การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

เร่อื ง การเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทล์ 50

4. ยิงลกู ปืนมวล 40 กรัม ด้วยความเรว็ 100 เมตร/วนิ าที ทำมุม 53 องศา กับแนวระดับห่างจากตึก

หลงั หน่งึ 120 เมตร จงหาลูกปนื ตกกระทบตกึ ทตี่ ำแหนง่ สูงจากพนื้ ระดบั ท่ยี งิ ก่ีเมตร (กำหนดให้ใชค้ ่า

g = 10 เมตร/วนิ าที2)

วาดรปู ประกอบ 100 sin 53° 100 m/s

sy

53°
100 cos 53°

120 m

จากโจทยก์ ำหนดให้

ux = 100 cos 53°

uy = 100 sin 53°

sx = 120 เมตร

1) หา t จากแนวระดบั

sx = uxt
120 = (100 cos 53°)t

120 = (100 (3)) t

5

120 = (60)t
t = 120

60

t = 2 วนิ าที

2) หา sy จากแนวดิ่ง

sy = uyt + 1 gt2

2

sy = (100 sin 53°)2 + 1 (−10)22

2

sy = (100 (4)) 2 + 1 (−10)22

5 2

sy = 160 − 20

sy = 140 เมตร

กลุม่ สาระการเรยี นร้วู ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรอื่ ง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 51

5. นกั เรยี นคนหนงึ่ ต้องการโยนลกู บาสเกตบอลจากความสูง 2.0 เมตร ให้ลงหว่ งสงู 3.0 เมตร จาก
ระยะหา่ ง 3.0 เมตร โดยโยนทำมมุ 60 องศากบั แนวระดบั ดงั รปู นักเรยี นคนน้จี ะตอ้ งโยนลูก
บาสเกตบอลด้วยอัตราเร็วเท่าใด (กำหนดให้ใชค้ า่ g = 9.8 เมตร/วินาที2)

วาดรูปประกอบ

u sin 60°

sy = 1 m u
u cos 60°

จากโจทยก์ ำหนดให้ sx = 3.0 เมตร, sy = 1.0 เมตร

ux = u cos 60° uy = u sin 60°

u=?

1) พจิ ารณาแนวระดับ

sx = uxt
3 = (u cos 60°)t

3 = (u × 1) t

2

ut = 6 (1)
(2)
2) พจิ ารณาแนวดง่ิ

sy = uyt + 1 gt2

2

1 = (u sin 60°)t + 1 (−9.8)t2

2

1 = (u × √3) t + 1 (−9.8)t2

22

1 = ut√3 − 4.9t2

2

แทนคา่ สมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้

1 = 6√3 − 4.9t2

2

1 = 3√3 − 4.9t2

กลุ่มสาระการเรยี นร้วู ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรอ่ื ง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 52

4.9t2 = 3√3 − 1

4.9t2 = 3(1.732) − 1

4.9t2 = 4.20

t2 = 4.20

4.9

t2 = 0.86

t = 0.93 วนิ าที

3) แทนค่า t = 0.93 วินาที ลงใน (1) เพ่อื หาคา่ u

ut = 6

u(0.93) = 6

u= 6

0.93

u = 6.45 เมตร/วินาที

6. นกั บาสเกตบอลคนหน่งึ โยนลกู บาสเกตบอลออกไปดว้ ยความเรว็ 6.5 เมตร/วินาที ทำมุม 50 องศา
กับแนวระดบั โดยลกู บาสเกตบอลถูกโยนจากจุดทสี่ งู จากพื้น 2.3 เมตร ดงั รูป (กำหนดใหใ้ ชค้ ่า g = 9.8
เมตร/วินาท2ี sin 50° = 0.766, cos 50° = 0.643 ) จงหา

ก. เวลาท่ีลูกบาสเกตบอลเคลื่อนทใี่ นอากาศก่อนจะลงห่วง
ข. ลูกบาสเกตบอลลงห่วงสงู จากพน้ื ดนิ กีเ่ มตร
วาดรูปประกอบ

6.5 sin 50°

sy

6.5 cos 50°

จากโจทย์กำหนดให้ ux = 6.5 cos 50°, uy = 6.5 sin 50°
sx = 2.9 เมตร h = ?

กลุ่มสาระการเรยี นร้วู ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรอ่ื ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 53

1) หา t จากแนวระดบั

sx = uxt

2.9 = (6.5 cos 50°)t

2.9 = (6.5 × 0.643)t

t = 2.9

4.18

t = 0.69 วินาที

2) หา sy จากแนวดิ่ง

sy = uyt + 1 gt2

2

sy = (6.5 sin 50°)t + 1 (−9.8)t2

2

sy = (6.5 × 0.766)0.69 + 1 (−9.8)0.692

2

sy = 3.44 − 2.33

sy = 1.11 เมตร

3) หาค่า h

เม่ือพิจารณาจากรูปจะได้ว่า

h = 2.3 + sy

h = 2.3 + 1.11

h = 3.41 เมตร

กลมุ่ สาระการเรยี นรูว้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เร่อื ง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 54

7. ชายคนหนง่ึ ยิงเหรยี ญจากเครือ่ งยงิ ด้วยความเรว็ 7.0 เมตร/วนิ าทที ำมุมกับแนวระดบั 60 องศา ไป

ยังจานรับเหรยี ญซึ่งห่างจากจุดยงิ ในแนวระดบั 2.8 เมตร ดงั รูป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2)

จงหา

ก. เวลาท่เี หรยี ญเคล่อื นท่ีในอากาศ

ข. จานรับเหรยี ญสูงจากตำแหน่งทีย่ งิ เหรยี ญกเ่ี มตร

วาดรปู ประกอบ 7.0 sin 60°

7.0 cos 60°

จากโจทยก์ ำหนดให้ ux = 7.0 cos 60° uy = 7.0 sin 60°

sx = 2.8 เมตร h=?
ก. หา t จากแนวระดับ

sx = uxt

2.8 = (7.0 cos 60°)t

2.8 = (7.0 × 1) t

2

t = 2.8

3.5

t = 0.8 วนิ าที

ข. หา h จากแนวด่ิงโดยที่ h = sy

sy = uyt + 1 gt2

2

sy = (7.0 sin 60°)(0.8) + 1 (−9.8)(0.82)

2

sy = (7.0 × √3) (0.8) + 1 (−9.8)(0.82)

2 2

sy = 4.85 − 3.14

sy = 1.71 เมตร

ดงั นนั้ h = 1.71 เมตร

กลุ่มสาระการเรยี นร้วู ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลอ่ื นที่แบบโพรเจกไทล์ 55

8. ยิงกระสนุ ปนื มวล 50 กรัม ด้วยความเร็วต้น 100 เมตร/วนิ าที ทำมมุ 60 องศากับแนวระดับ
หลังจากนั้น 5 วินาที กระสุนตกกระทบเปา้ บนหน้าผา เป้านน้ั สูงจากพื้นระดับท่ียิงเทา่ ใด (กำหนดให้ใช้
ค่า g = 10 เมตร/วินาที2)

วาดรูปประกอบ

100 sin 60° sy
100 m/s

60° 100 cos 60°

จากโจทยก์ ำหนดให้ u = 100 เมตร/วนิ าที, θ = 60°, t = 5 วนิ าที, sy = ?

