Physics 1

คำนำ

วิชาฟิสิกส์ 1 เป็นวิชาพ้ืนฐานท่ีสาคัญอีกวิชาหนึ่งของนิสิตวิศวกรรม ควรที่จะศึกษาให้
เข้าใจ และการทาแบบฝึกหัดบ่อยๆจะช่วยให้เข้าใจวิชาน้ีได้มากยิ่งข้ึน ชมรมวิชาการฯเห็นถึง
ความสาคัญน้ีจงึ ได้จัดทา e-book นี้ขน้ึ มาเพื่อสรุปเน้ือหาและรวบรวมแบบฝึกหัดพร้อมเฉลยวิชา
ฟิสิกส์ 1 ซ่ึงเนื้อหาประกอบด้วย เวกเตอร์ จลนศาสตร์ของวัตถุ พลศาสตร์ของวัตถุ งานและ
พลังงาน การเคลื่อนที่ของกลุ่มอนุภาค การเคล่ือนท่ีของวัตถุแข็งแกร่ง การแกว่ง คล่ืนกลใน
ตวั กลางยืดหยุ่น เสียง ทฤษฏีจลน์ของก๊าซ และอุณหพลศาสตร์ ทั้งยังได้จัดทาแนวข้อสอบทั้งการ
สอบกลางภาคและปลายภาคไว้อีกดว้ ย

ชมรมวิชาการฯ หวังว่า e-book น้ีจะเป็นประโยชน์แก่น้องๆนิสิตคณะวิศวกรรมศาสตร์
ช้ันปีที่1 ไม่มากก็น้อย ขอให้น้องๆมีความสุขในการศึกษาในคณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัย
นเรศวรแห่งนี้ และโชคดใี นทุกการสอบ

ชมรมวชิ าการ สโมสรนิสิตคณะวศิ วกรรมศาสตร์

สำรบัญ

เร่ือง หนา้

บทที่ 1 เวกเตอร์ 4
บทท่ี 2 จลนศาสตรข์ องวตั ถุ 11
บทที่ 3 พลศาสตรข์ องวัตถุ 26
บทท่ี 4 งานและพลงั งาน 33
บทท่ี 5 การเคลื่อนท่ีของกลุ่มอนุภาค 42
บทท่ี 6 การเคลอื่ นทขี่ องวตั ถแุ ข็งแกรง่ 48
บทท่ี 7 การแกวง่ 54
แนวข้อสอบกลางภาค 56
บทที่ 8 คลนื่ กลในตวั กลางยืดหย่นุ 64
บทที่ 9 เสยี ง 69
บทที่ 10 ทฤษฏีจลน์ของกา๊ ซ 75
บทท่ี 11 อุณหพลศาสตร์ 81
บทท่ี 12 ของไหล 89
บทที่ 13 ทศั นศาสตร์เชิงเรขาคณิต 100
บทท่ี 14 ทัศนศาสตรค์ ล่ืน 114
แนวข้อสอบปลายภาค 131

บทท่ี 1 เวกเตอร์

ปรมิ ำณเวกเตอร์ คอื ปริมาณท่มี ีท้งั ขนาดทศิ ทาง เชน่ การกระจัด ความเร็ว
ความเรง่ แรง

กำรเทำ่ กันของเวกเตอร์
⃗A = B⃗ ก็ตอ่ เม่อื มีขนาดเทา่ กนั และทศิ ทางเดยี วกนั ไม่จาเป็นต้องเร่ิมจากจดุ เดียวกนั หรือ
อย่บู นเส้นตรงเดียวกนั

เวกเตอรน์ เิ สธ
A⃗ = −⃗B หรือ ⃗B = −⃗A มขี นาดเท่ากนั แต่ทิศทางตรงขา้ มกนั

กำรรวมเวกเตอรโ์ ดยกำรเขียนรูป
= − ⃗
= ⃗ − ⃗

คณุ สมบัติของเวกเตอร์
1. ⃗A + ⃗B = ⃗B + ⃗A
2. A⃗ + (B⃗ + C⃗ ) = (⃗A + ⃗B) + C⃗
3. mA⃗ จะมขี นาดเปน็ m เทา่ ของ A⃗ (m>0 ทิศเดิม , m<0 กลบั ทิศ , m=0 เปน็ เวกเตอร์ศนู ย์)
4. E⃗ = ⃗A − ⃗B − ⃗C + ⃗D⃗ = ⃗A + (−⃗B) + (−⃗C) + D⃗⃗
5. m⃗A = ⃗Am
6. m(n⃗A) = (mn)⃗A
7. (m + n)⃗A = mA⃗ + nA⃗
8. m(⃗A + ⃗B) = m⃗A + mB⃗

เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในระบบแกนมุมฉำก
̂ แทนทศิ ทาง +x
̂ แทนทศิ ทาง +y
̂ แทนทศิ ทาง +z

4

กำรกระทำกบั เวกเตอร์ ในรูปแบบเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ย
ให้ A⃗ = Axî + Ayĵ + Azk̂

B⃗ = Bxî + Byĵ + Bzk̂
A = |⃗A| = √A2x + A2y + A2z
A⃗ ± ⃗B = (Ax ± Bx)î + (Ay ± By)ĵ + (Az ± Bz)k̂
| + ⃗ | = √( + )2 + ( + )2 + ( + )2
⋅ ⃗ = + + =

ⅈ
× ⃗ = | | = ( − ) ̂ + ( − ) ̂ + ( − ) ̂



| × ⃗ | = sin
= ( ) ̂ + ( ) ̂ + ( ) ̂



∫ ⅆ = ∫ ( ) ⅆ ̂ + ∫ ( ) ⅆ ̂ + ∫ ( ) ⅆ ̂

 A  B  A2  B2  2AB cos

A  B  A2  B2  2AB cos

Ax  Acosiˆ
A  A2 x  A2 y  (Acos )2  (Asin )2

5

แบบฝึกหดั
1. จงหา ⃑ ถ้า ⃑ = ⃑ + ⃗⃑ ให้ ⃑ = 3 ̂ − 4 ̂ และ ⃗⃑ = 8 ̂ − 10 ̂
2. จงหา ⃑ ถ้า ⃑ = ⃑ − ⃑ ให้ ⃑ = 9 ̂ − 3 ̂ และ ⃑ = 4 ̂ − 7 ̂

โจทย์ตอ่ ไปนี้ใชต้ อบคาถามขอ้ 3-5
ให ้ ⃑ = 2 ̂ + 3 ̂ + 4 ̂ , ⃗⃑ = 3 ̂ + 4 ̂ + 5 ̂

3. จงหา ⃑ ∙ ⃗⃑
4. จงหา ⃑ × ⃗⃑
5. จงหา มุมระหวา่ ง ⃑ และ ⃗⃑
โจทยต์ อ่ ไปนี้ใชต้ อบคาถามขอ้ 6-11

กาหนดให้ ⃑ = 2 ̂ − 3 ̂ + ̂ , ⃗⃑ = 3 ̂ − 3 ̂ + ̂ และ ⃑ = 4 ̂ − 3 ̂ + ̂
6. จงหาค่าของเวกเตอร์ลัพธ์ ⃗⃑ ซงึ่ ⃗⃑ = ⃑ + 2 ⃗⃑ − ⃑
7. จงหาคา่ ของ ⃑ ∙ ( ⃗⃑ × ⃑ )
8. จงหาค่าของ( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ⃑
9. จงหาค่าของ( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ( ⃑ × ⃗⃑ )
10. จงหาคา่ ของ ̂ × ⃑
11. จงหาค่าของ ̂ × ( ̂ × ⃑ )

6

เฉลย
1. จงหา ⃑ ถา้ ⃑ = ⃑ + ⃗⃑ ให้ ⃑ = 3 ̂ − 4 ̂ และ ⃗⃑ = 8 ̂ − 10 ̂
วธิ ที า ⃑ + ⃗⃑ = (3 + 8) ̂ − (4 + (−10)) ̂

⃑ + ⃗⃑ = 11 ̂ + 6 ̂
⃑ = 11 ̂ + 6 ̂

2. จงหา ⃑ ถา้ ⃑ = ⃑ − ⃑ ให้ ⃑ = 9 ̂ + 3 ̂ − ̂ และ ⃑ = 4 ̂ − 7 ̂ + 3 ̂
วธิ ีทา ⃑ − ⃑ = (9 − 4) ̂ + (3 − (−7)) ̂ + (−1 − 3) ̂

⃑ − ⃑ = 5 ̂ + 10 ̂ − 4 ̂
⃑ = 5 ̂ + 10 ̂ − 4 ̂

โจทยต์ ่อไปน้ใี ชต้ อบคาถามขอ้ 3-5
ให ้ ⃑ = 2 ̂ + 3 ̂ + 4 ̂ , ⃗⃑ = 3 ̂ + 4 ̂ + 5 ̂ จงหา

3. จงหา ⃑ ∙ ⃗⃑
วิธที า ⃑ ∙ ⃗⃑ = + +

⃑ ∙ ⃗⃑ = ( × ) ̂ + ( × ) ̂ + ( × ) ̂
⃑ ∙ ⃗⃑ = (2 × 3) ̂ + (3 × 4) ̂ + (4 × 5) ̂
⃑ ∙ ⃗⃑ = 6 + 12 + 20
⃑ ∙ ⃗⃑ = 38

4. จงหา ⃑ × ⃗⃑

ⅈ

วธิ ที า ⃑ × ⃗⃑ = | |


ⅈ

⃑ × ⃗⃑ = |2 3 4|

345

⃑ × ⃗⃑ = (15 − 16)ⅈ̂ + (12 − 10) ̂ + (8 − 9) ̂
⃑ × ⃗⃑ = −ⅈ̂ + 2 ̂ − ̂

7

5. จงหา มมุ ระหว่าง ⃑ และ ⃗⃑

วิธที า ⃑ ∙ ⃗⃑ =

⃑ ∙ ⃗⃑ = 38
= 38
จาก ⃑ = 2 ̂ + 3 ̂ + 4 ̂

|A⃗ | = √A2x + A2y + A2z
|⃗A| = √22 + 32 + 42
|⃗A| = √29
และ ⃗⃑ = 3 ̂ + 4 ̂ + 5 ̂

|⃗B| = √32 + 42 + 52
|⃗B| = 5√2
จะได้ = √29 × 5√2

= 5√58

5√58 = 38
= 38

5√58

= cos−1 38

5√58

โจทยต์ ่อไปนี้ใชต้ อบคาถามข้อ 6-11

กาหนดให้ ⃑ = 2 ̂ − 3 ̂ + ̂ , ⃗⃑ = 3 ̂ − 3 ̂ + ̂ และ ⃑ = 4 ̂ − 3 ̂ + ̂

6. จงหาค่าของเวกเตอรล์ ัพธ์ ⃗⃑ ซ่ึง ⃗⃑ = ⃑ + 2 ⃗⃑ − ⃑

วิธที า ⃑ + 2 ⃗⃑ − ⃑ = (2 ̂ − 3 ̂ + ̂ ) + 2(3 ̂ − 3 ̂ + ̂ ) − (4 ̂ − 3 ̂ + ̂ )

