ี
เอกสารประกอบการเรยน
ั
์
ฟงกชน (Function)
ั
(ความสมพันธและฟงกชน)
์
ั
์
ั
ั
Output
https://phet.colorado.edu/th/simulation/function-builder
ั
ั
ู
์
์
ี
้
มาตรฐานและตัวชวัด ค 1.2 ม.4-6/1 เข้าใจและวิเคราะหแบบรป ความสมพันธ ฟงก์ชัน
ล าดับและอนกรม และน าไปใช้
ุ
้
เนอหา
ื
์
1. ความสัมพันธ ตัวผกผัน โดเมน เรนจ์ และกราฟของความสัมพันธ ์
ั
2. ฟงก์ชัน
ั
ี
ิ
3. ฟงก์ชันในชวิตจรง
ั
4. กราฟของฟงก์ชัน และการน าไปใช้
ั
ั
ู
ิ
5. การด าเนนการของฟงก์ชัน (ผลบวก ผลลบ ผลคณ และผลหารของฟงก์ชัน) (พ)
ั
6. ฟงก์ชันประกอบ (พ)
ั
7. ฟงก์ชันผกผัน (พ)
8. ตัวอย่างข้อสอบ O – NET
9. ตัวอย่างข้อสอบ PAT 1
ชอ ……………………………………………….. ชัน ………….. ีเลขที่ ……………… ิ ู ์
ื่
้
ิ
ิ์
ี
็
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
์
ึ
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ิ
ิ
์
ุ
ิ
ึ
ิ
ึ
ิ
ิ
โดยครพัชรพล ชดชม
ู
โรงเรยนหลักสองส่งเสรมวิทยา อ าเภอบ้านแพ้ว จังหวัดสมทรสาคร สพม.สคสส
ี
ิ
ุ
ค านา
ี
ิ
่
์
ี
ึ
้
ู
ี
เอกสารประกอบการเรยนรรายวิชาคณตศาสตร (ค31102) ชั้นมัธยมศกษาปท 4 จัดท าข้ ึนเพือใช้
่
ี
่
ี
ึ
ี
์
ิ
้
ู
ั
ี
ิ
ประกอบการจัดกิจกรรมการเรยนรวิชาคณตศาสตรส าหรบนักเรยนชั้นมัธยมศกษาปท 4 โรงเรยนหลักสองส่งเสรม
ี
ั
ึ
ี
ุ
ิ
ู
วิทยา ให้มประสทธภาพสอดคล้องกับหลักสตรแกนกลางการศกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2551 (ฉบับปรบปรง
ิ
ุ
2560) ทม่งพัฒนาผู้เรยนทกคนซงเปนก าลังพลของชาต ให้มความเปนมนษย์ทมความสมดลทางด้านร่างกาย ความร ้ ู
ิ
็
ี
ี
่
่
่
ุ
ี
ี
ึ
ี
ุ
ุ
็
ื
ุ
็
ี
ิ
ิ
ึ
็
คณธรรม มจตส านกในความเปนพลเมองไทย และเปนพลโลก ยึดมั่นในการปกครองระบอบประชาธปไตย
ี
็
ิ
่
้
ี
ุ
ึ
ู
ี
ิ
็
อันมพระมหากษัตรย์ทรงเปนประมข มความรและทักษะพื้นฐาน รวมทั้งเจตคตทจ าเปนต่อการศกษาต่อ
ี
ี
ึ
การประกอบอาชพและการศกษาตลอดชวิต
์
้
ู
ิ
ี
ี
ื่
ั
ื
ู
เอกสารประกอบการเรยนรรายวิชาคณตศาสตร เรอง ฟงก์ชัน ในหน่วยการเรยนรประกอบด้วยเน้อหา ดังน้ ี
้
์
1. ความสัมพันธ ตัวผกผัน โดเมน เรนจ์ และกราฟของความสัมพันธ ์
ั
2. ฟงก์ชัน
ั
3. กราฟของฟงก์ชัน และการน าไปใช้
ู
ิ
ั
ั
4. การด าเนนการของฟงก์ชัน (ผลบวก ผลลบ ผลคณ และผลหารของฟงก์ชัน) (พ)
ั
5. ฟงก์ชันประกอบ (พ)
ั
6. ฟงก์ชันผกผัน (พ)
7. ตัวอย่างข้อสอบ O – NET
8. ตัวอย่างข้อสอบ PAT 1
ิ
ี
รวมทั้งตัวอย่างแบบฝกทักษะกิจกรรมจ าลองสถานการณเพือให้นักเรยนได้ฝกทักษะทางคณตศาสตรและ
ึ
์
่
์
ึ
ี
ี
เชอมโยงความรไปใช้ในชวิตประจ าวันนอกจากน้ตอนท้ายบทเรยนจะมแบบทดสอบพรอมเฉลยเพือให้นักเรยนได้
่
ี
ี
้
ื
่
้
ี
ู
้
ทดสอบความรและตรวจสอบความถูกต้อง
ู
ึ
ผู้จัดท าหวังเปนอย่างยิ่งว่าเอกสารประกอบการเรยนรรายวิชาคณตศาสตร (ค31102) ชั้นมัธยมศกษาปท 4
์
็
ี
ู
้
ี
ิ
ี
่
์
จะท าให้นักเรยนตระหนักถงคณค่าของวิชาคณตศาสตรมากยิ่งข้นตลอดจนสามารถพัฒนาตนเองและสามารถ
ุ
ิ
ึ
ึ
ี
น าความรไปใช้ในการแก้ปญหาต่างๆทพบในชวิตประจ าวันได้อย่างเหมาะสม
ั
ี
่
ี
ู
้
ิ
พัชรพล ชดชม
สารบัญ
ิ
ู
์
ิ
ิ
็
ี
ี
ิ์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ึ
ิ
ึ
ิ
ิ
ุ
ิ
ึ
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
์
ิ
สารบัญ
้
ื
เนอหา หนา
้
์
ความสัมพันธ .............................................................................................................................. 1
์
ความสัมพันธ ................................................................................................................ 1
ตัวผกผัน ....................................................................................................................... 3
์
โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ ............................................................................... 5
์
กราฟของความสัมพันธ ................................................................................................ 6
ั
ฟงก์ชัน ....................................................................................................................................... 15
ฟงก์ชัน .......................................................................................................................... 15
ั
์
ความสัมพันธของฟงก์ชัน ............................................................................................. 15
ั
ั
ฟงก์ชัน 1-1 ................................................................................................................... 18
ฟงก์ชันทั่วถง ................................................................................................................ 18
ึ
ั
ั
ฟงก์ชันเพิ่ม ฟงก์ชันลด ................................................................................................. 29
ั
กราฟของฟงก์ชัน และการน าไปใช้ ............................................................................................ 34
ั
ิ
ั
้
ฟงก์ชันเชงเสน .............................................................................................................. 34
ั
ฟงก์ชันก าลังสอง .......................................................................................................... 48
ฟงก์ชันขั้นบันได .......................................................................................................... 58
ั
ฟงก์ชันเอกซโพเนนเชยล .............................................................................................. 63
ี
ั
์
ื
ั
ฟงก์ชันอน ๆ ................................................................................................................. 72
่
การด าเนนการของฟงก์ชัน ......................................................................................................... 83
ั
ิ
ั
ฟงก์ชันประกอบ ......................................................................................................................... 85
ฟงก์ชันผกผัน ............................................................................................................................. 97
ั