หา sy จาก

sy = uyt + 1 gt2

2

sy = (100 sin 60°)5 + 1 (−10)52

2

sy = (100 × √3) 5 − 125

2

sy = 250(1.732) − 125

sy = 308 เมตร

กลุ่มสาระการเรียนรวู้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เร่อื ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 56

9. ตำรวจดบั เพลิงต้องการฉดี น้ำดับเพลิงซึ่งไหม้อาคารสงู 10 เมตร ถ้าความเรว็ ตน้ ของน้ำท่ีออกจาก

เครอื่ งฉีดนำ้ เท่ากบั 20 เมตร/วินาทีทำมมุ 60 องศากับแนวระดับ เขาต้องยนื หา่ งจากตัวอาคารอยา่ ง

นอ้ ยก่ีเมตร (กำหนดใหใ้ ช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2)

1. 10(3 − √3) เมตร 2. 10(√3 − 1) เมตร

3. 10(√15 − 3) เมตร 4. 10(√5 − √3) เมตร

วาดรูปประกอบ

20 sin 60° 10 m
20 m/s

60° 20 cos 60°

sx

จากโจทยก์ ำหนดให้ sy = 20 เมตร, u = 20 เมตร/วินาท,ี sx = ?
1) หา t จากแนวด่งิ

sy = uyt + 1 gt2

2

10 = (20 sin 60°)t + 1 (−10)t2

2

10 = (20 × √3) t − 5t2

2

10 = 10√3t − 5t2

หารดว้ ย 5 ตลอด จะได้

2 = 2√3t − t2

t2 − 2√3t + 2 = 0

ดงั นัน้

t = −b ± √b2−4ac

2a

−(−2√3) ± √(−2√3)2−4(1)(2)

t=

2(1)

t = 2√3 ± √12−8

2

t = 2√3 ± 2

2

กลุ่มสาระการเรียนรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรื่อง การเคลอ่ื นที่แบบโพรเจกไทล์ 57

t = √3 ± 1

ดงั น้นั
t = √3 + 1 วินาที

t = √3 − 1 วนิ าที

โจทยต์ อ้ งการหาระยะท่นี ้อยที่สดุ ดงั นน้ั t = √3 − 1 วนิ าที
2) หา sx จากแนวระดบั

sx = uxt

sx = (20 cos 60°)(√3 − 1)

sx = (20 × 1) (√3 − 1)

2

sx = 10(√3 − 1) เมตร

10. ทอ่ นไม้ไถลลงมาจากหลงั คาบา้ นที่มีมุมลาดเอยี ง 30 องศา เมื่อวดั เทียบกับแนวระดับ ปลายหลงั คา
อย่สู งู จากพื้น 8.0 เมตร ดังรปู เม่ือท่อนไมห้ ลุดจากปลายหลังคาท่อนไม้มีอัตราเรว็ 6.0 เมตร/วนิ าที
(กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2) จงหา

วาดรูปจัดรูปเวกเตอร์ u ให้อย่ใู นแนวแกน x แกน y

6 cos 30°

30°

6 sin 30°

จากโจทย์กำหนดให้ ux = 6 cos 30° uy = 6sin 30° sy = 8 เมตร
ก. หา t จากแนวดง่ิ

sy = uyt + 1 gt2

2

8 = (6 sin 30°)t + 1 (9.8)t2

2

8 = (6 × 1) t + 4.9t2

2

8 = 3t + 4.9t2

กลมุ่ สาระการเรยี นรูว้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรอ่ื ง การเคลือ่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 58

จัดรูปสมการจะได้

4.9t2 + 3t − 8 = 0

t = −b ± √b2−4ac

2a

t = −3 ± √32−4(4.9)(−8)

2(4.9)

t = −3 ± √9+156.8

9.8

t = −3 ± √165.8

9.8

ดังนน้ั t = −3 ± 12.88

9.8

t = −3 + 12.88

9.8

t = 1.01 วินาที
ข. หา sx จากแนวระดับ

sx = uxt

sx = (6 cos 30°)1.01

sx = (6 × √3) 1.01

2

sx = 3(1.732)(1.01)

sx = 5.23 เมตร

กลุม่ สาระการเรียนรูว้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เร่อื ง การเคลือ่ นที่แบบโพรเจกไทล์ 59

11. นักข่ีจักยานผาดโผน ต้องการขี่ข้ามคลองซ่ึงกว้าง 5.0 เมตร ไปยังฝ่งั ตรงขา้ ม ถ้าเขาขี่รถจักรยาน
ดว้ ยความเร็ว 10 เมตร/วนิ าที กอ่ นพน้ ฝ่งั แรกเขาจะต้องขา้ มไดโ้ ดยไม่ชนฝง่ั ตรงข้าม h จะมีค่าไดม้ าก
ทสี่ ุดกีเ่ มตร (กำหนดให้ใชค้ ่า g = 10 เมตร/วนิ าที2)
วาดรปู จดั รปู เวกเตอร์ u ให้อยใู่ นแนวแกน x แกน y

10 cos 45° h
100 m/s

45°

10 sin 45°

5m

45°

จากโจทย์กำหนดให้ ux = 10 cos 45° uy = 10 sin 45° sx = 5 เมตร sy = ?
1) หา t จากแนวระดับ

sx = uxt

5 = (10 sin 45°)t

2) หา sy จากแนวดง่ิ 5 = (10 × √2) t

2

t= 5

5√2

t = 1 วินาที
√2

sy = uyt + 1 gt2

2

sy = (10 cos 45°) 1 + 1 (−10) ( 1 2

√2 2 √2 )

sy = (10 × √2) 1 + 1 (−10) ( 1 2

2 √2 2 √2 )

sy = 5 − 2.5

sy = 2.5 เมตร

กลุ่มสาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เร่ือง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 60

12. ขว้างลกู บอลทำมุม 45 องศากบั แนวระดับ ปรากฏว่าลูกบอลลอยข้ามกำแพงสูง 10 เมตร ซง่ึ อยู่
หา่ งจากจดุ ขว้างในแนวระดบั เทา่ กับ 60 เมตร ได้พอดี อยากทราบว่า ณ จุดสูงสุดของแนวการเคลือ่ นท่ี
น้ัน ลูกบอลอยู่สงู จากแนวระดบั ก่เี มตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วนิ าที2)

วาดรูปจัดองคป์ ระกอบเวกเตอร์ u ใหอ้ ยใู่ นแนวแกน x และแกน y

u sin 45° u 10 m
45° u cos 45°

60 m

จากโจทยก์ ำหนดให้ sx = 60 เมตร, sy = 10 เมตร, symax = ?
1) พิจารณาแนวระดับ

sx = uxt

60 = (u cos 45°)t

60 = (u × √2) t (1)

2) พิจารณาแนวด่งิ 2

ut = 120

√2

sy = uyt + 1 gt2

2

10 = (u sin 45°)t + 1 (−10)t2

2

10 = (u × √2) t − 5t2

2

10 = √2 ut − 5t2 (2)

2

แทนสมการ (1) ลงในสมการ (2)

10 = √2 (120) − 5t2

2 √2

10 = 60 − 5 2
5t2 = 50

t2 = 10

t = √10 วนิ าที

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้วิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรอ่ื ง การเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทล์ 61

3) แทนค่า t ลงในสมการ (1) จะได้

u√10 = 120
√2

u = 120

2√5

u = 60 เมตร/วินาที
√5

4) หาระยะท่วี ตั ถุข้นึ ไปไดส้ ูงสุด

vy2 = u2y + 2gsymax

0 = (u sin 45°)2 + 2(−10)symax

0= (60 × √2)2 − 20symax

√5 2

20symax = (60 × √2)2

√5 2

symax = 360
20

symax = 18 เมตร

กลุม่ สาระการเรียนรู้วิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวทิ ยา

เรือ่ ง การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 62

13. รถคันหนง่ึ วิง่ ในแนวตรงด้วยอัตราเร็วคงตวั 20.0 เมตร/วินาที เมื่อถึงตำแหนง่ ก คนในรถโยนกอ้ น
หินขนึ้ ไปในแนวดิ่งดว้ ยอัตราเรว็ 19.6 เมตร/วินาที ดงั รปู ขณะก้อนหนิ ตกกลับมาถึงมือคนโยน รถอยู่
หา่ งจากตำแหนง่ ก เป็นระยะทางเทา่ ใด (กำหนดใหใ้ ชค้ ่า g = 9.8 เมตร/วินาที2)

sx

จากโจทย์กำหนดให้ ux = 20 เมตร/วนิ าท,ี uy = 19.6 เมตร/วินาที,
sy = 0 (วตั ถตุ กมายงั จุดเดิม), sx = ?

