การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

เรอ่ื ง การเคลอ่ื นที่แบบโพรเจกไทล์ 1

การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์

นกั เรยี นได้ศึกษาการเคลอ่ื นที่แนวตรงหรือการเคลื่อนที่ในหน่ึงมิตมิ าแล้ว ความรู้ดังกล่าวเปน็
ความรพู้ ืน้ ฐานในการอธิบายการเคลอ่ื นท่ีแนวโค้ง หรอื การเคลือ่ นทใี่ นสองมิติ ซง่ึ เปน็ การเคลอื่ นที่ใน
ระนาบใดระนาบหนง่ึ การเคล่อื นที่สองมิตมิ หี ลายแบบ

หากนักเรยี นพิจารณาเสน้ ทางการเคลื่อนท่ขี องลกู บอลที่ถูกเตะออกไป ดังรูป 1 จะพบวา่
เส้นทางการเคลอ่ื นทเ่ี ป็นแนวโคง้ ถ้าไม่มีแรงต้านของอากาศหรอื แรงต้านของอากาศน้อยมากจนไม่ตอ้ ง
นำมาคิด จะเรียกการเคลอื่ นที่แบบน้ีวา่ การเคลือ่ นทีแ่ บบโพรเจกไทล์ (Projectile motion)

รปู 1 การเคลื่อนที่ของลกู บอลเปน็ การเคล่อื นทีแ่ นวโค้ง

จากการศึกษาลักษณะการเคลื่อนท่ีของวัตถแุ บบโพรเจกไทล์ พบว่าวตั ถุจะมีการ
เคลื่อนท่ีในแนวระดบั และแนวด่งิ ไปพร้อม ๆ กนั ทำให้เกิดการกระจดั ในแนวระดับและการกระจัดใน
แนวดง่ิ ความเร็วในแนวระดบั และความเรว็ ในแนวด่งิ เช่นการดดี เหรียญ A และเหรียญ B ให้ตกจาก
ระดับความสูงจากพืน้ เท่ากัน ดงั รูป 2

กลุ่มสาระการเรียนรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เร่อื ง การเคลือ่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 2

รูป 2 การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์และการเคล่อื นที่แนวดิง่ ของเหรียญ

จากการทดลองพบวา่ เหรียญ 2 อนั เรม่ิ ต้นเคลอื่ นท่ีพร้อมกันจากระดบั ความสงู เท่ากนั เหรยี ญ

A จะเคลื่อนทอ่ี ย่างอิสระในแนวดงิ่ ส่วนเหรยี ญ B จะเคลอ่ื นท่อี ยา่ งอิสระแบบโพรเจกไทล์ เพราะ

เหรยี ญ B ไดร้ บั แรงในแนวระดบั จากการปดั ไมบ้ รรทดั ทำใหม้ ีความเร็วในแนวระดบั และเม่ือพน้ ขอบ

โตะ๊ เหรยี ญ B จะถูกแรงดึงดดู ของโลกกระทำในแนวด่งิ ในขณะที่ความเรง่ ในแนวระดับเป็นศนู ย์

ทำให้เหรยี ญทั้งสองตกถึงพ้ืนพร้อมกนั

การเคล่ือนท่แี นวโคง้ พาราโบลาภายใต้สนามโน้มถ่วงโดยไม่คดิ แรงตา้ นอากาศเป็นการเคลื่อนท่ี

แบบโพรเจกไทล์ ในการเคลอ่ื นทด่ี งั กล่าว วตั ถมุ ีการกระจัดทั้งในแนวระดบั (แกน x) และในแนวด่งิ

(แกน y) ณ เวลาเดียวกนั สำหรับการเคลอื่ นทใ่ี นแนวดง่ิ เป็นการเคลื่อนทที่ ี่มีแรงโน้มถ่วงกระทำต่อวตั ถุ

จงึ มคี วามเร่งเทา่ กับความเรง่ โนม้ ถ่วงของโลก g⃑ ซงึ่ เปน็ ความเรง่ คงตัว ทำให้ความเรว็ ในแนวดิ่งไม่คงตัว

และมีค่าเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอ ส่วนการเคลื่อนทีใ่ นแนวระดบั ไม่มแี รงกระทำ ความเรง่ ในแนว

ระดับจึงเทา่ กบั ศูนย์ ทำใหค้ วามเร็วในแนวระดับคงตวั

v⃑ = 0 ⃑u = 0

⃑v

⃑v
u⃑

⃑v

รูป 3 วัตถเุ คล่ือนทใ่ี นแนวดงิ่

กลุ่มสาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เรื่อง การเคลอื่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 3

พิจารณาการเคลื่อนทข่ี องวัตถดุ งั รูป 3 เม่ือวัตถุเคลื่อนท่ีขึ้นในแนวดง่ิ ดว้ ยความเร็วต้น ⃑u วตั ถุ
จะเคล่ือนที่ขึ้นไปโดยความเร็วลดลงอยา่ งสม่ำเสมอ จนเป็นศูนย์ทจ่ี ุดสงู สุด แล้วจงึ เคล่ือนทีก่ ลบั ลงมา
โดยความเร็วเพ่ิมข้ึนอย่างสม่ำเสมอ และตกมายังจุดเดมิ

⃑vy = 0

⃑ux

v⃑ y

⃑ux ⃑ux
v⃑ y
⃑uy u⃑

θ u⃑ x u⃑ x

รปู 4 วตั ถมุ คี วามเร็วตน้ ทำมุม θ กับแนวระดบั v⃑ y

เม่ือพิจารณาการเคล่ือนที่ในรูป 4 ซง่ึ วตั ถุมคี วามเร็วต้นทำมุม θ กับแนวระดับ เมื่อพิจารณา
องคป์ ระกอบของความเรว็ ต้นเปน็ ความเร็วในแนวระดบั และความเร็วในแนวด่ิง ซึ่งความเร็วในแนว
ระดับมคี ่าเทา่ เดิมตลอดการเคลอ่ื นที่ (u⃑ x= ⃑vx) สว่ นความเรว็ ในแนวดิง่ จะมีการเปล่ยี นแปลงตามการ
เคลือ่ นที่แบบตกเสรี ทั้งการเคลื่อนที่ในแนวระดับและแนวดงิ่ เปน็ เวลาเดยี วกนั เท่ากบั เวลาท่ใี ช้ในการ
เคลือ่ นท่ีบนเสน้ โค้งขณะนัน้ เพราะเป็นเวลาของวตั ถุเดยี วกันในการเคล่ือนท่แี บบโพรเจกไทล์เมื่อไม่คดิ
แรงตา้ นของอากาศ

1. การเคลื่อนที่ในแนวระดบั ของการเคลือ่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์
เม่ือวตั ถเุ คลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ ขณะท่วี ตั ถุอยู่ในอากาศจะมแี รงโน้มถว่ ง m⃑g

กระทำเพยี งแรงเดยี ว โดยในแนวระดับแรงท่ีกระทำต่อวตั ถมุ คี ่าเปน็ ศนู ย์ ∑ Fx= 0 ทำใหค้ วามเร่งของ
วตั ถุในแนวระดบั มคี ่าเท่ากับศูนย์ ax= 0 น่ันคอื วตั ถจุ ะเคลื่อนที่ในแนวระดบั ความความเรว็ คงท่ี
u⃑ x= ⃑vx ดังนั้นจากสมการการเคลอ่ื นทข่ี องวตั ถุในแนวระดับ คือ

sx = uxt (1)

เมือ่ sx คือ การกระจดั ในแนวระดับ (เมตร)
ux คือ ความเร็วในแนวระดับ (เมตร/วนิ าที)
t คือ เวลาท่ีใชใ้ นการเคลอื่ นท่ี (วนิ าท)ี

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เรื่อง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 4

2. การเคล่ือนท่ีในแนวด่งิ ของการเคลื่อนท่แี บบโพรเจกไทล์
เมื่อวัตถเุ คลอ่ื นที่แบบโพรเจกไทล์ ขณะทวี่ ัตถุอยูใ่ นอากาศจะมีแรงโนม้ ถ่วง m⃑g

