Precálculo

MATEMÁTICAS
APLICADAS

a la administración
y a la economía

Quinta edición

Jagdish C. Arya
Robin W. Lardner

Departament of Mathematics, Simon Fraser University

Con la colaboración de
Víctor Hugo Ibarra Mercado
Universidad Anáhuac-México Norte

TRADUCCIÓN Y REVISIÓN TÉCNICA:
Víctor Hugo Ibarra Mercado
Universidad Anáhuac-México Norte



PARTE DOS
MATEMÁTICAS FINITAS

7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS
FINANCIERAS 265

7-1 Progresiones aritméticas e interés simple 266
7-2 Progresiones geométricas e interés compuesto 273
7-3 Matemáticas financieras 280
7-4 Ecuaciones en diferencias 290
7-5 Notación de sumatoria (sección opcional) 305

Repaso del capítulo 7 312
Problemas de repaso del capítulo 7 313
♦ CASO DE ESTUDIO 315

8 ÁLGEBRA DE MATRICES 316

8-1 Matrices 317
8-2 Multiplicación de matrices 323
8-3 Solución de sistemas lineales

por reducción de renglones 334
8-4 Sistemas singulares 343

Repaso del capítulo 8 348
Problemas de repaso del capítulo 8 349
♦ CASO DE ESTUDIO 352

9 INVERSAS Y DETERMINANTES 354

9-1 La inversa de una matriz 355
9-2 Análisis insumo-producto 362
9-3 Cadenas de Markov (opcional) 369
9-4 Determinantes 380
9-5 Inversas por determinantes 388

Repaso del capítulo 9 394
Problemas de repaso del capítulo 9 395
♦ CASO DE ESTUDIO 398

10 PROGRAMACIÓN LINEAL 399 407

10-1 Desigualdades lineales 400
10-2 Optimización lineal (enfoque geométrico)
10-3 Tabla símplex 418
10-4 Método símplex 427

CONTENIDO vii

Problemas de repaso del capítulo 10 437
♦ CASO DE ESTUDIO 439

PARTE TRES
CÁLCULO

11 LA DERIVADA 441

12 11-1 Incrementos y tasas 442
11-2 Límites 450
11-3 La derivada 460
11-4 Derivadas de funciones elevadas a una potencia 466
11-5 Análisis marginal 473
11-6 Continuidad y diferenciabilidad (sección opcional) 482

Repaso del capítulo 11 491
Problemas de repaso del capítulo 11 492
♦ CASO DE ESTUDIO 494

CÁLCULO DE DERIVADAS 496

12-1 Derivadas de productos y cocientes 497 511
12-2 La regla de la cadena 503
12-3 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
12-4 Derivadas de orden superior 520

Repaso del capítulo 12 524
Problemas del capítulo 525
♦ CASO DE ESTUDIO 527

13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS 529

13-1 La primera derivada y la gráfica de la función 530
13-2 Máximos y mínimos 535
14 13-3 La segunda derivada y la concavidad 543
13-4 Bosquejo de curvas polinomiales 552
13-5 Aplicaciones de máximos y mínimos 557
13-6 Máximos y mínimos absolutos 571
13-7 Asíntotas 576

Repaso del capítulo 13 586
Problemas de repaso del capítulo 13 587
♦ CASO DE ESTUDIO 591

MÁS SOBRE DERIVADAS 593

14-1 Diferenciales 594 607
14-2 Diferenciación implícita 600
14-3 Diferenciación logarítmica y elasticidad

viii CONTENIDO

7C A P Í T U L O

Progresiones y
matemáticas financieras

¿CÓMO SALVAR EL HONOR DEL ABUELO? Al observar los resultados anteriores exclamé.

La semana pasada ayudaba a mi abuela a asear su ropero. Ahí ¡Esto lo podemos generalizar!
olvidado, encontré un libro que mi abuelo no devolvió a la bi-
blioteca de la universidad, ¡desde hacía 45 años! Es decir, al final del mes k, por los primeros 5 centavos se
debe pagar la cantidad de
Al final del libro estaba impreso el reglamento, ya poco le-
gible, pero parece que decía algo así: 1.01k Ϫ1 ϫ 0.05 pesos.

1. Por cada mes de retraso se cobrará una multa de cinco cen- Así que por los primeros 5 centavos, después de 45 ϫ 12 ϭ
tavos. 540 meses, se debe pagar:

2. La multa causará 1% de interés convertible mensualmente. 1.01540Ϫ1 ϫ .05 Ϸ $10.67

Con la intención de salvar el buen nombre del abuelo, mi Me puse muy contento y me disponía a devolver el libro y
abuela y yo nos dispusimos a calcular el monto de la multa pa- pagar la deuda; pero mi abuela me detuvo, para decirme que só-
ra pagarla y devolver el libro a la universidad. Después de razo- lo era la parte que correspondía a la deuda de los primeros cinco
nar un poco, decidimos calcular primero cuánto se tenía que pa- centavos. Además, me mostró nuevamente el libro y con una lu-
gar por los primeros 5 centavos. Así, por los primeros 5 centa- pa pudimos ver que el interés parecía que no era de 1%, sino un
vos se debe pagar: número que podría ser 2 o 5. (Responda las preguntas siguientes,
pero antes de hacerlo haga una estimación de las respuestas, y
Al final del primer mes $0.05, puesto que así lo indica el re- compare sus estimaciones con los resultados obtenidos mediante
glamento. una calculadora). Al final del capítulo se calculará la deuda total.

