันที ต้องอาศัยความรู้ ทักษะ และกระบวนการร่วมกับเทคนิควิธีหลายอย่างในการแก้ปัญหา ซ่ึงถ้าเรามีความรู้
หรือแหล่งความรู้ที่เพียงพอ เข้าใจข้ันตอน กระบวนการในการแก้ปัญหา มีเทคนิค/ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาที่
เหมาะสม ตลอดจนมีประสบการณ์ในการแก้ปัญหามาก่อน เราก็สามารถแก้ปัญหาน้ันได้ดีและมีประสิทธิภาพ
(สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2555.) ความคิดในการแกป้ ัญหา สามารถถ่ายโยงจากปัญหา
หนง่ึ ไปยงั อีกปญั หาหนึ่ง จากศาสตร์แขนงหน่งึ ไปยงั ศาสตรอ์ ีกแขนงหน่งึ ได้

2. สมรรถนะประจาหนว่ ย
แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้ยทุ ธวิธีต่างๆ

3. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
จุดประสงคท์ ั่วไป
4. เพ่ือใหเ้ กดิ ความคิดรวบยอดเกยี่ วกบั ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
5. เพ่ือใหน้ าความร้เู รื่องทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรป์ ระยกุ ต์ใช้ในงาน
6. เพื่อให้มีเจตคติท่ีดตี ่อการเรียนรทู้ างคณิตศาสตร์
จดุ ประสงค์เชิงพฤตกิ รรม
4. สรปุ ความหมายของปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้
5. สรปุ ความหมายของการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ได้
6. จาแนกประเภทของปญั หาได้
7. วิเคราะหป์ จั จยั ต่างๆ ที่มผี ลกับความสามารถในการแกป้ ัญหาได้
8. นากระบวนการแก้ปญั หาไปประยุกต์ใชใ้ นชีวติ ประจาวนั ได้
9. แก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ด้วยยทุ ธวธิ กี ารเดาและตรวจสอบได้
10. แกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์ดว้ ยยทุ ธวิธแี ผนภาพ แผนภมู ิ และการสรา้ งแบบจาลอง
11. แกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตรด์ ว้ ยยุทธวธิ กี ารสร้างตารางได้
12. แกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตรด์ ว้ ยยุทธวธิ ใี ชต้ ัวแปรได้
13. แก้ปญั หาทางคณิตศาสตรด์ ้วยยทุ ธวธิ ีคน้ หารูปแบบได้

4. สาระการเรยี นรู้
ในชีวิตประจาวันกิจกรรมท่ีเราทาอยู่เป็นประจา คือ การแก้ปัญหาที่เกิดข้ึนในชีวิตจริง เช่น ปัญหาการเดินทาง
ปัญหาการเรียน ปัญหาการทางาน เป็นต้น ในบรรดาปัญหาเหล่านั้นมีท้ังปัญหาที่เราสามารถแก้ได้ง่าย โดยใช้
ความร้หู รือประสบการณเ์ ดิมๆ และปญั หาที่มคี วามยุ่งยากซับซ้อนมาก จนเราไม่สามารถแก้ปัญหาน้ันได้ทันที ต้อง
อาศัยความรู้ ทักษะ และกระบวนการร่วมกับเทคนิควิธีหลายอย่างในการแก้ปัญหา ซึ่งถ้าเรามีความรู้หรือแหล่ง
ความรู้ที่เพียงพอ เข้าใจข้ันตอน กระบวนการในการแก้ปัญหา มีเทคนิค/ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาที่เหมาะสม
ตลอดจนมีประสบการณ์ในการแก้ปัญหามาก่อน เราก็สามารถแก้ปัญหาน้ันได้ดีและมีประสิทธิภาพ (สถาบัน
สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2555.) ความคิดในการแก้ปัญหา สามารถถ่ายโยงจากปัญหาหน่ึงไป
ยังอกี ปญั หาหนึง่ จากศาสตร์แขนงหนึ่งไปยงั ศาสตรอ์ ีกแขนงหนึ่งได้

ความสาคัญของการแกป้ ัญหา สรุปไดด้ งั นี้ (มหาวทิ ยาลยั สุโขทัยธรรมาธริ าช, 2537)
2.1.1 การแกป้ ญั หาเปน็ ความสามารถขน้ั พ้นื ฐานของมนษุ ย์ ในชีวิตประจาวันของมนุษย์เรานั้น

ต้องพบกับปัญหาและอุปสรรค์มากมาย ความเจริญก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีทาให้
สภาพแวดล้อมและสังคมเปลี่ยนแปลงไป มนุษย์จาต้องใช้ความสามารถในการคิดแก้ปัญหาอยู่ตลอดเวลา
เพอ่ื ใหส้ ามารถปรบั ตวั อยู่ในสงั คมได้

2.1.2 การแก้ปัญหาทาให้เกิดการค้นพบความรู้ใหม่ การคิดแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์นั้น
ก่อให้เกิดการค้นพบสาระความรู้ใหม่ ๆ ทาให้วิชาคณิตศาสตร์มีการพัฒนา เช่น ความพยายามของนัก
คณิตศาสตร์หลายท่านในการพิสูจน์สัจพจน์ การขนานในเรขาคณิตของยูคลิด มีอิทธิพลต่อการพัฒนา
เรขาคณติ แขนงใหม่ๆ มาก เชน่ เรขาคณติ นอกระบบยูคลดิ
เม่ือพบปัญหา ความพยายามท่ีจะคิดแก้ปัญหา จะก่อให้เกิดการพัฒนากระบวนการทางความคิดเป็น
ประสบการณ์ใหม่ ซ่งึ เมอื่ ผสมผสานกับประสบการณเ์ ดมิ จะกอ่ ให้เกิดสาระความรู้ใหม่ ทัง้ ในเชงิ เนื้อและวิธกี าร
จากความสาคญั ของการแก้ปัญหาดังกล่าว นักศึกษาทุกคนจึงจาเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องศึกษาเทคนิควิธีการ
แก้ปัญหาต่างๆ และหม่นั ฝกึ ฝนแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตรใ์ หม้ ากพอและฝกึ ฝนใหเ้ ปน็ ประจา

2.2 ความหมายของปญั หาทางคณิตศาสตร์
นักการศึกษาหลายท่านได้ให้ความหมายของ “ปญั หาทางคณติ ศาสตร์” ไวด้ งั นี้
แฮนเดอร์สัน และพินกรี (Handerson and Pingry, 1973. อ้างถึงในมหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช,

2537) กล่าวว่า ปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง สถานการณ์หรือคาถามท่ีต้องการหาคาตอบ ซ่ึงผู้แก้ปัญหาจะ
แกป้ ญั หาได้ตอ้ งใชว้ ิธีการทเ่ี หมาะสม ตอ้ งใช้ความรู้ ประสบการณ์ และการตัดสินใจ ปัญหาจะมีความสัมพันธ์กับผู้
แกป้ ญั หา สถานการณห์ น่งึ อาจเป็นปญั หาสาหรับบคุ คลหนึง่ แตอ่ าจไมเ่ ปน็ ปญั หาสาหรับบุคคลอน่ื กไ็ ด้

คูอิคแชงค์ และเชฟฟิลด์ (Cruikshank and Seffield, 1992) อ้างถึงในมหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช,
2537) กล่าวว่า ปัญหาน่าจะหมายถึง คาถาม หรือสถานการณ์ท่ีทาให้เกิดความงุนงง ปัญหาจะเป็นคาถามหรือ
สถานการณ์ซง่ึ ไมส่ ามารถหาคาตอบได้ในทันทีทนั ใด หรือไม่สามารถทราบวิธีหาคาตอบได้อย่างรวดเร็ว ปัญหาทาง
คณิตศาสตร์จะมีเน้ือหาสาระเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ แต่ไม่ได้หมายความว่าจะเกี่ยวข้องกับจานวนเท่าน้ัน ปัญหา

คณิตศาสตร์บางปัญหาเป็นปัญหาที่เก่ียวกับสมบัติทางกายภาพ หรือการให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ โดยท่ีไม่
เก่ยี วข้องกบั จานวน

ศศิธร แม้สงวน (2555) กล่าวว่า ปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง สถานการณ์ท่ีเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ซ่ึง
เผชญิ อย่แู ละต้องการคน้ หาคาตอบโดยที่ยงั ไม่รูว้ ธิ กี ารหรือข้นั ตอนที่จะได้คาตอบของสถานการณ์นัน้ ในทนั ที

จากท่กี ลา่ วมาพอสรุปความหมายของปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ว่า “เป็นสถานการณ์เก่ียวกับคณิตศาสตร์
ท่ีผู้แก้ปัญหาไม่คุ้นเคยมาก่อน ไม่สามารถหาคาตอบได้ทันทีทันใด ต้องใช้ทักษะความรู้และประสบการณ์หลายๆ
อย่างมาช่วยในการแก้ปัญหา คาตอบของปัญหาอาจจะอยู่ในรูปปริมาณหรือจานวน หรือคาอธิบายให้เหตุผล และ
สงิ่ ท่เี ปน็ ปัญหาของคนหนึ่งอาจจะไม่เปน็ ปญั หาสาหรับอีกคนหนง่ึ ก็ได้
2.3 ความหมายของการแก้ปัญหา

เคนเนด้ี (Kennedy, 1994. อา้ งถึงใน ศิศิธร แม้นสงวน, 2555) ได้กล่าวถึงการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
ว่า เป็นการแสดงออกเฉพาะของบุคคลในการตอบสนองสถานการณ์ท่ีเป็นปัญหาด้วยข้ันตอนตามสถานการณ์นั้น
ในทนั ที

สภาครูคณิตศาสตร์แห่งชาติของสหรัฐอเมริกา (NTCM., 2000) กล่าวว่า การแก้ปัญหา คือ การทางานท่ี
ยังไม่รู้วิธีการที่ได้มาซึ่งคาตอบในทันที ซึ่งการคาตอบของผู้แก้ปัญหาต้องนาความรู้ท่ีมีอยู่เข้าไปสู่กระบวนการ
แก้ปัญหา เพ่ือทีจ่ ะทาให้เกิดความรู้ใหมๆ่

โพลยา (Polya, 1980. อ้างถึงในมหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช, 2537) กล่าวว่า การแก้ปัญหาเป็นการ
หาวถิ ที างทจ่ี ะทาสงิ่ ท่ไี ม่รู้ในปญั หา เปน็ การหาวิธที ่ีจะนาส่ิงท่ยี ุ่งยากออกไป หาวิธีการท่ีจะเอาชนะอุปสรรคที่เผชิญ
อยู่ เพอื่ จะให้ไดข้ อ้ ลงเอย หรือคาตอบทม่ี ีความชดั เจน แต่ว่าส่งิ เหล่านี้มิไดเ้ กิดขนึ้ ได้อยา่ งทนั ทีทันใด

จากที่กล่าวมาพอสรุปความหมายของการแกป้ ญั หาของคณติ ศาสตร์ได้ว่า เป็นกระบวนการเพ่ือให้ได้มาซึ่ง
คาตอบของปัญหา โดยท่ีผแู้ ก้ปญั หาจะตอ้ งใช้ความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ยุทธวิธีแก้ปัญหาและประสบการณ์เดิมที่มีอยู่
ไปใชใ้ นการคน้ หาคาตอบของปญั หาทางคณติ ศาสตร์
2.4 ประเภทของปัญหา

โพลยา (Polya, 1973. อ้างถึงในมหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช, 2537) ได้แบ่งประเภทของปัญหา
คณติ ศาสตร์ออกเปน็ 2 ประเภท โดยพิจารณาจากจุดประสงคข์ องปัญหา ดงั น้ี

2.4.1 ปัญหาให้ค้นหา (Problem to Find) อาจเป็นปัญหาในเชิงทฤษฎีหรือในเชิงปฏิบัติก็ได้
เปน็ ปัญหาท่ีมจี ุดประสงคใ์ หค้ ้นหาคาตอบท่ีต้องการ ซ่ึงอาจอยู่ในรูปปริมาณหรือจานวน เป็นปัญหาให้หา
วิธีการหรือหาเหตผุ ลก็ได้ ปัญหาให้คน้ หามสี ่วนสาคญั แบง่ ได้เป็น 3 สว่ น คอื

1) สงิ่ ทต่ี ้องการหา
2) สง่ิ ที่กาหนดให้
3) เง่อื นไขเชื่อมโยงระหวา่ งส่ิงทต่ี ้องการหากบั สงิ่ ท่ีกาหนดให้
2.4.2 ปัญหาให้พิสูจน์ (Problem to Prove) ปัญหาประเภทน้ีมีจุดประสงค์ให้แสดงการให้
เหตุผลว่า “ข้อความท่กี าหนดให้เป็นจรงิ ” หรือ “ขอ้ ความที่กาหนดให้เป็นเท็จ” ปัญหาให้พิสูจน์ส่วนใหญ่
จะอยู่ในรปู “ถา้ p แล้ว q” สว่ นสาคัญของปัญหาใหพ้ ิสูจนส์ ามารถแบ่งไดเ้ ป็น 2 สว่ น คอื
1) สิ่งทก่ี าหนดใหห้ รอื สมมตฐิ าน
2) สิง่ ท่ตี ้องพิสูจนห์ รอื ผลสรปุ

2.5 กระบวนการแกป้ ัญหา

สสวท. (2555) ได้กล่าวว่า การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เป็นทักษะและกระบวนการอย่างหน่ึง ดังน้ัน
นักศึกษาจาเป็นต้องเข้าใจถึงข้ันตอนหรือกระบวนการในการแก้ปัญหา แม้ว่ามีบางคนท่ีสามารถดาเนินการ

แก้ปัญหาด้วยตนเองได้ แต่มีนักศึกษาจานวนไม่น้อยท่ีไม่ทราบว่า ควรจะเริ่มต้นแก้ปัญหาน้ันอย่างไร และจะ

ดาเนินการแก้ปัญหาต่อไปอย่างไร ท้ังน้ีสืบเน่ืองมาจากนักศึกษาไม่มีความรู้เก่ียวกับข้ันตอนหรือกระบวนการ
แก้ปัญหาทถี่ ูกต้อง

