ชุดการเรียนการสอน เรื่อง ลำดับและอนุกรม

48 4. ถ้าตัวกลางเลขคณิต ที่อยู่ระหว่าง 2 และ n เท่ากับ 20 จงหา n ก. 28 ข. 34 ค. 36 ง. 38 จ. 40 5.จงหาตัวกลางเลขคณิต 3 จ านวนที่อยู่ระหว่าง 3 และ 27 ก. 7, 14, 21 ข. 9, 18, 27 ค. 6, 12, 18 ง. 11, 16, 22 จ. 9, 15, 21 6. จงหาตัวกลางเลขคณิต 4 จ านวนที่อยู่ระหว่าง 4 และ -16 ก. 1, -5, -11, -13 ข. 0, -4, -9, -13 ค. 0, -2, -4, -8 ง. 0, -4, -8, -12 จ. 0, -2, -8, -12 7. ก าหนดให้ 3, x, 7, y, 11 เป็นล าดับ จงหา x + y ก. 13 ข. 14 ค. 15 ง. 16 จ. 17 8. ก าหนดให้ 99, x, 77, y, 55 เป็นล าดับ จงหา x – y ก. 22 ข. 11 ค. -22 ง. -11 จ. 44

49 9.จงหาผลรวมของจ านวนสามจ านวนที่อยู่ระหว่าง 0 และ 80 ก. 100 ข. 120 ค. 140 ง. 160 จ. 180 10.จงหาผลคูณของจ านวนสองจ านวนที่อยู่ระหว่าง -7 และ 8 ก -16 ข. 16 ค. -15 ง. 15 จ. 20

50 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ตัวกลางเลขคณิต

51 จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบเรื่องนี้แล้วนักเรียนสามารถ ด้านความรู้ (K) 1. สามารถหาตัวกลางเลขคณิตได้ถูกต้อง ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 1. มีความสามารถในการให้เหตุผล 2. มีทักษะการแก้ปัญหาจากสถานการณ์ หรือโจทย์สมการที่กำหนดให้ 3. มีความสามารถในการสื่อความหมายและการนำเสนอ ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 1. ความซื่อสัตย์ 2. ใฝ่เรียนรู้ 3. ความมุ่งมั่นในการทำงาน

52 ตัวกลางเลขคณิต "k จำนวน" ระหว่าง a กับ b คือ ตัวเลข k ตัว ที่แทรกระหว่าง a กับ b แล้วได้ลำดับเลข คณิต โดยแต่ละคู่ที่อยู่ติดกัน จะมีผลต่างร่วม d = − +1 เช่น ถ้าจะหาตัวกลางเลขคณิต 3 จำนวนระหว่าง 23 กับ 91 จะได้แต่ละตัวต่างกัน d = 91−23 3−1 = 17 ดังนั้น ตัวกลางเลขคณิต 3 จำนวน ระหว่าง 23 กับ 91 คือ 40, 57, 74 ซึ่งจะเห็นว่า 23, 40, 57, 74, 91 เป็นลำดับเลขคณิต ที่มีผลต่างร่วม คือ 17 เนื้อหาที่ 3.1 ตัวกลางเลขคณิต ตัวกลางเลขคณิต “ตัวกลางเลขคณิต” ระหว่าง a กับ b หาได้จากสูตร + 2 “ จะเห็นว่า ถ้า x เป็นตัวกลางเลขคณิตระหว่าง a กับ b แล้ว จะ ได้ว่า ลำดับ a , x , b เป็นลำดับเลขคณิตเสมอ เช่น ตัวกลางเลข คณิต ระหว่าง 23 กับ 91 คือ ซึ่งจะเห็นว่า 23 , 57 , 91 เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต ที่ มีผลต่างร่วม คือ 34

53 จงตอบคำถามในข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้อง (ข้อละ 1 คะแนน) 1. จงหาตัวกลางเลขคณิต ระหว่าง 12 และ 38 2. จงหาตัวกลางเลขคณิต ระหว่าง -3 และ 9 3. ถ้าตัวกลางเลขคณิตระหว่าง 2 กับ X คือ 13 แล้ว จงหาค่า x 4. จำนวนคู่หนึ่ง มีตัวกลางเลขคณิตคือ 10 ถ้าจำนวนคู่นี้ห่างกัน 6 แล้ว จงหาจำนวนคู่นี้ 5. จงหาตัวกลางเลขคณิต 4 จำนวน ระหว่าง 17 กับ 32 6. จงหาตัวกลางเลขคณิต 3 จำนวน ระหว่าง 1 กับ 25 7. จงหาตัวกลางเลขคณิต 4 จำนวน ระหว่าง -8 กับ 17 8. ถ้าตัวกลางเลขคณิต 2 จำนวน ระหว่าง a และ b คือ 12 และ 20 แล้ว จงหา a และ b กิจกรรมที่ 3.1ตัวกลางเลขคณิต

