34 9 ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของผู้ที่ได้รับมอบหมายจากหัวหน้าสถานศึกษา ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นายไพโรจน์ คำพิมาน) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสกาวเดือน เหมะธุลิน) หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ............../................../..............
35 เฉลยใบงานเรื่องแผนภาพต้นไม้ 1. จงบอกความหมายของแผนภาพต้นไม้ ตอบ แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram) เป็นเครื่องมือที่ใช้สำหรับแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้ ของผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดในลักษณะของรูปภาพแทนการเขียนเซต โดยจะเริ่มจากจุดทาง ด้านซ้ายเสมอ และแตกกิ่งออกไปตามความเป็นไปได้ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในแต่ละทางเลือก 2.จงเขียนแผนภาพต้นไม้แทนผลลัพธ์การทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน ตอบ มีผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นเท่ากับ 36
36 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 2 ค31102 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง หลักการคูณ เวลา 2 ชั่วโมง ผู้สอน นางสาวมณันยา พินะสา โรงเรียนอุดรพัฒนาการ 1. มาตรฐานและตัวชี้วัด สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้ ตัวชี้วัด ค 3.2 ม.4/1 เข้าใจและใช้หลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ในการแก้ปัญหา 2. สาระสำคัญ หลักการคูณ ในการทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งขั้นตอนการทำงานออกเป็น 2 ขั้นตอน ซึ่งต้องทำต่อเนื่องกัน โดยขั้นตอนที่ 1 สามารถทำได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 สามารถทำขั้นตอนที่ 2 ต่อไปได้ n2 วิธี แล้วจะสามารถทำแบบนี้ได้ทั้งหมด n1 n2 วิธี 3. จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบบทเรียนนี้แล้ว นักเรียนสามารถ 3.1 หาหลักการคูณในความเป็นไปได้ของผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดได้(K) 3.2 แสดงวิธีการหาหลักการคูณในความเป็นไปได้ของผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดได้(P) 3.3 มีความรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหมาย (A) 4. สาระการเรียนรู้ หลักการคูณ 5. สมรรถนะของผู้เรียน 5.1 ความสามารถในการสื่อสาร 5.2 ความสามารถในการคิด - การจำแนก การให้เหตุผล การสรุปความรู้ การปฏิบัติ 5.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา
37 6. กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 1 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูทบทวนเรื่องหลักการบวก ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 2. ครูให้นักเรียนจับคู่กันสืบค้นข้อมูลเกี่ยวกับหลักการคูณ แล้วเขียนตัวอย่างหลักการคูณ ในความเป็นไปได้ของผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมด จากนั้นสลับผลงานกับคู่อื่น เพื่อร่วมกัน ตรวจสอบและแก้ไขให้ถูกต้อง 3. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่เข้าใจเป็นความรู้ร่วมกัน ดังนี้ หลักการคูณ ในการทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งขั้นตอนการทำงานออกเป็น 2 ขั้นตอน ซึ่งต้องทำต่อเนื่องกัน โดยขั้นตอนที่ 1 สามารถทำได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 สามารถทำขั้นตอนที่ 2 ต่อไปได้ n2 วิธี แล้วจะสามารถทำแบบนี้ได้ทั้งหมด n1 n2 วิธี 4. ครูยกตัวอย่างการหาหลักการคูณในความเป็นไปได้ของผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมด ตัวอย่างที่1 นักเรียนคนหนึ่งมีปากกา 4 แบบ ดินสอ 5 แบบ ไม้บรรทัด 6 แบบ ในกระเป๋าดินสอ ของเขาจะต้องมีปากกา ดินสอ อย่างละ 1 แท่ง และไม้บรรทัด 1 อัน นักเรียนคนนี้ จะสามารถจัดกระเป๋าดินสอได้กี่แบบ วิธีทำ การจัดกระเป๋าดินสอของนักเรียนคนนี้ มี 3 ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 เลือกปากกาได้ 4 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกดินสอได้ 5 วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกไม้บรรทัดได้ 6 วิธี ดังนั้น นักเรียนคนนี้จะสามารถจัดกระเป๋าดินสอได้ 4x5x6 = 120 แบบ ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 5. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเรื่อง หลักการคูณ
38 ชั่วโมงที่ 2 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 6. ครูทบทวนเรื่องหลักการคูณ ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 7. ครูถามนักเรียนว่า “ในการทอดลูกเต๋าลูกนี้ 2 ลูก จะได้แต้มลูกเต๋าที่แต้มต่างกันทั้งหมด กี่วิธี” 8. ครูสุ่มนักเรียนออกมานำเสนอคำตอบและวิธีการหาคำตอบ ในการทอดลูกเต๋าลูกนี้ 2 ลูก จะได้แต้มลูกเต๋าที่แต้มต่างกันทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ การทอดลูกเต๋า 1 ลูก ได้ 6 วิธี ดังนั้น การทอดลูกเต๋า 2 ลูก ได้ 6 6 = 36 วิธี การทอดลูกเต๋า 2 ลูก ให้ขึ้นแต้มเหมือนกัน จะได้ มีทั้งหมด 6 วิธี ดังนั้น การทอดลูกเต๋า 2 ลูก ให้ได้แต้มลูกเต๋าที่ต่างกัน คือ 36 – 6 = 30 วิธี 9. ครูอธิบายเกี่ยวกับหลักการลบ 10. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกหัด 3.1 ข้อ 4, 6, 8 ใหญ่ พร้อมแสดงวิธีทำ ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 11. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกหัด 3.1 ข้อ 4, 6, 8 ใหญ่ 12. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปหลักการคูณ เราสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เรื่อง ผลต่างระหว่างเซต ได้เป็นหลักการลบ (Subtraction Principle) ได้ดังนี้ คือ วิธีที่ต้องการ = วิธีทั้งหมด – วิธีที่ไม่ต้องการ
