TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS
CÁLCULO II Y COMO RESOLVERLOS
PROBLEMAS DE EXÁMENES UMSA INGENIERÍA ,UNI PERÚ-U.TOKIO JAPON
CODEX
VOL.1 J&J PAYE Hnos.
CÁLCULO II
CODEX
Derecho reservados de acuerdo al
D.L.- 4116-14
AUTORES: JOSE PAYE CHIPANA
JOSUE PAYE CHIPANA
PRIMERA EDICIÓN
SEPTIEMBRE, 2014 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA
REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO
NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
PROLOGO
El presente trabajo “CODEX CALCULO II V1”, En su primera edición
contiene básicamente los temas: VECTORES EN R3, GEOMETRÍA EN EL
ESPACIO Y FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL, son temas
que se desarrollan en el Primer Parcial en el Curso de Cálculo II en
INGENIERÍA.
En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y
teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal.
Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE
INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo
Técnico y Científico de nuestros país.
JOSE PAYE CHIPANA
JOSUE PAYE CHIPANA
DEDICATORIA
“A mí Padre por sus Valores y
Educarme”
ÍNDICE PAGINA
1. PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014) …1
2. CAPITULO I VECTORES…………………………………………………………..8
3. PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES …………………………………..11
4. CAPITULO II GEOMETRÍA EN EL ESPACIO R3 ……………………………….29
5. PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO R3…………34
6. CAPITULO III FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL …………88
7. PROBLEMAS RESUELTOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE
REAL………………………………………………………………………………….84
8. PROBLEMAS DE RETO PERSONAL
(EXÁMENES DE UNI- LIMA PERÚ, U. TOKIO JAPON)……………………127
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014)
PREGUNTAS DE EXÁMENES DE PRIMER PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA
Problemas Resueltos De Exámenes Pasados De La UMSA Ingeniería De (2007-2014) Y Algunos
Exámenes De Cálculo II, (UNI –Peru) (U. Tokio-Japon)
1) (27/03/2014)Una recta que pasa por el punto A(-3,8,5) y se desarrolla según la dirección del
vector (-1,2,1), se intersecta con el plano de ecuación x y z 4 , Hallar la ecuación de la
recta que se refleja en el plano dado.
2) (27/03/2014)Hallar la ecuación de la esfera ,sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento
comprendido entre el punto P(1,2,3), y el punto de tangencia de la esfera con el plano x z 2
3) (27/03/2014)Dada la curva f ( 3 cos t, 3 sent 1 , 3 sent 52) (a) Determinar si la misma se
2 2 2 2
(t)
encuentra contenida en un plano (b) En caso de estarlo, hallar la ecuación de dicho plano (c)
Hallar el vector Binormal
4) (27/03/2014)Una trayectoria está dada por la función vectorial r (a cos s , a sin s , )
a a 2
(s)
a Rn (a) Determinar el parámetro “S” es el arco (b) Obtener el triedro T , N, B (c) Calcular
la curvatura y la torsión A(1,1,0) D
5) (27/03/2014)Considerar la Figura. Hallar (a)
Coordenadas de D para que ABCD sea un
paralelogramo (b) Sin Hallar su ecuación, Demostrar
que el paralelogramo se encuentra contenido en un
plano (c) Hallar el área del parelogramo
B(1,1,1) C(2,2,0)
Rn dos vectores unitarios tales que: 1 ;
2
6) (25/11/2013) (a) Sean x , y x, y x, y x y
(i) x e y pueden ser ortogonales (ii) x y 1
es B C
A D
(iii) El ángulo que forman los vectores x ey 3
F E
(iv) (b) Dado el hexágono regular de lado “ a ” Hallar la
x y 2
proyección ortogonal de sobre BE
7) (25/11/2013) El movimiento de un cuerpo en el espacio , está dado por las ecuaciones:
x 3t 2 cos(2t) y 3t 2 sen(2t) z 3 3t 2 ,Donde “t” es el tiempo. Si el movimiento empieza
observarse en t 0 , para el punto en que el cuerpo haya recorrido por la curva una distancia
38, calcular la curvatura y la torsión.
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8) (25/11/2013) Un rayo de luz L1, pasa por el punto (1,2,3) y sigue la dirección del vector
x y 2z 30 0 , se origina el rayo
u (2,1,3) . Al llegar al espejo plano cuya ecuación es
reflejado L2 y esta llega a un segundo espejo 2x y z 30 0 generando el rayo reflejado
L3, Hallar la distancia mínima entre los rayos L1 y L3.
9) (25/11/2013) Dados los puntos P1(3,2,1),P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1), Hallar las
ecuaciones de 4 planos paralelos PL1, PL2, PL3 y PL4 que pasen por P1(3,2,1), P2(2,-1,0),
P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1) respectivamente de modo que los planos tomados de a dos, se hallen
separados una misma distancia, es decir que la distancia entre PL1 y PL2 se a la misma que
entre PL2 y PL3 y que PL3 y PL4.
