98 10. จงหา S2 S10 S4 ของลำดับ 1, -2, 3, -4, … ก. 2 5 − ข. 2 5 ค. 5 2 − ง. 5 2 จ. -1 2 - 5
99 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง อนุกรม
100 จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบเรื่องนี้แล้วนักเรียนสามารถ ด้านความรู้ (K) 1. บอกความหมายของอนุกรมได้ถูกต้อง 2. สามารถหาค่าอนุกรมที่กำหนดให้ได้ถูกต้อง ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 1. มีความสามารถในการให้เหตุผล 2. มีทักษะการแก้ปัญหาจากสถานการณ์ หรือโจทย์สมการที่กำหนดให้ 3. มีความสามารถในการสื่อความหมายและการนำเสนอ ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 1. ความซื่อสัตย์ 2. ใฝ่เรียนรู้ 3. ความมุ่งมั่นในการทำงาน
101 โจทย์จะไม่ได้ให้เราบวกทุกตัว ส่วนใหญ่มักจะให้เราบวกแค่ “ n ตัวแรก” เช่น ในอนุกรม 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ผลบวก 3 ตัวแรกของอนุกรมนี้ คือ 4 + 9+ 16 = 29 ผลบวก 4 ตัวแรกของอนุกรมนี้ คือ 4 + 9 + 16 + 25 = 54 ผลบวก 1 ตัวแรกของอนุกรมนี้ คือ 4 เรานิยมใช้สัญลักษณ์ Sn แทน "ผลบวก n ตัวแรก ของอนุกรม" ดังนั้น ในอนุกรมนี้ จะได้ว่า S3 = 29, S4 = 54 และ S1 = 4 เป็นต้น ในทำนองกลับกัน ถ้าเรามี S หลาย ๆ ตัว เราจะย้อนกลับไปหาค่าของแต่ละตัวในลำดับได้ เช่น ถ้าเรารู้ว่า S3 = 22 และ S4 = 28 เราจะหา a4 ได้ เพราะ S3 = a1+a2+a3 S4 = a1+a2+a3+a4 ดังนั้น a4 = S4 – S3 = 28-22 = 6 ถ้าเรารู้ว่า S56 = 430 และ S7 = 418 เราจะหา a57 ได้ เพราะ S57 = a1+…+a56+a57 S56 = a1…+56 ดังนั้น a57 = S57 – S56 = 418-420 = -12 ถ้าเรารู้ว่า S90 = 105 และ S93 = 120 เราจะหา a91+a92+a93 ได้ เพราะ S90 = a1+…+a90 S93 = a1+…+a90 +a91+a92+a93 ดังนั้น a91+a92+a93 = S93 - S90 = 120-105 = 15 เนื้อหาที่ 6.1 อนุกรม อนุกรม อนุกรม คือ การนำตัวเลขในลำดับมาบวกกัน เช่น ถ้ามีลำดับ 4 , 9 , 16 , 25 , 36 จะได้อนุกรมของลำดับนี้ คือ 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90
102 ตัวอย่าง กำหนด Sn = 3n2 + 1 จงหา a5 + a6 วิธีทำ a5 + a6 จะหาได้จาก S6 – S4 เพราะ S6 = a1+…+a4+a5+ a6 S4 = a1+…+a4 ลบกัน จะหักกัน เหลือ a5 + a6 ข้อนี้ ให้สูตร Sn มา แปลว่าเราจะหา S อะไรก็ได้ นั่นคือ S6 = (3)(6) 2 + 1 = 109 S4 = (3)(4) 2 +1 = 49 ดังนั้น a5 + a6 = S6 - S4 = 109 - 49 = 60
103 จงตอบคำถามข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้อง (ข้อละ 1 คะแนน) 1. กำหนดลำดับ 2 , 5 , 8 , 11 จงหา 1. S2 2. S4 2. กำหนดให้ an = n2 + 1 จงหา 1. S1 2. S3 3. กำหนดให้ Sn = (+1) 2 จงหา 1. a1 2. a10 3. a15 4. a6+ a7 + a8 4. กำหนดให้ S = 35 - 2 จงหา 1. a4 2. a8 3. a6 + a7 4. a1 + a2 +a3 กิจกรรมที่ 6.1 อนุกรม
104 เฉลยกิจกรรมที่ 6.1
