Mathematical process

97

สรปุ และการนาไปประยุกต์ใช้ในเชงิ ธุรกจิ

การตัดสนิ ใจเปน็ ทีส่ งิ่ ทีผ่ ู้บรหิ ารทุกคนและทุกระดับ ไมว่ า่ จะอยูใ่ นองค์กรขนาดเลก็ หรือขนาดใหญต่ อ้ ง
ประสพพบเจขอ บางเรื่องอาจจะเลก็ บางเร่ืองอาจจะใหญ่ แล้วแต่กรณี ถ้าเป็นกรณีทเ่ี ป็นการตัดสนิ ใจในเรื่อง
เลก็ ๆ ผู้บริหารท่ีมหี นา้ ที่ในการตดั สนิ ใจอาจใชข้ ้อมูลเบื้องต้นและประสบการณท์ ผ่ี ่านมา ตลอดจนใช้
วจิ ารณญาณของตนเองประกอบการตัดสนิ ใจได้เลย แตห่ ากเป็นกรณีท่ีเปน็ เรื่องใหญท่ ่ีมีผลได้ผลเสีย ผ้บู รหิ ารท่ี
มีหนา้ ทใ่ี นการตดั สนิ ใจต้องมีตวั แบบการตดั สินใจต้องใช้ความรอบคอบและความระมัดระวงั มากขึ้น ดงั น้ัน
ผู้บรหิ ารตอ้ งมขี ั้นตอนในการตดั สินใจและตัวแบบในการตัดสนิ ใจเพอ่ื เป็นเกณฑท์ ่ีใช้ในการตัดสนิ ใจ (โดยใน
หน่วยเรียนน้ี คอื เมทรกิ ซก์ ารตัดสินใจ และแขนงการตัดสนิ ใจ) ซึ่งการตัดสินใจใชก้ ารหาผลตอบแทน และตาราง
คา่ เสยี โอกาส โดยการตดั สนิ ใจปญั หาต่างๆ จะต้องประกอบดว้ ยขัน้ ตอนทสี่ าคญั ดงั น้ี

ขัน้ ท่ี 1 ระบุปญั หาทีต่ ้องการตัดสินใจใหช้ ัดเจน
ขนั้ ท่ี 2 ระบุทางเลือกท่ีเปน็ ไปได้ทงั้ หมดจากปัญหาที่กาหนดไวพ้ ิจารณาว่ามีทางเลือกใดบ้าง
ขั้นที่ 3 ระบุเหตุการณ์ ท่ีอาจเกิดขึ้นได้ทัง้ หมด
ขั้นที่ 4 สรา้ งตารางผลตอนแทน หรอื ตารางค่าเสยี โอกาส จากทางเลือกแตล่ ะทางท่กี าหนดไว้ และ
เหตกุ ารณท์ ่ีอาจเกดิ ขน้ึ ไดท้ ้ังหมด
ขน้ั ที่ 5 เลอื กตัวแบบ (Model) การตัดสนิ ใจคานวณผลตอบแทนทีจ่ ะไดต้ ามหลกั เกณฑ์ของตัวแบบ
น้ัน
ขน้ั ที่ 6 ทาการตัดสนิ ใจเลือกทางเลอื ก
ตัวแบบการตดั สนิ ใจในหน่วยเรียนนสี้ ามารถนาไปใชก้ ับปัญหาลกั ษณะตา่ งๆ ได้อยา่ งกวา้ งขวางใน
เชิงธรุ กจิ หลายดา้ น ไมว่ ่าจะเป็นปญั หาทางดา้ นการตลาด การผลิต การเงนิ เชน่ การตัดสนิ ใจเลอื กผลติ สนิ ค้า
การตดั สนิ ใจดา้ นการลงทุน การตัดสินใจเลือกช่องทางการจาหนา่ ยสนิ ค้า หรือแม้กระทั่ง การคัดเลอื กพนักงาน
ใหม่ ฯลฯ

98

แบบฝกึ หดั 4.6

1. รา้ นสะดวกซ้ือแหง่ หน่งึ กาลงั พจิ ารณาทจ่ี ะสงั่ ดอกมะลิสดเกรดA มาจาหน่ายในวนั แม่ โดยตน้ ทนุ ของดอก
มะลิ 5 บาท/ดอก แล้วนามาจาหนา่ ยหนา้ รา้ นราคา 10 บาท/ดอก อย่างไรกต็ ามหากดอกมะลิจาหนา่ ย
ไมห่ มดภายใน 3 วนั จะถือว่าเป็นสนิ ค้าเสยี (ตดั จา่ ย) ทางรา้ นตอ้ งการพิจารณาวา่ จะนาดอกมะลมิ า
จาหน่ายจานวนกด่ี อก (10 ,11,12,13,14) โดยใช้เกณฑ์การตัดสินใจทัง้ 5 เกณฑ์ คือ Maximax ,
Laplace , Maximin , Minimax Regret , Hurwicz

2. จากข้อมลู การขายดอกมะลใิ นแต่ละปีที่ผ่านมา โดยรวบรวมขอ้ มลู จากผู้จัดการรา้ นและเครื่อง POS ความ
ต้องการซอ้ื เป็นดังน้ี

ดอกมะลทิ ่ีลูกค้าซ้ือไป (ดอก) 10 11 12 13 14

จานวนวนั 5 15 20 10 5

อยากทราบวา่ ควรนาดอกมะลิมาขายวนั ละก่ีดอก
2.1 จงหาคา่ หวังผลตอบแทนสงู ที่สดุ
2.2 จงหาคา่ คาดหวังการสูญเสยี โอกาสต่าสุด
2.3 จงหาค่าEPPI และค่า EVPI

