Mathematical process

47

จงหาความแปรปรวนอายุของผู้ซื้อสนิ ค้า ภายหลงั รับชมรายการสง่ เสรมิ การขายผ่านเคเบิลทีวี
วธิ ที า สูตรทใี่ ช้ในการคานวณ

k

 fi (xi  )2

 2  i1
n1

อายุ(ป)ี fi xi fi xi fi (xi  )2 fi xi2
2412  288
18 – 30 12 18  30  24 (24  41.16)2 (12) 242 12  6,912
31 – 43 17 2 37 17  629 372 17  23,273
44 – 56 14  3,533.59
57 – 69 7 31 43  37 700 35,000
2 441 (24  41.16)2 (12) 27,783

50  3,533.59
63
1,094.04
3,338.90

รวม N  fi  50 k k k

 fi xi  2,058  fi (xi  )2  fi xi2

i1 i 1 i1

 8,260.72  92,968

k
 
fi xi  2,058  41.16
50
i1 2

n

แทนคา่ 8,260.72
50 1
ปี 2
  168.59

168.59 ป2ี ดังนั้น ความแปรปรวนอายขุ องผู้ซอ้ื สินค้า ภายหลงั รบั ชมรายการสง่ เสริมการขายผ่านเคเบลิ ทีวคี ือ

1.4.3 สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
เป็นการวดั การกระจายท่นี ยิ มใชก้ ันมากที่สุด เปน็ ค่าวดั การกระจายของค่าข้อมูลแตล่ ะค่ารอบๆ ค่าเฉล่ยี
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู ชดุ หนึง่ คือ รากทสี่ องของความแปรปรวน โดยเอาเฉพาะรากท่ีสองทีเ่ ปน็
ค่าบวกเทา่ น้ัน โดยให้  (อา่ นวา่ ซิกมา) เปน็ สัญญาลักษณ์ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร
กรณีขอ้ มูลไมแ่ จกแจงความถี่ มีสตู รในการคานวณดังนี้

N N

 (xi  )2  xi2

  i1 หรือ   i1  2
N N

เม่อื  แทน สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร

 แทน ค่าเฉล่ียประชากร

N แทน ขนาดประชากร

กรณขี ้อมูลแจกแจงความถี่ มสี ูตรในการคานวณดังนี้

k k

 fi (xi  )2  fi xi2

  i1 หรอื   i1  2
N N

48

ตัวอย่าง จากตารางข้อมลู ต่อไปนจ้ี งหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน

คะแนน ความถ่ี  f 

5-9 3

10 - 14 6

15 - 19 7

20 - 24 8

25 - 29 10

30- 34 12

35 - 39 14

วธิ ที า สร้างตารางแจกแจงความถี่

คะแนน ความถี่ ( f ) (x) (x2 ) ( fx ) ( fx2 )

5 - 9 3 7 49 21 147
864
10 - 14 6 12 144 72 2023
3872
15 - 19 7 17 289 119 7290
12288
20 - 24 8 22 484 176 19166

25 - 29 10 27 729 270  fx2  45650

30- 34 12 32 1024 384

35 - 39 14 37 1369 148

n  60  fx  1190

1. หาค่าเฉล่ียเลขคณติ จากสูตร   f x  1190  19.83
n 60

2. หาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน จาก

k
สูตร fixi2
  i1 N  2  45650  (19.83)2  8.79
60

ดังน้นั ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน คือ 8.79

49

กจิ กรรม
ใหน้ ักศึกษาสารวจ น้าหนัก และส่วนสูง ของเพอื่ นในห้อง เมอ่ื ไดข้ ้อมลู มาแล้วให้ช่วยกันสร้างตารางแจกแจง
ความถแี่ บง่ เปน็ ตารางน้าหนัก ตารางส่วนสงู (โดยตารางแจกแจงความถ่นี ้ันจะต้องประกอบไปด้วย ขีดจากดั ชนั้ รอย
ขดี ความถ่ี ความถีส่ ัมพทั ธ์ ร้อยละความถ่สี ัมพทั ธ์ ความถ่สี ะสม ความถ่ีสะสมสัมพัทธ์ ร้อยละความถส่ี ะสมสัมพัทธ์)
พรอ้ มท้ังหา ค่าเฉลย่ี มธั ยฐาน ฐานนยิ ม พิสัย ความแปรปรวน สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

แบบฝกึ หดั
1. จงอธิบายความหมายของคาว่าสถติ ิ
2. จงอธิบายความหมาย ความเหมือน และความแตกตา่ งของคาศัพทท์ างสถติ ิ ตอ่ ไปนี้
2.1 ประชากร กบั กลุ่มตวั อย่าง
2.2 ค่าพารามเิ ตอร์ กับ ค่าสถิติ
3. จงระบวุ า่ ข้อมูลตอ่ ไปนี้ เปน็ ข้อมลู เชงิ คณุ ภาพ หรือ เชิงปริมาณ และเป็นข้อมลู ทแ่ี บ่งตามมาตรการวัดใด
3.1 เพศ 3.2 รายได้ 3.3 คะแนนสอบวิชาหลักสถิติ 3.4 อุณหภมู ิ 3.5 อายุ 3.6 นา้ หนัก
4. ส่มุ ตัวอยา่ งนักศกึ ษาคณะบริหารฯ จานวน 30 คน สอบถามนา้ หนกั ของนักศึกษา มรี ายละเอยี ดดังน้ี
(หน่วย: กิโลกรมั )
54 56 67 43 44 45 65 56 58 68 69 45 65 39 42
64 67 47 65 43 55 62 67 52 63 41 68 67 66 58
จงหา ค่าเฉลยี่ มัธยฐาน ฐานนิยม พสิ ยั ความแปรปรวน สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน
5. คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนักศึกษาคณะวทิ ยาศาสตร์ เป็นดังน้ีดงั น้ี

59 87 98 76
82 81 90 83
87 78 82 84
78 70 79 85
79 86 56 73
77 60 58 82
79 68 86 70
80 88 95 96

จงสรา้ งตารางแจกแจงความถี่ จากขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี
พร้อมทั้งหาค่าเฉลีย่ มัธยฐาน ฐานนิยม ความแปรปรวนและสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน

50

2. การเลอื กตัวอยา่ ง
2.1 การเลอื กตัวอยา่ งแบบไม่ใช้หลกั ความนา่ จะเป็น
3.2 การเลอื กตัวอย่างแบบใชห้ ลกั ความน่าจะเป็น
การเลอื กตัวอย่าง
การเลือกตัวอย่าง (Sampling) คือ ขั้นตอนการดาเนินการเพื่อให้ได้มาซึ่งหน่วยตัวอย่างเพ่ือใช้สาหรับการ

ศึกษาวิจัย ประกอบด้วย 4 ขั้นตอนคือ การวางแผนการสุ่มตัวอย่าง กาหนดวิธีการสุ่มตัวอย่าง กาหนดขนาดตัวอย่าง
และเก็บรวบรวมข้อมูล แต่ละข้ันตอนล้วนมีความสาคัญเน่ืองจากถ้ามีความผิดพลาดเกิดข้ึน จะส่งผลต่อความ
คลาดเคลอื่ นในการสุ่ม(Sampling Error) ซง่ึ ในการวิจยั พยายามควบคมุ ความคลาดเคลอื่ นดังกล่าวให้ตา่ ทีส่ ุด

วิธีการเลือกตัวอย่าง แบ่งออกเปน็ 2 ประเภท คือ
1. การเลอื กตวั อยา่ งแบบไม่ใช้หลกั ความนา่ จะเป็น (Non-probability Sampling)

เปน็ วธิ กี ารเลอื กตวั อย่างท่ีทุกๆหน่วยของประชากรจะมีโอกสาสถกู เลอื กมาเป็นตัวอย่างไม่เท่ากัน เนื่องจากไม่
ทราบขนาดประชากร ทาให้เกิดความเอนเอียงในการเลอื กตัวอย่าง โดยแบ่งออกเป็น 5 วิธี คือ การเลือกตัวอย่างแบบ
บังเอิญ (Accidental Sampling) การเลือกตัวอย่างแบบกาหนดสัดส่วนหรือ โควต้า (Quota Sampling) และการ
เลือกตวั อยา่ งแบบบอกต่อ (Snowball Sampling ) มรี ายละเอียดดังน้ี

1. การเลือกตวั อย่างแบบบังเอญิ (Accidental Sampling)
เป็นวิธีการเลือกตัวอย่างที่ไม่มีกฎเกณฑ์ในการเลือก เลือกใครก็ได้ที่ให้ข้อมูลได้ โดยกลุ่มตัวอย่างท่ีได้ไม่
เป็นตวั แทนทดี่ ีของประชากร และผลท่ีไดก้ ไ็ มส่ ามารถอา้ งอิงถึงประชากรได้อย่างเท่ียงตรง
2. การเลือกตวั อย่างแบบกาหนดสดั ส่วนหรือ โควต้า (Quota Sampling)
เป็นวิธีการเลือกตัวอย่างท่ีพิจารณาคุณลักษณะของกลุ่มตัวอย่างแบ่งออกเป็นกลุ่มย่อยของประชากรตาม
ลกั ษณะทสี่ นใจ โดยกาหนดโควตา้ หรือกาหนดจานวนให้แต่ละกลุ่มย่อยท่ีเลือกมาเป็นตัวอย่าง และเลือกตัวอย่างแบบ
บังเอิญ ตามจานวนที่ต้องการในแต่ละลักษณะที่สนใจ เช่นต้องการศึกษาความพึงพอใจผู้ใช้บริการศูนย์อาหารของ
ห้างสรรพสินค้าแห่งหนึ่ง ผู้วิจัยสามารถกาหนดโควตาโดยใช้ระดับการศึกษาเป็นตัวแปรจาแนก และดาเนินการเก็บ
รวบรวมข้อมูลจากลุกค้าท่ีมีการศึกษาต่ากว่าปริญญาตรีจานวน 200 คน ปริญญาตรีจานวน 100 คน และสูงกว่า
ปรญิ ญาตรีจานวน 50 คน เป็นตน้
3. การเลอื กตัวอย่างเบบเฉพาะเจาะจง (Purposive Sampling)
เป็นวิธีการเลือกตวั อย่างทใี่ ช้ดุลพนิ จิ ของผู้วิจยั เป็นเกณฑใ์ นการเลือกหน่วยตวั อยา่ งทสี่ ามารถให้คาตอบ
เก่ียวกบั ปัญหาการวจิ ยั การเลือกตัวอยา่ งลกั ษณะนผี้ ูว้ ิจยั ควรเป็นผทู้ มี่ ีความร้เู กย่ี วกบั ลักษณะตา่ งๆ ของประชากร
เป้าหมายเปน็ อย่างดี จึงตดั สินใจไดว้ า่ ควรสุ่มตัวอย่างทม่ี ลี ักษณะเชน่ ใดมาศึกษา จุดออ่ นคือ เกดิ ความไม่แนใ่ จในกลุ่ม
ตวั อย่างท่ีได้จะเป็นตวั แทนท่ีดอี ยา่ งแท้จริงหรือไม่
4. การเลือกตวั อยา่ งแบบสะดวก (Convenience Sampling)
เป็นวิธีการเลือกตัวอย่างท่ีพิจารณาจากความสะดวกหรือง่ายในการเก็บข้อมูลเป็นหลัก หรือเลือกกลุ่ม
ตัวอย่างตามความเหมาะสมของสถานการณ์ ซ่ึงเป็นวิธีที่ได้รับความนิยมอย่างยิ่งในการศึกษาเกี่ยวกับพฤติกรรมของ
ผู้บริโภค เช่น ต้องการศึกษาความพึงพอใจผู้ใช้บริการศูนย์อาหารของห้างสรรพสินค้าแห่งหน่ึง ผู้วิจัยเ พียงแต่นา
แบบสอบถามไปสอบถามจากลูกค้าท่ีมาใชบ้ รกิ ารศูนย์อาหารดังกล่าวจนครบตามขนาดตัวอยา่ งที่ต้องการ เปน็ ต้น
5. การเลือกตวั อยา่ งแบบบอกต่อ (Snowball Sampling )
เป็นวิธีการเลือกตวั อย่างท่เี รมิ่ ตน้ ด้วยการเก็บข้อมลู จากตัวอย่างไมก่ ี่ราย และให้กล่มุ
ตัวอย่างแนะนากล่มุ ตวั อย่างรายตอ่ ไป

51

ข้อจากดั ของการเลอื กตัวอย่างแบบไมใ่ ชห้ ลกั ความน่าจะเปน็
1. ผลการวจิ ัยไม่สามารถอา้ งองิ ไปส่ปู ระชากรท้งั หมดได้ จะสรุปอยู่ในขอบเขตของกลมุ่ ตัวอย่างเทา่ น้นั
ข้อสรุปน้นั จะสรุปไปหาประชากรไดต้ ่อเม่ือกลุ่มตวั อย่างมลี ักษณะตา่ งๆที่สาคญั ๆเหมือนกบั ประชากร
2. กลุ่มตัวอย่างทีไ่ ด้นั้นขึ้นอยู่กับการตัดสินใจของผวู้ จิ ยั และองค์ประกอบบางตัวทีไ่ ม่สามารถควบคมุ ได้
และไมม่ วี ธิ ีการทางสถติ ิอย่างไรท่ีจะมาคานวณความคลาดเคลอ่ื นท่เี กดิ จากการสุ่ม (sampling error)

2. การเลอื กตวั อย่างแบบใช้หลกั ความนา่ จะเป็น (Probability Sampling)
เปน็ วธิ ีการเลือกตวั อย่างที่ทราบถึงโอกาสทแ่ี ต่ละหน่วยตวั อยา่ งถูกเลอื ก และความแมน่ ยาของตัว

ประมาณค่า ทัง้ นี้ต้องทราบขนาดประชากรเพื่อกาหนดกรอบตัวอยา่ งในการเลือก โดยแบง่ ออกเป็น 5 วธิ ี คือ การส่มุ
ตัวอยา่ งอยา่ งงา่ ย (Simple Random Sampling) การสุ่มตวั อยา่ งแบบมีระบบ (Systematic Sampling ) การส่มุ
ตวั อย่างแบบแบง่ ชนั้ ภูมิ (Stratified Sampling ) การสุ่มตวั อยา่ งแบบแบง่ กลุ่ม (Cluster Sampling) และการสุ่ม
ตัวอยา่ งแบบหลายข้ัน (Multi-Stage Sampling) มรี ายละเอยี ดดังน้ี

1. การสมุ่ ตัวอยา่ งอยา่ งง่าย (Simple Random Sampling : SRS)
เป็นการสุม่ ตวั อยา่ งท่เี ปน็ พน้ื ฐานสาคญั ในการพัฒนาตวั สถติ ิทดสอบต่างๆ โดยมีเงือนไขว่าทกุ หน่วยตัวอย่างมี
โอกาสถกู เลอื กเท่าๆกัน ซึง่ เหมาะสาหรบั การสมุ่ ตัวอยา่ งจากประชากรที่มีความเปน็ เอกพันธ์ (Homogeneity) หรอื
ทกุ หน่วยประชากรมลี ักษณะคลา้ ยคลึงกันหรือเสมอเหมอื นกัน
นิยาม การส่มุ ตัวอย่างอย่างงา่ ย คือ วิธกี ารสมุ่ ตวั อยา่ งท่แี ต่ละหนว่ ยตัวอยา่ งทีเ่ ปน็ ไปได้ทั้งหมดมโี อกาสถูก
เลอื กเทา่ ๆกนั
วิธีการสมุ่

การสมุ่ ตวั อยา่ งอย่างง่าย สามารถกระทาได้โดยวิธีการดังตอ่ ไปนี้
1) จับสลาก การสุ่มตวั อยา่ งอยา่ งงา่ ยโดยวธิ ีการจบั สลากเหมาะสมในกรณีทีจ่ านวนหน่วยใน

ประชากรมีจานวนไมม่ ากนกั วิธีการคือต้องเขยี นชื่อหนว่ ยตวั อยา่ ง หรอื จะเป็นหมายเลขท่ใี ช้แทน
หนว่ ยตัวอยา่ งแตล่ ะหนว่ ยของประชากรลงในสลาก แลว้ นาสลากท้ังหมดใสใ่ นภาชนะ เขยา่ ให้
คละกนั กอ่ นทีจ่ ะหยบิ สลากออกมาใหม้ ีจานวนเทา่ กับขนาดตวั อย่างที่ต้องการ ช่อื หรอื หมายเลขท่ี
ใช้แทนหน่วยประชากรท่ีอยู่ในสลากทจี่ บั ได้กจ็ ะตกเปน็ ตัวอย่างในการเก็บรวบรวมข้อมูล

