51VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Atendendo a essas condições, o proprietário optou pela compra de caminhões com caçamba do tipo: a) II. b) IV. c) III. d) I. e) V. 6. (Unicamp) Um investidor dispõe de R$ 200,00 por mês para adquirir o maior número possível de ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era R$ 9,00. No segundo mês houve uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o total de ações que possuía. Sabendo que só é permitida a negociação de um número inteiro de ações, podemos concluir que com a compra e venda de ações o investidor teve: a) lucro de R$ 6,00. b) nem lucro nem prejuízo. c) prejuízo de R$ 6,00. d) lucro de R$ 6,50. 7. (Unifesp) O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 214 × 353 , inclusive 1 e N, é: a) 84. b) 86. c) 140. d) 160. e) 162. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Considere o número inteiro 3600, cuja fatoração em primos é 3600 = 24 · 32 · 52 . Os divisores inteiros e positivos de 3600 são os números da forma 2x · 3y · 5n , com x [ {0, 1, 2, 3, 4}, y [ {0, 1, 2} e n [ {0, 1, 2}. Determine: a) o número total de divisores inteiros e positivos de 3600 e quantos desses divisores são também divisores de 720. b) quantos dos divisores inteiros e positivos de 3600 são pares e quantos são quadrados perfeitos. 2. (Unicamp) Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos vizinhos, pergunta-se: a) Qual deve ser a dimensão máxima, em centímetros, de cada um desses ladrilhos para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho? b) Quantos desses mesmos ladrilhos são necessários? 3. (Unicamp) Sabe-se que o número natural D, quando dividido por 31, deixa resto r ∈ N e que o mesmo número D, quando dividido por 17, deixa resto 2r. a) Qual é o maior valor possível para o número natural r? b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7, calcule o valor numérico de D. 4. (Unicamp) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que mdc (a, b) = 5 e o mmc (a, b) = 105. a) Qual é o valor de b se a = 35? b) Encontre todos os valores possíveis para (a, b). Gabarito E.O. Aprendizagem 1. C 2. C 3. E 4. B 5. C 6. D 7. A 8. C 9. C 10. B E.O. Fixação 1. C 2. B 3. A 4. A 5. D 6. D 7. B 8. E 9. C 10. A E.O. Complementar 1. D 2. C 3. C 4. C 5. C 6. E E.O. Dissertativo 1. 216 2. 5 3. Queremos mostrar que abad/101,isto é,abab = 101 · k, onde k é um número inteiro não negativo. De fato, abab = 1000 · a + 100 · b + 10 · a + b abab = 1010 · a + 101 · b abab = 101 (10 · a + b) Como a e b são inteiros não negativos, k = 10 · a + b e abab = 101k. 4. 17 Substituindo n = 1, temos: 36 + 2 · 24 36 + 2 · 28 36 + 29 729 + 512 = 1241 1241 = 17 - 73, então 17 é multiplo. 5. (x + y) (x3 – y3 ) 6. a) Ponto E. b) 26 minutos e 40 segundos. c) Ponto C. 7. a) MDC = 2 mnp MMC = 24 . 32 . m2 . n2 . p2 b) MDC = x MMC = x(x + 1) (x2 + 1) (x2 - x + 1) 8. a) MDC: a3 (a + 1) MMC: a4 (a + 1) b) MDC: 1 MMC: 3(a + 2) (a – 2) (a2 + 1)
52VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias c) MDC: a2 (a – 1) MMC: a3 (a – 1)2 (a + 1) d) MDC: x – 2 MMC: x2 (x – 2)2 (x + 2) E.O. Enem 1. C 2. E 3. A 4. E E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. B 2. A 3. B 4. D E.O. UERJ Exame Discursivo 1. 101 Kg 2. R = 6 3. 2049 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. E 2. B 3. D 4. E 5. E 6. A 7. D E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) 45; 30 b) 36; 12 2. a) 25 cm b) 204 ladrilhos 3. a) r = 8 b) D = 129 e r = 5 4. a) b = 15 b) (5, 105), (15, 35), (35, 15) ou (105, 5)
53VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (cftmg) Atualmente um trabalhador que recebe um salário bruto até determinado valor possui isenção sobre a tributação do Imposto de Renda Retido na Fonte (IRRF). Uma pessoa, que é isenta, pediu o maior aumento possível ao seu chefe de forma que ainda deixe o seu salário bruto dentro dessa faixa de isenção. Suponha que o valor máximo para a isenção do IRRF seja de R$ 1.900,00 e que essa pessoa pediu ao seu chefe um aumento de 12%. Caso o chefe conceda os 12% de aumento solicitado, essa pessoa receberá, em reais, um aumento de a) 203,57. b) 228,00. c) 252,43. d) 276,00. 2. (IFSP) Numa pesquisa dos candidatos a prefeito de uma cidade, têm-se os candidatos Pedro Divino, Maria Bemvista e José Inocêncio. Com relação ao gráfico das intenções de votos, a seguir, se a cidade possui 50.000 eleitores, o número de votos do candidato mais cotado será: a) 7.000. b) 11.500. c) 15.000. d) 17.500. e) 20.000. 3. (UEL) Uma das tentativas para minimizar os congestionamentos de trânsito nas metrópoles é o rodízio de veículos. Na cidade de São Paulo, isso se faz de acordo com o final das placas. Na segunda-feira, não circulam os veículos com placas de final 1 e 2; na terçafeira, com finais 3 e 4; na quarta-feira, com finais 5 e 6; na quinta-feira, com finais 7 e 8 e na sexta-feira, com finais 9 e 0. Com esse tipo de rodízio, supondo uma distribuição uniforme de finais de placas, somente 80% da frota de veículos circulam diariamente. Considere outro rodízio de veículos como descrito na tabela a seguir. Nova proposta de rodízio Dia da semana Finais de placas que NÃO podem circular segunda-feira 0, 1, 2, 3 terça-feira 2, 3, 4, 5 quarta-feira 4, 5, 6, 7 quinta-feira 6, 7, 8, 9 sexta-feira 8, 9, 0, 1 Supondo uma distribuição uniforme de finais de placas, a partir da configuração proposta nessa tabela, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o percentual da frota que circulará diariamente. a) 40%. d) 65%. b) 55%. e) 70%. c) 60%. 4. (UECE) Em um empreendimento imobiliário, o centro comercial e o parque de estacionamento ocupam, respectivamente, 42% e 53% da área do terreno. A área restante, que corresponde a 3.000 m2 é destinada a jardins e vias de circulação. Nestas condições, a medida da área do terreno ocupada pelo centro comercial, em m2 , é: a) 24.800. c) 25.200. b) 25.000. d) 25.400. 5. (UFSM) A safra nacional de grãos atingirá 192,3 milhões de toneladas neste ano, um crescimento de 2,2% em relação a 2013, quando foi de, aproximadamente, 188,1 milhões de toneladas. As estimativas são do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e foram divulgadas na terça-feira, 10 de julho. O destaque na produção será a região Centro-Oeste responsável por 42% da produção nacional, seguida pela região Sul com 38% do total. Disponível em:<http//www.agenciabrasil.ebc.com.br/economia/ noticia/2014-06/ibge-safra-sera-22-maior-que-em 2013-indo-192-milhoes-de-toneladas>Acesso em: 10 set. 2014. (adaptado) Qual será, aproximadamente, a quantidade, em milhões de toneladas, da produção da região Centro-Oeste em 2014? a) 153,84. b) 150,48. c) 80,80. d) 79,00. e) 73,10. PORCENTAGEM COMPETÊNCIA(s) 5 e 6 HABILIDADE(s) 21, 23 e 25 MT AULAS 13 E 14
54VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (ESPM) O gráfico abaixo mostra a variação da quantidade de unidades vendidas por uma pequena fábrica de pranchas de surf, durante um ano. De acordo com o gráfico, podemos concluir que o aumento nas vendas do 2º trimestre para o 3º trimestre foi de: a) 10%. b) 15%. c) 20%. d) 25%. e) 30%. 7. (IFSC) Uma cooperativa de Santa Catarina recebe, por mês, certa quantidade de matéria-prima para produzir ração. A quantidade de ração produzida equivale a 20% do total da matéria-prima recebida. Sabendo-se que 1 tonelada corresponde a 1.000 kg, qual a quantidade de matéria-prima, em kg, que será necessária para produzir 150 toneladas de ração? a) 150.000 kg. b) 750 kg. c) 300 kg. d) 300.000 kg. e) 750.000 kg. 8. (UEG) Uma companhia tem 4 filiais distribuídas nos estados de Goiás, São Paulo, Bahia e Rio de Janeiro. O quadro a seguir apresenta a porcentagem de produção de cada filial em relação ao total da companhia e o lucro da filial por peça produzida. Filial % da produção total Lucro por peça GO 30% R$ 20,00 SP 40% R$ 15,00 BA 10% R$ 25,00 RJ 20% R$ 20,00 Baseando-se nessas informações, o lucro médio dessa companhia é a) R$ 41,00 b) R$ 25,00 c) R$ 20,00 d) R$ 18,50 e) R$ 16,50 9. (CFTMG) Em 2018, o Brasil passou a integrar o Grupo 5 da União Matemática Internacional (IMU) que reúne as nações mais desenvolvidas em pesquisa matemática no mundo. Um dos fatores para a aprovação do Brasil no grupo de elite mundial em Matemática é o crescimento de publicações científicas brasileiras por matemáticos. Observe os gráficos que seguem. A produção acadêmica em números Número de artigos publicados por matemáticos brasileiros em publicações internacionais
55VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Analisando os gráficos apresentados, é correto afirmar que a) em 2015, houve mais de 90.000 publicações científicas no mundo por matemáticos. b) o número de artigos internacionais produzidos por matemáticos brasileiros, entre 1995 e 2015, dobrou a cada década. c) supondo que 450 artigos foram publicados por matemáticos brasileiros internacionalmente, em 1995, a produção mundial, nesse ano, foi de, aproximadamente, 4.500 artigos. d) considerando o período entre 2000 e 2015, houve aumento do número de artigos publicados por matemáticos brasileiros em publicações internacionais, porém houve queda na porcentagem desses artigos no total mundial de publicações. 10. (UNESP)Em um dia de aula, faltaram 3 alunas e 2 alunos porque os cinco estavam gripados. Dos alunos e alunas que foram à aula, 2 meninos e 1 menina também estavam gripados. Dentre os meninos presentes à aula, a porcentagem dos que estavam gripados era 8% e, dentre as meninas, a porcentagem das que estavam gripadas era 5%. Nos dias em que a turma está completa, a porcentagem de meninos nessa turma é de a) 52%. b) 50%. c) 54%. d) 56%. e) 46%. E.O. Fixação 1. (Cefet-MG) Para um evento com a duração de 3h40min foram tocados, sem repetição, dois gêneros musicais: clássico e popular (MPB). A duração de cada música clássica foi de 5min e a de MPB, 4min. Sabendo-se que 40% das músicas selecionadas são clássicas, então o total de músicas populares tocado foi de: a) 20. b) 23. c) 26. d) 30. e) 33. 2. Considere os dados aproximados, obtidos em 2010, do Censo realizado pelo IBGE. Idade (anos) Nº de pessoas De 0 a 17 56 300 000 De 18 a 24 23 900 000 De 25 a 59 90 000 000 60 ou mais 20 600 000 Total 190 800 000 A partir das informações, é correto afirmar que o número aproximado de mulheres com 18 anos ou mais, em milhões, era: a) 70. b) 52. c) 55. d) 59. e) 65. 3. (Acafe) Sobre porcentagens, considere as seguintes afirmações: l. A razão entre o número de meninos e meninas de uma sala de aula é de __5 3 . O percentual de meninas na classe é de 37,5%. II. Uma pessoa gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$ 570,00. Então, essa pessoa gastou R$ 380,00. III. Numa fábrica de tintas, certa quantidade de água deve ser misturada com 840 litros de tinta corante, de modo que a mistura tenha 25% de água. Portanto, essa mistura tem 280 litros de água. IV. Um colégio particular informa aos pais que a mensalidade paga até a data do vencimento tem um desconto de 8%, e a mensalidade paga com atraso tem um acréscimo de 8%. Se um pai paga a primeira mensalidade no vencimento e a segunda com atraso, o segundo pagamento teve, em relação ao primeiro, um acréscimo de 16%. Todas as afirmações corretas estão em: a) II – III – IV. c) I – IV. b) II – III. d) I – II – III. 4. (Uemg) Uma bebida A é comercializada em garrafas de 600 ml pelo preço de R$ 250,00 a garrafa, enquanto uma bebida B é vendida em garrafas de 1 L, custando R$ 200,00 a garrafa. Dessa forma, comparando os preços por litro dessas duas bebidas, é correto afirmar que a) a bebida A é 25% mais cara do que a bebida B. b) a bebida B é 20% mais barata do que a bebida A. c) a bebida B é 40% mais barata do que a bebida A. d) a bebida B é 52% mais barata do que a bebida A. 5. (FGV) Em uma prova de matemática de 10 questões, cada questão vale zero ou um ponto, não havendo pontuações intermediárias. Concede-se conceito C para os alunos que fizerem de 5 a 6 pontos, conceito B para os que fizerem de 7 a 8 pontos, e A para os que fizerem de 9 a 10 pontos. Alunos que fizerem menos do que 5 pontos recebem conceito insatisfatório. A respeito do desempenho dos alunos de uma classe nessa prova, sabe-se que nenhum deles recebeu conceito insatisfatório, 20% receberam conceito A, 36 alunos não receberam conceito A e x% dos alunos receberam conceito C, sendo x um número inteiro positivo. Apenas com os dados informados, é possível concluir que a pontuação dos alunos que tiraram conceito A ou conceito B nessa prova pode ter sido, no máximo, igual a a) 162. d) 290. b) 226. e) 306. c) 234. 6. (IFSUL) Visando economizar energia elétrica, uma pessoa substituiu lâmpadas fluorescentes de 25 W por lâmpadas LED de 16 W. Em termos percentuais, a economia de energia elétrica, em cada troca de lâmpada, será de a) 25% c) 36% b) 32% d) 41%
56VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. (IFSC) Quando servimos chopp em copos de 330 mL, em média temos 300 mL de chopp e o restante de espuma (colarinho) que serve para evitar a oxidação da bebida. Se o índice alcoólico do chopp servido em uma festa for de 5%, e um indivíduo consumir 3 copos da bebida, considerando-se a capacidade total de cada copo igual a 330 mL, é CORRETO afirmar que o total de álcool ingerido pela pessoa será a) 4,5 mL. b) mais de 15 mL. c) menos de 4 mL. d) 15 mL. e) 10,5 mL. 8. (ESPM) No início de 2016, 90% da população economicamente ativa de uma cidade estava em - pregada. Ao fim do primeiro semestre desse ano, 30% dos empregados deixaram seus empregos e 10% dos que estavam desem - pregados conseguiram emprego. Durante o segundo semestre desse ano, 20% dos trabalhadores foram demitidos ou pediram demissão, enquanto 50% dos desempregados foram admitidos no mercado de trabalho. Podemos concluir que, no fim de 2016, a porcentagem de desempregados dessa cidade era próxima de a) 27% d) 47% b) 42% e) 35% c) 31% 9. (UNESP) Os estudantes 1, 2 e 3 concorreram a um mesmo cargo da diretoria do grêmio de uma faculdade da UNESP, sendo que 1 obteve 6,25% do total de votos que os três receberam para esse cargo. Na figura, a área de cada um dos três retângulos representa a porcentagem de votos obtidos pelo candidato correspondente. Juntos, os retângulos compõem um quadrado, cuja área representa o total dos votos recebidos pelos três candidatos. a) 61,75%. d) 62,00%. b) 62,75%. e) 62,25%. c) 62,50%. 10. (INSPER) Observe os gráficos. Utilizando apenas a análise dos dados expressos nos gráficos, é possível concluir corretamente que a) a África do Sul foi o país que teve a maior redução na porcentagem de fumantes diários de 1980 para 2015. b) em 2015 o Brasil tinha mais fumantes diários do que os EUA. c) no Brasil houve uma redução maior no percentual de homens fumantes do que no de mulheres fumantes de 1980 para2015. d) o país com maior número de fumantes em 1980 era a Dinamarca e, em 2015, passou a ser a Croácia. e) o Japão sempre teve mais fumantes do que o Brasil no período de 1980 a 2015.
57VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Complementar 1. (ESPM) Apenas dois candidatos se apresentaram para a eleição ao cargo de prefeito de uma pequena cidade do interior. O candidato A recebeu 60% dos votos, sendo 70% de mulheres. O candidato B recebeu 35% dos votos, sendo 60% de homens. Sabendo-se que 620 pessoas votaram em branco ou anularam o voto, podemos avaliar que o número de mulheres que votaram em A ou em B foi: a) 7.816. d) 7.228. b) 6.338. e) 6.944. c) 8.116. 2. (FGV) Um mercado vende três marcas de tomate enlatado, as marcas A, B e C. Cada lata da marca A custa 50% mais do que a da marca B e contém 10% menos gramas do que a da marca C. Cada lata da marca C contém 50% mais gramas do que a da marca B e custa 25% mais do que a da marca A. Se o rendimento do produto das três marcas é o mesmo por grama, então, é mais econômico para o consumidor comprar a marca: a) A. b) B. c) C. d) A ou B, indistintamente. e) B ou C, indistintamente. 3. (Epcar (Cpcar)) Analise as afirmativas abaixo. I. Uma pessoa perdeu 30% de seu peso em um mês. No mês seguinte, aumentou seu peso em 40%. Ao final desses dois meses, o peso inicial dessa pessoa diminuiu 2%. II. Quando num supermercado tem-se a promoção “pague 3 produtos e leve 4", o desconto concedido é de 30%. III. Há alguns meses, uma certa casa podia ser comprada por 25% do seu valor atual. O aumento no valor da casa nesse período foi de 75%. Entre as afirmativas acima, é(são) FALSA(S) a) apenas a II. b) apenas I e III. c) apenas II e III. d) I, II e III. 4. (Ufpa) O coração bombeia aproximadamente 70 cm3 de sangue por batida e em média bate 65 vezes por minuto. Uma pessoa de 70 kg tem aproximadamente 5,5 litros de sangue, e uma perda de 40% desta quantidade leva à morte por choque. Considere uma situação na qual, em um acidente, uma pessoa tenha uma artéria parcialmente cortada, por onde vai perder 25% do sangue bombeado. Sem socorro apropriado, o intervalo de tempo em que a pessoa perderá 40% de seu sangue, aproximadamente, será de: a) 01 min 56 seg. b) 02 min 05 seg. c) 03 min 10 seg. d) 04 min 20 seg. e) 12 min 20 seg. 5. (UEG) Um empresário determinou que o orçamento de sua empresa fosse dividido em setores, sendo 30% para o setor de produção, 50% para o setor de publicidade e o restante para os outros setores. No setor de produção ele determinou que se use __1 8 para os custos, __1 2 para o pagamento de funcionários e o restante para a manutenção das máquinas. Sabendo-se que o orçamento da empresa é de R$ 1.200.000,00 o valor do orçamento destinado à manutenção das máquinas é de a) R$ 90.000,00 b) R$ 135.000,00 c) R$ 150.000,00 d) R$ 360.000,00 e) R$ 450.000,00 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 6. (PUC-MG) Extraído de uma reportagem sobre os impactos do sistema de cotas no país, esse gráfico ilustra a distribuição de jovens brancos, negros e pardos em quatro níveis de ensino. As informações representadas permitem observar que, na faixa etária pesquisada, a) a quantidade de brancos no ensino fundamental é menor que a de negros e pardos. b) mais da metade dos estudantes brasileiros no ensino fundamental são considerados pardos. c) apenas um terço de negros que concluem o ensino fundamental consegue ingressar no ensino superior. d) o número de negros em programas de alfabetização de jovens e adultos é quase o dobro do número de brancos. E.O. Dissertativo 1. (UFG) Segundo a reportagem “Gastos de turistas da Europa e EUA no Brasil é mais do que o dobro dos sul-americanos”, publicada no jornal O Estado de S. Paulo, 5,67 milhões de turistas visitaram o Brasil em 2012. O gasto médio dos estrangeiros do turismo de negócios foi de US$ 1.599,00, sendo que eles representaram 25,3% do total, enquanto o valor médio gasto pelos turistas de viagens a lazer foi de US$ 877,00, representando 46,8% do total. Considerando as informações apresentadas, calcule a diferença entre o valor gasto pelos turistas de viagens a lazer e pelos turistas de negócios no Brasil, no ano de 2012.
58VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (UFMG) Iraci possui vários litros de uma solução de álcool hidratado a 91%, isto é, formada por 91 partes de álcool puro e 9 partes de água pura. Com base nessas informações, e desconsiderando a contração de volume da mistura de álcool e água: a) determine quanto de água é preciso adicionar a um litro da solução, para que a mistura resultante constitua uma solução de álcool hidratado a 70%. b) determine quanto da solução de Iraci e quanto de água pura devem ser misturadas, para se obter um litro de solução de álcool hidratado a 70%. 3. (UFMG) No início de cada ano escolar, a Livraria Futura compra e vende livros didáticos usados. Para tanto, cada livro usado é comprado por 1/4 do valor de capa do mesmo livro novo e vendido por 1/3 do valor do livro novo. a) Determine o lucro obtido pela Livraria Futura nesse processo de compra e venda de um livro usado de Matemática do 6º ano, que, novo, custa R$ 90,00. b) Considerando esse processo de compra e venda de um livro usado qualquer, determine o lucro percentual, referente ao preço do mesmo livro, novo, obtido pela livraria Futura. c) Se quiser passar a lucrar 10% do valor de um livro novo, então, a Livraria Futura deve substituir a fração __1 4 por um número a. Determine o valor de a. 4. (FGV) Para o consumidor individual, a editora fez esta promoção na compra de certo livro: “Compre o livro com 12% de desconto e economize R$ 10,80 em relação ao preço original”. Qual é o preço original do livro? 5. (UFG) Em um determinado ano, a partir do mês de fevereiro, houve uma redução de 18% no preço da energia elétrica e um aumento de 6% no preço da gasolina. No mês de fevereiro, uma família consumiu as mesmas quantidades de energia elétrica e gasolina que em janeiro, e, coincidentemente, o valor total, em dinheiro, gasto com estes dois itens também se manteve o mesmo. Nesse sentido, determine a razão entre os valores gastos, por esta família, com energia elétrica e gasolina no mês de janeiro. 6. (Cftrj) O município de Cefetópolis teve no segundo turno da última eleição para prefeito grande número de abstenções, 40%. Isso significa que dos eleitores aptos a votar, 40% não compareceram às urnas. Considerando os eleitores que compareceram para votar tivemos a seguinte distribuição: • Candidato A: 30% dos votos. • Candidato B: 45% dos votos. • Votos nulos ou brancos: 25% dos votos. O TRE divulga os resultados a partir dos votos válidos, dos quais NÃO são computados os votos nulos ou brancos. Nesse caso de segundo turno, por exemplo, foram computados como válidos apenas os votos recebidos pelos candidatos A e B. a) Qual o percentual de votos válidos recebidos polo candidato A? b) Considerando o total de eleitores aptos a votar, qual o percentual de votos recebidos pelo candidato eleito? 7. (Ufpr) Em uma pesquisa de intenção de voto com 1075 eleitores, foi constatado que 344 pretendem votar no candidato A e 731 no candidato B. a) Qual é a porcentagem de pessoas entrevistadas que pretendem votar no candidato A? b) Sabendo que esse mesmo grupo de 1075 entrevistados é composto por 571 mulheres e 504 homens, e que 25% dos homens pretendem votar no candidato A, quantas mulheres pretendem votar no candidato B? 8. (UFG) Leia o fragmento a seguir. Quanto custa a felicidade Uma pesquisa feita nos Estados Unidos pelo Instituto Gallup, determinou que a renda recebida pelas pessoas torna a vida delas mais satisfatória. Neste estudo constatou-se que uma renda anual de 75.000 dólares seria o salário que oferecia as condições para se alcançar a felicidade, isto é, seria o “preço da felicidade”. Os dados da pesquisa indicaram que pessoas com renda superior a esse nível não eram mais felizes do que aqueles com renda compatível com a média indicada no estudo. Em contrapartida, indivíduos com renda abaixo dos 75.000 dólares se consideravam pessoas infelizes. Revista Planeta, edição 463. (Adaptado) Considerando o contexto do texto apresentado, percebe-se que a realidade brasileira é bem distinta deste panorama, pois o rendimento médio mensal do trabalhador brasileiro é de R$ 1.908,00. Levando em consideração essas informações, determine a diferença entre as rendas anuais em reais recebidas por um trabalhador que recebe o “salário da felicidade” e outro que recebe um salário equivalente ao rendimento médio do trabalhador brasileiro e a porcentagem que esta diferença representa em relação à renda anual recebida pelo trabalhador brasileiro. Dado: 1 dólar = R$ 2,35. E.O. Enem 1. (Enem) De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente: • 25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes. • 33% são utilizados em descarga de banheiro. • 27% são para cozinhar e beber. • 15% são para demais atividades. No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia. O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades. Atividade Consumo total de água na atividade (em litros) Tomar banho 24,0 Dar descarga 18,0 Lavar as mãos 3,2 Escovar os dentes 2,4 Beber e cozinhar 22,0
59VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais atividades, então economizará diariamente, em média, em litros de água: a) 30,0. d) 130,4. b) 69,6. e) 170,0. c) 100,4. 2. (Enem) Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de sustentação. No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente: a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t. d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t. b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t. e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t. c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t. 3. (Enem) O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recursos naturais, dispondo de uma das maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a fruticultura. FORTES, G. “Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos”. Folha de S. Paulo, 30 out. 2011. De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agricultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de: a) 32,8%. d) 9,4%. b) 28,6%. e) 8,0%. c) 10,7%. 4. (Enem) O LIRAa, Levantamento Rápido do Índice de Infestação por Aedes aegypti, consiste num mapeamento da infestação do mosquito Aedes aegypti. O LIRAa é dado pelo percentual do número de imóveis com focos do mosquito, entre os escolhidos de uma região em avaliação. O serviço de vigilância sanitária de um município, no mês de outubro do ano corrente, analisou o LIRAa de cinco bairros que apresentaram o maior índice de infestação no ano anterior. Os dados obtidos para cada bairro foram: I. 14 imóveis com focos de mosquito em 400 imóveis no bairro; II. 6 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis no bairro; III. 13 imóveis com focos de mosquito em 520 imóveis no bairro; lV. 9 imóveis com focos de mosquito em 360 imóveis no bairro; V. 15 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis no bairro. O setor de dedetização do município definiu que o direcionamento das ações de controle iniciarão pelo bairro que apresentou o maior índice do LlRAa. Disponível em: http://bvsms.saude.gov.br. Acesso em: 28 out. 2015. As ações de controle iniciarão pelo bairro: a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 5. (Enem) Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam que somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias nas águas. Uma campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses. Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser: a) 72% b) 68% c) 64% d) 54% e) 18% E.O. UERJ Exame Qualificação 1. (UERJ 2017) Para combater a subnutrição infantil, foi desenvolvida uma mistura alimentícia composta por três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. Esses suplementos, por sua vez, contêm diferentes concentrações de três nutrientes: A, B e C. Observe as tabelas a seguir, que indicam a concentração de nutrientes nos suplementos e a porcentagem de suplementos na mistura, respectivamente. Nutriente Concentração dos Suplementos Alimentares I II III A 0,2 0,5 0,4 B 0,3 0,4 0,1 C 0,1 0,4 0,5 Suplemento limentar Quantidade a Mistura I 45 II 25 III 30 A quantidade do nutriente C, em g/kg, encontrada na mistura alimentícia é igual a: a) 0,235. b) 0,265. c) 0,275. d) 0,295.
60VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (UERJ) No ano letivo de 2014, em uma turma de 40 alunos, 60% eram meninas. Nessa turma, ao final do ano, todas as meninas foram aprovadas e alguns meninos foram reprovados. Em 2015, nenhum aluno novo foi matriculado, e todos os aprovados confirmaram suas matrículas. Com essa nova composição, em 2015, a turma passou a ter 20% de meninos. O número de meninos aprovados em 2014 foi igual a: a) 4. c) 6. b) 5. d) 8. 3. (UERJ) No Brasil, o imposto de renda deve ser pago de acordo com o ganho mensal dos contribuintes, com base em uma tabela de descontos percentuais. Esses descontos incidem, progressivamente, sobre cada parcela do valor total do ganho, denominadas base de cálculo, de acordo com a tabela a seguir. Base de cálculo aproximada (R$) Desconto (%) até 1.900,00 Isento de 1.900,01 até 2.800,00 7,5 de 2.800,01 até 3.750,00 15,0 de 3.750,01 até 4.665,00 22,5 acima de 4.665,00 27,5 Segundo a tabela, um ganho mensal de R$ 2.100,00 corresponde a R$ 15,00 de imposto. Admita um contribuinte cujo ganho total, em determinado mês, tenha sido de R$ 3.000,00. Para efeito do cálculo progressivo do imposto, deve-se considerar esse valor formado por três parcelas: R$ 1.900,00, R$ 900,00 e R$ 200,00. O imposto de renda, em reais, que deve ser pago nesse mês sobre o ganho total é aproximadamente igual a: a) 55. b) 98. c) 128. d) 180. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispõe da quantia X, em reais. O preço do produto A corresponde a __2 3 de X, e o do produto B corresponde à fração restante. No momento de efetuar o pagamento, uma promoção reduziu em 10% o preço de A. Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 na compra dos produtos A e B, calcule o valor, em reais, que o cliente deixou de gastar. 2. (UERJ) Uma fábrica de doces vende caixas com 50 unidades de bombons recheados com dois sabores, morango e caramelo. O custo de produção dos bombons de morango é de 10 centavos por unidade, enquanto o dos bombons de caramelo é de 20 centavos por unidade. Os demais custos de produção são desprezíveis. Sabe-se que cada caixa é vendida por R$ 7,20 e que o valor de venda fornece um lucro de 20% sobre o custo de produção de cada bombom. Calcule o número de bombons de cada sabor contidos em uma caixa. 3. (UERJ) Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciências e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao museu de Ciências visitaram o de História e 25% dos que foram ao museu de História visitaram também o de Ciências. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. 4. (UERJ) O coquetel preferido de João tem 15% de álcool e é uma mistura de tequila e cerveja. No bar onde pediu que lhe preparassem esse coquetel, a tequila e a cerveja tinham, respectivamente, 40% e 5% de álcool. Calcule a razão entre os volumes de tequila e cerveja usados nessa mistura. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00 a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo, a) R$ 200.000,00. d) R$ 125.000,00. b) R$ 175.000,00. e) R$ 100.000,00. c) R$ 150.000,00. 2. (Unesp) A taxa de analfabetismo representa a porcentagem da população com idade de 15 anos ou mais que é considerada analfabeta. A tabela indica alguns dados estatísticos referentes a um município. Taxa de analfabetismo População com menos de 15 anos População com 15 anos ou mais 8% 2.000 8.000 Do total de pessoas desse município com menos de 15 anos de idade, 250 podem ser consideradas alfabetizadas. Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que, da população total desse município, são alfabetizados: a) 76,1%. d) 89,0%. b) 66,5%. e) 71,1%. c) 94,5%.
61VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (Unicamp) A figura abaixo exibe, em porcentagem, a previsão da oferta de energia no Brasil em 2030, segundo o Plano Nacional de Energia. Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever que a parcela oriunda de fontes renováveis, indicada em cinza na figura, equivalerá a: a) 178,240 milhões de tep. b) 297,995 milhões de tep. c) 353,138 milhões de tep. d) 259,562 milhões de tep. 4. (Fuvest) Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já contém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante tenha 20% de álcool. A porcentagem de álcool nessa nova mistura deve ser de: a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28% E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada um dos bancos A, B e C. Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00 em partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital aplicado foi distribuído da seguinte forma: • total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os três graus de risco juntos); • R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três bancos juntos); • R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco (nos três bancos juntos); • R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos juntos). O gráfico a seguir representa a diversificação da aplicação, por grau de risco, juntando os três bancos. Calcule os montantes de capital que foram investidos nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos a, b e g indicados no gráfico. 2. (Unifesp) Os resultados apresentados no infográfico foram obtidos a partir de um levantamento informal feito com 1840 adultos, dos quais 210 eram mulheres que nunca haviam navegado na internet, 130 eram homens que nunca haviam navegado na internet, e os demais pesquisados navegam na internet. a) Dos 1840 adultos, quantos nunca pesquisaram informações médicas na internet? b) Do grupo das pessoas que navegam na internet e já fizeram pesquisas de informações médicas nesse ambiente, sabe-se que 12,5% das mulheres possuem apenas o diploma de ensino fundamental (ou equivalente) em sua escolarização. Desse mesmo grupo de pessoas, quantos são os homens que possuem apenas o diploma de ensino fundamental (ou equivalente) em sua escolarização? Gabarito E.O. Aprendizagem 1. A 2. D 3. C 4. C 5. C 6. C 7. E 8. D 9. A 10. C E.O. Fixação 1. D 2. A 3. D 4. D 5. E 6. C 7. B 8. C 9. C 10. C E.O. Complementar 1. E 2. B 3. C 4. A 5. B 6. D
62VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativo 1. US$ 33.390.630,00 2. a) 1 Litro de água com 0,91 L de álcool e 0,009 L de água. Acrescentando x litros de água, temos a seguinte equação: _____ 0,91 1 + x = 0,7⇒ _____ 0,91 0,7 = x + 1 ⇒ x = 0,3 L b) Água: ___ 3 13 litros Solução: ___ 10 13 litros 3. a) preço de compra: 90/4 = R$ 22,50 preço de venda: 90/3 = R$ 30,00 lucro: R$7,50 b) lucro = __P 3 –__P 4 _______ 12 = ___1 12 = 8,33% c) ___P 3 - a· P = ___ 10P 100 ⇔ a = ___7 30 4. R$ 90,00 5. __1 3 6. a) 40 % b) 27 % 7. a) 32% b) 353 8. 670% E.O. Enem 1. C 2. C 3. D 4. A 5. B E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. D 2. C 3. B E.O. UERJ Exame Discursivo 1. R$ 25,00 2. 40 bombons de morango e 10 bombons de caramelo 3. 6 alunos 4. 2/5 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. A 3. D 4. D E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. Os montantes aplicados em cada banco foram de R$ 1.000,00 no banco A, R$ 2.000,00 no banco B e R$ 3.000,00 no banco C. E os valores de a, b e g são, respectivamente, 87º, 162º e 111º. 2. a) 640 adultos b) 420 homens
63VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (PUC-RJ) Um imóvel em São Paulo foi comprado por x reais, valorizou 10% e foi vendido por R$ 495.000,00. Um imóvel em Porto Alegre foi comprado por y reais, desvalorizou 10% e também foi vendido por R$ 495.000,00. Os valores de x e y são: a) x = 445.500,00 e y = 544.500,00. b) x = 450.000,00 e y = 550.000,00. c) x = 450.000,00 e y = 540.000,00. d) x = 445.500,00 e y = 550.000,00. e) x = 450.000,00 e y = 544.500,00. 2. (PUC-Camp) O tempo “é uma obsessão para os atletas olímpicos em busca de recordes”. O recorde da corrida dos 5000 metros pertence a Kenenisa Bekele e é de 12 minutos e 37 segundos. Um atleta que reduzir esse tempo em 2% completará a distância com uma diminuição do tempo do recorde de, aproximadamente: a) 7 segundos. d) 8 segundos. b) 23 segundos. e) 11 segundos. c) 15 segundos. 3. (UEMG) No mês de outubro do ano de 2014, devido às comemorações natalinas, um comerciante aumentou os preços das mercadorias em 8% Porém, não vendendo toda a mercadoria, foi feita, em janeiro do ano seguinte, uma liquidação dando um desconto de 6% sobre o preço de venda. Uma pessoa que comprou um objeto nessa loja, em janeiro de 2015, por R$ 126,90 pagaria em setembro, do ano anterior, uma quantia: a) menor que R$ 110,00. b) entre R$ 120,00 e R$ 128,00. c) igual a R$110,00. d) entre R$110,00 e R$120,00. 4. (PUC-MG) Conforme dados divulgados pelo Departamento Nacional de Trânsito (Denatran), Belo Horizonte tinha, em agosto de 2014, pouco mais de 1,62 milhão de veículos, número que cresceu 120% desde agosto de 2002. Com base nesses dados, se N era o número de carros em Belo Horizonte em agosto de 2002, expresso em milhares de unidades, é CORRETO afirmar que: a) N ≅ _____ 1620 2,20 . c) N ≅ 1620 ⋅ 1,20. b) N ≅ _____ 1620 1,20 . d) N ≅ 1620 ⋅ 2,20. 5. (IFSC) Após uma semana de muita chuva na região onde mora, Maria, que é responsável pelas compras de sua casa, foi à feira comprar verduras. Ao chegar lá, assustou-se ao se deparar com um aumento muito elevado no preço dos produtos. Por exemplo, o pé de alface que, na semana anterior, custava R$ 1,50, agora estava custando R$ 2,85. Com base nessas informações, qual o percentual de aumento que esse produto sofreu? a) 185%. d) 135%. b) 85%. e) 90%. c) 35%. 6. (Insper) O preço de um produto na loja A é 20% maior do que na loja B, que ainda oferece 10% de desconto para pagamento à vista. Sérgio deseja comprar esse produto pagando à vista. Nesse caso, para que seja indiferente para ele optar pela loja A ou pela B, o desconto oferecido pela loja A para pagamento à vista deverá ser de a) 10%. d) 25%. b) 15%. e) 30%. c) 20%. 7. (Unifesp) Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os 70% restantes em euros. Admitindo-se uma valorização de 10% do dólar e uma DESvalorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode-se afirmar que o total da dívida dessa empresa, em reais: a) aumenta 8% d) diminui 1,4% b) aumenta 4,4% e) diminui 7,6% c) aumenta 1.6% 8. (FGV) Aumentando a base de um triangulo em 10% e reduzindo a altura relativa a essa base em 10%, a área do triângulo: a) aumenta em 1% d) diminui em 1% b) aumenta em 0,5% e) não se altera c) diminui 0,5% 9. (IFSC)O Produto Interno Bruto (PIB) é uma representação da soma dos valores monetários de todos os bens e serviços produzidos em uma determinada região em um determinado espaço de tempo. O Balinsky (país fictício) tinha em 2016 um PIB que em comparação com o PIB de 2015 cresceu 2%. Já em 2017 o PIB de Balinsky diminui 5% em relação à 2016. A previsão para 2018 é de um crescimento de 3% em relação à 2017. Dessa forma, se a previsão para 2018 se confirmar, podemos afirmar que a variação do PIB de Balinsky do período de 2015 à 2018 foi: ACRÉSCIMOS E DESCONTOS COMPETÊNCIA(s) 1 e 5 HABILIDADE(s) 3, 4, 5 e 21 MT AULAS 15 E 16
64VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Assinale a alternativa CORRETA . a) Um decrescimento de aproximadamente 0,2%. b) Não cresceu nem diminui. c) Um aumento de aproximadamente 1,8%. d) Um decrescimento de mais de 2%. e) Um acréscimo de menos de 1% E.O. Fixação 1. (PUC-RJ) Em uma loja, uma peça de roupa que custava R$ 200,00 passou a custar R$ 100,00 na liquidação. O desconto foi de: a) 200%. d) 20%. b) 100%. e) 10%. c) 50%. 2. (FGV) Toda segunda-feira, Valéria coloca R$ 100,00 de gasolina no tanque de seu carro. Em uma determinada segunda-feira, o preço por litro do combustível sofreu um acréscimo de 5% em relação ao preço da segunda- -feira anterior. Nessas condições, na última segunda-feira, o volume de gasolina colocado foi x% inferior ao da segunda-feira anterior. É correto afirmar que x pertence ao intervalo: a) [4,9; 5,0[. d) [4,6; 4,7[. b) [4,8; 4,9[. e) [4,5; 4,6[. c) [4,7; 4,8[. 3. (Ufrgs) Uma mercadoria com preço inicial de R$ 500,00 sofreu reajustes mensais e acumulados de 0,5% O preço dessa mercadoria, ao fim de 12 meses, é: a) 500 · 0,00512. d) 500 · 1,0512. b) 500 · 0,0512. e) 500 · 0,512. c) 500 · 1,00512. 4. (UPE) De acordo com a matéria publicada no Jornal do Commercio, em 14 de maio de 2014, ocorreu uma “explosão de dengue” em Campinas, interior de São Paulo. Lá se identificou a maior epidemia de dengue, com mais de 17 mil casos registrados entre janeiro e abril do referido ano. Sobre essa epidemia de dengue na cidade paulista, analise o gráfico a seguir: Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir: I. A média de casos de dengue entre os anos de 2001 e 2005 é superior a 500 casos por ano. II. Em comparação ao ano de 1998, só houve aumento superior a 50% dos casos nos anos de 2002, 2007, 2010, 2011, 2013 e 2014. III. De janeiro a abril de 2014, houve um aumento superior a 140% nos casos dessa doença, em comparação ao ano de 2013. Está CORRETO o que se afirma, apenas, em a) I. b) II. c) I e II. d) I e III. e) II e III. 5. (UERJ) De acordo com a projeção apresentada na tabela, no período de 2011 a 2020, o país com maior aumento percentual na produção de petróleo seria o Iraque. O segundo país com maior aumento percentual seria: a) E.U.A. b) Brasil c) Canadá d) Arábia Saudita 6. (Uepg 2018) Assinale o que for correto. 01) Do preço de venda de um determinado produto, 15% correspondem a impostos. Do restante, 40% correspondem ao preço de custo desse produto. Se o preço de custo é R$ 238,00 então, o preço de venda desse produto é menor que R$ 800,00. 02) Um tanque em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas da base são 4 m e 5 m contém água até uma altura de 3 m. Um cubo é colocado dentro desse tanque, apoiado no fundo e totalmente coberto pela água. Se a altura da água sobe 10% então a aresta do cubo é maior que 2 m. 04) Pedro digitou, 5 8 pela manhã, do total de páginas de uma apostila, em 3 horas de trabalho ininterrupto. À tarde, ele digitou o restante, mas sua capacidade de produção correspondeu a 80% do período da manhã. Então, para digitar as páginas restantes ele levou 2 horas e 15minutos. 08) Um comerciante aumentou o preço de seus produtos em 30%. Como as vendas caíram muito, ele resolveu baixar os preços atuais em 20%. Dessa forma, o preço final a ser cobrado, depois desse desconto, será 10% maior que o preço inicial, de antes do aumento.
65VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. (G1 - ifpe 2018) Em um saldão de início de ano, Tarcísio resolveu comprar uma calça e uma camisa. A calça que ele foi comprar marcava um preço de R$ 120,00 e ele a comprou com 40% de desconto. A camisa tinha preço anunciado de R$ 70,00 e estava sendo vendida com 30% de desconto. Sabendo que Tarcísio aproveitou os descontos e comprou a calça e a camisa, podemos afirmar que ele pagou um total de a) R$ 133,00 d) R$ 121,00 b) R$ 69,00 e) R$ 97,00 c) R$ 114,00 8. (Enem) Para construir uma piscina, cuja área total da superfície interna é igual a 40 m², uma construtora apresentou o seguinte orçamento: 1. R$ 10.000,00 pela elaboração do projeto; 2. R$ 40.000,00 pelos custos fixos; 3. R$ 2.500,00 por metro quadrado para construção da área interna da piscina. Após a apresentação do orçamento, essa empresa decidiu reduzir o valor de elaboração do projeto em 50% mas recalculou o valor do metro quadrado para a construção da área interna da piscina, concluindo haver a necessidade de aumentá-lo em 25%. Além disso, a construtora pretende dar um desconto nos custos fixos, de maneira que o novo valor do orçamento seja reduzido em 10% em relação ao total inicial. O percentual de desconto que a construtora deverá conceder nos custos fixos é de a) 23,3% d) 87,5% b) 25,0% e) 100,0% c) 50,0% E.O. Complementar 1. (Insper) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largura aumentar X% então a sua área aumentará: a) (X + Y + ____ XY 100 )%. d) (X + Y)%. b) (XY + _____ X + Y 100 )%. e) (XY)%. c) ( _________ X + Y + XY 100 )%. 2. (PUC) Em uma floresta, existe uma espécie de lagarto que possui duas subespécies, uma verde e uma azul. Inicialmente, 99% dos lagartos desta espécie são verdes. Houve uma peste e muitos lagartos verdes morreram, mas os azuis eram imunes à peste, e nenhum morreu. Depois da peste, 96% dos lagartos eram verdes. Que porcentagem da população inicial total de lagartos foi morta pela peste? a) 2% d) 10% b) 3% e) 75% c) 5% 3. (PUC-PR) O imposto sobre a renda da pessoa física, IRPF, é calculado sobre a renda tributável de uma pessoa seguindo a tabela abaixo. A partir do exercício 2016, ano-calendário de 2015: Base de Cálculo (R$) Alíquota (%) Até 22.499,13 – De 22.499,14 até 33.477,72 7,5 De 33.477,73 até 44.476,74 15 De 44.476,75 até 55.373,55 22,5 Acima de 55.573,55 27,5 Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/Aliquotas/ ContribFont2012a2015.htm>. Acesso em: 27/08/2015 Ou seja, pessoas com rendimentos tributáveis anualmente (já consideradas todas as deduções) até R$ 22.499,13 estão isentos do IRPF; o que ultrapassar esse valor é calculado 7,5% até R$ 33.477,72; o que ultrapassar esse valor é calculado 15% até R$ 44.476,74; o que ultrapassar esse valor é calculado 22,5% até R$ 55.373,55 e o que ultrapassar esse valor é calculado 27,5%. Supondo que a média mensal dos rendimentos tributáveis (já consideradas todas as deduções) de uma pessoa seja R$ 3.000,00 o valor calculado do IRPF é: a) R$ 825,00. b) R$ 1.012,57. c) R$ 1.201,73. d) R$ 1.379,65. e) R$ 2.025,00. 4. (UECE) Considerando a redução do volume de vendas de seus produtos, uma empresa comercial adotou os seguintes procedimentos: 1. Reduziu em 12%, no mês de junho, seu quadro de vendedores, tendo como base o total existente no mês de maio. 2. Após nova avaliação, reduziu novamente, no mês de novembro, seu quadro de vendedores, desta vez em 5%, considerando o total existente no mês de outubro. Após os dois procedimentos, a empresa ficou com 1881 vendedores. Se de junho a outubro o número de vendedores ficou estável, então, o número de vendedores no mês de maio localizava-se a) abaixo de 2225. b) entre 2225 e 2235. c) entre 2235 e 2245. d) acima de 2245. 5. (ESPM) Uma empresa propôs um sistema de reajuste salarial aos seus funcionários de modo que o percentual de aumento fosse inversamente proporcional ao salário atual de cada um. Um funcionário que ganhava R$ 3.000,00 passou a ganhar R$ 3.600,00 segundo essa regra. Um outro funcionário que ganhava R$ 6.000,00 passou a receber, então: a) R$ 6.600,00 b) R$ 7.200,00 c) R$ 6.800,00 d) R$ 6.400,00 e) R$ 7.400,00
66VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativo 1. (UFES) O Senhor Silva comprou um apartamento e, logo depois, o vendeu por R$ 476.000,00. Se ele tivesse vendido esse apartamento por R$ 640.000,00, ele teria lucrado 60%. Calcule: a) quanto o Senhor Silva pagou pelo apartamento. b) qual foi, de fato, o seu lucro percentual. 2. (UFSC) Na segunda-feira, um comerciante decide vender um produto com um desconto de 10%. Na sexta-feira, como não obteve muito sucesso, decide acrescentar um novo desconto de 20% sobre o valor obtido após o primeiro desconto. Calcule o desconto total no preço original do produto. 3. (UEMA) Um estabelecimento comercial determinou uma norma para evitar o crescente número de vendas no cartão de crédito. Por essa norma, as vendas em dinheiro teriam um desconto de 20%. Um cliente que efetuou uma despesa de R$ 240,00 foi informado que teria 20% de desconto, caso o pagamento fosse efetuado em dinheiro. Após análise, o cliente verificou que pagaria R$ 192,00 no momento da compra. Determine a taxa de acréscimo, em porcentagem, entre a compra em dinheiro e a operação no cartão, em que o valor atual é R$ 192,00 e o valor futuro, no vencimento da fatura, é R$ 240,00. Utilize a expressão VF = VA (1 + ____ taxa 100 ), onde VF é o valor futuro e VA é o valor atual. 4. (FGV) Uma editora utiliza couro para as capas da frente e de trás e para a lombada de seus livros. Atualmente, produz apenas livros com capa de 20 cm de altura × 10 cm de largura. A espessura mínima possível da lombada é de 1 cm, a qual comporta até 100 páginas. A partir desta espessura mínima, o incremento na espessura da lombada é diretamente proporcional ao incremento no número de páginas, de maneira que um livro de 500 páginas teria lombada de 3 cm. Considere que a espessura do couro é desprezível e que a capa tem as mesmas dimensões das páginas do livro. O custo do couro utilizado na lombada é de R$ 0,05/cm2 e o do utilizado na capa, de R$ 0,02/cm2 . a) A editora considera reeditar um de seus livros (que atualmente possui 300 páginas) utilizando uma fonte maior. Qual será o aumento no custo do couro utilizado por livro se a editora mantiver a altura e a largura das páginas, aumentando em 20% o número de páginas? b) Um dos livros da editora é atualmente editado em dois volumes de 80 páginas cada um. Qual seria a economia no custo do couro caso os dois volumes fossem unidos em um só, com 160 páginas? c) Qual deveria ser o volume total de uma caixa para acomodar 20 livros de 200 páginas cada um, em uma pilha única? 5. (FGV) Uma livraria recebeu o pedido de um exemplar do livro "Descobrindo o Pantanal", para cada um de 11 clientes. Ela decidiu adquirir os 11 exemplares da Editora Progresso e vender os livros a seus clientes com um preço entre 5% e 10% a mais que o preço conseguido na editora. A editora lhe propôs duas opções: 1ª. Comprar 10 livros e levar 1 de graça. 2ª. Comprar 10 livros e pagar somente 9, adquirindo mais um exemplar, o 11º, com um desconto de 10% sobre o preço original. a) Qual das opções é mais vantajosa à livraria? b) Se o preço original de cada livro na editora for R$ 54,00, qual é o maior lucro que a livraria pode obter com a venda dos 11 livros aos seus clientes, em cada caso? 6. (Fuvest - Modificado) O Sistema Cantareira é constituído por represas que fornecem água para a Região Metropolitana de São Paulo. Chama-se de “volume útil” do Sistema os 982 bilhões de litros que ficam acima do nível a partir do qual a água pode ser retirada sem bombeamento. Com o uso de técnicas mais elaboradas, é possível retirar e tratar parte da água armazenada abaixo desse nível. A partir de outubro de 2014, a Sabesp passou a contabilizar uma parcela de 287 bilhões de litros desse volume adicional, denominada “reserva técnica” ou “volume morto”, e chamou de “volume total” a soma do volume útil com a reserva técnica. A parte do volume total ainda disponível para consumo foi chamada de “volume armazenado”. O primeiro índice usado pela Sabesp para divulgar o nível do Sistema, após o início do uso da reserva técnica, foi o percentual do volume armazenado em relação ao volume útil (e não ao volume total). Chama-se este percentual de Índice 1. Calcule o valor que terá o Índice 1 quando as represas estiverem completamente cheias, supondo que a definição de “volume armazenado” não tenha mudado. A partir de abril de 2015, a Sabesp passou a divulgar outros dois índices, além do Índice 1 (veja o Quadro). Note que o Índice 3 pode assumir valores negativos e valerá 100% quando as represas do Sistema estiverem completamente cheias. Quadro volume armazenado Índice 1 100% volume útil = × volume armazenado Índice 2 100% volume total = × (volume armazenado) (volume da reserva técnica) Índice 3 100% volume útil − = ×
67VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. (Fgv) Numa loja, os preços dos produtos expostos na vitrine incluem um acréscimo de 50% sobre o preço de custo. Durante uma liquidação, o lojista decidiu vender os produtos com um lucro real de 20% sobre os preços de custo. a) Calcule o desconto que ele deve dar sobre os preços da vitrine. b) Quando não há liquidação, sua venda é a prazo, com um único pagamento após dois meses e uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Nessa condição, qual será a porcentagem do lucro sobre o preço de custo? 8. (Fgv) Um supermercado fez a seguinte oferta para a compra de determinada marca de suco de laranja em caixa de 1 litro: Expresse, em porcentagem, o desconto obtido por unidade em relação ao preço original, para quem comprar 8 sucos de laranja. E.O. Enem 1. (Enem) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20% Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era: a) R$ 166,00. d) R$ 46,00. b) R$ 156,00. e) R$ 24,00. c) R$ 84,00. 2. (Enem) Em uma cidade, o valor total da conta de energia elétrica é obtido pelo produto entre o consumo (em kWh) e o valor da tarifa do kWh (com tributos), adicionado à Cosip (contribuição para custeio da iluminação pública), conforme a expressão: Valor do kWh (com tributos) x consumo (em kWh) + Cosip O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas Faixa de consumo mensal (kWh) Valor da Cosip (R$) Até 80 0,00 Superior a 80 até 100 2,00 Superior a 100 até 140 3,00 Superior a 140 até 200 4,50 Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja de R$ 0,50. O morador dessa residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%. Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução pretendida pelo morador? a) 134,1 d) 138,6 b) 135,0 e) 143,1 c) 137,1 3. (Enem) O censo demográfico é um levantamento estatístico que permite a coleta de várias informações. A tabela apresenta os dados obtidos pelo censo demográfico brasileiro nos anos de 1940 e 2000, referentes à concentração da população total, na capital e no interior, nas cinco grandes regiões. População residente, na capital e interior segundo as Grandes Regiões 1940/2000 Grandes regiões População residente Total Capital Interior 1940 2000 1940 2000 1940 2000 Norte 1.632.917 12.900.704 368.528 3.895.400 1.264.389 9.005.304 Nordeste 14.434.080 47.741.711 1.270.729 10.162.346 13.163.351 37.579.365 Sudeste 18.278.837 72.412.411 3.346.991 18.822.986 14.931.846 53.589.425 Sul 5.735.305 25.107.616 459.659 3.290.220 5.275.646 21.817.396 CentroOeste 1.088.182 11.636.728 152.189 4.291.120 935.993 7.345.608 Fonte: IBGE, Censo Demográfico 1940/2000. O valor mais próximo do percentual que descreve o aumento da população nas capitais da Região Nordeste é: a) 125%. d) 700%. b) 231%. e) 800%. c) 331%.
68VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (Enem) A fim de acompanhar o crescimento de crianças, foram criadas pela Organização Mundial da Saúde (OMS) tabelas de altura, também adotadas pelo Ministério da Saúde do Brasil. Além de informar os dados referentes ao índice de crescimento, a tabela traz gráficos com curvas, apresentando padrões de crescimento estipulados pela OMS. O gráfico apresenta o crescimento de meninas, cuja análise se dá pelo ponto de intersecção entre o comprimento, em centímetro, e a idade, em mês completo e ano, da criança. Uma menina aos 3 anos de idade tinha altura de 85 centímetros e aos 4 anos e 4 meses sua altura chegou a um valor que corresponde a um ponto exatamente sobre a curva p50. Qual foi o aumento percentual da altura dessa menina, descrito com uma casa decimal, no período considerado? a) 23,5% d) 11,8% b) 21,2% e) 10,0% c) 19,0% 5. (Enem) Uma pessoa comercializa picolés. No segundo dia de certo evento ela comprou 4 caixas de picolés, pagando R$ 16,00 a caixa com 20 picolés para revendê-los no evento. No dia anterior, ela havia comprado a mesma quantidade de picolés, pagando a mesma quantia, e obtendo um lucro de R$ 40,00 (obtido exclusivamente pela diferença entre o valor de venda e o de compra dos picolés) com a venda de todos os picolés que possuía. Pesquisando o perfil do público que estará presente no evento, a pessoa avalia que será possível obter um lucro 20% maior do que o obtido com a venda no primeiro dia do evento. Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os picolés disponíveis foram vendidos no segundo dia, o valor de venda de cada picolé, no segundo dia, deve ser a) R$ 0,96. d) R$ 1,50. b) R$ 1,00. e) R$ 1,56. c) R$ 1,40. E.O. UERJ Exame Qualificação 1. (UERJ) Considere uma mercadoria que teve seu preço elevado de x reais para y reais. Para saber o percentual de aumento, um cliente dividiu y por x, obtendo quociente igual a 2,08 e resto igual a zero. Em relação ao valor de x o aumento percentual é equivalente a: a) 10,8%. c) 108% b) 20,8%. d) 208,0%. 2. (UERJ) O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o comprimento de seu peixe aumenta 50 vezes, ou seja, 5000%. Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse peixe atinge 1,53 metros. O comprimento original do peixe, em centímetros, corresponde a: a) 2,50. c) 3,00. b) 2,75. d) 3,25. 3. (UERJ) Um índice de inflação de 25% em um determinado período de tempo indica que, em média, os preços aumentaram 25% nesse período. Um trabalhador que antes podia comprar uma quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar agora uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo Y < X. Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra desse trabalhador é de: a) 20%. c) 50%. b) 30%. d) 80%. 4. (UERJ) Observe as guias para pagamento em cota única do IPTU-2010 mostradas abaixo. Em uma delas, com o desconto de 15%, será pago o valor de R$ 1.530,00; na outra, com o desconto de 7%, será pago o valor de R$ 2.790,00. O desconto percentual médio total obtido com o pagamento desses valores é igual a: a) 6%. c) 11%. b) 10%. d) 22%.
69VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (UERJ) No dia 5 de dezembro, uma loja aumenta os preços de seus produtos em 60%. Na liquidação após o Ano Novo, os mesmos produtos sofrem um desconto de 27,5%, em relação aos preços reajustados em 5 de dezembro. Após esta liquidação, podemos constatar que os preços dos produtos, em relação aos preços do dia 4 de dezembro, sofreram uma variação percentual de: a) 16,0%. c) 32,5%. b) 29,0%. d) 44,0%. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a 120. Determine o valor de n. 2. (UERJ) Observe o anúncio abaixo, que apresenta descontos promocionais de uma loja. Admita que essa promoção obedeça à seguinte sequência: • primeiro desconto de 10% sobre o preço da mercadoria; • segundo desconto de 10% sobre o valor após o primeiro desconto; • desconto de R$ 100,00 sobre o valor após o segundo desconto. Determine o preço inicial de uma mercadoria cujo valor, após os três descontos, é igual a R$ 710,00. 3. (UERJ) Leia a tirinha: Suponha que existam exatamente 700 milhões de analfabetos no mundo e que esse número seja reduzido, a uma taxa constante, em 10% ao ano, totalizando n milhões daqui a três anos. Calcule o valor de n. 4. (UERJ) Observe os gráficos I, II, III e IV, reproduzidos adiante, que demonstram o ritmo de contágio da epidemia de dengue no Rio de Janeiro, entre os meses de janeiro e março de 2002. Um contágio a cada 20 minutos I INÍCIO DA EPIDEMIA (janeiro) RITMO DE CONTÁGIO DUAS SEMANAS DE EPIDEMIA Um contágio a cada 7 minutos II UM MÊS DE EPIDEMIA Um contágio a cada 3 minutos III MARÇO Um contágio a cada minuto IV (Adaptado de "Veja", 13/03/2002) Baseando-se nos dados fornecidos pelos gráficos I e IV, determine o número de pessoas contagiadas em um dia, em cada situação, e calcule o percentual de aumento verificado entre essas duas situações. 5. (UERJ) MUNICÍPIOS DO RIO DE JANEIRO ENRIQUECEM COM DINHEIRO PROVENIENTE DA EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO Por um feliz acaso da geografia, eles estão situados em frente à Bacia de Campos, responsável por 80% da produção nacional de petróleo. E recebem "royalties" por isso. Cidade Qanto entrou em royalties (em reais) 1997 1999 Campos 3,9 milhões 45 milhões Macaé 8,2 milhões 32 milhões Quissamã 2,3 milhões 13,4 milhões Adaptado de Veja, 12/07/2000 Determine a porcentagem aproximada do aumento de "royalties" recebidos pela cidade de Campos no período considerado na tabela. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) O Ministério da Saúde e os estados brasileiros investigaram 3.670 casos suspeitos de microcefalia em todo o país. O boletim de 02 de fevereiro aponta que, desse total, 404 tiveram confirmação de microcefalia ou de outras alterações do sistema central, e outros 709 casos foram descartados. Anteriormente, no boletim de 23 de janeiro, havia 732 casos investigados e classificados como confirmados ou como descartados. (https://agencia.fiocruz.br. Adaptado.)
70VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias De acordo com os dados do texto, do boletim de 23 de janeiro para o de 02 de fevereiro, o aumento no número de casos classificados, como confirmados ou como descartados, foi de, aproximadamente: a) 52%. d) 48%. b) 30%. e) 28%. c) 66%. 2. (Unicamp) Um automóvel foi anunciado com um financiamento “taxa zero” por R$ 24.000,00 (vinte e quatro mil reais), que poderiam ser pagos em doze parcelas iguais e sem entrada. Para efetivar a compra parcelada, no entanto, o consumidor precisaria pagar R$ 720,00 (setecentos e vinte reais) para cobrir despesas do cadastro. Dessa forma, em relação ao valor anunciado, o comprador pagará um acréscimo: a) inferior a 2,5%. b) entre 2,5% e 3,5%. c) entre 3,5% e 4,5%. d) superior a 4,5%. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest - Modificado)) O Sistema Cantareira é constituído por represas que fornecem água para a Região Metropolitana de São Paulo. Chama-se de “volume útil” do Sistema os 982 bilhões de litros que ficam acima do nível a partir do qual a água pode ser retirada sem bombeamento. Com o uso de técnicas mais elaboradas, é possível retirar e tratar parte da água armazenada abaixo desse nível. A partir de outubro de 2014, a Sabesp passou a contabilizar uma parcela de 287 bilhões de litros desse volume adicional, denominada “reserva técnica” ou “volume morto”, e chamou de “volume total” a soma do volume útil com a reserva técnica. A parte do volume total ainda disponível para consumo foi chamada de “volume armazenado”. O primeiro índice usado pela Sabesp para divulgar o nível do Sistema, após o início do uso da reserva técnica, foi o percentual do volume armazenado em relação ao volume útil (e não ao volume total). Chama-se este percentual de Índice 1. a) No momento em que o Índice 1 for 50%, que valores terão os Índices 2 e 3? b) Qual é o valor do Índice 2 no momento em que o Índice 3 é negativo e vale –10%? Quadro volume armazenado Índice 1 100% volume útil = × volume armazenado Índice 2 100% volume total = × (volume armazenado) (volume da reserva técnica) Índice 3 100% volume útil − = × 2. (Unicamp 2017) Diversas padarias e lanchonetes vendem o “cafezinho” e o “cafezinho com leite”. Uma pesquisa realizada na cidade de Campinas registrou uma variação grande de preços entre dois estabelecimentos, A e B que vendem esses produtos com um volume de 60 ml, conforme mostra a tabela abaixo. Produto A B Cafezinho R$2,00 R$3,00 Cafezinho com leite R$2,50 R$4,00 a) Determine a variação percentual dos preços do estabelecimento A para o estabelecimento B, para os dois produtos. b) Considere a proporção de café e de leite servida nesses dois produtos conforme indica a figura abaixo. Suponha que o preço cobrado se refere apenas às quantidades de café e de leite servidas. Com base nos preços praticados no estabelecimento B, calcule o valor que está sendo cobrado por um litro de leite. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. C 3. B 4. A 5. E 6. D 7. C 8. D 9. A E.O. Fixação 1. C 2. C 3. C 4. D 5. B 6. 01 + 04 = 05 7. D 8. D E.O. Complementar 1. A 2. E 3. C 4. D 5. A E.O. Dissertativo 1. a) R$ 400.000,00. b) 19% 2. 28% 3. i = 25% 4. a) R$ 0,30 por livro. b) R$ 8,70 por livro. c) 6.000 cm3 .
71VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. a) Segunda opção. b) Na primeira opção, o maior lucro possível é igual R$ 54,00. Na segunda opção, o maior lucro possível é R$ 53,46. 6. Considere: o volume útil o volume morto o volume total VT = 982 + 287 = 1269 e o volume armazenado VA. Se as represas estiverem completamente cheias, VA será igual a VT. Logo: índice 1 = VA/VU = 1269/982 = 1,2923 ⇒ índice 1 = 129,23% 7. a) 20% b) 81,5% 8. Preço de unidades: 6 . 3,60 = 21,60 (mas levou 8 unidades) O preço de cada uma das oito unidades será R$ 2,70 (21,60 : 8) Desconto em porcentagem 3,60 - 2,70/3,60 = 0,25 = 25% E.O. Enem 1. B 2. C 3. D 4. A 5. C E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. C 2. C 3. A 4. B 5. A E.O. UERJ Exame Discursivo 1. n = 125. 2. R$ 1.000,00 3. n = 510.300.000 4. Situação I: 72 por dia Situação IV: 1.440 por dia percentual de aumento 1.900% 5. 1053% E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) Considerando os dados do enunciado, pode-se escrever: VA VA Índice 1 50% 0,5 0,5 VA 491 VU 982 VA 491 Índice 2 0,3869 Índice 2 38,69% VT 1269 VA VM 491 287 Índice 3 0,2077 Índice 3 20,77% VU 982 = ⇒ =⇒ =⇒= == = ⇒ = − − = = =⇒ = b) Considerando os dados do enunciado, pode-se escrever: VA VM VA 287 Índice 3 0,1 0,1 VA 188,8 VU 982 VA 188,8 Índice 2 0,1488 Índice 2 14,88% VT 1269 − − =− ⇒ = =− ⇒ = = == ⇒ = 2. a) 50% e 60% b) R$ 100,00
____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ANOTAÇÕES 72VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias
MATEMÁTICA MATEMÁTICA e suas tecnologias 2 GEOMETRIA PLANA
74VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (CFTCE) Sendo, na figura a seguir, AB//DE, AB = 5 cm, BC = 7 cm, AC = 6 cm e DE = 10 cm, o valor de CD e CE, nesta ordem, em centímetros, é: A B C D E a) 14 e 12. d) 16 e 14. b) 12 e 10. e) 8 e 6. c) 10 e 8. 2. Na figura a seguir, os triângulos são semelhantes. Então, o valor de x é: H I J E 12 F G 2 x 30 4 x + 10 a) 10. c) 12. b) 11. d) 13. 3. (CFTSC) Sabendo que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 1,60 m, calcule a altura de uma árvore que projeta uma sombra de 20 m nas mesmas condições. a) 22 m. d) 28,80 m. b) 22,50 m. e) 17,80 m. c) 24 m. 4. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente, ao caminhar sobre a rampa, percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: a) 1,16 metros. d) 5,6 metros. b) 3,0 metros. e) 7,04 metros. c) 5,4 metros. 5. (UFRN) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de: a) 18 m. c) 36 m. b) 8 m. d) 9 m. 6. (CFTMG) Um cabo de aço AC de 7 m de comprimento foi utilizado para sustentar um muro, e uma barra de aço EB, paralela ao chão, foi fixada nesse cabo, perpendicularmente ao muro, como mostra a figura. E B D C A Se AB = 3 m e AE = 2,4 m então AD, em metros, é: a) 3,0. c) 4,6. b) 4,0. d) 5,6. 7. (CFTMG) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura, AH, 24 cm. A medida do lado desse quadrado é um número: a) par. c) divisível por 4. b) primo. d) múltiplo de 5. 8. (UFRGS) Observe os discos de raios 2 e 4, tangentes entre si e às semirretas s e t, representados na figura abaixo. A distância entre os pontos P e Q é: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS COMPETÊNCIA(s) 2 e 3 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9, 12 e 14 MT AULAS 9 E 10
75VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) 9. d) 12. b) 10. e) 13. c) 11. 9. (IFCE) Sobre os lados AB e AC do triângulo ABC, são marcados os pontos D e E, respectivamente, de tal forma que DE // BC, AE = 6 cm, DB = 2 cm, EC = 3 cm e DE = 8 cm. Nessas condições, a soma das medidas dos segmentos AD e BC, em centímetros, vale: a) 12. d) 24. b) 16. e) 30. c) 18. 10. (IFCE) O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é: a) 10. d) 4. b) 8. e) 2. c) 6. E.O. Fixação 1. (PUC-RJ) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo: Assumindo DE = GF = 12, EF = DG = 8 e AB = 15, a altura do triângulo ABC é: a) ___ 35 4 . d) ____ 180 7 . b) ____ 150 7 . e) ___ 28 5 . c) ___ 90 7 . 2. (UFPR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. A altura do suporte em B é, então, de: a) 4,2 metros. d) 5,2 metros. b) 4,5 metros. e) 5,5 metros. c) 5 metros. 3. (CPS) Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco retangular e, no topo desse edifício, está instalada uma antena de 20 metros. Após uma aula de Matemática, cujo tema era Semelhança de Triângulos, Marcelo resolveu aplicar o que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, tomou algumas medidas e construiu o seguinte esquema: • O segmento AC é perpendicular aos segmentos BF e CE; • o segmento AB representa a antena; • o segmento BC representa a altura do prédio; • ponto D pertence ao segmento CE; • o ponto F pertence ao segmento AE; • o ponto B pertence ao segmento AC; • os segmentos BC e FD são congruentes; • a medida do segmento BF é 12 m; • a medida do segmento DE é 36 m. Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, em metros: a) 45. d) 65. b) 50. e) 70. c) 60. 4. (CPS) Leia o texto a seguir. Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi também um próspero comerciante. Certa vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele assombrou o faraó e toda a corte egípcia medindo a sombra da pirâmide de Quéops, cuja base é um quadrado de 230 metros de lado. Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou verticalmente no solo uma estaca que ficou com altura de 1 metro acima do solo. As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e da sombra da estaca são, respectivamente, 255 metros e 2,5 metros. Adaptado de: JAKUBOVIC, J., CENTURION, M. e LELLIS, M.C. Matemática na Medida Certa. São Paulo: Scipione.
76VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias raios de sol estaca sombra da estaca vara de medir raios altura da de sol pirâmide metade da medida da base estaca incada verticalmente no solo comprimento da sombra da estaca comprimento da sombra da pirâmide Com base nas informações do texto e das figuras, é válido afirmar que a altura da pirâmide, em metros, é: a) 14,80. d) 925. b) 92,50. e) 1.480. c) 148. 5. (UFRGS) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10 m de largura, uma pessoa, cujos olhos estão a 1,60 m do chão, posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura. 1,10 m 1,60 m 0,50 m Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço é: a) 2,82 m d) 3,52 m b) 3,00 m e) 3,85 m c) 3,30 m 6. (CPS) A erosão é o processo de desgaste, transporte e sedimentação das rochas e, principalmente, dos solos. Ela pode ocorrer por ação de fenômenos da natureza ou do ser humano. A imagem mostra uma fenda no solo, proveniente de erosão. Para determinar a distância entre os pontos A e B da fenda, pode-se utilizar o modelo matemático da figura. Na figura, tem-se: • os triângulos AFC e EFD; • o ponto E pertencente ao segmento ——AF; • o ponto D pertencente ao segmento ——CF; • os pontos C, D e F pertencentes ao terreno plano que margeia a borda da fenda; e • as retas » AC e» ED que são par alelas entre si. Sabendo-se que BC = 5 cm, CD = 3 m, DF = 2 m e ED = 4,5m, então, a distância entre os pontos A e B e, em metros, a) 6,25. d) 7,25. b) 6,50. e) 7,75. c) 6,75. 7. (Udesc) Quando olhamos para um ambiente qualquer, a percepção de profundidade é possível devido a nossa visão binocular. Por estarem separados em média 65 mm em adultos, cada um dos nossos olhos registra uma imagem de um ângulo ligeiramente diferente. Ao interpretar essas imagens ao mesmo tempo, o cérebro forma um “mapa” dessas diferenças, tornando possível estimar a distância dos objetos em relação a nós. A estereoscopia (popularmente conhecida como “imagem 3D”) é uma técnica que consiste em exibir imagens distintas para cada olho do observador, representando o que se observaria em uma situação real. Assim, o cérebro pode ser “enganado” a interpretar os objetos representados como se estivessem flutuando diante da tela ou atrás dela. Diversas tecnologias existem atualmente para conseguir isso. A mais comum delas, usada nas salas de cinema 3D, funciona com o uso de óculos polarizadores que filtram a imagem projetada na tela, permitindo que cada olho receba somente a imagem correspondente. Um observador está em uma sala de cinema 3D usando óculos polarizadores e sobre a tela são projetados dois pontos A e B a uma distância de 30 cm um do outro, com A à esquerda de B. Os filtros polarizadores dos óculos fazem com que o ponto A seja visto apenas por seu olho direito e o ponto B apenas por seu olho esquerdo, de forma que as linhas de visão de cada um dos olhos se interseccionem em um ponto X, conforme a figura. O observador verá apenas um único ponto, resultado da junção em seu cérebro dos pontos A e B, localizado em X. Sabendo que a reta imaginária que passa por seus olhos é paralela àquela que passa pelos pontos A e B e estas distam 20 m entre si, e que sua distância interocular é de 60 mm, a distância da tela em que ele verá a imagem virtual, formada no ponto X, é aproximadamente:
77VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) 6,6 m d) 16,7 m b) 3,3 m e) 16 m c) 4 m 8. Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 7 cm, 9 cm e 14 cm. Qual é o perímetro do triângulo semelhante ao dado cujo lado maior é de 21 cm? a) 45 cm c) 60 cm b) 55 cm d) 75 cm 9. (CPS) Os parques eólicos marítimos apresentam vantagens em relação aos parques eólicos terrestres, pois neles não há problema com o impacto sonoro e o desgaste das turbinas é menor, devido a menor turbulência do vento. Na instalação dos parques eólicos marítimos, é preciso calcular sua distância até o continente, a fim de instalar os cabos condutores de eletricidade. Observe o esquema que representa um parque eólico (A), uma estação elétrica (B) no continente e pontos auxiliares C, D e E para o cálculo da distância do parque eólico até a estação elétrica no continente. No esquema temos: • Ponto A: parque eólico marítimo; • Ponto B: estação elétrica no continente; • Ponto C: ponto auxiliar (C ∈ ——AB); • Ponto D: ponto auxiliar (D ∈ ——AE); • Ponto E: ponto auxiliar; • A medida do segmento ——CD é 150 metros; • A medida do segmento ——BC é 100 metros; • A medida do segmento ——BE é 200 metros; • Os segmentos ——CD e ——BE são paralelos entre si. Assim sendo, é correto afirmar que a distância do parque eólico marítimo até a estação elétrica no continente é, em metros, a) 75. b) 100. c) 300. d) 400. e) 425. 10. (FGV) Os pontos A, B, C, D, E e F estão em AF e dividem esse segmento em 5 partes congruentes. O ponto G está fora de AF, e os pontos H e J estão em GD e GF, respectivamente. Se GA, HC e JE são paralelos, então a razão ____ HC JE é: a) __5 3 . d) __5 4 . b) __3 2 . e) __6 5 . c) __4 3 . E.O. Complementar 1. (EPCAR) Seja ABCD um paralelogramo cujos lados AB e BC medem, respectivamente, 5 e √ ___ 10 . Prolongando o lado AB até o ponto P, obtém-se o triângulo APD, cujo ângulo A^ P D é congruente ao ângulo A^ C B, conforme a figura. Então, a medida AP é: a) 0,2. c) _____ 2dXXX 10 5 . b) 2. d) ____ dXXX 10 5 . 2. (CP2) Observe a imagem (Figura 1) produzida pelo Observatório Astronômico de Lisboa (OAL) do eclipse total ocorrido no mês de setembro de 2015. Nela percebe-se a existência de um cone de sombra.
78VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias A partir desta imagem, foi construído o esquema matemático apresentado na Figura 2: Com base no esquema da Figura 2, e sabendo que os raios da Terra (RT ) e do Sol (RS ) medem, aproximadamente, 6.000 km e 690.000 km, respectivamente, e que a distância entre Terra e Sol (DTS) é de 150.000.000 km, então o comprimento aproximado da altura x desse cone de sombra é de a) 570.000 km. b) 800.000 km. c) 1.300.000 km. d) 1.500.000 km. 3. (FGV) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7 e AC = 6/s e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. P C A B 7 6 8 O comprimento do segmento PC é: a) 7. d) 10. b) 8. e) 11. c) 9. 4. (UFPR) Em uma rua, um ônibus com 12 m de comprimento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da base de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus para um carro, cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro, conforme indica a figura a seguir. Determine a menor distância (d) que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motorista possa enxergar o semáforo inteiro. 1 m 5 m 2 12 m d m 5 m a) 13,5 m d) 15,0 m b) 14,0 m e) 15,5 m c) 14,5 m 5. (Uel) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura adiante. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras. 9 m 3 m a) 1,50 m d) 2,25 m b) 1,75 m e) 2,50 m c) 2,00 m E.O. Dissertativo 1. (FGV) a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas várias medições, como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio. b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um triângulo é o dobro da distância do ponto E ao baricentro M. 2. (CCampos) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia o segmento BQ no ponto T. Considerando também que o segmento BA é perpendicular ao segmento AO, que M é o ponto médio do segmento AO e que BM = 4 MT, determine a medida do ângulo T^ MO.
79VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (UFG) As “Regras Oficiais de Voleibol”, aprovadas pela Federação Internacional de Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular, medindo 18 m de comprimento por 9 m de largura. A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de 2,43 m para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque, desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a seguir. Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H, fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R, tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário. Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto. 4. (Ufsc) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a 2,5 km, e a distâncias de 2,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada: Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância ——HK' = 18 km. Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, o ponto D do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a cidade B tenha comprimento mínimo. 5. Na figura, sabe-se que ^ Ce ^ Bsão congruentes AR = 7cm, AS = 5 cm, SR = 4 cm e AB = 10 cm. Determine AD = x e BD = y.
80VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (Ufg) Considere duas paredes paralelas, com distância de 4 m entre si e alturas de 10 m e 5 m. Uma fonte de luz puntiforme encontra-se na base da parede mais baixa e começa a deslocar-se horizontalmente no sentido oposto à parede mais alta, com velocidade constante. São realizadas medições consecutivas, em intervalos de tempo iguais, da distância da fonte de luz até a base da parede mais baixa, obtendo-se uma sequência, cujos três primeiros valores são: x – 1, 3x – 2 e 2x. Sabendo-se que são realizadas 11 medições, determine a altura da sombra da parede mais baixa na parede mais alta, projetada pela fonte de luz, no instante da décima primeira medição. 7. (FGV) Bem no topo de uma árvore de 10,2 metros de altura, um gavião-caboclo, no ponto A da figura, observa atentamente um pequeno roedor que subiu na mesma árvore e parou preocupado no ponto B, bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em relação ao chão. Junto à árvore, um garoto fixa verticalmente no chão uma vareta de 14,4 centímetros de comprimento e, usando uma régua, descobre que a sombra da vareta mede 36 centímetros de comprimento. Exatamente nesse instante, ele vê, no chão, a sombra do gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar sobre a sombra do roedor, que não se havia movido de susto. Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente de A para B? 8. (Ufmg) Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com AB = 160 e AD = 80; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e Q. Considerando essas informações, a) DETERMINE o raio QO da circunferência. b) DETERMINE o comprimento do segmento PQ. 9. (UFPE) Na figura abaixo AB = AD = 25, BC = 15 e DE = 7. Os ângulos D^ E A, B^ C A e B^ F A são retos. Determine AF. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Na figura adiante, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 2. (Fuvest) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula: D B E b F h G C A a) (bh) _______ (h + b) . b) (2bh) _______ (h + b) . c) (bh) ________ (h + 2b) . d) (bh) ________ (2h + b) . e) (bh) __________ [2(h + b)] . 3. (Fuvest) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a: a) 24 cm. d) 9 cm. b) 13 cm. e) 7 cm. c) 12 cm.
81VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unifesp) No triângulo ABC da figura, que não está desenhada em escala, temos: BAC fi CBE, ADF fi BDF, AC = 27, ^ ^ A ^ ^ F B 9 9 D 27 15 8 E C BE = 8, BD = 15 e DE = 9. BC = 9, a) Mostre que os triângulos ABC e BEC são semelhantes e, em seguida, calcule AB e EC. b) Calcule AD e FD. 2. (Unesp) Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm. Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, calcule a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados. 3. (Fuvest) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir. Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q devese jogar a bola branca? 4. (Unesp) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor circular de centro C e raio R conforme a figura. O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB = s, demonstre que R · s = R · r + r · s. 5. (Fuvest) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento. a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B? 6. (Unesp) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra?
82VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Gabarito E.O. Aprendizagem 1. A 2. A 3. B 4. D 5. B 6. D 7. D 8. D 9. B 10. D E.O. Fixação 1. D 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A 7. D 8. A 9. D 10. A E.O. Complementar 1. B 2. C 3. C 4. D 5. D E.O. Dissertativo 1. a) Supondo que CAB ≅ BED = 90°, é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são semelhantes por AA. Desse modo, temos ___ AC ED = ___ AB BE ⇔ __ x 2 = ___ 24 2,5 ⇔ x = 19,2 m. b) Queremos mostrar que BM = 2 · ME. De fato, sabendo que D e E são pontos médios de AB e AC respectivamente, tem-se que DE é base média do triângulo ABC e, portanto, DE = 1/2 · BC e DE // BC. Em consequência, os triângulos DEM e BCM são semelhantes por AA. Daí, ___ BM ME = ____ BC DE ⇒ ___ BM ME = ______ BC __1 2 · BC ⇔ ⇔ BM = 2 · ME. 2. Os triângulos MTO e MAB são semelhantes, logo: __k a = ___ a 4k ⇔ a² = 4k² ⇔ a = 2k. Logo, no triângulo MTO, temos: cos α = __ k 2k ⇔ α = 60°. 3. Como AC // PD, pelo Teorema de Tales, segue que ___ AP PB = ___ CD DB ⇔ ___AP PB = __ 3 9 = __ 1 3 . Os triângulos H^ AB e R ^ PB são semelhantes. Portanto, ___ HA RP = ___ AB PB ⇔ ___ HA RP = AP + __________ PB PB ⇔ ______ HA 2,43 =___ 4 3 ⇔ HA = 3,24 m. 4. Considere a figura. O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são colineares. Com efeito, se D' é um ponto da reta » DK e C' é o pé da perpendicular baixada de D' sobre a reta ——HK', então, pela Desigualdade Triangular, ——BD' + ——D'H = ——BD' + ——AC' > ——BD + ——DH = ——BH. Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por AA, segue-se que ——DK ___ ——CH = —— ___ BK ——CD ⇔ —— __________ DK 18 – ——DK = ___5 2,5 ⇔ ——DK = 12 km. 5. x = 14 y = 8 6. Como as três primeiras distâncias são x – 1, 3x – 2 e 2x e a velocidade da fonte de luz é constante. Então: 3x – 2 – (x – 1) = 2x – (3x – 2) 3x – 2 x + 1 = 2x – 3x + 2 2x – 1 = –x + 2 3x = 3 Concluímos então que a primeira medição indicará 0 m, a segunda medição indicará 1 m a terceira medição indicará 2 m e a 11ª medição indicará 10 m. Logo, a figura que representa a sombra da fonte luminosa até a 11ª medição está representada abaixo, onde foi calculado o comprimento da sombra por semelhança de triângulo.
83VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. Cálculo da medida da sombra da árvore. _____ 10,2 x = _____ 14,4 36 ⇔ x = 25,5 m Aplicando Teorema de Tales, temos: _____ d 10,2 = ____ 16 255 ⇔ d = 6,4 m 8. a) O raio da circunferência é 80/2 = 40. b) Admita PQ = x BQ2 = 402 + 802 ⇒ BQ = 40√ __ 5 ∆POM ~ ∆MQB, logo: ___ MQ 80 = _____ 40 40√ __ 5 √ __ 5 MQ = 80 MQ = 16√ __ 5 Logo, QP = 32√ __ 5 9. Considere a figura. Como AB = 25 = 5 · 5 e BC = 15 = 5 · 3, segue que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo de lados 5, 3 e 4. Logo, AC = 5 · 4 = 20. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE, vem AD² = DE² + AE² ⇔ AE² = 25² – 7² ⇒ AE =√ ____ 576 ⇔ AE = 24. Como os triângulos ADE e BGC são semelhantes por AA, temos que ___ GC DE = ___ BC AE ⇒ GC = ________ 15 × 7 24 = 35/8. Logo, AG = AD – GC = _______ 20 – 35 8 = _____ 125 8 . Por outro lado, os triângulos ADE e AGF também são semelhantes por AA. Desse modo, ___ AF AE = ___ AG AD ⇔ AF = ____ 125 8 · 24 ___________ 25 = 15. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. D 3. C E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) Os triângulos ABC e BEC são semelhantes, pois B ^ AC ≈ C ^ BE e B ^ C A ≈ E^ C B AB = 24 EC = 3 b) AD = 15 e FD = 9 2. _______ 1 0,005 = ____ x 15 ⇔ x = ______ 15 0,005 ⇔x = 3000 mm = 3 m. 3. D1 ~ D2 ~ D3 _______ 1,2 – x 0,9 = __x y = _______ 0,4 0,8 – y Aplicando a propriedade da proporção nas duas últimas razões: _______ 1,2 – x 0,9 = x + 0,4 __________ y + 0,8 – y _________ 1,2 – x 0,9 = ________ x + 0,4 0,8 6,17 m 4. Considere a figura. Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes. Logo, OC ___ BC = ___ OD BA ⇔ _____ R – r R = _ r s ⇔ R·s – r · s = R · r ⇔ R · s = R · r + r · s c.q.d.
84VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. a) ∆ATD ~ ∆ABC: ____ x 900 = ____ 20 300 ⇒ x = 60 m. b) AB = √ _______________ (300)2 + (900)2 = 300 √ ___ 10 Sendo t o tempo para o teleférico ir de A até B, temos: 300√ ___ 10= 1,5 · t ⇒ t = 200√ ___ 10 6. Considere a figura abaixo. Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes por AA. Portanto, sabendo que ——AB = 21 dm,——DE = 9 dm e ——BE = 120 dm, vem ——AB ___ ——DE = —— ___ BC ——EC ⇔___21 9 = 120 + —— __________ EC ——EC ⇔ 7 · ——EC = 360 + 3 · ——EC ⇔ ——EC = 90 dm = 9 m.
85VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (CFT-SC) O lado de um quadrado mede dXX2cm. Quanto mede sua diagonal? a) 2 cm. d) 2dXX3 cm. b) dXX3cm. e) 2dXX2 cm. c) dXX6 cm. 2. (PUC-RJ) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: a) 8 metros. d) 14 metros. b) 10 metros. e) 16 metros. c) 12 metros. 3. (IFCE) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a: a) 10, 15 e 20. d) 16, 21 e 26. b) 12, 17 e 22. e) 18, 23 e 28. c) 15, 20 e 25. 4. (Insper) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z. O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é: a) 250. d) 200. b) 240. e) 180. c) 225. 5. (Espcex) Na figura, o raio da circunferência de centro O é ____ 25 2 e a corda MP mede 10 cm. A medida, em centímetros, do segmento PQ é: a) ___ 25 2 . d) √ ___ 21 . b) 10. e) 2√ ___ 21 . c) 5√ ___ 21 . 6. (CFT-MG) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em Â. Sabendo-se que AD = 2, CD = 8 e BD = 5, a medida do lado BC é: A 2 D 8 C B x 5 a) 11. c) 13. b) 12. d) 14. 7. No triângulo da figura a seguir, o valor de x é: a) 6. d) 9. b) 7. e) 10. c) 8. 8. (Acafe-SC) As projeções dos catetos de um triângulo retângulo sobre a hipotenusa medem 9 dm e 16 dm. Neste caso os catetos medem: a) 15 e 20. c) 3 e 4. b) 10 e 12. d) 8 e 6. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO COMPETÊNCIA(s) 2 e 3 HABILIDADE(s) 7, 8, 9 e 12 MT AULAS 11 E 12
86VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. (UFSJ) Considere uma corda AB, perpendicular ao diâmetro EC de um círculo de centro O. Sendo o ponto D a interseção dos segmentos AB e EC e sabendo que CD = 4 cm e ED = 9 cm, a área do triângulo AED, em cm2 , é igual a: a) 27. c) 36. b) 18. d) 78. 10. (IFSP) Ao ligar, por segmentos de retas, os pontos médios dos lados de um quadrado de lado 60 cm, obtém-se um quadrilátero, cujo perímetro é, em centímetros: a) 30dXX2 . d) 120dXX2 . b) 60dXX2 . e) 150dXX2 . c) 90dXX2 . E.O. Fixação 1. (Insper) Na figura, ——AD é um diâmetro da circunferência que contém o lado ——BC do quadrado sombreado, cujos vértices E e F pertencem à circunferência. Se a é a medida do segmento ——AB e ℓ é a medida do lado do quadrado, então __ℓ a é igual a: a) √ __ 5– 2. d) √ __ ____5 2 . b) √ __ ________ 5– 1 2 . e) √ __ 5+ 2. c) √ __ ________ 5+ 1 2 . 2. Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada: a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B. 3. (Insper) A figura mostra parte de um campo de futebol, em que estão representados um dos gols e a marca do pênalti (ponto P). Considere que a marca do pênalti equidista das duas traves do gol, que são perpendiculares ao plano do campo, além das medidas a seguir, que foram aproximadas para facilitar as contas. • Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros. • Largura do gol: 8 metros. • Altura do gol: 2,5 metros. Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, seguindo uma trajetória reta, choca-se contra a junção da trave esquerda com o travessão (ponto T). Nessa situação, a bola terá percorrido, do momento do chute até o choque, uma distância, em metros, aproximadamente igual a: a) 12. d) 18. b) 14. e) 20. c) 16. 4. (Uespi) Uma circunferência de raio R é tangente externamente a duas circunferências de raio r, com r < R. As três circunferências são tangentes a uma mesma reta, como ilustrado a seguir. Qual a distância entre os centros das circunferências de raio r? a) 4dXXX Rr . d) dXXX Rr . b) 3dXXX Rr . e) _____ dXXX Rr 2 . c) 2dXXX Rr . 5. (IFAL) Num retângulo, o comprimento é 8 cm e a altura é 15 cm. Quanto se deve subtrair da altura e do comprimento a fim de diminuir em 4 cm a sua diagonal? a) 4 cm. d) 1 cm. b) 5 cm. e) 3 cm. c) 2 cm. 6. As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são, respectivamente, 30 cm e 40 cm. A altura relativa à hipotenusa mede: a) 24 cm. d) 23 cm. b) 20 cm. e) 25 cm. c) 31 cm. 7. (ITA) Seja ABC um triângulo retângulo, cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre AB e o triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento AD, em cm, é igual a: a) __3 4 . d) ___ 25 4 . b) ___ 15 6 . e) ___ 25 2 . c) ___ 15 4 .
87VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 8. (Ufrrj) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do círculo de raio 2 m e os ângulos B^ O C e O^ B C são iguais. B C O A O comprimento do segmento AB é: a) 2 m. d) 2dXX5 m. b) 3 m. e) 2dXX3 m. c) 3dXX2 m. 9. (ESPM) A figura mostra um quadrado, dois círculos claros de raios R e dois círculos escuros de raios r, tangentes entre si e aos lados do quadrado. A razão entre R e r é igual a: a) dXX2 . d) 2. b) dXX3 . e) ___ dXX5 2 . c) __3 2 . 10. ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semicircunferência, traçada internamente ao quadrado, com diâmetro CD, e T a semicircunferência tangente ao lado AB em A e tangente à K. Nessas condições, o raio da semicircunferência T será: a) ___ 5L 6 . d) ___ 3L 5 . b) ___ 4L 5 . e) __L 3 . c) ___ 2L 3 . E.O. Complementar 1. (UFSJ) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um lado que mede 16 cm. A medida dos outros dois lados do triângulo, em cm, é igual a: a) 8. b) 8dXX2 . c) 16. d) 16dXX2 . 2. (PUC-RJ) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja AD a bissetriz de C^ AB . Sabemos que AB mede 1 e que BD mede 1/2. Quanto mede o cateto BC? a) 1. b) 2. c) __3 2 . d) __4 3 e) dXX2 . 3. (ITA) Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio 1 cm. O seu maior lado mede 2 cm e sua área é de ____ 1 √ __ 2 . Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede: a) 1 – ___1 √ __ 2 . d) ___2 √ __ 6 . b) √ ______ 2 – √ __ 2 . e) ___3 √ __ 6 . c) ___1 √ __ 2 . 4. (FGV) Um triângulo tem lados medindo 1 cm, 2 cm e 2,5 cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado. O valor de h2 expresso em cm2 é, aproximadamente, igual a: a) 0,54. b) 0,56. c) 0,58. d) 0,60. e) 0,62. 5. (ITA) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48 cm², a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a 2/3. Das afirmações abaixo: I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem d97XXX cm; II. O baricentro dista 4 cm do vértice A; III. Se a é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então cos a = ____3 d97XXX . É(são) verdadeira(s): a) Apenas I. d) Apenas I e III. b) Apenas II. e) Apenas II e III. c) Apenas III. E.O. Dissertativo 1. (UEMA) A figura abaixo representa uma quadra de futebol de salão com a bola localizada no ponto P, conforme descrito na figura de vértice ABCD. No ponto C, há um jogador que receberá a bola chutada a partir de onde ele está. Determine a distância x do jogador (ponto C) à bola (ponto P) em unidade de comprimento.
88VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol olímpico, marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio. Suponha que neste tipo de gol: 1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado; 2. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola entra no gol seja 40 m. 3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1 m. Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com uma casa decimal de aproximação. 3. (PUC-RJ) Num triângulo, a base mede b cm, os outros dois lados medem 10 cm cada um e a altura mede a cm, onde 0 < a < 10. a) Determine b em função de a. b) Dado que os dois números a e b são números inteiros, mostre que b é par e ache os possíveis valores de b. 4. (UFMG) Nesta figura, está representada uma circunferência de centro O: O F E C D A B Sabe-se que: • os segmentos ——AB e ——BC medem, cada um, 4 cm; • a reta ——AB tangencia a circunferência no ponto B; • o segmento ——DF é perpendicular ao diâmetro ——BC; e • E pertence à circunferência e é o ponto médio do segmento ——DF. Calcule o comprimento do segmento ——OF. 5. (CFTRJ) Gustavo está no ponto A de uma floresta e precisa ir para o ponto B. Porém, ele está com muita sede e, antes, precisa ir até o rio para beber água. O rio está representado pela reta r na figura abaixo. Sabe-se que o ponto A e o ponto B estão, respectivamente, a 300 m e 600 m do rio. A distância entre os pontos A e B é de 500 m. Calcule a menor distância que Gustavo pode percorrer. 6. Os catetos de um triângulo retângulo medem 24 e 18 cm. Nessas condições, determine: a) a medida “a” da hipotenusa. b) a medida “h” da altura relativa à hipotenusa a. c) as medidas “m” e “n” das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 7. (Ufpr) A tela de uma TV está no formato widescreen, no qual a largura e a altura estão na proporção de 16 para 9. Sabendo que a diagonal dessa tela mede 37 polegadas, qual é sua largura e a sua altura, em centímetros? (Para simplificar os cálculos, use as aproximações √ ____ 337≈ 18,5 e 1 polegada ≈ 2,5 cm) 8. (UFRJ) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2 cm. A B E D C Calcule a distância ——BE. 9. (UFPE) Seja r o raio, em cm, da circunferência inscrita em um triângulo retângulo com catetos medindo 6 cm e 8 cm. Quanto vale 24r? E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e
89VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura: Considere as seguintes medidas: AM = NA = BM = BN = 4 dm; MN = x dm; AB = y dm. O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a: a) dXXXXXXXX 16 – 4x² . c) dXXXXXXXX 16 – 4x² _________ 2 . b) √ _______ 64 – x² . d) dXXXXXXXX 64 – 2x² _________ 2 . 2. (UERJ) Dois atletas partem simultaneamente do ponto A, com movimento uniforme, e chegam ao mesmo tempo ao ponto C. Um deles segue a trajetória AC, com velocidade v1 km/h, e o outro segue a trajetória ABC, com velocidade v2 km/h, conforme ilustra a figura a seguir. Sendo a e c respectivamente, as medidas, em quilômetros, dos catetos BC e BA, podemos afirmar que v __1 v2 corresponde a: a) (a2 + c2) _______ √ ______ (a + c) . c) [ √ ______ (a + c) _______ (a2 + c2) ] . b) (a2 + c2) ____________ [(√ __ a ) + (√ __ c )] . d) [√ _______ (a2 + c2) ] __________ (a + c) . E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Observe a figura a seguir, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo. O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja maior que a altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo. Calcule a razão —— ___ PS ——PQ. 2. (UERJ) Terno pitagórico é a denominação para os três números inteiros que representam as medidas, com a mesma unidade, dos três lados de um triângulo retângulo. Um terno pitagórico pode ser gerado da seguinte forma: • escolhem-se dois números pares consecutivos ou dois números ímpares consecutivos; • calcula-se a soma de seus inversos, obtendo-se uma fração, cujo numerador e denominador representam as medidas dos catetos de um triângulo retângulo; • calcula-se a hipotenusa. a) Utilizando o procedimento descrito, calcule as medidas dos três lados de um triângulo retângulo, considerando os números pares 4 e 6. b) Considere x um número inteiro maior do que 1, e que (x – 1) e (x + 1) representam dois pares ou dois ímpares consecutivos. Demonstre que esses dois números geram um terno pitagórico. 3. (UERJ) No triângulo ABC a seguir, os lados BC, AC e AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonalmente no ponto G. A D B E C G Conhecidos a e b, determine: a) o valor de c em função de a e b; b) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida
90VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ? a) 12 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm. 2. (Unesp) Em 2014, a Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) implantou duas faixas para pedestres na diagonal de um cruzamento de ruas perpendiculares do centro de São Paulo. Juntas, as faixas formam um "X" como indicado na imagem. Segundo a CET, o objetivo das faixas foi o de encurtar o tempo e a distância da travessia. Antes da implantação das novas faixas, o tempo necessário para o pedestre ir do ponto A até o ponto C era de 90 segundos e distribuía-se do seguinte modo: 40 segundos para atravessar ——AB, com velocidade média v; 20 segundos esperando o sinal verde de pedestres para iniciar a travessia ——BC; e 30 segundos para atravessar ——BC, também com velocidade média v. Na nova configuração das faixas, com a mesma velocidade média a economia de tempo para ir de A até C, por meio da faixa ——AC, em segundos, será igual a a) 20. b) 30. c) 50. d) 10. e) 40. 3. (Unesp) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a cidade japonesa de Nagasaki. A bomba explodiu a 500 metros de altura acima do ponto que ficaria conhecido como “marco zero”. No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado do militar japonês Yashida, se encontrava a 1 km do marco zero e a 50 m de um poço. No momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse local no momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela explosão, passa por eles. A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da explosão da bomba, do poço e dos personagens do filme no momento da explosão da bomba. Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 km/h e adotando a aproximação √ __ 5 ≅ 2,24, os personagens correram até o poço, em linha reta, com uma velocidade média, em km/h, de aproximadamente: a) 28. b) 24. c) 40. d) 36. e) 32. 4. (Unesp) Uma mesa de passar roupa possui pernas articuladas ——AB e ——CD, conforme indica a figura. Sabe-se que ——AB = ——CD = 1m, e que M é ponto médio dos segmentos coplanares ——AB e ——CD Quando a mesa está armada, o tampo fica paralelo ao plano do chão e a medida do ângulo A ^ MC é 60º. Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e da espessura do tampo e adotando √ __ 3= 1,7, a altura do tampo dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em centímetros, está entre a) 96 e 99. b) 84 e 87. c) 80 e 83. d) 92 e 95. e) 88 e 91. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado ——BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta ‹ ___› ABno ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD = 2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em função de r:
91VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) a medida do lado ——AB do triângulo ABC. b) a medida do segmento ——CO. 2. (Fuvest) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 85 km a noroeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta. No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem. a) Indique a localização das cidades A, B e C no esquema apresentado a seguir. b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. (Considere a aproximação √ __ 2= 1,4.) c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta. d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho. 3. (Unesp) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma casa. Sabe-se do quadrilátero ABEF que: • seus ângulos A^ B E e A^ F E são retos. • ——AF mede 9 m e ——BE mede 13 m. • o lado ——EF é 2 m maior que o lado ——AB. Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados ——AB e ——EF? 4. (Unicamp 2017) A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e raios de comprimentos a, b e c respectivamente. a) Determine os valores de a, b e c sabendo que a distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e C é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm. b) Para a = 2 cm e b = 3 cm, determine o valor de c > b de modo que o triângulo de vértices em A, B e C seja retângulo. 5. (Fuvest) Na figura acima, as 12 circunferências têm todas o mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura), e que o quadrado tem lado 2dXX7, determine r. 6. (Unicamp) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm × 2,5 cm. Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras a seguir. a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. 7. (Fuvest) Um poste vertical tem base quadrada de lado 2. Uma corda de comprimento 5 está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à altura 3 do solo e distando 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda está no solo, conforme indicado na figura. A corda é então enrolada ao longo das faces 1 e 2, mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toque duas arestas da face 2 em pontos R e B, conforme a figura.
92VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 1 1 P P B A A R 2 2 Nessas condições: a) calcule ——PR. b) calcule ——AB. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. A 2. B 3. C 4. E 5. E 6. A 7. B 8. A 9. A 10. D E.O. Fixação 1. C 2. C 3. A 4. A 5. E 6. A 7. D 8. E 9. C 10. E E.O. Complementar 1. B 2. D 3. B 4. C 5. A E.O. Dissertativo 1. x = d37XXX u.c. 2. R = 200,5 m 3. a) b = 2dXXXXXXXX 100 – a2 . b) Sabendo que a e b são inteiros,√ ________ 100 – a2 = k é inteiro. Portanto, b = 2k é um número par. Como 0 < a < 10, os possíveis valores para 100 – a2 são: 99, 96, 91, 84, 75, 64, 51, 36, 19. Destes, apenas 64 e 36 são quadrados perfeitos. Logo, b = 2dXXX 64= 16 e b = 2dXXX 36= 12 são os únicos valores que b pode assumir. 4. 6 __ 5 cm 5. AB' = 100√ ___ 97 cm. 6. a) 30 cm b) 14,40 cm c) m = 19,20 cm e n = 10,80 cm 7. H = 45 cm e L = 80 cm. 8. x = dXX6– dXX2 9. 48 E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. B 2. D E.O. UERJ Exame Discursivo 1. —— ____ PS ——PQ = 5 2. a) a = 13, b = 5 e c = 12 b) De modo análogo ao item (a), vem: _____ 1 x – 1 + _____ 1 x + 1 = x + 1 + x – 1 ____________ x2 – 1 = ______ 2x x2 – 1 Assim, b = 2x e c = x2 – 1. e, portanto, a=√ _______________ 4x2 + x4 – 2x2 + 1 = √ ________ (x2 + 1)2 = x2 + 1. E como x é um inteiro maior do que 1, podemos concluir que x2 + 1, 2x e x2 - 1 são inteiros. c.q.d. 3. a) √ ______ a2 + b2 ______ 5 b) S __1 S2 = 1 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. B 2. E 3. D 4. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) ——AB = 3r√ __ 2 _________ 2 b) ——CO = r√ __ 3 2. a) A C B b) 59, 5 km c) A diferença de percurso, em km, é: 2 ∙ 59,5 – 85 = 34 km. d) Valor mínimo ≈ 106,86 3. ——AB = 21 m e ——EF = 23 m 4. a) a = 1 cm b = 4 cm c = 5 cm b) c = 10 cm 5. √ __ 7∙ (√ __ 2– 1)
93VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. a) No semicírculo, x² + 5² = 6² ⇔ x = dXXX 11(maior que 3). Logo, o retalho semicircular poderá ser usado para a obtenção da tira. b) No triângulo: _____ 6 – x 6 = ____ 10 16 ⇔ x = 2,25 (menor que 2,5). Logo, o retalho triangular não poderá ser usado para a obtenção da tira. 7. a) PR = __5 4 b) AB = __5 4
94VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UFTM) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km. Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a: a) 8 dXXX 17 . b) 12dXXX 19 . c) 12dXXX 23 . d) 20dXXX 15 . e) 20dXXX 13 . 2. (UFSM) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a) 2,29. b) 2,33. c) 3,16. d) 3,50. e) 4,80. 3. (PUC-SP) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte. Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo, cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros: a) _____ 5dXX3 3 . d) 5√ __ 3 . b) _____ 8dXX3 3 . e) 10√ __ 3 . c) ______ 10dXX3 3 . 4. (IFSP) A base de um triângulo isósceles mede 3dXX3 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é: a) 3. d) 1 + dXX3 . b) 2. e) 2 – dXX3 . c) dXX3 . 5. (UFSCar) Se os lados de um triângulo medem x, x + 1 e x + 2, então, para qualquer x real e maior que 1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a: a) x/(x + 1). d) (x – 2)/3x. b) x/(x + 2). e) (x – 3)/2x. c) (x + 1)/(x + 2). 6. (UFSCar) Na figura, ADB é reto, BAC = a, CAD = b, ——AC = 4 dm e ——BC = 1 dm. A 4 1 C B D α β TRIGONOMETRIA NUM TRIÂNGULO QUALQUER COMPETÊNCIA(s) 2 e 3 HABILIDADE(s) 7, 8, 9 e 14 MT AULAS 13 E 14
95VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias Sabendo que cos (a + b) = __4 5 , o valor de sen a é: a) __2 3 . d) __1 5 . b) __3 5 . e) 1 __ 6 . c) __2 5 . 7. (UFJF) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB = 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: a) _______ 160dXX3 3 m. d) _____ 8dXX3 3 m. b) ______ 80dXX3 3 m. e) ____ dXX3 3 m. c) ______ 16dXX3 3 m. 8. (CFT-MG) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha até o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A. Dado: sen20º = 0,342 Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um ângulo de 30° em relação à base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, é de, aproximadamente: a) 190. c) 260. b) 234. d) 320. 9. (UFSM) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é: a) ____ 8dXX6 3 . d) 8(dXX2+ dXX3 ). b) 4dXX6 . e) ____ 2dXX6 3 . c) 8dXX2+ dXX3 . 10. (UFPB) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos B^ C A e C^ AB mediam, respectivamente, 30º e 105º, conforme ilustrado na figura a seguir. Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em metros, do ponto A ao ponto B é de: a) 200dXX2 . d) 100dXX2 . b) 180dXX2 . e) 50dXX2 . c) 150dXX2 .
96VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Fixação 1. (UFG) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos. O seno do ângulo indicado por a na figura vale: a) ________ 4dXX3– 3 10 . d) ________ 4 + 3dXX3 10 . b) _______ 4 – dXX3 10 . e) ________ 4dXX3+ 3 10 . c) ________ 4 – 3dXX3 10 . 2. (FGV) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a: a) 4 + dXX2 . d) 4 + dXX5 . b) 4 + dXX3 . e) 2(2 + dXX2 ). c) 6. 3. (Fatec) Sejam a, b e g, as medidas dos ângulos internos de um triângulo. Se sena/senb = 3/5, sena/seng = 1 e o perímetro do triângulo é 44, então a medida do maior lado desse triângulo é: a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25. 4. (Eear) Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 30º, seu lado oposto a esse ângulo mede a) __R 2 c) 2R b) R d) ___ 2R 3 5. (Ufrgs) As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de seus ângulos internos são, portanto: a) __1 8 ,__1 8 ,__1 2 . d) __1 2 ,__1 2 ,__1 4 . b) __1 4 ,__1 4 ,__1 8 . e) __1 2 ,__1 2 ,__7 8 . c) __1 4 , __1 4 ,__7 8 . 6. (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale: a) __1 2 . d) __4 5 . b) __2 3 . e) __5 6 . c) __3 4 . 7. (IFSUL) Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto A, a prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto C, como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que a distância da igreja à prefeitura é de 10 metros, a distância da prefeitura à livraria corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado por essas duas direções é 60º, a distância da livraria à igreja é a) 17√ __ 5m c) 25√ __ 7 m b) 5√ __ 7m d) 7√ __ 5 m 8. (UFPB) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir. Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: • o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); • o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária. Supondo que AB = 300dXX3 m, BC = 200 m B^ AP = 20º e C ^ B N = 50º, é correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m. d) 706 m. b) 702 m. e) 708 m. c) 704 m. 9. (PUC-RJ) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos segmentos AC e AB é igual a: a) dXX2 . d) dXX3 . b) __3 2 . e) 2. c) _______ 1 + dXX5 2 .
97VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 10. (Udesc) Quadros interativos são dispositivos de interface humana que permitem ao usuário interagir com as imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou o quadro branco. Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta da caneta até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que une o sensor à ponta da caneta. Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 2 metros de altura, representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela, gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas na tabela: Ponto Distância Ângulo A 2 m 60° B 2 m 30° C 1 m 30° O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é: a) escaleno. b) equilátero. c) isósceles de base BC. d) isósceles de base AB. e) retângulo em A. E.O. Complementar 1. (FEI) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC mede 60°, então o lado AC mede: a) dXXX 37cm. d) 3dXX3 cm. b) dXXX 13cm. e) 2dXX2 cm. c) 2dXX3 cm. 2. (Ime) Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo  . Sabe-se que: ——AC = ——AD, r = —— ___ AB ——AC e que ^ C = a . Portanto o valor de sen2 a é a) _______ 3r – 1 4 d) _______ 3r + 1 4r b) _______ 3r – 1 4r e) _______ 3r + 1 4 c) ______ r + 3 4 3. (ITA) Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que ——BM = ——MN = ——NC. Sendo a a medida, em radianos, do ângulo MÂN, então o valor de cosa é: a) ___ 13 14 . b) 14 ___ 15 . c) ___ 15 16 . d) ___ 16 17 . e) ___ 17 18 . 4. (Mackenzie) Na figura acima, ABC e AED são triângulos retângulos. Se m( ——AC) = ℓ, m(BÂC) = a, m(A^ DE) = β e m(A^ B C) = (D^ AE) = 90º então m(——BD) é a) ℓ · cosa b) ℓ · sen2 a c) ℓ · cosa · senβ d) ℓ · cos2 _____a senβ e) ℓ · sen2 _____a cosβ 5. (ITA) Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados ——AB, ——BC e ——AC respectivamente, tais que a) P é o ponto médio de ——AB; b) M é o ponto médio de ——BC; c) PN é a bissetriz do ângulo A^ PC. Então, o comprimento do segmento ——MN é igual a a) √ ________ 10 – 4√ __ 3 d) √ ________ 10 – 5√ __ 3 b) √ _______ 5 – 2√ __ 3 e) √ _______ 5√ __ 3– 5 c) √ _______ 6 – 3√ __ 3 E.O. Dissertativo 1. (CFT-RJ) Considerando que ABC é um triângulo tal que AC = 4 cm, BC = d13XXXcm e ^ A = 60º calcule os possíveis valores para a medida do lado AB. 2. (Ufpr) Considere o triângulo a seguir. a) Quanto mede o ângulo a? b) Quanto mede x?
98VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (FGV) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: 352 = 1225; 362 = 1296; 372 = 1369. b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm e 16 cm. Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? 4. (UFPE) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medemse os ângulos C^ B A = 57° e A ^ C B = 59°. Sabendo que ——BC mede 30 m, indique, em metros, a distância ——AB. (Dado: use as aproximações sen(59°) ≈ 0,87 e sen(64°) ≈ 0,90) 57º 59º C B A 5. (Ufjf-pism – Adaptado) Seja ABC um triângulo cujas medidas dos ângulos internos formam uma progressão aritmética não constante e cujos lados AB e AC têm medidas √ __ 6 cm e 3 cm, respectivamente. a) Prove que um dos ângulos internos desse triângulo mede 60º. b) Suponha que o ângulo A^ B C seja o que mede 60º. Determine a medida do ângulo A^ CB. 6. (UFPE) Na ilustração a seguir, a casa situada no ponto B deve ser ligada com um cabo subterrâneo de energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a distância ——AB, são medidos a distância e os ângulos a partir de dois pontos O e P, situados na margem oposta do rio, sendo O, A e B colineares. Se O^ P A = 30°, P^ O A = 30°, A^ P B = 45° e OP = (3 + dXX3 ) km, calcule ——AB em hectômetros. 7. (Uece – Adaptado) Sejam x, y e z as medidas dos lados do triângulo XYZ e R a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Se o produto dos senos dos ângulos internos do triângulo é k · x · y · z _____________ R3 determine o valor de k. 8. Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15. a) Quais são esses números? b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo. 9. A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90° e 60°, respectivamente, como é mostrado na figura a seguir. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual a dXX3+ 1, determine os raios dos círculos. O1 A B O2 60º 10. Na figura a seguir, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta ——AB é secante a ela, o ângulo b mede 60° e sen a = (dXX3 ) ______ 4 . A B 0 α β a) Determine sen O^ AB em função de ——AB. b) Calcule ——AB. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.
99VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A. Considere que: • o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas; • à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC. Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y = 4 + sen(x). b) y = 4 + cos(x). c) y = sen(x) + √ ___________ 16 – cos 2 (x) . d) y = cos(x) + √ ___________ 16 – sen 2 (x) . 2. (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir: A B C D Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a: a) 60°. b) 45°. c) 30°. d) 15°. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ 2017) Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a partir dos pontos A, B e T, um técnico determinou as medidas AT = 32 m; BT = 13 m e A^ T B = 120º, representadas no esquema abaixo. Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B, definidos pelo técnico nas margens desse lago. 2. (UERJ) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ângulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente. A B C Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, nas seguintes condições: a) sen A + sen B + sen C = (3 + √ __ 3 ) ________ 2 b) ——AB = 2 ——BC 3. (UERJ) A figura 1 representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo retângulo isósceles em que ——AB = ——BC = ——CD = 2 m. Dobrando-a nas linhas BE e CE, constrói-se um objeto que tem a forma de uma pirâmide. B E B C A = D C D E A Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO A VIDA LÁ É MAIS CARA... Só é possível chegar a Fernando de Noronha de barco ou avião. Por isso, tudo fica mais caro. Veja alguns exemplos – Milheiro de tijolos Diferença em relação ao Recife: +840% – Mercurocromo Diferença em relação ao Recife: +600% – Quilo de sal Diferença em relação ao Recife: +300% – Quilo de tomate Diferença em relação ao Recife: +190% – Botijão de gás Diferença em relação ao Recife: +140% – Quilo de batata Diferença em relação ao Recife: +82% – Litro de gasolina Diferença em relação ao Recife: +68% (Veja, 12/07/2000.)
100VOLUME 2 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (UERJ) Distância do Recife Tempo de 545 quilômetros Fernando de Noronha Rio Grande do Norte Paraíba Pernambuco Recife Natal Oceano Atlântico barco 50 horas avião 1h35min Distância de Natal Tempo de 360 quilômetros barco 36 horas avião 1h10min Considere os pontos N, R e F para designar, respectivamente, Natal, Recife e Fernando de Noronha. Sabendo-se que o ângulo NFR é igual a 30°, calcule a medida aproximada do segmento NR, distância entre as cidades de Natal e Recife. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2. O seno do ângulo H^ AF é igual a: a) ____ 1 2√ __ 5 . d) ___2 √ __ 5 . b) ___1 √ __ 5 . e) ____ 3 √ ___ 10 . c) ____ 2 √ ___ 10 . 2. (Unesp) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de: a) 80 ∙ √ _________ 2 + 5 ∙ √ __ 3 . b) 80 ∙ √ _________ 5 + 2 ∙ √ __ 3 . c) 80 ∙ √ __ 6 . d) 80 ∙ √ _________ 5 + 3 ∙ √ __ 2 . e) 80 ∙ √ ______ 7 ∙ √ __ 3 . 3. (Unicamp 2017) Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que ——AB = 2 cm, ——BC = 1 cm e ——CD = 5 cm. Então, o ângulo θ é igual a: a) 15º. c) 45º. b) 30º. d) 60º. 4. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento. A medida do ângulo θ é igual a a) 105º. c) 135º. b) 120º. d) 150º. 5. (Unifesp) Em um triângulo com lados de comprimentos a, b, c, tem-se (a + b + c)(a + b – c) = 3ab. A medida do ângulo oposto ao lado de comprimento c é: a) 30°. d) 90°. b) 45°. e) 120°. c) 60°.