กระทำเพียงแรงเดียว ทำให้ความเรง่ ของวัตถใุ นแนวดง่ิ มคี า่ เทา่ กบั ⃑g ดงั นน้ั ay= g น่ันคือวตั ถจุ ะ
เคลอ่ื นท่ใี นแนวด่ิงดว้ ยความเร็วไมค่ งที่ ดังนน้ั สมการที่ใชใ้ นการเคลื่อนทีข่ องวัตถุในแนวด่งิ คอื

sy = uyt + 1 gt2 (2.1)
(2.2)
2 (2.3)
(2.4)
vy = uy + gt

vy2 = uy2 + 2gsy

sy = (uy + vy) t

2

เมอ่ื sy คอื การกระจัดในแนวด่ิง (เมตร)
คอื ความเรว็ ตน้ ในแนวด่ิง (เมตร/วินาที)
uy คือ ความเร็วในแนวดิง่ (เมตร/วนิ าที)
vy คอื ความเร่งโนม้ ถว่ ง (เมตร/วินาที2)
g คอื เวลาท่ีใช้ในการเคลื่อนท่ี (วนิ าที)

t

3. ลกั ษณะการเคลือ่ นท่แี บบโพรเจกไทล์
3.1 การเคล่ือนท่โี พรเจกไทล์จากแนวด่งิ ส่แู นวระดบั
1) วตั ถเุ คลอ่ื นที่ออกไปดว้ ยความเรว็ ในแนวระดับ

⃑ux

u⃑ y = 0

⃑g
sy

sx

รปู 5 วัตถุเคล่ือนท่ีออกไปดว้ ยความเร็วในแนวระดบั

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้วิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวทิ ยา

เรอ่ื ง การเคลือ่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 5

2) วตั ถุเคลื่อนทอ่ี อกไปด้วยความเร็วตน้ ทำมุม θ ใด ๆ กับแนวระดับ

⃑uy
u⃑

θ u⃑ x

g⃑

sy

sx

รปู 6 วัตถุเคล่ือนท่ีออกไปด้วยความเร็วตน้ ทำมุม θ ใด ๆ กับแนวระดบั
3.2 การเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทลจ์ ากแนวระดบั สแู่ นวดิ่ง

u⃑ y u⃑ g sy

θ u⃑ x
sx

รปู 7 วตั ถุเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทลจ์ ากแนวระดับสแู่ นวดิ่ง

กลุ่มสาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เรื่อง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 6

4. การคำนวณหาความเรว็ ขณะใด ๆ และการกระจัดของวตั ถุเม่ือเคล่อื นท่ีแบบโพรเจกไทล์

ความเร็วขณะใด ๆ สัมผสั กบั เส้นโคง้ การเคลื่อนที่ และประกอบด้วยความเร็วสองแนว คือ แนว

ระดับและแนวดงิ่

⃑uy ⃑vy
u⃑ v⃑

u⃑ x

A θ ⃑ux g ⃑ux

⃑v

sy s ⃑vy

B u⃑ x

α
sx v⃑

v⃑ y

รูป 8 เวกเตอร์ของความเรว็ และการกระจัด

จากรปู 8 ความเร็วในแนวระดับและความเรว็ ในดง่ิ ตัง้ ฉากกัน ดังนน้ั ความเร็วขณะใด ๆ ของ
วตั ถเุ มอ่ื เคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ สามารถคำนวณหาได้ดงั สมการ (3) เม่อื กำหนดให้ vx = ux

v = √vx2 + vy2 (3)

เมือ่ v คอื ความเรว็ ขณะใด ๆของวัตถุ (เมตร/วินาที) (4)
vx คือ ความเร็วในแนวระดับ (เมตร/วินาท)ี
vy คอื ความเร็วในแนวด่ิง (เมตร/วนิ าท)ี

ทิศทางของ v⃑ สามารถหาไดจ้ าก

tan α = vy

vx

เมอื่ α คอื มมุ ที่ v⃑ ทำกับแนวระดบั

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เร่ือง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 7

เช่นเดียวกันการกระจดั จากจุด A ไปยงั จดุ B สามารถหาได้จาก

s = √sx2 + sy2 (5)

เมื่อ s คอื การกระจดั จากจุดเริ่มต้นถึงจุดสดุ ท้าย (เมตร)

sx คือ การกระจัดในแนวระดับ (เมตร)
sy คือ การกระจัดในแนวด่งิ (เมตร)

ทิศทางของ s สามารถหาไดจ้ าก

tan α = sy (6)

sx

เมอื่ α คือ มุมท่ี s ทำกับแนวระดบั

ตวั อยา่ งท่ี 1 ขวา้ งลูกบอลออกจากทีส่ ูง 5 เมตร ออกไปในแนวระดบั ด้วยความเรว็ 10 เมตร/วนิ าที

จงหา (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2)

ก. นานเทา่ ใดลูกบอลจะตกถึงพนื้

ข. ลูกบอลตกถงึ พ้ืนห่างจากตำแหนง่ ขา้ งล่างก่ีเมตร

จากโจทย์ sy = 5 เมตร, ux = 10 เมตร/วนิ าที uy = 0 เมตร/วินาที
ก. ตอ้ งการหา t จากโจทย์

จาก sy = uyt + 1 gt2

2

5 = 0 + 1 (10)t2

2

t2 = 5

5

t = 1 วนิ าที

ข. ตอ้ งการหา sx พิจารณาแนวระดับ
เม่อื t = 1 วนิ าที

sx = uxt

sx = (10)(1)

sx = 10 เมตร

กลุ่มสาระการเรียนรวู้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เรอื่ ง การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 8

ตัวอย่างที่ 2 เม่ือปาวตั ถุออกไปในแนวระดับจากท่ีสงู 80 เมตร ปรากฏวา่ วตั ถุตกหา่ งจากจุดที่ปาใน
แนวระดบั 20 เมตร จงหาความเร็วของวตั ถุทป่ี าออกไป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วนิ าที2)

จากโจทย์ sy = 80 เมตร, sx = 20 เมตร, uy = 0 เมตร/วินาที, ux = ?
1) หาเวลา t จากแนวด่ิง

sy = uyt + 1 gt2

2

80 = 0 + 1 (10)t2

2

t2 = 80

5

t2 = 4

t = 2 วนิ าที

2) หาความเร็วในแนวระดบั ux จาก

sx = uxt

20 = ux(4)

ux = 20
4

ux = 5 เมตร/วนิ าที

ตวั อยา่ งที่ 3 เครื่องบนิ ท้งิ ระเบิด บินในแนวระดับด้วยความเรว็ 200 เมตร/วินาที และอยสู่ ูงจากพนื้ ดนิ
2,000 เมตร เมื่อทิ้งระเบิดที่ปีกออกมา จงหา (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วนิ าที2)

ก. ระเบดิ ตกไกลจากตำแหนง่ ท่ที งิ้ ตามแนวระดบั เท่าใด

ข. ระเบดิ จะกระทบพื้นด้วยขนาดของความเร็วเทา่ ใด

จากโจทย์ sy = 2,000 เมตร, ux = 200 เมตร/วนิ าที uy = 0 เมตร/วนิ าที
ก. ระเบดิ ตกไกลจากตำแหนง่ ทที่ ง้ิ ตามแนวระดบั เทา่ ใด (sx = ?)

1) หาเวลา t จากแนวดง่ิ

sy = uyt + 1 gt2

2

2,000 = 0 + 1 (10)t2

2

t2 = 2,000

5

กลมุ่ สาระการเรียนรวู้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เรือ่ ง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 9

t2 = 400

t = 20 วินาที
2) หา sx = ? จาก

sx = uxt
sx = 200(20)

sx = 4,000 เมตร
ข. ระเบิดจะกระทบพ้นื ดว้ ยขนาดของความเรว็ เท่าใด (v)

จากสมการ

v = √vx2 + vy2

จากสมการหาค่า v หา vy กอ่ น

vy2 = uy2 + 2gsy
vy2 = 0 + 2(10)(2,000)
vy2 = 0 + 2(10)(2,000)
vy2 = 40,000

v = 200 เมตร/วินาที
หาค่า v จาก

v = √vx2 + vy2

v = √2002 + 2002
v = √(2)2002

v = 200√2 เมตร/วินาที

กลมุ่ สาระการเรยี นรูว้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เร่อื ง การเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทล์ 10

ตวั อยา่ งที่ 4 ขวา้ งวตั ถจุ ากหน้าผาสงู 40 เมตร ทำมุมเงย 53 องศา กับแนวระดับดว้ ยความเรว็ 12.5
เมตร/วินาที (กำหนดให้ใช้คา่ g = 10 เมตร/วินาที2)