2) การใชต้ ารางเลขสุม่ การสมุ่ ตวั อยา่ งอยา่ งงา่ ยโดยวธิ ีน้ีเหมาะสมในกรณีทีป่ ระชากรมีขนาดใหญ่
มขี ้ันตอนในการสุ่มดงั นี้
2.1 กาหนดหมายเลขลาดับท่ใี ห้กับหนว่ ยตัวอย่างแต่ละหน่วยในประชากร เช่น ถ้าขนาด
ประชากรเทา่ กบั 300 หน่วย กก็ าหนดเลขที่ 001 ถึง 300 ให้กบั แต่ละหนว่ ยของประชากร
ถ้าขนาดประชากรเท่ากับ 3500 ก็กาหนดเลขท่ี 0001 ถึง 3500
2.2 เปิดตารางเลขสุ่ม และกาหนดจานวนหลักของเลขทีจ่ ะสุม่ ให้เทา่ กบั จานวนหลักของเลขท่ี
กาหนดไว้ในข้อ 2.1
2.3 สุม่ เลขสุ่มตัวแรกในตาราง โดยอาจใช้วธิ หี ลับตาชี้ไปยังจดุ ใดจุดหนง่ึ ของตารางทีจ่ ุดน้ันก็เป็น
จดุ เรม่ิ ต้น และหน่วยตวั อย่างท่มี เี ลขตรงกบั เลขจากตารงก็จะเป็นหนว่ ยแรกท่ีตกเปน็
ตวั อย่าง
2.4 สาหรับตัวเลขสมุ่ ถัดไป อาจจะไลต่ ัวเลขไปทางขวา ไปทางซา้ ย ข้นึ หรือลงก็ได้ จนกระท่ังได้
หน่วยตัวอยา่ งครบตามท่ตี อ้ งการ
2.5 ถา้ เลขสุ่มมีค่ามากกวา่ หมายเลขในประชากรให้ตดั ออก หรืออา่ นข้ามไป กรณีสุ่มแบบไม่
แทนท่ี ถ้าไดห้ มายเลขซ้ากับท่ีเคยเลือกไวแ้ ลว้ ให้ตดั ออก หรอื อ่านข้ามไป

52

3) การใชโ้ ปรแกรมสาเรจ็ รูปทางสถติ ิ ข้นั ตอนในการสุ่ม ดาเนินการเช่นเดยี วกบั วธิ กี ารใชต้ าราง
เลขสุ่ม ต่างกนั ตรงตัวเลขสมุ่ จะไดจ้ ากการใช้โปรแกรมสาเร็จรปู ทางสถติ ิ

2. การสมุ่ ตัวอยา่ งแบบมรี ะบบ (Systematic Sampling)
นยิ าม การสุม่ ตวั อยา่ งแบบมรี ะบบ คือ การสุม่ ตวั อย่างทที่ าการเลอื กหนว่ ยตวั อย่างหน่วยแรก

(random start) ข้นึ มาโดยสุม่ และเลอื กตัวอยา่ งต่อๆไปจากทกุ k หน่วย ดงั นเ้ี รื่อยๆ ไปจนครบขนาดตัวอย่างที่
ต้องการ

เสน้ ตรง การส่มุ ตวั อย่างแบบมีระบบ เป็นวธิ ีที่เหมาะสมกับประชากรที่หน่วยตัวอย่างมีการจดั เรียงในลักษณะเป็น

วิธีการสุม่
การสุม่ ตัวอยา่ งแบบมรี ะบบ มขี น้ั ตอนในการสมุ่ ดงั นี้
1) กาหนดเลขท่ีใหก้ บั ทุกหนว่ ยในประชากรตง้ั แต่ 1 ถงึ N
2) คานวณหาขนาดของช่วง (Sampling interval แทนด้วย k) จากสูตร N/n โดยที่ N คอื ขนาด

ประชากร n คอื ขนาดตวั อยา่ ง
3) เลอื กหนว่ ยตวั อย่างหน่วยแรก (random start แทนดว้ ย r) จากเลข 1 ถงึ k หรือ 1 r  k ด้วย

ความนา่ จะเปน็ เทา่ ๆกนั ซึ่งอาจจะใชว้ ธิ ีจับสลากหรอื ใช้ตารางเลขสุ่ม
4) หนว่ ยตัวอย่างท่ีมีเลข r ในประชากรจะตกเปน็ ตัวอย่างหนว่ ยแรก หนว่ ยถัดไปทุกๆ หนว่ ยจะห่างจาก

หนว่ ยกอ่ นหน้า k หน่วย ดงั นั้น ตวั อย่างจะประกอบดว้ ยหนว่ ยท่ี r, r+k, r+2k, r+(n-1)k

ตัวอย่างท่ี กาหนดให้ประชากรประกอบดว้ ย 30 คน สมุ่ ตัวอยา่ งขนาด 3 คนจงแสดงข้ันตอนการส่มุ ตัวอยา่ งแบบมี
ระบบจากสิ่งท่ีกาหนดให้น้ี
วธิ ที า 1) กาหนดเลขที่ให้กับทุกหนว่ ยในประชากรตัง้ แต่ 1 ถงึ 30

1) คานวณหาขนาดของช่วง (Sampling interval แทนดว้ ย k ) จากสูตร N/n ดังน้ี k= N/n=30/3=10
2) เลือกหนว่ ยตวั อยา่ งหน่วยแรก (random start แทนดว้ ย r) จากเลข 1 ถึง 10 หรอื 1 r 10 โดยใชว้ ิธี

จบั สลากหรอื ใช้ตารางเลขสุ่ม สมมตไิ ด้ r=2 ตวั อย่างประกอบดว้ ยหนว่ ยเลขท่ี 2, 12 และ 22
3. การสุม่ ตัวอย่างแบบแบง่ ชน้ั ภมู ิ (Stratified Sampling )
การสมุ่ ตัวอยา่ งแบบ SRS จะเหมาะสมกับประชากรทห่ี นว่ ยตวั อยา่ งมีลกั ษณะคล้ายคลึงกัน ถ้าหน่วยตัวอย่าง
มคี วามแตกตา่ งกันมาก มีการแบ่งออกเป็นพวกๆ แตล่ ะพวกมีความแตกต่างกนั ภายในพวกเดยี วกันมีความคลา้ ยคลึง
กัน ถ้าสมุ่ โดย SRS ตวั อย่างอาจประกอบด้วยหนว่ ยตัวอย่างทีไ่ ด้ไม่ครบทุกพวก ทาใหเ้ ป็นตวั แทนท่ไี มด่ พี อ ประชากร
ลกั ษณะเชน่ นีค้ วรใชว้ ธิ กี ารสุม่ ตัวอย่างแบบแบง่ ชัน้ ภมู ิ
นิยาม การสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชน้ั ภูมิ คือ การสุ่มตัวอยา่ งที่ประชากรถูกแบ่งออกเป็นพวกๆ แตล่ ะพวกเรยี ก
ชั้นภูมิ (strata) หน่วยตัวอยา่ งภายในชั้นภมู ิเดยี วกันมีลักษณะคลา้ ยคลึงกนั จากนน้ั สุ่มตัวอย่างจากแต่ละช้ันภมู อิ ยา่ ง
เปน็ อสิ ระต่อกนั
วิธกี ารส่มุ

1) จัดประชากรออกเป็นช้ันภูมิ โดยไม่ให้มีหนว่ ยซ้ากันในระหวา่ งช้ันภมู ติ ่างๆ ชัน้ ภมู อิ าจจะแบ่งโดยใช้
ตวั แปร เพศ ระดับการศึกษา ชว่ งอายุ คณะ เปน็ ต้น

2) ขนาดตวั อย่างท่จี ะสุม่ จากแต่ละชั้นภมู ิ อาจเท่ากนั หรือไม่ก็ได้
3) สมุ่ ตวั อย่างจากแตล่ ะช้นั ภมู ิ อาจใช้ SPSS , systematic sampling หรอื cluster sampling ตาม

ความเหมาะสม

53

ตวั อยา่ งท่ี ผวู้ ิจัยต้องศึกษาความเห็นของนักศึกษาต่อรา่ งรัฐธรรมนูญฉบบั ใหม่ จานวนนกั ศึกษามีทง้ั หมด 3000 คน

แยกตามคณะต่างๆ ได้ดังน้ี

คณะ วิศวกรรมศาสตรฯ์ วิทยาศาสตร์ฯ ศลิ ปศาสตร์ฯ บรหิ ารธรุ กิจฯ

จานวน 1400 1000 260 340

ตอ้ งการสมุ่ ตัวอยา่ ง 20 % ของจานวนประชากรท้ังหมดโดยวธิ แี บ่งช้ันภมู ิ

วธิ ที า 1) ใชค้ ณะเป็นตัวแบ่งชั้นภมู ิ ภายในคณะเดียวกนั นกั ศกึ ษามคี วามคลา้ ยคลงึ กันในหัวข้อท่ที าการศึกษา

2) สมุ่ นักศึกษามาจากทุกคณะ โดยสุ่มคณะละ 20% นัน้ คือ สุ่มจากคณะวิศวกรรมศาสตร์ฯ 280 คน

วทิ ยาศาสตรฯ์ 200 คน ศิลปศาสตรฯ์ 52 คน บรหิ ารธุรกิจฯ 68 คน นักศึกษาทัง้ หมด 600 คนนเ้ี ปน็

ตัวอย่าง

4. การส่มุ ตัวอยา่ งแบบแบ่งกลุ่ม (Cluster Sampling)
การสุ่มตัวอยา่ งแบบแบ่งกลมุ่ เหมาะกับงานสารวจท่เี กย่ี วข้องกบั ประชากรขนาดใหญ่ ซง่ึ จะมีปัญหาในการ
เตรยี มกรอบตัวอย่าง และคา่ ใช้จา่ ยในการสารวจ
นิยาม การสุ่มตวั อย่างแบบแบง่ กลมุ่ คอื การส่มุ ตวั อยา่ งที่ประชากรถูกแบ่งออกเปน็ กลมุ่ ๆ แต่ละกลุม่ เรียก
คลสั เตอร์(Cluster) แลว้ ส่มุ บางกลุม่ และหนว่ ยทุกหนว่ ยจากกลมุ่ ทส่ี มุ่ ไดจ้ ะตกเป็นตวั อย่าง
วธิ ีการสมุ่

1) จัดประชากรออกเป็นกลมุ่ ๆ แตล่ ะกลมุ่ ควรจัดให้เหมอื นกนั หรือมลี ักษณะใกล้เคยี งกันมากทส่ี ุดทง้ั
ขนาดและองค์ประกอบ

2) การสุ่มกล่มุ อาจจะใช้วิธีการสมุ่ ตวั อย่างอย่างงา่ ย หรือการสุ่มตัวอยา่ งแบบมรี ะบบ
3) ทกุ ๆ หนว่ ยจากกลุ่มท่สี ุ่มได้จะตกเป็นตวั อย่าง

ตวั อย่างท่ี ผวู้ ิจยั ทาการสารวจความคดิ เหน็ ของนกั ศึกษา ต่อการเรยี นการสอนในระดับอดุ มศึกษา ในกรณีประชากร
คอื นักศึกษาทกุ คนที่ศึกษาในระดับอดุ มศึกษา สถาบนั อุดมศึกษาแตล่ ะแห่งเป็นคลสั เตอร์ จากนนั้ สุม่ มาบางสถาบนั
โดยวิธีการสุ่มตัวอย่างอยา่ งงา่ ย หรือการสุ่มตวั อย่างแบบมีระบบก็ได้ นกั ศึกษาทกุ คนจากสถาบนั ที่สุ่มไดจ้ ะเป็น
ตัวอยา่ ง

5. การส่มุ ตวั อย่างแบบหลายขั้น (Multi-Stage Sampling)
เปน็ วธิ ีการสมุ่ ตวั ออยา่ งทีเ่ หมาะสมกบั ข้อมูลทม่ี ีลักษณะเป็นหน่วยลดหลน่ั กนั ต้องอาศยั หลายข้ันตอนจงึ ได้
หน่วยตัวอยา่ งทีเ่ ปน็ ตัวแทนของประชากร เช่น ต้องการเก็บขอ้ มูลจากครวั เรอื นในประเทศไทย ขน้ั แรกสุ่มภาค ขัน้ ที่
สองสุม่ จงั หวัด ขน้ั ทีส่ ามสุ่มอาเภอ ขน้ั ทสี่ ่ีสุ่มตาบล ข้ันทห่ี า้ สุ่มหมู่บา้ น และข้ันที่หกส่มุ ครัวเรอื น เป็นต้น

ตัวอย่างที่ ผู้วิจยั ต้องการสารวจรายได้ของเกษตรกรในจังหวดั หนึ่ง ซึ่งประกอบดว้ ยอาเภอต่างๆ 20 อาเภอ การสุ่ม
ตวั อยา่ งท่เี หมาะสมในกรณีนี้ควรจะใช้วธิ ีการสุม่ แบบหลายขัน้ ตอน ดังนี้

ขัน้ ตอนที่ 1 ตาบลทง้ั หมดของ 20 อาเภอนี้มี 250 ตาบล สุ่มตัวอย่างมา 5 ตาบล โดยวิธี SRS
ข้ันตอนที่ 2 หมบู่ า้ นในตาบลทีส่ ่มุ มาได้ 5 ตาบล ซึ่งมี 80 หมู่บา้ น สมุ่ ตัวอย่างมา 20 หมูบ่ า้ น โดยวธิ ี SRS
ขน้ั ตอนที่ 3 ครวั เรอื นในหมูบ้านสมุ่ ได้มี 5000 ครัวเรือน สุ่มตัวอยา่ งมา 850 ครัวเรอื น โดยวิธสี ุม่ แบบมี
ระบบ ครัวเรอื น 850 ครวั เรอื นท่สี มุ่ ไดเ้ ปน็ ตวั อยา่ งเพอ่ื ใช้ศึกษาคุณลักษณะทเ่ี ราสนใจ

54

กิจกรรม

ให้นักศึกษาทาการสารวจ น้าหนัก และสว่ นสงู ของเพื่อนในมหาวิทยาลัย โดยวางแผนการเลอื กตวั อย่างว่าจะ
ใช้วิธีการเลอื กตวั อย่างวิธีใด เม่อื ได้ข้อมูลมาแลว้ ใหช้ ่วยกันสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ีแบ่งเปน็ ตารางน้าหนัก ตาราง
ส่วนสงู (โดยตารางแจกแจงความถีน่ น้ั จะต้องประกอบไปด้วย ขีดจากดั ชั้น รอยขีด ความถี่ ความถี่สัมพัทธ์ ร้อยละ
ความถสี่ ัมพทั ธ์ ความถ่ีสะสม ความถีส่ ะสมสัมพัทธ์ รอ้ ยละความถีส่ ะสมสัมพัทธ์) พร้อมทัง้ หา ค่าเฉลยี่ มัธยฐาน ฐาน
นยิ ม พิสยั ความแปรปรวน สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน

แบบฝึกหัด

1. จงบอกข้อดี ข้อเสียของวิธีการเลอื กตัวอย่างแตล่ ะวธิ ี
2. จงยกตัวอย่างวธิ ีการส่มุ ตวั อย่างแบบแบง่ ช้ันภูมิ
3. จงยกตวั อย่างการสมุ่ ตัวอย่างแบบมรี ะบบ
4. ในการสุม่ ตัวอย่างแบบมรี ะบบ ชว่ งการสุ่มควรมีคา่ เปน็ อย่างไร เม่ือทาประชากรมี 10,000 คน และ

ต้องการกลมุ่ ตวั อย่างเท่ากบั 200 คน
5. การสุ่มตวั อย่างวิธีใดเหมาะสมกับการเกบ็ ข้อมลู เกี่ยวกบั คา่ ใช้จา่ ยของนักศึกษาในมหาวิทยาลัย พร้อมให้

เหตผุ ลประกอบ

55

บทที่ 4

การประยกุ ต์คณิตศาสตร์และสถิติเพ่ือการตัดสินใจ

การประยกุ ตค์ ณิตศาสตร์

1. การประยกุ ตท์ างดา้ นการเงนิ
ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเก่ียวกับการประยุกต์ทางคณิตศาสตร์ทางการเงินเบื้องต้นเพื่อใช้ในการตัดสินใจ

และคาดการณ์ตา่ งๆ เพอื่ เปน็ แนวทางในการวางแผนทางการเงิน

1.1 ดอกเบย้ี อตั ราดอกเบีย้ และการคานวณดอกเบี้ยอยา่ งงา่ ย

เงินต้น (Principals) หมายถงึ จานวนเงนิ ทล่ี งทนุ เงินฝาก หรอื จานวนเงนิ ทกี่ ยู้ ืม
ดอกเบี้ย (Interest) หมายถึง เงินท่ีได้เพ่ิมข้ึนจากเงินต้น โดยการคานวณดอกเบ้ียน้ันจะเทียบ
เป็นสัดส่วนกับเงนิ ต้นซง่ึ คิดอยูใ่ นรปู ร้อยละ หรือเปอรเ์ ซน็ ตท์ เ่ี รยี กว่า "อัตราดอกเบย้ี "
อัตราดอกเบี้ย (Interest Rate) หมายถึง ร้อยละหรือเปอร์เซ็นต์ของดอกเบ้ียโดยคิดเทียบกับ
เงินต้น 100 บาท โดยปกติแล้วอัตราดอกเบ้ียจะแสดงเป็นร้อยละหรือเปอร์เซ็นต์ของเงินต้นในระยะเวลา 1 ปี
(อย่างไรก็ตามอาจแสดงสาหรับระยะเวลาอื่นๆเช่น เป็นร้อยละต่อเดือน หรือต่อวันก็ได้) ตัวอย่างเช่น อัตรา
ดอกเบ้ียเงินฝากร้อยละ 3% ต่อปี หมายถึง ถ้าเรานาเงินไปฝากไว้ 100 บาทเป็นระยะเวลา 1 ปีแล้วจะได้เงิน
เพม่ิ ขึ้น(ดอกเบ้ีย) 3 บาท เปน็ ต้น
การคานวณดอกเบีย้ อยา่ งงา่ ย
จะเห็นได้ว่าดอกเบี้ยท่ีเกิดจากเงินต้นน้ันจะมากหรือน้อยขึ้นอยู่ เงินต้น อัตราดอกเบี้ย และ
ระยะเวลาฝาก ดงั น้ันเราสามารถคานวณดอกเบีย้ อย่างงา่ ยได้จากสูตร