⃗⃑ = 2 ̂ − 3 ̂ + ̂ + 6 ̂ − 6 ̂ + 3 ̂ − 4 ̂ + 3 ̂ − ̂
⃗⃑ = 4 ̂ − 6 ̂ + 2 ̂

| ⃗⃑ | = √42 + (−6)2 + 22

| ⃗⃑ | = √16 + 36 + 4

| ⃗⃑ | = √56 = 7.48

̂ = 4 ̂−6 ̂+2 ̂
7.48
̂ = 0.53 ̂ − 0.80 ̂ + 0.27 ̂

8

7. จงหาค่าของ ⃑ ∙ ( ⃗⃑ × ⃑ )

ⅈ

วิธีทา ⃗⃑ × ⃑ = |3 −3 1|

4 −3 1

⃗⃑ × ⃑ = (−3 − (−3)) ̂ + (4 − 3) ̂ + (−9 − (−12)) ̂
⃗⃑ × ⃑ = ̂ + 3 ̂
⃑ ∙ ( ⃗⃑ × ⃑ ) = (2 ̂ − 3 ̂ + ̂ ) ∙ ( ̂ + 3 ̂ )
⃑ ∙ ( ⃗⃑ × ⃑ ) = (2 × 0) ̂ + ((−3) × 1) ̂ + (1 × 3) ̂
⃑ ∙ ( ⃗⃑ × ⃑ ) = (−3) + 3
⃑ ∙ ( ⃗⃑ × ⃑ ) = 0

8. จงหาค่าของ ( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ⃑

ⅈ

วิธที า ⃑ × ⃗⃑ = |2 −3 1|

3 −3 1

⃑ × ⃗⃑ = (−3 − (−3)) ̂ + (3 − 2) ̂ + (−6 − (−9)) ̂
⃑ × ⃗⃑ = ̂ + 3 ̂
( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ⃑ = ( ̂ + 3 ̂ ) ∙ ( 4 ̂ − 3 ̂ + ̂ )
( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ⃑ = (0 × 4) ̂ + (1 × (−3)) ̂ + (3 × 1) ̂
( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ⃑ = (−3) + 3
( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ⃑ = 0

9. จงหาคา่ ของ ( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ( ⃑ × ⃗⃑ )
วิธที า ( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ( ⃑ × ⃗⃑ ) = ( ̂ + 3 ̂ ) ∙ ( ̂ + 3 ̂ )

( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ( ⃑ × ⃗⃑ ) = (1 × 1) ̂ + (3 × 3) ̂
( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ( ⃑ × ⃗⃑ ) = 1 + 9
( ⃑ × ⃗⃑ ) ∙ ( ⃑ × ⃗⃑ ) = 10

9

10. จงหาค่าของ ̂ × ⃑
วธิ ที า ̂ × ⃑ = ̂ × (2 ̂ − 3 ̂ + ̂ )

̂ × ⃑ = 2( ̂ × ̂) − 3( ̂ × ̂) + ( ̂ × ̂ )
̂ × ⃑ = 2 ̂ − 3(− ̂)
̂ × ⃑ = 3 ̂ + 2 ̂
11. จงหาคา่ ของ ̂ × ( ̂ × ⃑ )
วิธที า ̂ × ( ̂ × ⃑ ) = ̂ × (3 ̂ + 2 )̂
̂ × ( ̂ × ⃑ ) = 3( ̂ × ̂) + 2( ̂ × ̂)

̂ × ( ̂ × ⃑ ) = −3 ̂

10

บทที่ 2 จลนศำสตร์ของวตั ถุ

2.1 กำรเคล่อื นท่ีในแนวเส้นตรง
ปริมาณทเ่ี กีย่ วข้องกบั การเคล่ือนท่แี นวตรง

ตาแหน่ง (position) คือ จดุ ทีบ่ อกให้ทราบวา่ วัตถหุ รือสิ่งของ อยทู่ ใี ดเม่ือเทียบกับจดุ อา้ งอิง
ระยะทาง (distance) คือ ความยาวที่วัดตามเส้นทางการเคลื่อนทข่ี องวัตถจุ ากตาแหนง่ เริ่มต้น ถึงตาแหน่ง

สดุ ท้าย จัดเปน็ ปริมาณสเกลลาร์ มีหน่วยเป็นเมตร
การกระจัด (displacement) คือ ระยะทวี่ ดั เป็นเส้นตรงจากจดุ ต้งั ต้นของการเคล่อื นท่ี ตรงไปยงั ตาแหนง่

สุดทา้ ยทีว่ ตั ถอุ ยู่ในขณะนัน้ โดยไม่สนใจว่าวตั ถจุ ะมเี สน้ ทางการเคลื่อนท่เี ป็นอยา่ งไร จัดเปน็ ปรมิ าณ
เวกเตอร์ มีหนว่ ยเปน็ เมตร
ขอ้ สังเกต การเคลอื่ นทโ่ี ดยทว่ั ไป ระยะทางจะมากกว่าการกระจัดเสมอ ยกเว้นเมือ่ วัตถเุ คล่อื นท่เี ป็น
เส้นตรง การกระจัดจะมขี นาดเทา่ กบั ระยะทาง

จากรปู การเดินทางจากบ้านไปโรงเรยี น เส้นทาง B และ C เปน็ ระยะทางตามถนนไปโรงเรยี น แต่ระยะท่พี ุ่ง
ตรงจากบา้ นไปยังโรงเรยี น(ระยะ A ) เป็นการกระจัด

เวลา คือ เวลาที่ใชใ้ นการเคลือ่ นทต่ี ามเส้นทาง มหี นว่ ยเปน็ วินาที
อัตราเรว็ คอื ระยะทางทว่ี ัตถเุ คล่ือนทไี่ ด้ในหน่งึ หนว่ ยเวลา จดั เปน็ ปรมิ าณสเกลลาร์ หนว่ ยในระบบเอสไอ

มีหนว่ ยเปน็ เมตรต่อวินาที


=
เม่ือ V = อตั ราเร็ว หน่วยเปน็ m/s

s= ระยะทาง หนว่ ยเป็น m
t = เวลา หนว่ ยs

11

ความเร็ว คือ ขนาดของการกระจัดทวี่ ัตถเุ คล่ือนทไี่ ด้ในหนง่ึ หนว่ ยเวลา จดั เป็นปรมิ าณเวกเตอร์ ใชห้ นว่ ย
เดยี วกับอัตราเรว็ มีหน่วยเปน็ เมตรตอ่ วินาที

⃑
⃑ =
อตั ราเรว็ เฉลย่ี เป็นปรมิ าณสเกลาร์ คานวณหาจากระยะทางทั้งหมดของการเคล่อื นที่ในหน่ึงหน่วยเวลาของ
การเคลอ่ื นที่

อตั ราเรว็ เฉลี่ย = ระยะทางทงั้ หมด
เวลา

ความเร็วเฉลย่ี เป็นปรมิ าณเวกเตอร์ คานวณหาจากกระจัดของการเคล่ือนท่ีในหนึ่งหนว่ ยเวลา

ความเรว็ เฉล่ีย = การกระจัด
เวลา

ความเร็วและอตั ราเร็วขณะใดขณะหนงึ่

ความเรว็ ขณะใดขณะหนง่ึ (Instantaneous velocity) ก็คอื ความเรว็ ของวตั ถุในชว่ งเวลาท่ี สน้ั มาก
ขณะผ่านจุดจดุ หนง่ึ หรือทเ่ี วลาใดเวลาหน่ึง หรือพูดสัน้ ๆ วา่ เปน็ ความเร็วในชว่ งเวลาทีส่ ้นั มาก น้ันคือ

= lim Δ ⅆ
( Δ ) =
∆ →0 ⅆ

สัญลักษณ์ในสมการ เป็นสญั ลักษณท์ ใ่ี ช้ในวชิ าคณิตศาสตร์แสดงกระบวน การทางคณิตศาสตร์ที่ใช้หา ค่า lim

เมอ่ื ทราบฟังก์ชันชดั เจนและคา่ หรอื เป็นทาอนพุ ันธ์ของ X เทียบกบั เวลา ซ่งึ เปน็ สัญลักษณ์

แทน นัน่ เอง ถอื เป็นตวั ดาเนิน การตวั หน่ึง ซง่ึ จะกระทาบางอยา่ งกับสง่ิ ที่เขยี นตามมา กราฟ

ของ ตาแหนง่ ของวตั ถุกบั เวลาอาจเป็นดังรปู ระหวา่ ง จดุ และ ที่เวลา และ ซ่งึ จะเรยี กว่าจุด P

และ จุด Q การเคล่ือนทอ่ี าจ เปน็ ไปตามเสน้ โค้ง

ความเร่ง คือ ความเร็วทีเ่ ปลีย่ นไปในหนึง่ หนว่ ยเวลาเป็นปรมิ าณเวกเตอรห์ รอื อตั ราการเปลย่ี นความเร็ว

เมือ่ วัตถมุ คี วามเร่งในชว่ งเวลาหน่งึ ความเร็วของมันจะเปลี่ยนแปลงไป ความเร่งอาจมีคา่ เป็นบวกหรือลบกไ็ ด้
ซึ่งเรามกั ว่าเรยี ก ความเร่ง (+a) กับ ความหน่วง (-a) ตามลาดับ ความเร่งมนี ิยามวา่ "อัตราการ
เปลย่ี นแปลงความเรว็ ของวตั ถุในช่วงเวลาหนง่ึ "

12

โดยสามารถเขียนเปน็ ความสัมพันธ์ระหว่างความเรว็ และเวลาไดว้ ่า

∆ ⃑ หรอื ⃑ = ⃗⃗ ⃗⃗2⃑ − ⃗⃗⃗ ⃗1⃑
⃑ = ∆ 2 − 1

เม่อื ⃑ = ความเร่ง หน่วยเปน็ m/s2

∆ ⃑ = ความเรว็ สุดทา้ ย-ความเร็วเริม่ ต้น หน่วยเป็น m/s

∆ = ระยะเวลาทั้งหมดที่วตั ถุใชใ้ นการเคล่ือนท่ี หนว่ ยเปน็ s

คานิยามของความเร่งขณะหนึง่ และความเร่งเฉล่ยี

ความเรง่ ขณะหนงึ่ คอื ความเร่งในช่วงเวลาสัน้ ๆ

ความเร่งเฉลีย่ คอื อตั ราสว่ นระหวา่ งความเรว็ ทีเ่ ปลยี่ นไปทั้งหมดกบั ชว่ งเวลาทเ่ี ปลย่ี นความเรว็ นั้น

นอกจากสูตรการคานวณการเคล่ือนทีใ่ นแนวเส้นตรง ⃑ = ⃑ และ ⃑ = ∆ ⃗⃑ แลว้ ยังสตู รการคานวณ

∆

เกย่ี วกบั การเคล่อื นที่อีก ไดแ้ ก่

⃑ = ⃗⃑ + ⃑

⃗⃑ + ⃑
⃑ = ( 2 )