ตัวอย่างข้อสอบ O-NET ............................................................................................................. 107
ตัวอย่างข้อสอบ PAT1 ................................................................................................................ 108
บรรณานกรม .............................................................................................................................. 110
ุ
ี
ิ์
ิ
ิ
็
ี
์
ิ
ู
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ิ
์
ึ
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ิ
ิ
ุ
ึ
ึ
ิ
ิ
ั
์
1. ความสมพันธ (ความสมพันธ ตัวผกผัน โดเมน เรนจ และกราฟของความสมพันธ)
ั
์
์
ั
์
ั
1.1) ความสมพันธ ์
ขันตอนการปฏิบัติ
้
่
ุ
ี
ี
่
ี
ู
1. ส่มนักเรยนมา 1 คน ให้สอบถามครและเพือนนักเรยน 5 คน เกียวกับ ความชอบในสัตว์เล้ยงต่อไปน้ ี
ื่
ุ
ท ี่ ชอ สนข แมว กระต่าย ปลา
1 คร ู
2
3
4
5
6
ี
ื่
ู
2. ก าหนด = { |ชอของครและนักเรยน}
= { |ชนดของสัตว์เล้ยงทครและนักเรยนชนชอบ}
ื
่
ู
ิ
ี
ี
ี
่
ู
์
ู
ี
ู
ี
3. ให้นักเรยนเขยนค่อันดับแสดงการจับค่ความสัมพันธ จาก A ไป B จากข้อมลข้างต้น
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
์
ื
4. โดเมน ของความสัมพันธ คอ = { |( , ) ∈ }
..................................................................................................................................................................
์
ื
์
เรนจ ของความสัมพันธ คอ = { |( , ) ∈ }
..................................................................................................................................................................
็
ิ
ี
ี
ู
ิ
ิ์
์
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
์
ิ
ิ
ิ
์
ิ
ึ
ึ
ุ
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ิ
ึ
ห น้ า | 1
ิ
บทนยาม 1
ื
ี
์
ู
่
ี
ิ
็
ผลคูณคารทีเซยน ของเซต A และ เซต B คอ เซตของค่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยท a เปนสมาชกของเซต A
ี
ิ
็
และ b เปนสมาชกของเซต B เขยนแทนด้วย × = {( , )| ∈ ∧ ∈ }
ตัวอยางที่ 1
่
ก าหนด = {1, 3, 5, 7, 9, a, b} และ = {1, z} จงหา × และ ×
วิธท า × = ........................................................................................................................................................
ี
× = ........................................................................................................................................................
จากตัวอย่างข้างต้น × และ × เทากันหรอไม .......................................................................................
ื
่
่
ี
์
ี
็
ิ
ี
ู
์
ในการหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ อาจไม่จ าเปนต้องเขยนแจกแจงสมาชกของผลคณคารทเซยน
ี
เช่น การเขยนสมาชก × ใน ตัวอยางที่ 1 อาจเกิดความยุ่งยาก เนองจากมสมาชกทั้งหมด ............. ค่อันดับ แต่
ิ
ิ
่
ู
่
ี
ื
์
สามารถใช้การพิจารณาสมาชกของความสัมพันธได้
ิ
จงหา × = ...............................................................................
จงหา × = ...............................................................................
บทนยาม 2
ิ
็
์
เปนความสัมพันธจาก ไป ↔ ⊂ ×
ตัวอยางที่ 2
่
ให้ = {3, 5, 8, 10} และ = {2, 6, 9}
จงหา = {( , ) ∈ × | < } และ = {( , ) ∈ × | < }
1
2
จะได้ว่า = .................................................................... และ = .......................................................................
2
1
ี
ู
ิ์
็
ิ
์
ิ
ิ
ี
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
์
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ห น้ า | 2
1.2) ตัวผกผันของความสมพันธ คณิต
์
ั
เพิ่มเติม
บทนยาม 3
ิ
่
ตัวผกผันของความสัมพันธ์ คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับทีของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังใน
แต่ละคู่อันดับทีเป็นสมาชิกของ เขียนแทนด้วย
่
−1
ตัวอยางที่ 3
่
พิจารณา = {(1,2), (3,4), (5,6)}
−1 = ........................................
−1 = ...............................................................................
−1 = ...............................................................................
ี
ิ
็
ิ
ี
ิ
ู
ิ์
์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
ิ
ิ
์
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 3
ตัวอยางที่ 4
่
ี
ี
จงเขยนกราฟของ และ −1 ในระบบพิกัดฉากเดยวกัน
่
ื
เมอก าหนดให้ = {( , ) ∈ × | = 2 + 1}
วิธท า −1 = .........................................................
ี
ื
หรอ −1 = .........................................................
หรอ −1 = .........................................................
ื
y = x
ตัวอยางที่ 5
่
ี
ี
จงเขยนกราฟของ และ −1 ในระบบพิกัดฉากเดยวกัน
ื
่
เมอก าหนดให้ = {( , )| = √ − 5}
วิธท า −1 = .........................................................
ี
ื
หรอ −1 = .........................................................
หรอ −1 = .........................................................
ื
y = x
็
ิ
ี
ี
ู
์
ิ
ิ
ิ์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
์
ิ
ึ
์
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ิ
ุ
ึ
ิ
ิ
ึ
ิ
ึ
ห น้ า | 4
1.3) โดเมน และเรนจของความสมพันธ ์
ั
์
ิ
บทนยาม 4
ให้ เปนความสัมพันธ จาก A ไป B
็
์
โดเมน ของความสัมพันธ คอ = { |( , ) ∈ }
ื
์
์
เรนจ ของความสัมพันธ คอ = { |( , ) ∈ }
ื
์
ั
์
หลักการหาโดเมนและเรนจของความสมพันธ เมอก าหนด แบบบอกเงอนไขมา
์
ื่
่
ื
ื่
ี
1) เมอต้องการหาโดเมน ให้จัด y ให้ อยู่ในรปของ x แล้วพิจารณาค่า x ทเปนไปได้ทั้งหมด
่
ู
็
ี
ู
2) เมอต้องการหาเรนจ ให้จัด x ให้ อยู่ในรปของ y แล้วพิจารณาค่า y ทเปนไปได้ทั้งหมด
ื่
่
็
์
ตัวอยางที่ 6
่
ก าหนดให้ = {( , ) ∈ × | = √16 − } จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
2
วิธท า ........................................................................................................................................................................