ดอกเบยี ้ อยา่ งงา่ ย = เงินต้น x อตั ราดอกเบยี ้ x ระยะเวลา

I = P x R xt

หมายเหตุ: อัตราดอกเบย้ี เป็น R% (หรอื ร้อยละ R) หมายถึง R
100
3
เช่นอตั ราดอกเบ้ีย 3% จะมคี ่าเท่ากบั 100  0.03

และเราสามารถพจิ ารณาเงินรวมไดจ้ ากสตู ร

เงินรวม = เงินต้น + ดอกเบยี ้

S = P +I

56

ตวั อยา่ งที่ 1

ถ้าลงทุนกิจการอย่างหน่ึงเป็นเงิน 45,000 บาทโดยมีผลตอบแทนเป็นดอกเบี้ยเงินคิดเป็น 2% ต่อปี โดยมี

ระยะเวลาลงทุน 5 ปแี ลว้ จะไดร้ บั ผลตอบแทน(ดอกเบี้ย)เปน็ เท่าใด

วิธีทา จากโจทยจ์ ะได้ เงนิ ต้น (P) เป็น 45,000 บาท
2
อัตราดอกเบีย้ (R) เป็น 2% = 100

ระยะเวลา (t) เป็น 5 ปี

จากสตู ร I = PxRxt

I = (45,000) x  2  x 5 = 4,500 บาท
100
ดังน้ันแล้วการลงทนุ นี้ ไดร้ ับผลตอบแทนเปน็ จานวนเงิน 4,500 บาท


ตวั อยา่ งที่ 2

ถา้ ก้เู งนิ ลงทุนเปน็ เงิน 20,000 บาทโดยมีดอกเบีย้ เงินกู้คิดเป็น 1.5% ต่อปี โดยมีระยะเวลากู้เงิน 3 ปีแล้วจะเสีย

ดอกเบยี้ เงินกู้เทา่ ใด และรวมตอ้ งใชเ้ งนิ คืนทง้ั หมดเท่าใด

วธิ ีทา จากโจทยจ์ ะได้ เงนิ ตน้ (P) เป็น 20,000 บาท
เป็น 1.5% = 1.5
อัตราดอกเบีย้ (R) 100

ระยะเวลา (t) เป็น 3 ปี

จากสตู ร I = PxRxt

I = (20,000) x  1.5  x 3 = 900 บาท
100

จากสตู ร S = P + I

S = 20,000 + 900 = 20,900 บาท

ดังนนั้ จะเสียดอกเบ้ยี เปน็ เงิน 900 บาทและรวมแล้วต้องใช้เงนิ คืนทงั้ หมด 20,900 บาท 

ตวั อย่างที่ 3

ถ้าลงทุนด้วยเงิน 320,000 บาท โดยมีผลตอบแทนทั้งส้ิน 150,000 บาท ในระยะเวลา 4 ปี แล้วการลงทุนนี้มี

ผลตอบแทน(ดอกเบ้ีย) คิดเป็นรอ้ ยละเทา่ ใดต่อปี

วิธที า จากโจทย์จะได้ เงินต้น (P) เปน็ 320,000 บาท

ระยะเวลา (t) เป็น 4 ปี

ผลตอบแทนหรอื ดอกเบ้ีย(I) เป็น 150,000 บาท

จากสตู ร I = PxRxt

150,000 = (320,000) x  r  x4
100

r=  150,000  x  100 
 320,000  4

r = 11.71875

57

ดงั น้ันแลว้ การลงทุนนม้ี ีผลตอบแทนคดิ เป็น ร้อยละ 11.71875 ต่อปี 

ตวั อยา่ งท่ี 4

ซ้ือรถจักรยานยนต์คันหน่ึงเป็นเงิน 75,000 บาท โดยซื้อเป็นเงินผ่อนซ่ึงทางร้านคิดดอกเบ้ีย 1.25% ต่อปี ถ้า

ต้องการผอ่ นรถจกั รยานยนตค์ นั น้ีเป็นระยะเวลา 5 ปีแลว้ ตอ้ งผอ่ นคา่ รถจักรยานยนต์เป็นเงินเทา่ ใดต่อเดือน

วิธที า จากโจทยจ์ ะได้ เงนิ ต้น (P) เป็น 75,000 1.25 บาท
100
อตั ราดอกเบีย้ (R) เป็น 1.25% =

ระยะเวลา (t) เป็น 5 ปี

จากสตู ร I = PxRxt

I = (75,000) x  1.25  x 5 = 4,687.50 บาท
100

จากสูตร S = P + I

S = 75,000 + 4,687.50 = 79,687.50 บาท

ระยะเวลาผ่อน 5 ปคี ดิ เป็น 12 x 5 = 60 เดือน

ดงั นนั้ ตอ้ งผ่อนค่ารถจักรยานยนตเ์ ดือนละ  79,687.50  = 1,328.125 บาท 
60

1.2 ดอกเบี้ยทบตน้ และการคานวณดอกเบยี้ ทบต้น

ในหัวขอ้ ที่ผา่ นมาเราได้คานวณดอกเบย้ี อยา่ งงา่ ยซง่ึ เป็นการคานวณดอกเบ้ียท่ีมีอัตราดอกเบ้ียรายปีและ
คิดดอกเบี้ยคร้ังเดียวในระยะเวลาที่ต้องการ ซึ่งในความเป็นจริงแล้วการคานวณดอกเบ้ียดังกล่าวน้ันจะคานวณ
ดอกเบ้ียจะแบ่งเป็นช่วงๆซ่ึงอาจจะเป็นราย 3 เดือน, 6 เดือน, รายปีหรือรายวันก็ได้โดยเมื่อคิดดอกเบ้ียตาม
ระยะเวลานั้นๆแล้วดอกเบ้ียจะถูกนามารวมกับเงินต้นเพ่ือนามาคิดดอกเบ้ียในรอบต่อไปซึ่งเราจะเรียกการคิด
ดอกเบย้ี ลักษณะนว้ี ่า การคานวณดอกเบย้ี ทบต้น ซ่ึงการคานวณดอกเบยี้ แตล่ ะคร้ังในระยะเวลาท่ีกาหนดน้ีจะถูก
เรียกวา่ งวด ของการคดิ ดอกเบย้ี

ตัวอยา่ งที่ 5 ฝากเงิน 50,000 บาท โดยมีอัตราดอกเบ้ีย 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทุกปี แล้วเม่ือสิ้นปีท่ี 3 จะมี

เงินรวมเท่าใด

วิธที า จากโจทยจ์ ะได้ เงินต้น (P) เป็น 50,000 4 บาท
อตั ราดอกเบยี้ (R) 100
เป็น 4% =

ดังนน้ั เมอ่ื สน้ิ ปีที่ 1 จะไดด้ อกเบีย้ I = PRT = 50,000x 4  x1 = 2,000 บาท
100

ดงั น้นั รวมเงนิ ตน้ ได้เงินรวม 50,000 + 2,000= 52,000 บาท

ดงั นนั้ เม่ือสิน้ ปที ี่ 2 จะไดด้ อกเบ้ยี I = PRT = 52,000x 4  x1 = 2,080 บาท
100

ดังนัน้ รวมเงนิ ตน้ ได้เงินรวม 52,000 + 2,080= 54,080 บาท

58

ดงั นั้นเม่ือส้นิ ปีที่ 3 จะได้ดอกเบี้ย I = PRT = 54,080x  4  x1 = 2,163.20 บาท
100 บาท
ดังนั้นรวมเงนิ ต้นได้เงินรวม 54,080 + 2,163.20= 56,243.20

ตัวอย่างที่ 6 ฝากเงิน 20,000 บาท โดยมีอัตราดอกเบี้ย 2% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยรายไตรมาส(ทุก 3 เดือน)

แล้วเมือ่ สิน้ ปี จะได้ดอกเบ้ยี รวมเทา่ ใด

วธิ ที า จากโจทยจ์ ะได้ เงินต้น (P) เป็น 20,000 บาท
2
อัตราดอกเบี้ย (R) เป็น 2% ต่อปี หรือ = 12 % ตอ่ เดอื น

หรอื คิดเปน็  2 x3 % = 0.5% ตอ่ ไตรมาส(3เดอื น)
12

ดังนน้ั เม่ือสิ้นไตรมาสท่ี 1 จะไดด้ อกเบีย้ I = PRT = 20,000x 0.5  x1 = 100 บาท
100
ดงั น้ันรวมเงินตน้ ไดเ้ งินรวม 20,000 + 100 = 20,100 บาท

ดังนนั้ เมอ่ื ส้นิ ไตรมาสท่ี 2 จะได้ดอกเบย้ี I = PRT = 20,100x 0.5  x1 = 100.50 บาท
100
ดังนั้นรวมเงนิ ตน้ ไดเ้ งนิ รวม 20,100 + 100.50 = 20,200.50 บาท

ดังนน้ั เมอื่ สนิ้ ไตรมาสท่ี 3 จะไดด้ อกเบ้ยี I = PRT = 20,200.50 x 0.5  x1= 101.0025 บาท
100

ดงั นน้ั รวมเงินต้นได้เงินรวม 20,200.50 + 101.0025 = 20,301.5025 บาท

ดังนนั้ เมอ่ื สนิ้ ไตรมาสที่ 2 จะไดด้ อกเบ้ยี I = PRT = 20,301.5025 x  0.5  x1 = 101.5075 บาท
100

ดังนั้นรวมเงินต้นได้เงนิ รวม 20,301.5025+ 101.5075 = 20,403.01 บาท

การคานวณดอกเบี้ยทบต้นสามารถคานวณได้ดังตัวอย่างท่ี 5 และตัวอย่างที่ 6 แต่จะสังเกตุได้
ว่าเมื่อมีการคานวณเปน็ ระยะเวลาหลายงวดการคานวณอาจไมง่ า่ ยนกั ดงั น้ันเพ่อื ความสะดวกเราสามารถคานวณ
ดอกเบ้ยี ทบตน้ ไดจ้ ากสูตรดังต่อไปน้ี

Sn  P(1  i)n

โดยท่ี Sn คือ เงนิ รวมเมือ่ ส้ินงวดท่ี n
P คอื เงินต้น

i คือ อตั ราดอกเบี้ยรายงวด (ร้อยละ หรือเปอรเ์ ซน็ ต)์ R
อตั ราดอกเบ้ียี รายปี m
โดยทอ่ี ัตราดอกเบ้ยี รายงวดสามารถหาได้จาก i  (จานวนงวดตอ่ ปี) %  %

59

ตวั อย่างที่ 7

เราสามารถคานวณเงินจากดอกเบ้ยี ทบต้นในตัวอย่างท่ี 6 ไดใ้ หม่โดยใช้สตู รขา้ งต้นดงั นี้

วธิ ีทา จากโจทย์จะได้ P = 20,000 บาท

อัตราดอกเบีย้ 2% ต่อปี แต่คิดดอกเบ้ยี ทกุ ไตรมาส(3เดือน) ดังนัน้ คิดดอกเบี้ย 4 งวดต่อปี
R 2
นั่นคอื อัตราดอกเบี้ยรายงวด i = m % = 4 % = 0.5 %

คานวณเงนิ เงินรวมใน 1 ปี ดังน้ันคิดเป็นจานวนงวด (m) = 4 งวด
Sn  P(1  i)n
จากสตู ร 0.5 )4
จะได้ S4  20,000(1  100

= 20,403.01 บาท 

ตัวอย่างที่ 8 ถา้ ฝากเงิน 500,000 บาท ไวก้ บั ธนาคารโดยไดร้ บั ดอกเบย้ี 7% ต่อปซี ง่ึ ธนาคารคิดดอกเบีย้ ทกุ ๆ 6

เดือน ถา้ ฝากเงนิ เปน็ ระยะเวลา 4 ปีแล้วเมือ่ ส้ินปที ี่ 4 แลว้ จะได้เงนิ รวมเปน็ เท่าใด

วิธที า จากโจทยจ์ ะได้ P = 500,000 บาท
12
อตั ราดอกเบี้ย 7% ตอ่ ปี แตค่ ิดดอกเบ้ยี ทุก 6 เดือน ดงั นั้นคดิ ดอกเบยี้ 6 = 2 งวดต่อปี

นั่นคืออตั ราดอกเบยี้ รายงวด i = R % = 7 % = 3.5 %
m 2
ฝากเงนิ เปน็ ระยะเวลา 4 ปี ดังน้ันคดิ เปน็ จานวนงวด (m) = 4 x 2 = 8 งวด
Sn  P(1  i)n
จากสูตร 3.5 )8
จะได้ S8  500,000(1  100

= 658,404.52 บาท 

2. ทฤษฎีกราฟเบือ้ งต้นและการประยุกต์

2.1 แนวคดิ และนิยามของกราฟ

ทฤษฎีกราฟ (Graph Theory) เป็นสาขาย่อยหน่ึงของวิชาคณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์ ซ่ึงกล่าวถึง
โครงสร้างและความสัมพันธ์ของจุดยอด (Vertexes) และเส้นเช่ือม (Edges) ทฤษฎีกราฟเป็นทฤษฎีที่สามารถ
นามาประยุกต์ใช้ได้ง่าย ซ่ึงในปัจจุบันมีการประยุกต์เพื่อใช้แก้ปัญหาทางด้าน เคมี ฟิสิกส์ ชีววิทยา
วิศวกรรมศาสตร์ และสังคมวิทยา เป็นต้น ในบทเรียนน้ีกล่าวถึงพ้ืนฐานอย่างง่ายของทฤษฏีกราฟเพื่อใช้ในการ
ประยุกต์แก้ปัญหาในชีวิตประจาวัน ในบทเรียนน้ีจะเน้นการใช้กราฟเพ่ือตรวจสอบความเป็นไปได้และช่วยใน
กระบวนการตดั สนิ ใจ

นยิ าม 1.1
กราฟีคอื ส่งิ ท่ีประกอบดว้ ยเซตจุดยอด V ที่ไม่ใชเ่ ซตว่าง และเซตเส้นเช่อื ม E
เราจะใช้สญั ลกั ษณ์ G(V, E) หรอื G แทนกราฟทมี่ เี ซตของจุดยอดคือ V และเซตเสน้ เช่ือม E

60

รูปภาพท้ังสองด้านบนเป็นตัวอย่างของกราฟ โดยกราฟ G1 เป็นกราฟที่เซตของจุดยอดคือ
V  {v1,v2,v3} และเซตของเส้นเชื่อมคือ E  {e13,e12} และ G2 เป็นกราฟท่ีมีเซตของจุดยอดคือ
V  {v1,v2,v3,v4} และเซตของเสน้ เชอื่ มคือ E  {e12,e14,e23} หมายเหตุ เรานิยมเขียน eij แทนเส้นเชื่อม
ท่เี ชือ่ มจากจุดยอด vi ไปที่ v j

หลายๆ ปัญาหาในชีวิตประจาวันสามารถจาลองเป็นเป็นกราฟได้ โดยให้เส้นเชื่อมแทนความสัมพันธ์
ระหวา่ งจดุ ยอด ดังตัวอย่างตอ่ ไปน้ี
ตัวอย่างที่ 9 จงจาลองแผนที่ทางหลวงในภาคเหนือของประเทศไทยเป็นกราฟ โดยให้จุดแทนจังหวัดและเส้น

เ ชื่ อ ม
แทน
เส้นทา
ง ท่ี
เ ช่ื อ ม
แ ต่ ล ะ
จังหวดั

ท่ีมา PanteeTHAI.com และ TiG teams

61

หมายเหตุ ในกราฟด้านขวาสังเกตว่าจะมีตัวเลขบนเส้นเชื่อมซ่ึงแทนระยะทางในหน่วยกิโลเมตร เราจะเรียก
กราฟทม่ี ีนา้ หนักของเส้นเชือ่ มวา่ กราฟท่ีมีน้าหนกั (Weighted Graph)

ตัวอย่างที่ 10 จงจาลองแผนการจัดงาน 4 งาน ซักผ้า ล้างจาน พิมพ์งาน ถ่ายเอกสาร คือ ให้คน 4 คนได้แก่
A, B, C และ D แตค่ นมีความสามารถในการทางานแตกต่างกันดังตาราง ถ้ามีเคร่ืองหมาย • คือทางานน้ันได้ ถ้า
เปน็ ช่องว่างคอื ไมส่ ามารถรับทางานนนั้ ได้

ชื่อ/ความสามารถ ซกั ผ้า ล้างจาน พมิ พ์งาน ถา่ ยเอกสาร
A • • •
B • •
C • •
D

ตอบ กาหนดให้จดุ เป็นคนและงาน และ เส้นเชื่อมเป็นความสามารถในการทางานได้ จะได้กราฟดังนี้

ซกั ผา้ ล้างจาน พิมพ์งาน ถา่ ยเอกสาร

หมายเหตุ กราฟท่ีแบง่ จุดยอดเปน็ สองเซตได้ (ในท่ีน้ีคือเซตของงานและเซตของคน) เราจะเรียกว่ากราฟ 2 ส่วน
(Bi-partite Graph)