1) หา t จากแนวด่ิง

sy = uyt + 1 gt2

2

0 = (19.6)t + 1 (−9.8)t2

2

0 = (19.6)t − 4.9t2

4.9t2 = (19.6)t

2) หา sx จาก t = (19.6)

4.9

t = 4 วินาที

sx = uxt
sx = 20(4)

sx = 80 เมตร

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เรื่อง การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 63

14. เฮลิคอปเตอร์ลำหนึ่งบินในแนวระดบั ดว้ ยความเร็ว 50 เมตร/วินาที และบนิ ทีค่ วามสูงจากผวิ นำ้
ทะเล 120 เมตร เมื่อนักบนิ เหน็ เรือบรรทุกสมั ภาระท่ีแล่นสวนทางมาดว้ ยความเร็ว 10 เมตร/วินาที
จงึ ตัดสนิ ใจปลอ่ ยสมั ภาระลงไป ดังรปู

sx sเรอ

เมื่อสมั ภาระจากเฮลคิ อปเตอร์ลงเรือพอดี ต้องปลอ่ ยสัมภาระเมื่อเฮลิคอปเตอร์ห่างจากเรือใน
แนวระดับเปน็ ระยะทางเทา่ ใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2)

จากโจทย์กำหนดให้ sy = 120 เมตร, ux = 50 เมตร/วนิ าท,ี uy = 0 เมตร/วนิ าที
1) หา t จากแนวด่งิ

sy = uyt + 1 gt2

2

120 = 0 + 1 (−9.8)t2

2

4.9t2 = 120

t2 = 120

4.9

t2 = 24.49

t = 4.95 วินาที

2) หา sx จากแนวระดับ

sx = uxt

sx = 50(4.95)

sx = 247.5 เมตร

กลุม่ สาระการเรียนรูว้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรอ่ื ง การเคลือ่ นที่แบบโพรเจกไทล์ 64

3) หา sเรอื จาก

sเรอื = vt

sเรือ = 10(4.95)

sเรือ = 49.5 เมตร
ดังนนั้ เฮลิคอปเตอร์ก่อนปลอ่ ยสมั ภาระห่างจากเรือ

s = 247.5 + 49.5

s = 297 เมตร

15. ทหารยิงปืนในแนวระดับสูงจากพน้ื 1.5 เมตร ลูกปนื ออกจากลำกลอ้ งมีอัตราเรว็ 500 เมตร/วินาที
ถกู ตน้ ไม้ท่ีอยู่ห่างออกไป 100 เมตร เมือ่ ไม่คดิ แรงต้านอากาศ ลูกปืนเจาะต้นไม้ท่คี วามสูงจากพน้ื เท่าใด
(กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2)

จากโจทย์ sx = 100 เมตร, ux = 500 เมตร/วินาที, uy = 0 เมตร/วินาท,ี h = ?
1) หา t จากแนวระดบั

sx = uxt
100 = (500)t

t = 100

500

t = 0.2 วินาที

2) หา sy จากแนวระดับ

sy = uyt + 1 gt2

2

sy = 0+ 1 (−9.8)0.22

2

sy = 0.196 เมตร

ดังนนั้ h = 1.5 − 0.196

h = 1.304 เมตร

กลุม่ สาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เร่อื ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 65

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 2
เร่ือง การเคลอื่ นทแี่ บบโพรเจกไทล์พาราโบลาเต็มรปู

1. ขว้างก้อนหนิ ออกไปทำมุม 45 องศากับแนวระดบั ดว้ ยความเร็ว 10 เมตร/วินาที (กำหนดให้ใชค้ ่า
g = 10 เมตร/วินาที2) จงหา

ก. นานเทา่ ใดก้อนหินถึงจะตกถึงพื้น
ข. กอ้ นหนิ ขน้ึ ไปได้สงู สดุ เทา่ ใด
ค. ก้อนหนิ ตกไกลจากจดุ ที่ขว้างเท่าใด
วาดรปู ประกอบ

10 m/s

45°

จากโจทยก์ ำหนดให้ u = 10 เมตร/วนิ าท,ี θ = 45°
ก. หา t จาก

t = 2u sin θ

g

t = 2(10) sin 45°

10

t = 2(10)(√22)

10

t = √2 วนิ าที

ข. หา sy จาก

sy = u2sin2θ
2g

sy = 102sin245°
2(10)

sy = 100(√22)2
20

sy = 2.5 เมตร

กลุม่ สาระการเรียนรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวิทยา

เรื่อง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 66

ค. หา sx จาก

sx = u2 sin 2θ
g

sx = 102 sin 2(45°)
10

sx = 10 เมตร

2. ยงิ ปนื ทำมมุ 53 องศากับแนวระดับ ถ้าลกู ปนื มีอตั ราเรว็ 300 เมตร/วินาที อยากทราบว่าลูกปนื ตก
ไกลจากจุดยิงเท่าไร (กำหนดให้ใช้คา่ g = 10 เมตร/วินาที2)

วาดรปู ประกอบ

300 m/s

53°

จากโจทยก์ ำหนดให้ u = 300 เมตร/วินาท,ี θ = 53°, sx = ?

sx = u2 sin 2θ
g

sx = 3002(2 sin 53° cos 53°)
10

sx = 90,000(2×45×35)
10

sx = 8,640 เมตร

กล่มุ สาระการเรียนร้วู ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทล์ 67

3. วตั ถุก้อนหนึ่งถูกยิงในแนวทำมุม 45 องศากับแนวระดบั ปรากฏว่า ณ จุดสงู สดุ วตั ถมุ คี วามเรว็ 10

เมตร/วินาที จงหา (กำหนดใหใ้ ชค้ ่า g = 10 เมตร/วนิ าที2)

ก. วตั ถขุ ้ึนไปได้สงู สุดเท่าใด

ข. วตั ถุตกไกลจากจุดยิงเท่าใด

วาดรปู ประกอบ ux = 10 m/s

u

sy

45°

sx

จากโจทยก์ ำหนดให้ ux = 10 เมตร/วนิ าท,ี θ = 45°
ก. หา sy จากแนวด่งิ

หา u จาก

ux = u cos 45°

10 = u × √2

2

u = 20

√2

u = 10√2 เมตร/วนิ าที

หา sy จาก

sy = u2sin2θ
g

sy = (10√2)2sin245°
10

sy = 200(√22)2
10

sy = 10 เมตร

ข. หา sx จากแนวระดบั

sx = u2 sin 2θ
g

sx = (10√2)2
10

sx = 20 เมตร

กลุม่ สาระการเรยี นรูว้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เร่อื ง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ 68