54 เฉลยกิจกรรมที่ 3.1

55 แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเลขคณิต คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. ถ้าตัวกลางเลขคณิต "k จำนวน" ระหว่าง a กับ b คือ ตัวเลข k ตัว ที่แทรกระหว่าง a กับ b แล้วได้ลำดับ เลขคณิต โดยแต่ละคู่ที่อยู่ติดกัน จะมีผลต่างร่วมเท่าใด ก. − +1 ข. − +1 ค. − ง. − 2 จ. − 2+1 2. จงหาตัวกลางเลขคณิต ที่อยู่ระหว่าง 14 และ 18 ก. 14 ข. 15 ค. 16 ง. 17 จ. 18 3.จงหาตัวกลางเลขคณิต ที่อยู่ระหว่าง 1 และ -1 ก. 1 ข. 0.5 ค. 0 ง. -0.5 จ. -1

56 4. ถ้าตัวกลางเลขคณิต ที่อยู่ระหว่าง 2 และ n เท่ากับ 20 จงหา n ก. 28 ข. 34 ค. 36 ง. 38 จ. 40 5.จงหาตัวกลางเลขคณิต 3 จ านวนที่อยู่ระหว่าง 3 และ 27 ก. 7, 14, 21 ข. 9, 18, 27 ค. 6, 12, 18 ง. 11, 16, 22 จ. 9, 15, 21 6. จงหาตัวกลางเลขคณิต 4 จ านวนที่อยู่ระหว่าง 4 และ -16 ก. 1, -5, -11, -13 ข. 0, -4, -9, -13 ค. 0, -2, -4, -8 ง. 0, -4, -8, -12 จ. 0, -2, -8, -12 7. ก าหนดให้ 3, x, 7, y, 11 เป็นล าดับ จงหา x + y ก. 13 ข. 14 ค. 15 ง. 16 จ. 17 8. ก าหนดให้ 99, x, 77, y, 55 เป็นล าดับ จงหา x – y ก. 22 ข. 11 ค. -22 ง. -11 จ. 44

57 9.จงหาผลรวมของจ านวนสามจ านวนที่อยู่ระหว่าง 0 และ 80 ก. 100 ข. 120 ค. 140 ง. 160 จ. 180 10.จงหาผลคูณของจ านวนสองจ านวนที่อยู่ระหว่าง -7 และ 8 ก -16 ข. 16 ค. -15 ง. 15 จ. 20

58 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเลขคณิต

59 แบบวัดและประเมินผล แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเลขคณิต ชื่อ………………………………………………………………………………………….. เลขที่………………….. ชั้น…………………….. วัน/เดือน/ปี ที่ประเมิน………………………………………………………………… คะแนนแบบทดสอบ หลังเรียน สรุปผลการประเมิน ผ่าน ไม่ผ่าน เกณฑ์การผ่าน คะแนนที่ได้จากการทำแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเลขคณิต ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปถือว่าผ่าน เกณฑ์(7 คะแนนขึ้นไป) เกณฑ์การให้คะแนน แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเลขคณิต ตรวจสอบคำตอบได้จากเฉลย เกณฑ์การให้คะแนน 1 คะแนน หมายถึง คำตอบถูกต้อง 0 คะแนน หมายถึง คำตอบไม่ถูกต้อง

60

61 คำชี้แจง ในการเรียนรู้จากชุดการเรียนการสอนชุดที่ 4 เรื่อง ลำดับเรขาคณิต นักเรียนต้องทำความเข้าใจบทบาทของ ตนเองเพื่อดำเนินกิจกรรมการเรียนการสอนให้บรรลุตามจุดประสงค์การเรียนรู้และให้มีประสิทธิภาพ ดังนี้ 1. ศึกษาคำชี้แจงการใช้ชุดการเรียนการสอนให้เข้าใจก่อนที่จะลงมือปฏิบัติกิจกรรมในชุดการเรียน การสอนและปฏิบัติกิจกรรมตามลำดับขั้นตอน 2. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจจุดประสงค์การเรียนรู้ 3. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน 4. นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามคำสั่ง 5. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจและปฏิบัติกิจกรรมต่าง ๆ ให้ครบทุกกิจกรรม 6. ในระหว่างที่นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมต่างๆ ถ้านักเรียนมีข้อสงสัยสามารถปรึกษาหารือ สอบถามจาก เพื่อนในกลุ่ม หรือครูผู้สอนในระหว่างการเรียนได้ 7. เมื่อนักเรียนเรียนจบแต่ละชุดการเรียนการสอน ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียนเพื่อ ประเมินผลการเรียนรู้และตรวจคำตอบจากแบบเฉลย 8. ประเมินผลการเรียนรู้ของตนเองว่าผ่านเกณฑ์หรือไม่ ถ้าผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนเตรียมตัวทำชุด กิจกรรมต่อไป และถ้านักเรียนมีผลการประเมินการเรียนรู้ไม่ผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนย้อนกลับไป ศึกษา และทำ ความเข้าใจในเนื้อหาจากเนื้อหาและทำกิจกรรมด้วยตนเองอีกครั้ง