39 7. สื่อและแหล่งการเรียนรู้ 7.1 สื่อการเรียนรู้ - หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ของ สสวท. 7.2 แหล่งการเรียนรู้ - ห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนอุดรพัฒนาการ - google : หลักการคูณ 8. การวัดและประเมินผล จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 หาหลักการคูณในความเป็นไปได้ ของผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดได้ แบบฝึกหัด 3.1 ข้อ 4, 6, 8 ใหญ่ ตรวจแบบฝึกหัด 3.1 ข้อ 4, 6, 8 ใหญ่ ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 แสดงวิธีการหาหลักการคูณใน ความเป็นไปได้ของผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้น ทั้งหมดได้ แบบฝึกหัด 3.1 ข้อ 4, 6, 8 ใหญ่ ตรวจแบบฝึกหัด 3.1 ข้อ 4, 6, 8 ใหญ่ ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 3. ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 3.1 มีความรับผิดชอบต่องานที่ ได้รับมอบหมาย แบบสังเกต พฤติกรรม สังเกตพฤติกรรม อยู่ในระดับ ดี ขึ้นไป
40 แบบประเมินด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P) ประจำแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565 ด้านความรู้ ประเมินจากแบบฝึกหัด 3.1 ข้อ 4, 6, 8 ใหญ่ ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจากแบบฝึกหัด 3.1 ข้อ 4, 6, 8 ใหญ่ เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (10) คะแนนเต็ม (10) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
41 เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (10) คะแนนเต็ม (10) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 20 21 22 23 24 25 26 27 28 เกณฑ์การประเมิน นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์ สรุปผลการประเมิน ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวมณันยา พินะสา)
42 แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 หลักการนับเบื้องต้น คำชี้แจง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติดังนี้ ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก ระดับ 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นปานกลาง ระดับ 1 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นน้อย เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
43 เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 24 25 26 27 28 ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวมณันยา พินะสา) รายการ ประเมิน เกณฑ์การให้คะแนน 3 2 1 1. ความ กระตือรือร้น ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรม ตลอดเวลา ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมบางเวลา ไม่ตั้งใจเรียน และไม่ สนใจในการทำ กิจกรรม 2. การมี ระเบียบวินัย ในการทำงาน สมุดงาน ชิ้นงาน สะอาด เรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานส่วน ใหญ่สะอาดเรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานไม่ ค่อยเรียบร้อย 3. ความ รับผิดชอบ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม กำหนด เวลานัดหมาย ส่งงานช้ากว่ากำหนด แต่มีการติดต่อครูผู้สอน มีเหตุผลที่รับฟังได้ ส่งงานช้ากว่ากำหนด เกณฑ์การประเมิน คะแนนรวม ระดับคุณภาพ 8 - 9 ดีมาก 6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์) 4 - 5 พอใช้ ต่ำกว่า 4 ปรับปรุง
44 9. บันทึกผลหลังการสอน 9.1 ด้านความรู้ (K) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.2 ด้านทักษะกระบวนการ (P) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.3 คุณลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ(A) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรียน (C) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่นๆ ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ลงชื่อ........................................................... (นางสาวมณันยา พินะสา) ครูผู้สอน
45 10. ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของผู้ที่ได้รับมอบหมายจากหัวหน้าสถานศึกษา ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นายไพโรจน์ คำพิมาน) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสกาวเดือน เหมะธุลิน) หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ............../................../..............