กระบวนการแก้ปัญหามีอยู่หลากหลาย ในท่ีน้ีจะนาเสนอกระบวนการแก้ปัญหาท่ีนิยมใช้ในการเรียนการ

สอนคณิตศาสตร์ เน่ืองจากมีข้ันตอนในการดาเนินการไม่ซับซ้อน และเป็นท่ีนิยมใช้กันอย่างแพร่หลา ย คือ
กระบวนการแก้ปัญหาตามแนวคิดของโพลยา (Polya) ซ่ึงประกอบด้วย ขั้นตอนสาคัญ 4 ข้ันตอน ดังนี้

(มหาวิทยาลยั สุโขทัยธรรมาธิราช, 2555 และ สสวท. 2555)

ขน้ั ที่ 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา
ข้ันตอนนี้เปน็ ข้ันเริ่มต้นของการแก้ปัญหาท่ีต้องการให้ผู้เรียนคิดเก่ียวกับปัญหาและตัดสินใจว่าอะไรคือสิ่ง

ทต่ี อ้ งการคน้ และระบุส่วนสาคัญของปญั หา ซ่ึงได้แก่ ถา้ ไม่ทราบคา่ ขอ้ มูลและเง่อื นไข ในการทาความเข้าใจปัญหา

ผู้เรียนอาจพิจารณาส่วนสาคัญของปัญหาอย่างถ่ีถ้วน พิจารณาซ้าไปซ้ามา พิจารณาในหลากหลายมุมมอง หรือ
อาจใช้วิธีต่างๆ ช่วยในการทาความเข้าใจปัญหา เช่น การเขียนรูป การเขียนแผนภูมิ และการเขียนปัญหาท่ี

กาหนดใหใ้ หม่ดว้ ยถ้อยคาของผู้แกป้ ญั หาเอง เปน็ วธิ ีหน่ึงที่จะทาใหผ้ ูแ้ ก้ปัญหามคี วามเขา้ ใจดีขนึ้

ในขนั้ ตอนทจ่ี ะทาโพลยานี้ ผู้แก้ปัญหาจะต้องตอบคาถามต่อไปนี้ให้ได้ เชน่
- ปัญหาตอ้ งการอะไร
- ปัญหาชดั เจนหรือไม่
- ปัญหากาหนดข้อมูลอะไรใหบ้ ้าง
- ข้อมลู ทกี่ าหนดใหพ้ อเพยี งหรอื ไม่
- มขี ้อมลู อะไรที่เกี่ยวขอ้ ง
- มขี อ้ มูลอ่ืนๆ ทตี่ อ้ งการเพิม่ เตมิ หรือไม่
- ขอ้ มลู ตา่ งๆ ทก่ี าหนดมีความสัมพนั ธ์เกย่ี วข้องกันอยา่ งไร
- มขี อ้ ตกลงอะไรอยู่เบ้อื งหลังบ้าง
- มีคาศัพท์เฉพาะ บทนิยาม ความคิดรวบยอด กฎ สูตร ทฤษฎีท่ีต้องการคาอธิบาย

เพมิ่ เตมิ หรอื ไม่
- คาตอบของปัญหาจะอยู่ในรูปแบบใด เช่น คาตอบเป็นจานวน อยู่ในรูปของกฎ สูตร

หรือความรู้ทว่ั ไป หรือคาตอบตอ้ งการคาอธิบายให้เหตุผล

ในขั้นตอนตามแนวคดิ ของโพลยาจะตอ้ งระบุประเภทของปญั หาใหไ้ ดว้ ่า เปน็ ปญั หาให้ค้นหาหรือปัญหาให้
พิสจู น์ พร้อมทงั้ แยกส่วนสาคัญของปัญหาออกได้ โดยเฉพาะสว่ นทปี่ ญั หาต้องการ และส่วนท่ปี ญั หากาหนดให้

ขนั้ ที่ 2 ขัน้ วางแผน

ขั้นตอนนี้ต้องการให้ผู้แก้ปัญหาค้นหาความเช่ือมโยงหรือความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลและตัวไม่ทราบค่า
(ส่งิ ทตี่ อ้ งการหา) โดยการพยามยามอธบิ ายส่ิงต่อไปนี้

1. เคยเหน็ ปัญหาน้ีมาก่อนหรือไม่ หรือเคยเห็นปัญหาที่คล้ายคลึงกับปัญหานี้แตกต่างกันที่
รปู แบบมาก่อนหรอื ไม่ หรอื เคยเหน็ ปญั หาทค่ี ล้ายคลงึ กับปญั หานีแ้ ตกต่างกนั ท่รี ปู แบบมาก่อนหรือไม่

2. รูจ้ ักปญั หาทสี่ ัมพันธ์กบั ปัญหานไี้ หม รู้จักทฤษฎีซ่ึงสามารถนามาใชป้ ระโยชน์หรอื ไม่
3. พิจารณาสิ่งที่ไม่ทราบในปัญหาและพยายามนึกถึงปัญหาท่ีคุ้นเคย ซ่ึงมีส่ิงที่ไม่ทราบ
เหมือนกนั หรือคลา้ ยคลงึ กนั
4. ปัญหาน้ีสัมพันธ์กับปัญหาท่ีเคยมีประสบการณ์ในการแก้มาก่อนหรือไม่ สามารถนา
ประสบการณ์เหล่านั้นมาใช้แก้ปญั หานไ้ี ด้หรือไม่
5. พิจารณาปัญหานี้ใหม่อีกคร้ัง พิจารณาว่ายังคงแตกต่างจากปัญหาท่ีเคยมีประสบการณ์
มาก่อนหรอื ไม่
6. ใชข้ ้อมูลที่กาหนดให้ท้ังหมดหรือไม่ ใช้เง่ือนไขท้ังหมดหรือไม่ ได้แจกแจงรายการของสิ่ง
ท่ีเป็นสารประโยชน์เพื่อพาดพิงไปยงั ตัวปัญหาหรือไม่
ข้ันวางแผนเป็นข้ันตอนที่ผู้แก้ปัญหาพิจารณาความสัมพันธ์ของส่ิงต่างๆ ในปัญหาผสมผสานกับ
ประสบการณ์เดิมในการแก้ปัญหาที่ผู้แก้ปัญหามีอยู่ กาหนดเป็นวิธีการและเทคนิคหรือที่เรียกกันท่ัวไปว่า ยุทธวิธี
(Strategy) ในการแก้ปญั หา ยทุ ธวธิ ีในการแก้ปัญหา โพลยาเรียกว่า “Heuristics” เปรียบเสมือนเป็นเครื่องช้ีแนะ
หรอื เป็นเครื่องนาทางช่วยในการแกป้ ญั หา
ยทุ ธวิธใี นการแกป้ ัญหามีอยู่หลายแบบ เช่น ยุทธวิธีเดาและตรวจสอบ ยุทธวิธีเขียนภาพ แผนภูมิ ยุทธวิธี
สรา้ งตาราง ยุทธวิธีใช้ตวั แปร เป็นต้น ซ่งึ รายละเอยี ดของแตล่ ะยทุ ธวธิ จี ะไดก้ ล่าวถงึ ในตอนตอ่ ไป
ขนั้ ที่ 4 การดาเนนิ การตามแผน
เป็นข้ันตอนที่ผู้แก้ปัญหาลงมือปฏิบัติตามแนวทางหรือแผนที่วางไว้ ซ่ึงต้องมีการตรวจสอบเพิ่มเติม
รายละเอียดของขั้นตอนต่างๆ จากแผนให้สมบูรณ์ชัดเจน หลังลงมือปฏิบัติจนกระท่ังหาคาตอบได้ ถ้าแผนหรือ
ยุทธวิธีท่ีเลือกไว้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้ ต้องค้นหาสาเหตุและใช้ประโยชน์จากความผิดพลาดคร้ังแรกๆ ในการ
แก้ปัญหาครั้งใหม่ ผู้แก้ปัญหาต้องไม่กลัวการเริ่มต้นใหม่ ความผิดพลาดในครั้งแรกจะช่วยจุดประกายความคิดใน
การหายุทธวธิ ใี หม่ ซง่ึ จะนาไปส่คู วามสาเร็จ
ขัน้ ที่ 4 ตรวจสอบผล
เมอ่ื แกป้ ญั หาจนไดค้ าตอบของปญั หาแลว้ ยังไม่อาจถือว่าสนิ้ สุดกระบวนการแก้ปัญหา ผู้แก้ปัญหาต้องมอง
ย้อนกลับไปยังคาตอบท่ีได้มาโดยเร่ิมจากการตรวจสอบความถูกต้อง ความสมเหตุสมผลของคาตอบและยุทธวิธี
แก้ปัญหาท่ีใช้แล้วพิจารณาว่ามีคาตอบหรือมียุทธวิธีแก้ปัญหาอย่างอ่ืนอีกหรือไม่ สาหรับผู้แก้ปัญหาท่ีคาดเอา
คาตอบก่อนลงมือปฏิบัติ ก็สามารถเปรียบเทียบหรือตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคาตอบที่คาดเดา และ
คาตอบจริงในขั้นตอนนี้ได้ กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยาท้ัง 4 ขั้นตอนท่ีกล่าวมา สามารถเขียนแสดงด้วย
แผนภมู ิตอ่ ไปนี้

กระบวนการแกป้ ัญหาตามแนวคดิ ของโพลยา หลายคนมักมองว่าจะต้องดาเนินการทาทลี ะขน้ั ตอน เป็น
กระบวนการทด่ี าเนินการในลักษณะเสน้ ตรง (Linear) ไม่สามารถขา้ มขัน้ ได้

วลิ สัน (Wilson) และคณะ ได้เสนอแนะกรอบแนวคดิ เก่ียวกับกระบวนการแกป้ ญั หาทีแ่ สดงความเปน็
พลวตั มีลาดบั ไม่ตายตวั ดังแผนภาพต่อไปนี้

เนือ่ งจากกระบวนการแก้ปัญหาตามแนวคิดของวิลสันและคณะเป็นการดาเนนิ การทีเ่ กดิ ข้ึนไดใ้ นการ
แก้ปญั หาในชวี ติ จรงิ ดังนน้ั นักศึกษาจึงไม่จาเป็นต้องเร่มิ ต้นใหมใ่ นข้นั ทาความเขา้ ใจปญั หาเสมอไป เรียก
กระบวนการแก้ปัญหานว้ี ่า เป็นกระบวนการแก้ปัญหาทีเ่ ป็นพลวัต (Dynamic)
2.6 ความสามารถในการแก้ปัญหา

ความสามารถในการแก้ปญั หาของผเู้ รียนขึ้นอยู่กบั ปจั จยั หลายปัจจัยดงั ตอ่ ไปนี้ (สสวท., 2555)
1. ความสามารถในการทาความเขา้ ใจปัญหา เปน็ ความสามารถในการใชค้ วามรู้ความเข้าใจ

ทมี่ ีอยู่มาใชแ้ ปลความ ตคี วาม หรือวิเคราะห์ เพ่อื ให้มีความเข้าใจในปัญหา รวมถึงการเลือกใช้เทคนิค
หรอื ยทุ ธวิธที ่ีจะช่วยทาให้ปัญหามีความชัดเจนมากขน้ึ ซงึ่ จะนาไปสแู่ นวทางในการหาคาตอบ

2. ความรู้พื้นฐาน ความรู้พ้ืนฐานทางคณิตศาสตร์ท่ีผู้เรียนอยู่ เป็นสิ่งสาคัญท่ีจะทาให้
ผู้เรียนคิดและหาวิธีแก้ปัญหา ผู้เรียนท่ีมีความรู้พื้นฐานดี จะสามารถเช่ือมโยงความรู้ท่ีมีไปใช้ในการ
แก้ปัญหาได้อย่างหลากหลายและมปี ระสทิ ธิภาพ

3. ประสบการณ์ในการแก้ปัญหา ผู้เรียนท่ีมีประสบการณ์ในการแก้ปัญหามักจะระลึกถึง
ข้ันตอนและวิธีการแก้ปัญหา รวมถึงกลวิธีแก้ปัญหาได้หลากหลาย ทาให้สามารถตัดสินใจเลือกใช้วิธี
แก้ปัญหาทีม่ ีประสทิ ธภิ าพไดอ้ ย่างรวดเร็ว

4. เจตคติต่อการแก้ปัญหา ผู้เรียนท่ีมีเจตคติที่ดีต่อการแก้ปัญหา จะมีความพยายามและ
ความอดทนในการแก้ปัญหา ซึ่งในกระบวนการแก้ปัญหาน้ัน ไม่ว่าจะได้คาตอบหรือไม่ ผู้เรียนจะได้
เรียนรู้และพฒั นาประสบการณจ์ ากการคิดและการทางานเพอื่ แก้ปัญหา

ตัวอยา่ งต่อไปนี้เปน็ การแสดงกระบวนการแกป้ ญั หาตามแนวคิดของโพลยา

ตัวอยา่ งท่ี 1 ชื่อปัญหาชิงช้าสวรรค์ ; จงเติมจานวนนับ 1 ถึง 7 ลงใน เพื่อทาให้ผลบวกของจานวนสาม
จานวนในแต่ละแนวเท่ากนั

วธิ แี กป้ ัญหา ซ่งึ อยู่ใน
1. ทาความเข้าใจปญั หา
1.1 ทาความเข้าใจคาบางคา
จานวนนบั 1 ถงึ 7 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

จาแนกสามจานวนท่ีอยใู่ นแนวเดยี วกัน คอื จานวนสามจานวนทอ่ี ยู่ในตาแหน่ง
แนวเสน้ ตรงเดียวกัน จะมีอยู่ทง้ั หมด 3 แนว ทุกแนวจะมีจานวนในตาแหน่งตรงกลางร่วมกัน

1.2 สิง่ ทกี่ าหนดให้ คือ จานวนนับ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และแผนภาพ

สงิ่ ท่ตี อ้ งการหา คือ ให้เติมจานวนนับท่ีกาหนดให้ลงใน บนแผนภาพช่องละ 1 จานวน โดย
ไม่ซา้ กนั

เง่อื นไข เม่ือเติมแล้วต้องทาใหผ้ ลบวกของจานวนสามจานวนท่อี ยูใ่ นแนวเสน้ ตรงเดียวกันมคี ่า
เทา่ กันทุกแนว

