Mathematical process

กระบวนการคดิ ทางคณติ ศาสตร์

Mathematical Process
รหสั วชิ า ๔๐๐-๑๑-๐๒

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์
คณะวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยีราชมงคลสวุ รรณภมู ิ



คำนำ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชา กระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ รหัสวิชา 400-11-02 จัดทาขึ้นเพ่ือใช้ในการเรียน
การสอน สาหรับนักศึกษาระดับปรญิ ญาตรี มหาวทิ ยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลสุวรรณภูมิ ตรงตามรายละเอียดของ
รายวิชาและคาอธบิ ายรายวิชา

เอกสารประกอบการสอนฉบับนี้ ประกอบด้วยเน้ือหา 5 บท กล่าวคือ กระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์และการให้
เหตุผล การเปรียบเทียบหน่วยวัด สถิติเบื้องต้น การประยุกต์คณิตศาสตร์และสถิติเพ่ือการตัดสินใจ การคาดการณ์และการ
แกป้ ญั หาในชีวิตประจาวนั

ผู้จัดทาหวังเป็นอยา่ งยง่ิ ว่าเอกสารประกอบการสอนเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนรู้ของผู้เรียนเป็น
อยา่ งดี สามารถนาความรู้ทไี่ ด้ไปใชใ้ หเ้ กดิ ประโยชน์สูงสดุ หากมีข้อบกพร่องหรือผิดพลาดในการจัดพิมพ์เอกสาร
ผู้จัดทาต้องขออภัยมา ณ ท่ีนี้ และหากมีส่ิงใดท่ีเป็นข้อเสนอแนะเพ่ือการพัฒนาและปรับปรุงเอกสาร
ประกอบการสอนให้สมบูรณย์ ่งิ ข้ึน ผู้จัดทากข็ อน้อมรับดว้ ยความยนิ ดแี ละเป็นพระคุณยง่ิ

คณะผจู้ ดั ทา

สารบัญ หนา้

เรอ่ื ง 1
2
บทท่ี 1 กระบวนการคดิ ทางคณติ ศาสตร์และการใหเ้ หตผุ ล
1.1 กระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ 18
1.2 การให้เหตผุ ลเชิงคณติ ศาสตร์ 25

บทที่ 2 การเปรยี บเทยี บหน่วยวัด 35
2.1 มาตรวดั 50
2.2 พนื้ ทแี่ ละปริมาตร
55
บทที่ 3 สถิตเิ บื้องตน้ 84
3.1 สถติ ขิ น้ั ตน้
3.2 การเลือกตัวอยา่ ง 100
101
บทท่ี 4 การประยุกต์คณติ ศาสตร์และสถิตเิ พื่อการตัดสินใจ
4.1 การประยุกตท์ างคณิตศาสตร์เพอื่ การตัดสินใจ
4.2 ตัวแบบการตดั สนิ ใจ

บทท่ี 5 การคาดการณแ์ ละการแกป้ ัญหาในชีวิตประจาวนั
5.1 การคาดการณ์และการแกป้ ญั หาเก่ยี วกับระยะทางท่สี ั้นทสี่ ุด
5.2 การคาดการณแ์ ละการแกป้ ัญหาเกีย่ วกับการเงินและดอกเบย้ี

บรรณานุกรม

1

บทท่ี 1
กระบวนการคดิ ทางคณิตศาสตร์และการให้เหตุผล

1. กระบวนการคิดทางคณติ ศาสตร์
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความสามารถที่จะนาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่างๆ

เพื่อให้ได้มาซึ่งความรู้และประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้อย่างมีประสิทธิภาพ เน้นท่ีทักษะและกระบวนการทาง
คณติ ศาสตร์ คือ การแก้ปัญหา การเช่ือมโยงคณิตศาสตร์กับคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น การแสดงเหตุผล
การนาเสนอและการสือ่ สาร ความคิดสรา้ งสรรค์

1. ทักษะและกระบวนการแก้ปัญหา เปน็ กระบวนการท่ผี ู้เรียนควรจะรู้ ฝึกฝน และการพฒั นาให้เกิดทักษะข้ึน
ในตัวนักเรียนปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง สถานการณ์ที่เก่ียวกับคณิตศาสตร์ซ่ึงเผชิญอยู่และต้องการค้นหา
คาตอบโดยทีย่ ังไม่รู้วิธกี ารหรือขัน้ ตอนท่จี ะได้คาตอบของสถานการณน์ ั้นในทนั ที

การแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ หมายถงึ กระบวนการในการประยุกต์ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ข้นั ตอน/
กระบวนการแก้ปัญหา ยุทธวธิ ีแก้ปญั หาและประสบการณ์ทม่ี ีอยไู่ ปใช้ในการหาคาตอบของปัญหาทางคณิตศาสตร์

รูปแบบกระบวนการแก้ปญั หา
ขัน้ ที่ 1 ขั้นทาความเขา้ ใจปัญหาเปน็ การคดิ เกี่ยวกับปัญหาและตัดสินว่าอะไรที่ต้องการค้นหา โดยผู้เรียนต้อง

ทาความเขา้ ใจปญั หาและระบสุ ่วนที่สาคญั ของปัญหา
ขน้ั ที่ 2 ข้นั วางแผนแก้ปญั หา เปน็ การคน้ หาความเชื่อมโยงหรือความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลและตัวไม่รู้ค่า นา

ความสมั พันธ์ทไ่ี ด้มาผสมผสานกบั ประสบการณ์ กาหนดแนวทางหรือแผนในการแก้ปัญหา
ขั้นท่ี 3 ข้ันดาเนินการตามแผน เป็นการลงมือปฏิบัติตามแผนหรือแนวทางที่วางไว้ อาจตรวจสอบความ

เปน็ ไปได้ของแผน เพม่ิ เติมรายละเอยี ด แล้วลงมอื ปฏิบตั จิ นไดค้ วามสาเรจ็ ถ้าไม่สาเร็จต้องค้นหาและทาการแก้ปัญหา
จนสามารถแกป้ ญั หาได้

ขน้ั ที่ 4 ขน้ั ตรวจสอบผล เปน็ การมองย้อนกลับไปยังคาตอบที่ได้มา เรม่ิ จากการตรวจสอบความถูกต้อง ความ
สมเหตสุ มผลของคาตอบและยุทธวิธแี ก้ปญั หาท่ใี ช้ มคี าตอบหรือยทุ ธวิธีอนื่ ในการแกป้ ญั หานอี้ กี หรือไม่

2. ทักษะและกระบวนการ การให้เหตุผล หมายถึง กระบวนการการคิดทางคณิตศาสตร์ที่ต้องอาศัยการคิด
วิเคราะหแ์ ละ/หรือ ความคิดรเิ ริม่ สรา้ งสรรค์ในการรวบรวมขอ้ เท็จจริง/ขอ้ ความ/แนวคิด/สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์
ต่างๆ แจกแจงความสมั พันธ์หรือการเชื่อมโยงเพ่ือทาใหเ้ กดิ ข้อเทจ็ จริงหรือสถานการณใ์ หม่

รปู แบบการใหเ้ หตผุ ล
1. การให้เหตุผลแบบสหัชญาณ เปน็ การให้เหตผุ ลที่มาจากการใชค้ วามร้ทู ีม่ ีมาแตก่ าเนิดหรือสามัญสานกึ
2. การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลท่ีมาจากกระบวนการท่ีใช้การสังเกตหรือการทดลองหลายๆ
คร้ัง แล้วรวบรวมข้อมูลเพื่อหาแบบรูปที่จะนาไปสู่ข้อสรุปซ่ึงเชื่อว่า น่าจะถูกต้อง น่าจะเป็นจริง เรียกข้อสรุปที่ได้ว่า
ขอ้ ความคาดการณ์
3. การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุผลท่ีมาจากกระบวนการท่ียกเอาส่ิงท่ีรู้ว่าเป็นจริงหรือยอมรับว่า
เป็นจริงโดยไมต่ ้องพิสจู นแ์ ลว้ ใช้เหตผุ ลทางตรรกศาสตร์ อ้างจากสิ่งที่รู้ว่าเป็นจริงนั้นไปสู่ข้อสรุปหรือผลสรุปท่ีเพิ่มเติม
ข้นึ มาใหม่

3.ทักษะการสื่อสาร และการนาเสนอ เป็น กระบวนการถ่ายทอดข่าวสารจากผู้ส่งสารไปยังผู้รับสารโดย
นาเสนอ ผา่ นช่องทางการส่ือสารต่าง ๆ ไดแ้ ก่ การฟงั การพดู การอ่าน การเขียน การดู การแสดงท่าทาง โดยมีการใช้
สัญลักษณ์ ตัวแปร ตาราง กราฟ สมการ อสมการ ฟังก์ชันและแบบจาลอง ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์มาช่วยในการส่ือ
ความหมาย

2

4.ทักษะและกระบวนการ การเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ เป็น กระบวนการท่ีต้องอาศัยการคิด วิเคราะห์และ
ความคิดสร้างสรรค์ ในการนาความรู้ เนื้อหาสาระและหลักการทางคณิตศาสตร์มาสร้างความสัมพันธ์อย่างเป็นเหตุ
เป็นผลระหว่างความรู้และทักษะ/กระบวนการที่มีเน้ือหาคณิตศาสตร์กับงานท่ีเกี่ยวข้องเพ่ือนาไปสู่การแก้ปัญหาและ
การเรียนรูแ้ นวคดิ ใหมท่ ซี่ บั ซอ้ นหรอื สมบรู ณ์ขน้ึ

รูปแบบการเชื่อมโยงทางคณติ ศาสตร์
1.การเช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ เป็น การนาความรู้และทักษะกระบวนการต่าง ๆ ทาง
คณติ ศาสตรไ์ ปสัมพันธก์ ันอย่างเป็นเหตุเป็นผลทาใหส้ ามารถแก้ปัญหาได้หลากหลายวิธีหรือกะทัดรัดขึ้นและทาให้การ
เรยี นการสอนคณติ ศาสตรม์ ีความหมายข้ึน
2. การเช่ือมโยงคณติ ศาสตร์กับศาสตร์อน่ื เป็น การนาความรู้และทักษะกระบวนการต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์
ไปสัมพันธ์กันอย่างเป็นเหตุเป็นผลกับเนื้อหาและความรู้ของศาสตร์อ่ืน ๆ เช่น วิทยาศาสตร์ ดาราศาสตร์
เศรษฐศาสตร์ ทาให้การเรียนการสอนคณิตศาสตร์น่าสนใจ มีความหมายและนักเรียนเห็นความสาคัญในการเรียน
คณติ ศาสตร์
5. ความคิดรเิ ร่ิมสรา้ งสรรค์ เป็น กระบวนการคิดที่อาศัยความรู้พื้นฐาน จินตนาการและวิจารณญาณ ในการ
พัฒนาหรือคิดค้นองค์ความรู้หรือส่ิงประดิษฐ์ใหม่ ๆ ที่มีคุณค่าและเป็นประโยชน์ต่อตนเองและสังคม ความคิดริเร่ิม
สร้างสรรค์มีหลายระดับ ต้ังแต่ระดับพื้นฐานท่ีสูงกว่าความคิดพ้ืนๆ เพียงเล็กน้อย ไปจนกระทั่งเป็นความคิดท่ีอยู่ใน
ระดับสูงมาก องค์ประกอบของความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ความคิดคล่อง ความคิดยืดหยุ่น ความคิดริเริ่ม ความคิด
ละเอยี ดลออ

2. การให้เหตุผล
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ คือ กระบวนการคิดของมนุษย์ และส่ือความหมายกับผู้อื่นด้วยภาษา ซึ่ง

ประกอบด้วยข้อความ หรือประโยคกลุ่มหนึ่งท่ียกขึ้นมาเพ่ือสนับสนุนให้ได้ข้อความ หรือประโยคตามมา มักจะแสดง
ในส่วนของ เหตุ เราเรียกข้อความกลุ่มแรกนี้ว่า ข้ออ้างและข้อความอีกชุดหน่ึงท่ีแสดงในส่วนของ ผล จะถูกเรียกว่า
ขอ้ สรุป (Conclusion)

ในสมยั โบราณวิชาคณิตสตร์เกิดข้ึนมาโดยธรรมชาติการแก้ปัญหาของมนุษย์เป็นการคิดค้นและพยายามที่จะ
แก้ปัญหาน้ัน ๆ เพื่อความอยู่รอดซึ่งความรู้ที่ได้มาจากความเป็นจริงในธรรมชาติ แนวทางการพัฒนาของวิชาคณิต
ศาตร์ในสมัยน้ัน จะเน้นวิธีการแก้ปัญหาเพียง เพื่อต้องการท่ีจะได้คาตอบก้พอโดยไม่คานึงถึงความสัมพันธ์ใด ๆ
ปัญหาท่ีเกดิ ขนึ้ ในสมัยก่อนสว่ นใหญจ่ ะเกย่ี วขอ้ งกบั จานวนนับหรือจานวนธรรมชาติและเกี่ยวข้องกับความยาว มนุษย์
จึงเรมิ่ ร้จู กั การใช้สัญลกั ษณ์แทนจานวนรู้จักการคานวณต่าง ๆ และสามารถใช้เรขาคณิตในการวัดระยะทาง ความสูง
มมุ ตา่ ง ๆ เพ่อื สร้างท่ีอยอู่ าศัย เข่ือน และอ่างเก็บน้าต่างๆ ในสมัยต่อมา มนุษย์ได้อาศัยกระบวนการให้เหตุผลมาช่วย
ในการแสวงหาความรู้ใหม่นักคณิตสาสตร์เริ่มหันมาให้ความสนใจต่อการให้เหตุผลในแต่ละขั้นตอนของวิธีการ
แก้ปัญหามากยิ่งขึ้น ทาให้การพัฒนาระบบวิชาคณิตศาสตร์เป็นไปโดยไม่ขึ้นอยู่กับธรรมชาติมาก นักเมื่อนัก
คณติ ศาสตรม์ ีความสนใจในการใหเ้ หตผุ ลในแต่ละขั้นตอนสาหรับวิธีการแก้ปัญหานั้นๆ ทาให้เกิดการแสดงเหตุผลโดย
เป็นกระบวนการของเหตุและผลข้ึนการแสดงเหตุผลจึงเป็นการเรียบเรียงข้อความหรือเหตุการณ์ต่าง ๆ ให้มีความ
ต่อเนื่องและสมั พนั ธ์กัน ซ่ึงทาใหไ้ ด้ข้อความใหมห่ รอื เหตกุ ารณ์ใหม่ โดยเชื่อได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ดงั นน้ั กระบวนการใหเ้ หตผุ ลจึงไมจ่ าเปน็ ตอ้ งมรี ากฐานทเี่ ป็นจริงในธรรมชาติหรือเป็นจริงในชีวิต ทาให้เกิด
ความเช่ือที่เป็นอิสระวิชาคณิตศาสตร์จึงมีความเจริญก้าวหน้าในแบบนามธรรมย่ิงขึ้นการให้เหตุผลเป็นการนาเอา
ข้อความหรือเหตุการณต์ ง้ั แตห่ นงึ่ ข้อความ หรือหลายขอ้ ความมาเป็นเหตุและมีข้อความท่ีสัมพันธ์กับข้อความเหล่าน้ัน
หนึง่ ขอ้ ความมาเป็น ข้อสรุป

โดยทว่ั ไป กระบวนการใหเ้ หตผุ ลแบ่งออกได้ 2 วธิ ี คือ

3

1. การให้เหตุผลแบบอุปนยั (Inductive Reasoning)
2. การใหเ้ หตผุ ลแบบนริ นัย (Deductive Reasoning)

1. การใหเ้ หตุผลแบบอปุ นัย (Inductive Reasoning)
การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เกิดจากการท่ีมีสมมติฐานกรณีเฉพาะ หรือเหตุย่อย

หลายๆ เหตุ เหตุย่อยแต่ละเหตุเป็นอิสระจากกัน มีความสาคัญเท่าๆ กัน และเหตุท้ังหลายเหล่านี้ไม่มีเหตุใดเหตุหนึ่ง
แสดงใหเ้ ห็นถงึ ความเปน็ สมมตฐิ านกรณที ัว่ ไป หรอื กลา่ วได้ว่า การให้เหตุผลแบบอปุ นยั คอื การนาเหตยุ ่อยๆ แต่ละเหตุ
มารวมกัน เพือ่ นาไปสู่ผลสรปุ เป็นกรณีทัว่ ไป เชน่ ตัวอยา่ งการใหเ้ หตุผลแบบอุปนัย

1. สุนทรี พบว่า ทุกคร้ังที่คุณแม่ไปซื้อก๋วยเต๋ียวผัดไทยจะมีต้นกุ๊ยช่ายมาด้วยทุกครั้ง จึงสรุปว่า ก๋วยเต๋ียวผัด
ไทยต้องมตี ้นกยุ๊ ชา่ ย

2. ชาวสวนมะมว่ งสังเกตมาหลายปีพบว่า ถ้าปีใดมีหมอกมาก ปีนั้นจะได้ผลผลิตน้อย เขาจึงสรุปว่าหมอกเป็น
สาเหตุท่ีทาใหผ้ ลผลิตน้อย ต่อมามชี าวสวนหลายคนทดลองฉดี น้าล้างช่อมะม่วง เม่ือมีหมอกมากๆ พบว่าจะได้ผลผลิต
มากข้นึ จงึ สรุปว่า การลา้ งช่อมะม่วงตอนมหี มอกมากๆ จะทาให้ไดผ้ ลผลติ มากข้นึ