ก. นานเทา่ ไรวัตถุตกถึงพน้ื ดนิ
ข. วตั ถุตกห่างจากตนี ผากีเ่ มตร
ค. วัตถขุ นึ้ ไปสูงสดุ จากพนื้ กเ่ี มตร
จากโจทย์กำหนดให้ sy = 40 เมตร, u = 12.5 เมตร/วนิ าท,ี g = 10 เมตร/วนิ าที2
วาดรูปประกอบ

uy ux
u

53°

sy = 40 m

sx

1) จัดองคป์ ระกอบของเวกเตอร์ u ใหอ้ ย่ใู นแนวแกน x และแกน y จะได้

ux = u cos 53°

ux = 12.5 (3)

5

ux = 7.5 เมตร/วินาที

uy = u sin 53°

uy = 12.5 (4)

5

uy = 10 เมตร/วินาที

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลือ่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 11

ก. นานเทา่ ไรวตั ถุตกถงึ พ้ืนดิน
หาเวลา t จากการเคลื่อนทใี่ นแนวดิ่ง
−40 = (10)t + 1 (−10)t2

2

−40 = 10t − 5t2

−40 = 10t − 5t2
55 5

−8 = 2t − t2

t2 − 2t − 8 = 0

(t − 4)(t + 2) = 0

t = 4, − 2 วนิ าที

ข. วัตถุตกห่างจากตีนผากีเ่ มตร
โจทยต์ ้องการหา sx
จากสมการ

sx = uxt

sx = 7.5(4)

sx = 30 เมตร

ค. วัตถุขึน้ ไปสงู สุดจากพน้ื กี่เมตร
วัตถุข้นึ ไปถงึ จดุ สูงสดุ vy = 0 เมตร/วนิ าที ต้องการหา sy
จากสมการ

vy2 = uy2 + 2gsy

0 = 102 + 2(−10)sy

sy = 100
20

sy = 5 เมตร

วตั ถขุ ึ้นไปสงู จากจุดโยน 5 เมตร ดงั นน้ั วตั ถุสงู จากพื้นดินเทา่ กบั 45 เมตร

กลมุ่ สาระการเรียนรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เรอ่ื ง การเคล่อื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 12

แบบฝึกทักษะที่ 1
เรอ่ื ง การเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทลแ์ บบพนื้ ฐาน

1. คนู ำ้ กว้าง 10 เมตรมีลักษณะดงั รปู นักขจ่ี กั รยานคนหนึ่งตอ้ งการจะขีข่ ้ามคนู ้ำ (กำหนดใหใ้ ชค้ า่
g = 10 เมตร/วนิ าที2) จงหา

5m

10 m

ก. ความเร็วที่นอ้ ยที่สุดของจกั รยานท่จี ะขา้ มคนู ำ้ ไดพ้ อดี
ข. ความเรว็ ทถี่ งึ ฝัง่ ตรงขา้ มพอดี

2. นกั ขับมอเตอร์ไซดผ์ าดโผนคนหนึ่งตอ้ งการขับมอเตอร์ไซคข์ ้ามแม่นำ้ กวา้ ง 5.1 เมตร จากทสี่ งู 2.0
เมตร ดงั รูป นกั ขับมอเตอร์ไซคจ์ ะต้องขบั ด้วยความเรว็ ท่นี ้อยท่สี ุดก่ีเมตร/วนิ าที จึงจะข้ามแมน่ ้ำได้พอดี
(กำหนดใหใ้ ช้ค่า g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)

กลุ่มสาระการเรียนรูว้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เรอ่ื ง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ 13

3. ดีดยางลบจากขอบโตะ๊ สูง 1.0 เมตร พบวา่ ยางลบกระเด็นตกไปไกล 2.0 เมตร เม่ือวดั ในแนวระดบั
ดงั รูป (กำหนดให้ใชค้ ่า g = 9.8 เมตร/วินาที2) จงหา

ก. เวลาทยี่ างลบใช้ในการเคลื่อนทีใ่ นอากาศ
ข. อตั ราเรว็ ทยี่ างลบถูกดีดออกจากขอบโต๊ะ

4. ยิงลกู ปืนมวล 40 กรัม ดว้ ยความเรว็ 100 เมตร/วนิ าที ทำมมุ 53 องศา กบั แนวระดับห่างจากตกึ
หลงั หน่งึ 120 เมตร จงหาลูกปืนตกกระทบตึกทตี่ ำแหนง่ สงู จากพนื้ ระดับท่ยี งิ ก่เี มตร (กำหนดให้ใชค้ า่
g = 10 เมตร/วินาที2)

กลมุ่ สาระการเรยี นรูว้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 14

5. นักเรียนคนหน่ึงต้องการโยนลกู บาสเกตบอลจากความสูง 2.0 เมตร ใหล้ งห่วงสูง 3.0 เมตร จาก
ระยะห่าง 3.0 เมตร โดยโยนทำมุม 60 องศากับแนวระดบั ดังรปู นกั เรียนคนนจ้ี ะต้องโยนลูก
บาสเกตบอลด้วยอัตราเร็วเทา่ ใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2)

6. นักบาสเกตบอลคนหนึง่ โยนลกู บาสเกตบอลออกไปด้วยความเรว็ 6.5 เมตร/วนิ าที ทำมมุ 50 องศา
กบั แนวระดบั โดยลูกบาสเกตบอลถกู โยนจากจุดทส่ี งู จากพื้น 2.3 เมตร ดังรูป (กำหนดใหใ้ ช้คา่ g = 9.8
เมตร/วินาท2ี sin 50° = 0.766, cos 50° = 0.643 ) จงหา

ก. เวลาท่ลี กู บาสเกตบอลเคล่ือนทใ่ี นอากาศก่อนจะลงห่วง
ข. ลูกบาสเกตบอลลงห่วงสงู จากพน้ื ดินกเ่ี มตร

กลุม่ สาระการเรียนร้วู ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เรือ่ ง การเคลอ่ื นที่แบบโพรเจกไทล์ 15

7. ชายคนหน่ึงยิงเหรยี ญจากเคร่ืองยิงด้วยความเรว็ 7.0 เมตร/วนิ าทที ำมุมกบั แนวระดบั 60 องศา ไป
ยังจานรับเหรยี ญซ่งึ หา่ งจากจุดยงิ ในแนวระดับ 2.8 เมตร ดงั รูป (กำหนดใหใ้ ช้คา่ g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)
จงหา

ก. เวลาที่เหรยี ญเคล่อื นท่ีในอากาศ
ข. จานรับเหรียญสงู จากตำแหน่งท่ียงิ เหรยี ญกเ่ี มตร

8. ยงิ กระสุนปืนมวล 50 กรมั ดว้ ยความเรว็ ตน้ 100 เมตร/วนิ าที ทำมุม 60 องศากบั แนวระดบั
หลังจากนน้ั 5 วนิ าที กระสนุ ตกกระทบเปา้ บนหน้าผา เป้านัน้ สงู จากพืน้ ระดบั ที่ยิงเทา่ ใด

9. ตำรวจดบั เพลงิ ตอ้ งการฉดี น้ำดบั เพลงิ ซึ่งไหม้อาคารสงู 10 เมตร ถา้ ความเร็วตน้ ของน้ำทอ่ี อกจาก

เครอื่ งฉีดนำ้ เทา่ กบั 20 เมตร/วนิ าทที ำมมุ 60 องศากับแนวระดบั เขาต้องยนื ห่างจากตัวอาคารอยา่ ง

นอ้ ยกี่เมตร (กำหนดให้ใชค้ า่ g = 10 เมตร/วนิ าที2)

1. 10(3 − √3) เมตร 2. 10(√3 − 1) เมตร

3. 10(√15 − 3) เมตร 4. 10(√5 − √3) เมตร

กลุ่มสาระการเรยี นรู้วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เรื่อง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ 16

10. ทอ่ นไมไ้ ถลลงมาจากหลังคาบา้ นท่ีมีมุมลาดเอียง 30 องศา เมื่อวดั เทยี บกับแนวระดับ ปลายหลงั คา
อยู่สงู จากพน้ื 8.0 เมตร ดังรปู เมื่อท่อนไมห้ ลุดจากปลายหลังคาท่อนไม้มีอัตราเร็ว 6.0 เมตร/วินาที
(กำหนดใหใ้ ช้คา่ g = 9.8 เมตร/วนิ าที2) จงหา

ก. ท่อนไมใ้ ช้เวลาในการเคลื่อนที่ในอากาศนานเท่าใด
ข. ทอ่ นไมต้ กห่างจากหลังคาบา้ นเมื่อวัดในแนวระดับท่ีพื้นเทา่ กับเท่าใด