2. วางแผน เมอ่ื หาผลบวกของจานวนสามจานวนในแต่ละแนว จานวนทมี่ ีตาแหนง่ อย่ใู น
วงกลมตรงกลางจะต้องถูกนาไปบวกดว้ ยทั้งสามแนว ดงั นั้น จานวนท่มี ตี าแหนง่ อยู่ตรงกลางวงกลมน้ี
จะต้องเป็นจานวนท่ที าใหจ้ านวนอีก 6 จานวนทเ่ี หลือสามารถจับเป็นคๆู่ ได้ โดยทีผ่ ลบวกของแต่ละค่มู ีคา่
เท่ากัน

ใชย้ ทุ ธวิธเี ดาและตรวจสอบ
3. ดาเนินการตามแผน ให้ 4 เป็นจานวนทม่ี ีตาแหนง่ อยู่ในวงกลมตรงกลาง จานวนที่เหลือ

จะจับคูก่ ันได้ 3 คู่ โดยทีแ่ ต่ละคู่มผี ลบวกเทา่ กัน ดังนี้

จานวนแต่ละค่จู ะมีตาแหน่งอยู่ในวงกลมท่ีอยู่ตรงข้ามกนั ได้คาตอบของปัญหา ดังน้ี

4. ข้นั ตรวจสอบ
4.1 ตรวจสอบกระบวนการแก้ปัญหา

1 + 4 + 7 = 12
2 + 4 + 6 = 12
3 + 4 + 6 = 12
เทา่ กันทั้งสามแนว
ยงั มคี าตอบอืน่ ๆ อีกหรอื ไม่
ถา้ ให้ 1 และ 7 แลว้ แตก่ รณเี ป็นจานวนท่อี ยู่ในตาแหนง่ วงกลมตรงกลาง กจ็ ะทาให้จานวน 6
จานวน ท่เี หลือสามารถจดั เป็นคู่ ใหแ้ ตล่ ะคมู่ ผี ลบวกเทา่ กนั ได้ ดงั นี้

ได้คาตอบของปัญหาดังนี้

ผลบวกแตล่ ะแนวเท่ากบั 10 ผลบวกแตล่ ะแนวเทา่ กบั 14

จานวนอน่ื ทเี่ หลอื ไม่สามารถจะอยใู่ นตาแหนง่ วงกลมตรงกลางได้ เช่น 2 เพราะจานวนอีก 6

จานวนที่เหลือไม่สามารถจัดเปน็ คๆู่ 3 คู่ ให้แตล่ ะคู่มผี ลบวกเท่ากันได้

ดงั นั้น มคี าตอบเพียง 3 คาตอบเท่านน้ั

4.2 พัฒนากระบวนการแกป้ ัญหา อาจสร้างปญั หาขึ้นใหมโ่ ดยใช้ความคิดพน้ื ฐานในการ

แกป้ ัญหาเชน่ เดียวกับปัญหาชิงชา้ สวรรค์นี้ หลงั จากทน่ี ักศึกษาได้ศึกษากระบวนการแกป้ ัญหาของโพลยา

แล้ว นักศึกษาสามารถเรียนรู้ยุทธวธิ ีหรือกลยุ ทุ ธใ์ นการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้อยา่ งหลากหลาย

ปัญหาทางคณิตศาสตรป์ ัญหาหนึง่ ๆ สามารถแก้ได้โดยใช้ยุทธวิธที ี่หลากหลาย ใชย้ ทุ ธวิธใี ดยทุ ธวธิ ีหนึ่ง

หรือใชม้ ากวา่ 1 ยทุ ธวิธปี ระกอบกันกไ็ ด้ นักแกป้ ัญหาที่ดจี ะต้องเรียนรู้ใหม้ ีความเข้าใจยทุ ธวิธใี นการ

แก้ปญั หาต่างๆ อย่างลกึ ซ้งึ และต้องสะสมยุทธวธิ ีไว้มากๆ เพอ่ื การเลือกนามาใช้

2.7 ยทุ ธวธิ ใี นการแก้ปญั หา
มหี ลากหลายยุทธวธิ ี ยทุ ธวธิ ีท่จี ะนาเสนอตอ่ ไปนเี้ ป็นยทุ ธวิธที ีพ่ บบอ่ ยๆ ในคณิตศาสตร์ มีดังนี้
2.7.1 การเดาและตรวจสอบ
2.7.2 การเขยี นแผนภาพ แผนภมู ิ และการสร้างแบบจาลอง
2.7.3 การสร้างตาราง
2.7.4 การใช้ตวั แปร (การเขียนสมการ)

2.7.5 การคน้ หารูปแบบ
2.7.6 การแบ่งเปน็ กรณี
2.7.7 การทาย้อนกลับ
2.7.8 การให้เหตผุ ลทางตรรกศาสตร์

2.7.1 ยุทธวธิ กี ารเดาและตรวจสอบ
ยุทธวิธีการเดาและตรวจสอบเป็นยุทธวิธีพื้นฐานที่เรานามาใช้แก้ ปัญหาอยู่เสมอการเดาและ
ตรวจสอบ เปน็ การพจิ ารณาขอ้ มูลและเง่ือนไขต่างๆ ที่ปัญหากาหนดผสมผสานกับประสบการณ์เดิมท่ีเก่ียวข้องมา
สรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ แลว้ ตรวจสอบความถูกต้องของข้อความคาดการณ์นั้น ถ้าการคาดเดาไม่ถูกต้องก็คาดเดา
ใหม่ โดยอาศัยประโยชน์จากความไม่ถูกต้องของการคาดเดาในคร้ังแรก ๆ เป็นกรอบในการคาดเดาคาตอบของ
ปญั หาคร้ังต่อไป ดงั ตวั อยา่ ง
ตัวอยา่ งท่ี 1

1) เดา

2) ตรวจสอบ

3) ปรับแก้ (เดาใหม)่

ตวั อยา่ งที่ 2

1) เดา

2) ตรวจสอบ

3) ปรบั แก้ (เดาใหม)่

4) ตรวจสอบ

5) ปรบั แก้ (เดาใหม่)

6) ตรวจสอบ

7) ปรบั แก้ (เดาใหม่)

8) ตรวจสอบ

จากตัวอย่างน้ีจะเห็นว่าผู้แก้ปัญหาเดาถึง 4 ครั้งจึงจะบรรลุผล สาหรับผู้แก้ปัญหาบางคนที่มี
เทคนิคในการเดา เช่น หาจานวนใดจานวนหน่ึงมาคูณหลักสิบของตัวหารก่อน (จานวนใดท่ีคูณกับ 4 แล้วไม่เกิน
32 และใกลเ้ คียงกับ 32) จะทาให้จานวนคร้งั ในเดาลดนอ้ ยลง ซ่งึ จะสง่ ผลให้ได้คาตอบเรว็ ขนึ้
ตัวอย่างท่ี 3 มนัสวีซ้ือขนมปังสองชนิดเพ่ือมาขายในงานโรงเรียน เขาตั้งราคาขายขนมปังชนิดแรกในราคาช้ินละ

10 บาท และชนดิ ทส่ี องในราคาชน้ิ ละ 15 บาท ถ้าเขาขายขนมปงั ชนดิ แรกไปจานวนหน่ึง ขายชนิดที่
สองไปอีกเป็นจานวนครึ่งหน่ึงของจานวนขนมปังชนิดแรก และได้เงินรวมทั้งสิ้น 875 บาท จงหาว่า
เขาขายขนมปังแตล่ ะชนิดไปอยา่ งละกีช่ ิ้น
วธิ ที า ในการแกป้ ัญหาน้ี ถา้ นักเรียนไม่มีความรู้พื้นฐานในเรื่องสมการเพียงพอ อาจแก้ปัญหาโดยใช้ยุทธวิธี
การเดาและตรวจสอบได้ ดังนี้
เน่ืองจากมนัสวีขายขนมปังได้เป็นจานวนเงินรวม 875 บาท ซ่ึง 875 เป็นจานวนค่ี และจานวนขนม
ปงั ชนดิ ทส่ี องที่ขายชิ้นละ 15 บาท เปน็ ครึ่งหนง่ึ ของจานวนขนมปงั ชนิดแรก
ดงั นัน้ จานวนขนมปงั ชนิดแรกท่ีขายในราคาชนิ้ ละ 10 บาท ต้องเป็นจานวนคู่
เนือ่ งจาก 875 เปน็ จานวนเงินรวมที่ขายได้ ดังน้ัน อาจเร่ิมคาดเดาจานวนเงินท่ีขายขนมปังชนิดแรก
ได้ท่ี 800 บาท ดังน้ี

เพราะฉะนน้ั มนสั วขี ายขนมปงั ชนดิ แรกไป 50 ชน้ิ และชนิดทีส่ อง 25 ชนิ้
จากตวั อยา่ งจะเห็นวา่ การคาดเดาและตรวจสอบถือว่าเป็นยุทธวิธีท่ีง่าย แต่ถ้าปัญหามีความซับซ้อน
กอ็ าจทาใหผ้ ู้แก้ปัญหาต้องใชเ้ วลามากกวา่ ยทุ ธวิธีอ่ืน

ตวั อย่างท่ี 4 ปริศนาเดาจานวน ครูแก้วบอกครูสายสมรว่า กาลังนึกถึงจานวนหน่ึงมีค่าไม่เกิน 1,000 ครูสายสมร
ทายได้ไหมวา่ เป็นจานวนอะไร ครูสายสมรบอกว่าให้เดาเลยคงตอบไม่ได้ จะขอเดาโดยให้รัตนาตอบ
คาถามเพียงว่าใช่ ไม่ใช่ หรือถูกต้อง ไม่เกิน 10 คาถาม ครูแก้วตอบตกลง ท่านคิดว่าครูสายสมร
สามารถเดาจานวนทีรัตนานกึ ไว้ในใจได้ ถกู ต้องหรอื ไม่

วธิ แี ก้ปัญหา
1) ทาความเขา้ ใจปัญหา ครูแก้วนกึ จานวนนับมคี ่าไม่เกิน 1,000 ไว้หน่ึงจานวน ให้

ครูสายสมรทาย โดยยอมใหค้ รูสายสมรถามคาถามไม่เกิน 10 คาถาม ซ่ึงคาถามเหล่านั้น ครูแก้ว
จะตอบเพยี งวา่ ใช่ ไมใ่ ช่ หรือถกู ตอ้ งเท่านั้น
คาตอบของปัญหา เปน็ การอธิบายใหเ้ หตผุ ล

2) วางแผน จานวนนับไม่เกิน 1,000 จานวน ถ้าต้ังคาถามโดยเดาจานวนเลยคง
เป็นไปได้ยากที่จะเดาถูก เพราะกาหนดให้เดาได้เพียง 10 คร้ังเท่าน้ัน หรือถ้าจะถามว่าเป็น
จานวนคู่หรอื จานวนคี่ก็เพยี งทาใหจ้ านวนท่ีจะเดาลดลงมาเหลือ 500 จานวนเท่าน้ัน
จะถามอย่างไรให้จานวนที่เดานัน้ แคบลงมาจนถงึ จานวนท่ีรตั นานึกไว้
ถ้าถาม “จานวนน้ันน้อยกว่า 500 ใชห่ รือไม”่ ถา้ ครูแก้วตอบว่า “ไม่ใช่” จานวนท่ีรัตนานึกจะอยู่
ตั้งแต่ 500 ถึง 1,000 ถ้าครูแก้วตอบว่า “ใช่” จานวนท่ีครูแก้วนึกจะอยู่ต้ังแต่ 1 ถึง 499 ต่อไปก็ถามทานองน้ีอีก
คือ กนั้ ชว่ งถามทีละคร่ึงของชว่ งทีเ่ หลือทจ่ี ะเป็นไปได้ ชว่ งของจานวนท่ีจะเดากแ็ คบลง

3) ดาเนินการตามแผน สมมติว่าครูแก้วนึกจานวน 44 ไว้ และครูสายสมรกับครู
แก้วถามตอบกันดังนี้
ถามครงั้ ท่ี 1 จานวนนนั้ น้อยกว่า 500 ใชไ่ หม ตอบ “ใช่”
ถามครง้ั ที่ 2 จานวนนน้ั นอ้ ยกวา่ 250 ใช่ไหม ตอบ “ใช่”
ถามครัง้ ที่ 3 จานวนน้ันนอ้ ยกว่า 125 ใชไ่ หม ตอบ “ใช่”
ถามครง้ั ท่ี 4 จานวนน้ันนอ้ ยกว่า 62 ใชไ่ หม ตอบ “ใช่”
ถามครง้ั ท่ี 5 จานวนนน้ั น้อยกว่า 31 ใช่ไหม ตอบ “ไม่ใช่”
ถามคร้ังท่ี 6 จานวนนนั้ นอ้ ยกวา่ 47 ใช่ไหม ตอบ “ใช่”

ถามครัง้ ท่ี 7 จานวนน้นั นอ้ ยกวา่ 39 ใชไ่ หม ตอบ “ไม่ใช่”
ถามครั้งท่ี 8 จานวนนนั้ นอ้ ยกว่า 43 ใชไ่ หม ตอบ “ไม่ใช่”
ถามครั้งที่ 9 จานวนน้ันนอ้ ยกวา่ 45 ใชไ่ หม ตอบ “ใช่”
ถามครงั้ ท่ี 10 จานวนนัน้ คือ 44 ใชไ่ หม ตอบ “ใช่”
จานวนท่คี รูแกว้ นึกไว้คอื 44 ครสู ายสมรทายถกู โดยใช้คาถามไม่เกนิ 10 คาถาม

4) ตรวจสอบข้อมลู จากการเดาในคร้ังแรกเป็นข้อมูลสาคัญในการกาหนดจานวนท่ี
จะเดาในคร้ังต่อไป ถ้าครูแก้วตอบว่า “ใช่” จานวนท่ีทายจะลดลงประมาณคร่ึงหนึ่งของจานวน
ท่ีทายอยู่ในครัง้ ก่อน แต่ถา้ ครแู กว้ ตอบว่า “ไม่ใช่” ครูสายสมรก็จะทายใหม่ โดยหาจานวนซ่ึงอยู่
ประมาณกงึ่ กลางของจานวนทที่ ายในคร้งั น้นั กับจานวนท่ีทายในคร้งั ก่อน
ปัญหาน้ีอาจขายต่อไปได้อีก เช่น กาหนดจานวนนับให้ทาย และจานวนคร้ังในการทาย มีวิธีการ
กาหนดอย่างไรใหส้ ัมพนั ธ์กนั

2.7.2 ยทุ ธวิธเี ขียนแผนภาพ แผนภูมิ การสร้างแบบจาลอง
การเขียนแผนภาพหรือแผนภูมิเพ่ือแสดงข้อมูล แสดงความสัมพันธ์ของข้อมูลท่ีกาหนดในปัญหา
ช่วยให้ผู้แก้ปัญหาทาความเข้าใจกับปัญหาได้รวดเร็ว ชัดเจนข้ึน ทาให้เกิดแนวคิดในการวางแผนแก้ปัญหา ดัง
ตัวอยา่ งต่อไปน้ี
ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแบง่ รูปท่ีกาหนดให้เป็นรูปที่คล้ายกนั รปู เดิม จานวน 4 รูป ซง่ึ มขี นาดเทา่ ๆ กัน

วิธแี กป้ ญั หา
1. ทาความเข้าใจปญั หา ส่ิงที่กาหนดให้ เป็นรปู ส่ีเหลย่ี มซงึ่ สามารถแบ่งเปน็ รูปส่ีเหล่ยี ม

จัตรุ ัสและรปู สามเหลี่ยมมุมฉากทีม่ ีขนาดเป็นครงึ่ หนึง่ ของรูปส่ีเหลยี่ มจัตรุ สั
2.