ี
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 7
่
ก าหนดให้ = {( , ) ∈ × | = 1 } จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
2
−2 −8
วิธท า ........................................................................................................................................................................
ี
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
์
ิ
ี
็
ิ
ิ์
ู
ิ
ี
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
์
ึ
์
ึ
ิ
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ุ
ึ
ิ
ิ
ิ
ห น้ า | 5
ตัวอยางที่ 8
่
ก าหนดให้ = {( , ) ∈ × | = 1 } จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
| |−1
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
่
้
ขอควรรูกอนท า
้
......................................................................................................................................................................................
2
1) ≥ 0
......................................................................................................................................................................................
2) | | ≥ 0
......................................................................................................................................................................................
3) √ ≥ 0
1
4) , ≠ 0
ั
1.4) กราฟของความสมพันธ ์
บทนยาม 5
ิ
ุ
ู
ื
์
ี
่
ให้ ⊂ × กราฟของความสัมพันธ คอ เซตของจดในระนาบทแสดงค่อันดับทเปนสมาชกของ
ี
ิ
็
่
์
ความสัมพันธ
จากบทนยามกราฟของความสัมพันธ เมอทราบความสัมพันธแล้วจะเขยนกราฟของความสัมพันธต่าง ๆ ได้
่
์
ิ
์
์
ี
ื
ดังตัวอย่างต่อไปน้ ี
= ............................................... = ...............................................
= ............................................... = ...............................................
ิ
ิ์
์
ู
ิ
ี
็
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ี
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
์
ุ
ึ
ึ
ิ
ิ
์
ิ
ึ
ิ
ึ
ิ
ิ
ห น้ า | 6
= ............................................... = ...............................................
= ............................................... = ...............................................
= ............................................... = ...............................................
= ............................................... = ...............................................
= ...............................................
= ...............................................
ี
ิ
็
์
ี
ิ
ู
ิ
ิ์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ึ
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 7
ึ
ั
แบบฝกหดที่ 1
ื
คณิตพ้นฐาน คณิตเพิ่มเติม
้
1. ก าหนดให = {0, 2, 3} และ = {1, {1}} จงหา 1. ก าหนดให = {0, 2} และ = {1, 3, 5} จงหา
้
1) × = .......................................................... 1) × = ..........................................................
........................................................................... ...........................................................................
2) × = .......................................................... 2) × = ..........................................................
........................................................................... ...........................................................................
3) × = .......................................................... 3) × = ..........................................................
........................................................................... ..........................................................................
4) × = .......................................................... 4) × = .........................................................
........................................................................... ..........................................................................
1
2. ก าหนด n(A) = 16, n(B) = 15, n(C) = 20 และ 2. ก าหนด n(A) = 7 , n(B) = 14, n(C) = 22 และ
n(A∩C) = 12 n(A∩C) = 9
1) n(A×C) = ........................................................ 1) n(A×C) = .......................................................
2) n((A∪C)×B) = ................................................ 2) n((A∪C)×B) = ...............................................
3) n((C-A)×(A-C)) = .......................................... 3) n((C-A)×(A-C)) = ..........................................
4) n((A-C)×(A∪C)) = ......................................... 4) n((A-C)×(A∪C)) = ........................................
3. ก าหนด A = {-3, -2, -1, ..., 7, 8}, B = {-4, -2, 0, ..., 3. ก าหนด A = {-3, -2, -1, ..., 7, 8}, B = {-4, -2, 0, ...,
8, 10} และ C = {1, 3, 5, ..., 11} จงหา 8, 10} และ C = {1, 3, 5, ..., 11} จงหา
1) n(A×B) = ........................................................ 1) n(A×B) = .......................................................
2) n(A×C) = ........................................................ 2) n(A×C) = .......................................................
3) n((A-B)×(A-C)) = .......................................... 3) n((A-B)×(A-C)) = ..........................................
4) n((A∩B)×(A∩C)) = ....................................... 4) n((A∩B)×(A∩C)) = ......................................
์
ั
้
ิ
็
่
็
์
4. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพันธตอไปน้ ี 4. ถา n เปนจานวนสมาชกของเซต A และ m เปน
้
ิ
1) = {(−2, √2), (−1, 1), (0, 0), (−2, 1)} จานวนสมาชกของเซต B แลว จงหาจานวน
................................................................................. สมาชกของ × , × , × และ ×
ิ
................................................................................. ................................................................................
................................................................................. ................................................................................
................................................................................. ................................................................................
ิ
ี
ู
็
ี
์
ิ์
ิ
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ห น้ า | 8
ื
คณิตพ้นฐาน คณิตเพิ่มเติม
2) = {( , ) ∈ ℤ × ℤ| = − 2} 5. ก าหนด M = {1, 2}, N = {2, 3} และ P = {4, 5}
................................................................................. จงเขียนเซตตอไปน้แบบแจกแจงสมาชก
ี
ิ
่
................................................................................. 1) (M×N)∪(M×P)
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
3) = {( , )| = √2} .................................................................................
................................................................................. 2) M×(N∪P)
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
2
4) = {( , )| = + 1} 3) M×(N∩P)
.................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
4) (M×N)∩(M×P)
5) = {( , ) ∈ ℤ × ℤ| = | − 2|}
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
้
................................................................................. 6. ถา E = {1, 2, 3} และ r = {(1, 1), (1, 2), (2, 3),
(2, 2), (3, 3), (2, 1)} แลว จงพิจารณาวา เปน
้
่
็
2
6) = {( , )| = √ + 2}
ื
่
ั
์
................................................................................. ความสมพันธบนเซต E หรอไม เพราะอะไร
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
ี
็
ิ
ิ
ู
์
ิ์
ิ
ี
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
ึ
์
ิ
ิ
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ิ
ึ
ึ
ุ
์
ิ
ห น้ า | 9
ื
คณิตพ้นฐาน คณิตเพิ่มเติม
้
2
7) = {( , )| = √1 − } 7. ให A = {0, 2, 4}, B = {0, 1, 2} และ
................................................................................. เปนความสมพันธจาก A ไป B ก าหนดโดย
ั
็
์
................................................................................. ( , ) ∈ เมอ >
ื่
................................................................................. 1) จงเขยน r แบบแจกแจงสมาชก
ิ
ี
................................................................................. ................................................................................