3.นายสมบัติ พบว่า ทุกครั้งที่ทาความดีจะมีความสบายใจ จึงสรุปผลว่า การทาความดีจะทาให้เกิดความ
สบายใจ การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปจากเหตุหลาย ๆ เหตุโดยถือหลักความจริงของเหตุ
จากส่วนยอ่ ยหรอื สว่ นเฉพาะไปสู่การสรุปความจริงที่เป็นส่วนใหญ่ หรือส่วนร่วมโดยท่ีเหตุผลลักษณะน้ีจะประกอบไป
ด้วย ข้อความ 2 กลมุ่ คือ ข้อความที่เป็นส่วนของเหตุและข้อความท่ีเป็นข้อสรุป โดยกลุ่มของข้อความที่เป็นเหตุจะทา
ใหเ้ กดิ ขอ้ สรปุ ของข้อความในกลุ่มหลงั เราสามารถกลา่ วได้ว่าการให้เหตุผลแบบอุปนัยมีลักษณะการนาความรู้ท่ีได้จาก
การตัดสินใจจากประสบการณ์หลาย ๆครงั้ การสังเกต หรอื การทดลองหลาย ๆ ครงั้ มาเปน็ เหตยุ ่อยหรือสมมติฐานต่าง
ๆ แล้วนามาสรุปเป็นคุณสมบัติของส่วนรวมทั้งหมดเป็นข้อความหรือความรู้ท่ัวไปซึ่งจะครอบคลุมไปถึงสิ่งที่ยังไม่มี
ประสบการณ์หรอื ยงั ไมไ่ ด้กลา่ วอีกดว้ ย

ขอ้ จากัดของการให้เหตุผลแบบอุปนัย

1. ข้อสรปุ ท่ีไดจ้ ากการใหเ้ หตผุ ลแบบอุปนัยทีย่ อมรบั วา่ เปน็ จรงิ นั้นอาจจะเกดิ ข้อขดั แย้งกบั ขอ้ ความทเ่ี ปน็
เหตเุ รายังไม่ไดอ้ า้ งไว้ก่อนเพราะข้อความทีเ่ ปน็ เหตุยงั มีอย่อู ีกมากมีจานวนไม่จากดั

2. จากการสงั เกตขอ้ เท็จจริงจากเหตหุ รอื สมมุติฐานในเหตุการณ์หรอื ตัวอยา่ งท่หี ามา แลว้ นามาสรปุ เปน็ การ
วางนัยทว่ั ไปอาจจะไม่ใชข่ ้อสรุปท่ีถูกต้องก็ได้เพราะอาจมีตัวอย่างที่ไม่เป็นไปตามข้อสรุปที่ได้มาใหม่แน่นอนกว่าทาให้
ข้อสรุปนนั้ ผิดไป

3. ขอ้ สรุปทม่ี าจากการให้เหตุผลแบบอุปนัย เปน็ การวางนัยท่ัวไปซึง่ ไมไ่ ดใ้ ห้ความจรงิ กบั เราไดร้ อ้ ย
เปอร์เซน็ ตข์ ้อสรุปน้อี าจจะถกู ตอ้ งหรือผิดกไ็ ด้และเปน็ เพยี งข้อสรุปที่มีความจรงิ วา่ จะเปน็ ส่งิ ทีจ่ ะถกู ต้องเท่านั้น

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

ตัวอยา่ งที่ 1 ในการศกึ ษาลักษณะของสงิ่ มีชวี ติ ดงั ตอ่ ไปน้ี

เหตุ 1. คนทกุ คนต้องหายใจ
2. นกทุกตัวต้องหายใจ
3. แมวทุกตัวตอ้ งหายใจ
4. เตา่ ทุกตวั ต้องหายใจ

4

5. เสอื ทกุ ตัวต้องหายใจ
ผลสรุป สัตว์ทกุ ชนิดต้องหายใจ

ตวั อย่างท่ี 2 จากการสังเกตต่อไปน้ี

เหตุ 1.สมชายเป็นไขห้ วัดใหญถ่ า้ กนิ ฟา้ ทะลายโจร แล้วจะหายจากการเปน็ ไขห้ วดั ใหญ่
2.สมหมายเปน็ ไข้หวัดใหญถ่ ้ากินฟ้าทะลายโจร แลว้ จะหายจากการเปน็ ไขห้ วัดใหญ่
3.สมปองเปน็ ไข้หวดั ใหญถ่ า้ กนิ ฟ้าทะลายโจร แลว้ จะหายจากการเปน็ ไข้หวดั ใหญ่
4.สมหวังเป็นไข้หวดั ใหญ่ถา้ กินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไขห้ วัดใหญ่

ผลสรุป คนทกุ คนที่เปน็ ไขห้ วัดใหญ่ถา้ กินฟา้ ทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวดั ใหญ่

ตัวอยา่ งที่ 3 ในการทดลองชมิ สม้ ในตะกรา้ ของพ่อคา้

เหตุ 1.ลกู ที่ 1 รสชาตหิ วาน
2.ลูกที่ 2 รสชาติหวาน
3.ลกู ท่ี 3 รสชาตหิ วาน

ผลสรุป ส้มที่อยู่ในตะกร้า เป็นสม้ ทีม่ รี สหวาน

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอปุ นัยทางคณิตศาสตร์

จงใช้การใหเ้ หตผุ ลแบบอปุ นัยสรปุ ผลเกีย่ วกบั ผลบวกของจานวนคู่สองจานวน
0 +2 = 2 (จานวนคู)่
2+4 = 6 (จานวนค)ู่
4+6 = 10 (จานวนค)ู่
6+8 = 14 (จานวนคู่)
8+10 = 18 (จานวนคู่)

สรุปผลวา่ ผลบวกของจานวนคูส่ องจานวนเป็นจานวนคู่

ขอ้ สังเกตและปญั หาของการใหเ้ หตุผลแบบอุปนัย

1. การสรุปผลที่ได้จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้ง ผลสรุปดังกล่าวอาจจะไม่เป็นจริงเสมอไป
เชน่ จากการพบไข่มุกหลาย ๆ ครั้ง ปรากฏว่าไข่มุกท่ีพบน้ันมีสีขาว จึงสรุปว่าไข่มุกมีสีขาว ซ่ึงการสรุปผลน้ีไม่เป็นจริง
เพรามไี ขม่ ุกบางชนิดมสี ีชมพูหรือสเี ทา

2. การสรุปผลโดยการใหเ้ หตผุ ลแบบอปุ นยั น้นั บางครั้งผลสรุปของแต่ละคนอาจจะไม่เหมือนกัน เพราะผลท่ี
ได้จากการสังเกตต้องข้ึนกับพื้นฐานและประสบการณ์ของผู้สังเกตแต่ละคน เช่น จงพิจารณาการเรียง ลาดับจานวน
ตอ่ ไปน้ี

2, 4, 6, … จงหาจานวนทเี่ รียงตอ่ จาก 6 มา 2 จานวน
คนทห่ี นง่ึ สงั เกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่าเป็นการเรียงของจานวนคู่ ดังนั้น อกี 2 จานวนถัดไปคือ 8, 10
คนทสี่ อง สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 วา่ สองจานวนหน้าบวกกนั จะไดจ้ านวนถดั ไป เช่น 6 ไดม้ าจาก 2+4

แสดงวา่ จานวนทถี่ ดั จาก 6 ไป คอื 4+6 = 10
แสดงว่า จานวนทถี่ ดั จาก 10 ไป คือ 6+10 = 16

5

ดังนนั้ อีก 2 จานวนถดั ไป คอื 10, 16
คนทส่ี าม สงั เกตการเรียงของ 2, 4, 6 วา่ จานวนถดั ไปต้องเกิดจาก 2 จานวนหนา้ คูณกันแล้วลบดว้ ย 2

เชน่ 6 เกิดจาก 2 x 4 - 2
แสดงว่า จานวนทีถ่ ดั จาก 6 ไป คอื 4 x 6 - 2 = 22
แสดงวา่ จานวนท่ถี ดั จาก 22 ไป คอื 6 x 22 -2 = 130
ดังน้นั อกี 2 จานวนถัดไป คอื 22, 130

3. ขอ้ มูล หลักฐานหรือข้อเทจ็ จรงิ เป็นตัวแทนที่ดีในการให้ข้อสรุปหรือไม่ เช่น ถ้าอยากรู้ว่าคนไทยชอบ
กินข้าวเจ้าหรือข้าวเหนียวมากกว่ากัน ถ้าถามจากคนท่ีอาศัยอยู่ในภาคเหนือหรือภาคอีสาน คาตอบที่ตอบว่าชอบกิน
ข้าวเหนียวอาจจะมีมากกว่าชอบกินข้างเจ้า แต่ถ้าถามคนที่อาศัยอยู่ในภาคกลางหรือภาคใต้ คาตอบอาจจะเป็นใน
ลกั ษณะตรงขา้ ม

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปผลจากข้ อความซึ่งเป็นความจริงท่ัวไปมาเป็น

ข้ออ้างเพ่อื สนบั สนุนใหเ้ กิดข้อสรุปที่เป็นความรใู้ หมท่ เ่ี ป็นข้อสรุปส่วนย่อยข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบนิรนัยน้ัน
จะเป็นข้อสรุปที่อยู่ในขอบเขตของเหตุเท่าน้ันจะเป็นข้อสรุปที่กว้างหรือเกินกว่าเหตุไม่ได้การให้เหตุผลแบบนิรนัย
ประกอบดว้ ยขอ้ ความ2กลมุ่ โดยขอ้ ความกลุ่มแรกเป็นขอ้ ความท่ีเป็นเหตุ เหตุอาจมหี ลาย ๆเหตุ หลาย ๆข้อความ และ
ขอ้ ความกลุม่ ท่สี องจะเปน็ ขอ้ สรุป ขอ้ ความในกลุม่ แรกและกลุม่ ทส่ี องจะต้องมีความสมั พันธ์กัน

ข้อจากัดของการให้เหตผุ ลแบบนิรนัย

1.การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการให้เหตุผลที่มีขนาดใหญ่ซึ่งกาหนด เป็นการวางนัยท่ัวไปและมีเหตุรองเป็น
เหตุการณ์เฉพาะเพื่อนาไปสู่ข้อสรุป ดังนั้นเหตุจะเป็นข้อความหรือสมมุติฐานฐานใด ๆ ท่ีอาจเป็นจริงหรือไม่จริงใน
ชวี ิตประจาวันกไ็ ด้ แต่ถ้าขอ้ ความน้ันไม่จริงก็จะทาให้เกิดข้อเสียหายแก่ข้อสรุป เนื่องจากเหตุผลแบบนิรนัยจะสรุปผล
ในขอบเขตของเหตทุ ก่ี าหนดไวเ้ ท่าน้นั

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัยไม่สามารถสรุปผลตามท่ีคาดหวังไว้ได้ต้องสรุปให้เป็นไปตามเหตุการณ์ต่าง ๆท่ี
กาหนดไว้เทา่ น้ัน ดงั เชน่

เหตุ 1. นกทกุ ชนดิ บนิ ได้
2. เพนกวนิ เป็นนกชนดิ หนึ่ง

ผลสรุป นกเพนกวนิ บนิ ได้

3.เมอื่ เราใช้วิธีการให้เหตุผลแบบนิรนัยเพียงอย่างเดียวจะทาให้วิทยาการต่าง ๆก้าวหน้าได้อย่างช้ามากหรือไม่
ก้าวหนา้ เลยเพราะวา่ ความรทู้ ว่ั ไปท่จี ะมาเปน็ การวางนยั ท่ัวไปจะใช้เวลาที่ยาวนานมากเพราะเป็นความรู้ท่ีถูกต้องจาก
ผรู้ ูใ้ นสมัยก่อนๆ ซ่ึงมีอยู่ไม่มากนักการใช้ความรู้ท่ีมีอยู่แบบเดิมมาใช้โดยไม่ก่อให้เกิดความรู้ใหม่เพิ่มเติมน้ันจะเป็นผล
ให้ไม่เกิดความก้าวหนา้ ทางวทิ ยาการหรือกา้ วหนา้ ได้อย่างช้ามาก

ตวั อยา่ งการให้เหตุผลแบบนริ นัย

ตัวอย่างที่ 4 เหตุ 1. สตั ว์ทกุ ชนดิ ตอ้ งตาย
2. มนุษยเ์ ปน็ สตั ว์
3. ดาเปน็ มนษุ ย์

ผลสรปุ ดาต้องตาย

6

ตัวอยา่ งที่ 5 เหตุ 1. จานวนท่หี ารดว้ ย 2 ไมล่ งตัว เรยี กวา่ จานวนค่ี
2. X เป็นจานวนที่หารด้วย 2 ลงตวั

ผลสรปุ x ไมเ่ ป็นจานวนคี่

ตวั อย่างท่ี 6 เหตุ 1. เด็กทข่ี าดสารไอโอดนี ทุกคนเปน็ โรคคอพอก
2. เด็กทอี่ ยใู่ นทอ้ งถิ่นทห่ี ่างไกลจากทะเลทุกคนขาดสารไอโอดนี
3. หมู่บ้าน ก อยหู่ ่างไกลจากทะเล
4. เดก็ ชายต้น อยู่ในหมบู่ า้ น ก

ผลสรปุ เด็กชายตน้ เปน็ โรคคอพอก

ตัวอยา่ งที่ 7 เหตุ 1. รปู สามเหล่ียมหนา้ จ่วั เป็นรปู สามเหลยี่ มที่มีมุมท่ีฐานมีขนาดเทา่ กนั 2 มุม
2. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากเปน็ รูปสามเหลยี่ มทีม่ ีขนาดเทา่ กัน 2 มุม

ผลสรปุ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ตรรกศาสตร์เปน็ วิชาแขนงหนึง่ ทมี่ กี ารศกึ ษาและพฒั นามาตงั้ แต่สมัยกรกี โบราณ คาว่า "ตรรกศาสตร์" มา
จากภาษาสันสกฤตว่า "ตรฺก" (หมายถึง การตรึกตรอง หรือความคิด) รวมกับ "ศาสตร์" (หมายถึง ระบบความรู้)
ดังน้ัน "ตรรกศาสตร์ จึงหมายถึง ระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิด" โดยความคิดท่ีว่านี้ เป็นความคิดที่
เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผล มีกฏเกณฑ์ของการใช้เหตุผลอย่างสมเหตุสมผล นักปราชญ์สมัยโบราณได้ศึกษาเก่ียวกับ
การให้เหตุผล แต่ยังเป็นการศึกษาที่ไม่เป็นระบบ จนกระท่ังมาในสมัยของอริสโตเติล ได้ทาการศึกษาและพัฒนา
ตรรกศาสตร์ให้มีระบบย่ิงข้ึน มีการจัดประเภทของการให้เหตุผลเป็นรูปแบบต่าง ๆ ซึ่งเป็นแบบฉบับของการศึกษา
ตรรกศาสตรใ์ นสมัยตอ่ มา เนื่องจากตรรกศาสตร์เป็นวิชาท่ีว่าด้วยกฏเกณฑ์ของการใช้เหตุผล จึงเป็นพ้ืนฐานสาหรับ
การศึกษาในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ปรัชญา คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ กฎหมาย เป็นต้น นอกจากน้ี ยังถูกนามาใช้ใน
ชีวติ ประจาวนั อยู่เสมอ เพียงแตร่ ูปแบบของการให้เหตุผลนั้น มักจะละไว้ในฐานที่เข้าใจ และเพ่ือเป็นความรู้พื้นฐาน
สาหรับผู้ศึกษาที่จะนาไปใช้และศึกษาต่อไป จึงจะกล่าวถึงตรรกศาสตร์และการให้เหตุผลเฉพาะส่วนท่ี จาเป็นแล ะ
สาคัญเทา่ นัน้

ประพจนแ์ ละประโยคเปดิ
พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

(1) ดวงอาทิตย์ขนึ้ ทางทศิ ตะวันออก
(2) เชียงใหม่เปน็ เมืองหลวงของประเทศไทย
(3) 0 ไมใ่ ชจ่ านวนนบั
(4) กานดามีบตุ ร 3 คน
(5) กรณุ าอยใู่ นความสงบ

จากข้อความดังกล่าวจะเหน็ วา่ ขอ้ (1) เปน็ ประโยคบอกเล่าทเ่ี ป็นจริง ข้อ (2) เป็นประโยคบอก
เล่าที่เป็นเท็จ ข้อ (3) เป็นประโยคปฏิเสธท่ีเป็นจริง ข้อ (4) เป็นประโยคบอกเล่าที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือ
เทจ็ ข้อ (5) เปน็ ข้อความทีแ่ สดงการขอร้อง บอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ เราเรียกข้อความ ข้อ (1) ข้อ (2) ข้อ (3)

7

และข้อ (4) ว่าประพจน์ ส่วนข้อ (5) ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคที่แสดงการขอร้องซึ่งบอกไม่ได้ว่าเป็นจริง

หรือเทจ็

ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏเิ สธท่ีมคี ่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างใดอย่าง

หน่ึง

ตวั อยา่ งขอ้ ความที่เปน็ ประพจน์

“3 เป็นจานวนนบั ” เปน็ ประพจนท์ ่ีมีค่าความจริงเป็นจรงิ

“นกเปน็ สัตว์เล้ียงลกู ดว้ ยนม” เป็นประพจนท์ ม่ี ีคา่ ความจริงเป็นเท็จ

“23 ไม่เท่ากับ 32” เปน็ ประพจนท์ ี่มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ

ข้อความท่ีอยู่ในรูปคาถาม คาส่ัง ขอร้อง อุทาน หรือแสดงความปรารถนาจะไม่เป็นประพจน์

เพราะไมส่ ามารถบอกคา่ ความจรงิ ไดว้ ่าเป็นจริงหรือเปน็ เท็จ เชน่

โปรดเอ้ือเฟื้อแก่เดก็ สตรี และคนชรา (ขอร้อง)

หา้ มสูบบหุ รบี่ นรถโดยสารประจาทาง (คาสง่ั )

อุ๊ย! ตกใจหมดเลย (อทุ าน)

หนึง่ บวกด้วยหนึ่งได้เท่าไร (คาถาม)

ฉนั อยากมเี งินสกั รอ้ ยลา้ น (แสดงความปรารถนา)

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

(1) เขาเป็นผ้แู ทนราษฎร

(2) x + 2 = 10

จากข้อ (1) คาว่า "เขา" เราไม่ทราบว่าหมายถึงใคร จึงไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ว่าข้อความ

น้ีเป็นจริงหรือเท็จ แต่ถ้าระบุว่า "เขา" คือ "นายชวน หลีกภัย" จะได้ข้อความ "นายชวน หลีกภัย เป็น