Al final del segundo mes, se debe pagar los $0.05 más 1% i. ¿Cuál es la deuda por los primeros $0.05 si el interés es de
de interés por ellos, esto es, 1.01 ϫ 0.05 ϭ $0.0505 2%?

Al final del tercer mes, 1.012 ϫ 0.05 ϭ $0.051005 ii. ¿Cuál es la deuda por los primeros $0.05 si el interés es de
5%?
Al final del cuarto mes, 1.013 ϫ 0.05 Ϸ $0.051515050

TEMARIO 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE
7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO
7-3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS
7-4 ECUACIONES EN DIFERENCIAS
7-5 NOTACIÓN DE SUMATORIA (SECCIÓN OPCIONAL)

REPASO DEL CAPÍTULO

265

Una sucesión es una lista ordenada de números. Por ejemplo,

2, 5, 8, 11, 14, . . . (1)
3, 6, 12, 24, 48, . . . (2)

☛ 1. Para la sucesión 1, Ϫ1, son ejemplos de sucesiones. En la sucesión (1), el primer término es 2, el segun-

2, Ϫ2, 3, Ϫ3, 4, Ϫ4, ¿cuáles son do término es 5, etc. Puede observarse que cada término se obtiene sumando 3 al
T2 y T5? ¿La sucesión es finita?
término anterior. En la sucesión (2), el primer término es 3 y el cuarto es 24, y cual-

quier término puede obtenerse duplicando el anterior. Sucesiones de estos tipos apa-

recen en muchos problemas, en particular en matemáticas financieras.

Una sucesión es finita si contiene un número limitado de términos, es decir,

si la sucesión tiene un último término. Si no hay un último término en la sucesión,

se denomina sucesión infinita. Los términos de una sucesión se denotarán por T1,
T2, T3, etc. Así, por ejemplo, T7 denotará al séptimo término, T10 al décimo y Tn al
n-ésimo término. El n-ésimo término de una sucesión por lo regular se conoce co-
mo el término general. ☛ 1

7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE

Respuesta Ϫ1 y 3. Sí. Supóngase que el señor Muñiz pide al banco la cantidad de $5000 a un interés del
1% mensual. Él está de acuerdo en pagar $200 al capital cada mes, más el interés
en el balance. Al final del primer mes, paga $200 más el interés de $5000 al 1%
mensual, que son $50. En consecuencia, el primer pago es de $250 y sólo le debe
$4800 al banco. Al término del segundo mes, paga $200 al capital más los intereses
sobre $4800, los cuales son de $48 al 1% mensual. Por tanto, su segundo pago es de
$248. Continuando en esta forma, sus pagos sucesivos (en dólares) son

250, 248, 246, 244, . . . , 202

Esta sucesión es un ejemplo de una progresión aritmética.

DEFINICIÓN Una sucesión se dice que es una progresión aritmética (PA) si la
diferencia entre cualquier término y el anterior es la misma a lo largo de toda la su-
cesión. La diferencia algebraica entre cada término y el anterior se denomina dife-
rencia común y se denota por d.

La sucesión de pagos del señor Muñiz es una PA porque la diferencia entre
cualquier término y el anterior es Ϫ2. Esta PA tiene 250 como su primer término y
Ϫ2(ϭ 248 Ϫ 250) como su diferencia común. De manera similar,

2, 5, 8, 11, 14, . . . ,

es una PA cuyo primer término es 2 y con diferencia común 3.
Si a es el primer término y d es la diferencia común de una PA, los términos

sucesivos de la PA son

a, a ϩ d, a ϩ 2d, a ϩ 3d, . . . .

266 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

El n-ésimo término está dado por la fórmula

Tn ϭ a ϩ (n Ϫ 1)d (3)

Por ejemplo, haciendo n ϭ 1, 2 y 3, encontramos que

T1nϭ a ϩ (1 Ϫ 1)d ϭ a
T2nϭ a ϩ (2 Ϫ 1)d ϭ a ϩ d
T3nϭ a ϩ (3 Ϫ 1)d ϭ a ϩ 2d

De manera similar, se pueden obtener otros valores.

La ecuación (3) contiene cuatro parámetros, a, d, n y Tn. Si se dan cualesquie-
ra tres de ellos, podemos calcular el cuarto.

EJEMPLO 1 Dada la sucesión
1, 5, 9, 13, . . .

calcule: a) el décimo quinto término; b) el n-ésimo término.
Solución La sucesión dada es una PA porque

5 Ϫ 1 ϭ 9 Ϫ 5 ϭ 13 Ϫ 9 ϭ 4
En consecuencia, la diferencia común, d, es 4. También, a ϭ l.

a) Usando la ecuación (3) con n ϭ 15,

Tn15 ϭ a ϩ (15 Ϫ 1)d ϭ a ϩ 14d ϭ 1 ϩ (14)(4) ϭ 57

☛ 2. Para la PA –3, Ϫ0.5, 2, . . . , b) Tn ϭ a ϩ (n Ϫ 1)d ϭ 1 ϩ (n Ϫ 1)4 ϭ 4n Ϫ 3
determine una fórmula para el Por tanto, el quinceavo término es 57 y el n-ésimo término es 4n Ϫ 3. ☛ 2
n-ésimo término y calcule
el término 11°. EJEMPLO 2 (Depreciación) Una empresa instala una máquina con un costo de
$1700. El valor de la máquina se deprecia anualmente en $150. Determine una
Respuesta Tn ϭ 2.5n – 5.5; expresión para el valor de la máquina después de n años. Si el valor de desecho es
T11 ϭ 22 de $200. ¿Cuál es el tiempo de vida útil de la máquina?

