Precálculo

PQ R

΄ ΅A ϭ32 4 Producto I
2 5 1 Producto II

Suponga que la empresa produce estos dos productos en dos plantas, X y Y. Sean
los costos de las materias primas (por unidad) en las dos localidades X y Y dados
por la matriz B.

XY

΄ ΅10 12 P

Bϭ 8 7 Q
65 R

El costo total de materias primas por cada unidad del artículo I producido en
la localidad X es

3(10) ϩ 2(8) ϩ 4(6) ϭ 30 ϩ 16 ϩ 24 ϭ 70

Esto se obtiene multiplicando los elementos del primer renglón en A por los corres-
pondientes elementos de la primera columna de B y sumando los productos resul-
tantes.

De manera similar, el costo total de las materias primas por cada unidad del
artículo I producido en la planta Y se obtiene multiplicando los elementos del pri-
mer renglón de A por los elementos de la segunda columna de B y sumándolos.

3(12) ϩ 2(7) ϩ 4(5) ϭ 36 ϩ 14 ϩ 20 ϭ 70

El costo total de materias primas por cada unidad del producto II elaborada en
la planta X se obtiene multiplicando los elementos del segundo renglón de A por los
elementos de la primera columna de B.

2(10) ϩ 5(8) ϩ 1(6) ϭ 20 ϩ 40 ϩ 6 ϭ 66

Por último, el costo total de materias primas por unidad del producto II elaborada
en la localidad Y es

2(12) ϩ 5(7) ϩ 1(5) ϭ 24 ϩ 35 ϩ 5 ϭ 64

Los costos totales de materias primas para los dos productos elaborados en las
plantas X y Y pueden disponerse en la forma matricial:

XY

΄ ΅C ϭ 70 70 Producto I
6664 Producto II

Decimos que la matriz C es igual al producto AB de las matrices originales A
y B. Esto se escribe como AB ϭ C o, sin abreviar,

2΄ ΅΄ ΅ ΄ ΅341012 ϭ 70 70
52 1 8 7 66 64
6 5

SECCIÓN 8-2 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 325

Obsérvese que al formar la matriz producto C, cada renglón de A se multiplica por
cada columna de B, de la misma manera que una matriz renglón se multiplica
por una matriz columna. Por ejemplo, el elemento c21 se obtiene multiplicando el se-
gundo renglón de A por la primera columna de B:

c21 ϭ 2(10) ϩ 5(8) ϩ 1(6) ϭ 66

En general, si C ϭ AB, entonces el elemento cij de la matriz producto C se
obtiene multiplicando el i-ésimo renglón de A por la j-ésima columna de B.

Al formar el producto de dos matrices, cada renglón de la primera matriz se
multiplica sucesivamente por cada columna de la segunda matriz. Nótese que tales
productos pueden formarse sólo si los renglones de la primera matriz tienen el mis-
mo número de elementos que las columnas de la segunda matriz. En otras palabras,
el producto AB de dos matrices sólo puede formarse si el número de columnas de
A es igual al número de renglones de B. Esto es, si A es una matriz m ϫ n y B es
una matriz q ϫ p, entonces el producto AB está definido sólo si n ϭ q.

΄ ΅☛ 7. Dadas A ϭ1 Ϫ3 y DEFINICIÓN Si A ϭ [aij] es una matriz m ϫ n y B ϭ [bij] es una matriz n ϫ p, el
4 Ϫ2 producto AB es una matriz m ϫ p C ϭ [cij], en donde el ij-ésimo elemento cij se ob-
tiene multiplicando el i-ésimo renglón de A por la j-ésima columna de B. ☛ 7
΄ ΅B ϭ2 , encuentre AB.
5

EJEMPLO 2 Sean

΄ ΅ ΄ ΅A ϭ 2 3 Ϫ1
4 1 y Bϭ 3 Ϫ3 0
2 4

Calcule AB y BA si existen.

Solución Aquí A es 2 ϫ 2 y B es 2 ϫ 3. Dado que el número de columnas de A
es igual al número de renglones de B, el producto AB está definido. Su tamaño es
2 ϫ 3. Si C ϭ AB, podemos escribir C de la siguiente manera:

c11΄ ΅C ϭc12c13
c21 c22 c23

΄ ΅Respuesta AB ϭϪ13 El elemento cij se determina multiplicando el i-ésimo renglón de A por la j-ésima
–2 columna de B. Por ejemplo, para obtener el elemento del primer renglón y segun-
da columna, esto es, cij, sumamos los productos de los elementos del primer ren-
glón de A y los elementos de la segunda columna de B.

Renglón 1 de A Columna 2 de B Producto

2 Ϫ1 Ϫ2
3 Ϫ3 Ϫ9

Suma Ϫ7 ϭ c12

326 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

En consecuencia, en detalle,

2 3 3 Ϫ1 0
4 1 2 Ϫ3 4
΄ ΅ ΄ ΅AB ϭ

2(3) ϩ 3(2) 2(1) ϩ 3(Ϫ3) 2(0) ϩ 3(4)
4(3) ϩ 1(2) 4(1) ϩ 1(Ϫ3) 4(0) ϩ 1(4)
΄ ΅AB ϭ

΄ ΅☛ 8. Si A ϭ1Ϫ3 y ΄ ΅AB ϭ 12 Ϫ7 12
4 Ϫ2 14 1 4

Ϫ5΄ ΅B ϭ2, determine AB y BA. En este caso, el producto BA no está definido porque el número de columnas de B
Ϫ4 5 no es igual al número de renglones de A. ☛ 8

EJEMPLO 3 Dadas

΄ ΅ ΄ ΅1 2 3

Aϭ 4 5 6
Ϫ2 1 2
y B ϭ Ϫ3 2 1

214 Ϫ1 3 2

calcule AB y BA.

Solución Aquí, A y B son de tamaño 3 ϫ 3. En consecuencia, tanto AB como BA
están definidas y ambas tienen tamaño 3 ϫ 3. Tenemos las siguientes igualdades:

΄ ΅΄ ΅1 2 3 Ϫ2 1 2

AB ϭ 4 5 6 Ϫ3 2 1
2 1 4 Ϫ1 3 2

΄ ΅1(Ϫ2) ϩ 2(3) ϩ 3(1) 1(1) ϩ 2(2) ϩ 3(3) 1(2) ϩ 2(1) ϩ 3(2)

AB ϭ 4(Ϫ2) ϩ 5(3) ϩ 6(1) 4(1) ϩ 5(2) ϩ 6(3) 4(2) ϩ 5(1) ϩ 6(2)
2(Ϫ2) ϩ 1(3) ϩ 4(1) 2(1) ϩ 1(2) ϩ 4(3) 2(2) ϩ 1(1) ϩ 4(2)

΄ ΅7 14 10

AB ϭ 13 32 25
3 16 13

΄ ΅΄ ΅Ϫ2 1 2 1 2 3

BA ϭ Ϫ3 2 1 4 5 6
Ϫ1 3 2 2 1 4

΄ ΅Ϫ2(1) ϩ 1(4) ϩ 2(2) Ϫ2(2) ϩ 1(5) ϩ 2(1) Ϫ2(3) ϩ 1(6) ϩ 2(4)

BA ϭ Ϫ3(1) ϩ 2(4) ϩ 1(2) Ϫ3(2) ϩ 2(5) ϩ 1(1) Ϫ3(3) ϩ 2(6) ϩ 1(4)
Ϫ1(1) ϩ 3(4) ϩ 2(2) Ϫ1(2) ϩ 3(5) ϩ 2(1) Ϫ1(3) ϩ 3(6) ϩ 2(4)

΄ ΅Respuesta AB ϭ17Ϫ13 y ΄ ΅6 3 8
28 1–2
AB ϭ 13 17 25
΄ ΅BA ϭ13Ϫ9 17 19 29
16 12
es claro que AB BA, a pesar de que ambos productos están definidos.

SECCIÓN 8-2 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 327

De este ejemplo es claro que la multiplicación de matrices no es conmutativa.
Aun cuando los dos productos AB y BA estén definidos para matrices A y B dadas,
por lo regular no son iguales. (Por otra parte, la suma de matrices es conmutativa: A
ϩ B ϭ B ϩ A). Sin embargo, el producto de matrices satisface la propiedad asocia-
tiva:

☛ 9. Verifique la ley asociativa Si A, B y C son tres matrices de tamaños m ϫ n, n ϫ p y p ϫ q, respectiva-
mente, entonces todos los productos AB, BC, (AB)C y A(BC) están definidos. Se
para demuestra la propiedad siguiente:

A ϭ [3 4] ΄ ΅B ϭ 2 Ϫ1 (AB)C ϭ A(BC) Ley asociativa
3 Ϫ2

΄ ΅C ϭϪ5 En tales productos, podemos por tanto omitir los paréntesis y sólo escribir ABC. La
Ϫ2
matriz producto ABC es de tamaño m ϫ q. ☛ 9

Si A ϭ [aij] es una matriz cuadrada, entonces los elementos aij para los cuales
i ϭ j (esto es, los elementos a11, a22, a33, etc.) se denominan elementos de la diago-

nal de la matriz.

Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los elementos de su

diagonal son iguales a 1 y todos los elementos que no están en la diagonal son igua-

les a cero. Las siguientes matrices son matrices identidad de tamaño 2 ϫ 2 y 3 ϫ 3,

respectivamente,

100
010
001
΄ ΅΄ ΅1 0
01

Por lo común, la matriz identidad se denota por I cuando su tamaño se entien-
de sin ambigüedad.

EJEMPLO 4 Sea

΄ ΅A ϭa b
c d

Calcule AI e IA, en donde I denota a la matriz identidad.

Solución Tanto el producto AI como el IA están definidos si A e I son matrices
cuadradas del mismo tamaño. Puesto que A es una matriz 2 ϫ 2, la matriz identi-
dad I también debe ser de tamaño 2 ϫ 2; esto es,

΄ ΅I ϭ1 0
0 1

Así pues

a b 1 0 a(1) ϩ b(0) a(0) ϩ b(1) a b
c d 0 1 c(1) ϩ d(0) c(0) ϩ d(1) c d
΄ ΅΄ ΅ ΄ ΅ ΄ ΅AI ϭ ϭ ϭ ϭA

΄ ΅Respuesta4] 12 ϭ 112 De manera similar,
19
A(BC) ϭ [3

΄ ΅(AB)C ϭ [18 Ϫ5 ϭ 112 ΄ ΅ ΄ ΅ ΄ ΅IA ϭ10ab ϭ a b ϭA
Ϫ11] Ϫ2 0 1 c d c d

328 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

Por consiguiente, AI ϭ IA ϭ A.

Advertimos en este ejemplo que al multiplicar cualquier matriz 2 ϫ 2 por la
matriz identidad, aquélla no se altera. Es fácil darse cuenta de que este resultado es
válido para matrices cuadradas de cualquier tamaño. En otras palabras, I se compor-
ta de la misma manera en la multiplicación de matrices que el número 1 en la mul-
tiplicación de números reales. Esto justifica el nombre de matriz identidad para I.
Si A es una matriz cuadrada de cualquier tamaño, entonces siempre se cumple que

AI ϭ IA ϭ A

Si A es una matriz cuadrada de tamaño n ϫ n, podemos multiplicarla consi-
go misma. El producto resultante AA se denota por medio de A2, es de tamaño n ϫ
n. Multiplicando nuevamente por A, obtenemos AAA, que se denota con A3 y otra
vez es de tamaño n ϫ n. Continuamos multiplicando por A y, en consecuencia,
definimos A4, A5, etcétera. Obsérvese que A2, A3, . . . están definidas sólo si A es una
matriz cuadrada.

Observación El producto de dos matrices puede ser la matriz cero 0 a pesar
de que ninguna de las matrices sea la matriz cero. Por ejemplo, si

☛ 10. Si A es una matriz m ϫ n ΄ ΅ ΄ ΅A ϭ1 0 0 0
0 0 y Bϭ 1 0
y 0k es la matriz cero de tamaño
k ϫ k, evalúe 0mA y A0n, y en cada es fácil ver que AB ϭ 0 aun cuando A 0 y B 0. ☛ 10
caso proporcione el tamaño.

Usando la idea de multiplicación de matrices, los sistemas de ecuaciones li-
neales pueden escribirse en la forma de ecuaciones matriciales. Por ejemplo, consi-
dere el sistema

2x Ϫ 3y ϭ 7
4x ϩ y ϭ 21

que consta de dos ecuaciones lineales simultáneas en las variables x y y. Tenemos
el siguiente producto de matrices:

΄ ΅ ΄ ΅ ΄ ΅2 Ϫ3 x
4 Ϫ1 y
ϭ 2x Ϫ3y
4x ϩ y

Pero de las ecuaciones simultáneas dadas, tenemos la igualdad siguiente:

΄ ΅ ΄ ΅2x Ϫ3y ϭ 7
4x ϩ y 21

Por consiguiente,

΄ ΅ ΄ ΅ ΄ ΅2 Ϫ3 x ϭ 7
4 Ϫ1 y 21

Si definimos matrices A, B y X como

΄ ΅ ΄ ΅ ΄ ΅A ϭ2Ϫ3 x 7
Respuesta Ambas son la matriz 4 Ϫ1 , Xϭ y y Bϭ 21
cero de tamaño m ϫ n.

SECCIÓN 8-2 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 329

entonces, esta ecuación matricial puede escribirse como

AX ϭ B

Observe que las matrices A y B tienen elementos cuyos valores son números
dados. La matriz X contiene las cantidades desconocidas x y y. La matriz columna
X por lo regular se conoce como vector de variables, A se denomina matriz de
coeficientes y B se llama vector de valores.

Definiendo matrices adecuadas A, B y X, cualquier sistema de ecuaciones li-
neales puede expresarse como una ecuación matricial.

EJEMPLO 5 Exprese el sistema de ecuaciones siguiente en forma matricial:

2x ϩ 3y ϩ 4z ϭ 7
4y ϭ 2 ϩ 5z

3z Ϫ 2x ϩ 6 ϭ 0

Solución En primer término disponemos las ecuaciones de modo que los términos
constantes aparezcan del lado derecho y las variables x, y y z estén alineadas en co-
lumnas en el lado izquierdo.

Ϫ2x ϩ 3y ϩ 4z ϭ Ϫ7
Ϫ0x ϩ 4y Ϫ 5z ϭ Ϫ2
Ϫ2x ϩ 0y ϩ 3z ϭ Ϫ6

Obsérvese que los términos faltantes se escriben como 0x y 0y en la segunda y ter-
cera ecuaciones. Si definimos

x Ϫ7
΄ ΅ ΄ ΅ ΄ ΅Ϫ2 3 Ϫ4
A ϭ Ϫ0 4 Ϫ5 X ϭ y y B ϭ Ϫ2

☛ 11. Exprese los sistemas en la Ϫ2 0 Ϫ3 z Ϫ6

forma AX ϭ B. el sistema dado puede escribirse en la forma AX ϭ B. De nuevo, A y B son matri-
a) x Ϫ 4y ϭ 2, 2x ϩ 6x ϭ 5 ces de números conocidos y X es la matriz cuyos elementos son las variables des-
b) Ϫ3x ϩ y Ϫ 2z ϭ 1 conocidas. ☛ 11
4y Ϫ z ϭ 2, x ϩ 3z ϭ 4

Supongamos ahora que se nos da un sistema general de m ecuaciones lineales

en n variables. Denotamos las variables por x1, x2, . . . xn, y supongamos que el siste-
ma adopta la forma siguiente.

a11x1 ϩ a12x2 ϩ . . . ϩ a1nxn ϭ b1

a21x1 ϩ a22x2 ϩ . . . ϩ a2nxn ϭ b2

a31x1 ϩ a32x2 ϩ . . . ϩ a3nxn ϭ b3

ии ии
ии ии
ии ии
1 Ϫ4 x2
2 Ϫ6 y ϭ5
΄ ΅ ΄ ΅ ΄ ΅Respuesta a) am1x1 ϩ am2x2 ϩ . . . ϩ amnxn ϭ bm

Ϫ3 1 Ϫ2 x 1
΄ ΅΄ ΅ ΄ ΅b) Ϫ0 4 Ϫ1 y ϭ 2 Aquí los coeficientes aij son números dados, en donde aij es el coeficiente de xj en la
Ϫ1 0 Ϫ3 z 4 i-ésima ecuación, y b1, b2, ..., bm son los lados derechos conocidos de las ecuaciones.

330 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

Definimos la matriz A m ϫ n cuyos elementos son los coeficientes de x1,
x2, . . . xn; A ϭ [aij].

Note que la primera columna de A contiene todos los coeficientes de x1, la se-

gunda contiene todos los coeficientes de x2, etc. Sea X el vector columna integrado

por las n variables x1, x2, . . . , xn y B el vector columna formado por las m constan-

tes a la derecha de las ecuaciones. Por consiguiente,

x1 b1
΄ ΅ ΄ ΅Xϭx2
x3 b2

ؒ y Bϭ b3

ؒ ؒ

ؒ

ؒؒ

xn bm

Ahora consideremos el producto AX. Este producto está definido porque el
número de columnas de A es igual al número de renglones de X. Tenemos

΄a11 a12 . . . ΅ ΄ ΅a1n x1
a21 a22 . . .
AX ϭ a31 a32 . . . a2n x2
a3n x3
ؒؒ
ؒؒ ؒؒ
ؒؒ ؒؒ
ؒؒ
am1 am2 . . .
amn xn

a11x1 ϩ a12x2 ϩ . . . ϩ a1nxn b1
a21x1 ϩ a22x2 ϩ . . . ϩ a2nxn b2
a31x1 ϩ a32x2 ϩ . . . ϩ a3nxn b3

ؒ ؒ ؒ ؒ
΄ ΅ ΄ ΅AXϭ ϭ ϭ〉

ؒؒ ؒ ؒ
ؒؒ ؒ
ؒ
am1x1 ϩ am2x2 ϩ . . . ϩ amnxn
bm

en donde usamos las ecuaciones (1). Así que el sistema de ecuaciones (1) es otra vez
equivalente a la sola ecuación matricial AX ϭ B.