ผแู้ ทนราษฎร" ซง่ึ เปน็ ประพจน์ เพราะสามารถบอกคา่ ความจรงิ ไดว้ ่าข้อความนี้เปน็ จริง

จากข้อ (2) คาว่า "x" เราไม่ทราบว่า หมายถึงจานวนใด จึงยังไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ว่า

เป็นจริงหรือเท็จ แต่ถ้าระบุว่า "x = 3" จะได้ข้อความ " x + 2 = 10 เมื่อ x = 3" หรือ "3 + 2 = 10" ซ่ึง

เป็นประพจน์ เพราะสามารถบอกคา่ ความจริงได้ว่าเปน็ เท็จ

ดังน้ันจะเห็นว่าข้อความ (1) และ (2) น้ีไม่เป็นประพจน์ ท้ังนี้เน่ืองจากไม่สามารถบอกค่าความ

จริงได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ แต่เมื่อมีการระบุขอบเขตหรือความหมายของคาบางคาในข้อความว่า หมายถึงส่ิงใด

จะทาให้ข้อความนั้นกลายเป็นประพจน์ เพราะสามารถบอกค่าความจริงได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ เราเรียกข้อความ ( 1)

และ (2) ว่าประโยคเปิด และเรยี กคาว่า "เขา" หรือ "x" ว่าตวั แปร

ประโยคเปิด เป็นประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และยังไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ว่า
เปน็ จริงหรอื เปน็ เท็จ ถา้ แทนค่าตัวแปรดว้ ยคา่ ใดคา่ หนึ่งแล้ว ประโยคเปิดจะกลายเปน็ ประพจน์

จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
(1) "y > 0" เป็นประโยคทม่ี ี y เปน็ ตวั แปร
"จานวนนบั y ทกุ ตัวมีค่ามากกวา่ ศูนย"์ เป็นประพจน์ เพราะกาหนดขอบเขต
ของตัวแปร y วา่ "จานวนนับ y ทกุ ตัว" และทาให้ประพจนน์ ้ีมคี า่ ความจรงิ
เปน็ จริง
(2) "x + 3 = 1" เปน็ ประโยคเปิดทีม่ ี x เปน็ ตวั แปร
"มีจานวนเต็มบวก x บางจานวนท่ี x + 3 = 1" เปน็ ประพจน์ เพราะกาหนด
ขอบเขตของตวั แปร x วา่ "มจี านวนเตม็ บวก x บางจานวน" และทาให้ประพจน์

8

นม้ี ีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็
คาวา่ "ทกุ ตวั " ในขอ้ (1) แสดงปรมิ าณ "ท้ังหมด" ของจานวนนับ และคาวา่
"บางจานวน" ในข้อ (2) แสดงปริมาณ "บางสว่ น" ของจานวนเต็มบวก ดังนั้นคาวา่ "ทกุ "
และ "บาง" จงึ เป็นตัวบ่งปริมาณของสง่ิ ทต่ี อ้ งการพจิ ารณา
ตวั บ่งปรมิ าณในตรรกศาสตร์ มี 2 ชนิดคอื
1) ตวั บง่ ปรมิ าณ "ทั้งหมด" หมายถงึ ทกุ สงิ่ ทุกอยา่ งท่ีตอ้ งการพจิ ารณาในการนาไปใช้อาจใช้คาอื่น
ทีม่ ีความหมายเชน่ เดยี วกบั "ทั้งหมด" ได้ ได้แก่ "ทุก" "ทกุ ๆ" "แต่ละ" "ใด ๆ" ฯลฯ เชน่

คนทุกคนตอ้ งตาย
คนทกุ ๆ คนตอ้ งตาย
คนแต่ละคนตอ้ งตาย
ใคร ๆ กต็ อ้ งตาย
2) ตวั บง่ ปรมิ าณ "บาง" หมายถงึ บางสว่ นหรือบางส่ิงบางอยา่ งทตี่ ้องการพิจารณา ในการนาไปใช้
อาจใช้คาอืน่ ท่ีมคี วามหมายเช่นเดียวกันได้ ได้แก่ "บางอย่าง" "มอี ยา่ งนอ้ ยหนึง่ " เชน่
สัตวม์ ีกระดกู สนั หลังบางชนดิ ออกลูกเป็นไข่
มสี ัตวม์ กี ระดกู สันหลงั อย่างนอ้ ยหนึ่งชนดิ ทอ่ี อกลกู เป็นไข่

แบบฝกึ หัด 1.1
1. จงพิจารณาวา่ ข้อความใดเป็นประพจน์ พรอ้ มท้งั ระบคุ ่าความจริงของประพจนน์ ้นั ๆ

(1) อยา่ เดินในทีเ่ ปล่ยี ว
(2) 12 + 3 = 3 + 12
(3) เธอเป็นผูท้ ี่มีความรบั ผิดชอบสูง
(4) จงช่วยกันอนรุ ักษ์ช้างไทย
(5) 2x - 3y = 0
(6) 1 เป็นจานวนคู่
(7) y - 3 = 0 เม่อื y = 3
(8) มจี านวนเต็ม a บางจานวนท่ี a + a = a
(9) 10 < 1 + 0
(10) จินตนามาหรือยงั

หรอื เปน็ เทจ็ 2. จงพิจารณาว่าค่าของตัวแปรท่ีกาหนดไว้ในวงเล็บทาให้เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

(1) เขาเป็นรัฐบุรษุ (พลเอกเปรม ตณิ สูลานนท์)
(2) 6 - y = 13 (y = -7)
(3) x(x-1) = 0 (x = -1)
(4) A เป็นประเทศทมี่ ีพระมหากษตั รยิ ์เปน็ ประมุข (A แทน สหรัฐอเมรกิ า)
(5) a - 1 < 0 (a = 0)

9

การให้เหตผุ ลทางคณิตศาสตร์
กระบวนการให้เหตุผลเป็นกระบวนการทีน่ าข้อความ หรอื ประพจน์ท่ีกาหนดให้ ซึง่ เรียกว่า เหตุ (โดยอาจมี
มากกว่า 1 เหตุ) มาเป็นข้ออ้าง ข้อสนับสนนุ หรือแจกแจงความสัมพันธ์ เพื่อให้ไดข้ ้อความใหม่ ซึง่ เรยี กว่า ผลสรปุ
หรอื ข้อสรุป ซึง่ อาจแสดงได้ดังนี้

เหตุ 1
เหตุ 2 ผลสรุป
------

โดยทวั่ ไปกระบวนการให้เหตผุ ลมี 2 ลกั ษณะคือ
1. การให้เหตผุ ลแบบนิรนัย
2. การใหเ้ หตผุ ลแบบอุปนยั

การให้เหตผุ ลแบบนริ นัย เป็นการใหเ้ หตผุ ลโดยนาข้อความทก่ี าหนดให้ ซ่ึงตอ้ งยอมรับว่าเปน็ จรงิ ท้ังหมด
มาเป็นข้ออ้างและสนับสนุนเพอื่ สรปุ เปน็ ข้อความจริงใหม่ ข้อความที่เปน็ ขอ้ อ้างเรียกว่า เหตุ และขอ้ ความจรงิ ใหม่
ที่ไดเ้ รยี กว่า ผลสรุป หรือขอ้ สรุป ซง่ึ ถ้าพบวา่ เหตทุ ่ีกาหนดนน้ั บังคับให้เกดิ ผลสรปุ แสดงวา่ การใหเ้ หตผุ ล
ดงั กลา่ วสมเหตุสมผล แต่ถ้าพบวา่ เหตุทีก่ าหนดนัน้ บงั คบั ใหเ้ กิดผลสรุปไม่ได้ แสดงวา่ การใหเ้ หตุผลดงั กลา่ วไม่
สมเหตุสมผล

ตัวอยา่ ง 8 เหตุ 1 : คนทกุ คนตอ้ งหายใจ
2 : นายเดน่ เป็นคน

ผลสรปุ : นายเด่นต้องหายใจ
จะเหน็ ได้ว่า จากเหตุ 1 และเหตุ 2 บงั คับใหเ้ กิดผลสรุป ดงั น้ันการให้เหตผุ ลนี้
สมเหตสุ มผล

ตวั อยา่ ง 9 เหตุ 1 : คนทกุ คนต้องหายใจ
2 : ไมค์หายใจได้

ผลสรปุ : ไมคเ์ ป็นคน

จะเห็นไดว้ ่า จากเหตุ 2 ไมค์หายใจได้ และจากเหตุ 1 ระบวุ า่ คนทกุ คนต้องหายใจได้ หมายความวา่ คน
ทกุ คนเปน็ สง่ิ ท่หี ายใจได้ น่ันคือสง่ิ ทีห่ ายใจได้อาจมหี ลายสงิ่ และการท่ไี มคห์ ายใจได้ กไ็ มส่ ามารถระบไุ ด้ว่า ไมค์
จะต้องเป็นคนเสมอไป อาจเป็นสง่ิ อน่ื ท่ีไมใ่ ช่คนแตห่ ายใจได้ ก็อาจเปน็ ได้ ดงั นั้นจะเห็นว่า เหตุ 1 และเหตุ 2 บังคับ
ให้เกดิ ผลสรปุ ไม่ได้ แสดงว่า การให้เหตผุ ลนไี้ มส่ มเหตุสมผล

การใหเ้ หตุผลแบบอุปนยั เป็นการให้เหตุผลโดยอาศยั ข้อสังเกตหรือผลการทดลองจาก
หลาย ๆ ตวั อยา่ ง มาสรุปเปน็ ข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรอื คาพยากรณ์ ซึ่งจะเห็นว่าการจะนาเอาข้อสงั เกต
หรือผลการทดลองจากบางหน่วย มาสนบั สนนุ ใหไ้ ดข้ ้อตกลง หรือ ข้อความทว่ั ไปซ่ึงกนิ ความถึงทุกหนว่ ย ย่อมไม่
สมเหตสุ มผล เพราะเป็นการอนมุ านเกนิ สิง่ ที่กาหนดให้ ซง่ึ หมายความว่า การใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั จะต้องมีกฎ

10

ของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง นนั่ คือ จะต้องมีข้อสงั เกต หรือผลการทดลอง หรือ มีประสบการณท์ ่ี
มากมายพอทจี่ ะปกั ใจเช่ือได้ แต่ก็ยังไมส่ ามารถแน่ใจในผลสรปุ ไดเ้ ต็มที่ เหมือนกบั การใหเ้ หตผุ ลแบบนิรนยั ดังนั้นจึง
กลา่ วได้ว่าการใหเ้ หตผุ ลแบบนิรนยั จะให้ความแนน่ อน แต่การให้เหตผุ ลแบบอุปนัย จะใหค้ วามนา่ จะเปน็

ตวั อย่างการใหเ้ หตผุ ลแบบอุปนยั เชน่ เราเคยเห็นวา่ มปี ลาจานวนมากทอ่ี อกลูกเป็นไข่เราจึงอนมุ านว่า
"ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่" ซึง่ กรณนี ้ีถอื ว่าไมส่ มเหตุสมผล ท้งั น้เี พราะ ขอ้ สงั เกต หรือ ตัวอยา่ งท่ีพบยงั ไม่
มากพอทจ่ี ะสรปุ เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนดิ ทอ่ี อกลกู เป็นตัว เช่น ปลาหางนกยงู เปน็ ตน้

โดยท่วั ไปการให้เหตุผลแบบอปุ นยั นี้ มกั นยิ มใชใ้ นการศกึ ษาคน้ ควา้ คณุ สมบัตติ ่าง ๆ ทางด้าน
วิทยาศาสตร์ เชน่ ข้อสรุปที่วา่ สารสกัดจากสะเดาสามารถใชเ้ ป็นยากาจดั ศตั รูพชื ได้ ซ่งึ ขอ้ สรปุ ดังกลา่ วมาจากการ
ทาการทดลองซ้า ๆ กนั หลาย ๆ ครั้ง แลว้ ไดผ้ ลการทดลองท่ีตรงกนั หรือในทางคณติ ศาสตร์จะใช้การใหเ้ หตุผลแบบ
อุปนยั ในการสร้างสัจพจน์ เช่น เมื่อเราทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกนั เราก็พบวา่ เส้นตรงสองเส้นจะตัดกนั
เพยี งจดุ ๆ เดียวเท่าน้นั ไม่วา่ จะทดลองลากกี่ครัง้ กต็ าม เรากอ็ นมุ านว่า "เส้นตรงสองเสน้ ตดั กันเพียง จุด ๆ เดียว
เท่านน้ั "

แบบฝกึ หดั 1.2
1. สว่ นประกอบของข้อความทนี่ ามาใชใ้ นการใหเ้ หตุผลมกี ่ีส่วน อะไรบา้ ง
2. จงอธบิ ายลกั ษณะการให้เหตผุ ลแบบนิรนัยและอปุ นัย โดยสงั เขป
3. จงพิจารณาวา่ การให้เหตผุ ลต่อไปน้ี เป็นการใหเ้ หตผุ ลแบบนริ นัย หรอื แบบอุปนัย

(1) ขอ้ ความจรงิ ทีว่ ่า "นักศึกษาทุกคนต้องเรียนวชิ าบังคบั และนดิ าเปน็ นักศกึ ษา" ดังนั้นจึงสรปุ วา่
"นดิ าต้องเรียนวชิ าบังคบั "

(2) นายหนสู งั เกตตัวเองพบว่า ตลอดสปั ดาหท์ ่ผี ่านมาเม่ือเขาดื่มนม เขาจะมีอาการท้องเสยี ทกุ ครงั้
ดงั นน้ั เขาจึงสรปุ วา่ นมเปน็ สาเหตทุ าใหเ้ ขาทอ้ งเสยี

(3) ข้อความจริงท่ีว่า "ถ้าจติ ป่วยแล้ว จติ จะไปหาหมอ และจิตไปหาหมอ"
ดังนั้นจงึ สรุปว่า "จติ ป่วย"

(4) ในการตรวจสอบความสะอาดของน้าดมื่ บรรจุขวดย่หี อ้ หนึ่งพบว่า เม่อื สมุ่ นา้ ด่มื ยี่ห้อนมี้ า 100
ขวด แล้วนาไปตรวจสอบความสะอาด พบว่า ผ่านเกณฑ์มาตรฐานความสะอาดของน้าดื่ม ดังน้นั จึงสรุปว่า น้าด่ืม
ยห่ี ้อนีม้ คี วามสะอาดทุกขวด

การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชแ้ ผนภาพ
ในการพิจารณาความสมเหตสุ มผลกับการใหเ้ หตุผล อาจทาได้โดยใชแ้ ผนภาพ ซึ่งใช้รปู ปิด เช่น วงกลมหรือ

วงรี แทนเทอมต่าง ๆ ซงึ่ ทาหน้าที่เปน็ ประธานและภาคแสดงในประโยค ตรรกวทิ ยา แล้วเขียนรูปปดิ เหลา่ น้ันตาม
ความสมั พันธข์ องเหตุท่กี าหนดให้ จากนั้นจึงพิจารณาความสมเหตุสมผล จากแผนภาพที่ได้

แผนภาพท่ใี ช้ในการตรวจสอบความสมเหตสุ มผล มรี ูปแบบ มาตรฐาน 4 รูปแบบดังน้ี
รูปแบบที่ 1 " A ทุกตัวเป็น B"

B
A เขยี นวงกลม A และ B ซ้อนกนั โดย A อยภู่ ายใน B

สว่ นท่แี รเงาแสดงว่า “A ทุกตัวเปน็ B”

11

รปู แบบที่ 2 "A บางตัวเปน็ B"
AB

เขียนวงกลม A และ B ตัดกัน
ส่วนที่แรเงาแสดงว่า " A บางตวั เป็น B"

รปู แบบท่ี 3 " ไม่มี A ตัวใดเปน็ B "
AB

เขียนวงกลม A และ B แยกกนั
เพอ่ื แสดงวา่ " ไม่มี A ตวั ใดเป็น B"

รปู แบบท่ี 4 " A บางตัวไมเ่ ป็น B "
AB

เขียนวงกลม A และ B ตัดกนั
สว่ นทแ่ี รเงาแสดงวา่ " A บางตัวไม่เปน็ B "

วิธกี ารตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้เหตผุ ล โดยใช้แผนภาพ มหี ลักการดังนี้

1. เปล่ยี นประโยคหรือข้อความทัว่ ไปใหเ้ ป็นประโยคตรรกวิทยา เพอ่ื แยกเทอมและตัวเชื่อม

2. ใช้แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของเทอมต่าง ๆ ในเหตุ 1 และเหตุ 2 ตามรปู แบบมาตรฐาน

3. นาแผนภาพในข้อ 2 มารวมกนั หรอื ซ้อนกัน จะได้แผนภาพรวมของเหตุ 1 และ เหตุ 2 ซง่ึ

แผนภาพรวมดังกลา่ วอาจเกดิ ไดห้ ลายรูปแบบ

4. นาผลสรปุ ที่กาหนด มาวเิ คราะหค์ วามสมเหตสุ มผล โดยพิจารณาความสอดคล้องกันระหวา่ งผลสรุปกบั

แผนภาพรวม ดังนี้

ก) ถา้ ผลสรปุ ไม่สอดคล้องกบั แผนภาพรวมอยา่ งน้อย 1 รปู แบบ แสดงว่าการให้

เหตผุ ลนไี้ ม่สมเหตสุ มผล

ข) ถา้ ผลสรปุ สอดคล้องกบั แผนภาพรวมทกุ รปู แบบ แสดงว่าการใหเ้ หตผุ ลน้ีสมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 10 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลโดยใชแ้ ผนภาพ
เหตุ 1 : คนดที กุ คนไว้วางใจได้
เหตุ 2 : คนท่ไี ว้วางใจไดท้ ุกคนเปน็ คนซอ่ื สตั ย์
ผลสรุป : คนดีทุกคนเป็นคนซือ่ สตั ย์