⃑ = ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃑ + 1 ⃑ 2
2

⃑ 2 = ⃗⃑ 2 + 2 ⃑ ⃑

เม่อื ⃑ = ระยะทาง หนว่ ยเปน็ m

= อัตราเร็วเร่ิมตน้ หนว่ ยเป็น m/s

= อัตราเรว็ ปลาย หนว่ ยเป็น m/s
⃑ = ความเร่ง หน่วยเป็น m/s2

= ระยะเวลา หน่วยเปน็ s

13

ตามรปู แลว้ มีวตั ถมุ วล (m) ความเร็วต้น (u) เคล่อื นท่ไี ปในระยะเวลา (t) ได้ระยะทางเท่ากับ (s) จนมคี วามเร็ว
ปลาย (v) ซงึ่ ขณะทกี่ าลังเคลือ่ นท่มี อี ตั ราเร่ง (a) เกดิ ข้นึ ซงึ่ เปน็ แบบทว่ั ไปในการใช้ต้งั คาถามเกย่ี วกับ
การเคลือ่ นทแ่ี บบมคี วามเร่ง

2.2 กำรเคล่ือนท่ีในสองมิติ และสำมมิติ

การเคล่ือนท่ใี นสองมติ ิสามารถแยกคิดแบบการเคลอ่ื นทห่ี นึง่ มติ ทิ ่ีตัง้ ฉากกนั และสามารถ นาการคดิ
สองทางนน้ั มาประกอบกนั หรือนามารวมกนั แบบเวกเตอรไ์ ด้ ตามแนวของแกนสามแกนที่ ตง้ั ฉากซง่ึ กัน คือ
ตามแกนของระบบโคออร์ดิเนต XYZ สาหรับการเคล่อื นที่สามมิติ และตามแกน ของระบบโคออร์ดเิ นต XY
สาหรบั การเคลือ่ นทส่ี องมติ ิ ตาแหน่งของวัตถใุ นสองมิติทจ่ี ดุ ทเี่ วลา 1 กาหนดได้ด้วยค่า 1และ 1 ทาง
แกน และyตามลาดับ และตาแหน่งของวตั ถุนั้นทเี่ วลา 2(จดุ Q) สมมตใิ หเ้ ปน็ 2และ 2การกระจดั หรือ
การเปลย่ี นแปลงตาแหน่งระหว่างสองจุดน้ันใหเ้ ปน็ ไปตามเส้นโคง้ ดังรูป

ความเรว็ เฉลยี่ สาหรบั การเคลอ่ื นทไี่ ปทาง x คือ , = 2− 1
2− 1

ความเรว็ เฉลี่ยสาหรับการเคลือ่ นที่ไปทาง y คือ , = 2− 1
2− 1

เมอ่ื 2และ 1เขา้ ใกลก้ ันมากๆ ความเรว็ เฉลี่ยจะเป็นความเร็วขณะใดขณะหนง่ึ

2.3 กำรเคลื่อนทเ่ี ปน็ วงกลม

ปริมาณทเี่ กีย่ วข้องกับการเคลอื่ นทแี่ บบวงกลมด้วยอัตราเรว็ คงท่ี
1.คาบ (Period) "T" คือ เวลาท่วี ตั ถุเคลอ่ื นทีค่ รบ 1 รอบ หนว่ ยเป็นวนิ าท่ี/รอบ หรอื วนิ าที
2.ความถี่ (Frequency) "f" คือ จานวนรอบทว่ี ัตถุเคล่ือนทไี่ ดภ้ ายในเวลา 1 วินาที หนว่ ยเป็นรอบ/วินาที หรอื
เฮิรตซ์ (Hz)

14

เม่อื วัตถเุ คลื่อนท่ีแบบวงกลมด้วยอตั ราเร็วคงท่ี คาบ และความถ่จี ะมคี า่ คงที่ โดยคาบและความถ่ีสมั พันธ์กัน
โดย

1
=

ความสมั พนั ธร์ ะหว่าง v, T, f

จากรปู วตั ถเุ คลอ่ื นทเ่ี ปน็ วงกลมรอบจุด O มรี ศั มี r ด้วยอตั ราเรว็ คงที่ เม่อื พจิ ารณาการเคล่อื นท่ีครบ 1 รอบ

จาก V =
ครบ1รอบ


= 2

ดงั นั้น = 2 หรอื = 2


ความเร่งสศู่ นู ย์กลาง (a)

วตั ถุทเ่ี คลอื่ นทเี่ ป็นวงกลมจะเกดิ ความเรง่ 2 แนว คอื ความเรว็ แนวเสน้ สัมผัสวงกลม และความเรง่ แนวรัศมี

หรือความเร่งสศู่ ูนย์กลาง

ถา้ วตั ถุเคลอื่ นท่ดี ้วยอตั ราเรว็ คงที่ เช่น วงกลมในแนวระนาบจะเกิดความเรง่ ส่ศู ูนย์กลางเพียงแนวเดียว

การที่วตั ถมุ ีอตั ราเร็วเทา่ เดมิ แตท่ ิศทางเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ย่อมหมายความว่า ต้องมคี วามเร็วอ่ืน
มาเก่ียวขอ้ งดว้ ย ความเร็วทม่ี าเกย่ี วข้องน้จี ะพิสูจนไ์ ดว้ ่า มที ิศทางเขา้ ส่จู ดุ ศูนย์กลางของการเคล่ือนท่ี และ
ความเรว็ นีเ้ ม่อื เทยี บกับเวลาจะเป็นความเร่งซงึ่ มีค่า

2
=

15

การหาแรงที่ทาใหว้ ตั ถเุ คลือ่ นทแี่ บบวงกลม

จากกฎการเคล่อื นทีข่ อ้ ท่ีสองของนิวตัน และการเคลื่อนทีแ่ บบวงกลม แรงลพั ธท์ ี่มากระทาต่อวตั ถุกับ

ความเรง่ ของวัตถุจะมที ศิ ทางเดียวกนั คอื ทิศพงุ่ เขา้ หาจดุ ศูนย์กลาง ซึ่งเขียนเป็นสมการไดว้ า่

∑ =
จาก ∑ = ⋯ ⋯ ⋯ { = 2

2
เพราะฉะนนั้ =

อัตราเร็วเชงิ มุม (Angular speed)

อตั ราเร็วของวตั ถทุ เี่ คล่อื นท่แี บบวงกลมที่กลา่ วมาแลว้ นน้ั คือความยาวของเสน้ โค้งที่วตั ถุเคลอ่ื นที่ไดใ้ น
เวลา 1 วนิ าที ซงึ่ เราอาจเรยี กอกี อยา่ งหนง่ึ ว่า อัตราเรว็ เชงิ เส้น (v)

แตใ่ นทนี่ ้ียงั มอี ัตราเรว็ อกี ประเภทหนงึ่ ซง่ึ เปน็ การบอกอัตราการเปลีย่ นแปลงของมุมท่จี ุดศนู ย์กลาง
เนื่องจากการกวาดไปของรัศมี ใน 1 วนิ าที เรียกวา่ อัตราเรว็ เชงิ มมุ (ω) อ่านว่า โอเมกา้

นยิ ามอตั ราเชิงมมุ (ω) คือ มุมทรี่ ัศมีกวาดไปได้ใน 1 วนิ าทมี หี น่วยเป็น เรเดียน/วินาที

การบอกมมุ นอกจากจะมหี น่วยเปน็ องศาแล้ว ยังอาจใช้หน่วยเปน็ เรเดียน (radian) โดยมีนยิ ามวา่ มมุ
1 เรเดยี น มีค่าเท่ากบั มมุ ท่จี ดุ ศนู ย์กลางของวงกลม ซงึ่ มีเส้นโคง้ รองรบั มมุ ยาวเทา่ กับรศั มี หรอื กล่าวไดว้ ่ามุมใน
หนว่ ยเรเดยี น คอื อตั ราส่วนระหว่างสว่ นเส้นโค้งท่ีรองรบั มมุ กับรัศมีของวงกลม

ถ้า a คอื ความยาวองส่วนโค้งท่รี องรบั มุม

r คือ รัศมีของส่วนโค้ง

q คอื มมุ ท่จี ุดศูนยก์ ลางเปน็ เรเดียน

จะได้ว่า θ =



จากนยิ ามอตั ราเรว็ เชงิ มุมจะไดว้ ่า


ω =

16

ความสัมพันธ์ระหวา่ งมุมในหน่วยองศากับเรเดยี น

เมื่อพิจารณาวงกลม พบว่ามุมรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมเทา่ กบั 360 องศา โดยสว่ นโคง้ ท่รี องรบั
มุมกค็ อื เส้นรอบวงนน้ั เอง

จาก θ =



เมื่อ = 2 จะได้วา่ θ = 2 = 2 เรเดยี น



ดงั นนั้ สรปุ ไดว้ ่า มุม 360 องศา เทียบเทา่ กับมมุ 2π เรเดียน
เม่ือพจิ ารณาวตั ถเุ คล่อื นท่ีแบบวงกลมดว้ ยอัตราเร็วคงท่คี รบ 1 รอบพอดี

จาก ω =



จะได้วา่ ω = 2 = 2



จาก = 2 ดงั นน้ั =


ซงึ่ เป็นความสัมพันธ์ระหวา่ งอตั ราเร็วเชิงเสน้ (v) และอตั ราเรว็ เชิงมุม (w)

17

แบบฝึกหดั
1. กระจัด 200 เมตร ไปทางทิศตะวันออก รถคนั นม้ี อี ัตราเรว็ เฉลย่ี และความเรว็ เฉลี่ยเปน็ เทา่ ใด

2. วัตถุชนดิ หนึ่งเคลอื่ นทีจ่ ากจุด A ไปจุด B ด้วยอตั ราเรว็ 6.0 m/s ใชเ้ วลา 20 วินาที หลังจากนั้นเคล่อื นที่
จากจดุ B ไปจุด C ดว้ ยอัตราเร็ว 4.0 m/s ใชเ้ วลา 10 วินาที จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยของวัตถนุ ีใ้ นการเคลอ่ื นที่
จากจุด A ไปจุด C

3. เด็กคนหนงึ่ เดนิ ไปทางทิศเหนือไดร้ ะยะทาง 300 เมตร จากนน้ั เดนิ ไปทางทศิ ตะวนั ออกไดร้ ะยะทาง 400
เมตร ใชเ้ วลาเดนิ ทางท้งั หมด 500 วินาที เดก็ คนนเี้ ดนิ ด้วยอตั ราเร็วเฉลยี่ ก่เี มตรต่อวนิ าที
4. ผกู วตั ถทุ ีป่ ลายลา่ งของเชือกเสน้ หน่งึ ยาว 1 เมตร ตรึงปลายบนไว้แลว้ แกวง่ วัตถุให้เปน็ วงกลมในระนาบ
ระดบั ถา้ เชือกทามุม θ กบั แนวด่ิงวัตถจุ ะแกวง่ ครบรอบในเวลา T วินาที ความเรง่ สศู่ นู ยก์ ลางของวัตถมุ คี า่