EJERCICIOS 8-2

(1-6) Si A es una matriz 3 ϫ 4, B es 4 ϫ 3, C es 2 ϫ 3 y D es (7-18) Efectúe las operaciones indicadas y simplifique.
4 ϫ 5, calcule los tamaños de los siguientes productos de ma-
trices. ΄ ΅7. [23]4 ΄ ΅8. [201] 0 Ϫ2
5 1 Ϫ1

1. AB 2. BA 3 Ϫ0

3. CA 4. AD 4 Ϫ1 Ϫ2
5 Ϫ3 Ϫ4
΄ ΅΄ ΅9. 3 0 16 ΄ ΅΄ ΅10. 2
240
5. CAD 6. CBA Ϫ5 Ϫ6 0

SECCIÓN 8-2 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 331

11. Ϫ1 0 Ϫ2 Ϫ3 Ϫ2 Calcule A2 Ϫ B2 y (A Ϫ B)(A ϩ B) y muestre que A2 Ϫ
B2 (A Ϫ B) (A ϩ B)
΄ ΅΄ ΅Ϫ0 2 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ1
Ϫ2 1 Ϫ0 Ϫ1 Ϫ3 (23-24) Dadas
12. 2 Ϫ1 Ϫ0 1 0 2
΄ ΅ ΄ ΅A ϭpϪ1 1 Ϫ1
΄ ΅΄ ΅1 Ϫ3 Ϫ2 0 2 1 q Ϫ1 y Bϭ 2 Ϫ1
4 Ϫ0 Ϫ3 2 1 0
Determine p y q para que:

23. (A ϩ B)2 ϭ A2 ϩ B2

13. Ϫ2 Ϫ3 Ϫ1
Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3

΄ ΅΄ ΅ ΄ ΅΄ ΅Ϫ4 Ϫ5 Ϫ6
1 14. 2 1 4 1 Ϫ0 2 4 24. (A ϩ B) (A Ϫ B) ϭ A2 Ϫ B2
2 536 3 Ϫ1 0 1
3 0 Ϫ2 1 3 *(25-28) Determine la matriz A que hace verdadera cada ecua-
ción matricial.

15. 1 2 3 Ϫ1 0 ΄ ΅*25. A2 1
Ϫ2 4 1 0
΄ ΅΄ ΅΄ ΅4 5 6Ϫ0 3
Ϫ3 Ϫ1 ϭ [5 3]
Ϫ2 Ϫ1

΄ ΅ ΄ ΅*26. 1 Ϫ0 2 7

16. 1 0 Ϫ2 2 Ϫ1 2 Ϫ1 0 A ϭ 0
0 2 Ϫ11 Ϫ0
0 Ϫ3
΄ ΅΄ ΅΄ ΅3 1 Ϫ0
0 1 Ϫ2 0 Ϫ1 3 11
3 0 Ϫ1

΄ ΅ ΄ ΅*27. 2 Ϫ0 6 Ϫ0

5 Ϫ6 Ϫ4 2 1 Ϫ1 A ϭ 3 Ϫ1

΂΄ ΅ ΄ ΅΃΄ ΅17. Ϫ4 1 Ϫ2 0 Ϫ1 0 Ϫ1
Ϫ3 2 Ϫ1
1 Ϫ0 ϩ Ϫ3 1 1΄ ΅ ΄ ΅*28. A2 7 10
3 4 15 22
2 Ϫ3 Ϫ2 3 ϭ

18.

΄ ΅΂΄ ΅ ΄ ΅΃2 Ϫ11Ϫ2 ϩ3 2 0 (29-34) Exprese los sistemas de ecuaciones lineales siguientes
0 Ϫ2 2 Ϫ1 1 2 en forma matricial.
3 Ϫ1

19. Calcule A2 ϩ 2A Ϫ 3I para 29. 2x ϩ 3y ϭ 7 30. 3x Ϫ 2y ϭ 4
2x ϩ 4y ϭ 5 4x ϩ 5y ϭ 7
1 2
΄ ΅A ϭ 2 3 31. 2x ϩ 2y ϩ 3z ϭ 8 32. 2x Ϫ 2y ϭ 3
2x Ϫ 2y ϩ 4z ϭ 13 3y ϩ 4z ϭ 7
20. Determine A2 Ϫ 5A ϩ 2I para 3y Ϫ 2z ϭ 5 5z ϩ x ϭ 9

΄ ΅1 0 0 33. 2x ϩ 3y ϩ 2z Ϫ 4u ϭ 0
2z ϩ 3y ϩ 2z ϩ 4u ϭ 5
Aϭ 0 2 1 3x Ϫ 2y ϩ 4z ϩ 4 u ϭ 12
003

21. Dadas

΄ ΅ ΄ ΅A ϭ12 2 Ϫ1
3 4 y Bϭ Ϫ3 Ϫ2 34. 2x1 Ϫ 3x2 ϩ 4x3 ϭ 5

a) Encuentre (A ϩ B)2 3x3 ϩ 5x4 Ϫ 3 x1 ϭ 7
b) Encuentre A2 ϩ 2AB ϩ B2
c) ¿Es (A ϩ B)2 ϭ A2 ϩ 2AB ϩ B2? 3xI ϩ 3 x◊2◊ϭ◊ x3 ϩ 2x4

22. Dadas 35. Para la matriz A dada a continuación, encuentre una matriz
2 ϫ 2 no cero B tal que AB sea una matriz cero. (Existe
más de una respuesta).

2΄ ΅ ΄ ΅A ϭ3 1 Ϫ0 ΄ ΅A ϭ 1 2
1 2 y Bϭ 2 Ϫ1 3 6

332 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

36. Dé un ejemplo de dos matrices no cero A y B de tamaños cada proveedor fija a cada unidad de estos cinco materia-
diferentes tales que el producto AB está definido y es una les están dados en la matriz A.
matriz cero. (Hay muchas respuestas posibles).
΄ ΅8 5 7 2 4
(37-40) Determine la matriz An para un entero positivo gene-
ral n, en donde A es como aparece abajo. Aϭ 9 4 5 2 5
95615
1΄ ΅37. A ϭ0 ΄ ΅38.01
0 1 Aϭ 1 0 En esta matriz, cada renglón se refiere a un proveedor y las
columnas a los materiales, en el orden listado arriba. El
΄ ΅*39. A ϭ10 ΄ ΅0 1 0 contratista tiene la política de adquirir todos los materiales
requeridos en cualquier obra particular al mismo provee-
ᎏ1ᎏ ᎏ1ᎏ 40. A ϭ 1 0 0 dor para de minimizar los costos de transportación. Hay
22 001 tres obras en construcción actualmente: la obra I requiere
20 unidades de madera, 4 de ladrillos, 5 de concreto, 3 de
41. (Valoración de inventarios) Un comerciante de televisores vidrio y 3 de pintura; la obra II requiere 15, 0, 8, 8 y 2 uni-
a color tiene cinco televisores de 26 pulgadas, ocho de 20, dades, respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10
cuatro televisores de 18 pulgadas y diez de 12. Los televi- y 12 unidades, respectivamente. Disponga esta informa-
sores de 26 pulgadas se venden en $650 cada uno, los de ción en una matriz B 5 ϫ 3 y forme la matriz producto AB.
20 en $550 cada uno, los televisores de 18 pulgadas en Interprete los elementos de este producto y úselos con el
$500 cada uno y los de 12 se venden en $300 cada uno. Ex- propósito de decidir cuál proveedor debería usar en cada
prese el precio de venta total de su existencia de televiso- obra.
res como el producto de dos matrices.
45. (Teoría de gráficas) Una gráfica consiste en un número de
42. (Costos de materias primas) Una empresa usa cuatro dife- puntos llamados vértices, algunos de los cuales están co-
nectados por líneas (llamadas aristas). A continuación se
rentes materias primas M1, M2, M3 y M4 en la elaboración dan dos ejemplos de gráficas con cuatro y cinco vértices.
de su producto. El número de unidades de M1, M2, M3 y M4
usadas por unidad del producto son 4, 3, 2 y 5, respectiva- a) 2 b) 1 2
3
mente. El costo por unidad de las cuatro materias primas es
4
de $5, $7, $6 y $3, respectivamente. Exprese el costo total de

las materias primas por unidad del producto como el pro-

ducto de dos matrices.

43. (Costos de materias primas) Una empresa utiliza tres tipos 31
5
de materias primas M1, M2 y M3 en la elaboración de dos
productos Pl y P2. El número de unidades de M1, M2 y M3 4
usados por cada unidad de Pl son 3, 2 y 4, respectivamen-
te, y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3, respectivamente.
Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30
unidades de P2 a la semana. Exprese las respuestas a las
preguntas siguientes como productos de matrices.

a) ¿Cuál es el consumo semanal de las materias primas?

b) Si los costos por unidad (en dólares) para M1, M2 y M3 Si los vértices se numeran como 1, 2, 3, . . . , definimos la
son 6, 10 y 12, respectivamente, ¿cuáles son los costos matriz A poniendo aij ϭ 1 si hay una arista uniendo los vér-
de las materias primas por unidad de Pl y P2? tices i y j y aij ϭ 0 si no lo hay. Construya A para cada una
de las gráficas dadas anteriormente. Construya A2 en cada
c) ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a caso. Muestre que el elemento ij en A2 da el número de tra-
la semana en la producción de P1 y P2? yectorias del vértice i al vértice j que pasan exactamente a
través de algún otro vértice. ¿Qué piensa que significan los
44. (Costos de suministros) Un contratista puede adquirir las elementos de A3?
cantidades requeridas de madera, ladrillos, concreto, vidrio
y pintura de cualesquiera tres proveedores. Los precios que 46. (Aplicación de la teoría de gráficas) La gráfica mostrada
representa la conexión de líneas telefónicas entre cuatro

SECCIÓN 8-2 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 333

pueblos. Sea aij la línea telefónica que conecta el pueblo i 14
con el pueblo j. Construya la matriz A ϭ (aij). Evalúe A2 y 23
pruebe que el elemento ij de esa matriz representa el núme-

ro de líneas telefónicas entre el pueblo i y el pueblo j que

pasa exactamente a través de un pueblo intermedio. ¿Qué re-

presentan los elementos de A ϩ A2?