จากตัวอย่างที่ 9 เราสามารถหาระยะทางส้ันที่สุดสาหรับการเดินทางจากจังหวัดหน่ึงไปอีกจังหวัดหน่ึง
ได้โดยการใชก้ ราฟ และจากตัวอยา่ งท่ี 2 เราสามารถใหก้ ราฟดังกล่าวหาวิธีการจัดงานท่ีเหมาะสมท่ีสุดได้ โดยให้
ทุกงานมีผู้รับผิดชอบได้ ซึ่งในทฤษฎีกราฟจะมีทฤษฎีบท (Theorem) และ ขั้นตอนวิธี (Algorithm) สาหรับ
แก้ปญั หาต่างๆ ทีส่ ามารถจาลองเปน็ กราฟได้

ก่อนจะเข้าสู่เนื้อหาทฤษฎีบทและการนาไปใช้ เราจาเป็นจะต้องทราบนิยามที่สาคัญของกราฟก่อนคือ
ดกี รีของจุดยอด แนวเดนิ ทางเดนิ วงจร และ วฎั จกั ร

นยิ าม 1.2
ดกี รขี องจุดยอด คอื จานวนเส้นเช่อื มที่ตกกระทบจุดยอด v เขียนแทนด้วย deg(v)

62

ตวั อยา่ งท่ี 11 จงหาแสดงดีกรขี องทกุ จุดยอดบนกราฟที่กาหนดให้

ตอบ deg(v1)  3 , deg(v2 )  3, deg(v3 )  1และ deg(v4 )  2
นิยาม 1.3

- แนวเดินจากจุดยอด u ไปยัง จุดยอด v (u  v trail) คือ ลาดับท่ีสลับกันระหว่างจุดยอดและเส้นเชื่อม ซ่ึงเร่ิม
จาก u และจบลงท่ี v

- วิถจี ากจกุ ยอด u ไปยัง จุดยอด v (u  v path) คือ แนวดินจากจดุ ยอด u ไปยงั จดุ ยอดv ทไ่ี ม่มีจุดยอดช้ากัน
- วงจร (Circuit) คือ แนวเดินทีจ่ ุดเร่มิ กับจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดยี วกนั โดยไม่มีเสน้ เชื่อมซา้
- วัฐจกั ร (Cycle) คอื แนวเดินที่จุดเรม่ิ กบั จดุ สน้ิ สดุ เปน็ จุดเดยี วกัน โดยไมม่ ีเสน้ เชื่อมและจุดซา้

ตัวอย่างท่ี 12 จากกราฟเดิมของตวั อยา่ งทีแ่ ล้วจงยกตวอย่างแนวเดิน วิถี วงจร และ วัฐจกั ร

v5

ตอบ ตวั อยา่ ง แนวเดินจาก v1 ไป v5 เช่น v1e12v2e21v1e15v5 สงั เกตว่าแนวเดนิ จะสามารถเดินซา้ จุดเดมิ ได้
ตวั อย่าง วิถี จาก v1 ไป v4 เชน่ v1e12v2e24v4 สังเกตวา่ วถิ จี ะไม่ได้สามารถเดินซา้ จดุ เดมิ
ตัวอยา่ ง วงจร เชน่ v1e15v5e52v2e24v4e45v5e53v3e31v1 สงั เกตวา่ วงจรจะสามารถเดินซา้ จดุ เดิม
ตวั อย่าง วัฐจักร เช่น v1e12v2e24v4e41v1สงั เกตว่าวัฐจกั รจะไม่สามารถเดนิ ซา้ จุดและเส้นเชอ่ื มเดิม

63

แบบฝกึ หัด 4.1

จงจาลองแผนการจัดอาหารต้อนรับแขก 4 คน ได้แก่ A, B, C และ D แต่คนมีชอบอาหารแตกแตกต่างกันดัง
ตาราง ถา้ มเี ครือ่ งหมาย • คือชอบอาหารชนดิ นน้ั ถ้าเป็นช่องวา่ งคือไมช่ อบอาหารชนิดนัน้

ชื่อ/ความสามารถ หมูทอด ซชู ิ นา้ ชา เบยี ร์
A • • ••
B • •
C • •
D • •

2.2. ทฤษฎีบทแรกของทฤษฎีกราฟ

ทฤษฎีแรกของทฤษฎีกราฟกราฟ (Frist Theorem of Graph Theory) เป็นองค์ความรู้ที่กล่าวถึง
ความสัมพันธ์ภาพรวมของจานวนดีกรีรวมในกราฟหนึ่งๆ กับจานวนเส้นเชื่อม ซึ่งกราฟท่ัวไปทุกกราฟจะต้อง
สอดคล้องกับทฤษฎบี ทนีเ้ สมอ

ทฤษฎีบท 1.1
ผลรวมของดกี รที กุ จุดในกราฟตอ้ งเท่ากับสองเท่าของเส้นเชอื่ ม กล่าวคือ

deg(G)  2 E

vV

สัญลักษณ์ E ใช้แทนขนาดของเซต E ในที่น้คี อื จานวนเสน้ เชอื่ มท่อี ยู่ในกราฟ
ความหมายของทฤษฎบี ทน้ีคือ ถ้าเรานาดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟมารวมกันจะต้องเท่ากับสองเท่า

ของจานวนเส้นเช่อื มในกราฟน้ัน ทฤษฎดี งั กล่าวเปน็ ทมี่ าของบทแทรกต่อไปน้ี

บทแทรก 1.1
จานวนจดุ ยอดที่มีดกี รีเป็นเลขคจ่ี ะตอ้ งเปน็ จานวนคู่

ตัวอยา่ งที่ 13 จงแสดงว่ากราฟท่กี าหนดใหม้ คี ณุ สมบัติตามทฤษฎีบทท่ี 1.1 และบทแทรก 1.1

v4

64

ตอบ จากกราฟข้างตน้ deg(v1)  3 , deg(v2 )  1, deg(v3)  1และ deg(v4 )  1 จานวนเส้นเช่อื มท้ังหมด
ในกราฟมี 3 เส้น ( E  3 ) ดงั นัน้

deg(G)  deg( v1)  deg( v2 )  deg( v3 )  deg( v4 )  3 111  6

vV

และ

2E  23 6

ดังน้ันทฤษฎีที่ 1.1 เป็นจริง จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจานวนค่ีคือ v1,v2,v3 และ v4 นบั ได้จานวน 4 จุด ดงั นนั ้ บท
แทรก 1.1 เป็นจริง

การนาทฤษฎีและบทแทรกดังกล่าวมาใช้ส่วนมากจะเป็นการตรวจสอบความเป็นไปได้สาหรับการสร้าง
กราฟ ดงั ตัวอยา่ งต่อไปน้ี
ตัวอย่างท่ี 14 เป็นไปได้หรือไม่ท่ีจะสร้างกราฟที่มี 4 จุดยอด คือ a, b, c และ d ซึ่งดีกรีของจุดยอดคือ
deg( a)  2, deg(b)  3, deg(c)  1 และ deg( d)  2
ตอบ เป็นไปได้ เพราะ มีจุดยอดที่มีดีกรีค่ีจานวน 2 จุด สอดคล้องกับบทแทรก 1.1 ตัวอย่างวิธีสร้างกราฟ
สามารถทาตามลาดบั ต่อไปน้ีจากซ้ายไปขวา

ตัวอย่างท่ี 15 เป็นไปได้หรือไม่ท่ีจะสร้างกราฟที่มี 4 จุดยอด คือ a, b, c และ d ซ่ึงดีกรีของจุดยอดคือ
deg( a)  3 , deg(b)  2 , deg(c)  1 และ deg( d)  5
ตอบ เป็นไปไม่ไดเ้ น่อื งจากมีจดุ ที่มีดกี รคี จี่ านวน 3 จุด ขดั แยง้ กบั บทแทรกท่ี 1.1

ตวั อยา่ งท่ี 16 ถ้าต้องการเชื่อมจุดยอด 10 ทีม่ ดี ีกรี 1,1,2,3,5,6,6,7,8,9 จะต้องใชเ้ ส้นเชอื่ มกเี่ ส้น

ตอบ ใช้ทฤษฎีที่ 1.1 deg(G)  11 2  3  5  6  6  7  8  9  48  2 | E |
vV

ดังนนั้ 2 | E | 48 และ | E | 24 เราตอ้ งใชเ้ สน้ เชื่อม 24 เสน้ ในการเชือ่ มจดุ ยอดเข้าดว้ ยกนั

65

ทฤษฎบี ทแรกของกราฟมักจะถกู นามาประยุกต์ใช้เพ่ือตรวจสอบ ความเปน็ ไปไดี้ (Feasibility) เราสามารถนา
ทฤษฎีดังกลา่ วมาประยุกต์ใช้เพ่ืออกแบบโครงขา่ ยอย่างง่ายภายใต้ข้อจากัดท่ีกาหนดได้ดังตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งที่ 17 เราต้องการจะสรา้ ง Lan Network ซงึ่ ประกอบดว้ ย เครื่องแม่ขา่ ย 1 เครื่องทีม่ สี ายสัญญาณออก
เพียงเสน้ เดยี ว และ เครื่องลกู ข่าย 4 เครอ่ื งที่มี สายสญั ญาณเช่ือมกนั เข้าและออก 2, 2, 2 และ 3 ตามลาดับ จง
ตอบคาถามต่อไปนี้

ก. เปน็ ไปได้หรือไมท่ ่ีจะสร้าง Lan Network ดงั กล่าว
ข. ถ้าสร้างไดจ้ ะต้องใช้สาย Lan จานวนก่เี ส้น
ค. ถ้าสร้างได้จงสร้าง Lan Network ดงั กล่าว

ตอบ เราจะใช้กราฟเพ่ือแก้ปัญหา โดยให้เครอ่ื งคอมพิวเตอรเ์ ป็นจุดยอดและใหส้ าย Lan เป็นเสน้ เช่อื ม

ก. กาหนดใหจ้ ุดยอด S แทนเครื่องแม่ข่าย และ จดุ ยอด a,b,c,d แทนเครอ่ื งลกู ข่าย เราจะสรปุ ดีกรีของ
แตล่ ะจุดยอดได้ดังนี้

deg( S)  1, deg(a)  2, deg(b)  2 , deg(c)  2 และ deg( d)  3

จะสงั เกตไดว้ า่ ดกี รีจุดยอดทเี่ ป็นเลขคมี่ ี 2 จดุ สอดคลอ้ งกับบทแทรก 1.1 ดังนนั้ มคี วามเปน็ ไปได้ที่จะสรา้ ง Lan
Network ได้

ข. จากทฤษฎีบท 1.1 deg(G)  1 2  2  2  3  10  2 | E | ดังนั้น | E | 5 จะต้องใชส้ าย
vV
Lan ท้งั หมด 5 เส้น

ค. เราสามารถสรา้ ง Lan network โดยใชก้ ราฟได้ตามขัน้ ตอนดังนี้

66

แบบฝึกหดั 4.2
1. จงแสดงวา่ กราฟทกี่ าหนดให้มีคุณสมบตั ิตามทฤษฎีบทที่ 1.1 และบทแทรก 1.1
ก. ข.

2. เป็นไปได้หรือไม่ท่ีจะสร้างกราฟที่มี 4 จุดยอด คือ a, b, c และ d ซ่ึงดีกรีของจุดยอดคือ deg(a)  1,
deg(b)  3, deg(c)  1 และ deg(d)  3 ถ้าเป็นไปไดจ้ งสร้างกราฟ

3. เป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างกราฟที่มี 5 จุดยอด คือ a, b, c, d และ e ซ่ึงดีกรีของจุดยอดคือ deg(a)  4,
deg(b)  3, deg(c)  1, deg(d)  2และ deg(e)  5 ถ้าเปน็ ไปได้จงสรา้ งกราฟ

4. ถ้าต้องการเชือ่ มจุดยอด 6 ท่มี ดี ีกรี 2,2,3,3,5,5 จะตอ้ งใช้เสน้ เชอื่ มกเี่ ส้น

5. ถ้าตอ้ งการเช่ือมจดุ ยอด 1000 ที่มีดีกรเี ท่ากันคอื 4 จะตอ้ งใชเ้ ส้นเช่ือมก่เี ส้น

6. เราต้องการจะสรา้ ง Lan Network ซงึ่ ประกอบด้วย เครื่องแม่ข่าย 2 เคร่ืองท่ีมสี ายสัญญาณออกเพียงเส้น
เดยี ว และ เคร่ืองลูกขา่ ย 6 เครื่องที่มี สายสญั ญาณเชื่อมกันเข้าและออก 2, 2, 3, 3, 4 และ 4 ตามลาดบั จง
ตอบคาถามต่อไปน้ี

ก. เป็นไปได้หรือไมท่ ่จี ะสร้าง Lan Network ดังกลา่ ว
ข. ถา้ สร้างได้จะต้องใชส้ าย Lan จานวนก่เี ส้น
ค. ถ้าสร้างได้จงสรา้ ง Lan Network ดังกลา่ ว

67

2.3. กราฟออยเลอย์
ปัญหากราฟออยเลอย์นับว่าเป็นปัญหาแรกที่ทาให้เกิดทฤษฎีกราฟข้ึนมา ปัญหาเรื่องจากสะพานเมือง

เคอนิกส์เบริก โดยเมืองน้ีจะมีเกาะกลางแม่น้าอยู่ 2 แห่ง (B และ C) และมีสะพานข้ามทั้งหมด 7 สะพาน (A

และ C คือพื้นดิน)
ทีม่ า Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Application, page 516-517
โดยปัญหาที่ว่าคือ เป็นไปได้หรือไม่ท่ีจะเดินข้ามสะพานทั้ง 7 แล้วกลับมายืนที่เดิม โดยมี
เง่ือนไขว่าจะข้ามสะพานแต่ละสะพานเพียงคร้ังเดียวเท่านั้น ผู้ตั้งปัญหาน้ีคือ เลออนฮาร์ด
ออยเลอย์ (Leonhard Euler) แก่ ผ้ถู กู ยกย่องให้เป็นบดิ าแห่งทฤษฎีกราฟ

ออยเลอย์สามารถจาลองปัญหาน้ีโดยเขียนในรูปความสัมพันธ์ของจุดและเส้นเชื่อม
โดยกาหนดใหจ้ ดุ ยอดคือสะพาน และเส้นเชอ่ื มคอื พื้นดิน ซึ่งกราฟท่ไี ดค้ อื กราฟดา้ นลา่ ง

เม่อื จาลองปญั หาเป็นกราฟจะพบว่าปัญหาสะพานเมืองเคอนกิ ส์เบริกจะสอดคล้องกับ การหาแนวเดินที่เริ่มจาก
จุดจุดหนึ่งบนกราฟและกลับมาท่ีจุดเดิม โดยต้องผ่านเส้นเช่ือมทุกเส้นและไม่เดินซ้าบนเส้นเช่ือมเดิมท่ีเดิน
ผ่านไปแล้ว ออยเลอย์พบว่าไม่ว่าเขาจะลองเดินข้ามสะพานแล้วกลับมาที่เดิมจากจุดใดก็ตามเขาจะเดินข้าม
สะพานเดิมซ้าเสมอ เขาจึงพยายามคิดค้นทฤษฎีที่สามารถยืนยันไม่ว่าเป็นไม่ได้ท่ีข้ามสะพานโดยไม่ซ้าขึ้นมา ซ่ึง
ทฤษฎดี ังกลา่ วคอื บทเรียนของเราในสว่ นนี้

68

นยิ าม 1.4
- วงจรออยเลอย์ (Euler Circuit) คือวงจร (แนวเดินท่ีวนกลับมาท่ีเดิมโดยไม่ใช้เส้นเชื่อมซ้า) ที่ทุกเส้น
เชือ่ มบนกราฟ
- กราฟออยเลอย์ (Eulerian Graph) คอื กราฟที่มวี งจรออยเลอย์

จากนิยามดังกล่าว ในกราฟออยเลอย์เม่ือเร่ิมเดินจากจุดหนึ่ง จะต้องเดินผ่านครบทุกเส้นเช่ือมเส้นละคร้ัง
แล้วกลบั มาทจ่ี ุดเดิมได้
ตวั อย่างท่ี 18 จงหาวงจรออยเลอย์บนกราฟท่ีกาหนดให้ (ถา้ ม)ี

ตอบ กราฟดังกล่าวมีวงจรท่ีผ่านทุกเส้นเชื่อมเส้นละเพียงคร้ังเดียวแล้วกลับมาที่จุดยอดเดิมได้ โดยเส้นทางคือ
v1e13v3e15v5e51v1e12v2e25v5e54v4e42v2e21v1 วงจรออยเลอย์ไม่จาเป็นต้องมีวงจรเดียวในกราฟ จากกราฟที่
กาหนดยังมีวงจรออยเลอย์อีกหลายวงจร ท่แี สดงเปน็ เพยี งตัวอย่างหน่งึ เท่าน้นั

เพื่อให้งา่ ยต่อการเขา้ ใจ ด้านลา่ งป็นการแสดงการเดินบนวงจรออยเลอยข์ องกราฟที่กาหนด (การเดินจะ
แทนดว้ ยเสน้ ปะ) จากซา้ ยไปขวา