5.รถยนต์คนั หนึ่งเคลือ่ นท่ใี นแนวตรงโดยมีความเรว็ 20 เมตรต่อวินาที ต่อมาคนขบั ได้เร่งเครื่องยนตท์ าให้
รถยนต์มคี วามเรง่ 3 เมตรตอ่ วนิ าที2 เปน็ เวลา 5 วินาที จงหาความเรว็ ท่ีเวลา 5 วินาที

18

6. ชายคนหน่งึ เดินจากจุด A ไปจดุ B และจุด C โดยใช้เวลา ดังรูป

จงคานวณอตั ราเรว็ เฉลี่ยในช่วงเวลา 0-4 วินาที และ 4-7 วินาที
7. จากรูป เดมิ วัตถอุ ย่ทู ต่ี าแหน่ง A ในเวลาตอ่ มายา้ ยไปอยู่ที่ตาแหน่ง B ถามวา่ ในการเปลยี่ นตาแหน่งน้จี ะได้
ระยะทางส้นั ท่ีสุดเทา่ ไร

8. ชายคนหนงึ่ เดินจากจุดอ้างอิง 0 ไปตามลูกศร แล้วหยดุ นิง่ ทต่ี าแหน่ง 4 เมตรจงหาขนาดของการกระจัด
และระยะทางทั้งหมด
9. ในการเคลอื่ นท่ีแบบเสน้ ตรงของรถยนต์ 2 คนั P และ Q เม่ือนาการกระจัดเขียนกราฟกับเวลาจะไดด้ งั รปู
จงคานวณความเร็วเฉลีย่ ของรถ P และ Q ในช่วงเวลาจาก 0 ถงึ 10 วนิ าที

10. จากรูป ชายคนหนง่ึ เดนิ ทางจากตาบล A ไปตาบล E ตามเสน้ ทางทผ่ี า่ นตาบล B,C และ D ใช้เวลาทง้ั สิ้น
15 วนิ าที จงคานวณความเรว็ และอัตราเรว็ ในการเดินของชายคน

19

เฉลย

1. รถเคลอ่ื นที่ไปทางทศิ ตะวนั ออกจากจดุ A ไปยงั จุด B ในเวลา 20 วนิ าที ได้ระยะทาง 200 เมตร หรอื การ
กระจัด 200 เมตร ไปทางทิศตะวันออก รถคันนี้มีอัตราเร็วเฉล่ยี และความเรว็ เฉล่ียเปน็ เทา่ ใด

วธิ ที า อตั ราเร็วเฉล่ียและความเร็วเฉลยี่ เทา่ กบั 10 m/s มที ิศไปทางทิศตะวันออก
อัตราเร็วเฉลี่ย = ระยะทาง / เวลา =200m=10 m/s

20

ความเรว็ เฉลย่ี = การกระจดั / เวลา =200m=10 m/s

20

ดังน้นั อัตราเร็วเฉลี่ยและความเรว็ เฉล่ยี เทา่ กบั 10 m/s มที ศิ ไปทางทิศตะวันออก

2. วัตถุชนิดหน่งึ เคลื่อนท่จี ากจุด A ไปจดุ B ด้วยอตั ราเรว็ 6.0 m/s ใช้เวลา 20 วนิ าที หลงั จากนนั้ เคลื่อนที่
จากจุด B ไปจดุ C ดว้ ยอตั ราเร็ว 4.0 m/s ใช้เวลา 10 วนิ าที จงหาอตั ราเร็วเฉลี่ยของวตั ถนุ ใี้ นการเคล่ือนท่ี
จากจดุ A ไปจดุ C

วิธที า
จากจดุ A ไป B เคลอ่ื นทไี่ ปไดร้ ะยะทางเท่ากบั

=6.0×20=120 m
จากจดุ B ไป C เคลือ่ นท่ีไปไดร้ ะยะทางเทา่ กบั

=4.0×10=40 m
ดังนั้น อตั ราเร็วเฉลย่ี จากจุด A ไป C มีคา่ เทา่ กับ

120 + 40
20 + 10 = 5.3 /

20

3. เดก็ คนหนึง่ เดินไปทางทศิ เหนือไดร้ ะยะทาง 300 เมตร จากนน้ั เดนิ ไปทางทศิ ตะวันออกไดร้ ะยะทาง 400
เมตร ใชเ้ วลาเดินทางทงั้ หมด 500 วินาที เด็กคนนีเ้ ดินด้วยอัตราเรว็ เฉล่ียก่ีเมตรต่อวินาที
วธิ ที า อตั ราเรว็ เฉล่ยี คอื ระยะทางทง้ั หมดในช่วงเวลาที่ใช้ เราสามารถหาอัตราเร็วเฉลยี่ ของเดก็ คนน้ีได้ ดงั น้ี

300 + 400
= = 500 = 1.4 /

4. ผกู วตั ถุทปี่ ลายลา่ งของเชือกเสน้ หนง่ึ ยาว 1 เมตร ตรงึ ปลายบนไวแ้ ล้วแกว่งวตั ถใุ ห้เป็นวงกลมในระนาบ
ระดบั ถา้ เชอื กทามมุ θ กับแนวดง่ิ วัตถจุ ะแกว่งครบรอบในเวลา T วนิ าที ความเรง่ สศู่ นู ยก์ ลางของวัตถมุ ีคา่

วิธที า เนือ่ งจากพจิ ารณาการเคลือ่ นท่วี งกลมดงั น้ัน สมการทีเ่ กย่ี วขอ้ งกบั การเคลอื่ นท่ีคือ

∑ = 2 = 2 =


และจากความสมั พันธ์ระหวา่ งความเรว็ เชงิ มมุ และคาบ ทใี่ ชใ้ นการเคลอ่ื นที่

2
=

ดงั นัน้ ความเรง่ สูศ่ นู ย์กลางของวัตถุ สามารถคานวณได้จาก

2 =

( sin )(2 π )2 =

= 4 2 sin / 2
2

21

5.รถยนตค์ นั หน่งึ เคลือ่ นทีใ่ นแนวตรงโดยมีความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที ต่อมาคนขบั ไดเ้ รง่ เคร่อื งยนต์ทาให้
รถยนตม์ คี วามเร่ง 3 เมตรต่อวินาที2 เปน็ เวลา 5 วนิ าที จงหาความเร็วทเ่ี วลา 5 วนิ าที

วิธที า เดมิ รถยนตม์ ีความเร็ว 1ตอ่ มามีความเร่งทาใหค้ วามเรว็ เปลย่ี นไป

ดังนั้น ความเร็วท่ีสิ้นสดุ เวลา 5 วนิ าที คือ 2 = 1 + ∆

จาก

= 2 − 1
∆

ดังน้นั

2 − 1 = (∆ )
2 = 1 + (∆ )

= 20 / + (3 / 2)(5 )

= 35 /

ดังน้ัน ความเรว็ สดุ ทา้ ยเท่ากับ 35 เมตรต่อวนิ าที มที ศิ ทางเดียวกบั ความเรว็ เดมิ

6. ชายคนหนึ่งเดินจากจดุ A ไปจุด B และจดุ C โดยใชเ้ วลา ดังรูป

จงคานวณอัตราเร็วเฉลย่ี ในช่วงเวลา 0-4 วนิ าที และ 4-7 วนิ าที

22

วธิ ีทา ชว่ ง 0-4s จาก เฉลี่ย = Δ
Δ

Δ = ระยะ = 20

0−4 = 20 = 5 /
4

นัน่ คอื อตั ราเร็วเฉลี่ยในชว่ งเวลา 0-4 วนิ าที เท่ากับ 5 เมตร/วินาที

ชว่ ง 4-7s Δ = ระยะ = 45 − 20 = 25

4 = 25 = 8.3 /
3

นน่ั คือ อัตราเรว็ เฉลี่ยในช่วงเวลา 4-7 วนิ าที เท่ากับ 8.3 เมตร/วินาที

7. จากรปู เดิมวตั ถุอยู่ที่ตาแหนง่ A ในเวลาต่อมายา้ ยไปอยู่ท่ีตาแหน่ง B ถามว่าในการเปลีย่ นตาแหนง่ น้ีจะได้
ระยะทางส้ันท่ีสุดเทา่ ไร

วิธที า จากรูปในการเปลีย่ นตาแหน่งจาก A ไป B จะไดร้ ะยะทางสน้ั ทส่ี ดุ เท่ากับเสน้ ตรง AB และจะเห็นวา่
คูล่ าดับของตาแหนง่ A และ B คือ (1,4) และ (5,1) ตามลาดับ จากสมการ(1-2)จึงได้

= √(5 − 1)2 + (1 − 4)2 = 5
นั่นคอื ระยะทางสั้นที่สดุ มคี ่าเทา่ กับ 5 หน่วย

8. ชายคนหน่งึ เดินจากจุดอา้ งอิง 0 ไปตามลกู ศร แล้วหยุดนิ่งทต่ี าแหน่ง 4 เมตรจงหาขนาดของการกระจัด
และระยะทางท้งั หมด

23

วิธที า หา d เมอ่ื d เป็นขนาดของการกระจัด จะได้ d = ระยะ OB = 4m
น่ันคือ ขนาดของการกระจดั ของการเดินน้ีเทา่ กบั 4 เมตร และมที ศิ พุ่งไปทางขวามอื (จากO ไปB)
หา S เมอ่ื s เปน็ ระยะทางทั้งหมด จะได้

s = ระยะ OA+ระยะ AB
= 6+2 = 8m
นั่นคอื ระยะทางท้ังหมดเทา่ กับ 8 เมตร

9. ในการเคลอ่ื นท่แี บบเสน้ ตรงของรถยนต์ 2 คนั P และ Q เมอ่ื นาการกระจดั เขยี นกราฟกบั เวลาจะไดด้ งั รปู
จงคานวณความเรว็ เฉลย่ี ของรถ P และ Q ในช่วงเวลาจาก 0 ถงึ 10 วินาที

วธิ ีทา ให้ ⃗⃗⃗ ⃗1⃑และ ⃗⃗ ⃗⃗2⃑เป็นความเรว็ เฉลยี่ ของรถ P และ Q ตามลาดับ

⃗⃗⃗ ⃗1⃑ = 100−0 = 10 /
10−0

⃗⃗ ⃗⃗2⃑ = 100−100 = 0 /
10−0

นั่นคือ ความเร็วเฉลี่ยของรถ P และ Q เป็น 10 และ 0 เมตร/วนิ าที

24

10. จากรูป ชายคนหน่ึงเดนิ ทางจากตาบล A ไปตาบล E ตามเสน้ ทางท่ีผา่ นตาบล B,C และ D ใช้เวลาท้ังสิน้
15 วินาที จงคานวณความเร็วและอัตราเรว็ ในการเดนิ ของชายคน

วธิ ที า การเดินของชายคนนจี้ าก A ไป E จะได้การกระจดั เทา่ กับ ⃑ ⃗⃑ โดยท่ี

⃑ ⃗⃑ = ⃑ ⃗⃑ + ⃗⃑ ⃑ + ⃑ ⃗⃑ + ⃗⃑ ⃗⃑ (1)