ส่งิ ท่ตี อ้ งการหาคือ ตอ้ งการให้หาวธิ แี บง่ รปู ที่กาหนดให้เป็น 4 รูป ทม่ี ีขนาดเท่ากัน และเปน็ รปู ทคี่ ล้าย
กับรปู เดิม

3. วางแผน รูปเล็กๆ ที่แบง่ ได้แต่ละรปู จะมีขนาดเป็น ของรปู ที่กาหนดให้ ดังนั้นควรตี
ตารางแบง่ รปู ที่กาหนดให้เป็นตารางหน่วย เพือ่ หาพน้ื ท่ีของรปู เปน็ ตารางหนว่ ย จะได้ทราบว่ารูป
เลก็ ๆ ที่แบ่งได้ควรมีขนาดรปู ละเท่าไร และศึกษาโครงสร้างของรปู ทีก่ าหนดให้เพ่ือกาหนดแนวทางใน
การแบง่ รูป

4. ดาเนนิ การตามแผน
พ้นื ที่ของรูปท่ีกาหนดใหเ้ ทา่ กับ 24 ตารางหน่วย ดังนน้ั เมื่อแบง่ เปน็ รูปที่มีขนาดเทา่ กัน จานวน 4 รปู
แตล่ ะรปู จะมพี ืน้ ที่ 6 ตารางหน่วย และจะได้คาตอบของปัญหา ดังภาพ

5. ตรวจสอบ
5.1 คาตอบทีไ่ ดส้ อดคล้องกบั เงื่อนไขทป่ี ัญหากาหนด
5.2 การตีตารางเพ่อื แบ่งรปู ท่ีกาหนดให้เปน็ ตารางหน่วย สามารถลด

จานวนช่องตารางลงได้ ดังภาพ ซ่งึ ก็เพียงพอในการพิจารณากาหนดแนวทางในการหา
คาตอบแลว้

การหาคาตอบน้ีอาจใชว้ ิธีอื่นได้ เช่น ตัดกระดาษแข็งใหม้ รี ูปร่างดงั รปู ท่กี าหนดใหม้ ีขนาดเท่ากนั
จานวน 4 ช้นิ แลว้ หาวธิ ีเรยี งตอ่ แผน่ กระดาษเหล่าน้ใี ห้เป็นรปู ทค่ี ลา้ ยกบั รปู ทก่ี าหนดให้

ยุทธวิธีเขียนแผนภูมิ
มปี ัญหาหลายปญั หาที่ไมจ่ าเป็นตอ้ งเขียนแผนภาพท่ีคล้ายของจรงิ แสดงสถานการณ์ของปัญหา

เราเพียงแต่เขียนแผนภมู แิ สดงสาระสาคัญของปญั หาก็เพียงพอแล้ว การเขียนแผนภูมมิ ปี ระโยชนเ์ ช่นเดียวกับการ
เขียนแผนภาพ กลา่ วคือ นอกจากจะช่วยให้มองเห็นปัญหาอย่างเป็นรูปธรรมมากขน้ึ ยงั ชว่ ยเพ่ิมความชัดเจนใน
การทาความเขา้ ใจกบั ปญั หาแล้วยังสามารถใช้เป็นยุทธวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาบางปัญหาได้อยา่ งมีประสทิ ธภิ าพ

การใช้ยุทธวธิ ีแผนภมู ใิ นการแกป้ ัญหาสามารถจาแนกได้เป็น 2 ลกั ษณะ คอื

1. ใชเ้ พอ่ื แจกแจงกรณที ี่เป็นไปได้
2. ใชเ้ พอ่ื แสดงสาระสาคัญของปัญหา
1. การใชย้ ุทธวิธีเขยี นแผนภมู ิเพื่อแจกแจงกรณีทเ่ี ป็นไปได้
ตวั อยา่ งท่ี 6 ปัญหาโยนเหรยี ญ : ในการโยนเหรียญ 1 อนั 2 ครง้ั เหรยี ญจะหงายหน้าต่างๆ เปน็ ไปได้ท้ังหมดก่ี
แบบ แบบใดบา้ ง
วธิ แี ก้ปญั หา
1. ทาความเข้าใจกับปัญหา เหรียญ 1 อันจะมีสองหนา้ คือ หัวกับกอ้ ย ในการโยน
เหรียญ 1 อนั 1 ครั้ง เหรยี ญจะหงายหน้าต่างๆ ทเ่ี ปน็ ไปได้ท้งั หมด 2 แบบ คือ หัวกับก้อย
ปญั หาต้องการทราบว่า ถา้ โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง เหรียญจะหงายหนา้ ต่างๆ เป็นไปได้ทงั้ หมด
กแ่ี บบ
2. วางแผน เขียนแผนภมู แิ สดงหนา้ ต่างๆ ของเหรียญทีเ่ ปน็ ไปไดท้ ้งั หมดการจากโยน
เหรยี ญ 1 อัน เรม่ิ จากโยน 1 ครง้ั

3. ดาเนินการตามแผน

หน้าตา่ งๆ ท่ีเป็นไปได้จากการโยนเหรยี ญ 1 อัน 2 ครง้ั มที งั้ หมด 4 กรณี คือ หัวหัว, หัวกอ้ ย, ก้อยหัว,
และก้อยก้อย (หัวก้อย หมายถงึ เหรียญหงายหัวในการโยนคร้ังที่ 1 และหงายก้อยในการโยนครง้ั ที่ 2 จึงแตกตา่ ง
กบั ก้อยหัว)

4. ตรวจสอบ อาจแสดงผลของการโยนเหรยี ญ 1 อัน 2 คร้งั โดยใช้ตาราง ดงั น้ี

การใช้ยุทธวิธีเขยี นแผนภูมิ เพ่ือแสดงสาระสาคัญของปัญหา
ตวั อย่างท่ี 7 ปญั หาจบั มือทักทาย : ในวนั เปิดภาคเรียนวนั แรกของห้องเรยี นหน่ึง ซงึ่ มีนกั ศึกษา 16 คน ครผู ู้สอน

วิชาคณติ ศาสตร์ต้องการใหน้ ักศกึ ษาทุกคนจบั มือทักทายกับเพ่ือนทุกคนคนละครง้ั อยากทราบวา่ ใน
หอ้ งเรียนนจี้ ะมีการจับมอื ทักทายกันทั้งหมดก่ีครั้ง
วิธแี ก้ปัญหา

1. ทาความเข้าใจปัญหา มีคน 16 คน ในหอ้ งเรียน แต่ละคนจะจบั มือคนอนื่ เพยี งครั้งเดยี ว
คน 2 คนจับมือกนั ถือว่าเป็นการจบั เพียงครงั้ เดยี ว เชน่ ก จับมอื ข ก็เหมือนกบั ข กับมอื ก ถือว่า
เป็นการจบั มือกนั เพยี งครั้งเดียว ปญั หาตอ้ งการอยากทราบวา่ มกี ารจบั มอื ทงั้ หมดกี่ครั้ง

2. วางแผน ถึงแม้ว่าปัญหานี้จะแก้ไดโ้ ดยตรงจากการใหน้ กั ศึกษา 16 คน ลองมาจับมือกัน
จรงิ ๆ แลว้ นับจานวนคร้งั ในการจับมอื แต่คงไม่สะดวกนัก วธิ หี นึง่ ในการสบื สาวเพ่ือหาคาตอบของ
ปญั หาน้ี คือ การเขยี นแผนภูมิโดยใช้จดุ แทนนกั ศกึ ษาแตล่ ะคน และใช้ส่วนของเส้นตรงทล่ี ากเชอื่ มจุด
เหลา่ น้ที ลี ะคู่แทนการจบั มือกัน
แต่ถา้ เริม่ ต้นด้วยการใชจ้ ดุ 16 จดุ แทนนกั ศึกษา 16 คน แล้วลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมเหล่านี้ทลี ะคู่
การนับจานวนส่วนของเส้นตรงจะทาได้ยาก ดังน้นั ควรเรม่ิ ตน้ จากจานวนจดุ น้อยๆ กอ่ น นบั จานวนสว่ นของ
เสน้ ตรงท่ีเชื่อมจดุ เพื่อศึกษารปู แบบของจานวน

3. ทาตามแผน เขียนแผนภมู โิ ดยใชจ้ ุดแทนนักศึกษา และใชก้ ารลากส่วนของเสน้ ตรงเช่ือม
จดุ แทนการจบั มือ โดยเรม่ิ จาก 2, 3, 4 และ 5

พจิ ารณาการจับมือกนั ของนักศึกษา 5 คน จะเห็นวา่ จับมือกับ ข ค ง และ จ รวมเป็นจบั มอื 4 ครัง้ ข
กจ็ ะจับมือกับเพ่ือน คือ ก ค ง และ จ รวม 4 ครั้ง เหน็ ชดั ว่าแต่ละคนจับมือคนอ่นื 4 ครั้ง การจบั มอื เกดิ ข้ึน
ทง้ั หมด 5 x 4 = 20 คร้ัง แต่การท่ี ก จับมือกับ ข เหมอื นกบั ข จบั มือกับ ก ดังน้ัน การจบั มอื กนั ระหว่างคน
ทัง้ หมดจะมกี ารนับซา้ 2 ครงั้ จานวนครง้ั ของการจับมือท่ีแท้จรงิ จะต้องหารดว้ ย 2

น่ันคอื นกั เรยี น 5 คน จะมีการจบั มือกันระหวา่ งกันทงั้ หมด = 10 ครง้ั

จากแนวคิดดงั กล่าวจะได้วา่ ถ้านกั เรียน 16 คน จะมีการจับมอื ระหว่างกนั ทั้งหมด = 120

ครั้ง
4. ตรวจสอบ คาตอบของปัญหาที่หาได้สามารถตรวจสอบโดยการแก้ดว้ ยยทุ ธวธิ อี ่ืน เชน่

พจิ ารณาวา่
ถ้ามีนักศึกษาในห้องเพียงคนเดยี ว จะไม่มีการจับมือกนั
ถ้ามีนกั ศึกษาในห้อง 2 คน จะมกี ารจับมอื กัน 1 ครง้ั
ถ้ามีนกั ศึกษาในห้อง 3 คน นักศึกษา 2 คน ทมี่ ีอยู่ในหอ้ งเดมิ จะจับมือกบั นักศึกษาคนใหม่อีกคนละ
ครัง้ คือ มีการจับมือเพิม่ อีก 2 ครัง้ น่นั คอื มีการจบั มือท้งั หมด 1 + 2 คร้ัง
ถา้ มนี ักศึกษาในห้องเรยี นเพ่ิมเป็น 4 คน นักศึกษาคนใหม่ที่เพิม่ ข้ึนจะจับมือกบั นักศึกษาคนเดมิ 3 คน
อกี 3 คร้ัง รวมมีการจับมือท้ังหมดเป็น 1 + 2 + 3 = 6 คร้ัง
ถา้ เพ่ิมคนในห้องเรยี นเปน็ 5 คน นักศึกษาคนใหม่ท่เี พม่ิ ขึ้นจะจับมือกบั นึกศกึ ษาคนเดิม 4 คน อีกรวม
4 คร้งั รวมมีการจับมือทง้ั หมด 1 + 2 + 3 + 4 ครั้ง แนวคิดดังกล่าวแสดงได้ดว้ ยตาราง ดังน้ี

จะสังเกตวา่ จานวนสดุ ท้ายจากการกระจาย 1 + 2 + 3 + 4 จะน้อยกว่าจานวนนกั ศึกษาอยูห่ นง่ึ โดย
อาศยั รูปแบบจากตาราง จานวนคร้งั ในการจับมือกันของนักศกึ ษา 16 คน สามารถหาไดจ้ าก 1 + 2 + 3 + 4 +

…. + 15 = = 120 ครั้ง

ยทุ ธวธิ สี รา้ งแบบจาลอง
การสร้างแบบจาลองคลา้ ยกบั การเขียนภาพและเขยี นแผนภูมิ คือ ทาใหป้ ัญหามคี วามแจม่ ชัดมากข้นึ

ตวั อยา่ งที่ 8 ชายคนหน่งึ ต้องการเดินทางเขา้ ไปในเมอื ง เขานาสนุ ขั หา่ น และข้าวเปลือกไปดว้ ย เม่ือมาถงึ ชายฝั่ง
แม่น้า มีเรือเลก็ ๆ ลาหนึ่งจอดอยู่ เรือลาน้สี ามารถบรรทกุ ชายคนนี้ และสุนขั หรือห่าน และ
ขา้ วเปลือก อยา่ งใดอยา่ งหนง่ึ เพยี งอย่างเดยี วเทา่ นน้ั ชายคนน้ีจะนาสนุ ัข หา่ น และขา้ วเปลือก ขา้ ม
ฝงั่ แม่นา้ ด้วยเรือลาน้ีไมเ่ กนิ 4 เที่ยวไดอ้ ยา่ งไร ถา้ กาหนดวา่ แตล่ ะค่ตู ่อไปนจี้ ะอยู่กันตามลาพังโดยไม่
มีชายคนนี้ไม่ได้ คือ สุนขั กบั ห่าน และห่านกบั ขา้ วเปลอื ก