11. นักขี่จกั ยานผาดโผน ตอ้ งการขข่ี า้ มคลองซงึ่ กว้าง 5.0 เมตร ไปยงั ฝั่งตรงข้าม ถ้าเขาขับรถดว้ ย
ความเรว็ 10 เมตร/วินาที ก่อนพ้นฝง่ั แรกเขาจะตอ้ งขา้ มได้โดยไมช่ นฝง่ั ตรงข้าม h จะมีคา่ ไดม้ ากท่ีสุด
ก่เี มตร (กำหนดให้ใชค้ า่ g = 10 เมตร/วนิ าที2)

h

5m
45°

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวทิ ยา

เร่ือง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 17

12. ขวา้ งลกู บอลทำมมุ 45 องศากบั แนวระดบั ปรากฏว่าลูกบอลลอยข้ามกำแพงสูง 10 เมตร ซึ่งอยู่
ห่างจากจุดขวา้ งในแนวระดับเท่ากับ 60 เมตร ได้พอดี อยากทราบว่า ณ จุดสงู สุดของแนวการเคลือ่ นที่
นั้น ลกู บอลอยูส่ งู จากแนวระดบั กีเ่ มตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2)

13. รถคนั หนง่ึ วง่ิ ในแนวตรงด้วยอตั ราเร็วคงตวั 20.0 เมตร/วนิ าที เมื่อถึงตำแหน่ง ก คนในรถโยนก้อน
หนิ ข้นึ ไปในแนวด่ิงด้วยอตั ราเรว็ 19.6 เมตร/วินาที ดังรปู ขณะก้อนหนิ ตกกลับมาถึงมือคนโยน รถอยู่
ห่างจากตำแหน่ง ก เปน็ ระยะทางเทา่ ใด (กำหนดใหใ้ ช้คา่ g = 9.8 เมตร/วินาที2)

กลุ่มสาระการเรยี นรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรอื่ ง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 18

14. เฮลคิ อปเตอรล์ ำหน่ึงบินในแนวระดบั ด้วยความเรว็ 50 เมตร/วินาที และบินท่ีความสูงจากผิวนำ้
ทะเล 120 เมตร เม่ือนักบินเห็นเรอื บรรทุกสมั ภาระท่แี ลน่ สวนทางมาด้วยความเร็ว 10 เมตร/วนิ าที จึง
ตดั สินใจปลอ่ ยสมั ภาระลงไป ดงั รปู

เมอ่ื สัมภาระจากเฮลิคอปเตอร์ลงเรือพอดี ต้องปล่อยสมั ภาระเม่ือเฮลิคอปเตอร์หา่ งจากเรือใน
แนวระดบั เป็นระยะทางเท่าใด (กำหนดใหใ้ ชค้ ่า g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)

15. ทหารยิงปืนในแนวระดับสงู จากพนื้ 1.5 เมตร ลูกปนื ออกจากลำกล้องมีอัตราเรว็ 500 เมตร/วินาที
ถูกต้นไม้ท่ีอยู่หา่ งออกไป 100 เมตร เมอ่ื ไมค่ ิดแรงต้านอากาศ ลูกปืนเจาะตน้ ไม้ท่ีความสูงจากพื้นเท่าใด
(กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)

กลุ่มสาระการเรียนรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรื่อง การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 19

5. การเคลื่อนท่แี บบโพรเจกไทล์ เม่อื จดุ เรมิ่ ตน้ และจุดสุดท้ายอยูใ่ นระดับเดยี วกัน
มลี กั ษณะการเคลอ่ื นที่เป็นรปู พาราโบลาเตม็ รปู ดงั รูป 9

⃑vy = 0

⃑ux

⃑vy

u⃑ x ⃑ux

⃑uy ⃑u ⃑vy

θ u⃑ x ⃑ux

รปู 9 การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์พาราโบลาเตม็ รปู ⃑vy

เมอ่ื ปาวัตถจุ ากจุด A ดว้ ยความเร็วตน้ u⃑ ทำมมุ θ กบั แนวระดับดังรูป โจทยก์ ำหนดค่ามมุ ที่ปา
θ และความเร็วต้น ⃑u ให้

1. เวลาที่ใช้ในการเคลือ่ นท่ีท้งั หมด
จัดเวกเตอร์ u⃑ ใหอ้ ยู่ในองคป์ ระกอบแกน x และแกน y จะได้

ux = u cos θ

uy = u sin θ

จาก

sy = uyt + 1 gt2

2

0 = ( u sin θ)t + 1 (−g)t2

2

1 gt2 = ( u sin θ)t

2

t = 2u sin θ (7)

g

เมื่อ t คือ เวลาท่ีใช้ในการเคล่ือนทที่ ั้งหมด (วนิ าที)
u คือ ความเร็วตน้ ของวตั ถุ (เมตร/วนิ าที)

กลมุ่ สาระการเรยี นรูว้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เรอ่ื ง การเคลอ่ื นที่แบบโพรเจกไทล์ 20

2. การกระจดั สูงสุดทีว่ ัตถเุ คลื่อนท่ีได้
พจิ ารณาแนวด่งิ

vy2 = u2y + 2gsy

0 = (u sin θ)2 + 2(−g)sy

2gsy = (u sin θ)2

sy = (u sin θ)2
2g

sy = u2sin2θ (8)
2g

3. หาการกระจดั ในแนวแกน x
พจิ ารณาวตั ถุเคลอื่ นทใ่ี นแนวระดับ

sx = uxt

sx = (u cos θ) (2u sin θ)

g

sx = u2(2 sin θ cos θ)
g

จากสมบัตขิ องตรโี กณมติ ิ sin 2θ = 2 sin θ cos θ ดังนน้ั

sx = u2 sin 2θ (9)
g

จากสมการที่ (8) และสมการท่ี (9) ความสัมพันธ์ระหว่าง sy กบั sx ไดว้ า่

sy u2sin2θ

sx = 2g

u2 sin 2θ

g

sy = (u2sin2θ) ( sin g cos )
θ
sx 2g (2 θ)

sy = 1 tan θ (10)

sx 4

กล่มุ สาระการเรียนร้วู ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เรอื่ ง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 21

4. การหามุมปาโพรเจกไทล์ ที่ทำใหว้ ัตถตุ กไกลท่ีสดุ
ในการปาวตั ถุออกไปด้วยความเรว็ ต้น u เท่ากนั วัตถุจะตกไกลท่สี ุดเม่ือ คา่ sin 2θ

มคี ่ามากท่สี ดุ เท่ากับ 1 โดยท่ี u และ g มคี ่าคงท่ี

sin 90° = 1
2θ = 90°
θ = 45°

ดังนัน้ ระยะไกลสดุ ทว่ี ตั ถเุ คล่ือนทไี่ ดเ้ ท่ากบั

sx = u2 (11)
g

แสดงวา่ เมอ่ื มุม θ = 45° วัตถจะเคลื่อนที่ตามแนวระดบั ได้ไกลทสี่ ดุ ดังรปู 10

แนวดิ่ง 70°

60°

45°
30°

20° แนวระดบั

รปู 10 ปาวัตถุออกไปทำมุมกับแนวระดบั

ตวั อย่างที่ 5 ลกู บอลหนง่ึ ถูกตดี ว้ ยความเร็วตน้ 30 เมตร/วินาที จงคำนวณหาวา่ ลกู บอลนี้จะตกไกลสดุ

เปน็ ระยะทางเท่าไร

จากโจทย์ u = 30 เมตร/วินาท,ี θ = 45°(วตั ถุตกไกลท่สี ุด), sx = ?

