CadernoEO-MatemátiaV5_2022_compressed

Caro aluno O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às melhores universidades do Brasil. Ao elaborar o seu Sistema de Ensino, o Hexag Medicina considerou como principal diferencial em relação aos concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios: Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixação da matéria dada em aula. Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, buscando a consolidação do aprendizado. Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade. Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais vestibulares do Brasil. Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparando o aluno para esse tipo de exame. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das universidades públicas de São Paulo. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase das universidades públicas de São Paulo Uerj (exame de qualificação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolidação do aprendizado para o vestibular da Uerj. Uerj (exame discursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do aprendizado para o vestibular da Uerj. Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado receberão o encarte Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manuseio, a que conteúdo do livro teórico corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo a diagnosticar em quais assuntos você encontra mais dificuldade. Essa é uma inovação do material didático. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande aliado para seu sucesso nos vestibulares. Bons estudos!

SUMÁRIO MATEMÁTICA ÁLGEBRA E SEQUÊNCIAS 3 AULAS 35 E 36: FUNÇÃO INVERSA E PARIDADE 4 AULAS 37 E 38: NOÇÕES DE SEQUÊNCIA E PROGRESSÃO ARITMÉTICA 10 AULAS 39 E 40: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E SUA INTERPOLAÇÃO 17 AULAS 41 E 42: PROBLEMAS ENVOLVENDO PA E PG 26 AULAS 43 E 44: INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS 34 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 39 AULAS 35 E 36: COMBINAÇÃO SIMPLES 40 AULAS 37 E 38: BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL 46 AULAS 39 E 40: PROBABILIDADE: ADIÇÃO 50 AULAS 41 E 42: PROBABILIDADE CONDICIONAL 56 AULAS 43 E 44: ESTATÍSTICA 63 GEOMETRIAS ESPACIAL E ANALÍTICA 79 AULAS 35 E 36: ESFERAS 80 AULAS 37 E 38: INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 90 AULAS 39 E 40: GEOMETRIA ANALÍTICA: DISTÂNCIA E PONTO MÉDIO 99 AULAS 41 E 42: GEOMETRIA ANALÍTICA: INCLINAÇÃO DA RETA E COEFICIENTE ANGULAR 107 AULAS 43 E 44: GEOMETRIA ANALÍTICA: POSIÇÃO RELATIVA E PERPENDICULARISMO 116

MATEMÁTICA MATEMÁTICA e suas tecnologias 5 ÁLGEBRA E SEQUÊNCIAS

4 VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (Espcex (Aman)) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é; a) y = __x 2 + 1. b) y = x + ___ 1 2 . c) y = 2x – 2. d) y = –2x + 2. e) y = 2x + 2. 2. (UERN) Seja f(x) uma função do primeiro grau que intercepta os eixos cartesianos nos pontos (0, 4) e (2, 0). O produto dos coeficientes da função inversa de f(x) é a) 2. b) –1. c) 4. d) –2. 3. (UEPB) Dada a função bijetora f(x) = 3x + 2 ______ x – 1 , D(f) = R – {1}, o domínio de f–1(x) é: a) R – {3} b) R c) R – {1} d) R – {–1} e) R – { ___ 2 3 } 4. (CFT-MG) Analise o gráfico da função abaixo. O gráfico que representa corretamente sua função inversa é: a) b) c) d) 5. (UFSJ) Considere a função g(x) = ______ x – 3 2x + 1 . O domínio de g(x) e a função inversa de g(x) são, respectivamente, a) {x [ R | x ≠ – __1 2 } e g–1(x) = ______ x + 3 2x – 1 . b) {x [ R | x ≠ – __1 2 e x ≠ 3 } e g–1(x) = ______ –x – 3 2x – 1 . c) {x [ R | x ≠ – __1 2 } e g–1(x) = ______ –x – 3 2x – 1 . d) {x [ R | x ≠ – __1 2 e x ≠ 3 } e g–1(x) = _______ x + 3 –2x + 1 . FUNÇÃO INVERSA E PARIDADE COMPETÊNCIA(s) 5 HABILIDADE(s) 19, 20 e 21 MT AULAS 35 E 36

5VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (UERN) Se o gráfico da função inversa de uma função f(x) do 1º grau tem como raiz x = 6 e o coeficiente angular de f(x) é igual a 2, então o gráfico que melhor representa f(x) é: a) b) c) d) 7. (UFSJ) Sendo a função f(x) = ax + b, tal que f(f(x)) = 9x + 8, é CORRETO afirmar que: a) f–1(x) = ___ x 3 + 2. b) f(0) = 8. c) f(x) = 3x + 4. d) f–1(x) = (x – 2) ______ 3 . 8. (ESPM ) Sejam f e g funções reais tais que f(2x + 1) = 2x + 4 e g(x + 1) = 2x – 1 para todo x [ R. Podemos afirmar que a função f o g(x) é igual a: a) 2x – 1. b) x + 2. c) 3x + 1. d) 2x. e) x – 3. 9. (CFTCE) Dadas as funções reais g(x) = 2x – 3 e f(g(x)) = x2 – 2x + 1, então f(1) é igual a: a) 0. b) 1. c) –1. d) 2. e) –2. 10. (UFPA) O custo c de produção de uma peça em função do número n de produtos é dado pela fórmula c(n) = ______ 1 1 + n2 A função inversa desta fórmula é: a) n = _____ 1 1 + c2 . b) n = _____ 1 1 – c2 . c) n = dXXXXX _____ 1 – c c . d) n = dXXXXX _____ 1 + c c . e) n = dXXXXXX 1 + c2 _____ c . E.O. Fixação 1. (PUC-MG) A fórmula C = 5(F-32)/9, onde F ≥ –459,67, expressa a temperatura C, em graus Celsius, como uma função da temperatura F, em graus Fahrenheit. Então, é correto afirmar: a) F = _______ 32 + 9C 160 . b) F = ________ 9C – 160 5 . c) F = 9C + 160 ________ 5 . d) F = 160 – 9C ________ 5 . 2. (UFJF) Abaixo, encontram-se representados os gráficos das funções f: R → R e g: R → R. Sabendo que f possui inversa f–1: R → R, o valor de f o g o f–1 (2) é: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 3. (Unioeste) Sejam f e g duas funções, ambas com domínio A e imagem B, subconjuntos de R e que admitem inversa. Seja f–1 a função inversa de f e g–1 a função inversa de g. Suponha ainda que f(g–1(x)) = g(f–1(x)) para todo x no domínio das inversas. É correto afirmar que: a) (f–1 o g)(x) = (g–1 o f)para todo x [ A. b) (f o g)(x) = (g o f)(x) para todo x [ A. c) (f o f)(x) = (g o g)(x) para todo x [ A. d) (f o f–1)(x) = (g o g–1)(x) para todo x [ A. e) f–1(x) = g(x) para todo x [ A.

6 VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (UEPB) Uma função inversível f, definida em R – {–3} por f(x) =_____ x + 5 x + 3 , tem contradomínio R – {y0 } onde R é o conjunto dos números reais. O valor de y0 é: a) –1. b) 3. c) 2. d) 1. e) zero. 5. (UFT) Seja f: ] –∞, 2] → [–1, ∞[ definida por f(x) = x2 – 4x + 3. Então, a função inversa f-1 é: a) f–1(x) = 2 – √ _____ x + 1 b) f–1(x) = dXXXXX x + __1 2 c) f–1(x) = – √ _____ x + 1 d) f–1(x) = 2 + √ _____ x + 1 6. (UFV) Seja f a função real tal que f(2x – 9) = x para todo x real. A igualdade f(c) = f–1 (c) se verifica para c igual a: a) 9. b) 1. c) 5. d) 3. e) 7. 7. (Udesc) Sejam f e g as funções definidas por f(x)= 2x + 18 _______ x + 1 e g(x) = 3 dx + 1 XXXXX . O conjunto solução da inequação f(g–1(x)) ≤ 1 + (g(x))3 é: a) {x [ R | x < 0 ou x ≥ 2}. b) {x [ R | x ≤ –2 ou 0 < x ≤ 2}. c) {x [ R | –2 ≤ x < 0 ou x ≥ 2}. d) {x [ R | 0 < x ≤ 2}. e) {x [ R | x ≤ 2 e x ≠ 0}. 8. (UFES) A função cujo gráfico está representado na figura a seguir tem inversa. O gráfico de sua inversa é: a) b) c) d) e) 9. (UESC) Uma mensagem pode ser codificada de inúmeras maneiras. Se, por exemplo, a cada letra do alfabeto for associado um número inteiro positivo n, considerando-se uma função f(n), de conhecimento apenas do remetente e do destinatário da mensagem, é possível estabelecer uma forma de codificação. Nesse caso, a função f é usada para codificar e sua inversa f–1, para decodificar a mensagem. Considerando A = 1, B = 2,... , W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26 e f(n) = n + 3 para codificar a letra U, ao invés de transmitir o número associado a ela, que é 21, transmite-se a letra associada a f(21) = 24, que é X. Para decodificar a letra X recebida, observa-se que ela corresponde a 24. Logo, f–1(24) = 21, que é U. Admitindo-se, hipoteticamente, que a função f(x) = log2 (2x + 1), x ≥ 0 possa ser considerada função-chave para codificação de certo padrão de mensagens, a expressão de sua inversa a ser utilizada na decodificação dessas mensagens é: a) 2(x – 1) – __1 2 . b) 2(x + 2) – __1 2 . c) 2 – 2(2x + 1). d) log (2x – 1). e) __________ 2 log(2x – 1) . 10. (Insper) Analisando o comportamento das vendas de determinado produto em diferentes cidades, durante um ano, um economista estimou que a quantidade vendida desse produto em um mês (Q), em milhares de unidades, depende do seu preço (P), em reais, de acordo com a relação Q = 1 + 4 · (0, 8)2P. No entanto, em Economia, é mais usual, nesse tipo de relação, escrever o preço P em função da quantidade Q. Dessa forma, isolando a variável P na relação fornecida acima, o economista obteve: a) P = log0,8 dXXXXX _____ Q – 1 4 . b) P = log0,8 ( _____ Q – 1 8 ). c) P = 0,5 · 0,8d XXXXX _____ Q – 1 4 . d) P = 0,8d XXXXX _____ Q – 1 8 . e) P = 0,5 ·log0,8 ( _____ Q 4 – 1 ).

7VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Complementar 1. (UFPB) Considere a função f: [0, 2] → [0, 3], definida por: f(x) = x2 , 0 ≤ x ≤ 1 2x – 1, 1 < x ≤ 2 A função inversa de f está melhor representada no gráfico: a) b) c) d) e) 2. (UFU) Seja f a função real de variável real cujo gráfico está representado na figura a seguir. Sejam g a função inversa de f e h a função definida por h(x) = –g(–x). Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico da função h. a) b) c) d) 3. (UFSM) O gráfico do desempenho de certo candidato à Câmara Federal foi ajustado através da função f(x) = logn x + m e está apresentado na figura, onde x representa o número de dias que precediam o pleito e f(x) o número de votos em milhares de unidades. Sabendo que g(x) = f(x) – 3, o valor de g–1 (–4) é: a) 1. b) 3. c) 9. d) 27. e) 81. 4. (Uespi) Uma função f, tendo como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, satisfaz f(3 + x) = f(3 – x), para todo x real. Se f(x) = 0 admite exatamente quatro raízes reais, quanto vale a soma destas raízes? a) 12. b) 11. c) 10. d) 9. e) 8. 5. (Espcex (Aman)) Considere a função bijetora f: [1, + `) → (–`, 3] definida por f(x) = –x2 + 2x + 2 e seja (a, b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da expressão a + b é: a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.

8 VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E. O. Dissertativo 1. (CFT-CE) f(x) = 3x – 2 e g(f(x)) = f( __x 3 + 2) são funções reais. Calcule g(7). 2. (UFBA) Determine f–1(x), função inversa de f: R – {3} → R – { ___1 3 }, sabendo que f(2x – 1) = ______ x 3x – 6 para todo x [ R – {2}. 3. (UFRRJ) Seja a função f: R → R, definida por f(x) = 3x + 4a2 , onde a [ R Encontre os possíveis valores de a de modo que seja satisfeita a desigualdade f-1(8) ≥ 0. 4. (CFT-CE) Considere a função f(x) = _______ 3x – 1 1 – 2x x ≠___1 2 . Calcule f(f–1 (x)), onde f–1(x) é a lei da função inversa de f. 5. (UFRRJ) Determine o valor real de a para que f(x) = ______ x + 1 2x + a possua como inversa a função f –1(x) = ______ 1 – 3x 2x – 1 6. (Unirio) Considerando-se a função f: R → R, x → y = 2x + 1 a) determine a lei que define a função f-1; b) calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f e f–1, o eixo dos y e a reta de equação x = 1. 7. (ESPM) Seja f(x) = ____ 1 x+1 uma função r eal definida para x > 0 e seja f-1(x) e sua função inversa. Qual é a solução da equação f(x) = f-1(x)? 8. (UFBA) O gráfico representa a função f: R → ]1, +∞[; f(x) = a + b · 2nx, sendo a, b e n constantes reais. A partir dessas informações, calcule f-1(x). 9. (ITA) Analise se f: R → R, f(x) = 3 + x2 , x ≥ 0 3 – x2 , x < 0 é bijetora e, em caso afirmativo, encontre f–1: R → R. 10. (CFT-CE) Considere a função quadrática f(x) = (p2 – 1) x2 + 2 (p - 1) x + 1. Então determine o valor de "p" que, para todo "x" real, f(x) > 0. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Considere a função f: f( 3 d XXXXXX _____ x + 3 2 ) = 2x2 – 18 a) Determine suas raízes. b) Calcule [f(1) + f(–1)] ____________ 2 . E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Considere o gráfico da função y = f(x) exibido na figura a seguir. O gráfico da função inversa y = f-1(x) é dado por: a) b) c) .

9VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias d) E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Uma placa retangular de madeira, com dimensões 10 × 20 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura abaixo. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por xCG(w) = __________ 400 – 15w 80 – 2w e yCG(w) = 400 + (w – 20)2 _______________ 80 – 2w em que xCG é a coordenada horizontal e yCG é a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem. a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm2 . b) Determine uma expressão geral para w(xCG), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada xCG, e calcule yCG quando xCG = __7 2 cm. 2. (Unesp) Determine a função inversa de f(x) = _____ x - 1 x . Gabarito E.O. Aprendizagem 1. C 2. B 3. A 4. A 5. C 6. A 7. D 8. D 9. B 10. C E.O. Fixação 1. C 2. E 3. A 4. D 5. A 6. A 7. C 8. D 9. A 10. A E.O. Complementar 1. E 2. D 3. E 4. A 5. B E. O. Dissertativo 1. 7. 2. y–1 = ______ 9x + 1 3x – 1 = f–1(x). 3. – √ __ 2≤ a ≤ √ __ 2 . 4. f(f-1(x)) = x. 5. a = 3. 6. a) f -1 (x) = _____ x – 1 2 . b) ___ 9 4 . 7. x = √ __ ______ 5- 1 2 8. f-1(x) = 1 – log2 (x – 1). 9. f –1(x) = √ ____ x – 3 , para x ≥ 3 √ ____ 3 – x , para x < 3 10. p > 1. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. a) Raízes = 0 e 3 dXX3 . b) 8. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) A(w) = 200 – 5w. Assim, quando A(w) = 150 cm2 , temos que: xCG(10) = ____ 25 6 cm yCG(10) = ____ 25 3 cm. b) w(xCG) = 400 – 80xCG ___________ 15 – 2xCG yCG(15) = ____ 17 2 cm. 2. f -1(x) = y-1 = _____ 1 1 - x .

10VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UPE) Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus lados são expressas, em centímetros, por números naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a área do triângulo UPE? a) 15 cm2 . b) 25 cm2 . c) 125 cm2 . d) 150 cm2 . e) 300 cm2 . 2. (Unitau) Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a: a) 2c. b) c/3. c) a/4. d) b. e) a - 2b. 3. (PUC-RJ) Se a soma dos quatro primeiros termos de uma progressão aritmética é 42, e a razão é 5, então o primeiro termo é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 4. (Udesc) Sejam x, y, z, números reais tais que a sequência ( x, 1, y, __1 4 , z ) forma, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x + y + z é: a) – __ 3 8 . b) ___ 21 8 . c) ___ 15 8 . d) 2. e) – ___ 19 8 . 5. (UECE) A sequência de triângulos equiláteros, ilustrada na figura a seguir, apresenta certo número de pontos assinalados em cada triângulo. Seguindo a lógica utilizada na construção da sequência, o número de pontos que estarão assinalados no oitavo triângulo é: a) 65. b) 54. c) 45. d) 56. 6. (UFBA) Na questão a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos. Em um paralelepípedo retângulo P, a altura h, a diagonal da base d e a diagonal D são, nessa ordem, os termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão r = 1. Sendo a base do paralelepípedo P um quadrado, pode-se afirmar: 01) h. d . D = 60 cm3 . 02) O volume de P é V = 16 cm3 . 04) A área total de P é S = 4(4 + 3√ __ 2 )cm2 . 08) A área do círculo inscrito na base de P é S = 2π cm2 . 16) O perímetro do triângulo cujos lados coincidem com h, d, D é p = 12 cm. 7. (UFTM) Os valores das prestações mensais de certo financiamento constituem uma PA crescente de 12 termos. Sabendo que o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 e o da 12ª é R$ 2.150,00, pode-se concluir que o valor da 10ª prestação será igual a: a) R$ 1.750,00. b) R$ 1.800,00. c) R$ 1.850,00. d) R$ 1.900,00. e) R$ 1.950,00. NOÇÕES DE SEQUÊNCIA E PROGRESSÃO ARITMÉTICA COMPETÊNCIA(s) 1, 5 e 6 HABILIDADE(s) 2, 3, 21, 24 e 26 MT AULAS 37 E 38

11VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 8. (Acafe) Em janeiro de 2010, certa indústria deu férias coletivas a seus funcionários, e a partir de fevereiro recomeçou sua produção. Considere que a cada mês essa produção cresceu em progressão aritmética, que a diferença de produção dos meses de abril e outubro de 2010 foi de 420 itens e que em outubro a produção foi de 1.120 itens. Desta forma, pode-se concluir que o número de itens produzidos em agosto de 2010 foi: a) 1.040. b) 910. c) 820. d) 980. 9. (UFRGS) Nas malhas de pontos da figura abaixo, dois pontos adjacentes, na horizontal ou vertical, encontram-se a distância de 1 centímetro. Considerando a sucessão de quadriláteros desenhados em cada etapa da figura, a área do quadrilátero da vigésima etapa, em cm2 é: a) 100. b) 200. c) 400. d) 800. e) 1.600. 10. (UEL) Uma progressão aritmética de n termos tem razão igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem ímpar, os de ordem par formarão uma progressão: a) aritmética de razão 2. b) aritmética de razão 6. c) aritmética de razão 9. d) geométrica de razão 3. e) geométrica de razão 6. E.O. Fixação 1. (Unitau) Seja f(n) uma função, definida para todo inteiro n, tal que f(0) = 0 e f(n + 1) = f(n) + 1. Então o valor de f(200)é: a) 200. b) 201. c) 101. d) 202. e) 301. 2. (Unioeste) Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000? a) 65. d) 49. b) 80. e) 67. c) 69. 3. (Unemat) Dado uma PA cujo a1 é o quádruplo de sua razão e a20 é igual a 69, sua razão será: a) 2. d) 5. b) 6. e) 3. c) 4. 4. (UFSM) As doenças cardiovasculares são a principal causa de morte em todo mundo. De acordo com os dados da Organização Mundial da Saúde, 17,3 milhões de pessoas morreram em 2012, vítimas dessas doenças. A estimativa é que, em 2030, esse número seja de 23,6 milhões. Suponha que a estimativa para 2030 seja atingida e considere (an ), n ∈ N a sequência que representa o número de mortes (em milhões de pessoas) por doenças cardiovasculares no mundo, com n = 1 correspondendo a 2012, com n = 2 correspondendo a 2013 e assim por diante. Se (an ) é uma progressão aritmética, então o 8º termo dessa sequência, em milhões de pessoas, é igual a: a) 19,59. b) 19,61. c) 19,75. d) 20,10. e) 20,45. 5. (FGV) Para todo n natural não nulo, sejam as sequências (3, 5, 7, 9, ..., an , ...) (3, 6, 9, 12, ..., bn , ...) (c1 , c2 , c3 , ..., cn , ...) com cn = an + bn . Nessas condições, c20 é igual a: a) 25. b) 37. c) 101. d) 119. e) 149. 6. A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos números 3 e 4 ao mesmo tempo é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 13. e) 17. 7. (UEL) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética, cujo termo central é: a) 45. b) 52. c) 54. d) 55. e) 57.

12VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 8. (ESPM) A figura abaixo mostra uma série de painéis formados por uma faixa de ladrilhos claros envoltos em uma moldura de ladrilhos escuros. Num desses painéis, o número de ladrilhos escuros excede o número de ladrilhos claros em 50 unidades. A quantidade total de ladrilhos desse painel é igual a: a) 126. b) 172. c) 156. d) 224. e) 138. 9. (Udesc) Um professor de matemática, após corrigir uma prova aplicada em uma turma de 30 alunos, percebeu as seguintes peculiaridades em relação às notas atribuídas: § cada aluno obteve uma nota diferente; § a maior nota alcançada foi 9,2; § ordenando as notas em uma escala crescente, a diferença entre quaisquer duas notas consecutivas foi 0,3. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de alunos desta turma que não alcançou, nesta prova, nota igual ou superior a 6,0 é igual a: a) 9. b) 11. c) 19. d) 21. e) 12. 10. (UEL) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas. Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores triangulares com as respectivas quantidades de barras de mesmo comprimento. Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares, qual é o número N de barras para n setores triangulares? a) N = 3 + 2n–1 para n ≥ 1. b) N = 3n para n ≥ 1. c) N = 3n2 + 2n para n ≥ 1. d) N = 3 + 2(n2 – 1) para n ≥ 1. e) N = 1 + 2n para n ≥ 1. E.O. Complementar 1. (UFF) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. Nesse papiro encontramos o seguinte problema: “Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.” Fragmento do papiro de Rhind Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de: a) _____ 115 3 pães. b) ____ 55 6 pães. c) 20 pães. d) ____ 65 6 pães. e) 35 pães. 2. (ITA) Sabe-se que (x + 2y, 3x – 5y, 8x – 2y, 11x – 7y + 2z) é uma progressão aritmética com o último termo igual a −127. Então, o produto xyz é igual a: a) −60. b) −30. c) 0. d) 30. e) 60. 3. (UECE) Seja (an ) uma progressão aritmética crescente, de números naturais, cujo primeiro termo é igual a 4 e a razão é igual a r. Se existe um termo desta progressão igual a 25, então a soma dos possíveis valores de r é: a) 24. b) 28. c) 32. d) 36.

13VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (IME) Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de seus quadrados é S2 . Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da equação x2 – S1 x + (S2 – __1 2 ) = 0. A razão desta PA é: a) ___ 1 6 . b) √ __ ___ 6 6 . c) √ __ 6 . d) √ __ ___ 6 3 . e) 1. 5. (UFRGS) O quociente entre o último e o primeiro termo de uma sequência de números é 1.000. Os logaritmos decimais dos termos dessa sequência formam uma progressão aritmética de razão ___1 2 . Então, o número de termos da sequência é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. E.O. Dissertativo 1. A respeito das sequências a seguir, faça o que se pede em cada item: a) Dada a sequência definida por: a1 = 2 an = an–1 + 2n' (n ∈ N, n > 1) escreva os quatro primeiros termos. b) Encontre a lei de formação, em função da posição, da sequência (2, 5, 10, 17, 26, ...). c) Dada a sequência definida por an = 4n – 50, n ∈ N*, determine a posição do menor número positivo desta sequência. 2. (UFC) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Determine a tangente do menor ângulo agudo deste triângulo. 3. (UFPE) Quantos números existem entre 1995 e 2312 que são divisíveis por 4 e não são divisíveis por 200? 4. (UFV) Considere o conjunto A = {x ∈ Z | 3000 < x < 7000 e x é múltiplo de 5}. Determine o número de elementos de A. 5. (UFC) Considere a sequência (an ), na qual o produto a1 . a2 . ... . an = 2n . n! Determine a soma a1 + a2 + ... + a8 . 6. (FGV) a) Determine o quarto termo da sequência (a1 , a2 , a3 , ... , an, ...) dada por: an = 2an – 1 + 1 e a1 = 1, com n > 1. b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras: 1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez. 2ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor. Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferi-la é 3. Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número possível de movimentos. c) O menor número de movimentos an para transferir uma torre de n anéis, n > 1, satisfaz a relação: an + 1 = 2 (an–1 + 1). Qual é o menor número de movimentos necessários para transferir uma torre com 6 anéis? 7. (UFG) Participaram de uma reunião 52 pessoas, entre homens e mulheres. Uma a uma, todas as mulheres passaram a convidar alguns dos homens presentes para adicioná-las como contatos em suas redes sociais, de maneira que a primeira mulher convidou sete homens, a segunda convidou oito, a terceira, nove, e assim sucessivamente. Cada uma convidou um homem a mais que a anterior, até que a última das mulheres convidou todos os homens presentes. Nestas condições, calcule o número de mulheres e o de homens na reunião. 8. (UFTM) Em uma usina eólica, as torres foram instaladas em uma área retangular, formando linhas e colunas. Sabe-se que cada coluna tem 8 torres, sendo a primeira instalada a 50 m do início do terreno, e também que, em

14VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias cada coluna, as distâncias entre cada torre e a imediatamente anterior formam uma PA crescente de 7 termos, na qual a soma dos dois primeiros é 140 m e a soma dos dois últimos é 540 m. Desse modo, determine: a) a soma dos outros três termos (distâncias) dessa PA. b) a distância entre a oitava torre (última) e o início do terreno. 9. Qual é o próximo número da sequência abaixo? 18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____. 10. (UFF) Determine o terceiro termo negativo da sequência (198, 187, 176,...). E.O. Enem 1. (Enem) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro, foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) 38.000. b) 40.500. c) 41.000. d) 42.000. e) 48.000. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O vigésimo termo dessa progressão corresponde a: a) −50. b) −40. c) −30. d) −20. 2. (UERJ) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos,começando em 37. Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é: a) 6. b) 7. c) 9. d) 12. E.O. UERJ - Exame Discursivo 1. (UERJ) Duas empresas, A e B, farão doações mensais a uma creche. A tabela a seguir mostra os valores, em reais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010. Empresas janeiro fevereiro março abril maio A 12.000,00 11.400,00 10.800,00 10.200,00 9.600,00 B 300,00 600,00 900,00 1.200,00 1.500,00 A diferença entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes será mantida constante ao longo de um determinado período. Determine o mês e o ano desse período em que o valor mensal do depósito da empresa A será igual ao da empresa B.

15VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) Dada a progressão harmônica ( ___ 2 5 , ___ 4 9 , ___ 1 2 ,... ), encontre o seu sexto termo. b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma progressão harmônica. Verifique que b = _____ 2ac a + c . 4. (Unesp) A sequência dos números n1 , n2 , n3 ,..., ni , está definida por n1 = 3 ni + 1 = ni – 1 _______ ni + 2 para cada inteiro positivo. Determine o valor de n2013. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. B 3. C 4. C 5. C 6. 01 + 08 + 16 = 25 7. C 8. D 9. D 10. B E.O. Fixação 1. A 2. C 3. E 4. C 5. C 6. B 7. C 8. E 9. C 10. E E.O. Complementar 1. A 2. A 3. C 4. B 5. E E.O. Dissertativo 1. a) (2, 6, 12, 20). b) an = n2 + 1, n ∈ N*. c) a12 = 4(12) – 50 = –2 a13 = 4(13) – 50 = 2. 2. 3/4. 3. 78. 4. 799. 5. 72. 6. a) Como a1 = 1, segue que a4 = 8 x 1 + 7 = 15. b) c) a6 = 63. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a: a) 3,0 m2 . b) 2,0 m2 . c) 1,5 m2 . d) 3,5 m2 . 2. (Unicamp) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinzas. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinzas, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinzas contém a) 76 ladrilhos. b) 156 ladrilhos. c) 112 ladrilhos. d) 148 ladrilhos. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Seja A o conjunto dos 1993 primeiros números inteiros estritamente positivos. a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de 3 nem de 5? 2. (Fuvest) a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000? b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? 3. (Unicamp) Dizemos que uma sequência de números reais não nulos (a1 , a2 , a3 , a4 , ...) é uma progressão harmônica, se a sequência dos inversos ( __1 a1 , __1 a2 , __1 a3 , __1 a4 , ...) é uma progressão aritmética (PA).

16VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. Na reunião havia 23 mulheres e 52 – 23 = 29 homens. 8. a) a3 + a4 + a5 = 510 m. b) 50 + S7 = 50 + 140 + 510 + 540 = 1.240m. 9. 48. 10. A22 = - 33 E.O. Enem 1. D E.O. UERJ Exame de Qualifição 1. A 2. B E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (12.000, 11.400, 10.800,..., an , ...) P.A. a1 = 12.000 e ra = − 600 (300, 600, 900,..., bn , ...) P.A. b1 = 300 e rb = 300 an = bn ⇒ a1 + (n – 1) ra = b1 + (n – 1) rb ⇒ 12.000 + (n – 1) (– 600) = 300 + (n – 1) (300) ⇒ 12.000 – 300 = (n – 1) (600 + 300) ⇒ 11.700 = (n – 1) 900 ⇒ 13 = n – 1 ⇒ n = 14 ⇒ 1 ano + 2 meses ⇒ fevereiro de 2011 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. D E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) 132. b) 1063. 2. a) 100 múltiplos. b) 140 múltiplos. 3. a) ___4 5 . b) ___ 1 b = __1 a + __1 c _______ 2 ⇒ ___ 2 b = ______ a + c ac ⇒ b = _____ 2ac a + c . 4. n2013 = n6x335 + 3 = – ___ 1 4 .

17VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (Epcar) A sequência (x, 6, y, y + ___8 3 ) é tal, que os três primeiros termos formam uma progressão aritmética, e os três últimos formam uma progressão geométrica. Sendo essa sequência crescente, a soma de seus termos é: a) ____ 92 3 . b) ____ 89 3 . c) ____ 86 3 . d) ____ 83 3 . 2. (IFAL) Se a e b são números reais positivos tais que a sequência (a, 6, b) é uma progressão aritmética e a sequência (a, √ ___ 11 , b) é uma progressão geométrica, então o produto de a e b é: a) 6. b) 10. c) 11. d) 66. e) n.d.a. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Analise as sequências numéricas enumeradas abaixo. 1. (3, 8, 13, 18, ...) 2. (32, 16, 8, 4, 2, 1, ...) 3. (– 2, 4, – 8, 16, – 32, ...) 4. (4, 6, 8, 10, 12, 16) 3. Assinale a alternativa correta. a) Todas as sequências representam progressões aritméticas (PA). b) Apenas uma das sequências representa progressão geométrica (PG). c) Apenas a sequência 4 não representa uma PG. d) A sequência 2 representa uma PG de razão __1 2 . e) A sequência 1 representa uma PA finita. 4. (PUC-SP) Sabe-se que a sequência ( __1 3 , a, 27), na qual a > 0, é uma progressão geométrica e a sequência (x, y, z), na qual x + y + z = 15, é uma progressão aritmética. Se as duas progressões têm razões iguais, então: a) x = –4. b) y = 6. c) z = 12. d) x = 2y. e) y = 3x. 5. (UEL) Para testar o efeito da ingestão de uma fruta rica em determinada vitamina, foram dados pedaços desta fruta a macacos. As doses da fruta são arranjadas em uma sequência geométrica, sendo 2 g e 5 g as duas primeiras doses. Qual a alternativa correta para continuar essa sequência? a) 7,5 g; 10,0 g; 12,5 g ... b) 125 g; 312 g; 619 g ... c) 8 g; 11 g; 14 g ... d) 6,5 g; 8,0 g; 9,5 g ... e) 12,500 g; 31,250 g; 78,125 g ... 6. (PUC-RS) Os valores da sequência numérica (a1 , a2 , a3 , a4 , 1) estão em progressão geométrica de razão ___ –1 10 . Nessas condições, a1 vale: a) –10000. b) 10000. c) – ______ 1 10000 . d) ______ 1 10000 . e) 100. 7. (UFRGS) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos a seguir. Na etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas condições, a área restante na etapa 6 será de: a) 100 ( ___1 4 ) 5 . b) 100 ( ___ 1 3 ) 6 . c) 100 ( ___ 1 3 ) 5 . PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E SUA INTERPOLAÇÃO COMPETÊNCIA(s) 1, 5 e 6 HABILIDADE(s) 2, 3, 21, 24, 25 e 26 MT AULAS 39 E 40

18VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias d) 100 ( ___3 4 ) 6 . e) 100 ( ___3 4 ) 5 . 8. (Mackenzie) Se a figura mostra o esboço do gráfico de f(x)= ax2 + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são: a) nessa ordem, termos de uma progressão aritmética. b) nessa ordem, termos de uma progressão geométrica. c) números inteiros. d) tais que a < b < c. e) tais que a > b > c. 9. (UFRGS) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo. Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na etapa 2, esse quadrado foi dividido em nove quadrados congruentes, sendo quatro deles retirados, como indica a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas condições, a área restante, na etapa 5, é: a) _____ 125 729 . b) ______ 125 2187 . c) ____ 625 729 . d) _____ 625 2187 . e) _____ 625 6561 . 10. (UEL) A sequência (2x + 5, x +1, ___x 2 , ...), com x [ R, é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é: a) 2. b) 3–10. c) 3. d) 310. e) 312. 11. (UEL) Leia o texto a seguir. Segundo teorias demográficas, a população mundial cresceria em ritmo rápido, comparado a uma PG = (2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., at , ...) e a produção mundial de alimentos cresceria em um ritmo lento, comparado a uma PA = (1, 2, 3, 4, ..., bt , ...) (Adaptado de: <http://educação.uol.com.br/disciplinas/ geografia/teorias-demograficas-malthusianos-neomalthusianose-reformistas.htm>. Acesso em: 15 jun. 2015.) Suponha que PA seja a sequência que representa a quantidade de alimentos, em toneladas, produzidos no tempo t > 0 e que PG seja a sequência que representa o número de habitantes de uma determinada região, nesse mesmo tempo t. A partir dessas informações, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a razão entre a quantidade de alimentos, em kg e o número de habitantes, para t = 10 anos. a) 53 ___ 26 . b) 54 ___ 26 . c) 55 ____ 26 . d) 53 _____ 25 . e) 54 __ 25 . 12. (Efomm) Numa progressão geométrica crescente, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo com o dobro do 2º termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual a 26, determine o valor do 2º termo. a) 6. b) 2. c) 3. d) 1. e) ____ 26 7 . E.O. Fixação 1. (ESPM) Para que a sequência (–9, –5, 3) se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é: a) par. b) quadrado perfeito. c) primo. d) maior que 15. e) não inteiro. 2. (UFRGS) Três números formam uma progressão geométrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades do terceiro número, obteremos uma progressão aritmética, cuja soma dos termos é: a) 16. b) 18. c) 22. d) 24. e) 26.

19VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (UESC) Não sendo paga quantia alguma relativa a um empréstimo feito por uma pessoa, serão a ele incorporados juros compostos de 2,5% a.m. Assim, o montante desse empréstimo, considerado mês a mês, crescerá segundo uma progressão: a) aritmética de razão 0,25. b) geométrica de razão 1,025. c) aritmética de razão 1,205. d) geométrica de razão 10,25. e) aritmética de razão 12,05. 4. (Mackenzie) O lado, a altura e a área de um triângulo equilátero inscrito em um círculo formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. A área do círculo é igual a: a) 2p. b) 3√ ___ 3p. c) p. d) 3p. e) √ ___ 3p. 5. (UEL) Numa aplicação financeira, chama-se MONTANTE em certa data à soma da quantia aplicada com os juros acumulados até aquela data. Suponha uma aplicação de R$50.000,00 a juros compostos, à taxa de 3% ao mês. Nesse caso, os montantes em reais, no início de cada período de um mês, formam uma progressão geométrica em que o primeiro termo é 50000 e a razão é 1,03. Os juros acumulados ao completar 10 meses de aplicação são: Dado: 1,0310 = 1,3439 a) R$ 10.300,00. b) R$ 15.000,00. c) R$ 17.195,00. d) R$ 21.847,00. e) R$ 134.390,00. 6. (UFPE) A cada mês que passa, o preço de uma cesta básica de alimentos diminui 3% em relação ao seu preço do mês anterior. Admitindo que o preço da cesta básica no primeiro mês é R$ 97,00, o seu preço no 12° mês será, em reais: a) 97 × (0,03)12. b) 100 × (0,97)12. c) 100 × (0,97)13. d) 97 × (0,03)11. e) 97 × (0,97)12. 7. (Ulbra) João percebeu que, ao abrir a torneira ligada ao reservatório de água, por 5 minutos, o volume diminuía para 1/5 da sua capacidade remanescente. Depois de 20 minutos com a torneira aberta, o volume do reservatório era de 0,12 m3 . Qual é a capacidade total da caixa-d’água? a) 15 000 litros. b) 50 000 litros. c) 30 000 litros. d) 75 000 litros. e) 60 000 litros. 8. (PUC-SP) O terceiro e o sétimo termos de uma progressão geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. O quinto termo dessa progressão é: a) 14. b) √ ___ 30 . c) 2√ __ 7 . d) 6√ __ 5 . e) 30. 9. (UECE) Se a sequência de números reais positivos x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... é uma progressão geométrica de razão igual a q, então a sequência y1 , y2 , y3 , ..., yn , ... definida para todo n natural por yn = log xn é uma progressão: a) aritmética, cuja razão é igual a log q. b) aritmética, cuja razão é igual a q . log q. c) geométrica, cuja razão é igual a log q. d) geométrica, cuja razão é igual a q . log q. 10. (PUC-SP) Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 250 mil litros? a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em 1986. b) Seis. c) Quatro. d) Dois. e) Um. 11. (UECE) Seja x1 , x2 , x3 ,..., uma progressão geométrica, cuja razão é o número real, positivo q. Se x5 = 24q e x5 + x6 = 90, então o termo x1 desta progressão é um número: a) inteiro. b) racional maior do que 7,1. c) irracional maior do que 7,1. d) racional menor do que 7,0. 12. (PUC-SP) Seja o triângulo equilátero T1 cujo lado mede x cm. Unindo-se os pontos médios dos lados de T1 , obtém-se um novo triângulo equilátero T2; unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo T2 obtém-se um novo triângulo equilátero T3 ; e, assim, sucessivamente. Nessas condições, se a área do triângulo T9 é igual a 25√ __ _____3 64 cm2 então x é igual a: a) 640. b) 520. c) 440. d) 320.

20VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Complementar 1. (UFSM) Sejam (a0 , a1 , a2 ,...) uma progressão aritmética (P.A.) e (b0 , b1 , b2 ,...) uma progressão geométrica (P.G.) decrescente. Se a0 = b0 , a2 = 2b2 e a4 = 4b4 , então a razão da P.G. vale. a) - √ __ ___2 2 . b) - √ __ 2 . c) 1. d) √ __ ___2 2 . e) √ __ 2 . 2. (ESPM) A sequência (x, 4, y, z) é uma progressão geométrica e (x, y, z – 2) é uma progressão aritmética, com y < 0. O valor de z é: a) 2. b) 2√ __ 2 . c) 16. d) 8. e) 4√ __ 2 . 3. (UECE) Se os dois primeiros termos de uma progressão geométrica são dados por x1 = p2 – q2 e x2 = (p – q)2 , com p > q > 0, então a expressão do décimo primeiro termo desta progressão será: a) (p – q)9 ________ (p + q )11 . b) (p – q)11 _______ (p + q)9 . c) (p + q)9 _______ (p – q)11 . d) (p – q)9 _______ (p – q)11 . 4. (UFRGS) Numa progressão aritmética de razão __1 2 , o primeiro, o sétimo e o décimo nono termo formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é: a) 17. b) 18. c) 19. d) 20. e) 21. 5. (UFJF) Uma progressão aritmética e uma geométrica têm o número 2 como primeiro termo. Seus quintos termos também coincidem e a razão da PG é 2. Sendo assim, a razão da PA é: a) 8. b) 6. c) ___ 32 5 . d) 4. e) ___ 15 2 . 6. (ESPM) A sequência (x, y, x · y) é uma progressão geométrica estritamente crescente. Se acrescentarmos uma unidade ao termo central, ela se torna uma progressão aritmética. A soma das razões dessas duas sequências é: a) 4. b) 7. c) 5. d) 8. e) 3. E.O. Dissertativo 1. (UFSC) Sejam (an ) uma progressão geométrica e (bn ) uma progressão aritmética cuja razão é 3/10 da razão da progressão geométrica (an ). Sabendo que a1 = b1 = 2 e que a2 = b7 calcule a soma b1 + b2 + ... + b7 . 2. (PUC-RJ) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a mais que a do meio,que por sua vez tem sete anos e mais que a caçula. João observou que as idades delas formam uma progressão geométrica. Quais são as idades delas? 3. (UFF) Numa progressão geométrica (PG) decrescente o primeiro termo é um número real positivo e cada termo, a partir do terceiro, é igual à sexta parte da soma dos dois termos imediatamente anteriores. Determine a razão dessa PG. 4. (UFRRJ) Em uma PA não constante de 7 termos, com termo médio igual a 6, os termos 2º, 4º e 7º, nesta ordem, formam uma PG. Determine esta PA. 5. (IME) O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética (PA) de números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica (PG), de razão q, com q e r [ N* (natural diferente de zero). Determine: a) o menor valor possível para a razão r; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a. 6. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) O vigésimo termo da progressão aritmética (x, x +10, x2 , ...) com x < 0 é 186. 02) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é n2 + 1. 04) O termo _____ 1 1024 encontr a-se na décima segunda posição na progressão geométrica (2, 1, __1 2 , ...). 08) Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA crescente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG crescente, então xy = 12. 16) O valor de x na igualdade x + __ x 3 + __ x 9 + ... = 12, na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma PG infinita, é 10.

21VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. (UFAL) Numa progressão aritmética crescente, cujo primeiro termo é 2, os termos a1 , a4 e a10 estão em progressão geométrica. Determine a razão dessa progressão aritmética. 8. (UFG) Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo que ataca as folhas das plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente, 6% das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o número de plantas atacadas aumentou para 24%. Já no experimento B, a observação iniciou-se com 11% das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, o número de plantas atacadas já era 85% do total. Considerando-se que a área ocupada pelo fungo cresce exponencialmente, a fração da plantação atingida pelo fungo aumenta, semanalmente, em progressão geométrica, e a razão desta progressão é uma medida da rapidez de propagação do fungo. Neste caso, determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. 9. (UEMA) Numa plantação tomada por uma praga de gafanhotos, foi constatada a existência de 885.735 gafanhotos. Para dizimar esta praga, foi utilizado um produto químico em uma técnica, cujo resultado foi de 5 gafanhotos infectados, que morreram logo no 1º dia. Ao morrerem, já haviam infectado outros gafanhotos. Dessa forma, no 1º dia, morreram 5 gafanhotos; no 2º dia, morreram mais 10; no 3º dia, mais 30 e assim sucessivamente. Verificando o número de mortes acumulado, determine em quantos dias a praga de gafanhotos foi dizimada. E.O. Enem 1. (Enem) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) – objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais – objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3). De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é a) b) c) d) e) 2. (Enem) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é: a) 3 × 345. b) (3 + 3 + 3) × 345. c) 33 × 345. d) 3 × 4 × 345. e) 34 × 345.

22VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (Enem) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. b) 4 doses. c) 6 doses. d) 8 doses. e) 10 doses. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 20 repetições. No entanto, como consequência das alterações da contração muscular devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de duração de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28% maior do que o tempo gasto para fazer a série imediatamente anterior. A primeira série foi realizada em 25 segundos e a última em 1 minuto e 40 segundos. Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repetições realizadas nas n séries é igual a: a) 100. b) 120. c) 140. d) 160. 2. (UERJ) Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm3 . Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. Considerando 210 ≅ 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é: a) 15. b) 16. c) 17. d) 18. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Numa reserva florestal foram computados 3.645 coelhos. Uma determinada infecção alastra-se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número total de coelhos infectados triplica. a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 210 dia. b) Calcule o número mínimo de dias necessário para que toda a população de coelhos esteja infectada. 2. (UERJ 2017) Em uma atividade nas olimpíadas de matemática de uma escola, os alunos largaram, no sentido do solo, uma pequena bola de uma altura de 12 m. Eles observaram que, cada vez que a bola toca o solo, ela sobe e atinge 50% da altura máxima da queda imediatamente anterior. Calcule a distância total, em metros, percorrida na vertical pela bola ao tocar o solo pela oitava vez. 3. (UERJ 2016) Em 1965, o engenheiro Gordon Moore divulgou em um artigo que, a cada ano, a indústria de eletrônicos conseguiria construir um processador com o dobro de transistores existentes no mesmo processador no ano anterior. Em 1975, ele atualizou o artigo, afirmando que, de fato, a quantidade de transistores dobraria a cada dois anos. Essa última formulação descreve uma progressão que ficou conhecida como Lei de Moore e que permite afirmar que um processador que possuía 144 × 102 transistores em 1975 evoluiu para um processador com 288 × 102 transistores em 1977. Admitindo um processador com 731 × 106 transistores em 2009, calcule a quantidade de transistores que a evolução desse processador possuirá em 2019, segundo a Lei de Moore. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi: a) 36. b) 24. c) 18. d) 16. e) 12. 2. (Fuvest) Sejam a e b números reais tais que: I. a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA; II. 2a , 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG.

23VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Então o valor de a é: a) ___ 2 3 . b) ___ 4 3 . c) ___ 5 3 . d) ___ 7 3 . e) ___ 8 3 . 3. (Fuvest) Os números a1 , a2 , a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 – 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a: a) 3 + √ __ 3 . b) 3 + √ __ ___ 3 2 . c) 3 + √ __ ___3 4 d) 3 – √ __ ___3 2 . e) 3 – √ __ 3 . 4. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a √ __ 2 . Se o produto dos termos dessa progressão é 239, então o número de termos é igual a: a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. e) 16. 5. (Unesp) Os comprimentos das circunferências de uma sequência de círculos concêntricos formam uma progressão aritmética de razão 2. Os raios desses círculos formam uma: a) progressão geométrica de razão 1/2. b) progressão geométrica de razão 1/π. c) progressão aritmética de razão 2. d) progressão aritmética de razão π. e) progressão aritmética de razão 1/π. 6. (Fuvest) A sequência an é uma P.A. estritamente crescente, de termos positivos. Então, a sequência bn = 3an, n ≥1, é uma: a) P. G. crescente. b) P. A. crescente. c) P. G. decrescente. d) P. A. decrescente. e) sequência que não é uma P. A. e não é uma P. G. 7. (Unesp) Considere as sequências (an ) e (bn ) definidas por an+1 = 2n e bn+1 = 3n , n ≥ 0. Então, o valor de a11.b6 é: a) 211 . 36 . b) (12)5 . c) 515. d) 615. e) 630. 8. (Fuvest) Um país contraiu em 1829 um empréstimo de 1 milhão de dólares, para pagar em cem anos, à taxa de juros de 9% ao ano. Por problemas de balança comercial, nada foi pago até hoje, e a dívida foi sendo "rolada", com capitalização anual dos juros. Qual dos valores a seguir está mais próximo do valor da dívida em 1989? Para os cálculos adote (1,09)8 ≈ 2. a) 14 milhões de dólares. b) 500 milhões de dólares. c) 1 bilhão de dólares. d) 80 bilhões de dólares. e) 1 trilhão de dólares. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Considere um triângulo isósceles de lados medindo L, __L 2 e L centímetros. Seja h a medida da altura relativa ao lado de medida ___ L 2 . Se L, h e a área desse triângulo formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, determine a medida do lado L do triângulo. 2. (Unesp) Considere um triângulo equilátero T1 de área 16 √ __ 3 cm2 . Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo equilátero T2 , que tem os pontos médios dos lados de T1 como vértices. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo triângulo obtém-se um terceiro triângulo equilátero T3 , e assim por diante, indefinidamente. Determine: a) as medidas do lado e da altura do triângulo T1 , em centímetros; b) as áreas dos triângulos T2 e T7 , em cm2 . 3. (Unesp) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente. Determine, ao final de 9 dessas operações: a) quantas tábuas terá a pilha. b) a altura, em metros, da pilha.

24VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (Unesp) O limite da soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente ilimitada cujo primeiro termo é q e cuja razão é q, vale 7 vezes o limite da soma dos cubos dos termos dessa mesma progressão geométrica. Calcule os valores possíveis de q. 5. (Unicamp) Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois? Justifique. 6. (Unesp) Um ângulo de 69°20' é dividido em dois ao meio. A seguir, um dos ângulos obtidos também é dividido em dois ao meio. E assim por diante. Se este processo é interrompido quando se obtém um ângulo 1°5', determine o número de divisões efetuadas. 7. (Fuvest) Na figura a seguir, A1 B1 = 3, B1 A2 = 2. Calcule a soma dos infinitos segmentos: A1 B1 + B1 A2 + A2 B2 + B2 A3 +... 8. (Unicamp) Considere que certo país troca de moeda cada vez que a inflação acumulada atinge a cifra de 900%. A nova moeda vale sempre 1000 vezes a antiga. Com uma inflação de 25% ao mês, em quantos meses esse país trocará de moeda? Use log10 2 = 0,301. 9. (Unicamp) Começando com um cilindro de raio 1 e altura também 1, define-se o procedimento de colocar sobre um cilindro anterior um outro cilindro de igual altura e raio 2/3 do raio anterior. Embora a altura do sólido fictício resultante seja infinita, seu volume pode ser calculado. Faça esse cálculo. 10. (Unesp) Em uma semirreta de origem A1 marcam-se os pontos A2 , A3 , ... de maneira que os segmentos A1 A2 , A2 A3 , ... sejam consecutivos e suas medidas formem, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 1/2, em que A1 A2 = 1dm. Considere a sequência de quadrados que têm como diagonais os segmentos A1 A2 , A2 A3 , ..., conforme a figura a seguir, desenhada sem escala. a) Demonstre que as áreas desses quadrados formam uma progressão geométrica de razão ___ 1 4 . b) Determine a medida do lado do primeiro quadrado dessa sequência cuja área é menor que ____ 1 100 dm2 . 11. (Unicamp) Considere uma progressão geométrica de termos não nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores. a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão. b) Supondo que o primeiro termo seja 1 - √ __ ______5 2 e q > 0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. C 2. C 3. D 4. A 5. E 6. B 7. E 8. B 9. E 10. B 11. B 12. A E.O. Fixação 1. C 2. B 3. B 4. C 5. C 6. B 7. D 8. D 9. A 10. D 11. B 12. D E.O. Complementar 1. A 2. A 3. B 4. E 5. E 6. C E.O. Dissertativo 1. 77. 2. 49, 56 e 64 anos. 3. A razão é ___ 1 2 . 4. (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) PA. 5. a) r = 3. b) a18 = a2 + 16 · r = 5 + 16 · 3 = 53. 6. 01 + 04 + 08 = 13. 7. r = ___ 2 3 . 8. qA = 6 √ __ 8 qB . 6 √ _____ 7,73 Como qA > qB então, a velocidade de propagação no experimento A é maior que a velocidade de propagação no experimento B. 9. 12 dias.

25VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Enem 1. C 2. C 3. B E.O. UERJ Exame de Qualifição 1. C 2. B E.O. UERJ Exame Discursivo 1. a) 405 coelhos. b) 31 dias. 2. 36 metros. 3. 23.392.000.000 transistores. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. E 2. E 3. E 4. B 5. E 6. A 7. B 8. E E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. L = √ ___ 15 . 2. a) 8 cm e 4√ __ 3 cm. b) 4√ __ 3 cm2 e √ __ ____ 3 256 cm2 . 3. a) 256 tábuas. b) 1,28 m. 4. q = 1/2 5. Não. Ao escolher 4 números inteiros positivos e consecutivos, teremos sempre 2 pares e 2 ímpares, logo os possíveis produtos são: (I) (nº. par) x (nº. par) ≠ (nº. ímpar) x (nº. ímpar) O 1º. membro tem resultado par e o 2º. membro tem resultado ímpar. (II) (nº. par) x (nº. ímpar) ≠ (nº. par) x (nº. ímpar) Os fatores que compõem o 1º. membro são diferentes dos fatores que compõem o 2º. membro. 6. 6. 7. 9. 8. 11. 9. v = ___ 9π 5 . 10. a) Demostração. b) i = √ __ _____ 2 16 dm. 11. a) q = ( 1 + √ __ _______ 5 2 ) ou q = ( 1 - √ __ ______ 5 2 ). b) - 1 - √ __ 5 .

26VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (FGV) Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na 1ª fileira há 10 lugares, na 2ª há 12, na 3ª há 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente). O número total de cadeiras é: a) 250. b) 252. c) 254. d) 256. e) 258. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO. Potencialmente, os portos da região Norte podem ser os canais de escoamento para toda a produção de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gigantes do agronegócio. Investimentos em logística e a construção de novos terminais portuários privados irão aumentar consideravelmente o número de toneladas de grãos embarcados anualmente. 2. (UEA) Observe as informações. Admita que, na previsão elaborada pela CNI, os números que indicam as toneladas de grãos embarcadas anualmente estejam em Progressão Aritmética crescente de razão r, na qual o primeiro termo é o número de toneladas embarcadas em 2012, e o último, o número de toneladas previstas para 2020. Nessas condições, prevê-se que a quantidade total de grãos embarcados, de 2012 a 2020, será, em milhões de toneladas, igual a: a) 254,6. b) 273,6. c) 290,2. d) 268,4. e) 243,2. 3. (Espcex) Em uma progressão aritmética, a soma Sn de seus n primeiros termos é dada pela expressão Sn = 5n2 – 12n, com n [ N*. A razão dessa progressão é: a) –2. b) 4. c) 8. d) 10. e) 12. 4. (UEPB) Melhorando-se o nível de alimentação da população, condições sanitárias das casas e ruas, vacinação das crianças e pró-natal, é possível reduzir o índice de mortalidade infantil em determinada cidade. Considerando-se que o gráfico abaixo representa o número de crianças que foram a óbito a cada ano, durante dez anos, e que os pontos do gráfico são colineares, podemos afirmar corretamente que o total de crianças mortas neste intervalo de tempo foi de: y x (ano) número de óbito 60 0 1 2 3 456 7 8 9 10 a) 224. b) 280. c) 324. d) 300. e) 240. 5. (UEMA) As equipes A e B de uma gincana escolar devem recolher livros na vizinhança para montar uma biblioteca comunitária. O juiz da competição começou a fazer anotações das quantidades de livros trazidos a cada rodada pelas duas equipes e verificou um padrão de crescimento, conforme a tabela 1. A cada rodada, o juiz também avalia o total de livros colocados nas estantes de cada equipe, como mostrado na tabela 2, a seguir. PROBLEMAS ENVOLVENDO PA E PG COMPETÊNCIA(s) 1, 5 e 6 HABILIDADE(s) 2, 3, 21, 24, 25 e 26 MT AULAS 41 E 42

27VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Tabela 1 Tabela 2 ARRECADAÇÃO TOTAL NA ESTANTE Rodada Equipe A Equipe B Equipe A Equipe B 1 06 16 06 16 2 10 18 16 34 3 14 20 30 54 4 O número de rodadas necessárias para que as duas equipes disponham da mesma quantidade total de livros nas estantes é: a) 05. b) 06. c) 09. d) 10. e) 11. 6. (UFRGS) Considere a sequência de números binários 101, 1010101, 10101010101, 10101010101010... A soma de todos os algarismos dos 20 primeiros termos dessa sequência é: a) 52. b) 105. c) 210. d) 420. e) 840. 7. (FEI) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ..... se a sua soma é 3280, então ela apresenta: a) 9 termos. b) 8 termos. c) 7 termos. d) 6 termos. e) 5 termos. 8. (UFRGS) A sequência representada, na figura abaixo, é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de cada um dos outros triângulos é ___2 3 da medida do lado do triângulo imediatamente anterior. A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é: a) 9. b) 12. c) 15. d) 18. e) 21. 9. (Feevale) Pedro, no dia do nascimento do filho, prometeu, a cada aniversário da criança, plantar 2n árvores (n, número natural, representa a idade do filho). Passados 5 anos, quantas árvores foram plantadas por Pedro, ao total, considerando que ele cumpriu sua promessa em todos os anos? a) 10 árvores. b) 16 árvores. c) 32 árvores. d) 62 árvores. e) 64 árvores. 10. (PUC-MG) O valor de x na igualdade x + __x 3 +__x 9 + ... = 12, na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, é igual a: a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. 11. (Efomm) Seja um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médios de cada lado, temos um segundo quadrado. Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros quadrados é: a) 2- 9/2. b) 2-25/2. c) 2-45/2. d) 2-45. e) 2-25. 12. (UFRGS) Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros abaixo. O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo da etapa 1 a altura do triângulo da etapa 3 é metade da altura do triângulo da etapa 2 e, assim, sucessivamente. Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. E.O. Fixação 1. (PUC-RJ) A soma dos números inteiros compreendidos entre 100 e 400, que possuem o algarismo das unidades igual a 4, é: a) 1200. b) 2560. c) 4980. d) 6420. e) 7470.

28VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (UFPB) Um produtor rural teve problema em sua lavoura devido à ação de uma praga. Para tentar resolver esse problema, consultou um engenheiro agrônomo e foi orientado a pulverizar, uma vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendações: § No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida. § A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à dosagem anterior e, assim, sucessivamente. Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi aplicado durante: a) 18 dias. b) 19 dias. c) 20 dias. d) 21 dias. e) 22 dias. 3. (UPE-SSA) Brincando de construir sequências numéricas, Marta descobriu que em uma determinada progressão aritmética, a soma dos cinquenta primeiros termos é S50 = 2.550. Se o primeiro termo dessa progressão é a1 = 2, qual o valor que ela irá encontrar fazendo a soma S27 + S12? a) 312. b) 356. c) 410. d) 756. e) 912. 4. (UFSM) A natureza tem sua própria maneira de manter o equilíbrio. Se uma comunidade fica grande demais, é, muitas vezes, reduzida por falta de comida, por predadores, seca, doença ou incêndios. Uma certa reserva florestal sofreu um incêndio. Na primeira hora, teve 1 km2 e, a cada hora subsequente, foi destruído pelo fogo o triplo da área em relação à hora anterior. Supondo que esse processo se mantenha, quantos km2 da reserva serão queimados decorridas k horas do início do incêndio? a) 3k _____ – 1 2 . b) 3k . c) 3k – 1. d) 3k ___ 2 . e) 3k +1 _______ – 1 2 . 5. (UEL) A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada uma delas surgem mais duas ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação, dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimento da ramificação anterior. Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de h1 = 1 m, qual o comprimento vertical total da raiz, em metros, até h10? a) ___ 1 2 (1 – ___ 1 210 ). b) ___ 1 2 (1 – __ 1 29 ). c) 2 (1 – ___ 1 210 ). d) 2 (1 – ____ 1 1010 ). e) 2 (1 – __ 1 29 ). 6. (Espcex) Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura abaixo segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida em três partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-se de maneira análoga para a obtenção das demais linhas, conforme indicado na figura. Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas é: a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 7 m. 7. (ESPM) Seja S= (a1 , a2 , a3 , ..., an , ...) a sequência definida por a1 = dXX5e an + 1 = daXXn para n ≥ 1. O produto dos infinitos termos dessa sequência é igual a: a) 1. b) dXXX 10 . c) dXXX 20 . d) 25. e) 5. 8. (ESPM) A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um ponto A, com BC = CD, DE = EF, FG = ——GH, HI = IJ e assim por diante. Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distância horizontal AP alcançada por esse móvel será de:

29VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) 65 m. b) 72 m. c) 80 m. d) 96 m. e) 100 m. 9. (Espcex (Aman)) Considere o seguinte procedimento: em uma circunferência de diâmetro 2R, inscreve-se um hexágono regular para, em seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido gerando uma terceira circunferência. Caso este procedimento seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferências envolvidas nesse processo é igual a: a) 2R (1 + d ___XX3 2 ). b) 4R (1 + d ___XX3 2 ). c) 4R (1 + d ___XX3 4 ). d) R (2 + dXX3 ). e) 2R (1 + d ___XX3 4 ). 10. (PUC-MG) Depois de percorrer um comprimento de arco de 7 m, uma criança deixa de empurrar o balanço em que está brincando e aguarda até o balanço parar completamente. Se o atrito diminui a velocidade do balanço de modo que o comprimento de arco percorrido seja sempre igual a 80% ao do anterior, a distância total percorrida pela criança, até que o balanço pare completamente, é dada pela expressão D = 7 + 0,80 ∙ 7 + 0,80 ∙ (0,80 ∙ 7) + ... Considerando-se que o segundo membro dessa igualdade é a soma dos termos de uma progressão geométrica, é CORRETO estimar que o valor de D, em metros, é igual a: a) 28. b) 35. c) 42. d) 49. E.O. Complementar 1. (PUC-PR) Um consumidor, ao adquirir um automóvel, assumiu um empréstimo no valor total de R$ 42.000,00 (já somados juros e encargos). Esse valor foi pago em 20 parcelas, formando uma progressão aritmética decrescente. Dado que na segunda prestação foi pago o valor de R$ 3.800,00, a razão desta progressão aritmética é: a) –300. b) –200. c) –150. d) –100. e) –350. 2. (IFPE) Na fabricação de mesas de reunião, uma fábrica trabalha com vários modelos e tamanhos. As mesas redondas são todas acompanhadas com uma certa quantidade de poltronas a depender do tamanho da mesa, conforme a figura abaixo: O primeiro modelo acompanha 3 poltronas, o segundo modelo acompanha 6 poltronas, o terceiro, 9 poltronas e assim sucessivamente, isto é, sempre um modelo de mesa acompanha 3 poltronas a mais em relação ao modelo anterior. Um cliente adquiriu uma unidade de cada um dos 10 primeiros modelos de mesa circular. Como todo patrimônio da sua empresa é identificado a partir de uma etiqueta adesiva, quantos adesivos devem ser confeccionados para que cada uma das mesas e poltronas adquiridas seja devidamente etiquetada? a) 165. b) 175. c) 30. d) 40. e) 10. 3. (IFSP) Observe a sequência de figuras: ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se o quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento indefinidamente, a soma das áreas de todos os quadrados sombreados dessa sequência é igual a 64dXX2  cm2 . A área do quadrado sombreado da décima figura dessa sequência, em centímetros quadrados, é igual a: a) d ___XX2 16 . b) d ___XX2 4 . c) dXX2 . d) 4dXX2 . e) 8dXX2 .

30VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (Mackenzie) Para que o produto dos termos da sequência (1,dXX3 ,dXX3 2 , dXX3 3 dXX3 4 , ...,dXX3 n – 1) seja 314, deverão ser considerados, nessa sequência: a) 8 termos. b) 6 termos. c) 10 termos. d) 9 termos. e) 7 termos. 5. (UFF) Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la. Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a d = 10 + 1 + ___1 10 +___1 102 + ... = 10 + ∑ n=0 ` ( ___1 10 ) n . É correto afirmar que: a) d = + `. b) d = 11,11. c) d = ___ 91 9 . d) d = 12. e) d = 100 ____ 9 . 6. (UFJF-PISM 2) Considere a igualdade: __________________ 1 + 3 + 5 + ... + 179 2a + 22a + 23a + ... = 8100 O valor de a que satisfaz a igualdade pertence ao intervalo: a) [-2,3]. b) [0,5]. c) [2,5]. d) [-5,-3]. e) [- __ 1 2 ,2 ]. E.O. Dissertativo 1. (UFMG) Dentro dos bloquinhos que formam uma pirâmide foram escritos os números naturais, conforme ilustrado na figura abaixo, de forma que: § na primeira linha da pirâmide aparece um número: 1; § na segunda linha da pirâmide aparecem dois números: 2 e 3; § na terceira linha da pirâmide aparecem três números: 4, 5 e 6; § na quarta linha da pirâmide aparecem quatro números: 7, 8, 9 e 10, e assim sucessivamente. Considerando essas informações: a) DETERMINE quantos bloquinhos são necessários para construir as 10 primeiras linhas da pirâmide. b) DETERMINE o último número escrito na trigésima linha da pirâmide. c) DETERMINE a soma de todos os números escritos na trigésima linha da pirâmide. 2. (FGV) a) Um sábio da Antiguidade propôs o seguinte problema aos seus discípulos: “Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7,5 metros de raio e se movimenta saltando em linha reta até o centro. Em cada salto, avança a metade do que avançou no salto anterior. No primeiro salto avança 4 metros. Em quantos saltos chega ao centro?” b) O mesmo sábio faz a seguinte afirmação em relação à situação do item A: “Se o primeiro salto da rã é de 3 metros, ela não chega ao centro.” Justifique a afirmação. 3. (UFG) Um detalhe arquitetônico, ocupando toda a base de um muro, é formado por uma sequência de 30 triângulos retângulos, todos apoiados sobre um dos catetos e sem sobreposição. A figura a seguir representa os três primeiros triângulos dessa sequência. Todos os triângulos têm um metro de altura. O primeiro triângulo, da esquerda para a direita, é isósceles e a base de cada triângulo, a partir do segundo, é 10% maior que a do triângulo imediatamente à sua esquerda. Dado: 1130 ≈ 1,745 × 1031

31VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Com base no exposto: a) qual é o comprimento do muro? b) Quantos litros de tinta são necessários para pintar os triângulos do detalhe, utilizando-se uma tinta que rende 10 m2 por litro? 4. (UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da progressão. 5. (FGV) Seja a sequência 3, 2 dXX3, 4 dXX3, 8 dXX3 , ... cujos termos são radicais de radicando 3, e o índice de cada termo é o dobro do índice do termo anterior. Calcule o produto: a) dos 10 primeiros termos dessa sequência. b) dos infinitos termos dessa sequência. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios: § os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; § o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00; § os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior. Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta. Cartão amarelo recebido Valor da multa (R$) 1º – 2º – 3º 500 4º 1.000 5º 1.500 Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a: a) 30.000. b) 33.000. c) 36.000. d) 39.000. 2. (UERJ) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém 200 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 20 mg. Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um destes comprimidos tenha 30 mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedimentos: § numeram-se os frascos de 1 a 15; § retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração; § verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a 2540 mg. A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é: a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras: § antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, dizendo “cara” ou “coroa”; § quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente; § em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla. Veja o quadro que ilustra o jogo: Ordem de erro Letras escritas 1º UERJ 2º UERJUERJ 3º UERJUERJUERJ 4º UERJUERJUERJUERJ . . . nº UERJUERJUERJUERJ. . .UERJ O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro. Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo. 2. (UERJ) Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos congruentes empilhados, sendo sua base formada por dez cubos. Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída com cubos iguais e procedimento idêntico.

32VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3n2 – 2n, onde n é um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente: a) 7 e 1. b) 1 e 6. c) 6 e 1. d) 1 e 7. e) 6 e 7. 2. (Unesp) A figura indica o padrão de uma sequência de grades, feitas com vigas idênticas, que estão dispostas em posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 m de comprimento. O padrão da sequência se mantém até a última grade, que é feita com o total de 136,5 metros lineares de vigas. O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, em metros, foi de: a) 4.877. b) 4.640. c) 4.726. d) 5.195. e) 5.162. 3. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a dXX2 . Se o produto dos termos dessa progressão é 239, então o número de termos é igual a: a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. e) 16. 4. (Unicamp) Se (a1 , a2 , ... a13) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, então a7 é igual a: a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x, a2 = 6x, a3 = 2x2 + 4 em que x é um número real. a) Determine os possíveis valores de x. b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a). 2. (Unifesp) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “razão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r. a) Considere uma PA genérica finita (a1 , a2 , a3 , ..., an ) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a1 , n e r. b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (–224, –220, –216, ...) seja positiva? 3. (Unesp) Divide-se, inicialmente, um quadrado de lado com medida unitária em 9 quadrados iguais, traçando- -se dois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-se o quadrado central. Repete-se este processo de divisão, para os quadrados restantes, n vezes. Observe o processo para as duas primeiras divisões: Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessivas do quadrado inicial e qual a soma das áreas dos quadrados removidos, quando n cresce indefinidamente? Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. B 3. D 4. B 5. E 6. D 7. B 8. A 9. D 10. A 11. E 12. E E.O. Fixação 1. E 2. D 3. E 4. A 5. C 6. A 7. E 8. C 9. B 10. B E.O. Complementar 1. B 2. B 3. A 4. A 5. E 6. A E.O. Dissertativo 1. a) 55. b) 465. c) 13515.

33VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. a) 4. b) Supondo que a rã pudesse dar tantos saltos quanto quisesse, teríamos lim n→` S n = _____ 3 1 – __ 12 = 6. Portanto, como 6 < 7,5, concluímos que a rã não chegaria ao centro. 3. a) 164,5 m. b) 8,225 litros. 4. q = 10 ou q = –10. 5. a) 512dXX3 1023 b) 9. E.O. UERJ Exame de Qualifição 1. B 2. C E.O. UERJ Exame Discursivo 1. 760. 2. 5050. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. B 2. C 3. B 4. A E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) x = __12 ou x = 5. b) 7.575. 2. a) (2a1 + nr)n ___________ 4 . b) 114 3. Restarão 8n quadrados após n divisões. A soma dos quadrados removidos, quando n cresce indefinidamente, é 1.

34VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UFLA) Determine os valores de x de modo que o número complexo z = 2 + (x – 4i) (2 + xi) seja real. a) ±2dXX2 . b) ± __ 1 3 . c) ±2. d) ±dXX2 . e) ±dXX3 . 2. (UFRN) Considere os números complexos z1 = 1 + i e z2 = 2 –2i. Se w = (z1 – z2 ) 2 , então: a) w = 10 – 6i. b) w = – 8 – 6i. c) w = – 8 + 6i. d) w = 10 + 6i. 3. (Unitau) A expressão i13 + i15 é igual a: a) 0. b) i. c) –i. d) –2i. e) 3i. 4. (Unioeste) Nas afirmativas abaixo, relativas a diversos conteúdos, assinale o que for correto. ( ) O conjunto do resultado da divisão de 3 - i por 2 + i é 1 + i. ( ) Se numa progressão aritmética com um número ímpar de termos, o termo médio vale 33 e o último termo vale 63, então o primeiro termo vale 3. ( ) O lugar que o termo 28672 ocupa numa progressão geométrica de razão 2 e cujo primeiro termo é 7 é 12°. ( ) A solução do sistema de equações x y 7 3 5 x y 53 17 1 é x e y 34 5 2  + =     − =− = =  ( ) O valor de x que satisfaz a equação 2logx - log(x - 16) = 2 é 50. ( ) O valor de x que satisfaz a equação 4x – 322x+1 – 14 = 0 é x = __1 2 . 5. (UEL) Qual é a parte real do número complexo z = a + bi, com a e b reais e a > 0 e b > 0, cujo quadrado é –5 + 12i? a) __1 3 . b) __1 2 . c) 1. d) 2. e) 3. 6. (UFGS) O número Z = (m – 3) + (m2 – 9)i será um número real não nulo para: a) m = –3. b) m < –3 ou m > 3. c) –3 < m < 3. d) m = 3. e) m > 0. 7. (PUC-RS) Dados os números complexos z = a + bi e seu conjugado Z, é correto afirmar que z + Z é um número: a) natural. b) inteiro. c) racional. d) real. e) imaginário puro. 8. (Espcex (Aman)) Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo Z que satisfaz à condição Z + 2Z = 2 - Zi é: a) z = 0 + 1i. b) z = 0 + 0i. c) z = 1 + 0i. d) z = 1 + i. e) z = 1 – i. 9. (Unitau) Determine o valor de k, de modo que z = ( __ 1 2 k – __1 2 ) + i seja imaginário puro. a) – __1 2 . b) –1. c) 0. d) __1 2 . e) 1. 10. (Fatec) Seja a equação x2 + 4 = 0 no conjunto Universo U = C, onde C é o conjunto dos números complexos. Sobre as sentenças I. A soma das raízes dessa equação é zero. II. O produto das raízes dessa equação é 4. III. O conjunto solução dessa equação é {–2,2}. INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS COMPETÊNCIA(s) 5 HABILIDADE(s) 19, 20, 21, 22 e 23 MT AULAS 43 E 44

35VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias É verdade que: a) somente a I é falsa. b) somente a II é falsa. c) somente a III é falsa. d) todas são verdadeiras. e) todas são falsas. E.O. Fixação 1. O valor da potência (1 – i)10 é: a) 11i. b) 5i. c) –32i. d) –50i. e) 1 – 5i. 2. (FEI) Escrevendo o número complexo z = 1/(1 - i) + 1/(1 + i) na forma algébrica obtemos: a) 1 - i. b) i - 1. c) 1 + i. d) i. e) 1. 3. (FGV) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 – (1 – i)20 é igual a: a) –1024. b) –1024i. c) 0. d) 1024. e) 1024i. 4. (FGV) O número complexo z = a + bi, com a e b reais, satisfaz z + |z| = 2 + 8i, com |a + bi| = dXXXXXXX a2 + b2 . Nessas condições, |z|2 é igual a: a) 68. b) 100. c) 169. d) 208. e) 289. 5. (UEPB) O produto dos números complexos (3 – i) (x + 2yi) é um número real quando o ponto P(x,y) está sobre a reta de equação: a) 6x + y = 0. b) 6x – y = 0. c) x + 6y = 0. d) 6y – x = 0. e) 3y – x = 0. 6. (UTFPR) Sejam z1 e z2 dois números complexos, sendo z1 = (x1 + x2 ) + (3 x2 – x3 )i e z2 = (2 x1 + 4) + (1 – x3 )i. Se z1 = z2 , pode-se afirmar que: a) x2 = –3. b) x1 = ___ 11 3 . c) x1 = ____ 13 3 . d) x2 = 1. e) x2 = ___ 1 3 . 7. (UFSM) Se (1 + ai) (b - i) = 5 + 5i, com a e b [ R, então a e b são raízes da equação: a) x2 – x – 6 = 0. b) x2 – 5x – 6 = 0. c) x2 + x – 6 = 0. d) x2 + 5x + 6 = 0. e) x2 – 5x + 6 = 0. 8. (UECE) Os números complexos z e w, escritos na forma z = x + yi e w = u + vi em que x ≠ 0 e u ≠ 0, são tais que z · w = 1. A soma dos quadrados u2 + v2 é igual a: a) ___ 1 x b) ___ 1 u2 c) _____ 1 x · u d) ___ u x 9. (UEL) Seja o número complexo z = x + yi, no qual x, y [ R. Se z · (1 – i) = (1 + i)2 , então: a) x = y. b) x – y = 2. c) x · y = 1. d) x + y = 0. e) y = 2x. E.O. Complementar 1. (ITA) O valor da potência ( _____ dXX2 1 + i ) 93 é: a) _____ –1 + i dXX2 . b) ____ 1 + i dXX2 . c) _____ –1 – i dXX2 . d) (dXX2 )93. e) (dXX2 )93 + i. 2. (PUC-PR) Seja n [ { 1, 2, 3, 4, 5, ...}. O valor de i12n + 3, sendo i = dXXX –1 , será igual a: a) 1. b) –1. c) i. d) –i. e) Depende do valor de n. 3. (PUC-RS) Se n é um número natural par e i = dXXX –1 , então i6n vale: a) i. b) –1. c) –i. d) 1. e) 0.

36VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (UFSCar) Sejam i a unidade imaginária e an o n-ésimo termo de uma progressão geométrica com a2 = 2a1 . Se a1 é um número ímpar, então ia1 + ia2+ ia3 + ... + ia10 é igual a: a) 9i ou – 9i. b) –9 + i ou – 9 – i. c) 9 + i ou 9 – i. d) 8 + i ou 8 – i. e) 7 + i ou 7 – i. 5. (UEL) Uma das raízes complexas da equação x3 – 3x2 + 4x – 12 = 0 é: a) i. b) ___i 2 . c) 2i. d) 3i. e) ___3i 2 . E.O. Dissertativo 1. Seja x [ R, encontre o valor de x para que o número complexo z, dado por z = ( 2 + xi)(1 – i), seja: a) real puro. b) imaginário puro. 2. Considerando o conjunto universo dos números complexos, encontre as raízes das equações abaixo: a) x2 + 25 = 0 b) x2 – 2x + 2 = 0 c) x(x2 + 6x + 10) = 0 3. Seja os números complexos z = x + (2 + y)i e w = (3 + x) + yi, encontre os valores de x e y de modo que z + w = 9 + 4i. 4. (UFSC) Determine o valor de x para que o produto (12 – 2i)[18 + (x – 2)i] seja um número real. 5. (UFSCar) Sejam x, y [ R e z = x + yi um número complexo. a) Calcule o produto (x + yi) · (1 + i). b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi) · (1 + i) = 2. 6. (UFMG) Seja z = (a + i)3 um número complexo, sendo a um número real. a) Escreva z na forma x + iy, sendo x e y números reais. b) Determine os valores de a para que z seja um número imaginário puro. 7. (UFRRJ) A soma de um número complexo z com seu conjugado é igual a 3 vezes a parte imaginária de z e o produto de z pelo seu conjugado vale 52. Determine z, sabendo que sua parte real é positiva. 8. (FGV) Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de uma função quadrática com o eixo x, um aluno encontrou as soluções: 2 + i e 2 – i. Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto (0, 5). E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação do terceiro grau: (x + 2)4 = x4 Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias. Determine as três raízes dessa equação. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Se z = (2 + i) · (1 + i) · i, então o conjugado de z, será dado por: a) –3 – i. b) 1 – 3i. c) 3 – i. d) –3 + i. e) 3 + i. 2. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais que x + yi = dXXXXXX 3 + 4i , onde i é a unidade imaginária. O valor de xy é igual a: a) –2. b) –1. c) 1. d) 2. 3. (Unicamp) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i2 = –1. Então i0 + i1 + i2 + i3 + ... + i2013 vale: a) 0. b) 1. c) i. d) 1 + i. 4. (Unifesp) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o triângulo de vértices z1 = 2, z2 = 5 e z3 = 6 + 2i. A área do triângulo de vértices w1 = iz1 , w2 = iz2 e w3 = 2iz3 é: a) 8. b) 6. c) 4. d) 3. e) 2.

37VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (Fuvest) Sabendo que a é um número real e que a parte imaginária do número complexo (2 + i)/(a + 2i) é zero, então a é: a) - 4. b) - 2. c) 1. d) 2. e) 4. 6. (Fuvest) Dado o número complexo z = dXX3+i qual é o menor valor do inteiro n ≥ 1 para o qual zn é um número real? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 7. (Fuvest) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)4 é um número real? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Considere os números complexos z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), onde i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine: a) o número complexo z1 . z2 em função de x; b) os valores de x tais que Re (z1 . z2 ) ≤ Im (z1 . z2 ), onde Re denota a parte real e Im denota a parte imaginária do número complexo. 2. (Fuvest) a) Determine os números complexos z tais que z + z' = 4 e z . z' = 13, onde z' é o conjugado de z. b) Resolva a equação x4 - 5x3 + 13x2 - 19x + 10 = 0, sabendo que o número complexo z = 1 + 2i é uma das suas raízes. 3. (Unicamp) Considere a função quadrática f(x) = x2 + x cos a + sen a. a) Resolva a equação f(x) = 0 para a = 3p/2. b) Encontre os valores de a para os quais o número complexo (1/2) + (dXX3/2) i é raiz da equação f(x) + 1 = 0. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. A 2. B 3. A 4. F–V–F–F–F–F 5. D 6. A 7. D 8. D 9. E 10. C E.O. Fixação 1. C 2. E 3. C 4. E 5. D 6. E 7. E 8. D 9. D E.O. Complementar 1. A 2. D 3. D 4. E 5. C E.O. Dissertativo 1. a) x = 2 b) x = -2 2. a) x = ± 5i b) x = 1 ± i c) x = 0 ou x = –3 + i ou x = –3 – i 3. x = 3 e y = 1 4. 5 5. a) (x – y) + (x + y)i b) x = 1 e y = –1 6. a) z = (a3 – 3a) + i · (3a2 – 1) b) a = ± dXX3ou a = 0 7. z = 6 + 4i 8. x = 2 e y = 1. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. x = –1 ou x = –1 + i ou x = –1 – i E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. D 3. D 4. B 5. E 6. C 7. C

38VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) z1 · z2 = (2x – 2) + (x + 4)i. b) {x [ R | x ≤ 6}. 2. a) z = 2 + 3i ou z = 2 - 3i. b) As raízes são: {1, 2, 1 + 2i, e 1 - 2i}. 3. a) V = {-1; 1}. b) a = π + n . 2π, n ∈ Z.