................................................................................. 2) จงเขยน r แบบบอกเงอนไขของสมาชก
ี
ื่
ิ
1
8) = {( , )| = } ................................................................................
−2
................................................................................. 8. ให S = {1, 2, 3, 4, 5} ก าหนด , และ เปน
้
็
................................................................................. ความสมพันธบนเซต S ดังตอไปน้ ี
ั
์
่
................................................................................. = {( , ) ∈ × | + = }
................................................................................. = {( , ) ∈ × | > ∧ = }
= {( , ) ∈ × | − = }
................................................................................. จงเขียน , และ แบบแจกแจงสมาชก
ิ
ั
์
์
5. จงหาโดเมนและเรจนของความสมพันธจากกราฟ พรอมทังหาโดเมนและเรนจของแตละ
่
้
้
์
่
้
ที่ก าหนดใหตอไปน้ ี ความสมพันธ ์
ั
1) .................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
.................................................................................
2) 9. จงหาตัวผกผันของความสมพันธ พรอมทังหา
้
้
ั
์
โดเมนและเรนจของตัวผกผันของความสมพันธ ์
์
ั
ดังตอไปน้ ี
่
1) = {(1, 2), (4, 3), (2, 2), (2, 1), (3, 1)}
.................................................................................
................................................................................. ................................................................................
................................................................................. ................................................................................
ี
ิ
ิ์
ู
ิ
์
็
ี
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ึ
์
ึ
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ุ
ิ
ิ
ิ
ห น้ า | 10
คณิตพ้นฐาน คณิตเพิ่มเติม
ื
3) 2) = {( , )| = 2 − 3 }
.................................................................................
................................................................................
................................................................................
3) = {( , )| = 1}
.................................................................................
................................................................................. ................................................................................
................................................................................. ................................................................................
−
4) 10. จงเขียนกราฟของ และ ในระบบพิกัดฉาก
ื่
่
์
ั
เดียวกัน เมอก าหนดความสมพันธ ดังตอไปน้ ี
1) = {( , ) ∈ × | ≥ + 1}
เมอ A = {1, 2, 3, 4}
ื่
.................................................................................
................................................................................
................................................................................. ................................................................................
................................................................................. ................................................................................
5) ................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
6)
.................................................................................
.................................................................................
ิ
ิ
ิ
ู
็
ี
ี
ิ์
์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
์
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ห น้ า | 11
คณิตพ้นฐาน คณิตเพิ่มเติม
ื
7) 2) = {( , ) ∈ ℤ × ℤ| = }
2
.................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................. ................................................................................
.................................................................................
8)
.................................................................................
.................................................................................
9)
3) = {( , )| < − 1}
.................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................. ................................................................................
................................................................................. ................................................................................
10)
.................................................................................
.................................................................................
ิ
ิ
ี
็
ี
ิ
ู
ิ์
์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ิ
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ิ
ึ
ิ
์
ึ
ุ
ิ
ิ
ึ
ห น้ า | 12
คณิตเพิ่มเติม
11. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพันธตอไปน้ ี 6) = {( , )| = √9 − }
์
่
ั
์
2
1) = {( , ) ∈ ℤ × ℤ| = 3 + 1} .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
2
2
2) = {( , )| = + 1} 7) = {( , )| = − 2 − 8}
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
2
2
2
3) = {( , )| + = 9} 8) = {( , )| = }
| |+2
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
1
4) = {( , )| = | − 5|} 9) = {( , )| = }
2
√ −4
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
5) = {( , )| = √ − 3} 10) = {( , )| = | | + | | = 4}
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................. .................................................................................
็
ี
ิ
ี
ิ
ิ์
์
ู
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
์
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ิ
ห น้ า | 13
คณิตเพิ่มเติม
ั
์
่
์
์
ั
12. จงหาโดเมนและเรจนของความสมพันธจากกราฟ 13. จงเขียนกราฟของความสมพันธตอไปน้ ี
ที่ก าหนดใหตอไปน้ ี 1) = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
่
้
1)
.................................................................................
.................................................................................
2)
2) = {( , )|−3 < ≤ 3 ∧ −2 < ≤ 5}
.................................................................................
.................................................................................
3)
2
2
2
3) = {( , )| + ≤ 2 ∧ ≤ }
.................................................................................
.................................................................................
4)
.................................................................................
.................................................................................
์
ี
ิ
ี
็
ู
ิ
ิ์
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
์
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ห น้ า | 14
ั
์
ั
ั
์
ั
์
ั
ั
ั
ั
์
ั
ั
์
ั
์
2. ฟงกชน (ฟงกชน ความสมพันธของฟงกชน ฟงกชน 1-1 ฟงกชนทั่วถึง)
์
ี่
ี่
์
ความสัมพันธท สมาชกแตละตัวในโดเมนมีความสมพันธกับสมาชกในเรนจเพียงตัวเดียว เปนความสัมพันธทม ี
็
ิ
ั
ิ
์
์
่
ความส าคัญและใช้มากในคณตศาสตร จะเรยกความสัมพันธดังกล่าวว่า ฟงก์ชัน (function) ซงนยามดังน้ ี
ิ
ี
์
ึ
่
ั
ิ
์
บทนยาม 6
ิ
ื
ึ
ิ
ื
ี
ิ
์
์
่
ฟงกชน คอ ความสัมพันธซงค่อันดับใด ๆ ของวามสัมพันธนั้น ถ้ามสมาชกตัวหน้าเหมอนกันแล้ว สมาชกตัว
ู
ั
์
ั
ื
หลังต้องเหมอนกัน ( , ) = ( , ) → =
เปนฟงกชน
็
ั
ั
์
ั
ั
์
็
่
ไมเปนฟงกชน A A
ุ
ุ
A สนัข B สนัข สนัข
ุ
B แมว C แมว B แมว
C กระต่าย D กระต่าย C กระต่าย
D
D ปลา E ปลา ปลา
E ภาพที่ 2 E
ภาพที่ 1 ภาพที่ 3
ใหนกเรยนสารวจแผนภาพตอไปน้ ี A สนัข A สนัข
ุ
ุ
่
้
ั
ี
B B
้
แลวตอบค าถาม แมว แมว
C C
ี่
1) ค่อันดับใดในภาพท 1 ท าให้ไม่เปนฟงก์ชัน กระต่าย กระต่าย
็
ั
ู
....................................................................... D ปลา D ปลา
E E
2) ภาพใดบ้างเปนฟงก์ชัน 1:1 ภาพที่ 5
ั
็
ภาพที่ 4
.......................................................................