จะได้ = 3 , = 6 , = √32 + 32 = 3√2 , = √22 + 32 = √13
ถา้ d เป็นระยะทางทง้ั หมดทีช่ ายคนน้ันเดนิ จาก A ไป E ตามเส้นทางทีก่ าหนด จะได้

ⅆ = + + +

= 3 + 6 + 3√2 + √13
= 16.85

ส่วนขนาดของการกระจดั จาก A ไป B คอื AE สามารถหาได้จาก

= √82 + 62 = 10

จากนยิ ามของอตั ราเร็วเฉลีย่ กรณจี ะได้ความเร็วเฉลยี่ Vเฉลี่ย เป็น

เฉลี่ย = = 0.67 /
เวลา

จากนยิ ามของอตั ราเร็วเฉล่ยี กรณีจะไดค้ วามเรว็ เฉลีย่ Vเฉลยี่ เปน็

เฉล่ยี = = 16.85 = 1.12 /
เวลา 15

นน่ั คอื ชายคนนั้นมีความเรว็ เท่ากบั 0.67 เมตร/วนิ าที และมีอตั ราเรว็ 1.12 เมตรต่อวนิ าที

25

บทที่ 3 พลศำสตร์ของวตั ถุ

3.1 แรง

การกระทาของวัตถุหน่ึงกับอีกวตั ถหุ นึ่ง เพ่ือพยายามเปลย่ี นสถานะของวัตถนุ ้นั แรงเปน็ ปริมาณ
เวกเตอร์ ซ่งึ แรงมี 4 ชนิด ได้แก่ แรงกล แรงไฟฟา้ สถติ แรงแม่เหลก็ แรงนิวเคลยี ร์

3.1.1 แรงกล เป็นแรงท่เี กดิ ขึ้นโดยมวลของวตั ถุ แบ่งออกเป็น 5 ประเภท ไดแ้ ก่

1. แรงดงึ ดดู ระหว่างมวล

คอื แรงดึงดูดระหวา่ งมวล
R คือ ระยะหา่ งระหว่างวัตถุ

1 คอื มวลของวตั ถุกอ้ นท่ี 1
2 คือ มวลของวถั กุ อ้ นท่ี 2
G คอื คา่ คงทข่ี องการดงึ ดูด = 6.67 × 10−11 2/ 2

ได้ = 1 2/ 2
2. แรงตึงผวิ เกิดจาก cohesion และ adhesion ไม่สมดลุ กัน

3. แรงพยุง เปน็ แรงทีเ่ กิดจากของไหลออกแรงให้วัตถลุ อยได้ ดว้ ยค่าความเร็วของการเคลอื่ นทข่ี องวัตถนุ นั้

4. แรงในสปรงิ เปน็ แรงท่ีสปรงิ ต้านแรงจากภายนอก เพอื่ รกั ษาใหส้ ปริงหยุดน่ิง

5. แรงเสยี ดทาน แรงทีเ่ กิดขนึ้ ระหว่างผิวของวัตถุ เพ่ือตา้ นการเคลอื่ นที่ของวตั ถุ

3.1.2 แรงไฟฟำ้ สถติ เป็นปรากฏการณท์ ีป่ ริมาณประจไุ ฟฟา้ ขั้วบวกและข้วั ลบบนผิววสั ดุมไี มเ่ ทา่ กนั
ปกตจิ ะแสดงในรปู การดงึ ดูด,การผลักกนั และเกดิ ประกายไฟ

คอื แรงไฟฟ้า

1 คือ ประจุไฟฟา้ ตวั ที่ 1
2 คือ ประจุไฟฟ้าตัวท่ี 2
คอื ระยะห่างระหวา่ งประจุท้ัง 2

= 1
4 0

26

3.1.3 แรงแมเ่ หล็ก แรงนเ้ี กดิ จากสารท่ีเป็นแม่เหล็ก ดดู สารแมเ่ หลก็ ได้ โดยที่แมเ่ หลก็ น้ันไมส่ ูญเสยี
อานาจเลย ขวั้ แม่เหล็กชนิดเดยี วกนั ออกแรงผลักกัน และข้วั แมเ่ หลก็ ตา่ งชนิดกันออกแรงดูดกนั

จะได้ =
F คอื แรงกล
คือ ประจไุ ฟฟา้
คอื ความเร็วของประจไุ ฟฟ้าที่เคลือ่ นท่ีในวงจร
คอื สนามแม่เหลก็
3.1.4 แรงนวิ เคลียร์ คือ แรงทใี่ ชย้ ึดเหนยี่ วนวิ คลอี อนเขา้ ดว้ ยกัน ซึง่ ไมใ่ ชท่ ง้ั แรงระหวา่ งประจแุ ละ
แรงดึงดดู ระหว่างมวล แตเ่ ปน็ แรงท่เี กิดจากการแลกเปลย่ี นอนภุ าคเมซอนระหวา่ งนิวคลีอออนในนวิ เคลียส
3.2 กฎกำรเคลอ่ื นที่ของนวิ ตนั
กฎขอ้ ท่ี 1 ΣF = 0 หรือกฎของควำมเฉอ่ื ย
“วัตถจุ ะรกั ษาสภาพหยดุ น่ิง หรอื เคล่ือนทีด่ ว้ ยความเรว็ คงท่ใี นทศิ ทางเดิมกต็ อ่ เมื่อ แรงลพั ธ์ท่มี ากระทา ตอ่
วัตถุมีคา่ เทา่ กับศูนย์”
กฎขอ้ ท่ี 2 ΣF = ma หรือกฎของควำมเรง่
“เมอ่ื มีแรงลัพธท์ ีไ่ ม่เป็นศนู ย์มากระทากบั วตั ถุ วัตถุจะมีความเร่งในทิศทางเดียวกบั แรงลพั ธ์น้ัน”
กฎข้อที่ 3 (แรงกริ ยิ ำ = แรงปฏกิ ริ ยิ ำ)
“แรงกิริยา-แรงปฏกิ ริ ิยาเปน็ แรงที่มขี นาดเท่ากัน แตม่ ที ิศทางตรงกนั ขา้ ม และกระทากบั วัตถคุ นละชนดิ ”
3.3 โมเมนตัม
เป็นปริมาณการเคลอื่ นทขี่ องวตั ถุ ซ่ึงปรมิ าณน้ีจะบอกถึงความพยายามท่ีวัตถจุ ะเคลื่อนทีไ่ ปข้างหนา้
เปน็ ปริมาณเวกเตอร์ โดยขนึ้ อยกู่ ับมวลแลความเร็ว
นิยามของโมเมนตัม
เนื่องจากโมเมนตมั ข้นึ กับมวลและความเร็ว

โมเมนตมั = มวล x ความเร็ว
=

27

3.4 กำรดล

เปน็ โมเมนตัมทีเ่ ปล่ียนแปลงไปของวตั ถุ หากมีแรงที่ไม่คงที่ มากระทากบั วัตถใุ นช่วงเวลาส้นั ๆ และ
เนื่องจากแรงลัพธ์ท่ีมากระทา

ไมค่ งที่ จงึ ตอ้ งคานวณจากแรงเฉลย่ี และความเร่งเฉล่ยี

จาก เฉล่ยี = ( − )
และจาก

∑ =

จะได้ ∑ = ( − )
จะได้ว่า

∑ = −

= ∆ = − = ∑

3.5 กำรชน

แบง่ การชนเป็น 3 ประเภท คอื

1. กำรชนแบบยืดหยนุ่ สมบูรณ์ คอื การชนที่ไม่มกี ารสญู เสยี พลังงานจลน์ในการชน

โมเมนตมั กอ่ นชน = โมเมนตมั หลังชน

พลงั งานจลนก์ อ่ นชน = พลังงานจลนห์ ลงั ชน

1 + 1 = 2 + 2

1 2 1 + 1 2 1 = 1 2 2 + 1 2 2
2 2 2 2

2. กำรชนแบบไม่ยืดหยุ่น คอื การชนทีส่ ูญเสยี พลงั งานจลน์

โมเมนตมั กอ่ นชน = โมเมนตมั หลังชน

พลงั งานจลนก์ อ่ นชน > พลงั งานจลน์หลังชน

1 + 1 = 2 + 2

1 2 1 + 1 2 1 > 1 2 2 + 1 2 2
2 2 2 2

28

3. กำรชนแบบไม่ยืดหย่นุ สมบรู ณ์ คอื การชนทีช่ นแล้วติดกันไป การชนแบบนี้พลงั งานจลนร์ วมกอ่ นชนจะ
มากกว่าพลังงานจลนร์ วมหลังชน

โมเมนตัมกอ่ นชน = โมเมนตมั หลงั ชน

พลงั งานจลนก์ ่อนชน > พลงั งานจลน์หลงั ชน

1 + 1 = 2 + 2

1 2 1 + 1 2 1 > 1 2 2 + 1 2 2
2 2 2 2

29

แบบฝึกหัด
1. ในการทดสอบการชนของบรษิ ทั รถยนต์แหง่ หนง่ึ แสดงให้เหน็ วา่ รถยนตม์ วล 2,000 kg พุ่งชนกาแพง

โดยความเร็วเริ่มตน้ และความเรว็ สดุ ท้ายของรถยนตค์ ือ = −30 / และ =
+3.2 / จงหาคา่ ของการดลที่เกดิ จาการชน
2. 2. สัญญาณไฟจราจรน้าหนกั 175 N ถกู แขวนด้วยสายเคเบลิ เส้นหนงึ่ ซ่ึงถกู โยงเขา้ กับสายเคเบลิ
อีกสองเสน้ ซึ่งยึดตดิ กบั เพดาน สายเคเบลิ สองเสน้ บนทามมุ กบั เพดานเป็น 36 องศา และ 52 องศา
ตามลาดับโดยสายเคเบลิ ด้านบนท้ังสองเสน้ นนั้ สามารถทนแรงดึงในแนวดง่ิ ไดไ้ ม่เกิน 130 N ไฟจราจร
นี้ ยังคงถกู แขวนอยู่ในสถานการณน์ ี้ได้หรอื ไม่ หรือจะมสี ายเคเบลิ เส้นใดเส้นหน่ึงขาดก่อนกนั
3. มชี ายคนหนง่ึ กาลงั ชงั่ น้าหนักแมวซง่ึ มมี วล m บนตาชง่ั สปริง ซึ่งถกู แขวนอย่กู บั เพดานของลฟิ ต์
3.1) จงแสดงใหเ้ หน็ ว่า ถ้าลิฟตเ์ คล่ือนที่ด้วยความเรง่ ทง้ั ทศิ ข้ึนและทศิ ลง ตาชั่งสปริงตาจะชง่ั น้าหนัก
ของแมว ได้แตกตา่ งกันอยา่ งไร
3.2) สมมติถา้ ประมาณคา่ น้าหนักท่ีอา่ นได้จากตาชัง่ สปริง ในกรณีทม่ี ีแมวน้าหนกั 70 N ถา้ ลิฟต์
เคล่ือนทีด่ ้วยความเรง่ = ±4 / 2

30

เฉลย

1. ในการทดสอบการชนของบริษทั รถยนต์แหง่ หนง่ึ แสดงให้เหน็ วา่ รถยนต์มวล 2,000 kg พงุ่ ชนกาแพง