105 แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง อนุกรม คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. ข้อใดคือความหมายของอนุกรมของลำดับ ก. การนำตัวเลขในลำดับมาบวกกัน ข. การนำตัวเลขในลำดับมาลบกัน ค. การนำตัวเลขในลำดับมาคูณกัน ง. การนำตัวเลขในลำดับมาหารกัน จ. ถูกทุกข้อ 2. กำหนดให้ S3 = 20 และ S4 = 24 จงหา a4 ก. 2 ข. 4 ค. 12 ง. 16 จ. 20 3. ถ้ากำหนดให้Sn = 3n2 + 1 จงหา a3 + a6 ก. 118 ข. 127 ค. 135 ง. 137 จ. 142 4. ถ้ากำหนดให้Sn = 4 2 n -2 จงหา a2 + a5 ก. 2 ข. 4 2 ค. 8 2 8 ง. 9 2 8 จ. 8 9 2
106 5. ถ้ากำหนดให้Sn = 3 n จงหา a3 • a6 ก. 18 2 ข. 54 2 ค. 18 3 ง. 54 3 จ. 18 -2 6. กำหนดให้ S3 = -4 และ S7 = -32 จงหา a4+a5+a6+a7 ก. -26 ข. 36 ค. -36 ง. 28 จ. 28 7. กำหนดให้ S3 = 9 และ S5 = 15 จงหา a1 3 ก. 0 ข. 1 ค. 9 ง. 12 จ. 27 8. จงหา S8 ของลำดับ 1, -1, 1, … ก. 1 ข. -1 ค. 0 ง. -2 จ. 2 9. จงหา S5 – S4 ของลำดับ √2, 2, 2√2, … ก. √2 ข. 2√2 ค. 0 ง. 4 จ. 4√2
107 10. จงหา S2 S10 S4 ของลำดับ 1, -2, 3, -4, … ก. 2 5 − ข. 2 5 ค. 5 2 − ง. 5 2 จ. -1 2 - 5
108 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง อนุกรม
109 แบบวัดและประเมินผล แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง อนุกรม ชื่อ………………………………………………………………………………………….. เลขที่………………….. ชั้น…………………….. วัน/เดือน/ปี ที่ประเมิน………………………………………………………………… คะแนนแบบทดสอบ หลังเรียน สรุปผลการประเมิน ผ่าน ไม่ผ่าน เกณฑ์การผ่าน คะแนนที่ได้จากการทำแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง อนุกรม ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปถือว่าผ่าน เกณฑ์ (7 คะแนนขึ้นไป) เกณฑ์การให้คะแนน แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง อนุกรม ตรวจสอบคำตอบได้จากเฉลย เกณฑ์การให้คะแนน 1 คะแนน หมายถึง คำตอบถูกต้อง 0 คะแนน หมายถึง คำตอบไม่ถูกต้อง
110
111 คำชี้แจง ในการเรียนรู้จากชุดการเรียนการสอนชุดที่ 7 เรื่อง สัญลักษณ์ซิกมา นักเรียนต้องทำความเข้าใจบทบาทของ ตนเองเพื่อดำเนินกิจกรรมการเรียนการสอนให้บรรลุตามจุดประสงค์การเรียนรู้และให้มีประสิทธิภาพ ดังนี้ 1. ศึกษาคำชี้แจงการใช้ชุดการเรียนการสอนให้เข้าใจก่อนที่จะลงมือปฏิบัติกิจกรรมในชุดการเรียน การสอนและปฏิบัติกิจกรรมตามลำดับขั้นตอน 2. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจจุดประสงค์การเรียนรู้ 3. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน 4. นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามคำสั่ง 5. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจและปฏิบัติกิจกรรมต่าง ๆ ให้ครบทุกกิจกรรม 6. ในระหว่างที่นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมต่างๆ ถ้านักเรียนมีข้อสงสัยสามารถปรึกษาหารือ สอบถามจาก เพื่อนในกลุ่ม หรือครูผู้สอนในระหว่างการเรียนได้ 7. เมื่อนักเรียนเรียนจบแต่ละชุดการเรียนการสอน ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียนเพื่อ ประเมินผลการเรียนรู้และตรวจคำตอบจากแบบเฉลย 8. ประเมินผลการเรียนรู้ของตนเองว่าผ่านเกณฑ์หรือไม่ ถ้าผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนเตรียมตัวทำชุด กิจกรรมต่อไป และถ้านักเรียนมีผลการประเมินการเรียนรู้ไม่ผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนย้อนกลับไป ศึกษา และทำ ความเข้าใจในเนื้อหาจากเนื้อหาและทำกิจกรรมด้วยตนเองอีกครั้ง