3) ภาพใดบ้างเปนฟงก์ชันทั่วถง A A
ั
็
ึ
ุ
ุ
สนัข สนัข
....................................................................... B B
แมว แมว
4) ภาพใดบ้างเปนฟงก์ชัน 1:1 ทั่วถง C C
ึ
ั
็
....................................................................... D กระต่าย D กระต่าย
ปลา ปลา
็
ั
ึ
5) ภาพใดบ้างเปนฟงก์ชัน แต่ไม่ 1:1 / ทั่วถง E E
....................................................................... ภาพที่ 6 ภาพที่ 7
( ) = .........
์
ิ
ิ์
ิ
ี
ู
ี
ิ
็
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ึ
ิ
์
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
์
ิ
ุ
ึ
ึ
ึ
ิ
ิ
ิ
ห น้ า | 15
เซต {(x, 2), (y, 2)}
จะเปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชนเมอใด
ั
็
์
ื่
ั
่
ั
็
์
ื
ั
A B C
D E F
กราฟใดไมเปนฟงกชนบาง
็
่
ั
้
ั
์
ขอควรรู (ลักษณะของกราฟที่ไมเปนฟงกชน)
้
็
ั
์
ั
้
่
x = −y หรอ x = | |
ู
ื
ค่
x + y = 4
2
2
x = 7
ิ
ิ์
ู
ี
ี
ิ
ิ
็
์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
์
ึ
ิ
์
ิ
ึ
ึ
ุ
ึ
ิ
ห น้ า | 16
ตัวอยางที่ 9
่
ก าหนดฟงก์ชัน ( ) = − + 2 จงหา (−2), (0), (1), ( + 1) และ ( ) เมอ ∈ ℝ
ั
ื่
2
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 10
่
ั
ก าหนดฟงก์ชัน ( ) = √2− จงหา (−2), (0), (1) และ (3)
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 11
่
ี
่
ี
่
จากตัวอย่างท 9 และ ตัวอย่างท 10 จงหา โดเมน และเรนจ์
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ิ์
ี
ิ
ิ
็
์
ิ
ี
ู
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
์
ิ
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 17
คณิต
บทนยาม 7 เพิ่มเติม
ิ
็
ั
็
เปนฟงก์ชันจาก ไป ↔ เปนฟงก์ชันทมโดเมนเปนสับเซต และ เรนจ์เปนสับเซตของ
ี
็
่
ี
ั
็
คณิต
บทนยาม 8 เพิ่มเติม
ิ
ั
็
็
ึ
ั
ี
็
็
ี
่
เปนฟงก์ชันจาก ไปทั่วถง ↔ เปนฟงก์ชันทมโดเมนเปน และ เรนจ์เปน
คณิต
บทนยาม 9 เพิ่มเติม
ิ
็
ั
ั
่
ึ
ึ
่
็
เปนฟงก์ชันหนงต่อหนงจาก ไป ↔ เปนฟงก์ชันจาก ไป
่
ั
ึ
ซงส าหรบ และ ใด ๆ ใน ถ้า ( ) = ( ) แล้ว =
1
2
2
2
1
1
ตัวอยางที่ 12
่
ั
็
ั
ให้ = {1, 2, 3, 4} = { , , , , } และก าหนดฟงก์ชัน ℎ ดังแผนภาพ แล้ว ℎ เปนฟงก์ชันจาก
ึ
ื
ไปทั่วถง หรอไม่ เพราะอะไร
ℎ
ี
a
วิธท า ........................................................................................................................................................................
1
......................................................................................................................................................................................
b
2
......................................................................................................................................................................................
c
3
......................................................................................................................................................................................
d
4
......................................................................................................................................................................................
e
ู
์
ิ
ิ์
ิ
ิ
ี
ี
็
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
ิ
ึ
์
ึ
ิ
์
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ุ
ึ
ิ
ห น้ า | 18
ตัวอยางที่ 13
่
ก าหนดฟงก์ชัน ( ) = + 1 จงพิจารณาว่า เปนฟงก์ชันจาก ไปทั่วถง
็
ั
ั
ึ
2
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 14
่
็
ึ
่
ึ
่
ั
ั
ให้ = {1, 2, 3, 4} = { , , , , } และก าหนดฟงก์ชัน ดังแผนภาพ แล้ว เปนฟงก์ชันหนงต่อหนง
ื
จาก ไป หรอไม่ เพราะอะไร
ี
a
วิธท า ........................................................................................................................................................................
1
......................................................................................................................................................................................
b
2
......................................................................................................................................................................................
c
3
......................................................................................................................................................................................
d
4
e
......................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 15
่
ึ
่
ึ
ื
่
ั
่
ี
จงตรวจสอบว่า ฟงก์ชันทก าหนดให้ต่อไปน้เปนฟงก์ชันหนงต่อหนงหรอไม่
็
ั
ี
1) ( ) = 2 − 1) ( ) = + 2 + 1
2
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ิ
ิ์
็
ิ
ี
ู
ิ
์
ี
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
์
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ิ
ห น้ า | 19
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ั
ึ
แบบฝกหดที่ 2
่
้
์
่
่
ั
้
้
ื
้
ี
้
ั
็
1. จงพิจารณาวาแผนภาพ กราฟ หรอตาราง ที่ก าหนดใหตอไปน้ ขอใดบางที่เปนฟงกชนและขอใดบางไมเปน
็
ฟงกชน
์
ั
ั
1) 2) 3)
4) 5) 6)
ี
็
ิ
ิ
ี
ู
ิ
์
ิ์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
์
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ห น้ า | 20
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
ิ
ิ
ิ์
ี
ี
็
ู
์
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
์
ิ
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 21
์
ั
ื
ั
็
์
ั
ี
่
่
้
้
็
ั
็
่
์
ั
2. ความสมพันธตอไปน้เปนฟงกชน() หรอไมเปนฟงกชน() ถาไมเปน จงใหเหตุผล
ั
็
ั
ุ
็
ท ี่ ความสัมพันธ ์ เปนฟงก์ชัน ไม่เปนฟงก์ชัน เหตผล
1 {(1, ), (2, ), (3, ), (3, )}
2 {(1, ), (2, ), (3, ), (4, )}
3 {( , ) ∈ × | = − 2}
ื่
เมอ = {−2, −1, 0, 1, 2}
4 {( , ) ∈ × | < }
เมอ = {0, 1} และ = {−1, 1}
ื่
2
2
5 {( , )| + = 4}
6 {( , )| + = 5}
3
7 {( , )| + 3 = 4}
8 {( , )|√ + √ = 4}
9 {( , )|| | + | | = 3}
ั
ั
3. จากแผนภาพแสดงฟงกชน จงหา ( ), ( ), ( ) และ ( )
์
1) 2)
............................................................ ................................................................................
............................................................ ................................................................................