3. ข้าราชการผู้หนึ่งต้องการซ้ือรถยนต์รุ่นล่าสุดย่ีห้อหนึ่งจากบริษัทแห่งหนึ่งโดยบริษัทมีทางเลือกให้ 2
ทาง คือถ้าซื้อรถยนต์ดังกล่าวด้วยเงินสดราคา 589,000 บาท แต่ถ้าซื้อรถยนต์ด้วยเงินผ่อน ไม่
ต้องวางเงินดาวน์และทางบริษัทคิดดอกเบ้ียร้อยละ 3 ต่อปี ซ่ึงต่ากว่าดอกเบ้ียเงินฝากของธนาคาร
สมมติว่าข้าราชการผู้นี้มีเงินสดพอท่ีจะซ้ือรถยนต์คันดังกล่าวด้วยเงินสด ถ้าท่านเป็นข้าราชการผู้นี้
ทา่ นจะเลือกซ้ือรถยนต์ดว้ ยเงินสดหรอื เงนิ ผ่อน

4. รา้ นขายหนังสือแห่งหนึ่ง รับนิตยสาร “เทยี่ วไทย” ซง่ึ เป็นนิตยสารรายสัปดาหม์ าขาย ถ้าขายไม่หมดในแต่
ละสปั ดาห์จะขายไม่ได้ เนื่องจากเล่มใหม่ของสัปดาหถ์ ดั ไปจะออกมาวางขายแลว้ ถ้าเจ้าของรา้ นคาดวา่
จานวนนติ ยสารเที่ยวไทยที่จะขายไดใ้ นแต่ละสัปดาห์จะเปน็ 6 หรือ 7 หรอื 8 เล่ม ตอ่ สัปดาห์ โดยทางรา้ น
ตอ้ งสงั่ ตอนตน้ สปั ดาห์ ราคาต้นทนุ เล่มละ 30 บาท ขายในราคา 50 บาท/เล่ม ถา้ ทางรา้ นมนี โยบายท่ีจะให้
ลูกคา้ พอใจ คือ ยอมขาดทนุ อยากทราบจานวนทที่ างร้านควรสั่งซ้ือในตอนต้นสปั ดาหค์ วรเป็นกเี่ ล่ม
โดยใช้เกณฑ์การตดั สนิ ใจทงั้ 5 เกณฑ์ คือ Maximax , Laplace , Maximin , Minimax Regret ,
Hurwicz

5. ผู้ผลติ ขนมปังรายหนง่ึ ผลิตขนมปงั ซงึ่ บรรจุห่อ โดยขนมปังน้ีจะต้องจาหน่ายให้หมดในวนั เดียว ถา้

จาหน่ายไม่ได้ วนั รงุ่ ข้นึ ตอ้ งนาไปท้งิ จากประสบการณ์ในอดีตจะมีลูกค้าซื่อขนมปงั เป็นจานวนตา่ งๆดงั น้ี

อปุ สงค์รายวัน(หนว่ ย:หอ่ ) 10 20 30 40

ความนา่ จะเปน็ 0.1 0.3 0.4 0.2

ในการผลิตขนมปังออกจาหน่ายมตี น้ ทนุ ห่อละ 10 บาท และขายไดห้ อ่ ละ 20 บาท

99

3.1 จงหาค่าหวังผลตอบแทนสงู ที่สดุ
3.2 จงหาคา่ คาดหวังการสูญเสยี โอกาสตา่ สดุ
3.3 จงหาคา่ EPPI และคา่ EVPI

6. จากข้อ 3 เม่ือทราบว่าในระยะเวลา 10 วนั ขายนติ ยสารเท่ียวไทยได้ 6 เลม่ 3 วนั ขายได้ 7 เลม่ 4 วนั
และขายได้ 8 เล่ม 3 วัน
6.1 จงหาค่าหวงั ผลตอบแทนสูงที่สุด
6.2 จงหาค่าคาดหวงั การสูญเสียโอกาสตา่ สุด
6.3 จงหาคา่ EPPI และคา่ EVPI

100

บทที่ 5
การคาดการณแ์ ละการแกป้ ญั หาในชีวติ ประจาวัน

การคาดการณ์และการแก้ปัญหาในชีวิตประจาวัน หมายถึง การใช้วิธีการคานวณทางคณิตศาสตร์ ในการ
แก้ไขปัญหาบางประการในชวี ติ ประจาวัน เช่น

ถ้านักศึกษาจะเดินทางจากจังหวัดแพร่มากรุงเทพฯ อยากจะทราบว่า ค่าใช้จ่ายในการเดินทางโดยทางรถไฟ
กับรถยนต์โดยสารปรับอากาศ เมื่อรวมค่ารถรับจ้างจากสถานีรถไฟ หรือสถานีขนส่งสายเหนือท่ีนักศึกษาจะต้องจ่าย
แลว้ ควรจะเลอื กเดินทางด้วยวธิ ใี ดดี ปญั หาท่กี ล่าวมาน้ีใชก้ ารบวกในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างของปัญหาท่ีใช้การคานวณร้อยละใน การแก้ปัญหา เช่น ถ้านักศึกษาคนหน่ึง ไปแข่งขันตอบปัญหา
ของหนังสอื รายสปั ดาห์ฉบบั หนึง่ ไดเ้ งนิ รางวลั มา 50,000 บาท และจะใช้เงนิ จานวนที่ได้ในอีก 1 เดือนข้างหน้า จีงคิด
ว่า ถ้านาเงินจานวนนี้ไปฝากธนาคารไว้ก่อน โดยฝากในบัญชีเงินฝากประจาประเภท 1 เดือน ได้ดอกเบ้ียร้อยละ 8.5
แต่จะตอ้ งเสียภาษี 15% ต่อปี กับถ้าฝากเงินแบบออมทรัพย์ ได้ดอกเบี้ยร้อยละ 6.75 ต่อปี นักศึกษาควรจะฝากแบบ
ใดจงึ จะได้ดอกเบ้ียมากกวา่ กนั เปน็ ต้น