46 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 6 รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 2 ค31102 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน (แฟกทอเรียล) เวลา 2 ชั่วโมง ผู้สอน นางสาวมณันยา พินะสา โรงเรียนอุดรพัฒนาการ 1. มาตรฐานและตัวชี้วัด สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้ ตัวชี้วัด ค 3.2 ม.4/1 เข้าใจและใช้หลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ในการแก้ปัญหา 2. สาระสำคัญ การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) เป็นการนำสิ่งของที่มีลักษณะที่แตกต่างกันทั้งหมด มาเรียง โดยถือตำแหน่ง หรือลำดับก่อนหลังเป็นสำคัญ n! อ่านว่า เอ็นแฟกทอเรียล หมายถึง การคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ n! = 1 2 3 ... (n – 2) (n – 1) n 3. จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบบทเรียนนี้แล้ว นักเรียนสามารถ 3.1 หาค่าแฟกทอเรียลที่กำหนดให้ได้(K) 3.2 แสดงวิธีการหาแฟกทอเรียลที่กำหนดให้ได้(P) 3.3 มีความรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหมาย (A) 4. สาระการเรียนรู้ การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) และแฟกทอเรียล 5. สมรรถนะของผู้เรียน 1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคิด - การจำแนก การให้เหตุผล การสรุปความรู้ การปฏิบัติ 3. ความสามารถในการแก้ปัญหา
47 6. กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 1 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูทบทวนเรื่องหลักการคูณ 2. ครูให้นักเรียนคาดการณ์ผลของเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นต่อไปนี้ ดังนี้ • หากมีเลขโดด 1 เพียงตัวเดียว นำมาเรียงสับเปลี่ยน จะได้วิธีเดียว คือ 1 • หากมีเลขโดด 1 และ 2 นำมาเรียงสับเปลี่ยน โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 2 วิธี คือ 12 กับ 21 • หากมีเลขโดด 1, 2 และ 3 นำมาเรียงสับเปลี่ยน โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 6 วิธี คือ 123, 132, 213, 231,312 และ 321 • หากมีเลขโดด 1, 2, 3 และ 4 นำมาเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 24 วิธี คือ 1234, 1243,1342,1324, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341,2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312 และ 4321 • ในทำนองเดียวกันหากมีเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ5 นำมาเรียงสับเปลี่ยน โดยไม่ใช้ เลขช้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 120 วิธี ซึ่งมาจาก 5 4 3 2 1 3. ครูถามนักเรียนว่า “ถ้ามีเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 นำมาเรียงสับเปลี่ยน โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมดกี่วิธีนักเรียนมีวิธีการคิดอย่างไร” ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 4. ครูสุ่มให้นักเรียนมาอธิบายการหาคำตอบ นักเรียนได้คำตอบเป็น 720 ซึ่ง 720 ได้มาจาก 6 5 4 3 2 1 5. ครูอธิบายเกี่ยวกับแฟกทอเรียล นักเรียนจะเห็นได้ว่าในการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง จะได้ จำนวนวิธี = n (n – 1) (n – 2) … 3 2 1 ซึ่งนักคณิตศาสตร์กำหนดการเขียนสัญลักษณ์แทนการคูณจำนวนเต็มบวกเรียงกัน ดังกล่าวว่า n! อ่านว่า เอ็นแฟกทอเรียล เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก 6. ครูยกตัวอย่างการหาแฟกทอเรียล
48 ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 1) 7! 2) 8! 6! 3) 50! 46!4! วิธีทำ 1) 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5,040 2) = = 8 7 = 56 3) = = 230,300 ตัวอย่างที่ 2 ทำให้เป็นผลสำเร็จ 1) 2) 3) วิธีทำ 1) = = 6 5 = 30 2) = = 3 7 3) = = (n + 2) (n + 1) ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 7. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน และแฟกทอเรียล n! อ่านว่า เอ็นแฟกทอเรียล หมายถึง การคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ n! = 1 2 3 ... (n – 2) (n – 1) n 8! 6! 8 7 6! 6! 50! 46!4! 50 49 48 47 46! 46! 4 3 2 1 6! 4! 6!4! 8! (n + 2)! n! 6! 4! 6 5 4! 4! 6!4! 8! 6! 4 3 2 1 8 7 6! (n + 2)! n! (n + 2)(n + 1) n! n!
49 ชั่วโมงที่ 2 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 8. ครูทบทวนเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนและแฟกทอเรียล ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 9. ครูยกตัวอย่างการเขียนแฟกทอเรียล จงเขียน 18 × 17 × 16 ในรูปแฟกทอเรียล 18 × 17 × 16 = = 10. ครูให้นักเรียนเล่นเกม “คิดซิคิดซิ แฟกทอเรียล” ผ่าน wordwall ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 11. ครูให้นักเรียนทำใบงานเรื่อง แฟกทอเรีบล เป็นการบ้าน 12. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน และแฟกทอเรียล 7. สื่อและแหล่งการเรียนรู้ 7.1 สื่อการเรียนรู้ - หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ของ สสวท. - wordwall “คิดซิคิดซิ แฟกทอเรียล” - ใบงานเรื่อง แฟกทอเรียล 7.2 แหล่งการเรียนรู้ - ห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนอุดรพัฒนาการ - google : การเรียงสับเปลี่ยน และแฟกทอเรียล 18! 15! 18 17 16 15 ... ×3 ×2 ×1 15 ×... ×3 ×2 ×1
50 8. การวัดและประเมินผล จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 หาค่าแฟกทอเรียลที่กำหนดให้ได้ 1) wordwall “คิดซิคิดซิ แฟกทอเรียล” 2) ใบงานเรื่อง แฟก ทอเรียล ตรวจ 1) wordwall “คิดซิคิดซิ แฟกทอเรียล” 2) ใบงาน เรื่อง แฟกทอเรียล ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 แสดงวิธีการหาแฟกทอเรียลที่ กำหนดให้ได้ ใบงาน เรื่อง แฟกทอเรียล ตรวจใบงาน เรื่อง แฟกทอเรียล ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 3. ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 3.1 มีความรับผิดชอบต่องานที่ ได้รับมอบหมาย แบบสังเกต พฤติกรรม สังเกตพฤติกรรม อยู่ในระดับ ดี ขึ้นไป