จากสมการ sx = u2 sin 2θ
g

sx = 302 sin 2(45°)
10

sx = 90 เมตร

กลุ่มสาระการเรียนร้วู ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรื่อง การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 22

ตวั อยา่ งที่ 6 ปนื กระบอกหนึ่งสามารถยงิ กระสุนได้ไกลท่สี ุด 250 เมตร จงหาว่าถา้ ต้องการยิงทำมมุ

37° จะยิง ใหก้ ระสนุ ไปไดไ้ กลกี่เมตร
จากโจทยพ์ บว่ามี 2 เหตุการณ์
1) ยิงวัตถไุ กลทสี่ ุด sx = 250 เมตร, θ = 45° หา u

จาก sx = u2 sin 2θ
g

250 = u2(1)

10

u2 = 2,500

u = 50 เมตร/วินาที

2) ยงิ วัตถดุ ้วยความเร็วตน้ u = 50 เมตร/วินาที θ = 37° หา sx

จาก sx = u2 sin 2θ
g

sx = 502(2sin θ cos θ)
10

sx = 2,500(2sin 37° cos 37°)
10

sx = 2,500(2×53×54)
10

sx = 240 เมตร

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เร่อื ง การเคลอ่ื นที่แบบโพรเจกไทล์ 23

แบบฝกึ ทักษะท่ี 2
เรอื่ ง การเคล่ือนทแ่ี บบโพรเจกไทล์พาราโบลาเต็มรูป

1. ขว้างกอ้ นหินออกไปทำมุม 45 องศากับแนวระดบั ดว้ ยความเรว็ 10 เมตร/วนิ าที (กำหนดให้ใช้ค่า
g = 10 เมตร/วินาที2) จงหา

ก. นานเทา่ ใดก้อนหินถึงจะตกถงึ พ้ืน
ข. ก้อนหนิ ขน้ึ ไปได้สงู สดุ เท่าใด
ค. กอ้ นหนิ ตกไกลจากจุดที่ขวา้ งเทา่ ใด

2. ยงิ ปืนทำมมุ 53 องศากบั แนวระดบั ถา้ ลูกปนื มีอัตราเร็ว 300 เมตร/วนิ าที อยากทราบว่าลูกปนื ตก
ไกลจากจุดยิงเท่าไร (กำหนดให้ใชค้ า่ g = 10 เมตร/วินาที2)

3. วตั ถุกอ้ นหน่ึงถูกยิงในแนวทำมุม 45 องศากบั แนวระดบั ปรากฏว่า ณ จุดสงู สุดวตั ถมุ ีความเร็ว 10
เมตร/วินาที จงหา (กำหนดใหใ้ ชค้ ่า g = 10 เมตร/วนิ าที2)

ก. วตั ถขุ ึ้นไปไดส้ ูงสุดเทา่ ใด
ข. วตั ถุตกไกลจากจุดยิงเทา่ ใด

กลุม่ สาระการเรียนรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เรือ่ ง การเคล่อื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 24

4. ชายคนหนึ่งขว้างลกู บอลขึ้นไปในแนวด่งิ ไดส้ งู สุด 30 เมตร ถ้าเขาขว้างลูกบอลนี้ดว้ ยความเร็วต้นเทา่
เดิม แต่ใหท้ ำมมุ กบั แนวระดับ เขาจะขวางลูกบอลนี้ได้ระยะไกลท่ีสุดกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10
เมตร/วินาท2ี )

5. ชายคนหนึ่งขว้างก้อนหนิ ข้ึนไปในอากาศตามแนวโค้ง ก้อนหนิ เคลอื่ นทีแ่ บบโพรเจกไทล์ไปตกห่างจาก
ตำแหนง่ ที่ยืนในแนวระดับเท่ากบั 10 เมตร เขาจะต้องขว้างกอ้ นหนิ น้ีออกไปด้วยความเร็วอยา่ งนอ้ ย
ที่สดุ กี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2)

6. นักฟตุ บอลเตะลกู ฟตุ บอลได้ด้วยความเรว็ 20 เมตร/วนิ าที ทำมุม 45 องศากับพ้นื สนาม ไปยังประตู
ซ่ึงหา่ งจากจุดเตะ 50 เมตร ถ้าในเวลาเดยี วกบั นกั ฟตุ บอลเตะลกู ฟตุ บอล ผู้รักษาประตซู ่ึงยืนทป่ี ระตูได้
ว่งิ ออกมาทันทีด้วยความเร่งคงท่ี และปรากฏวา่ ผรู้ กั ษาประตรู บั ลูกบอลไดพ้ อดที ่ีลูกบอลตกถึงพ้นื จงหา
วา่ ผรู้ ักษาประตูต้องวงิ่ ออกมาดว้ ยความเร่งคงท่ีเทา่ กับเทา่ ใด (กำหนดใหใ้ ช้ค่า g = 10 เมตร/วนิ าที2)

กล่มุ สาระการเรียนรูว้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เร่ือง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 25

7. ยงิ ปนื ใหญ่ดว้ ยความเรว็ ตน้ 100 เมตร/วินาที ทำมมุ 45 องศากบั แนวระดับ ไปยงั รถถังข้าศึกท่ีกำลัง
แล่นตรงเข้ามาดว้ ยความเรว็ คงท่ี และขณะนั้นอยหู่ า่ งออกไป 1,200 เมตร ถ้ากระสนุ กระทบเป้าหมาย
พอดี จงหาว่ารถถังขา้ ศึกกำลังแล่นด้วยความเร็วเทา่ ใด กอ่ นจะถกู ทำลาย (กำหนดให้ใช้คา่ g = 10
เมตร/วนิ าท2ี )

8. รถมีความเรว็ คงที่ 10√2 เมตร/วินาที วิง่ ในแนวเสน้ ตรง กำลังว่งิ หนตี ำรวจ ถา้ ตำรวจยงิ ปนื ออกไป
ด้วยความเรว็ 100 เมตร/วนิ าที ทำมมุ 45 องศากบั แนวราบ จงหาวา่ ถ้าจะให้กระสุนปืนโดนรถคันน้ี
พอดีตำรวจตอ้ งเริ่มยิงเมื่อรถว่ิงห่างออกไปแล้วกี่เมตร (กำหนดใหใ้ ชค้ ่า g = 10 เมตร/วนิ าท2ี )

กลุ่มสาระการเรียนรวู้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เรือ่ ง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ 26

9. เล็งปากกระบอกปืนจากพ้ืนไปท่เี ปา้ ซึ่งอยู่สงู จากพนื้ 4 เมตร ตอ่ กลไกปล่อยเป้าเขา้ กับเคร่ืองล่นั ไก
เพอ่ื ใหเ้ ป้าหล่นพร้อม ๆ กบั ท่ีลูกปืนออกจากปากกระบอกปืน ถ้าจุดยิงปืนห่างจากเปา้ ในแนวระดับ 3
เมตร และลูกปืนมคี วามเร็วต้น 10 เมตร/วินาที กระสุนปนื กระทบเป้าที่ความสูงเท่าใด (กำหนดใหใ้ ช้ค่า
g = 10 เมตร/วินาที2)

10. นักเตะรักบีเ้ ตะลกู บอลข้ึนด้วยความเร็ว 20 เมตร/วนิ าที เปน็ มุม 60 องศากับแนวระดบั เขาจะต้อง
วงิ่ ดว้ ยความเร็วอย่างน้อยที่สุดเทา่ ใด จึงจะไปรบั ลกู บอลทีเ่ ขาเตะออกไปเองได้พอดีก่อนตกถงึ พื้นดิน
(กำหนดใหใ้ ช้คา่ g = 10 เมตร/วนิ าที2)

กลมุ่ สาระการเรียนรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรอื่ ง การเคลือ่ นที่แบบโพรเจกไทล์ 27

11. ขว้างก้อนหินออกไปในแนวระดบั ดว้ ยอัตราเรว็ 5.0 เมตร/วนิ าที จากตกึ สูงแห่งหนงึ่ เมอื่ ก้อนหินตก
กระทบพ้นื ความเรว็ ของก้อนหนิ ขณะนั้นทำมุม 60 องศากับแนวระดบั ก้อนหินตกหา่ งจากตกึ ในแนว
ระดับเทา่ ใด กำหนดให้ tan 60° = √3 (กำหนดใหใ้ ช้คา่ g = 9.8 เมตร/วินาที2)

12. จากรปู ถา้ ยงิ มวล m1 ใหเ้ คลือ่ นทีแ่ บบโพรเจกไทล์มีความเร็วเร่มิ ต้น v1 = 24 เมตร/วินาที ทำ
มุม 30 องศากบั แนวระดบั ขณะเดียวกันมวล m2 ถกู ยิงข้ึนไปในแนวด่ิงด้วยความเรว็ ตน้ v2 ถ้ามวลทง้ั
สองเคล่อื นทีใ่ นระนาบเดยี วกันและชนกนั กลางอากาศได้ ค่า v2 จะตอ้ งมีค่าเท่าใด (กำหนดใหใ้ ช้คา่ g
= 10 เมตร/วินาที2)

v1 v2
30° m2
m1

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรื่อง การเคล่อื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 28

13. ยิงวัตถุ A ใหเ้ คล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ดว้ ยความเรว็ เร่มิ ต้น u1 ขนาดเทา่ กบั 40 เมตร/วินาที ทำ
มมุ 30 องศากับแนวระดับ ขณะเดียวกันวัตถุ B ถูกยิงขน้ึ ไปในแนวดง่ิ ด้วยความเรว็ ต้น u2 ดงั รูป