ั
ั
์
4. จากแผนภาพแสดงฟงกชน จงหา 1) ( ), ( ) , ( ) และ ( )
่
่
้
ื่
2) คา ที่ท าให ( ) ≤ 3) คาสูงสุดของ ( ) เมอ ≤
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
ู
ี
ี
ิ
ิ์
ิ
ิ
็
์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
ิ
ิ
ิ
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ิ
ึ
ุ
์
ึ
์
ิ
ึ
ห น้ า | 22
5. ก าหนดให เปนฟงกชน โดยที่ = {− , − , , , } จงเขียนฟงกชน แบบแจกแจงสมาชก เมอ
์
ั
ั
้
็
ั
ิ
์
ื่
ั
1) ( ) =
2
........................................................................................................................................................................
2) ( ) = √ + 2
........................................................................................................................................................................
2
3) ( ) =
2
+1
........................................................................................................................................................................
4) ( ) = | + 1|
........................................................................................................................................................................
ื่
เมอ <
้
ื่
6. ให ( ) = { เมอ ≤ ≤
ื่
เมอ >
จงหา (− ), ( ), ( ), ( ) , (√ ), ( ) และ ( + ) − ( ) เมอ >
ื่
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
์
็
ั
ั
ี
่
7. ก าหนด = { , , , , , } ฟงกชนที่ก าหนดใหตอไปน้เปนสบเซตของ × จงเขียนกราฟ
ั
้
ั
้
์
้
์
ั
พรอมทังหาโดเมนและเรนจของฟงกชน
1) ( ) = 2 2) ( ) = 2 − 3
็
ิ์
ี
ิ
ิ
ู
ี
์
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ิ
ึ
ึ
์
ิ
ึ
ิ
ุ
ิ
ึ
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ห น้ า | 23
...................................................................... .........................................................................
...................................................................... .........................................................................
3) ( ) = 2 4) = {( , )| + = 25}
2
2
2
...................................................................... .........................................................................
...................................................................... .........................................................................
์
์
ั
8. จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนตอไปน้ ี
ั
่
1
1) ( ) =
2
ี
วิธท า ...........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
2) ( ) = √ + 2
ี
วิธท า ...........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
2
3) ( ) = − 1
ี
วิธท า ...........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
ิ
ี
ี
็
ู
์
ิ
ิ
ิ์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
ึ
์
์
ิ
ิ
ึ
ิ
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ุ
ึ
ห น้ า | 24
4) ( ) = | |
ี
วิธท า ...........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
ิ
ิ
1
5) = {( , ) ∈ × | = } คณตเพิ่มเตม
| |+2
ี
วิธท า ...........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
ิ
ิ
6) = {( , ) ∈ × | = √ − 4 + 4} คณตเพิ่มเตม
2
ี
วิธท า ...........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
ิ
ิ
7) ( ) = + 1 และ −4 ≤ ≤ 2 คณตเพิ่มเตม
2
ี
วิธท า ...........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
ิ
ิ
8) ℎ( ) = − 2 − 8 และ −2 ≤ ≤ 2 คณตเพิ่มเตม
2
ี
วิธท า ...........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
ี
ี
็
์
ิ
ิ
ิ์
ู
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
์
ิ
ิ
ิ
ิ
ึ
ิ
์
ุ
ึ
ึ
ึ
ิ
ห น้ า | 25
คณิตเพิ่มเติม
้
่
9. ให = {( , )| = + 4 − 3} จงพิจารณาวา
3
1) (3 + 2) เท่ากับ (3) + (2) หรอไม่
ื
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ื
2) (3 ∙ 2) เท่ากับ (3) (2) หรอไม่
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
10. ก าหนด = { , , } และ = { , }
ั
1) ฟงก์ชันจาก ไป ได้แก่
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ั
2) ฟงก์ชันจาก ไป ได้แก่
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ิ
็
ี
ี
ู
์
ิ์
ิ
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ึ
์
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 26
คณิตเพิ่มเติม
ั
3) ฟงก์ชัน 1 – 1 จาก ไป ได้แก่
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ั
4) ฟงก์ชัน 1 – 1 จาก ไป ได้แก่
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ึ
ั
5) ฟงก์ชันจาก ไปทั่วถง ได้แก่
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
6) ฟงก์ชัน 1 – 1 จาก ไปทั่วถง ได้แก่
ึ
ั
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
์
ิ
ิ
ี
ี
็
ิ
ิ์
ู
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ึ
์
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 27
คณิตเพิ่มเติม
11. ก าหนด = { , , } และ = { , , }
= {( , ), ( , ), ( , )} = {( , ), ( , ), ( , )}
= {( , ), ( , ), ( , )} = {( , ), ( , ), ( , )}
= {( , ), ( , ), ( , )} = {( , ), ( , ), ( , )}
= {( , ), ( , ), ( , )}
พิจารณาฟงกชนที่ก าหนดใหวามีฟงกชนใดบางที่เปน
์
ั
์
ั
่
ั
ั
็
้
้
ั
ั
ั
1) ฟงกชนจาก ไป 2) ฟงกชนจาก ไปทั่วถึง
ั
์
์
ั
3) ฟงกชนจาก ไป 4) ฟงกชนจาก ไปทั่วถึง
์
์
ั
ั
ั
์
ั
5) ฟงกชนจาก ไป 6) ฟงกชน 1 – 1 จาก ไป
ั
์
ั
ั
ั
ั
์
์
ั
7) ฟงกชนจาก ไปทั่วถึง 8) ฟงกชน 1 – 1 จาก ไป
ั
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ั
ั
ั
์
็
์
่
่
12. จงตรวจสอบวา ฟงกชนตอไปน้ฟงกชนใดเปนฟงกชน 1 – 1
ั
์
ั
ั
ี
1) ( ) = +
2
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ิ
ิ์
์
ู
ิ
ี
ี
ิ
็
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
ิ
ิ
์
์
ิ
ึ
ุ
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ึ
ห น้ า | 28
คณิตเพิ่มเติม
2) ( ) = 2 + 5
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
3) ( ) = |2 − 1|
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
คณิต
ิ
บทนยาม 10 เพิ่มเติม
ให้ เปนฟงก์ชันซงมโดเมนและเรนจ์เปนสับเซตของจ านวนจรง และ A เปนสับเซตของโดเมน
ั
็
ึ
่
็
ี
็
ิ
ั
์
ั
็
1) เปน ฟงกชนเพิ่ม (increasing function) บน ↔ ∃ , ∈ [ < → ( ) < ( )]
1
2
1
2
1
2
2) เป็น ฟังก์ชัน]f (decreasing function) บน ↔ ∃ , ∈ [ < → ( ) > ( )]
2
1
1
1
2
2
ิ
ู
็
ี
ิ์
์
ี
ิ
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
์
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ห น้ า | 29
ตัวอยางที่ 16
่
ั
่
็
็
ั
ี
่
ี
ี่
ั
็
ี
ุ
ู
ให้ เปนฟงก์ชันทมกราฟ ดังรป จงระบช่วงท เปนฟงก์ชันเพิ่ม และช่วงท เปนฟงก์ชันลด
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ตัวอยางที่ 17
่
ั
ี
ั
่
ื
ี
็
ั
จงพิจารณาว่า ฟงก์ชันต่อไปน้เปนฟงก์ชันเพิ่มหรอฟงก์ชันลดบนเซตทก าหนดให้
1) ( ) = 3 − 2 บน ℝ
3
2) ( ) = − + 1 บน ℝ
3) ℎ( ) = บนช่วง (−∞, 0) และ (0, ∞)
2
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ู
ิ
ี
์
ี
ิ
ิ์
ิ
็
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ิ
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
์
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ึ
ิ
ห น้ า | 30
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ิ
ิ
ิ์
ี
ี
็
ู
์
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
ิ
ิ
์
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 31
แบบฝกหดที่ 3
ั
ึ
คณิต
1. จากกราฟของฟงกชนที่ก าหนดให จงหาชวงที่เปนฟงกชนเพิ่มและฟงกชนลดบน เพิ่มเติม
์
์
ั
ั
ั
ั
่
ั
้
ั
็
์
1) 2)
............................................................................... .................................................................................
