CODEX 1 CALCULO 2

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CODEX-CÁLCULO II

56) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria

que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto (-2,-1,-2) c: x2  y2  z2  9
 3
 x2  y2 

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 97 INGENIERÍA PETROLERA

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57) (15/09/2011) (a) Demostrar que la curva determinada por la interseción de las superficies

x2  y2  2y  2x  2  0 . Es plana (b) Determinar el plano
 x y  2z  2  0


SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 100 INGENIERÍA PETROLERA

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58) (29/03/2012) Cual es el radio de curvatura de la curva de intersección de

(x  2)2  ( y 1)2  (z  3)2  4 , con el plano 2x  y  z  2

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

59) (20/09/2012)La curva:   (t 2  1, t  1, t 2 ) intersecta al plano 2x  3y  z 11  0 en dos

r(t)

puntos. Hallar estos puntos y calcular la distancia entre ellos a través de la curva

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 102 INGENIERÍA PETROLERA

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

60) (29/03/2012) Dada la curva r(t)  (2Cosh(t),2Senh(t),2t) (a) Bosquejear una grafica (b)

Calcular la curvatura en t=0 (c) Calcular la Torsión en t=0 (d) plano Osculador en t=0.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

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61) (20/09/2012)Para la curva del espacio R3 ;  calcular la curvatura,

f (t)  (4cos t,4sent,3t)

torsión radio de curvatura, centro de curvatura en el punto donde t0  

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

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62) (28/03/2013)Considerar la curva “C” que resulta de la intersección del cilindro parabólico

y  x2 con el plano z  2x , Para el punto P(1,1,2) Calcular: (a) Los planos Normal, Rectificante

y Osculador. (b) La curvatura y la Torsión.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 108 INGENIERÍA PETROLERA

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

63) (28/03/2013)Sea f (t)  (t, ln t) Hallar la circunferencia osculadora de dicha curva en t=1
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 110 INGENIERÍA PETROLERA

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64) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva “C” descrita por la función vectorial



r(t)  (x(t), y(t), z(t)) expresada en metros y “t” en segundos, Si la rapidez de la partícula es
constante e igual a 10 m/s, si el vector Tangente Unitario es paralelo al vector (t2,1,0) ,
determinar (a) La curvatura de ”C” como una función de t (b) La ecuación de la recta tangente a



la curva en el punto r(1)  (1,3,6)
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

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65) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva x  t , y  t 2  4 , z  t3  4t ,

siendo ”t” el tiempo Hallar (a) La componente de su velocidad en la dirección de la recta

x  y 1  z (b) ¿Para qué valor de “t” su aceleración no tiene componte sobre la recta dada?
1 1 0

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

INGENIERÍA CIVIL 113 INGENIERÍA PETROLERA

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66) (27/03/2014)Dada la curva f  )  ( 3 cos t , 3 sent  1 , 3 sent  5 ) (a) Determinar si la misma
2 2 2 2 2
(t

se encuentra contenida en un plano (b) En caso de estarlo, hallar la ecuación de dicho plano (c)

Hallar el vector Binormal

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

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 1

g(s)  (arctg(s),
 67)
(26/03/2010) Una trayectoria esta definida por: 2 ln s2 1 , s  arctg(s)) (a)

Determinar si el parámetro “S” es la longitud de arco (b) Hallar la curvatura y el radio de

curvatura.

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

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
dB v
68) (26/03/2010) Indicar si dt     , donde “v ” es la rapidez y “ ” es el radio de Torsión,

N

Justificar su respuesta.

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

69) (29/03/2012) Puede una curva tener Curvatura k  0 y Torsión   0 ? Justifique su respuesta

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

PUEDE TENER CURVATURA CERO ES UNA RECTA Y YA QUE SU RADIO DE CURVATURA
SERIA INFINITO CUMPLIENDO LA DEFINICIÓN DEL RECTA

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70) (26/03/2010) Indicar en que plano se encuentra el vector aceleración de una partícula que se
mueve a lo largo de una curva en el espacio.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

SE ENCONTRARÍAN EN EL PLANO OSCULADOR

71) (01/04/2011)Si una curva C de R3 se da por 

r(t)  (r1(t), r2 (t), r3(t)) (a) anote las expresiones

que calculan el centro de curvatura y radio de curvatura (b) si S=parámetro de longitud de arco

explique cómo se halla la expresión de la misma curva según: 

 r(s)  (r1(s), r2 (s), r3(s)) (c) si

existe, identifique el valor de r'(s)