วิธแี กป้ ญั หา
1. ทาความเข้าใจปญั หา ต้องการนาสุนขั หา่ น และข้าวเปลอื ก ขา้ มฝ่ังแมน่ ้า โดยใชเ้ รือลา

เลก็ ๆ ลาหนึง่ ซึง่ บรรทุกชายคนพายเรอื และสัตว์หรอื ข้าวเปลือกอย่างใดอยา่ งหนง่ึ เท่าน้ัน
ปล่อยให้สนุ ัขกับห่าน และห่านกบั ข้าวเปลือก แตล่ ะค่ดู งั กล่าวนีอ้ ยตู่ ามลาพงั โดยไม่มเี จ้าของอยดู่ ้วย
ไมไ่ ด้
จะมีวิธีขา้ งฝัง่ แมน่ า้ อย่างไรดว้ ยเรือลาเลก็ ๆ นี้ ไมเ่ กนิ 4 เที่ยว

2. วางแผน สร้างแบบจาลองโดยใช้บัตรภาพ หรือบัตรคาแทนชายคนหน่ึง สุนขั หา่ น
ขา้ วเปลอื ก และเรือ และเขยี นแผนภาพแสดงแม่น้า

ทาลองนาสนุ ขั ห่าน และขา้ วเปลอื กขา้ มแมน่ ้าโดยใชเ้ รือภายใต้เงอ่ื นไขทกี่ าหนด
3. ดาเนนิ การตามแผน

เทยี่ วที่ 1 นาหา่ นขา้ มไปไว้อกี ฝ่งั หนึง่ แล้วพายเรือเปล่ากลบั มา
เท่ียวท่ี 2 นาสุนขั ข้ามไปไว้อีกฝ่ังหนึ่ง แลว้ นาห่านกลบั มา
เที่ยวที่ 3 นาหา่ นกลับมาไว้ทฝ่ี ่งั เดมิ แล้วนาข้าวเปลอื กข้ามไปไว้อีกฝ่ังหนึ่ง แล้วพายเรอื เปลา่ กบั มา
เทย่ี วท่ี 4 นาห่านข้ามฝัง่

4. ตรวจสอบ วิธีการแก้ปญั หาแสดงได้ด้วยแผนภาพ ดังน้ี

เที่ยวที่ 1 มีวิธเี ดียวเท่าน้นั คือ ตอ้ งนาห่านข้ามไปก่อน ถ้านาสุนขั หรือขา้ วเปลือกข้ามไปก่อน จะเกดิ
กรณี ห่านอยู่กบั ขา้ วเปลือก และสนุ ขั อยู่กบั ห่านตามลาพัง ซึ่งขัดแย้งกบั เง่ือนไขที่กาหนด

เที่ยวที่ 2 อาจนาสุนขั หรือข้าวเหลือข้ามไปก็ได้ แต่ต้องนาห่านขา้ มกลบั มา

ยุทธวิธกี ารสร้างตาราง
การใช้ยุทธวิธีสร้างตารางในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ จะช่วยให้มองเห็นความเกี่ยว ข้อง

ความสมั พันธ์กนั ของข้อมลู ได้ชดั เจนข้ึน นาไปสู่การหาคาตอบของปัญหาได้ ในการใช้ยุทธวิธีสร้างตารางมีประเด็น
ทค่ี วรพจิ ารณา ดงั น้ี

1. สร้างตารางเพอ่ื แสดงกรณีต่างๆ ท่เี ป็นไปได้ทั้งหมด กรณีต่างๆ เหล่าน้ีได้จากการขยายความข้อมูล
ทกี่ าหนดในปัญหา ซงึ่ กรณตี ่างๆ จะตอ้ งมีจานวนจากดั จึงจะสามารถพิจารณาทกุ กรณที ่ีเปน็ ไปได้

2. สร้างตารางเพ่ือแสดงกรณีท่ีเป็นไปได้บางกรณี บางปัญหาไม่จาเป็นต้องแสดงกรณีต่างๆ ที่เป็นไปได้
ท้งั หมดทุกกรณี เพยี งแสดงบางกรณีท่ีผู้แกป้ ญั หาคาดเดาวา่ จะนาไปสคู่ าตอบของปัญหาได้กเ็ พียงพอแล้ว
3. สรา้ งตารางเพอ่ื คน้ หาความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 ชุด (หรือมากกว่า) โดยสร้างเป็นตารางสองทาง
แลว้ พิจารณาขจดั ความสมั พนั ธ์ในกรณีท่ีเป็นไปไม่ได้ออกไป เพื่อให้เหลือจานวนกรณีที่เป็นไปได้น้อยลง ทา
ใหง้ า่ ยในการหาคาตอบของปัญหา

4. สร้างตารางเพ่ือค้นหารูปแบบทั่วไปของความสัมพันธ์ ข้อมูลที่แสดงอย่างเป็นระเบียบในตาราง จะ
ช่วยให้ผู้แก้ปัญหาใช้กระบวนการคิดแบบอุปนัยสร้างรูปแบบทั่วไปของความสัมพันธ์ของข้อมูลที่ปัญหา
กาหนดไว้ ซ่ึงจะต้องมีการตรวจสอบ ยืนยันว่ารูปแบบทั่วไปนี้เป็นจริงโดยกระบวนการวินิจฉัยก่อนที่จะ
นาไปใช้ตอ่ ไป

ตวั อย่างที่ 9 ถ้าใช้ตาชั่งสองแขนซึ่งใช้หลักการสมดุลชั่งส่ิงของ โดยมีลูกตุ้มขนาด 8, 4, 2 และ 1 หน่วย อย่างละ
ลกู จะช่ังของท่ีมีน้าหนักเทา่ ไรได้บา้ ง

วิธีแกป้ ญั หา
1. ทาความเข้าใจปัญหา สิ่งท่ีกาหนดให้ คือ ลูกตุ้มน้าหนักขนาด 8, 4, 2 และ 1 หน่วย

อย่างละลกู จะชัง่ ของท่ีมนี า้ หนักเท่าไรไดบ้ า้ ง
การใชล้ กู ตมุ้ อาจใชค้ รั้งละ 1 ลกู 2 ลูก 3 ลูก หรอื 4 ลูกก็ได้

2. วางแผนลกู ตมุ้ ขนาด 8, 4, 2 และ 1 หนว่ ย สามารถช่งั เปรยี บเทียบส่ิงของท่ีมีน้าหนัก 8,
4, 2 และ 1 หน่วย ตามขนาดของลูกตุ้ม และถ้านามาใช้ร่วมกันก็จะสามารถชั่งเปรียบเทียบสิ่งของ
น้าหนักต่างๆ ได้ ดังน้ัน เพ่ือให้สามารถมองเห็นกรณีต่างๆ ท่ีเป็นไปได้ จึงควรใช้ตารางแสดงกรณี
ต่างๆ ของนา้ หนกั ของลูกตมุ้ ขนาดต่างๆ

3. ดาเนินการตามแผน สร้างตารางแสดงการใช้ลูกตุ้มกับน้าหนักต่างๆ ที่ได้จากการใช้
ลูกต้มุ เหลาน้ี

4. ตรวจสอบผู้แก้ปัญหาบางคนอาจพิจารณากรณตี า่ งๆ ที่เป็นไปได้ โดยพิจารณานา้ หนัก
รวมท่ีได้จากการใชล้ ูกตุ้ม 1 ลกู 2 ลูก 3 ลกู และ 4 ลกู ครงั้ ละกรณซี ่ึงในแต่ละกรณีจะเรียงลาดับจาก
นา้ หนักน้อยไปหามาก ดงั น้ี

จะเห็นวา่ ได้คาตอบเชน่ เดียวกัน
1) สร้างตารางเพ่ือแสดงกรณีท่ีเปน็ ไปไดบ้ างกรณี

ตัวอยา่ งที่ 10จงหารูปส่เี หลี่ยมมุมฉากสองรูปทมี่ ีความยาวด้านเปน็ จานวนเตม็ โดยทมี่ ีความยาวรอบรูป และพน้ื ท่ี
เปน็ จานวนเดียวกนั

วิธีแกป้ ญั หา
1. ทาความเข้าใจปัญหา ใหห้ ารูปสีเ่ หลยี่ มมุมฉากสองรปู ท่ีมีความยาวด้านเปน็

จานวนเตม็ โดยท่มี ีความยาวรอบรปู และพื้นทเี่ ป็นจานวนเดียวกนั
2. วางแผน สรา้ งตารางซงึ่ แสดงความยาวด้าน ความยาวรอบรปู และพื้นที่ โดย

เริม่ จากรปู สเ่ี หลย่ี มมุมฉากขนาด 1  1 พิจารณาความยาวรอบรปู และพ้นื ท่แี ล้วเพิ่มความยาว
ด้านให้เหมาะสม

3. ดาเนินการตามแผน
3.1 กาหนดความกวา้ งเปน็ 1 หน่วย แล้วเพิม่ ความยาวคร้งั ละ 1 หนว่ ย

จะเห็นว่าเมอ่ื เพม่ิ ความยาวต่อไป ความยาวรอบรปู จะเพ่ิมครั้งละ 2 หนว่ ย ในขณะที่พ้นื ทเ่ี พิ่มครั้งละ 1
ตารางหนว่ ย ไมม่ ีโอกาสทีจ่ ะเป็นจานวนเดยี วกัน

3.2 สร้างตารางใหม่ โดยเรมิ่ จากรูปสีเ่ หลีย่ มมุมฉากขนาด 2  2 แล้ว เพ่ิมความยาวด้านยาวอกี ครั้ง
ละ 1 หนว่ ย

จะเห็นวา่ ความยาวรอบรปู เพิ่มคร้ังละ 2 หน่วย พื้นท่ีก็เชน่ เดียวกันเพม่ิ ครง้ั ละ 2 หน่วย แต่เพิ่มจาก
จานวนทตี่ ่างกัน จึงไม่มโี อกาสท่จี ะเป็นจานวนเดียวกนั

3.3 สร้างตารางใหม่ เริม่ พิจารณาจากตารางขนาด 3  3 แลว้ เพม่ิ ความยาวอกี คร้ังละ 1 หนว่ ย

ตารางนี้จะได้คาตอบหน่งึ คาตอบเทา่ น้ัน แม้จะขยายตารางตอ่ ไปกค็ งจะไมไ่ ด้คาตอบทส่ี อง
3.4 สร้างตารางใหม่ เร่ิมพิจารณาจากตาราง 4  4 แล้วเพมิ่ ความยาวของดา้ นยาวอกี คร้ังละ 1

หนว่ ย

ตารางนจ้ี ะไดค้ าตอบหนง่ึ คาตอบ
ดังน้ัน รปู สีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากทีม่ ีความยาวรอบรปู และพ้ืนท่เี ป็นจานวนเดยี วกนั ที่พบ 2 รูป คือ รูปทม่ี ี
ขนาด 3  6 และ 4  4 ตารางหนว่ ย
4. ตรวจสอบ การแก้ปัญหานแ้ี ม้จะใชย้ ทุ ธวธิ กี ารสรา้ งตาราง แต่ก็มีพื้นฐานของการใชย้ ทุ ธวธิ ีเดา

และตรวจสอบ ซง่ึ เป็นการเดาทีม่ ีระบบเปน็ ระเบียบ ประเด็นท่ีเกยี่ วข้องกับปัญหาหน้ที ่ีควร
พิจารณาต่อไปคือ รปู สี่เหลย่ี มมมุ ฉากที่มสี มบัติสอดคลอ้ งกับปัญหานี้มรี ูปอ่นื ๆ อกี หรือไม่

ถา้ ให้ x และ y เปน็ ความยาวของด้านกวา้ งและดา้ นยาวของรูปสี่เหล่ยี มมมุ ฉาก เราจะต้องหาจานวน
เต็ม x และ y ทสี่ อดคล้องกับสมการ 2x + 2y = xy

2) สรา้ งตารางเพ่ือค้นหาความสัมพันธ์ระหวา่ งข้อมูล 2 ชดุ (หรอื มากกวา่ )

ตวั อยา่ งท่ี 11เพื่อนรัก 3 คน คอื ทบั ทิม มรกต และพลอย มาพบกันโดยมิไดน้ ัดหมาย ท้ังสามคนดีใจมาก เพราะ
ไม่ไดพ้ บกนั มานานแลว้ เมอ่ื จะแยกจากกนั ท้ังสามคนตกลงทีจ่ ะแลกผ้าเช็ดหนา้ และเข็มกลดั ตดิ เส้อื
ซ่ึงกันและกันไว้เป็นทรี่ ะลึก โดยท่ีแตล่ ะคนไดผ้ ้าเช็ดหนา้ และเขม็ กลัดจากคนท่ไี มซ่ า้ กนั ถา้ ทับทิมได้
ผ้าเชด็ หนา้ ของมรกต จงหาวา่ ใครจะไดอ้ ะไรของใครไปบา้ ง

วิธีแก้ปัญหา
1. ทาความเข้าใจปัญหา ทับทมิ มรกต และพลอย แลกผ้าเช็ดหน้าและเข็มกลัดติดเส้ือซ่ึง

กันและกัน โดยท่แี ต่ละคนได้ผา้ เช็ดหนา้ และเขม็ กลัดติดเสื้อจากคนท่ไี มซ่ า้ กัน ถา้ ทบั ทิมได้ผ้าเชด็ หน้า
ของมรกต จงหาวา่ ใครได้ผา้ เช็ดหน้าของใคร และไดเ้ ข็มกลัดติดเสอ้ื ของใคร

2. วางแผน สร้างตารางแสดงการได้รับส่งิ ของแต่ละคน จากข้อมูลที่กาหนดให้ พิจารณาตัด
กรณที ี่เปน็ ไปไมไ่ ด้ออกไป คือ กรณที ่ีแต่ละคนจะได้รับสง่ิ ของของตนเอง แล้วพจิ ารณากรณอี ่ืนๆ ที่
เป็นไปได้จากข้อมูลที่กาหนดใหแ้ ละจากขอ้ สรปุ ในตอนต้นๆ