5.1 การคาดการณแ์ ละการแกป้ ัญหาเก่ียวกับระยะทางทส่ี นั้ ท่สี ุด

ตัวอย่างที่ 1 จากแผนที่ภาคเหนือ เราสามารถจาลองเป็นกราฟท่ีมีน้าหนักได้ดังรูป (น้าหนักคือระยะทาง กิโลเมตร)
จงหาระยะทางสัน้ ทสี่ ุดเพ่อื จะเดินทางจากจังหวัดนครสวรรค์ไปจังหวดั พิษณโุ ลก

ที่มา TiG teams

ตอบ วิถีที่เปน็ ไปไดท้ ้งั หมดคอื

1. นครสวรรค์ – กาแพงเพชร – พิษณโุ ลก มรี ะยะทางรวม 132 + 110 = 242 กโิ ลเมตร
2. นครสวรรค์ – กาแพงเพชร – พจิ ิตร - พิษณโุ ลก มีระยะทางรวม 132 + 100 + 57= 289 กิโลเมตร
3. นครสวรรค์ – พจิ ติ ร– พษิ ณโุ ลก มีระยะทางรวม 104 + 57 = 161 กโิ ลเมตร
4. นครสวรรค์ – พจิ ติ ร– กาแพงเพชร - พษิ ณโุ ลก มรี ะยะทางรวม 104 + 100 +110 = 314 กิโลเมตร
5. นครสวรรค์ – เพชรบรู ณ์ - พษิ ณโุ ลก มรี ะยะทางรวม 174 + 177 = 351 กิโลเมตร
6. นครสวรรค์ – เพชรบรู ณ์ – พจิ ิตร - พษิ ณุโลก มรี ะยะทางรวม 174 + 133 +57 = 364 กโิ ลเมตร

101

7. นครสวรรค์ – เพชรบูรณ์ – พิจิตร – กาแพงเพรช - พิษณุโลก มีระยะทางรวม 174 + 133 +100 + 110 =
517 กโิ ลเมตร

ดงั นัน้ ระยะทางท่สี ัน้ ทสี่ ุดจากจงั หวดั นครสวรรคไ์ ปจังหวัดพษิ ณุโลก คือ 161 กโิ ลเมตร โดยผา่ นทาง นครสวรรค์ –
พิจิตร– พษิ ณุโลก

การหาวิถีสั้นที่สุดสามารถประยุกต์ได้หลากหลายมาก ซึ่งแม้แต่การค้นหาข้อมูลของ Google ก็ใช้วิธีการหา
วิถีสั้นทส่ี ดุ ถ้านกั ศกึ ษาสนใจ สามารถศกึ ษาขอ้ มูลเพ่ิมเตมิ จากหนังสือทฤษฎีกราฟทั่วไปหรือแหล่งการเรียนรู้ออนไลน์
เพิ่งเตมิ

5.2 การคาดการณ์และการแกป้ ญั หาเก่ียวกับดอกเบยี้
จากบทท่ี 4 จะเห็นได้ว่าอัตราดอกเบ้ียเป็นเพียงตัวเลขพื้นฐานในการตัดสินใจข้ันพื้นฐานในการลงทุนเท่าน้ัน

ซงึ่ บางครงั้ แม้อัตราดอกเบ้ยี ต่อปีจะเท่ากันหากมีการคิดดอกเบี้ยเป็นจานวนงวดที่ไม่เท่ากันแล้วจะส่งผลให้จานวนเงิน
รวมสนิ้ ปีมีคา่ ไม่เท่ากันด้วย ซึ่งการตดั สินใจเกีย่ วกับเรื่องการเงนิ น้นี น้ั พิจารณาได้จากตัวอยา่ งดังต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 2 ถา้ ตอ้ งการฝากเงิน 1,200,000 บาท เป็นเวลา 3 ปี โดยพิจารณาเงินฝากไว้ 2 ธนาคาร โดยมี

ผลตอบแทนดังตาราง

ธนาคาร A ธนาคาร B

อตั ราดอกเบี้ย(2ปแี รก) 2% 3%

อัตราดอกเบ้ีย(3ปีต่อไป) 4% 3%

ระยะเวลาการคิดดอกเบย้ี ทกุ 3 เดอื น ทุก 1 ปี

แลว้ เราควรฝากเงินกับธนาคารใดเพ่ือใหไ้ ด้รับผลตอบแทนมากทสี่ ุด

วิธีทา จากโจทยจ์ ะได้ P = 1,200,000 บาท

ธนาคาร A อัตราดอกเบีย้ 2 ปีแรกเป็น 2% และคิดดอกเบย้ี ทุก 3 เดือนนั่นคอื 4 งวดต่อปี
R 2
อตั ราดอกเบ้ยี รายงวด (i) คอื m % = 4 % = 0.5 %

ฝากเงิน 2 ปแี รก มีจานวนงวด (m) = 4 x 2 = 8 งวด
= P(1  i)n
ดงั นั้นเมื่อสิน้ ปีที่ 2 จะมีเงินรวม Sn = 1,200,000(1 100.50)8