วิธีทา
เหตุ 1 : คนดที กุ คน เป็น คนท่ีไวว้ างใจได้
เหตุ 2 : คนที่ไวว้ างใจ ได้ทกุ คน เป็น คนซ่อื สัตย์
ผลสรปุ : คนดที กุ คน เปน็ คนซ่อื สตั ย์

12

จากเหตุ 1

คนทไ่ี วว้ างใจได้
คนดี

จากเหตุ 2

คนซื่อสัตย์

คนทไ่ี ว้วางใจได้
คนดี

จากแผนภาพจะเหน็ วา่ วงของ " คนดี " อยู่ในวงของ " คนซ่ือสัตย์ " แสดงวา่ “คนดีทุกคนเปน็ คนซ่อื สัตย์”
ซง่ึ สอดคล้องกบั ผลสรปุ ที่กาหนด ดังน้ัน การให้เหตผุ ลนีส้ มเหตสุ มผล

ตัวอยา่ ง 11 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลตอ่ ไปนี้ โดยใชแ้ ผนภาพ
เหตุ 1 : ชาวภูเกต็ เป็นคนไทย
เหตุ 2 : ชาวใต้เป็นคนไทย
ผลสรปุ : ชาวภูเกต็ เปน็ ชาวใต้

วิธีทา
เหตุ 1 : ชาวภเู ก็ตทุกคน เป็น คนไทย
เหตุ 2 : ชาวใต้ทกุ คน เป็น คนไทย
ผลสรุป : ชาวภเู ก็ตทกุ คน เป็น ชาวใต้

จากเหตุ 1

คนไทย

ชาวภูเก็ต

จากเหตุ 2 จะไดร้ ูปแบบใดรูปแบบหนง่ึ จาก 4 รูปแบบต่อไปนี้

13

รปู แบบท่ี 1

ชาวภเู ก็ต คนไทย
ชาวใต้

รปู แบบท่ี 2 คนไทย
รปู แบบที่ 3 ชาวภูเกต็ ชาวใต้

คนไทย
ชาวใต้
ชาวภเู กต็

รปู แบบท่ี 4
คนไทย

ชาวภเู กต็
ชาวใต้

จากแผนภาพจะเห็นว่า รูปแบบที่ 1 รปู แบบที่ 2 และรปู แบบท่ี 4 น้นั ไมส่ อดคลอ้ งกบั ผลสรปุ ที่วา่ ชาว
ภูเก็ตทกุ คนเป็นชาวใต้ ดังน้ัน การให้เหตผุ ลน้ไี มส่ มเหตสุ มผล

14

ตัวอย่าง 12 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลโดยใชแ้ ผนภาพ
เหตุ 1 : สมนุไพรบางชนดิ มโี ทษตอ่ ร่างกาย
เหตุ 2 : สมุนไพรบางชนิดใชร้ ักษาโรคได้
ผลสรุป : สงิ่ ทีม่ โี ทษต่อร่างกายบางชนดิ ใช้รักษาโรคได้

วธิ ีทา
เหตุ 1 : สมนุ ไพรบางชนิด เป็น สิง่ ท่ีมีโทษต่อร่างกาย
เหตุ 2 : สมนุ ไพรบางชนิด เป็น สง่ิ ทใ่ี ช้รกั ษาโรคได้
ผลสรุป : สิ่งทม่ี ีโทษต่อร่างกายบางชนดิ เป็น ส่งิ ท่ใี ช้รกั ษาโรคได้

จากเหตุ 1

สมุนไพร สิ่งทม่ี ีโทษ
ต่อร่างกาย

จากเหตุ 2 จะได้รูปแบบใดรูปแบบหน่ึงจาก 5 รปู แบบ ตอ่ ไปนี้

รูปแบบที่ 1

ส่ิงทีม่ โี ทษ

สมุนไพร ตอ่ ร่างกาย

ส่งิ ท่ีใช้
รักษาโรคได้

รูปแบบที่ 2 สงิ่ ท่ีมีโทษ
ต่อร่างกาย
สมนุ ไพร
ส่งิ ที่ใช้
รักษาโรคได้

15

รปู แบบที่ 3 ส่งิ ที่ใช้รักษา
สมนุ ไพร โรคได้

สง่ิ ที่มโี ทษ
ตอ่ รา่ งกาย

รูปแบบที่ 4

ส่ิงที่ใช้รกั ษาโรคได้

สง่ิ ทม่ี โี ทษ

สมุนไพร ตอ่ ร่างกาย

รูปแบบที่ 5

สมุนไพร สง่ิ ที่ใช้รักษาโรคได้

สิ่งทีม่ โี ทษ
ตอ่ ร่างกาย

จากแผนภาพจะเหน็ วา่ รปู แบบที่ 2 และรปู แบบท่ี 5 นน้ั ไมส่ อดคล้องกบั ผลสรุปที่วา่ สิ่งทม่ี โี ทษต่อ
ร่างกายบางชนิดเป็นสงิ่ ที่ใช้รักษาโรคได้

ดังนน้ั การให้เหตผุ ลนไี้ ม่สมเหตสุ มผล

ตวั อยา่ ง 13 กาหนดให้ เหตุ 1 : ไม่มมี นุษย์คนใดเลยทบี่ ินได้
เหตุ 2 : ใช่ว่านกท้งั หมดจะบินได้

จะสรุปไดห้ รือไม่ว่า มนุษยบ์ างคนเปน็ นก

วิธที า จากเหตุ 1 : มนุษย์ทุกคน ไมเ่ ปน็ สิ่งท่บี นิ ได้
เหตุ 2 : นกบางชนิด ไมเ่ ปน็ ส่งิ ทบ่ี นิ ได้
ผลสรปุ : มนุษยบ์ างคน เป็น นก

16

จากเหตุ 1

มนษุ ย์ สิ่งทบี่ นิ ได้

จากเหตุ 2 จะได้รปู แบบใดรูปแบบหนึง่ จาก 4 รปู แบบ ตอ่ ไปนี้

รูปแบบที่ 1

มนษุ ย์ สิง่ ทบ่ี นิ ได้ นก

รปู แบบที่ 2

มนุษย์ สิง่ ทีบ่ ินได้
นก

รปู แบบท่ี 3 มนุษย์ สง่ิ ท่ีบนิ ได้
นก

รปู แบบที่ 4

นก
มนษุ ย์ ส่ิงท่ีบนิ ได้

17

จากแผนภาพจะเหน็ ไดว้ ่า รปู แบบท่ี 1 ไม่ตอ้ งสอดคล้องกับผลสรปุ
ดงั น้ัน จึงไม่สามารถสรปุ ไดว้ า่ มนุษย์บางคนเปน็ นก

แบบฝกึ หัด 1.3
จงใช้แผนภาพแสดงการตรวจสอบการใหเ้ หตผุ ลต่อไปน้ีว่าสมเหตุสมผลหรือไม่
1. เหตุ 1 : นกั กีฬาทุกคนเป็นคนแข็งแรง
เหตุ 2 : นักกีฬาบางคนเปน็ คนขยนั
ผลสรุป : คนแข็งแรงบางคนเป็นคนขยนั

2. เหตุ 1 : ขวดเป็นสงิ่ มชี ีวติ
เหตุ 2 : ส่งิ มีชวี ติ ยอ่ มเจริญเติบโต
ผลสรุป : ขวดเจริญเตบิ โต

3. เหตุ 1 : ไมม่ ีคนคิดมากคนใดมีความสุข
เหตุ 2 : สติ าไม่มีความสุข
ผลสรปุ : สติ าเปน็ คนคิดมาก

4. เหตุ 1 : สัตวน์ า้ บางชนิดเลี้ยงลกู ดว้ ยนม
เหตุ 2 : สตั ว์เลย้ี งลูกด้วยนมทุกชนิดเป็นสัตว์เลอื ดอุ่น
ผลสรุป : สตั ว์นา้ บางชนิดไมเ่ ปน็ สัตว์เลือดอุ่น

5. เหตุ 1 : ไมว่ า่ ใครที่กนิ นมเปน็ ประจา จะมรี ูปรา่ งสงู ใหญ่
เหตุ 2 : ปานทพิ ย์มีรูปร่างสงู ใหญ่
ผลสรุป : ปานทิพย์กินนมเป็นประจา

18

บทท่ี 2 การเปรียบเทียบหน่วยวดั

2.1 มาตรวัด

มาตรวดั คือ หน่วยของคา่ ท่ีไดจ้ ากการคานวณหาค่าต่างๆทไ่ี ด้จาการวัด เช่น เวลา ความยาว พื้นที่ และ

ปริมาตรเปน็ ตน้ ซง่ึ หนว่ ยทใ่ี ช้ในการวดั มีหลายระบบข้ึนอยู่กับแต่ละประเทศที่นิยมใช้ ในท่ีนี้จะกล่าวถึงระบบท่ีใช้

โดยทั่วไป และมาตรวดั ที่นยิ มใชใ้ นไทย

ระบบการวัดท่พี บเจอโดยท่ัวไป แบง่ เป็นดังน้ี

ระบบไทย ระบบเมตริก ระบบอังกฤษ ระบบหนว่ ยทใี่ ชต้ า่ งประเทศ (SI)

คบื เซนติเมตร (cm.) นิว้ (inch) กโิ ลเมตร (km.)

ศอก เมตร (m.) ฟตุ (ft.) กิโลกรัม (kg.)

วา กิโลเมตร(km.) หลา (yard) วินาที (s)

เสน้ ฯลฯ ไมล์ (mile) แอมแปร์ (A)

โยชน์ ฯลฯ โมล (mole) ฯลฯ

หนว่ ยรากฐานของระบบ SI มี 7 หนว่ ย คอื เป็นหน่วยใชว้ ัดความยาว
เปน็ หน่วยใชว้ ดั มวล
เมตร( M e t e r : m ) เป็นหนว่ ยใช้วดั เวลา
กิโลกรัม (Kilogram : kg)
วนิ าที ( S e c o n d : s ) เปน็ หน่วยใช้วัดกระแสไฟฟ้า
แอมแปร์ (Am pere: A) เป็นหนว่ ยใช้วัดอุณหภูมิ
เคลวิน ( K e l v i n : K )
แคนเดลา (Candela : cd) เป็นหน่วยใชว้ ดั ความเข้มขน้ ของการส่องสวา่ ง
โมล ( M o l e : m o l ) เป็นหน่วยใช้วดั ปรมิ าณของสาร

2.1.1 การวดั ความยาว หน่วยการวัดความยาว

มาตราไทย ระบบองั กฤษ ระบบเมตริก
12 นว้ิ = 1 คบื
2 คบื = 1 ศอก 12 นิว้ = 1 ฟุต 10 มลิ ลเิ มตร = 1 เซนติเมตร
4 ศอก = 1 วา
20 วา = 1 เสน้ 3 ฟตุ = 1 หลา 100 เซนติเมตร = 1เมตร
400 เส้น = 1
โยชน์ 1,760 หลา = 1 ไมล์ 1,000 เมตร = 1 กโิ ลเมตร

19

การเปรียบเทยี บหน่วยการวัดความยาว

การเปรยี บเทยี บหน่วยการวัดแบ่งเปน็ การเปรียบเทียบเป็น มาตราไทยกบั ระบบเมตริก และ ระบบอังกฤษกับ

ระบบเมตริก

มาตราไทยกบั ระบบเมตรกิ ระบบอังกฤษกับระบบเมตริก

2 ศอก เท่ากับ 1 เมตร 1 น้วิ เท่ากบั 2.54 เซนตเิ มตร

1 วา เท่ากบั 2 เมตร 1 ฟุต เท่ากบั 30.48 เซนตเิ มตร

1 หลา เทา่ กบั 0.9144 เมตร

1 ไมล์ เท่ากบั 1.6093 กิโลเมตร

ตวั อยา่ งที่ 1 จงเปลีย่ นหนว่ ยตอ่ ไปน้ี

1) 59 กม. = ม. 2) 8,8750 ม. = กม.

วธิ ีทา ข้อ 1) ใช้การเทียบบญั ญตั ไิ ตรยางศ์ ดงั น้ี

1 กิโลเมตร = 1,000 เมตร

59 กิโลเมตร = 59 X 1 กม.

= 59X 1,000 ม.

= 59,000 ม.

ตอบ 59 กม. เทา่ กับ 59,00 ม.

ข้อ 2) ใชก้ ารเทียบบญั ญตั ไิ ตรยางศ์ ดงั นี้

1,000 เมตร =1 กโิ ลเมตร

1 เมตร = 1 กโิ ลเมตร

1, 000

8,750 เมตร = 8,750 1 กิโลเมตร

1, 000

= 8.750 กิโลเมตร

ตอบ 8,750 ม. เทา่ กบั 8.750 กม.

ตวั อย่างท่ี 2 จงเปลี่ยนหนว่ ยตอ่ ไปน้ี

หนว่ ยใหญ่ หนว่ ยเลก็ หน่วยเลก็ หนว่ ยใหญ่

1) 6 ฟุต 4 น้ิว = นวิ้ 2) 86 นว้ิ = ฟตุ

วิธที า ใช้การเทียบบญั ญัติไตรยางศ์ ดงั น้ี วธิ ีทา ใชก้ ารเทียบบัญญัตไิ ตรยางศ์ ดงั น้ี

1 ฟุต = 12 นิ้ว 12 นิว้ = 1 ฟุต

6 ฟตุ = 6 X 1 ฟุต = 6 X 12 น้วิ 1 น้วิ = 1 ฟตุ
=72 น้ิว 12

20

ดงั นน้ั 6 ฟุต 4 นิว้ = 72 + 4 น้วิ 86 นิ้ว = 86 X 1 นวิ้ = 86X 1 ฟตุ
= 76 นวิ้ 12
= 7 2 ฟุต หรือ 7 1 ฟตุ
ตอบ 6 ฟุต 4 นว้ิ เทา่ กับ 76 นิว้ 12 6

ตอบ 7 2 ฟุต ( 7 ฟตุ 2 นวิ้ หรอื 7' 2")
12

ตวั อย่างที่ 3 นาราสูง 165 เซนติเมตร อยากทราบวา่ นนาราสงู ก่ี ฟุต
วิธที า 1 ฟตุ = 30.48 ซม.

ดังนนั้ 165 ซม. = 165  5.41 ฟตุ

30.48

ตอบ นารา สูง 5.41 ฟตุ

2.1.2 การวัดพนื้ ท่ี หน่วยการวัดพน้ื ท่ี ระบบเมตริก
ระบบอังกฤษ 1 ตร.ซม = 100 ตร.มม. (102)
มาตราไทย 1 ตารางฟุต = 144 ตารางนว้ิ 1 ตร.ม = 10,000 ตร.ซม. (104)
100 ตารางวา = 1 งาน 1 ตารางหลา = 9 ตารางฟุต 1 ตร.กม=1,000,000 ตร.ม. (106 )
1 เอเคอร์ = 4,840 ตารางเหลา
4 งาน = 1 ไร่ 1 ตารางไมล์ = 640 เอเคอร์
หรือ หรือ 1 ตารางไมล์ = 1,7602 ตารางเหลา
400 ตารางวา = 1 ไร่
(1 ไร่ = 0.4 เอเคอร์)

การเปรยี บเทยี บหนว่ ยการวดั พน้ื ที่ ระบบองั กฤษเทยี บกับระบบเมตรกิ ( โดยประมาณ)
มาตราไทยเทยี บกับระบบเมตรกิ (โดยประมาณ) 1 ตารางน้วิ = 6.4516 ตารางเซนตเิ มตร
1 ตารางฟุต = 0.0929 ตารางเมตร
1 ตารางวา = 4 ตารางเมตร 1 ตารางหลา = 0.8361 ตารางเมตร
1 งาน = 400 ตารางเมตร 1 เอเคอร์ = 4,046.856 ตารางเมตร (2.529 ไร่)
หรือ 1 ตารางไมล์ = 2.5899 ตารางกิโลเมตร
1 ไร่ = 1,600 ตารางเมตร
1 ตารางกโิ ลเมตร = 625 ไร่

ตัวอยา่ งที่ 4 จงเปลีย่ นหนว่ ยต่อไปนี้

หนว่ ยใหญ่ หนว่ ยเลก็ หน่วยเลก็ หนว่ ยใหญ่

1) พื้นท่ี 7 ตารางเมตร = ตารางเซนตเิ มตร 1) พื้นท่ี 58 ตารางฟุต = ตารางหลา

วธิ ีทา ใช้การเทียบบญั ญัตไิ ตรยางศ์ ดงั น้ี วิธที า ใช้การเทียบบัญญัตไิ ตรยางศ์ ดงั น้ี

พ้นื ท่ี 1 ตร.ม. = 10,000 ตร.ซม. (104) พน้ื ที่ 9 ตารางฟุต = 1 ตารางหลา

พ้ืนท่ี 7 ตร.ซม. = 7 X 1 = 7 X 10,000 ตร.ซม. พ้ืนท่ี 1 ตารางฟตุ = 1 ตารางหลา

9

21

=70,000 ตร.ซม. พน้ื ที่ 58 ตารางฟุต= 58 X 1 = 6 4 ตารางหลา
ตอบ 7 X 104 ตร.ซม.
99
2) พนื้ ที่ 30.5 ตร.กม. = ตร.ม
ตอบ 6 4 ตารางหลา

9

วิธที า ใชก้ ารเทยี บบญั ญตั ไิ ตรยางศ์ ดงั น้ี

พ้นื ท่ี 1 ตร.กม. = 1,000,000 ตร.ซม. (106 )

พืน้ ที่ 7 ตร.ซม. = 7 X 1 = 7 X 10,000 ตร.ซม.

=70,000 ตร.ซม.

ตอบ 7 X 104 ตร.ซม.