62 แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ลำดับเรขาคณิต คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. ข้อใดต่อไปนี้เป็นลำดับเรขาคณิต ก. 2, 4, 6, 8, … ข. 3, 5, 7, 9, … ค. -2, 0, 2, 4, .. ง. 1, -1, 9, -9, … จ. 5, 10, 15, 20, … 2. ข้อใดคืออัตราส่วนร่วมของลำดับ 2, 6, 18, 54, … ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 จ. 5 3. ปัจจุบัน คนสามคน มีอายุ 6, 20, 37 ปี จงหาว่าอีกกี่ปี อายุของคนทั้งสามจึงจะเรียงเป็นลำดับเรขาคณิต ก. 9 ปี ข. 19 ปี ค. 39 ปี ง. 150 ปี จ. 190 ปี 4. จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับเรขาคณิต 1, -3, 9, -12, … ก. − 1 3 ข. 1 3 ค. 3 ง. -3 จ. 6

63 5. พจน์ทั่วไปของลำดับ 1, 2, 4, 6, … คือข้อใด ก. an = 2n-1 ข. an = 2n ค. an = 2n+1 ง. an = -2 n จ. ไม่มีข้อถูก 6. ข้อใดคือพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต ก. an = a1 r n+1 ข. an = an-1 r n ค. an = a1 r n-1 ง. an = anr n-1 จ. an = a1 r n 7. 54, x, 9, … จงหา x ก. 63 ข. 27 ค. 28 ง. 13 จ. 7 8. ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มี a2 = 2 และ a7 = 64 จงหาสูตรพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ ก. an = 2n-1 ข. an = 2n+1 ค. an = 2n ง. an = 2-n+1 จ. an = 2n-2

64 9. จงหาพจน์ที่ 59 ของลำดับ 2, -2, 2, -2, … ก. -1 ข. 1 ค. 2 ง. -2 จ. 0 10. จงหาพจน์ที่ 9 ของลำดับ 2, -1, 1 2 , … ก. 1 64 − ข. 1 64 ค. 1 128 − ง. 1 128 จ. 1 256

65 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ลำดับเรขาคณิต

66 จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบเรื่องนี้แล้วนักเรียนสามารถ ด้านความรู้ (K) 1. บอกความหมายของลำดับเรขาคณิตได้ถูกต้อง 2. บอกได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับราขาคณิตได้ถูกต้อง 3. สามารถหาอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตได้ถูกต้อง 4. สามารถหาพจน์ทั่วไปได้ถูกต้อง ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 1. มีความสามารถในการให้เหตุผล 2. มีทักษะการแก้ปัญหาจากสถานการณ์ หรือโจทย์สมการที่กำหนดให้ 3. มีความสามารถในการสื่อความหมายและการนำเสนอ ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 1. ความซื่อสัตย์ 2. ใฝ่เรียนรู้ 3. ความมุ่งมั่นในการทำงาน

67 ตัวอย่าง ลำดับเรขาคณิต เช่น 2, 6, 18, 54 3,-6,12,-24 10,5,... แต่ 1, 4, 9, 16 ไม่ใช่ลำดับเรขาคณิต เพราะคูณเพิ่มไม่คงที่ เราเรียกค่าคงที่ ที่นำมาคูณ ว่า “อัตราส่วนร่วม” ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์r เช่น 2 , 6 , 18 , 54 → r = 3 5 , 5 , 5 , 5 → r = 1 1 , √2 , 2 , 2√2 → r = √2 3 , -6 , 12 , -24 → r = -2 จะเห็นว่า ถ้าเอาสองพจน์ที่อยู่ติดกันในลำดับเรขาคณิต มาหารกัน โดยเอาพจน์ขวาเป็นตัวตั้ง หารด้วย พจน์ซ้ายที่อยู่ติดกัน จะได้ผลลัพธ์เท่ากับ r เสมอ เช่น ในลำดับเรขาคณิต 2 , 6 , 18 , 54 , ... จะเห็นว่า 6 2 = 18 6 = 54 18 = 3 = r ตัวอย่าง ปัจจุบัน คนสามคน มีอายุ 5, 17, 47 ปี จงหาว่าอีกกี่ปี อายุของคนทั้งสามจึงจะเรียงเป็นลำดับ เรขาคณิต วิธีทำ เมื่อผ่านไป x ปี อายุของคนทั้งสาม จะกลายเป็น 5 + x , 17+ x , 47 + x ปี ตามลำดับ ลำดับนี้จะเป็นลำดับเรขาคณิต เมื่อ 17+x 5+x = 47+x 17+x (17+ x)(17+ x) = (47+ x)(5 + x 289 +34x + x² = 235+52x + x² 54 = 18x 3 = x นั่นคือ อีก 3 ปี อายุของคนทั้งสามจึงจะเรียงเป็นลำดับเรขาคณิต เนื้อหาที่ 4.1 ลำดับเรขาคณิต ลำดับเรขาคณิต ในหัวข้อที่แล้ว เราเรียนลำดับเลขคณิต ซึ่งเป็นลำดับที่เพิ่มหรือลด อย่างคงที่ โดยการ "บวก" ในหัวข้อนี้ จะพูดถึง ลำดับเรขาคณิต ซึ่งเป็นลำดับที่เพิ่มหรือลด อย่างคงที่ โดยการ “คูณ”