= 1,248,848.45 บาท

อัตราดอกเบี้ยปีที่ 3-5 เป็น 4 % และคิดดอกเบยี้ ทกุ 3 เดือนน่นั คอื 4 งวดต่อปี
R 4
อัตราดอกเบยี้ รายงวด (i) คือ m % = 4 % = 1%

ฝากเงนิ ปที ่ี 3-5 ดงั นั้นคดิ เป็นจานวนงวด (m) = 3 x 4 = 12 งวด
ดงั นัน้ เม่อื สิ้นปีที่ 2 จะมเี งนิ รวม Sn = P(1 i)n

102

= 1,248,8484. 5(1  1 )12
100
= 1,407,233.69 บาท
บาท
ธนาคาร B ฝากเงินตน้ (P) = 1,200,000
งวด
อตั ราดอกเบี้ย 5 ปีเปน็ 3% และคดิ ดอกเบยี้ ทุก 1 ปี นน่ั คือ 1 งวดตอ่ ปี
R 3 บาท
อัตราดอกเบย้ี รายงวด (i) คือ m % = 1 % = 3% 

ฝากเงนิ 5 ปี มีจานวนงวด (m) = 5x1 = 5
= P(1  i)n
ดงั นนั้ เมอ่ื สน้ิ ปีท่ี 2 จะมเี งินรวม Sn 3 )5
100
= 1,200,000(1 

= 1,391,128.89

ดังน้ันโดยสรปุ แล้วควรฝากเงินกบั ธนาคาร A

ตวั อยา่ งที่ 3 ถา้ กูเ้ งินจากธนาคารเพื่อลงทนุ ในกจิ การเปน็ เงิน 600,000 บาท โดยมอี ัตราดอกเบี้ย 10% ตอ่ ปโี ดยคิด

ดอกเบย้ี รายปี ถา้ ผอ่ นธนาคารคนื เปน็ เงิน 100,000 บาทต่อปี แลว้ เราสามารถคืนทนุ จากการลงทุนนภี้ ายใน

ระยะเวลาก่ีปี

วธิ ีทา จากโจทย์จะได้วา่ เงินต้นเปน็ (P) 600,000 บาท

อตั ราดอกเบ้ยี เป็น 10% ต่อปี

มรี ะยะเวลาคดิ ดอกเบ้ียทุก 1 ปี

เราสามารถพจิ ารณาเงนิ ตน้ ในแต่ละปีไดจ้ ากตารางดา้ นล่าง

ปีท่ี เงินต้น ดอกเบี้ยเม่อื ส้นิ ปี เงนิ ต้นรวม ใช้เงนิ คืน เหลือเงนิ ตน้
I=PxR ดอกเบ้ีย
1 600,000 600,000x (11000) = 60,000 660,000 100,000 560,000
2 560,000 560,000x (11000) = 56,000 616,000 100,000 516,000
3 516,000 516,000x (11000) = 51,600 567,600 100,000 467,600
4 467,600 467,600x (11000) = 46,760 514,360 100,000 414,360
5 414,360 414,360x (11000) = 41,436 455,796 100,000 355,7960
6 355,796 355,796 x (11000) = 35,579.60 391375.60 100,000 29,1375.60

103

ปีที่ เงินตน้ ดอกเบี้ยเม่ือสนิ้ ปี เงินต้นรวม ใช้เงนิ คนื เหลือเงนิ ต้น
I=PxR ดอกเบย้ี
7 29,1375.60 29,1375.60x (11000) =29,137.56 320,513.16 100,000 220,513.16
8 220,513.16 220,513.16x (11000) =22,051.32 242,564.48 100,000 142,564.48
9 142,564.48 142,564.48x (11000) =14,256.45 156,820.92 100,000 56,820.92
10 56,820.92 56820.92x (11000) =5,682.09 62,503.02 62,503.02
0

ซึง่ เราสามารถสรปุ ได้ว่าเราสามารถคืนทนุ จากการลงทนุ นี้ได้ภายในระยะเวลา 10 ปี 

การประยุกต์ใช้การหาความยาวของวิถีที่สั้นท่ีสุดบนกราฟสามารถประยุกต์ใช้เพ่ือหา ราคาในการไหลน้อยที่สุดได้

(Minimum cost flow) ซึ่งจะแสดงใหเ้ หน็ ในตัวอย่างต่อไปนี้

ดอกเบ้ยี ทน่ี ิยมใชก้ นั ในปจั จบุ นั มี 2 แบบดว้ ยกัน คอื

1. การคิดดอกเบ้ียเชิงเดยี ว
2. การคิดดอกเบย้ี ทบตน้

1. ดอกเบยี้ เชิงเดียว (Simple Interest)
ดอกเบยี้ เชงิ เดียว เปน็ ดอกเบ้ียท่คี ดิ จากเงินตน้ เรม่ิ แรก ซึง่ จานวนดอกเบ้ียดังกลา่ วจะคงที่เทา่ กนั ทุกปีโดย

การคิดดอกเบยี้ เพยี งครัง้ เดียว หลงั จากครบกาหนดเวลาการกู้ยมื หรอื การฝาก ซง่ึ สามารถหาสูตรไดด้ งั นี้
เงนิ รวม = เงินต้น + ดอกเบย้ี

S = P+I

เมื่อ I = P  r  t
ดยที่ S แทน เงินรวม หรือเงนิ ที่ผขู้ อยมื จะตอ้ งชาระคืนแกผ่ ู้ให้ยืมทงั้ เงนิ ต้นและดอกเบย้ี