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

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72) (20/09/2012)Para la función: f   (e3t cos(3t), e3t sen(3t), e3t ) (a) Identificar la expresión

(t)



de: f (s) (b) Determinar si el parámetro “s” es la longitud de curva

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

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73) (27/03/2014)Una trayectoria está dada por la función vectorial

r   (a cos s , a sin s ,  ) a  Rn (a) Determinar el parámetro “S” es el arco (b) Obtener el
 a   a  2
(s)

triedro T, N, B (c) Calcular la curvatura y la torsión

SOLUCIÓN_________________________________________________________________

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74) (25/11/2013) El movimiento de un cuerpo en el espacio , está dado por las ecuaciones:

x  3t 2 cos(2t) y  3t 2 sen(2t) z  3 3t 2 ,Donde “t” es el tiempo. Si el movimiento empieza

observarse en t  0 , para el punto en que el cuerpo haya recorrido por la curva una distancia
38, calcular la curvatura y la torsión.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________

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PROBLEMAS DE RETO PERSONAL CODEX-CÁLCULO II

EXÁMENES ( UNI LIMA PERU ) INGENIERÍA

78) (II/2010 2T)ABCD es un tetraedro donde C =(-5,14,-3) y D=(32,36,-6). En el triángulo ABC,

L1   7,17,9 t 5,9,4 y L2= x3  y 11  z 3 son dos medianas trazadas desde
4 9 10

diferentes vértices. (a) Hallar los vértices del tetraedro (b) Calcular el volumen del tetraedro.

79) (II/2008 2T) ABCD es un cuadrado con centro R, lado 8 2[u] , BC  t(0,8,8),t  0, L1es una

recta que intercepta en R al plano (PL) que contiene al cuadrado.

N y E son puntos de L1 tal que AN  L1, DN  L1, BE  L1, EC  L1, LAN : x  4  4  y  z ,
2

LND :8 x  8 y  z son rectas que contienen a los segmentos AN y ND respectivamente, M
2

es un punto de AD tal que AM  4MD , sea Q el plano que contiene al triángulo BEC,

d (M , Q)  8 3 , Hallar la ecuación de PL (plano).
3

80) (II/2006 2T) L1 y L2 son rectas que forman un ángulo cuyo coseno es 3 y cuya distancia
5

mínima es 6u, en L1 se ubican los puntos A y D y en L2 se ubican los puntos B y C de manera

que E   6,12, 9  es punto medio BC,CD  (1,6,3) , el plano que contiene a D y L2 es:
 2 

6x  5y  8z 132  0 , hallar las coordenadas de D.

 (II/2005 2T) V – ABC es una pirámide cuya base ABC es un triángulo rectángulo isósceles,
recto en C de lado 2 10 , la mediana trazada de A relativa a BC es :

L = (4, 4, 0) + t(-1,1, 0)

L1 BC M , L2   13 , 19 ,4  t(1,1,3) V, L2  AM  N , La proyección de V sobre la cara
 3 3  



ABC es el punto T de BA,CN  k NT , k  0, P = 3x + 9y – 10z – 30 = 0 contiene a AVC. Hallar la

ecuación del plano ABC.



82) (II/2004 2T)En un tetraedro D-ABC, D=(12,16,16), AB  650, BC  (7,26,0), DC  456



B=(b1, b1, b3), b1  8, DA  t(10,5,16),t  0, BD y AC son ortogonales M=(17,56,0) es punto de
la recta que contienen a BC . Calcular el volumen del solido limitado por el tetraedro D- ABC.



83) (II/2004 2T) En un prisma oblicuo ABCD-A’B’C’D’, BD'  (3,0,4),C  (1,1,1) , A’B’C’D’ es un

trapecio cuya mediana M ' N' 13 P’,Q’ son puntos medios de A' D' y B'C' respectivamente

donde AQ' M ' N', AP' AC  3u, P2 :10x  6y 15z  6  0 contiene a los puntos A, P ’ y C.