Solución Ya que el valor de la máquina se deprecia $150 cada año, su valor al tér-
mino del primer año, el segundo, el tercero, etc., será

1700Ϫ150, 1700Ϫ2(150), 1700Ϫ3(150), . . .

o bien,

1550, 1400, 1250, . . .

Esta sucesión de valores forma una PA con primer término a ϭ 1550 y diferencia
común d ϭ 1400 Ϫ 1550 ϭ Ϫ150. En consecuencia, el n-ésimo término es

Tn ϭ a ϩ (n Ϫ 1)d ϭ 1550 ϩ (n Ϫ 1)(Ϫ150) ϭ 1700 Ϫ 150n

SECCIÓN 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE 267

☛ 3. Una PA con 25 términos Esta cantidad Tn da el valor de la máquina en dólares al término del n-ésimo año.
Estamos interesados en el valor de n cuando se haya reducido al valor de dese-
tiene primer término 100 y último
término 28. Encuentre una expre- cho, puesto que esto da la vida útil de la máquina. Así que, hacemos Tn ϭ 200 y
sión para el término general y despejamos n.
calcule el término de en medio.
1700 Ϫ 150n ϭ 200
150n ϭ 1700 Ϫ 200 ϭ 1500
55n ϭ 10

La vida útil de la máquina es de 10 años. ☛ 3

EJEMPLO 3 Los pagos mensuales que Alicia efectúa al banco por un préstamo for-
man una PA. Si sus pagos sexto y décimo son de $345 y $333, respectivamente, ¿de
cuánto será su décimo quinto pago al banco?
Solución Sea a el primer término y d la diferencia común de los pagos mensuales
de la PA. Entonces, los pagos sucesivos (en dólares) son

a, a ϩ d, a ϩ 2d, . . .

Dado que los pagos sexto y décimo (en dólares) son de 345 y 333, T6 ϭ 345 y T10 ϭ
333. Usando la ecuación (3) para el n-ésimo término y los valores dados de T6 y T10,
tenemos

T6 ϭ a ϩ 5d ϭ 345
T10 ϭ a ϩ 9d ϭ 333

Restamos la primera ecuación de la segunda y simplificamos.

4d ϭ 333 Ϫ 345 ϭ Ϫ12
d ϭ Ϫ3

Sustituyendo este valor de d en la ecuación para T6, obtenemos

a Ϫ 15 ϭ 345 o a ϭ 360

Ahora

T15 ϭ a ϩ 14d ϭ 360 ϩ 14(Ϫ3) ϭ 308

Por tanto, su décimo quinto pago al banco será de $308.

Interés simple

Sea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de interés anual del R por ciento.
En un año, la cantidad de interés ganada está dada (véase la página 68) por

Respuesta Tn ϭ 103 – 3n; el término ΂ ΃I ϭ P ᎏR
de en medio es T13 ϭ 64 100

268 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Si la inversión es a interés simple, entonces, en años sucesivos el interés sólo se paga
sobre el capital P y no sobre los montos de interés generados. Así que se agrega una
cantidad constante I a la inversión al final de cada año. Después de 1 año el valor
total es P ϩ I, después de 2 años es P ϩ 2I, y así sucesivamente. La sucesión de va-
lores anuales de la inversión,

P, P ϩ I, P ϩ 2I, P ϩ 3I, . . .

forman de esta manera una progresión aritmética, cuyo primer término es P y con
diferencia común I. Después de t años el valor está dado por P ϩ tI.

Interés simple: ΂ ΃I ϭ P ᎏR
100
Valor después de t años ϭ P ϩ tI,

EJEMPLO 4 (Interés simple) Se invierte una suma de $2000 con interés simple a
una tasa de interés anual del l2%. Encuentre una expresión para el valor de la inver-
sión t años después de que se realizó. Calcule el valor después de 6 años.

Solución Aquí P ϭ 2000 y R ϭ 12. Por tanto, la cantidad de interés anual es

΂ ΃I ϭ 2000 ᎏ12 ϭ 240
100

☛ 4. Una suma de $400 se in- Después de t años el interés total agregado es tI ϭ 240t, de modo que el valor de la
inversión es
vierte a interés simple de 8% anual.
Encuentre el valor después de t P ϩ tI ϭ 2000 ϩ 240t
años. Después de 10 años, ¿cuál es
el valor y cuánto interés total se ha Después de 6 años, este valor es
devengado?
2000 ϩ 6(240) ϭ 3440 dólares. ☛ 4

Suma de n términos de una PA

Si a es el primer término y d es la diferencia común de una PA, la sucesión es

a, a ϩ d, a ϩ 2d, . . .