68 ตัวอย่าง ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มีผลบวกและผลคูณของสามพจน์แรก เท่ากับ 13 และ 27 ตามลำดับ จงหา สามพจน์แรกของลำดับนี้ วิธีทำ ใช้วิธีสมมติ x สร้างสมการ แล้วแก้สมการ ในโจทย์ประเภทนี้ เรานิยมใช้เทคนิค "สมมติให้ x แทนพจน์กลาง” เพื่อความสมดุลในการตัดเลข แต่ละพจน์ในลำดับเลขคณิต ต้องห่างกันเป็นทวีคูณของ r ดังนั้น จะได้สามพจน์นี้ คือ , x , xr สามพจน์แรก คูณกันได้ 27 ดังนั้น ( )(x)(xr) = 27 X 3 = 27 X = 3 แทนค่า x จะได้ สามพจน์นี้ คือ 3 , 3 , 3r สามพจน์นี้ บวกกันได้ 13 ดังนั้น 3 + 3 + 3r = 13 3 + 3r + 3r2 = 13r 3r2 - 10r + 3 = 0 (r - 3)(3r - 1) = 0 r = 3, 1 3 แทนค่า r = 3 จะได้ สามพจน์นี้ คือ 1 , 3 , 9 r = 1 3 จะได้ สามพจน์นี้ คือ 9 , 3 , 1 (มี 2 คำตอบ) สูตรถัดมาที่ต้องจำให้ขึ้นใจ คือ สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับเรขาคณิต 1 , 2 , 2 , 2√2 , ... วิธีทำ จะเห็นว่าลำดับนี้มี a1 = 1 และ r = √2 ดังนั้น สูตรพจน์ทั่วไป คือ an = (1)(√2) n-1 ดังนั้น พจน์ที่ 10 = a10 = (1) (√2)10-1 = (√2)9 = 16√2 ตัวอย่าง ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มี a1 = 2 และ a7 = 2592 จงหาสูตรพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ วิธีทำ จากสูตร an = a1 r n-1 แทน n = 3 จะได้ a3 = a1 r 3-1 2 = a1 r² (1) แทน n = 7 จะได้ a7 = a1 r 7-1 2592 = a1 r 6 (2) (2) ÷ (1) : 2592 2 = 1 6 1 2 1296 = r4 an = a1 r n-1

69 ±∜1296 = r ±6 = r แทน r = ±6 ใน (1) : 2 = a1 + (±6) a1 = 2 36 = 1 18 ดังนั้น สูตรทั่วไป คือ an = ( 1 18 )(-6)n-1 (สองคำตอบ) ตัวอย่าง ลูกบอลตกจากที่สูง 6400 เมตร เมื่อตกถึงพื้น ลูกบอลจะกระดอนกลับขึ้นไปได้สูงเป็นครึ่งหนึ่งของ ความสูงที่ตกลงมาเสมอ ถ้าปล่อยให้ลูกบอลกระดอนต่อไปเรื่อย ๆ จงหาว่าหลังจากการตกถึงพื้นครั้งที่ 10 ลูก บอล จะกระดอนกลับขึ้นไปได้สูงเท่าไหร่ วิธีทำ ในการกระดอนครั้งแรก ลูกบอลจะขึ้นไปได้สูง 3200 เมตร ในการกระตอนครั้งที่สอง ลูกบอลจะขึ้นไปได้สูง 1600 เมตร ในการกระดอนครั้งที่สาม ลูกบอลจะขึ้นไปได้สูง 800 เมตร จะเห็นว่า ความสูงของลูกบอลกระดอนกลับ เรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต ที่มี a1 = 3200 และ r = 1 2 จะได้สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ คือ an = 3200 ( 1 2 ) n-1 ดังนั้น ครั้งที่ 10 ลูกบอลจะกระดอนสูง = 3200 ( 1 2 ) 10-1 = 3200 2 9 = 6.25 เมตร

