จำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ • ก าหนดให้ z = r cos θ + i sin θ และ n เป็นจ านวนเต็มบวก จะได้ z n = r n [cos(nθ) + i sin(nθ)]

ให้เขียนจ านวนเชิงซ้อนของ ( 3 − i) 6 ในรูป a + bi โดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ วิธีท า จาก z = 3 − i ซึ่งมี a = 3, b = −1 เป็นจุดที่อใป่ชนควอดรันต์ที่ 4 r = ( 3) 2 + (−1) 2 = 2 และ tan θ = b a = − 1 3 จะได้θ = 5π 6 ดังนั้น ( 3 − i) 6 = 2 6 cos 6 5π 6 + i sin(6) 5π 6 = 64(cos 5π + i sin 5π) = 64[−1 + i(0)] = −64

ให้เขียนจ ำนวนเชิงซ้อนของ โดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์

รากที่ n ของจ านวนเชิงซ้อน • เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ z 1 n ชห้ z เป็นจ านวนเ้ิงซ้อน จะได้ว่า z 1 n = r 1 n cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ n เมื่อ k = 0, 1, 2, … , n − 1 • รากที่ n ของจ านวนเชิงซ้อนใด ๆ จะมีn ราก (ค าตอบ) ถ้า z1, z2, z3, … , zn เป็นรากที่ n ของ z แล้ว z1 = z2 = z3 = . . . = zn ถ้า z1, z2, z3, … , zn เป็นรากที่ n ของ z แล้ว z1 + z2 + z3 + . . . + zn = 0

ให้หารากที่ 3 ของ -125

ให้หารากที่ 3 ของ 8

ให้หารากที่ 4 ของ −2 − 2 3i จาก −2 − 2 3i จะได้ a = −2, b = −2 3, r = 4 และ θ = 4π 3 ชห้z เป็นรากที่ 4 ของ −2 − 2 3i น าจ านวนเ้ิงซ้อน z มาเขีในชนรปปเ้ิงขั้ว จาก z = −2 − 2 3i 1 4 จะได้ z = 4 cos 4π 3 + i sin 4π 3 1 4 เมื่อ k = 0, 1, 2, 3 เมื่อ k = 0 จะได้ z0 = 4 4 cos π 3 + i sin π 3 เมื่อ k = 1 จะได้ z1 = 4 4 cos 5π 6 + i sin 5π 6 เมื่อ k = 2 จะได้ z2 = 4 4 cos 4π 3 + i sin 4π 3 เมื่อ k = 3 จะได้ z3 = 4 4 cos 11π 6 + i sin 11π 6 วิธีท า = 4 4 1 2 + 3 2 i = 4 4 − 3 2 + 1 2 i = 4 4 − 1 2 − 3 2 i = 4 4 3 2 − 1 2 i จากทฤษฎีัท จะได้ รากที่ 4 ของ −2 − 2 3i คือ −2 − 2 3i 1 4 = 4 1 4 cos π 3 + kπ 2 + i sin π 3 + kπ 2

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า รากที่ 4 ของ −2 − 2 3i มี4 ค าตอบ คือ z0 = 4 4 1 2 + 3 2 i และ |z0| = 4 4 1 2 + 3 2 i = 2 z1 = 4 4 − 3 2 + 1 2 i และ |z1| = 4 4 − 3 2 + 1 2 i = 2 z3 = 4 4 3 2 − 1 2 i และ |z3| = 4 4 3 2 − 1 2 i = 2 z2 = 4 4 − 1 2 − 3 2 i และ |z2| = 4 4 − 1 2 − 3 2 i = 2 นั่นคือ |z0| = |z1| = |z2| = |z3|และผลัวกของ z0 + z1 + z2 + z3 = 0