Si la sucesión consta de n términos y si l denota el último término (esto es, el
n-ésimo término),

l ϭ a ϩ (n Ϫ 1)d (4)

El penúltimo término será l Ϫ d, el antepenúltimo término será l Ϫ 2d, etc. Si Sn de-
nota la suma de estos n términos,

Respuesta $(400 ϩ 32t) $720, Sn ϭ a ϩ (a ϩ d) ϩ (a ϩ 2d) ϩ и и и ϩ (l Ϫ 2d) ϩ (l Ϫ d) ϩ l
$320 Si escribimos esta progresión en orden inverso, la suma es la misma, de modo que

Sn ϭ l ϩ (l Ϫ d) ϩ (l Ϫ 2d) ϩ и и и ϩ (a ϩ 2d) ϩ (a ϩ d) ϩ a

SECCIÓN 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE 269

☛ 5. En una PA finita, demuestre Sumando los dos valores de Sn, obtenemos

que el promedio de todos los 2Sn ϭ [a ϩ l] ϩ [a ϩ d ϩ l Ϫ d] ϩ [a ϩ 2d ϩ l Ϫ 2d] ϩ и и и
términos es igual al promedio del ϩ [l Ϫ d ϩ a ϩ d] ϩ [l ϩ a]
primero y último términos.

Hay n términos en el lado derecho y cada uno es igual a a ϩ l. En consecuencia,

2Sn ϭ n(a ϩ l)

o bien,

Sn ϭ ᎏnᎏ(a ϩ l) (5)
2

Respuesta El promedio de n térmi- Sustituyendo el valor de l de la ecuación (4) en la ecuación (5),

nos es igual a su suma, Sn, dividido Sn ϭ ᎏnᎏ [a ϩ a ϩ (n Ϫ 1)d] ϭ ᎏnᎏ [2a ϩ (n Ϫ 1)d] ☛5
entre n. De la ecuación (5), esto es 2 2
Sn/ n ϭ ᎏ12ᎏ (a ϩ l)

Estos valores se resumen en el siguiente teorema.

TEOREMA 1 La suma de n términos de una PA con primer término a y diferencia
común d está dada por

Sn ϭ ᎏnᎏ [2a ϩ (n Ϫ 1)d]
2

También podemos escribir esta fórmula como

Sn ϭ ᎏnᎏ (a ϩ l) en donde l ϭ a ϩ (n Ϫ 1)d
2

EJEMPLO 5 Calcule la suma de los primeros 20 términos de la progresión

2 ϩ 5 ϩ 8 ϩ 11 ϩ 14 ϩ и и и

Solución La sucesión dada es una PA porque

5 Ϫ 2 ϭ 8 Ϫ 5 ϭ 11 Ϫ 8 ϭ 14 Ϫ 11 ϭ 3

☛ 6. Determine la suma de todos Así, la diferencia común es d ϭ 3. También, a ϭ 2 y n ϭ 20. Por tanto,

los números pares positivos meno- Sn ϭ ᎏnᎏ [2a ϩ (n Ϫ 1)d]
res que 200 y la suma de todos los 2
números impares positivos menores
que 200. S20 ϭ ᎏ2ᎏ0 [2(2) ϩ (20 Ϫ 1)3] ϭ 10(4 ϩ 57) ϭ 610 ☛6
2

Respuesta 2 ϩ 4 ϩ 6 ϩ иии ϩ EJEMPLO 6 (Pago de préstamo) Considere el préstamo del banco al señor Muñiz
198 ϭ 9900; por $5000 a un interés mensual del 1%. Cada mes paga $200 al capital más el inte-
rés mensual del balance pendiente. ¿Cuánto deberá pagar en total en el tiempo que
1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ и и и ϩ 199 ϭ 10,000 está pagando el préstamo?

270 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

☛ 7. Una PA tiene segundo Solución Como expusimos al inicio de esta sección, la sucesión de pagos es

término 7 y sexto término 15. De- 250, 248, 246, . . . , 202
termine el primer término y la dife-
rencia común. ¿Cuántos términos Éstos forman una PA con a ϭ 250 y d ϭ Ϫ2. Dado que $200 del capital se paga ca-
se requieren para hacer una suma da mes, el número total de pagos es n ϭ 5000/ 200 ϭ 25. Por tanto, el último tér-
de 320? mino es

l ϭ T25 ϭ a ϩ 24d ϭ 250 ϩ 24(Ϫ2) ϭ 202

como se indicó antes.
El pago total está dado por la suma de los 25 términos.

Sn ϭ ᎏnᎏ (a ϩ l) ϭ ᎏ2ᎏ5 (250 ϩ 202) ϭ 5650
2 2

La cantidad total pagada al banco es de $5650, lo cual significa que el interés paga-
do será por la cantidad de $650.

EJEMPLO 7 (Pago de préstamos) Un individuo está de acuerdo en pagar una deu-
da libre de interés de $5800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empe-
zando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pago es de
$100, calcule cuántos pagos deberá efectuar para finiquitar la deuda.

Solución Dado que el primer pago es de $100 y cada pago subsecuente se incre-
menta en $20, los pagos (en dólares) son

100, 120, 140, 160, . . .