112 แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง สัญลักษณ์ซิกมา คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. จงหาผลลัพธ์ของ 5 2 i i=1 ก. 15 ข. 25 ค. 35 ง. 45 จ. 55 2. จงหาผลลัพธ์ของ 4 2( 2) i i=1 − ก. 20 ข. 21 ค. 22 ง. 23 จ. 24 3. จงหาผลลัพธ์ของ 5 2 ( 1) (2i) i=3 − ก. 157 ข. 177 ค. 189 ง. 197 จ. 198
113 4. จงหาผลลัพธ์ของ 4 i-2 3 i=1 ก. 40 3 ข. 40 9 ค. 40 27 ง. 35 3 จ. 35 9 5. ข้อใดคือค่าของ 5 ni i=1 ก. n + n + n + n + n ข. 5 ค. 5n ง. n + 2n + 3n + 4n + 5n จ. n 6. จงเขียน 1 + 2 + 4 + 8 ในรูป ∑ ก. 4 2 i i=0 ข. 4 n2 i=0 ค. 4 2 i=1 ง. 4 n-1 2 i=1 จ. 5 ni i=1
114 7. จงเขียน 6 + 9 + 12 + 15 ในรูป ∑ ก. 4 3i i=1 ข. 5 3i i=2 ค. 4 i 3 i=1 ง. 4 3n i=2 จ. n 3n -1 i=2 8. จงเขียน 4 + 7 + 10 + … + 301 ในรูป ∑ ก. n n-1 3 i=1 ข. 10 n-1 3 n=1 ค. 10 i 3 1 i=1 − ง. 10 n3 +1 n=1 จ. 10 3i+1 i=1 9. จงเขียน 4 + 16 + 36 + 64 + 100 ในรูป ∑ ก. 5 i 4 i=1 ข. 5 n+1 2 i=1 ค. 5 2 4(n ) n=1
115 ง. 5 4i i=1 จ. 4 n-1 2 i=1 10. จงเขียน 12 + 24 + 36 + … + 144 ในรูป ∑ ก. 12 6 2n n=1 + ข. 12 12i i=1 ค. 12 n-1 2 i=1 ง. 12 12+2n n=1 จ. 12 12n i=1
116 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง สัญลักษณ์ซิกมา
117 จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบเรื่องนี้แล้วนักเรียนสามารถ ด้านความรู้ (K) 1. บอกความหมายของสัญลักษณ์ซิกมาได้ถูกต้อง 2. สามารถเขียนผลบวกให้อยู่ในรูปไม่มีสัญลักษณ์ซิกมาได้ถูกต้อง 3. สามารถเขียนผลบวกให้อยู่ในมีรูปสัญลักษณ์ซิกมาได้ถูกต้อง ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 1. มีความสามารถในการให้เหตุผล 2. มีทักษะการแก้ปัญหาจากสถานการณ์ หรือโจทย์สมการที่กำหนดให้ 3. มีความสามารถในการสื่อความหมายและการนำเสนอ ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 1. ความซื่อสัตย์ 2. ใฝ่เรียนรู้ 3. ความมุ่งมั่นในการทำงาน
118 สัญลักษณ์ชิกมา หัวข้อนี้ จะพูดถึงการใช้สัญลักษณ์ ∑ (อ่านว่า “ชิกมา”) เพื่อเขียน “หลาย ๆ ตัวบวกกัน” ให้อยู่ในรูปสั้น ๆ สัญลักษณ์ จะหมายถึงการนำก้อน มาบวกช้ำ ๆ กัน หลาย ๆ ก้อน โดยก้อนแรก ให้ i = a และ ก้อนถัดไป ให้เพิ่ม i ขึ้นทีละ 1 ไปเรื่อย ๆ จนจบก้อนสุดท้ายที่ i = b ในทางกลับกัน เราต้องสามารถรวบ "หลาย ๆ ตัวบวกกัน" ให้เป็นรูป ∑ ได้ด้วย โดยคำตอบจะอยู่ในรูป k i=1 (สูตรพจน์ทั่วไป ที่เปลี่ยน n เป็น 1) เมื่อ k คือจำนวนพจน์ที่มาบวกกัน เนื้อหาที่ 7.1 สัญลักษณ์ซิกมา