4. ชายคนหนงึ่ ขว้างลูกบอลข้ึนไปในแนวด่งิ ได้สูงสดุ 30 เมตร ถา้ เขาขวา้ งลูกบอลน้ดี ว้ ยความเร็วตน้ เทา่
เดิม แต่ใหท้ ำมุมกับแนวระดับ เขาจะขวางลูกบอลน้ีไดร้ ะยะไกลทส่ี ดุ กี่เมตร (กำหนดให้ใช้คา่ g = 10
เมตร/วินาท2ี )

1) พิจารณาการเคลื่อนท่ีของวัตถใุ นแนวดงิ่ แบบตกเสรี
หาคา่ u จาก v2 = u2 + 2gs

0 = u2 + 2(−10)(30)

u2 = 600

u = 10√6 เมตร/วนิ ที

2) พจิ ารณาการเคลอื่ นที่ของวตั ถแุ บบโพรเจกไทล์

u = 10√6 m/s sy
45° sx

sx = u2 sin 2θ
g

sx = (10√6)2
10

sx = 60 เมตร

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรอ่ื ง การเคลอื่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 69

5. ชายคนหนง่ึ ขวา้ งก้อนหินข้ึนไปในอากาศตามแนวโคง้ ก้อนหินเคลื่อนท่แี บบโพรเจกไทล์ไปตกหา่ งจาก

ตำแหน่งทีย่ นื ในแนวระดับเท่ากับ 10 เมตร เขาจะต้องขว้างกอ้ นหินน้ีออกไปดว้ ยความเร็วอยา่ งนอ้ ย

ท่ีสุดกเี่ มตร (กำหนดให้ใช้คา่ g = 10 เมตร/วินาที2)

วาดรปู ประกอบ u

sy

45°

10 m

จากโจทยก์ ำหนดให้ sx = 10 เมตร, θ = 45°, u = ?

sx = u2 sin 2θ
g

10 = u2

10

u2 = 100

u = 10 เมตร/วินาที

6. นักฟตุ บอลเตะลูกฟุตบอลไดด้ ้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ทำมุม 45 องศากบั พนื้ สนาม ไปยังประตู
ซ่งึ หา่ งจากจุดเตะ 50 เมตร ถ้าในเวลาเดียวกบั นักฟุตบอลเตะลูกฟุตบอล ผู้รักษาประตูซึ่งยนื ที่ประตูได้
ว่งิ ออกมาทนั ทีด้วยความเรง่ คงท่ี และปรากฏว่าผู้รักษาประตรู บั ลกู บอลไดพ้ อดที ่ีลูกบอลตกถึงพื้น จงหา
ว่าผู้รกั ษาประตูต้องว่ิงออกมาด้วยความเรง่ คงที่เท่ากบั เทา่ ใด (กำหนดใหใ้ ชค้ ่า g = 10 เมตร/วนิ าที2)

วาดรปู ประกอบ

u = 20 m/s a
s
45°

sx

จากโจทยก์ ำหนดให้ u = 20 เมตร/วนิ าที, θ = 45°

กลมุ่ สาระการเรียนรวู้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรือ่ ง การเคล่อื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 70

1) หา sx ของลูกฟตุ บอล

sx = u2 sin 2θ
g

sx = 202
10

sx = 40 เมตร

ดังนั้น ระยะทางของผรู้ ักษาประตูทว่ี งิ่ มาถงึ จดุ ลกู ฟตุ บอลตก

s = 50 − 40

s = 10 เมตร

2) หา t ของลกฟตบอลใชในการเคลอนท

t = 2u sin θ

g

t = 2(20) sin 45°

10

t = 2(20)×√22

10

t = 2√2 วินาที
3) พจิ ารณาผรู้ ักษาประตู

t = 2√2 วนิ าท,ี s = 10 เมตร, u = 0 เมตร/วินาท,ี a = ?

s = ut + 1 at2

2

10 =0+ 1 a(2√2)2
2

a = 10

4

a = 2.5 เมตร/วนิ าที2

กล่มุ สาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เร่ือง การเคล่อื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 71

7. ยิงปนื ใหญด่ ว้ ยความเร็วต้น 100 เมตร/วินาที ทำมุม 45 องศากบั แนวระดับ ไปยงั รถถังข้าศึกทกี่ ำลงั
แลน่ ตรงเขา้ มาด้วยความเรว็ คงท่ี และขณะนน้ั อยูห่ ่างออกไป 1,200 เมตร ถา้ กระสุนกระทบเป้าหมาย
พอดี จงหาว่ารถถังขา้ ศึกกำลังแลน่ ดว้ ยความเรว็ เทา่ ใด ก่อนจะถกู ทำลาย (กำหนดให้ใช้คา่ g = 10
เมตร/วินาท2ี )

วาดรูปประกอบ

u = 100 m/s

v

45°

s sx

จากโจทย์กำหนดให้ u = 100 เมตร/วินาที, θ = 45°

1) หา sx ของกระสนุ ปนื ใหญ่

sx = u2 sin 2θ
g

sx = 1002
10

sx = 1,000 เมตร

ดังน้ันระยะทางของรถถัง (s) มีค่าเท่ากบั

s = 1,200 − 1,000

s = 200 เมตร
2) หาเวลาของกระสนุ ปืนใหญ่ท่ีใช้ในการเคล่ือนท่ี

t = 2u sin θ

g

t = 2(100)(√22)

10

t = 10√2 วินาที

กลมุ่ สาระการเรยี นร้วู ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เร่ือง การเคลือ่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 72

3) พจิ ารณารถถงั
s = 200 เมตร, t = 10√2 วินาที, v = ?

v= s

t

v = 200

10√2

v = 20 × √2

√2 √2

v = 10√2 เมตร/วนิ าที

8. รถมคี วามเรว็ คงที่ 10√2 เมตร/วนิ าที วง่ิ ในแนวเสน้ ตรง กำลังว่งิ หนีตำรวจ ถ้าตำรวจยงิ ปืนออกไป
ดว้ ยความเร็ว 100 เมตร/วินาที ทำมุม 45 องศากบั แนวราบ จงหาวา่ ถ้าจะให้กระสุนปนื โดนรถคันน้ี
พอดตี ำรวจต้องเรม่ิ ยิงเม่ือรถวิ่งหา่ งออกไปแลว้ ก่เี มตร (กำหนดให้ใช้คา่ g = 10 เมตร/วนิ าท2ี )

วาดรปู ประกอบ

u = 100 m/s v = 10√2 m/s
45°

x s
sx

1) หา sx ของกระสุนปนื ตำรวจ

sx = u2 sin 2θ
g

sx = 1002
10

sx = 1,000 เมตร

2) หา t ของกระสุนปนื ตำรวจ

t = 2u sin θ

g

t = 2(100)(√22)

10

t = 10√2 วนิ าที

กลุ่มสาระการเรียนรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรอ่ื ง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 73