ตัวอย่างท่ี 5 พน้ื ที่ 8,361 ตารางเมตร ประมาณก่ีตารางหลา
วธิ ีทา ใชก้ ารเทยี บบญั ญัตไิ ตรยางศ์ ดังน้ี

พ้ืนท่ี 0.8361 ตารางเมตร = 1 ตารางหลา
พ้นื ที่ 1 ตารางเมตร = 1 ตารางหลา

0.8361

พ้นื ท่ี 8,361ตารางฟุต = 8,361 X 1
0.8361
10,000 ตารางหลา

ตอบ 10,00 ตารางหลา

ตวั อยา่ งที่ 6 นายวรี ภาพ มที ีด่ ิน 10 ไร่ ขายไป 3,400 ตารางเมตร เขาเหลือที่ดนิ ก่ีไร่

(กาหนดให้ 1 ไร่ เท่ากบั 1,600 ตารางเมตร) ที่ดิน มี 10 ไร่

วธิ ที า พื้นท่ี 1,600 ตารางเมตร = 1 ไร่

พน้ื ที่ 1 ตารางเมตร = 1 ไร่

1, 600

พน้ื ท่ี 3,400 ตารางเมตร = 3,400 1  17 ไร่

1, 600 8

 เขาเหลอื ท่ดี นิ เทา่ กับ 10 17  63  7 7 ไร่ ขาย 3,400 ตารางเมตร

88 8

ตอบ 7 7 ไร่

8

ตัวอย่างที่ 7 แดงมีท่ีดินเป็นรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้า มีพ้ืนท่ี 1 ไร่ 3 งาน 12 ตารางวา ถ้าท่ีดินแปลงน้ี กว้าง 20

เมตร ที่ดนิ แปลงน้จี ะมคี วามยาวกเ่ี มตร

หลักการคิด : ทาไร่และงาน ตารางวา แลว้ ทา ตารางวา ตารางเมตร

วิธีทา ขนั้ ที่ 1 ทา ไรแ่ ละงานเปน็ ตารางวา
พน้ื ท่ี 1 ไร่ = 4 งาน

22

พน้ื ที่ 1 งาน = 100 ตารางวา
ดงั นนั้ 1 ไร่ 3 งาน 12 ตารางวา หรอื 7 งาน 12 ตารางวา = 712 ตารางวา
ข้นั ที่ 2 ทาตารางวา เปน็ ตารางเมตร

พ้นื ที่ 1 ตารางวา = 4 ตารางเมตร
ดงั นน้ั พนื้ ที่ 712 ตารางวา =712 X 4= 2,848 ตารางเมตร

ขนั้ ที่ 3 หารความยาวของพ้นื ที่ แทนสูตร
พืน้ ทสี่ ่ีเหลยี่ มผนื ผ้า = ความกวา้ ง x ความยาว
2,848 = 20 x ความยาว

ความยาว = 2,848 142.4 เมตร

20

ตอบ ทดี่ นิ แปลงนจ้ี ะมคี วามยาว 142.4 เมตร

2.1.3 หนว่ ยปริมาตร และ นา้ หนัก ระบบอังกฤษ
ปริมาตร 3 ชอ้ นชา = 1 ช้อนโต๊ะ
16 ช้อนโต๊ะ = 1 ถ้วยตวง
ระบบเมตริก 1 ถว้ ยตวง = 8 ออนซ์
1 ลบ.ซม. = 1,000 ลบ.มม.
1 ลบ.ม. = 1,000,000 ลบ.ซม.
1 ลบ.ซม. = 1 มิลลลิ ิตร
1 ลติ ร = 1,000 มลิ ลิลติ ร
1ลิตร = 1,000 ลบ.ซม
1,000 ลิตร = 1 ลบ.ม.

ตวั อย่างท่ี 8 แท็งกก์ ักเกบ็ น้ามีบอกความจปุ ริมาณนา้ ทกี่ กั เก็บได้ 5 ลูกบาศก์เมตร อยากทราบว่าแท็งก์กักเก็บ
น้าไดก้ ี่ ลิตร
วิธีทา ปริมาตร 1 ลกู บาศกเ์ มตร = 1,000 ลิตร

ปรมิ าตร 5 ลูกบาศก์เมตร= 5X1,000 = 5,000 ลติ ร
ตอบ แท็งกก์ กั เก็บนา้ ได้ 5,000 ลิตร
ตัวอย่างท่ี 9 มีนา้ 5 ขวด ขวดละ 8 ออนซ์ จะมีนา้ ทงั้ หมดกีล่ ูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
วธิ ที า ขัน้ ท่ี 1 ทาออนซ์ใหเ้ ปน็ ถ้วยตวง

ปรมิ าตร 8 ออนซ์ = 1 ถ้วยตวง
ปรมิ าตร 1 ออนซ์ = 1 ถ้วยตวง

8

ปริมาตร น้า 5 ขวด = 5x8 ออนซ์ = 40x 1 =5 ถ้วยตวง
8

23

ข้นั ที่ 2 ทาถว้ ยตวงใหเ้ ปน็ ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

1 ถว้ ยตวง = 240 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

5 ถ้วยตวง = 5 x 240 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

= 1,200 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

ตอบ ปรมิ าตรน้า 5 ขวด เท่ากับ 1,200 ลบ.ซม.

มาตราชงั่ -ตวง

ระบบเมตริก ระบบเมตริก – ระบบองั กฤษ มาตราช่งั ตวง ของไทย

1 กรัม = 1,000 มลิ ลิกรัม 1 กโิ ลกรัม = 2.2 ปอนด์ 1 บาท = 15 กรมั
1 ขีด = 100 กรัม 1 ปอนด์ = 454 กรมั
1 กิโลกรัม =1,000 กรมั หรือ 10 1 ปอนด์ = 16 ออนซ์ 1 ถงั = 20 ลิตร
ขีด
1 ตนั (เมตริกตนั ) = 1,000 1 เกวียน = 100 ถัง
กิโลกรัม 1 แกลลอน = 46 ลิตร
ขา้ วสาร 1 ถัง =15 กิโลกรัม
ข้าวสาร 1 กระสอบ = 100
กโิ ลกรมั

ตวั อย่างที่ 10 ขา้ วสาร 3 ถัง เท่ากับก่ี กโิ ลกรมั
วิธที า ข้าวสาร 1 ถัง = 15 กิโลกรัม

ขา้ วสาร 3 ถัง = 3X15 = 45 กโิ ลกรัม
ตอบ ข้าวสาร 3 ถงั = 3X15 = 45 กโิ ลกรัม

2.1.4 การวัดเวลา
ระบบปฏิทินมี 2 แบบคือ แบบระบบปฏิทินจูเลียน(Julian calender) และระบบปฏิทินแกรกอเรียน

(Gregorian calender)
1. “1 ปี ทางสุริยคติ” เป็นเวลาท่ีโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ครบ 1 รอบพอดี ซึ่ง เป็นแบบระบบปฏิทินจู

เลยี น(Julian calender) กาหนดวา่

1 ปี = 365.25 วนั

2. ระบบปฏิทินแกรกอเรียน(Gregorian calender) เป็นระบบท่ีใช้ในปัจจุบัน โดยมีความคลาดเคล่ือน
นอ้ ยทสี่ ุด โดยกาหนดวา่

1 ปี = 365 วัน

แตใ่ นปี อธิกสรุ ทิน(เดอื นกุมภาพัน มี 29 วนั )

1 ปี = 366 วัน

24

เกณฑ์การกาหนดปีอธกิ สรุ ธิน
1. ถา้ ปี ค.ศ. ใดหารด้วย 4 ไมล่ งตวั จะ ไม่เปน็ ปอี ธิกสุรทนิ

2. ถา้ ปีใดหารด้วย 4 ลงตวั และหารดว้ ย 100 ลงตวั แต่หารดว้ ย 400 ไมล่ งตวั ปี ค.ศ. นนั้ จะ ไม่เปน็ ปอี ธกิ สรุ ทิน

3. ถา้ ปี ค.ศ. ใด หารดว้ ย 4 ลงตัว แตห่ ารด้วย 100 ไมล่ งตวั ค.ศ.นน้ั จะ เป็นปีอธิกสรุ ทิน

4. ถ้าปี ค.ศ. ใด หารด้วย 4 ลงตวั และหารด้วย 400 ลงตัว ปี ค.ศ.น้ันจะ เปน็ ปอี ธิกสุรทนิ
การเปลี่ยน พ.ศ. เป็น ค.ศ. และ ค.ศ. เป็น พ.ศ.

พ.ศ. ลบด้วย 543 ค.ศ. ค.ศ. บวกดว้ ย 543 พ.ศ.

ตัวอยา่ งที่ 11 1) พ.ศ. 2578 คือปี ค.ศ. ใด 2) ค.ศ. 2301 คือปี พ.ศ.ใด

วธิ ที า 1) เปลยี่ น พ.ศ. ใหเ้ ป็น ค.ศ.

2578 – 543 = 2035

ตอบ พ.ศ. 2578 คอื ปี ค.ศ. 2035

2) เปลย่ี น ค.ศ. ใหเ้ ป็น พ.ศ.

2301 + 543 = 2844

ตอบ ค.ศ. 2301 คอื ปี ค.ศ. 2844

ตวั อย่างที่ 12 ปี ค.ศ. 1944 เป็นปีอธิกสรุ ทนิ หรอื ไม่

วธิ ที า พิจารณา ตามเกณฑ์ 1 . 1944  486 หาร 4 ลงตัว
4

1944 190 4 หาร 100 ไม่ลงตวั

100 100

ตอบ ค.ศ. 1944 เปน็ ปีอธิกสรุ ทิน

แบบฝึกหัด 2.1. มาตรวดั
1. นาย A สงู 200.1 เซนติเมตร นาย B สูง 5 ฟุต 5 นิ้ว จงหาว่านาย A หรือ นาย B สูงกว่ากัน และสูงกว่า

กนั กเ่ี ซนตเิ มตร

2. พืน้ ท่ี 5 1 ตารางไมล์ เท่ากบั กี่เอเคอร์ กาหนดให้ 1 ตารางไมดค์ ือ 640 เอเคอร์

2

3. นาย A มีทดี่ ิน 20 ไร่ ขายทด่ี นิ ไป 3,000 ตารางเมตร เขาจะเหลือท่ดี ินอีกกีไ่ ร่

25

4. ถ้าฮารด์ ดิฟย่ีห่อ A มีความจุ 1 TB มีราคา 1600 บาท ย่ีห้อ B มีความจุ 500 GB ราคา 1000 บาท และ
ยี่ห้อ C มคี วามจุ 1000 MB ราคา 400 บาท จงหาวา่ ซือ้ ฮาร์ดสิ ย่ีหอ้ ใดคมุ้ ค่าทสี่ ุด

5. ถ้านาย A ตอ้ งการที่ดนิ รูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าทม่ี ดี ้านยาวตดิ ถนนท่ียาวท่ีสุด ในเวลานั้นมีคนเสนอขายที่ดินให้
นาย A โดยที่ดินแบบท่ี 1 มีพ้ืนที่ 1 ไร่ 3 งาน และกว้าง 0.02 กิโลเมตร และ แบบท่ีสอง มีพื้นท่ี 2 ไร่
และกว้าง 2 กโิ ลเมตร นาย A ควรจะเลือกพนื้ ทแ่ี บบใดจึงจะสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์

2.2 พื้นที่และปริมาตร
รูปเรขาคณิต 3 มิติ หรือ รูปทรงเรขาคณิต คือรูปทรงท่ีสามารถมองเห็นส่วนที่เป็นพื้นผิว ส่วนหนา

สว่ นสงู หรอื สว่ นลึกจงึ มลี กั ษณะ 3 มติ ิ เช่น

ปริซมึ ทรงสเ่ี หลย่ี มหรอื กรวย ทรงกระบอก ทรงกลม

รปู ทรงส่เี หลีย่ มมุมฉาก

รูปเรขาคณิต 2 มิติ หรอื รูปทรงเรขาคณิต มองเห็นในแนวระนาบเช่น

รูปสามเล่ียม รปู สี่เหลย่ี ม รปู วงกลม

2.2.1 พื้นท่ี

การหาพน้ื ท่ีสาหรบั รปู ทรงสองมติ ิน้นั สามารถหาไดโ้ ดยใช้สูตรโดยตรงซง่ึ สรปุ สตู รได้ดงั น้ี

สตู รการหาพื้นที่ของรปู สามเหลยี่ มและสี่เหลย่ี มสามารถหาได้ดังน้ี

1. พืน้ ท่ขี องรูป
1.1 ทราบความสูง

พน้ื ที่ ของรปู = 1 x ฐาน xสูง

2

1.2 ไมท่ ราบความยาวฐานและความสูง

พน้ื ทข่ี องรูป = s(s  a)(s  b)(s  c)

เมือ่ s  1 (a  b  c)

2

1.3 สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ 26
พื้นทีข่ องรปู = 3 x (ความยาวด้าน)2 A

4

2. พน้ื ที่ของรปู
2.1 ส่ีเหลย่ี มผืนผา้
พ้ืนที่ = กวา้ ง x ยาว

2.2 ส่เี หลย่ี มจตั ุรสั
พ้ืนที่ = ดา้ น2

2.3 สเ่ี หลีย่ มด้านขนาน
พ้ืนที่ = ฐานxสูง

2.4 ส่ีเหลี่ยมขนมเปียกปูน
พนื้ ที่ = ฐานxสงู

หรอื พนื้ ที่ = 1 xผลคูณของเส้นทแยงมุม

2

2.5 สี่เหล่ยี มคางหมู
พน้ื ท่ี = 1 xผลบวกด้านคูข่ นาน

2

2.6 สเี่ หลี่ยมรปู ว่าว
พ้ืนท่ี = 1 xผลคูณของเสน้ ทแยงมุม

2

2.7 รูปสเ่ี หลียมด้านไมเ่ ท่า
พ้นื ท่ี = 1 xเสน้ ทแยงมุมxผลบวกของเส้น

2

ก่ิง

27

หรอื

พ้นื ที่ = พน้ื ท่ี A +พืน้ ท่ี B
(สามารใชส้ ตู รนกี้ บั รูปสีเ่ หลยี่ มอืน่ ได้)

B
2.2.1 พน้ื ที่ผวิ และปรมิ าตรของรปู ทรง สามมิติ

พ้ืนท่ผี ิวและปรมิ าตรของปรซิ มึ
รูปทรงเรขาคณิตที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหล่ียมท่ีเท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบท่ีขนานกัน

และดา้ นข้างแต่ละด้านเปน็ รูปส่เี หลยี มด้านขนานจะถกู เรียกว่าปริซึม

พ้ืนทีผ่ ิวของปรซิ มึ = พืน้ ท่ีฐานทั้งสอง + พนื้ ท่ีผวิ ข้าง

ปริมาตรของปริซมึ = พ้นื ท่ี ฐาน x สงู

ป

ตัวอย่างที่ 13 ปริซึมแท่งหน่ึงหน้าตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีฐานยาว 6 ซม. สูง 4 ซม. ถ้าปริซึมแท่งนี้สูง 4

ซม. จะมีพนื้ ท่ผี วิ cและปริมาตรเท่าใด

วิธที า พน้ื ทผี่ ิว = พ้นื ทฐ่ี านท้ังสอง + พื้นที่ผวิ ขา้ ง

จ า ก พี ท า ก อ รั ส =

2(1  6 4) [(510)  (510)  (610)] = 184 ตร.ซม.
2 ปริมาตร = พน้ื ที่ฐาน x สูง

 32  42

= 5 ซม.

= (1  6 4)10

2

l = 120 ลบ.ซม.

28

ตัวอย่างที่ 14 บ่อเล้ยี งปลามีฐานเป็นรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้ากว้าง 5 เมตร ยาว 10 เมตร ลึก 2 เมตร ถ้าบ่อน้าน้ีบรรจุ
น้าอยู่ 80 ลูกบาศก์เมตร อยากทราบวา่ ระดบั น้าอยูต่ า่ กวา่ ขอบบ่อเทา่ ใด
วธิ ที า ปริมาตรน้าในบอ่ = 80 ลบ.ม.

5 x10 x h = 80
h = 80 =1.6 เมตร

50

 ระดับน้าต่ากว่าขอบบ่อ = 2- 1.6= 0.4
เมตร

พ้นื ที่ผิวและปรมิ าตรของพรี ะมดิ
พรี ะมดิ เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติท่ีมีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหล่ียมที่มีจุด

ยอดรวมกนั ทหี่ ยอดแหลม

ส่วนสูงหรือ สงู ตรง ส่วนสงู หรือ สงู ตรง
(h) (h)

พีระมิดตรง พีระมิดเอียง

สารับการเรียกช่ือพีระมิดจะเรียกตามฐานของพีระมิด เช่น พีระมิดฐานสามเหลียม จะเรียกว่า “พีระมิดสามเหลี

ยมเปน็ ต้น”

สาหรบั การหาพ้นื ทผี่ ิวและปริมาตรสามารถหาได้ดังน้ี

พ้ืนท่ีผิวของพรี ะมดิ = พน้ื ทฐ่ี านทง้ั สอง + พน้ื ทีผ่ ิวขา้ ง

ปริมาตรของพีระมดิ = 1 x พ้นื ท่ฐี าน x สงู

3

29

ตัวอย่างท่ี 15 จงหาพื้นท่ีผิวข้างของพีระมิดฐานห้าเหล่ียมด้านเท่าซึ่งยาวด้านละ 10 เซนติเมตร สันพีระมิดยาว

13 เซนตเิ มตร

วธิ ีทา หาสูงเอยี ง l จาก

AC2  AB2  BC2

132  AB2   10 2
 2 
313
BC2  132  52

144

10 BC  144

0 12 ซม.
หาพน้ื ท่ผี วิ ขา้ งของพีระมิด

เนื่องจากพีระมิดมีฐานห้าเหล่ียมทาใหม้ ีผิวข้างทงั้ หมด หา้ ด้านดงั นนั้

พืน้ ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมิด  5(1 x ความยาวของฐาน x สูงเอยี ง)
2

 5 (1 1012)
2

 300 ตร.ซม.
ตัวอยา่ งท่ี 16 พีระมดิ ฐานสามเหลย่ี ม มดี า้ นยาว 50, 58 และ 72 เซนติเมตร จะมีปริมาตรเท่าใด ถ้าพีระมิดสูง

45 เซนตเิ มตร

วิธที า ปรมิ าตรของพรี ะมิด = 1 x พื้นทฐี่ าน x สูง
3
หาพ้นื ทีฐ่ านจาก ความยาวทัง้ สามด้านของฐาน

พนื้ ทฐ่ี าน = s(s  a)(s  b)(s  c)

เมือ่ s  1 (a  b  c)
2

s  1 (50  58  72)  90
2

ปรมิ าตรของพรี ะมดิ = 1 x x 4590(90 50)(90 58)(90 72)
3
= 21,600 ลบ.ซม.