จากตวั อย่างขา้ งต้นถา้ สามารถหาวงจรออยเลอยไ์ ดก้ ราฟน้ันจะเป็นกราฟออยเลอย์ทันที แตถ่ ้าไม่
สามารถหาวงจรออยเลอย์ไดจ้ ะยืนยนั ได้อย่างไรว่าไม่มีวงจรออยเลอยอ์ ยจู่ ริงๆ ออยเลอย์จึงเสอนทฤษฎที ี่
สามารถบง่ บอกความเปน็ กราฟออยเลอย์ โดยพิจารณาจากดีกรีของจดุ ยอดขึ้น
ทฤษฎีบท 1.2
กราฟ G จะเป็นกราฟออยเลอย์ก็ต่อเมื่อดีกรีของทกุ จุดยอดบนกราฟเปน็ จานวนคู่

69

จากทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถตีความได้ว่าถ้ามีจุดยอดท่ีมีดีกรีเป็นเลขค่ีแม้แต่จุดเดียว กราฟน้ันจะไม่
เปน็ กราฟออยเลอย์ทันที ทฤษฎีดังกล่าวสามารถตรวจสอบว่ากราฟใดเป็นกราฟออยเลอย์ได้ทันทีเม่ือทราบดีกรี
ของจุดยอดบนกราฟ โดยไม่ตอ้ งหาวงจรออยเลอยเ์ พื่อยืนยัน

ตวั อยา่ งที่ 19 จากกราฟของสะพานเมอื งเคอนิกส์เบริกและตวั อย่างท่ีแล้ว จงใช้ทฤษฎีบท 1.2 เพ่ือตรวจสอบว่า
กราฟทงั้ สองเป็นกราฟออยเลอย์หรือไม่

ตอบ
จะเห็นว่า deg( D)  3 ซึ่งเป็นเลขค่ี จากทฤษฎีบท 1.2 สามารถสรุปได้ทันทีว่ากราฟสะพานเมืองเคอ

นิกส์เบริก (ด้านซ้าย) ไม่เป็นกราฟออยเลอย์ นั่นคือ เราไม่สามารถข้ามสะพานทุกสะพานเพียงสะพานละหน่ึง
ครง้ั แล้วกลับมาที่เดมิ ได้

ในทางกลับกันกราฟจากตัวอย่างที่แล้ว (ด้านขวา) ทุกจุดยอดมีดีกรีเป็นเลขคู่ท้ังหมด ดังน้ันกราฟ
ดังกลา่ วจึงเปน็ กราฟออยเลอย์

การประยุกต์ใช้งานการฟออยเลอย์มักจะเก่ียวข้องข้องกับสมบัติ ความสามารถในการแวะผ่านี
(Traversability) คือการเดนิ ผ่านจุดหมายให้ครบโดยผ่านเสน้ ทางแตล่ ะเส้นเพียงครัง้ เดยี ว

70

ตัวอย่างท่ี 20 ในนิทรรศกาลแห่งหนึ่งมีการจัดแผนผังห้องไว้ดังรูป ทุกครั้งที่เข้าหรือออกประตูจะจงพิจารณาว่า
เราสามารถเดนิ จากประตูหนา้ แลว้ ออกประตหู ลงั โดยต้องผ่านทุกห้องและจะใช้ประตูแต่ละประตูเพียงคร้ังเดียว
เท่านัน้ ได้หรอื ไม่
ตอบ ขั้นตอนแรกจาลองแผนผังห้องเป็นกราฟ โดยกาหนดให้จุดยอดคือพ้ืนห้อง จุดยอดด้านนอกรูปแทนพื้นที่
ดา้ นนอกหอ้ ง และ เสน้ เช่ือมคือประตูห้อง ดังนน้ั ปัญหานี้จะสอดคล้องกับปัญหาของออยเลอย์

จะสงั เกตเห็นว่าทุกจุดยอดมดี ีกรีเปน็ เลขคู่ ดังนน้ั กราฟดังกล่างจึงเปน็ กราฟออยเลอย์ เราสามารถเดิน
เขา้ ประตูหน้าจากด้านนอกผา่ นทกุ ห้องโดยใชป้ ระตูแต่ละประตูเพยี งครงั้ เดียวและออกมาด้านนอกโดยใช้ประตู
หลงั ได้ การหาวงจรออยเลอย์ต้องอาศยั การลองผิดลองถูก ซง่ึ ผลที่ได้เปน็ ไปตามเสน้ ทางที่แสดงด้านลา่ ง
ดา้ นซ้ายคือวงจรออยเลอย์ และดา้ นขวาคือวิธีการเข้าประตู

71

จะสังเกตว่ายิ่งกราฟมีจานวนจุดยอดและเส้นเชื่อมเปน็ จานวนมากจะทาให้ยากต่อการหาวงจรออยเลอย์
เพราะต้องลองผิลองถูกหลายคร้ังถึงจะหาวงจรออยเลอย์เจอ ในทางปฎิบัติวงจรออยเลอย์สามารถหาจาก
Hierholzer's Algorithm โดยผ่านโปรแกรม ซึง่ เราจะไม่กลา่ วถงึ ในทน่ี ี้
ตัวอย่าง พนักงานส่งของในหมู่บ้านแห่งหนึ่งต้องการส่งของให้ทุกบ้านในหมู่บ้าน โดยด้านใดด้านหนึ่งของถนน
แต่ละเส้นจะมีตู้จดหมายตั้งอยู่ (ถนนแต่ละสายจะสิ้นสุดเมื่อถึงทางแยก) เขาต้องการผ่านถนนแต่ละสายเพียง
คร้ังเดียวและวนกลับมาที่จุดเดิมที่เขาเข้ามาตอนแรก ซ่ึงหมู่บ้านดังกล่าวมีแผนท่ีดังรูปด้านล่าง พนักงานส่งของ
จะสามารถสง่ ของตามเง่ือนไขที่เขาต้องการไดห้ รือไม่
หมายเหตุ เส้นสีดาทบึ คอื รว้ั บ้าน ด้านทีเ่ ปดิ ไว้คือท่ตี งั้ ตู้จดหมายของแตล่ ะบ้าน

ทางเข้า

ตอบ จาลองแผนท่ีหมูบ่ ้านเป็นกราฟ โดยใหจ้ ุดยอดแทนทางแยก และเสน้ เชื่อมแทนถนนที่ผ่านหนา้ บา้ น เราจะ
ได้

ทกุ จดุ ยอดมีดีกรเี ปน็ เลขคู่ทั้งหมด ดังนัน้ กราฟดังกลา่ วมีวงจรออยเลย์และเปน็ กราฟออยเลอย์ พนักงานสง่ ของ
สามารถขับผ่านถนนแตล่ ะสายเพยี งครง้ั เดียวและกลับมาท่ีจุดเร่ิมตน้ เดินได้ ซึ่งการเดนิ บนวงจรออยเลอย์และ
ลาดับเดนิ ทางถูกแสดงไวด้ า้ นลา่ ง

72

73

แบบฝกึ หดั 4.3
1. จงพจิ ารณาว่ากราฟใดตอ่ ไปนี้เปน็ กราฟออยเลอย์
1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

ทีม่ า Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Application, page 602

2. เป็นไปได้หรือไมท่ ่จี ะเดินผา่ นห้องที่กาหนดใหโ้ ดยผ่านประตูแตล่ ะบานเพยี งคร้ังเดยี วเทา่ นั้นและกลบั มา
ทจ่ี ุดเดิม ถา้ เปน็ ไปได้จงหาวธิ ีเดินโดยใชก้ ราฟออยเลอย์

74

2.2

2.1
3. พนักงานสง่ ของในหมูบ่ า้ นแหง่ หนึ่งต้องการสง่ ของให้ทกุ บา้ นในหมู่บ้าน โดยด้านใดด้านหน่ึงของถนนแต่

ละเส้นจะมีตู้จดหมายต้ังอยู่ (ถนนแต่ละสายจะสิ้นสุดเมื่อถึงทางแยก) เขาต้องการผ่านถนนแต่ละสาย
เพียงคร้ังเดียวและวนกลับมาท่ีจุดเดิมที่เขาเข้ามาตอนแรก ซึ่งหมู่บ้านดังกล่าวมีแผนท่ีดังรูปด้านล่าง
พนักงานส่งของจะสามารถสง่ ของตามเงื่อนไขที่เขาต้องการได้หรือไม่ ถ้สได้จงหาเสน้ ทาง
หมายเหตุ เสน้ สีดาทึบคอื ร้ัวบ้าน ดา้ นทเ่ี ปดิ ไว้คือทต่ี ั้งตู้จดหมายของแต่ละบ้าน

ทางเข้า

75

2.4. การระบายสกี ราฟ
ปัญหาการระบายสีกราฟ (Graph Colorings) คือการกาหนดสีให้กับจุดยอดของกราฟ โดยจุดที่มีเส้น

เช่ือมประชิดกันจะต้องกาหนดสีที่แตกต่างกัน และเป้าหมายของการแก้ปัญหาการระบายสีกราฟคือ การหา
จานวนสีทนี่ อ้ ยท่สี ดุ ทใี่ ชใ้ นการระบายจดุ ยอด
ตวั อย่างที่ 21 จงหาจานวนสที น่ี ้อยที่สุดในการระบายสกี ราฟทก่ี าหนดให้

ตอบ ในตัวอยา่ งนี้จะแสดงวิธีการระบายสจี ุดยอดอยา่ งละเอียดเพือ่ ใชเ้ ปน็ แบบสาหรับการทาตวั อย่างข้อถัดไป

ขั้นที่ 1 เลือกลงสีให้จุดยอดใดจุดยอดหนึ่งจุดใดก็ได้ ในที่น้ีจะใช้จุดยอด a เป็นจุดยอดแรก กาหนดให้เป็นสีที่

1 (เราไมน่ ยิ มใช้เป็นสจี ริงๆ เพราะเมอื่ เลือกสมี าลงแต่ละคนจะเริ่มดว้ ยสที ตี่ า่ งกัน)
ข้ันที่ 2 จุดยอดท่ีมีเส้นเช่ือมติดกับจุดยอด a จะต้องเป็นสีอ่ืนท่ีไม่ใช่สีท่ี 1 และพยายามใช้สีให้น้อยท่ีสุด ในที่น้ี
จะระบายสที ี่ 2 ให้ b และ d

เราไมส่ ามารถใหส้ ที ี่ 2 กบั c และ e ได้ เพราะมีเสน้ เชื่อมตดิ กับ d
ขน้ั ที่ 3 ให้ c เป็นสีท่ี 3 และ e เปน็ สที ่ี 3 ( e สามารถระบายเป็นสที ี่ 1 ได้ดว้ ย)

ดงั นน้ั เราใชส้ นี ้อยที่สุด 3 สีเพื่อระบายสจี ดุ ยอดของกราฟน้ี กราฟนี้จะถกู เรยี กว่า กราฟ 3 สี
สมาชกิ ของสที ่ี 1 คือเซต {a} สมาชิกของสีท่ี 2 คอื เซต {b,d} สมาชิกของสที ่ี 1 คือเซต {c,e}
หมายเหตุ จานวนสีที่น้อยที่สุดจะมีแค่คาตอบเดียวเท่าน้ันสาหรับกราฟหนึ่ง แต่วิธีการระบายสีอาจจะ
เป็นไปได้หลายวิธี

76

ตัวอย่างที่ 22 จงหาจานวนสนี อ้ ยที่สุดในการระบายสจี ุดยอดกราต่อไปน้ี

ตอบ เราจะระบายสีกราฟทั้งสามไดด้ งั นี้

จากผลทีแ่ สดงสรปุ ได้ว่า G1 และ G2 เปน็ กราฟ 3 สี G3 เป็นกราฟ 4 สี

การระบายสีกราฟไม่มีทฤษฎีท่ีสมบรูณ์ซึ่งสามารถกาหนดสีของกราฟได้ทันทีเมื่อทราบโครงสร้างของ
กราฟเหมือนกราฟออยเลอย์ ดังนน้ั การระบายสีกราฟจงึ ต้องอาศัยการลองถูกลองผดิ หลายครัง้ ๆ เพ่ือหาจานวนสี
น้อยทีส่ ุด อยา่ งไรกต็ ามมี มีทฤษฎมี ากมายที่สามารถจากัดขอบเขตของจานวนสีทน่ี ้อยทส่ี ดุ บนกราฟได้

ตัวอย่างตอ่ ไปจะเป็นการประยกุ ต์ใชก้ ารระบายสีกราฟกับ การจัดแผนตารางี(Scheduling)

77

ตัวอยา่ งท่ี 23 ในการศกึ ษาหลักสูตรวิศวกรรมศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งหน่ึงมีรายวิชาหลักให้ศึกษา 8 โดยมี
บางวิชาหา้ มศึกษาพร้อมกันเพราะตารางสอบชนกนั

Cal 1 หา้ มลงพร้อมกบั Cal 2, Probability, Electro Cal 2 ห้ามลงพรอ้ มกับ Probability, Electro,

Cal 1, Physics

Stat ห้ามลงพร้อมกบั Probability Probability ห้ามลงพรอ้ มกับ Stat, Cal 1, Stat

Electro หา้ มลงพรอ้ มกบั Cal 1, Cal 2, Physics Physics ห้ามลงพร้อมกับ Electro, Statics, Cal
2

Statics หา้ มลงพร้อมกับ Physics, Dynamic Dynamics ห้ามลงพร้อมกับ Physics, Statics

นักศกึ ษาต้องใชเ้ วลาเรียนกภ่ี าคเรียนจึงจะศกึ ษาวชิ าหลักครบ และควรจดั ตารางอย่างไร

ตอบ ใช้กราฟแทนปัญหาดังกล่าว โดยให้จุดยอดแทนรายวิชา และเส้นเชื่อมแทนความสัมพันธ์ที่ลงทะเบียน
พร้อมกนั ไมไ่ ด้ วงเล็บแทนสที ก่ี าหนด

Cal 1[1] Stat [1] Electro [3] Statics [2]

Cal 2 [2] Probability [3] Physics [1] Dynamics [2]

จากรูปจะเหน็ วา่ นกราฟดงั กล่าวเป็นกราฟ 3 สี หมายความวา่ รายวชิ าถูกแบ่งเป็น 3 กลมุ่ คอื

กลุม่ 1 คอื {Cal 1, Stat, Physics} กลุม่ 2 คอื {Cal 2, Statics, Dynamics}

กลุ่ม 3 คอื {Probability, Electro}

รายวิชาท่ีอยู่ในกลุ่มเดียวกันคือรายวิชาท่ีไม่มีเส้นเช่ือมติดกัน หมายความว่าเป็นวิชาท่ีสามารถ
ลงทะเบียนพร้อมกันได้ ดังน้ัน นักศึกษาต้องใช้เวลา 3 ภาคการศึกษาเพ่ือเรียนวิชาหลักให้ครบ โดยภาคเรียน
แรกลงทะเบียนรายวิชาในกลุ่มท่ี 1 ภาคเรียนที่สองลงทะเบียนรายวิชาในกลุ่มที่ 2 และ ภาคเรียนที่สาม
ลงทะเบยี นรายวชิ าในกล่มุ ท่ี 3

78

นักศึกษาสามารถเปล่ียนตารางรายวิชาในการลงทะเบียนได้ โดยการระบายสีกราฟใหม่อีกคร้ังให้สีของ
จดุ ยอดใหม่ แตจ่ านวนภาคเรียน (สีที่ใช้น้อยท่ีสุด) จะไม่เปล่ียนแปลงไม่ว่านักศึกษาจะเปลี่ยนตารางเรียนยังไงก็
ตาม (เป็นไปตามทฤษฎกี ารระบายสีกราฟ) เชน่

Cal 1[1] Stat [1] Electro [3] Statics [3]

Cal 2 [2] Probability [3] Physics [1] Dynamics [3]

ในภาคเรยี นที่ 2 จะเปลี่ยนไปเปน็ {Cal 2} และภาคเรยี นท่ี 3 เปล่ยี นเป็น {Probability, Electro, Statics,
Dynamics } แต่นกั ศึกษายงั คงตอ้ งเรยี น 3 ภาคเรียนเทา่ เดิม

ตัวอย่างท่ี 24 ถ้านักศกึ ษามีกาหนดการกจิ กรรมที่จะทา โดยต้องการจะทาให้เสรจ็ ท้งั หมดโดยใช้วนั ให้น้อยวันที่
สดุ ซงึ่ วนั หนง่ึ จะทากิจกรรมเหล่านช้ี ว่ งเวลา 13.00-17.00 น. แตล่ ะกิจกรรมต้องทาตอ่ เนอื่ งกนั จะถึงเวลาที่
กาหนดเทา่ นั้น วนั หนงึ่ กิจกรรมที่กลา่ วคือ

อ่านหนังสอื เตรียมสอบคร้ังท่ี 1 13.00 - 14.00 น. อา่ นหนงั สอื เตรยี มสอบครั้งท่ี 2 13.00 - 15.00 น.

ออกกาลังกาย 15.00 - 17.00 น. ไปเท่ียวกับเพือ่ น 13.00 - 17.00 น.

ไปเรียนพเิ ศษ 14.00 - 17.00 น. ไปกินข้าวนอกบ้าน 13.00 - 14.00 น.