51 แบบประเมินด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P) ประจำแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 6 เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565 ด้านความรู้ ประเมินจาก1) wordwall “คิดซิคิดซิ แฟกทอเรียล” 2) ใบงานเรื่อง แฟกทอเรียล ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจากใบงานเรื่อง แฟกทอเรียล เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (10) คะแนนเต็ม (10) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
52 เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (10) คะแนนเต็ม (10) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 20 21 22 23 24 25 26 27 28 เกณฑ์การประเมิน นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์ สรุปผลการประเมิน ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวมณันยา พินะสา)
53 แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 หลักการนับเบื้องต้น คำชี้แจง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติดังนี้ ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก ระดับ 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นปานกลาง ระดับ 1 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นน้อย เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
54 เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 24 25 26 27 28 ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวมณันยา พินะสา) รายการ ประเมิน เกณฑ์การให้คะแนน 3 2 1 1. ความ กระตือรือร้น ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรม ตลอดเวลา ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมบางเวลา ไม่ตั้งใจเรียน และไม่ สนใจในการทำ กิจกรรม 2. การมี ระเบียบวินัย ในการทำงาน สมุดงาน ชิ้นงาน สะอาด เรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานส่วน ใหญ่สะอาดเรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานไม่ ค่อยเรียบร้อย 3. ความ รับผิดชอบ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม กำหนด เวลานัดหมาย ส่งงานช้ากว่ากำหนด แต่มีการติดต่อครูผู้สอน มีเหตุผลที่รับฟังได้ ส่งงานช้ากว่ากำหนด เกณฑ์การประเมิน คะแนนรวม ระดับคุณภาพ 8 - 9 ดีมาก 6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์) 4 - 5 พอใช้ ต่ำกว่า 4 ปรับปรุง
55 9. บันทึกผลหลังการสอน 9.1 ด้านความรู้ (K) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.2 ด้านทักษะกระบวนการ (P) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.3 คุณลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ(A) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรียน (C) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่นๆ ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ลงชื่อ........................................................... (นางสาวมณันยา พินะสา) ครูผู้สอน
56 10. ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของผู้ที่ได้รับมอบหมายจากหัวหน้าสถานศึกษา ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นายไพโรจน์ คำพิมาน) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสกาวเดือน เหมะธุลิน) หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ............../................../..............
57 เฉลย
58 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7 รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 2 ค31102 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด เวลา 1 ชั่วโมง ผู้สอน นางสาวมณันยา พินะสา โรงเรียนอุดรพัฒนาการ 1. มาตรฐานและตัวชี้วัด สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้ ตัวชี้วัด ค 3.2 ม.4/1 เข้าใจและใช้หลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ในการแก้ปัญหา 2. สาระสำคัญ จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ n! วิธี 3. จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบบทเรียนนี้แล้ว นักเรียนสามารถ 3.1 หาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมดได้(K) 3.2 แสดงวิธีการหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกัน ทั้งหมดได้(P) 3.3 มีความรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหมาย (A) 4. สาระการเรียนรู้ การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด 5. สมรรถนะของผู้เรียน 1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคิด - การจำแนก การให้เหตุผล การสรุปความรู้ การปฏิบัติ 3. ความสามารถในการแก้ปัญหา
59 6. กิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงานเรื่อง แฟกทอเรียล 2. ครูทบทวนเรื่อง แฟกทอเรียล ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 3. ครูอธิบายเรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด ถ้ามีสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด ต้องการนำมาจัดเรียงเป็นแนวตรง โดยไม่นำสิ่งของที่ได้จัดเรียงไปแล้วในตำแหน่งหนึ่งมาจัดเรียงใหม่ในตำแหน่งอื่นอีก มีวิธีการดังนี้ตำแหน่งที่ 1 เลือกสิ่งของ 1สิ่ง จาก n สิ่ง วางในตำแหน่งที่ 1 ได้ n วิธี ตำแหน่งที่ 2 เลือกสิ่งของ 1 สิ่ง จาก n – 1 สิ่ง วางในตำแหน่งที่ 2 ได้ n – 1 วิธี ตำแหน่งที่ 3 เลือกสิ่งของ 1 สิ่ง จาก n – 2 สิ่ง วางในตำแหน่งที่ 3 ได้ n – 2 วิธี ตำแหน่งที่ n วางสิ่งของ 1 สิ่ง ที่เหลืออยู่ในตำแหน่งที่ n ได้ 1 วิธี โดยกฎการคูณ จะได้วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของสองสิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ n(n – 1) (n – 2) (n – 3) … (3) (2) (3) = n! วิธี 4. ครูให้นักเรียนจับคู่กันและช่วยกันหาคำตอบของตัวอย่างที่ 1 ตัวอย่างที่ 1 เพื่อน 4 คน ต้องการยืนถ่ายรูปในแนวตรงร่วมกัน จะยืนเรียงกันได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ จำนวนวิธีในการจัดเพื่อน 4 คน เพื่อยืนถ่ายรูปในแนวตรงได้ 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 วิธี ดังนั้น จะยืนเรียงกันได้ทั้งหมด 24 วิธี 5. ครูสุ่มนักเรียนออกมานำเสนอคำตอบและวิธีการหาคำตอบ 6. ครูและนักเรียนร่วมกันพิจารณาคำตอบ 7. ครูยกตัวอย่างและอธิบายวิธีการหาการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกัน ทั้งหมด ตัวอย่างที่ 2 หนังสือเรียนคณิตศาสตร์มี 2 เล่ม ภาษาไทยมี 2 เล่ม ภาษาอังกฤษมี 4 เล่ม สังคมศึกษามี 3 เล่ม วิทยาศาสตร์มี 1 เล่ม หากจะจัดหนังสือเรียนเหล่านี้บนชั้นที่โต๊ะ เขียนหนังสือ โดยหนังสือเรียนในวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน จะมีวิธีการเรียงได้กี่วิธี วิธีทำ มีวิธีการเรียงหนังสือเรียนทั้ง 5 วิชา ได้ 5! วิธี