3) หา s ของรถยนตผ์ ้รู ้าย

s = vt

s = 10√2(10√2)

s = 200 เมตร
4) หาระยะห่างระหวา่ งรถยนตก์ ับรถตำรวจก่อนยิงปืน (x)

x = 1,000 − 200

x = 800 เมตร

9. เลง็ ปากกระบอกปืนจากพื้นไปท่เี ปา้ ซง่ึ อยู่สงู จากพ้นื 3 เมตร ต่อกลไกปล่อยเป้าเขา้ กับเครือ่ งล่ันไก
เพอ่ื ให้เป้าหลน่ พร้อม ๆ กับท่ีลกู ปืนออกจากปากกระบอกปืน ถ้าจดุ ยงิ ปนื ห่างจากเปา้ ในแนวระดับ 4
เมตร และลกู ปืนมคี วามเรว็ ต้น 10 เมตร/วนิ าที กระสนุ ปืนกระทบเป้าท่ีความสูงเทา่ ใด (กำหนดให้ใชค้ า่
g = 10 เมตร/วนิ าที2)

วาดรปู ประกอบ

s

10 sin θ 3m
h
u = 10 m/s

θ 10 cos θ

4m

จากโจทยก์ ำหนดให้ u = 10 เมตร/วินาที, sx = 4 เมตร
พิจารณาจากรปู สามารถเขยี นเปน็ รปู สามเหลยี่ มมุมฉากไดด้ ังรปู

5m 3m

θ
4m

sin θ = 3, cos θ = 4
55

กลุ่มสาระการเรยี นรูว้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรอ่ื ง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 74

1) พจิ ารณาการเคล่อื นที่ของลูกปนื ในแนวระดบั

sx = uxt

4 = (10 cos θ)t

4 = (10 × 4) t

5

t = 1 วนิ าที
2

2) พิจารณาเป้าเคลื่อนท่ีในแนวดิ่งแบบตกเสรี

s = ut + 1 gt2

2

s = 0 + 1 (10) (1)2

22

s=5

4

s = 1.25 เมตร

3) หาคา่ h จาก

h=3−s

h = 3 − 1.25

h = 1.75 เมตร

กลุ่มสาระการเรียนร้วู ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรอ่ื ง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 75

10. นักเตะรักบ้ีเตะลกู บอลขึ้นด้วยความเรว็ 20 เมตร/วินาที เป็นมมุ 60 องศากับแนวระดับ เขาจะต้อง
วิ่งด้วยความเร็วอยา่ งน้อยทส่ี ุดเท่าใด จงึ จะไปรบั ลกู บอลทเี่ ขาเตะออกไปเองได้พอดีก่อนตกถงึ พื้นดิน
(กำหนดใหใ้ ช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2)

วาดรปู ประกอบ

20 sin 60°
u = 20 m/s

60° 20 cos 60°

1. หา sx จาก sx = u2 sin 2θ
2) หา t จาก g
3) หา v ของนักรกั บี้
sx = 202(2 sin 60° cos 60°)
10

sx = 202(2×√23×21)
10

sx = 20√3 เมตร

t = 2u sin θ

g

t = 2(20) sin 60°

10

t = 2(20)(√23)

10

t = 2√3 วินาที

v= s

t

v = 20√3

2√3

v = 10 เมตร/วนิ าที

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เรอื่ ง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 76

11. ขว้างกอ้ นหินออกไปในแนวระดบั ดว้ ยอัตราเร็ว 5.0 เมตร/วินาที จากตึกสูงแห่งหนึ่ง เม่อื ก้อนหนิ ตก
กระทบพน้ื ความเร็วของก้อนหนิ ขณะนัน้ ทำมุม 60 องศากับแนวระดับ ก้อนหนิ ตกหา่ งจากตกึ ในแนว
ระดับเท่าใด กำหนดให้ tan 60° = √3 (กำหนดใหใ้ ช้คา่ g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)

พจิ ารณาจากรูป

จากโจทย์กำหนดให้ ux = 5 เมตร/วินาท,ี จากรูป α = 60°
1) หาคา่ vy จาก

tan α = vy

vx

tan 60° = vy

5

√3 = vy
5

vy = 5√3 เมตร/วินาที

2) หา t จาก

vy = uy + gt

5√3 = 0 + (9.8)t

3) หา sx จาก t = 0.88 วินาที

sx = uxt
sx = 5 × 0.88

sx = 4.40 เมตร

กลุ่มสาระการเรียนรวู้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวทิ ยา

เร่อื ง การเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทล์ 77

12. จากรูป ถา้ ยงิ มวล m1 ใหเ้ คลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีความเรว็ เรมิ่ ต้น v1 = 24 เมตร/วนิ าที ทำ
มุม 30 องศากับแนวระดับ ขณะเดียวกนั มวล m2 ถกู ยิงข้ึนไปในแนวดิง่ ดว้ ยความเร็วตน้ v2 ถ้ามวลท้งั
สองเคล่อื นที่ในระนาบเดียวกันและชนกนั กลางอากาศได้ ค่า v2 จะต้องมีค่าเท่าใด (กำหนดใหใ้ ชค้ า่ g
= 10 เมตร/วนิ าที2)

วาดรปู ประกอบจดั รูปเวกเตอร์ v1 ใหอ้ ยู่ในแนวแกน x และแกน y

จุดที่ชน

1 sin 30° v2
v1 m2

30° 1 cos 30°
m1

จากโจทยก์ ำหนดให้ ux = v1 cos 30°, ux = v1 sin 30°

t1 = t2 = t , sy = s, v2 = ?

1) พจิ ารณาวัตถกุ ้อนที่ 1

sy = uyt + 1 gt2

2

s = (24 sin 30°)t + 1 (−10)t2

2

s = (24 × 1) t − 5t2

2

s = 12t − 5t2 (1)
(2)
2) พจิ ารณาวตั ถกุ ้อนที่ 2 เคลื่อนที่ข้ึนในแนวดงิ่ แบบตกเสรี

s = ut + 1 gt2

2

s= v2t + 1 (−10)t2

2

s = v2t − 5t2

3) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้

12t − 5t2 = v2t − 5t2

v2 = 12 เมตร/วนิ าที

กลุ่มสาระการเรยี นรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 78

13. ยิงวัตถุ A ใหเ้ คลอ่ื นทแ่ี บบโพรเจกไทล์ดว้ ยความเรว็ เรมิ่ ตน้ u1 ขนาดเทา่ กบั 40 เมตร/วนิ าที ทำ
มุม 30 องศากบั แนวระดับ ขณะเดียวกนั วัตถุ B ถูกยิงขึน้ ไปในแนวดง่ิ ด้วยความเร็วตน้ u2 ดังรูป
วตั ถุ B จะตอ้ งถูกยงิ ขึน้ ไปในแนวดิ่งดว้ ยความเร็วต้น u2 ขนาดเทา่ ใดจงึ จะทำใหว้ ตั ถุ A และ B ชนกนั
กลางอากาศ (กำหนดให้ใช้คา่ g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)

วาดรูปประกอบ

จากโจทยก์ ำหนดให้ ux = u1 cos 30°, uy = u1 sin 30°, u2 = ?
เวลาการเคลื่อนทว่ี ตั ถุ A กับวัตถุ B เท่ากัน = t

ระยะในแนวด่งิ ของวตั ถุ A กับวตั ถุ B เท่ากนั = s

1) พิจารณาการเคล่อื นท่ีของวตั ถุ A เปน็ การเคล่ือนท่แี บบโพรเจกไทล์

sy = uyt + 1 gt2
2

s= (u1 sin 30°)t + 1 (−9.8)t2
2

s = (40 × 1) t − 4.9t2

2

s = 20t − 4.9t2 (1)

2) พิจารณาการเคลอ่ื นท่ีของวตั ถุ B เปน็ การเคล่ือนทีใ่ นแนวดงิ่ แบบตกเสรี

s = ut + 1 gt2

2

s= u2t + 1 (−9.8)t2
2

s = u2t − 4.9t2 (2)

3) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้

20t − 4.9t2 = u2t − 4.9t2

u2 = 20 เมตร/วนิ าที

กลุ่มสาระการเรยี นรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เรื่อง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 79

14. ชายคนหนึง่ ต้องการโยนกลอ่ งพสั ดุข้ามตึกไปให้เพื่อนท่ีอยตู่ ึกข้าง ๆ ทห่ี ่างกัน 12.0 เมตร และจดุ ท่ี
รบั อย่ตู ่ำกวา่ จุดโยน 2.0 เมตร เขาโยนกลอ่ งพสั ดุมมุ 45 องศากบั แนวระดับ ดงั รปู (กำหนดใหใ้ ช้ค่า
g = 9.8 เมตร/วนิ าที2)

ก. กลอ่ งพัสดุใช้เวลาในการเคลอ่ื นที่เท่าใด
ข. เขาจะต้องโยนกล่องพสั ดุด้วยอัตราเรว็ เท่าใด
ค. กลอ่ งพัสดุตกถึงผูร้ บั ด้วยความเรว็ เทา่ ใด

จากรปู ux = u cos 45°, uy = u sin 45°, sy = 2.0 เมตร, sx = 12.0 เมตร
ก. หา t ทก่ี ลอ่ งใชใ้ นการเคล่ือนที่

1) พจิ ารณาแนวระดบั

sx = uxt

12 = (u cos 45°)t

12 = (u × √2) t (1)

2

ut = 24

√2

ut = 12√2

2) พจิ ารณาแนวดิ่ง

sy = uyt + 1 gt2

2

−2 = (u sin 45°)t + 1 (−9.8)t2

2

−2 = (u × √2) t − 4.9t2

2

กลุ่มสาระการเรียนร้วู ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เรือ่ ง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ 80

−2 = √2 ut − 4.9t2 (2)

2

3) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้

−2 = √2 (12√2) − 4.9t2
2

−2 = 12 − 4.9t2

4.9t2 = 12 + 2

t2 = 14

4.9

t = √14

4.9

t = 1.69, −1.69 วินาที

t = 1.69 วนิ าที
ข. หาคา่ u

แทนคา่ t = 1.69 วนิ าที ลงในสมการ (1)

u(1.69) = 12√2
u = 12(1.414)

1.69

u = 10.04 วนิ าที

ค. หาค่า v เมอ่ื วัตถตุ กถงึ ผูร้ บั
1) หาคา่ vx

vx = u cos 45°

vx = 10.04 × √2
2

vx = 7.10 เมตร/วนิ าที

2) หาคา่ vy

vy = uy + gt

vy = u sin 45° + (−9.8)(1.69)

กลมุ่ สาระการเรยี นร้วู ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวทิ ยา

เรื่อง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 81

vy = 10.04 × √2 − 98.39

2

vy = 7.10 − 16.56

vy = −9.46 เมตร/วนิ าที

เครือ่ งหมายลบ (−) คอื ความเร็วมที ิศทางตรงข้ามกับความเร็วเริ่มตน้ u

3) หา v จาก

v = √vx2 + vy2

v = √7.102 + 9.462

v = 11.83 เมตร/วินาที

กลุ่มสาระการเรียนรู้วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เรอื่ ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 82

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3
เร่อื ง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์บนพน้ื เอียง

1. ชายผู้หน่ึงยืนบนเนินซึ่งเอียงทำมุม 30 องศากับแนวราบ ขวา้ งกอ้ นหินข้นึ ไปดว้ ยความเร็วตน้ 10
เมตร/วนิ าที ในทิศทำมุม 60 องศากับแนวระดบั กอ้ นหนิ ตกบนเนินห่างจากจุดขวา้ งก่ีเมตร

วาดรปู ประกอบ

u sin 60° R R sin 60°

u

30° u cos 60°
30°

R cos 30°

1) พจิ ารณาแนวระดับ

sx = uxt

R cos 30° = u cos 60° t

R (√3) = (10) (1) (t)

22

2) พิจารณาแนวด่ิง t = √3R (1)
(2)
10

sy = uyt + 1 gt2

2

R sin 30° = (u sin 60°)t + 1 (−10)t2

2

R (1) = (10 × √3) t − 5t2

22

R= 5√3t − 5t2

2

แทนค่าสมการ (1) ลงสมการ (2) จะได้

R= 5√3 (√3R) − 5 (√3R)2

2 10 10

R = 3R − 3R2

2 2 20

กลุ่มสาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เรอื่ ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 83

1 = 5 − 3R

2 2 20

3R = 3 − 1

20 2 2

R = 20

3

R = 6.67 เมตร

2. ภเู ขาลูกหนงึ่ แนวเขาลาดเอยี งทำมุม 30 องศากบั แนวระดบั ท่ยี อดเขามปี นื ใหญต่ ั้งอยทู่ ำมมุ 60
องศากบั แนวภเู ขา ถ้ายิงกระสนุ ปืนออกมาด้วยความเร็วต้น 15 เมตร/วนิ าที จงหาวา่ กระสุนตกทเ่ี ชิงเขา
ห่างจากตวั ปืนเปน็ ระยะเท่าใด

วาดรูปประกอบ

u sin 30°

u

30°

u cos 30°

R sin 30° R

30°

R cos 30°

1) พจิ ารณาแนวระดับ

sx = uxt
R cos 30° = (u cos 30°)t

t= R

u

t= R (1)

2) พิจารณาแนวดงิ่ 15

sy = uyt + 1 gt2

2

−R sin 30° = (u sin 30°)t + 1 (−10)t2

2

กล่มุ สาระการเรียนรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เรอ่ื ง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 84
(2)
−R × 1 = (15 × 1) t − 5t2

22

− R = 15t − 5t2

22

แทนสมการ (1) ลงในสมการ (2)

−R = 15 × R − 5 ( R 2

2 2 15 15 )

− R = R − R2

2 2 45

R = 1+1

45 2 2

R = 45 เมตร

กล่มุ สาระการเรยี นรู้วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรื่อง การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 85

3. ชายคนหนง่ึ โยนลกู บอลจากยอดพืน้ เอยี งดว้ ยความเร็ว 20 เมตร/วนิ าที เอียงทำมุม 30 องศากบั แนว
ระดับ ถ้าพ้ืนเอียงนัน้ เอยี งลง 30 องศาจากแนวระดบั เชน่ กัน จะใช้เวลาเท่าใดลูกบอลจงึ จะตกกระทบ
พ้ืนเอียงนับจากโยน

วาดรูปประกอบ

u sin 30°

u

30°

u cos 30°

R sin 30° R

30°

R cos 30°

1) พิจารณาแนวระดบั

sx = uxt
R cos 30° = u cos 30° t

t= R

u

2) พิจารณาแนวด่ิง t= R (1)
(2)
20

sy = uyt + 1 gt2

2

−R sin 30° = u sin 30° t + 1 (−10)t2

2

−R × 1 = (20 × 1) t − 5t2

22

− R = 10t − 5t2

2

กลุม่ สาระการเรียนรูว้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เร่อื ง การเคลอื่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 86

แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้

−R = 10 ( R ) − 5 ( R 2

2 20 20 )