119 ตัวอย่าง จงเขียน 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ให้เป็นรูป ∑ วิธีทำ จะรวบ ∑ ต้องหา 2 อย่าง คือ “สูตรพจน์ทั่วไป" กับ "จำนวนพจน์" จะเห็นว่าลำดับนี้ไม่ใช่ทั้งลำดับเลขคณิต หรือ ลำดับเรขาคณิต จึงใช้สูตรไม่ได้ เดาสูตรพจน์ทั่วไป จะได้ an = n² จำนวนพจน์ หาได้โดยแก้สมการ 36 = ท² (หรือจะนับเอาเลยก็ได้) จะได้ว่าอนุกรมนี้ มี 6 พจน์ เอาสูตรพจน์ทั่วไป เปลี่ยน n เป็น i วางหลัง ) และใส่จำนวนพจน์ จะได้ 6 i i=1 2 ตัวอย่าง จงเขียน 5 + 8 + 11 + ... + 38 ให้อยู่ในรูป ∑ วิธีทำ จะเห็นว่าลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต ที่มี a1 = 5 และ d = 3 ดังนั้น จะได้สูตรพจน์ทั่วไป คือ an = 5 + (n - 1)(3) = 5 + 3n - 3 =3n + 2 ถัดมา หาจำนวนพจน์ที่มาบวกกัน โดยการแก้สมการ 38 = 32 + 2 36 = 3n 12 = n ดังนั้น 5 + 8 + 11 + ... + 38 = i 3 = i + 2 12 1 ตัวอย่าง จงเขียน 3 + 6 + 12 + ... + 1536 ให้อยู่ในรูป ∑ วิธีทำ จะเห็นว่าลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิต ที่มี a1 = 3 และ r = 2 ดังนั้น จะได้สูตรพจน์ทั่วไป คือ an = (3)(2) n-1 ถัดมา หาจำนวนพจน์ที่มาบวกกัน โดยการแก้สมการ 1536 = (3)(2) n-1 512 = (2) n-1 2 9 = 2n-1 9 = n-1 10 = n ดังนั้น 3 + 6 + 12 + ... + 1536 = i 3 = ×2 10 1 i-1
120 1. จงเขียนผลบวกในแต่ละข้อต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูปที่ไม่มี ∑ (ข้อละ 1 คะแนน) กิจกรรมที่ 7.1 สัญลักษณ์ซิกมา
121 1. จงเขียนผลบวกในแต่ละข้อต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูป ∑ (ข้อละ 1 คะแนน) กิจกรรมที่ 7.2 สัญลักษณ์ซิกมา
122
123 เฉลยกิจกรรมที่ 7.1 - 7.2
124 แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง สัญลักษณ์ซิกมา คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. จงหาผลลัพธ์ของ 5 2 i i=1 ก. 15 ข. 25 ค. 35 ง. 45 จ. 55 2. จงหาผลลัพธ์ของ 4 2( 2) i i=1 − ก. 20 ข. 21 ค. 22 ง. 23 จ. 24 3. จงหาผลลัพธ์ของ 5 2 ( 1) (2i) i=3 − ก. 157 ข. 177 ค. 189 ง. 197 จ. 198
125 4. จงหาผลลัพธ์ของ 4 i-2 3 i=1 ก. 40 3 ข. 40 9 ค. 40 27 ง. 35 3 จ. 35 9 5. ข้อใดคือค่าของ 5 ni i=1 ก. n + n + n + n + n ข. 5 ค. 5n ง. n + 2n + 3n + 4n + 5n จ. n 6. จงเขียน 1 + 2 + 4 + 8 ในรูป ∑ ก. 4 2 i i=0 ข. 4 n2 i=0 ค. 4 2 i=1 ง. 4 n-1 2 i=1 จ. 5 ni i=1
126 7. จงเขียน 6 + 9 + 12 + 15 ในรูป ∑ ก. 4 3i i=1 ข. 5 3i i=2 ค. 4 i 3 i=1 ง. 4 3n i=2 จ. n 3n -1 i=2 8. จงเขียน 4 + 7 + 10 + … + 301 ในรูป ∑ ก. n n-1 3 i=1 ข. 10 n-1 3 n=1 ค. 10 i 3 1 i=1 − ง. 10 n3 +1 n=1 จ. 10 3i+1 i=1 9. จงเขียน 4 + 16 + 36 + 64 + 100 ในรูป ∑ ก. 5 i 4 i=1 ข. 5 n+1 2 i=1 ค. 5 2 4(n ) n=1
127 ง. 5 4i i=1 จ. 4 n-1 2 i=1 10. จงเขียน 12 + 24 + 36 + … + 144 ในรูป ∑ ก. 12 6 2n n=1 + ข. 12 12i i=1 ค. 12 n-1 2 i=1 ง. 12 12+2n n=1 จ. 12 12n i=1
128 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง สัญลักษณ์ซิกมา
