51VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (UFU) Uma loja que comercializa celulares registrou, em uma campanha de lançamento, o número de compradores, femininos e masculinos, de um novo modelo de smartphone. O gráfico a seguir descreve o ocorrido nos quatro dias de pré-venda desse modelo. Com o sucesso de vendas, a loja decidiu sortear um acessório para este modelo de smartphone entre os compradores femininos e outro acessório entre os compradores masculinos. Qual é a probabilidade de que um dos sorteados tenha feito sua compra no primeiro dia de pré-venda e outro no último dia de pré-venda? a) _____ 17 120 . b) ___ 11 20 . c) ____ 7 80 . d) _____ 1 40 . 7. (IFAL) Em um grupo de 7 professores, quatro são de Física e 3 são de Matemática. Escolhidos dois professores ao acaso, qual é a probabilidade de pelo menos um deles ser de Matemática? a) ___ 1 7 . b) ___ 2 7 . c) ___ 7 5 . d) ___ 2 5 . e) ___ 5 7 . 8. (Ufrgs) As figuras abaixo representam dez cartões, distintos apenas pelos números neles escritos. Sorteando aleatoriamente um cartão, a probabilidade de ele conter um número maior do que 1 é: a) __1 5 . b) ___3 10 . c) __2 5 . d) __1 2 . e) __3 5 . 9. (IFAL) No Exame de Seleção 2017.1 para Cursos Subsequentes do IFAL Campus Maceió, são ofertadas 25 vagas para o Curso de Segurança do Trabalho, 25 para Eletrotécnica, 25 para Mecânica e 40 para Química. Qual a probabilidade de que o primeiro aluno a se matricular em 2017. 1 seja do Curso de Química? a) 5/23. b) 6/23. c) 7/23. d) 8/23. e) 9/23. 10. (Ifsul) Durante os séculos 18 e 19, muitos matemáticos se destacaram por suas contribuições na área da matemática. Dentre eles está Carl Friedrich Gauss (1777–1855) que ficou conhecido como "o príncipe da matemática" ou "o mais notável dos matemáticos" e seu trabalho teve enorme importância principalmente em áreas como a teoria da probabilidade. De posse dessa teoria, duas pessoas, A e B decidem lançar um par de dados. Eles combinam que se a soma dos números dos dados for 7, A ganha, e se a soma for 10, B ganha. Cada par de dados é lançado uma única vez. A probabilidade de B ganhar é de: a) __1 6 . b) __1 2 . c) ___1 36 . d) ___ 1 12 . E.O. Fixação 1. (UNEB) De acordo com o texto, se Cebolinha lançar a sua moeda dez vezes, a probabilidade de a face voltada para cima sair cara, em pelo menos oito dos lançamentos, é igual a:
52VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Sabendo que se ganha quando se obtêm 3 símbolos diferentes ou quando se obtêm 3 símbolos iguais, qual é a probabilidade de ganhar? a) ___7 16 . b) ___9 16 . c) ___ 35 64 . d) __3 4 . e) ___ 43 64 . 6. (Mackenzie) Em uma das provas de uma gincana, cada um dos 4 membros de cada equipe deve retirar, ao acaso, uma bola de uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 10 que deve ser reposta após cada retirada. A pontuação de uma equipe nessa prova é igual ao número de bolas com números pares sorteadas pelos seus membros. Assim, a probabilidade de uma equipe conseguir pelo menos um ponto é: a) 4/5. b) 7/8. c) 9/10. d) 11/12. e) 15/16. 7. (PUC-MG) Em uma população humana, a probabilidade de um indivíduo ser mudo é estimada em ______ 50 10000 , a probabilidade de ser cego é ______ 85 10000 , e a probabilidade de ser mudo e cego é ______ 6 10000 , . Nesse caso, “ser mudo” não exclui a possibilidade de “ser cego”. Com base nessas informações, a probabilidade de um indivíduo, escolhido ao acaso, ser mudo ou cego é igual a: a) 0,0129. b) 0,0135. c) 0,0156. d) 0,0174. 8. (UEG) Um nadador vai disputar duas provas nas Olimpíadas, primeiro os 100 metros borboleta e depois os 100 metros nado livre. A probabilidade de ele vencer a prova dos 100 metros borboleta é de 70% ao passo que a de ele vencer ambas é de 60%. Se ele vencer a prova dos 100 metros borboleta, a probabilidade de ele vencer a prova dos 100 metros nado livre é de aproximadamente: a) 0,42. b) 0,86. c) 0,50. d) 0,70. e) 0,60. 