60 ในแต่ละวิชามีวิธีการเรียงได้อีก ดังนี้ คณิตศาสตร์ มีหนังสือเรียน 2 เล่ม เรียงได้ 2! วิธี ภาษาไทย มีหนังสือเรียน 2 เล่ม เรียงได้ 2! วิธี ภาษาอังกฤษ มีหนังสือเรียน 4 เล่ม เรียงได้ 4! วิธี สังคมศึกษา มีหนังสือเรียน 3 เล่ม เรียงได้ 3! วิธี วิทยาศาสตร์ มีหนังสือเรียน 1 เล่ม เรียงได้ 1! วิธี จะจัดเรียงหนังสือเรียนทั้งหมดได้ 5! × 2! × 2! × 4! × 3! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1) × (2 × 1) × (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1) = 120 × 2 × 2 × 24 × 6 = 69,120 วิธี ดังนั้น มีวิธีการเรียงได้ 69,120 วิธี 8. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 1 ใหญ่ ขั้นสรุป 9. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 1 ใหญ่ 10. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกัน ทั้งหมด 7. สื่อและแหล่งการเรียนรู้ 7.1 สื่อการเรียนรู้ - หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ของ สสวท. 7.2 แหล่งการเรียนรู้ - ห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนอุดรพัฒนาการ - google : การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
61 8. การวัดและประเมินผล จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 หาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยน เชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกัน ทั้งหมดได้ แบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 1 ใหญ่ ตรวจแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 1 ใหญ่ ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 แสดงวิธีการหาจำนวนวิธีการเรียง สับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่าง กันทั้งหมดได้ แบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 1 ใหญ่ ตรวจแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 1 ใหญ่ ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 3. ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 3.1 มีความรับผิดชอบต่องานที่ ได้รับมอบหมาย แบบสังเกต พฤติกรรม สังเกตพฤติกรรม อยู่ใน ระดับดี ขึ้นไป
62 แบบประเมินด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P) ประจำแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7 เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565 ด้านความรู้ ประเมินจากแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 1 ใหญ่ ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจากแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 1 ใหญ่ เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (10) คะแนนเต็ม (10) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
63 เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (10) คะแนนเต็ม (10) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 20 21 22 23 24 25 26 27 28 เกณฑ์การประเมิน นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์ สรุปผลการประเมิน ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวมณันยา พินะสา)
64 แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 หลักการนับเบื้องต้น คำชี้แจง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติดังนี้ ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก ระดับ 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นปานกลาง ระดับ 1 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นน้อย เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
65 เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 24 25 26 27 28 ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวมณันยา พินะสา) รายการ ประเมิน เกณฑ์การให้คะแนน 3 2 1 1. ความ กระตือรือร้น ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรม ตลอดเวลา ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมบางเวลา ไม่ตั้งใจเรียน และไม่ สนใจในการทำ กิจกรรม 2. การมี ระเบียบวินัย ในการทำงาน สมุดงาน ชิ้นงาน สะอาด เรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานส่วน ใหญ่สะอาดเรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานไม่ ค่อยเรียบร้อย 3. ความ รับผิดชอบ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม กำหนด เวลานัดหมาย ส่งงานช้ากว่ากำหนด แต่มีการติดต่อครูผู้สอน มีเหตุผลที่รับฟังได้ ส่งงานช้ากว่ากำหนด เกณฑ์การประเมิน คะแนนรวม ระดับคุณภาพ 8 - 9 ดีมาก 6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์) 4 - 5 พอใช้ ต่ำกว่า 4 ปรับปรุง
66 9. บันทึกผลหลังการสอน 9.1 ด้านความรู้ (K) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.2 ด้านทักษะกระบวนการ (P) ................................................................................................................................. ............................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.3 คุณลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ(A) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรียน (C) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่นๆ ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ลงชื่อ........................................................... (นางสาวมณันยา พินะสา) ครูผู้สอน
67 10. ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของผู้ที่ได้รับมอบหมายจากหัวหน้าสถานศึกษา ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นายไพโรจน์ คำพิมาน) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสกาวเดือน เหมะธุลิน) หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ............../................../..............