Hallar la ecuación vectorial del plano que contiene a la base ABCD.
84) (II/2003 2T) DABCO es un hexaedro de caras triangulares donde O es el origen de

coordenadas, OB  a la cara AOC, la medida del ángulo AOC=90º. Los planos que contienen

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CODEX-CÁLCULO II

las caras DOA y DOB son perpendiculares al plano que contiene a ABC, la recta

L :Q  t(13,2,3) es paralela a la intersección de los planos que contienen a los triángulos

DOA y ABC e interseca esta recta AB en W=(8,-1,0). Los planos que contienen a los
triángulos ACD y DOA son 2x  4y  z  9, 2y  3z  0 Hallar el volumen limitado por el

tetraedro OABC.

  
85) (II/2003 2T) Dados los vectores a  (1,1,0) , b  (2,1,1) y c  (1,3,2) vectores en V3 . x, y, z



son las proyecciones ortogonales de los vectores a, b, c sobre los planos determinados por los

vectores    ,     y     respectivamente. Hallar el volumen del tetraedro determinado

b, c a, c a, b
    



por los vectores x, y, z

 

86) (II/2002 2T) Sea un paralelepípedo con aristas a, b y c positivamente orientado donde

proy proy     //(     //( 
b    
a c 2,3,0) ,  a b 4,5,6) y a (1,0,0)  a .Si una de sus

c



diagonales es el valor d  t(0,1,3), d  4 10 M=(3,-1,-4) es punto de intersección de las

diagonales del paralelepípedo (a) Hallar los vértices del paralelepípedo (b)

L1  (1.1.1)  t  c ) L2  (1.1.1)  t  b) P es un plano que contiene a L1 y a L2.

(b (c
 

Averiguar si el punto M y el origen de coordenadas están a un mismo lado o en lados opuestos

con respecto al plano P.

EXÁMENES ( U.TOKIO–JAPON) DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
(TRADUCIDO POR TRADUCTOR GOOGLE www.google.com )

87) (CICLO 2008-1) Sean los vectores  y  de V3 tal que           0,

a,b, c,d e a b c d e e


           2 

c a  0, b e  0, c d  a, a b  a  b , b c  b  c , cd  2 d,

5  2  2     
2
d  c  8.Hallar a b  d  ?


      
88) (CICLO 2006-1) Sean los vectores a, b, c, d de Vn donde a  b  c  d a b c  d  0,

                       , ,         ,  0 ,Hallar

a c d a c b, a a c d b c a c b c
        

        ,  ?

a d a c
  

INGENIERÍA CIVIL 128 INGENIERÍA PETROLERA

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JOSE PAYE CHIPANA  JOSUE PAYE CHIPANA 

CODEX-CÁLCULO II

89) (CICLO 2006-1)Dados los puntos P=(0,0,0) y Q=(1,1,1): Determine las proyecciones de los
puntos P y Q y además indique si los puntos P y Q se encuentran arriba o debajo del plano

(PL) que pasa por el punto (1,4,-2) y dista una unidad de la recta L  (2.6.5)  t(2,4,0),t  R

90) (CICLO 2006-1)Sean R y W: 17x 17y  7z  298  0, dos planos secantes, sean los puntos

P   3 , 5 ,2 , A y B comunes a los dos planos R y W. D   8, r,19, es un punto de W, Q es
 2 2 

un punto de la recta L2  D W a,W  R tal que 

PQ  L1, PQ  L2, QP//(9,9,2),

AQ  QB, PC  PD, c es un punto de L2 y del plano R, averiguar en que ángulo diedro de la

intersección de los planos W se encuentra en el punto Q y el origen de coordenadas.

91) (CICLO 2006-1)En una pirámide A-PRNM, PR  PM , el punto P   4,1,0, los planos

P1: 4y  z  4  0, P2 : X  4y  0, contiene a los triángulos PAN y PAM respectivamente, el

ángulo diedro que forman los planos P3 y P4 que contienen a PRNM y APR respectivamente

mide 45º. El plano P3 es perpendicular al plano que contiene a RAN, R=(-4,0,0), m<PRN=90º.
Hallar el ángulo que forman los planos P2 y P3

92) (CICLO 2006-1)Dado el triángulo ABC y las rectas L1: x9  y 18 z  2
5 11

L2 : x  4  y 11  z 8 Medianas del triángulo trazadas de los vértices C y A
7 17 15

respectivamente. Si B=(-5,2,3) encontrar los Vértices A y C del triángulo.

INGENIERÍA CIVIL 129 INGENIERÍA PETROLERA

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