3. ดาเนินการตามแผน เมื่อพจิ ารณาจากตารางโดยเพิ่มพิจารณาจากแถวของทบั ทิม ซึ่ง
ทบั ทิมไดร้ บั ผา้ เช็ดหนา้ จากมรกตแล้ว ดงั น้ัน จะได้ขอ้ สรปุ ดงั นี้
ก. ทับทมิ ต้องไดร้ บั เข็มกลัดตดิ เสื้อจากพลอย
ข. มรกตต้องไดร้ บั ผ้าเชด็ หน้าจากพลอย
ค. มรกตต้องไดร้ ับผา้ เข็มกลดั ตดิ เส้ือจากทับทิม
ง. พลอยต้องไดร้ ับผ้าเชด็ หน้าจากทับทิม
จ. พลอยต้องได้รบั เข็มกลดั ติดเสื้อจากมรกต
ขอ้ สรปุ แสดงได้ดงั ตารางต่อไปน้ี

4. ตรวจสอบ จากข้อมูลทกี่ าหนดใหท้ าให้ไดข้ ้อสรุป ก. และทาให้ไดข้ ้อสรุป ข. ค. ง. และ
จ. ตามลาดบั
มีวิธกี ารพจิ ารณาอยา่ งอ่ืนหรือไม่ จากข้อมูลท่ีกาหนดใหผ้ ู้แกป้ ญั หาบางคนอาจพจิ าณาแล้วได้ขอ้ สรปุ
จ. ก่อนก็ได้ และได้ ง. ค. ข. และ ก. ตามลาดับ ซ่งึ เป็นข้อสรุปชดุ เดยี วกัน
ปญั หานี้อาจแสดงการหาคาตอบโดยใชแ้ ผนภมู ิ ดงั นี้

ยุทธวธิ ีใชต้ วั แปร
การใช้ตัวแปรแทนจานวนที่ไม่ทราบค่าเป็นวิธีการแก้ปัญหาอย่างหนึ่งท่ีใช้กันในวิชาพีชคณิต ผู้

แกป้ ัญหาสามารถสร้างความสัมพันธ์ของข้อมลู ต่างๆ โดยกาหนดตวั แปรขนึ้ มาดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี
ตวั อยา่ งท่ี 11ครูณเดชเลน่ ทายจานวนกับนกั ศึกษาโดยใหน้ ักศกึ ษาทาตามข้นั ตอน ดังน้ี

1. สมมตจิ านวนนับจานวนหนึง่
2. คนู ด้วย 2
3. บวกดว้ ย 6
4. บวกด้วยจานวนท่ีสมมตติ อนเรม่ิ ตน้
5. หารด้วย 3
6. บอกผลลพั ธ์
เม่ือนกั ศกึ ษาบอกผลลัพธ์ ครณู เดชจะทายไดถ้ กู ตอ้ งว่านักศึกษาสมมติจานวนนับใดตอนเร่ิมต้น ครูณ
เดชทราบได้อยา่ งไร
วิธีแก้ปญั หา

1. ทาความเข้าใจ ครูณเดชเล่นทายจานวนกับนักศึกษาโดยให้นักศึกษาทาตามขั้นตอน
ตา่ งๆ ที่ครกู าหนดให้ เมื่อครณู เดชทราบผลลัพธส์ ดุ ท้ายจากนักศึกษา ครูณเดชสามารถทายได้ถูกต้อง
วา่ นกั ศกึ ษาสมมติจานวนนบั ใดตอนเรมิ่ ตน้
ปัญหาตอ้ งการทราบวา่ ครณู เดชทาอยา่ งไรจึงทรานจานวนนบั ทีน่ ักศึกษาสมมติตอนเริม่ ตน้
เพื่อให้เข้าใจปัญหาย่งิ ขนึ้ ลองสมมติจานวนแล้วทาตามข้นั ตอนต่างๆ ที่ครณู เดชกาหนด

2. วางแผน ลองเริ่มสมมติจานวนอ่ืนๆ อีก 2-3 จานวน สังเกตผลลัพธ์ (ใช้การอุปนัย) ที่ได้
ว่าสัมพันธ์กับจานวนเร่ิมต้นท่ีสมมติอย่างไร จากการสังเกตจะพบว่า ผลลัพธ์ที่ได้จะมากกว่าจานวน
เริม่ ต้นท่ีสมมติอยู่ 2 ดังน้ัน เพื่อให้แน่ใจว่าเป็นจริงในกรณีท่ัวไป ควรตรวจสอบยืนยัน (ใช้การนิรนัย)
โดยการสมมตจิ านวนตอนเร่มิ ด้วยตวั แปร

3. ดาเนินการตามแผน ดาเนินการตามขนั้ ตอนทคี่ รูณเดชกาหนด
3.1 สมมตจิ านวนนับ x
3.2 คูณด้วย 2 ได้ 2x
3.3 บวกดว้ ย 6 ได้ 2x + 6
3.4 บวกดว้ ย n ได้ 2x + 6 = 3(x + 2)

3.5 หารด้วย 3 ได้

จะเห็นว่าผลลัพธ์สุดท้ายจะมากกว่าจานวนที่สมมติตอนเร่ิมต้นอยู่ 2 ดังน้ัน เม่ือนักศึกษาบอกผลลัพธ์
สดุ ท้าย ครณู เดชจะนาผลลพั ธม์ าลบออกดว้ ย 2 กจ็ ะทราบจานวนทสี่ มมติตอนตน้

4. ตรวจสอบ
4.1 ตรวจสอบการคดิ คานวณในขน้ั ดาเนนิ การตามแผน
4.2 ลองสร้างปริศนาทายจานวนอื่นๆ ทานองเดียวกับปริศนาทายจานวนน้ี พร้อม

ทง้ั วเิ คราะห์โดยใช้ยุทธวธิ ีสมมตติ ัวแปร

ตัวอยา่ งท่ี 12 เม่ือฤดูน้าหลากใกล้จะมาถึง ลุงสีพกธนบัตรใบละ 1,000 บาท และใบละ 100 บาท ออกจาก
บ้านไปอย่างละปึกเป็นเงินเกือบ 20,000 บาท เพื่อไปซื้อเรือ แกซื้อเรือได้สมใจในราคาคร่ึงหนึ่งของ
จานวนที่แกพกไป จานวนธนบัตรใบละ 100 บาท ที่เหลือกลับมาน้ัน เท่ากับจานวนธนบัตรใบละ
1,000 บาทเม่ือตอนออกจากบ้านพอดี ส่วนจานวนธนบัตรใบละ 1,000 บาท เหลือมาเท่ากับ
ครงึ่ หนง่ึ ของจานวนธนบตั รใบละ 100 บาท เมือ่ ตอนออกจากบา้ นลงสีพกเงนิ ไปซ้อื เรอื จานวนเท่าไร

วิธแี ก้ปญั หา
1. ทาความเขา้ ใจปญั หา ขอ้ มลู ที่กาหนดให้
1.1 ลุงสีพกธนบัตรไปสองชนิด คือ ใบละ 1,000 บาท และใบละ
100 บาท เปน็ เงนิ รวมเกือบ 20,000 บาท
1.2 ราคาเรอื เทา่ กับคร่ึงหน่งึ ของจานวนเงินท่พี กไป

1.3 จานวนธนบัตรใบละ 100 บาท เหลือกลับมาเท่าจานวน
ธนบัตรใบละ 1,000 บาท เมือ่ ตอนท่พี กไป

1.4 จานวนธนบัตรใบละ 1,000 บาท เหลือกลับมาเท่ากับ
ครึ่งหนึ่งของจานวนธนบตั รใบละ 100 บาท เมอื่ ตอนท่ีพกไป

1.5 ความสัมพันธ์ “เท่ากัน” ที่มองเห็นคือ จานวนเงินที่เหลือ
กลบั มาในขอ้ 1.3 และข้อ 1.4 เท่ากบั ครงึ่ หนึง่ ของจานวนเงนิ ทีล่ งุ สพี กไป
2. วางแผน ใช้ยุทธวิธีสมมติตัวแปร โดยสมมติจานวนธนบัตรใบละ 1,000 บาท และ
จานวนธนบัตรใบละ 100 บาท ใช้ข้อมูลท่ีปัญหากาหนดให้ สร้างความสัมพันธ์ในรูปสมการ แล้วแก้
สมการ
3. ดาเนินการตามแผน
สมมติใหม้ ีธนบัตรใบละ 1,000 บาท x ใบ และธนบตั รใบละ 100 บาท y ใบ ดังนั้น ขณะออกจากบ้าน
ลงุ สพี กเงนิ 1,000x + 100y บาท

เมอ่ื ตอนขากลับมเี งินเหลอื (1,000x + 100y) บาท

และขากลับมีธนบตั รใบละ 1,000 บาท y ใบ คดิ เปน็ เงนิ 500y บาท

ดังนน้ั ไดส้ มการ (1,000x + 100y) = 100x + 500y

500x + 50y = 100x + 500y
400x = 450y

x=y

x เป็นจานวนเตม็ เมอื่ y = 8, 16, 24, …
คา่ x, y ทตี่ ้องการ คือ คา่ ทท่ี าให้ 1,000x + 100y มคี ่าใกล้ 20,000

เมอื่ x = 9 และ y = 8 จะได้ (1,000  9) + (100  8) = 9,800 มีคา่ ไม่ใกล้ 20,000

เม่ือ x = 18 และ y = 16 จะได้ (1,000  18) + (100  16) = 19,600 มคี า่ ใกล้ 20,000
ดงั นน้ั ลุงสพี กเงนิ ออกจากบ้าน 19,600 บาท

4. ตรวจสอบ
4.1 ตรวจสอบคาตอบ ลุงสีพกธนบัตรใบละ 1,000 บาท ไป 18

ใบ ธนบัตรใบละ 100 บาท 16 ใบ คิดเป็นเงิน 19,600 บาท ซื้อเรือราคา 9,800
บาท เหลอื เงนิ เป็นธนบัตรใบละ 100 บาท 18 ใบ เป็นเงิน 1,800 บาท และธนบัตร

ใบละ 1,000 บาท (16) = 8 ใบ เป็นเงิน 8,000 บาท รวมเหลือเงิน 9,800 บาท

ซ่ึงสอดคล้องกบั ทป่ี ัญหากาหนด ดังนั้น คาตอบถกู ตอ้ ง
4.2 ปญั หานอ้ี าจเปล่ยี นแปลงได้ใหม่ เช่น เปล่ียนชนิดของธนบัตร

และจานวนเงนิ ซึ่งเปน็ ขอบเขตของจานวนเงนิ ที่พกไป

ยุทธวิธีค้นหารูปแบบ
การคน้ หารูปแบบเป็นการวิเคราะห์ปัญหาและค้นหาความสัมพันธ์ของข้อมูลท่ีมีลักษณะเป็นระบบ

หรือเป็นแบบรูปในสถานการณ์ปัญหานั้นๆ แล้วคาดเดาคาตอบ ซ่ึงคาตอบที่ได้จะยอมรับว่าเป็นคาตอบที่ถูกต้อง
เมอ่ื ผ่านการตรวจสอบยืนยัน
ตวั อย่างที่ 12จงหาพจน์ถัดไปอีก 3 พจนข์ องอันดบั 1, 2, 4, …
วธิ แี ก้ปญั หา

1. ผู้แก้ปญั หาพจิ ารณาวา่
2. ผู้แก้ปัญหาอีกคนอาจพิจารณาว่า พจน์ถัดไปของอันดับเป็น 2 เท่าของพจน์ท่ีมาก่อน

กลา่ วคอื 2 = 21, 4 = 22 ดงั นน้ั พจน์ตอ่ ๆ ไป คือ 8 = 24, 16 = 28 และ 32 = 216
ดังนน้ั อนั ดบั ที่ตอ้ งการคอื 1, 2, 4, 8, 16, 32
จะเห็นว่าปัญหาน้ีมีคาตอบมากกว่า 1 รูปแบบ ทั้งน้ีขึ้นอยู่กับการตีความของผู้แก้ปัญหา อัน
เนื่องมาจากประสบการณ์เดิมของแต่ละคน ซึ่งถ้าข้อมูลท่ีกาหนดให้มีความไม่สมบูรณ์เพียงพอ การตีความที่
แตกต่างกันกย็ ่อมเกดิ ขน้ึ ไดเ้ สมอ

ตัวอย่างท่ี 13ปญั หาการหาผลบวกของจานวนนบั 1 ถงึ 100
การแก้ปัญหาโดยการค้นหารูปแบบท่ีมีชื่อเสียง ได้แก่ การแก้ปัญหาของคาร์ลฟรีเริช เกาส์ (Carl
Friedrich Gauee; ค.ศ. 1777-1855) นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเยอรมัน ขณะที่เด็กขายเกาส์
เรียนอยู่ในระดับประถมศึกษา เล่ากันว่า ครูของเด็กชายเกาส์ไม่อยากสอนในบ่ายวันหนึ่ง และให้
ปญั หาคณิตศาสตรแ์ ก่นักเรยี น โดยคดิ ว่านักเรียนจะตอ้ งใช้เวลาในการคิดแก้ปัญหานานพอท่ีจะทาให้
เวลาเรียนหมดไป ผลปรากฏว่าเด็กชายเกาส์สามารถหาคาตอบของปัญหาได้ภายใน 2-3 นาทีต่อมา
ซ่ึงเป็นท่ีประหลาดใจของครูและผู้ท่ีรู้เรื่องนี้เป็นอันมาก ปัญหาดังกล่าวมีใจความว่า “จงหาผลบวก
ของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถงึ 100”

วิธแี กป้ ัญหา
1. ทาความเข้าใจกบั ปัญหา

ความหมายของค่าจานวนนับ ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, …
ปัญหาต้องการใหห้ าผลบวก 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100

2. วางแผน เกาส์ใชย้ ุทธวิธคี ้นหารปู แบบโดยพจิ ารณาวา่
1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, 000, 50 + 51 มีท้งั หมด 50 คู่ แตล่ ะคู่มีผลบวกเทา่ กบั 101 เท่ากนั ดงั นี้

3. ดาเนนิ การตามแผน มผี ลบวกทงั้ หมด 50 คู่ แต่ละค่มู ีผลบวกเทา่ กบั 101

ดงั น้นั ผลบวกทัง้ หมดเทา่ กับ 50  101 = 5,050
4. ตรวจสอบ เน่ืองจากเห็นได้อย่างชัดเจนว่ามีผลบวกทั้งหมด 50 คู่ แต่ละคู่มีผลบวก

เทา่ กบั 101 สามารถหาผลบวกทซี่ า้ ๆ กนั ได้ดว้ ยการคูณ 50 กับ 101
ในกรณที ่วั ไปถา้ ต้องการหาผลบวกของจานวนนบั n จานวนแรก คือ
1 + 2 + 3 + … + n เม่ือ n เป็นจานวนนับใดๆ เราสามารถใช้วิธีการทานองเดียวกับเกาส์และสังเกต
ความสมั พนั ธ์

ถา้ n เปน็ จานวนคู่ เห็นได้อย่างชดั เจนว่า มผี ลบวกท้งั หมด คู่ ดงั นนั้ ผลบวกของจานวนนบั n

จานวนแรก คือ (n + 1)

สูตรนสี้ ามารถนาไปใชใ้ นกรณีท่ี n เปน็ จานวนนบั ใดๆ ได้หรือไม่

พจิ ารณาวิธกี ารต่อไปนี้

ให้ S = 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n ………

จะได้ S = n + (n – 1) + (n – 2) 4 … + 3 + 2 + 1 ………

นา  +  จะได้ 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) ท้งั หมด n คู่

= n(n + 1)

 S = (n + 1)

น่ันคือ ผลบวกของจานวนนับ n จานวนแรก คอื (n + 1)

.