9. (Ufrgs) Considere um hexágono convexo com vértices A, B, C, D, E e F. Tomando dois vértices ao acaso, a probabilidade de eles serem extremos de uma diagonal do hexágono é: a) ___ 1 5 . b) ___ 2 5 . a) ____ 5 128 . b) ____ 7 128 . c) ____ 15 256 . d) ____ 17 256 . e) ____ 25 512 . 2. (Mackenzie) Em uma corrida em que não há empates, há apenas três competidores: A, B e C. A chance de A ganhar é de 1–para–3. A chance de B ganhar é de 2–para–3. Sabe-se que a expressão “a chance de X ganhar é de p– para–q” significa que a probabilidade de X ganhar é p _____ p + q. A chance de C ganhar é de: a) 0–para–3. b) 3–para–3. c) 5–para–12. d) 7–para–13. e) 13–para–20. 3. (Unisc) O pelotão de elite da prova final de uma maratona é composto por corredores que representam 3 equipes. As equipes A, B e C possuem, respectivamente, 9, 5 e 6 atletas classificados. Se todos os participantes têm a mesma chance de vencer a corrida, então a probabilidade (expressa percentualmente) de as medalhas de ouro, prata e bronze serem entregues a uma mesma equipe está no intervalo: a) [0;10[. b) [10; 12[. c) [12; 14[. d) [14; 20[. e) [20; 100[. 4. (FGV) Em um grupo de 300 pessoas sabe-se que: § 50% aplicam dinheiro em caderneta de poupança. § 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento. § 15% aplicam dinheiro em caderneta de poupança e fundos de investimento simultaneamente. Sorteando uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que ela não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é: a) 0,05. b) 0,20. c) 0,35. d) 0,50. e) 0,65. 5. (UEL) Em uma máquina caça-níqUEL com 4 símbolos e 3 carretes, cada resultado é formado aleatoriamente por 3 símbolos dos 4 possíveis, como exibido na linha central da máquina de caça-níqUEL. Carretes Resultado
53VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias c) ___ 3 5 . d) ___ 4 5 . e) 1. 10. (IFAL) Em um certo grupo de pessoas, 40 falam inglês, 32 falam espanhol, 20 falam francês, 12 falam inglês e espanhol, 8 falam inglês e francês, 6 falam espanhol e francês, 2 falam as 3 línguas e 12 não falam nenhuma das línguas. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de essa pessoa falar espanhol ou francês? a) 7,5%. b) 40%. c) 50%. d) 57,5%. e) 67,5%. E.O. Complementar 1. (Ulbra) Numa eleição municipal com três candidatos (A, B e C) a prefeito, uma agência de propaganda contratada pelo candidato A aplicou uma pesquisa sobre as intenções de voto em uma amostra dos moradores daquele município. O resultado da pesquisa apontou que a probabilidade de A vencer é metade da probabilidade de B vencer e que a probabilidade de C vencer é a soma da probabilidade de A vencer com a probabilidade de B vencer. Portanto, qual é, aproximadamente, a probabilidade de A vencer, em porcentagem? a) 16,7. b) 50. c) 33,4. d) 25. e) 42,2. 2. (IFSP) Uma caixa contém apenas bolas vermelhas, azuis e verdes. A probabilidade de retirar, ao acaso, uma bola vermelha é 0,25 e a probabilidade de retirar uma bola verde é 0,4. O menor número de bolas azuis que estão contidas na caixa é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. 3. (UPE) Em um jogo infantil, dois dados não viciados de 6 faces, cada uma numerada de um a seis, são jogados simultaneamente, e o jogador A (que joga os dados) vence sempre que a soma das faces que caíram para cima for igual a 6, 7 ou 8. Nos demais casos, vence o jogador B. Considerando que um jogo de dois jogadores é chamado de justo, sempre que a chance dos dois jogadores de vencer for a mesma e injusto, caso contrário, é correto afirmar que o jogo: a) é justo, pois os jogadores A e B têm iguais chances de vencê-lo. b) não pode ser dito justo ou injusto, pois tudo dependerá da sorte dos jogadores. c) é injusto, pois o jogador A