Estos números forman una PA con a ϭ 100 y d ϭ 20. Indiquemos con n el número

de pagos necesarios con el objetivo de pagar la deuda de $5800. Entonces, la suma de

los n términos de esta sucesión debe ser igual a 5800, esto es, Sn ϭ 5800. Usando la
fórmula para la suma de una PA, obtenemos

5Sn ϭ ᎏnᎏ [2a ϩ (n Ϫ 1)d]
2

5800 ϭ ᎏnᎏ [200 ϩ (n Ϫ 1)20] ϭ ᎏnᎏ (20n ϩ 180) ϭ 10n2 ϩ 90n
22

Por tanto,

10n2 ϩ 90n Ϫ 5800 ϭ 0

Dividiendo toda la ecuación entre 10, resulta

n2 ϩ 9n Ϫ 580 ϭ 0

o bien,

(n Ϫ 20) (n ϩ 29) ϭ 0

Respuesta a ϭ 5, d ϭ 2; lo que da n ϭ 20 o n ϭ Ϫ29.
16 términos Puesto que un valor negativo de n no tiene sentido, entonces n ϭ 20. En con-

secuencia, deberán efectuarse 20 pagos con la finalidad de saldar la deuda. ☛ 7

SECCIÓN 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE 271

EJERCICIOS 7-1

(1-4) Encuentre los términos indicados de las sucesiones 21. (Pago de préstamos) Los pagos mensuales de Esteban al
dadas. banco ocasionados por un préstamo forman una PA. Si el
octavo y décimo quinto pagos son de $153 y $181, respec-
1. Términos décimo y décimo quinto de 3, 7, 11, 15, 19, . . . tivamente, ¿cuál será su vigésimo pago?

2. Términos séptimo y n-ésimo de 5, 3, 1, Ϫ1, . . . 22. (Incrementos en los salarios) El salario mensual de Carla
se incrementó anualmente formando una PA. Ella ganó
3. El r-ésimo término de 72, 70, 68, 66, . . . $440 al mes durante el séptimo año y $1160 al mes duran-
4. El n-ésimo término de 4, 4ᎏ31ᎏ, 4ᎏ23ᎏ, 5, . . . te el vigésimo quinto año.
5. Si los términos tercero y séptimo de una PA son 18 y 30,
a) Calcule su salario inicial y su incremento anual.
respectivamente, encuentre el décimo quinto término.
b) ¿Cuál sería su salario de jubilación al completar 38
6. Si los términos quinto y décimo de una PA son 38 y 23, años de servicio?
respectivamente, encuentre el n-ésimo término.
23. (Pago de préstamos) En el ejercicio 21, suponga que Este-
7. ¿Qué término de la sucesión 5, 14, 23, 32, . . . es 239? ban pagó un total de $5490 al banco.

8. El último término de la sucesión 20, 18, 16, . . . es Ϫ4. a) Calcule el número de pagos que efectuó al banco.
Calcule el número de términos de esta sucesión.
b) ¿De cuánto fue su último pago al banco?
(9-14) Determine la suma indicada de las siguientes progresio-
nes. 24. (Pago de préstamos) Debe saldarse una deuda de $1800
en 1 año efectuando un pago de $150 al término de cada
9. 1 ϩ 4 ϩ 7 ϩ 10 ϩ иии ; 30 términos mes, más intereses a una tasa del 1% mensual sobre el
saldo insoluto. Determine el pago total por concepto de in-
10. 70 ϩ 68 ϩ 66 ϩ 64 ϩ иии ; 15 términos tereses.

11. 2 ϩ 7 ϩ 12 ϩ 17 ϩ иии ; n términos 25. (Interés simple) Una persona deposita $50 al inicio de
cada mes en una cuenta de ahorros, en la cual el interés
12. 3 ϩ 5 ϩ 7 ϩ 9 ϩ иии ; p términos permitido es de ᎏ12ᎏ% al mes sobre el balance mensual. De-
termine el balance de la cuenta al término del segundo año,
13. 51 ϩ 48 ϩ 45 ϩ 42 ϩ иии ϩ 18 calculando a interés simple.

14. 15 ϩ 17 ϩ 19 ϩ 21 ϩ иии ϩ 55 26. (Costos de perforación) El costo de efectuar una perfora-
ción a 600 metros es como sigue: se fijan $15 por el primer
15. ¿Cuántos términos de la sucesión 9, 12, 15, . . . es necesa- metro y el costo por metro se incrementa a $2 por cada me-
rio considerar de modo que su suma sea 306? tro subsiguiente. Calcule el costo de perforar el metro nú-
mero 500 y el costo total.
16. ¿Cuántos términos de la sucesión Ϫ12, Ϫ7, Ϫ2, 3, 8, . . .
deben sumarse de tal manera que la suma sea 105? * 27. (Descuento simple) Se pide un préstamo P al banco y debe
pagarse n meses después en un solo pago A. Si el banco
17. En una PA, si 7 veces el séptimo término es igual a 11 ve- calcula el pago usando una tasa de descuento simple del R
ces el décimo primer término, demuestre que el término por ciento, entonces P y A están relacionados por la fórmula
décimo octavo es cero.
΂ ΃P ϭ A1ϪᎏRиᎏn
18. (Pago de un préstamo) Un hombre salda un préstamo de 100 12
$3250 pagando $20 en el primer mes y después aumentan-
do el pago en $15 cada mes. ¿Cuánto tiempo le tomará li- Un hombre pide prestado dinero al banco que utiliza una
quidar su préstamo?
tasa de interés simple del l2%. Él pagará la deuda con pa-
19. (Depreciación) Una compañía manufacturera instala una
máquina a un costo de $1500. Al cabo de 9 años, la máqui- gos de $100 al término de cada mes en los siguientes 12
na tiene un valor de $420. Suponiendo que la depreciación
anual es constante, calcule la depreciación anual. meses. ¿De cuánto debe solicitar el préstamo? (Considere

20. (Depreciación) Si una máquina tiene un costo de $2000 y cada uno de los pagos mensuales A1, A2, . . . como genera-
ésta se deprecia $160 anualmente. ¿Cuál es la vida útil de dos por sus propias deudas iniciales P1, P2, . . . y sume to-
la máquina, si su valor de desecho fue de $400? das las P).

272 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

* 28. (Descuento simple) La señorita Campos pidió dinero pres- a) Al término de 5 años?
tado de su fondo sindical, que aplica una tasa de descuen-
to simple del 10%. Ella prometió pagar $50 al término de b) Al cabo de n años?
cada mes en los 24 meses siguientes. ¿De cuánto fue el in-
terés total fijado por el fondo del sindicato? 33. (Depreciación) A menudo el método de depreciación li-
neal es inapropiado, porque el bien en cuestión pierde mu-
29. (Pago de préstamos) Un individuo está de acuerdo en sal- cho más valor durante el primer o segundo año que en años
dar una deuda de $1800 en cierto número de pagos, cada posteriores. Un método alternativo es el de suma de los
uno de ellos (empezando con el segundo) menor que el dígitos de los años. Sea N la vida útil del bien y d la de-
previo en $10. Si su quinto pago es de $200, ¿cuántos pa- preciación durante el año N (esto es, durante el último
gos serán necesarios de modo que salde la deuda? año). Según este método el monto de depreciación durante
el año (N Ϫ 1) es 2d; durante el año (N Ϫ 2), 3d, y así su-
30. (Bonos de ahorro) El primer día de noviembre de cada cesivamente, por lo que la depreciación durante el primer
año, una persona adquiere bonos de ahorro por un valor año es Nd. Muestre que la depreciación durante el año n es
que excede los adquiridos el año anterior en $50. Después (N Ϫ n ϩ 1)d, (n ϭ 1, 2, . . . , N), y que la depreciación
de 10 años, el costo total de los bonos adquiridos fue de total durante los N años es D ϭ ᎏ21ᎏN (N ϩ 1)d. (En la prác-
$4250. Calcule el valor de los bonos adquiridos: tica D debe ser igual a [costo inicial Ϫ valor de desecho
después de N años]; por tanto, d está bien determinado).
a) En el primer año.
34. (Depreciación) Usando el método de depreciación de la
b) En el séptimo año. suma de los dígitos de los años (véase el ejercicio 33),
calcule la depreciación durante el primer año de una
31. (Planes de ahorro) Un sujeto invierte $200 en el fondo de computadora cuyo costo inicial es de $230,000 y cuyo va-
una cooperativa que paga un interés simple del 10% al año. lor de desecho después de 10 años será de $10,000.
¿Cuál es el valor de la inversión:
35. (Depreciación) Usando el método de depreciación de la
a) Después de n años? suma de los dígitos de los años (véase el ejercicio 33),
calcule la depreciación durante cada año de una flotilla de
b) Al cabo de 5 años? automóviles, cuyo precio de compra es $500,000 y su pre-
cio de reventa después de 3 años será $200,000.
32. (Planes de ahorro) Cintia deposita $1000 al inicio de ca-
da año en su plan regular de ahorro que gana un interés
simple del 8% anual. ¿De cuánto es el valor del plan (in-
cluyendo el último pago):

7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO

Suponga que se depositan $1000 en un banco que ofrece una tasa de interés del 10%
capitalizable anualmente. El valor de esta inversión (en dólares) al cabo de 1 año es
igual a

1000 ϩ 10% de 1000 ϭ 1000(1 ϩ 0.1) ϭ 1000(1.1) ϭ 1100

Si la inversión es a interés compuesto, entonces, durante el segundo año el interés
se paga por la suma total de $1100 (véase páginas 220-222). Por tanto, el valor de
la inversión (en dólares) al término de 2 años es

1100 ϩ 10% de 1100 ϭ 1100 ϩ 0.1(1100)
ϭ 1100(1 ϩ 0.1) ϭ 1100(1.1) ϭ 1000(1.1)2

SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 273

De manera similar, el valor de la inversión al término de 3 años será de 1000(1.1)3
dólares, etc. De modo que los valores de la inversión (en dólares) al término de 0
años, 1 año, 2 años, 3 años, etc., son

1000, 1000(1.1), 1000(1.1)2, 1000(1.1)3, . . .

Observe la diferencia entre este ejemplo y el caso de interés simple analizado en la
sección anterior. Con interés simple, una cantidad constante se añade en cada perio-
do. Con interés compuesto, el valor se multiplica por un factor constante cada periodo
(1.1 en este ejemplo). Esta sucesión es un ejemplo de una progresión geométrica.

DEFINICIÓN Una sucesión de términos se dice que están en una progresión geo-
métrica (PG) si la razón de cada término al término anterior es siempre la misma.
Esta razón constante se denomina razón común de la PG.

De esta manera, la sucesión 2, 6, 18, 54, 162, . . . es una PG porque

ᎏ26ᎏ ϭ ᎏ16ᎏ8 ϭ ᎏ51ᎏ48 ϭ ᎏ156ᎏ42 ϭ 3

La razón común es 3.
También, la sucesión ᎏ31ᎏ, Ϫᎏ61ᎏ, ᎏ11ᎏ2, Ϫᎏ21ᎏ4, . . . es una PG con razón común Ϫᎏ21ᎏ.
Cada término de una PG se obtiene multiplicando al anterior por la razón co-

mún. Si a es el primer término y r es la razón común, los términos sucesivos de la
PG son

a, ar, ar2, ar3, . . .

En esta PG, observamos que la potencia de r en cualquier término es uno menos que
el número del término. Así que el n-ésimo término está dado por

Tn ϭ arnϪ1 (1)

EJEMPLO 1 Determine los términos quinto y n-ésimo de la sucesión 2, 6, 18,
54, . . .

Solución La sucesión es una PG debido a que

☛ 8. Determine los términos ᎏ26ᎏ ϭ ᎏ16ᎏ8 ϭ ᎏ1548ᎏ ϭ 3

sexto y n-ésimo de la PG 3, Ϫ6, En consecuencia, los términos sucesivos tienen una razón constante de 3; esto es,
12, Ϫ24, . . . r ϭ 3. Asimismo, a ϭ 2. Por tanto,

Respuesta T6 ϭ Ϫ96, T5 ϭ ar4 ϭ 2(34) ϭ 162 y también Tn ϭ arnϪ1 ϭ 2 и 3nϪ1 ☛ 8
Tn ϭ 3 и (Ϫ2)nϪ1
EJEMPLO 2 Los términos cuarto y noveno de una PG son ᎏ12ᎏ y ᎏ214ᎏ63. Determine el
sexto término.

Solución Sea a el primer término y r la razón constante de la PG. Entonces, usan-
do nuestros valores dados, tenemos que

T4 ϭ ar3 ϭ ᎏ12ᎏ y también T9 ϭ ar8 ϭ ᎏ214ᎏ63

Dividimos la segunda ecuación entre la primera y despejamos a r.

274 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

ᎏaarrᎏ83 ϭ ᎐ᎏ21ᎏ᎐214ᎏᎏ63᎐
r5 ϭ ᎏ214ᎏ63 и ᎏ12ᎏ ϭ ᎏ234ᎏ23 ϭ (ᎏ32ᎏ)5
r ϭ ᎏ32ᎏ

Sustituyendo este valor de r en la primera ecuación, resulta que

a(ᎏ32ᎏ)3 ϭ ᎏ12ᎏ

Por tanto,

a ϭ ᎏ12ᎏ и ᎏ28ᎏ7 ϭ ᎏ12ᎏ76

y asimismo

☛ 9. En una PG, T7 ϭ 2 y T6 ϭ ar5 ϭ ᎏ1267ᎏ (ᎏ32ᎏ)5 ϭ ᎏ21ᎏ76 и ᎏ234ᎏ23 ϭ ᎏ92ᎏ
En consecuencia, el sexto término es ᎏ29ᎏ. ☛ 9
T11 ϭ 8. Encuentre una expresión

para Tn y calcule T15

En el ejemplo 2 de la sección 7-1 vimos un ejemplo de depreciación, en el que
el monto de la depreciación anual era constante. Este método se denomina deprecia-
ción lineal (también véase la sección 4-3). Un método alterno es depreciar un por-
centaje fijo del valor del año anterior.

Respuesta Existen dos respuestas: EJEMPLO 3 (Depreciación) Una máquina se compró en $10,000 y se deprecia
Tn ϭ (Ϯ͙2ෆ)nϪ5, T15 ϭ 32 anualmente a una tasa del 20% de su valor. Determine una expresión para el valor
después de n años. Si el valor de desecho es $3000, ¿cuál es la vida efectiva de la
máquina (i.e., el número de años hasta que su valor depreciado sea menor que su
valor de desecho)?

Solución Ya que el valor de la máquina se deprecia cada año en un 20% de su va-
lor al inicio del año, el valor de la máquina al término de cada año es el 80% o cuatro
quintos del valor al inicio de ese año. Así que, el valor (en dólares) de la máquina al
término del primer año es

ᎏ45ᎏ de 10,000 ϭ 10,000(ᎏ45ᎏ)

y al acabar el segundo año es de

ᎏ54ᎏ de 10,000(ᎏ45ᎏ) ϭ 10,000(ᎏ45ᎏ)2

De manera similar, el valor (en dólares) al término del tercer año será de 10,000(ᎏ45ᎏ)3,
etc. Por tanto, el valor (en dólares) de la máquina al término del primer año, del se-
gundo año, del tercer año, etc., es

10,000(ᎏ54ᎏ), 10,000(ᎏ54ᎏ)2, 10,000(ᎏ45ᎏ)3, . . .