8-3 SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
POR REDUCCIÓN DE RENGLONES

En la sección 4-4, estudiamos cómo los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en
ciertas áreas de la administración y la economía. En esa sección, resolvimos siste-
mas que constaban de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas. Desarrollaremos
ahora un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que puede utili-
zarse sin importar el número de ecuaciones de que se componga el sistema. Ilustra-
remos los principios del método resolviendo el siguiente sistema simple de dos
ecuaciones.

2x ϩ 3y ϭ 3 (1)
x Ϫ 2y ϭ 5

Si intercambiamos las dos ecuaciones (la razón de esto se hará evidente después),
obtenemos el siguiente sistema equivalente:

x Ϫ 2y ϭ 5 (2)
2x ϩ 3y ϭ 3

Si multiplicamos la primera de estas dos ecuaciones por Ϫ2, obtenemos Ϫ2x ϩ 4y ϭ
Ϫ10; sumamos esta ecuación a la segunda del sistema (2) y simplificamos.

2x ϩ 3y ϩ (Ϫ2x ϩ 4y) ϭ 3 ϩ (Ϫ10)
0x ϩ 7y ϭ Ϫ7

Así pues, el sistema (2) se transforma en

x Ϫ 2y ϭ 5 (3)
0x ϩ 7y ϭ Ϫ7

Multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación por ᎏ1ᎏ, lo cual da el sistema equi-
7

valente

x Ϫ 2y ϭ 5 (4)
0x ϩ y ϭ Ϫ1

De la segunda ecuación del sistema (4), tenemos que y ϭ Ϫ1. Por consiguiente,

334 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

2y ϭ Ϫ2. Sumando esto a la primera ecuación del sistema (4), tenemos el siguiente
sistema:

x ϩ 0y ϭ 3 (5)
0x ϩ y ϭ Ϫ1

Por tanto, x ϭ 3 y y ϭ Ϫ1 y hemos resuelto el sistema dado de ecuaciones.
En el método anterior, efectuamos operaciones específicas en las ecuaciones

originales del sistema (1), transformándolas en aquéllas del sistema (5), del cual los
valores de las incógnitas x y y pueden verse directamente. Con cada operación, el
sistema se transforma en uno equivalente al original. Las operaciones consisten de
los tipos básicos siguientes:

1. Intercambio de dos ecuaciones.

2. Multiplicación o división de una ecuación por una constante distinta de cero.

3. Adición (o sustracción) de un múltiplo constante de una ecuación a (o de) otra
ecuación.

Si respetamos las posiciones de las diversas variables y de los signos de igual-
dad, un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse como una matriz con las va-
riables omitidas. Por ejemplo, el sistema (1) anterior,

2x ϩ 3y ϭ 3
x Ϫ 2y ϭ 5

puede abreviarse como

΄ ͉ ΅2 Ϫ3 3
1 Ϫ2 5

Este arreglo de números se denomina la matriz aumentada del sistema dado. Nó-
tese que al escribir esta matriz aumentada, hemos dispuesto los elementos de la ma-
triz de coeficientes a la izquierda de la línea vertical y los elementos del vector de
valores (esto es, las constantes de los lados derechos de las ecuaciones) a la derecha
de esta línea vertical. Por consiguiente, si el sistema de ecuaciones considerado en
forma matricial es AX ϭ B, la matriz aumentada puede denotarse por A | B. La ma-
triz aumentada es simplemente una manera de escribir el sistema de ecuaciones sin
arrastrar las variables todo el tiempo.

EJEMPLO 1 Para las variables x, y, z y t, en ese orden, la matriz aumentada

΄ ͉ ΅Ϫ2 Ϫ1 Ϫ3 4 Ϫ5
Ϫ1 Ϫ3 Ϫ2 0 Ϫ7
Ϫ4 Ϫ0 Ϫ5 1 Ϫ3

corresponde al sistema lineal siguiente:

SECCIÓN 8-3 SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR REDUCCIÓN DE RENGLONES 335

☛ 12. Escriba la matriz Ϫ2x Ϫ y ϩ 3z ϩ 4t ϭ Ϫ5
Ϫ x ϩ 3y Ϫ 2z ϭ Ϫ7 ☛ 12
aumentada para cada uno de los Ϫ4x ϩ 5z ϩ t ϭ Ϫ3

sistemas: Ya que cada renglón de la matriz aumentada corresponde a una ecuación en el
a) x Ϫ 4y ϭ 2, 2x ϩ 6y ϭ 5 sistema lineal, las tres operaciones listadas antes corresponden a las siguientes tres
b) Ϫ3x ϩ y Ϫ 2z ϭ 1, 4y Ϫ z ϭ 2, operaciones entre renglones de la matriz aumentada:
x ϩ 3z ϭ 4

1. Intercambio de dos renglones.

2. Multiplicación o división de un renglón por una constante distinta de cero.

3. Adición (o sustracción) de un múltiplo constante de un renglón a (o de) otro
renglón.

Ilustraremos el uso de las operaciones entre renglones en una matriz aumentada en
la resolución del siguiente sistema:

3x Ϫ 2y ϭ 4
x ϩ 3y ϭ 5

La matriz aumentada en este caso es

΄ ͉ ΅3 Ϫ2 4
1 Ϫ3 5

A fin de aclarar la aplicación de estas operaciones, resolveremos el sistema operan-
do sobre las ecuaciones, a la vez que las operaciones correspondientes en la matriz
aumentada.

Respuesta a) 1 Ϫ4 Խ 2 SISTEMA MATRIZ AUMENTADA

΄ ͉ ΅2 Ϫ6 5 3x Ϫ 2y ϭ 4 ΄ ͉ ΅3 Ϫ2 4
x ϩ 3y ϭ 5 1 Ϫ3 5
b) Ϫ3 1 Ϫ2 Խ 1
Intercambiando la primera y segun- Intercambiando la primera y segun-
΄ ͉ ΅Ϫ0 4 Ϫ1 Խ 2 da ecuaciones: da ecuaciones:
Ϫ1 0 Ϫ3 4
x ϩ 3y ϭ 5 ΄ ͉ ΅1 Ϫ3 5
3x Ϫ 2y ϭ 4 3 Ϫ2 4

Sumando Ϫ3 veces la primera ecua- Sumando Ϫ3 veces el primer ren-
ción a la segunda: glón al segundo:

0x ϩ 3y ϭ Ϫ5 ΄ ͉ ΅1 Ϫ13 5
0x Ϫ 11y ϭ Ϫ11 0 Ϫ11 Ϫ11

Dividimos ambos lados de la segun- Dividimos el segundo renglón entre
da ecuación entre Ϫ11: Ϫ11:

0x ϩ 3y ϭ 5 ΄ ͉ ΅1 3 5
0x ϩ 3y ϭ 1 01 1

336 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

☛ 13. Escriba la matriz aumenta- Restamos tres veces la segunda Restamos tres veces el segundo
ecuación de la primera: renglón del primero:
da para el sistema
0x ϩ 0y ϭ 2 ΄ ΅͉1 0 2
2x ϩ 3y ϭ 4, Ϫ3x ϩ 5y ϭ 13. 0x ϩ 0y ϭ 1 01 1

Obtenga el resultado de las opera-

ciones por renglón ᎏ21ᎏR1, seguida por
R2 ϩ 3R1. Dé las restantes opera-
ciones que completan la reducción.

La solución es, por tanto, x ϭ 2 y y ϭ 1. Observe que los valores de x y y están da-

dos por los elementos de la última columna de la matriz aumentada final.
La última matriz aumentada de la cual leemos la solución es de la forma I͉C,

en donde I es la matriz identidad y C es cierto vector columna. Así, a fin de obtener
la solución de un sistema dado AX ϭ B, escribimos en primer término la matriz au-
mentada A͉B y usamos las operaciones entre renglones para cambiarla a la formal
I͉C. Esto no siempre es posible;* sin embargo, si lo logramos, la solución de las

variables está dada en los elementos de la última columna C. La forma final de la
matriz I͉C que da las soluciones a un sistema se llama la matriz reducida. Este mé-

todo de resolución de sistemas lineales se denomina el método de reducción de

renglones.