วตั ถุ B จะตอ้ งถูกยิงข้นึ ไปในแนวดิง่ ดว้ ยความเรว็ ต้น u2 ขนาดเทา่ ใดจงึ จะทำใหว้ ตั ถุ A และ B
ชนกนั กลางอากาศ (กำหนดใหใ้ ช้ค่า g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)

14. ชายคนหน่งึ ตอ้ งการโยนกลอ่ งพัสดุข้ามตึกไปใหเ้ พื่อนท่ีอยตู่ กึ ข้าง ๆ ทีห่ า่ งกนั 12.0 เมตร และจุดท่ี
รับอยูต่ ำ่ กวา่ จดุ โยน 2.0 เมตร เขาโยนกล่องพัสดุมุม 45 องศากับแนวระดับ ดังรูป (กำหนดใหใ้ ชค้ า่
g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)

ก. กล่องพสั ดุใช้เวลาในการเคล่อื นทเ่ี ทา่ ใด
ข. เขาจะต้องโยนกล่องพัสดุด้วยอัตราเรว็ เทา่ ใด
ค. กลอ่ งพัสดุตกถึงผู้รบั ด้วยความเรว็ เท่าใด

กล่มุ สาระการเรยี นรู้วทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 29

6. การหาระยะไกลสุดบนพื้นเอยี งของการเคล่ือนทีแ่ บบโพรเจกไทล์
กำหนดใหว้ ตั ถเุ คลอื่ นที่บนพน้ื เอียงซง่ึ ทำมุม θ กบั แนวระดับด้วยความเร็วต้น u และ

ทำมุม α กบั แนวระดบั วตั ถตุ กถงึ พน้ื เอยี งที่จุดห่างจากจุดเริ่มตน้ R

B

R sin θ R u
u sin α

θ α
u cos α A

R cos θ

รูป 10 ระยะไกลสดุ บนพื้นเอียงของการเคล่ือนทแี่ บบโพรเจกไทล์

พิจารณาแนวระดบั sx = uxt
จาก

R cos θ = (u cos α)t

t = R cos θ (1)

พจิ ารณาแนวดงิ่ u cos α
จาก
sy = uyt + 1 gt2

2

R sin θ = (usin α)t + 1 (−g)t2 (2)

2

แทน (1) ลงใน (2)

R sin θ = (usin α) (R cos θ) − 1 (g) (R cos θ)2
u cos α 2 u cos α

หารดว้ ย R ตลอด

sin θ = (usin α) ( cos θ ) − 1 g R cos2 θ
2 u2 cos2 α
u cos α

1 gR cos2 θ = (sin α) (cos θ) − sin θ
2 u2 cos2 α
cos α

1 gR cos2 θ = (sin α) cos θ−sin θ cos α
2 u2 cos2 α cos α

กลุม่ สาระการเรียนรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เรอ่ื ง การเคลอ่ื นที่แบบโพรเจกไทล์ 30

1 gR cos2 θ = sin(α− θ)
2 u2 cos2 α cos α

R= (2u2 cos2 α)sin(α− θ)
cos α(g cos2 θ)

R= 2u2 cos α sin(α− θ) (3)
g cos2 θ

จากสมการ (3) g 2u2 θ เป็นค่าคงที่
cos2

ดังน้นั R จะมีคา่ มากทสี่ ดุ เม่ือ cos α sin(α − θ) มคี า่ มากท่ีสดุ
การหาค่ามากทสี่ ุดของ cos α sin(α − θ)

cos α sin(α − θ) = 1 [sin(α + α − θ) + sin(α − α + θ)]

2

cos α sin(α − θ) = 1 [sin(2α − θ) + sin θ]

2

แต่ sin θ มคี า่ คงที่ ดงั นน้ั cos α sin(α − θ) มคี า่ มากท่ีสดุ เม่ือ sin(2α − θ) มคี ่า
มากที่สดุ ซึ่งมคี า่ เท่ากบั 1 นั่นคือ sin 90°

จาก sin(2α − θ) = sin 90°

2α − θ = 90°

2α = 90° + θ

α = 45° + θ

2

แสดงวา่ การขวา้ งวัตถุให้ตกในระยะไกลสุดบนพน้ื เอยี ง จะต้องขว้างดว้ ยความเร็วต้น ทำมุม
45° + θ เมือ่ θ คือมุมของพื้นเอยี ง

2

ในทำนองเดยี วกัน ถา้ ขว้างวตั ถจุ ากจุดบนพนื้ เอียงลงมาชา้ งล่างใหไ้ ดร้ ะยะไกลสดุ บนพ้นื เอียง
เราจะต้องขว้างวตั ถดุ ้วยความเร็วตน้ ทำมมุ 45° − θ

2

กลุ่มสาระการเรยี นรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวทิ ยา

เรอื่ ง การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 31

ตวั อย่างท่ี 7 ขวา้ งวตั ถจุ ากปลายลา่ งพ้ืนเอยี งซง่ึ ทำมุม 30 องศากบั แนวระดับ ดว้ ยความเรว็ 30 เมตร/
วนิ าที ทำมมุ 30 องศากับพ้นื เอยี ง จงหาระยะตกไกลบนพื้นเอยี ง

วาดรูปประกอบโจทย์

B

R sin 30° Ru
u sin 600

30°

30° A
u cos 60°

R cos 30°

1) พิจารณาแนวระดบั

sx = uxt

R cos 30° = (u cos 60°)t

t = √3R (1)

u

2) พจิ ารณาแนวดง่ิ

sy = uyt + 1 gt2

2

R sin 30° = (u sin 60°)t + 1 gt2 (2)

2

แทนคา่ t = √3R ลงใน (2) จะได้
u

R (1) = (u (√3)) (√3R) + 1 (−10) (√3R)2

2 2u2 u

R= 3R − 5 (3uR22)
2
2

กลุม่ สาระการเรียนร้วู ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เรอื่ ง การเคลอ่ื นที่แบบโพรเจกไทล์ 32

นำ R มาหารตลอด

1= 3 − 5 (3uR2 )
2
2

15R = 3−1
u2
22

R = u2

15

R = 302

15

R = 900

15

R = 60 เมตร

กลมุ่ สาระการเรยี นรูว้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เรื่อง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 33

แบบฝกึ ทักษะที่ 3
เร่อื ง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์บนพ้นื เอียง

1. ชายผหู้ นง่ึ ยืนบนเนนิ ซง่ึ เอียงทำมุม 30 องศากับแนวราบ ขวา้ งก้อนหนิ ขนึ้ ไปดว้ ยความเร็วตน้ 10
เมตร/วนิ าที ในทิศทำมุม 60 องศากบั แนวระดับ ก้อนหนิ ตกบนเนินห่างจากจุดขว้างกเ่ี มตร

2. ภูเขาลูกหนง่ึ แนวเขาลาดเอยี งทำมุม 30 องศากบั แนวระดบั ทย่ี อดเขามีปืนใหญต่ ้งั อยทู่ ำมุม 60
องศากับแนวภูเขา ถา้ ยิงกระสนุ ปืนออกมาดว้ ยความเรว็ ต้น 15 เมตร/วินาที จงหาวา่ กระสุนตกที่เชิงเขา
หา่ งจากตวั ปนื เป็นระยะเท่าใด

60°

30°

3. ชายคนหนึง่ โยนลูกบอลจากยอดพ้นื เอียงด้วยความเรว็ 20 เมตร/วินาที เอียงทำมุม 30 องศากบั แนว
ระดับ ถา้ พืน้ เอียงน้ันเอยี งลง 30 องศาจากแนวระดบั เช่นกัน จะใช้เวลาเทา่ ใดลกู บอลจงึ จะตกกระทบ
พน้ื เอยี งนับจากโยน

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรื่อง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 34

4. นักเรยี นคนหน่ึงยืนบนยอดเขาซ่ึงทำมมุ 37 องศากบั แนวระดบั ขวา้ งก้อนหนิ ลงไปยงั เชงิ เขาดว้ ย
ความเรว็ 25 เมตร/วนิ าที ในแนวราบ นานกี่วนิ าทีก้อนหินจงึ จะตกกระทบพื้น (ไม่คิดความสงู ของ
นักเรยี น)

5. โยนลูกบอลออกจากตำแหนง่ ก. ด้วยความเรว็ v0 เมตร/วนิ าที ในแนวต้ังฉากกับพ้ืนเอียง ลูกบอล
จะตกถงึ ตำแหน่ง ข. เมอ่ื เวลาผา่ นไปนานเท่าใด

v0

ก

30° ข

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เร่อื ง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ 35