พื้นทผ่ี ิวของทรงกระบอก

ทรงกระบอกเปน็ รปู ทรงสามมติ ทิ ม่ี ีหน้าตัดหรือฐานเปน็ วงกลมดังรปู ต่อไปนี้

30

พ้นื ทผ่ี ิวของทรงกระบอก = พ้นื ท่ฐี านท้งั สอง + พ้นื ทผ่ี ิวข้าง
= 2 r2  2 rh

ปริมาตรของทรงกระบอก=  r2h

เมอ่ื r แทนความยาวรัศมี
h แทนความสูงของทรงกระบอก

ตัวอย่างท่ี 17 แก้วน้าทรงกระบอกใบหนึ่งวัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายในได้ 8 เซนติเมตร แก้วน้าลึก 14
เซนตเิ มตรแก้วนา้ ใบน้ีจนุ ้าได้เท่าใด
วธิ ที า ปริมาตรของทรงกระบอก= r2h

เม่ือ   22 , r  4 และ h 14

7

∴ ปรมิ าตรของทรงกระบอก = 22  42 14

7

≈ 704
ตอบ แก้วใบน้จี ุนา้ ไดป้ ระมาณ704 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร
ตัวอย่างที่ 18 ถังทรงกระบอกสูง 2 ฟุต รัศมียาว 1 ฟุต มีระดับน้าในถังสูง 13 ฟุต จากก้นถัง ถ้านา

4

ทรงกระบอกตันทีต่ า่ กว่าถงั 1 ฟตุ หย่อนลงไปในถัง ทาใหน้ า้ ในถงั สูงขน้ึ จนเต็มถงั พอดี จงหา
1) ปรมิ าตรของนา้ ทเ่ี พ่มิ ข้ึน
2) รศั มีของทรงกระบอกตัน

วธิ ีทา 1. หาปริมาตรของน้าทเี่ พ่ิมขึ้น
ปรมิ าตรของนา้ ทเี่ พม่ิ ขนึ้ = ปรมิ าตรของน้าทีเ่ ต็มถังพอดี – ปรมิ าตรของนา้ ในถัง
ปรมิ าตรของนา้ ท่ีเต็มถังพอดี = r2h
= 22 12  2

7

≈ 44 ลูกบาศกฟ์ ุต

7

ปริมาตรของน้าในถัง = r2h

31

= 22 12  7

74

≈ 22 ลูกบาศกฟ์ ุต

4

 ปรมิ าตรของน้าทเ่ี ตม็ ถังพอดี= 44 - 22 =11 ลกู บาศก์ฟตุ

74 4

2) หารัศมีของทรงกระบอกตนั
ปรมิ าตรของทรงกระบอกตนั จะเทา่ กบั ปริมาตรของน้าทเ่ี พมิ่ ขึน้
 ปรมิ าตรของทรงกระบอกตนั = r2h
11 ≈ 22  r2 1

47
r2  11 7

4 22
r 1

4

 รัศมที รงกระบอก r  1 ฟตุ

2

พ้นื ท่ผี วิ และปรมิ าตรของกรวย
รปู เรขาคณิตมฐี านเปน็ วงกลม มียอดแหลม จะเรยี กวา่ กรวย ดงั รปู

l

สามารถหาพื้นทีผ่ ิวและปรมิ าตรได้ดงั น้ี

พน้ื ท่ผี วิ ของกรวย = พนื้ ที่ฐาน + พน้ื ท่ผี วิ ข้าง
=r2 r

ปรมิ าตรของกรวย= 1 xพื้นทฐ่ี านx สูงตรง

3

= 1 r2h

3

32

ตัวอย่างท่ี 19 จะต้องใช้กระดาษกี่ตารางเซนติเมตรในการทาแก้วด่ืมน้ารูปกรวยรัศมีปากแก้ว 5 เซนติเมตร สูง
12 เซนตเิ มตร (ไมค่ ดิ รอยตอ่ )
วธิ ที า พ้นื ทผี่ ิวข้างของกรวย =r

หาสงู เอียง l จาก BC2  AB2  AC2

BC2  122  52
 144  25  169

BC  169

13 ซม.
 สงู เอียง l 13 ซม.
พ้ืนที่ผิวข้างของกรวย =3.141593513

= 204.2035 ตารางเซนติเมตร
ตอบ จะตอ้ งใช้กระดาษประมาณ 204.3 หรือ 205 ตารางเซนติเมตร

ตวั อย่างท่ี 20 กรวยตรงอันหน่งึ มีปรมิ าตร 107,800 ลูกบาศก์นว้ิ สูง 84 น้ิว จงหา
1) พื้นที่ฐานของกรวย
2) สงู เอยี ง

วธิ ที า 1) หาพ้นื ท่ฐี านของกรวย
ปรมิ าตรของกรวย = 1 xพ้ืนทฐี่ านx สงู

3

107,800 = 1 x84x พ้ืนทฐี่ าน
3

 พนื้ ทฐ่ี านของกรวย = 107,800 3= 3,850 ตารางนิ้ว

84

2) หาสูงเอยี ง
พ้ืนท่ีผวิ ขา้ งของกรวย =r
หา r จากพื้นท่ีฐานของกรวยจะได้
r2 = 3,850 x 7 =1,225

22

r  1, 225  35 นวิ้
จะได้ 2  r2  h2 (ทฤษฎบี ทพีทาโกรัสของรูปสามเหลี่ยม)

2  352  842 =8,281

 8, 281  91

ตอบ สูงเอียง 91 น้วิ

33

พืน้ ที่ผวิ และปริมาตรของทรงกลม
สาหรับการหาพน้ื ท่ีผวิ และปริมาตรของทรงกลมนนั้ หาได้จากสตู ร

พ้นื ที่ผวิ ทรงกลม = 4 r2
ปรมิ าตรทรงกลม = 4  r3

3

ตัวอยา่ งที่ 21 วตั ถุทรงกลมมปี รมิ าตร 38,808 ลูกบาศกน์ ้วิ จงหาพืน้ ทีผ่ วิ ของวตั ถุ

วธิ ที า ปริมาตรทรงกลม = 4  r3

3

38,808 = 4  22  r3

37
r3  38,8083 7  9, 261

4 22

r  21 นว้ิ
พื้นท่ีผวิ ทรงกลม = 4 r2

 4  22  212
7

 5,544 ตารางนวิ้

การประยุกตใ์ ชพ้ ื้นทผี่ วิ และปรมิ าตร
ในชวี ติ ประจามกี ารนาความรใู้ นเรอ่ื งพ้ืนทผ่ี วิ และปริมาตรไปเชน่ การบรรจภุ ณั ฑน์ า้ ด่ืม ที่ต้องคานวณทั้งต้นทุน

ในการผลิตภาชนะ ปริมาณน้าที่บรรจุ ท่ีทาให้ได้กาไร การวางแผนการก่อสร้างเป็นต้น ในตัวอย่างต่อไปน้ีเป็ น
เพียงส่วนหนึง่ ของการนาความรู้เรอื่ งพน้ื ท่ีผิวและปรมิ าตรไปประยุกต์ใชใ้ นชวี ิตประจาวัน
ตัวอยา่ งที่ 22 ปรมิ าตรของถังบรรจุนา้ มันรูปกรวยตดั ยอด ซงึ่ มีเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางของฐานเป็น 8 เมตร และเส้น
ผ่านศูนย์กลางของยอดหน้าตัดด้านบน 4 เมตร เท่ากับกี่บาร์เรล ถ้าความสูงของกรวยตัดยอดเป็น 3 เมตร และ
ปริมาณน้ามัน 1 บาร์เรล ≈ 159 ลติ ร
วธิ ที า แนวคิดตอ่ ยอดกรวยใหบ้ รรจบกนั ทจ่ี ุด A จะไดค้ วามสมั พนั ธ์ดงั น้ี

AB และ AD เป็นความสงู ของกรวยด้านบน และดา้ นลา่ งตามลาดบั
BC และ DE เปน็ รัศมีของกรวยด้านบน และด้านล่างตามลาดบั
AC และ AE เปน็ สูงเอียงของกรวยด้านบน และด้านลา่ งตามลาดับ

34

ทาใหไ้ ดข้ ้อสรปุ ว่า ABC ~ ADE แนวคิดหาปริมาตรในหน่วยบาร์เรลจากการเทียบ
บญั ญตั ยิ าง
นน้ั คอื AB  BC
AD DE ปริมาตร 1 ลบ.ม. = 1,000 ลติ ร
AD  3  2 ปรมิ าตร 88 ลบ.ม. = 88,000 ลติ ร
AD 4 ปริมาตรนา้ มัน 159 ลิตร ≈ 1 บารเ์ รล

2(AD  3)  AD ปรมิ าตรน้ามนั 1 ลิตร ≈ 1 บาร์เรล

 AD = 6 เมตร และ AB= 6-3 =3 เมตร 159
ปรมิ าตรกรวยยอดตัด = ปรมิ าตรกรวยล่าง – ปรมิ าตรกรวยบน
ปรมิ าตร 88 ลบ.ม. = 88,000 x 1 ลติ ร
= -1  (42 )(6) 1  (22 )(3)
33 159

= 88 ลูกบาศกเ์ มตร

≈ 88,000
159

≈ 553.46 บารเ์ รล

ตอบ ปรมิ าตรของถังบรรจนุ ้ามัน ไดป้ ระมาณ 553.46 บาร์เรล

แบบฝกึ หัด 2.2 พื้นผิวและปรมิ าตร
1. พีระมิตฐานเป็นรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ 24 เซนติเมตร มีสันยาว 313 เซนติเมตร จงหาพื้นท่ีผิว

และปรมิ าตรของพีระมิตชน้ิ นี้
2. วัตถุทรงกระบอกมีปริมาตร 1540 ลูกบาศก์เซนติเมตร มีฐานยาว 154 เซนติเมตร ทรงกระบอกรูปนี้มี

ความสูงก่ีเซนติเมตร และพนื้ ทีผ่ วิ กต่ี ารางเซนติเมตร
3. ทรงกลมทีม่ เี สน้ ผ่านศนู ย์กลาง 14 เมตร จะมีพื้นท่ีและปริมาตรเทา่ ไร
4. ก้อนเหล็กรูปลูกบาศก์ที่มีความกว้าง 20 เซนติเมตร เม่ือนามาหลอมจะสามารถนามาข้ึนรูปเป็นรูปทรง

กลมเลก็ ทีม่ รี ัศมี 2 เซนติเมตรไดก้ ่ีลูก
5. กาแฟจากร้าน S บรรจดุ ้วยแก้วทรงกระบอกรศั มี 2 เซนติเมตร สงู 15 เซนติเมตร ราคา 200 บาท กาแฟ

จากร้าน A บรรจุด้วยแก้วทรงกระบอกรัศมี 3 เซนติเมตร สูง 14 เซนติเมตร ราคา 150 บาท และ
กาแฟจากร้าน C บรรจดุ ้วยแก้วทรงกระบอกรศั มี 2 เซนตเิ มตร สูง 20 เซนติเมตร ราคา 210 บาท อยาก
ทราบวา่ ซือ้ กาแฟจากร้านใดได้ปริมาณคุ้มคา่ ท่ีสุด

35

บทท่ี 3
สถติ ิเบือ้ งต้น
1. ความรู้เบ้ืองต้นเก่ียวกับสถติ ิ
1.1 ความหมายของสถิติ
สถติ ิ (Statistics) แบง่ ได้เป็น 2 ความหมาย
1. สถิติ หมายถึง ขอ้ มูลทีเ่ ปน็ ตัวเลขท่ไี ด้มีการเก็บรวบรวมไว้ เชน่ ขอ้ มลู จานวนนักศึกษาในแต่ละปี รายรับ
รายจา่ ย ระยะทาง ยอดขายสินค้าแต่ละวัน อตั ราการตายด้วยโรคมะเรง็ ฯลฯ
2. สถิติ หมายถึง วชิ าสถิตซิ ึง่ เป็นศาสตร์ท่วี ่าด้วยการวางแผน การเกบ็ รวบรวมข้อมลู การนาเสนอข้อมลู การ
วเิ คราะห์ข้อมูล และการแปลความหมายข้อมลู เพอื่ หาข้อสรปุ จากข้อมูลทเี่ กีย่ วขอ้ ง ซ่งึ แบ่งเปน็ 2 ส่วน ได้แก่
 สถติ ิเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) เปน็ การวิเคราะห์ข้อมูลชุดหนึ่งๆ ทเี่ กบ็ รวบรวมได้ใน
รูปแบบของการบรรยาย โดยอาจเป็นการนาเสนอข้อมลู ในรปู ตารางการแจกแจงความถี่ กราฟ รปู ภาพต่างๆ หรอื อา
จาจเสนอคา่ วัดของสง่ิ ที่สนใจ เชน่ คา่ เฉลีย่ การวัดการกระจายของข้อมูล เปน็ ตน้
 สถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistics) เปน็ การวิเคราะห์ข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้จากตวั อยา่ ง
เพอ่ื อ้างองิ ไปถงึ ข้อมูลของประชากรโดยการประมาณคา่ และการทดสอบสมมติฐาน

คาศัพท์ทเ่ี กีย่ วขอ้ งกบั สถิติ
1. ประชากร (Population) หมายถึง หน่วยทุกหนว่ ยทใี่ ห้ขอ้ มูลเกย่ี วกับส่ิงที่เรากาลังศึกษาวเิ คราะห์ ซ่งึ
อาจจะเปน็ บุคคล สัตว์ หรือส่ิงของ ประชากรแบง่ ออกเป็น 2 ชนดิ คอื

 ประชากรท่มี ีจานวนจากัด(Finite Population) หมายถึง ประชากรท่มี ีจานวนจากดั สามารถนบั
จานวนไดแ้ น่นอน

 ประชากรทม่ี จี านวนอนนั ต์(Infinite Population) หมายถึง ประชากรทม่ี ีขนาดใหญ่ ไมส่ ามารถนบั
จานวนท่แี น่นอนได้

2. กลมุ่ ตัวอย่าง (Sample) หมายถึง บางสว่ นของกลุ่มประชากรทีเ่ ราสนใจ ในกรณีที่กลุม่ ประชากรทีจ่ ะ
ศึกษานน้ั เปน็ กลมุ่ ขนาดใหญ่ เกินความสามารถหรือความจาเปน็ ที่ต้องการ หรอื เพ่ือประหยดั ในดา้ นงบประมาณและ
เวลา สามารถศกึ ษาข้อมูลเพยี งบางสว่ นของกลมุ่ ประชากรได้ หรอื ประชากรบางสว่ นท่ถี ูกสมุ่ ขึ้นมาศึกษา

3. คา่ พารามิเตอร์ (Parameter) หมายถงึ คา่ ตา่ งๆท่คี านวณมาจากกลมุ่ ประชากร จะถอื เปน็ คา่ คงตัว
กลา่ วคือ คานวณก่คี ร้ังๆก็จะไมเ่ ปลยี่ นแปลง หรือค่าทีแ่ สดงคณุ ลกั ษณะของประชากร

4. คา่ สถิติ (Statistic) หมายถงึ ค่าต่างๆทีค่ านวณมาจากกลุม่ ตวั อยา่ ง จะเป็นคา่ ที่เปล่ียนแปลงได้ตามกลมุ่
ตวั อยา่ งทเี่ ลือกส่มุ มา หรอื คา่ ทแี่ สดงคุณลักษณะของกลุ่มตัวอย่าง

1.2 ระเบียบวธิ กี ารทางสถติ ิ
ระเบียบวิธีการทางสถติ ิมขี ้ันตอนการดาเนินการดงั นี้
1. การรวบรวมข้อมูล
เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลเพ่ือนามาวิเคราะห์ วิธีการเก็บรวบรวมข้อมลู สามารถทาได้ 4 วธิ ี คอื
1. การสามะโน (Census) เป็นการเกบ็ ข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรทีส่ นใจศกึ ษา
2. การสารวจด้วยตัวอยา่ ง (Sample Survey) เป็นการเก็บข้อมูลจากเพียงบางหน่วยของประชากร

ซง่ึ ประหยัดท้ังเวลาและค่าใช้จา่ ย
3. การสังเกต (Observation)
4. การทดลอง (Experiment)

36

2. การวิเคราะห์ข้อมลู
หลงั จากท่ีได้เกบ็ รวบรวมข้อมูลแลว้ จะต้องวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อนาผลสรุปไปใช้ การวิเคราะหข์ ้อมลู

สามารถทาได้ 2 วิธี คือ
1. การวิเคราะหข์ ้อมลู ขั้นต้น หรอื สถิตเิ ชงิ พรรณนา
2. การวเิ คราะหข์ ้อมลู ขั้นสูง หรอื สถติ อิ นุมาน

3. การนาเสนอข้อมูล (Present of Data)
การนาเสนอข้อมลู เป็น วิธีการนาขอ้ มลู ทีเ่ ก็บรวบรวมได้มาจดั ระเบียบให้อยใู่ นลกั ษณะท่ีสามารถศึกษา

ได้ง่าย และรวดเร็ว รปู แบบการนาเสนอข้อมลู สามารถทาไดห้ ลายวิธี ดังน้ี
1. การนาเสนอข้อมลู ในลักษณะของข้อความ
2. การนาเสนอข้อมูลในรปู ตาราง
3. การนาเสนอข้อมลู ด้วยกราฟเส้น
4. การนาเสนอข้อมลู ดว้ ยแผนภูมิ ได้แก่ แผนภูมิแท่ง แผนภูมวิ งกลม แผนภูมริ ูปภาพ

1.3 ประโยชน์ของสถติ ิกับงานด้านต่าง ๆ
ในปัจจุบันหน่วยงานสว่ นใหญ่จะอาศัยสถิตชิ ว่ ยในการตัดสินใจ โดยสามารถประยุกต์ใชก้ ับงานด้านตา่ ง ๆดงั นี้
1. ดา้ นการวางแผนเพอื่ พัฒนาเศรษฐกจิ ของประเทศ เชน่ สถิตปิ ระชากร สถติ กิ ารศึกษา สถติ แิ รงงาน สถติ ิ