นกั ศึกษาจะต้องใช้เวลานอ้ ยสดุ ก่ีวันในการทากิจกรรมดงั กล่าว และมตี ารางในการจัดการอย่างไร

ตอบ ใช้กราฟแทนปญั หาดังกลา่ ว โดยใหจ้ ุดยอดแทนกิจกรรมและเส้นเช่อื มแทนความสัมพนั ธท์ ่ีสองกจิ กรรมไม่
สามารถทาพร้อมกนั ได้ วงเลบ็ แทนสที ่ีกาหนด

อา่ นหนงั สอื เตรยี มสอบครงั้ ท่ี 1 [1] ออกกาลังกาย [1] ไปเรียนพิเศษ [4]

อ่านหนงั สอื เตรียมสอบคร้งั ที่ 2 [2] ไปเทีย่ วกับเพื่อน [3] ไปกินข้าวนอกบ้าน [4]

79

จากผลการระบายสี กราฟท่ไี ด้เป็นกราฟ 4 สี หมายความว่ากิจกรรมทงั้ หมดจะเสรจ็ ทงั้ หมดตอ้ งใชเ้ วลา 4 วัน
วนั ท่ี 1 (กจิ กรรมกล่มุ ท่ี 1) คือ อา่ นหนงั สือเตรยี มสอบครั้งท่ี 1 และ ออกกาลงั กาย
วนั ท่ี 2 (กิจกรรมกลุม่ ที่ 2) คือ อา่ นหนังสือเตรยี มสอบคร้งั ที่ 2
วันที่ 3 (กจิ กรรมกลมุ่ ที่ 3) คือ ไปเท่ียวกบั เพื่อน
วันท่ี 4 (กิจกรรมกลุ่มที่ 4) คือ ไปเรียนพเิ ศษ และ ไปกนิ ข้าวนอกบ้าน
หมายเหตุ ตารางอาจเปล่ียนได้ โดยการระบายสใี หม่

80

แบบฝึกหดั 4.4
1. จงหาจานวนสนี ้อยทีส่ ุดในการระบายสจี ดุ ยอดของกราฟท่ีกาหนดให้
1.1 1.2

1.3 1.4

ทมี่ า Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Application, page 602

2. ในการศึกษาหลักสูตรของมหาวทิ ยาลัยแห่งหนึ่งมรี ายวิชาหลักใหศ้ ึกษา 6 คือ A, B, C, D, E และ F โดย
มบี างวชิ าห้ามศกึ ษาพร้อมกัน

A ห้ามลงพร้อมกบั B, C B หา้ มลงพรอ้ มกบั A, D C ห้ามลงพร้อมกับ A, B

D ห้ามลงพร้อมกับ A, E, F E หา้ มลงพร้อมกับ D F ห้ามลงพร้อมกบั D

นกั ศึกษาต้องใชเ้ วลาเรียนกภี่ าคเรยี นจงึ จะศึกษาวชิ าหลกั ครบ และควรจัดตารางอย่างไร

3. ถา้ นกั ศึกษามกี าหนดการกจิ กรรมทีจ่ ะทา 9 กจิ กรรม โดยตอ้ งการจะทาให้เสรจ็ ทัง้ หมดโดยใชว้ ันใหน้ อ้ ย
วนั ที่สุด ซง่ึ วนั หน่ึงจะทากจิ กรรมเหลา่ นชี้ ่วงเวลา 08.00-12.00 น. แต่ละกจิ กรรมต้องทาตอ่ เน่ืองกนั จะ
ถึงเวลาท่ีกาหนดเทา่ นัน้ วนั หนึง่ กิจกรรมทก่ี ล่าวคือ

กจิ กรรม A 08.00 – 10.00 น. กจิ กรรม B 09.00 – 12.00 น. กิจกรรม C 11.00 – 12.00 น.
กจิ กรรม D 08.00 – 12.00 น. กจิ กรรม D 10.00 – 11.00 น. กิจกรรม F 08.00 – 12.00 น.
กิจกรรม G 09.00 – 11.00 น. กิจกรรม D 08.00 – 09.00 น. กจิ กรรม F 09.00 – 10.00 น.

นักศึกษาจะต้องใช้เวลานอ้ ยสดุ กว่ี ันในการทากิจกรรมดงั กล่าว และมีตารางในการจดั การอยา่ งไร

81

2.5. วิถสี ้ันทสี่ ดุ บนกราฟ

ปญั หาการค้นหาวถิ ที างส้ันท่ีสุด (Shortest Path) จะทาบนกราฟทม่ี ีนา้ หนัก ปัญหาคือการหาทางเดินท่ี
มีน้าหนักของเส้นเชื่อมรวมน้อยที่สุดจากจุดเร่ิมต้น (Initial point) ไปยังจุดสิ้นสุด (Terminal point) ผลรวม
ของนา้ หนกั บนวถิ ที ่ีสนั้ ที่สดุ จะเรยี กว่า ความยาวของวิถีทีส่ นั้ ทสี่ ุด

ตัวอย่างที่ 25 จงความยาวของวิถที ่สี น้ั ทีส่ ุดจากจดุ A ไปยังจดุ F บนกราฟมนี ้าหนกั ทีก่ าหนดให้

B 5E

11

A 92 F

23
C2 D

ตอบ วิถจี ากจุดยอด a ไป f ทีเ่ ปน็ ไปได้มี

1. A – B – E – F น้าหนักรวม 1 + 5 + 1 = 7
2. A – B – D – F น้าหนกั รวม 1 + 2 + 3 = 6
3. A – F น้าหนกั รวม 9
4. A – C – D – F น้าหนกั รวม 2 + 2 + 3 = 7
5. A – C – D –B - E- F น้าหนักรวม 2 + 2 + 2 +5 +1 = 12

ดังน้นั วิถี A – B – D – F ท่มี นี ้าหนักรวมเป็น 6 คือ วิถีสนั้ ที่สดุ

ในทางปฎิบัติ ถ้ากราฟมีจุดยอดและเส้นเช่ือมมากข้ึน จะเป็นไปไม่ได้เลยที่เราจะหารวิถีที่เป็นไปได้
ทั้งหมด วิธกี ารท่วั ไปที่ใช้หาความยาวของวิถีท่ีสั้นท่ีสุดคือ Dijkstra's algorithm แต่เราจะยังไม่ศึกษาวิธีการน้ีใน
รายวชิ านี้ ในกราฟบางกราฟอาจจะปรากฎวถิ ีทส่ี ั้นทสี่ ุดหลายวถิ ี แตค่ วามยาวของวิถีที่ส้นั ท่สี ุดจะมเี พียงค่าเดียว

82

แบบฝกึ หัด 4.5

1. จงหาวถิ สี นั้ ท่สี ดุ จากกราฟที่กาหนดให้ 1.2

1.1

B 6E B 5E
1
14 1
A 10 5 92 F
FA
2 3
31 2
C2 D
C2 D

2. จากแผนทภ่ี าคเหนือ เราสามารถจาลองเปน็ กราฟทม่ี นี ้าหนกั ได้ดังรปู (นา้ หนักคอื ระยะทาง กโิ ลเมตร)
จงหาระยะทางสั้นทสี่ ุดเพ่อื จะเดนิ ทางจากจังหวัดอุทัยธานีไปจงั หวดั ตาก

83

สรุปบทเรยี น
ทฤษฎีบทแรกของทฤษฎีกราฟ

- deg(G)  2 E
vV

- จานวนจดุ ยอดท่ีมดี ีกรีเปน็ เลขค่จี ะต้องเป็นจานวนคู่
การประยกุ ต์: ความเปน็ ไปไดข้ องระบบ (Feasibility)

กราฟออยเลอย์และการประยุกต์
- ในกราฟออยเลอยเ์ มอ่ื เริ่มเดินจากจุดหนึ่ง จะสาสารถเดินผ่านครบทกุ เส้นเช่ือมเสน้ ละ 1 ครง้ั แลว้

กลับมาทจี่ ุดเดิมได้
- กราฟ G จะเป็นกราฟออยเลอย์กต็ ่อเมื่อดีกรขี องทุกจุดยอดบนกราฟเปน็ จานวนคู่
การประยุกต์: ความสามารถในการแวะผา่ น (Traversability)

การระบายสีกราฟ
- การกาหนดสใี ห้กบั จุดยอดของกราฟ โดยจุดที่มีเส้นเชอื่ มประชิดกันจะต้องกาหนดสีท่แี ตกต่างกัน เพ่อื

หาจานวนสีท่นี ้อยทสี่ ดุ ทใี่ ชใ้ นการระบายจดุ ยอด
การประยกุ ต์: การจัดแผนตาราง (Scheduling)

วถิ สี ัน้ ทส่ี ุดบนกราฟ
- การหาทางเดินทีม่ นี ้าหนักของเส้นเชื่อมรวมน้อยที่สุดจากจุดเร่มิ ต้น (Initial point) ไปยังจุดสิ้นสุด

(Terminal point)
การประยุกต์: การไหลท่ีใช้ค่าใชจ้ า่ ยนอ้ ยทส่ี ดุ (Minimum cost flow)

84

3.ตวั แบบการตัดสินใจ (Decision Model)

ในการตดั สนิ ใจเกยี่ วกบั การดาเนนิ ธุรกจิ บางกรณีขอ้ มลู ต่างๆ ที่เกยี่ วข้องกบั การตดั สนิ ใจน้ัน
สามารถทราบไดแ้ น่นอน เชน่ การตัดสนิ ใจเก่ียวกบั การขนส่งสินค้า ผผู้ ลติ สามารถทราบคา่ ขนสง่ จากโรงงานแต่
ละแหง่ ไปยังลูกค้าแต่ละราย เพราะเปน็ ข้อมูลทสี่ ามารถหาคา่ ได้ นอกจากน้ันจานวนสินค้าทีล่ ูกค้าตอ้ งการ
จานวนสนิ ค้าทีแ่ ต่ละโรงงานผลติ ได้ ก็สามารถทราบจานวนทีแ่ นน่ อน ดังนัน้ การตดั สินใจเพ่ือที่จะสง่ สนิ ค้าจาก
โรงงานใดไปยังลูกคา้ คนใด นับเป็นการติดสินใจบนรากฐานของข้อมูลทีไ่ มม่ ีความเสยี่ งปนอยู่ เพราะเป็นการ
ตัดสนิ ใจภายใตข้ ้อมูลท่ีทราบแนน่ อน ลักษณะการตัดสินใจเชน่ นี้ เรยี กว่า การตดั สนิ ใจภายใต้ความแนน่ อน

ในทางตรงกันข้าม บางกรณปี ัญหาท่ตี อ้ งตดั สนิ ใจนนั้ เป็นปัญหาที่ไม่สามารถทราบข้อมูลทใี่ ช้
ประกอบการตัดสนิ ใจที่แน่นอน เชน่ ผผู้ ลิตต้องกาหนดจานวนผลติ หรือเจ้าของร้านค้าจะตอ้ งซอื้ สินคา้ เข้ารา้ น
แตจ่ านวนท่ีจะผลิตหรอื สั่งซ้ือน้ันเป็นจานวนที่ตอ้ งตัดสนิ ใจ ถา้ ผลิตมากไปหรอื สัง่ ซอื้ มากไปอาจทาให้สินค้าเหลอื
และต้องทงิ้ หรือตอ้ งขายเลหลังในท่สี ดุ กาไดท้ ่ีคาดว่าจะได้รับกจ็ ะน้อยลง แต่ถา้ ผลติ หรือสั่งซื้อนอ้ ยไป ก็จะทาให้
พลาดท่ีจะได้กาไรจากสินคา้ จานวนหน่งึ ซง่ึ ไม่เพยี งพอกับปริมาณที่ลกู ค้าต้องการ ในการตัดสินใจเชน่ นีจ้ ะตอ้ งทา
การคาดคะเนความต้องการของลูกค้าในอนาคต ซ่ึงจะไม่ทราบแน่นอน ดังนน้ั การตัดสินใจซ้อื เปน็ การตัดสนิ ใจ
ภายใตค้ วามไม่แนน่ อน ลักษณะการตดั สนิ ใจดงั กลา่ วนี้จงึ ควรท่จี ะต้องใชท้ ฤษฎีความน่าจะเปน็ (Probability
Theory) ประกอบการตดั สินใจ หรอื เรียกลกั ษณะของการตัดสินใจในลักษณะน้ี คือ การตัดสนิ ใจภายใต้ความ
เสี่ยง

ความหมายและชนิดของการตดั สนิ ใจ
การตดั สินใจ (Decision making) หมายถึง การพิจารณาเลือกทางเลือกอยา่ งใดอย่างหนึ่ง

จากทางเลือกท่ีมีมากกวา่ หนึง่ ทางเลอื ก เพื่อให้ไดผ้ ลลัพธ์ตามท่มี งุ่ หวังไว้ใหเ้ กดิ ขึ้นอย่างเป็นระบบ
ดังนัน้ การตัดสินใจจงึ เปน็ ทางเลือกเพอื่ ให้งานท่ีได้ปฏบิ ัตอิ ยู่นน้ั ไปสเู่ ป้าหมายทีว่ างไว้ ซ่งึ ปัญหา

คือ ความไมแ่ น่นอน อนั จะมีผลตอ่ การตัดสินใจ และผตู้ ดั สนิ ใจจาเปน็ ตอ้ งเลือกตัดสนิ ใจโดยเลือกทางเลอื กท่ีดี
ทส่ี ดุ นัน่ เอง

ชนดิ ของการตัดสินใจภายใต้สภาวการณ์ตา่ งๆ

เมอ่ื สามารถรวบรวมข้อมลู ของเหตกุ ารณ์ทีเ่ กิดขึ้นแลว้ จะต้องตัดสินใจภายใต้ทางเลือกของ
เหตุการณต์ า่ งๆ ทเี่ กิดข้ึน โดยจะทาทางเลอื กท่มี ีความเหมาะสมตอ่ การแกป้ ญั หาท่ีเกดิ ขน้ึ ดงั นั้น ผตู้ ัดสนิ ควรจะ
ทราบวา่ ทางเลือกของปัญหาทก่ี าลังตดั สินใจอย่นู น้ั อยภู่ ายใตส้ ภาวการณใ์ ด

1. การตัดสนิ ใจภายใต้สภาวะท่แี น่นอน (Decision making under condition of certainty) เป็น
การตดั สินใจที่ผทู้ าการตัดสินใจทราบแนน่ อนวา่ จะเกิดเหตุการณ์ใด จากขอ้ มลู ผลตอบแทนในแตล่ ะทางเลือกท่มี ี
อยู่แลว้ การตดั สินใจภายใต้สภาวะที่แน่นอนน้ี ผตู้ ัดสินใจให้หลกั เกณฑพ์ จิ ารณาจากข้อมูลสถิตทิ ีม่ ีอยู่เดมิ
หลกั การทางคณติ ศาสตร์ ผลลพั ธท์ างการวจิ ัย และหลักการทางเศรษฐศาสตรม์ าพจิ ารณาและทาการตดั สินใจ

85

2. การตัดสนิ ใจภายใต้สภาวะท่ีไม่แน่นอน (Decision making under uncertainty) การตดั สินใจที่
ผตู้ ัดสนิ ใจมีทางเลือกอยหู่ ลายทางเลือกในขณะทีผ่ ตู้ ดั สินใจจะไม่ทราบผลลพั ธ์หรอื คาตอบในแตล่ ะทางเลอื ก
ดงั น้นั การตัดสนิ ใจของผตู้ ัดสินใจจงึ ต้องอาศัย ดวง โชค เป็นเคร่ืองมอื ตดั สนิ ปัญหาทเ่ี กิดขึน้

3. การตดั สนิ ใจภายใต้สภาวะความเสยี่ ง (Decision making under condition risk) เป็นการ
ตดั สนิ ใจทีผ่ ้ตู ดั สินใจไมท่ ราบแน่ชดั ว่าเหตุการณใ์ ดจะเกิดขึ้น แตส่ ามารถทราบโอกาสหรือความนา่ จะเปน็
(Probability) ทจ่ี ะเกิดเหตกุ ารณเ์ หล่านั้นได้ การตัดสินใจภายใต้สภาวะความเสีย่ งน้จี ะตัดสนิ ใจโดยอาศยั ข้อมลู
ในอดตี ประสบการณ์ หรือวจิ ารณญาณของผู้ตัดสินใจเอง

ตัวแบบการตดั สนิ ใจการแสดงขอ้ มลู

ผตู้ ดั สินใจสามารถเลอื กแสดงรายละเอยี ดขอ้ มูลสาหรบั ปัญหาท่ตี ้องตัดสนิ ใจในรปู แบบต่างๆกนั
ได้แก่ การแสดงขอ้ มลู ในรูปตาราง เรยี กวา่ เมทรกิ ซก์ ารตัดสนิ ใจ (decision matrix) และการแสดงขอ้ มลู ใน
รปู กราฟหรือแผนภาพ เรยี กว่า แขนงการตัดสินใจ (decision tree)

เมทรกิ ซก์ ารตดั สนิ ใจ

เมทรกิ ซ์การตัดสินใจมีลกั ษณะการจัดขอ้ มลู ในรูปแถวและหลกั โดยให้แถวแสดงทางเลือกต่างๆท่ีมี
อยู่ จานวนแถว(i) จะมกี ี่แถวก็ได้ (i=1,2,3,…) ข้ึนอยู่กบั จานวนทางเลอื กของปญั หา ส่วนจานวนหลัก(j) จะแสดง
ถึงเหตกุ ารณ์ตา่ งๆทจ่ี ะเกิดขนึ้ หลังจากทม่ี ีการตัดสนิ ใจแลว้ ซึ่งการเกิดเหตุการณเ์ หลา่ นจ้ี ะเปน็ ตวั กาหนด
ผลตอบแทนของการตดั สนิ ใจ หลกั จะมจี านวนเทา่ กบั จานวนเหตกุ ารณท์ ี่อาจเกิดข้นึ (j=1,2,3,…) โดยที่
ผลตอบแทนของทางเลือกที่ i เม่อื เกดิ เหตกุ ารณ์ j จะแสดงดว้ ยค่า Cij