− R = R − R2

2 2 80

R = 1+1

80 2 2

R = 80 เมตร
ดงั นั้นแทนคา่ R ลงในสมการ (1) เพื่อหาคา่ t จะได้

t = 80

20

t = 4 วนิ าที

4. นักเรียนคนหนึ่งยืนบนยอดเขาซง่ึ ทำมุม 37 องศากับแนวระดบั ขว้างก้อนหินลงไปยังเชงิ เขาดว้ ย
ความเรว็ 25 เมตร/วินาที ในแนวราบ นานกีว่ ินาทกี ้อนหนิ จึงจะตกกระทบพืน้ (ไม่คดิ ความสูงของ
นกั เรียน)

วาดรปู ประกอบ

ux = 25 m/s

R R sin 37°

37° (1)

R cos 37°

1) พิจารณาแนวระดับ

sx = uxt
R cos 37° = 25t

R × 4 = 25t

5

R = 125t

4

กลุม่ สาระการเรยี นรู้วทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวทิ ยา

เรือ่ ง การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ 87
(2)
2) พจิ ารณาแนวด่ิง

sy = uyt + 1 gt2
2

R sin 37° = 0 + 1 (10)t2

2

R × 3 = 5t2

5

3R = 5t2

5

แทนสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้

(3) (125t) = 5t2

54

75t = 5t2

4

t = 75

20

t = 3.5 วนิ าที

กล่มุ สาระการเรยี นรูว้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เร่อื ง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 88

5. โยนลูกบอลออกจากตำแหน่ง ก. ดว้ ยความเรว็ v0 เมตร/วนิ าที ในแนวต้งั ฉากกบั พน้ื เอยี ง ลกู บอล
จะตกถงึ ตำแหน่ง ข. เมอ่ื เวลาผา่ นไปนานเทา่ ใด

วาดรูปประกอบ

v0 sin 60°
v0

ก 60°

v0 cos 60°

10 sin 30° 10 m

30° ข

10 cos 30°

1) พจิ ารณาแนวระดบั

sx = uxt

10 cos 30° = (v0 cos 60°)t

10 × √3 = (v0 × 1) t

2 2

v0t = 10√3 (1)
(2)
2) พิจารณาแนวดิง่

sy = uyt + 1 gt2
2

−10 sin 30° = (v0 sin 60°)t + 1 (−10)t2
2

−10 × 1 = (v0 × √3) t − 5t 2

2 2

−5 = √3 v0t − 5t2
2

แทนคา่ สมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้

−5 = √3 (10√3) − 5t2
2

5t2 = 15 + 5

t2 = 20

5

t = 2 วินาที

กล่มุ สาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เรอื่ ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 89

เฉลยข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย
เร่อื ง การเคล่ือนทแ่ี บบโพรเจกไทล์

1. ยงิ โพรเจกไทล์ในระนาบดิ่งเดียวกนั พร้อมกัน ลกู หนึ่งออกจากจดุ A อีกลกู หน่ึงออกจาจดุ B ดว้ ย
ความเร็วตน้ ทมี่ ีขนาดเทา่ กนั และทำมุมตัง้ ต้นเทา่ กนั เทา่ กับ ระยะหา่ ง AB มีค่าไมเ่ กนิ เท่าไร โพรเจกไทล์
ถึงจะชนกนั ก่อนถงึ พืน้ (ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 62)

1. u2 sin θ
2g

2. u2 sin θ uu
g

3. u2 sin 2θ θ พืน้ ระดบั θ
2g AB

4. u2 sin 2θ
g

5. 2u2 sin 2θ
g

วาดรูปประกอบ

uu

θ θ
sx sx

s

เมอ่ื พิจารณาจากรปู s = 2sx
หา sx จาก
sx = u2 sin 2θ
ดงั น้นั g

s = 2u2 sin 2θ

g

s = 2u2 sin 2θ

g

กลมุ่ สาระการเรียนรู้วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เร่ือง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 90

2. ตอ้ งยงิ โพรเจกไทล์ด้วยมุมตง้ั ต้น θ เทา่ ไรจึงจะขึน้ ไปไดส้ งู AC เท่ากนั กบั ท่ไี ปได้ไกล OB บนพ้ืน
ระดับ (ข้อสอบ 9 วิชาสามญั ปี 61)

1. arctan(1) y
4

2. arctan(1) A
2
g
3. 45°

4. arctan2 θ C พ้นื ระดับ
5. arctan4 O
B

จากโจทย์กำหนดให้ sx = sy = s, θ = ?

จาก 1 tan θ = sy

4 sx

1 tan θ = s

4s

tan θ = 4
θ = tan−14

θ = arctan 4

กลุ่มสาระการเรยี นร้วู ิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวิทยา

เร่อื ง การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 91

3. เดก็ คนหนึ่งอยู่บนรถซึง่ เคลื่อนที่บนถนนตรงดว้ ยความเร็วคงท่ี v เขาปาก้อนหินออกไปดว้ ยความเรว็
u เทยี บกบั รถทิศทำมุม θ กับทิศทร่ี ถเคล่ือนท่ี ก้อนหนิ จะตกกระทบพนื้ ห่างจากรถเป็นระยะเทา่ ไร
(ข้อสอบ 9 วชิ าสามญั ปี 60)

gu
θv

1. ตำแหน่งเดยี วกันกบั รถ
2. นำหนา้ รถอยู่ 2u2 sin θ cos θ

g

3. นำหนา้ รถอยู่ (v + u cos θ) 2u sin θ
g

4. ตามหลังอยู่ 2u2 sin θ cos θ
g

5. ตามหลังอยู่ (v + u cos θ) 2u sin θ
g

วาดรูปประกอบ

g
u

θv

จากโจทยก์ ำหนดให้อัตราเร็วของก้อนหนิ เทยี บกับรถซึง่ เป็นคา่ ความเรว็ สมั พทั ธ์ มีค่าเท่ากับ u
จากความเรว็ สมั พทั ธข์ องวัตถุสองก้อน จะได้

vหนิ เทียบกับรถ = vหนิ − vรถ
u cos θ = vหิน − v

vหนิ = u cos θ + v

กลุ่มสาระการเรยี นรูว้ ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวทิ ยา

เรอื่ ง การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ 92

1) พิจารณาการเคล่ือนที่ของก้อนหนิ เปน็ การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ ดังนนั้

sx = uxt

sหนิ = (u cos θ + v)t

2) พิจารณาการเคล่ือนท่ีของรถเป็นการเคล่ือนที่ด้วยความเร็วคงท่ี ดังน้ัน

s = vt

sรถ = vt

3) เวลาทก่ี ้อนหนิ และรถใชใ้ นการเคลือ่ นทีเ่ ท่ากนั คือ

t = 2u sin θ

g

4) เมอ่ื พิจารณาความเร็วของกอ้ นหนิ และรถ จะพบความเร็วของก้อนหนิ จะมีคา่ มากกวา่
ความเรว็ ของรถ ดังน้ันก้อนหินจะตกนำหน้ารถ

sหนิ − sรถ = (u cos θ + v)t − vt

sหนิ − sรถ = ut cos θ

แทนค่า t จะได้

sหิน − sรถ = (u cos θ) 2u sin θ
g

sหิน − sรถ = 2u2 sin θ cos θ
g

กลมุ่ สาระการเรียนรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เรอื่ ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 93

4. จะต้องดีดโพรเจกไทล์มวล m ดว้ ยความเรว็ ตน้ (ในแนวระดบั ) เท่าไรจึงจะลงหลุมพอดี (ข้อสอบ 9

