จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน complex number

จ ำนวนจินตภำพ 0 2 พิจารณา x +1 = −1 2 x = จะพบว่า ไม่มีจ านวนจริงใดเลยที่ยกก าลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ -1 −1 2 x = x = −1 ถ้าให้ a เป็นจ านวนจริงบวก จะเรียก ว่า −a จ ำนวนจินตภำพแท้ และ −a = a −1

จ ำนวนจินตภำพ −3 = 3 −1 −5 = −7 = −1 = i −3 = 3 −1 −5 = 5 −1 −7 = 7 −1 = = =

จ ำนวนจินตภำพ จงหาค่าของ − − 3 5 − − 3 5 = = = =

กำรหำค่ำ i n 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 i = 6 i = 7 i = 8 i =

กำรหำค่ำ i n 1 5 9 13 i i i i i i i i = = = = 2 6 10 14 1 1 1 1 i i i i = − = − = − = − 3 7 11 15 i i i i i i i i = − = − = − = − 4 8 12 16 1 1 1 1 i i i i = = = = กลุ่มที่หารด้วย 4 แล้วเศษ 1 กลุ่มที่หารด้วย 4 แล้วเศษ 2 กลุ่มที่หารด้วย 4 แล้วเศษ 3 กลุ่มที่หารด้วย 4 ลงตัว n i = i เมื่อ เหลือเศษ 1 4 n n i = −1 เมื่อ เหลือเศษ 2 4 n n i = −i เมื่อ เหลือเศษ 3 4 n n i = 1 เมื่อ ลงตัว 4 n

กำรหำค่ำ i n จงหาค่าของ 12 27 30 42 99 100 i i i i i i , , , , , 12 i = 27 i = 30 i = 42 i = 99 i = 100 i =

กำรหำค่ำ i n คิดให้เร็ว n i ถ้า เป็นจ านวนคู่ จะเป็นไปได้ n 2 ค่าคือ -1 หรือ 1 n i 4 ไม่ลงตัว n ลงตัว ถ้า เป็นจ านวนคี่ จะเป็นไปได้ 2 ค่าคือ -i หรือ I โดยให้จัด ใหม่เป็น n n i n i n n 1 i i i − =

กำรหำค่ำ i n จงหาค่าของ 26 54 68 84 i i i i , , , 26 i = หา 26 i ดง ั น ้ น ั 54 i = หา 54 i ดง ั น ้ น ั 68 i = หา 68 i ดง ั น ้ น ั 84 i = หา 84 i ดง ั น ้ น ั

กำรหำค่ำ i n จงหาค่าของ 21 43 71 i i i , , 21 i = หา 21 i = 43 i = หา 43 i = 71 i = หา 71 i =

การหาค่าi n i n = 1 เมื่อ n ÷ 4 เหลือเศษ 0 (หารลงตัว) i n = −1 เมื่อ n ÷ 4 เหลือเศษ 2 i n = i เมื่อ n ÷ 4 เหลือเศษ 1 i n = −i เมื่อ n ÷ 4 เหลือเศษ 3

1) หาค่าของ i 103 + i 2018 − 2i 2564 วิธีท า พิจารณา i 103 + i 2018 − 2i 2564

2) หาค่าของ i3 ∙ i5 ∙ i8 ∙ i9 ∙ i 13 วิธีท า

จำนวนเชิงซ้อน complex number

จ ำนวนเชิงซ้อน นิยาม z = a bi + ก าหนดให้ เป็นจ านวนเชิงซ้อน จะได้รูปทั่วไปขอ z ง คือ z เรียก a ว่า ส่วนจริง b ว่า ส่วนจินตภำพ เขียนแทนด้วย Re( )z เขียนแทนด้วย Im( )z จ านวนเชิงซ้อน a bi + เมื่อ b 0 เรียกว่า จ ำนวนจินตภำพ จ านวนเชิงซ้อน bi เมื่อ b 0 เรียกว่า จ ำนวนจินตภำพแท้