ใบปฏบิ ัติกจิ กรรม ที่ 2.1 หนว่ ยที่ 2

หลกั สตู รประกาศนยี บตั รวชิ าชีพชน้ั สูง สอนครง้ั ท่ี 2

รหัสวิชา 3000 -1401 ชื่อวิชาคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาทกั ษะการคดิ เวลา 1 ชม.
ช่อื เรอ่ื ง การใชย้ ทุ ธวิธีการเดาและการตรวจสอบ

จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. สรุปความหมายของปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้
2. สรปุ ความหมายของการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้
3. จาแนกประเภทของปัญหาได้
4. วิเคราะห์ปจั จัยตา่ งๆ ท่มี ผี ลกับความสามารถในการแก้ปญั หาได้
5. นากระบวนการแก้ปัญหาไปประยุกตใ์ ชใ้ นชีวิตประจาวนั ได้
6. แกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตรด์ ้วยยทุ ธวธิ ีการเดาและตรวจสอบได้

สมรรถนะประจาหนว่ ย
แก้ปัญหาทางคณิตศาสตรโ์ ดยใชย้ ุทธวิธตี ่างๆ

ขน้ั ตอนการปฏบิ ัติกจิ กรรม

กจิ กรรมฝกึ ทักษะการใช้ยุทธวิธีการเดาและการตรวจสอบ
1. ใหน้ กั ศึกษาคาดเดาการหารยาวต่อไปนี้

1.1

1.2

1.3
2. ต้องการก้ันรั้วล้อมรอบที่ดินให้เป็นรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส มีพื้นที่ 24 ตารางวา ผิดพลาดไม่

เกิน 0.01 ตารางวา รั้วแตแ่ ละดา้ นควรยาวเทา่ ใด (โดยใช้ยุทธวิธกี ารเดา)

ใบปฏบิ ตั ิกิจกรรม ที่ 2.2 หนว่ ยท่ี 2

หลักสูตรประกาศนียบัตรวชิ าชพี ช้ันสงู สอนครง้ั ที่ 3

รหัสวิชา 3000 -1401 ช่อื วิชาคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาทักษะการคดิ เวลา 1 ชม.
ชื่อเรอื่ ง ยุทธวิธีเขยี นแผนภาพ แผนภมู ิ

จุดประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
1. สรุปความหมายของปญั หาทางคณติ ศาสตรไ์ ด้
2. สรปุ ความหมายของการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้
3. จาแนกประเภทของปัญหาได้
4. วเิ คราะห์ปจั จยั ตา่ งๆ ทม่ี ีผลกับความสามารถในการแก้ปัญหาได้
5. นากระบวนการแก้ปญั หาไปประยกุ ต์ใชใ้ นชวี ิตประจาวนั ได้
6. แกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ด้วยยุทธวิธแี ผนภาพ แผนภมู ิ และการสร้างแบบจาลอง

สมรรถนะประจาหน่วย
แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้ยุทธวิธีต่างๆ

ขั้นตอนการปฏิบตั กิ ิจกรรม

1. ให้นกั ศึกษาแบ่งแต่ละรูปที่กาหนดให้ต่อไปนเ้ี ป็น 4 รูป ทีม่ ีขนาดเทา่ กันโดยทีเ่ ปน็ รูปที่คล้ายกบั รปู เดิม

2. ในการโยนเหรยี ญ 1 อนั 3 คร้ัง เหรยี ญจะหงายหนา้ ตา่ งๆ ไดก้ ่แี บบ
3. ในการทอดลกู เตา๋ 1 ลูก 2 คร้ัง ลูกเตา๋ จะข้นึ หนา้ ตา่ งๆ ได้ก่ีแบบ
4. ในการโยนเหรียญ 1 อัน และทอดลูกเต๋า 1 ลูก จะมหี น้าตา่ งๆ ที่เป็นไปได้เกิดขน้ึ ทั้งหมดกีแ่ บบ

ใบปฏิบตั กิ จิ กรรม ท่ี 2.3 หนว่ ยท่ี 2

หลกั สูตรประกาศนียบตั รวชิ าชพี ชนั้ สงู สอนครัง้ ที่ 4

รหสั วชิ า 3000 -1401 ชอื่ วิชาคณติ ศาสตรเ์ พื่อพฒั นาทกั ษะการคิด เวลา 1 ชม.
ช่ือเร่อื ง การใชย้ ทุ ธวธิ กี ารสรา้ งแบบจาลอง

จุดประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม
1. สรปุ ความหมายของปัญหาทางคณิตศาสตรไ์ ด้
2. สรปุ ความหมายของการแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้
3. จาแนกประเภทของปญั หาได้
4. วเิ คราะห์ปจั จยั ต่างๆ ทีม่ ีผลกับความสามารถในการแกป้ ัญหาได้
5. นากระบวนการแก้ปญั หาไปประยุกตใ์ ช้ในชีวติ ประจาวันได้
6. แกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ดว้ ยการสรา้ งแบบจาลอง

สมรรถนะประจาหนว่ ย
แกป้ ญั หาทางคณิตศาสตรโ์ ดยใชย้ ุทธวธิ ีตา่ งๆ

ขัน้ ตอนการปฏบิ ตั ิกจิ กรรม
กิจกรรมฝกึ ทักษะการใชย้ ทุ ธวธิ ีการสรา้ งแบบจาลอง
1. ครอบครัวหนงึ่ มีพ่อ แม่ และลกู 2 คน ตอ้ งการข้ามแม่น้าแหง่ หนึง่ ซึง่ มเี รือลาเล็กหนึ่ง
ลาใหข้ ้าม เรอื ลาน้บี รรทกุ เด็กได้ 2 คน แตบ่ รรทกุ ผใู้ หญ่ไดเ้ พยี งคนเดยี ว ถา้ นักศึกษาเป็นผใู้ ห้
คาแนะนาให้ครอบครัวน้ีข้ามฟากได้ นกั ศกึ ษาจะให้คาแนะนาอย่างไร
2. บนรมิ ฝ่ังขวาของแม่น้าสายหน่ึง มขี าย 5 คน ตอ้ งการขา้ มฟากไปฝง่ั ซา้ ย บนฝัง่ ซ้ายมี
หญงิ 5 คน ต้องการขา้ มฟากไปฝัง่ ขวา ในจานวนนม้ี ีชาย 1 คน และหญงิ 1 คน ทีพ่ ายเรือเป็นถ้ามี
เรอื ลาหนง่ึ จอดอย่รู มิ ฝงั่ ขวาของแมน่ ้า เรือลานบี้ รรทุกคนไดค้ รงั้ ละไม่เกนิ 3 คน คนทั้ง 10 คนนีจ้ ะ
ข้ามฟากตามความประสงค์ได้อยา่ งไร เมอื่ ทง้ั สองฝ่ายตกลงกันวา่ ในการพายขา้ มฟากแตล่ ะครัง้ จะ
ไมใ่ หม้ ีจานวนชายมากกวา่ จานวนหญงิ และพายเรือข้ามฟากไม่เกนิ 7 เท่ยี ว
3. ให้นกั ศึกษาไปศึกษาคน้ ควา้ ปัญหาที่แก้ด้วยยุทธวธิ สี ร้างแบบจาลองมานาเสนอหน้าชนั้
เรยี น

ใบปฏิบตั กิ ิจกรรม ท่ี 2.4 หน่วยที่ 2

หลักสตู รประกาศนยี บตั รวิชาชีพช้ันสูง สอนครั้งที่ 4

รหัสวิชา 3000 -1401 ช่อื วชิ าคณติ ศาสตร์เพื่อพฒั นาทกั ษะการคิด เวลา 1 ชม.
ชื่อเรอ่ื ง การใช้ยทุ ธวิธีสรา้ งตาราง

จดุ ประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม
1. สรปุ ความหมายของปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้
2. สรุปความหมายของการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้
3. จาแนกประเภทของปญั หาได้
4. วิเคราะหป์ ัจจัยตา่ งๆ ท่ีมผี ลกับความสามารถในการแก้ปัญหาได้
5. นากระบวนการแก้ปญั หาไปประยุกต์ใช้ในชีวติ ประจาวนั ได้
6. แก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ด้วยการใช้ยทุ ธวิธีสร้างตาราง

สมรรถนะประจาหนว่ ย
แกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์โดยใช้ยุทธวิธีต่างๆ

ขน้ั ตอนการปฏบิ ัตกิ จิ กรรม

กิจกรรมฝกึ ทกั ษะการใชย้ ุทธวิธีสร้างตาราง
1. นักศึกษา 3 คน ช่ือสนั ต์ มีชัย และสมเกยี รติ เลือกวชิ าเรียนคนละ 3 วชิ าจากวิชา

ตอ่ ไปน้ี ภาษาองั กฤษ คณติ ศาสตร์ ประวตั ศิ าสตร์ ภมู ิศาสตร์ และภาษาฝรั่งเศส โดยที่ไมม่ ีวิชาใดเลย
ซง่ึ เลอื กเรยี นทง้ั 3 คน ถ้าเราทราบวา่ สันต์ไมเ่ คยเรียนคณิตศาสตร์เลย หลงั จากเรยี นจบมัธยมศึกษา
ปที ่ี 6 มีชัยกาลังศึกษาเกี่ยวกับภูมปิ ระเทศของออสเตรเลีย ส่วนอกี 2 คน ขณะน้ีไมไ่ ด้เรียนวชิ า
ภูมศิ าสตร์ใดๆ เลย สมเกียรติใดๆ เลย สมเกยี รติไม่เคยสนใจเกย่ี วกบั ฝรง่ั เศสเลย อยากทราบว่า
นักศึกษาคนใดเรยี นวิชาใดบ้าง

2. สิน สทุ ธิ สงบ และสงา่ พาภรรยาของตนไปงานวนั สงกรานตซ์ งึ่ มีการราวง โดยที่ท้งั สี่คน
ราวงกับภรรยาของเพื่อนในกลุ่มเดียวกัน ราตรีราวงกบั สิน รัชนีนาวงกับสามีของรนิ ทร์ รัตนาราวงกบั
สามีของรชั นี สุทธิราวงกบั ภรรยาสงบ และสงบราวงกับภรรยาของสิน จงหาคสู่ ามภี รรยาท้ัง 4 คู่

3. ให้นกั ศึกษาไปศึกษาค้นคว้าปัญหาที่แก้โดยสรา้ งตารางมาหน่งึ ปญั หา แลว้ นาเสนอ
วธิ กี ารแกป้ ัญหา

ใบปฏบิ ตั ิกจิ กรรม ท่ี 2.5 หน่วยที่ 2

หลกั สตู รประกาศนียบตั รวชิ าชพี ช้ันสูง สอนครง้ั ที่ 5

รหสั วิชา 3000 -1401 ชื่อวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ือพฒั นาทักษะการคดิ เวลา 1 ชม.
ชอ่ื เรอื่ ง การใช้ยทุ ธวธิ ีการใช้ตัวแปร

จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
1. สรุปความหมายของปัญหาทางคณติ ศาสตรไ์ ด้
2. สรปุ ความหมายของการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ได้
3. จาแนกประเภทของปญั หาได้
4. วิเคราะห์ปจั จัยตา่ งๆ ท่ีมผี ลกับความสามารถในการแกป้ ัญหาได้
5. นากระบวนการแกป้ ญั หาไปประยกุ ต์ใช้ในชวี ิตประจาวนั ได้
6. แกป้ ญั หาทางคณิตศาสตรด์ ้วยการใช้ยทุ ธวิธีการใชต้ วั แปร

สมรรถนะประจาหน่วย
แกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์โดยใชย้ ุทธวธิ ตี ่างๆ

ข้ันตอนการปฏบิ ัตกิ ิจกรรม

กจิ กรรมฝึกทักษะการใชต้ ัวแปร
1. เน่ืองในวันแม่แห่งชาติ ฟ้าสวยและใจดี เป็นพี่น้องกันได้ปรึกษากันว่าทั้งสองจะซ้ือ

ของขวัญใหค้ ณุ แมส่ กั ชิ้นหนึ่ง โดยนาเงินทท่ี งั้ สองเก็บสะสมไวไ้ ปซื้อ ถ้าฟ้าสวยมีเงินอยู่ 600 บาท ใจดี
มีเงินมากกว่าฟ้าสวย และสองเท่าของผลต่างของจานวนเงินของใจดีและฟ้าสวย เท่ากับ 170 บาท
อยากทราบว่า จานวนเงนิ ที่ฟา้ สวยและใจดีเกบ็ สะสมไวร้ วมกันเป็นเทา่ ไร

