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SUMÁRIO MATEMÁTICA ÁLGEBRA 3 AULAS 9 E 10: OPERAÇÕES COM INTERVALOS 4 AULAS 11 E 12: INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAUS 9 AULAS 13 E 14: RELAÇÕES, FUNÇÕES E DEFINIÇÕES 15 AULAS 15 E 16: FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 21 ARITMÉTICA 33 AULAS 9 E 10: RAZÃO, PROPORÇÃO E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 34 AULAS 11 E 12: TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA, M.M.C. E M.D.C. 45 AULAS 13 E 14: PORCENTAGEM 53 AULAS 15 E 16: ACRÉSCIMOS E DESCONTOS 63 GEOMETRIA PLANA 73 AULAS 9 E 10: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 74 AULAS 11 E 12: RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 85 AULAS 13 E 14: TRIGONOMETRIA NUM TRIÂNGULO QUALQUER 94 AULAS 15 E 16: ÁREAS DOS TRIÂNGULOS 104
MATEMÁTICA MATEMÁTICA e suas tecnologias 2 ÁLGEBRA
4 VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. Quatro intervalos reais A, B, C e D são tais que: • x [ A à – 10 ≤ x ≤ 10 • x [ B à 0 < x ≤ 5 • x [ C à –3 ≤ x < 2 • D = B – C Sendo D o complementar de D em relação ao conjunto A, então: a) x [ D à –10 ≤ x < 2 ou 2 < x ≤ 10. b) x [ D à –10 ≤ x < –3 ou 5 < x ≤ 10. c) x [ D à –10 ≤ x ≤ 0 ou 2 < x ≤ 10. d) x [ D à –10 ≤ x ≤ 2 ou 2 ≤ x ≤ 10. e) x [ D à –10 ≤ x < 2 ou 5 < x ≤ 10. 2. Sendo A = {x [ R | –2 ≤ x < 3} e B = {x [ Z | –2 < x ≤ 3}, é correto afirmar que: a) A < B = A. b) A < B , Z. c) A > B = A. d) A > B , Z. e) A > B = B. 3. Considere o intervalo J = ] __ 3 7 ,__ 8 7 [. Assinale a única afirmativa verdadeira sobre J: a) Não existem valores inteiros J. b) Existem infinitos números reais no intervalo J. c) Não existem números irracionais no intervalo J. d) Existem exatamente quatro números racionais no intervalo J. e) Existem exatamente seis números racionais no intervalo J. 4. Considere os seguintes conjuntos de números naturais: A = {x [ N | 0 ≤ x ≤ 25} e B = {x [ N | 16 ≤ x < 25}. O número de elementos do conjunto A > B é: a) 9. c) 11. b) 10. d) 12. 5. O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos –1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se, então, concluir que: a) x ≤ –1 ou x > 3. c) x ≥ 2 ou x ≤ –1. b) x ≥ 2 ou x < 0. d) x > 3. 6. Considere os intervalos reais a seguir: A = ] –Ü, 2] B = ]1, Ü[ O resultado da operação A > B é: a) [ 1, 2 ] b) ] 1, 2 ] c) ] 1, 2 [ d) [ 1, 2 [ 7. (PUC-RS) A determinação por compreensão do conjunto A = [a; b] é: a) {x [ N | a ≤ x ≤ b}. b) {x [ Z | a ≤ x ≤ b}. c) {x [ Q | a ≤ x ≤ b}. d) {x [ R | a ≤ x ≤ b}. e) {x [ C | a ≤ x ≤ b}. 8. (UFF) O número p – √ __ 2pertence ao intervalo: a) [1, __3 2 ]. b) [ __1 2 , 1]. c) ] __3 2 , 2[. d) (–1, 1). e) [– __3 2 , 0]. 9. (UFSM) Dados os conjuntos A = {x [ N | x é impar}, B = {x [ Z |–2 < x ≤ 9} e C = {x [ R | x ≥ 5}, o produto dos elementos que formam o conjunto (A > B) – C é igual a: a) 1. d) 35. b) 3. e) 105. c) 15. 10. Assinale a alternativa verdadeira. a) {1, 2, 4, 6, 7} = [1, 7]. b) Se C = ] – 1, 3], então –1 Ó C, mas 3 [ C. c) Se D = [2, 6], então 2 [ D, mas 3 Ó D. d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um intervalo numérico. e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um conjunto vazio. OPERAÇÕES COM INTERVALOS COMPETÊNCIA(s) 5 HABILIDADE(s) 19, 20, 21 e 22 MT AULAS 9 E 10
5VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Fixação 1. (CFTMG) Sejam A = {x [ R | 2 ≤ x ≤ 5} e B = {x [ R | x > 4} subconjuntos de R. Podemos afirmar que: a) A – B , B. b) A – B , A. c) B – A , A. d) A – B = ]2, 4[. 2. (CFTMG) Subtraindo-se 66 anos do triplo da idade de uma pessoa obter-se-á o que lhe falta para completar metade de um século. Portanto, a idade dessa pessoa, em anos, pertence ao intervalo: a) [21, 30]. c) [41, 50]. b) [31, 40]. d) [51, 60]. 3. (CFTCE) Define-se a amplitude d do intervalo [a, b] como sendo o número d = b – a, então a amplitude de [–1, 7] > [1, 9] > [0, 8] é: a) 4. d) 7. b) 5. e) 8. c) 6. 4. (UFJF) Define-se o comprimento de cada um dos intervalos [a, b], ]a, b[, ]a,b] e [a, b[ como sendo a diferença (b – a). Dados os intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14[, P = [5, 12[, o comprimento do intervalo resultante de(M > P) < (P – N) é igual a: a) 1. d) 7. b) 3. e) 9. c) 5. 5. (PUC-RJ) Os números m e n são tais que 4 ≤ m ≤ 8 e 24 ≤ n ≤ 32. O maior valor possível de __m n é: a) __1 2 . d) __1 5 . b) __1 3 . e) __1 8 . c) __1 6 . 6. (PUC-MG) Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: N = { 0,1,2,3,4,...} P = { x [ N | 6 ≤ x ≤ 20 } A = { x [ P | x é par } B = { x [ P | x é divisor de 48 } C = { x [ P | x é múltiplo de 5 } O número de elementos do conjunto (A – B) > C é: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. 7. (CFTCE) É unitário o conjunto: a) {x [ Z | x < 1}. b) {x [ Z | x2 > 0}. c) {x [ R | x2 = 1}. d) {x [ Q | x2 < 2}. e) {x [ N | 1 < 2x < 4}. 8. (Mackenzie) Se A = {x [ Z | x é ímpar e 1 ≤ x ≤ 7} e B = {x [ R | x² – 6x + 5 = 0}, então a única sentença falsa é: a) O conjunto das partes da intersecção dos conjuntos A e B é P(A > B) = {{1}, {5}, {1,5}}. b) O conjunto complementar de B em relação a A é C B A = {3,7}. c) O conjunto das partes do complementar de B em relação a A é P(CB A) = {Ö, {3}, {7}, {3,7}}. d) O conjunto A intersecção com o conjunto B é A > B = {1,5}. e) O número de elementos do conjunto das partes da união dos conjuntos A e B é n[P(A < B)] = 16. 9. (CFTMG) A operação (D) entre os conjuntos A e B, nessa ordem, é definida por: A D B = {x [ R | x [ B e x Ó A}. Sendo: A = {x [ R | 1 ≤ x ≤ 3} e B = {x [ R | 2 < x ≤ 7} então o conjunto (A D B) é igual a: a) ]3, 7]. b) [0, 4[. c) ]–2, 7[. d) [5, 7]. 10. Dados os conjuntos A = ]0, 10] e B = [4, 6[, a alternativa que contém, respectivamente, os conjuntos A – B e A > B é: a) ]0, 4] < [6, 10] e ]4, 6[. b) ]0, 4[ < [6, 10] e [4, 6[. c) ]0, 4] < ]6, 10] e [4, 6[. d) ]0, 4[ < [6, 10] e ]4, 6[. E.O. Complementar 1. (CFTMG) A operação (D) entre os conjuntos A e B é definida por: A D B = (A – B) < (B – A). Se: A = {x [ R | 2 ≤ x ≤ 8} e B = {x [ R | 6 < x ≤ 10} então (A D B) é igual a: a) Ö. b) [0, 6[ < [8, 10]. c) [0, 2[ < [6, 8]. d) [2, 6] < ]8, 10].
6 VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (UFC) Sejam x e y números reais tais que: __1 4 < x <__1 3 ; __2 3 < y <__3 4 eA = 3x – 2y Então é correto afirmar que: a) __4 3 <A < __5 2 . b) __3 4 <A < 1. c) – __4 3 <A < – __3 4 . d) – __3 4 <A < – __1 3 . e) – __1 3 <A < 0. 3. (UECE) Se x e y são números reais que satisfazem, respectivamente, às desigualdades 2 ≤ x ≤ 15 e 3 ≤ y ≤18, então todos os números da forma __x y possíveis, perten - cem ao intervalo: a) [5, 9]. b) [ __2 3 ,__5 6 ]. c) [ __3 2 , 6]. d) [ __1 9 , 5]. 4. (CFTMG) Sejam a e b números inteiros. A quantidade de números inteiros existentes no intervalo ]a,b[ é: a) b – a – 1. b) b – a. c) b – a + 1. d) b – a + 2. 5. (Fuvest) Se –4 < x < –1 e 1 < y < 2 então xy e __2 x estão no intervalo: a) ] –8, –1 [. b) ] –2, – __1 2 . [ c) ]–2, –1[. d) ] –8, – __1 2 [. e) ]–1, – __1 2 [. E.O. Dissertativo 1. Dados os conjuntos A = ]-3, 3] e B = [3, 5], determine: a) A < B b) A > B 2. Determine A < B, quando: a) A = {x [ R | 0 < x < 3} e B = {x [ R | 1 < x < 5} b) A = {x [ R | –4 < x ≤ 1} e B = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3} c) A = {x [ R | 2 < x < 5} e B = {x [ R | 1 < x < 4} d) A = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 2} e B = {x [ R | x ≥ 0} 3. Escreva os intervalos que estão representados abaixo, utilizando duas notações diferentes: a) -3 5 b) 7 3 c) 0 d) - fi 4 e) 8 2 3 f) - 4 2 4. Dados: M = {x | x [ R e 0 < x < 5} e S = { x | x [ R e 1 < x ≤ 7}, escreva, usando colchetes, os intervalos correspondentes a: a) M – S. b) S – M 5. Represente os intervalos graficamente na reta real. a) {x [ R | x < 3} b) {a [ R | a ≥ –2} c) {p [ R | p > p} d) {x [ R | –1 ≤ x < 5} e) {t [ R | – __2 5 < t ≤ 7 } f) {x [ R | 0 < x < 1} g) {x [ R | ___4 11 ≤ x ≤__1 2 } h) (–Ü, –1] i) [0,1] j) (√ __ 2 , 7] k) [–7, Ü) l) [–p, 3) m) (4, Ü) n) (–Ü, Ü) 6. Dados os subconjuntos de R calcule: (faça o gráfico) A = {x [ R | –2 ≤ x < 3}; B = {x [ R | 1 ≤ x < 4}; C = {x [ R | x < 0} a) A < B b) A > B c) (A > C) > B 7. Represente em linguagem simbólica os seguintes subconjuntos de R. a) -3 0 R b) 7 10 R 8. Determine A > B, quando: a) A = {x [ R | –1 ≤ x ≤ 2} e B = {x [ R | 0 ≤ x ≤ 5} b) A = {x [ R | x < 3} e B = {x [ R | 1 ≤ x ≤4} c) A = {x [ R | –3 ≤ x < 1} e B = {x [ R | 0 ≤ x ≤ 3} d) A = {x [ R | x < 5} e {x [ R | x > 5}
7VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. Dados: A = ]–4, 3], B = [–5, 5] e E = ]–Ü, 1[, determine: a) A > B > E b) A < B < E c) (A < B) > E 10. Dados A = [2,7], B = [–1, 5] e E = [3,9], calcule: a) A – B b) B – A c) A – E d) E – B Gabarito E.O. Aprendizagem 1. E 2. D 3. B 4. A 5. A 6. B 7. D 8. C 9. B 10. B E.O. Fixação 1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. A 7. E 8. A 9. A 10. B E.O. Complementar 1. D 2. D 3. D 4. A 5. D E.O. Dissertativo 1. a) ]-3, 5] b) {3} 2. a) {x [ R | 0 < x < 5} ou ]0 ,5[ ou (0, 5) b) {x [ R | –4 < x ≤ 3} ou ]–4 ,3] ou (–4, 3] c) {x [ R | 1 < x < 5} ou ]1, 5[ d) {x [ R | x ≥ –2} ou [–2 , Ü[ ou [–2, Ü) 3. a) {x [ R | –3 ≤ x ≤ 5} ou [–3 ,5] b) {x [ R | x ≤ __7 3 } ou ]–Ü, __7 3 ] ou (–Ü, __7 3 ] c) { x [ R | x > 0} ou ]0, Ü [ ou (0, Ü) d) {x [ R | –p ≤ x < 4} ou [–p, 4[ ou [–p, 4) e) {x [ R | __2 3 < x < 8 } ou ] ___ 2 3 , 8[ ou ( ___ 2 3 , 8) f) {x [ R | –4 < x ≤ 2} ou ]–4,2] ou (–4, 2) 4. a) ]0, 1] b) [5, 7] 5. a) x < 3 3 b) a ≥ –2 - 2 c) p > π p > p fi ff 3,14 d) –1 ≤ x < 5 -1 5 e) – __2 5 ≤ t ≤ 7 = - 0,4 -2 5 7 f) 0 < x < 1 0 1 g) ___ 4 11 ≤ x ≤__1 2 4/11 fi 0,36 1/5 = 0,5 h) (–Ü, –1] - 1 i) [0,1] 0 1 j) (√ __ 2 , 7] 2 fi 1,4 7 k) [–7, Ü) -7 l) [–p, 3) -fi ffffl- 3,14 3 m) (4, Ü) 4 n) (–Ü, Ü) 6. Observe a figura a seguir: a) {x [ R | –2 ≤ x < 4} b) {x [ R | 1 ≤ x < 3} c) Ö
8 VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. a) ]–3, 0] b) [7, 10] 8. a) {x [ R | 0 ≤ x ≤ 2} ou [0, 2] b) {x [ R | 1 ≤ x ≤ 3} ou [1 ,3[ ou [1, 3) c) {x [ R | 0 ≤ x < 1} ou [0 ,1[ ou [0, 1) d) Ö 9. a) ]–4, 1] b) ]–Ü, 5] c) [–5, 1] 10. a) {x [ R | 5 < x ≤ 7} ou ]5, 7] ou (5, 7] b) {x [ R | –1 ≤ x < 2} ou [–1, 2[ ou [–1, 2] c) {x [ R | 2 ≤ x < 3} ou [2, 3[ ou [2, 3) d) {x [ R | 5 < x < 9} ou ]5, 9[ ou (5, 9)
9VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (PUC-RJ) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades 2x + 3 ≤ x + 7 e x + 5 ≤ 3x + 1? a) 0 d) 3 b) 1 e) infinitos c) 2 2. (UFJF) Dadas as desigualdades, em : I. 3x + 1 < –x + 3 ≤ –2x + 5 II. ________ 4x – 1 x – 2 ≤ 1 O menor intervalo que contém todos os valores de x que satisfazem, simultaneamente, às desigualdades I e II é: a) ] __1 3 , __ 3 5 ]. b) ]–2, – __3 2 ]. c) ]–∞, __ 3 5 ]. d) [–__1 3 , __ 1 2 [. e) [ __4 3 , __3 5 [. 3. (FGV) O número de soluções inteiras da inequação _______ 2x + 6 14 – 2x ≥ 0 é: a) 8. d) 11. b) 9. e) infinito. c) 10. 4. (CFT-MG) O conjunto solução S, em da inequação –4 · (2x – 1) · ( __x 3 – 1) > 0 é: a) S = {x [ R | 1 < x < 2}. b) S = {x [ R | __1 2 < x < 3 }. c) S = {x [ R |x < 1 ou x > 2}. d) S = {x [ R | x < __1 2 ou x > 3}. 5. (PUC-RJ) Considere a inequação ______ x + 1 –x –5 ≤ 0 com x ∈ . Qual é o conjunto solução da inequação? a) (–∞, 1] ∪ [5, ∞) b) (–∞, –5) ∪ [–1, ∞) c) [0, ∞) d) [–5, ∞) e) (–1, ∞) 6. (CFT-MG) O número de soluções inteiras da inequação –x2 + 13x – 40 ≥ 0 no intervalo I = {x [ Z |2 ≤ x ≤ 10} é: a) 1. c) 3. b) 2. d) 4. 7. (IFCE) O conjunto solução S ; da inequação (5x2 – 6x – 8)(2 – 2x) < 0 é: a) S = ] ___ 4 5 , 2[ ø ]–`, 1[. b) S = ]2, + `[ ø ]– __4 5 , 1[. c) S = ]– __4 5 , 2[ ø ]1, +`[. d) S = ]–`, – __ 4 5 [ ø ]1, 2[. e) S = ]– __4 5 , 1[ ø ]2, +`[. 8. (PUC-SP) Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença ______ 1 x – 20 ≤ ______ 1 12 – x? a) Dezesseis d) Treze b) Quinze e) Menos que treze c) Quatorze 9. (UECE) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x2 – 32x + 252 < 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto: a) {12, 13, 14}. b) {15, 16, 17}. c) {18, 19, 20}. d) {21, 22, 23}. 10. (Ibmecrj) A soma dos quadrados dos números naturais que pertencem ao conjunto solução de (3 – x) · (x2 – 1) ________________ x + 2 ≥ 0 é igual a: a) 13. d) 19. b) 14. e) 20. c) 15. E. O. Fixação 1. (CFT-MG) O número de soluções inteiras da inequação x – 1 < 3x – 5 < 2x + 1 é: a) 4. c) 2. b) 3. d) 1. INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAUS COMPETÊNCIA(s) 5 HABILIDADE(s) 21 MT AULAS 11 E 12
10VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (PUC-RJ) A soma dos números inteiros x que satisfazem 2x +1 ≤ x + 3 ≤ 4x é: a) 0. d) 3. b) 1. e) –2. c) 2. 3. (IFCE) Tomando-se R, o conjunto dos números reais, como universo, a inequação 3x2 ___ 7 – (2x + 3x2 ___ 7 ) ≤ __4 5 tem como solução: a) {x [ R; x ≤ – __ 7 5 }. b) {x [ R; x ≥ __7 5 }. c) {x [ R; x ≥ – __5 2 }. d) {x [ R; x ≤ – __2 5 }. e) {x [ R; x ≥ – __2 5 }. 4. (IFBA) Considere estas desigualdades: ___ 5x 2 ≤ _______ 7x + 5 3 ________ –x + 6 4 ≤ 1 A quantidade de números inteiros x que satisfaz simultaneamente às duas desigualdades é: a) 11. d) 8. b) 10. e) 7. c) 9. 5. (Insper) Os organizadores de uma festa previram que o público do evento seria de, pelo menos, 1.000 pessoas e que o número de homens presentes estaria entre 60% e 80% do número de mulheres presentes. Para que tal previsão esteja errada, basta que o número de: a) homens presentes na festa seja igual a 360. b) homens presentes na festa seja igual a 500. c) homens presentes na festa seja igual a 1.000. d) mulheres presentes na festa seja igual a 650. e) mulheres presentes na festa seja igual a 1.000. 6. (Udesc) Se n é um número inteiro, então a quantidade de números racionais da forma _______ 2n 3n + 15 que são estritamente menores que ___7 13 é: a) 21. d) infinita. b) 25. e) 27. c) 20. 7. (UERN) A soma de todos os números inteiros que satisfazem simultaneamente a inequação-produto (3x – 7) · (x + 4) < 0 e a inequação-quociente _______ 2x + 1 5 – x > 0 é: a) 3. c) 6. b) 5. d) 7. 8. (CFT-MG) A solução da inequação (x – 3)2 > x – 3 é: a) x > 4. c) 3 < x < 4. b) x < 3. d) x < 3 ou x > 4. 9. (ESPM)O número de soluções inteiras do sistema de inequações ______ 2x – 3 –2 < 3 x2 + 2x ≤ 8 é igual a: a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. 10. (Mackenzie) A função f(x) = √ ________ 9 – x2 _____________ x2 + x – 2 tem como domínio o conjunto solução: a) S = {x [ R | −3 < x ≤ –2 ou 1 ≤ x < 3}. b) S = {x [ R | −3 ≤ x < –2 ou 1 < x ≤ 3}. c) S = {x [ R | −3 ≤ x < –2 ou 1 ≤ x ≤ 3}. d) S = {x [ R | −2 < x ≤ –1 ou 1 ≤ x ≤ 3}. e) S = {x [ R | −2 ≤ x < –1 ou 1 < x ≤ 3}. E.O. Complementar 1. (Ime) O sistema de inequações abaixo admite k soluções inteiras. x2 – 2x – 14 _____________ x > 3 x ≤ 12 Pode-se afirmar que: a) 0 ≤ k < 2. d) 6 ≤ k < 8. b) 2 ≤ k < 4. e) k ≥ 8. c) 4 ≤ k < 6. 2. (Col. Naval) No conjunto dos números reais, qual será o conjunto solução da inequação _____ 88 √ ____ 121 – __1 x≤ 0,25 ? a) {x [ R | ___2 15 < x <___ 15 2 } b) {x [ R | 0 < x ≤ ___2 15 } c) {x [ R | – ___2 15 < x < 0 } d) {x [ R | – ___ 15 2 ≤ x < – ___2 15 } e) {x [ R | x < – ___ 15 2 } 3. (IFSP) Quatro unidades do produto A, com “peso” de 1 kg, custam 480 reais. Sete unidades do produto B, “pesando” 1 kg, custam 300 reais. Sabendo-se que 10 unidades do produto A e x unidades do produto B, juntas, “pesam” no mínimo 5 kg e não ultrapassam 2.000 reais, então o número x é: a) primo. d) múltiplo de 6. b) divisível por 7. e) múltiplo de 4. c) divisível por 5. 4. (IME) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que _r s <__t v . Considere as seguintes relações: I. (r + s) _______ s < (t + v) _______ v II. _______ r (r + s) < ________ t (t + v)
11VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias III. _r s < (r + t) _________ (s + v) IV. (r + t) _______ s < (r + t) ________ v O número total de relações que estão corretas é: a) 0. d) 3. b) 1. e) 4. c) 2. 5. (PUC-MG) A função f é tal que f(x) = √ _____ g(x) . Se o gráfico da função g é a parábola a seguir, o domínio de f é o conjunto: a) {x [ R | x ≥ 0}. b) {x [ R | x ≤ –2 ou x ≥ 2}. c) {x [ R | 0 ≤ x ≤ 2}. d) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 2}. E.O. Dissertativo 1. (Ufrrj) Considere a função f(x) = 4x2 ____________ – 6x –x2 – 3x – 28 . Determine os intervalos nos quais f(x) é estritamente negativa. 2. (PUC-RJ) Determine para quais valores reais de x vale cada uma das desigualdades abaixo. a) ____________ 1 x2 –8x + 15 < 0 b) _____________ 1 x2 – 8x + 15 <__1 3 3. (UFJF) Sejam f : R → R e g: R → R funções definidas por f(x) = x – 14 e g(x) = – x2 + 6x – 8, respectivamente. a) Determine o conjunto dos valores de x tais que f(x) > g(x). b) Determine o menor número real k tal que f(x) + k ≥ g(x) para todo x , R. 4. (Ufrrj) A interseção dos seguintes conjuntos, A = { x [R | x2 – 6x + 5 < 0 }, B = { x [R | –x2 + 2x + 3 > 0 } e C = { x [ R | x2 – 8x + 12 ≥ 0 } é um intervalo. Determine o conjunto solução que representa esse intervalo. 5. (UFJF) Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados iguais a x + 3 e 2x – 4 metros. a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12 m2 a 28 m2 . b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2 . 6. (UFF) Resolva, em R –{–4, –2}, a inequação _____ x – 4 x + 2 < ______ x – 2 x + 4 . 7. (Unioeste) O maior número natural que pode ser acrescentado ao numerador e ao denominador de __3 7 de forma a obter um número pertencente ao intervalo ] __1 2 , __4 5 [ é: 8. (PUC-RJ) Considere a função real g(x) = x4 – 40x2 + 144 e a função real f(x) = x(x – 4) · (x + 4). a) Para quais valores de x temos f(x) < 0? b) Para quais valores de x temos g(x) < 0? c) Para quais valores de x temos f(x) · g(x) > 0? 9. (ITA) Determine todos os valores de m [ R tais que a equação (2 – m) x2 + 2mx + m + 2 = 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero. 10. (Ime) Resolva a inequação, onde x ∈ . 9x2 ____________ (1 – √ _____ 3x + 1 ) 2 > 4 E.O. Enem 1. (Enem) O setor de recursos humanos de uma empresa pretende fazer contratações para adequar-se ao artigo 93 da Lei nº 8.213/91, que dispõe: Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência, habilitadas, na seguinte proporção: I. até 200 empregados ........................2%; II. de 201 a 500 empregados ................3%; III. de 501 a 1.000 empregados .............4%; IV. de 1.001 em diante .........................5%. Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 3 fev. 2015. Constatou-se que a empresa possui 1.200 funcionários, dos quais 10 são reabilitados ou com deficiência, habilitados. Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará apenas empregados que atendem ao perfil indicado no artigo 93. O número mínimo de empregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que deverá ser contratado pela empresa é: a) 74. d) 60. b) 70. e) 53. c) 64.
12VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a: A = 3 B = 0 C = 0 D = 7 Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição: A + B + C + D = 20 O mês de nascimento dessa pessoa é: a) agosto b) setembro c) outubro d) novembro 2. (UERJ) Sabe-se que o polinômio P(x) = –2x3 – x2 + 4x + 2 pode ser decomposto na forma P(x) = (2x + 1) · (–x2 + 2). Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = –x2 + 2, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se o gráfico a seguir: Y f g 1 2 2 2 X Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a inequação –2x3 – x2 + 4x + 2 < 0. Todos os valores de x que satisfazem a essa inequação estão indicados na seguinte alternativa: a)x < – √ __ 2ou x > – __1 2 b) x < – √ __ 2ou x > √ __ 2 c) x < – √ __ 2ou – __1 2 < x <√ __ 2 d) – √ __ 2< x < – __1 2 ou x > √ __ 2 E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) A tabela a seguir indica a quantidade dos produtos A, B e C, comprados nas lojas X, Y e Z, e as despesas, em reais, relativas às compras efetuadas. Produtos Lojas A B C Despesas (R$) X 3 2 1 80 Y 1 2 3 100 Z 1 2 0 40 De acordo com os dados, determine: a) o intervalo de variação do preço do produto B, comprado na loja Z; b) o preço unitário do produto A, admitindo que o preço de venda de cada produto é igual nas três lojas. 2. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, estão representadas as funções f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x + 10. unidades em cm g(x) f(x) P x y Com base nos dados a seguir, determine: a) as coordenadas do ponto P. b) o conjunto-solução da inequação g(x) ____ f(x) < 0, f(x) ≠ 0. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de vitamina A e 60 microgramas de vitamina D, alimentando-se exclusivamente de um iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Cada pacote de cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. Consumindo x litros de iogurte e y pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se: a) x + 3y ≥ 7 e 20x + 15y ≥ 60. b) x + 3y ≤ 7 e 20x + 15y ≤ 60. c) x + 20y ≥ 7 e 3x + 15y ≥ 60. d) x + 20y ≤ 7 e 3x + 15y ≤ 60. e) x + 15y ≥ 7 e 3x + 20y ≥ 60.
13VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (Unesp 2017) No universo dos números reais, a equação (x2 – 13x + 40)(x2 – 13x + 42) ____________________________ √ ____________ x2 – 12x + 35 = 0 é satisfeita por apenas: a) três números. b) dois números. c) um número. d) quatro números. e) cinco números. 3. (Fuvest) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00 a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo: a) R$ 200.000,00. b) R$ 175.000,00. c) R$ 150.000,00. d) R$ 125.000,00. e) R$ 100.000,00. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Três empresas A, B e C comercializam o mesmo produto e seus lucros diários (L(x)), em reais, variam de acordo com o número de unidades diárias vendidas (x) segundo as relações: Empresa A: LA (x) = ___ 10 9 x2 – ____ 130 9 x + ____ 580 9 Empresa B: LB (x) = 10x + 20 Empresa C: LC (x) = 120, se x < 15 10x – 30, se x ≥ 15 Unidades diárias vendidas x Lucro diário Unidades diárias vendidas (x) Lucro diário (R$) Determine em que intervalo deve variar o número de unidades diárias vendidas para que o lucro da empresa B supere os lucros da empresa A e da empresa C. 2. (Unesp) A demanda de um produto químico no mercado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor químico indicam que D e F variam em função de p, de acordo com as seguintes funções: D(p) = 3p2 – 21p __________ 4 – 2p e F(p) = 5p – 10 _________ 3 . Admitindo-se p > 1 e sabendo que √ ______ 7569 = 87, determine o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se p > 1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produto é positiva. 3. (Unicamp) Uma lâmpada incandescente de 100 W custa R$ 2,00. Já uma lâmpada fluorescente de 24 W, que é capaz de iluminar tão bem quanto a lâmpada incandescente de 100 W, custa R$ 13,40. Responda às questões a seguir, lembrando que, em uma hora, uma lâmpada de 100 W consome uma quantidade de energia equivalente a 100 Wh, ou 0,1 kWh. Em seus cálculos, considere que 1 kWh de energia custa R$ 0,50. a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja, desprezando o custo de aquisição da lâmpada, determine quanto custa manter uma lâmpada incandescente de 100 W acesa por 750 horas. Faça o mesmo cálculo para uma lâmpada fluorescente de 24 W. b) Para iluminar toda a sua casa, João comprou e instalou apenas lâmpadas fluorescentes de 24 W. Fernando, por sua vez, comprou e instalou somente lâmpadas incandescentes de 100 W para iluminar sua casa. Considerando o custo de compra de cada lâmpada e seu consumo de energia, determine em quantos dias Fernando terá gasto mais com iluminação que João. Suponha que cada lâmpada fica acesa 3 horas por dia. Suponha, também, que as casas possuem o mesmo número de lâmpadas. 4. (Unifesp) Os candidatos que prestaram o ENEM podem utilizar a nota obtida na parte objetiva desse exame como parte da nota da prova de Conhecimentos Gerais da UNIFESP. A fórmula que regula esta possibilidade é dada por 95% CG + 5% ENEM, se ENEM > CG, CG, se ENEM ≤ CG, NF = onde NF representa a nota final do candidato, ENEM a nota obtida na parte objetiva do ENEM e CG a nota obtida na prova de Conhecimentos Gerais da UNIFESP. a) Qual será a nota final, NF, de um candidato que optar pela utilização da nota no ENEM e obtiver as notas CG = 2,0 e ENEM = 8,0? b) Mostre que qualquer que seja a nota obtida no ENEM, se ENEM > CG então NF > CG. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. D 3. C 4. B 5. B 6. D 7. E 8. B 9. B 10. B
14VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Fixação 1. B 2. D 3. E 4. C 5. A 6. B 7. A 8. D 9. D 10. B E.O. Complementar 1. D 2. B 3. D 4. D 5. D E.O. Dissertativo 1. ] –∞, 0 [ e ] __3 2 , ∞[ 2. a) 3 < x < 5 b) ]–`, 2[ ø ]3,5[ ø ]6, +`[ 3. a) S = {x [ R | x < –1 ou x > 6} b) k = – ___∆ 4a = – _______ _ 49 4 · (–1) = ____ 49 4 4. S = {x [ R | 1 < x ≤ 2 } 5. a) {x [ R | 3 ≤ x ≤ 4} b) 7 m e 4 m. 6. x < – 4 ou x > –2. 7. 12 8. a) {x [ R | x < –4 ou 0 < x < 4}. b) {x [ R | –6 < x < –2 ou 2 < x < 6}. c) {x [ R | –6 < x < –4 ou –2 < x < 0 ou 2 < x < 4 ou x > 6}. 9. –2 < m < – √ __ 2 10. x > 0 ⇒ S = R* + E.O. Enem 1. E E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. B 2. D E.O. UERJ Exame Discursivo 1. a) 0 < B < 20 b) 10 reais 2. a) P (7, 24) b) x < 5; x≠ 1 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. C 3. A E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. ]10, 20[ 2. p = 5; 2 < p < 7 3. a) 100W : R$37,50 ; 24W : R$9,00 b) Após 100 dias. 4. a) 2,3 b) Se ENEM > CG, então: NF = 0,95 · CG + 0,05 · ENEM > 0,95 · CG + 0,05 · CG > CG ⇔ NF > CG.
15VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (Unaerp) Qual dos seguintes gráficos não representa uma função f: R é R? a) d) y x o y 0 b) e) x y 0 y 0 x c) y x 0 2. Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: “a valores distintos de x correspondem valores distintos de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora? a) c) y x 1 y 1 x b) d) y x 1 y x 1 e) y x 1 3. (UFF) Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] representadas através dos gráficos a seguir: y y y f q q q g h p p p m m n n n m x x x Pode-se afirmar que: a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva. b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva. c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva. e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva. 4. (UEPG) Considerando os conjuntos: R = {0, 1, 3, 5, 7}, S = {2, 4, 6} e P = {1, 2}, assinale o que for correto. a) 1 [ (S – P). b) Existe uma função f: S é P que é bijetora. c) (S > P) < R = R. d) R > S > P = Ö. 5. (PUC-Camp) Seja f a função de R em R, dada pelo gráfico a seguir: -1 0 1 X Y 2 2 -2 -2 É correto afirmar que: a) f é sobrejetora e não injetora. b) f é bijetora. c) f(x) = f(–x) para todo x real. d) f(x) > 0 para todo x real. e) o conjunto imagem de f é ] –Ü; 2 ]. RELAÇÕES, FUNÇÕES E DEFINIÇÕES COMPETÊNCIA(s) 3, 4, 5 e 6 HABILIDADE(s) 13, 15, 20 e 25 MT AULAS 13 E 14
16VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (FGV) Seja a função f(x) = x2 . O valor de f (m + n) – f(m – n) é: a) 2m2 + 2n2 . d) 2m2 . b) 2n2 . e) 0. c) 4mn. 7. (FEI) Se f(x) = ______ 2 x – 1 ,?x ≠ 1, então √ ________ 8f(f(2)) vale: a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do filme, sendo que: • nos 10 primeiros dias desse período, as vendas foram feitas exclusivamente nas bilheterias; • nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultaneamente nas bilheterias e pela internet. Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o tempo t. 8. (Insper) Durante as vendas exclusivas nas bilheterias, a capacidade de atendimento dos guichês dos cinemas do mundo todo, ao longo do tempo, era sempre a mesma, totalizando a venda de 2 milhões de ingressos por dia. Assim, o gráfico que melhor descreve v(t) para esse período, em função de t, é: a) d) b) e) c) 9. (CFT-MG) O crescimento de uma cultura de bactérias ao longo de seis dias é mostrado no gráfico abaixo. O conjunto imagem dessa função é: a) {y [ R | 5000 < y < 18500}. b) { x [ R | 0 < x < 6}. c) {5000, 18500}. d) [0,6[. 10. Na função real definida por f(x) = 5x , f(a) · f(b) é sempre igual a: a) f (a · b). b) f (a + b). c) f ( __a 5 +__b 5 ). d) f (5 · a · b). e) f (a5 · b5 ). E.O. Fixação 1. (CFT-MG) Sendo g(x) = f(x2 + 6) e a função f : R – {2} é R, definida por f(x) = ______ 2 x – 2 , o domínio da função g, é o conjunto: a) R – {1}. b) R – {–√ __ 5, √ __ 5 }. c) R – {0}. d) R. 2. (UFSM) Escolhendo aleatoriamente alguns números das páginas de um livro adquirido numa livraria, foram formados os conjuntos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo a relação definida por R = {(x,y) [ A × B | x ≥ y}. Dessa forma: a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}. b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}. c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}. d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}. e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8}. 3. (UECE) Se f(x) = √ __ 3 · x2 + 1, x [ R, então (√ __ 3– 1) [f(√ __ 3 ) – f(√ __ 2 )+1] é igual a: a) 2. b) 3. c) 2√ __ 3 . d) 3√ __ 3 . 4. (UEL) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, definida por R = {(x,y) [ A x B | x é divisor de y}. Nestas condições, R é o conjunto: a) {(0, 2), (0, 8), (0, 9), (1, 2), (1, 8), (1, 9), (2,2), (2, 8), (3, 9), (4, 8)}. b) {(1, 2), (1, 8), (1, 9), (2, 2), (2, 8), (3, 9), (4, 8)}. c) {(2, 1), (2, 2), (8, 1), (8, 2), (8, 4), (9, 1), (9, 3)}. d) {(0, 2), (0, 8), (0, 9), (2, 2)}. e) {(2, 0), (2, 2), (2, 4)}.
17VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (UFPE) Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o gráfico de uma função injetora y = f(x)? a) d) y 0 x y x 0 b) e) 0 x y y x 0 c) x y 0 6. (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E é P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: a) f não pode ser uma função bijetora. b) f não pode ser uma função injetora. c) f é uma função sobrejetora. d) f é necessariamente uma função injetora. 7. (CFT-MG) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e R = {(x, y) [ P × P | x + y < 3}, o número de elementos do conjunto R é igual a: a) 3. c) 5. b) 4. d) 6. 8. (UFRN) Considerando K = {1, 2, 3, 4}, marque a opção, cuja figura representa o produto cartesiano K × K. a) c) 4 y x 3 2 1 1 2 3 4 4 y x 3 2 1 1 2 3 4 b) d) 4 y x 3 2 1 1 2 3 4 4 y x 3 2 1 1 2 3 4 9. Considere a função f(x) = 1 – ________ 4x (x + 1)² , a qual está definida para x ≠ –1. Então, para todo x ≠ 1 e x ≠ –1, o produto f(x) ∙ f(–x) é igual a: a) –1. d) x² + 1. b) 1. e) (x – 1)². c) x + 1. 10. (Espcex) O domínio da função real f(x) = ____________ d2 – x XXXXX x2 – 8x + 12 é: a) ]2, Ü[. d) ]–2, 2]. b) ]2, 6[. e) ]–Ü, 2[. c) ]–Ü, 6]. E.O. Complementar 1. (IFAL) O domínio da função dada por f(x) = _______ dXXXXX x – 2 dXXXXX 3 – x é: a) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3}. b) {x [ R | –2 ≤ x < 3}. c) {x [ R | 2 ≤ x < 3}. d) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3}. e) {x [ R | x ≠ 3}. 2. Através dos gráficos das funções f(x) e g(x), os valores de f(g(0)) e g(f(1)) são, respectivamente: a) –5 e 0. d) 2 e –5. b) –5 e 2. e) 2 e 0. c) 0 e 0. 3. Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a: a) __1 2 . d) 5. b) 1. e) 10. c) __5 2 . 4. (FEI) Sabendo-se que f(x + y) = f(x) · f(y) para qualquer valor real x e qualquer valor real y, é válido afirmar-se que: a) f (0) = 1. d) f (1) = 0. b) f (1) = 1. e) f (–1) = f(1). c) f (0) = 0. 5. (ITA) Considere funções f, g, f + g : R é R. Das afirmações: I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora; II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora; III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora; IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora, é(são) verdadeira(s): a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas III e IV. e) todas.
18VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativo 1. (UFF) Esboce, no sistema de eixos coordenados abaixo, o gráfico de uma função real, cujo domínio é o intervalo [1,2] e cuja imagem é o conjunto [–2, –1] < [2,3]. 2. (Ufrrj) Considere a função real f, para a qual f(x + 1) – f(x) = 2x, ? x [ R. Determine o valor de f(7) – f(3). 3. (UFPE) Seja A um conjunto com 3 elementos e B um conjunto com 5 elementos. Quantas funções injetoras de A em B existem? 4. (UFPE) A função f : R é R é tal que f(x + y) = f(x) + f(y), para todo x e y. Calcule f(0) + 1. 5. Em cada uma das funções abaixo, indique os conjuntos domínio e imagem e classifique, se possível, se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora. a) y 1 f: [-2, 2] fi R x -2 2 -1 b) 9 -3 0 3 y x f:]-3,3[fi[0,9[ c) 3 y f: [-3, 4[ fi R+ -3 -2 4 x 6. (UFPE) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. Sejam A e B conjuntos com m e n elementos respectivamente. Analise as seguintes afirmativas: ( ) Se f: A é B é uma função injetora então m ≤ n. ( ) Se f: A é B é uma função sobrejetora então m ≥ n. ( ) Se f: A é B é uma função bijetora então m = n. ( ) Se f: A é B é uma função bijetora então o gráfico de f é um subconjunto de A × B com m × n elementos. ( ) Se m = n o número de funções bijetoras f: A é B é m! 7. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo, determine o domínio, a imagem e o contradomínio. a) -2. 0. 0. 4. .16 .12 . 8 2. A R1 B 4. b) 4. . 0 . 10 . 100 . 1000 . 1 A B 1. 2. 3. 0. 8. (CFT-CE) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte relação: R = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 1}. 9. Uma função de variável real satisfaz a condição f(x + 2) = 2f(x) + f(1), qualquer que seja a variável x. Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de: a) f(1). b) f(5). 10. Uma função tem domínio D = {3, 7, 10} e associa cada elemento do domínio ao dobro do valor dele. Qual é a imagem dessa função? E.O. Enem 1. (Enem) Em um exame, foi feito o monitoramento dos níveis de duas substâncias presentes (A e B) na corrente sanguínea de uma pessoa, durante um período de 24 h, conforme o resultado apresentado na figura. Um nutricionista, no intuito de prescrever uma dieta para essa pessoa, analisou os níveis dessas substâncias, determinando que, para uma dieta semanal eficaz, deverá ser estabelecido um parâmetro cujo valor será dado pelo número de vezes em que os níveis de A e de B forem iguais, porém, maiores que o nível mínimo da substância A durante o período de duração da dieta.
19VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Considere que o padrão apresentado no resultado do exame, no período analisado, se repita para os dias subsequentes. O valor do parâmetro estabelecido pelo nutricionista, para uma dieta semanal, será igual a: a) 28. d) 7. b) 21. e) 14. c) 2. 2. (Enem) Atualmente existem diversas locadoras de veículos, permitindo uma concorrência saudável para o mercado, fazendo com que os preços se tornem acessíveis. Nas locadoras P e Q o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, conforme o gráfico. O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)? a) De 20 a 100. b) De 80 a 130. c) De 100 a 160. d) De 0 a 20 e de 100 a 160. e) De 40 a 80 e de 130 a 160. 3. (Enem) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios: O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de: a) 8,35. d) 15,35. b) 12,50. e) 18,05. c) 14,40. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) O gráfico abaixo representa o consumo de oxigênio de uma pessoa que se exercita, em condições aeróbicas, numa bicicleta ergométrica. Considere que o organismo libera, em média, 4,8 kcal para cada litro de oxigênio absorvido. 0 5 15 20 (min) 1,4 1,0 Consumo de O2 (L/min) A energia liberada no período entre 5 e 15 minutos, em kcal, é: a) 48,0. c) 67,2. b) 52,4. d) 93,6. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Considere os conjuntos A e B: A = {–30, –20, –10, 0, 10, 20, 30} e B = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}, e a função f: A é B, f(x) = x2 + 100.
20VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias O conjunto imagem de f é: a) {–30, –20, –10, 0, 10, 20, 30}. b) {100, 200, 500, 1000}. c) {300, 400, 600, 700, 800, 900}. d) {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}. e) conjunto vazio. 2. (Fuvest) A figura a seguir representa o gráfico de uma função da forma f(x) = (x + a) _________ (bx + c) , para –1 ≤ x ≤ 3. -1 y x 1 3 -1 -3 1/5 1 2 3 Pode-se concluir que o valor de b é: a) –2. b) –1. c) 0. d) 1. e) 2. 3. (Unesp) Considere duas funções, f e g, definidas no intervalo I = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 5}, tais que f(1) = g(1) = 0, f(3) · g(3) = 0 e f(5) > g(5). Representando o gráfico de f em linha cheia e o de g em linha tracejada, a figura que melhor se ajusta a esses dados é: a) d) b) e) c) Gabarito E.O. Aprendizagem 1. E 2. E 3. A 4. D 5. A 6. C 7. D 8. C 9. A 10. B E.O. Fixação 1. D 2. B 3. A 4. B 5. E 6. C 7. D 8. A 9. B 10. E E.O. Complementar 1. C 2. B 3. C 4. A 5. A E.O. Dissertativo 1. Exemplo de resposta: 2. f(7) – f(3) = 36 3. 60 4. 1 5. a) D(f) = [–2, 2] Im(f) = [–1, 1] A função é injetora. b) D(f) = ] –3, 3[ Im(f) = [0, 9[ A função é sobrejetora. c) D(f) = [–3, 4[ Im(f) = ] –2, 3] A função é injetora. 6. V V V F V 7. a) É função; D = {–2, 0, 2, 4}; Im = {0, 4, 16}; CD = {0, 4, 8, 12, 16} b) Não é função. 8. R = {(0, 1), (2, 3), (4, 5), (8, 9)} 9. a) f(1) = 2 b) f(5) = 14 10. {6, 14, 20} E.O. Enem 1. E 2. D 3. D E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. C E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. B 2. D 3. C
21VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. O gráfico representa a função real definida por f(x) = a x + b. O valor de a + b é igual a: a) 0,5. c) 1,5. b) 1,0. d) 2,0. 2. Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 2 e 3 seguem uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa: a) 140. c) 220. b) 180. d) 260. 3. Na função f(x) = mx – 2(m – n), m e n ∈ . Sabendo que f(3) = 4 e f(2) = –2, os valores de m e n são, respectivamente a) 1 e –1. c) 6 e –1. b) –2 e 3. d) 6 e 3. GRÁFICO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES 4. (UFSM) O gráfico acima mostra a evolução das notas em Matemática de dois grupos de estudantes, denominados grupo I e grupo II. Analisando o gráfico e considerando o período de 2007 a 2010, é possível afirmar: a) Os dois grupos melhoraram as notas. b) A nota do grupo I, em 2008, foi 80. c) A nota do grupo I aumentou de 2008 a 2009 e diminuiu de 2009 a 2010. d) A nota do grupo II não sofreu alteração. e) A nota do grupo I aumentou, enquanto a nota do grupo II diminuiu. 5. (UFSM) Em relação ao gráfico, considerando 2007 como x = 1, 2008 como x = 2 e assim, sucessivamente, a função afim y = ax + b que melhor expressa a evolução das notas em Matemática do grupo II é: a) y = __5 2 x + _____ 145 2 . b) y = – __5 2 x + ____ 145 2 . c) y = – __2 5 x – _____ 145 2 . d) y = __2 5 x + ____ 145 2 . e) y = – 5x – 145. 6. (Unioeste) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente: a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. 7. (IFSP) Uma empresa está organizando uma ação que objetiva diminuir os acidentes. Para comunicar seus funcionários, apresentou o gráfico a seguir. Ele descreve a tendência de redução de acidentes de trabalho. FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COMPETÊNCIA(s) 3, 4, 5 e 6 HABILIDADE(s) 13, 15, 20 e 25 MT AULAS 15 E 16
22VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Assim sendo, mantida constante a redução nos acidentes por mês, então o número de acidentes será zero em: a) maio. d) agosto. b) junho. e) setembro. c) julho. 8. Um experimento da área de Agronomia mostra que a temperatura mínima da superfície do solo t(x), em °C, é determinada em função do resíduo x de planta e biomassa na superfície, em g/m2 , conforme registrado na tabela seguinte. x(g/m2 ) 10 20 30 40 50 60 70 t(x) (°C) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 Analisando os dados acima, é correto concluir que eles satisfazem a função: a) y = 0,006x + 7,18. b) y = 0,06x + 7,18. c) y = 10x + 0,06. d) y = 10x + 7,14. 9. (UECE) Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia proporcional aos quilômetros percorridos. Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida de 5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da bandeirada é: a) R$ 7,50. c) R$ 5,50. b) R$ 6,50. d) R$ 4,50. 10. (Ufpr) O gráfico abaixo representa o consumo de bateria de um celular entre as 10 h e as 16 h de um determinado dia. Supondo que o consumo manteve o mesmo padrão até a bateria se esgotar, a que horas o nível da bateria atingiu 10%? a) 18 h. d) 21 h. b) 19 h. e) 22 h. c) 20 h. E.O. Fixação 1. O custo total C, em reais, de produção de x kg de certo produto é dado pela expressão C(x) = 900x + 50. O gráfico abaixo é o da receita R, em reais, obtida pelo fabricante, com a venda de x kg desse produto. Qual porcentagem da receita obtida com a venda de 1 kg do produto é lucro? a) 5%. d) 25%. b) 10%. e) 50%. c) 12,5%. 2. (Unisinos) Qual dos gráficos abaixo representa a reta de equação y = 2x + 3? a) b) c) d) e)
23VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (UEPA) O treinamento físico, na dependência da qualidade e da quantidade de esforço realizado, provoca, ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do volume do coração. De acordo com especialistas, o fígado de uma pessoa treinada tem maior capacidade de armazenar glicogênio, substância utilizada no metabolismo energético durante esforços de longa duração. De acordo com dados experimentais realizados por Thörner e Dummler (1996), existe uma relação linear entre a massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse sentido, essa relação linear pode ser expressa por y = ax + b onde “y” representa o volume cardíaco em mililitros (ml) e “x” representa a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é: a) y = 0,91x – 585. b) y = 0,92x + 585. c) y = –0,93x – 585. d) y = –0,94x + 585. e) y = 0,95x – 585. 4. (FGV) Quando o preço por unidade de certo modelo de telefone celular é R$ 250,00, são vendidas 1400 unidades por mês. Quando o preço por unidade é R$ 200,00, são vendidas 1700 unidades mensalmente. Admitindo que o número de celulares vendidos por mês pode ser expresso como função polinomial do primeiro grau do seu preço, podemos afirmar que, quando o preço for R$ 265,00, serão vendidas: a) 1290 unidades. b) 1300 unidades. c) 1310 unidades. d) 1320 unidades. e) 1330 unidades. 5. O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo: Para encher este reservatório de água com 2500 litros, uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio? a) 7h d) 7h30min b) 6h50min e) 7h50min c) 6h30min 6. (Mackenzie) Na figura, considere os gráficos das funções f(x) = ax + b e g(x) = mx + n. Se P = ( __7 4 ,__1 2 ), o valor de _______ a + n b · m é: a) 3. b) 2. c) 6. d) 5. e) 1. 7. (Insper) Num restaurante localizado numa cidade do Nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno. mês jan fev mar abr mai temperatura média mensal (graus Celsius) 29 30 28 27 25 bolas de sorvete 980 1000 960 940 900 mês jun jul ago set out nov dez temperatura média mensal (graus Celsius) 24 23 24 24 28 30 29 bolas de sorvete 880 860 880 880 960 1000 980 Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias no restaurante, percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo y = ax + b sendo x a temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta:
24VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias “É possível com base nessa equação saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?” Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que fez é: a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são vendidas. b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta. c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação. d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação. e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação. 8. (ESPM) O gráfico abaixo mostra o número de pessoas comprovadamente infectadas pelo vírus H1N1 numa certa cidade do Brasil, entre os meses de maio e setembro de 2009. Na hipótese de um crescimento linear desse surto, representado pela reta r, pode-se prever que o número de pessoas infectadas em dezembro de 2009 será igual a: a) 30. b) 36. c) 40. d) 44. e) 48. 9. (FGV) Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir e vender 1350 unidades por mês? a) 1740 d) 1770 b) 1750 c) 1760 e) 1780 10. (Epcar) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas. Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender: a) no mínimo 2 bolsas. c) exatamente 3 bolsas. b) pelo menos 1 bolsa. d) no mínimo 4 bolsas. E.O. Complementar 1. (Mackenzie) LOCADORA X Taxa fixa: R$ 50,00 Preço por quilômetro percorrido: R$ 1,20 LOCADORA Y Taxa fixa: R$ 56,00 Preço por quilômetro percorrido: R$ 0,90 Observando os dados anteriores, referente aos valores cobrados por duas locadoras X e Y de veículos, é CORRETO afirmar que: a) para exatamente 20 quilômetros percorridos, esses valores são iguais. b) a partir de 20 quilômetros rodados, o custo total em X é menor do que em Y. c) para X, o custo total é sempre menor. d) a partir de 15 quilômetros rodados, o custo total em Y é menor do que em X. e) até 32 quilômetros rodados, o custo total em X é menor do que em Y. 2. (UEMG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha 14 milhões de usuários residenciais na rede mundial de computadores. Em fevereiro de 2008, esses internautas somavam 22 milhões de pessoas – 8 milhões, ou 57% a mais. Deste total de usuários, 42% ainda não usam banda larga (internet mais rápida e estável). Só são atendidos pela rede discada”. Atualidade e Vestibular 2009, 1º semestre, ed Abril Baseando-se nessa informação, observe o gráfico, a seguir:
25VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de crescimento linear, mostrada no gráfico acima, o número de usuários residenciais de computadores, em dezembro de 2009, será igual a: a) 178 × 106 . c) 182 × 107 . b) 174 × 105 . d) 198 × 106 . 3. (Espcex) Considere as funções reais f(x) = 3x, de domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9]. Os valores máximo e mínimo que o quociente f(x) _____ g(y) pode assumir são, respectivamente: a) __2 3 e __1 2 . d) __3 4 e__1 3 . b) __1 3 e 1. e) 1 e 1 __ 3 . c) __4 3 e __3 4 . 4. (ESPM) A função f(x) = ax + b é estritamente decrescente. Sabe-se que f(a) = 2b e f(b) = 2a. O valor de f(3) é: a) 2. d) 0. b) 4. e) –1. c) –2. 5. (FGV) Como consequência da construção de futura estação de metrô, estima-se que uma casa que hoje vale R$ 280.000,00 tenha um crescimento linear com o tempo (isto é, o gráfico do valor do imóvel em função do tempo é uma reta), de modo que a estimativa de seu valor daqui a 3 anos seja de R$ 325. 000,00. Nessas condições, o valor estimado dessa casa daqui a 4 anos e 3 meses será de: a) R$ 346.000,00. d) R$ 343.750,00. b) R$ 345.250,00. e) R$ 343.000,00. c) R$ 344.500,00. E.O. Dissertativo 1. (UEMA) A fim de realizar o pagamento de uma festa de formatura, estabeleceu-se um valor de R$ 800,00 para cada aluno formando e mais um valor adicional por cada convidado. Considerando que um formando convidou 8 pessoas, tendo despendido o total de R$ 1.200,00, determine o valor pago por esse formando por cada convidado. 2. (UEL) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela companhia de saneamento, conforme mostra o quadro a seguir. Quantidade de água consumida (em m3 ) Valor a ser pago pelo consumo de água (em reais) Até 10 R$18,00 Mais do que 10 R$18,00 + (R$2,00 por m3 que excede 10 m3 ) Na cidade B, outra companhia de saneamento determina o valor a ser pago pelo consumo de água por meio da função cuja lei de formação é representada algebricamente por B(x) = {17, se x ≤ 10 2,1x – 4, se x > 10 em que x representa a quantidade de água consumida (em m3 ) e B(x) representa o valor a ser pago (em reais). a) Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago pelo consumo de água na cidade A. b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a ser pago será maior na cidade B do que na cidade A? 3. (UFMG) A fábula da lebre e da tartaruga, do escritor grego Esopo, foi recontada utilizando se o gráfico abaixo para descrever os deslocamentos dos animais. Suponha que na fábula a lebre e a tartaruga apostam uma corrida em uma pista de 200 metros de comprimento. As duas partem do mesmo local no mesmo instante. A tartaruga anda sempre com velocidade constante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme por certo tempo. Quando desperta, volta a correr com a mesma velocidade constante de antes, mas, quando completa o percurso, percebe que chegou 5 minutos depois da tartaruga. Considerando essas informações: a) determine a velocidade média da tartaruga durante esse percurso, em metros por hora. b) determine após quanto tempo da largada a tartaruga alcançou a lebre. c) determine por quanto tempo a lebre ficou dormindo. 4. (UFPR) Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento desse osso permite calcular a altura aproximada de uma pessoa por meio de uma função do primeiro grau. a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua altura era 1,90 m, e o úmero de seu assistente media 30 cm e sua altura era 1,60 m. b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media 32 cm, qual era a altura aproximada do indivíduo que possuía esse osso?
26VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. Considere a função f: R é R, definida por f(x) = 2x – 1. Determine todos os valores de m [ R para os quais é válida a igualdade: f(m2 ) – 2f(m) + f(2m) = m/2. 6. (UFES) O preço de uma certa máquina nova é R$ 10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, 0 ≤ t ≤ 8, e esboce o gráfico da função P. 7. (UFJF) Uma construtora, para construir o novo prédio da biblioteca de uma universidade, cobra um valor fixo para iniciar as obras e mais um valor, que aumenta de acordo com o passar dos meses da obra. O gráfico abaixo descreve o custo da obra, em milhões de reais, em função do número de meses utilizados para a construção da obra. a) Obtenha a lei y = f(x), para x > 0, que determina o gráfico. b) Determine o valor inicial cobrado pela construtora para a construção do prédio da biblioteca. c) Qual será o custo total da obra, sabendo que a construção demorou 10 meses para ser finalizada? 8. (Uel) ViajeBem é uma empresa de aluguel de veículos de passeio que cobra uma tarifa diária de R$ 160,00 mais R$ 1,50 por quilômetro percorrido, em carros de categoria A. AluCar é uma outra empresa que cobra uma tarifa diária de R$ 146,00 mais R$ 2,00 por quilômetro percorrido, para a mesma categoria de carros. a) Represente graficamente, em um mesmo plano cartesiano, as funções que determinam as tarifas diárias cobradas pelas duas empresas de carros da categoria A que percorrem, no máximo, 70 quilômetros. b) Determine a quantidade de quilômetros percorridos para a qual o valor cobrado é o mesmo. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados. E.O. Enem 1. (Enem) No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico. Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? a) A b) B c) C d) D e) E 2. (Enem) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada. Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é: a) y = 4.300x. b) y = 884.905x. c) y = 872.005 + 4.300x. d) y = 876.305 + 4.300x. e) y = 880.605 + 4.300x. 3. (Enem) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é:
27VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) b) c) d) e) 4. (Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n + 350 = 120n + 150 b) 100n + 150 = 120n + 350 c) 100(n + 350) = 120(n + 150) d) 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000) e) 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000) 5. (Enem) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será: a) menor que 1150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1150 e menor que 1200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1200. 6. (Enem) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = –20 + 4P QD = 46 – 2P Em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33 7. (Enem) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007.
28VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011? a) 4,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 8,0 e) 10,0 E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) SABEDORIA EGÍPCIA Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.) 0 B A Sol Início do verão (sombra mais curta) Outono ou primavera Início do inverno (sombra mais longa) Comprimento da sombra ao meio-dia Vareta Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: a) y = 8 – 4x c) x = 8 – 4y b) x = 6 – 3y d) y = 6 – 3x 2. (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida e a quantidade excretada na urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando pode ocorrer a osteoporose, uma doença caracterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo organismo. A baixa concentração de íon cálcio (Ca++) no sangue estimula as glândulas paratireoides a produzirem hormônio paratireoideo (HP). Nesta situação, o hormônio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, aumentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua excreção pelos rins. (Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia Molecular da Célula." Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.) Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra o gráfico abaixo. (Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999.) Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos. O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos, é igual a: a) 14. b) 18. c) 22. d) 26. 3. (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta. Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: a) 4,50. b) 5,00. c) 5,50. d) 6,00.
29VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. Determine o tempo x0 , em horas, indicado no gráfico. 2. (UERJ) Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor, às 16 horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura. Observe o gráfico que representa as alturas de cada uma das velas em função do tempo a partir do qual a vela A foi acesa. Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas. 3. (UERJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função: TA = 8,5 + 0,75 · TB , 12° ≤ TB ≤ 30°, em que TA e TB representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a) a temperatura do ambiente quando TA = 25 °C; b) o maior valor que pode ser obtido para TA . E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Em um experimento com sete palitos de fósforo idênticos, seis foram acesos nas mesmas condições e ao mesmo tempo. A chama de cada palito foi apagada depois de t segundos e, em seguida, anotou-se o comprimento x, em centímetros, de madeira não chamuscada em cada palito. A figura a seguir indica os resultados do experimento. Um modelo matemático consistente com todos os dados obtidos no experimento permite prever que o tempo, necessário e suficiente, para chamuscar totalmente um palito de fósforo idêntico aos que foram usados no experimento é de a) 1 minuto e 2 segundos. b) 1 minuto. c) 1 minuto e 3 segundos. d) 1 minuto e 1 segundo. e) 1 minuto e 4 segundos. 2. (Unesp) A tabela indica o gasto de água, em m3 por minuto, de uma torneira (aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do registro. Abertura da torneira (volta) Gasto de água por minuto (m3 ) 1/2 0,02 1 0,03 (www.sabesp.com.br. Adaptado.) Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 0,034 m3 . Portanto, é correto afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu registro de abertura de 1 volta completa e mais: a) __1 2 de volta. b) __1 5 de volta. c) __2 5 de volta. d) __3 4 de volta. e) __1 4 de volta.
30VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (Unicamp) O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014. Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que a) A teve um crescimento maior do que C. b) C teve um crescimento maior do que B. c) B teve um crescimento igual a A. d) C teve um crescimento menor do que B. 4. (Unicamp) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35 ºC em 1995 para 13,8 ºC em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, a temperatura média em 2012 deverá ser de: a) 13,83 ºC. c) 13,92 ºC. b) 13,86 ºC. d) 13,89 ºC. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n, f(x) = {x – (n – 1), se n – 1 ≤ x ≤ n n + 1 – x, se n ≤ x ≤ n + 1 a) Esboce o gráfico de f para 0 ≤ x ≤ 6. b) Encontre os valores de x, 0 ≤ x ≤ 6, tais que f(x) = __1 5 . 2. (Unicamp) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo. Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x) 35 23,8 cm 42 27,3 cm Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração. b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x – 20)/3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados nk forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n1 = 5, em que nk = f (ck ), com k natural, calcule o comprimento c5 . 3. (Unicamp) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo. Tempo (segundos) 0 1 2 3 4 Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140 b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. C 2. D 3. C 4. E 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D 10. B E.O. Fixação 1. A 2. A 3. E 4. C 5. D 6. E 7. C 8. B 9. B 10. B
31VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Complementar 1. A 2. D 3. E 4. C 5. D E.O. Dissertativo 1. R$ 50,00 2. a) { 18, para 0 < x ≤ 10 2x - 2 se x > 10 b) x > 20 3. a) 50 m/h b) 1 hora c) 3h45min 4. a) f(x) = 3x + 0,7 b) 1,66 metros 5. m = 0 ou m = __1 4 6. P(t) = –1250t + 10000 (0 ≤ t ≤ 8) Observe o gráfico a seguir: t (anos) 10 000 0 8 (R$) P(t) Observe o gráfico a seguir: 7. a) f(x) = (1/2)x + 2, com x ≥ 0. b) De (a), temos que o valor inicial, cobrado pela construtora para a construção do prédio da biblioteca, é igual a 2 milhões. c) f(10) = 1/2 · 10 + 2 = 7 milhões de reais 8. a) b) 28 km. E.O. Enem 1. C 2. C 3. E 4. A 5. C 6. B 7. E E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. C 2. D 3. A E.O. UERJ Exame Discursivo 1. x0 = 30 horas 2. As velas A e B tinham, respectivamente, 8 cm e 6 cm antes de serem acesas. 3. a) TB = 22 °C b) TA = 31 °C E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. B 3. B 4. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) b) S = { ___ 1 5 ; ___ 9 5 ; ____ 11 5 ; ____ 19 5 ; ____ 21 5 ; ____ 29 5 }. 2. a) { a = 2 b = –12,6 ⇒ t(x) = 2x – 12,6. b) c5 = 24,2 cm 3. a) V(30) = 1050 km/h b) Velocidade máxima ≅ 1320 km/h. Tempo ≅ 37,5 s.
____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ANOTAÇÕES 32VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias
MATEMÁTICA MATEMÁTICA e suas tecnologias 2 ARITMÉTICA
34VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km² de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo. Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010. Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km², é de: a) 250. d) 0,25. b) 25. e) 0,025. c) 2,5. 2. (UTFPR) Em um exame de seleção concorreram 4800 candidatos para 240 vagas. A razão entre o número de vagas e o número de candidatos foi de: a) _____ 1 2000. d) __1 2 . b) ____ 1 200. e) 1. c) ___1 20. 3. (Upf) Um quadrilátero áureo apresenta um valor especial para a razão entre as suas medidas da base (lado maior) e da altura (lado menor). Os passos para a construção de um quadrilátero áureo são: 1. Construir um quadrado de lado "a" 2. Dividir esse quadrado em dois retângulos iguais. 3. Traçar a diagonal do segundo retângulo e, com o compasso, marcar o ponto sobre a horizontal. 4. Dessa forma, ficam definidas as medidas da base, ——AR = __a 2 +d, e da altura, ——AB = a, desse retângulo. Sendo assim, a razão entre a medida da base e da altura do quadrilátero áureo é: a) 1 + √ __ 5 b) 1 + √ __ 2 c) 1 + √ __ _______2 2 d) 1 + √ __ ______5 2 e) a(1 + √ __ 5 ) _________ 2 4. A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta entre sua casa e escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1:25000, por um período de cinco dias. RAZÃO, PROPORÇÃO E GRANDEZAS PROPORCIONAIS COMPETÊNCIA(s) 3 e 4 HABILIDADE(s) 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 e 18 MT AULAS 9 E 10
35VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 d) 20 b) 8 e) 40 c) 16 5. (Cftrj 2017) Qual o número mínimo de passos idênticos, de 3/4 de metro cada, suficientes para caminhar em linha reta por 13,5 m? a) 13 c) 40,5 b) 18 d) 54 6. A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura a seguir. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga. A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é: a) S = k · b · d2 ________ x2 . b) S = ________ k · b · d x2 . c) S = k · b · d2 _________ x . d) S = k ·b2 ________ · d x . e) S = _________ k · b · 2d x . 7. Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14m3 de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3 , na carga de concreto trazido pela betoneira? a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00 8. (CFTRJ) Carol pretende preparar um enorme bolo. Sua receita, entre outros ingredientes, leva 500 g de trigo, 300 g de chocolate e 150 g de açúcar. Sabendo que Carol usará 2,5 kg de trigo na receita, quanto deverá usar de chocolate e açúcar, respectivamente? a) 1 kg e 400 g c) 1,5 kg e 800 g b) 1,5 kg e 750 g d) 1,6 kg e 800 g 9. Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107 ) de litros de água potável. Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado). Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consumam 1000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade? a) 102 d) 105 b) 103 e) 109 c) 104 10. Uma fábrica de calçados, localizada em Nova Serrana, emprega 16 operários, os quais produzem 120 pares de calçados em 8 horas de trabalho diárias. A fim de ampliar essa produção para 300 pares por dia, a empresa mudou a jornada de trabalho para 10 horas diárias. Nesse novo contexto, o número de operários será igual a: a) 16. c) 32. b) 24. d) 50. E.O. Fixação 1. (ESPM) O consumo de combustível de um trator de arado, por tempo de trabalho, é de 18 litros por hora. Esse mesmo consumo, por área trabalhada, é de 15 litros por hectare. Podemos estimar que, em 10 horas de trabalho, esse trator poderá arar cerca de: a) 12 hectares. d) 6 hectares. b) 15 hectares. e) 10 hectares. c) 8 hectares. 2. (Epcar 2017) Certa máquina, funcionando normalmente 5 horas por dia, gasta 3 dias para produzir 1.200 embalagens. Atualmente está com esse tempo de funcionamento diário reduzido em 20% trabalhando, assim, apenas T horas por dia. Para atender uma encomenda de 1.840 embalagens, aproveitando ao máximo em todos os dias o seu tempo T de funcionamento, ela gastará no último dia a) 120 minutos c) 180 minutos b) 150 minutos d) 200 minutos
36VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150. Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? a) 2,9 cm × 3,4 cm b) 3,9 cm × 4,4 cm c) 20 cm × 25 cm d) 21 cm × 26 cm e) 192 cm × 242 cm 4. Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir. Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I d) IV b) II e) V c) III 5. (UTFPR) Paula, Flávia e Olga se uniram para comprar uma confecção. Paula entrou com R$ 36.000,00, Flávia com R$ 45.000,00 e Olga com R$ 63.000,00. Um ano após o início desta sociedade, constatou-se que a confecção havia dado a elas um lucro de R$ 19.200,00. Dividindo esse lucro proporcionalmente ao investimento inicial das sócias, quanto Paula, Flávia e Olga deverão receber, respectivamente? a) R$ 4.800,00, R$ 6.000,00 e R$ 8.400,00. b) R$ 3.400,00, R$ 6.500,00 e R$ 9.300,00. c) R$ 5.200,00, R$ 6.400,00 e R$ 7.600,00. d) R$ 4.200,00, R$ 6.800,00 e R$ 8.200,00. e) R$ 5.400,00, R$ 6.850,00 e R$ 6.950,00. 6. (CFTSC) Um barco fez uma viagem em 12 dias, percorrendo 250 km por dia. Quantos dias seriam necessários para ele fazer a mesma viagem percorrendo 300 km por dia? a) 9 dias. d) 14,4 dias. b) 10 dias. e) 8,5 dias. c) 15 dias. 7. (G1 – epcar (Cpcar)) O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, parceladamente, dois eletrodomésticos. Após pagar 2/5 do valor dessa compra, quando ainda devia R$ 600,00 resolveu revendê-los. Com a venda de um dos eletrodomésticos, ele conseguiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do outro eletrodoméstico representou um prejuízo de 10% sobre o custo. Com o valor total apurado na revenda, ele pôde liquidar seu débito existente e ainda lhe sobrou a quantia de R$ 525,00 A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato, nessa ordem, é equivalente a a) 5 c) 3 b) 4 d) 2 8. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: a) 920 kg. b) 800 kg. c) 720 kg. d) 600 kg. e) 570 kg. E.O. Complementar 1. Um pintor dispõe de 35 litros de tinta vermelha e de 30 litros de tinta branca. Ele deseja misturar essas tintas na proporção de 5 litros de tinta vermelha para cada 3 litros de tinta branca para obter um tom de tinta mais claro. Para obter o maior volume possível de tinta misturada, ele deverá utilizar toda a tinta disponível de uma das cores e sobrará uma certa quantidade de tinta da outra cor. Quantos litros de tinta sobrarão sem serem misturados? a) 5. b) 9. c) 12. d) 14. e) 17. 2. (G1 – col. naval) Uma placa será confeccionada de modo que o emblema da empresa seja feito de um metal que custa R$ 5,00 o centímetro quadrado. O emblema consiste em três figuras planas semelhantes que lembram três árvores. Para as bases “árvores”, constroem-se segmentos de reta proporcionais a 3, 4 e 5. Se o custo da maior árvore do emblema ficou em R$ 800,00 qual o valor, em reais de todo o emblema? a) 1600 b) 1500 c) 1200 d) 1120 e) 1020
37VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (UFSC) Assinale a alternativa que responde corretamente à pergunta a seguir. Um criador de frangos tem ração para alimentar seus 42 frangos durante 30 dias; no fim de 6 dias compra mais 30 frangos. Quanto tempo durará a ração, se a quantidade de ração diária de cada frango for constante? a) 18 dias b) 16 dias c) 9 dias d) 14 dias 4. A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: • resistência (R) e comprimento (ℓ), dada a mesma seção transversal (A); • resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento • comprimento (ℓ) e área da seção transversal (A), dada a mesma resistência (R). Considerando os resistores como fios, podese exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes. As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (ℓ), resistência (R) e área da seção transversal (A), e entre comprimento (ℓ) e área da seção transversal (A) são, respectivamente: a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. d) inversa, direta e direta. e) inversa, direta e inversa. 5. (EPCAR) Uma empresa foi contratada para executar serviço de pintura no alojamento dos alunos do 1º ano da EPCAR. O prazo estabelecido no contrato para a conclusão do serviço foi de 10 dias. O serviço começou a ser executado por uma equipe de 6 funcionários da empresa, cada um trabalhando 6 horas por dia. Ao final do 8º dia de serviço, somente __3 5 do serviço de pintura havia sido executado. Para terminar o serviço dentro do prazo, a equipe de serviço recebeu mais 2 funcionários, e todos passaram a trabalhar 9 horas por dia. Com isso, a produtividade da equipe duplicou. A nova equipe, para concluir o trabalho, gastou mais de 1 dia, porém menos de 2 dias. Se h representa o número de horas que cada funcionário da nova equipe trabalhou no 10º dia de trabalho, então h é um número compreendido entre: a) 0 e 2. b) 2 e 4. c) 4 e 6. d) 6 e 8. E.O. Dissertativo 1. (UFPR) A tela de uma TV está no formato widescreen, no qual a largura e a altura estão na proporção de 16 para 9. Sabendo que a diagonal dessa tela mede 37 polegadas, qual é sua largura e a sua altura, em centímetros? (Para simplificar os cálculos, use as aproximações d337 XXXX≈ 18,5 e 1 polegada ≈ 2,5 cm.) 2. (Uema) Um comerciante comprou a prazo 10 (dez) conjuntos de mesas com cadeiras para alugar. O custo da compra foi de R$ 1.500,00. Para pagar esse débito, ele pretende alugá-los, todos os sábados e domingos, ao preço de R$ 5,00 ao dia, por conjunto. Nessas condições, em quantos finais de semana o comerciante quitará o débito? 3. (UFRJ) O painel de um automóvel indica o consumo médio de combustível da seguinte forma: 12,5 L / 100 km. Determine quantos quilômetros esse automóvel percorre, em média, com 1 litro desse combustível. 4. (FGV) Quando representamos um apartamento, uma casa ou a distância entre duas cidades em um mapa, as medidas são reduzidas de modo proporcional. As razões entre as distâncias em uma representação plana e as correspondentes medidas reais chamam-se escala. A Volta da França (Tour de France) é a volta ciclística mais importante do mundo e tem o mesmo significado, para os ciclistas, que a Copa do Mundo para os fãs do futebol. O Tour de France, com suas 21 etapas de planícies e montanhas, percorreu países além da França, como, Espanha, Mônaco e Suíça. A 18º etapa, que ocorreu em 23/07/2009, não teve praticamente nenhuma escalada de montanha. Por isso, considere o percurso do início ao fim exatamente como uma linha reta. A escala da representação plana é 1:400000, isto é, 1 centímetro na representação plana corresponde a 400 000 centímetros na distância real. O ciclista que ganhou a etapa manteve uma velocidade média de 48 km/h. Se ele partiu às 10 horas da manhã, a que horas terminou a corrida?
38VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (UFRN) Ao planejar uma viagem à Argentina, um turista brasileiro verificou, pela Internet, que no Banco de La Nación Argentina, em Buenos Aires, 1 real equivalia a 2 pesos e 1 dólar a 4 pesos. Verificou também que nas casas de câmbio, no Brasil, 1 dólar equivalia a 1,8 reais. Se o turista optar por pagar suas contas na Argentina com a moeda local, é melhor levar reais para comprar pesos ou comprar dólares no Brasil e levar para depois convertê-los em pesos em Buenos Aires? Justifique sua resposta. 6. (Fgv 2017) No fim de dezembro de 2013, quando surgiram os primeiros sinais da crise hídrica, o nível do Cantareira era de 27,5% do volume útil, sem contar com nenhuma cota do volume morto. (...) Três índices de medição O site da Sabesp informa três percentuais diferentes do nível do Cantareira. O primeiro índice [Índice 1], que hoje está em 29,3% corresponde ao volume armazenado de água em relação ao volume útil do sistema. Por determinação da Justiça, a companhia foi obrigada a fornecer outros dois índices. A taxa 2 [Índice 2], que está em 22,6% e é adotada pelo UOL, equivale à quantidade de água existente em relação ao volume total do Cantareira, incluindo as duas cotas do volume morto que passaram a ser usadas. Já o índice 3 [Índice 3], que está em 0% representa o quanto de água tem, excluindo o volume morto, em comparação com o volume útil do sistema. Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/ ultimas-noticias/2015/12/30/apos-mais-de-um-ano-emeio-cantareira-sai-do-volume-morto.htm?mobile A partir da leitura do texto acima, responda às seguintes questões. a) Qual é o tamanho do volume útil do Cantareira, em porcentagem, em relação ao volume total desse sistema? b) Se o Índice 1 passar de 29,3% para 35%, para quanto passará o Índice 2? c) Suponha que o sistema Guarapiranga demore 1 hora para fornecer 60.000 metros cúbicos de água e que um outro sistema disponível para abastecer a região da Grande São Paulo demore 2 horas para fornecer essa mesma quantidade de água. Trabalhando juntos, quanto tempo (em minutos) esses dois sistemas demorarão para fornecer 60.000 metros cúbicos de água? 7. (CFTCE) Doze fábricas, trabalhando 8 horas por dia, liberam 800 m3 de gases em 15 dias. Quantas fábricas, trabalhando 7 horas e 12 minutos por dia, durante 10 dias, liberarão 600 m3 de gases? 8. (CFTCE) Três números, x, y e z, são inversamente proporcionais a 12, 20 e 15, nesta ordem. Se 3 x – 2 y + z = 39, calcule x + y + z. 9. (UFG) Um paciente deve receber, por via intravenosa, uma solução de soro glicosado durante um período T em horas. Sabendo-se que o volume de 1 mL corresponde a 20 gotas de soro: a) Qual frequência em gotas por minuto deve ser administrada para que um volume de 900 mL de soro seja aplicado durante 6 horas? b) Obtenha uma expressão que dê o número de gotas a serem administradas, por minuto, em função do volume V de soro, em mL, e do tempo T, em horas. E.O. Enem 1. A Figura 1 representa uma gravura retangular com 8 m de comprimento e 6 m de altura. Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2. A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1. PRADO, A. C. Superinteressante. ed. 301, fev. 2012 (adaptado). A escala da gravura reproduzida na folha de papel é: a) 1:3. d) 1:25. b) 1:4. e) 1:32. c) 1:20. 2. Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desempenho. Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados:
39VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Jogador I Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. Jogador II Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. Jogador III Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. Jogador IV Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. Jogador V Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas. Qual desses jogadores apresentou melhor desempenho? a) I. d) IV. b) II. e) V. c) III. 3. Um show especial de Natal teve 45.000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicados. Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas? a) 1 hora. b) 1 hora e 15 minutos. c) 5 horas. d) 6 horas. e) 6 horas e 15 minutos. 4. A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Entre eles, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir. Casos de câncer pulmonar dado o número de cigarros consumidos diariamente Casos de câncer pulmonar 60 50 40 Número de cigarros consumidos diariamente Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course - 1992 (adaptado). 0 1 2 3 4 5 0 10 20 20 30 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25 De acordo com as informações do gráfico, a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade. 5. Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que ”o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M“. HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: a) S = k · M. b) S = k · M1/3. c) S = k1/3 · M1/3. d) S = k1/3 · M2/3. e) S = k1/3 · M2 . 6. José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6:5:4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4:4:2, respectivamente. Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto? a) 600, 550, 350 b) 300, 300, 150 c) 300, 250, 200 d) 200, 200, 100 e) 100, 100, 5 E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ 2017) Um anel contém 15 gramas de ouro de 16 quilates. Isso significa que o anel contém 10 g de ouro puro e 5 g de uma liga metálica. Sabe-se que o ouro é considerado de 18 quilates se há a proporção de 3 g de ouro puro para 1 g de liga metálica. Para transformar esse anel de ouro de 16 quilates em outro de 18 quilates, é preciso acrescentar a seguinte quantidade, em gramas, de ouro puro: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3
40VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (UERJ) Na imagem da etiqueta, informa-se o valor a ser pago por 0,256 kg de peito de peru. PEITO PERU 2 243 28 DATA : 27/03/14 DEPTO. : R$/kg: PESO : 0,256 kg VALIDADE : 31/03/14 12,80 000 10 04 TOTAL R$ O valor, em reais, de um quilograma desse produto é igual a: a) 25,60. b) 32,76. c) 40,00. d) 50,00. 3. (UERJ) Na figura a seguir, estão representados o triângulo retângulo ABC e os retângulos semelhantes I, II e III, de alturas h1 , h2 e h3 respectivamente proporcionais às bases ——BC, ——AC e ——AB. Se AC = 4 m e AB = 3m, a razão 4h2 + 3h ___________3 h1 é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 4. (UERJ) Observe no gráfico o número de médicos ativos registrados no Conselho Federal de Medicina (CFM) e o número de médicos atuantes no Sistema Único de Saúde (SUS), para cada mil habitantes, nas cinco regiões do Brasil. O SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes. Na região Norte, o valor de x é aproximadamente igual a: a) 660 b) 1000 c) 1334 d) 1515 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Em um laboratório, duas torneiras enchem dois recipientes, de mesmo volume V, com diferentes soluções aquosas. Observe os dados da tabela: Recipiente Solução Tempo de enchimento (s) R1 ácido clorídrico 40 R2 hidróxido de sódio 60 O gráfico abaixo mostra a variação do volume do conteúdo em cada recipiente em função do tempo. 5. (UERJ) Considere que as duas torneiras foram abertas no mesmo instante a fim de encher um outro recipiente de volume V. O gráfico que ilustra a variação do volume do conteúdo desse recipiente está apresentado em: a) b) c) d) E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Distância de frenagem é aquela percorrida por um carro do instante em que seu freio é acionado até o momento em que ele para. Essa distância é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade que o carro está desenvolvendo no instante em que o freio é acionado.
41VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias O gráfico abaixo indica a distância de frenagem d, em metros, percorrida por um carro, em função de sua velocidade v, em quilômetros por hora. Admita que o freio desse carro seja acionado quando ele alcançar a velocidade de 100 km/h. Calcule sua distância de frenagem, em metros. 2. (UERJ) Para preencher sua necessidade diária de 300 g de carboidratos, um adulto ingere um tipo de alimentação mista que consiste em batatas e soja. Admita que 100 g de batata e 100 g de soja contêm, respectivamente, 19 g e 35 g de carboidratos, e que x e y representam as quantidades diárias, em gramas, que esse adulto irá consumir, respectivamente, de batatas e soja. Considerando a necessidade diária de carboidratos desse adulto, a) calcule a quantidade de soja, em gramas, que ele deverá ingerir num determinado dia em que tenha consumido 400 g de batata; b) estabeleça uma equação que relacione as variáveis x e y. 3. (UERJ) O VOO HIPERSÔNICO Australianos testam protótipo de motor de avião cuja velocidade atinge 9.800 quilômetros por hora. (...) Caso venha a equipar um avião de passageiros, o motor, batizado como HyShot, pode reduzir o tempo de uma viagem entre São Paulo e Paris para pouco menos de uma hora. A velocidade do Concorde, o avião de passageiros mais rápido hoje, é de 2.200 km/h. (Adaptado de Veja, 07/08/2002) Considere que, utilizando o motor HyShot, em sua velocidade máxima, um avião gaste exatamente 55 minutos para fazer a viagem de São Paulo a Paris. Determine o tempo que será gasto por um Concorde para fazer essa mesma viagem, a uma velocidade de 2.200 km/h. TEXTO PARA AS PRÓXIMAS DUAS QUESTÕES OS RICOS DA RECEITA Entre os brasileiros, há 2745 com rendimento superior a meio milhão de reais por ano. Apenas um em cada 60.000 brasileiros está nessa categoria. Veja como eles se dividem Renda anual (em reais) Total de pessoas Patrimônio médio (em reais) Mais de 10 milhões 9 200 milhões Entre 5 milhões e 10 milhões 27 31 milhões Entre 1 milhão e 5 milhões 616 23 milhões Entre meio milhão e 1 milhão 2093 6 milhões Fonte: Receita Federal - dados referentes a 1998 (Adaptado de Veja, 12/07/2000) 4. (UERJ) Suponha que cada uma das 9 pessoas com renda anual de mais de 10 milhões de reais ganhem, exatamente, 12 milhões de reais em um ano. Com a quantia total recebida por essas 9 pessoas nesse ano, determine o número aproximado de trabalhadores que poderiam receber um salário mensal de R$ 151,00, também durante um ano. 5. Com os dados apresentados no texto introdutório da tabela, calcule a população do Brasil considerada pela Receita Federal. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a __2 9 . Se a soma das duas idades é igual a 55 anos, então Pedro tem: a) 12 anos. b) 13 anos. c) 10 anos. d) 15 anos. 2. (Unicamp) A tabela abaixo informa alguns valores nutricionais para a mesma quantidade de dois alimentos, A e B. Alimento A B Quantidade 20g 20g Valor Energético 60 80kcal Sódio 10mg 20 mg Proteína 6g 1 g Considere duas porções isocalóricas (de mesmo valor energético) dos alimentos A e B. A razão entre a quantidade de proteína em A e a quantidade de proteína em B é igual a: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10
42VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (Unesp) Os professores de matemática e educação física de uma escola organizaram um campeonato de damas entre os alunos. Pelas regras do campeonato, cada colocação admitia apenas um ocupante. Para premiar os três primeiros colocados, a direção da escola comprou 310 chocolates, que foram divididos entre o 1º, 2º e 3º colocados no campeonato, em quantidades inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, respectivamente. As quantidades de chocolates recebidas pelos alunos premiados, em ordem crescente de colocação no campeonato, foram: a) 155, 93 e 62. b) 155, 95 e 60. c) 150, 100 e 60. d) 150, 103 e 57. e) 150, 105 e 55. 4. (Unesp) As medições da elevação do nível dos mares e oceanos feitas por mareógrafos ao longo da costa, no período de 1880 a 2000, mostram que o nível global destes subiu a uma taxa média de 1,7 cm por década. Já as medições realizadas por altímetros, radares a bordo de satélites de sensoriamento remoto, para o período de 1990 a 2000, indicam que o nível subiu a uma taxa média de 3,1 cm por década. Admitindo que as condições climáticas que provocam esta elevação não se alterem nos próximos 50 anos, o nível global dos mares e oceanos deverá subir nesse período, em centímetros, entre a) 8,5 e 15,5. b) 6,5 e 13,5. c) 7,5 e 10,5. d) 5,5 e 10,5. e) 5,5 e 15,5. 5. (Unicamp) Considere três modelos de televisores de tela plana, cujas dimensões aproximadas são fornecidas na tabela a seguir, acompanhadas dos preços dos aparelhos. Modelo Largura (cm) Altura (cm) Preço (R$) 23’’ 50 30 750,00 32’’ 70 40 1.400,00 40’’ 90 50 2.250,00 Com base na tabela, pode-se afirmar que o preço por unidade de área da tela a) aumenta à medida que as dimensões dos aparelhos aumentam. b) permanece constante do primeiro para o segundo modelo, e aumenta do segundo para o terceiro. c) aumenta do primeiro para o segundo modelo, e permanece constante do segundo para o terceiro. d) permanece constante. 6. (Fuvest) Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a primeira terça parte do trajeto à velocidade média de 60 km/h, a terça parte seguinte a 40 km/h e o restante do percurso a 20 km/h. O valor que melhor aproxima a velocidade média do veículo nessa viagem, em km/h é a) 32,5 d) 40 b) 35 e) 42,5 c) 37,5 E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unifesp) Sabe-se que o comprimento C de um quadrúpede, medido da bacia ao ombro, e sua largura L, medida na direção vertical (espessura média do corpo), possuem limites para além dos quais o corpo do animal não se sustentaria de pé. Por meio da física médica, confrontada com dados reais de animais, é possível identificar que esses limites implicam a razão C:L2/3 ser, no máximo, próxima de 7:1, com as medidas de C e L dadas em centímetros. a) Qual é, aproximadamente, a largura L, em centímetros, de um cachorro que tenha comprimento C igual a 35 cm, para que ele possa se sustentar de pé na situação limite da razão C:L2/3? Adote nos cálculos finais dXX5 = 2,2, dando a resposta em número racional. b) Um elefante da Índia, com L = 135 cm possui razão C:L2/3 igual a 5,8:1. Calcule o comprimento C desse quadrúpede, adotando nos cálculos finais 3 dXX5= 1,7 e dando a resposta em número racional. 2. (Unicamp) Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos do que um avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. O avião a jato voa a uma velocidade média de 660 km/h, enquanto o avião a hélice voa em média a 275 km/h. Qual é a distância entre São Paulo e Boa Vista? 3. (Unifesp) O carro modelo flex de Cláudia, que estava com o tanque vazio, foi totalmente abastecido com 20% de gasolina comum e 80% de etanol. Quando o tanque estava com o combustível em 40% de sua capacidade, Cláudia retornou ao posto para reabastecimento e completou o tanque apenas com gasolina comum. a) Após o reabastecimento, qual a porcentagem de gasolina comum no tanque? b) No primeiro abastecimento, o preço do litro de gasolina comum no posto superava o de etanol em 50% e, na ocasião do reabastecimento, apenas em 40%. Sabe-se que houve 10% de aumento no preço do litro de etanol, do primeiro para o segundo abastecimento, o que fez com que o preço da gasolina comum superasse o do etanol em R$ 0,704 na ocasião do reabastecimento. Calcule o preço do litro de gasolina comum na ocasião do primeiro abastecimento.
43VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (Unifesp) Para testar a durabilidade de uma bateria elétrica foram construídos dois pequenos aparatos móveis, A e B, que desenvolvem, respectivamente, as velocidades constantes de 30 cm/s e 20 cm/s. Cada um dos aparatos é inicialmente posicionado em uma das duas extremidades de uma pista retilínea e horizontal de 9 m de comprimento, e correm em sentido contrário, um em direção ao outro, cada um em sua faixa. Ao chegarem à extremidade oposta, retornam ao início, num fluxo contínuo de idas e vindas, programado para durar 1 hora e 30 minutos. O tempo gasto pelos aparatos para virarem- -se, em cada extremidade da pista, e iniciarem o retorno rumo à extremidade oposta, é desprezível e, portanto, desconsiderado para o desenvolvimento do experimento. a) Depois de quantos segundos os aparatos A e B vão se encontrar, pela primeira vez, na mesma extremidade da pista? b) Determine quantas vezes, durante toda a experiência, os aparatos A e B se cruzam. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. C 3. D 4. E 5. B 6. A 7. B 8. B 9. E 10. C E.O. Fixação 1. A 2. C 3. D 4. D 5. A 6. B 7. C 8. A E.O. Complementar 1. B 2. A 3. D 4. C 5. B E.O. Dissertativo 1. Portanto, (27)2 = L2 + H2 ⇒ ( ___16 9 H) 2 + H2 = 272 ⇒ H = 45cm e L = 80cm 2. O comerciante apura, por final de semana, a quantia de 2 · 10 · 5 = R$ 100,00. Logo, supondo que ele conseguirá alugar todos os conjuntos, em todos os finais de semana, tem-se que o débito será quitado em ____ 1500 100 finais de semana. 3. _____ 100 12,5 = 8 km 4. 1 cm na representação corresponde a 400.000 cm na vida real, ou seja, 1 cm = 4 km. Como temos uma distância de 10 cm na representação, teremos 40 km na vida real. Assim, 40 km/48 km = 5/6 h = 50 minutos. Portanto a corrida terminou às 10h50 minutos. 5. Sem perda de generalidade, suponhamos que o turista pretenda gastar 1.000 pesos na Argentina. Assim, ele precisaria dispor de _____ 1000 2 = 500 reais. Por outro lado, como 1.000 pesos valem _____ 1000 4 = 250 dólares na Argentina,ele desembolsaria 250 · 1,8 = 450 reais comprando dólares no Brasil. Portanto, como 450 < 500, é melhor comprar dólares no Brasil e levar para depois convertê- los em pesos em Buenos Aires. 6. Considerando que: Vu = volume útil Vm = volume morto xu = quantidade de água no volume útil xm = quantidade de água no volume morto a) De acordo com os índices citados no enunciado, podemos escrever o seguinte sistema: xu + x ________m Vu = 0,293 xu + x _________ m Vu + vm = 0,226 x _______ u Vu + Vm = 0⇒ Xu = 0 Do sistema acima podemos escrever que: xm = vu · 0,293 xm = (vu + Vm) · 0,226 Igualando as equações, temos: vu · 0,293 = (Vu + Vm) · 0,226 V _______ u Vu + Vm = ______ 0,226 0,293 V _______ u Vu + Vm = 77,13% b) Considerando que o aumento ocorre apenas nas quantidades de água, já que os volumes são constantes, podemos escrever que o índice 2 passará a ser: 35%_____ 29,3% · 22,6 % = 27% c) A represa de Guarapiranga fornece em uma hora 60.000 metros cúbicos de água. A outra represa fornece 30.000 metros cúbicos por hora. Portanto estas duas represas juntos fornecem 90.000 metros cúbicos por hora. Considerando que t é o tempo para que juntas forneçam 60.000 metros cúbicos, temos: t = _______ 60.000 90.000 = __2 3 h = 40 minutos . 7. 15 8. x + y + z = 36 9. a) 50 gotas por minuto. b) V/(3T) gotas por minuto. E.O. Enem 1. D 2. D 3. B 4. E 5. D 6. B
44VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. B 2. D 3. A 4. D 5. C E.O. UERJ Exame Discursivo 1. Como d é diretamente proporcional ao quadrado de v e 100 = 2 ∙ 50, segue que a distância de frenagem para a velocidade de 100 km/h é igual ao quádruplo da distância de frenagem para a velocidade de 50 km/h ou seja, 4 ∙ 32 = 128m 2. a) 640 g de soja b) 0,19 x + 0,35 y = 300 3. 4 h 05 min ou 245 min 4. 59.602 pessoas 5. 164.700.000 habitantes E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. C 3. C 4. A 5. D 6. A E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) Para C = 35cm, C : L3/2 = 7 : 1 e dXX5≈ 2,2 obtemos ____ 35 L2/3 = 7/1 ⇔ L = 53/2 ⇔ L = 5dXX5 ⇔ L ≅ 11cm b) Para L = 135cm, C : L2/3 e 3dXX5 ≅ 1,7, vem ______ C 1352/3 = ___ 5,8 1 ⇔ C = (33 · 5)2/3 · 5,8 ⇔ C = 32 · (3 dXX5 ) 2 · 5,8 ⇔ C ≅ 9 · (1,7)2 · 5,8 ⇔ C ≅ 150,9cm. 2. Jato 660km/h _____ x Hélice 275km/h _____ x + 7 660 x = 275 x + 7 . 275 x = _____ 1925 385 = 5 A distância é de 3300km/h. 3. a) V: Volume do tanque cheio 0,2V: quantidade de gasolina e 0,8V: quantidade de álcool 0,4V: volume do tanque com 40% 0,4 · 0,2V = 0,08V (gasolina) e 0,4 · 0,8V = 0,32V (álcool) Foram colocados 0,6V de gasolina comum, portanto a porcentagem de gasolina no tanque será 0,08V + 0,6V = 0,68V, ou seja, 68%. b) preço inicial da gasolina: x preço inicial do álcool: y preço atual da gasolina: w preço atual do álcool: z Temos então, o seguinte sistema: x 1,5y (I) z 1,4w (II) z 1,1y (III) w z 0,704 (IV) = = = = + Resolvendo um sistema com (II) e (IV), temos: z = 1,76. Substituindo z = 1,76 em (III), temos: y = 1,6. Substituindo y = 1,6 em (I), temos: x = 2,40. Portanto, o preço da gasolina comum na ocasião do primeiro abastecimento era R$2,40. 4. a) O aparato A leva ____ 900 30 = 30 segundos para percorrer a pista, enquanto que o aparato B leva _____ 900 20 = 45 segundos. Assim, apóssegundos haverá o primeiro encontro dos aparatos na mesma extremidade da pista. b) Considere o gráfico abaixo, que descreve a posição dos aparatos em função do tempo. Os aparatos se encontram 5 vezes a cada ____ 180 60 = 3 min. Portanto, em 1 h 30 min = 90 minutos eles se encontram 5 · ____ 90 3 = 150 vezes.
45VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (CFT-MG) O maior divisor primo dos números 222, 333, 444 e 555 é: a) 11. b) 17. c) 37. d) 111. 2. (Uespi) Qual o expoente da maior potência de 3 que divide 27030? a) 70. d) 100. b) 80. e) 110. c) 90. 3. (IFCE) O número de divisores do produto dos fatores é (20)8 · (200)3 é: a) 112. d) 350. b) 135. e) 390. c) 160. 4. (UECE) Ao fatorarmos o número inteiro positivo n, obtemos a expressão n = 2x ∙ 5y , onde x e y são números inteiros positivos. Se n admite exatamente 12 divisores positivos e é menor do que o número 199, então, a soma x + y é igual a: a) 5. c) 7. b) 6. d) 8. 5. (UTF-PR) Três vendedores viajam a serviço para uma empresa. O primeiro viaja de 12 em 12 dias, o segundo de 16 em 16 dias e o terceiro de 20 em 20 dias. Se todos viajarem hoje, calcule daqui quantos dias eles voltarão a viajar no mesmo dia. a) 220 dias. d) 250 dias. b) 120 dias. e) 180 dias. c) 240 dias. 6. (Epcar (Cpcar)) Um agricultor fará uma plantação de feijão em canteiro retilíneo. Para isso, começou a marcar os locais onde plantaria as sementes. A figura abaixo indica os pontos já marcados pelo agricultor e as distâncias, em cm, entre eles. Esse agricultor, depois, marcou outros pontos entre os já existentes, de modo que a distância d entre todos eles fosse a mesma e a maior possível. Se x representa o número de vezes que a distância d foi obtida pelo agricultor, então x é um número divisível por: a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. 7. (Udesc) Maria recebeu alta do hospital, mas deverá continuar o tratamento em casa por mais 30 dias completos. Para isso, ela deverá tomar o remédio A a cada 4 horas, o B a cada 5 horas e o C a cada 6 horas. Em casa, Maria iniciou o tratamento tomando o remédio A, o B e o C no mesmo horário. Supondo que ela atenderá rigorosamente às recomendações médicas quanto ao horário da ingestão dos medicamentos, então o número de vezes em que os três remédios foram ingeridos simultaneamente foi: a) 12 vezes. d) 6 vezes. b) 13 vezes. e) 7 vezes. c) 1 vez. 8. (ESPM) As moedas de 10 e 25 centavos de real tem, praticamente, a mesma espessura. 162 moedas de 10 centavos e 90 moedas de 25 centavos serão empilhadas de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura. O menor número possível de pilhas é: a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. e) 16. 9. (G1 – IFPE) Na Escola Pierre de Fermat, foi realizada uma gincana com o objetivo de arrecadar alimentos para a montagem e doação de cestas básicas. Ao fim da gincana, foram arrecadados 144 pacotes de feijão, 96 pacotes de açúcar, 192 pacotes de arroz e 240 pacotes de fubá. Na montagem das cestas, a diretora exigiu que fosse montado o maior número de cestas possível, de forma que não sobrasse nenhum pacote de alimento e nenhum pacote fosse partido. Seguindo a exigência da diretora, quantos pacotes de feijão teremos em cada cesta? a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 10. (Cefet-MG) Nas afirmações abaixo, os números a, b e n são inteiros positivos. Analise-as, atribuindo (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas. ( ) Se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n, então a − b é múltiplo de n. ( ) Se (a − b) é múltiplo de n, então a e b são múltiplos de n. ( ) Se (a · b) é múltiplo de n então a ou b é múltiplo de n. ( ) Se d = MDC(a, b) e m = MMC(a, b), então m é múltiplo de d. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA, M.M.C. E M.D.C. COMPETÊNCIA(s) 1 e 5 HABILIDADE(s) 3, 4, 5 e 21 MT AULAS 11 E 12
46VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias A sequência correta encontrada é: a) V, V, F, V. b) V, F, F, V. c) V, F, V, V. d) V, F, F, F. e) F, V, F, V. E.O. Fixação 1. (Insper) O menor número inteiro e positivo que deve ser multiplicado por 2.012 para que o resultado obtido seja um cubo perfeito é: a) 8.048. b) 253.009. c) 506.018. d) 1.012.036. e) 4.048.144. 2. (PUC-MG) Os participantes de um cruzeiro, que navegam em um navio com capacidade para 2.500 passageiros, podem ser divididos em grupos com 7, 11, 33 e 70 pessoas, de modo que, em cada divisão, ninguém fique sem grupo. O número de participantes desse cruzeiro é: a) 2.160. c) 2.420. b) 2.310. d) 2.500. 3. (UFTM) A sequência de inteiros maiores do que 1, dada por (x, 569, y, ...), é tal que cada termo, depois do primeiro, é um a menos do que o produto dos termos imediatamente anterior e sucessor. Em tais condições, a quantidade de números diferentes que x pode assumir é igual a: a) 14. d) 44. b) 24. e) 56. c) 36. 4. (Epcar (Cpcar)) Se somarmos sete números inteiros pares positivos e consecutivos, obteremos 770. O número de divisores naturais do maior dos sete números citados é: a) 6. c) 10. b) 8. d) 12. 5. (ESPM) O número natural N = 474747 ........47X possui 47 algarismos e é múltiplo de 9. O valor do algarismo X é: a) 4. d) 8. b) 7. e) 5. c) 3. 6. (UESC) X e Y trabalham todos os dias, tendo direito a uma folga semanal. De acordo com suas escalas de trabalho, sabe-se que, em determinada semana, X estará de folga na terça-feira e, após, cada seis dias, enquanto Y estará de folga na quarta-feira e, após, cada sete dias. Contando-se os dias transcorridos a partir da segunda- -feira da referida semana até o primeiro dia em que X e Y terão folga simultânea, obtém-se um número igual a: a) 40. d) 43. b) 41. e) 44. c) 42. 7. (IFSP) Certo dia, a sirene de uma fábrica e as badaladas do sino de uma igreja tocaram juntos às 8 horas, às 13 horas e às 18 horas. Sabendo-se que a igreja toca o sino de uma em uma hora e a sirene da fábrica toca a cada x minutos, então, o valor mínimo de x, maior que uma hora, é: a) 72. d) 96. b) 75. e) 100. c) 84. 8. (IFSP) Miro ganhou um prêmio em dinheiro que é superior a R$ 2.000,00 e inferior a R$ 2.500,00. Se ele contá-lo de 30 em 30 reais, ou de 40 em 40 reais, ou ainda de 50 em 50 reais, sempre sobrarão 25 reais. O valor do prêmio foi: a) R$ 2.185,00. b) R$ 2.275,00. c) R$ 2.305,00. d) R$ 2.375,00. e) R$ 2.425,00. 9. (CFT-CE) O produto de dois números positivos e consecutivos é 240. O triplo do Máximo Divisor Comum desses números é: a) 1. d) 240. b) 30. e) 120. c) 3. 10. (Epcar (Cpcar)) Em um prédio de 90 andares, numerados de 1 a 90, sem contar o térreo, existem 4 elevadores que são programados para atender apenas determinados andares. Assim, o elevador: • O para nos andares múltiplos de 11; • S para nos andares múltiplos de 7; • C para nos andares múltiplos de 5; • T para em todos os andares. Todos estes elevadores partem do andar térreo e funcionam perfeitamente de acordo com sua programação. Analise as afirmativas abaixo, classificando cada uma em V (verdadeira) ou F (falsa). ( ) No último andar para apenas 1 elevador. ( ) Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores, com exceção do próprio térreo. ( ) Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo. Tem-se a sequência correta em: a) F – V – V b) F – V – F c) V – F – V d) F – F – V
47VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Complementar 1. (IFCE) Se p e q são números primos, tais que p – q = 41, então o valor de p + q é a) 91. b) 79. c) 73. d) 45. e) 43. 2. (IFSP) Em uma empresa, __1 7 dos funcionários são soltei - ros e ___1 13 dos solteiros pretendem casar em 2011. Analisando esses dados podemos concluir que uma quantidade possível de funcionários é: a) 1 300. d) 710. b) 1 000. e) 500. c) 910. 3. (ESPM) Dividindo-se 218 ou 172 pelo natural n, obtém-se resto 11. Dividindo-se n por 11 obtém-se resto igual a: a) 3. b) 0. c) 1. d) 2. e) 5. 4. (ESPM) Uma parede retangular pode ser totalmente revestida com ladrilhos retangulares de 30 cm por 40 cm ou com ladrilhos quadrados de 50 cm de lado, inteiros, sem que haja espaço ou superposição entre eles. A menor área que essa parede pode ter é igual a: a) 4,5 m2 . d) 4,0 m2 . b) 2,5 m2 . e) 3,5 m2 . c) 3,0 m2 . 5. (UPE) Três colegas caminhoneiros, Santos, Yuri e Belmiro, encontraram-se numa sexta-feira, 12 de agosto, em um restaurante de uma BR, durante o almoço. Santos disse que costuma almoçar nesse restaurante de 8 em 8 dias, Yuri disse que almoça no restaurante de 12 em 12 dias, e Belmiro, de 15 em 15 dias. Com base nessas informações, analise as afirmativas seguintes: I. Os três caminhoneiros voltarão a se encontrar novamente no dia 13 de dezembro. II. O dia da semana em que ocorrerá esse novo encontro é uma sexta-feira. III. Santos e Yuri se encontrarão 4 vezes antes do novo encontro dos três colegas. Está CORRETO o que se afirma, apenas, em: a) I b) II c) III d) I e II e) I e III 6. Um álbum de figurinhas possui 35 páginas, cada uma com 25 figurinhas, distribuídas em 5 linhas e 5 colunas. As figurinhas estão ordenadas e numeradas de 1 até 875. Nesse álbum, são consideradas figurinhas especiais a 7ª, 14ª, 21ª, 28ª e assim sucessivamente. A figura ilustra a primeira página desse álbum. Depois que o álbum for completado com todas as figurinhas, a última página que se iniciará com uma figurinha especial é a de número: a) 27. b) 28. c) 32. d) 33. e) 34. E.O. Dissertativo 1. Quantos divisores têm o número dado por 25 · 38 · 73 ? Deixe seus cálculos anotados na folha. 2. O número 24 · 3a · 53 tem 120 divisores. Qual é o valor de a? 3. (UEG) Prove que todo número de quatro algarismos, alternadamente iguais, isto é, números da forma abab (por exemplo, o número 5353), são divisíveis por 101. 4. (CFT-CE) Mostre que a expressão 34n + 2 + 2 · 43n + 1 é igual a um número múltiplo de 17 para n = 1. 5. (FGV) Calcule o quociente entre o MMC e o MDC das expressões a seguir: A: x3 – xy2 – x2 y + y3 B: x2 – y2 C: x3 – y3 6. (UFMG) Sobre uma pista circular de ciclismo existem 6 pontos de observação igualmente espaçados, indicados com as letras A, B, C, D, E e F. Dada a largada de uma corrida, dois ciclistas partem do ponto A e percorrem a pista no sentido da seta, como indicado na figura abaixo. Um deles completa uma volta a cada 5 minutos, e o outro, mais lento, completa uma volta a cada 8 minutos. As velocidades dos ciclistas são constantes. Considerando essas informações: a) Determine em qual dos pontos de observação os dois ciclistas irão se encontrar pela primeira vez depois da largada. b) Um cronômetro zerado é ligado no momento da largada e é desligado assim que os dois ciclistas se encontram pela segunda vez. Determine os minutos e segundos mostrados pelo cronômetro neste instante. c) Determine em qual dos pontos de observação os dois ciclistas irão se encontrar pela oitava vez depois da largada.
48VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. Dados os polinômios calcule um MDC e um MMC para cada item: a) A = 12 m2 n2 p B = 16 m2 np2 C = 18 mn2 p2 b) A = x2 + x B = x3 + x C = x4 + x 8. Determine o MMC e o MDC dos polinômios: a) a4 + a3 e a5 + a4 b) 3a + 6 e a3 – 2a2 + a – 2 c) a5 – 2a4 + a3 e a4 – a2 d) x2 – 4x + 4; x2 – 4 e x3 – 2x2 E.O. Enem 1. (Enem) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano, serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos). O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é: a) 2. b) 4. c) 9. d) 40. e) 80. 2. (Enem) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2m: Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir: a) 105 peças. b) 120 peças. c) 210 peças. d) 243 peças. e) 420 peças. 3. (Enem) Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo apresentado na Figura 1, deverá ser descarregada no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres (Figura 2). De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser empilhados de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada. Após o empilhamento total da carga e atendendo a norma do porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é: a) 12,5 m. b) 17,5 m. c) 25,0 m. d) 22,5 m. e) 32,5 m. 4. (Enem) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x ∙ 5y ∙ 7z , na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é: a) x ∙ y ∙ z. b) (x + 1) ∙ (y + 1). c) x ∙ y ∙ z – 1. d) (x + 1) ∙ (y + 1) ∙ z. e) (x + 1) ∙ (y + 1) ∙ (z + 1) – 1.
49VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a: a) 3. b) 4. c) 6. d) 8. 2. (UERJ) O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múltiplo de 4. O ano de 2012 foi o último bissexto. Porém, há casos especiais de anos que, apesar de múltiplos de 4 não são bissextos: são aqueles que também são múltiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 1900 foi o último caso especial. A soma dos algarismos do próximo ano que será um caso especial é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 3. (UERJ) Na tabela abaixo, estão indicadas três possibilidades de arrumar n cadernos em pacotes: Nº de pacotes Nº de cadernos por pacotes Nº de cadernos que sobram X 12 11 Y 20 19 Z 18 17 Se n é menor do que 1200, a soma dos algarismos do maior valor de n é: a) 12. b) 17. c) 21. d) 26. 4. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: a) 150. b) 160. c) 190. d) 200. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Campanha do governo de Dubai contra a obesidade oferece prêmio em ouro por quilogramas perdidos A campanha funciona premiando os participantes de acordo com a seguinte tabela: Massa perdida (kg) Ouro recebido (g/kg perdido) até 5 1 6 a 10 2 mais de 10 3 Assim, se uma pessoa perder 4 kg, receberá 4 g de ouro; se perder 7 kg, receberá 14 g; se perder 15 kg, receberá 45 g. Adaptado de g1.globo.com, 18/08/2013. Considere um participante da campanha que receba 16 g de ouro pelo número inteiro de quilogramas perdidos. Sabendo que a massa dessa pessoa, ao receber o prêmio, é de 93,0 kg, determine o valor inteiro de sua massa, em quilogramas, no início da campanha. 2. (UERJ) Um professor propõe a um aluno uma tarefa de matemática composta das etapas descritas a seguir. 1ª. Escrever o número de quatro algarismos da data de seu aniversário, dois referentes ao dia e dois referentes ao mês. 2ª. Misturar os quatro algarismos desse número formando um número N, de modo que a ordem das unidades de milhar não seja ocupada por zero. 3ª. Subtrair 1001 do número N, tantas vezes quantas forem necessárias, até obter o primeiro valor menor do que 1001. 4ª. Informar ao professor o valor obtido na 3ª etapa. 5ª. Calcular o resto R da divisão do número N, obtido na 2ª etapa, por 11. O professor consegue determinar o valor de R sem conhecer o valor de N. Sabendo que o valor obtido na 3ª etapa foi 204, determine R. 3. (UERJ) Os anos do calendário chinês, um dos mais antigos que a história registra, começam sempre em uma lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do calendário gregoriano. Eles recebem nomes de animais, que se repetem em ciclos de doze anos. A tabela a seguir apresenta o ciclo mais recente desse calendário. Ano do calendário chinês início no calendário gregoriano nome 31 - janeiro - 1995 porco 19 - fevereiro - 1996 rato 08 - fevereiro - 1997 boi 28 - janeiro - 1998 tigre
50VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Ano do calendário chinês início no calendário gregoriano nome 16 - fevereiro - 1999 coelho 05 - fevereiro - 2000 dragão 24 - janeiro - 2001 serpente 12 - fevereiro - 2002 cavalo 01 - fevereiro - 2003 cabra 22 - janeiro - 2004 macaco 09 - fevereiro - 2005 galo 29 - janeiro - 2006 cão Admita que, pelo calendário gregoriano, uma determinada cidade chinesa tenha sido fundada em 21 de junho de 1089 d.C., ano da serpente no calendário chinês. Desde então, a cada 15 anos, seus habitantes promovem uma grande festa de comemoração. Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134, e assim por diante. Determine, no calendário gregoriano, o ano do século XXI em que a fundação dessa cidade será comemorada novamente no ano da serpente. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest 2017) Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de "a" coincide com a soma dos divisores positivos de b. Constituem dois inteiros positivos equivalentes: a) 8 e 9. d) 15 e 20. b) 9 e 11. e) 16 e 25. c) 10 e 12. 2. (Fuvest) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é: a) R$ 0,85. d) R$ 2,50. b) R$ 1,15. e) R$ 2,80. c) R$ 1,45. 3. (Fuvest) Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar também em uma segunda-feira será: a) 2012. d) 2018. b) 2014. e) 2020. c) 2016. 4. (Fuvest) Uma empresa de construção dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 blocos de tipo Y. Esses blocos têm as seguintes características: todos são cilindros retos, o bloco X tem 120 cm de altura e o bloco Y tem 150 cm de altura. tipo X tipo Y A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as seguintes condições: cada coluna deve ser construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e todas elas devem ter a mesma altura. Com o material disponível, o número máximo de colunas que podem ser construídas é de: a) 55. b) 56. c) 57. d) 58. e) 59. 5. (Unesp) Uma empresa de cerâmica utiliza três tipos de caixas para embalar seus produtos, conforme mostram as figuras. Essa empresa fornece seus produtos para grandes cidades, que, por sua vez, proíbem o tráfego de caminhões de grande porte em suas áreas centrais. Para garantir a entrega nessas regiões, o proprietário da empresa decidiu adquirir caminhões com caçambas menores. A tabela apresenta as dimensões de cinco tipos de caçambas encontradas no mercado pelo proprietário. tipo de caçamba comprimento (m) largura (m) altura (m) I 3,5 2,5 1,2 II 3,5 2,0 1,0 III 3,0 2,2 1,0 IV 3,0 2,0 1,5 V 3,0 2,0 1,0 Sabe-se que: • A empresa transporta somente um tipo de caixa por entrega. • A empresa deverá adquirir somente um tipo de caçamba. • A caçamba adquirida deverá transportar qualquer tipo de caixa. • As caixas, ao serem acomodadas, deverão ter seus “comprimento, largura e altura” coincidindo com os mesmos sentidos dos “comprimento, largura e altura” da caçamba. • Para cada entrega, o volume da caçamba deverá estar totalmente ocupado pelo tipo de caixa transportado.