P แทน เงนิ ต้น
I แทน จานวนดอกเบ้ยี
r แทน อตั ราดอกเบีย้
t แทน ระยะเวลา
หมายเหตุ : ในการคานวณดอกเบีย้ เชิงเดยี วน้ี มีข้อสังเกตที่ควรทราบดงั น้ี
1) คา่ r เป็นอัตราดอกเบ้ียร้อยละ ดงั นัน้ การแทนค่าในสตู รจะต้องหารดว้ ย 100 เสมอ
2) ค่า r และ t จะต้องสัมพนั ธ์กัน เชน่ ถา้ r คอื อัตราดอกเบยี้ ต่อเดือน คา่ t ตอ้ งทาให้มหี น่วยเป็นเดอื นด้วย
หรอื ถ้า r คืออัตราดอกเบย้ี ต่อปี ค่า t ต้องทาให้มหี นว่ ยเป็นปีด้วย

104

ตัวอย่างที่ 4 ไก่กเู้ งนิ หมูมา 100 บาท เปน็ เวลา 5 ปมี าแล้ว โดยท่ีหมคู ดิ ดอกเบ้ียเชิงเดยี วในอตั รา 15% ต่อปี อยาก
ทราบว่า

(1) ไกจ่ ะตอ้ งจ่ายดอกเบย้ี ให้หมูเปน็ เงินเท่าไร
(2) ไก่จะต้องใช้หนหี้ มูท้ังเงินตน้ และดอกเบยี้ รวมเปน็ เงนิ เทา่ ไร
วธิ ีทา
(1) จากโจทย์ P = 100 , t = 5 , r = 15% = 0.15

จากสูตร I = P  r  t
= 100  0.15  5

= 75

ไกจ่ ะตอ้ งจ่ายดอกเบยี้ ให้หมเู ป็นเงิน 75 บาท

(2) จากโจทย์ P = 100 และ I = 75
จากสตู ร S = P + I
= 100 + 75
= 175

ไกจ่ ะต้องใชห้ นห้ี มูทงั้ เงนิ ต้นและดอกเบี้ยรวมเป็นเงนิ 175 บาท

ตัวอย่างที่ 5 นักลงทนุ รายหนงึ่ ซือ้ หนุ้ กู้อายุ 10 ปี โดยทนี่ ักลงทนุ ต้องการผลตอบแทนคืนทั้งหมด เมื่อครบกาหนด 10
ปี เปน็ จานวน 1,000,000 บาท ถา้ ผอู้ อกหุ้นกู้ใหผ้ ลตอบแทน 10% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบ้ยี แบบเชิงเดียว นักลงทนุ ควร
จะลงทุนซื้อหุ้นกเู้ ปน็ จานวนเทา่ ใด
วิธที า จากโจทย์ t = 10 , S = 1,000,000 , r = 10% = 0.1

จากสูตร S = P + I
S = P + (P  r  t)
S = P (1+ rt)

1000000 = P (1 + (0.110))
P = 500000

นกั ลงทนุ ควรจะลงทนุ ซ้ือหุ้นกู้เปน็ จานวน 500,000 บาท

วิธที าใหร้ ะยะเวลาในการกู้ยืมเงินมหี น่วยเป็นปี
เนอ่ื งจากในทางปฏิบตั ิค่า r มักจะถูกกาหนดเปน็ อัตราดอกเบ้ยี ต่อปอี ยู่แล้วเป็นส่วนใหญ่ ดังน้นั ในการคานวณ

ดอกเบ้ยี โดยเลือกวิธีทาใหค้ ่า r และ t มีหนว่ ยเป็นต่อปี จึงเป็นท่ีนิยมมากกว่า ซ่งึ วธิ ีทาใหค้ ่า t หรือระยะเวลาในการ
กยู้ ืมเงินให้มีหน่วยเป็นปี สามารถทาได้ ดังนี้

(1) ถา้ t มีหน่วยเป็นเดือน สามารถทาให้มีหนว่ ยเป็นปี โดยจานวนเดอื นใน 1 ปมี าหาร ดงั น้ี
t = จานวนเดอื น / จานวนเดอื นใน 1 ปี

(2) ถ้า t มีหน่วยเป็นวนั สามารถทาใหม้ หี นว่ ยเปน็ ปีโดยนาจานวนวนั ใน 1 ปมี าหารดังนี้
t = จานวนวัน / จานวนวนั ใน 1 ปี

โดยท่ี “จานวนวนั ใน 1 ปี” ซ่งึ เป็นตวั ส่วนในสูตรอาจกาหนดได้ 2 วิธี คือ
ก.การคดิ ดอกเบ้ียแบบธรรมดา (Ordinary Interest) วธิ นี จ้ี ะสมมติให้จานวนวนั ใน 1ปีมี 360 วัน

105

ข.การคดิ ดอกเบี้ยแบบแทจ้ ริง (Exact Interest) วิธีนจ้ี ะใช้จานวนวนั ใน 1ปีตามที่เปน็ จริง คอื 1 ปี มี

365 วัน หรอื 366 วนั ในบางป(ี ปีอธิกสรุ ทนิ )

ส่วน “จานวนวนั ” ซง่ึ เปน็ ตวั เศษในสตู ร สามารถนบั ได้ 2 วธิ ีด้วยกัน คือ

ก.การนับวนั แบบแทจ้ รงิ (Exact Time) ซึ่งหมายถึง การนบั จานวนวันตามทีเ่ ปน็ จรงิ โดยรวมวัน

แรกหรือวันสุดท้ายวันใดวนั หน่งึ ในท่ีนี้จะใชว้ ิธีนับวนั สุดทา้ ย ตวั อย่างเช่น นบั จานวนวนั ทแ่ี ทจ้ ริงของการฝากเงิน

ระหว่างวันท่ี 20 เมษายนถงึ วันที่ 24 มิถนุ ายน ได้ดงั นี้

เมษายน 10 วัน (วนั ท่ี 20 ถงึ วนั ที่ 30)