2. คนเลี้ยงวัวสังเกตพบว่า แม่วัวพันธุ์แท้ 3 ตัว และแม่วัวพันธุ์ผสม 2 ตัว ให้น้านมในเวลา
4 วัน ได้ปริมาณน้านมเท่ากับแม่วัวพันธ์ุแท้ 2 ตัว และแม่วัวพันธ์ุผสม 4 ตัว ให้นมในเวลา 3 วัน คน
เล้ยี งวัวคิดไม่ตกว่า แมว่ ัวพนั ธ์ใดให้นา้ นมมากกว่ากัน ขอใหท้ ่านชว่ ยคดิ ที

3. ให้นักศึกษาไปศึกษาค้นคว้าปัญหาที่แก้โดยยุทธวิธีใช้ตัวแปรมาหน่ึงปัญหา พร้อมกับ
นาเสนอวธิ ีการแกป้ ัญหา

ใบปฏิบตั ิกจิ กรรม ที่ 2.6 หน่วยท่ี 2

หลักสตู รประกาศนียบัตรวชิ าชพี ชนั้ สงู สอนครั้งท่ี 5

รหัสวิชา 3000 -1401 ช่อื วิชาคณิตศาสตร์เพื่อพฒั นาทกั ษะการคิด เวลา 1 ชม.
ช่ือเรื่อง การใช้ยุทธวิธีค้นหารูปแบบ

จุดประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
1. สรปุ ความหมายของปญั หาทางคณติ ศาสตร์ได้
2. สรปุ ความหมายของการแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้
3. จาแนกประเภทของปัญหาได้
4. วเิ คราะหป์ ัจจยั ตา่ งๆ ท่ีมผี ลกับความสามารถในการแกป้ ญั หาได้
5. นากระบวนการแก้ปญั หาไปประยุกตใ์ ช้ในชีวิตประจาวนั ได้
6. แกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์ด้วยการใช้ยุทธวิธีค้นหารปู แบบ

สมรรถนะประจาหน่วย
แกป้ ญั หาทางคณิตศาสตรโ์ ดยใชย้ ุทธวธิ ีต่างๆ

ขั้นตอนการปฏบิ ัติกิจกรรม
กจิ กรรมฝึกทกั ษะการใช้ยุทธวธิ ีค้นหารูปแบบ
1. จงหาพจนถ์ ัดไปอีก 3 พจน์ของอันดับ 1, 3, 5, 7, 9, …
2. จงหาพจน์ถัดไปอีก 3 พจนข์ องอนั ดบั 2, 4, 7, 11, 16, …
3. จงหาพจน์ถดั ไปอีก 3 พจนข์ องอนั ดับ 1, z, 2, y, x, …
4. จงหาพจน์ถดั ไปอีก 3 พจน์ของอนั ดบั 5, 3, 1,6, 4, 2, 7, …
5. วณพิ กพเนจรคนหน่ึงจะถวายการรับใชพ้ ระราชาเป็นเวลา 30 วนั โดยจะไดร้ บั ค่าจ้าง
100 เหรยี ญทองคา แต่วณพิ กทูลพระราชาว่าของค่าจ้างวันแรกเพยี ง 1 เหรียญทองแดง วันที่สอง 1
เหรยี ญทองแดง วันทส่ี าม 4 เหรียญทองแดง เช่นน้เี ร่อื ยไปโดยวันถัดมาของค่าจา้ งเป็นสองเทา่ ของวนั
กอ่ นหน้าน้ัน จนครบ 30 วนั ถ้าท่านเป็นพระราชา ท่านจะยอมทาตามคาของวณพิ กหรอื ไม่ ถา้
เหรยี ญทองแดง 1,000 อัน มีค่าเท่ากบั เหรียญทองคา 1 อัน
6. ใหน้ กั ศึกษาไปศึกษาคน้ คว้าปัญหาท่แี กโ้ ดยใช้ยทุ ธวธิ คี น้ หารูปแบบมาหนึง่ ปญั หา แลว้
นาเสนอวธิ ีการแกป้ ัญหา

กรอบการจดั การเรยี นรูแ้ บบบรู ณาการเปน็ เร่ือง/ช้ินงาน/โครงการ
และบูรณาการหลกั ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง

ความพอประมาณ

ใหน้ กั เรยี นทาแบบประเมินผล ใบงาน และกจิ กรรม
ใหพ้ อดีกับเวลา และความสามารถของนักเรยี นไม่มาก
ไม่นอ้ ยเกนิ ไป

ความมเี หตุผล หนว่ ยท่ี 3 การมภี มู ิคุ้มกัน
การแกป้ ญั หาทาง
ให้นกั เรียนอธิบายเหตุผลในการ ให้นักเรียนเตรยี มความพร้อมในการ
กระทานั้น ๆ ได้ และคานึงผลที่ คณิตศาสตร์ (ตอ่ ) เรยี น และเตรยี มตัวท่ีพบสถานการณ์
คาดว่าจะเกดิ ข้นึ จากการกระทา ตา่ ง ๆ ในอนาคต
นั้น ๆ อย่างรอบคอบ
เงื่อนไขด้านคุณธรรม จรยิ ธรรม คา่ นยิ ม
เง่ือนไขดา้ นความร้แู ละทักษะ คุณลักษณะทีพ่ ึงประสงค์

1. ยุทธวิธแี บ่งเป็นกรณี นักเรียนมีความขยัน อดทน ซือ่ สัตย์ มี
2. ยทุ ธวธิ ีการทายอ้ นกลับ ความตรงต่อเวลา ในการนาความรู้
3. ยทุ ธวธิ กี ารใหเ้ หตผุ ล คณิตศาสตร์ไปใชใ้ นชีวติ ประจาวนั

ผลกระทบเพ่ือความสมดุล พรอ้ มรับการเปลี่ยนแปลง

ด้านสงั คม ด้านเศรษฐกจิ ด้านวฒั นธรรม ด้านสิง่ แวดลอ้ ม

1. รู้และเขา้ ใจ 1.ให้นักเรยี นทา ใบงาน 1.รแู้ ละเขา้ ใจ การ 1.รู้และเขา้ ใจแหล่งเรียนรใู้ น
กระบวนการทางานกลมุ่
และกจิ กรรม โดยการใช้ ช่วยเหลือแบง่ ปันซงึ่ กนั ห้องเรยี น

วสั ดุ อปุ กรณ์ ท่ี และกัน

มอบหมายอย่างประหยดั

แผนการจดั การเรียนรู้ หน่วยท่ี 3

หลักสตู รประกาศนยี บัตรวชิ าชพี ช้นั สูง สอนครัง้ ที่ 6-8

รหสั วิชา 3000 -1401 ชื่อวชิ าคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาทักษะการคิด ท-ป-น 3-0-3

ชื่อหน่วยการเรียนรู้ การแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ (ตอ่ ) ทฤษฏี 3 ช่วั โมง ปฏบิ ัติ 0 ชวั่ โมง

1. สาระสาคัญ
ในชีวิตประจาวันกิจกรรมท่ีเราทาอยู่เป็นประจา คือ การแก้ปัญหาท่ีเกิดข้ึนในชีวิตจริง เช่น ปัญหาการ

เดินทาง ปัญหาการเรียน ปัญหาการทางาน เป็นต้น ในบรรดาปัญหาเหล่านั้นมีท้ังปัญหาที่เราสามารถแก้ได้ง่าย
โดยใช้ความรู้หรือประสบการณ์เดิมๆ และปัญหาที่มีความยุ่งยากซับซ้อนมาก จนเราไม่สามารถแก้ปัญหานั้นได้
ทันที ต้องอาศัยความรู้ ทักษะ และกระบวนการร่วมกับเทคนิควิธีหลายอย่างในการแก้ปัญหา ซ่ึงถ้าเรามีความรู้
หรือแหล่งความรู้ที่เพียงพอ เข้าใจขั้นตอน กระบวนการในการแก้ปัญหา มีเทคนิค/ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาท่ี
เหมาะสม ตลอดจนมีประสบการณ์ในการแก้ปัญหามาก่อน เราก็สามารถแก้ปัญหานั้นได้ดีและมีประสิทธิภาพ
(สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี 2555.) ความคดิ ในการแก้ปญั หา สามารถถ่ายโยงจากปัญหา
หนึง่ ไปยังอีกปัญหาหนง่ึ จากศาสตร์แขนงหนึ่งไปยังศาสตรอ์ ีกแขนงหนึง่ ได้

2. สมรรถนะประจาหน่วย
แกป้ ญั หาทางคณิตศาสตรโ์ ดยใชย้ ุทธวิธตี า่ งๆ

3. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
จุดประสงค์ทั่วไป
7. เพอ่ื ใหเ้ กดิ ความคดิ รวบยอดเกยี่ วกับทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
8. เพ่อื ให้นาความร้เู รื่องทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรป์ ระยกุ ต์ใช้ในงานอาชพี
9. เพอื่ ให้มเี จตคติทีด่ ตี ่อการเรียนรทู้ างคณิตศาสตร์
จดุ ประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม
14. อธิบายวธิ ีการแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ด้วยยุทธวธิ ีแบ่งเป็นกรณีได้
15. อธบิ ายวิธีการแกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์ดว้ ยยุทธวิธกี ารทาย้อนกลับได้
16. อธบิ ายวธิ กี ารแก้ปัญหาทางคณิตศาสตรด์ ว้ ยยุทธวิธใี ชก้ ารใหเ้ หตุผลได้
17. แกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตรด์ ว้ ยยทุ ธวธิ แี บง่ เปน็ กรณีได้
18. แกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ด้วยยทุ ธวธิ ีการทาย้อนกลับได้
19. แก้ปัญหาทางคณติ ศาสตรด์ ้วยยุทธวิธีใชก้ ารให้เหตุผลได้

4. สาระการเรียนรู้
3.1 ยทุ ธวิธีแบ่งเป็นกรณี

ปัญหาทางคณติ ศาสตรห์ ลายปญั หาสามารถแกไ้ ขได้ง่ายขึ้น เม่ือแบง่ ปัญหาเปน็ กรณีมากกวา่ 1 กรณี ซึง่ ในแต่
ละกรณจี ะมีความชัดเจนมากข้นึ เมือ่ แก้ปญั หาคาตอบของทุกกรณไี ด้แลว้ พิจารณาคาตอบของทุกกรณีรว่ มกัน
ยุทธวธิ ีนี้จะใชไ้ ดด้ ถี ้าปัญหาน้ันมจี านวนกรณีทเี่ ปน็ ไปได้ แนน่ อนซ่ึงบางครงั้ เราอาจใชก้ ารค้นหาแบบรูปและการ
สรา้ งตารางมาช่วยในการแจกแจงกรณดี ว้ ยก็ได้
ตัวอย่างท่ี 14 กาลังสองของจานวนนบั ใดๆ เมื่อหารดว้ ย 4 แลว้ เหลอื เศษเทา่ ไร
วิธแี กป้ ญั หา

1. ทาความเข้าใจปญั หา ถ้าให้ n เป็นจานวนนบั ใด ๆ n2 หารดว้ ย 4 เหลอื เศษเท่าไร
2. วางแผน พจิ ารณากาลงั สองของจานวนนับบางตัว เมื่อหารด้วย 4 เช่น

จากตวั อย่างจะเหน็ วา่ กาลงั สองของจานวนนับทเี่ ปน็ จานวนค่แู ละจานวนคี่ เมื่อหารด้วย 4 จะให้
ผลลัพธท์ ่มี ีเศษต่างกนั ดังนน้ั พจิ ารณาโดยแยกเปน็ กรณี เมื่อ n เป็นจานวนคู่ และ n เปน็ จานวนค่ี แลว้ พิจารณา
ว่า n2 เม่อื หารด้วย 4 เหลอื เศษเทา่ ไร

3. ดาเนินการตามแผน
ถ้า n เป็นจานวนคู่ ให้ n = 2x เมื่อ x เป็นจานวนนบั ใดๆ
จะได้ n2 = (2x)2 = 4x2 ซึ่งหารดว้ ย 4 ลงตัว
ถา้ n เป็นจานวนคี่ ให้ n = 2x + 1 เม่อื x เปน็ จานวนนบั ใดๆ
จะได้ n2 = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 = 4(x2 + x) + 1 ซ่งึ หารด้วย 4 เหลอื เศษ 1
เมื่อพิจารณาท้ังสองกรณี สรุปได้ว่า “กาลังสองของจานวนนบั ใดๆ เมื่อหารดว้ ย 4 จะหารลงตวั

หรอื ไม่ก็เหลือเศษ 1
1. ครอบครัวสขุ เกษมและครอบครวั สขุ สันต์เป็นเพื่อนบ้านกนั สนามหญา้ หน้าบา้ นของแต่

ละครอบครัวมลี ักษณะเป็นรูปสเี่ หลีย่ มมุมฉากที่มีความยาวโดยรอบเปน็ 24 เมตรเท่ากนั ถ้าพ้ืนท่ีของ
สนามหญา้ ของทงั้ สองครอบครวั ตา่ งกนั อยู่ 8 ตารางเมตร ความกวา้ งและความยาวของสนามหญา้
ของท้งั สองครอบครัวเป็นจานวนเต็มเมตร อยากทราบวา่ พื้นที่ของสนามหญ้าของท้งั สองครอบครัว
รวมกันเปน็ เทา่ ไร
3.2 ยุทธวธิ กี ารทาย้อนกลบั
ปัญหาบางปญั หาสามารถแกไ้ ด้งา่ ยกว่า ถ้าเร่ิมตน้ แก้ปัญหาโดยพจิ ารณาจากผลลพั ธ์สุดท้าย แล้วมอง
ยอ้ นกลับมาสู่ตวั ปัญหาอย่างมีขน้ั ตอน ยุทธวธิ ที าย้อนกลบั ใช้กระบวนการคิดวิเคราะห์ โดยพิจารณามาจากผล
ย้อนกลบั ไปหาเหตุ ซง่ึ จะต้องหาเง่ือนไขเชือ่ มโยงระหวา่ งส่ิงท่ีต้องการหากับสิง่ ทีก่ าหนดให้