68 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 2 ค31102 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่ง เวลา 2 ชั่วโมง ผู้สอน นางสาวมณันยา พินะสา โรงเรียนอุดรพัฒนาการ 1. มาตรฐานและตัวชี้วัด สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้ ตัวชี้วัด ค 3.2 ม.4/1 เข้าใจและใช้หลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ในการแก้ปัญหา 2. สาระสำคัญ วิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด นำมาจัดทีละ r สิ่ง เท่ากับ ! ( − )! วิธี เขียนแทนด้วย Pn,r = ! ( − )! 3. จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบบทเรียนนี้แล้ว นักเรียนสามารถ 1. หาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่งได้(K) 2. แสดงวิธีการหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน ทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่งได้(P) 3.3 มีความรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหมาย (A) 4. สาระการเรียนรู้ การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด นำมาจัดทีละ r สิ่ง
69 5. สมรรถนะของผู้เรียน 1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคิด - การจำแนก การให้เหตุผล การสรุปความรู้ การปฏิบัติ 3. ความสามารถในการแก้ปัญหา 6. กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 1 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูทบทวนเรื่อง แฟกทอเรียล และการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกัน ทั้งหมด - n! อ่านว่า เอ็นแฟกทอเรียล หมายถึง การคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ n! = 1 2 3 ... (n – 2) (n – 1) n - จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n! วิธี ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 2. ครูให้นักเรียนเรียนรู้เกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน ทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่ง ดังนี้ หากมีเลขโดด 1 และ 2 นำมาเรียงเป็นจำนวนสองหลัก โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 2 × 1 = 2 วิธี คือ 12 และ 21 หากมีเลขโดด 1, 2 และ 3 นำมาเรียงเป็นจำนวนสองหลัก โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 3 × 2 = 6 วิธี คือ 12, 13, 21, 23, 31 และ 32 หากมีเลขโดด 1, 2, 3 และ 4 นำมาเรียงเป็นจำนวนสองหลัก โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 4 × 3 = 12 วิธี คือ 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42 และ 43 หากมีเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ 5 นำมาเรียงเป็นจำนวนสองหลัก โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 5 × 4 = 20 วิธี
70 หากมีเลขโดด 1, 2, 3 และ 4 นำมาเรียงเป็นจำนวนสามหลัก โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 4 × 3 × 2 = 24 วิธี หากมีเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ 5 นำมาเรียงเป็นจำนวนสามหลัก โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 5 × 4 × 3 = 60 วิธี หากมีเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ 5 นำมาเรียงเป็นจำนวนสี่หลัก โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะเรียงได้ทั้งหมด 5 × 4 × 3 × 2 = 120 วิธี ถ้านำเลขโดด n ตัว มาเรียงเป็นจำนวน r หลัก จะได้ว่า ! ( − )! จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยการนำมาจัดทีละ r สิ่ง เท่ากับ Pn,r = ! ( − )! วิธี 3. ครูอธิบายและยกตัวอย่างการหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยการนำมาจัดทีละ r สิ่ง ตัวอย่างที่ 1 เขียนรายชื่อพนักงาน 15 คน ลงในสลากรายชื่อละ 1 ใบ ใส่ลงในภาชนะ แล้วสุ่มหยิบ สลากขึ้นมาทีละหนึ่งใบสองครั้ง เพื่อแจกรางวัลที่หนึ่งและรางวัลที่สอง ตามลำดับ หาจำนวนวิธีที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมด วิธีทำ จำนวนวิธีทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นจากการสุ่มหยิบสลาก 15 ใบ ขึ้นมาทีละ 1 ใบ 2 ครั้ง นั่นคือ P15, 2 = 15! (15 − 2)! = 15! 13! = 15 × 14 = 210 วิธี ดังนั้น วิธีที่อาจเกิดขึ้นได้ มีจำนวนทั้งหมด 210 วิธี ตัวอย่างที่ 2 หญิงคนหนึ่งต้องเดินทางไปทำงานที่ต่างจังหวัด 3 วัน และ 2คืน เธอตั้งใจจะนำเสื้อผ้า ไปด้วย อย่างน้อย 3 ชุด แต่กระเป๋าเดินทางใบเล็กของเธอสามารถบรรจุเสื้อผ้าได้ ไม่เกิน 5 ชุด อยากทราบว่า ถ้าเธอมีเสื้อผ้าทั้งหมด 8 ชุด เธอจะมีกี่วิธีในการจัดเก็บ เสื้อผ้าลงในกระเป๋าเดินทางใบนี้ วิธีทำ หญิงคนนี้จะนำเสื้อผ้าไปทั้งหมด 3 ชุด 4 ชุด หรือ 5 ชุด ก็ได้
71 ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดเสื้อผ้า 3 ชุด เท่ากับ P8, 3 จำนวนวิธีในการจัดเสื้อผ้า 4 ชุด เท่ากับ P8, 4 จำนวนวิธีในการจัดเสื้อผ้า 5 ชุด เท่ากับ P8, 5 นั่นคือ จำนวนวิธีในการจัดเสื้อผ้าไปอย่างน้อย 3 ชุด แต่ไม่เกิน 5 ชุด = P8,3 + P8,4 + P8,5 = 8! 3! + 8! 4! + 8! 5! = 8,736 วิธี ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 4. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 2,4,5 ใหญ่ เป็นการบ้าน 5. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเรื่องเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยการนำมาจัดทีละ r สิ่ง ชั่วโมงที่ 2 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 6. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 2,4,5 ใหญ่ 7. ครูทบทวนเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยการนำมา จัดทีละ r สิ่ง ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 8. ครูให้นักเรียนทำกิจกรรม “นักรบไปพบคำตอบ” - ครูแบ่งนักเรียนเป็น 2 กลุ่ม ให้อยู่คนละฝั่ง โดยมีป้ายคำตอบอยู่ตรงกลาง - ครูจะสุ่มโจทย์การหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยการนำมาจัดทีละ r สิ่ง - ให้แต่ละกล่มคิดคำตอบ เมื่อได้คำตอบแล้วก็วิ่งไปหยิบป้ายคำตอบ ที่อยู่ตรงกลาง - กลุ่มไหนตอบได้ถูกต้อง มีสิทธิเลือกว่าจะให้คะแนน หรือโยนคะแนน ให้อีกกลุ่ม โดยครูจะสุ่มคะแนนให้ว่าเป็นคะแนนบวก หรือลบ - กลุ่มที่มีคะแนนเยอะกว่าจะเป็นกลุ่มที่ชนะ ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 9. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเรื่อง การหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยการนำมาจัดทีละ r สิ่ง
72 7. สื่อและแหล่งการเรียนรู้ 7.1 สื่อการเรียนรู้ - หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ของ สสวท. - ป้ายคำตอบกิจกรรม “นักรบไปพบคำตอบ” 7.2 แหล่งการเรียนรู้ - ห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนอุดรพัฒนาการ - google : การหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยการนำมาจัดทีละ r สิ่ง 8. การวัดและประเมินผล จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 หาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยน เชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่าง กันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่งได้ 1) แบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 2,4,5 ใหญ่ 2) กิจกรรม “นักรบ ไปพบคำตอบ” ตรวจ 1) แบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 2,4,5 ใหญ่ 2) กิจกรรม “นักรบ ไปพบคำตอบ” ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 แสดงวิธีการหาจำนวนวิธีการเรียง สับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่งได้ แบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 2,4,5 ใหญ่ ตรวจแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 2,4,5 ใหญ่ ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 3. ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 3.1 มีความรับผิดชอบต่องานที่ ได้รับมอบหมาย แบบสังเกต พฤติกรรม สังเกตพฤติกรรม อยู่ในระดับ ดี ขึ้นไป
73 แบบประเมินด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P) ประจำแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565 ด้านความรู้ ประเมินจาก1) แบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 2,4,5 ใหญ่ 2) กิจกรรม “นักรบไปพบคำตอบ” ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจากแบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 2,4,5 ใหญ่ เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (10) คะแนนเต็ม (10) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
74 เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (10) คะแนนเต็ม (10) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 20 21 22 23 24 25 26 27 28 เกณฑ์การประเมิน นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์ สรุปผลการประเมิน ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวมณันยา พินะสา)
75 แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 หลักการนับเบื้องต้น คำชี้แจง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติดังนี้ ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก ระดับ 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นปานกลาง ระดับ 1 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นน้อย เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
76 เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 24 25 26 27 28 ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวมณันยา พินะสา) รายการ ประเมิน เกณฑ์การให้คะแนน 3 2 1 1. ความ กระตือรือร้น ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรม ตลอดเวลา ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมบางเวลา ไม่ตั้งใจเรียน และไม่ สนใจในการทำ กิจกรรม 2. การมี ระเบียบวินัย ในการทำงาน สมุดงาน ชิ้นงาน สะอาด เรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานส่วน ใหญ่สะอาดเรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานไม่ ค่อยเรียบร้อย 3. ความ รับผิดชอบ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม กำหนด เวลานัดหมาย ส่งงานช้ากว่ากำหนด แต่มีการติดต่อครูผู้สอน มีเหตุผลที่รับฟังได้ ส่งงานช้ากว่ากำหนด เกณฑ์การประเมิน คะแนนรวม ระดับคุณภาพ 8 - 9 ดีมาก 6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์) 4 - 5 พอใช้ ต่ำกว่า 4 ปรับปรุง
77 9. บันทึกผลหลังการสอน 9.1 ด้านความรู้ (K) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.2 ด้านทักษะกระบวนการ (P) ................................................................................................................................. ............................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.3 คุณลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ(A) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 9.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรียน (C) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่นๆ ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ลงชื่อ........................................................... (นางสาวมณันยา พินะสา) ครูผู้สอน
78 10. ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของผู้ที่ได้รับมอบหมายจากหัวหน้าสถานศึกษา ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นายไพโรจน์ คำพิมาน) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสกาวเดือน เหมะธุลิน) หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ............../................../..............