70 จงพิจารณาว่า ลำดับในข้อใดต่อไปนี้ เป็นลำดับเรขาคณิต พร้อมทั้งหาอัตราส่วนร่วม (ข้อละ 1 คะแนน) 1. 2 , 4 , 6 , 8 , ... 2. 1 , 4 , 16 , 64 , ... 3. 1 , 10 , 100 , 1000 , .... 4. 625 , 125 , 25 , 5 , ... 5. 0.8 , 0.08 , 0.008 , .... 6. 5 , 5 , 5 , 5 , ... 7. √1 , √2 , √3 , √4 , … 8. 1 , 1 , 1 , -1 , .... 9. 24 , 8 , 8 3 , 8 9 , … 10. 3, 3√3 , 9, 9√3 , … 11. 81 , -27, 9 , -3 , … 12. 8, - 4√2 , 4 , - 2√2 , … 13. x , 2x , 3x , 4x , .. 14. x , x 2 , x3 , x4 , … กิจกรรมที่ 4.1 ลำดับเรขาคณิต

71 1. จงหาสูตรพจน์ทั่วไปของลำดับต่อไปนี้(ข้อละ 1 คะแนน) 1. 5 , 15 , 45 , ... 2. 48 , 24 , 12 , ... 3. 2 , 2√2 , 4 , 4√2 , ... 4. 1 , − 1 2 , 1 4 , − 1 8 , … 2. จงหาพจน์ที่ 7 ของลำดับ 2 , 4 , 8 , .... 3. กำหนดลำดับ 162 , 54 , 18 , ... จงหาค่าของ a7 4.กำหนดลำดับ 1 27 , 1 9√3 , 1 9 , 1 3√3 , … จงหาค่าของ a10 5. จงหาว่า 243 เป็นพจน์ที่เท่าไร ของลำดับ 1 , √3 , 3 , ... 6. จงหาว่าลำดับ 5 , 5√2 , 10, … , 40 มีกี่พจน์ 7. ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มีผลบวกและผลคูณของสามพจน์แรก เท่ากับ 6 และ -64 ตามลำดับ จงหาสาม พจน์แรกของลำดับนี้ 8. ถ้าลำดับ x – 1 , x + 3 , 2x เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จงหาค่า x กิจกรรมที่ 4.2 ลำดับเรขาคณิต

72 9. เด็ก 3 คน มีอายุ 1 , 5 และ 13 ปี จงหาว่าอีกกี่ปี อายุของเด็กทั้งสามจึงจะเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต 10. ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มี a5 = 24 และ a7 = 96 จงหา r

73 เฉลย กิจกรรมที่ 4.1 – 4.2

74 แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ลำดับเรขาคณิต คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. ข้อใดต่อไปนี้เป็นลำดับเรขาคณิต ก. 2, 4, 6, 8, … ข. 3, 5, 7, 9, … ค. -2, 0, 2, 4, .. ง. 1, -1, 9, -9, … จ. 5, 10, 15, 20, … 2. ข้อใดคืออัตราส่วนร่วมของลำดับ 2, 6, 18, 54, … ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 จ. 5 3. ปัจจุบัน คนสามคน มีอายุ 6, 20, 37 ปี จงหาว่าอีกกี่ปี อายุของคนทั้งสามจึงจะเรียงเป็นลำดับเรขาคณิต ก. 9 ปี ข. 19 ปี ค. 39 ปี ง. 150 ปี จ. 190 ปี 4. จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับเรขาคณิต 1, -3, 9, -12, … ก. − 1 3 ข. 1 3 ค. 3 ง. -3 จ. 6

75 5. พจน์ทั่วไปของลำดับ 1, 2, 4, 6, … คือข้อใด ก. an = 2n-1 ข. an = 2n ค. an = 2n+1 ง. an = -2 n จ. ไม่มีข้อถูก 6. ข้อใดคือพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต ก. an = a1 r n+1 ข. an = an-1 r n ค. an = a1 r n-1 ง. an = anr n-1 จ. an = a1 r n 7. 54, x, 9, … จงหา x ก. 63 ข. 27 ค. 28 ง. 13 จ. 7 8. ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มี a2 = 2 และ a7 = 64 จงหาสูตรพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ ก. an = 2n-1 ข. an = 2n+1 ค. an = 2n ง. an = 2-n+1 จ. an = 2n-2

76 9. จงหาพจน์ที่ 59 ของลำดับ 2, -2, 2, -2, … ก. -1 ข. 1 ค. 2 ง. -2 จ. 0 10. จงหาพจน์ที่ 9 ของลำดับ 2, -1, 1 2 , … ก. 1 64 − ข. 1 64 ค. 1 128 − ง. 1 128 จ. 1 256

77 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ลำดับเรขาคณิต

78 แบบวัดและประเมินผล แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ลำดับเรขาคณิต ชื่อ………………………………………………………………………………………….. เลขที่………………….. ชั้น…………………….. วัน/เดือน/ปี ที่ประเมิน………………………………………………………………… คะแนนแบบทดสอบ หลังเรียน สรุปผลการประเมิน ผ่าน ไม่ผ่าน เกณฑ์การผ่าน คะแนนที่ได้จากการทำแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ลำดับเรขาคณิต ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปถือว่าผ่าน เกณฑ์(7 คะแนนขึ้นไป) เกณฑ์การให้คะแนน แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ลำดับเรขาคณิต ตรวจสอบคำตอบได้จากเฉลย เกณฑ์การให้คะแนน 1 คะแนน หมายถึง คำตอบถูกต้อง 0 คะแนน หมายถึง คำตอบไม่ถูกต้อง

