Precálculo

Έ Έ Έ Έ1 2 3 ϭ 5 6 ϭ 10 Ϫ 6 ϭ 4
5 6 1 2
A11 ϭ (Ϫ1)1ϩ1 4 1 2
3

Έ Έ Έ Έ1 2 3 ϭϪ 4 6 ϭ Ϫ(8 Ϫ 18) ϭ 10
5 6 3 2
A12 ϭ (Ϫ1)1ϩ2 4 1 2
3

De manera similar,

Έ ΈA13 ϭ (Ϫ1)1ϩ3 4 5 ϭ 4 Ϫ 15 ϭ Ϫ11
3 1

Έ ΈA21 ϭ (Ϫ1)2ϩ1 2 3 ϭ Ϫ(4 Ϫ 3) ϭ Ϫ1
1 2

y así sucesivamente; los otros cofactores son A22 ϭ Ϫ7, A23 ϭ 5, A31 ϭ Ϫ3, A32 ϭ 6 y
A33 ϭ Ϫ3.

Así, la matriz de cofactores es

☛ 21. Dé las adjuntas de ΄ ΅ ΄ ΅A11 A12 A13
Ϫ4 10 Ϫ11

΄ ΅A ϭϪ2Ϫ3y de [Aij] ϭ A21 A22 A23 ϭ Ϫ1 Ϫ7 Ϫ5
Ϫ4 Ϫ5
A31 A32 A33 Ϫ3 Ϫ6 Ϫ3

΄ ΅Ϫ2 1 0 Por consiguiente, adj A es la transpuesta de [Aij] y, por tanto, está dada por

B ϭ Ϫ1 0 3 ΄ ΅Ϫ 4 Ϫ1 Ϫ3
Ϫ0 2 2
adj A ϭ Ϫ10 Ϫ7 Ϫ6 ☛ 21
Ϫ11 Ϫ5 Ϫ3

La importancia de la matriz adjunta se aprecia en el teorema 1, que se estable-
ce sin demostración.

TEOREMA 1 La inversa de una matriz cuadrada A existe si y sólo si ͉ A ͉ es distin-
to de cero; en tal caso, está dado por la fórmula

AϪ1 ϭ ᎏ͉ A1ᎏ͉ и adj A

Ϫ5 Ϫ3 En el caso de una matriz 2 ϫ 2, este resultado adopta la siguiente forma ex-
Ϫ4 Ϫ2 plícita:

΄ ΅Respuesta adj A ϭ

a11 a12 AϪ1 ϭ ᎏ͉ A1ᎏ͉ Ϫa22 Ϫa12
΄ ΅Ϫ6 Ϫ2 Ϫ3 ΄ ΅ ΄ ΅Si a21 a22 Ϫa21 Ϫa11
Aϭ , se sigue que
adj B ϭ Ϫ2 Ϫ4 Ϫ6
Ϫ2 Ϫ4 Ϫ1

SECCIÓN 9-5 INVERSAS POR DETERMINANTES 389

EJEMPLO 3 Calcule AϪ1 si A es la matriz del ejemplo 2,

΄ ΅1 2 3

Aϭ 4 5 6
312

Solución Encontramos por medio del desarrollo del primer renglón que ͉ A ͉ ϭ
Ϫ9. Puesto que ͉ A ͉ 0, AϪ1 existe y está dada por

AϪ1 ϭ ᎏ͉ A1ᎏ͉ и adj A

Tomando la matriz adj A del ejemplo 2, obtenemos

΄ ΅ ΄ ΅AϪ1 ϭ ᎏ1ᎏϪ4Ϫ1Ϫ3 ϭ Ϫᎏ94ᎏ Ϫᎏ19ᎏ Ϫᎏ31ᎏ
Ϫ9Ϫ10Ϫ7 Ϫ6 Ϫᎏ19ᎏ0 Ϫᎏ97ᎏ Ϫᎏ32ᎏ
Ϫ11 Ϫ5 Ϫ3 Ϫᎏ19ᎏ1 Ϫᎏ95ᎏ Ϫᎏ31ᎏ

De nuevo, es fácil verificar que AAϪ1 ϭ I y que AϪ1A ϭ I usando multiplicación de
matrices.