10) (25/11/2013)Hallar la ecuación de la superficie esférica que sea tangente a la esfera
x2 y2 z2 2x 4y 6z 5 0 y al plano 3x 2y 6z 4 0 . El punto de tangencia con la
esfera (3,0,2).
11) (28/03/2013)(a) Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano
2x 2y z 6 0 , si el centro es la intercesión de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que
pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2: x 5 y 4 z 10 (b) Hallar la ecuación
2 3 8
de la recta L1
12) (28/03/2013)Considerar la curva “C” que resulta de la intersección del cilindro parabólico
y x2 con el plano z 2x , Para el punto P(1,1,2) Calcular: (a) Los planos Normal, Rectificante
y Osculador. (b) La curvatura y la Torsión.
13) (28/03/2013)Sea f (t) (t, ln t) Hallar la circunferencia osculadora de dicha curva en t=1
14) (28/03/2013)Determinar la forma de la proyección de la curva (x 1)2 y2 z2 36 en el
yz0
plano XY.
15) (28/03/2013)Sean los vectores , y si ;calcular:
m n r m n m r m m n n r n
16) (20/09/2012)Deducir la expresión que calcula la distancia mínima entre dos rectas alabeadas
(que se cruzan pero no se cortan) en el espacio R3.
17) (20/09/2012)Para la curva del espacio R3 ; calcular la curvatura,
f (t) (4cos t,4sent,3t)
torsión radio de curvatura, centro de curvatura en el punto donde t0
18) (20/09/2012)Hallar la ecuación del plano que pertenece a la familia
3x 4y z 6 2x 3y z 2 0 y equidista de los puntos A(3,-4,-5), B(1,2,2)
19) (20/09/2012)Hallar la ecuación de la esfera que contiene a las circunferencias
y2 z2 36 y y2 z2 9
x2
x3
20) (20/09/2012)La curva: (t 2 1, t 1, t 2 ) intersecta al plano 2x 3y z 11 0 en dos
r(t)
puntos. Hallar estos puntos y calcular la distancia entre ellos a través de la curva
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21) (20/09/2012)Para la función: f (e3t cos(3t), e3t sen(3t), e3t ) (a) Identificar la expresión
(t)
de: f (s) (b) Determinar si el parámetro “s” es la longitud de curva
22) (29/03/2012) Escriba el vector A (3,2,6) ;Como la suma de los vectores; uno paralelo a
B (2,4,1) y otro perpendicular a B
23) (29/03/2012) Bosqueje una grafica de la Cuadrica : x2 y2 2x 2y 0
24) (29/03/2012) Cual es el radio de curvatura de la curva de intersección de
(x 2)2 ( y 1)2 (z 3)2 4 , con el plano 2x y z 2
25) (29/03/2012) Puede una curva tener Curvatura k 0 y Torsión 0 ? Justifique su respuesta
26) (29/03/2012) Damos un tetraedro con vértices (-1,2,3);(2,3,-4);(1,5,0);(3,-2,-1) (a) Calcular el
Volumen (b) Los VECTORES DE ÁREA, son aquellos perpendiculares a cada cara apuntando
hacia fuera y con magnitud igual al área del respectivo triangulo. Verificar que la suma de los 4
vectores se igual a cero.
27) (29/03/2012) Hallar en el plano X,Y un punto P de modo que la suma de sus distancias a los
puntos A(4,2,7); B(3,5,5) sea mínima.
28) (29/03/2012) En la cuadrica: x2 y2z2 11 2(x 2y 3z) . Hallar el punto mas próximo al
plano 3x 4z 19 0 .Luego calcular la distancia desde ese punto al plano.
29) (29/03/2012) Dada la curva r(t) (2Cosh(t),2Senh(t),2t) (a) Bosquejear una grafica (b)
Calcular la curvatura en t=0 (c) Calcular la Torsión en t=0 (d) plano Osculador en t=0.
30) (15/09/2011)Si A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2) Son vértices de un triangulo. Si el segmento OP es
perpendicular al lado AC y “O” es el punto medio del segmento AB. Determinar el área del
cuadrilátero OBCP
31) (15/09/2011)En el paralelogramo ABCD, el Angulo en el vértice A es de 60º y se conoce que:
AB 2 , AB 4 Si: p Pr oy AC , q Pr oy AC Determinar p+q=?
AD AB
32) (15/09/2011)Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2x 2y z 5 0 ,
el centro es el punto de interseción de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por
P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2: x 5 y 4 z 10
2 3 8
33) (15/09/2011) (a) Demostrar que la curva determinada por la interseción de las superficies
x2 y2 2y 2x 2 0 . Es plana (b) Determinar el plano
x y 2z 2 0
34) (15/09/2011)Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano horizontal que pasa por
(0,0,2) Contiene al punto B(2,2,2) y forma un Angulo de 60º con el plano 3x 2y 3z 2 0
35) (01/04/2011)Si A,B,C son vértices de un triangulo equilátero cualquiera de R3 ; usando
propiedades vectoriales (a) Deducir la expresión que calcula su área (b) probar que uniendo los
puntos medios de los lados se forman otro triangulo que debe ser también equilátero.