อตุ สาหกรรม สถติ กิ ารเกษตร เป็นต้น ทัง้ นร้ี ัฐบาลไดน้ าข้อมูลเหล่าน้ีไปใชใ้ นการวางแผนงานดา้ นต่าง ๆ เพ่อื พฒั นา
ประเทศ

2. ด้านธรุ กิจ เชน่ การพยากรณ์ยอดขายของปีถดั ไป, การควบคุมคุณภาพสินคา้ ใหม้ มี าตรฐานตามที่กาหนด
3. ด้านเกษตรกรรม เชน่ การวางแผนการทดลองเปรียบเทียบคุณภาพปยุ๋ , พันธข์ุ ้าว
4. ด้านการแพทย์ เชน่ การวางแผนการทดลองเปรยี บเทยี บคณุ ภาพยารักษาโรคแต่ละชนิด

1.4 ข้อมูลสถติ ิ (Statistical Data)
ข้อมลู (Data) หมายถึง ข้อเท็จจริงเก่ยี วกบั เรอ่ื งใดเร่ืองหนงึ่ ท่ีสนใจศึกษา ซึง่ อาจเกยี่ วข้องกบั คน สตั ว์ สิง่ ของ

ข้อมูลทยี่ ังไม่ผ่านการประมวลผลทางสถติ จิ ะเรียกว่า ข้อมลู ดิบ(Raw Data) โดยขอ้ มูลท่ไี ด้อาจมาจากการนับ การ
สังเกต หรอื การจดบนั ทกึ ในรูปของข้อความหรือตวั เลขท่บี อกปริมาณหรือบอกลักษณะของสิ่งที่สนใจศึกษา สาหรับ
ข้อมูลที่เก็บรวบรวมในรูปของตัวเลขเพ่ือนามาประมวลผลหาความหมายจะเรียกว่า ข้อมูลสถติ ิ (Statistical Data)
เชน่ สถติ ปิ ระชากร สถติ ปิ ริมาณน้าฝน

ประเภทของข้อมูล
ข้อมูลทน่ี ามาวิเคราะห์มหี ลายประเภท ขึ้นอยู่กับการจาแนกตามลักษณะต่าง ๆ ดังน้ี
1. แบ่งตามแหลง่ ท่ีมาของข้อมลู ซ่ึงแบง่ ได้ 2 ประเภท
1. ขอ้ มูลปฐมภูมิ (Primary Data) เป็นข้อมลู ทีผ่ ู้ใช้จะต้องเกบ็ รวบรวมขอ้ มูลเองจากผ้ใู ห้ขอ้ มูล
หรอื แหล่ง ทม่ี าของข้อมูลโดยตรง ซง่ึ อาจจะไดจ้ ากการสมั ภาษณ์ ทดลอง หรือสังเกตจากแหล่งขอ้ มูลโดยตรง
ข้อมลู ชนิดนี้เป็นขอ้ มูลทมี่ รี ายละเอยี ดตรงตามที่ผู้ใช้ต้องการ การไดม้ าของข้อมูลจะต้องเสียเวลาและ
คา่ ใช้จา่ ยมาก และยงั เป็นข้อมลู ทยี่ งั ไมไ่ ด้ทาการวเิ คราะห์
2. ขอ้ มูลทตุ ยิ ภูมิ (Secondary Data) เปน็ ข้อมลู ทีผ่ ้ใู ช้ไม่ตอ้ งเก็บรวบรวมจากผู้ให้ข้อมูลหรอื
แหลง่ ที่มาโดยตรง แต่ได้มาจากขอ้ มูลที่ผอู้ น่ื เก็บรวบรวมไวแ้ ล้ว ผใู้ ชเ้ ปน็ ผูน้ ามาใช้เทา่ น้นั จึงเป็นการประหยัด
ท้ังเวลาและคา่ ใชจ้ า่ ย แต่ข้อมูลชนดิ นี้อาจไมต่ รงกบั ความต้องการของผ้ใู ชท้ ัง้ หมด นอกจากนผ้ี ู้ใชม้ กั จะไม่

37

ทราบถงึ ข้อผดิ พลาดของข้อมูล ซง่ึ สง่ ผลใหก้ ารสรุปผิดพลาดได้ ดังน้นั การใช้ข้อมูลจงึ ต้องใช้ดว้ ยความ
ระมัดระวงั
2. แบ่งตามลักษณะของขอ้ มูล ซ่ึงแบง่ ได้ 2 ประเภท ดังน้ี

1. ขอ้ มลู เชิงปริมาณ (Quantitative Data) เป็นขอ้ มลู ที่ใชแ้ ทนขนาดหรือปรมิ าณ ซ่ึงวดั ออกมา
เป็นจานวน ที่สามารถนามาเปรยี บเทยี บกันไดโ้ ดยตรง เชน่ ปรมิ าณการผลิตน้ามนั ดิบ ยอดขายสินค้า ข้อมลู
ชนดิ น้ีแบง่ ได้ 2 ชนดิ คือ

ก. ข้อมลู แบบไมต่ อ่ เนอ่ื ง (Discrete Data) หมายถึงข้อมูลทม่ี คี ่าเป็นจานวนเตม็ หรือ
จานวนนับ เช่น จานวนสนิ คา้ จานวนคน เป็นต้น

ข. ข้อมูลแบบต่อเนอ่ื ง (Continuous Data) หมายถึงข้อมลู ท่มี ีค่าไดท้ ุกค่าในช่วงที่
กาหนด เชน่ นา้ หนกั สินคา้ ระยะเวลาในการวง่ิ เปน็ ต้น
2. ข้อมลู เชิงคณุ ภาพ (Quanlitative Data) เปน็ ข้อมลู ท่ีไม่สามารถวดั ออกมาเป็นจานวนได้
โดยตรง แต่อธิบายลักษณะหรอื คณุ สมบัตใิ นเชิงคุณภาพได้ เชน่ เพศ สถานภาพสมรส ระดบั การศกึ ษา ดังน้ัน
การวิเคราะห์ขอ้ มูลประเภทน้ีสว่ นใหญ่จะทาโดยการนับจานวนจาแนกตามลักษณะ
3. แบ่งตามสเกลของหลักการวัดขอ้ มูล แบง่ ได้เป็น 4 ประเภท ดังนี้
1. สเกลนามกาหนด (Norminal Scale)
เป็นสเกลสาหรบั การแบง่ กลมุ่ ของข้อมูล โดยถือวา่ แตล่ ะกลุ่มมีความเสมอภาคเท่าเทยี มกัน หรือเป็น
การแบ่งกลุ่มของข้อมูลโดยไม่มกี ารเรยี งลาดบั เช่น เพศ มี 2 คา่ คือชายและหญงิ ข้อมลู ท่ใี ชส้ เกลการวดั นี้
เปน็ ขอ้ มูลเชิงคณุ ภาพ สถติ ิที่ใชใ้ นการวเิ คราะห์ขอ้ มลู คือ ความถแี่ ละร้อยละ
2. สเกลอนั ดบั (Ordinal Scale)
เป็นสเกลท่ีใช้แบง่ กลมุ่ ข้อมูลทขี่ ้อมลู ในแต่ละกลุม่ จะต้องพิจารณาลาดับด้วย น่นั คือสามารถบอกได้
วา่ กลมุ่ ใดมลี าดบั ท่ีดกี ว่ากลุ่มอ่นื ๆ เชน่ ให้เรยี งลาดับความชอบของห้างสรรพสนิ คา้ เป็นต้น ขอ้ มลู ที่ใชส้ เกล
การวัดนเ้ี ปน็ ข้อมลู เชงิ คณุ ภาพ สถติ ิทใี่ ชใ้ นการวเิ คราะหข์ ้อมลู คือ ความถแ่ี ละร้อยละ
3. สเกลอันตรภาค (Interval Scale)
ข้อมลู ที่อยู่ในรูปสเกลอนั ตรภาคจะเปน็ การวัดข้อมูลเชงิ ปริมาณทีส่ ามารถกาหนดช่วงความหา่ งของ
ความแตกตา่ งไดแ้ นน่ อน ท้งั น้ีเพราะหนว่ ยท่ีใชบ้ อกขนาดของการวัดมีลักษณะคงที่ สถติ ิทีใ่ ช้ในการวเิ คราะห์
ข้อมลู คอื ค่าเฉลี่ยเลขคณติ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน
4. สเกลอตั ราส่วน (Ratio Scale)
ข้อมูลท่ีอยูใ่ นรูปสเกลอัตราส่วนเปน็ ข้อมูลทสี่ มบูรณ์มากท่สี ุด นั่นคอื เปน็ ข้อมูลสเกลอนั ตรภาคแต่
จดุ เร่มิ ต้น มีความหมาย นั่นคือสามารถบอกความแตกตา่ งและเปรยี บเทยี บความแตกตา่ งได้ ข้อมูลท่ีใชส้ เกล
การวดั นี้เปน็ ขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ สถิติทีใ่ ช้ในการวิเคราะหข์ ้อมูลคอื คา่ เฉล่ยี เลขคณิต ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน

1.5. การวเิ คราะหข์ ้อมลู เบ้ืองต้น โดยใชส้ ถติ เิ ชงิ พรรณนา
1. การแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution)
หากข้อมูลมีจานวนมากหรอื เปน็ ตวั แปรเชิงปรมิ าณ เช่น รายได้ อายุ ควรนาเสนอข้อมลู ด้วยการจัดข้อมลู เป็น

ช่วง ๆ ทตี่ ่อเนื่องกนั โดยแตล่ ะช่วงประกอบด้วยข้อมลู หลายคา่ หรอื เรยี กวา่ ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency
Table)

การสร้างตารางแจกแจงความถี่
การสร้างตารางแจกแจงความถ่ที าได้ ดงั น้ี

1. หาพิสัย(R) จาก พิสัย = ค่าสูงสดุ – ค่าต่าสุดของข้อมูล
2. กาหนดจานวนชั้นท่ีต้องการ หรือถ้าไมท่ ราบวา่ จะกาหนดกีช่ น้ั ให้ใชส้ ตู ร

38

k 1 3.3logN

เมือ่ k แทนจานวนช้ันท่ตี อ้ งการ (ถ้าคา่ k เปน็ ทศนยิ ม ใหป้ ดั ขนึ้ เป็นจานวนเต็มเสมอ)
N = จานวนข้อมลู ทั้งหมด

3. หาความกวา้ งของอนั ตรภาคชั้น โดยท่ี I  R
k

เมอ่ื I แทนความกว้างของอันตรภาคชัน้ (ถา้ ค่า I เปน็ ทศนิยม ใหป้ ัดข้นึ เป็นจานวนเตม็ เสมอ)
R = พสิ ัย

4. หาขดี จากดั ชนั้ โดย
1. ขดี จากดั ชน้ั แรก = ค่าตา่ สุดของขอ้ มูล

2. ขดี จากัดชัน้ แรก = ค่าต่าสดุ –  I k - R 
2 

5. สรา้ งตารางแจกแจงความถ่ี
ตวั อย่างท่ี 1 ถา้ เลือกนักศึกษาท่เี รยี นวชิ าหลักสถิตจิ านวน 30 คน สอบถามถึงคะแนนสอบ เปน็ ดังน้ี

79 84 76 87 70 86 94 60 52 70
74 60 92 88 87 63 64 70 81 66
77 78 78 79 98 41 92 77 82 77
จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ี
วิธีทา
1. หาค่าพสิ ัย จาก คา่ สูงสดุ คอื 98 ค่าตา่ สุด คือ 41

R = 98 – 41 = 57
2. กาหนดจานวนชั้น

k 1 3.3logN

k 1 3.3log30 1 3.3(1.48)  5.88  6

3. หาความกว้างของอันตรภาคชนั้

I  98 - 41  9.5  10
6

4. หาขีดจากัดชั้น

ในตัวอยา่ งน้ี ขีดจากัดชน้ั แรก = ค่าตา่ สุดของขอ้ มลู = 41

5. สรา้ งตารางแจกแจงความถี่

คะแนน ขอบลา่ ง Li  ขอบบน Ui  จดุ กึง่ กลางชัน้ xi  รอยขีด ความถี่ ความถ่สี ะสม
(ขดี จากัด) (ขดี ล่าง – 0.5) (ขีดบน – 0.5)
 ขีดบน - ขีดล่าง  ขอบบน - ขอบล่าง  fi  Fi 
 2 2 
1 1
41 – 50 41-0.5=40.5 50+0.5=50.5 40.5 50.5  41  50  45.5 I
2 2 3 1+3 = 4
6 4 + 6 = 10
51 – 60 50.5 60.5 55.5 III 9 10 + 9 = 19
7 19 + 7 = 26
61 – 70 60.5 70.5 65.5 IIII I 4 26 + 4 = 30

71 – 80 70.5 80.5 75.5 IIII IIII

81 – 90 80.5 90.5 85.5 IIII II

91 – 100 90.5 100.5 95.5 IIII

6

 fi  N  30

i1

39

ในการสรา้ งตารางแจกแจงความถี่ อาจสร้างชว่ งคะแนนที่เรียงจากมากไปน้อย หรือนาเสนอในสว่ นอื่น ๆ
เพ่มิ เติม เชน่ ความถส่ี ัมพทั ธ์ รอ้ ยละความถีส่ ัมพทั ธ์ ความถ่ีสะสม ความถสี่ ะสมสัมพัทธ์ รอ้ ยละความถ่ีสะสมสัมพัทธ์
ไดด้ งั น้ี

ตวั อย่างท่ี 2 จากตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาความถส่ี มั พทั ธ์ ร้อยละความถสี่ มั พทั ธ์ ความถสี่ ะสม ความถี่สะสม

สัมพทั ธ์ ร้อยละความถ่ีสะสมสัมพทั ธ์

คะแนน ความถี่ ความถี่ ร้อยละ ความถ่ีสะสม ความถ่ีสะสม ร้อยละความถี่
(ขดี จากัด) fi  ความถ่สี ัมพทั ธ์ สะสมสมั พัทธ์
สัมพัทธ์ Fi  สมั พทั ธ์
ความถี่สัมพทั ธ์ 100 ความถสี่ ะสมสมั พทั ธ์ 100
 ความถี่   ความถ่ีสะสม 
 ความถ่ีทั้งหมด   ความถี่ทั้งหมด 

41 – 50 1 1  0.033 0.033100  3.3 1 1  0.033 3.3
30 30

51 – 60 3 3  0.1 10 4 4  0.133 13.3
30 30

61 – 70 6 6  0.2 20 10 10  0.33 33
30 30

71 – 80 9 9  0.3 30 19 19  0.633 63.3
30 30

81 – 90 7 7  0.23 23 26 26  0.86 86
30 30

91 – 100 4 4  0.13 13 30 30  1 100
30 30

6

 fi  N  30

i1

2. การวดั แนวโน้มเขา้ สสู่ ว่ นกลาง

การวัดแนวโน้มเข้าสสู้ ว่ นกลาง (Measure of Central Tendency)

การวดั แนวโน้มเขา้ ส่สู ่วนกลาง เป็นการคานวณหาค่ากลางของข้อมลู เชิงปรมิ าณ ซ่งึ สามารถใช้ค่ากลางเปน็

ตวั แทนเพื่อบอกลกั ษณะของขอ้ มูล

การหาคา่ กลางแบง่ ตามลกั ษณะของขอ้ มูล สามารถหาได้ 2 กรณี คอื

1. กรณขี อ้ มูลไม่ได้ถูกจดั เปน็ กลุ่ม หรอื ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่

2. กรณีข้อมลู ถูกจัดเป็นกล่มุ หรอื มีการแจกแจงความถ่ี ตตารางแจกแจงความถ่ีเ

การวัดแนวโนม้ เข้าสู่สว่ นกลางทนี่ ิยมใช้มี 3 ประเภท คอื

1. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต (Arithmetic Mean)

2. มธั ยฐาน (Median)

3. ฐานนยิ ม (Mode)

1 ค่าเฉลย่ี เลขคณติ (Arithmetic Mean)

คา่ เฉลี่ย คอื ค่าท่เี กดิ จากการรวมค่าสังเกตท้ังหมดเขา้ ดว้ ยกนั แล้วหารดว้ ยค่าสังเกตนัน้

ค่าเฉลี่ย หรอื ค่ามชั ณมิ เลขคณิต เป็นคา่ กลางของข้อมูลท่ีมีการนาไปใชอ้ ย่างกว้าง โดยเรียกวา่ ค่าเฉลีย่ (mean) กรณี

ขอ้ มูลไม่แจกแจงความถ่ี

กาหนดให้ข้อมูลประกอบด้วยค่าสงั เกต n ค่าคอื x1,x2,x3,...,xn สตู รสาหรับการคานวณคือ

40

n

xi

x  i1
n

เมื่อ x (เอ็กซบ์ าร)์ แทน ค่าเฉล่ียเลขคณิต

n แทน ผลรวมของข้อมูลทกุ ค่า

 xi
i 1

n แทน จานวนขอ้ มูลท้ังหมด

ตัวอยา่ ง จากคะแนนสอบย่อยของนักศึกษากลมุ่ หน่ึงเปน็ ดงั น้ี 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17
จงหาค่าเฉลยี่ ของคะแนนสอบยอ่ ยของนกั ศกึ ษากลุม่ นี้
วิธที า

จากสูตร n

xi

x  i1
n

x  14 1614 171614 1817  126
88

x  15.75 = 15.75 คะแนน

ดงั น้นั คา่ เฉลีย่ คะแนนสอบยอ่ ยของนักศึกษากลุ่มนี้
กรณขี อ้ มลู แจกแจงความถ่ี
สามารถคานวณไดจ้ ากสตู ร

k

 fixi

x  i1

k

 fi

i 1

เมอื่  f อาจแทนดว้ ย n คอื ผลรวมความถี่ทัง้ หมด หรอื จานวนข้อมลู ทัง้ หมด

fi แทนความถี่ของชั้นข้อมลู ชน้ั ที่ i

xi แทนค่าจดุ ก่งึ กลางของชั้นที่ i

ตวั อย่าง จากข้อมลู ในตารางแจกแจงความถี่ จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ

คะแนน ความถ่ี  fi 

5-9 3
10-14 4
15-19 3
20-24 7
25-29 6
30-34 4
35-39 2
40-44 3

รวม 32

41

วิธที า

คะแนน ความถ่ี  fi  จดุ กึ่งกลางอนั ตรภาคชน้ั xi   fi xi 

5-9 3 (5+9)/2=7 73  21
10-14 4 12
48

15-19 3 17 51

20-24 7 22 154

25-29 6 27 162

30-34 4 32 128

35-39 2 37 74

40-44 3 42 126

รวม 32  f x764

 fx

x
n

x  764
32

x  23.86 คะแนน
ดงั นัน้ ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของคะแนน = 23.86

คา่ เฉล่ียถ่วงนา้ หนัก (Weight Mean)

การคานวณคา่ เฉลีย่ ในตัวอย่างท่ีผา่ นมาเป็นการคานวณคา่ เฉลี่ยแบบไม่ถ่วงนา้ หนกั ซ่งึ ถูกใช้ในกรณีที่ค่า

ขอ้ มูลแต่ละคา่ มคี วามสาคัญเทา่ กนั ในบางสถานการณ์ค่าข้อมูลแต่ละค่าอาจจะมีความสาคัญไม่เท่ากัน เราจงึ ต้องให้

นา้ หนกั กับค่าแตล่ ะคา่ แตกตา่ งกนั ออกไป เช่น เกรดท่ีนักศึกษาไดใ้ นการสอบแตล่ ะวชิ ามีความสาคญั ไม่เท่ากนั วชิ า

ไหนทม่ี ีความสาคญั มากกว่าก็จะมีจานวนหน่วยกิตมากกว่า ดงั นนั้ ในการคานวณเกรดเฉลี่ย จงึ ต้องนาจานวนหน่วยกิต

มาคานวณด้วย โดยถือวา่ หน่วยกิต คอื นา้ หนกั (weight) ซง่ึ คานวณโดยนาค่าสังเกตแต่ละค่าคณู ดว้ ยนา้ หนกั ของค่า

นน้ั แลว้ นาผลคณู ท่ไี ด้บวกกนั หลังจากนนั้ หารด้วยผลรวมของนา้ หนกั การคานวณลักษณะน้ี เรียกวา่ ค่าเฉล่ียถ่วง

น้าหนกั เขียนแทนดว้ ยสตู รดงั น้ี

ตัวอย่าง n

 wi xi

คา่ เฉลย่ี แบบถ่วงนา้ หนัก  i1
n
 wi
i1

เม่ือ xi แทนคา่ สังเกตคา่ ท่ี i
wi แทนน้าหนกั ของคา่ ที่ i (weight)

นกั ศกึ ษาคนหนง่ึ มผี ลหารสอบในภาคการศกึ ษาหนึง่ เปน็ ดังน้ี

วชิ า เกรด หน่วยกิต

แคลคูลัส C 3

สถติ ิ A 2

ภาษาองั กฤษ B 1

จงหาเกรดเฉล่ียของนกั ศึกษาคนนี้

วิธที า

42

ให้ xi แทนเกรดเฉลย่ี ของวิชาที่ i
wi แทนหน่วยกิตของวชิ าที่ i

จะได้ x1  2, x2  4, x3  3, w1  3, w2  2, w3  1

ดงั นนั้ เกรดเฉลีย่  wx
w

 w1x1  w2 x2  w3 x3
w1  w2  w3

 (3  2)  (2  4)  (1 3)
321

 2.83

2 มธั ยฐาน (Median)

มธั ยฐาน คือ ค่าสังเกตท่ีอยูต่ าแหนง่ ตรงกลางของข้อมูลทังหมด เม่ือเรยี งลาดับคา่ ของข้อมูลแลว้

กรณที ่ีข้อมลู ไม่แจกแจงความถ่ี

เม่ือข้อมูลมีจานวนไมม่ ากนักก็ไม่จาเป็นตอ้ งแจกแจงความถี่

ขน้ั ตอนที่ 1 เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก หรอื จากมากไปน้อย

ขัน้ ตอนที่ 2 หาตาแหน่งของมัธยฐาน จาก n 1
2
เมื่อ n = จานวนข้อมลู ทั้งหมด

ตัวอยา่ ง จงหามธั ยฐานของข้อมลู ต่อไปน้ี 9,10,5,11,14,6,16,17,13

วิธที า ขัน้ ที่ 1 เรยี งข้อมูลท่ีมีคา่ น้อยท่ีสดุ ไปหาข้อมูลท่ีมีค่ามากทสี่ ดุ คอื

5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 16,17

ขั้นที่ 2 หาตาแหนง่ ของมธั ยฐาน จาก n 1
2

n1  91 5
2 2

มธั ยฐานของขอ้ มลู = 11

จากตัวอย่าง จะเห็นวา่ จานวนค่าสังเกตเปน็ เลขคี่ คือมีท้งั หมด 9 คา่ จะมีคา่ สงั เกตค่าหนึ่งที่อยตู่ รงกลาง

พอดี แตถ่ ้าจานวนคา่ สังเกตเปน็ เลขคจู่ ะไมม่ ีค่าที่อยตู่ รงกลางพอดี ดงั นัน้ จงึ ใช้ค่าท่อี ยู่ตรงกลางสองค่ามาเฉลยี่ ดงั

ตัวอย่างตอ่ ไปน้ี

ตวั อย่าง จงหามัธยฐานของข้อมลู ต่อไปน้ี 40, 35, 24, 28, 26, 29, 36, 31, 42, 20, 23, 32

วิธีทา ขน้ั ที่ 1 เรยี งขอ้ มูลจากข้อมลู ที่มีค่านอ้ ยท่สี ดุ ไปหาข้อมลู ทีมคี ่ามากทสี่ ุดคือ

20, 23, 24, 26, 28, 29, 31, 32, 35, 36, 40, 42, ซง่ึ n = 12

ขน้ั ที่ 2 หาตาแหน่งของมัธยฐาน จาก n 1
2

n1  12 1  6.5
2 2
มธั ยฐานอยู่ในตาแหนง่ ท่ี 6.5 อยู่ระหว่าง 29 กับ 31

มัธยฐานคอื 29  31  30
2

43

กรณขี ้อมลู แจกแจงความถ่ี
มธั ยฐานจะคานวณไดจ้ ากสูตร

มัธยฐาน  n  F 
 2 f 
Li  
 
 

เมื่อ L แทน ขอบเขตลา่ งของชน้ั ที่มีมธั ยฐานอยู่

i แทน อันตรภาคชน้ั หรอื ความกว้างของชน้ั

n แทน จานวนค่าสงั เกตท้ังหมด

n แทน ตาแหนง่ มัธยฐาน

2

F แทน ความถี่ในชั้นที่มีมัธยฐาน

f0 แทน ความถี่สะสมช้นั ท่ีอยู่ก่อน ชน้ั ท่ีมีมัธยฐาน

ตวั อย่าง จากข้อมลู ในตารางแจกแจงความถ่ี จงหาคา่ มธั ยฐาน
วธิ ที า หาความถ่สี ะสม

คะแนน ความถี่  f  ความถ่ีสะสม Cf 

5-9 3 3 F 
10-14 ลบกนั ได้ i = 5 4 7
ชน้ั มธั ยฐาน
15-19 3 10

L = 19.5 20-24 f  7 17
25-29 6 23
30-34 4 27
35-39 2 29
40-44 3 32

รวม 32

หาตาแหนง่ มัธยฐานจาก n  32  16 ค่ามัธยฐานท่อี ยู่ในชน้ั 20 - 24
2 2

จาก มัธยฐาน  n  F 
 2 f 
Li  
 
 

แทนคา่ ในสูตร มัธยฐาน  19.5  5 16 10 = 19.5 - 4.2 = 23.7
 7 

ดงั น้ัน มธั ยฐาน คอื 23.7

3 ฐานนยิ ม (Mode)
ฐานนิยม (Mode) คอื คา่ สงั เกตที่มจี านวนมากที่สุด (มคี วามถี่สงู ทส่ี ดุ ในขอ้ มูลชุดน้นั )
กรณีทีข่ อ้ มูลทไ่ี ม่แจกแจงความถ่ี
พจิ ารณา ค่าของข้อมลู ท่ีซา้ กันมากที่สุด คือ ฐานนยิ ม

44

ตวั อยา่ ง จงหาฐานนิยมของขอ้ มลู ที่กาหนดให้ต่อไปน้ี

1. ข้อมูล : 3, 2, 4, 5, 6, 4, 8, 4, 7, 10 ฐานนิยมคือ 4

2. ขอ้ มลู : 2, 3, 4, 4, 5, 6, 2 ฐานนยิ มคอื 2 , 4

3. ขอ้ มลู : 1, 2, 4, 5, 6 ไม่มฐี านนิยม

4. ขอ้ มูล : 3, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 4 ไม่มฐี านนิยม

ขอ้ มลู ท่ีมฐี านนยิ มเพียงค่าเดยี ว เช่น ข้อ 1 เรยี ก Unimodal

ข้อมลู ท่ีมีฐานนยิ มสองค่า เช่น ขอ้ 2 เรยี ก Bimodal

ถา้ ค่าสังเกตทุกคา่ มคี วามถีเ่ ทา่ กนั หมด เช่น ขอ้ 3,ขอ้ 4 ถือว่าไมม่ ีฐานนยิ ม เพราะไม่เปน็ ไป

ตามนิยาม ซึ่งทาให้หาตวั แทนขอ้ มูลไม่ไดจ้ ึงต้องใช้วิธอี ่ืนแทน

กรณขี ้อมูลแจกแจงความถี่

การหาค่าฐานนยิ มในกรณนี ้ีหาไดโ้ ดยการประมาณค่าของช้ันที่มคี วามถี่สงู สุดและใชส้ ูตรตอ่ ไปนใี้ น

การหาฐานนิยม

ฐานนิยม Li  d1 
 d1  d2 

เมื่อ L แทน ขอบเขตล่างของช้นั ที่มีฐานนยิ มอยู่

I แทน อนั ตรภาคชัน้ หรือ ความกว้างของช้ัน

d1 แทน ผลต่างระหว่างความถี่ของช้ันฐานนิยมกบั ช้นั ก่อนชน้ั ฐานนยิ ม
d2 แทน ผลต่างระหวา่ งความถ่ีของชนั้ ฐานนยิ มกับชน้ั หลงั ชนั้ ฐานนยิ ม
หมายเหตุ : สูตรนี้ใชก้ ับตารางแจกแจงความถที่ ี่สร้างชัน้ แรกเปน็ ช้นั ของค่าตา่ สุด

ตัวอยา่ ง จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถ่ี จงหาคา่ ฐานนิยม

คะแนน ความถี่  f 

5-9 3

10-14 4

ชัน้ ฐานนิยม 15-19 3 d1  7  3  4
20-24 7

25-29 6 d2  7  6  1
30-34 4

35-39 2

40-44 3

รวม 32

วธิ ีทา

คา่ ฐานนยิ มอยใู่ นอนั ตรภาคช้นั 20 -24 (ค่าที่มคี วามถีม่ ากท่ีสุด)

จาก ฐานนิยม Li  d1 
 d1  d2 

แทนคา่ ในสตู ร ฐานนิยม  19.5  5 4  19.5  4  23.5
4  1

ดังนนั้ ฐานนยิ มของขอ้ มลู ในตารางน้ีคือ 23.5

45

3. การวดั การกระจาย (Measure of Dispersion)

การวดั การกระจาย เป็นการวดั ความผันแปรของข้อมูลว่ามคี วามแตกต่างกันมากนอ้ ยเพียงใด เนื่องจาก

วเิ คราะห์ข้อมูลถ้าพิจารณาเฉพาะค่าวดั แนวโน้มเขา้ สสู่ ว่ นกลางอาจทาใหข้ าดสารสนเทศท่สี าคัญประกอบการตดั สนิ ใจ

การวดั แนวโน้มเข้าสสู่ ่วนกลางท่ีได้กลา่ วไปนน้ั เป็นคา่ ท่ที าหนา้ ทีเ่ ป็นตัวแทนกลุ่มขอ้ มลู เพยี งอยา่ งเดียว จะ

บอกได้เพยี งว่าศูนย์กลางของคา่ ข้อมูลอยู่ท่คี า่ ใด หรอื ค่าขอ้ มลู ส่วนใหญม่ คี า่ ใกลเ้ คยี งคา่ ใด แต่ไมบ่ อกลักษณะความ

แตกต่างของค่าข้อมลู เม่ือแปลความหมายข้อมูลจึงยงั ไมส่ มบูรณ์ ไม่ชดั เจน และ มีโอกาสคลาดเคล่ือนไดด้ งั นั้นจึงได้มี

การเสนอวธิ กี ารวดั การกระจายของขอ้ มูลขึ้นมา ซ่ึงมีหลายวธิ ดี ้วยกนั เช่น พิสัย ความแปรปรวน สวนเบ่ียงเบน

มาตรฐาน สัมประสิทธค์ิ วามแปรผัน

1 พสิ ัย (Range: R)

พิสัย เป็นวิธกี ารวดั การกระจายที่คานวณง่ายท่สี ุดและรวดเรว็ ทสี่ ดุ เหมาะสมกับข้อมูลทม่ี ีจานวนนอ้ ย

ซึ่งพสิ ัย คือ การหาการกระจายของขอ้ มลู โดยนาขอ้ มูลทม่ี คี ่าสูงท่ีสดุ ลบกบั ข้อมูลทีม่ ีค่าต่าที่สุด

กรณขี ้อมลู ไม่แจกแจงความถี่

พิสยั (R)  xmax  xmin
ตัวอยา่ ง จงหาพิสยั จากขอ้ มลู ชดุ นี้ 25, 19, 32, 29, 19, 21, 22, 31, 19, 20, 15, 22, 23, 20

วธิ ที า จากสตู ร พิสยั (R)  xmax  xmin = 32 - 15 = 17
ข้อมูลชุดน้มี ีพสิ ยั (R) เทา่ กบั 17

ดงั น้ัน ความแตกต่างของข้อมลู สงู สุดกับขอ้ มลู ต่าสดุ มีคา่ เท่ากบั 17

กรณีข้อมลู แจกแจงความถ่ี

การคานวณพสิ ยั กรณีขอ้ มลู แบง่ กลมุ่ คือ ผลตา่ งของขอบเขตบนชน้ั สูงสดุ กบั ขอบเขตลา่ งช้ันตา่ สุด มดี ังนี้

พิสยั (R)  ขอบเขตบนชน้ั สงู สุด – ขอบเขตล่างชน้ั ต่าสุด

ตวั อยา่ ง สุ่มตวั อย่างผู้สั่งซือ้ สนิ ค้าทางเฟสบุค๊ จานวน 50 คน จาแนกตามอายุ มรี ายละเอียดดงั น้ี

อายุ(ปี) จานวนผู้ซอ้ื สินค้า

15 – 20 12

21 – 26 17

27 – 32 14

33 – 38 7

39 – 44 5

จงหาพิสัยอายุของผูส้ ่ังซื้อสนิ ค้าทางเฟสบ๊คุ

วธิ ีทา ขอบเขตบนชัน้ สูงสุด คอื 44 + 0.5 = 44.5

ขอบเขตล่างชั้นต่าสดุ คือ 15 - 0.5 = 14.5

พิสัย (R)  ขอบเขตบนชน้ั สงู สดุ – ขอบเขตล่างชนั้ ต่าสดุ

= 44.5 – 14.5 = 30

ดังนัน้ พิสัยอายุของผู้สั่งซ้ือสนิ คา้ ทางเฟสบุค๊ คือ 30 ปี

46

2 ความแปรปรวน (Variance)

เป็นค่าวัดการกระจายเฉล่ียของขอ้ มลู ทที่ าให้ทราบว่าข้อมลู ชุดน้ีกระจายออกจากคา่ เฉลย่ี มากน้อยเพียงใด

กรณีขอ้ มูลไม่แจกแจงความถี่ มสี ตู รในการคานวณดงั นี้

N หรือ  2 1 N xi2  N 2 
N  
(xi  )2  i1 

 2  i1
N

เมอ่ื  2 แทน ความแปรปรวนของประชากร

 แทน ค่าเฉลย่ี ประชากร

N แทน ขนาดประชากร

ตัวอยา่ ง บริษัทแห่งหนงึ่ ส่งพนกั งาน 5 คน เข้ารับการอบรมเทคนิคการขาย หลงั จากนัน้ 1 สปั ดาห์

สอบถามยอดขาย พบว่า ขายสนิ คา้ ได้จานวน(ช้ิน) คือ 5, 2, 3, 6, 4 จงหาความแปรปรวน

วิธที า สูตรทใ่ี ช้ คอื

N

(xi  )2

 2  i1
N

N

 xi  52364  20 4
5 5
i 1

N

แทนค่า  2  (5  4)2  (2  4)2  (3  4)2  (6  4)2  (4  4)2  10  2
55

= 2 ชน้ิ 2

กรณีขอ้ มูลแจกแจงความถ่ี มีสตู รในการคานวณดงั นี้

kk
 fi (xi  )2  fi xi2
หรือ  2  i1  2
 2  i1
NN

เมื่อ  2 แทน ความแปรปรวนของประชากร

xi แทน ค่ากลางของชน้ั ที่ i
fi แทน ความถี่ของชน้ั ที่ i

 แทน ค่าเฉลยี่ ประชากร

N แทน ขนาดประชากร

ตวั อย่าง ผซู้ ้ือสินค้าภายหลังรับชมรายการสง่ เสรมิ การขายผา่ นเคเบิลทีวี จานวน 50 คน จาแนกตามอายุ มี

รายละเอียดดังน้ี

อายุ(ป)ี จานวนผซู้ ื้อสินคา้

18 – 30 12

31 – 43 17

44 – 56 14

57 – 69 7