กำรเท่ำกันของจ ำนวนเชิงซ้อน ข้อก าหนด 1 ก าหนดให้ z = a bi + 2 z = c di + จากที่ก าหนดให้จะได้ว่า a = c 1 z = 2 z ก็ต่อเมื่อ และ b = d นั ่นคือ จ านวนเชิงซ้อน 2 จ านวนจะเท่ากันได้ ต้องผ่านเงื่อนไข 2 ข้อ มีส่วนจริงเท่ากัน มีส่วนจินตภาพเท่ากัน

กำรเท่ำกันของจ ำนวนเชิงซ้อน จาก x i + 3 = 7 3 + i ดง ั น ้ น ั x = จาก 5 9 + i = 5 + yi ดง ั น ้ น ั y = ถ้า แล้ว มีค่าเท่าไร x i i + = + 3 7 3 x ถ้า แล้ว มีค่าเท่าไร 5 9 5 + = + i yi y

กำรเท่ำกันของจ ำนวนเชิงซ้อน จาก ( ) 2 x y i + + = 5 ( ) + −x y i ถ้า แล้ว มีค่าเท่าไร ( ) 1 5 ( ) x y i x y i + + = + − xy

ตัวอย่างที่ 1 เขียนจ านวนหรือคู่อันดับในแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูป a + bi เมื่อ a และ b เป็นจ านวนจริงใด ๆ 1) 3, −2 2) −7 + −3 3) 1 − −16 4) −8 วิธีท า

ตัวอย่างที่ 2 บอกค่าของ Re(z) และ Im(z) ของจ านวนเชิงซ้อน z ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 23 , − 5 2) −5 3) 7 + −9 4) −3

สมบัติเชิงพีชคณิตของจ ำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่าง 1) หาจ านวนจริง a, b ที่ท าให้ (3 + bi) + (−a − 4i) = 2 + i • การเท่ากัน a + bi = c + diก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d สมบัติเชิงพีชคณิตของจ านวนเชิงซ้อน • การบวก (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i • การคูณ k(a + bi) = ka + kbi เมื่อ k เป็นค่าคงตัว (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i เนื่องจาก (3 + bi) + (−a − 4i) = 2 + i จะได้ว่า (3 − a) + (b − 4)i = 2 + i ดังนั้น 3 − a = 2 และ b − 4 = 1 a = 1 และ b = 5 จัดรปปดดใช้้มมััติการัวก จากมมััติการเท่ากัน

ตัวอย่าง 2) หาผลบวกและผลคูณของจ านวนเชิงซ้อน 3 − 4i และ 5 + 2i วิธีท า (3 − 4i) + (5 + 2i) = (3 + 5) + (−4 + 2)i = 8 − 2i (3 − 4i)(5 + 2i) = [3 5 − (−4)(2)] + [3(2) + (−4)5]i = (15 + 8) + (6 − 20)i = 23 − 14i จากมมััติการคปณ จากมมััติการัวก

ตัวอย่างที่ 6 หาค่าของ 9 + 2i 4 − 3i วิธีท า

หาผลลัพธ์ของ (3 − 5i) ÷ (2 + i) โดยใช้สังยุค วิธีท า 3 − 5i 2 + i • สังยุคของจ านวนเชิงซ้อน คือ zത = a − bi สังยุคของจ านวนเชิงซ้อน • สมบัติของสังยุคของจ านวนเชิงซ้อน ให้ z, z1 และ z2 เป็นจ านวนเชิงซ้อน 1. zധ = z 2. zzത = a 2 + b 2 3. Re z = 1 2 (z + zത) 4. Im z = 1 2i (z − zത) 5. z1 ± z2 = z1 ± z2 6. z1z2 = z1 z2 7. z1 z2 = z1 z2 8.ถ้า z ≠ 0 แล้ว 1 zത = 1 z

………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ………………………………………………………………. ……………………………………………………………….