EJEMPLO 4 Demuestre que la matriz

΄ ΅1 2 3

Aϭ 2 5 7
3 7 10

☛ 22. Utilice determinantes para no es invertible. (Véase el ejemplo 4 de la sección 9-1).

calcular las inversas de las siguientes Solución La manera más simple de probar esto es verificar que el determinante de
matrices, si es que existen: A es cero. Desarrollándolo, es fácil comprobar que

2΄ ΅ ΄ ΅a)1;b)Ϫ3 Ϫ2 ͉ ͉1 2 3
4 6 Ϫ9 Ϫ6
͉A͉ϭ 2 5 7 ϭ0
123 Ϫ0 1 0 3 7 10
΄ ΅ ΄ ΅c) 4 4 6 ; d) Ϫ1 2 3
323 Ϫ1 2 0 como se requería. ☛ 22

EJEMPLO 5 (Modelo insumo-producto) La tabla 9 da la interacción entre varios
sectores de una economía hipotética.

TABLA 9

΄ ΅Respuesta a) ᎏ18ᎏϪ6Ϫ1 Industria Industria Industria Demandas Producción
Ϫ4 Ϫ2
I II III finales total

΄ ΅Ϫ6 0 3 Industria I 20 48 18 14 100
Industria II 30 12 54 24 120
d) ᎏ31ᎏ Ϫ3 0 0 Industria III 30 36 36 72 180
Ϫ4 1 1

b) y c) no son invertibles (⌬ ϭ 0) Insumos por mano de obra 20 24 72

390 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES

a) Determine la matriz insumo-producto A.

b) Suponga que en 3 años, se anticipa que las demandas finales cambiarán a
24, 33 y 75 para las industrias I, II y III, respectivamente. ¿Cuánto debería produ-
cir cada industria con el objetivo de satisfacer la demanda proyectada?

Solución a) Dividiendo cada columna en el rectángulo interior entre la producción
total de la industria correspondiente, obtenemos la matriz insumo-producto:

΄ ΅ ΄ ΅ᎏ120ᎏ00 ᎏ142ᎏ80 ᎏ118ᎏ80
0.2 0.4 0.1
A ϭ ᎏ130ᎏ00 ᎏ112ᎏ20 ᎏ158ᎏ40 ϭ 0.3 0.1 0.3

ᎏ130ᎏ00 ᎏ132ᎏ60 ᎏ138ᎏ60 0.3 0.3 0.2

b) Si I denota la matriz identidad 3 ϫ 3, entonces

΄ ΅ ΄ ΅1 0 0 0.2 0.4 0.1

I Ϫ A ϭ 0 1 0 Ϫ 0.3 0.1 0.3
0 0 1 0.3 0.3 0.2

΄ ΅Ϫ0.8 Ϫ0.4 Ϫ0.1

ϭ Ϫ0.3 Ϫ0.9 Ϫ0.3
Ϫ0.3 Ϫ0.3 Ϫ0.8

Sea B ϭ I Ϫ A. Entonces, con la finalidad de calcular las producciones futuras, ne-
cesitamos encontrar la inversa de B. (Véase la sección 9-2). Podemos usar el méto-
do de determinantes:

Έ ΈϪ0.8 Ϫ0.4 Ϫ0.1

͉ B ͉ ϭ Ϫ0.3 Ϫ0.9 Ϫ0.3 ϭ 0.336
Ϫ0.3 Ϫ0.3 Ϫ0.81

Puesto que ͉ B ͉ ϭ 0.336 0, BϪ1 existe. Los cofactores Bij del determinante ͉ B ͉
son los siguientes:

Ϫ0.9 Ϫ0.3
Ϫ0.3 Ϫ0.8
Έ ΈB11 ϭ (Ϫ1)1ϩ1 ϭ 0.72 Ϫ 0.09 ϭ 0.63

Ϫ0.3 Ϫ0.3
Ϫ0.3 Ϫ0.8
Έ ΈB12 ϭ (Ϫ1)1ϩ2 ϭ Ϫ(Ϫ0.24 Ϫ 0.09) ϭ 0.33

Continuando en la misma forma, tenemos que B13 ϭ 0.36, B21 ϭ 0.35, B22 ϭ 0.61,
B23 ϭ 0.36, B31 ϭ 0.21, B32 ϭ 0.27 y B33 ϭ 0.60

Tomando la transpuesta de la matriz de cofactores,

΄ ΅0.63 0.35 0.21

adj B ϭ 0.33 0.61 0.27
0.36 0.36 0.60

SECCIÓN 9-5 INVERSAS POR DETERMINANTES 391

En consecuencia, la inversa de B (o I Ϫ A) está dada por

0.63 0.35 0.21
0.33 0.61 0.27
0.36 0.36 0.60
΂ ΃ ΄ ΅(I Ϫ A)Ϫ1 ϭ BϪ1 ϭ ᎏ͉ B1ᎏ͉ adj B ϭ ᎏ1ᎏ
0.336

Si D indica el nuevo vector de demanda, esto es,

΄ ΅24

D ϭ 33
75

y X es la nueva matriz de producción, entonces demostramos en la sección 9-2 que
X ϭ (I Ϫ A)Ϫ1D.

Por consiguiente,

0.63 0.35 0.21 24 126.25
0.33 0.61 0.27 33 ϭ 143.75
΂ ΃ ΄ ΅ ΄ ΅ ΄ ΅X ϭ ᎏ0.31ᎏ36
0.36 0.36 0.60 75 195

Así que la industria I produciría 126.25 unidades, la industria II debería producir
143.75 unidades y la industria III debería producir 195 unidades con el propósito de
satisfacer las demandas finales proyectadas en 3 años.

EJERCICIOS 9-5

(1-6) Escriba las transpuestas de las siguientes matrices. ΄ ΅9. Ϫᎏ25ᎏ Ϫᎏ23ᎏ Ϫ0.1
Ϫ2 Ϫ1 Ϫ0.4
0.3
Ϫ0.2
΄ ΅2 Ϫ5 ΄ ΅3 2 1 ΄ ΅10.

1. 3 Ϫ7 2. Ϫ5 7 6
032
΄ ΅2 1 Ϫ1 ΄ ΅Ϫ1 Ϫ1 Ϫ1
a1΄ ΅3.a2 a3 ΄ ΅1 2 3
b1 b2 b3 11. 1 2 Ϫ3 12. Ϫ1 Ϫ1 Ϫ1
4. 3 1 2 Ϫ1 1 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ1 Ϫ1
546
654 ΄ ΅1 0 2 ΄ ΅1 Ϫ1 2

΄ ΅5. 1 0 6. [2] 13. 0 2 1 14. 2 Ϫ1 0
01 210 Ϫ1 Ϫ2 1

(7-16) Con el método de determinantes calcule la inversa de ΄ ΅1 2 3 ΄ ΅2 1 13
cada una de las siguientes matrices (cuando existan).
15. 4 5 6 16. 5 3 17
789 7 4 10

΄ ΅Ϫ3 2 Ϫ2΄ ΅8. Ϫ5 17. (Modelo insumo-producto) La tabla 10 describe la interac-
Ϫ1 Ϫ3 ción entre los diversos sectores de una economía hipoté-
7. Ϫ1 1 tica:

a) Determine la matriz insumo-producto A.

392 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES

TABLA 10 TABLA 12

Industria Demandas Producción ABC Demandas Producción

I II III finales total A 60 16 80 finales total
B 60 48 20
Industria 20 40 30 10 100 C 40 32 60 44 200
I 30 20 90 60 200 Insumos 32 160
II 40 100 60 100 300 primarios 40 64 40 68 200
III
10 40 120
Insumos
primarios

b) Suponga que en 5 años, las demandas finales cambian 19. (Modelo insumo-producto) Una economía consta de tres
a 150, 280 y 420 para las industrias I, II y III, respecti- sectores, A, B y C, cuyas interacciones están dadas por la
vamente. ¿Cuánto debería producir cada industria para tabla 12.
de satisfacer las demandas proyectadas?
a) Determine la matriz insumo-producto.
c) ¿Cuáles serán los nuevos requerimientos de insumos
primarios para las tres industrias en 5 años? b) Si las demandas finales cambian a 50, 60 y 80 unidades
para los productos A, B y C, respectivamente, ¿cuáles
18. (Modelo insumo-producto) La interacción entre los diver- serán los niveles de producción requeridos con el obje-
sos sectores de una economía hipotética están dados en la tivo de satisfacer estas nuevas demandas?
tabla 11.
20. (Modelo insumo-producto) La interacción entre los tres
a) ¿Cuál es la matriz insumo-producto A? sectores de una economía aparecen en la tabla 13.

b) Suponga que en 3 años el consumidor demanda un cam- a) Determine la matriz insumo-producto.
bio a 20 unidades en el caso de la industria I, a 50 para
la industria II y a 70 en el caso de la industria III. ¿Cuán- b) Si las demandas finales con respecto a los productos in-
to debería producir cada industria dentro de 3 años con dustriales secundarios se incrementan a 10 unidades,
el objetivo de satisfacer esta demanda proyectada? determine los nuevos niveles de producción para los
tres sectores.
c) ¿Cuáles serían los nuevos requerimientos de insumos
en mano de obra para las tres industrias en el lapso de 3 c) Si la demanda final en el caso de los productos indus-
años? triales primarios cae a cero, calcule los nuevos niveles
de producción de los tres sectores.

TABLA 13

TABLA 11 Industria Industria Agricul- Demandas Producción

Industria Demandas del Producción primaria secundaria tura finales total

I II III consumidor total

Industria 14 80 Industria 4 12 3 1 20
I 16 30 20 23 150 primaria
II 32 15 80 61 200 8 96 7 30
III 24 75 40 Industria 2 33 7 15
secundaria
Insumos 8 30 60 6 63
en mano Agricultura
de obra
Insumos
primarios

SECCIÓN 9-5 INVERSAS POR DETERMINANTES 393

REPASO DEL CAPÍTULO 9

Términos, símbolos y conceptos importantes

9.1 La inversa de una matriz cuadrada A, A؊1.
Matriz invertible (o no singular), matriz singular.
Cálculo de A؊1 por medio de la reducción de renglón.

9.2 Modelo de insumo-producto. Insumos primarios, demandas finales.
Matriz de producción, matriz de demanda, matriz de insumo-producto y de coeficien-
tes.

9.3 Proceso (o cadena) de Markov.
Probabilidades de transición, matriz de transición.
Matriz (o vector) de estado. Matriz de estado estable.

9.4 Determinante de orden 2, de orden 3, de orden superior.
Desarrollo completo de un determinante de orden 3.
El menor ij y el cofactor ij en un determinante.
Desarrollos de un determinante por medio del renglón i o la columna i.
Regla de Cramer, condiciones para la unicidad de la solución.

9.5 Transpuesta de una matriz.
Matriz de cofactores, matriz adjunta.

Fórmulas

AAϪ1 ϭ I, AϪ1A ϭ I

Solución de sistema lineal: Si AX ϭ B y A es cuadrada e invertible, entonces X ϭ AϪ1B

Modelo de insumo-producto: X ϭ AX ϩ D, X ϭ (I ϩ A)Ϫ1D

Cadena de Markov: Ak؉1 ϭ AkP
Para la matriz de estado estable B: BP ϭ B

Έ ΈDeterminante de orden 2: a1 b1 ϭ a1b2 Ϫ a2b1
a2 b2

Desarrollo de un determinante por cualquier renglón (o columna): multiplicar cada elemen-
to en el renglón (o columna) por el correspondiente cofactor y formar la suma de los pro-
ductos.

Regla de Cramer para un sistema de ecuaciones 3 ϫ 3:

x ϭ ᎏ⌬⌬1 , y ϭ ᎏ⌬⌬2 , z ϭ ᎏ⌬⌬3

AϪ1 existe si y sólo si ⏐A⏐ 0

AϪ1 ϭ ᎏ1 adj A
⏐A⏐

a11 a12 entonces AϪ1 ϭ ᎏ1 Ϫa22 Ϫa12
a21 a22 ⏐A⏐ Ϫa21 Ϫa11
΄ ΅ ΄ ΅Si A ϭ

394 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES

PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 9

1. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las si- 70 3 4
guientes proposiciones. Cada enunciado falso cámbielo 3 Ϫ1 5 7
por una proposición verdadera correspondiente. ΄ ΅7. ΄ ΅8.

a) Si A tiene es invertible, entonces AϪ1 es invertible. ΄ ΅1 0 0 ΄ ΅1 2 3

b) El determinante de una matriz identidad es igual a 1 9. 2 1 0 10. 4 5 6
011 789
c) Si A, B y C son matrices tales que AB ϭ AC entonces
BϭC ΄ ΅1 1 1 ΄ ΅10 11 Ϫ1 5

d) Si A, B y C son matrices tales que A ϩ B ϭ A ϩ C en- 11. 2 Ϫ5 6 12. 12 Ϫ5 6 0
tonces B ϭ C Ϫ3 4 Ϫ3 20 15 Ϫ3 Ϫ7

e) Una matriz de n ϫ n es invertible si, y sólo si ⏐A⏐ 0 ΄ ΅1 5

f) Si A es una matriz de n ϫ m entonces AT también es de 13. Ϫ1 7 ΄ ΅1 0 0 0
nϫm 03 14. 02 0 0
0 0 Ϫ3 0

g) Si A es una matriz de 2 ϫ 2 y sabe que ⏐A⏐ϭ 4, en- 00 0 5
tonces ⏐3A⏐ ϭ 12

h) Si A y B son matrices de n ϫ n entonces A ϩ B ϭ B ϩ A ΄ ΅ ΄ ΅1 2 5 Ϫ6

15. 0 0 0 0
8 Ϫ9 12 4

Ϫ4 5 8 Ϫ2
i) Si A y B son matrices de n ϫ n entonces AB ϭ BA 239
16. 0 1 Ϫ2
j) El menor y el cofactor de un elemento de una matriz
son iguales en valor absoluto, pero difieren en el signo. 0 Ϫ5 8

k) Una matriz cuadrada, A, es invertible si, y sólo si su de- (17-20) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones em-
terminante es positivo. pleando la inversa de la matriz de coeficientes.

l) Si A y B son matrices de n ϫ n invertibles, entonces 17. 3x ϩ 2y ϭ 9 18. 12u Ϫ 5w ϭ 9
(AB)Ϫ1 ϭ AϪ1BϪ1
5x Ϫ 3y ϭ Ϫ4 15u ϩ 4w ϭ 2

m) Si X0 representa el vector de estado inicial, Xk el vector *19. x Ϫ y ϩ z ϭ 6 *20. 2u ϩ 6v Ϫ 8w ϭ 3
de estado después de k ensayos (o periodos), y T es la
matriz de transición, entonces Xk ϭ X0Tk Ϫ3x ϩ 2y ϩ 5z ϭ 11 5u Ϫ 3v ϩ 6w ϭ 0

n) Si P y Q son matrices de transición de una cadena de 4x ϩ y ϩ z ϭ Ϫ10 u Ϫ 9v ϩ 2w ϭ 5
Markov, ambas de n ϫ n, entonces PQ también es una
matriz de transición. (21-28) Por medio de determinantes resuelva los siguientes sis-
temas de ecuaciones.

o) La matriz identidad de n ϫ n es una matriz de transi- 21. x Ϫ 7y ϭ 8 22. 2u ϩ 2v ϭ 2
ción para una cadena de Markov.

p) La matriz identidad de n ϫ n es una matriz regular, pa- 9x ϩ 8y ϭ 1 5u ϩ 8v ϭ 17
ra una cadena de Markov.
23. 4x ϩ 7y ϭ 17 24. 4p Ϫ 3q ϭ 0

΂ ΃2. Demuestre que M ϭ ab es invertible si, y sólo si ay Ϫ 2x ϩ 3y ϭ 3 8p ϩ 6q ϭ 8
xy
25. 4a ϩ 5b Ϫ c ϭ 9 26. 4u ϩ 3v Ϫ 9w ϭ 2
bx 0

(3-16) Determine las inversas de las matrices dadas a continua- 2a Ϫ b ϩ 3c ϭ Ϫ13 u ϩ 2v ϩ 4w ϭ Ϫ2

ción, cuando existan. 6a ϩ 7b Ϫ 5c ϭ 23 2u Ϫ v Ϫ w ϭ 2

4΂ ΃3.3 ΂ ΃4.4 2 27. x ϩ y ϩ z ϭ 3 28. u ϩ 6v ϩ 3w ϭ Ϫ1
9 7 14 7

΂ ΃ ΂ ΃5.aa x y 5x ϩ 6y Ϫ 3z ϭ Ϫ6 3u Ϫ v Ϫ 2w ϭ Ϫ1
a Ϫa 1 1
, con a 0 6. , con x y 4x ϩ 3y Ϫ 2z ϭ 5 4u ϩ 7v ϩ 3w ϭ 2

PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 9 395

(29-34) Desarrolle los determinantes siguientes y escriba el re- c) ¿Cuál es el vector de estado estacionario de este proce-
sultado en forma factorizada. so de Markov?

x 12 x ϩ 13 6 40. (Modelo insumo-producto) La interacción ente los dos secto-
3 x xϪ2 x res de una economía hipotética se dan en la siguiente tabla.
͉ ͉29. ͉ ͉30.

Agricultura Bienes Demandas Producción
manufacturados finales total
Agricultura 200
180 120 500
Bienes 250
100 50 400

manufacturados

Mano de obra 50 120

1 x x2 ͉ ͉x 1 Ϫ1 a) Determine la matriz de insumo-producto, A.
*31. 1 y y2
32. 1 1 1 b) Suponga que dentro de 2 años la demanda de productos
͉ ͉1 z z2 Ϫ1 x 1 agrícolas disminuye a 100 y la de bienes manufactura-
dos se incrementa a 70. Determine el nuevo vector de
xϪ1 1ϩx 1 xϩ3 xϪ1 x producción que satisfaga estas nuevas demandas.
33. 1
x1 c) ¿Cuáles serían los nuevos requerimientos de mano de
͉ ͉ ͉ ͉x ϩ 2x2 obra para cada sector?
34. 1 x x ϩ 1
41. (Modelo insumo-producto) La interacción ente los dos sec-
1 Ϫ1 2 tores de una economía hipotética aparecen en la siguiente
tabla.
(35-38) Determine el valor de la incógnita.

͉ ͉3 1 5 ͉ ͉x ϩ 3 x Ϫ 1 x

35. 1 Ϫ2 1 ϭ x2 36. 1 x x ϩ 1
x1 x
1 Ϫ1 2 Industria I Industria II Demandas Producción

finales total

͉ ͉x x x Industria I 100 260 150 510
x ϭx
37. 1 x Industria II 350 125 225 700
1 Ϫ12

x ϩ 1 x ϩ 2 3x Insumos 60 315
primarios
͉ ͉38. 0 x x ϩ 2 ϭ x
231

39. (Fluctuaciones en la bolsa de valores) En cualquier día el a) Determine la matriz de insumo-producto, A.
valor de cierta acción puede ir al alza, a la baja, o bien, per-
manecer sin cambio. La probabilidad de que la acción va- b) Suponga que dentro de 5 años las demandas finales
ya al alza, a la baja o permanezca sin cambio al día siguien- cambian a 200 para la industria I y 200 para la industria
te están dada en la tabla que se muestra a continuación. II. Determine el nuevo vector de producción que satis-
faga estas nuevas demandas.
Cambio mañana
c) ¿Cuáles serían los nuevos requerimientos de insumos
Alza Baja Sin cambio primarios para cada una de las dos industrias en 5 años?

Cambio Alza 0.7 0.2 0.1 (42-45) (Ruina de un jugador) Suponga que un jugador apues-
ta $1 en cada partida de un juego. En cada partida gana o pier-
hoy Baja 0.3 0.6 0.1 de $1. Si llega a tener una riqueza de $4 se retira; por otro lado,
si su riqueza llega a $0 se retira. Escriba la matriz de transición
Sin cambio 0.2 0.3 0.5 para cada uno de los siguientes tipos de juegos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la acción esté a la baja 42. Lanza una moneda legal. Gana si sale cara y pierde si sale
después de dos días, dado que hoy está a la baja? cruz.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la acción esté a la baja 43. Tira un dado no cargado. Gana si sale 1, 2 o 3, empata si
después de dos días, dado que hoy está a la alza? sale 4 y pierde si sale 5 o 6.

396 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES

44. Tira un par de dados no cargados. Gana si sale un número Si la matriz anterior se conserva de semana a semana, de-
par o 7 y pierde en caso contrario. termine la probabilidad de que un automóvil rentado en el
local 1
45. Tira un par de dados no cargados gana si sale un número
par, y pierde si sale un número impar distinto de 7 y empa- a) Después de dos semanas se encuentre en el local 3.
ta si sale 7.
b) Después de dos semanas se encuentre en el local 1.
46. (Demografía) La población de un estado está dividido en
población rural y urbana. Estudios recientes indican que c) A largo plazo, ¿cuál es la probabilidad de que se en-
cada año 40% de la población rural se mueve a las ciuda- cuentre en cada uno de los locales?
des (se vuelve población urbana); mientras que de la pobla-
ción urbana 25% se convierte en población rural. 48. (Participación en el mercado) En un estado dos compa-
ñías, A y B, producen toda la leche que se consume. Ac-
i. Determine la matriz de transición. tualmente la compañía A tiene el 40% del mercado; mien-
tras que la empresa B; el 60%. Un estudio reciente indica
ii. Determine la probabilidad de que un residente urbano este que de un año a otro, el 25% de los consumidores de la em-
año sea residente urbano dentro de dos años. presa A cambian a la empresa B, mientras que 15% de los
consumidores de la empresa B cambian a A. Si supone que
iii. Si actualmente se tiene 70% de población rural y 30% de esta tendencia continúa año con año.
población urbana, a largo plazo, ¿qué porcentaje de la po-
blación será de cada uno de los dos tipos? a) Determine la matriz de transición de este proceso de
Markov.
iv. Si actualmente se tiene 10% de población rural y 90% de
población urbana, a largo plazo, ¿qué porcentaje de la po- b) ¿Qué porcentaje del mercado tendrá la empresa A al ca-
blación será de cada uno de los dos tipos? bo de tres años?