ข้อสอบสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั
เร่ือง การเคลอื่ นทแ่ี บบโพรเจกไทล์

1. ยิงโพรเจกไทล์ในระนาบดิ่งเดียวกันพร้อมกัน ลกู หน่ึงออกจากจุด A อีกลกู หนึ่งออกจาจดุ B ดว้ ย
ความเรว็ ต้นทีม่ ีขนาดเทา่ กนั และทำมุมตงั้ ตน้ เท่ากันเทา่ กบั ระยะห่าง AB มคี ่าไมเ่ กนิ เทา่ ไร โพรเจกไทล์
ถงึ จะชนกันกอ่ นถึงพ้ืน (ข้อสอบ 9 วชิ าสามัญ ปี 62)

1. u2 sin θ
2g

2. u2 sin θ uu
g

3. u2 sin 2θ θ พืน้ ระดบั θ
2g AB

4. u2 sin 2θ
g

5. 2u2 sin 2θ
g

กลุม่ สาระการเรียนร้วู ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เรอื่ ง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 36

2. ต้องยงิ โพรเจกไทล์ดว้ ยมุมต้งั ต้น θ เท่าไรจงึ จะขึน้ ไปไดส้ ูง AC เท่ากนั กับทีไ่ ปได้ไกล OB บนพืน้
ระดบั (ข้อสอบ 9 วชิ าสามญั ปี 61)

1. arctan(1) y
4

2. arctan(1) A
2
g
3. 45°

4. arctan2 θ C พนื้ ระดับ
5. arctan4 O
B

กลมุ่ สาระการเรยี นรูว้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรือ่ ง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ 37

3. เดก็ คนหน่ึงอยู่บนรถซ่งึ เคล่ือนท่ีบนถนนตรงดว้ ยความเร็วคงที่ v เขาปาก้อนหนิ ออกไปดว้ ยความเรว็
u เทยี บกบั รถทิศทำมุม θ กบั ทศิ ที่รถเคลื่อนท่ี ก้อนหนิ จะตกกระทบพ้นื หา่ งจากรถเป็นระยะเท่าไร
(ขอ้ สอบ 9 วิชาสามญั ปี 60)

u
g

θv

1. ตำแหน่งเดยี วกนั กบั รถ
2. นำหนา้ รถอยู่ 2u2 sin θ cos θ

g

3. นำหน้ารถอยู่ (v + u cos θ) 2u sin θ
g

4. ตามหลังอยู่ 2u2 sin θ cos θ
g

5. ตามหลังอยู่ (v + u cos θ) 2u sin θ
g

กล่มุ สาระการเรียนรู้วทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เร่อื ง การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 38

4. จะต้องดดี โพรเจกไทล์มวล m ด้วยความเรว็ ตน้ (ในแนวระดบั ) เทา่ ไรจึงจะลงหลุมพอดี (ขอ้ สอบ 9

วชิ าสามญั ปี 59)

1 ยอดตกึ m

1. (2g)2 L
h

1 g

2. (g)2 L
h

1 h

3. ( g )2 L
2h

1 พื้นระดับ
หลุม
4. ( g )2 L
2(h+L) L

1

5. ( g )2 h
2L

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรอื่ ง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ 39

5. ABC เป็นรางผวิ ล่ืนโคง้ เป็นสว่ นของวงกลมรัศมี R ในระนาบดิ่ง A อยู่ในระดบั เดยี วกับศูนย์กลาง O
เสน้ OC ทำมมุ 60 องศากบั แนวดิ่ง มวล m ถูกปล่อยจากหยุดนง่ิ จากจุด A เมื่อมวล m พ้นจุด C แลว้ ก็
จะเคล่ือนท่แี บบโพรเจกไทล์ จุดยอดอยู่ใต้ระดบั AO เปน็ ระยะทางเท่าใด (ข้อสอบ 7 วชิ าสามัญ ปี 57)

จุดยอด

AO
m g 60°

C

B

กลุ่มสาระการเรียนรู้วทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลือ่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 40

6. ล้อรศั มี R กำลังหมุนอยู่กับที่รอบแกน C ดว้ ยอัตราเร็ว f รอบต่อวินาที หยดน้ำที่ถูกสลดั ออกไปจาก
จุด A ในแนวระดบั จะตกกระทบพน้ื ห่างจากจุด O เปน็ ระยทางเท่าไร (ข้อสอบโครงการขยาย
ผลการวิจยั และองค์ความรู้ฟิสิกสส์ ่คู รแู ละเยาวชน สมาคมฟิสิกส์ไทย)

กลมุ่ สาระการเรยี นรูว้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 41

7. ยงิ กระสนุ ออกไปในแนวราบบนผวิ ดวงจันทร์ กระสุนกระทบเปา้ ทร่ี ะยะห่าง 25 เมตร ทีต่ ำแหน่ง 5
มิลลิเมตรใตแ้ นวการยิง แต่ถา้ เลื่อนเป้าใหห้ ่างจากจดุ ทยี่ งิ เป็น 50 เมตร ลูกปืนจะกระทบเป้าใตแ้ นวการ
ยงิ กม่ี ิลลิเมตร (ข้อสอบโครงการขยายผลการวิจัยและองค์ความรู้ฟสิ ิกส์ส่คู รแู ละเยาวชน สมาคมฟิสกิ ส์
ไทย)

กลมุ่ สาระการเรียนรวู้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 42

8. ถ้าต้องการยิงปืนใหญ่ใหไ้ ด้ระยะทางในแนวดง่ิ เป็น 1 เท่าของระยะทางในแนวระดับ จะตอ้ งปรบั ปาก

2

กระบอกปนื ใหญใ่ หท้ ำมมุ เท่าไรกับแนวระดบั (ข้อสอบโครงการขยายผลการวจิ ยั และองค์ความรู้ฟิสิกส์สู่
ครแู ละเยาวชน สมาคมฟิสิกส์ไทย)

1
2 sx
θ
sx

9. พิจารณาการเคล่อื นท่แี บบโพรเจกไทล์ของวตั ถุ ดงั รปู (ข้อสอบ Pat 2 ปี 2560)

A

ขอ้ ใดกล่าวถูกต้องเกี่ยวกับวัตถทุ ี่ตำแหน่ง A (ไมค่ ดิ แรงตา้ นอากาศ) โรงเรียนนิคมวทิ ยา
1. ความเรว็ และความเร่งเท่ากบั ศนู ย์
2. มคี วามเรว็ และความเรง่ ในแนวดงิ่
3. ความเร็วเทา่ กับศูนย์ แต่ความเรง่ ไมเ่ ทา่ กบั ศูนย์
4. มคี วามเร็วในแนวระดับ แตค่ วามเร่งเท่ากบั ศนู ย์
5. มีความเร็วในแนวระดับ แต่ความเร่งมีทิศช้ีลงในแนวดง่ิ

กลมุ่ สาระการเรียนร้วู ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

เรือ่ ง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 43

10. การยงิ วตั ถแุ บบโพรเจกไทล์ดว้ ยอตั ราเร็วตน้ และมุมยิงเดยี วกัน บนดวงจนั ทร์ที่มีแรงโน้มถ่วงต่ำกว่า
บนโลก เมือ่ เปรียบเทยี บกบั บนโลกจะเปน็ ตามขอ้ ใด (ข้อสอบ Pat 2 ปี 2552)

กำหนดให้ เสน้ ประ --------- แทนการเคลอ่ื นท่ีบนโลก

เสน้ ทึบ แทนแนวการเคลือ่ นที่บนดวงจนั ทร์

ระยะแนวด่ิง ระยะแนวดิ่ง

1. 2.

ระยะแนวระดบั ระยะแนวระดบั

ระยะแนวดิ่ง ระยะแนวดงิ่

3. 4.