79

80 คำชี้แจง ในการเรียนรู้จากชุดการเรียนการสอนชุดที่ 5 เรื่องตัวกลางเรขาคณิต นักเรียนต้องทำความเข้าใจบทบาทของ ตนเองเพื่อดำเนินกิจกรรมการเรียนการสอนให้บรรลุตามจุดประสงค์การเรียนรู้และให้มีประสิทธิภาพ ดังนี้ 1. ศึกษาคำชี้แจงการใช้ชุดการเรียนการสอนให้เข้าใจก่อนที่จะลงมือปฏิบัติกิจกรรมในชุดการเรียน การสอนและปฏิบัติกิจกรรมตามลำดับขั้นตอน 2. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจจุดประสงค์การเรียนรู้ 3. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน 4. นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามคำสั่ง 5. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจและปฏิบัติกิจกรรมต่าง ๆ ให้ครบทุกกิจกรรม 6. ในระหว่างที่นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมต่างๆ ถ้านักเรียนมีข้อสงสัยสามารถปรึกษาหารือ สอบถามจาก เพื่อนในกลุ่ม หรือครูผู้สอนในระหว่างการเรียนได้ 7. เมื่อนักเรียนเรียนจบแต่ละชุดการเรียนการสอน ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียนเพื่อ ประเมินผลการเรียนรู้และตรวจคำตอบจากแบบเฉลย 8. ประเมินผลการเรียนรู้ของตนเองว่าผ่านเกณฑ์หรือไม่ ถ้าผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนเตรียมตัวทำชุด กิจกรรมต่อไป และถ้านักเรียนมีผลการประเมินการเรียนรู้ไม่ผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนย้อนกลับไป ศึกษา และทำ ความเข้าใจในเนื้อหาจากเนื้อหาและทำกิจกรรมด้วยตนเองอีกครั้ง

81 แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ตัวกลางเรขาคณิต คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 3 จ านวน ระหว่าง 3 และ 108 ก. 3√6, 18, 18√6 ข. 3√6, 12√6, 18√6 ค. 6, 36, 54 ง. 12, 24, 54 จ. 3, 9, 81 2. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 5 จ านวน ระหว่าง 1 และ 64 ก. 3, 6, 12, 15, 30 ข. 2, 4, 8, 16, 32 ค. 1, 2, 4, 16, 32 ง. 1, 6, 12, 24, 36 จ. ไม่มีข้อถูก 3. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 2 จ านวน ระหว่าง -2 และ -250 ก. -10, -50 ข. 10, -50 ค. -10, 50 ง. 50, 100 จ. 100, 150 4. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 2 จ านวน ระหว่าง 3 และ -192 ก. -54, -132 ข. 54, 132 ค. -12, 48 ง. 12, -48 จ. 12, 48

82 5. จงหาผลรวมของตัวกลางเรขาคณิต 3 จ านวน ระหว่าง -1 และ -16 ก. 14 ข. -14 ค. 16 ง. -16 จ. - 6. จงหาผลรวมของตัวกลางเรขาคณิต 2 จ านวน ระหว่าง 4 และ 500 ก. 30 ข. 60 ค. 100 ง. 120 จ. 150 7. ถ้า 4, x, 36, y, 324 เป็นล าดับเรขาคณิต จงหา y + x ก. 30 ข. 60 ค. 100 ง. 120 จ. 150 8. ถ้า -2, x, -18, y, -162 เป็นล าดับเรขาคณิต จงหา y ÷ x ก. 12 ข. -12 ค. 10 ง. -10 จ. 9 9. ถ้า -1, x, y, 8 เป็นล าดับเรขาคณิต จงหา y 3 ก. 16 ข. -16 ค. 64 ง. -64 จ. 128

83 10. ถ้า -3, x, -27, y, -243 เป็นล าดับเรขาคณิต จงหา y ÷ x ก. 3 ข. 6 ค. 9 ง. 18 จ. 27

84 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ตัวกลางเรขาคณิต

85 จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบเรื่องนี้แล้วนักเรียนสามารถ ด้านความรู้ (K) 1. สามารถหาตัวกลางเรขาคณิตได้ถูกต้อง ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 1. มีความสามารถในการให้เหตุผล 2. มีทักษะการแก้ปัญหาจากสถานการณ์ หรือโจทย์สมการที่กำหนดให้ 3. มีความสามารถในการสื่อความหมายและการนำเสนอ ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 1. ความซื่อสัตย์ 2. ใฝ่เรียนรู้ 3. ความมุ่งมั่นในการทำงาน