พฤษภาคม 31 วัน

มิถุนายน 24 วนั

รวม 65 วัน

ข. การนับจานวนแบบกะประมาณ (Approximate Time) ซง่ึ หมายถงึ การนบั จานวนวัน โดย

การประมาณว่า 1 เดอื นมี 30 วันเท่ากนั ทุกเดือน ดงั น้ัน จากตัวอยา่ งเดิมถ้าให้นบั จานวนแบบกะประมาณ จากวันท่ี

20 เมษายน ถึงวนั ท่ี 24 มถิ ุนายน สามารถทาได้ 2 วิธี ดังนี้

เมษายน 10 วัน (วันท่ี 20 ถงึ วนั ท่ี 30) วนั ท่ี 20 เมษายนถึง 20 มิถุนายน

พฤษภาคม 30 วัน คือ 2 เดอื น = 60 วัน

มิถุนายน 24 วัน วนั ที่ 20 ถงึ 24 มถิ ุนายน = 4 วนั

รวม 64 วัน รวม = 64 วัน

สรุปได้วา่ ในการคานวณดอกเบี้ย โดยกาหนดให้ค่า t มีหน่วยเป็นวัน สามารถทาได้ 4 แบบดว้ ยกนั คือ

แบบที่ 1 คดิ ดอกเบีย้ แบบธรรมดาและนบั วันแบบแทจ้ ริง ซึ่งจะได้สตู ร ดงั น้ี

t = จานวนวันท่แี ทจ้ รงิ /360

แบบที่ 2 คดิ ดอกเบย้ี แบบธรรมดาและนบั วนั แบบกะประมาณ ซ่ึงจะได้สูตร ดังนี้

t = จานวนวันทป่ี ระมาณ/360

แบบที่ 3 คดิ ดอกเบี้ยแบบแท้จริงและนับวนั แบบแท้จริง ซึง่ จะได้สตู รดังนี้

t = จานวนวันท่แี ทจ้ ริง/365หรอื 366

แบบท่ี 4 คิดดอกเบย้ี แบบแท้จรงิ และนบั วนั แบบกะประมาณ ซ่งึ จะได้สตู รดังน้ี

t = จานวนวนั ที่กะประมาณ/365หรอื 366

อนึง่ การคดิ ดอกเบี้ยในแบบท่ี 1 เป็นแบบท่ีใหป้ ระโยชนแ์ กผ่ เู้ ปน็ เจา้ หนีม้ ากที่สุด เพราะระยะเวลาในการคดิ

ดอกเบย้ี มากกวา่ กะประมาณ อีกท้ังตัวหารก็น้อยกว่าแบบการคิดดอกเบ้ยี แบบแทจ้ ริง ดังนน้ั

ตัวอย่างท่ี 6 นายบญุ ตระกูลฝากเงินจานวน 100,000 บาท กบั ธนาคารแห่งหน่ึงเปน็ เวลา 6 เดือน โดยธนาคารคดิ
ดอกเบยี้ 8% ต่อปี อยากทราบว่า

ก. นายบุญตระกลู ได้รบั ดอกเบ้ียจานวนเท่าไร
ข. เมอ่ื ครบ 6 เดอื น นายบุญตระกลู จะมเี งนิ ในบัญชีเทา่ ไร
วิธที า
วธิ ที ี่ 1

106

ก. สูตร I = Prt

จากโจทย์ P= 100,000 บาท t=162 หรือ 1 r = 8 หรอื 0.08
2 100

แทนคา่ I = 100,000  1 0.08
2

ดอกเบ้ยี = 4,000 บาท

ข. สูตร S = P+I

จากโจทย์ P = 100,000 บาท I = 4,000 บาท

แทนคา่ S = 100,000 + 4,000

เงนิ รวม = 104,000 บาท

วธิ ที ่ี 2

สามารถทาได้โดย ทาให้ค่า r และ t เปน็ ต่อเดือน ซึ่งมวี ิธที า ดงั นี้

จากโจทย์ P = 100,000 บาท t = 6 เดือน r = 0.08 หรือ 8

12 12100

แทนคา่ I = 100,000 6 8 ดอกเบ้ยี =

12 100

4,000 บาท

เงินรวม = 100,000 + 4,000

= 104,000 บาท

ขอ้ สงั เกต : จะเหน็ ได้วา่ ไมว่ า่ จะเป็นวธิ ีท่ี 1 หรือวิธีที่ 2 ก็จะใหผ้ ลลัพธท์ เ่ี ท่ากนั เสมอ

ตวั อยา่ งที่ 7 นายอรุณขอยืมเงนิ 20,000 บาท จากนางประไพเพ่ือนาไปลงทุนคา้ ขาย เมอื่ วนั ที่ 13 ตลุ าคม 2531

โดยสญั ญาวา่ จะใชค้ นื ในวนั ที่ 15 กมุ ภาพันธ์ 2532 และนางประไพคิดดอกเบีย้ จากอรุณแบบเชิงเดยี วในอตั รา 10%

ตอ่ ปี จงคานวณหาจานวนดอกเบี้ยซ่งึ คิดโดยวิธี

(1) คดิ ดอกเบย้ี แบบธรรมดาและนบั วนั แบบแท้จริง

(2) คดิ ดอกเบย้ี แบบธรรมดาและนับวนั แบบกะประมาณ

(3) คิดดอกเบี้ยแบบแท้จริงและนบั วันแบบแท้จรงิ

(4) คิดดอกเบย้ี แบบแท้จริงและนับวันแบบกะประมาณ

วธิ ที า

จานวนวนั ทแี่ ท้จรงิ จานวนวันที่กะประมาณ

ตลุ าคม 18 วนั (วันท่ี 13 ถึงวันท่ี 31) 17 วัน (วนั ที่ 13 ถึงวนั ที่30)

