จำนวนเชิงซ้อน

• ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซ้อน คือ z = a + bi = a 2 + b 2 • สมบัติของค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซ้อน ให้ z และ w เป็นจ านวนเชิงซ้อน 1. z 2 = zzത 2. z = −z = zത 3. zw = z w 4. z + w ≤ z + w 5. z − w ≥ z − w 9. z = 0 ก็ต่อเมื่อ z = 0 6. z w = z w เมื่อ w ≠ 0 7. z −1 = 1 z = 1 z เมื่อ z ≠ 0 8. z n = z n เมื่อ z ≠ 0 และ n เป็นจ านวนเต็มใด ๆ

2) เขียนกราฟแสดงจ านวนเชิงซ้อน z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งสอดคล้องกับสมการ |z + 1 − 3i| = |z − 2i| วิธีท า ชห้ z = x + yi เมื่อ x และ y เป็นจ านวนจริง จะได้ จาก |z + 1 − 3i| = |z − 2i| ดังนั้น เซตของจุดทั้งหมดชนระนาัเ้ิงซ้อนมอดคล้องกััมมการ |z + 1 − 3i| = |z − 2i| 0 X Y −3 −2 −1 1 2 3 คือ เซตของจุดที่อใป่ันเม้นตรงซึ่งตัดแกนจริงที่จุด ...................และตัดแกนจินตภาพที่……………..

2) เขียนกราฟแสดงจ านวนเชิงซ้อน z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ z − 2 < 1 วิธีท า ชห้ z = x + yi เมื่อ x และ y เป็นจ านวนจริง จะได้ จาก z − 2 < 1 0 X Y

แแ

หาค าตอบของสมการ x 2 + 4x + 12 = 0 วิธีท า จาก x 2 + 4x + 12 = 0 จะได้ a = ________, b =__________ และ c = ________ พิจารณา b 2 − 4ac = __________________ = __________ b 2 − 4ac < 0 จะได้ x = −4 ± 4 2 − 4 1 12 i 2(1) = −4 ± 32i 2 = −2 ± 2 2i ดังนั้น ค าตอัของมมการ คือ −2 + 2 2i และ −2 − 2 2i x = −b ± b 2 − 4ac 2a เมื่อ b 2 − 4ac ≥ 0 x = −b ± b 2 − 4ac i 2a เมื่อ b 2 − 4ac < 0 • ค าตอบของสมการพหุนามก าลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c ∈ R และ a ≠ 0 คือ

จ านวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ตัวอย่าง ก าหนด z1 = 3 + i และ z2 = 1 − 3 i บนระนาบเชิงซ้อน ให้เขียนอยู่ในรูปเชิงขั้ว วิธีท า จากจ านวนเ้ิงซ้อนที่ก าหนด เขีในจุดันระนาัได้ ดังรปป จาก z1 = 3 + iซึ่งมี a = 3, b = 1 เป็นจุดที่อใป่ชนควอดรันต์ที่ 1 จะได้ r = ( 3) 2 + 1 2 = 2 และtan θ = b a = 1 3 จะได้θ = π 6 ดังนั้น z1 = 2 cos π 6 + i sin π 6 จาก z2 = 1 − 3 i ซึ่งมี a = 1, b = − 3 เป็นจุดที่อใป่ชนควอดรันต์ที่ 4 ดังนั้น z2 = 2 cos 5π 3 + i sin 5π 3 X Y 0 z1 = ( 3, 1) z2 = (1, − 3) π 5π 6 3 เรียกมุม θ ว่า อาร์กิวเมนต์(argument) ของ z ใช้สัญลักษณ์ Arg (z) • จ านวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว คือ z = r(cosθ + i sinθ) หรือ z = r cis θ จะได้ r = 1 2 + (− 3) 2 = 2 และ θ = 5π 3 tan θ = b a = − 3 1 = − 3 จะได้

เขียนจ ำนวนเชิงซ้อน Z ในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เขียนอยู่ในรูปเชิงขั้ว

z1z2 = r1r2[cos θ1 + θ2 + i sin θ1 + θ2 ] • ทฤษฎีบทของจ านวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ให้ z, z1 และ z2 เป็นจ านวนเชิงซ้อน 1 z = 1 r (cos θ − i sin θ) z1 z2 = r1 r2 [cos θ1 − θ2 + i sin(θ1 − θ2)] เมื่อ z2 ≠ 0 zത = r[cos −θ + i sin(−θ)] Arg z1z2 = Arg z1 + Arg z2 • Arg z1 z2 = Arg z1 − Arg z2 •

วิธีท า จาก z1 = −3 + 3i จะได้ a = −3, b = 3 อใป่ชนควอดรันต์ที่ 2 r1 = (−3) 2 + ( 3) 2 = 2 3 r2 = 2 2 + 2 2 = 2 จะได้ z1 = −3 + 3i = 2 3 cos 5π 6 + i sin 5π 6 จาก z2 = 2 + 2i จะได้ a = 2, b = 2 อใป่ควอดรันต์ที่ 1 จะได้ z2 = 2 + 2i = 2 cos π 4 + i sin π 4 และ tan θ = b a = 3 −3 จะได้ θ = 5π 6 และ tan θ = b a = 2 2 = 1 จะได้ θ = π 4 ก าหนด z1 = −3 + 3i และ z2 = 2 + 2i ให้หา z1z2 และ z1 z2 ในรูปเชิงขั้ว

ก าหนด z1 = −3 + 3i และ z2 = 2 + 2i ให้หา z1z2 และ z1 z2 ในรูปเชิงขั้ว ตัวอย่าง วิธีท า จาก z1z2 = r1r2[cos θ1 + θ2 + i sin(θ1 + θ2)] จะได้z1z2 = (2 3 ) 2 cos 5π 6 + π 4 + i sin 5π 6 + π 4 = 4 3 cos 13π 12 + i sin 13π 12 = 3 cos 7π 12 + i sin 7π 12 จะได้ z1 z2 = 2 3 2 cos 5π 6 − π 4 + i sin 5π 6 − π 4 จาก z1 z2 = r1 r2 [cos θ1 − θ2 + i sin(θ1 − θ2)]