36) (01/04/2011)Si una curva C de R3 se da por r(t) (r1(t), r2 (t), r3(t)) (a) anote las expresiones
que calculan el centro de curvatura y radio de curvatura (b) si S=parámetro de longitud de arco
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explique cómo se halla la expresión de la misma curva según:
r(s) (r1(s), r2 (s), r3(s)) (c) si
existe, identifique el valor de r'(s)
37) (01/04/2011)Se conoce que los que los módulos de los vectores a , b son iguales y forman
un ángulo de 3 ,Si el módulo de a + b es cuatro unidades mayor que el módulo de a ;
deducir una expresión para el módulo de b
38) (01/04/2011)Encontrar el punto Q que es simétrico de P=(4,1,6) respecto ala recta:
L: 2x y 2z 3 0
0
x y 4z 12
39) (01/04/2011)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente al plano: 2x y 2z 12 0 en
el punto A(-2,2,5) y tiene su centro en la recta L0 : 2y z 7 0
2x 3y 8 0
40) (01/04/2011)Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida por:
x2 4y 0
x 3 24z 0
Luego, analice si existe o no relación de los resultados obtenidos con la cantidad ( y 2)2
2
41) (18/09/2010)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a las rectas
L1: x 4 y 2 z 3 L2 : P(x,y,z)=(-7,-2,1)+m(3,2,1), sabiendo que uno de sus diámetros
2 1 1
es perpendicular a ambas rectas
42) (18/09/2010)Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera
x2 y2 z2 10x 2y 26z 113 0 y paralelos a las rectas L1: x5 y 1 z 13
2 3 2
L2: x 7 y 1 z 8
3 2 0
43) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva “C” descrita por la función vectorial
r(t) (x(t), y(t), z(t)) expresada en metros y “t” en segundos, Si la rapidez de la partícula es
constante e igual a 10 m/s, si el vector Tangente Unitario es paralelo al vector (t2,1,0) ,
determinar (a) La curvatura de ”C” como una función de t (b) La ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto r(1) (1,3,6)
44) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva x t , y t 2 4 , z t3 4t ,
siendo ”t” el tiempo Hallar (a) La componente de su velocidad en la dirección de la recta
x y 1 z (b) ¿Para qué valor de “t” su aceleración no tiene componte sobre la recta dada?
1 1 0
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45) (18/09/2010) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 45º y el módulo de b es 3 2
Hallar el módulo de a de modo que el vector a - b sea perpendicular a b
46) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Dada la curva r r(t) , el plano rectificante es aquel que contiene a los vectores tangente
unitario y binormal principal en algún punto de dicha curva (F) (V)
47) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Si u v u v u v (F) (V)
48) (26/03/2010) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados
por los planos: 3x 4y 6 0 ; 6x 6y 7z 16 0
49) (26/03/2010) La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia
x2 z2 2x 2z 3 0 . Hallar su ecuación si pasa por el punto P0 (3,4,2)
1
g(s) (arctg(s),
50)
(26/03/2010) Una trayectoria esta definida por: 2 ln s2 1 , s arctg(s)) (a)
Determinar si el parámetro “S” es la longitud de arco (b) Hallar la curvatura y el radio de
curvatura.
51) (26/03/2010) Una partícula se mueve a lo largo de la curva f ) (t 2 , ln(t ),2t ) , siendo t el
(t
tiempo. Hallar en t=1: (a) Las componentes tangencial y normal de la aceleración (b) Las
compontes de la velocidad y la aceleración en la dirección de la recta: x t 11 , y 2t ,
z 2t 5 (c) La curvatura, la torsión, el radio de curvatura y el radio de torsión.
v
dB
52) (26/03/2010) Indicar si dt , donde “v” es la rapidez y “ ” es el radio de Torsión,
N
Justificar su respuesta.
53) (26/03/2010) Indicar en que plano se encuentra el vector aceleración de una partícula que se
mueve a lo largo de una curva en el espacio.
54) (26/03/2010) Sean u y v dos vectores no nulos tales que u v t , Si el ángulo entre
ambos vectores es y la norma de su diferencia es 2 t , Hallar: t
3
R3 tiene un origen común.
55) (17/09/2009) Si los vectores no coplanares u , v , w
Demostrar que el plano que pasa los extremos de estos vectores es perpendicular al vector
u v v w w u
por la curva y ex , con 0 x 1 y
56) (17/09/2009)Una función vectorial f (t) esta dada
gt esta dada por la curva x y 2ln(x y) 2ln 2 , con 2 x y 2e .Determinar la
relación que existe entre sus longitudes de arco
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57) (17/09/2009)Determinar la ecuación de la recta que es paralela a los planos y corta a las
rectas 3x 12y 3z 5 0 , 3x 4y 9z 7 0 x5 y3 z 1 , x3 y 1 z2
2 4 3 2 3 4
58)17/09/2009)Determinar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en la recta Bisectriz
determinada por las rectas x 1 y 1 z 2 , x 1 y3 z2 y es tangente a los
2 2 1 6 2 3
planos 2x 2y z 5 0 , 2x 2y z 3 0
59) (17/09/2009)Determinar el plano osculador a la curva determinada por la intersección de las
superficies x2 y2 z2 24 , x y z 0 ,en el punto A(2,2,-4)
60) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria
que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto (-2,-1,-2) c: x2 y2 z2 9
3
x2 y2
61) (25/03/2009) Hallar un punto de la recta L1: (2,11,14) t(2,4,5) que equidiste del eje “x” y la
recta L2: (1,7,0) k(0,0,5) k y t son variables Reales.
62) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a (x 1)2 ( y 3)2 (z 2)2 24
, y que pasan por la recta L: y 5 z , x 5
2 1
63) (25/03/2009) Demostrar, y dar una interpretación geométrica cuando corresponda:
(a) (b) 1 2 2
4
c d c d 2 c d c d c d c d
64) (25/03/2009) Sean ABCD un cuadrilátero y PQR y S los puntos medios de los lados sucesivos.
Demostrar que el perímetro de paralelogramo PQRS es igual a la suma de las longitudes de las
diagonales de ABCD
65) (25/03/2009) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto : P(-1,6,-3), y
es tangente al plano: P=(7,3,8)+u(-17,3,8)+v(7,-21,8), en el punto P0(7,3,8)
66) (18/09/2008) ¿Qué condición deben cumplir el vector direccional De una recta y el vector
normal de un plano, para que la recta sea paralela al plano?
67) (18/09/2008) Si a, c 0 ¿Qué significado geométrico tiene este producto triple? Explique
b,
68) (18/09/2008) En una Trayectoria rectilínea señale que componente de la aceleración se anula
69) (18/09/2008) En una Trayectoria circular de radio "a" , indique que dirección tiene la
aceleración
70) (18/09/2008) Si el ángulo formado por los vectores v y w es de 45º y el módulo de v
es 3;encontrar el módulo de w de manera que ( v + w ) forme con v un ángulo de 30º
71) (18/09/2008) Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-2,4,1), C(-
5,0,0) y su centro está en el plano 2x y z 3 0
72) (18/09/2008) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L:(1,8,1)+t(1,-3,1) y forma
una ángulo de 60º con el plano 2x y z 7
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73) (18/09/2008) Una particular se mueve siguiendo la trayectoria dada por la intersección de
x2 y2 z2 1 y el plano y z , Hallar: (a) El vector velocidad en el punto P 1 , 1 , 1 (b)
2 2 2
Componentes tangente y Normal de la aceleración en el punto P 1 , 1 , 1
2 2 2
74) (20/09/2007) Un proyectiles es lanzado desde el nivel suelo (z=0) siguiendo la trayectoria dada
por z 125 x2 y2; y 2x .Hallar: (a) El Radio de curvatura en el punto más alto que
alcanza el proyectil (b) El alcance horizontal del proyectil (c) Las componentes tangencial y
normal de la aceleración para t=1(d) la ecuación del plano osculador para t=1
75) (20/09/2007) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0(3,-2,-4), es paralela al
plano 3x 2y 3z 7 0 y se corta con la recta x 2 y4 z 1
3 2 2
76) (20/09/2007) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5 b
;sabiendo que subtienden un ángulo de y además 1 3
6
a, b a b
77) (20/09/2007) Hallar el valor reducido de: a (b c) b (c a) c (a b)
“SE RECOMIENDA LEER Y COMPRENDER EL RESUMEN DE TEORÍA ANTES DE RESOLVER
LOS PROBLEMAS Y AL FINAL DEL TEXTO TENEMOS LOS PROBLEMAS DE RETO
PERSONAL QUE SON EXÁMENES DE UNIVERSIDADES EXTRANJERAS”
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CAPITULO I VECTORES
VECTOR: [Es un SEGMENTO de recta PQ que va de un punto “ P ” a otro punto “ Q ”,
Q aquí se llama a “ P ” el punto inicial u origen de PQ y “ Q ” se denomina punto
PQ terminal, fin o término del vector] PQ Q P
p *El Vector en 3 es una TERNA ORDENADA: a a1, a2 , a3
*vector opuesto: a a1,a2 ,a3 vector nulo: 0 0,0,0
PUNTO MEDIO ( M ): Sean P y Q M PQ INTERPRETACION GRAFICA
2
SUMA= UNIR (COLA Y PUNTA)
SUMA DE VECTORES (ADICIÓN): b
Sean a a1, a2 , a3 y b b1,b2 ,b3 a ab a
a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ab
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN b
1) a b b a 3) a 0 0 a a
2) (a b) c a (b c) 4) a (a) 0
DIFERENCIA DE VECTORES: a b a (b)
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Sea a a1, a2 , a3 un vector y “ m ” un escalar ma ma1, ma2 , ma3
PROPIEDADES 4) 0(a) m0 0
1) m(na) mn(a)
2) (m n)a ma na 5) 1(a) a
3) m(a b) ma mb
VECTORES BASE O BASE CANONÍCA (VECTORES UNITARIOS DIRECCIONALES DEL
i j k
SISTEMA EUCLIDIANO) 1,0,0 0,1,0 0,0,1 También se puede representar
i j k“ a a1, a2 , a3 ” como combinación lineal de su base canoníca a a1 a2 , a3
PRODUCTO ESCALAR: “EL RESULTADO DE UN PRODUCTO ESCALAR ES UN NUMERO
POR TANTO UN ESCALAR” a b a1b1 a2b2 a3b3
Sean a a1, a2 , a3 y b b1,b2 ,b3
PROPIEDADES
1) a b b a 3) (ma) b mb a m(a b)
2) a (b c) a b a c 4) a a 0
MÓDULO DE UN VECTOR: “Es el tamaño del vector”
Sea a a1, a2 , a3 el módulo es: a a a12 a22 a32 a aa
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PROPIEDADES ANGULO ENTRE DOS VECTORES
1) a 0
2) a 0 a 0 a
3) ma m a
4) a b a b desigualdad triangular b
5) a b a b
a b a b cosayb
6) a b a b
VECTOR UNITARIO (VERSOR) a a condición a 1
a
*PARA LA BISECTRIZ ENTRE DOS VECTORES SIEMBRE ES CONVENIENTE USAR VECTORES
UNITARIOS a cos i cos j cos k
EN FUNCIÓN DE COSENOS DIRECTORES PARA VECTORES 3 :
PERPENDICULARIDAD (ORTOGONALIDAD) DE VECTORES : PROYECCION
Si a es perpendicular a b a b 0
VECTOR PROYECCIÓN: La proyección de un vector a
siempre es perpendicular Proy a
b
Pr oy a a b b Pr oy a a a b b b
b b b b
2 2 Proy a
b
COMPONENTE: Es el módulo del Vector Proyección Comp a Pr oy a
b b
PRODUCTO VECTORIAL “EL RESULTADO DE UN PRODUCTO VECTORIAL ES UN VECTOR
PERPENDICULAR A LOS MISMOS” PRODUCTO VECTORIAL
Sean a a1, a2 , a3 y b b1,b2 ,b3 ab c
c
i jk
a b a1 a2 a3 a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2 a2b1 b
b1 b2 b3 a
PROPIEDADES “Regla de signos”
1) a b b a 9 INGENIERÍA PETROLERA
2) a (b c) a b a c
3) (ma) b mb a m(a b) PAYE
4) a a 0
INGENIERÍA CIVIL
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CODEX-CÁLCULO II
PARALELISMO DE VECTORES: AREA DEL PARELOLOGRAMOS
Si a es paralelo a b a mb ó a b 0
ÁREA DEL PARALELOGRAMO b
a a b AREA
a b AREA ó a b a b sen
ayb
PRODUCTO MIXTO a
“EL RESULTADO DE UN PRODUCTO MIXTO ES
UN ESCALAR” b
Sean a a1, a2 , a3 ; b b1,b2 ,b3 y c c1, c2 , c3
a1 a2 a3
a b c a, b, c b1 b2 b3 (a1(b2c3 b3c2 ) b1 a2c3 a3c2 ) c1(a2b3 a3b2 )
c1 c2 c3 PARALELEPIPEDO
PROPIEDADES a b c volumen
1) a b c a b c a
2) a b c c a b b c a
3) a b c c b a b a c
VECTORES CONTENIDOS EN EL PLANO bc
(VECTORES COPLANARES)
abc 0
VOLUMEN DEL TETRAEDRO
abc TETRAEDRO
6 VTETRAEDRO
abc
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL 6 volumen
1) a (b c) (a c)b (b a)c
2) (a b) c (a c)b (b c)a ac
(a b) c a (b c) b
IDENTIDAD DE LAGRANGE
a b c d a b c d
INGENIERÍA CIVIL 10 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES
1) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Si u v u v u v (F) (V)
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
2) (25/03/2009) Demostrar, y dar una interpretación geométrica cuando corresponda:
(a) (b) 1 2 2
4
c d c d 2 c d c d c d c d
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 11 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
3) (29/03/2012) Escriba el vector A (3,2,6) ;Como la suma de los vectores; uno paralelo a
B (2,4,1) y otro perpendicular a B
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 12 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
4) (20/09/2007) Hallar el valor reducido de: a (b c) b (c a) c (a b)
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
5) (28/03/2013)Sean los vectores y si ; calcular: (a)
m,n r m n m r m
m n n r n m n n r n
(b)
_______________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 13 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
6) (15/09/2011)En el paralelogramo ABCD, el Angulo en el vértice A es de 60º y se conoce que:
AB 2 , AB 4 Si: p Pr oy AC , q Pr oy AC Determinar p+q=?
AD AB
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 14 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
Rn dos vectores unitarios tales que: 1 ;
2
7) (25/11/2013) (a) Sean x , y x, y x, y x y
(i) x e y pueden ser ortogonales (ii) x y 1
es B C
A D
(iii) El ángulo que forman los vectores x ey 3
(iv) (b) Dado el hexágono regular de lado “ a ” Hallar la
x y 2
proyección ortogonal de sobre BE FE
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 15 INGENIERÍA PETROLERA
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INGENIERÍA CIVIL 16 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
8) (27/03/2014)Considerar la Figura. Hallar (a) A D(4,4,1)
Coordenadas de A para que ABCD sea un
paralelogramo (b) Sin Hallar su ecuación, Demostrar
que el paralelogramo se encuentra contenido en un
plano (c) Hallar el área del parelogramo
B(1,1,1) C(2,2,0)
___________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 17 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
9) (15/09/2011)Si A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2) Son vértices de un triangulo. Si el segmento OP es
perpendicular al lado AC y “O” es el punto medio del segmento AB. Determinar el área del
cuadrilátero OBCP
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 18 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
10) (01/04/2011)Si A,B,C son vértices de un triangulo equilátero cualquiera de R3 ; usando
propiedades vectoriales (a) Deducir la expresión que calcula su área (b) probar que uniendo los
puntos medios de los lados se forman otro triangulo que debe ser también equilátero.
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 19 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
INGENIERÍA CIVIL 20 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
11) (26/03/2010) Sean u y v dos vectores no nulos tales que u v t , Si el ángulo entre
ambos vectores es y la norma de su diferencia es 2 t , Hallar: t
3
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 21 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
12) (29/03/2012) Damos un tetraedro con vértices (-1,2,3);(2,3,-4);(1,5,0);(3,-2,-1) (a) Calcular el
Volumen (b) Los VECTORES DE AREA, son aquellos perpendiculares a cada cara apuntando
hacia fuera y con magnitud igual al área del respectivo triangulo. Verificar que la suma de los 4
vectores se igual a cero.
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 22 INGENIERÍA PETROLERA
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INGENIERÍA CIVIL 23 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
13) (25/03/2009) Sean ABCD un cuadrilátero y PQR y S los puntos medios de los lados sucesivos.
Demostrar que el perímetro de paralelogramo PQRS es igual a la suma de las longitudes de las
diagonales de ABCD
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 24 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
14) (01/04/2011)Se conoce que los que los módulos de los vectores a , b son iguales y forman
un ángulo de
,Si el módulo de a + b es cuatro unidades mayor que el módulo de b ;
3
deducir una expresión para el módulo de a
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 25 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
15) (18/09/2010) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 45º y el módulo de b es 3 2
Hallar el módulo de a de modo que el vector a - b sea perpendicular a b
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
16) (18/09/2008) Si el ángulo formado por los vectores v y w es de 45º y el módulo de v
es 3;encontrar el módulo de w de manera que ( v + w ) forme con v un ángulo de 30º
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 26 INGENIERÍA PETROLERA
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17) (20/09/2007) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5 b
;sabiendo que subtienden un ángulo de y además 1 3
6
a, b a b
____________________________________________________________________________
SOLUCIÓN
INGENIERÍA CIVIL 27 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
18) (18/09/2008) Si a, c 0 ¿Qué significado geométrico tiene este producto triple? Explique
b,
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
a b c 0 ¿El significado geométrico es el volumen del paralelepípedo? Si es Cero los
VECTORES CONTENIDOS EN EL PLANO (VECTORES COPLANARES)
INGENIERÍA CIVIL 28 INGENIERÍA PETROLERA
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GEOMETRÍA EN EL ESPACIO ( 3 ) CAPITULO II
PUNTO: [Es una TERNA ORDENADA p x, y, z]
PUNTO MEDIO ( M ): Sean P y Q M PQ
2
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
FORMA VECTORIAL: Sean P y Q d 0P 0Q
FORMA ESCALAR: Sean P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2 , y2 , z2 )
d (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
RECTA: a
p0 Re cta
[Para obtener una recta es necesario contar
con un PUNTO CONOCIDO “ p0 x0 , y0 , z0 “
y un VECTOR DIRECCIONAL a a1, a2 , a3 ]
ECUACIÓN DE LA RECTA MEDIANTE DOS PUNTOS CONOCIDOS: p0 x0 , y0 , z0
p0 x0 , y0 , z0 =punto conocido Y p1 x1, y1, z1 punto conocido
=CUALQUIERA DE LOS DOS; VECTOR DIRECCIONAL a p1 p2
FORMA VECTORIAL DE LA RECTA:
p0 x0 , y0 , z0 =punto conocido a a1, a2 , a3 = vector direccional p p0 ta
FORMA PARAMÉTRICA DE LA RECTA: [TOMAR EN CUENTA QUE EN ESTA FORMA LA
RECTA SE TRANSFORMA EN UN PUNTO MÓVIL] x x0 ta1
y y0 ta 2
p0 x0 , y0 , z0 =punto conocido a a1, a2 , a3 = vector direccional
z z0 ta3
FORMA SIMÉTRICA (CANONÍCA) DE LA RECTA:
p0 x0 , y0 , z0 =punto conocido a a1, a2 , a3 = vector direccional
x x0 y y0 z z0 planos
a1 a2 a31
FORMA INTERSECCIÓN ENTRE 2 PLANOS: A0 x B0 y C0 z D0 0 ,Dos
A1 x B1 y C1 z D1 0
intersectados forman una recta
INGENIERÍA CIVIL 29 INGENIERÍA PETROLERA
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MÉTODOS PARA HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA:
MÉTODO 1: se debe hallar p0 x0 , y0 , z0 como el sistema es indeterminado se debe
suponer x0 0 ó y0 0 ó z0 0 y resolver el sistema
Para el vector direccional a A0, B0,C0 A1, B1,C1
MÉTODO 2: se debe hallar RESOLVER EL SISTEMA LINEAL EN FORMA PARAMÉTRICA
como el sistema es indeterminado se debe realizar el cambio: x t ó y t ó z t y resolver
el sistema el resultado será la ecuación de la recta en forma paramétrica. x x0 ta1
y y0 ta2
z z0 ta3
CONDICIONES
Una Recta se puede escribir en su forma simétrica como la intersección de dos planos,
Si el vector direccional tiene alguna componte cero, ejemplo
x x0 y y0 z z0 x x0 y y0
L: a1 a2 0 L: a1 a2 z z0
Una Recta se puede escribir en su forma simétrica como la intersección de dos planos,
Si el vector direccional tiene dos componte cero, ejemplo
x x0 y y0 z z0
L: 0 a2 0 L: x x0 z z0
Si dos rectas son paralelas sus vectores direccionales son paralelas Si a es paralelo a b
a mb ó a b 0 , pero como solo necesitamos la dirección supondremos a b
Si dos rectas son perpendiculares sus vectores direccionales son perpendiculares Si a es
perpendicular a b a b 0
Rectas alabeadas “se cruzan pero no se cortan”
Una Recta en su estado natural podría nacer de una familia de Planos (planos
intersectados)
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: p0 x0 , y0 , z0 =punto conocido de la recta
a a1, a2 , a3 = vector direccional de la recta, p1 x1, y1, z1 punto externo del cual se
desea medir la distancia a la recta d ( p0 p1 ) a
a
INGENIERÍA CIVIL 30 INGENIERÍA PETROLERA
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DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS ALABEADAS: p0 x0 , y0 , z0 =punto conocido de la recta
L1 a a1, a2 , a3 = vector direccional de la recta L1, p1 x1, y1, z1 punto conocido de la
recta L2 b b1, b2 , b3 = vector direccional de la recta L2 d ( p0 p1 ) (a b)
(a b)
PLANO: [Para obtener un PLANO es necesario contar con un PUNTO CONOCIDO “
p0 x0 , y0 , z0 “ y un VECTOR NORMAL N A, B, C el cual es perpendicular a todo el
plano]
ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO: N ( p p0 ) N 0
p0 x0 , y0 , z0 =punto conocido p0
N A, B, C= vector NORMAL
( p p0 ) N 0
ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO:
p0 x0 , y0 , z0 =punto conocido N A, B, C= vector NORMAL Ax By cZ D 0
[Donde “D” es el desfase al origen Del Sistema Euclidiano, si D 0 Ax By cZ 0
el plano pasa por el origen del sistema Euclidiano]
ECUACIÓN SIMÉTRICA CANONÍCA: zc x y z
a b c
x y z 1 1 1 1
a b c a b c
1 N , , Vector NORMAL yN b
a
donde: a ejex b ejey c ejez x
abc
Formando si un TETRAEDRO de volumen: 6 VTETRAEDRO
ECUACIÓN DE UN PLANO POR 3 PUNTOS CONOCIDOS: p0 , p1 y p2 punto conocido y
no colineales, p0 x0 , y0 , z0 =cualquiera de los 3 puntos N p1 p0 p2 p0 vector
NORMAL ( p p0 ) N 0
ECUACIÓN DE UN PLANO POR 2 RECTAS NO PARALELAS: N ( p p0 ) N 0
p0 x0 , y0 , z0 =punto cualquiera de las dos rectas p0 b
N A, B, C= vector NORMAL se obtiene a
multiplicando vectorialmente los vectores direccionales
de la recta N a b ( p p0 ) N 0
INGENIERÍA CIVIL 31 INGENIERÍA PETROLERA
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ECUACIÓN DE UN PLANO POR 2 RECTAS PARALELAS:
p0 x0 , y0 , z0 =punto cualquiera de las dos rectas cN p1 ( p p0) N 0
N A, B, C= vector NORMAL se obtiene multiplicando p0 b
Vectorialmente los vectores, ( a vector direccional) a
c (Vector obtenido por p0 y p1 ) c p1 p`0
N a c ( p p0 ) N 0
DISTANCIA DE UN PUNTO p0 x0 , y0 , z0 AL PLANO:
PLANO: Ax By cZ D 0 PUNTO: p0 x0 , y0 , z0 d Ax0 By0 Cz0 D
A2 B2 C2
FAMILIA DE PLANOS; Sea A0 x B0 y C0 z D0 0 entonces un plano general
A1 x B1 y C1 z D1 0
A0 x B0 y C0 z D0 kA1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 ....... 0
Se simplificando se tiene al representante de la familia: x y z 0
CONDICIONES GEOMÉTRICAS
Si dos PLANOS son paralelos sus NORMALES son paralelas Si N1 es paralelo a N2
N1 mN2 ó N1 N2 0 , pero como solo necesitamos la dirección supondremos N1 N 2
Si dos PLANOS son perpendiculares sus NORMALES son perpendiculares Si N1 es
perpendicular a N2 N1 N2 0
Todo plano tangente a una esfera se puede usarse su normal como vector direccional
para hacer pasar una recta por el centro de la esfera
Si dos planos son paralelos a una recta ,y no paralelos entre si, el vector direccional de
la recta será el producto vectorial de los planos
Sean dos planos paralelos y tangentes a una esfera su distancia entre los planos será el
diámetro de la esfera: A0 x B0 y C0 z D1 0 d D2 D1
A0 x B0 y C0 z D2 0 A0 2 B0 2 C0 2
*Un Triángulo inscribe otro triángulo paralelo a sus lados pasando por los puntos medios
los vértices de este (Recordar las relaciones que rigen en Geometría Euclidiana)
INGENIERÍA CIVIL 32 INGENIERÍA PETROLERA
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CUADRICAS:
ESFERA: Centro C(h, j, l) ELIPSOIDE: Centro C(h, j, l) HIPERBOLOIDE DE UNA
y el Radio R a x h2 y k 2 z l 2 1 HOJA : C(h, j, l)
b2 c2
x h2 y k2 z l2 a2 a2 x h2 y k 2 z l 2 1
b2 c2
a2
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA CONO PARABOLOIDE ELÍPTICO
x h2 2 2 x h2 2 l2 x h2 2
y k z l 1 y k z y k z l
a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2
c
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO CILINDRO ELÍPTICO: CILINDRO EN FORMA
(SILLA DE MONTAR) C(h, j, l) GENERAL
x h2 y k 2 z l x h2 y k 2 1 z f (x, y)
b2 b2
a2 c a2
INGENIERÍA CIVIL 33 INGENIERÍA PETROLERA
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PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
19) (18/09/2008) ¿Qué condición deben cumplir el vector direccional De una recta y el vector
normal de un plano, para que la recta sea paralela al plano?
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
EL VECTOR DIRECCIONAL DE LA RECTA DEBE SER PERPENDICULAR A LA NORMAL DEL
PLANO, ENTONCES: u N 0
20) (17/09/2009)Determinar la ecuación de la recta que es paralela a los planos y corta a las
rectas 3x 12y 3z 5 0 , 3x 4y 9z 7 0 x5 y3 z 1, x3 y 1 z2
2 4 3 2 3 4
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
INGENIERÍA CIVIL 34 INGENIERÍA PETROLERA
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INGENIERÍA CIVIL 35 INGENIERÍA PETROLERA
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21) (25/03/2009) Hallar un punto de la recta L1: (2,11,14) t(2,4,5) que equidiste del eje “x” y la
recta L2: (1,7,0) k(0,0,5) k y t son variables Reales.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
INGENIERÍA CIVIL 36 INGENIERÍA PETROLERA
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INGENIERÍA CIVIL 37 INGENIERÍA PETROLERA
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22) (01/04/2011)Encontrar el punto Q que es simétrico de P=(4,1,6) respecto ala recta:
L: 2x y 2z 3 0
0
x y 4z 12
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
INGENIERÍA CIVIL 38 INGENIERÍA PETROLERA
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INGENIERÍA CIVIL 39 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
23) (20/09/2012)Deducir la expresión que calcula la distancia mínima entre dos rectas alabeadas
(que se cruzan pero no se cortan) en el espacio R3.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
INGENIERÍA CIVIL 40 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
R3 tiene un origen común.
24) (17/09/2009) Si los vectores no coplanares u , v , w
Demostrar que el plano que pasa los extremos de estos vectores es perpendicular al vector
w
u v v w u
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
INGENIERÍA CIVIL 41 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
25) (20/09/2007) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0(3,-2,-4), es paralela al
plano 3x 2y 3z 7 0 y se corta con la recta x 2 y4 z 1
3 2 2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
INGENIERÍA CIVIL 42 INGENIERÍA PETROLERA
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26) (29/03/2012) Hallar en el plano X,Y un punto P de modo que la suma de sus distancias a los
puntos A(4,2,7); B(3,5,5) sea mínima.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
INGENIERÍA CIVIL 43 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
27) (27/03/2014)Una recta que pasa por el punto A(-3,8,5) y se desarrolla según la dirección
del vector (-1,2,1), se intersecta con el plano de ecuación x y z 4 , Hallar la ecuación de la
recta que se refleja en el plano dado.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
INGENIERÍA CIVIL 44 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-CÁLCULO II
INGENIERÍA CIVIL 45 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX Calculo II Jose y Josue Paye VOL. 1
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