เหตกุ ารณ์(j) 1 2 3 ⋯N
ทางเลือก(i)

1 C11 C12 C13 ⋯ C1n

2 C21 C22 C23 ⋯ C2n

3 C31 C32 C33 ⋯ C3n

⋮ ⋮⋮⋮ ⋮

M Cm1 Cm2 Cm3 ⋯ Cmn

แขนงการตดั สินใจ (Decision Tree)
เป็นรูปแบบการตัดสนิ ใจท่ีแสดงข้อมลู ในรูปกราฟหรือแผนภาพ ซึง่ นยิ มใช้มากในวงการธุรกจิ และ
อุตสาหกรรมทีก่ ารตดั สนิ ใจเกี่ยวข้องกับทางเลือกหลายข้นั ตอน และแต่ละขัน้ ตอนกม็ หี ลายทางเลอื ก
“Decision Tree” จึงมคี วามหมายที่ตรงและเหมาะกวา่ การคาว่าแขนงการตัดสนิ ใจ เพราะการเขยี นแขนงการ
ตัดสินใจน้นั มิใชแ่ ขนงในลักษณะอื่น แต่เปน็ การต่อกง่ิ ก้านของทางเลือกในลกั ษณะที่คล้ายตน้ ไมป้ ลายสดุ จะมี
ทกุ ทาง และรวมเข้ามาหาจดุ สดุ ทา้ ยทีเ่ ร่มิ ตน้ เพยี งจดุ เดียว เสมือนกับกง่ิ ไม้และลาต้น

86

การใชแ้ ขนงการตัดสินใจจะมี 2 ข้นั ตอน คือ การสร้างแขนงการตดั สนิ ใจและการวเิ คราะหแ์ ขนงการ
ตดั สนิ ใจ

การสรา้ งแขนงการตัดสนิ ใจ จาเปน็ ต้องใช้ข้อมูลดังนี้
1. ทางเลือกของการตดั สินใจ
2. สภาวการณ์นอกเหนือการบงั คับตา่ งๆ ซ่งื เป็นเหตกุ ารณ์ต่างๆทีเ่ ปน็ ไปได้ทจ่ี ะเกดิ ขึ้นในอนาคต
3. ผลตอบแทน ที่จะได้รับจากการเกดิ ข้นึ ของเหตุการณ์แตล่ ะเหตุการณ์
4. ความน่าจะเปน็ ทีส่ ภาวการณ์นอกเหนือการบงั คบั ตา่ งๆ จะเกิดขนึ้ ซง่ึ มักได้มาจากการคาดคะเน

ของผู้บรหิ าร

สัญลักษณ์ทใี่ ชใ้ นการสรา้ งแขนงการตดั สินใจ
 (decision point) สญั ลักษณร์ ปู ส่เี หล่ยี ม แสดงจุดที่ต้องมีการตัดสนิ ใจ
 (state of nature node) สญั ลกั ษณ์รูปวงกลม แสดงการเกิดเหตุการณต์ ่างๆ
______ (branch) สญั ลักษณเ์ สน้ ตรง แสดงทางเลือกในการตัดสินใจ และเหตุการณ์ที่เกดิ ข้นึ หลังการ
เลือกทางเลอื กน้ันๆ
หลักเกณฑ์ในการสรา้ งแขนงการตัดสินใจ
1. สร้างแขนงการตดั สินใจจากซ้ายไปส้นิ สดุ ทางด้านขวา
2. ทางเลือกของจดุ ตดั สนิ ใจต้องมมี ากกว่า 1 ทางเลือก
3. ทป่ี ลายทางเลอื กทุกทาง ต้องมเี หตุการณ์เกดิ ขึ้นเสมอ อยา่ งนอ้ ย 1 เหตุการณ์
4. แขนงการตดั สนิ ใจสดุ ท้ายของแตล่ ะทางเลือกจะไปสนิ้ สุดด้านขวามือในแนวเดยี วกนั

การสร้างแขนงการตัดสนิ ใจ
1. กาหนด  เป็นจดุ ตดั สนิ ใจแรก
2. ณ จุดปลายทางเลือกกาหนดเหตกุ ารณ์เพื่อสาขาของสภาพการณ์

ดงั นนั้ เสน้ ท่ีตอ่ จากรูปส่เี หลยี่ มจะหมายถึง ทางเลือกของปัญหา และเสน้ ที่ต่อจากรปู วงกลมจะหมายถึง
เหตกุ ารณ์ที่เกิดข้ึน โดยมีตัวเลขผลตอบแทนของแต่ละทางเลือกเมื่อเกิดเหตกุ ารณ์ตา่ งๆ กากับอยู่ท่ปี ลายเส้น
น้นั ๆ

87

C11

C12
C21

C22

ตวั อย่างท่ี 26 เปลี่ยนตารางแสดงผลตอบแทนเป็นแขนงตัดสินใจ

ทางเลอื ก เหตกุ ารณค์ วามต้องการตลาด
สงู ปานกลาง ต่า
ขยายโรงงาน 50 25 -25
สร้างโรงงาน 70 30 -40
จา้ งบริษทั อ่นื 30 15 -1

การตัดสนิ ใจภายใต้สภาวการณ์ทแ่ี นน่ อน

เป็นการตัดสินใจที่ผู้ตัดสินใจทราบสภาวการณห์ รือเหตุการณ์ตา่ งๆ ว่าจะเกิดขึน้ ในอนาคตอย่าง
แนน่ อน แต่อย่างไรกต็ าม การตัดสนิ ใจภายใตค้ วามแนน่ อนเปน็ สงิ่ ท่เี กดิ ขน้ึ ไม่บอ่ ยนัก ส่วนใหญ่จะมคี วามเสี่ยง

88

หรอื มคี วามไมแ่ นน่ อนเขา้ มาเกยี่ วขอ้ งดว้ ยเสมอ หรือถ้าหากมคี วามแน่นอนในการเกดิ เหตกุ ารณ์ตา่ งๆ ก็มักจะมี
ปัจจยั ด้านอื่นๆ เข้ามาเกย่ี วข้อง

ตวั อยา่ งที่ 27 จากข้อมลู ในอดตี บรษิ ัทแหง่ หนึง่ ผลิตน้าอดั ลมตงั้ แต่เดอื น มกราคม-มิถุนายน 2558 จะอยู่
ระหว่าง 3,000 – 8,000 ขวด โอกาสท่จี ะขายไดใ้ นแตล่ ะเดือนมดี งั น้ี คือ

จานวนที่ขายได้(ขวด/เดอื น) 3,000 6,000 4,000 8,000 7,000 5,000

โอกาสทจ่ี ะขายได้ 0.20 0.15 0.10 0.15 0.25 0.15

สมมติวา่ การจาหน่ายนา้ อดั ลมดงั กลา่ วจะได้กาไร 5 บาทต่อขวด เมื่อขายได้จานวน 6,000 ขวด
จะได้กาไร 30,000 บาท ซึ่งเป็นกาไรสูงสุดจากการผลิตนา้ อดั ลม 6,000 ขวด

ถา้ ผู้ตัดสนิ ใจทราบแน่นอนวา่ จะเกิดเหตุการณ์ใดแน่กจ็ ะสามารถเลอื กทางเลือก่ท่ีให้กาไรสูงสุดได้
ทน้ ที อย่างไรกต็ ามการตัดสนิ ใจภายใต้ความแนน่ อนไมเ่ กดิ ขึ้นบ่อยนัก ส่วนใหญม่ คี วามไม่แน่นอนหรือความเส่ียง
เขา้ มาเกย่ี วข้องดว้ ยเสมอ

การตดั สินใจภายใต้สภาวะความไมแ่ น่นอน

เปน็ การตัดสนิ ใจท่ีผตู้ ัดสนิ ใจจะต้องเลอื กทางเลือกใดทางเลือกหนงึ่ เพยี งทางเลอื กเดียว โดยไม่
ทราบความน่าจะเปน็ หรือโอกาสที่แต่ละเหตุการณจ์ ะเกดิ ขึ้นภายใตส้ ภาวการณ์ท่ีไมแ่ น่นอนน้ี จึงต้องพยายามลด
ความไม่แน่นอนลงใหเ้ หลือน้อยท่ีสดุ การตดั สินใจภายใต้ความไม่แน่นอนมจี ุดประสงค์คือตอ้ งการผลตอบแทน
สงู สุด จาแนกไดเ้ ป็น 3 ลักษณะตามที่นยิ มใช้อย่างแพรห่ ลายดงั นี้

ลกั ษณะท่ี 1 เมื่อไม่ทราบความน่าจะเป็นและสมมติฐานในด้านดี มีวธิ ีใชอ้ ยู่ 2 วิธี ไดแ้ ก่

1. เกณฑเ์ ลือกทางเลือกที่ให้ผลตอบแทนมากที่สดุ จากทุกทางเลือกของเหตุการณ์ท่ีมากทส่ี ุด (Maximax
Criterion) หรอื วธิ ีเลือกค่าตอบแทนสูงสดุ จากบรรดาค่าตอบแทนสูงสุดในแต่ละทางเลอื ก(Maximax)
คานวณโดยเปรียบเทยี บกาไรสูงสุดของแต่ละทางเลือก และเลือกทางเลือกท่ีใหก้ าไรสูงที่สดุ
ตวั แบบการเลอื ก Max(Max xi)j

ตัวอย่างท่ี 28 จากแสดงผลตอบแทนแต่ละทางเลือก เลอื กทางเลอื กโดยใช้วิธี Maximax

ทางเลอื ก เหตุการณค์ วามต้องการตลาด ผลลัพธ์เกณฑ์

สงู ปานกลาง ต่า ไม่มี Maximax

ขยายโรงงาน 50 25 -25 -45 50

สรา้ งโรงงาน 70 30 -40 -80 70

จ้างบรษิ ทั อื่น 30 15 -1 -10 30

Max(Max xi)j = Max(50 , 70 ,30)
= 70

ดงั น้ัน เลือกวิธสี ร้างโรงงาน เน่ืองจากไดค้ ่าตอบแทนสูงสดุ จากค่าตอบแทนสูงสดุ ทุกทางเลอื ก

89

2. เกณฑ์เลือกทางเลือกที่มีค่ามากทส่ี ดุ ของค่าเฉล่ียจากผลรวมทุกเหตุการณ์ (Principle of insufficient

reason หรือ Laplace Criterion) โดยแนวคดิ นยี้ ดึ หลกั ง่ายๆ คอื เม่ือไม่ทราบความนา่ จะเปน็ ในเหตุการณ์

ต่างๆ กก็ าหนดให้เหตกุ ารณ์เหล่านัน้ มีความนา่ จะเป็นทีจ่ ะเกิดขึน้ เท่าๆกัน วธิ ีนี้เรียกวา่ ลาปลาส(Laplace)

คานวณโดยหาผลตอบแทนเฉลี่ย แลว้ ใชเ้ กณฑ์ผลตอบแทนเฉลยี่ สูงสดุ

ตัวแบบการเลอื ก Max ( xi )j

n

ตวั อย่างที่ 29 จากแสดงผลตอบแทนแต่ละทางเลือก เลอื กทางเลือกโดยใช้วธิ ีลาปลาส

ทางเลอื ก เหตุการณ์ความตอ้ งการตลาด ผลลัพธ์เกณฑ์ Laplace
ขยายโรงงาน สงู ปานกลาง ต่า ไมม่ ี
สรา้ งโรงงาน 50 25 -25 -45 50  25  (25)  (45) = 1.25
จา้ งบริษัทอน่ื 4
70 30 -40 -80 70  30  (40)  (80)
4 = -5
30 15 -1 -10
30 15  (1)  (10) = 8.5
4

Max ( xi )j = Max (1.25 , -5 , 8.5)

n

= 8.5

ดงั น้นั หากเลือกด้วยวิธีวธิ ีลาปลาสควรจ้างบรษิ ทั อนื่

ลกั ษณะที่ 2 เม่ือไม่ทราบความน่าจะเป็นและสมมตฐิ านในดา้ นร้าย มวี ิธใี ช้อยู่ 2 วธิ ี ได้แก่

1. เกณฑ์เลือกทางเลือกที่ใหผ้ ลตอบแทนมากทสี่ ดุ จากทุกทางเลอื กของเหตุการทน่ี ้อยท่สี ดุ (Maximin Criterion)
หรือ วิธเี ลือกค่าตอบแทนสูงสุดจากบรรดาคา่ ตอบแทนตา่ สุด(Maximin) เปน็ เกณฑข์ องผูท้ ่ีมคี วาม
ระมัดระวัง โดยพจิ ารณาคา่ กาไรต่าสุดของแต่ละทางเลอื ก แล้วเลอื กทางท่ีให้กาไรสงู สดุ
ตัวแบบการเลือก Max(Min xi)j

ตัวอย่างท่ี 30 จากแสดงผลตอบแทนแต่ละทางเลอื ก เลือกทางเลือกโดยใชว้ ธิ ี Maximin

ทางเลือก เหตุการณค์ วามต้องการตลาด ผลลพั ธ์เกณฑ์

สงู ปานกลาง ตา่ ไมม่ ี Maximin

ขยายโรงงาน 50 25 -25 -45 -45

สร้างโรงงาน 70 30 -40 -80 -80

จ้างบรษิ ัทอื่น 30 15 -1 -10 -10

Max(Min xi)j = Max(-45 , -80 , -10)
= -10

ดังนั้น เลือกวิธีจ้างบรษิ ทั อนื่ เน่อื งจากไดผ้ ลตอบแทนสูงทึส่ ุดจากผลตอบแทนตา่ สดุ ทุกทางเลอื ก

90

2. เกณฑ์เลือกทางเลือกท่ีมคี า่ เสียโอกาสน้อยท่สี ดุ จากทุกทางเลือกของเหตุการณท่ีมคี า่ เสยี โอกาสมากที่สดุ
(Minimax Regret Criterion) หรอื วธิ ีเลอื กค่าเสยี โอกาสต่าสดุ จากบรรดาค่าเสยี โอกาสสูงสดุ ในแต่ละ
ทางเลือก(Minimax Regret)
ตัวแบบการเลือก Min zij = Max xi - xi

ตวั อยา่ งที่ 31 จากแสดงผลตอบแทนแตล่ ะทางเลือก เลอื กทางเลอื กโดยใชว้ ธิ ี Minimax

ทางเลอื ก เหตกุ ารณค์ วามตอ้ งการตลาด
สงู ปานกลาง ตา่ ไมม่ ี

ขยายโรงงาน 50 25 -25 -45

สรา้ งโรงงาน 70 30 -40 -80

จา้ งบริษัทอนื่ 30 15 -1 -10

คานวณค่าเสียโอกาสของแต่ละเหตกุ ารณ์

ทางเลอื ก เหตุการณค์ วามต้องการตลาด

ขยายโรงงาน สงู ปานกลาง ต่า ไมม่ ี
สรา้ งโรงงาน 70–50 = 20 -10–(-45) = 35
จ้างบริษทั อื่น 70–70 = 0 30–25 =5 -1–(-25) = -24 -10–(-80) = 70
70–30 = 40 -10–(-10) = 0
30–30 = 0 -1–(-40) = 39

30–15 = 15 -1–(-1) = 0

แล้วเลอื กทางเลือกท่มี ีค่าเสยี โอกาสตา่ ท่สี ุด

ทางเลอื ก เหตุการณค์ วามตอ้ งการตลาด ผลลัพธ์เกณฑ์
Minimax Regret
ขยายโรงงาน สงู ปานกลาง ต่า ไม่มี
สร้างโรงงาน 35
จา้ งบรษิ ทั อ่ืน 20 5 -24 35 70
40
0 0 39 70

40 15 0 0

ดังน้ัน หารเลอื กดว้ ยวธิ ี Minimax Regret ควรขยายโรงงาน

ลกั ษณะที่ 3 เกณฑต์ ดั สินใจประเภทหลักการความเปน็ จริง หรือ Criterion of Realism หรอื Hurwicz ผู้
ตัดสินใจกาหนดระดับการเลง็ ผลเลศิ ดว้ ยค่า 

ถา้ อยู่ใกล้ 0 แสดงวา่ ผตู้ ัดสินใจมแี นวคิดไปทาง Maximin (คาดการณ์วา่ อนาคตจะไม่ดี)
ถ้า อยใู่ กล้ 1 แสดงว่า ผตู้ ดั สนิ ใจมแี นวคดิ ไปทาง Maximax (คาดการณว์ ่าอนาคตจะดี)
ผลตอบแทนเฉล่ียถว่ งนา้ หนกั = (ผลตอบแทนสูงสดุ )+(1-)(ผลตอบแทนต่าสุด)

91

ตัวอยา่ งท่ี 32 จากแสดงผลตอบแทนแต่ละทางเลือก เลือกทางเลือกโดยใชว้ ิธี Hurwicz เมอื่ กาหนด  = 0.7

