101VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Complementar 1. (Ufrgs) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por f(x) = x2 + x – 2 e g(x) = 6 – x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaixo. A distância entre os pontos A e B é: a) 2dXX2 . b) 3dXX2 . c) 4dXX2 . d) 5dXX2 . e) 6dXX2 . 2. (UFMG) Os pontos A = (0, 3), B = (4, 0) e C = (a, b) são vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano. Considerando-se essa situação, é CORRETO afirmar que: a) b = __4 3 a. b) b = __4 3 a –__7 6 . c) b = __4 3 a + 3. d) b = __4 3 a –__3 2 . 3. (PUC-RJ) Seja d(P, Q) a distância entre os pontos P e Q. Considere A = (–1, 0) e B = (1, 0) pontos do plano. O número de pontos X = (x, y) tais que d(X, B) = __1 2 , d(X, A) = __1 2 d (A, B) é igual a: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 4. (Insper) Em um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, os pontos A(3, 2, 5), B(5, 2, 5), C(5, 4, 5) e D(3, 4, 5) são os vértices da base de uma pirâmide regular de volume 8. O vértice V dessa pirâmide, que tem as três coordenadas positivas, está localizado no ponto: a) (2, 1, 5). b) (3, 2, 2). c) (3, 2, 6). d) (4, 3, 7). e) (4, 3, 11). 5. (EEAR) O triângulo ABC formado pelos pontos A(7,3), B (-4, 3) e C (-4,-2) é: a) escaleno. b) isósceles. c) equiângulo. d) obtusângulo. E.O. Dissertativo 1. (UFRJ) Sejam A (1, 0) e B (5, 4dXX3) dois vértices de um triângulo equilátero ABC. O vértice C está no 2° quadrante. Determine suas coordenadas. 2. (UFBA) Considerando, no plano cartesiano, os pontos A(x, 0), B(1, 0) e C(4, 0), determine todos os valores de x para os quais a soma da distância de A a B e da distância de A a C seja menor ou igual a 7. 3. (PUC-RJ) Os três pontos A, P = (2,1) e Q = (5,16) no plano são colineares e AQ = 2 AP. Determine o ponto A. 4. (UFBA) Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, 2), B(−2, 4), C(0, 6), A’(0, 0), B’ (6dXX2 ,0) e um ponto C’ que tem coordenadas positivas. Sabendo que ^ BAC =^ B'A'C' e ^ ACB = ^ A'C'B', determine o produto das coordenadas do ponto C’. 5. (UFG) Um caçador de tesouros encontrou um mapa que indicava a localização exata de um tesouro com as seguintes instruções: “Partindo da pedra grande e seguindo 750 passos na direção norte, 500 passos na direção leste e 625 passos na direção nordeste, um tesouro será encontrado.” Para localizar o tesouro, ele utilizou um plano cartesiano, representado pela figura a seguir. Neste plano a escala utilizada foi de 1:100, as medidas são dadas em centímetros e o ponto A representa a pedra grande indicada nas instruções. Considerando que um passo mede 80 cm, encontre as coordenadas, no plano cartesiano, do ponto onde se encontra o tesouro e calcule a distância percorrida, em metros, pelo caçador de tesouros para encontrá-lo.
102VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (CFT-RJ) O professor pediu a João que calculasse a distância entre os pontos A = (2,1) e B = (6,4) no plano cartesiano. Para isso, João calculou a medida do segmento ——AB observando um triângulo retângulo que tem ——AB como hipotenusa. Após realizar o esboço abaixo, João fez a seguinte conta: d2 = 32 + 42 → d = 5. Com base nessas informações, calcule a distância entre os pontos (-5,1) e (7,6). 7. (UFJF-PISM) Considere os pontos A = (2,0), B = (-1, √ __ 3 ) e C = (-1, - √XX3 ) em um plano cartesiano. a) Determine o ângulo A^ BC. b) Calcule a área do triângulo ABC. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Um funcionário do setor de planejamento de uma distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos seus três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A(0,0) B(6,0) e C(3,4). Todas as unidades são dadas em quilômetros. O setor de planejamento decidiu instalar um depósito no ponto P(x,y), de modo que as distâncias entre o depósito e as três lojas sejam iguais: PA = PB = PC. 8. (FGV) Determine a quantos quilômetros da Loja A deverá ser instalado o depósito da distribuidora de materiais escolares. Aproxime a resposta para um número inteiro de quilômetros. E.O. Enem 1. (Enem) Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro. Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m, de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro. Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para √ __ 2 . O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de: a) 1.260. b) 2.520. c) 2.800. d) 3.600. e) 4.000. 2. (Enem) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q. Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais.
103VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são: a) (290; 20). b) (410; 0). c) (410; 20). d) (440; 0). e) (440; 20). 3. (Enem) Um construtor pretende murar um terreno e, para isso, precisa calcular o seu perímetro. O terreno está representado no plano cartesiano, conforme a figura, no qual foi usada a escala 1:500. Use 2,8 como aproximação para √ __ 8 . De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em metros, é: a) 110. b) 120. c) 124. d) 130. e) 144. 4. (Enem) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5,5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto: a) (-5,0). b) (-3,1). c) (-2,1). d) (0,4). e) (2,6). E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) As trajetórias A e B de duas partículas lançadas em um plano vertical xoy estão representadas a seguir. Suas equações são, respectivamente, y = (–1__ 2 ) x2 + 3x e y = (–1__ 2 ) x2 + x, nas quais x e y estão em uma mesma unidade u. Essas partículas atingem, em um mesmo instante t, o ponto mais alto de suas trajetórias. A distância entre as partículas, nesse instante t, na mesma unidade u, equivale a: a) dXX6 . b) dXX8 . c) dXXX 10 . d) dXXX 20 . E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC. Em relação a esse triângulo: a) demonstre que ele é retângulo; b) calcule a sua área.
104VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é: a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO. A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores. 2. (Unicamp) Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de: a) 1500 m. b) 500dXX5 m. c) 1000dXX2 m. d) 500 + 500dXX2 m. 3. (Fuvest) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C são: a) (2, 2 + dXX3 ). b) (1 + dXX3, __5 2 ). c) (2, 1 + dXX3 ). d) (2, 2 - dXX3 ). e) (1 + √3 XX , 2 + √3 XX ). E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas (–2, 1) e (1, –2), respectivamente, conforme a figura: a) Calcule a distância entre A e B. b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são (xG, yG) = ( __2 3 , 1), calcule as coordenadas (xC , yC ) do vértice C do triângulo. 2. (Unifesp) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A = (1,2), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com a circunferência. Nestas condições, determine: a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF. b) o valor do cosseno do ângulo AÔB. 3. (Unifesp) Considere os gráficos das funções definidas por f(x) = log10(x) e g(x) = 10x , conforme figura (fora de escala). Dê as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB.
105VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (Unesp) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, do Pérola Negra, o mapa da localização de um grande tesouro enterrado em uma ilha do Caribe. Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu que P1 e P2 se referem a duas pedras distantes 10 m em linha reta uma da outra, que o ponto A se refere a uma árvore já não mais existente no local e que: a) ele deve determinar um ponto M1 girando o segmento P1A em um ângulo de 90° no sentido anti-horário, a partir de P1; b) ele deve determinar um ponto M2 girando o segmento P2A em um ângulo de 90° no sentido horário, a partir de P2; c) o tesouro está enterrado no ponto médio do segmento M1M2. Jack, como excelente navegador, conhecia alguns conceitos matemáticos. Pensou por alguns instantes e introduziu um sistema de coordenadas retangulares com origem em P1 e com o eixo das abscissas passando por P2. Fez algumas marcações e encontrou o tesouro. A partir do plano cartesiano definido por Jack Sparrow, determine as coordenadas do ponto de localização do tesouro e marque no sistema de eixos inserido no campo de Resolução e Resposta o ponto P2 e o ponto do local do tesouro. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. A 2. C 3. B 4. B 5. C 6. D 7. B 8. E 9. D 10. D E.O. Fixação 1. E 2. D 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 8. E 9. E 10. D E.O. Complementar 1. E 2. B 3. C 4. E 5. A E.O. Dissertativo 1. C = (–3, 4dXX3 ) 2. { x ∈ R | –1 ≤ x ≤ 6 } 3. A ∈ PQ ⇒ A = (3, 6) ou A ∉ PQ ⇒ A = (–1, –14) 4. 72. 5. 750 · 0,8 = 600 m, 500 × 0,8 = 400 m e 625 × 0,8 = 500 m k = 500 · cos 45º = 500 · ___ dXX2 2 = 250 dXX2 Distância percorrida: 600 + 400 + 500 = 1500 m Coordenada do ponto T. xT = 400 + 250√ __ 2 yT = 600 + 250√ __ 2 . 6. d2 = 144 + 25 → d = 13. 7. a) A^ BC = 60º. b) A área do triângulo ABC é igual a (2√ __ 3 ) 2 ⋅√ __ 3 _________ 4 = 3√ __ 3 u⋅a. 8. 3 km. E.O. Enem 1. B 2. E 3. C 4. B E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. D
106VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame Discursivo 1. a) Observe a demonstração a seguir: AB= (6, –2) | AB | = dXXX 40 AC= (2, 2) | AC | = dXX8 BC= (–4, 4) | BC | = dXXX 32 Logo: | AB | 2 = | AC| 2 + | BC | 2 b) 8 u.a. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. B 2. B 3. A E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) AB = 3dXX2 . b) C (3; 4). 2. a) B(–1; 2), C(–dXX5 ; 0), D(–1; –2), E(1; –2) e F(dXX5; 0) S = 4[(dXX5 ) + 1] u.a. b) cos (AÔB) = 0,6. 3. ( ___ 11 2 ; ___ 11 2 ) 4. DP1 BM1 ⇒ DACP1 (LAA0 ) ⇒ P1 B = AC = a e P1 C = b DACP2 ⇒ DAM2 DP2 (LAA0 ) ⇒ DP2 = a e M2 D = 10 – b Logo, M1 = (a, b) e M2 (10 – a, 10 – b). Calculando as coordenadas do ponto M médio do segmento M1 e M2 ,temos: xM = _________ a + 10 – a 2 = 5 e yM = __________ b + 10 – b 2 = 5 Logo, o ponto médio do segmento de extremos M1 e M2 é M(5,5).
107VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (PUC-RS) A equação que representa a reta na figura abaixo é: a) y = x. b) y = – x + 1. c) y = – x – 1. d) y = x – 1. e) y = x + 1. 2. (Ufrgs) Considere a figura a seguir. 0 y 1 30° x r Uma equação cartesiana da reta r é: a) y = ___ dXX3 3 – x. b) y = ___ dXX3 3 (1–x). c) y = 1 – dXX3 x. d) y = dXX3 (1–x). e) y = dXX3 (x–1). 3. (UFSCar) Considere a relação gráfica: y (0,0) II I x Podemos afirmar que: a) o coeficiente linear de I é negativo. b) o coeficiente linear de II é positivo. c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear zero. d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o do gráfico I. e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o do gráfico II. 4. (PUC-RJ) Sejam r e s as retas de equações y = x – 2 e y = –__x 2 +__5 2 , respectivamente, representadas no gráfico abaixo. Seja A o ponto de interseção das retas r e s. Sejam B e C os pontos de interseção de r e s com o eixo horizontal, respectivamente. A área do triângulo ABC vale: a) 1,0. b) 1,5. c) 3,0. d) 4,5. e) 6,0. 5. (PUC-SP) Suponha que no plano cartesiano mostrado na figura abaixo, em que a unidade de medida nos eixos coordenados é o quilômetro, as retas r e s representam os trajetos percorridos por dois navios, N1 e N2 , antes de ambos atracarem em uma ilha, localizada no ponto I. Considerando que, no momento em que N1 e N2 se encontravam atracados em I, um terceiro navio, N3 , foi localizado no ponto de coordenadas (26; 29), a quantos quilômetros N3 distava de I? GEOMETRIA ANALÍTICA: INCLINAÇÃO DA RETA E COEFICIENTE ANGULAR COMPETÊNCIA(s) 2 e 5 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22 e 23 MT AULAS 41 E 42
108VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) 28. b) 30. c) 34. d) 36. e) 40. 6. (UPE) No plano cartesiano, as interseções das retas de equações x – y + 2 = 0; y = 4; y + x = –4 determinam um triângulo, cujos vértices são pontos de coordenadas: a) (2, 4); (-4, 4); (2, -4). b) (-2,4); (-4, 4); (-2, -4). c) (-2, -4); (8, -4); (3, 1). d) (4,2); (4, -8); (-1, -3). e) (2,4); (-8,4); (-3, -1). 7. (UEPB) A reta de equação (x – 2) m + (m – 3)y + m – 4 = 0 com m constante real, passa pelo ponto P(2,0). Então, seu coeficiente angular é: a) 4. b) – 4. c) __1 4 . d) –__1 4 . e) 2. 8. (FGV-RJ) Na figura abaixo, temos quatro retas r//s e t//u, cujas equações são: (r) : y = m1 x + n1 (s) : y = m2 x + n2 (t) : y = m3 x + n3 (u) : y = m4 x + n4 Podemos afirmar que: a) m1 = m2 e n1 < 0. b) m1 = m2 e n2 < 0. c) m3 = m4 e n3 < 0. d) m3 = m4 e n4 > 0. e) n1 = n2 e m1 > 0. 9. (UERN) A área do triângulo retângulo formada pela sobreposição das retas r e s, no gráfico, é igual a 36 unidades. Logo, a equação da reta r é: a) y = x + 12. b) y = –x + 16. c) y = –2x + 16. d) y = –2x + 12. 10. (Unisc 2017) Os pontos (0,-1), (1,2) e (3,k) do plano são colineares. O valor de k é igual a: a) 0. b) 2. c) –2. d) 8. e) –8. E.O. Fixação 1. (UFV) Considere o retângulo da figura abaixo, onde as diagonais são OP e AB, sendo P=(a, b). Considere as afirmações: I. O ponto médio da diagonal OP é ( __a 2 , __b 2 ). II. As diagonais se cortam ao meio. III. O coeficiente angular da diagonal AB é __b a . IV. Se as diagonais são perpendiculares, o retângulo é um quadrado. Atribuindo V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas, assinale a sequência CORRETA: a) V V V V. b) V V V F. c) V V F V. d) V V F F. e) V F V V. 2. (Ufrgs) No pentágono representado no sistema de coordenadas cartesianas abaixo, os vértices possuem coordenadas inteiras.
109VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias As retas suporte dos lados AE e BC interceptam-se no ponto: a) (5, ___ 4 3 ). b) (5, ___ 5 2 ). c) (5, ___ 5 3 ). d) (5, ___5 4 ). e) (5, ___6 5 ). 3. (Ufrgs) As equações das retas representadas no sistema de coordenadas cartesianas abaixo são: 2x + y – 3 = 0, 5x – 4y – 8 = 0 e x – 3y + 3 = 0. As equações de r e s são, respectivamente: a) 2x + y – 3 = 0 e x – 3y + 3 = 0. b) 2x + y – 3 = 0 e 5x – 4y – 8 = 0. c) 5x – 4y – 8 = 0 e x – 3y + 3 = 0. d) x – 3y + 3 = 0 e 2x + y – 3 = 0. e) x – 3y + 3 = 0 e 5x – 4y – 8 = 0. 4. (Insper) Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta de equação 12x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é igual a: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 5. (UPE) A reta r da figura possui equação 2x – 3y + 6 = 0, e o trapézio OBCD tem área igual a 9 unidades de área. Qual é a equação da reta s? a) x – 2,5 = 0. b) x – 3 = 0. c) x – 3,5 = 0. d) x – 4 = 0. e) x – 4,5 = 0. 6. (Insper) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s interceptam-se em um ponto de abscissa 6, então: a) b = a. d) b = a + 9. b) b = a – 9. e) b = a + 6. c) b = a – 6. 7. (Insper) No plano cartesiano, as retas r e s têm coeficientes angulares iguais a __1 3 e 2, respectivamente, e a reta t tem equação y = k, sendo k uma constante positiva. Se a área do triângulo destacado na figura é A, então o valor de k é: a) dXXX ___ 4A 5 . d) dXXX ___ 7A 4 . b) dXXX ___ 6A 5 . e) dXXX ___ 3A 2 . c) dXXX ___ 5A 4 . 8. (UFSM) O uso de fontes de energias limpas e renováveis, como a energia eólica, geotérmica e hidráulica, é uma das ações relacionadas com a sustentabilidade que visa a diminuir o consumo de combustíveis fósseis, além de preservar os recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em uma estação de energia eólica, os cata-ventos C1 , C2 e C3 estão dispostos conforme o gráfico a seguir. Para que um cata-vento de coordenadas (x, y) esteja alinhado com o cata-vento C1 e com o ponto médio do segmento C2 C3 é necessário e suficiente que: a) 2x + 15y = 850. b) 5y – x + 50 = 0. c) 55y – 26x + 2050 = 0. d) 4x + 5y = 450. e) 5y – 6x + 550 = 0.
110VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. (PUC-RJ) Considere o triângulo cujos lados estão sobre as retas y = 0, x + 2y = 6 e x – y = 2. Qual é a área do triângulo? a) ___ 1 3 . b) 1. c) ___ 8 3 . d) 3. e) 10 ___ 3 . 10. (UEPA) O gráfico abaixo representa, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um táxi, de um bairro A para um bairro B, passando pelos bairros X e Y nessa ordem. Se os pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação 3x – 4y + 120 = 0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, as coordenadas dos pontos A e B, são, respectivamente: a) (–80, –30) e (40, 60). b) (–40, –30) e (30, 40). c) (–30, –20) e (20, 30). d) (–80, –30) e (40, 50). e) (–40, –30) e (60, 40). E.O. Complementar 1. No plano cartesiano abaixo, a reta r passa pela origem e forma um ângulo θ com o eixo x. Escolhendo um ponto P(a, b) qualquer da reta r, e considerando θ = 40º, podemos afirmar que: a) Se P pertence ao 1º quadrante, então a = b. b) Se P pertence ao 3º quadrante, então a < b. c) a = b independente de qual quadrante estiver P. d) Se P pertence ao 3º quadrante, então a > b. 2. (Unioeste) Dado o ponto A(–2, 4), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados, respectivamente, sobre as retas y = 3x e y = –x de tal modo que A seja o ponto médio do segmento PQ. a) P(1,3) e Q(–5,5). b) P(2,6) e Q(4,–4). c) P(0,0) e Q(–5,5). d) P(1,3) e Q(4,–4). e) P(2,6) e Q(0,0). 3. (UFMG) Os pontos P e Q pertencem à reta de equação y = mx, têm abscissas a e a + 1, respectivamente. A distância entre P e Q é d10XXX . A ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa. Nessas condições, o valor de m é: a) – 3. b) – dXXX 10 . c) 3. d) d ____ XXX 10 10 . e) dXXX 10 . 4. (UEPB) No sistema de eixos cartesianos xy, a reta r, simétrica da reta s em relação ao eixo x, tem equação: a) x + y + 6 = 0. b) 3x + 2y + 6 = 0. c) 2x + 3y – 5 = 0. d) 2x + 3y – 6 = 0. e) 2x + 3y + 6 = 0. 5. (FGV) Os pontos A(0,1), B(1,1), C(1,0) e D(-k, -k), com k>0 formam o quadrilátero convexo ABCD com eixo de simetria sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares.
111VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias O valor de k para que o quadrilátero ABCD seja dividido em dois polígonos de mesma área pelo eixo y é igual a: a) 2+√ __ _____ 5 4 . b) 3+√ __ _____ 2 4 . c) 1+√ __ _____ 2 2 . d) 1+√ __ _____ 3 2 . e) 1+√ __ _____ 5 2 . E.O. Dissertativo 1. (UEMA) O método analítico em Geometria é uma ferramenta muito utilizada em estudo de coordenadas. Para fazer uma aplicação desse método, um professor lançou o seguinte desafio aos seus alunos: Teriam de construir, em sistema de coordenadas, a figura de um paralelogramo ABCD cujo ponto A está na origem; o ponto D(5, 0) e a diagonal maior com extremidade no ponto C(9, 4). Com base nas informações: a) faça o esboço em sistema de coordenadas da figura que representa o paralelogramo. b) determine a equação da reta que contém a diagonal maior. 2. (UFPR) Considere as retas r e s representadas no plano cartesiano abaixo. a) Escreva a equação da reta r. b) Qual deve ser o coeficiente angular da reta s, de modo que ela divida o triângulo cinza em dois triângulos com áreas iguais? Justifique sua resposta. 3. (UFC) Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3). a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. 4. (UFU) Se r e s são as retas perpendiculares, conforme esboçadas a seguir, determine a ordenada do ponto P, que é a interseção de r e s. 5. (UFG) No plano cartesiano, as retas r e s, de equações 2x − 3y + 3 = 0 e x + 3y − 1 = 0, respectivamente, se intersectam em um ponto C. Considerando o ponto P(0, −4), determine as coordenadas de dois pontos, A ∈ r e B ∈ s, de modo que o segmento CP seja uma mediana do triângulo ABC. 6. (UFG) Considere no plano cartesiano, duas retas, r e s, cujas equações são, respectivamente, dadas por y = x − 5 e y = 2x + 12. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 3) e intersecta r e s nos pontos A e B, com A ∈ r e B ∈ s, de modo que o ponto P seja o ponto médio do segmento AB. 7. (FGV) No plano cartesiano, são dadas as retas r de equação y = –√ __ 3 x + 7 e s de equação y = x + 7. Se θ é a medida, em graus, do maior ângulo do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x, determine: a) o valor do ângulo θ. b) a área desse triângulo. 8. (UEMA) Uma cidade gera, em média, 20 mil toneladas de lixo, diariamente, de diversos tipos: lixo residencial, lixo hospitalar, entulho. Uma cooperativa analisou os dados de coleta seletiva fornecidos pela Prefeitura, considerando somente a produção de lixo residencial para dois tipos de resíduo em uma determinada área onde pretendia atuar. Tais dados se referem à média diária, em toneladas, para cada ano de coleta, conforme tabela abaixo. Ano/Tipo Garrafas PET Papel 2012 15 20 2013 20 25 2014 20 35 2015 30 35 www3.prefeitura.sp.gov.br/limpeza_urbana/ formspublic/ limpezarua.apx. Adaptado. (Use, para fins de cálculo, apenas os dois últimos dígitos do ano). a) Qual a equação da reta que representa o comportamento da coleta total do ano de 2012 ao de 2014? b) A partir dos dados na tabela, qual será o valor total recolhido para esses dois resíduos no ano de 2020?
112VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. (PUC-RJ) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A = (6,13) e C = (12,5). a) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto M (ponto médio de AC, e pelo ponto P = (1,1), justificando sua resposta. b) Determine a medida do lado do quadrado ABCD, justificando sua resposta. c) Aumentando em 50 por cento o comprimento dos lados do quadrado ABCD, em que porcentagem a área da nova figura será aumentada em relação à área do quadrado original? Justifique sua resposta. E.O. Enem 1. (Enem) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá: a) diminuir em 2 unidades. b) diminuir em 4 unidades. c) aumentar em 2 unidades. d) aumentar em 4 unidades. e) aumentar em 8 unidades. 2. (Enem PPL) Os procedimentos de decolagem e pouso de uma aeronave são os momentos mais críticos de operação, necessitando de concentração total da tripulação e da torre de controle dos aeroportos. Segundo levantamento da Boeing, realizado em 2009, grande parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após iniciar-se a fase de descida da aeronave. Desta forma, é essencial para os procedimentos adequados de segurança monitorar-se o tempo de descida da aeronave.
113VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, registrada pela torre de controle, t minutos após o início dos procedimentos de pouso. tempo t(em minutos) 0 5 10 15 20 altitude y (em metros) 10000 8000 6000 4000 2000 Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y e t é linear. Disponível em: www.meioaereo.com. De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por a) y = – 400t. b) y = – 2000t. c) y = 8000 – 400t. d) y = 10000 – 400t. e) y = 10000 – 2000t. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Em uma folha de fórmica retangular ABCD, com 15 dm de comprimento AB por 10 dm de largura AD um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interseção desses segmentos. A figura a seguir representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados. D E A B C F y (dm) x (dm) Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm, determine as coordenadas do ponto F. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) No plano cartesiano, a reta de equação 2x – 3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas: a) (4, 4/3). b) (3, 2). c) (4, – 4 /3). d) (3, – 2). 2. (Fuvest) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é: a) (4, ___ 16 5 ). b) ( ___ 17 4 , 3). c) (5, ___ 12 5 ). d) ( ___ 11 2 , 2). e) (6, __8 5 ). 3. (Unicamp) No plano cartesiano, a equação, x – y=x + y representa. a) um ponto. b) uma reta. c) um par de retas paralelas. d) um par de retas concorrentes. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Sejam A = (2, 0) e B = (5, 0) pontos do plano e r a reta de equação y = x/2. a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o gráfico da reta r. b) Se C = (x, x/2), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C. 2. (Unicamp) As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c: a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b;
114VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias b) determine a, b e c, sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1. 0 P y R x Q Gabarito E.O. Aprendizagem 1. E 2. B 3. D 4. B 5. B 6. E 7. B 8. B 9. C 10. D E.O. Fixação 1. C 2. C 3. A 4. B 5. B 6. E 7. A 8. E 9. C 10. A E.O. Complementar 1. B 2. A 3. A 4. E 5. E E.O. Dissertativo 1. a) Considere a figura. b) A equação da reta que contém a diagonal maior é dada por y = _____ 4 – 0 9 – 0 · x ⇔ y = __4 9 · x. 2. a) Utilizando a forma segmentária da equação da reta, temos: x __ 4 + y __ 3 = 1⇔ 3x + 4y – 12 = 0. b) ms = y ____ M–0 xM–0 = 3 __ 2 – 0 ______ 2–0 = ___3 4 . 3. a) y = __3 4 x. b) y = __3 2 x + __9 2 . c) P (2, __3 2 ). 4. tg30º = ___ PH HA ⇔ yp = ___ dXX3 3 · (3dXX3– dXX3 ) = 2. P = (dXX3, 2) 5. A = (– ___ 28 3 , – ___ 47 9 ) e B = ( ___ 28 3 , – ___ 25 9 ). 6. A = (5, 0) e B = (–3, 6) y = – 3__ 4 x + ___ 15 4 . 7. a) 75º. b) 49(3 + √ __ 3 ) __________ 6 u.a. 8. a) De acordo com a tabela, tem-se que a reta passa pelos pontos (12,35) e (14,55) em que 12 corresponde ao ano de 2012 e 14 corresponde ao ano de 2014. Assim, a resposta é dada por: y – 35 = _______ 55 - 35 14 - 12 (x – 12) ⇔ y = 10x – 85. b) O resultado pedido, em toneladas, é igual a y = 10 ∙ 20 - 85 = 115. 9. a) Temos M = ( _____ 6+12 2 , _____ 13+5 2 ) = (9,9). Logo, como r também passa por P=(1,1) é imediato que sua equação é y=x. b) A medida da diagonal AC é dada por: d(A, C) = √ _______________ (12 - 6)2 + (5 - 13)2 = 10 u.c. Sabendo que a medida da diagonal de um quadrado é igual ao produto da medida do seu lado, ℓ, por √ __ 2 vem ℓ√ __ 2= 10 ⇔ ℓ = 5√ __ 2 u.c. c) Se ℓ é a medida do lado do quadrado, então sua área vale ℓ2 . Aumentando os lados em 50% a área do novo quadrado será (1,5ℓ)2 = 2,25ℓ2 ou seja, 2,25ℓ2 -ℓ2 _________ ℓ2 .100% = 125% maior do que a área do quadrado original. E.O. Enem 1. C 2. D E.O. UERJ Exame Discursivo 1. F = (6, 6) E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. D 2. D 3. D
115VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp 1. a) Observe o gráfico a seguir: 1 y (r) A B 0 2 5 x b) C = (8,4). 2. a) P = (– __b a, 0), Q = (0, b) e R = ( _______ b 2b – 2a, [b(2b – a)] __________ (2b – 2a) ). b) a = –8, b = 4 e c = 16.
116VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UFPR) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: 2y – x + 2 = 0 no plano cartesiano. As coordenadas cartesianas do ponto P, indicado nessa figura, são: a) (3,6). b) (4,3). c) (8,3). d) (6,3). e) (3,8). 2. As retas “r” e “s”, das equações, respectivamente, 2x – y + 5 = 0 e x + 2y = 5: a) são perpendiculares. b) são paralelas. c) formam, entre si, um ângulo de 30º. d) formam, entre si, um ângulo de 45º. e) formam, entre si, um ângulo de 60º. 3. (UFPR) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura ao lado descreve a situação de maneira simplificada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então: a) (21,7). b) (22,8). c) (24,12). d) (25,13). e) (26,15). 4. (Unemat) Dada a equação de reta s: 2x – y + 1 = 0, a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1,1) será: a) 2x – y = 0. b) 2x + y + 1 = 0. c) 2x + y – 1 = 0. d) 2x – y – 1 = 0. e) 2x – y + 2 = 0. 5. (ESPM) Dado, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A(0, 0), B(–2, 3) e C(4, 5), a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice A será: a) y = –2x. b) y = –3x. c) y = 2x. d) y = –4x. e) y = 5x. 6. (FGV) No plano cartesiano, considere o triângulo de vértices A(1 ,4), B(4,5) e C(6, 2). A reta suporte da altura relativa ao lado AC intercepta o eixo x no ponto de abscissa: a) 2. b) 2,2. c) 2,4. d) 2,6. e) 2,8. 7. (Unioeste) Os valores de k para que as retas 2x + ky = 3 e x + y = 1 sejam paralelas e perpendiculares entre si, respectivamente, são: a) – __ 3 2 e 1. b) −1 e 1. c) 1 e −1. d) −2 e 2. e) 2 e −2. 8. (FGV) Os pontos A(3, -2) e C(-1,4) do plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD cujas diagonais são AC e BD. A reta suporte da diagonal BD intercepta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada: a) 2/3. b) 3/5. c) 1/2. d) 1/3. e) 0. GEOMETRIA ANALÍTICA: POSIÇÃO RELATIVA E PERPENDICULARISMO COMPETÊNCIA(s) 2 e 5 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22 e 23 MT AULAS 43 E 44
117VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. (ESPM) Seja A = (4, 2) um ponto do plano cartesiano e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eixos coordenados. A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C é: a) 2x – y = 6. b) x – 2y = 0. c) x − y = 2. d) x + 2y = 8. e) x + y = 6. 10. (Ucpel) As retas 2x + 3y = 1 e 6x – ky = 1 são perpendiculares. Então, k vale: a) 2. b) 1. c) 3. d) 4. e) 5. E.O. Fixação 1. (UFSM) Sejam r: x + qy – 1 = 0 e s: px + 5y + 2 = 0 duas retas perpendiculares entre si. Então, é correto afirmar que: a) p/q = –5. b) p/q = 5. c) p/q = 1. d) p . q = –1. e) p . q = 5. 2. (UFSM) A figura mostra um jogo de videogame, em que aviões disparam balas visando a atingir o alvo. Quando o avião está no ponto (1, 2), dispara uma bala e atinge o alvo na posição (3, 0). Sendo r a reta determinada pela trajetória da bala, observe as seguintes afirmativas: I. O ponto P ( __1 2 , __5 2 ) pertence a r. II. A reta r é perpendicular à reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB, onde A (0, 3) e B (3,0). III. A reta r é paralela à reta s: 2x – 2y + 5 = 0. Está(ão) correta(s): a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 3. (PUC-Camp) Sabe-se que os pontos A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da BD é: a) dXX2 . b) dXX3 . c) 2dXX2 . d) dXX5 . e) 5. 4. (UFJF) Considere as retas r1 : y = m1 x + b1 e r2 : y = m2 x + b2 tais que r1 e r2 são paralelas, a reta r1 passa pelo ponto A(0, 2) e a reta r2 passa pelo ponto B(1, 0). Sabendo que a reta l passando pelos pontos A e B é perpendicular à reta r1 , qual é o valor do produto m2 · b1 ? a) – ___ 1 2 . b) 0. c) ___ 1 2 . d) 1. e) 2. 5. (Mackenzie) Na figura, as retas r e s são paralelas. Se (x, y) é um ponto de s, então x – y vale: a) 2. b) dXX2 . c) 4. d) 2dXX2 . e) 4dXX2 . 6. (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são (6, 10) e os lados AB e AD estão contidos, respectivamente, nas retas de equações y = ( __x 2 ) + 14 e y = 4x – 2. Nesse caso, as coordenadas do ponto B são: a) (7, ___ 35 2 ). b) (9, ___ 37 2 ). c) (8,18). d) (10,19).
118VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. (UEL) A trajetória de um móvel no plano cartesiano pode ser descrita, em função do tempo t, pelas equações x = 2 + t y = 3t Essa trajetória determina uma reta: a) que contém os pontos (3; 9) e (–2; 6). b) paralela à reta de equação 6x - 2y – 1 = 0. c) perpendicular à reta de equação 3x – y + 1 = 0. d) que contém os pontos (1; 3) e (7; 3). e) perpendicular à reta de equação 5x – y = 0. 8. (UECE) No referencial cartesiano ortogonal usual com origem no ponto O, a reta r, paralela à reta y = – 2x +1 intercepta os semieixos positivos OX e OY, respectivamente, nos pontos P e Q formando o triângulo POQ. Se a medida da área deste triângulo é igual a 9 m2 , então a distância entre os pontos P e Q é igual a: a) dXX5 m. b) 3dXX5 m. c) 4dXX5 m. d) 2dXX5 m. 9. (ITA) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento: a) ___ 15 8 . b) _____ 5dXXX 17 4 . c) _____ 3dXXX 17 5 . d) _____ 5dXXX 17 8 . e) _____ 17dXX5 8 . 10. (UECE) Em um plano, munido do sistema de coordenadas cartesianas usual, as equações 3x – 2y + 6 = 0 e 3x + 4y – 12 = 0 representam duas retas concorrentes. A medida da área da região limitada por essas retas e pelo eixo dos x é: Dados: u.a. = unidade de área: a) 9 u.a. b) 10 u.a. c) 11 u.a. d) 12 u.a. E.O. Complementar 1. (UFSCar) Dados os pontos A(2, 0), B(2, 3) e C(1, 3), vértices de um triângulo, o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é: a) ____ dXXX 10 3 . b) d ____ XXX 10 3 . c) ___ dXX2 2 . d) ____ dXXX 10 2 . e) dXXX 10 . 2. (PUC-SP) Em um sistema cartesiano ortogonal, em que a unidade de medida nos eixos é o centímetro, considere: § a reta r, traçada pelo ponto (2, 3) e paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares; § a reta s, traçada pelo ponto (2, 5) e perpendicular a r; § o segmento OA em que O é a origem do sistema e A é a intersecção de r e s. Um ponto M é tomado sobre o segmento OA de modo que OM e MA correspondam às medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo D. Se o outro cateto de D mede 3 cm, a área de sua superfície, em centímetros quadrados, é: a) 1,8. b) 2,4. c) 3,5. d) 4,2. e) 5,1. 3. Considere no plano cartesiano as retas r: e s: (k + 1) x – y – __k 2 = 0, onde k ∈ . Sobre as retas r e s é correto afirmar que NUNCA serão: a) concorrentes perpendiculares. b) concorrentes oblíquas. c) paralelas distintas. d) paralelas coincidentes. 4. (Esc. Naval) A figura abaixo mostra um ponto P ≠ O, O origem, sobre a parábola y = x2 e o ponto Q, interseção da mediatriz do segmento OP com eixo y. A medida que P tende à origem ao longo da parábola, o ponto Q se aproxima do ponto: a) (0, 0). b) (0, __1 8 ) c) (0, __1 6 ) d) (0, __1 4 ) e) (0, __1 2 ) 5. (Mackenzie 2017) A equação da mediatriz do segmento que une os pontos P = (1,–2) e Q = (5,4) é a) 2x + 3y – 9 = 0 b) 2x – 3y + 9 = 0 c) 2x – 3y – 3 = 0 d) 3x – 2y – 7 = 0 e) 3x + 2y – 11 = 0
119VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativo 1. (UFSC) Dados os pontos A(1, –1), B(–1, 3) e C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC. 2. (UFF) Considere a representação a seguir em que a reta r é perpendicular às retas s e t. Determine a equação da reta t, sabendo que UV = 2 PQ. 3. (UFPE) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, 2) e (1, 3). Assinale 4a – 2b. 4. (UFG) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C, sendo que suas coordenadas, no plano cartesiano, são dadas por (4, 0), (1, 6) e (7, 4), respectivamente. Sendo PC a altura relativa ao lado AB, calcule as coordenadas do ponto P. 5. (Ufrrj) Observe o gráfico a seguir e determine a distância entre o ponto de interseção das retas r e s e a reta t. t r 1 s 5 1 -1 2 5 6. (FGV) Os pontos A(3, 9), B(1, 1), C(5, 3) e D são vértices de um quadrilátero ABCD, de diagonais AC e BD, no primeiro quadrante do plano cartesiano ortogonal. O polígono cujos vértices são os pontos médios de AB, ——BC, CD e DA é um quadrado. a) Denotando por α o ângulo agudo de lados BA e BC, calcule cos α. b) Determine as coordenadas do vértice D. 7. (Ufrrj) Um avião taxia (preparando para decolar) a partir de um ponto que a torre de controle do aeroporto considera a origem dos eixos coordenados, com escala em quilômetros. Ele segue em linha reta até o ponto (3, –1), onde realiza uma curva de 90° no sentido anti-horário, seguindo, a partir daí, em linha reta. Após algum tempo, o piloto acusa defeito no avião, relatando a necessidade de abortar a decolagem. Se, após a mudança de direção, o avião anda 1 (um) km até parar, para que ponto do plano a torre deve encaminhar a equipe de resgate? 8. (FGV-RJ) No plano cartesiano são dados os pontos A = (–3,1) e B = (4,5). A reta r de equação kx – y + 2 = 0 é variável, pois sua posição depende do coeficiente real k. a) Determine para que valores de k os pontos A e B ficam de um mesmo lado da reta r. b) Determine para que valor de k os pontos A e B ficam equidistantes da reta r. 9. (ITA) Considere as retas de equações r: y = dXX2 x + a e s : y = bx + c, em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, com r passando por (0,1) e s, por (dXX2 , 4), determine a área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x. E.O. Enem 1. (Enem) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano: A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas: a) (65; 35). b) (53; 30). c) (45; 35). d) (50; 20). e) (50; 30).
120VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilíneo cujos pontos são equidistantes dos centros A e B de dois municípios. Em seu projeto de construção, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas em quilômetros, em que A = (1, 2) e B = (7, 14). Observe o gráfico: Determine, utilizando esse sistema referencial, a equação da reta suporte desse trecho retilíneo da ferrovia. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é: a) ____ 21 4 . b) ____ 23 4 . c) ____ 25 4 . d) ____ 27 4 . E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = 1/x, x > 0. As abscissas de A, B e C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD. a) Encontre as coordenadas do ponto D. b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem. 2. (Fuvest) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. E 8. D 9. A 10. D E.O. Fixação 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C 7. B 8. B 9. D 10. A E.O. Complementar 1. E 2. B 3. D 4. E 5. A E.O. Dissertativo 1. 04. 2. y = – x + 4. 3. 24. 4. P (3, 2). 5. 2dXX2unidades de comprimento. 6. a) cosα= _____ 6dXXX 85 85 . b) D (7, 3). 7. P = (3 + _____ d10 XXX 10 , – 1 + 3 · ____ d10 XXX 10 ). 8. a) 1/3 < k < 3/4. b) k = 2 ou k = 4/7. 9. ______ 121dXX2 12 .
121VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Enem 1. E E.O. UERJ Exame Discursivo 1. y – 8 = ___ –1 2 (x – 4) ⇒ 2y – 16 = –x + 4 ⇒ x + 2y – 20 = 0. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp 1. a) D = (3/2, 2/3). b) Os pontos médios de AB e CD são, respectivamente, (5/2, 5/12) e (11/4, 11/24). A equação da reta que passa por esses pontos é y = (1/6)x. Como o coeficiente linear desta reta é zero, ela passa pela origem. 2. ____ dXX2 2 .
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