วิชาสามัญ ปี 59) ยอดตึก m

1

1. (2g)2 L
h

1 g

2. (g)2 L
h

1 h

3. ( g )2 L
2h

1 พน้ื ระดบั
หลมุ
4. ( g )2 L
2(h+L)

1 L

5. ( g )2 h
2L

จากโจทย์กำหนดให้ sx = L, sy = h, uy = 0, ux = ?
1) หาเวลา t จากแนวดง่ิ

sy = uyt + 1 gt2
2

h = 0 + 1 gt2

2

t2 = 2h

g

t = √2gh (1)
(2)
2) หาความเร็วในแนวระดบั

sx = uxt

L = uxt

3) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้

L= ux (√2h)

g

ux = (√2gh) L

ดงั นั้น

1

ux = (2h)2 L

g

กลุม่ สาระการเรยี นรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรอื่ ง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 94

5. ABC เปน็ รางผวิ ลื่นโค้งเป็นสว่ นของวงกลมรัศมี R ในระนาบดิ่ง A อย่ใู นระดับเดยี วกับศูนย์กลาง O

เสน้ OC ทำมุม 60 องศากบั แนวด่งิ มวล m ถูกปลอ่ ยจากหยุดน่งิ จากจุด A เมื่อมวล m พ้นจุด C แลว้ ก็

จะเคลื่อนทแี่ บบโพรเจกไทล์ จดุ ยอดอยู่ใตร้ ะดบั AO เปน็ ระยะทางเท่าใด (ข้อสอบ 7 วชิ าสามญั ปี 57)

1. 0 จุดยอด

2. 1 R A O ∆y
8 m g H 60° R h

3. 1 R R C
4

4. √3 R
8

5. 3 R
8

B

1) จากรปู หาค่า h จากรปู สามเหล่ยี ม

60° R

H

จาก cos 60° = H
R

1= H

2R

H=R

2

เม่อื พจิ ารณาการเคล่ือนทีข่ องมวล m จากจดุ A มายงั จดุ C สามารถหาอตั ราเรว็ ของมวล m
ณ จุด C ไดจ้ ากกฎการอนรุ ักษพ์ ลงั งาน

∑ EA = ∑ EC

mghA = 1 mvC2
2

g (R) = 1 vC2
2
2

vc = √gR

กลุม่ สาระการเรียนรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เรือ่ ง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 95

เมือ่ วัตถหุ ลดุ จากจุด C วตั ถจุ ะเคลื่อนทแ่ี บบโพรเจกไทล์ สามารถหาระยะสูงสุดของแนวการ
เคลื่อนที่ (H) จาก

sy = u2sin2θ
2g

sy = u2sin2θ
2g

h = (√gR)2sin260°

2g

h = (√gR)2(√23)2

2g

h = gR×43

2g

h = 3R

8

จากรปู จดุ ยอดอยู่ตำ่ กวา่ จุด AO เป็นระยะ ∆y ดงั นั้น

∆y = H − h
∆y = R − 3R

28

∆y = R

8

กลมุ่ สาระการเรียนร้วู ทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา

เรื่อง การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 96

6. ลอ้ รัศมี R กำลังหมุนอยู่กับทร่ี อบแกน C ด้วยอัตราเรว็ f รอบตอ่ วินาที หยดน้ำที่ถูกสลดั ออกไปจาก
จุด A ในแนวระดบั จะตกกระทบพืน้ หา่ งจากจุด O เปน็ ระยะทางเท่าไร (ขอ้ สอบโครงการขยาย
ผลการวจิ ัยและองค์ความรู้ฟิสิกสส์ ่คู รูและเยาวชน สมาคมฟิสิกส์ไทย)

1) พิจารณาการเคล่ือนท่ีของล้อเคล่อื นทเ่ี ป็นวงกลมอัตราเรว็ v หาได้จาก

v= s

t

v = 2πR

T

v = 2πRf

2) เมอื่ พิจารณาการเคลอ่ื นท่ีของหยดน้ำจะถูกสลดั ออกไปดว้ ยอัตราเรว็ v เช่นเดยี วกับการ

เคลือ่ นที่ของล้อ และเปน็ การเคลอ่ื นทีแ่ บบโพรเจกไทล์

พิจารณาแนวดิง่ เพื่อหาค่า t

sy = uyt + 1 gt2
2

2R = 0 + 1 gt2

2

t2 = 4R

g

t = √4gR

พจิ ารณาแนวระดบั

sx = uxt

sx = (2πRf) (√4gR)

sx = 4πf√R3

g

กลมุ่ สาระการเรยี นรวู้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนิคมวทิ ยา

เรือ่ ง การเคล่อื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 97

7. ยิงกระสนุ ออกไปในแนวราบบนผวิ ดวงจันทร์ กระสนุ กระทบเป้าที่ระยะหา่ ง 25 เมตร ท่ีตำแหนง่ 5
มลิ ลเิ มตรใตแ้ นวการยิง แตถ่ า้ เลือ่ นเป้าให้ห่างจากจุดที่ยงิ เป็น 50 เมตร ลกู ปืนจะกระทบเปา้ ใตแ้ นวการ
ยิงกม่ี ิลลิเมตร (ขอ้ สอบโครงการขยายผลการวจิ ัยและองค์ความรู้ฟสิ ิกส์สูค่ รแู ละเยาวชน สมาคมฟสิ กิ ส์
ไทย)

วาดรปู ประกอบ
ตอนที่ 1 จุดยิงหา่ งจากเปา้ 25 เมตร

5 mm

25 m

ตอนที่ 2 จุดยิงห่างจากเป้า 50 เมตร

s

50 m

ตอนท่ี 1

พจิ ารณาแนวดิ่งเพ่ือหาค่า t

sy = uyt + 1 gt2
2

5 × 10−3 = 0 + 1 gt2

2

t = √10−2

g

แนวระดบั หาคา่ ux

sx = uxt

25 = ux × √10−2

g

ux = 25√10g−2

กลุ่มสาระการเรียนรวู้ ิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรยี นนคิ มวิทยา

เร่ือง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 98

ตอนท่ี 2
พจิ ารณาแนวระดับเพื่อหาคา่ t

sx = uxt

50 = (25√10g−2) t

t = 2√10−2

g

พิจารณาแนวด่งิ เพ่ือหาคา่ y

sy = uyt + 1 gt2
2

(2√10−2) 2

sy = 0 + 1 g g
2

sy = 1 g (4 × 10−2)
2
g

sy = 20 × 10−3 เมตร
sy = 20 มลิ ลิเมตร

กลุ่มสาระการเรียนรู้วทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนคิ มวิทยา

เรื่อง การเคลือ่ นที่แบบโพรเจกไทล์ 99

8. ถ้าต้องการยิงปนื ใหญ่ใหไ้ ด้ระยะทางในแนวด่ิงเป็น 1 เท่าของระยะทางในแนวระดับ จะต้องปรบั ปาก

2

กระบอกปนื ใหญ่ใหท้ ำมุมเท่าไรกับแนวระดับ (ข้อสอบโครงการขยายผลการวิจัยและองค์ความรู้ฟิสกิ สส์ ู่
ครแู ละเยาวชน สมาคมฟสิ ิกส์ไทย)

1
2 sx
θ
sx

จากโจทย์ sy = 1 sx , θ = ?
จาก 2

1 tan θ = sy

4 sx

1 tan θ = 21sx

4 sx

tan θ = 2

θ = tan−12

กลมุ่ สาระการเรียนรูว้ ทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี โรงเรียนนิคมวทิ ยา