โดยความเรว็ เร่ิมตน้ และความเรว็ สุดทา้ ยของรถยนต์คอื = −30 / และ =
+3.2 / จงหาคา่ ของการดลท่ีเกดิ จาการชน

วธิ ีทา = ∆

(กอ่ น)  Vi = -30 m/s = ⃗ ⃗ ⃗ ⃑ − ⃗⃗ ⃑
= −
= ( − )

= 2,600(3.2 − (−30))
= 2,600(33.2)
= 86,320 . /

(หลงั )  Vf = +3.2 m/s

2. สญั ญาณไฟจราจรน้าหนกั 175 N ถกู แขวนดว้ ยสายเคเบิลเส้นหนง่ึ ซงึ่ ถูกโยงเข้ากบั สายเคเบิล อีก
สองเส้น ซ่ึงยดึ ติดกบั เพดาน สายเคเบลิ สองเส้นบนทามมุ กบั เพดานเป็น 36 องศา และ 52 องศา
ตามลาดับโดยสายเคเบลิ ดา้ นบนท้ังสองเสน้ นน้ั สามารถทนแรงดงึ ในแนวดงิ่ ไดไ้ ม่เกิน 130 N ไฟจราจร
นี้ ยงั คงถกู แขวนอยู่ในสถานการณน์ ี้ไดห้ รอื ไม่ หรือจะมีสายเคเบิลเสน้ ใดเสน้ หนงึ่ ขาดกอ่ นกนั

วธิ ที า
พิจารณารปู b

∑ = 0
3 − = 0
3 =

พิจารณาแรงท่ีกระทาตอ่ นอ็ ต ดังนี้ องคป์ ระกอบตามแนวแกน Y แรง
องค์ประกอบตามแนวแกน x
1sin 1 ⃗ ⃗ ⃗1⃑
− 1cos 1 2sin 2 ⃗ ⃗ ⃗2⃑
2cos 2 − ⃗ ⃗ ⃗3⃑
0

31

ประยุกต์แบบจาลองอนุภาคในสภาวะสมดุลน็อต

1. Σ = − 1cos 1+ 2cos 2 = 0

2. Σ = 1sin 1 + 2sin 2 + (− ) = 0

จากสมการ 1 จะได้ 3 2= 1 cos 1
cos 2
แทน T ลงในสมการ 2 จะได้ tsinθ1 + t1 (cosθ1/ cosθ2) sinθ2 – Fg = 0

แกส้ มการหาคา่ 1 จะได้ 1= sin
1+cos 1 2
= 175
sin 36+cos 36+tan 52 = 108 N

ใชส้ มการ 3 หาคา่ 2

2 = (108)ccooss 36 = 141 N
52

พบว่าขนาดของแรงตงึ ผิว 2 เกนิ 130 N จึงทาให้สายเคเบล้ิ ขาด

3. มีชายคนหนงึ่ กาลังชัง่ น้าหนกั แมวซึง่ มมี วล m บนตาชงั่ สปรงิ ซึ่งถูกแขวนอยู่กบั เพดานของลิฟต์
3.1) จงแสดงให้เห็นวา่ ถ้าลิฟต์เคล่ือนทีด่ ้วยความเรง่ ทง้ั ทิศขึ้นและทิศลง ตาช่ังสปริงตาจะชง่ั นา้ หนัก
ของแมว ได้แตกตา่ งกนั อย่างไร

วธิ ที า ∑ = −
=

= + ถ้าลฟิ ต์

= ( + 1)



จากสมการ 1 คา่ ความตึง + > น้าหนักแมว mg ถ้าลิฟตเ์ คลื่อนที่ข้ึน ↑= มคี า่ เพ่มิ บวก
และ + < นา้ หนักแมว mg ถ้าลิฟต์เคลอ่ื นท่ขี ึ้น ↓= มีค่าเพิ่ม ลบ

3.2) สมมติถา้ ประมาณค่าน้าหนักที่อ่านไดจ้ ากตาช่ังสปริง ในกรณีทม่ี ีแมวน้าหนกั 70 N

เคล่ือนทด่ี ว้ ยความเรง่ = ±4 / 2
วธิ ีทา จากสมการ 1 จากขอ้ 3.1

นา้ หนกั แมวทอี่ ่านได้ ถา้ ความเรง่ ⃑ มีทิศขึน้

+= (70)(4.00 + 1)

9.80

+ = 98.57
จากสมการ 1 น้าหนกั แมวทอ่ี ่านได้ ถา้ ความเร่ง ⃑ มีทิศลง

+= (70)(−4.00 + 1)

9.80

+ = 55.71

32

บทท่ี 4 งำนและพลังงำน

งำน (Work)
งาน(Work) คือ แรงท่ีกระทาต่อวัตถุ ทาใหว้ ตั ถุเคลือ่ นท่ตี ามแนวแรง เป็นปรมิ าณสเกลาร์มหี น่วยเป็น จูล(J)

งาน = แรง X ระยะในทิศทางของแรง
W = FS

= Fdcos
งาน แบง่ ได้ 3 ลักษณะ คือ
1. ได้งานหรืองานเปน็ บวก แสดงวา่ F และ S ไปในทศิ เดยี วกนั หรอื องคร์ ะกอบของ F ไปในทิศเดยี ว
กับ S
2. เสยี งานหรืองานเป็นลบ แสดงวา่ F และ S ไปในทิศตรงข้าม หรือองค์ประกอบของ F ไปในทิศตรง
ข้ามกับ S

3. งานเป็นศูนย์ เม่ือ F และ S ตัง้ ฉากกนั หรอื θ = 90° ซึง่ จะกอ่ ให้เกดิ การหมุนหรอื พยายามจะหมุน

ถ้าความเร็วคงที่ = ∙ = ( + . )∙

1± .tan

= ∙ = . ∙

1± .tan

พลงั งำน (Energy)

พลงั งานกล แบง่ เปน็ 2 ประเภทคอื

1. พลังงานจลน์ (k.E. - kinetic Energy) เปน็ พลังงานที่อยใู่ นวัตถทุ กี่ าลังเคลอ่ื นท่ี

= 1 2
2
Ek = พลังงานจลนท์ เ่ี ปลี่ยนไปมหี น่วยเปน็ จูล (ตอนปลาย - ตอนตน้ )

m = มวลของวัตถุ มหี นว่ ยเปน็ กโิ ลกรมั

v = ความเรว็ ของวัตถุ มีหน่วยเป็น เมตร/วนิ าที

33

2. พลังงานศกั ย์(P.E.) เป็นพลังงานท่ีสะสมอย่ใู นวตั ถุ แบง่ เปน็

2.1 พลงั งานศกั ยโ์ น้มถ่วง (EP) มขี นาดเทา่ กบั งานท่ีใช้ในการเปลี่ยนตาแหน่งความสงู ของวตั ถุจากพน้ื ลา่ ง

= ℎ
= พลงั งานศักย์โนม้ ถ่วง มีหน่วยเป็นจลู
m = มวลของวัตถุ มีหนว่ ยเปน็ กโิ ลกรมั

g = คา่ แรงโน้มถ่วง

h = ความสงู ระยะหา่ งจากระดับอา้ งอิง มหี นว่ ยเปน็ เมตร

2.2 พลงั งานศักย์ยดื หยนุ่ (EP) เป็นพลงั งานทีม่ ีอยใู่ นวตั ถทุ ่ีมีความยดื หย่นุ เช่น หนงั ยาง สปรงิ ฯลฯ

แรงยดื หยนุ่ F = ks

F = แรงยืดหยุ่นสปริง

k = ค่าคงตัวของสปริง มีหนว่ ยเปน็ นวิ ตนั /เมตร

s = ระยะยืดของสปริง มีหน่วยเปน็ เมตร

= 1 2
2
= พลังงานศกั ยย์ ืดหยนุ่ มีหนว่ ยเป็น จลู

ทฤษฎพี ลังงำน

งานท้งั หมด ∑ ∙ = 1 2 − 1 2
22
v = ความเรว็ ตน้

u = ความเร็วปลาย

หลกั การของการทางานของเครอื่ งกลทุกชนิด

งานทใ่ี ห้ = งานทไ่ี ดร้ บั

รอก

F = แรงทอี่ อก ∙ = ℎ
S = ระยะทางท่อี อกแรง
m = มวลท่ียกได้
h = ระยะทางท่ยี กได้

34

ล้อ และเพลำ
งานท่ีให้กับล้อ = งานที่ใหก้ ับเพลา
F1S1 = F2S2

35

แบบฝึกหัด
1. ออกแรง F ในแนวขนานกับพน้ื กระทาบนวัตถุหนกั 20 นวิ ตัน ใหเ้ คลอ่ื นท่ดี ว้ ยความเร็วคงทเ่ี ปน็

ระยะทาง 10 เมตร บนพ้ืนระดับ ซง่ึ มแี รงเสยี ดทาน 4 นิวตัน จงหางานของแรง
2. กลอ่ งมวล 40 กโิ ลกรัม วางอยู่บนพืน้ ซง่ึ มคี า่ สัมประสทิ ธข์ิ องแรงเสยี ดทาน 0.2 จงหางานของแรงทีด่ ึง

กลอ่ งในแนวทามมุ 37˚ กับแนวระดบั เพื่อใหก้ ล่องน้เี คล่อื นทด่ี ว้ ยความเร็วคงที่เปน็ ระยะทาง 10 เมตร
3. แรงกระทาตอ่ วัตถหุ น่งึ เมื่อนาคา่ แรงท่กี ระทาต่อวตั ถุในแนวขนานกับการเคลื่อนท่ี มาเขยี นกราฟ

ความสัมพันธ์ระหวา่ งแรงกับการกระจัด ได้ดงั รูป จงหางานทีเ่ กดิ ขนึ้ เมอื่ การกระจัดเป็น 40 เมตร

4. วตั ถุหน่งึ เม่อื เพิม่ อตั ราเร็วใหเ้ ป็น 2 เท่า ของอตั ราเรว็ เดมิ จะมีพลงั งานจลน์กีเ่ ท่าของเดมิ
5. วัตถมุ วล m มอี ัตราเรว็ v มพี ลงั งานจลน์ E ถา้ วัตถมุ วล 2m มีอตั ราเร็ว V/s จะมพี ลงั งานจลน์เท่าใด
6. รถยนต์คันหนึง่ มวล 1,000 กิโลกรัม กาลงั แลน่ ด้วย อตั ราเร็ว 108 กโิ ลเมตร/ช่วั โมง พอดเี หน็ รถชนกนั

อยขู่ ้างหนา้ จึงเยยี บเบรก ทาใหอ้ ตั ราเรว็ ลดลงเหลือ 18 กิโลเมตร/ชว่ั โมง ในระยะทาง 50 เมตร จะหา
งานเน่อื งจากแรงตา้ นจากพน้ื ถนนเปน็ ก่กี โิ ลจลู
7. จากรปู เชือกและรอกเบา มีแรง 50 นิวตัน ดึงปลายเชือกเพอ่ื ให้มวล 10 กโิ ลกรมั เคลือ่ นทไ่ี ปตามพ้นื
เอียงซึ่งมสี มั ประสิทธข์ิ องแรงเสยี ดทานจลน์เปน็ 0.5 จงหาความเรว็ ของมวลนีเ้ ม่อื เคลอื่ นทต่ี ามพื้น
เอยี งได้ 2 เมตร