ทางเลอื ก เหตุการณค์ วามต้องการตลาด ผลลพั ธเ์ กณฑ์ Hurwicz
สงู ปานกลาง ต่า ไมม่ ี

ขยายโรงงาน 50 25 -25 -45 0.7x50 + 0.3x(-45) = 21.5

สรา้ งโรงงาน 70 30 -40 -80 0.7x70 + 0.3x(-80) = 25

จา้ งบรษิ ทั อนื่ 30 15 -1 -10 0.7x30 + 0.3x(-10) = 18

ดงั น้ัน หากเลือกดว้ ยวิธี Hurwicz ควรเลอื กวิธสี รา้ งโรงงาน

การตัดสินใจภายใตส้ ภาวะความเสี่ยง

เปน็ ทางเลือกทผ่ี ตู้ ดั สนิ ใจไม่รู้ถงึ ผลลพั ธ์อยา่ งแนน่ อน แตผ่ ู้ตัดสินใจพอจะสามารถรไู้ ด้บ้างว่าผลลัพธ์ทจ่ี ะ
เกิดข้ึนน้นั จะเปน็ อย่างไร โดยอาศัยการคาดคะเน ซึ่งการที่ผตู้ ัดสนิ ใจไม่ทราบแน่ชัดว่าเหตกุ ารณ์ใดจะเกิดข้นึ แต่
สามารถทราบโอกาสหรือความนา่ จะเป็น(Probability) โดยยึดถือข้อมูลในอดตี หรือจากการทดลอง หรืออาศยั
ประสบการณ์ของบุคคลของบุคคลผทู้ าหน้าทต่ี ัดสินใจก็ได้

ลกั ษณะของความน่าจะเป็นที่จะเกดิ เหตุการณต์ ่างๆ แบ่งได้เปน็ 2 ประเภท คือ

1. ความนา่ จะเปน็ ทไ่ี ด้มาจากการวิเคราะห์แนวโน้ม (subjective probability) เปน็ ความน่าจะเปน็ ที่
มไิ ด้มาจากการคานวณตัวเลข แต่ประมาณข้ึนมาจากการวเิ คราะหแ์ นว้ โน้มดา้ นตา่ งๆ เชน่ อตั ราเงนิ เฟอ้ สภาว
เศรษฐกจิ ฯลฯ โดยอาศยั ประสบการณและวจิ ารณญาณของผูต้ ัดสินใจ

2. ความน่าจะเปน็ ทไี่ ด้มาอย่างมีหลักเกณฑ์ (objective probability) การได้มาของความน่าจะ
เป็นมาจากการบนั ทึกข้อมลู ในอดตี หรอื จากการทดลองซ้าหลายๆ ครั้ง เช่น ร้านขายกาแฟแห่งหนง่ึ ไดท้ าการ
บันทกึ ข้อมูลการขายในปีที่ผา่ นมาดงั น้ี

ปรมิ าณการขายต่อวนั (แก้ว) จานวนสปั ดาหท์ ี่ขายได้ ความน่าจะเปน็
100 3 3/15 = 0.2
110 5 5/15 = 0.33
120 7 7/15 = 0.47
รวม 15 1.00

วธิ ีการคานวณความนา่ จะเป็น

1. หาผลรวมของแตล่ ะเหตกุ ารณ์(Event)
2. หาผลรวมของทุกเหตุการณ์
3. นาข้อ 1. หาร ขอ้ 2. จะได้คา่ ความน่าจะเป็นของแตล่ ะเหตุการณ์ โดยผลรวมของความ

นา่ จะเป็นรวมกนั จะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ

ในกรณที ีส่ ามารถหาความน่าจะเป็นให้กับผลลพั ธ์ทจี่ ะเกดิ ขึ้นไดน้ ี้ สามารถวิเคราะห์ปัญหาเพ่ือการ
ตดั สินใจภายใต้สภาวการณท์ ี่มีความเสย่ี งได้ 2 ลักษณะ คือ

92

1. พิจารณาจากเกณฑค์ ่าคาดคะเนหรือผลตอบแทนทค่ี าดหมาย (Expected Monetary Value : EMV)
Expected Monetary Value หมายถึง มลู คา่ ของต้นทนุ หรอื มูลค่าของกาไร เม่อื ไดน้ าความ

น่าจะเปน็ เข้ามาพจิ ารณาในการคานวณมูลค่าน้ันๆ เช่น คาดคะเนกาไรในการขายสินค้าจานวนหนง่ึ
ผู้ประกอบการคาดวา่ มีโอกาสถึง 70% ทจี่ ะได้กาไรถงึ 50,000 บาท แตก่ ม็ โี อกาสประมาณ 30% ที่ไดก้ าไรเพยี ง
40,000 บาท ดังนั้น มูลคา่ กาไรคาดคะเนหรือมลู ค่ากาไรท่ีควรคาดหวงั คอื (0.7x50,000)+(0.3x40,000) =
47,000 บาท

ทงั้ ข้อมูลเกี่ยวกับโอกาสหรือความนา่ จะเปน็ และข้อมูลทางการเงิน มบี ทบาทและมีความสาคัญ
ต่อการตัดสินใจภายใตส้ ภาวะความเสีย่ งและความไม่แนน่ อน วธิ กี ารรวมขอ้ มลู ทง้ั สองจุดเข้าด้วยกัน ก็คือ การหา
มูลค่าคาดคะเนทางการเงนิ เพ่ือใช้เปน็ พน้ื ฐานในการตดั สินใจ มีขั้นตอนดังนี้

1. จดั ทาตารางแสดงผลตอบแทนของแตล่ ะกจิ กรรม
2. นาคา่ แสดงผลตอบแทนของการกระทาแต่ละผลลัพธท์ ี่ได้ มาคานวณหาค่าผลตอบแทนคาดหมาย
(EMV) โดยการคณู ความน่าจะเปน็ ของแต่ละสภาพการณก์ ับผลตอบแทนทางเศรษฐกิจของการกระทาและ
สภาพการณ์นั้นๆ
3. เปรยี บเทยี บค่าผลตอบแทนคาดหมาย(EMV) ของแตล่ ะทางเลอื กแลว้ เลอื กทางเลอื กที่มีคา่
ผลตอบแทนคาดหมายสงู ท่สี ุด

ตัวอย่างที่ 33 มารเี ปดิ รา้ นขายสตอเบอร่ีท่ีจงั หวัดเชยี งรายในชว่ งเทศกาลปีใหม่ที่จะมาถึงในเดือนมกราคมน้นั
มารีกาลงั พจิ ารณาทจ่ี ะสัง่ สตอเบอร่ีพนั ธ์ุดจี ากไรท่ ีใ่ หญ่ท่ีสุดในจังหวัดเชยี งราย มาขายในร้านในชว่ งวันปีใหม่ โดย
สัง่ ซอ้ื ในราคากิโลกรัมละ 50 บาท แล้วนามาขายหนา้ รา้ นราคากิโลกรมั ละ 90 บาท อย่างไรกต็ ามหากขายไม่
หมดภายใน 3 วัน จะนาไปขายต่อใหร้ า้ นที่ทาผลไม้กวน จากขอ้ มลู การขายในแตล่ ะปีท่ีผ่านมา โดยรวบรวม
ขอ้ มลู ความต้องการซ้ือเปน็ ดงั นี้

สตอเบอร่ีท่ีลกู คา้ ซอื้ ไป (กก.) 25 30 35 40
5
จานวนวัน 10 20 15

อยากทราบว่าควรนาสตอเบอร่ีมาขายวนั ละกี่กิโลกรัม โดยใหส้ รา้ งตารางผลตอบแทน

วธิ ีทา สรา้ งตารางกาไรหรอื ตารางผลตอบแทน โดยที่ กาไร = ราคาขาย – ตน้ ทุน

ทางเลือก : สัง่ ซ้อื เหตกุ ารณ์ที่ลูกค้าต้องการซื้อ (กิโลกรมั ) 40
กโิ ลกรัม 25 30 35
1,000
25
30 = ขาย 25 กก. สั่งมา 25 กก.
35 = 25(ราคาขาย) – 25(ราคาซ้อื )
40

กาไร

93

= 25(90) – 25(50)

= 2,250 – 1,250

= 1,000

ทางเลอื ก : ส่ังซื้อ เหตุการณท์ ล่ี ูกคา้ ตอ้ งการซ้ือ (กโิ ลกรัม)

กิโลกรมั 25 30 35 40

25 1,000 40
1,000
30 750 1,200
1,400
35 1,600

40

กาไร = ขาย 25 กก. สั่งมา 30 กก.

= 25(ราคาขาย) – 30(ราคาซ้อื )

= 25(90) – 30(50)

= 2,250 – 1,500

= 750

ทางเลอื ก : ส่ังซอื้ เหตุการณท์ ่ีลกู คา้ ต้องการซ้ือ (กิโลกรัม)

กิโลกรมั 25 30 35

25 1,000 1,000 1,000

30 750 1,200 1,200

35 500 950 1,400

40 250 700 1,150

หาความนา่ จะเปน็ แตล่ ะทางเลือก

สตอเบอร่ีทีล่ ูกคา้ ซ้ือไป (กก.) 25 30 35 40 รวม
50
จานวนวัน 10 20 15 5 1

ความน่าจะเปน็ 10/50 = 0.2 20/50 =0.4 15/50 = 0.3 5/50 = 0.1

สรา้ งตารางผลตอบแทนคาดหวงั

ทางเลือก : สัง่ ซอ้ื เหตกุ ารณ์ท่ีลกู ค้าต้องการซื้อ (กิโลกรมั ) EMV
กโิ ลกรมั 25 30 35 40
1,000x0.2 1,000x0.4 1,000x0.3 1,000x0.1 1,000
25 750x0.2 1,200x0.4 1,200x0.3 1,200x0.1 1,110
30 500x0.2 950x0.4 1,400x0.3 1,400x0.1 1,040
35 250x0.2 700x0.4 1,150x0.3 1,600x0.1 835
40 10 20 15 5
จานวนวัน 10/50 = 0.2 20/50 =0.4 15/50 = 0.3 5/50 = 0.1
ความนา่ จะเปน็

ดังน้ันควรสง่ั ซอื้ สตอเบอรี่มา 30 กิโลกรัม และคาดวา่ จะได้กาไร 1,110 บาท

94

2. พจิ ารณาจากเกณฑค์ ่าเสียโอกาส (Expected Opportunity Los : EOL) ซึ่งมีข้นั ตอนดงั น้ี
1. จดั ทาตารางแสดงคา่ เสียโอกาสของแตล่ ะกจิ กรรม
2. นาค่าแสดงเสียโอกาสของการกระทาแตล่ ะผลลพั ธท์ ่ีได้ คานวณหาค่าเฉลี่ยของค่าเสยี โอกาส(EOL)

โดยการคูณความน่าจะเป็นของแตล่ ะสภาพการณก์ ับคา่ เสียโอกาส
3. เปรียบเทียบค่าเฉล่ยี ของเสยี โอกาส(EOL) ของแต่ละทางเลือกแล้วเลือกทางเลือกทมี่ ีค่าเฉล่ยี ของคา่

เสยี โอกาสทต่ี ่าท่สี ุด

ตวั อย่างท่ี 34 จากตวั อยา่ งที่ 8 จงสรา้ งตารางค่าเสยี โอกาส

วธิ ที า สร้างตารางค่าเสยี โอกาส

ทางเลือก : สงั่ ซือ้ เหตุการณ์ทล่ี กู ค้าตอ้ งการซื้อ (กิโลกรมั )

กโิ ลกรัม 25 30 35 40

25 0 200

30 250

35

40

สัง่ มา 25 กก. และ ขายได้ 25 กก.พอดี ดงั นนั้ ไมม่ ีค่าเสยี โอกาส
สัง่ มา 25 กก. แตล่ ูกคา้ ต้องการ 30 กก. ดงั นัน้ เสยี โอกาสไดก้ าไรไป 200 บาท
สง่ั มา 30 กก. ขายได้ 25 กก. ดังนน้ั ขาดทุน 250 บาท

ทางเลอื ก : ส่งั ซ้ือ เหตกุ ารณท์ ่ลี กู คา้ ตอ้ งการซื้อ (กโิ ลกรัม)

กโิ ลกรมั 25 30 35 40

25 0 200 400 600

30 250 0 200 400

35 500 250 0 200

40 750 500 250 0

ตารางความนา่ จะเป็น

สตอเบอร่ีที่ลูกคา้ ซื้อไป (กก.) 25 30 35 40 รวม
50
จานวนวนั 10 20 15 5 1

ความน่าจะเปน็ 10/50 = 0.2 20/50 =0.4 15/50 = 0.3 5/50 = 0.1

95

ตารางค่าเสียโอกาสคาดหวงั

ทางเลือก : สง่ั ซือ้ เหตุการณท์ ล่ี กู ค้าต้องการซ้ือ (กโิ ลกรมั ) EOL

กโิ ลกรมั 25 30 35 40 260
150
25 0 200 400 600 220
425
30 250 0 200 400

35 500 250 0 200

40 750 500 250 0

จานวนวนั 10 20 15 5

ความน่าจะเปน็ 10/50 = 0.2 20/50 =0.4 15/50 = 0.3 5/50 = 0.1

ดังนน้ั ควรส่ังสตอเบอร่ีมา 30 กก. และมีคา่ เสียโอกาสแค่ 150 บาท

คา่ EPPI (Expected payoff with Perfect information) และคา่ EVPI (Expected Value Perfect
Information)

ถ้าในการตัดสินใจ สมมติวา่ ผู้ทาการตดั สินใจมขี ้อมูลข่าวสารท่แี ม่นยาเหมือนกับทราบอนาคต(ซ่งึ เกิดขน้ึ
ยากในความเป็นจรงิ ) จะทาใหเ้ ลือกทางเลือกท่ีดที ีส่ ุดไดโ้ ดยง่าย

ซง่ึ สามารถคานวณคา่ คาดหวังในกรณที ่ีมีขา่ วสารสมบรู ณ์ได้โดยพิจารณาวา่ ในแตล่ ะเหตุการณ์
ทางเลือกใดคือทางเลือกท่ีดที ่ีสดุ เลอื กทางเลือกนัน้ ออกมาแล้วนาค่าความนา่ จะเป็นคูณเข้าไป ทาทุกเหตุการณ์
และหาผลรวมออกมา ค่าผลรวมท่ีได้คือค่าคาดหวงั ในกรณีทม่ี ขี ่าวสารสมบูรณ์หรือเรยี กสน้ั ีๆีว่า ค่าEPPI
(Expected payoff with Perfect information)

ตวั อยา่ งที่ 35 จากตวั อยา่ งท่ี 8 จงหาคา่ EPPI

ทางเลือก : สงั่ ซอ้ื เหตุการณ์ทลี่ กู คา้ ตอ้ งการซื้อ (กิโลกรมั )

กิโลกรัม 25 30 35 40

25 1,000 1,000 1,000 1,000

30 750 1,200 1,200 1,200

35 500 950 1,400 1,400

40 250 700 1,150 1,600

ความน่าจะเปน็ 0.2 0.4 0.3 0.1

แต่ละเหตกุ ารณเ์ ลอื กทางเลือกท่ีดีท่ีสุด
EPPI = 1,000(0.2) + 1,200(0.4) + 1,400(0.3) + 1,600(0.1) = 1,260

นน่ั คือถ้ามีข่าวสารสมบรู ณผ์ ลตอบแทนสูงสดุ ทจี่ ะไดค้ ือ 1,260 บาท
พจิ ารณาจากตัวอยา่ งท่ี 8 ควรสงั่ สตอเบอรี่มา 30 กโิ ลกรัม และคาดวา่ จะกาไร 1,110 บาท

(กรณนี ยี้ งั ไม่มีขา่ วสารสมบูรณ์) แต่ถ้ามีข้อมูลสมบูรณ์ค่าคาดหวังจะเพิ่มข้ึนจาก 1,110 เปน็ 1,260 บาท

96

เพิ่มข้นึ มาี150 บาทีคา่ ทเ่ี พ่ิมขน้ึ มาน้ีเรียกวา่ ค่า EVPI (Expected Value Perfect Information)
จะสรุปความสมั พนั ธ์ระหว่าง EPPI กับ EVPI ได้ดังน้ี

EVPI = EPPI – EV(Max)

ค่า EVPI = 150 บาท เปน็ ค่าท่เี พมิ่ ขนึ้ มาในกรณีทม่ี ีข้อมลู ขา่ วสารสมบูรณ์ แสดงว่าถ้ามารีจาเป็นตอ้ งจา่ ยเงนิ
เพ่ิมขน้ึ เพ่ือใหไ้ ด้ข่าวสารสมบูรณ์ เขาควรจา่ ยเงนิ สงู สดุ แค่ 150 บาท

ข้อสงั เกต คา่ EVPI มคี ่าเท่ากบั ค่าเสียโอกาสที่คาดหวงั (EOL)ต่าสุดเสมอ ลองเปรียบเทียบดูกับค่า EOL ใน
ตวั อย่างที่ 35

 EVPI = EPPI – EV(Max) = EOL(Min)

ตวั อยา่ งที่ 36 จากโจทยต์ ัวอย่างท่ี 34 จงสร้างแขนงการตัดสนิ ใจของการที่มารีเลือกส่ังซ้อื สตอเบอรี่เข้ามาขาย
ในรา้ น