129 แบบวัดและประเมินผล แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง สัญลักษณ์ซิกมา ชื่อ………………………………………………………………………………………….. เลขที่………………….. ชั้น…………………….. วัน/เดือน/ปี ที่ประเมิน………………………………………………………………… คะแนนแบบทดสอบ หลังเรียน สรุปผลการประเมิน ผ่าน ไม่ผ่าน เกณฑ์การผ่าน คะแนนที่ได้จากการทำแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง สัญลักษณ์ซิกมา ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปถือว่าผ่าน เกณฑ์(7 คะแนนขึ้นไป) เกณฑ์การให้คะแนน แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง สัญลักษณ์ซิกมา ตรวจสอบคำตอบได้จากเฉลย เกณฑ์การให้คะแนน 1 คะแนน หมายถึง คำตอบถูกต้อง 0 คะแนน หมายถึง คำตอบไม่ถูกต้อง
130
131 คำชี้แจง ในการเรียนรู้จากชุดการเรียนการสอนชุดที่ 8 เรื่อง อนุกรมเลขคณิต นักเรียนต้องทำความเข้าใจบทบาทของ ตนเองเพื่อดำเนินกิจกรรมการเรียนการสอนให้บรรลุตามจุดประสงค์การเรียนรู้และให้มีประสิทธิภาพ ดังนี้ 1. ศึกษาคำชี้แจงการใช้ชุดการเรียนการสอนให้เข้าใจก่อนที่จะลงมือปฏิบัติกิจกรรมในชุดการเรียน การสอนและปฏิบัติกิจกรรมตามลำดับขั้นตอน 2. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจจุดประสงค์การเรียนรู้ 3. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน 4. นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามคำสั่ง 5. นักเรียนศึกษาทำความเข้าใจและปฏิบัติกิจกรรมต่าง ๆ ให้ครบทุกกิจกรรม 6. ในระหว่างที่นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมต่างๆ ถ้านักเรียนมีข้อสงสัยสามารถปรึกษาหารือ สอบถามจาก เพื่อนในกลุ่ม หรือครูผู้สอนในระหว่างการเรียนได้ 7. เมื่อนักเรียนเรียนจบแต่ละชุดการเรียนการสอน ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียนเพื่อ ประเมินผลการเรียนรู้และตรวจคำตอบจากแบบเฉลย 8. ประเมินผลการเรียนรู้ของตนเองว่าผ่านเกณฑ์หรือไม่ ถ้าผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนเตรียมตัวทำชุด กิจกรรมต่อไป และถ้านักเรียนมีผลการประเมินการเรียนรู้ไม่ผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนย้อนกลับไป ศึกษา และทำ ความเข้าใจในเนื้อหาจากเนื้อหาและทำกิจกรรมด้วยตนเองอีกครั้ง
132 แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง อนุกรมเลขคณิต คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 25 + 50 + 75 + 100 + … + 1000 ก. 10000 ข. 10500 ค. 20000 ง. 20500 จ. 30000 2. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 100 + 94 + 88 + 82 + … + 4 ก. 484 ข. 482 ค. 862 ง. 884 จ. 1768 3. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 50 + 100 + 150 + … + 1000 ก. 5050 ข. 10000 ค. 10500 ง. 20500 จ. 21000 4. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 5 + 10 + 15 + 20 + … + 175 ก. 3000 ข. 3050 ค. 3100 ง. 3125 จ. 3150
133 5. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 ก. 5000 ข. 5050 ค. 5100 ง. 10100 จ. 11000 6. จงหาผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรม 4 + 2 + 0 + … ก. -6 ข. -14 ค. -24 ง. -36 จ. -50 7. จงหาผลบวกของ 12 พจน์แรกของอนุกรม -3 + 0 + 3 + … ก. 102 ข. 105 ค. 132 ง. 162 จ. 187 8. จงหาผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรม -7 + (-14) + (-21) + … ก. 385 ข. -385 ค. 315 ง. -315 จ. 435 9. จงหาผลบวกของ 4 พจน์แรกของอนุกรม 199 + 201 + 203 + … ก. 1015 ข. 1014 ค. 1013 ง. 1012 จ. 1011
134 10. จงหาจ านวนพจน์ของอนุกรม 3 + 5 + 7 + … = 120 ก. 10 ข. 11 ค. 12 ง. 13 จ. 14
135 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง อนุกรมเลขคณิต
136 จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบเรื่องนี้แล้วนักเรียนสามารถ ด้านความรู้ (K) 1. บอกความหมายของอนุกรมเลขคณิตได้ถูกต้อง 2. สามารถหาค่าอนุกรมเลขคณิตได้ถูกต้อง ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 1. มีความสามารถในการให้เหตุผล 2. มีทักษะการแก้ปัญหาจากสถานการณ์ หรือโจทย์สมการที่กำหนดให้ 3. มีความสามารถในการสื่อความหมายและการนำเสนอ ด้านคุณลักษณะที่พึงประสงค์(A) 1. ความซื่อสัตย์ 2. ใฝ่เรียนรู้ 3. ความมุ่งมั่นในการทำงาน
137 อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง อนุกรมเลขคณิต เช่น 5 + 8 + 11 + ... + 38 16+13+10+... +4 1 1 – 2 -5 - … - 17 → 1 + (-2) + (-5) + ... + (-17) แต่ 2 + 4 + 8 + ... + 64 ไม่ใช่อนุกรมเลขคณิต เพราะ 2 , 4 , 8 ,... , 64 ไม่ใช่ลำดับเลขคณิต สมบัติที่สำคัญของลำดับเลขคณิต คือ เราสามารถ “จับคู่ให้ผลบวกเท่ากัน" ได้ เช่น 10 + 12 + 14 +…+ 32 + 34 + 36 = (10 + 36) + (12 + 34) + (14 + 32) + ... = 46 + 46 + 46 + … 18 + 13 + 8 +...+ -2 + -7 + -12 = (18 + -12) + (13 + -7) + (8 + -2)+... = 6 + 6 + 6+ … และจากสมบัติดังกล่าว จะทำให้ได้สูตรสำหรับหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต ที่ต้องท่อง จะมี 2 สูตร ดังนี้ สูตรแรกจะใช้เมือ่เรารู้พจน์สุดท้าย นอกนั้นใช้สูตรสอง เมื่อ Sn คือ ผลบวกของอนุกรม แ คือพจน์แรก, an คือพจน์สุดท้าย n คือจำนวนพจน์ที่นำมาบวก d คือผลต่างร่วมในลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาค่าของ 2 + 6 + 10 + ... + 38 วิธีทำ โจทย์ข้อนี้เป็นอนุกรมเลขคณิต และเนื่องจากเรารู้พจน์สุดท้าย an = 38 ดังนั้น เราจะใช้สูตรแรก และจะได้ a1 = 2, d = 4 แต่จะเห็นว่าสูตรแรกยังต้องใช้n อีกตัว n คือ จำนวนพจน์ในลำดับ ต้องหาโดยแก้สมการสูตรพจน์ทั่วไป ว่า 38 เป็นพจน์ที่เท่าไหร่ เนื่องจาก a1 = 2, d = 4 ดังนั้น สูตรพจน์ทั่วไป คือ an = 2 + (n - 1)(4) = 2 + 4n - 4 = 4n - 2 เนื้อหาที่ 8.1 อนุกรมเลขคณิต
138 หา n ได้จากการแก้สมการ 38 = 4n – 2 40 = 4n 10 = n ดังนั้น 2 + 6 + 10 +…+ 38 = n (a +a ) 1 n 2 = 10 (2+38) 2 ตัวอย่าง จงหาผลบวก 12 พจน์แรก ของอนุกรม 4 + 1 + (-2) + (-5) + … วิธีทำ ข้อนี้เราไม่รู้จักพจน์สุดท้าย ดังนั้นจึงต้องใช้สูตรที่ 2 แทนค่า a1 = 4 , d = -3 , n = 12 จะได้ Sn = n 2 [2a1 + (n – 1)d] = 12 2 [2(4) + (12 – 1)(-3)] = 6[8 + (-33)] = 6(-25) = -150 ดังนั้นผลบวก 12 พจน์แรกเท่ากับ -150 ตัวอย่าง แท่งไม้กองหนึ่ง ชั้นบนสุดมีไม้ 5 แท่ง ชั้นทัดลงมามีไม้เพิ่มขึ้นชั้นละ 2 แท่ง ถ้ากองนี้มีไม้ทั้งหมด 285 แท่ง จงหาว่าไม้กองนี้มีกี่ชั้น วิธีทำ ไม้เพิ่มขึ้นละ 2 แท่ง ดั้งนั้น ชั้นที่สองมีไม้ 7 แท่ง ชั้นที่สามมีไม้ 9 แท่ง ชั้นที่สี่มีไม้ 11 แท่ง... เนื่องจากมีไม้ทั้งหมด 285 แท่ง จะได้ว่า 5 + 7 + 9 + 11 +…= 285 จะเห็นได้ว่าเป็นอนุกรมเลขคณิต ที่มี a1 = 5 , d = 2 , Sn = 285 ข้อนี้เราไม่รู้จักพจน์สุดท้าย ดังนั้นจึงต้องใช้สูตรที่ 2 Sn = n 2 [2a1 + (n – 1)d] 285 = n 2 [2(5) + (n – 1)2] 285 = n 2 [10 + 2n - 2] 285 = n 2 [8 + 2n] 285 = 4n + n2 0 = n2 + 4n – 285 0 = (n – 15)(n + 19)
139 n = 15, -19 เนื่องจาก n เป็นจำนวนชั้นจึงติดลบไม่ได้ ดังนั้น n = 15 นั้นคือไม้กองนี้มี 15 ชั้น
140 1. จงหาค่าของอนุกรมต่อไปนี้(ข้อละ 1 คะแนน) 1. 2 + 4 + 6 + … + 80 2. 11 + 18 + 25 + … + 109 3. 40 + 37 + 34 + … + 1 3. ผลบวกของ 12 พจน์แรกของ 3 + 5 + 7 +… 5. ผลบวก 8 พจน์แรก ของ 7 + 4 + 1 +… 6. 10 3i-1 i=1 2. ลำดับชุดหนึ่ง มี an = 2n + 1 จงหาค่าของ S10 3. ลำดับชุดหนึ่ง มี an = 3n - 1 จงหาค่าของ a6 + a7 + ... + a20 4. ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่ง มี a5 = 17 และ a9 = 33 จงหาค่าของ S7 5. ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่ง มี a1 = 3 และ S10 = 210 จงหาค่าของ a8 6. ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่ง มี S4 = 10 และ S9 = 90 จงหาค่าของ a5 7. จงหาว่า จะต้องบวกอนุกรม 2 + 7 + 12 + ... ไปกี่พจน์ จึงจะได้ผลบวกเท่ากับ 87 กิจกรรมที่ 8.1 อนุกรมเลขคณิต
141 8. จงหาว่า จะต้องบวกอนุกรม 50 + 43 + 36 + ... ไปกี่พจน์ จึงจะได้ผลบวกเป็นจำนวนลบ 9. อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มี S12 = 60 จงหาค่าของ a1 + a12 10. อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มี S16 = 120 จงหาค่าของ a2 + a15 11. อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มี S10 = 100 จงหาค่าของ a1 + a2 + a9 + a10 12. อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มี S8 = 16 จงหาค่า a2 + a3 + a4 +…+ a7 13. จงหาผลบวกของจำนวนที่มีค่าตั้งแต่ 30 ถึง 100 ที่หารด้วย 3 ลงตัว 14. นายดำกู้เงินมาจำนวนหนึ่ง โดยจ่ายคืนเดือนแรก 200 บาท และในเดือนถัดไป นายดำต้องจ่ายเพิ่มขึ้น ทุกๆ เดือน โดยจะต้องจ่ายคืนมากขึ้นเดือนละ 50 บาท หลังจากชำระหมด พบว่าในเดือนสุดท้าย นายดำจ่าย คืน 950 บาท จงหาว่านายดำ จ่ายเงินคืนรวมทั้งสิ้นกี่บาท 15. นาย ก เริ่มเก็บเงินตั้งแต่วันที่ 10 ก.ค. เพื่อซื้อของราคา 1900 บาท โดยวันแรก เก็บได้ 100 บาท วัน ต่อมาเก็บได้มากขึ้น วันละ 20 บาท จงหาว่านาย ก เก็บเงินได้ครบในวันที่เท่าไรของเดือน ก.ค.