36

โจทย์ตอ่ ไปน้ีใชต้ อบคาถามข้อ 8-10
จากรูป ถา้ รถมคี วามเร็ว 2 เมตร/วินาที เข้าชนสปรงิ ซ่ึงมคี ่านิจ 400 นวิ ตัน/เมตร และระหว่างลอ้ รถ

กับพน้ื ไมม่ ีความฝดื เลย และรถมมี วล 4 กโิ ลกรมั
8. เมือ่ รถชนสปริง สปริงจะหดสั้นทสี่ ดุ เท่าไร
9. สปรงิ ออกแรงกระทาตอ่ รถมากทสี่ ดุ เท่าใด ในหน่วยนิวตัน
10. ขณะที่สปริงหดเป็นคร่ึงหนึง่ ของระยะหดสั้นทสี่ ุด รถจะมคี วามเรว็ เทา่ ใด (ตอบทศนยิ ม 1 ตาแหน่ง)

37

เฉลย
1. ออกแรง F ในแนวขนานกับพืน้ กระทาบนวตั ถหุ นกั 20 นิวตัน ใหเ้ คล่ือนทด่ี ว้ ยความเร็วคงท่เี ป็น

ระยะทาง 10 เมตร บนพนื้ ระดับ ซ่งึ มแี รงเสยี ดทาน 4 นวิ ตัน จงหางานของแรง F
วิธีทา จาก ∑F = 0

F=f
F=4N
จาก W = Fcosθ (θ = 0°)
= 4 x 10 x 1
= 40 J

2. กล่องมวล 40 กิโลกรัม วางอย่บู นพนื้ ซงึ่ มคี า่ สัมประสิทธิข์ องแรงเสยี ดทาน 0.2 จงหางานของแรง
ท่ีดงึ กล่องในแนวทามุม 37˚ กับแนวระดับ เพอื่ ให้กล่องนีเ้ คลื่อนทด่ี ้วยความเรว็ คงทีเ่ ปน็
ระยะทาง 10 เมตร

วิธที า จาก ∑F = 0
Fcos37˚ = f
f = µN

จาก Fcos37˚ = µN
F(4/5) = 0.2(mg-Fsin37˚)
4F/5 = 0.2(400-3F/5)
F = 400/4.6 N

จาก W = Fcosθ (θ = 37˚)
= 400/4.6 x 10 x 4/5
= 695.65 J

38

3. แรงกระทาตอ่ วตั ถหุ นง่ึ เมอื่ นาค่าแรงท่กี ระทาต่อวตั ถุในแนวขนานกับการเคลอื่ นท่ี มาเขยี นกราฟ
ความสมั พันธ์ระหว่างแรงกบั การกระจดั ได้ดังรูป จงหางานทีเ่ กิดขึ้น เมื่อการกระจดั เปน็ 40 เมตร

วิธีทา จาก พท.ใต้กราฟของรูปสามเหล่ียม = ½ x ฐาน x สูง => (1)
= ½ x 30 x 30 => (2)
= 450 J

จาก พท.ใต้กราฟของรูปสามเหลี่ยม = ½ x ฐาน x สูง
= ½ x (-10) x 10
= -50 J

(1) + (2) = 450 – 50
= 400 J

4. วัตถุหนงึ่ เมือ่ เพ่ิมอตั ราเรว็ ให้เป็น 2 เท่า ของอัตราเร็วเดมิ จะมีพลังงานจลน์กเ่ี ทา่ ของเดิม
วธิ ที า จาก Ek1/Ek2 = (½mv12) / (½mv22 )

Ek1/Ek2 = [v1/v2]2
Ek1/Ek2 = [v/2v]2

Ek1/Ek2 = 1/4

2Ek1 = Ek2

= 4 เทา่

5. วตั ถมุ วล m มอี ตั ราเรว็ v มพี ลงั งานจลน์ E ถา้ วตั ถมุ วล 2m มีอัตราเร็ว V/s จะมีพลงั งานจลน์
เท่าใด

วธิ ีทา จาก Ek1/Ek2 = (½mv12) / (½mv22 )
Ek1/Ek2 = m(2v2)/2m(v2)
Ek1/Ek2 = 4mv2/2mv2
Ek1/Ek2 = 2
Ek1 = 2Ek2
Ek2 = Ek1 / 2

39

6. รถยนต์คันหนง่ึ มวล 1,000 กิโลกรัม กาลงั แลน่ ด้วย อตั ราเร็ว 108 กโิ ลเมตร/ชว่ั โมง พอดเี หน็ รถ
ชนกนั อยู่ขา้ งหน้าจึงเยยี บเบรก ทาให้อตั ราเร็วลดลงเหลอื 18 กโิ ลเมตร/ชว่ั โมง ใน
ระยะทาง 50 เมตร จะหางานเนือ่ งจากแรงต้านจากพืน้ ถนนเป็นกกี่ ิโลจูล

วธิ ที า จาก ∆Ek = Ekกอ่ น - Ekหลัง
Wf = ½mu2
= ½m(u2–v2)
= ½m(u+v)(u-v)
= ½ (1,000)(30+5)(30-5)
= 500 x 35 x 25
= 12,500 x 35
= 437,500 J
= 437.5 KJ
= fทศิ ทางตรงกันขา้ มตดิ ลบ = -437.5 KJ

7. จากรปู เชอื กและรอกเบา มีแรง 50 นิวตัน ดงึ ปลายเชอื กเพ่ือใหม้ วล 10 กโิ ลกรมั เคล่อื นท่ไี ปตาม
พ้นื เอียงซ่ึงมีสัมประสทิ ธขิ์ องแรงเสียดทานจลนเ์ ป็น 0.5 จงหาความเร็วของมวลนี้เมอ่ื เคลือ่ นท่ตี าม
พ้นื เอยี งได้ 2 เมตร

วิธที า จาก ∑F = ma

200N – mgsin53 – f = ma

200 – mgsin53 – (µmgcos53) = ma

200-(100×4/5) – (0.5×100×3/5) = 10a

200 – 80 – 30 = 10a

90 = 10a

a = 9 m/s2

จาก v2 = u2+ 2as v2 = 0 + 2(9)(2)

v = 6 m/s

40

โจทย์ต่อไปน้ีใชต้ อบคาถามขอ้ 8-10

จากรปู ถา้ รถมีความเร็ว 2 เมตร/วนิ าที เข้าชนสปริงซ่ึงมคี ่านิจ 400 นิวตนั /เมตร และระหวา่ งล้อรถ
กับพ้นื ไม่มีความฝืดเลย และรถมมี วล 4 กโิ ลกรัม

8. เม่อื รถชนสปรงิ สปรงิ จะหดสั้นท่สี ุดเทา่ ไร
วธิ ที า จาก Ek = Ep

½mv2 = ½ks2
s2 = mv2/k
s2 = 4x(2)2/400
s = 0.2 m
∴ s = 20 cm

9. สปริงออกแรงกระทาต่อรถมากทส่ี ดุ เท่าใด ในหน่วยนิวตนั
วิธีทา จาก F = ks

= 400 x 0.2
= 80 N

10. ขณะท่ีสปริงหดเป็นคร่ึงหนึ่งของระยะหดสั้นทส่ี ดุ รถจะมคี วามเรว็ เทา่ ใด (ตอบ
ทศนยิ ม 1 ตาแหน่ง)

วธิ ที า จาก EkA = EkB + EpB
½mvA2 = ½mvB2 + ½ks2
4(2)2 = 4vB2 + 400(0.1)2
16 = 4vB2 + 4
∴ vB = √3
≈ 1.732 m/s

41

บทท่ี 5 กำรเคล่ือนท่ีของกลุ่มอนภุ ำค

5.1 ระบบอนภุ ำค ( system of particles )

ระบบ คอื สง่ิ ทีเ่ ราสนใจศกึ ษา จะเปน็ อนุภาคเดี่ยวหรือกลุ่มอนุภาคก็ได้ แรงภายใน คอื แรงกระทา
ระหว่างอนุภาคภายในระบบ

แรงภายนอก คอื แรงกระทาระหวา่ งอนภุ าคภายในระบบและส่งิ ต่างๆ นอกระบบ

ระบบโดดเด่ียว คอื ระบบทีไ่ มม่ แี รงภายนอกกระทากับระบบ หรือผลรวมแรงภายนอกทกี่ ระทากับ
ระบบมีคา่ เป็นศูนย์

นยิ าม จุดศูนยก์ ลางมวล ( center of mass ) ของระบบ วา่ เปน็ จุดซ่ึง ทาหนา้ ทเ่ี ปน็ ตัวแทนของระบบอนุภาค
ทั้งหมดหาได้จาก

⃑ = =∑ = 1 ⃗⃗⃗ ⃑ ∑ = 1 ⃗ ⃗⃗ ⃑

∑ = 1

การหาจุดศนู ย์กลางมวลของวัตถทุ ี่มคี า่ ความหนาแนน่

ความหนาแน่นเชิงเสน้ λ = L คือ ความยาว



ความหนาแน่นเชงิ พนื้ ที่ = A คอื พื้นที่



ความหนาแนน่ เชิงปริมาตร = V คือ ปริมาตร



ⅆ
λ = → λ = ⅆ → dm = λdx

ⅆ
= → = ⅆ → ⅆ = ⅆ

ⅆ
= → = ⅆ → ⅆ = ⅆ

42

5.2 เซนทรอยด์

ตาแหน่งเฉลย่ี ที่หาจากลกั ษณะทางเรขาคณิตเพยี งอยา่ งเดียวน้ีเรียกว่า เซนทรอยด์ (centroid) ซ่งึ มี
ทั้งเซนทรอยดข์ องปริมาตร เซนทรอยด์ของพื้นทแ่ี ละเซนทรอยดข์ องเสน้

เซนทรอยด์ของเส้น = ∫


เซนทรอยดข์ องพ้นื ท่ี ( , )

= ∫ = ∫


เซนทรอยด์ของปริมาตร ( , , )

⃑ = ∫ ⃑ = ∫ ⃑ = ∫



5.3 มวลลดทอน

มวลลดทอนในระบบอนภุ าคมไี วส้ าหรับการศกึ ษา ความเรว็ และความเรง่ สัมพัทธ์ ของระบบมวล 2
มวลทมี่ แี รงกระทาซง่ึ กันและกนั โดยจะพจิ ารณาเฉพาะ