พฤศจิกายน 30 วนั 30 วัน

ธันวาคม 31 วัน 30 วัน

มกราคม 31 วัน 30 วัน

107

กุมภาพันธ์ 15 วัน 15 วนั

รวม 125 วัน รวม 122 วนั

ดอกเบี้ยเชิงเดียว แบบที่ 1. = 20,000 10  125 = 694.44 บาท

100 360

ดอกเบย้ี เชิงเดยี ว แบบท่ี 2. = 20,000 10  122 = 677.78 บาท

100 360

ดอกเบีย้ เชิงเดยี ว แบบที่ 3. = 20,000 10  125 = 684.93 บาท

100 365

ดอกเบย้ี เชงิ เดียว แบบท่ี 4. = 20,000 10  122 = 668.49 บาท

100 365

การคานวณหาค่าตา่ ง ๆจากสูตรการคานวณหาดอกเบย้ี เชงิ เดยี ว

สูตร 1 = Prt นน้ั นอกจากจะใช้คานวณหาดอกเบยี้ เชงิ เดียว (ในกรณีทราบคา่ ของเงินตน้ อตั รา

ดอกเบย้ี และระยะเวลา) ยงั สามารถจะนามาหาคา่ ต่าง ๆ ไมว่ ่าจะเปน็ เงนิ ตน้ อัตราดอกเบ้ียหรือระยะเวลาได้ โดยที่ผู้

คานวณจะต้องทราบค่าของจานวนดอกเบ้ยี เชงิ เดียวและค่าอน่ื ๆ ทีเ่ หลืออีก 2 ค่าดังกล่าว ตวั อยา่ งเช่น ถา้ ต้องการ

คานวณหาอตั ราดอกเบีย้ ก็ต้องทราบค่าของจานวนดอกเบ้ียเชิงเดียว เงนิ ตน้ และระยะเวลาเป็นต้น

การคานวณหาอตั ราดอกเบีย้

ตัวอย่างท่ี 8 นายสุรพลกู้เงินจากสหกรณแ์ ห่งหนึง่ เป็นจานวนเงิน 260,000 บาท เปน็ เวลา 3 เดือน พอครบ
กาหนดเวลานายสรุ พลตอ้ งจ่ายดอกเบี้ยไปเปน็ จานวนเงิน 5,200 บาท อยากทราบว่า สหกรณแ์ ห่งนั้นคิดอตั รา

ดอกเบย้ี เงนิ กนู้ เี้ ท่าไร

วธิ ีทา

สตู ร I = Prt

จากโจทย์ P = 260,000 บาท I = 5,200 บาท t = 3 = 1 ปี

12 4

แทนคา่ 5,200 = 260,000 r  1

4

5,200 = 65,000 r

r = 5,200
อัตราดอกเบ้ยี
65,000

= 0.08 หรอื 8% ตอ่ ปี

การคานวณหาระยะเวลา
ตวั อยา่ งที่ 9 นายเจนณรงค์กู้เงินธนาคารเป็นจานวนเงิน 480,000 บาทโดยธนาคารคิดดอกเบยี้ 7.5%ตอ่ ปี เมื่อเวลา
ผ่านไประยะหน่ึงนายเจนณรงค์ไปตรวจสอบดูทธี่ นาคาร ปรากฎวา่ ธนาคารแจง้ ว่านายเจนณรงคเ์ ป็นหนีธ้ นาคารเปน็
จานวนเงนิ ทง้ั สน้ิ 498,000 บาท อยากทราบวา่ นายเจนณรงค์ได้กู้เงินจากธนาคารเปน็ เวลานานเทา่ ใด
วธิ ีทา

สตู รS = P + I

จากโจทย์ P = 480,000 บาท S = 498,000 บาท r = 7.5 = 0.075

100

108

แทนค่า 498,000 = 480,000 + I

I = 498,000 - 480,000

= 18,000 บาท

สูตรI = Prt
แทนคา่ 18,000 = 480,0000.075t

t = 18,000

65,000

= 1 ปี

2

ระยะเวลาในการกู้ = 1 ปี

2

การคานวณหาเงินตน้

ตวั อย่างที่ 10 จงคานวณหาเงนิ ตน้ ทีก่ มู้ า เมอ่ื จานวนดอกเบ้ยี จา่ ยคือ 18,000 บาท โดยเจา้ หนคี้ ิดอตั ราดอกเบีย้ 12%

ตอ่ ปแี ละระยะเวลาในการก้คู ือ 2 เดือน

วธิ ที า

สตู ร I = Prt

จากโจทย์ I = 18,000 บาท r = 12 = 0.12 t = 2 = 1 ปี

100 12 6

แทนค่า 18,000 = P 0.12 1

6

P = 18,000
เงนิ ตน้ ท่กี ู้มา
0.12  1
6

= 900,000 บาท

การคานวณดอกเบี้ยทบต้น
ดอกเบี้ยทบตน้ หมายถึง ดอกเบี้ยที่คดิ จากเงนิ ต้นเรม่ิ แรกบวกกบั ดอกเบยี้ ท่ีไดร้ ับในแต่ละงวดทผ่ี ่านมาโดยมี

แนวคดิ วา่ ได้มีการนาจานวนดอกเบี้ยท่ีได้รับในงวดก่อน ๆ นน้ั ไปลงทุนต่อ อนั จะมผี ลให้ดอกเบ้ยี ทค่ี านวณได้เพ่มิ ข้นึ
ทกุ ปีตามเงนิ ต้นท่เี พ่มิ ขึ้นนั้น