Antes de explicar cómo seleccionar el orden de las operaciones entre renglo-

nes con la finalidad de obtener la matriz reducida a partir de la matriz aumentada

original, presentamos alguna notación para evitar repetir largas expresiones. Usare-

mos el símbolo Rp para el p-ésimo renglón de la matriz aumentada. Por ello, R1
denota al primer renglón, R2 al segundo, etc. Cuando decimos “aplique R2 Ϫ 2R1”,
esto significa “restar dos veces el primer renglón del segundo renglón”, mientras
que la operación R3 ϩ 4R2 consiste en sumar cuatro veces el segundo renglón al ter-
cero y R2 ϩ R3 significa sumar el tercer renglón al segundo (no el segundo renglón
al tercero). De manera similar, la operación 2R3 significa multiplicar el tercer ren-
glón de la matriz aumentada por 2 y Ϫ12ᎏR1 significa multiplicar el primer renglón por
Ϫᎏ12ᎏ. Por último, la notación R1 ↔ R3 significa la operación de intercambiar el pri-
mero y tercero renglones. Usaremos la notación siguiente.

matriz A R⎯1 Ϫ→2R2 matriz B

la cual significa que la matriz B se obtiene aplicando la operación R1 Ϫ 2R2 (esto
es, la sustracción de dos veces el segundo renglón del primer renglón) sobre la ma-

triz A. ☛ 13

Estamos ahora en posición de explicar en detalle el método de reducción de
renglones. Lo haremos por medio de un ejemplo.

EJEMPLO 2 Use el método de reducción de renglones para resolver el siguiente
sistema de ecuaciones lineales.

΄ ͉ ΅Respuesta Ϫ2 3 Խ 4 → 2x Ϫ 3y ϩ 4z ϭ 13
Ϫ3 5 13 ᎏ21ᎏR1 2x ϩ 2y ϩ 2z ϭ Ϫ4

Խᎏ23ᎏ 2 3x ϩ 5y Ϫ 2z ϭ Ϫ4
5 13
Ϫ1

΄ ͉ ΅ ΄ ͉ ΅Ϫ3
⎯→ 1 Խᎏ32ᎏ 2
0R2ϩ3R1 ᎏ12ᎏ9 19

Rᎏ12ᎏ9 2 seguida por R1 Ϫᎏ32ᎏ R2. La * Véase la sección 8.4.
solución es x ϭ Ϫ1, y ϭ 2

SECCIÓN 8-3 SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR REDUCCIÓN DE RENGLONES 337

Solución La matriz aumentada de este sistema es

΄ ͉ ΅2 Ϫ3 Ϫ4 13
1 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ4
3 Ϫ5 Ϫl Ϫ4

Nuestro propósito es aplicar operaciones entre renglones a esta matriz hasta
que obtengamos su forma reducida, esto es, hasta que las tres primeras columnas
formen una matriz identidad. Por lo general, el mejor método es tratar las colum-
nas una por una, cambiando los elementos de la diagonal principal a 1 y haciendo
que los demás elementos de las columnas sean cero. En la primera columna de nuestra
matriz, el primer elemento es 2. Con el objetivo de que este elemento se transforme
en 1, podríamos dividir R1 entre 2 o, alternativamente, intercambiar R1 y R2. Si apli-
camos ᎏ12ᎏR1, de inmediato introducimos fracciones, mientras que si intercambiamos
R1 y R2 (esto es, aplicamos R1 ↔ R2), nos evitamos las fracciones (o por lo menos al
principio). Por consiguiente, es preferible aplicar R1 ↔ R2 y obtener

΄ ͉ ΅1 Ϫ1 Ϫ2 4
2 Ϫ3 Ϫ4 13
3 Ϫ5 Ϫl Ϫ4

Ya que obtuvimos un elemento diagonal de 1 en la primera columna, usamos
el primer renglón para transformar los demás elementos de la primera columna a ce-
ro. Primero, la operación R2 Ϫ 2R1 coloca un cero en el segundo elemento:

1 Ϫ1 Ϫ2 4
΄ ͉ ΅ ΄ ͉ ΅1 1 2 4
2 Ϫ 2(1) Ϫ3 Ϫ 2(1) 4 Ϫ 2(2) 13 Ϫ 2(4) ϭ 0 Ϫ5 Ϫ0 5

3 5 Ϫ1 Ϫ4 3 Ϫ5 Ϫl Ϫ4

Entonces, la operación R3 Ϫ 3R1 hace cero al tercer elemento:

΄ ͉ ΅ ΄ ͉ ΅1 1 2 4
1 Ϫ1 Ϫ2 4

0 Ϫ5 0 5 ϭ 0 Ϫ5 Ϫ0 5

3 Ϫ 3(1) 5 Ϫ 3(1) Ϫl Ϫ 3(2) Ϫ4 Ϫ 3(4) 0 Ϫ2 Ϫ7 Ϫ16

Hemos reducido la primera columna a la forma requerida (esto es, a la prime-

ra columna de la matriz identidad). Ahora resolvemos sobre la segunda columna. En

esta columna, debemos tener 1 en el segundo renglón y cero en el primero y tercer

renglones. Mientras logramos este propósito, debemos tener cuidado en no modificar

la primera columna. (Esto significa, por ejemplo, que no podemos sumar 6 veces el

primer renglón al segundo, porque esto modificaría los elementos de la primera

columna.) Hay muchas maneras de colocar un 1 en el segundo elemento de la se-

gunda columna. Por ejemplo, podemos aplicar Ϫᎏ15ᎏR2 o R2 ϩ 3R3. La aplicación de
Ϫᎏ51ᎏR2 es más simple en este caso; nos lleva a la siguiente matriz:

΄ ͉ ΅1 1 Ϫ2 4
0 1 Ϫ0 Ϫ1
0 2 Ϫ7 Ϫ16

338 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

Usemos ahora el segundo renglón para hacer que los otros dos elementos de

la segunda columna sean cero. La operación R1 Ϫ R2 hace cero el primer
elemento y luego la operación R3 Ϫ 2R2 hace cero el tercer elemento. Podemos
realizar estas dos operaciones de manera simultánea:

1 0 Ϫ2 5
΄ ͉ ΅ ΄ ͉ ΅1 Ϫ 0 1 Ϫ 12Ϫ0
4 Ϫ (Ϫl)

01 0 Ϫ1 ϭ 0 1 Ϫ0 Ϫ1 .

0 Ϫ 2(0) 2 Ϫ 2(1) Ϫ7 Ϫ 2(0) Ϫ16 Ϫ 2(Ϫ1) 0 0 Ϫ7 Ϫ14

Obsérvese que estas operaciones no han modificado la primera columna. Así pues,

también reducimos la segunda columna a la forma requerida, con 1 sobre la diago-

nal principal y 0 en los demás lugares.

Por último, resolvemos sobre la tercera columna. Debemos transformar el ter-
cer elemento de esta columna a 1; esto puede realizarse aplicando Ϫᎏ17ᎏR3, lo cual nos
lleva a

΄ ͉ ΅1 0 2 5
0 1 0 Ϫ1
0 0 1 Ϫ2

En la tercera columna, los elementos del primero y segundo renglones también de-
ben ser cero. Ya tenemos un cero en el segundo renglón. Con la finalidad de obte-
ner un cero en el primer renglón, aplicamos la operación R1 Ϫ 2R3. Esto da

100 1
΄ ΅ ΄ ͉ ΅1 0 2 Ϫ 2(1) 5 Ϫ 2(2)
01 0 Ϫ 1 ϭ 0 1 0 Ϫ1
0 0 1 Ϫ2
00 1 Ϫ2

Por consiguiente, hemos logrado nuestro propósito, esto es, hemos transfor-
mado las primeras tres columnas de la matriz aumentada del sistema a una matriz
identidad. La matriz final representa al sistema

☛ 14. Es buena idea sustituir su 0x ϩ 0y ϩ 0z ϭ Ϫ1 x ϭ Ϫ1
0x ϩ 1y ϩ 0z ϭ Ϫl o y ϭ Ϫ1
solución en cada una de las ecua- 0x ϩ 0y ϩ 1z ϭ Ϫ2 z ϭ Ϫ2
ciones del sistema original, para
verificar que sea correcta. Intente del cual la solución requerida puede advertirse de inmediato. ☛ 14
esto con la solución del ejemplo 2.

A la luz del ejemplo anterior, podemos resumir los pasos requeridos en la
transformación de la matriz aumentada a su forma reducida de la siguiente manera.*
Cada paso se efectúa por medio de una o varias de las operaciones entre renglones
dadas antes.

*El procedimiento no siempre funciona y debemos modificarlo en ciertos casos. (Véase la sección 8-4.)

SECCIÓN 8-3 SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR REDUCCIÓN DE RENGLONES 339

☛ 15. Utilice el procedimiento Paso 1 Realizamos operaciones entre renglones con el objetivo de obtener
un elemento superior igual a 1 en la primera columna.
de reducción por renglones para
resolver los siguientes sistemas: Paso 2 Sumamos o restamos los múltiplos apropiados del primer renglón a
a) 2x Ϫ 4y ϩ 2 ϭ 0. los otros renglones, de modo que los elementos restantes de la primera columna
Ϫx ϩ 3y ϭ 3 sean cero.
b) q ϩ 3r ϭ 1;
2p Ϫ 5r ϭ 1, 2p ϩ 2q ϩ 3r ϭ 1 Paso 3 Sin alterar la primera columna, usamos operaciones entre renglones
con el propósito de hacer el segundo elemento de la segunda columna igual a 1.
Respuesta a) x ϭ 3, y ϭ 2 Después sumamos o restamos múltiples adecuados del segundo renglón a los
b) p ϭ Ϫ2, q ϭ 4, r ϭ Ϫ1 otros con el propósito de obtener ceros en el resto de la segunda columna.