MATEMÁTICA MATEMÁTICA e suas tecnologias 5 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

40VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (Insper) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é: a) 140. b) 120. c) 70. d) 60. e) 40. 2. (Ifsul) Sendo 15 pontos distintos pertencentes a uma circunferência, o número de retas, distintas, determinadas por esses pontos, é: a) 14. b) 91. c) 105. d) 210. 3. (UCS) Um professor apresenta 10 questões, das quais os seus alunos poderão escolher 8 para serem respondidas. De quantas maneiras diferentes um aluno pode escolher as 8 questões? a) 90. b) 80. c) 45. d) 40. e) 8. 4. (FGV-RJ) Cinco estudantes param para pernoitar em um hotel à beira da estrada. Há dois quartos disponíveis, um com duas camas e outro com três. De quantas maneiras eles podem se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e outro com três, para se hospedar no hotel? a) 80. b) 40. c) 20. d) 10. e) 5. 5. (UFSM) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardíacas. Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores? a) 200. b) 300. c) 600. d) 720. e) 1.200. 6. (PUC-RJ-Adaptada) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa sorveteria? a) 6 maneiras. b) 7 maneiras. c) 8 maneiras. d) 9 maneiras. e) 10 maneiras. 7. (UERN) Uma família do interior, composta por 10 pessoas, necessita fazer uma viagem de retorno à cidade de origem após passar férias no litoral. A viagem será feita de ônibus, no domingo, e apenas dois horários estão disponíveis. De quantas maneiras poderão viajar essas pessoas de forma que a metade da família viaje num ônibus e a outra metade no outro? a) 45. b) 252. c) 136. d) 90. 8. (UCS) Um supermercado está selecionando, entre 15 candidatos que se apresentaram, 3 funcionários para desempenhar a função de “caixa”. De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa escolha? a) 5. b) 45. c) 215. d) 360. e) 455. COMBINAÇÃO SIMPLES COMPETÊNCIA(s) 1 HABILIDADE(s) 2 e 3 MT AULAS 35 E 36

41VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. (UECE) Uma urna contém 50 cartelas das quais 20 são azuis, numeradas de 1 a 20, e 30 são vermelhas, numeradas de 21 a 50. De quantas formas diferentes é possível retirar três cartelas (por exemplo, duas vermelhas e uma azul, três azuis,...) dessa urna? a) 19600. b) 19060. c) 16900. d) 16090. 10. (UERN) Em uma sorveteria, há x sabores de sorvete e y sabores de cobertura. Combinando um sabor de sorvete com dois ou três sabores de cobertura tem-se, respectivamente, 150 ou 200 diferentes opções de escolha. Assim, conclui-se que o número de sabores de cobertura disponível é: a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. E.O. Fixação 1. (Mackenzie) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos um advogado é: a) 70. b) 74 . c) 120. d) 47 . e) 140. 2. (UERN) Numa lanchonete são vendidos sucos de 8 sabores diferentes, sendo que 3 são de frutas cítricas e os demais de frutas silvestres. De quantas maneiras pode-se escolher 3 sucos de sabores diferentes, sendo que pelo menos 2 deles sejam de frutas silvestres? a) 40. b) 55. c) 72. d) 85. 3. (UERN) Régis está em uma loja de roupas e deseja selecionar 4 camisas dentre 14 modelos diferentes, sendo essas 8 brancas e 6 azuis. De quantas maneiras ele poderá escolher as 4 camisas de forma que pelo menos uma delas tenha cor distinta das demais? a) 748. b) 916. c) 812. d) 636. 4. (UEL) Um grupo de 6 alunos decide escrever todos os anagramas da palavra PERGUNTA. Esta tarefa será feita em vários turnos de trabalho. Em cada turno 3 alunos escrevem e os outros descansam. Para serem justos, decidiram escrever o mesmo número de anagramas em cada turno. Qual deve ser o número mínimo de anagramas, escrito por turno, de modo que não se repitam grupos de trabalho? a) 23. b) 720. c) 2016. d) 5040. e) 35000. 5. (UEMG) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio- -campistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro, 4 defensores , 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred como atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é: a) 14 000. b) 480. c) 8! + 4! d) 72 000. 6. (UECE) Sejam r e s duas retas distintas e paralelas. Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam-se triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados. a) 360. b) 380. c) 400. d) 420. 7. (UFTM) Os seis números naturais positivos marcados nas faces de um dado são tais que: I. não existem faces com números repetidos; II. a soma dos números em faces opostas é sempre 20; III. existem 4 faces com números ímpares e 2 faces com números pares. O total de conjuntos distintos com os seis números que podem compor as faces de um dado como o descrito é: a) 20. b) 28. c) 36. d) 38. e) 40. 8. (FGV) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? a) 26. b) 24. c) 22. d) 30. e) 28.

42VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. (PUC-PR) Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}, quantos subconjuntos com 3 elementos podem ser formados de maneira que a soma dos três elementos seja um número par? a) 60. b) 120. c) 10. d) 40. e) 125. 10. (Cefet-MG) Como prêmio pela vitória em uma competição, serão distribuídas 12 moedas de ouro idênticas entre as três pessoas da equipe vencedora, e cada uma deverá receber, pelo menos, duas moedas. O número de maneiras distintas de efetuarmos essa distribuição é: a) 12. b) 28. c) 38. d) 40. e) 120. E.O. Complementar 1. (Insper) A tabela da Copa do Mundo de 2014, divulgada em outubro último, definiu as quantidades de jogos que serão realizados em cada uma das 12 cidades sedes, informadas parcialmente a seguir. Cidade Número de jogos Belo Horizonte ??? Brasília 7 Cuiabá 4 Curitiba 4 Fortaleza 6 Manaus 4 Natal 4 Porto Alegre 5 Recife 5 Rio de Janeiro 7 Salvador 6 São Paulo ??? Na 1ª fase, haverá oito grupos com quatro seleções em cada um, devendo cada seleção enfrentar uma única vez todos os integrantes do seu grupo. Na fase de oitavas de final, cada uma das 16 equipes classificadas jogará uma única vez, o mesmo ocorrendo nas quartas de final com as oito equipes classificadas. Depois disso, restarão ainda quatro jogos (semifinais, disputa de 3º lugar e final) para definir o campeão mundial. Sabendo que São Paulo e Belo Horizonte abrigarão o mesmo número de jogos, conclui-se que haverá, em cada uma dessas duas cidades, um total de: a) 4 jogos. b) 5 jogos. c) 6 jogos. d) 7 jogos. e) 8 jogos. 2. (Epcar) Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III. Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a: a) 560. b) 1120. c) 1680. d) 2240. 3. (UEMG) O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de 6 números distintos de 1 a 60. Um apostador, depois de vários anos de análise, deduziu que, no próximo sorteio, os 6 números sorteados estariam entre os 10 números que tinha escolhido. Sendo assim, com a intenção de garantir seu prêmio na Sena, ele resolveu fazer todos os possíveis jogos com 6 números entre os 10 números escolhidos. Quantos reais ele gastará para fazê-los, sabendo que cada jogo com 6 números custa R$ 2,00? a) R$ 540,00. b) R$ 302.400,00. c) R$ 420,00. d) R$ 5.040,00. 4. (Ucpel) Numa empresa de três diretores e cinco gerentes, o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar, contendo, no mínimo, um diretor é: a) 315. b) 25. c) 720. d) 250. e) 55. 5. (Mackenzie) O número de polígonos convexos distintos que podemos formar, com vértices nos pontos de coordenadas (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (2,0), (2,1),(2,2) e (2,3)do plano, é: a) 101. b) 84. c) 98. d) 100. e) 48. E.O. Dissertativo 1. (UFES) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas: a) de modo arbitrário, sem restrições; b) de modo que cada casal fique junto; c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres.

43VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (FGV) Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo. a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel? b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho. 3. (UFPE) Um casal está fazendo uma trilha junto com outras 10 pessoas. Em algum momento, eles devem cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade para 3 pessoas (excluindo o jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos podem ser organizados para a travessia, se o casal quer ficar na mesma jangada? Assinale a soma dos dígitos. 4. (UEG) Na cantina “Canto Feliz”, surgiram as seguintes vagas de trabalho: duas para serviços de limpeza, cinco para serviços de balcão, quatro para serviços de entregador e uma para serviços gerais. Para preencher essas vagas, candidataram-se 23 pessoas: oito para a função de limpeza, sete para a de balconista, seis para a de entregador e duas para serviços gerais. Considerando todas as possibilidades de seleção desses candidatos, determine o número total dessas possibilidades. 5. (UFSCar) Em seu trabalho, João tem 5 amigos, sendo 3 homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria tem, em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sendo 2 homens e 2 mulheres. Para uma confraternização, João e Maria pretendem convidar 6 dessas pessoas, sendo exatamente 3 homens e 3 mulheres. Determine de quantas maneiras eles podem convidar essas pessoas: a) dentre todos os seus amigos no trabalho. b) de forma que cada um deles convide exatamente 3 pessoas, dentre seus respectivos amigos. 6. (ITA) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada? E.O. Enem 1. (Enem) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de: a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos. 2. (Enem) Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir. Museus nacionais Museus internacionais Masp — São Paulo Louvre — Paris MAM — São Paulo Prado — Madri Ipiranga — São Paulo British Museum — Londres Imperial — Petrópolis Metropolitan — Nova York De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar? a) 6. b) 8. c) 20. d) 24. e) 36. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos. Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de: a) 80. b) 96. c) 120. d) 126.

44VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (UERJ) Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a: a) 45. b) 56. c) 69. d) 81. 3. (UERJ) A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. País Descrição Exemplo de placa X 3 letras e 3 algarismos, em qualquer ordem Y um bloco de 3 letras, em qualquer ordem, à esquerda de outro bloco de 4 algarismos, também em qualquer ordem Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p. A razão ___n pcorresponde a: a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais. Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critério. Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? a) 6720. b) 100800. c) 806400. d) 1120. 2. (Unesp) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem escolhidas para aposta, são sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa RS 2,00, uma aposta em 6 dezenas deve custar: a) R$ 15,00. b) R$ 30,00. c) R$ 35,00. d) R$ 70,00. e) R$ 140,00. 3. (Unesp) Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo. Modelo de folha de resposta (gabarito) A B C D E 01 X 02 X 03 X 04 X 05 X 06 X 07 X 08 X 09 X 10 X

45VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será: a) 302 400. b) 113 400. c) 226 800. d) 181 440. e) 604 800. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Em todos os 25 finais de semana do primeiro semestre de certo ano, Maira irá convidar duas de suas amigas para ir à sua casa de praia, sendo que nunca o mesmo par de amigas se repetirá durante esse período. Respeitadas essas condições, determine o menor número possível de amigas que ela poderá convidar. Dado: dXXXX 201 > 14,2. 2. (Unesp) Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam menores que 30? 3. (Fuvest) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1,2,3,..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4(quadra), 5(quina) ou todos os 6(sena) números sorteados. Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os 38760 jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que TODOS os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena. a) quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu? b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu? Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. C 3. C 4. D 5. B 6. A 7. B 8. E 9. A 10. C E.O. Fixação 1. C 2. A 3. B 4. C 5. A 6. D 7. E 8. A 9. D 10. B E.O. Complementar 1. C 2. B 3. C 4. E 5. B E.O. Dissertativo 1. a) 20160. b) 480. c) 2016. 2. a) 560. b) 210. 3. 2800. 4. 17640 5. a) 40 b) 18 6. 125. E.O. Enem 1. A 2. D E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. C 2. C 3. B E.O. UERJ Exame Discursivo 1. 10. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. D 2. B 3. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. 8. 2. 210. 3. a) 84 b) 1365

46VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. O coeficiente de a13 no binômio (a + 2)15 é: a) 105. b) 210. c) 360. d) 420. e) 480. 2. Desenvolvendo-se o binômio P(x) = (x + 1)5 , podemos dizer que a soma de seus coeficientes é: a) 16. b) 24. c) 32. d) 40. e) 48. 3. O valor da expressão 1534 – 4 ⋅ 1533 ⋅ 3+ 6 ⋅ 1532 ⋅ 32 – 4 ⋅ 153 ⋅ 33 + 34 é igual a: a) 153 (153 – 3)3 + 3. b) 1474 . c) 154 ⋅ 34 . d) 1534 . e) 154 ⋅ 104 . 4. A soma dos algarismos do termo independente de x no desenvolvimento do binômio de Newton ( __2 x+ x) 8 é: a) 3. b) 4. c) 6. d) 7. 5. A expressão (x + y)n , com “n” natural, é conhecida como binômio de Newton. Seu desenvolvimento é dado assim: (x + y)n = Cn,0xn y0 + Cn,1xn–1y1 + ... + Cn,pxn–pyp + ... + Cn,nxn–ny Por exemplo: (x + y)3 = C3,0x3 y0 + C3,1x3-1y1 + C3,2x3-2y2 + + C3,3x3-3y3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 Assim, a expressão 4x2 + 4xy + y2 corresponde a: a) C2,0 (2x)2 y0 + C2,1 (4x)1 y1 + C2,2 (2x)0 y2 . b) C2,0 (2x)2 y0 + C2,1 (2x)1 y1 + C2,2 (4x)0 y2 . c) C2,0 (x)2 y0 + C2,1 (2x)1 y1 + C2,2 (2x)0 y2 . d) C2,0 (4x)2 y0 + C2,1 (4x)1 y1 + C2,2 (4x)0 y2 . e) C2,0 (2x)2 y0 + C2,1 (2x)1 y1 + C2,2 (2x)0 y2 . 6. Os binomiais ( ___ 11 4x ) e ( ___ x + 3y y ) são complementares e, por isso, são iguais. Seu valor é: a) 165. b) 330. c) 55. d) 462. e) 11. 7. (n____ – 1 5 ) + (n____ – 1 6 ) = n2 ______ – n 2 , então n é igual a: a) 4. b) 6. c) 9. d) 5. e) 8. 8. No triângulo de Pascal n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 . . . . . . . . a soma dos elementos da linha n com os da linha n + 1 é: a) n ( n + 1 ). b) 2n ⋅ 2n+1. c) 3 ⋅ 2n . d) 2 ⋅ 2n+1. e) 3n ⋅ 2n+1. 9. Sobre as sentenças: I. (50 ___ 32 ) = (50 ___ 18 ) II. (20 ___ 0 ) + (20 ___ 1 ) + (20 ___ 2 ) + ... (20 ___ 20 ) = 220 III. (12 ___ 12 ) + (13 ___ 12 ) + (14 ___ 12 ) + ... + (32 ___ 12 ) = (33 ___ 13 ) a) Somente I é verdadeira. b) Somente II é verdadeira. c) Somente III é verdadeira. d) Somente I e II são verdadeiras. e) I, II e III são verdadeiras. BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL  COMPETÊNCIA(s) 5 HABILIDADE(s) 19, 20 e 21 MT AULAS 37 E 38

47VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Fixação 1. O termo independente de x do desenvolvimento de (x + __ 1 x3 ) 12 é: a) 26. b) 169. c) 220. d) 280. e) 310. 2. Qual é o valor do termo independente de x do binômio ( 2 __ x2 + x) n considerando que o mesmo corresponde ao sétimo termo de seu desenvolvimento? a) 435 b) 672 c) 543 d) 245 3. No cálculo de (x2 + xy)15, o termo em que o grau de x é 21 vale: a) 484x21y21. b) 1001x21y9 . c) 1008x21y8 . d) 1264x21y9 . e) 5005x21y9 . 4. No desenvolvimento (x2 + ___3 x ) n n e , os coeficientes binominais do quarto e do décimo terceiro termos são iguais. Então, o termo independente de x é o: a) décimo. b) décimo primeiro. c) nono. d) décimo segundo. e) oitavo. 5. A soma dos coeficientes de todos os termos do desenvolvimento de (x – 2y)18 é igual a: a) 0. b) 1. c) 19. d) –1. e) –19. 6. A soma alternada (10 ___ 0 ) – (10 ___ 1 ) + (10 ___ 2 ) – ... + (10 ___ 10 ) de coeficientes binomiais vale: a) 210. b) 20. c) 10. d) 10!. e) 0. 7. A solução n da equação a seguir é um número inteiro múltiplo de: ( n + 1 4 ) ______ (n – 1 2 ) =__7 2 a) 11. b) 9. c) 7. d) 5. e) 3. 8. Se um número natural n é tal que (10 ___ 5 ) + (10 ___ 6 ) + (11 ___ 7 ) = ( ______ 12 n2 – 2 ), então n é: a) igual a 6 ou – 6. b) um número par. c) um número quadrado perfeito. d) um número maior que 10. e) divisor de 15. 9. A soma (5 __ 2 ) + (5 __ 3 ) + (6 __ 4 ) + (7 __ 5 ) é igual a: a) ( 6 __ 5 ). b) ( 7 __ 6 ). c) ( 8 __ 7 ). d) ( 8 __ 4 ). e) ( 8 __ 5 ). 10. Se x = (6 __ 0 ) + (6 __ 1 )+ ... + (6 __ 6 ) e ( y __ 1 ) + ( y __ 2 ) + ... + ( y __ y ) = 255, então __x y vale: a) 5. b) 6. c) 8. d) 7. e) 9. E.O. Complementar 1. Povos diferentes com escrita e símbolos diferentes podem descobrir um mesmo resultado matemático. Por exemplo, a figura a seguir ilustra o Triângulo de Yang Yui, publicado na China em 1303, que é equivalente ao Triângulo de Pascal, proposto por Blaise Pascal 352 anos depois. Na expressão algébrica: (x + 1)100 = a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x2 + ... +a99 ⋅ x99 + a100 . x100 = an ⋅ xn

48VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias o coeficiente a2 de x2 é igual a: a) 2. b) 100. c) 4950. d) 9900. e) 2100. 2. O coeficiente de x4 y4 no desenvolvimento de (1 + x + y)10 é: a) 3150. b) 6300. c) 75600. d) 81900. e) 151200. 3. O valor de p na equação ( 14 ___ 3p ) = (____ 14 p + 6 ) é: a) p = 3 ou p = 2. b) p = –3 ou p = 2. c) p = 2. d) p = 3. 4. Sabendo que ( x __ y ) = a e ( _____ x y + 1 ) = b, o valor de ( x + 1 _____ y + 1 ) é: a) a + b. b) a – b. c) 2a. d) 2b – a. 5. Se a soma dos elementos da linha p do triângulo de Pascal vale 256, o valor de p e o elemento central dessa linha são: a) 8 e 70. b) 8 e 60. c) 10 e 70. d) 10 e 60. E.O. Dissertativo 1. Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto termo da expansão binomial de (3 dXXx + __1 x ) n seja independente de x na expansão em potências decrescentes de x. 2. Considerando que, a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 = 32 e a – b = –1, assinale o que for correto. 01) a > 1 02) b < 0 04) __b a é um número natur al 08) a2 + b2 = __5 2 16) ___ a b = ___ 1 3 3. (UEMA) Seja o desenvolvimento do Teorema Binomial (a + b)n = ( n __ k ) an-kbk = ( n __ 0 ) an + ( n __ 1 ) an-1b + ( n __ 2 ) an-2b2 + ... + ( n __ n ) bn , onde n e  a e b e  e os coeficientes binomiais ( n __ 0 ), ( n __ 1 ), ( n __ 2 ), ..., ( n __ n ) determinados por ( n p ) = ( _________ n! (n - p)!p! ) com n e p e  e n ≥ p. Considerando as condições acima em relação ao Teorema Binomial: a) desenvolva ( __1 x2 +___1 dXXx ) 5 ; b) para determinar um termo específico do binômio de Newton, é utilizado o termo geral Tk+1 = ( n __ k ) an-kbk . Determine o 8º termo do binômio ( __1 x2 +___1 dXXx ) 12 . 4. Escreva os binomiais equivalentes às seguintes somas: a) ( 2 __ 1 ) + ( 2 __ 2 ) b) ( 3 __ 1 ) + ( 3 __ 2 ) + ( 4 __ 3 ) + ( 5 __ 4 ) 5. Calcule o valor da expressão a seguir ( n __ 0 ) – ( n __ 1 ) + ( n __ 2 ) + ... + ( _____ n n – 1 ) – ( n __ n ), onde n é ímpar, justificando a sua resposta. 6. Assinale o que for correto. 01) ( n __ 2 ) = ( _____ n n – 2 ) 02) ( 4 __ 1 ) + ( 4 __ 2 ) + ( 4 __ 3 ) + ( 4 __ 4 ) = 15 04) A soma das soluções da equação ( 11 3 ) – ( 10 3 ) = ( 10 2 ) é 11. 08) A equação ( 10 x ) = ( 10 2x – 4 ) tem duas soluções distintas. 16) ( n __ 1 ) + ( n __ 2 ) = ( _____ n + 1 2 ) 7. Determine o valor da soma a seguir: (7 __ 2 ) + (__ 7 3 ) + (8 __ 4 ) + (9 __ 5 ) 8. Lembrando que: ( n __ p ) = __________ n! p!(n – p)!: a) calcule ( 12 ___ 4 ); b) simplifique a fração ( ___ 12 4 ) ____ ( ___ 12 5 ) ; c) determine os inteiros n e p de modo que: ( n p ) ___ 1 = ( n p + 1 ) ______ 2 = ( n p + 2 ) ______ 3 . E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração abaixo.

49VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula CP P + Cp p+1 Cp p+2 + ... + Cp n = Cp+1 n+1, qual n e p são números naturais, n $ p e Cp n correspondem ao número de combinações simples de n elementos tomados p a q. Com base nessas instruções, calcule: a) a soma C2 2 + C2 3 +C2 4 + ... + C2 18. b) o número total de laranjas que compõem quinze camadas. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. C 3. E 4. B 5. E 6. A 7. E 8. C 9. E E.O. Fixação 1. C 2. B 3. E 4. B 5. B 6. E 7. E 8. E 9. E 10. C E.O. Complemetar 1. C 2. A 3. A 4. A 5. A E.O. Dissertativo 1. n = 16 2. 04 + 08 + 16 = 28 3. a) Temos: ( __ 1 x2 +___ 1 dXX x ) 5 = ( 5 __ 0 ) ( __ 1 x2 ) 5 + ( 5 __ 1 ) ( __ 1 x2 ) 4 ___1 dXXx +( 5 __ 2 ) ( __ 1 x2 ) 3 ( ___ 1 dXXx ) 3 + ( 5 __ 3 ) ( __ 1 x2 ) 2 ( ___ 1 dXX x ) 3 + ( 5 __ 4 )__ 1 x2 ( ___ 1 dXXx ) 4 + ( 5 __ 5 ) ( ___ 1 dXXx ) 5 = ___ 1 x10 +____ 5 x8dXXx +___ 10 x7 + ____ 10 x5dXXx +__ 5 x4 +____ 1 x2dXXx . b) _____ 792 x13√ __ x . 4. a) ( 3 __ 2 ). b) ( __ 6 4 ). 5. Zero, pois os termos binomiais equidistantes dos extremos são complementares e, portanto, iguais, e possuem sinais contrários, anulando-se dois a dois. 6. 01 + 02 + 04 + 16 = 23. 7. 252. 8. a) ( __12 4 ) = 495. b) ( __12 4 ) _____ ( __12 5 ) = 5 __ 8 . c) n = 14 e p = 4. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. a) 969. b) 1360 laranjas.

50VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UFG) Para discutir com seus alunos a ideia de sinônimo, um professor adota a seguinte estratégia de ensino: inicialmente, recita parte de um poema, transcrita a seguir. ¨…Todo dia é ano novo no regato cristalino pequeno servo do mar nas ondas lavando as praias na clara luz do luar...” Disponível em: <http://pensador.uol.com.br/frase/MTUyODAy>. Acesso em: 10set. 2013. Posteriormente, escreve no quadro um conjunto com cinco palavras A = {cervo, cativo, veado, prisioneiro, corço}. Por fim, solicita a um aluno que escolha aleatoriamente uma palavra do conjunto A que tenha o mesmo significado da palavra em negrito apresentada no poema. Diante do exposto, a probabilidade de que o aluno escolha uma palavra que não mude o significado da palavra servo é: a) __1 5 . b) __2 5 . c) __3 5 . d) __4 5 . e) 1. 2. (UFSM) A tabela mostra o resultado de uma pesquisa sobre tipos sanguíneos em que foram testadas 600 pessoas. Tipo de sangue O+ A+ B+ AB+ O- A- B- ABNúmero de pessoas 228 216 48 15 30 48 12 3 Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter sangue do tipo A+ ou A– ? a) ___ 2 25 . b) ___ 11 50 . c) ___ 9 25 . d) ___ 19 50 . e) ___ 11 25 . 3. (Eear 2017) Uma urna contém bolas verdes e azuis. Sabe-se que a probabilidade de se retirar uma bola azul é de ___ 6 11 . A probabilidade de ser retirada, em uma única tentativa, uma bola verde é de. a) ___1 11 . b) ___2 11 . c) ___4 11 . d) ___5 11 . 4. (Unemat) Numa das salas do concurso de vestibular, há 40 candidatos do sexo masculino e feminino, concorrendo aos cursos de Matemática e de Computação, distribuídos conforme o quadro abaixo: Matemática Computação Masculino 15 10 Feminino 10 05 Antes do início da prova, será sorteado um candidato para abrir o envelope lacrado. Com base na distribuição do quadro acima, assinale a alternativa correta. a) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Computação e Feminino é de ___ 2 8 . b) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Matemática ou Feminino é de ___ 1 4 . c) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Matemática ou Feminino é de ___3 4 . d) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Matemática é de ___ 5 4 . e) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Computação ou Feminino é de ___ 3 8 . 5. (Espcex) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é: a) 4%. b) 5%. c) 5,4%. d) 7,2%. e) 8,2%. PROBABILIDADE: ADIÇÃO  COMPETÊNCIA(s) 7 HABILIDADE(s) 27, 28, 29 e 30 MT AULAS 39 E 40