79 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 9 รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 2 ค31102 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในเชิงวงกลม เวลา 2 ชั่วโมง ผู้สอน นางสาวมณันยา พินะสา โรงเรียนอุดรพัฒนาการ 1. มาตรฐานและตัวชี้วัด สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้ ตัวชี้วัด ค 3.2 ม.4/1 เข้าใจและใช้หลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ในการแก้ปัญหา 2. สาระสำคัญ การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในเชิงวงกลม เท่ากับ (n – 1)! วิธี 3. จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบบทเรียนนี้แล้ว นักเรียนสามารถ 3.1 หาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด ในเชิงวงกลมได้(K) 3.2 แสดงวิธีการหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน ทั้งหมดในเชิงวงกลมได้(P) 3.3 มีความรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหมาย (A) 4. สาระการเรียนรู้ การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในเชิงวงกลม
80 5. สมรรถนะของผู้เรียน 5.1 ความสามารถในการสื่อสาร 5.2 ความสามารถในการคิด - การจำแนก การให้เหตุผล การสรุปความรู้ การปฏิบัติ 5.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา 6. กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 1 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูทบทวนเรื่อง แฟกทอเรียล และการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกัน ทั้งหมด - n! อ่านว่า เอ็นแฟกทอเรียล หมายถึง การคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ n! = 1 2 3 ... (n – 2) (n – 1) n - จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n! วิธี 2. ครูถามนักเรียนว่า “ถ้านำสิ่งของมาเรียงกันเป็นวงกลมนักเรียนคิดว่าเราจะหาจำนวน วิธีการเรียงสับเปลี่ยนได้อย่างไร” ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 3. ครูให้นักเรียนเรียนรู้เกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน ทั้งหมดในเชิงวงกลม ดังนี้ การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเชิงวงกลม จะเห็นว่าเป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่มีจุดอ้างอิง (หมุนได้) ดังนั้น เทคนิคการคิดจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของวนเป็นวงกลม อาจให้ สิ่งของชิ้นใดชิ้นหนึ่งอยู่กับที่ (ถูก Fix ไว้) เพื่อเป็นจุดอ้างอิงที่เหลือให้คิดเป็นการเรียง สับเปลี่ยนแบบมีจุดอ้างอิง (เหมือนแนวเส้นตรง) ดังแผนภาพ n – 1 สิ่ง คิดแบบแนวเส้นตรง ดังนั้น จำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเท่ากับ (n – 1)! วิธี
81 4. ครูอธิบายและยกตัวอย่างวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน ทั้งหมดในเชิงวงกลม ตัวอย่างที่ 1 จะจัดให้ชาย 4 คน และหญิง 4 คน ยืนสลับกันชายหญิง เป็นวงกลม ได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ ให้ชายคนหนึ่งอยู่คงที่ ดังนั้น ชายที่เหลือสลับกันได้ = 3! หญิงสับเปลี่ยนอย่างอิสระได้ = 4! จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด = 3! × 4! = 6 × 24 = 144 วิธี ตัวอย่างที่ 2 มีนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 6 คน ต้องการจัดคนทั้งหมดให้นั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งมี 12 ที่นั่ง โดยที่นักเรียนชายและนักเรียนหญิงต้องนั่งสลับกันจะมีวิธีจัดทั้งหมด กี่วิธี วิธีทำ ให้ชายคนหนึ่งอยู่คงที่ ดังนั้น จัดชายลงไปนั่งก่อน จำนวนวิธีทั้งหมด (6 – 1)! = 5! วิธี จัดหญิงไปนั่งแทรกระหว่างชาย จำนวนวิธีทั้งหมด 6! วิธี จะได้ว่า จำนวนวิธีในการจัดทั้งหมดใช้กฎการคูณ คือ 5! 6! = 86,400 วิธี ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 5. ครูให้นักเรียนทำใบงานเรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม 6. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเรื่องวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในเชิงวงกลม
82 ชั่วโมงที่ 2 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 7. ครูและนักเรียนร่วมกันเฉลยใบงานเรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม 8. ครูทบทวนเรื่องวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน ทั้งหมดในเชิงวงกลม ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 9. ครูอธิบายและยกตัวอย่างวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในเชิงวงกลม ตัวอย่างที่ 3 มีผู้ชาย 4 คน และผู้หญิง 4 คน ต้องการจัดคนทั้งหมด นั่งเป็นวงกลม จะนั่งได้ต่าง ๆ กันกี่วิธี เมื่อ 1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2) มีผู้ชาย 2 คน ต้องการนั่งติดกันเสมอ 3) ผู้ชายและผู้หญิงนั่งสลับที่กันทีละคน วิธีทำ 1) ผู้ชาย 4 คน และผู้หญิง 4 คน รวม 8 คน นั่งวนเป็นวงกลมได้(8 – 1) = 7! วิธี 2) สมมุติให้ผู้ชาย 2 คน คือ ก และ ข ก และ ข ต้องการนั่งติดกันเสมอ แนวคิด คือ มัดไว้ด้วยกัน และอาจกำหนดเป็นจุดอ้างอิง (Fix ไว้) ขั้นตอนที่ 1 จัดเรียง 6 คน แบบแนวเส้นตรง ทำได้6! วิธี ขั้นตอนที่ 2 สลับ ก กับ ข ทำได้2! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 6! × 2! = 1,440 วิธี 3) ขั้นตอนที่ 1 นำผู้ชาย 4 คน จัดเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมก่อน ทำได้3! วิธี Fixed ก Fixed ช ช ช ช
83 ขั้นตอนที่ 2 นำผู้หญิง 4 คน นั่งแทรกระหว่างผู้ชายทั้ง 4 คน ทำได้4! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 3! × 4! = 144 วิธี ตัวอย่างที่ 2 มีผู้ชาย 5 คน และผู้หญิง 3 คน ในจำนวนนี้มีสามี-ภรรยา 1 คู่ รวมอยู่ด้วย ต้องการจัดคนทั้งหมดนั่งรอบโต๊ะกลม จะจัดได้กี่วิธี เมื่อ 1) สามี-ภรรยานั่งตรงข้ามกัน 2) ไม่มีผู้หญิงสองคนใดนั่งติดกัน วิธีทำ 1) ขั้นตอนที่ 1 นำสามี (ส) นั่งที่ใดก็ได้ 1 ที่ เพื่อเป็นจุดอ้างอิง และนำภรรยา (ภ) ของเขานั่งตรงข้าม ทำได้ 1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 นำคนที่เหลือ 6 คน (ผู้ชาย 4 คน กับ ผู้หญิง 4 คน) นั่งใน 6 ที่ที่เหลือ คิดแบบแนวเส้นตรง ทำได้6! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 1× 6! = 6! วิธี 2) ขั้นตอนที่ 1 นำผู้ชาย 5 คน นั่งเป็นวงกลมก่อน ทำได้(5 – 1) ! = 4! วิธี ขั้นตอนที่ 2 นำผู้หญิง 3 คน เลือกนั่งแทรกระหว่างผู้ชาย ใน 5 ที่ที่มีอยู่ทำได้ P5,3 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 4! × P5,3 = 1,440 วิธี Fixed ช ช ช ช ช ญ ญ ญ ญ