142 16. วันที่ 3 ม.ค. นาย ก เริ่มขี่จักรยานจาก กรุงเทพ ไป จันทบุรี โดยวันแรก ขี่ได้ 50 กิโลเมตร วันต่อมาเริ่ม เหนื่อย จึงขี่ได้น้อยลงทุกวัน วันละ 2 กิโลเมตร 1. จงหาระยะทางที่ นาย ก จะเดินทางได้ หลังสิ้นวันที่ 10 ม.ค. 2. นาย ข เริ่มขี่จักรยานพร้อม นาย ก โดยวันแรก ขี่ได้ 10 กิโลเมตร และวันต่อมาเริ่มฮึดสู้ จึงขี่ได้ มากขึ้นทุกวัน วัน ละ 2 กิโลเมตร จงหาว่า นาย ข จะเดินทางได้มากกว่า 200 กิโลเมตรได้ในวันที่ เท่าไรของเดือน ม.ค. 3. นาย ข จะเดินทางทันนายก ได้ในวันที่เท่าไรของเดือน ม.ค. 4. นาย ค เริ่มขี่จักรยานพร้อมนาย ข แต่ขี่จากจันทบุรี ไปกรุงเทพ โดยวันแรกขี่ได้ 20 กิโลเมตร วัน ต่อมาขี่ได้มาก ขึ้นวันละ 3 กิโลเมตร ถ้าจันทบุรี อยู่ห่างจากกรุงเทพ 255 กิโลเมตร จงหาว่า นาย ค จะเดินทางมาพบกับนาย ข ในวันที่เท่าไรของเดือน ม.ค.
143 เฉลยกิจกรรมที่ 8.1
144 แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง อนุกรมเลขคณิต คำชี้แจง แบบทดสอบมีทั้งหมด 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลาสอบ 20 นาที คำสั่ง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด แล้วทำเครื่องหมาย 1. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 25 + 50 + 75 + 100 + … + 1000 ก. 10000 ข. 10500 ค. 20000 ง. 20500 จ. 30000 2. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 100 + 94 + 88 + 82 + … + 4 ก. 484 ข. 482 ค. 862 ง. 884 จ. 1768 3. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 50 + 100 + 150 + … + 1000 ก. 5050 ข. 10000 ค. 10500 ง. 20500 จ. 21000 4. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 5 + 10 + 15 + 20 + … + 175 ก. 3000 ข. 3050 ค. 3100 ง. 3125 จ. 3150
145 5. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 ก. 5000 ข. 5050 ค. 5100 ง. 10100 จ. 11000 6. จงหาผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรม 4 + 2 + 0 + … ก. -6 ข. -14 ค. -24 ง. -36 จ. -50 7. จงหาผลบวกของ 12 พจน์แรกของอนุกรม -3 + 0 + 3 + … ก. 102 ข. 105 ค. 132 ง. 162 จ. 187 8. จงหาผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรม -7 + (-14) + (-21) + … ก. 385 ข. -385 ค. 315 ง. -315 จ. 435 9. จงหาผลบวกของ 4 พจน์แรกของอนุกรม 199 + 201 + 203 + … ก. 1015 ข. 1014 ค. 1013 ง. 1012 จ. 1011
146 10. จงหาจ านวนพจน์ของอนุกรม 3 + 5 + 7 + … = 120 ก. 10 ข. 11 ค. 12 ง. 13 จ. 14
147 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง อนุกรมเลขคณิต