............................................................................... .................................................................................
3) 4)
............................................................................... .................................................................................
............................................................................... .................................................................................
์
็
ั
ั
ื
ั
ั
์
ั
์
2. จงพิจารณาวา ฟงกชนตอไปน้เปนฟงกชนเพิ่มหรอฟงกชนลดบนเซตที่ก าหนดให ้
่
ั
ี
่
1) ( ) = −3 + 7 บนช่วง (0, ∞)
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
ี
็
ี
์
ิ์
ิ
ิ
ิ
ู
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ิ
ิ
ึ
ิ
ึ
ุ
ึ
์
์
ึ
ิ
ิ
ห น้ า | 32
2
2) ( ) = − + 5 บนช่วง (−∞, 0]
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
3) ( ) = | | บนช่วง [2, 6]
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
4) ( ) = −√ บนช่วง [0,5]
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
ิ
ิ์
ิ
ี
ี
็
ู
์
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
ิ
ิ
์
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 33
้
ั
ั
์
3. กราฟของฟงกชน และการนาไปใช
ั
ั
ิ
้
ั
์
(ฟงกชนเชงเสน ฟงกชนก าลังสอง ฟงกชนขันบันได ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ฟงกชนอน
ั
์
์
ั
้
์
ั
ั
ี
ั
์
์
ั
ื่
ั
ื่
การเลอนกราฟ)
3.1 ฟงกชนเชงเสน (linear function)
ิ
้
์
ั
ั
จุดมุงหมายของกิจกรรม
่
กิจกรรมน้ใช้เพือเสรมความเข้าใจของนักเรยนเกียวกับกราฟของฟงก์ชันเชงเสน
ั
่
้
ิ
่
ี
ี
ิ
ขั้นตอนการด าเนินกิจกรรม
1. ให้นักเรยนจับค่กัน จากนั้นเปดเว็บไซต์ ipst.me/10303 หรอสแกน
ี
ู
ื
ิ
ู
ุ
ั
่
ี
่
2. ให้นักเรยนแต่ละค่ลากปมบนสไลด์ a และ b เพือส ารวจกราฟของฟงก์ชัน ( ) = + ; , ∈ ℝ
แล้วตอบค าถามต่อไปน้ ี
ุ
ุ
่
่
ปม a ปม b ลักษณะกราฟ
ึ
่
ื
กรณี a > 0 (ค่อย ๆ เลอนให้มากข้น) เซตค่า b = 0
กรณี a > 0 (ค่อย ๆ เลอนให้น้อยลง) -
ื
่
กรณี a < 0 (ค่อย ๆ เลอนให้มากข้น)
ึ
่
ื
กรณี a < 0 (ค่อย ๆ เลอนให้น้อยลง)
่
ื
กรณี a คงที่ ค่อย ๆ เลอน ให้มากข้น
่
ึ
ื
กรณี a คงที่ ค่อย ๆ เลอน ให้น้อยลง
่
ื
ิ
3. ร่วมกันอภปรายผลการส ารวจ
็
ู
์
ี
ิ์
ิ
ิ
ิ
ี
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ิ
ึ
ิ
ิ
ึ
ิ
์
์
ึ
ุ
ิ
ิ
ึ
ห น้ า | 34
ตัวอยางที่ 18
่
ั
ี
ิ
ี
ี
้
จงเขยนกราฟของฟงก์ชันเชงเสนต่อไปน้ในระบบพิกัดฉากเดยวกัน
1) ( ) = , ( ) = , ( ) = , ℎ ( ) = 2 − 1, ℎ ( ) = 2 + 1
1
1
2) ( ) = − , ( ) = − , ( ) = − , ( ) = −2 − 2, ( ) = −2 + 2
2
3
คาดเดาทิศทางกราฟ
ิ์
ี
็
ิ
ิ
ู
์
ิ
ี
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
์
ิ
ิ
์
ิ
ิ
ึ
ิ
ึ
ุ
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ห น้ า | 35
ตัวอยางที่ 19
่
ื
ิ
ี
ิ
รายได้ของพนักงานขายข้นอยู่กับปรมาณสนค้าทขายได้ใน 1 เดอน (30 วัน) โดยรายได้ของพนักงานขายหาได้จาก
ึ
่
ี่
ื
ื่
็
ิ
( ) = 6,000 + 5,000 เมอ x เปนจ านวนสนค้าทขายได้ใน 1 เดอน
ิ
ี
ิ
ื
1) ถ้าใน 1 เดอน พนักงานขายสนค้าได้ 4 ช้น เขาจะมรายได้เท่าใด
ิ
2) ถ้าต้องการมรายได้ไม่ต ากว่าเดอนละ 40,000 บาท พนักงานขายต้องขายสนค้าให้ได้อย่างน้อยเดอนละกีช้น
่
ื
ื
ี
ิ
่
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
กิจกรรม เขียนโคดชวยค านวณ ผาน Excel
่
่
้
จ านวนทขายได้(ช้น) รายได้ ต้องการมรายได้ จ านวนทต้องขายให้ได้ (ช้น)
ิ
ี
่
ิ
่
ี
ี
4 40,000
20 60,000
30 78,000
49 120,000
10,000 300,000
497,574 450,000
็
ู
ิ
ี
์
ิ
ิ์
ิ
ี
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ิ
ิ
์
ึ
ึ
ิ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ุ
ึ
ิ
ิ
ห น้ า | 36
ตัวอยางที่ 20
่
ี
ุ
ื
ุ
ิ
้
่
้
ื
่
ี
พ่อค้าเปดรานขายอาหารกล่องเพือสขภาพ มต้นทนสองส่วน ส่วนแรกคอค่าเช่ารานเดอนละ 4,000 บาท ส่วนทสอง
คอค่าวัตถดบกล่องละ 15 บาท ถ้าพ่อค้าตั้งราคาขายไวทกล่องละ 40 บาท จงหา
ิ
ื
่
ุ
ี
ุ
ั
1) ฟงก์ชันต้นทนในการผลตอาหารกล่อง x กล่อง ในระยะเวลา 1 เดอน
ื
ิ
2) ฟงก์ชันรายได้จากการขายอาหารกล่อง x กล่อง ในระยะเวลา 1 เดอน
ื
ั
่
ี