Paso 4 Sin alterar las primeras dos columnas, hacemos que el tercer ele-
mento de la tercera columna sea igual a 1. Luego usamos el tercer renglón con
la finalidad de obtener ceros en el resto de la tercera columna.

Paso 5 Continuamos el proceso columna por columna hasta que se obtenga
la forma reducida; esto es, hasta que la matriz adopte la forma I | C, con una ma-
triz identidad I a la izquierda de la línea vertical. Las soluciones de las variables
están dadas, entonces, por los elementos de la última columna, C. ☛ 15

EJEMPLO 3 (Punto de equilibrio del mercado) Dos productos A y B compiten.

Las demandas xA y xB de estos productos están relacionadas con sus precios PA y PB
por las ecuaciones de demanda

xA ϭ 17 Ϫ 2PA ϩ ᎏ21ᎏPB y xB ϭ 20 Ϫ 3PB ϩ ᎏ21ᎏ PA

Las ecuaciones de la oferta son

PA ϭ 2 ϩ xA ϩ ᎏ13ᎏxB y PB ϭ 2 ϩ ᎏ21ᎏ xB ϩ ᎏ41ᎏ xA

que dan los precios a los cuales las cantidades xA y xB estarán disponibles en el mer-
cado. En el punto de equilibrio del mercado, las cuatro ecuaciones deben satisfacer-

se (dado que la demanda y la oferta deben ser iguales). Calcule los valores de equi-

librio de xA, xB, PA y PB.

Solución Reacomodando las cuatro ecuaciones, obtenemos el siguiente sistema:

xA ϩ 2PA Ϫ ᎏ12ᎏPB ϭ 17

xB Ϫ ᎏ12ᎏ PA ϩ 3PB ϭ 20

xA ϩ ᎏ31ᎏxB Ϫ PA ϭ Ϫ2

ᎏ41ᎏxA ϩ ᎏ12ᎏxB Ϫ PB ϭ Ϫ2

Note que las variables en cada ecuación se pusieron en el orden xA, xB, PA y PB. La
matriz aumentada es la siguiente:

΄ ͯ ΅1 0 Ϫ2 Ϫᎏ21ᎏ 17
0 1 Ϫᎏ21ᎏ Ϫ3 20

1 ᎏ13ᎏ Ϫ1 Ϫ0 Ϫ2

ᎏ14ᎏ ᎏ12ᎏ Ϫ0 Ϫ1 Ϫ2

340 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

Para la primera columna aplicamos las operaciones R3 Ϫ R1 y R4 Ϫ ᎏ14ᎏR1 para
obtener ceros debajo de la primera entrada. El resultado es

΄ ͯ ΅1 0 Ϫ2 Ϫᎏ12ᎏ | Ϫ17
0 1 Ϫᎏ12ᎏ Ϫ3 | Ϫ20
0 ᎏ31ᎏ Ϫ3 Ϫᎏ12ᎏ | Ϫ19
0 ᎏ21ᎏ Ϫᎏ12ᎏ Ϫᎏ87ᎏ Ϫᎏ24ᎏ5

Entonces, para la segunda columna, aplicamos R3 Ϫ ᎏ31ᎏR2 y R4 Ϫᎏ12ᎏ R2 para obtener

΄ ͯ ΅1 0 Ϫ2 Ϫᎏ21ᎏ Ϫ17
0 1 Ϫᎏ12ᎏ Ϫ 3 Ϫ20
0 0 Ϫᎏ16ᎏ7 Ϫᎏ21ᎏ Ϫᎏ73ᎏ7

0 0 Ϫᎏ41ᎏ Ϫᎏ18ᎏ9 Ϫᎏ64ᎏ5

Antes de reducir la matriz aún más, observemos que el intercambio de los renglo-

nes tercero y cuarto nos ayuda a evitar fracciones complicadas, ya que en la tercera

columna tendríamos Ϫᎏ41ᎏ en vez de Ϫᎏ16ᎏ7. Así que realizando este intercambio y mul-

΄ ͯ ΅ ΄tiplicando el R3 por Ϫ4 tenemos las siguientes matrices:1 0 Ϫ2Ϫᎏ12ᎏ Ϫ17R1 Ϫ 2R3100Ϫᎏ32ᎏ9 ͯ ΅Ϫ113
0 1 Ϫᎏ12ᎏ Ϫ3 Ϫ20 R2 ϩ ᎏ12ᎏR3 010 Ϫᎏ34ᎏ1 Ϫᎏ102ᎏ5
001 Ϫ65
0 0 Ϫ1 Ϫᎏ12ᎏ9 Ϫ65 R4 ϩ ᎏ16ᎏ7 R3 ᎏ12ᎏ9

0 0 Ϫᎏ16ᎏ7 Ϫᎏ12ᎏ Ϫᎏ73ᎏ7 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

0 0 0 Ϫᎏ311ᎏ27 ᎏ321ᎏ7

΄ ΅ ΄ ͯ ΅⎯ᎏ311ᎏ27→R4 100 Ϫᎏ32ᎏ9 Ϫ113
010 Ϫᎏ34ᎏ1 Ϫᎏ120ᎏ5
001 Ϫ65
ᎏ12ᎏ9

000 1 6
΄ ΅ ΄ ͯ ΅R1ϩᎏ32ᎏ9R4
R2 Ϫ ᎏ34ᎏ1 R4 1000 4
R3 Ϫ ᎏ12ᎏ9 R4 0100 6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 0010 8

0001 6

La solución para el punto de equilibrio del mercado es, por tanto, xA ϭ 4, xB ϭ 6,
PA ϭ 8 y PB ϭ 6.

EJERCICIOS 8-3

(1-14) En los problemas siguientes, resuelva el sistema dado (si 5. 3 x ϩ y ϩ 3z ϭ 6 6. 3x ϩ 2y Ϫ z ϭ Ϫ3
la solución existe) usando el método de reducción de renglones. 2x Ϫ y ϩ 3z ϭ 9 3y ϩ 4z ϭ Ϫ5
Ϫx ϩ 2y ϩ 3z ϭ 6
1. 2x ϩ 3y ϭ 7 2. 3x ϩ 2y ϭ 1 2x Ϫ y ϩ 3z ϭ Ϫ9
3x Ϫ 3y ϭ 5 3y ϩ 2x ϭ 3 7. 3x1 ϩ 2x2 ϩ x3 ϭ Ϫ6
2x1 Ϫ 3x2 ϩ 4x3 ϭ Ϫ4
3. 3u ϩ 3␷ ϭ 1 4. 3p ϩ 2q ϭ 5 3x1 ϩ 3x2 Ϫ 2x3 ϭ Ϫ5
2u Ϫ 3␷ ϭ 9 3p Ϫ 3q ϩ 2 ϭ 0

SECCIÓN 8-3 SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR REDUCCIÓN DE RENGLONES 341

8. 2u Ϫ 3␷ ϩ 4w ϭ 13 18, calcule los nuevos valores de la cantidad x y del precio
3 uϩ␷ ϩw ϭ6 p1 pagado por los consumidores. (Véase la sección 4-5).
Ϫ3u ϩ 2␷ ϩ w ϩ 1 ϭ 0
20. (Utilidades del fabricante) El costo en dólares de producir
9. 3p Ϫ q ϩ r ϭ Ϫ1 x artículos a la semana de cierto producto está dado por
C ϭ 3x ϩ 500. Si los artículos se venden a $5 cada uno,
3p Ϫ 2r ϭ Ϫ7 ¿cuántos deberá producir a fin de lograr una utilidad sema-
3r ϩ 4q ϭ 10 nal igual a $300 más el 10% de los costos de producción?