86 ตัวกลางเรขาคณิต ตัวกลางเรขาคณิต ระหว่าง a กับ b หาได้จากสูตร ±√ab ซึ่งถ้า x เป็นตัวกลางเรขาคณิตระหว่าง a กับ b แล้ว จะได้ว่า ลำดับ a , x , b เป็นลำดับเรขาคณิตเสมอ เช่น ตัวกลางเรขาคณิต ระหว่าง 7 กับ 175 คือ ซึ่งจะเห็นว่า 7, 135 , 175 เรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม คือ 5 และ -5 ตัวกลางเรขาคณิต จำนวน ระหว่าง a กับ b คือ ตัวเลข 4 จำนวน ที่แทรกระหว่าง a กับ b แล้วได้ลำดับ เรขาคณิต โดยลำดับเรขาคณิตดังกล่าว จะมีอัตราส่วนร่วมสอดคล้องกับสมการ r k+1 = สิ่งที่ต้องระวังในการแก้สมการหา r คือ ถ้า k + 1 เป็นเลขคู่ จะหา r ได้เฉพาะกรณีที่ ≥ 0 เท่านั้น และ ถ้า k + 1 เป็นเลขคู่ ค่า r จะเป็นได้ทั้งบวกและลบ (เพราะ บวก หรือ ลบ ยกกำลังคู่ ก็ได้บวกเท่ากัน) ตัวอย่าง จงหาตัวกลางเรขาคณิต 5 จำนวน ระหว่าง 4 กับ 108 วิธีทำ ต้องหาจำนวน 5 จำนวน ที่แทรกระหว่าง 4 กับ 108 แล้วได้ลำดับเรขาคณิต ก่อนอื่น หา r โดยแก้ สมการ r 5+1 = 108 4 r 6 = 27 r 6 = 3 3 r = ดังนั้น ตัวกลาง 5 จำนวนนั้น คือ หรือ เนื้อหาที่ 5.1 ตัวกลางเรขาคณิต

87 1. จงหาตัวกลางเรขาคณิตระหว่างจำนวนต่อไปนี้(ข้อละ 1 คะแนน) 1. 4 และ 36 2. -5 และ -20 3. 15 และ 45 4. a และ a 2 2. ถ้าตัวกลางเรขาคณิต ระหว่าง 3 กับ X คือ ±15 แล้ว จงหาค่า x ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. 3. จำนวนคู่หนึ่ง มีตัวกลางเรขาคณิตคือ ±10 ถ้าจำนวนคู่นี้หารกันได้ 4 แล้ว จงหาจำนวนคู่นี้ ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. 4. จงหาตัวกลางเราคณิต 2 จำนวน ระหว่าง 6 กับ 48 ................................................................................................................. ............................................................. ............................................................................................................................. ................................................. 5. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 2 จำนวน ระหว่าง 8 และ 27 ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. 6. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 3 จำนวน ระหว่าง -5 กับ -405 .............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. 7. จงหาตัวกลางเป็นคณิต 4 จำนวน ระหว่าง 3 กับ 384 2 ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. 8. ถ้าตัวกลางเรขาคณิต 3 จำนวน ระหว่าง a และ b คือ 2, 4, 8 แล้ว จงหา a และ b .............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. 9. ถ้าตัวกลางเรขาคณิต 2 จำนวน ระหว่าง a และ b คือ 6 และ 9 แล้ว จงหา a และ b ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. กิจกรรมที่5.1 ตัวกลางเรขาคณิต

88 เฉลยกิจกรรมที่5.1

89 แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเรขาคณิต คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 3 จ านวน ระหว่าง 3 และ 108 ก. 3√6, 18, 18√6 ข. 3√6, 12√6, 18√6 ค. 6, 36, 54 ง. 12, 24, 54 จ. 3, 9, 81 2. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 5 จ านวน ระหว่าง 1 และ 64 ก. 3, 6, 12, 15, 30 ข. 2, 4, 8, 16, 32 ค. 1, 2, 4, 16, 32 ง. 1, 6, 12, 24, 36 จ. ไม่มีข้อถูก 3. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 2 จ านวน ระหว่าง -2 และ -250 ก. -10, -50 ข. 10, -50 ค. -10, 50 ง. 50, 100 จ. 100, 150 4. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 2 จ านวน ระหว่าง 3 และ -192 ก. -54, -132 ข. 54, 132 ค. -12, 48 ง. 12, -48 จ. 12, 48

90 5. จงหาผลรวมของตัวกลางเรขาคณิต 3 จ านวน ระหว่าง -1 และ -16 ก. 14 ข. -14 ค. 16 ง. -16 จ. - 6. จงหาผลรวมของตัวกลางเรขาคณิต 2 จ านวน ระหว่าง 4 และ 500 ก. 30 ข. 60 ค. 100 ง. 120 จ. 150 7. ถ้า 4, x, 36, y, 324 เป็นล าดับเรขาคณิต จงหา y + x ก. 30 ข. 60 ค. 100 ง. 120 จ. 150 8. ถ้า -2, x, -18, y, -162 เป็นล าดับเรขาคณิต จงหา y ÷ x ก. 12 ข. -12 ค. 10 ง. -10 จ. 9 9. ถ้า -1, x, y, 8 เป็นล าดับเรขาคณิต จงหา y 3 ก. 16 ข. -16 ค. 64 ง. -64 จ. 128