ิ
็
ิ
ื
ื
ุ
3) จ านวนเงนทเปนก าไรหรอขาดทนของพ่อค้า ถ้าในระยะเวลา 1 เดอน พ่อค้าผลตอาหารกล่องได้ 300 กล่อง แต่
ขายอาหารกล่องได้ 250 กล่อง
่
ุ
ุ
ื
4) พ่อค้าจะต้องขายอาหารเดอนละกีกล่อง จงจะค้มทน
ึ
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ิ
ี
ิ
ิ์
ู
็
์
ิ
ี
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
์
ึ
ิ
ิ
ึ
ิ
ิ
ิ
ิ
ุ
ึ
ึ
์
ห น้ า | 37
ตัวอยางที่ 21
่
่
็
ึ
่
ื
่
ึ
ั
ี
ุ
ฟงก์ชันแสดงราคาของรถยนต์คันหนงเมอใช้งานไประยะเวลาหนงเปนฟงก์ชันเชงเสน ถ้าปจจบันรถยนต์คันน้ราคา
ั
้
ั
ิ
ื่
ี
ี
500,000 บาท และเมอใช้ไปแล้ว 5 ป จะมราคา 350,000 บาท จงหา
ั
1) ฟงก์ชันแสดงราคาของรถยนต์คันน้ เมอใช้งานไป x ป ี
ี
่
ื
ี
่
ื
ี
2) ราคาของรถยนต์คันน้ เมอใช้งานไป 2 ป
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
็
ี
ู
ี
ิ
์
ิ
ิ์
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
์
ิ
ห น้ า | 38
ตัวอยางที่ 22
่
้
ื
่
ี
รานถ่ายเอกสารมค่าใช้จ่ายประจ าวัน คอ ค่าจ้างคนงานวันละ 350 บาท และค่าเช่าเครองถ่ายเอกสารวันละ 100 บาท
ื
ุ
ี
้
ถ้ารานถ่ายเอกสารมต้นทนค่ากระดาษและค่าหมกพิมพ์แผ่นละ 0.27 บาท และก าหนดค่าถ่ายเอกสารแผ่นละ 0.50
ึ
ั
ี
่
ั
ื
ุ
้
บาท จงเขยนฟงก์ชันแสดงก าไร (ขาดทน) ของรานถ่ายเอกสาร เมอรบจ้างถ่ายเอกสาร x แผ่น ใน 1 วัน และหาว่า
่
ึ
้
ั
รานถ่ายเอกสารจะต้องรบจ้างถ่ายเอกสารอย่างน้อยวันละกีแผ่น จงจะไม่ขาดทน
ุ
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ี
็
ี
์
ิ
ู
ิ์
ิ
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ิ
ึ
ิ
ิ
ึ
ิ
์
ึ
ุ
ิ
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ห น้ า | 39
ตัวอยางที่ 23
่
่
ึ
้
จากการสังเกตของเจ้าของรานขายขนมในโรงเรยนแห่งหนง
ี
ี
ิ
ื
่
ุ
ิ
พบว่า ปรมาณคกกี้ทผู้บรโภคต้องการซ้อ (มหน่วยเปนกล่อง)
็
ี
ั
ุ
ณ ระดับราคาต่าง ๆ จะสอดคล้องกับฟงก์ชันอปสงค์
ิ
ุ
ิ
( ) = 65 − 3 และปรมาณคกกี้ทผู้ผลตต้องการขาย
่
ี
(มหน่วยเปนกล่อง) ณ ระดับราคาต่าง ๆ จะสอดคล้องกับ
็
ี
ุ
ุ
ั
ื่
ฟงก์ชันอปทาน ( ) = 2 + 15 เมอ แทนราคาคกกี้
็
ี
ต่อกล่อง (มหน่วยเปนบาทต่อกล่อง)
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ั
ั
ุ
กราฟของฟงกชันอุปสงค์ ( ) และฟงก์ชันอปทาน ( )
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ี
์
ู
ี
ิ์
็
ิ
ิ
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
์
ิ
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 40
แบบฝกหดที่ 4
ึ
ั
ิ
ิ
ิ์
ี
ี
็
์
ิ
ู
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
์
ึ
ิ
ิ
ึ
ิ
ึ
์
ิ
ึ
ุ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ห น้ า | 41
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ิ
ิ์
ิ
ี
็
ู
ี
์
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
์
ิ
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 42
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
ิ
ิ์
ิ
ี
็
ู
ี
์
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ึ
์
ิ
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ิ
ห น้ า | 43
คณิต
ื
พ้นฐาน
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ิ
ิ
ี
็
ี
ิ์
ิ
ู
์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
ิ
์
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ิ
ห น้ า | 44
คณิต
ื
พ้นฐาน
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ิ์
ิ
ิ
ี
ี
็
ิ
ู
์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ิ
ห น้ า | 45
คณิต
ื
พ้นฐาน
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ี
ิ์
ิ
ิ
็
ี
์
ู
ิ
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
ิ
์
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ิ
ห น้ า | 46
คณิต
ื
พ้นฐาน
ี
วิธท า ........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
ี
ิ์
ิ
ิ
ี
็
ิ
ู
์
เอกสารประกอบการเรยนเล่มน้เปนลขสทธของ นายพัชรพล ชดชม (ครมารค)
์
ิ
ิ
์
ึ
ศกษาศาสตรบัณฑต เอกคณตศาสตร มช./ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การบรหารการศกษา ม.กรงเทพธนฯ/ ศกษาศาสตรมหาบัณฑต การสอนคณตศาสตร มก.
ึ
ิ
ิ
ึ
ุ
ึ
ิ
ิ
ห น้ า | 47
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search