10. b ϭ 3 Ϫ a 21. (Asignación de maquinaria) Una empresa produce tres
cϭ4ϪaϪb productos, A, B y C, los que procesa en tres máquinas. El
3a ϩ 2b ϩ c ϭ 8 tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de
cada producto por las tres máquinas está dado enseguida.
11. 2x ϩ 2y ϩ 2z Ϫ 2t ϭ 0
2 y Ϫ 2z ϩ 2t ϭ 13 ABC
2x ϩ 4y Ϫ 2z ϩ 2t ϭ 19
2 y Ϫ 2z Ϫ 3t ϭ 0 ΄ ΅Máquina I 3 1 2

12. p Ϫ q Ϫ r ϭ Ϫ4 Máquina II 1 2 4
q Ϫ r Ϫ s ϭ Ϫ5 Máquina III 2 1 1
r Ϫ s Ϫ p ϭ Ϫ8
Se dispone de la máquina I por 850 horas, de la máquina II
p ϩ 2q ϩ 2r ϩ s ϭ Ϫ5 por 1200 horas y de la máquina III por 550 horas. ¿Cuántas
unidades de cada producto deberían producirse con el obje-
13. 2x ϩ y ϩ z ϭ1 tivo de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

2x ϩ 3y Ϫ w ϭ 3 22. (Carga aérea) Una compañía de carga transportó tres tipos
de flete en su transporte aéreo ligero. El espacio requerido
Ϫx ϩ 2z ϩ 3w ϭ 3 por cada unidad de los tres tipos de carga eran de 5, 2 y 4
pies cúbicos, respectivamente. Cada unidad de los tres ti-
2y Ϫ z ϩ w ϭ 5 pos de carga pesó 2, 3 y 1 kilogramos, repectivamente;
mientras que los valores unitarios de los tres tipos de car-
14. 2x1 ϩ x2 ϩ x3 ϩ 2x4 ϭ Ϫ2 ga fueron $10, $40 y $60, respectivamente. Determine el
x1 Ϫ x2 ϩ x3 ϩ 2x4 ϭ Ϫ4 número de unidades de cada tipo de carga transportada si
el valor total de la carga fue de $13,500, ocupó 1050 pies
2x1 ϩ x2 Ϫ x3 ϩ 2x4 ϭ Ϫ1 cúbicos de espacio y pesó 550 kilogramos.
Ϫx1 ϩ x2 ϩ x3 Ϫ 2x4 ϭ Ϫ4
23. (Inversiones) Una persona invirtió un total de $20,000 en
15. Encuentre x, y y z tales que tres inversiones al 6, 8 y 10%. El ingreso anual total fue de
$1624 y el ingreso de la inversión del 10% fue dos veces el
x[1 2 Ϫ1] Ϫ y[2 Ϫ1 3] ingreso de la inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada inver-
sión?
ϩ z[3 Ϫ2 1] ϭ [9 Ϫ1 Ϫ2]
24. Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de
16. Determine a, b y c tales que obra para tres proyectos. Los costos por hora-hombre de los
tres proyectos son de $8, $10 y $12, respectivamente, y el
a[2 3 Ϫ1] ϩ b[1 2 3] ϩ c[1 0 2] ϭ [3 7 3] costo total es de $53,000. Si el número de horas-hombre
para el tercer proyecto es igual a la suma de las horas-hom-
(17-24) Utilice el método de reducción de renglones para resol- bre requeridas por los primeros dos proyectos, calcule el
ver los siguientes problemas. número de horas-hombre de que puede disponerse en cada
proyecto.
17. (Punto de equilibrio del mercado) La ecuación de deman-
da de cierto producto es p ϩ 2x ϭ 25 y la ecuación de la (25-26) Resuelva los siguientes problemas por reducción de
oferta es p Ϫ 3x ϭ 5, en donde p es el precio y x es la can- renglones y comente las soluciones.
tidad demandada o suministrada, según el caso. Calcule los
valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado. 25. Las ecuaciones de demanda y oferta de cierto artículo son
2p ϩ x ϭ 5 y 3p Ϫ 2x ϭ 11, respectivamente.
18. (Punto de equilibrio del mercado) Las ecuaciones de la de-
manda y la oferta de cierto artículo son 3p ϩ 5x ϭ 200 y 26. En el ejercicio 21, suponga que se dispone de las máquinas
7p Ϫ 3x ϭ 56, respectivamente. Determine los valores de I, II y III por 1200, 900 y 1100 horas, respectivamente.
x y p en el punto de equilibrio del mercado.

19. (Punto de equilibrio del mercado) Si se impone un impues-
to sobre las ventas de 11% en cada artículo del ejercicio

342 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

8-4 SISTEMAS SINGULARES

Todos los sistemas de ecuaciones lineales que resolvimos en la última sección te-
nían soluciones únicas. Existen sistemas de ecuaciones que tienen más de una solu-
ción y otros sistemas que no tienen ninguna. Se dice que tales sistemas son singu-
lares. Consideremos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1 Resuelva este sistema:

3x ϩ 3y Ϫ 3z ϭ 34
3x Ϫ 2y ϩ 4z ϭ 39
9x Ϫ 3y ϩ 5z ϭ 30

☛ 16. Demuestre que el sistema Solución Reducimos la matriz aumentada de este sistema de la siguiente manera:

x Ϫ 4y ϩ 3z ϭ 4, 4 R2 Ϫ 3R1 1 Ϫ1 Ϫ1
Ϫ3x ϩ 2y Ϫ z ϭ Ϫ1, ΄ ͉ ΅ ΄ ͉ ΅1 Ϫ1 Ϫ1 4
Ϫx Ϫ 6y ϩ 5z ϭ 7 tiene un número 3 Ϫ2 Ϫ4
infinito de soluciones. Exprese 9 Ϫ1 Ϫ5
9 R3 Ϫ 9R1 0 Ϫ5 Ϫ7 Ϫ3
a x y y en términos de z. 30 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 Ϫ10 Ϫ14 Ϫ6

Ϫ1 Ϫ1 R1 Ϫ R2 1 0 ᎏ25ᎏ ᎏ15ᎏ7
Ϫ1 Ϫᎏ75ᎏ R3 ϩ 10R2 0 1 Ϫᎏ75ᎏ ᎏ35ᎏ
00 0
⎯⎯⎯⎯⎯→ 0
1΄ ͉ ΅ ΄ ͉ ΅Ϫᎏ51ᎏR2 4
0
⎯⎯⎯→ ᎏ53ᎏ

0 Ϫ10 Ϫ14 Ϫ6

Hasta ahora hemos obtenido las primeras dos columnas en la forma deseada. Sin
embargo, al mismo tiempo el tercer renglón sólo tiene ceros, de modo que no pode-
mos obtener un 1 en el tercer elemento de la tercera columna sin alterar la primera
y segunda columnas. Así que no podemos continuar el proceso de reducción entre
renglones aún más.

La matriz que obtuvimos corresponde a las siguientes ecuaciones:

x ϩ ᎏ52ᎏz ϭ ᎏ15ᎏ7 (1)
y Ϫ ᎏ57ᎏz ϭ ᎏ35ᎏ

La tercera ecuación es 0x ϩ 0y ϩ 0z ϭ 0, o 0 ϭ 0, que es válida para todos los va-
lores de x, y y z por lo que podemos ignorarla. Advertimos, por consiguiente, que el
sistema dado de tres ecuaciones del sistema (1) puede resolverse para x y y en tér-
minos de z.

x ϭ ᎏ15ᎏ7 Ϫ ᎏ25ᎏz ϭ ᎏ51ᎏ (17 Ϫ 2z) (2)
y ϭ ᎏ35ᎏ ϩ ᎏ57ᎏz ϭ ᎏ51ᎏ (3 ϩ 7z)

Respuesta x ϭ zᎏ51ᎏ Ϫ ,ᎏ25ᎏ y ϭ zᎏ54ᎏ Ϫ ᎏ11ᎏ01 La variable z es arbitraria y puede tomar cualquier valor. Por ejemplo, si z ϭ 1, en-
tonces x ϭ ᎏ15ᎏ(17 Ϫ 2) ϭ 3 y y ϭ ᎏ15ᎏ(3 ϩ 7) ϭ 2. Así pues, x ϭ 3, y ϭ 2 y z ϭ 1 es
una solución. Cambiando los valores de z, obtenemos valores diferentes de x y y del

sistema (2) y, por consiguiente, distintas soluciones del sistema dado. Por ello, el

sistema tiene un número infinito de soluciones. La forma general de la solución es
x ϭ ᎏ15ᎏ(17 Ϫ 2z), y ϭ ᎏ15ᎏ(3 ϩ 7z), z, en donde z es arbitraria. ☛ 16

SECCIÓN 8-4 SISTEMAS SINGULARES 343

La solución del ejemplo 1 es sólo una forma de la solución general. Podemos,
en realidad, resolver para cualesquiera dos de las variables en términos de la tercera.
Por ejemplo, si deseamos resolver para x y z en términos de y, reducimos la matriz
a una forma que contenga una matriz identidad de segundo orden en las columnas
correspondientes a x y z.

El ejemplo 2 ilustra una situación diferente en que puede ocurrir un número
infinito de soluciones.