47. (Renta de automóviles) Una compañía que renta automóvi- c) A largo plazo, ¿cómo estará distribuida la participación
les tiene tres locales en una ciudad. Un automóvil puede en el mercado?
ser rentado en cualquiera de los tres locales y devuelto en
cualquiera de ellos. Se hizo un estudio para conocer cómo
se distribuían los automóviles después de una semana y se
obtuvo la matriz de probabilidades dada a continuación:

Rentado Dentro de una semana está en
en
1 12 3
2
3 0.6 0.2 0.2

0.2 0.7 0.1

0.05 0.15 0.8

PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 9 397

CASO DE ESTUDIO

CODIFICACIÓN DE MENSAJES

Las aplicaciones del álgebra lineal no tienen límite. Van desde Con lo cual obtenemos la matriz del mensaje original, lo
la resolución de sistemas de ecuaciones, resolución de sistemas único que restaría es leer esta matriz según la tabla de código
lineales de ecuaciones diferenciales, pronóstico de tiempo vis- dada al inicio del capítulo.
tos como procesos markovianos, hasta una aplicación que a
diario la usan millones de personas, y seguramente también Así que la parte medular de este método de codificación es
usted. ¿Ha utilizado GoogleTM para buscar información? Pues la inversa de la matriz C. Esta inversa se puede calcular con
resulta que la forma tan eficiente para recuperar información alguno de los métodos analizados en este capítulo, con lo que
tiene como base el uso de operaciones con matrices. Como ya obtenemos:
mucha gente sabe, GoogleTM es una creación de Sergei Brin y
Lawrence Page. (Se recomienda visitar la página www_db.stan- ΂ ΃ ΂ ΃3 5 1
ford.edu/ϳsergey/, para aprender más acerca del fundamento Ϫ6 Ϫ13 Ϫ2
matemático de este popular motor de búsqueda).
CϪ1 ϭ 1 2 0 ϭ Ϫ3 Ϫ17 Ϫ1
Ahora bien, al inicio del capítulo se utilizó una matriz, C,
para codificar un mensaje que se encontraba en una matriz, M. 223 Ϫ2 Ϫ14 Ϫ1
Luego por medio de una multiplicación de matrices, este men-
saje se encriptó por medio del producto CM ϭ S. ¿Cómo se a) ¿Cuál es el mensaje codificado en cada una de las
puede recuperar el mensaje original? matrices siguientes?

Puesto que S ϭ CM, en donde C es una matriz conocida ΂ ΃104 161 172 154 109 149 52 173
de 3 ϫ 3, lo que se debe hacer es “despejar” la matriz M en la
ecuación anterior. Si la matriz C es invertible, entonces basta i. 129 159 161 156 132 159 18 166
con obtener la matriz inversa de C, es decir, se debe obtener 112 191 105 189 108 163 33 183
CϪ1 y multiplicar ambos lados por la inversa. Como se hace a
continuación. ΂ ΃55 51 96 140

CϪ1S ϭ CϪ1(CM) ii. 16 15 31 143
58 51 72 138
ϭ (CϪ1C)M
b) Obtenga una matriz de codificación de tamaño 3 ϫ 3.
ϭM Sugerencia: Seleccione una matriz en la que todos sus
componentes sean enteros y su determinante sea 1 o
Ϫ1. ¿Por qué?

398 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES

10C A P Í T U L O

Programación lineal

Costos mínimos 15 HM, con una ganancia de $80. El departamento de
mercadotecnia informa que se pueden vender todas las
Cada día nos enfrentamos con la decisión de cómo distri- mesas y sillas que sea posible producir.
buir un bien, con la finalidad de sacarle mayor provecho.
Por ejemplo, cuánto tiempo destinar al estudio para obte- Con base en la información anterior, responda las
ner las calificaciones más altas, cómo invertir en diferen- preguntas siguientes:
tes proyectos para obtener un rendimiento máximo, o
bien, cuál es la política de producción que minimiza los i. ¿Cuál es el plan de producción que maximiza las
gastos. Muchas veces, un modelo que implica el uso de ganancias?
relaciones lineales es una buena aproximación al proble-
ma estudiado. ii. ¿Cuál es la ganancia máxima?
iii. Debido a una escasez de sillas en el mercado, el
Considere el problema al que se enfrenta una em-
presa que se dedica a la fabricación de muebles, la cual departamento de mercadotecnia informa que és-
planea producir dos productos: sillas y mesas. Esto con tas se pueden vender a un precio más elevado, lo
base en sus recursos disponibles, los cuales consisten en que dejaría una ganancia de $55 por cada silla
800 pies de madera de caoba y 900 horas de mano de obra vendida. ¿Cuál es el plan de producción óptimo?
(HM). El administrador sabe que, para la fabricación de
una silla, se requiere de 5 pies de madera y 10 HM, con En este capítulo se dará una introducción a la
lo que se obtiene una ganancia de $45. Mientras que en la programación lineal y al empleo del método
fabricación de cada mesa se utilizan 20 pies de madera y símplex.

Este último fue desarrollado por George Dant-
zig (1914–2005) a quien se le considera el padre
de la programación lineal.

TEMARIO 10-1 DESIGUALDADES LINEALES
10-2 OPTIMIZACIÓN LINEAL (ENFOQUE GEOMÉTRICO)
10-3 TABLA SÍMPLEX
10-4 MÉTODO SÍMPLEX

REPASO DEL CAPÍTULO

399

10-1 DESIGUALDADES LINEALES

La desigualdad y Ͼ 2x Ϫ 4, que relaciona las variables x y y, es un ejemplo de lo
que llamamos desigualdades lineales. Empecemos examinando este ejemplo par-
ticular en términos de una gráfica.

La ecuación y ϭ 2x Ϫ 4 tiene como gráfica una línea recta cuya pendiente es
2 y ordenada al origen Ϫ4. Aparece como una línea a trazos en la figura 1. Como
un ejemplo, cuando x ϭ 4, y ϭ 2(4) Ϫ 4 ϭ 4, de modo que el punto (4, 4) está sobre
la línea, como se advierte en la figura 1.

y
xϭ4

xϭ1

6 y ϭ 2x Ϫ 4

4 (4, 4)

2

0 12 4 6 x
Ϫ2 (1, Ϫ2)

Ϫ4

Ϫ6

FIGURA 1

Consideremos ahora la desigualdad

y Ͼ 2x Ϫ 4

Cuando x ϭ 4, adopta la forma y Ͼ 2(4) Ϫ 4, o y Ͼ 4. Así, todos los puntos de la
forma (4, y) en donde y Ͼ 4 satisfacen la desigualdad. En forma gráfica, esto signi-
fica que sobre la línea vertical x ϭ 4, la desigualdad y Ͼ 2x Ϫ 4 se satisface para to-
dos los puntos situados arriba del punto (4, 4).

De manera similar podemos considerar la línea vertical x ϭ 1. Sobre esta línea,
la desigualdad y Ͼ 2x Ϫ 4 se reduce a y Ͼ Ϫ2. Que es satisfecha por los puntos
(1, y) que están sobre esta línea vertical arriba del punto (1, Ϫ2). (Véase la figura 1).

Puede advertirse en forma análoga que la desigualdad y Ͼ 2x Ϫ 4 es satisfe-
cha por todos los puntos (x, y) situados por arriba de la línea recta y ϭ 2x Ϫ 4. Es-
ta región del plano xy se dice que es la gráfica de la desigualdad dada.

Una desigualdad lineal entre dos variables x y y es cualquier relación de la for-
ma Ax ϩ By ϩ C Ͼ 0 (o Ͻ 0) o Ax ϩ By ϩ C ≥ 0 (o Յ 0). La gráfica de una desi-
gualdad lineal consta de todos aquellos puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad.
Consiste de una región del plano xy, no sólo de una línea o curva.

400 CAPÍTULO 10 PROGRAMACIÓN LINEAL