ระยะแนวระดบั ระยะแนวระดบั

11. ระเบิดลกู หนึ่งเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ (projectile motion) เมือ่ เคลอ่ื นท่ีถงึ จุดสูงสดุ ระเบดิ
ออกเป็นมวล 3 ก้อนท่ีเทา่ กนั ถา้ ทนั ทที ่รี ะเบดิ มีมวลสองก้อนเคลื่อนทใี่ นแนวดิ่งด้วยอัตราเรว็ เท่ากัน
ข้อใดต่อไปนส้ี รุปได้ถูกต้องเกี่ยวกบั มวลก้อนที่สาม (ทันทที ่ีระเบิด) (ขอ้ สอบ Pat 2 ปี 2553)

1. มีขนาดความเรว็ เปน็ 3 เท่าของขนาดความเรว็ ของลูกระเบิด ณ จุดสงู สุดก่อนการระเบดิ
2. มีพลงั งานจลน์เปน็ 3 เท่าของพลงั งานจลน์ของลูกระเบดิ ณ จุดสูงสดุ กอ่ นการระเบิด
3. มขี นาดโมเมนตัมเป็น 3 เท่าของขนาดโมเมนตมั ของลกู ระเบดิ ณ จุดสูงสุดก่อนการระเบดิ
4. มีคำตอบถกู มากกว่า 1 ข้อ

กล่มุ สาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรอื่ ง การเคลือ่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 44

12. ทดสอบการเคลอ่ื นทข่ี องลกู บอลลูกหนงึ่ จากความสูงเริ่มตน้ เทา่ กัน โดยครั้งที่ 1 ปล่อยให้ลูกบอลตก
สพู่ ื้นแบบเสรี สว่ นคร้ังท่ี 2 ขว้างลูกบอลในแนวระดับ ดงั ภาพ

กำหนดให้ ขนาดของความเร็วในแนวดิ่งของลูกบอลขณะกระทบพ้นื และเวลาท่ีลกู บอลใช้ใน
การเคลื่อนท่ีจนกระทงั่ ตกถึงพื้นเป็นดังตาราง (ข้อสอบ O – net ปี 2561)

การทดสอบ ขนาดของความเรว็ ในแนวด่ิงขณะกระทบพน้ื (m/s) เวลาที่ใชใ้ นการเคล่ือนที่ (s)
ครงั้ ท่ี 1
ครง้ั ท่ี 2 v1 t1
v2 t2

จากข้อมูล เปรียบเทยี บขนาดของความเรว็ v1 กับ v2 และ เวลา t1 กับ t2 ได้เปน็ อย่างไร

เปรยี บเทียบ กับ เปรียบเทียบ กบั

1. v1 < v2 t1 < t2
2. v1 < v2 t1 = t2
3. v1 = v2 t1 = t2
4. v1 > v2 t1 = t2
5. v1 > v2 t1 < t2

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เรื่อง การเคล่อื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 45

13. ยิงวตั ถุ A, B และ C ขึน้ จากพื้นท่ตี ำแหนง่ เดยี วกนั ทำมมุ กับพื้น 20 องศา 45 องศา และ 70 องศา
ตามลำดบั พบวา่ วตั ถุทง้ั สามช้ินมเี สน้ ทางการเคลอื่ นทีเ่ ปน็ ดังภาพ และตกถงึ พื้นทต่ี ำแหน่งเดียวกนั
กำหนดให้ไม่ต้องพจิ ารณาแรงตา้ นของอากาศ (ข้อสอบ O – net ปี 2562)

วัตถุ C

วัตถุ B
วตั ถุ A

1. วัตถุ C เคลือ่ นท่ีด้วยความเรง่ มากที่สดุ
2. วตั ถุ A และ C มขี นาดความเรว็ ต้นเท่ากนั
3. วตั ถุ A มขี นาดความเรว็ ต้นน้อยกว่าวัตถุ B
4. วตั ถุท้งั สามชิ้นมีความเร็วในแนวระดับไม่คงตวั ตลอดการเคลอ่ื นท่ี
5. ที่จุดสูงสดุ ของวตั ถุแต่ละช้ิน วตั ถุ C มคี วามเร็วในแนวด่ิงมากทีส่ ดุ

กล่มุ สาระการเรียนรูว้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เรื่อง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 46

บรรณานกุ รม

กฤตนัย(สมชาย) จันทรจตุรงค.์ (2553). ABSOLUTE PHYSICS TESTS BOOK II. กรงุ เทพฯ:
ธรรมบัณฑิต.

กีรติ ลวี ัจนกลุ . (2552). ตะลุยโจทย์ใหม่ ฟิสิกส์ ม.4. กรุงเทพฯ: เอ.พี.กราฟคิ ดีไซนแ์ ละ
การพมิ พ์ จำกัด.

ณฐั ภสั สร เหล่าเนตร์ และคณะ. (2553). หนงั สือเรียนรายวิชาพื้นฐาน กลุ่มสาระการเรียนรู้
วทิ ยาศาสตร์ฟิสิกส์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 – 6. กรงุ เทพฯ: แมค็ .

นริ นั ดร์ สุวรตั น์. (2554). ฟิสกิ ส์ กลศาสตร์ 1 ม.4. กรงุ เทพฯ: พ.ศ. พฒั นา.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ. (2561). หนงั สอื เรยี น

รายวชิ าเพิ่มเติม ฟสิ ิกส์ เลม่ 2. พิมพ์ครั้งท่ี 1. กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว.

กล่มุ สาระการเรยี นรูว้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เรอื่ ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 47

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1
เร่ือง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทลแ์ บบพ้นื ฐาน

1. คูน้ำกว้าง 10 เมตรมลี ักษณะดังรูป นักขจ่ี กั รยานคนหน่ึงต้องการจะขี่ขา้ มคูนำ้ (กำหนดให้ใช้คา่
g = 10 เมตร/วินาที2) จงหา

5m

10 m

ก. ความเร็วทน่ี อ้ ยทสี่ ุดของจักรยานทีจ่ ะข้ามคนู ำ้ ได้พอดี

ข. ความเรว็ ที่ถงึ ฝง่ั ตรงขา้ มพอดี

จากโจทย์กำหนดให้ sx = 10 เมตร sy = 5 เมตร uy = 0 เมตร/วินาที
ก. โจทย์ตอ้ งการหา ux
1) หา t จากแนวด่ิง

sy = uyt + 1 gt2

2

5 = 0 + 1 (10)t2

2

5 = t2

5

t = 1 วนิ าที

2) หาความเร็วในแนวระดับ

sx = uxt

10 = ux(1)

ux = 10 เมตร/วนิ าที

กลมุ่ สาระการเรียนร้วู ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 48

ข. ตอ้ งการหาค่า v
จากสมการ v = √vx2 + vy2

ดงั น้ันต้องหา vy ก่อน จาก

vy = uy + gt
vy = 0 + 10(1)

vy = 10 เมตร/วินาที
หาค่า v จาก

v = √vx2 + vy2

v = √102 + 102

v = √100 + 100

v = √200

v = 10√2 เมตร/วนิ าที

2. นักขบั มอเตอร์ไซด์ผาดโผนคนหน่งึ ต้องการขับมอเตอร์ไซคข์ ้ามแมน่ ำ้ กวา้ ง 5.1 เมตร จากทสี่ ูง 2.0
เมตร ดังรูป นกั ขับมอเตอร์ไซค์จะต้องขับดว้ ยความเร็วทนี่ ้อยท่สี ดุ กีเ่ มตร/วนิ าที จึงจะข้ามแม่น้ำไดพ้ อดี
(กำหนดให้ใช้คา่ g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)

จากโจทยก์ ำหนดให้ sx = 5.1 เมตร, sy = 2.0 เมตร, uy = 0 เมตร/วนิ าที, ux = ?
1) หา t จากแนวด่ิง

sy = uyt + 1 gt2

2

2 = 0 + 1 (9.8)t2

2

กลมุ่ สาระการเรยี นร้วู ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เรือ่ ง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 49

t2 = 4

9.8

t2 = 0.408

t = 0.64 วนิ าที

2) หา ux จากแนวระดับ

sx = uxt

5.1 = ux(0.64)

ux = 5.1
0.64

ux = 7.97 เมตร/วินาที

3. ดีดยางลบจากขอบโต๊ะสูง 1.0 เมตร พบวา่ ยางลบกระเด็นตกไปไกล 2.0 เมตร เมื่อวัดในแนวระดับ

ดังรูป (กำหนดให้ใชค้ า่ g = 9.8 เมตร/วนิ าที2) จงหา

ก. เวลาท่ียางลบใช้ในการเคล่ือนท่ีในอากาศ

ข. อัตราเรว็ ทย่ี างลบถูกดีดออกจากขอบโตะ๊

จากโจทยก์ ำหนดให้

sy = 1.0 เมตร, sx = 2.0 เมตร, uy = 0 เมตร/วินาที
ก. หา t จากแนวดงิ่

sy = uyt + 1 gt2

2

1 = 0 + 1 (9.8)t2

2

t2 = 2

9.8

t = 0.45 วินาที

ข. หา ux จากแนวระดบั

sx = uxt

2 = ux(0.45)

ux = 2
0.45

ux = 4.44 เมตร/วนิ าที

กลุ่มสาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวทิ ยา