EJEMPLO 2 Resuelva el sistema siguiente de cuatro ecuaciones:

x Ϫ y ϩ z Ϫ 3t ϭ 5
2x Ϫ 2y ϩ z ϩ 3t ϭ 2
Ϫx ϩ y ϩ 2z ϩ 3t ϭ 4
3x Ϫ 3y ϩ z ϩ 3t ϭ 3

Solución La matriz aumentada de este sistema es

΄ ͯ ΅ ΄ ͯ ΅Ϫ1 Ϫ1 1 Ϫ1
Ϫ2 Ϫ2 1 Ϫ3
Ϫ1 Ϫ1 2 Ϫ1
Ϫ3 Ϫ3 1 Ϫ3
5 R2 Ϫ 2R1 1 Ϫ1 Ϫ1 Ϫ1 Ϫ5
2 R3 ϩ R1 0 Ϫ0 Ϫ1 Ϫ5 Ϫ8

4 ⎯R4 Ϫ⎯⎯3R→1 0 Ϫ0 Ϫ3 Ϫ0 9
3 0 Ϫ0 Ϫ2 Ϫ6 Ϫ12

En esta etapa, observemos que la segunda columna sólo contiene ceros deba-

jo del primer renglón. Así que, es imposible obtener un 1 en la segunda posición de

esa columna sin alterar los ceros de la primera columna. En esta clase de situación,

lo que debemos hacer es olvidarnos de la segunda columna y pasar a la tercera. La
sucesión de operaciones entre renglones (Ϫ1)R2 seguida por R1 Ϫ R2, R3 Ϫ 3R2 y R4
ϩ 2R2 da la matriz en la siguiente forma:

΄ 1 Ϫ1 1Ϫ1 ͯϪ1 Ϫ (Ϫ5) 5Ϫ8 ΅ ΄ ͯ ΅1 Ϫ1 0 Ϫ4 Ϫ3
0 Ϫ0 1 Ϫ5 8 0 Ϫ0 1 Ϫ5 8
0 Ϫ0 0 Ϫ 3(Ϫ5) ϭ 0 Ϫ0 0 15
3 Ϫ 3(1) 9 Ϫ 3(8) Ϫ15

0 Ϫ0 Ϫ2 ϩ 2(1) 6 ϩ 2(Ϫ5) Ϫ12 ϩ 2(8) 0 Ϫ0 0 Ϫ4 Ϫ4

Al descartar la segunda columna, hemos reducido la tercera columna a la forma

que la segunda columna normalmente tendría (esto es, un 1 en el segundo elemento
y ceros en los demás lugares). Aplicando ᎏ11ᎏ5R3, obtenemos ahora

΄ ͯ ΅ ΄ ͯ ΅1 Ϫ1 0 Ϫ4
0 Ϫ0 1 Ϫ5
0 Ϫ0 0 Ϫ1
Ϫ3 R1 Ϫ 4R3 1 Ϫ1 0 0 Ϫ1
Ϫ8 R2 ϩ 5R3 0 Ϫ0 1 0 Ϫ3
R4 ϩ 4R3 Ϫ1 .
Ϫ1 0 Ϫ0 01
⎯⎯⎯→
0 Ϫ0 0 Ϫ4 Ϫ4 0 Ϫ0 0 0 Ϫ0

344 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES

Al igual que en el ejemplo 1, obtuvimos un renglón completo con ceros en la
matriz, que corresponde a la ecuación trivial 0 ϭ 0. Los otros tres renglones corres-
ponden a las ecuaciones

☛ 17. Demuestre que el sistema x Ϫ y ϭ 1, z ϭ 3 y t ϭ Ϫ1

2x Ϫ 4y ϩ 3z ϭ 4, Así pues, observamos que en este caso ciertas variables (z y t) tienen valores
Ϫx ϩ 2y Ϫ z ϭ Ϫ1 definidos, mientras que las otras (x y y) no. Otra vez el número de soluciones es in-
x Ϫ 2y ϩ 2z ϭ 3 tiene un número finito, puesto que podemos permitir que y tome cualquier valor; x está dada enton-
infinito de soluciones. Proporcione ces por x ϭ y ϩ 1. ☛ 17

la forma de la solución.

Existen sistemas que no tienen ninguna solución.

EJEMPLO 3 Resuelva el siguiente sistema:

3x ϩ 3y ϩ 2z ϭ 39
3x Ϫ 2y ϩ 7z ϭ 20
2x ϩ 7y ϩ 3z ϭ 27

Solución Reducimos la matriz aumentada del sistema de la siguiente manera:

9 R2 Ϫ 3R1 1 Ϫ1 Ϫ2 9
20 R3 Ϫ 2R1 0 Ϫ5 Ϫ1 Ϫ7
27 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 Ϫ5 Ϫ1 Ϫ9
΄ ͉ ΅ ΄ ͉ ΅1 Ϫ1 2

3 Ϫ2 7
2 Ϫ7 3

Ϫ2 ᎏ15ᎏ1 ᎏ35ᎏ8
Respuesta z ϭ 2, x ϭ 2y Ϫ 1, ΄ ͉Ϫᎏ51ᎏR211Ϫᎏ15ᎏ ΅ ΄ ͉ ΅9 R1 Ϫ R2 1 0ᎏ75ᎏ
y es arbitraria. ⎯⎯⎯→ 0 1 R3 Ϫ 5R2 0 1 Ϫᎏ15ᎏ ᎏ57ᎏ
9 0 00
0 5 Ϫ1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 2

☛ 18. Reduzca la matriz Las primeras dos columnas están en la forma deseada de una matriz identidad. Sin
embargo, no pudimos poner un 1 en la tercera columna y tercer renglón sin alterar
aumentada del sistema aquellas dos columnas, de modo que la reducción no puede continuarse aún más.
2x Ϫ 4y ϩ 3z ϭ 4 Examinamos la ecuación representada por el tercer renglón.
Ϫ3x ϩ 2y Ϫ z ϭ 0
5x Ϫ 6y ϩ 4z ϭ 3 0x ϩ 0y ϩ 0z ϭ 2, o 0 ϭ 2
y de aquí demuestre que el sistema
Es claro que esta ecuación es absurda. Así que, el sistema no tiene ninguna solución,
es inconsistente. esto es, no existen valores de x, y y z que satisfagan las tres ecuaciones del sistema.

☛ 18

Respuesta La forma reducida es En general, un sistema no tendrá ninguna solución si se obtiene un renglón en
que todos los elementos sean cero excepto el último.
΄ ͉ ΅1 0 Ϫᎏ41ᎏϪ1
0 1 Ϫᎏ78ᎏ Ϫᎏ23ᎏ Hemos visto tres posibilidades para la solución de un sistema. Puede tener una
solución única, un número infinito de soluciones o ninguna solución. Se dice que un
0 0 Ϫ0 Ϫ1 sistema es consistente si tiene al menos una solución, o que es inconsistente si no
tiene ninguna. El sistema del ejemplo 3 es inconsistente; pero los ejemplos 1 y 2 (así
como todos los ejemplos de la sección 8-3) son sistemas consistentes.

SECCIÓN 8-4 SISTEMAS SINGULARES 345

Es claro por los ejemplos de esta sección que el procedimiento de reducción por ren-
glones esbozado en la sección 8-3 no es lo bastante general para cubrir todos los ca-
sos. No siempre podemos reducir la matriz aumentada a la forma I͉C. Más general-
mente, podemos reducirla a una forma que posea las siguientes propiedades:

1. El primer elemento distinto de cero en cada renglón es 1.

2. En la columna en que un primer 1 aparece, todos los demás elementos son 0.

3. El primer elemento distinto de cero en cualquier renglón está a la derecha del
primer elemento distinto de cero de cada renglón anterior.

4. Cualesquiera renglones que consten por completo de ceros están por debajo
de los renglones que tienen elementos distintos de cero.

☛ 19. En la prueba de unicidad, La matriz aumentada de cualquier sistema lineal puede reducirse por medio
de las operaciones entre renglones a una forma que satisfaga estas condiciones. (El
la posibilidad que k Ͼ n no está número de ecuaciones puede ser mayor o menor que el número de variables). Con
incluida. ¿Puede ver por qué esto la forma reducida final, es fácil examinar la consistencia y unicidad de la solución.
nunca puede suceder?
(Sugerencia: Vea la propiedad 3 PRUEBA DE CONSISTENCIA Si la forma reducida final contiene un renglón en
de la forma reducida). el cual sólo la última entrada es distinta de cero, entonces el sistema es inconsisten-
te. De otra manera, es consistente.
☛ 20. ¿Los sistemas siguientes
PRUEBA DE UNICIDAD Supongamos que el sistema es consistente. En la forma
son consistentes? Si es así, ¿la reducida final, sea k el número de renglones en los cuales hay entradas distintas de
solución es única? cero (k se llama el rango por renglón de la matriz de coeficientes A). Sea n el núme-
a) x Ϫ 2y ϭ 4, y ϭ ᎏ21ᎏx ϩ 2 ro de variables. Entonces:
b) x Ϫ 4y ϩ 3z ϭ 4,
Ϫ x ϩ 2y Ϫ z ϭ Ϫ2, y Ϫ z ϭ Ϫ1 Si k ϭ n el sistema tiene sólo una solución.
c) 2x Ϫ y ϩ 3z Ϫ 4w ϭ 4, Si k Ͻ n el sistema tiene un número infinito de soluciones. ☛ 19, 20
Ϫ x Ϫ z ϩ 2w ϭ 0,
x ϩ 2y Ϫ 2w ϭ Ϫ3, Estas pruebas son muy fáciles de aplicar una vez obtenida la forma reducida.
Ϫ2x Ϫ y Ϫ 2z ϩ 4w ϭ Ϫ1 Si en un sistema el número de ecuaciones es menor que el número de varia-
bles, el sistema siempre tendrá más de una solución, con tal de que no sea inconsis-
tente. Usaremos el método de los ejemplos 1 y 2 anteriores, y trataremos de obtener
una matriz identidad en las columnas correspondientes a algunas de las variables.
Esto nos da la solución de las variables correspondientes en términos de las otras. El
ejemplo 4 ilustra lo anterior.

Respuesta a) Inconsistente; EJEMPLO 4 Resuelva el sistema siguiente:
b) consistente, un número infinito
de soluciones; c) consistente, un 3x Ϫ 2y ϩ 4z ϩ 3w ϭ Ϫ2
número infinito de soluciones. 3x ϩ 3y Ϫ 3z ϩ 2w ϭ Ϫ12

346 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES