CODEX 1 CALCULO 2

JOSE PAYE CHIPANA  JOSUE PAYE CHIPANA 

CODEX-CÁLCULO II

28) (25/11/2013) Un rayo de luz L1, pasa por el punto (1,2,3) y sigue la dirección del vector

 x  y  2z  30  0 , se origina el rayo

u  (2,1,3) . Al llegar al espejo plano cuya ecuación es

reflejado L2 y esta llega a un segundo espejo 2x  y  z  30  0 generando el rayo reflejado

L3, Hallar la distancia mínima entre los rayos L1 y L3.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 46 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 47 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 48 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

29) (18/09/2008) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L:(1,8,1)+t(1,-3,1) y forma

una ángulo de 60º con el plano 2x  y  z  7

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 49 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 50 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

30) (20/09/2012)Hallar la ecuación del plano que pertenece a la familia

3x  4y  z  6  2x  3y  z  2  0 y equidista de los puntos A(3,-4,-5), B(1,2,2)

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 51 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 52 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 53 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

31) (25/11/2013) Dados los puntos P1(3,2,1),P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1), Hallar las
ecuaciones de 4 planos paralelos PL1, PL2, PL3 y PL4 que pasen por P1(3,2,1), P2(2,-1,0),
P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1) respectivamente de modo que los planos tomados de a dos, se hallen
separados una misma distancia, es decir que la distancia entre PL1 y PL2 se a la misma que
entre PL2 y PL3 y que PL3 y PL4.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 54 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 55 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

32) (15/09/2011)Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano horizontal que pasa por
(0,0,2) Contiene al punto B(2,2,2) y forma un Angulo de 60º con el plano 3x  2y  3z  2  0
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 56 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

33) (26/03/2010) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados

por los planos: 3x  4y  6  0 ; 6x  6y  7z 16  0

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 57 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 58 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

34) (27/03/2014)Hallar la ecuación de la esfera ,sabiendo que uno de sus diámetros es el
segmento comprendido entre el punto P(1,2,3), y el punto de tangencia de la esfera con el plano
xz 2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 59 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

35) (25/11/2013)Hallar la ecuación de la superficie esférica que sea tangente a la esfera

x2  y2  z2  2x  4y  6z  5  0 y al plano 3x  2y  6z  4  0 . El punto de tangencia con la

esfera (3,0,2).
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 60 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 61 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

36) (28/03/2013)(a) Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano

2x  2y  z  6  0 , si el centro es la intercesión de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que

pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2: x 5  y  4  z 10 (b) Hallar la ecuación
2 3 8

de la recta L1

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 62 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 63 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

37) (20/09/2012)Hallar la ecuación de la esfera que contiene a las circunferencias

y2  z2  36 y y2  z2  9
 x2 
  x3

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 64 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

38) (15/09/2011)Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2x  2y  z  5  0 ,

el centro es el punto de interseción de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por

P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2: x  5  y  4  z 10
2 3 8

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 65 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

39) (01/04/2011)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente al plano: 2x  y  2z 12  0 en

el punto A(-2,2,5) y tiene su centro en la recta L0 :  2y z 7  0
2x  3y  8  0

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 66 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

40) (18/09/2010)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a las rectas

L1: x  4  y  2  z 3 L2 : P(x,y,z)=(-7,-2,1)+m(3,2,1), sabiendo que uno de sus diámetros
2 1 1

es perpendicular a ambas rectas

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 67 INGENIERÍA PETROLERA

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INGENIERÍA CIVIL 68 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

41) (18/09/2010)Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera

x2  y2  z2 10x  2y  26z 113  0 y paralelos a las rectas L1: x5  y 1  z 13
2 3 2

L2: x  7  y 1  z 8
3 2 0

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 69 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

42) (26/03/2010) La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia

x2  z2  2x  2z  3  0 . Hallar su ecuación si pasa por el punto P0 (3,4,2)

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 70 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 71 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

43)17/09/2009)Determinar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en la recta Bisectriz

determinada por las rectas x 1  y 1  z  2 , x 1  y3  z2 y es tangente a los
2 2 1 6 2 3

planos 2x  2y  z  5  0 , 2x  2y  z  3  0

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 72 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 73 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

44) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a

(x 1)2  ( y  3)2  (z  2)2  24 , y que pasan por la recta L: y  5  z , x  5
2 1

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 74 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

45) (25/03/2009) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto : P(-1,6,-3), y

es tangente al plano: P=(7,3,8)+u(-17,3,8)+v(7,-21,8), en el punto P0(7,3,8)
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 75 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 76 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

46) (18/09/2008) Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-2,4,1),

C(-5,0,0) y su centro está en el plano 2x  y  z  3  0

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 77 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

47) (29/03/2012) En la cuadrica: x2  y2z2  11 2(x  2y  3z) . Hallar el punto mas próximo al

plano 3x  4z 19  0 .Luego calcular la distancia desde ese punto al plano.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 78 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

48) (29/03/2012) Bosqueje una grafica de la Cuadrica : x2  y2  2x  2y  0

SOLUCIÓN_________________________________________________________________
SON DOS PLANO : (VISTA EN PLANTA) PL XY

INGENIERÍA CIVIL 79 INGENIERÍA PETROLERA

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CAPITULO III CODEX-CÁLCULO II

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

Una función vectorial se asigna a la representación de curvas en el (plano 2D y el espacio 3D

), una curva en el espacio C es un conjunto de todas las ternas ordenadas  f t, gt, hgt

junto a sus ecuaciones paramétricas x  f (t) y  g(t) z  h(t) donde f (t) g(t) h(t)

son funciones continuas de “t” en un intervalo “I”

FUNCIÓN VECTORIAL: Es un tipo de funciones que asigna vectores a números reales

r  x, y, z r   f (t), g(t), h(t)

LIMITES DERIVADAS E INTEGRALES EN FUNCIONES VECTORIALES: Sea

r   f (t), g(t), h(t) se tiene:

Limite: Lim r   Lim f (t), Lim g(t), Lim h(t )   Derivada:d r   d f (t), d g(t), d h(t ) 
tt0 dt  dt dt dt 
tt0 tt0 tt0

   Integral:  r dt    f (t)dt,  g(t)dt,  h(t)dt

DERIVADAS EN PRODUCTO DE FUNCIONES VECTORIALES

PRODUCTO ESCALAR: PRODUCTO VECTORIAL:

dr(t)  f(t) d r(t ) f(t)  r(t) d f(t)      d d r(t ) f(t) r(t ) d f(t)
dt dt dt dt
     dt dt
   r(t)  f(t)    

t2

LONGITUD DE CURVA “ l ”: l  r(t) ' dt
t1

t y se obtiene de dS r(t) '
dt 
LONGITUD DE ARCO“ S ”: S  r(t) ' dt
0

TRIEDRO MÓVIL: TRIEDRO MOVIL  
“Formado por los vectores Tangente unitario,
Binormal unitario y Normal principal unitario, N  BT
los cuales forman un triedro móvil (ortogonal)
que va viajando a lo largo de la curva suave”  

B




N

 p0
T



INGENIERÍA CIVIL 80 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

  r(t) ' 

TANGENTE UNITARIO T : T r(t) ' CUANDO r(s)  x(s) i  y(s) j z(s) k donde “S” es

 d      r(t) 'r(t) ' '
 
T rs  B: B

parámetro longitud de  ds BINORMAL UNITARIO r(t) 'r(t) ' '

 NORMAL PRINCIPAL UNITARIO 
r(t) ' r(t) ' 'r(t) ' T'
  
r(t) ' r(t) ' 'r(t) ' 
N: N N

T'

PLANO OSCULADOR: (PLANO QUE BESA A LA CURVA) Si la curva es plana (no una
recta), el plano osculador coincide con el plano de la curva.

p0  x0 , y0 , z0 =punto conocido  

B = BINORMAL es vector NORMAL  ( p  p0 )  B  0

RECTA BINORMAL:

p0  x0 , y0 , z0 =punto conocido  

B = BINORMAL es vector DIRECCIONAL  p  p0  m B

PLANO NORMAL:

p0  x0 , y0 , z0 =punto conocido  

T = TANGENTE es vector NORMAL  ( p  p0 )  T  0

RECTA TANGENTE:

p0  x0 , y0 , z0 =punto conocido  TANGENTE es vector DIRECCIONAL  

T= p  p0  mT

PLANO RECTIFICANTE:

p0  x0 , y0 , z0 =punto conocido  

N = NORMAL es vector NORMAL  ( p  p0 )  N  0

RECTA NORMAL:

p0  x0 , y0 , z0 =punto conocido  

N = NORMAL es vector DIRECCIONAL  p  p0  m N

FUNCIÓN VECTORIAL CON PARÁMETRO “S” LONGITUD DE ARCO: Si “C” es una curva



suave dada por: r(s)  x(s) i  y(s) j z(s) k donde “S” es parámetro longitud de arco, debe

cumplir: r(s) '  1

INGENIERÍA CIVIL 81 INGENIERÍA PETROLERA

PAYE

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CODEX-CÁLCULO II

*”Si “t” es cualquier parámetro de la función vectorial  y cumple

r(t) '  1 entonces t  s ” r(t)  x(t) i  y(t) j z(t) k

  
dT dB dN
FORMULAS DE FRENET-SERRET: ds  K  ds    ds  

N N B K T

CURVATURA” K ”:” Es la tendencia de la tangente (velocidad) a cambiar su dirección

respecto a la recta tangente” K   r 'r ' '

dT 3
ds
r'

Cuando la función vectorial esta en función del parámetro longitud de arco “S” K  r(s) ' '

Si la curva es dada por: y  f (x)  K  y''

3
 1 y'2 2

x  x(t)  K  x' y''x'' y'
y  y(t)
3

x'2  y'2 2
 Si la curva es dada por:

a(t) 
 N(t)
curvatura en función de Velocidad y Aceleración:  K 
2
v

RADIO DE CURVATURA “ RK ”: RK  1 
K
CENTRO DE CURVATURA: C  r  RK N

CIRCUNFERENCIA OSCULADORA: Se encuentra contenida en el plano osculador [Con centro
1
 y Radio de Curvatura RK  K ]

de curvatura “ C  r  RK N ”

TORSIÓN” ”: Es la tendencia de apartarse respecto al plano (PLANO OSCULADOR)

   r 'r ' 'r ' ' ' Si una curva es plana   0

dB 2
ds
r 'r ' '

Cuando la función vectorial esta en función del parámetro longitud de arco “S”

  r(S ) 'r(S ) ' 'r(S ) ' ' '

2
r(S ) '

INGENIERÍA CIVIL 82 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

RADIO DE CURVATURA “ R ”: R 1


VECTOR VELOCIDAD: v(t)  r(t) ' RAPIDEZ: v(t )  dS  r(t) ' VECTOR ACELERACIÓN:
a(t)  r(t) ' ' dt

COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN:

 v a d 2s N v  a 2  aT 2  ds 2
TaT v dt 2 aN  a  a K  dt 
a    
v

ACELERACIÓN EN FUNCIÓN DE SUS COMPONENTES TANGENCIAL NORMAL:

T N 

a  aT  aN

PARAMETRIZACION ESPECIALES

 Sea la curva que resulta dela intersección:

ax2  by 2  cz 2  r 2 (1)  De (2) despejamos cualquier variable nosotros tomamos “z”
  my  nz  d(2)
 kx

z  d  (kx  my)  en (1) ax2  by2  c d  (kx  my) 2  r2
n  n 

n2ax2  n2by2  cd 2  2dc(kx  my)  c(kx  my)2  n2r2

n2ax2  n2by2  cd 2  2dckx  2dcmy  ck 2x2  2ckxmy  cm2 y2  n2r2

(ck 2  n2a)x2  (2ckmy  2dck)x  (n2by2  cd 2  2dcmy  cm2 y2  n2r2 )  0 Resolver la ecuación

de segundo grado para “x”

p  ck 2  n2a q  2ckmy  2dck r  n2by2  cd 2  2dcmy  cm2 y2  n2r2

x q q2  4 pr la estrategia esta en la raíz que se encuentra en función de “y”
2 p Donde

Recordando Sustitución Trigonométrica q2  4 pr  u2  y2 hacemos

u2  y2  y  u sen con lo cual se elimina la raíz y tenemos parametrizadas ya las


 x  x( )

ecuaciones en función del ángulo:  y  y( )

 z  z( )

INGENIERÍA CIVIL 83 INGENIERÍA PETROLERA

PAYE

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CODEX-CÁLCULO II

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

49) (28/03/2013)Determinar la forma de la proyección de la curva (x 1)2  y2  z2  36 en el

 yz0

plano XY.

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

50) (01/04/2011)Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida por:

 x2  4y  0

 x 3  24z  0

Luego, analice si existe o no relación de los resultados obtenidos con la cantidad ( y  2)2
2

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 84 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 85 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

51) (20/09/2007) Un proyectiles es lanzado desde el nivel suelo (z=0) siguiendo la trayectoria dada

por z  125  x2  y2; y  2x .Hallar: (a) El Radio de curvatura en el punto más alto que

alcanza el proyectil (b) El alcance horizontal del proyectil (c) Las componentes tangencial y
normal de la aceleración para t=1(d) la ecuación del plano osculador para t=1
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 86 INGENIERÍA PETROLERA

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INGENIERÍA CIVIL 87 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

52) (26/03/2010) Una partícula se mueve a lo largo de la curva f  )  (t 2 , ln(t ),2t ) , siendo t el

(t

tiempo. Hallar en t=1: (a) Las componentes tangencial y normal de la aceleración (b) Las

compontes de la velocidad y la aceleración en la dirección de la recta: x  t 11 , y  2t ,

z  2t  5 (c) La curvatura, la torsión, el radio de curvatura y el radio de torsión.

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 88 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL 89 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

 por la curva y  ex , con 0  x  1 y

53) (17/09/2009)Una función vectorial f (t) esta dada

gt esta dada por la curva x  y  2ln(x  y)  2ln 2 , con 2  x  y  2e .Determinar la

relación que existe entre sus longitudes de arco
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 91 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

54) (18/09/2008) Una particular se mueve siguiendo la trayectoria dada por la intersección de

x2  y2  z2 1 y el plano y  z , Hallar: (a) El vector velocidad en el punto P 1 , 1 , 1  (b)
 2 2 2 

Componentes tangente y Normal de la aceleración en el punto P 1 , 1 , 1 
 2 2 2 

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 92 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

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INGENIERÍA CIVIL 94 INGENIERÍA PETROLERA

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CODEX-CÁLCULO II

55) (17/09/2009)Determinar el plano osculador a la curva determinada por la intersección de las

superficies x2  y2  z2  24 , x  y  z  0 ,en el punto A(2,2,-4)

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 95 INGENIERÍA PETROLERA

PAYE