91 10. ถ้า -3, x, -27, y, -243 เป็นล าดับเรขาคณิต จงหา y ÷ x ก. 3 ข. 6 ค. 9 ง. 18 จ. 27

92 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเรขาคณิต

93 แบบวัดและประเมินผล แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเรขาคณิต ชื่อ………………………………………………………………………………………….. เลขที่………………….. ชั้น…………………….. วัน/เดือน/ปี ที่ประเมิน………………………………………………………………… คะแนนแบบทดสอบ หลังเรียน สรุปผลการประเมิน ผ่าน ไม่ผ่าน เกณฑ์การผ่าน คะแนนที่ได้จากการทำแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเรขาคณิต ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปถือว่าผ่าน เกณฑ์(7 คะแนนขึ้นไป) เกณฑ์การให้คะแนน แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ตัวกลางเรขาคณิต ตรวจสอบคำตอบได้จากเฉลย เกณฑ์การให้คะแนน 1 คะแนน หมายถึง คำตอบถูกต้อง 0 คะแนน หมายถึง คำตอบไม่ถูกต้อง

94

95 คำชี้แจง ในการเรียนรู้จากชุดการเรียนการสอนชุดที่ 6 เรื่องอนุกรม นักเรียนต้องทำความเข้าใจบทบาทของตนเองเพื่อ ดำเนินกิจกรรมการเรียนการสอนให้บรรลุตามจุดประสงค์การเรียนรู้และให้มีประสิทธิภาพ ดังนี้ 1. ศึกษาคำชี้แจงการใช้ชุดการเรียนการสอนให้เข้าใจก่อนที่จะลงมือปฏิบัติกิจกรรมในชุดการเรียน การสอนและปฏิบัติกิจกรรมตามลำดับขั้นตอน 2. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจจุดประสงค์การเรียนรู้ 3. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน 4. นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามคำสั่ง 5. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจและปฏิบัติกิจกรรมต่าง ๆ ให้ครบทุกกิจกรรม 6. ในระหว่างที่นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมต่างๆ ถ้านักเรียนมีข้อสงสัยสามารถปรึกษาหารือ สอบถามจาก เพื่อนในกลุ่ม หรือครูผู้สอนในระหว่างการเรียนได้ 7. เมื่อนักเรียนเรียนจบแต่ละชุดการเรียนการสอน ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียนเพื่อ ประเมินผลการเรียนรู้และตรวจคำตอบจากแบบเฉลย 8. ประเมินผลการเรียนรู้ของตนเองว่าผ่านเกณฑ์หรือไม่ ถ้าผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนเตรียมตัวทำชุด กิจกรรมต่อไป และถ้านักเรียนมีผลการประเมินการเรียนรู้ไม่ผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนย้อนกลับไป ศึกษา และทำ ความเข้าใจในเนื้อหาจากเนื้อหาและทำกิจกรรมด้วยตนเองอีกครั้ง

96 แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง อนุกรม คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. ข้อใดคือความหมายของอนุกรมของลำดับ ก. การนำตัวเลขในลำดับมาบวกกัน ข. การนำตัวเลขในลำดับมาลบกัน ค. การนำตัวเลขในลำดับมาคูณกัน ง. การนำตัวเลขในลำดับมาหารกัน จ. ถูกทุกข้อ 2. กำหนดให้ S3 = 20 และ S4 = 24 จงหา a4 ก. 2 ข. 4 ค. 12 ง. 16 จ. 20 3. ถ้ากำหนดให้Sn = 3n2 + 1 จงหา a3 + a6 ก. 118 ข. 127 ค. 135 ง. 137 จ. 142 4. ถ้ากำหนดให้Sn = 4 2 n -2 จงหา a2 + a5 ก. 2 ข. 4 2 ค. 8 2 8 ง. 9 2 8 จ. 8 9 2

97 5. ถ้ากำหนดให้Sn = 3 n จงหา a3 • a6 ก. 18 2 ข. 54 2 ค. 18 3 ง. 54 3 จ. 18 -2 6. กำหนดให้ S3 = -4 และ S7 = -32 จงหา a4+a5+a6+a7 ก. -26 ข. 36 ค. -36 ง. 28 จ. 28 7. กำหนดให้ S3 = 9 และ S5 = 15 จงหา a1 3 ก. 0 ข. 1 ค. 9 ง. 12 จ. 27 8. จงหา S8 ของลำดับ 1, -1, 1, … ก. 1 ข. -1 ค. 0 ง. -2 จ. 2 9. จงหา S5 – S4 ของลำดับ √2, 2, 2√2, … ก. √2 ข. 2√2 ค. 0 ง. 4 จ. 4√2