1. ระบบอนภุ าคทไ่ี มม่ แี รงภายนอกมากระทา หรือเป็นระบบโดดเดีย่ วเท่าน้นั

2. ระบบอนภุ าค ซึง่ ประกอบด้วยอนุภาค 2 อนุภาค

3. มีเฉพาะแรงภายในระบบอนุภาคเท่านน้ั

พจิ ารณาระบบอนุภาค 2 อนภุ าค ซ่ึงมแี ต่เฉพาะแรงอันตรกิรยิ าระหวา่ งอนุภาคท้งั สองเทา่ นั้น
กล่าวคอื ไม่มแี รงภายนอกอืน่ ใดอีกทีม่ ากระทาแกร่ ะบบมวลน้ี สาหรบั อนภุ าคทงั้ สองอนุภาคนอี้ าจจะเป็น
อเิ ลก็ ตรอน 1 ตวั และโปรตอน 1 ตัว ในไฮโดรเจนอะตอมโดดเด่ยี ว เป็นตน้ แรงภายในระหว่างกัน คือ

⃗ ⃗ ⃗⃗1⃗⃗2⃑และ ⃗⃗ ⃗⃗2⃗⃗1⃑ จะสอดคล้องกบั ความสัมพนั ธ์

⃗ ⃗ ⃗⃗1⃗⃗2⃑ = −⃗ ⃗ ⃗⃗2⃗⃗1⃑

พลงั งานจลนข์ องระบบอนภุ าค

K = +

43

พลงั งานศักย์โน้มถว่ งของระบบอนภุ าค

พลงั งานศักยข์ องระบบอนุภาค สามารถหาได้จากการนาพลงั งานศักยข์ องแตล่ ะอนุภาคมารวมกนั โดยในหัวข้อ
น้ีจะพิจารณาพลังงานศักย์ เนอ่ื งจากความโนม้ ถ่วงของโลก ดังนัน้ พลังงานศกั ยโ์ นม้ ถว่ งของระบบอนุภาค
สามารถเขียนไดเ้ ป็น

= ∑ =1

จะได้เป็น =

แสดงให้เห็นว่า เราสามารถหาพลังงานศกั ย์โน้มถว่ งของระบบอนุภาคได้ ถ้าเราทราบมวลรวมทัง้ หมด
ของระบบ และตาแหนง่ ของจุดศูนย์กลางมวลเหนือระดบั อ้างอิง

44

แบบฝกึ หัด
1. ระบบประกอบดว้ ยอนภุ าค 3 อนุภาค ซง่ึ วางอยทู่ ่ีตาแหนง่ ต่าง ๆ แสดงดังรูป จงหาจดุ ศนู ยก์ ลาง

มวลของระบบ ถ้ามวลของอนุภาค คอื 1 = 2 = 1.0 และ 3 = 2.0
2. ถา้ ให้แขวนป้ายโลหะด้วยเชอื กเพียงเสน้ เดียวในแนวดง่ิ โดยที่ป้ายมรี ูปรา่ งเปน็ สามเหล่ียมมมุ ฉาก
ดงั รปู และจะต้องทาให้ขอบด้านลา่ งของปา้ ยอยใู่ นแนวขนานกับพ้ืนดนิ จงหาวา่ จะตอ้ งแขวนเชอื กที่
ระยะห่างจากปลายดา้ นซ้ายของป้ายเทา่ ใด

3. แท่งกลมยาว 30.0 cm มีความหนาแนน่ เชงิ เส้น (มวลตอ่ ความยาว) ดังสมการ λ = 50.0 +20.0x
เม่อื x คอื ระยะทางท่ีวดั จากปลายดา้ นหน่ึงในหนว่ ยเมตรและ λอยู่ในหนว่ ยกรัม/เมตร

a)มวลของแทง่ กลมยาวมีค่าเท่าใด
b)จุดศูนย์กลางมวลอยไู่ กลจากระยะ x = 0 มคี า่ เท่าใด

45

เฉลย

1. ระบบประกอบด้วยอนุภาค 3 อนภุ าค ซ่งึ วางอย่ทู ีต่ าแหนง่ ต่าง ๆ แสดงดังรูป จงหาจุดศูนยก์ ลาง
มวลของระบบ ถา้ มวลของอนุภาค คือ 1 = 2 = 1.0 และ 3 = 2.0

วธิ ีทา = 1 ∑ = 1 2+ 2 2+ 3 3
1+ 2+ 3

= (1. .0 )(1.0 ) + (1.0 )(2.0 ) + (2.0 )(0 )

1.0 + 1.0 + 2.0

= 3.0 . = 0.75
4.0

= 1 ∑ = 1 1+ 2 2+ 3 3
1+ 2+ 3

= (1.0 )(0)+(1.0 )(0)+(2.0 )(2.0 )

4.0

= 4.0 . = 1.0

4.0

2. ถา้ ใหแ้ ขวนปา้ ยโลหะด้วยเชือกเพียงเสน้ เดียวในแนวด่ิง โดยท่ปี ้ายมีรปู ร่างเป็นสามเหล่ียมมมุ ฉาก
ดังรูป และจะต้องทาให้ขอบด้านล่างของป้ายอย่ใู นแนวขนานกับพ้นื ดิน จงหาวา่ จะตอ้ งแขวนเชือก
ท่ีระยะห่างจากปลายด้านซา้ ยของปา้ ยเท่าใด

วิธีทา ⅆ = ⅆ = ⅆ ; คือ ความหนาของโลหะ

ⅆ = (21 ) ⅆ = 2 ⅆ สมการ 1


= 1 ∫ = 1 ∫0 2 = 2 ∫0 สมการ 2

จากรปู b) ความชันของรูปสามเหลี่ยม (ด้าน c) =



ซ่งึ สมการเสน้ ตรง = + → = สมการ 3



46

เอา 3 แทนใน 2 จะได้

= 2 ∫0 ( ) ⅆ = 2 ∫0 2ⅆ = 2
2 3


3. แท่งกลมยาว 30.0 cm มคี วามหนาแนน่ เชิงเส้น (มวลต่อความยาว) ดังสมการ λ = 50.0 +20.0x
เมือ่ x คือ ระยะทางที่วัดจากปลายดา้ นหน่งึ ในหน่วยเมตรและ λอยใู่ นหนว่ ยกรัม/เมตร

a)มวลของแท่งกลมยาวมีคา่ เท่าใด

วิธีทา = ∫00.3 λⅆ = ∫00.3 (50.0 + 20.0 )ⅆ
= (50.0 × 0.3) + (10.0 × 0.32)

= 15.9
b)จดุ ศูนยก์ ลางมวลอย่ไู กลจากระยะ x = 0 มคี า่ เท่าใด

= ∫ ⅆ


1 0.3
= ∫ λ ⅆ

0

= 1 0.3 + 20.0 2)ⅆ

∫ (50.0

0

= 0.153

47

บทที่ 6 กำรเคลื่อนท่ขี องวตั ถุแขง็ แกร่ง

กำรเคล่ือนที่แบบหมุน (rotational motion) คือ การเคลื่อนท่ีหมุนอยู่กับท่ีรอบแกนหมุนตรึงแน่น
หรืออาจหมุนรอบศูนย์กลางมวล เช่น การหมุนของใบพัดของพัดลม การหมุนของล้อจกั รยาน เป็นตน้

วัตถุที่ใช้ในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบหมุนจะเป็นวัตถุที่มีรูปร่างแน่นอน ระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ
บนวัตถมุ ีระยะคงตัว และวัตถุไม่เปล่ียนรูปร่างเมื่อเคล่ือนท่ีหรือมีแรงกระทา เรียกวตั ถุน้ันๆ ว่า วัตถแุ ข็งแกร็ง
(regid body)
6.1ปริมำณต่ำงๆทเ่ี ก่ยี วขอ้ งกบั กำรหมุน

กำรกระจดั เชงิ มุม (∆ ) คือ มมุ ท่กี วำดไปได้ ใชห้ น่วยเป็น เรเดียน เชน่ มมุ ทีโ่ น๊ตบคุ๊ กวำดขึ้นไป
ได้เมื่อถูกเปดิ ดังรูป

ควำมเรว็ เชงิ มมุ (ω) คือ ปริมาณของการกระจัดเชิงมมุ ทีก่ วาดไปได้ในหนงึ่ หน่วยเวลา
นัน้ คอื ω = ∆ หรอื ω = 2

∆

เม่อื ω คือ ความเร็วเชงิ มมุ (เรเดียน/วินาที)
คือ คาบของการเคล่ือนที่ (วินาที) คอื เวลาทีใ่ ชใ้ นการเคล่อื นทไ่ี ด้ 1 รอบ
คือ ความถีข่ องการเคลือ่ นท่ี (เฮิรตซ์)

กำรกระจดั เชงิ มมุ และความเร็วเชิงมมุ เปน็ ปรมิ าตรเวกเตอรซ์ ่ึงสามารถหาทิศทางได้ จากกฎมอื ขวา
โดยใช้มือขวากาแกนหมุน แล้วใหน้ ้ิวท้ังสี่ตามการเคล่ือนท่ี นิ้วหวั แมม่ อื จะซี้บอกทศิ ของการกระจดั เชงิ มมุ
และความเร็วเชิงมุม ดงั แสดงในรูป

48

ควำมเร่งเชงิ มมุ (α) คือ ความเรว็ เชิงมุมท่ีเปล่ียนไปในหนง่ึ หนว่ ยเวลา
น้ันคอื α = − 0



เมอ่ื α คือ ความเร่งเชงิ มมุ (เรเดียน/วินาท2ี )
ω คือ ความเรว็ เชิงมุมตอนปลาย (เรเดียน/วนิ าท)ี
0 คือ ความเรว็ เชิงมุมตอนต้น (เรเดยี น/วินาท)ี
คือ เวลา (วินาที)

เม่ือเปรยี บเทยี บปริมาตรตา่ งๆ ของการเคลอื่ นทีแ่ บบเล่ือนทใี่ นแนวเสน้ ตรงกับการเคลอ่ื นทีแ่ บบหมุนรอบแกน
หมนุ ตรึงแนน่ จะไดด้ ังน้ี

ปรมิ ำณของกำรเคลือ่ นทแ่ี บบ ปริมำณกำรเคลอ่ื นทีแ่ บบ
เลอื่ นท่ีในแนวเสน้ ตรง หมุนรอบแกนหนมุ ตรึงแนน่
S
U
V 0
a ω
α

49

6.2 โมเมนต์ควำมเฉ่ือยรอบแกนหมุนสมมำตร

โมเมนตค์ วามเฉ่อื ย (moment of inertia) เป็นสมบตั ิต้านการหมุนของวัตถุ วัตถุที่มโี มเมนตค์ วาม
เฉื่อยมากจะมากจะหมุนไดย้ าก วัตถุท่มี โี มเมนตค์ วามเฉ่ือยน้อยจะหมุนได้งา่ ย

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรู)ตา่ งๆ รอบแกนสมมาตรสามารถหาได้จาก
= Σ 2
= 1 12 + 2 22 + 3 32+……..

เมอ่ื คือ โมเมนต์ความเฉ่อื ย (กโิ ลกรัม. เมตร2)
คือ มวล(กโิ ลกรัม)
คือ รศั มีการหมนุ ของมวลนัน้ (เมตร)

ในกรณวี ัตถรุ ูปรา่ งอื่นๆ เราอาจหาคา่ โมเมนต์ความเฉือ่ ยได้ดังน้ี

50