Es claro que esta sucesión es una PG con primer término 10,000(ᎏ45ᎏ) y razón común
de ᎏ54ᎏ. Por tanto, el n-ésimo término que da el valor de la máquina al término del n-ési-
mo año es

Tn ϭ arnϪ1 ϭ 10,000(ᎏ54ᎏ) и (ᎏ45ᎏ)nϪ1 ϭ 10,000(ᎏ45ᎏ)n

SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 275

☛ 10. Vuelva a resolver el ejem- Haciendo n igual a 1, 2, 3, . . , obtenemos los valores de la tabla 1. En conse-
cuencia, observamos que después de 5 años el valor de la máquina es un poco más
plo 3, si la tasa de depreciación es grande que el valor de desecho de $3000, pero después de 6 años, su valor está por
10% anual. debajo del valor de desecho. La vida útil de la máquina es de 6 años. ☛ 10

TABLA 1 2 3 45 6
n1 6400 5120
Tn 8000 4096 3276.8 2621.44

Iniciamos esta sección con un ejemplo de interés compuesto. El caso general
de una inversión que crece a interés compuesto se expuso al final de la sección 6-1.
Si una suma P se invierte a una tasa de interés del R por ciento anual compuesto
anualmente, el valor de la inversión al término del n-ésimo año está dada por la
fórmula

Tn ϭ P(1 ϩ i)n, i ϭ ᎏRᎏ
100k

Estos valores para n ϭ 1, 2, 3, . . . forman una PG. La razón común es r ϭ 1 ϩ i y
el primer término es a ϭ T1 ϭ P(1 ϩ i).

En la siguiente sección se darán aplicaciones adicionales relacionadas con

esto.

TEOREMA 1 (SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PG) Si a es el primer térmi-

no y r la razón común de una PG, entonces, la suma Sn de n términos de la PG está
dada por

Sn ϭ ᎏa(1 Ϫᎏrn) (2)
1Ϫr

Respuesta El valor después de n DEMOSTRACIÓN Los n términos de la PG dada son
a, ar, ar2, . . . , arnϪ2, arnϪ1
΂ ΃años ϭ Tn ϭ 10,000ᎏ9ᎏ n Tn es
10 Por tanto, la suma de estos términos es
. Sn ϭ a ϩ ar ϩ ar2 ϩ иии ϩ arnϪ2 ϩ arnϪ1

menor que $3000 después de 12 Multiplicamos ambos lados por Ϫr.
ϪrSn ϭ Ϫ ar Ϫar2 Ϫ иии ϪarnϪ1 Ϫ arn
años.
Sumando estas dos ecuaciones, advertimos que todos los términos se cancelan ex-
cepto el primer término de la primera ecuación y el último de la segunda, lo que da

Sn Ϫ rSn ϭ a Ϫ arn
Factorizamos y despejamos Sn

Sn(1 Ϫ r) ϭ a(1 Ϫ rn)

276 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Sn ϭ ᎏa(11 ϪϪᎏrrn)

Esto prueba el resultado.
Multiplicando el numerador y el denominador de la ecuación (2) por Ϫ1, ob-

tenemos la fórmula alternativa

Sn ϭ ᎏa(rn Ϫᎏ1)
r Ϫ1

Esta fórmula por lo general se usa cuando r Ͼ 1, mientras que la ecuación (2) es

más útil cuando r Ͻ 1.

Observación La fórmula anterior para Sn es válida sólo cuando r 1. Cuan-
do r ϭ 1, la PG se transforma en

a ϩ a ϩ a ϩ иии ϩ a (n términos)

cuya suma es igual a na.

EJEMPLO 4 Calcule la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 2 Ϫ 4 ϩ
8 Ϫ 16 ϩ иии.

Solución La sucesión dada es una PG con a ϭ 2 y r ϭ Ϫᎏ42ᎏ ϭ Ϫ2. Aquí n ϭ 10.
Por tanto,

Sn ϭ ᎏa(1 Ϫᎏrn)
1Ϫr

☛ 11. Encuentre la suma de los o bien,

primeros 11 términos de las PG S10 ϭ ᎏ2(1 Ϫ (ᎏϪ2)10) ϭ ᎏ23ᎏ(1 Ϫ 210) ϭ ᎏ32ᎏ(1 Ϫ 1024) ϭ Ϫ682 ☛ 11
a) 1 ϩ 2 ϩ 4 ϩ 8 ϩ иии 1 Ϫ (Ϫ2)
b) 2 ϩ 3 ϩ ᎏ9ᎏ ϩ ᎏ2ᎏ7 ϩ иии

24

EJEMPLO 5 (Planes de ahorro) Cada año una persona invierte $1000 en un plan
de ahorros del cual percibe intereses a una tasa fija del 8% anual. ¿Cuál es el valor de
este plan de ahorros al décimo aniversario de la primera inversión? (Incluya el pa-
go actual).

Solución Los primeros $1000 se invierten a 10 años, de modo que su valor se ha
incrementado a

$1000(1 ϩ i)10, i ϭ ᎏRᎏ ϭ ᎏ8ᎏ ϭ 0.08
100 100

Respuesta a) 211 Ϫ 1 ϭ 2047 En consecuencia, el valor es de $1000(1.08)10.
Los segundos $1000 se invierten 1 año más tarde; por lo que permanecerán en
΄΂ ΃ ΅b) 4 ᎏ3 11 Ϫ 1 ϭ ᎏ175,ᎏ099
2 512 el plan durante 9 años. Por tanto, su valor se incrementa a $1000(1.08)9. Los terce-
ros $1000 estarán en el plan 8 años y tienen el valor de $1000(1.08)8. Continuamos
de esta manera hasta el décimo pago de $1000, el cual se hizo 9 años después del
primero. Su valor 1 año después es $1000(1.08).

SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 277