การคานวณดอกเบ้ยี ทบต้นจะยุ่งยากกว่าการคานวณดอกเบี้ยเชิงเดยี ว เพราะเงินต้นท่นี ามาคดิ ดอกเบย้ี ในแต่
ละปีจะไมเ่ ทา่ กนั และนอกจากน้ี ในวงการธรุ กจิ ประเภทตา่ งๆ กย็ ังนยิ มคิดดอกเบย้ี ทบต้นต่อชว่ งเวลาที่แตกตา่ งกนั อกี
ด้วย เช่น อาจจะคดิ ดอกเบี้ยทบตน้ ต่อปี ต่อครึ่งปี ตอ่ เดือนจนไปถึงตอ่ วนั ก็ได้ อีกท้ังในการลงทุนบางอย่าง
ผลตอบแทนกว่าจะได้รับใชเ้ วลาหลายปมี าก ดังน้นั จึงมีการคิดสูตรท่วั ไปในการหาดอกเบ้ยี ทบต้น ดังนี้

ถ้ากาหนดให้
P = เงนิ ตน้
I = อัตราดอกเบีย้ ต่องวด
n = จานวนงวดท้ังหมด

109

Sn= เงนิ รวมปลายงวดที่ n
การคานวณหาเงินรวม สามารถทาได้ ดังน้ี

ปลายงวดที่ (n) เงินตน้ (p) ดอกเบ้ยี (I) เงินรวม (Sn)
(1) (2) (3) = (2)x1 (4) = (2)+(S)

1 P Pi P+Pi=P(1+i)

2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)+1(1+i)i=P(1+i)2

3 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2+P(1+i)2= P(1+i)3

ซ่ึงจะสงั เกตไดว้ ่า ในคอลัมนส์ ุดทา้ ยนนั้ จะเป็นดังนี้

เงินรวมในปที ี่ 1 S = P(1+i)1
เงินรวมในปีท่ี 2 S = P(1+i)2
เงินรวมในปที ่ี 3 S = P(1+i)3

ดังนั้น จึงสามารถสรุปเป็นสตู รทั่วไปในการคานวณหาเงนิ รวมในปีท่ี n หรอื มลู ค่าของเงินต้นจานวนหน่งึ ที่

ฝากเมอื่ ตน้ ปีท่ี 1 เป็นเวลา n ปี อตั ราดอกเบยี้ i% ตอ่ ปี โดยทีผ่ ฝู้ ากจะไมม่ ีการรับดอกเบ้ียไปใชก้ ่อนถึงกาหนดเวลา

ดังนี้
Sn = P(1+i)n

และสตู รทัว่ ไปที่ใช้คานวณหาดอกเบี้ยทบต้น ได้ดังน้ี
I = Sn-P

โดยที่ I คือ จานวนดอกเบ้ียทบตน้ ที่ต้องการหา
หมายเหตุ : ในการคานวณหาเงินรวมและดอกเบ้ยี ทบตน้ มีข้อสังเกตทค่ี วรทราบ คอื

ค่า iและ n จะตอ้ งสมั พันธก์ นั เช่น ถ้า iคอื อัตราดอกเบีย้ ต่อเดอื น n ก็ตอ้ งนับเป็นจานวนเดอื นด้วย หรือ ถา้ i
คอื อัตราดอกเบยี้ ต่อ 6 เดือน n ก็ต้องนับจานวนงวดโดยที่ 1 งวด คอื 6 เดอื นดว้ ย

แตเ่ น่อื งจากค่า iมักนิยมคิดเป็นตอ่ ปี ดังน้ัน เพ่ือใหส้ อดคล้องกบั ค่า n จงึ ใช้สตู ร ดงั นี้

อัตราดอกเบี้ยต่องวด (i) = อตั ราดอกเบ้ียต่อปที ่ีกาหนด
จานวนคร้ังที่คดิ ดอกเบ้ยี ใน 1 ปี

สว่ นค่า n กส็ ามารถทาได้ ดังนี้

จานวนงวดทง้ั หมด (n) = จานวนครงั้ ที่คดิ ดอกเบยี้ ใน 1 ปี x จานวนปีท่ีก้ยู มื

110

ตวั อยา่ งท่ี 11 นายบญุ ตระกูลฝากเงินไว้ทีธ่ นาคารแห่งหน่ึงเป็นจานวนเงิน 100,000 บาท อตั ราดอกเบีย้ 7% ต่อปี

โดยธนาคารจะคิดดอกเบยี้ แบบทบต้นให้ทุก ๆ 6 เดือน ถ้านายบุญตระกูลฝากเงินไวเ้ ป็นเวลา 5 ปีแลว้ โดยทไ่ี ม่ไดถ้ อน

เงินเลย อยากทราบว่า

ก.นายบุญตระกูลจะมเี งินในบัญชีเทา่ ไร

ข.นายบญุ ตระกลู ได้รบั ดอกเบี้ยจานวนเท่าไร

วธิ ีทา

ก. สตู ร Sn = P 1in

จากโจทย์ P = 100,000 บาท , i= 0.07 = 0.035, n = 52 = 10 งวด
แทนค่า 2
Sn = 100,000(1+0.035)10

= 100,000(1.4106)

เงนิ ในบญั ชี = 141,060 บาท

ข. สูตร I = Sn - P

จากโจทย์ P = 100,000 บาท Sn = 141,060 บาท

แทนคา่ I = 141,060 - 100,000

ไดร้ บั ดอกเบ้ยี จานวน = 41,060 บาท