tem mais chances de vencê-lo que o jogador B. d) é injusto, pois o jogador B tem mais chances de vencê-lo que o jogador A. e) é justo, pois independentemente das probabilidades envolvidas, o jogador A vence apenas quando as faces somam 6, 7 ou 8, enquanto que o jogador B vence quando as faces somam 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 ou 12, ou seja, existem bem mais somas favoráveis ao jogador B. 4. (PUCRJ) João joga dois dados comuns e soma os valores. Qual a probabilidade de a soma ser maior ou igual a 10? a) ____ 11 3 . b) ___ 1 6 . c) 3. d) ____ 5 36 . e) ____ 10 36 . 5. (FGV) Uma seguradora vende um tipo de seguro empresarial contra certo evento raro. A probabilidade de ocorrência do referido evento em cada empresa, no prazo de um ano, é p; a ocorrência do evento em uma empresa é independente da ocorrência do mesmo evento em outra. Há 10 empresas seguradas pagando cada uma R$ 90.000,00 pelo seguro anual. Caso ocorra o evento raro em uma empresa em um ano, a seguradora deve pagar a ela R$ 1.000.000,00. A probabilidade da seguradora ter prejuízo nessa modalidade de seguro em um ano é: a) p10. b) (1 - p)10. c) 1 - (1 - p)10. d) 1 - p10. e) p5 (1 - p)5 . E.O. Dissertativo 1. (UFMG) Uma pesquisa em um segmento populacional registrou o número de filhos por mulher. Em uma comunidade, à época da pesquisa, foram consultadas 1200 mulheres, revelando uma distribuição conforme mostra o gráfico a seguir.
54VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Observe que o gráfico informa o número de filhos por mulher e a porcentagem correspondente de mulheres com esse número de filhos, exceto na faixa correspondente a 5 filhos. Com essas informações: a) DETERMINE o número de mulheres entrevistadas com 5 filhos. b) CALCULE a média de filhos por mulher. c) CALCULE a probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter 3 filhos ou mais. 2. (UFPE) Um jornal inclui em sua edição de domingo um CD de brinde. O CD pode ser de rock ou de música sertaneja, mas, como está em uma embalagem não identificada, o comprador do jornal não sabe qual o gênero musical do CD, antes de adquirir o jornal. 40% dos jornais circulam com o CD de rock e 60% com o CD de música sertaneja. A probabilidade de um leitor do jornal gostar de rock é de 45%, e de gostar de música sertaneja é de 80%. Se um comprador do jornal é escolhido ao acaso, qual a probabilidade percentual de ele gostar do CD encartado em seu jornal? 3. (UFPR) Um programa de computador usa as vogais do alfabeto para gerar aleatoriamente senhas de 5 letras. Por exemplo: EEIOA e AEIOU são duas senhas possíveis. a) Calcule a quantidade total de senhas que podem ser geradas pelo programa. b) Uma senha é dita insegura se possuir a mesma vogal em posições consecutivas. Por exemplo: AAEIO, EIIIO, UOUUO são senhas inseguras. Qual a probabilidade do programa gerar aleatoriamente uma senha insegura? E.O. Enem 1. (Enem) Uma coleta de dados em mais de 5 mil sites da internet apresentou os conteúdos de interesse de cada faixa etária. Na tabela a seguir, estão os dados obtidos para a faixa etária de 0 a 17 anos. Preferências Porcentagem Música 22,5 Blogs 15,0 Serviços Web* 10,2 Games 10,0 Horóscopo 9,0 Game on-line 7,4 Educação ** 6,5 Teen 4,0 Compras 3,4 Outras 12,0 * Serviços web: aplicativos on-line, emoticons, mensagens para redes sodas, entre outros. ** Sites sobre vestibular, ENEM, páginas com material de pesquisa escolar. Considere que esses dados refletem os interesses dos brasileiros desta faixa etária. Disponível em: www.navegg.com. Acesso em: 12 nov. 2012 (adaptado). Selecionando, ao acaso, uma pessoa desta faixa etária, a probabilidade de que ela não tenha preferência por horóscopo é: a) 0,09. b) 0,10. c) 0,11. d) 0,79. e) 0.91. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unifesp) Considere a distribuição de genótipos AA, aa, Aa em uma população de 500 animais jovens, todos com x anos de idade. Sorteando ao acaso um indivíduo dessa população, a probabilidade de que ele seja de genótipo AA é de 32%, e de que seja de genótipo Aa é de 46%. Quando os membros dessa população envelhecem, ao atingirem y anos de idade (y > x), o gene a provoca a morte instantânea e, como A é dominante sobre a, os indivíduos AA e Aa permanecem sadios, enquanto que os indivíduos aa morrem. a) Quantos indivíduos de genótipo aa teríamos que acrescentar à população dos 500 animais de x anos de idade para que o sorteio de um indivíduo nesse novo grupo pudesse ser feito com probabilidade de 50% de que o indivíduo sorteado tivesse o gene A em seu genótipo? b) Sorteando-se ao acaso um indivíduo da população original dos 500 animais quando a idade de seus membros é de y anos, logo após a morte dos indivíduos de genótipo aa, qual é a probabilidade de que o indivíduo sorteado tenha um gene a em seu genótipo? 2. (Unesp) Um dado viciado, que será lançado uma única vez, possui seis faces, numeradas de 1 a 6. A tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência de cada face. número na face 1 2 3 4 5 6 probabilidade de ocorrência da face __1 5 ___3 10 ___3 10 ___ 1 10 ___ 1 20 ___1 20 Sendo X o evento “sair um número ímpar” e Y um evento cuja probabilidade de ocorrência seja 90%, calcule a probabilidade de ocorrência de X e escreva uma possível descrição do evento Y.
55VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. E 3. D 4. C 5. E 6. C 7. E 8. B 9. D 10. D E.O. Fixação 1. B 2. D 3. B 4. C 5. A 6. E 7. A 8. B 9. C 10. D E.O. Complementar 1. A 2. E 3. D 4. B 5. C E.O. Dissertativo 1. a) (100 – 15 – 20 – 30 – 20 – 7) ___________________________ 100 ⋅ 1200 = 8 ⋅ 12 = 96. b) 15 ⋅ 4 + 20 ⋅ 3 + 2 ⋅ 30 + 1 ⋅ 20 + 7 ⋅ 0 + 8 ⋅ 5 _____________________________________ 100 = 2,4. c) 20% + 15% + 8 % = 43%. 2. Um comprador do jornal gostará do CD encartado em seu jornal, se o jornal contiver um CD de rock e esse comprador gostar de rock, ou se o jornal contiver um CD de música sertaneja e esse comprador gostar de música sertaneja. Assim, a probabilidade pedida é dada por 0,4 ⋅ 0,45 + 0,6 ⋅ 0,8 = 0,66 = 66%. 3. a) Para cada posição temos 5 escolhas. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, podem ser geradas 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3125 senhas. b) Temos 5 escolhas para a primeira posição, 4 escolhas apara a segunda posição, 4 escolhas para a terceira posição, e assim por diante, até a quinta posição. Daí, pelo Princípio Multiplicativo, existem 5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 1280 senhas seguras. Portanto, a probabilidade do programa gerar uma senha insegura é: 1 – _____ 1280 3125 = 1 – ____ 256 625 = ____ 369 625 . E.O. Enem 1. E E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) O número de indivíduos com genótipo aa na população de 500 animais é dado por: (1 – 0,32 – 0,46) ⋅ 500 = 0,22 ⋅ 500 = 110 Logo, se n é o número de indivíduos de genótipo aa que devemos acrescentar à população de 500 animais, de modo que a probabilidade de sortear um indivíduo com esse mesmo genótipo seja de 50% então: _______ n + 110 n + 500 = __1 2 ⇔ 2n + 220 = n + 500 ⇔ n = 280. b) Após y anos, estarão vivos apenas 550 – 110 = 390 indivíduos da população original. Desse modo, como restarão apenas 0,46 ⋅ 500 = 230 indivíduos com o gene a, segue que a probabilidade pedida é igual a ____ 230 390 = ___ 23 39 . 2. A probabilidade de sair um número ímpar será dada por: P(x) = 1 __ 5 + ___ 3 10 + ___ 1 20 = ___ 11 20 = ____ 55 100 = 55% Poderemos admitir o evento Y como sendo “Sair um número menor ou igual a quatro”, pois neste caso, a probabilidade de ocorrência do evento Y seria dada por: P(y) = 1 __ 5 + ___ 3 10 + ___ 3 10 + ___ 1 10 = ___ 9 10 = ____ 90 100 = 90%.
56VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UPE) Dois atiradores, André e Bruno, disparam simultaneamente sobre um alvo. § A probabilidade de André acertar no alvo é de 80%. § A probabilidade de Bruno acertar no alvo é de 60%. Se os eventos “André acerta no alvo” e “Bruno acerta no alvo”, são independentes, qual é a probabilidade de o alvo não ser atingido? a) 8%. b) 16%. c) 18%. d) 30%. e) 92%. 2. (UEPA) Leia o texto para responder à questão. Sabe-se que ler cria bons estudantes, melhora a capacidade de relacionamento e ativa os lugares certos do cérebro. Cultivar o hábito da leitura surte efeitos nítidos: desenvolve a imaginação, o vocabulário e o conhecimento. Não é acaso que jovens de grande promessa nos estudos e na carreira profissional sejam leitores vorazes. Pensando nisso, um jovem deseja presentear um amigo leitor com dois livros, entretanto fica na dúvida quanto ao estilo – ficção ou não ficção. Decide sortear dois títulos distintos dentre 10 títulos de ficção e 12 títulos de não ficção. Fonte: Texto adaptado – Revista Veja (edição 2373). Tomando por base as informações do texto, a probabilidade de esse jovem sortear, sucessivamente, um após o outro, dois títulos de ficção é: a) ___ 15 77 . b)___ 5 11 . c) ___ 6 11 . d) __ 5 8 . e) __1 5 . 3. (PUC-RJ) Em uma urna existem 10 bolinhas de cores diferentes, das quais sete têm massa de 300 gramas cada e as outras três têm massa de 200 gramas cada. Serão retiradas 3 bolinhas, sem reposição. A probabilidade de que a massa total das 3 bolinhas retiradas seja de 900 gramas é de: a) ___3 10 . b) ___7 24 . c) ___7 10 . d) ___1 15 . e) ____ 9 100 . 4. (PUC-RJ) Jogamos uma moeda comum e um dado comum. A probabilidade de sair um número par e a face coroa é: a) 0,1. b) 0,2. c) 0,25. d) 0,33. e) 0,5. 5. (Fatec) Em um supermercado, a probabilidade de que um produto da marca A e um produto da marca B estejam a dez dias, ou mais, do vencimento do prazo de validade é de 95% e 98%, respectivamente. Um consumidor escolhe, aleatoriamente, dois produtos, um produto da marca A e outro da marca B. Admitindo eventos independentes, a probabilidade de que ambos os produtos escolhidos estejam a menos de dez dias do vencimento do prazo de validade é: a) 0,001%. b) 0,01%. c) 0,1%. d) 1%. e) 10%. 6. (PUC-RJ) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {8, 9, 10} Escolhendo-se ao acaso um elemento de A e um elemento de B a probabilidade de que a soma dos dois números escolhidos seja um número ímpar é: a) __1 2 . b) __3 5 . c) ___ 12 25 . d) ___ 6 25 . e) ___7 10 . PROBABILIDADE CONDICIONAL COMPETÊNCIA(s) 7 HABILIDADE(s) 27, 28, 29 e 30 MT AULAS 41 E 42
57VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. (Acafe) Uma prova consta de 7 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas cada uma, e apenas uma correta. Se um aluno escolher como correta uma alternativa ao acaso em cada questão, a probabilidade de que ele acerte ao menos uma questão da prova é de, aproximadamente: a) 87%. b) 85%. c) 90%. d) 47%. 8. (Unisinos) Em uma gaveta, há 12 meias brancas e 8 meias cinzas. Retiram-se duas meias, sem reposição. Qual a probabilidade de as duas meias que foram retiradas serem de cores diferentes? a) __1 4 . b) ____ 24 95 . c) ____ 10 17 . d) ___ 1 2 . e) ____ 48 95 . 9. (Unioeste) A tabela a seguir apresenta o número de casos notificados ou prováveis de dengue, chikungunya e Zika vírus, registrados nos estados do Sul do Brasil até a semana 23 do ano de 2016, conforme boletim epidemiológico do Ministério da Saúde. Estado Dengue Zika Chikungunya Paraná 71.144 1.935 1.459 Santa Catarina 5.344 360 324 Rio Grande do Sul 3.961 97 233 Escolheu-se aleatoriamente um paciente do Sul do Brasil registrado como um caso (notificado ou provável) de uma dessas doenças. Com relação ao paciente supracitado, de acordo com a tabela acima, assinale a afirmação que é INCORRETA. a) A probabilidade de ser um caso de chikungunya ou de ter sido no Paraná é maior que 90%. b) A probabilidade de que seja um caso do Rio Grande do Sul é menor que a probabilidade de ser um caso de dengue. c) A probabilidade de que não seja do Paraná é menor que 15%. d) A probabilidade de ser um caso de Zika ou de ter sido em Santa Catarina é menor que 10%. e) A probabilidade de ser um caso no Paraná ou ser de dengue é maior que 98%. 10. (FGV-RJ) A equipe olímpica de Matemática da Escola Math é composta de três meninos e quatro meninas. Para a próxima Olimpíada de Matemática, cada escola deverá enviar quatro representantes e, dada a homogeneidade intelectual de sua equipe, a Escola Math resolveu sortear entre os sete estudantes de sua equipe os quatro que a representarão. Os quatro representantes serão sorteados um de cada vez, sem reposição. A probabilidade de que nem todos os meninos estejam entre os quatro representantes é: a) ___ 2 7 b) ___ 3 7 c) ___ 11 14 d) ___ 25 28 e) ____ 31 35 E.O. Fixação 1. (UPF) Duas bolsas de estudo serão sorteadas entre 9 pessoas, sendo 7 mulheres e 2 homens. Considerando-se que uma pessoa desse grupo não pode ganhar as duas bolsas, qual a probabilidade de duas mulheres serem sorteadas? a) ___ 7 12 . b) ___ 7 9 . c) ___ 2 7 . d) ____ 1 21 . e) ____ 7 36 . 2. (FGV) Um sistema de controle de qualidade consiste em três inspetores A, B e C que trabalham em série e de forma independente, isto é, o produto é analisado pelos três inspetores trabalhando de forma independente. O produto é considerado defeituoso quando um defeito é detectado, ao menos, por um inspetor. Quando o produto é defeituoso, a probabilidade de o defeito ser detectado por cada inspetor é 0,8. A probabilidade de uma unidade defeituosa ser detectada é: a) 0,990. b) 0,992. c) 0,994. d) 0,996. e) 0,998. 3. (UPE) Dentre os esportes oferecidos aos estudantes de uma escola com 3.000 alunos, temos o futebol como preferência, sendo praticado por 600 estudantes. 300 estudantes dessa mesma escola praticam natação, e 100 praticam ambos os esportes. Selecionando-se um estudante praticante de futebol para uma entrevista, qual a probabilidade de ele também praticar natação? a) 1/3. b) 2/3. c) 4/3. d) 1/6. e) 5/6
58VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (Afa) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos. Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca- -se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B. A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é: a) ____ 8 81 . b) ____ 15 81 . c) ____ 18 81 . d) ____ 23 81 . 5. (UEG) Renata está grávida e realizará um exame que detecta o sexo do bebê. Se o exame detectar que é um menino, a probabilidade de ela pintar o quarto do bebê de azul é de 70%, ao passo que de branco é de 30%. Mas, se o exame detectar que é uma menina, a probabilidade de ela pintar o quarto do bebê de rosa é de 60% contra 40% de pintar de branco. Sabendo-se que a probabilidade de o exame detectar um menino é de 50%, a probabilidade da Renata pintar o quarto do bebê de branco é de: a) 70%. b) 50%. c) 35%. d) 30%. e) 20%. 6. (PUC-RJ) As cartas de um baralho comum (13 de copas, 13 de paus, 13 de ouros e 13 de espadas) são empilhadas. Qual a probabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo também? a) ___ 1 13 b) 1 __ 2 c) __1 5 d) ___ 1 17 e) ___ 1 52 7. (FGV) Uma loteria consiste no sorteio de três números distintos entre os 20 números inteiros de 1 a 20; a ordem deles não é levada em consideração. Ganha um prêmio de R$ 100.000,00 o apostador que comprou o bilhete com os números sorteados. Não existem bilhetes com a mesma trinca de números. O ganho esperado do apostador que comprou um determinado bilhete é igual ao prêmio multiplicado pela probabilidade de ganho. Quem apostou na trinca {4, 7, 18} tem um ganho esperado de aproximadamente: a) R$ 88,00 b) R$ 89,00 c) R$ 90,00 d) R$ 91,00 e) R$ 92,00 8. (FGV) Uma fração, definida como a razão entre dois inteiros, chama-se imprópria quando o numerador é maior ou igual ao denominador e chama-se decimal quando o denominador é uma potência de dez. Dois dados convencionais, de seis faces equiprováveis, possuem cores diferentes: um deles é branco, e o outro preto. Em um lançamento aleatório desses dois dados, o número obtido no dado branco será o numerador de uma fração, e o obtido no dado preto será o denominador. A probabilidade de que a fração formada seja imprópria e equivalente a uma fração decimal é igual a: a) ____ 17 36 . b) ___ 1 2 . c) ____ 19 36 . d) ___ 5 9 . e) ____ 7 12 . 9. (Mackenzie) João guardou as duas chaves de sua casa em uma caixa que estava na estante da sala. Ao sair, no dia seguinte, foi pegar as chaves de casa na caixa em que as havia guardado e percebeu que a caixa continha 5 chaves e não apenas as duas que eram suas. Como não conseguia distinguir as suas chaves e já estava atrasado para um compromisso, João resolveu sortear 3 das 5 chaves e levá-las consigo. Assim, a probabilidade de que João consiga entrar em casa quando voltar é: a) 0,5 b) 0,7 c) 0,9 d) 0,6 e) 0,4 10. (ITA) Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30 m de distância; o segundo, a 40 m o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de ___2 3 , então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é: a) 120 ____ 160 . b) 119 ____ 154 . c) 110 ____ 144 . d) 105 ____ 135 . e) 119 ____ 144 .
59VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Complementar 1. (ITA) Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda: I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos. III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos. Pode-se afirmar que: a) dos três resultados, I é o mais provável. b) dos três resultados, II é o mais provável. c) dos três resultados, III é o mais provável. d) os resultados I e II são igualmente prováveis. e) os resultados II e III são igualmente prováveis. 2. (ESPM) Apenas 40% dos hóspedes de um hotel de São Paulo são estrangeiros, sendo que 70% deles são ingleses e os demais franceses. Sabe-se que 25% dos franceses e 50% dos ingleses falam português. Escolhendo-se, ao acaso, um dos hóspedes desse hotel, a probabilidade de que ele fale português é: a) 65%. b) 72%. c) 68%. d) 77%. e) 82%. 3. (FGV) A probabilidade de ocorrência do evento A é igual a __3 4 , e a de ocorrência do evento B é igual a __2 3 . Apenas com essas informações, e sendo p a probabilidade de ocorrência de A e B pode-se afirmar que o menor intervalo ao qual p necessariamente pertence é: a) [ ___ 1 12 ;__2 3 ]. b) [ __ 1 2 ; __ 2 3 ]. c) [ ___ 1 12 ;__ 1 2 ]. d) [ ___ 5 12 ; __ 1 2 ]. e) [ ___ 5 12 ;__ 2 3 ]. 4. (FMP) Um grupo é formado por três homens e duas mulheres. Foram escolhidas, ao acaso, três pessoas desse grupo. Qual é a probabilidade de as duas mulheres do grupo estarem entre as três pessoas escolhidas? a) ___ 3 10 b) ___ 1 10 c) __2 5 d) __2 3 e) __1 3 5. (UPE-SSA) Uma urna contém 18 bolas vermelhas, 12 amarelas e 20 brancas, sendo todas idênticas. Quantas bolas brancas devem ser retiradas dessa urna, de modo que, ao sortear uma bola, a probabilidade de ela ser branca seja igual a __ 1 6 ? a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12 E.O. Dissertativo 1. (PUC-RJ) Um baralho tem 26 cartas pretas e 26 cartas vermelhas. As cartas estão ordenadas ao acaso. a) Retiramos uma carta do baralho completo: qual é a probabilidade de que a carta seja vermelha? b) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a probabilidade de que as três cartas sejam vermelhas? c) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a probabilidade de que duas cartas sejam vermelhas e uma preta? 2. (UFPR) Considere três caixas contendo bolas brancas e pretas, conforme ilustra a figura. Uma bola é retirada aleatoriamente da caixa 1 e colocada na caixa 2. Então, uma bola é retirada aleatoriamente da caixa 2 e colocada na caixa 3. Finalmente, uma bola é retirada aleatoriamente da caixa 3. Calcule a probabilidade de que essa última bola retirada seja branca. 3. (UFPR) Uma caixa contém 7 lápis azuis, 5 vermelhos e 9 amarelos. Sabendo que a caixa contém somente esses lápis, responda: a) Qual o número mínimo de lápis que devemos retirar (sem olhar a cor) para que estejamos certos de haver retirado 4 lápis de uma mesma cor? Justifique sua resposta. b) Se retirarmos ao acaso 3 lápis dessa caixa (sem olhar a cor), qual é a probabilidade de que todos sejam da cor amarela? 4. (Usf) Em um grande hospital, há 500 leitos e todos estão ocupados. Uma das alas desse hospital é destinada a pessoas com HIV positivo. 40% dos internados são mulheres e sabe-se que, entre elas, 10% são HIV positivo. Entre os homens internados nesse hospital, 15% são HIV positivo. Escolhido um paciente ao acaso, qual a probabilidade de ele ser HIV positivo? 5. (FGV) Sob o olhar do juiz, o confronto entre advogados e promotores para convencer sete jurados, cuja decisão traçará o destino dos réus, é a imagem mais co-
60VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias nhecida da Justiça. Retratados em filmes e obras literárias, os tribunais do júri são o momento mais aguardado e costumam selar histórias de dor e sofrimento. No Brasil, o júri popular é previsto no Código de Processo Penal para julgar crimes contra a vida. (...) Podem alistar-se para participar de julgamentos os cidadãos maiores de 18 anos de ‘notória idoneidade’, ou seja, sem antecedentes criminais (...) No dia do julgamento, devem comparecer ao tribunal 25 jurados, assim como as testemunhas convocadas e o réu (...) Se ao menos 15 jurados convocados comparecerem, são instalados os trabalhos. Adaptado de: http://www.terra.com.br/ noticias/infograficos/juri-popular/ São sorteados sete jurados para compor o chamado Conselho de Sentença. O advogado de defesa e o Ministério Público podem recusar os jurados sorteados, até três cada parte, sem motivar a recusa. Considere o cenário apresentado e responda: a) Para a condução do sorteio, utilizam-se pequenas esferas sólidas de raio 1 cm. Se 25 esferas forem armazenadas em uma urna em forma de cubo, qual deve ser o valor da aresta desse cubo, de forma que a soma do volume das esferas corresponda a 10% do volume da urna? Utilize a aproximação π = 3. b) Considere que, após os vetos do advogado de defesa e do Ministério Público, tenham restado apenas 9 indivíduos aptos a compor o Conselho de Sentença. Qual é o número de possíveis composições (de 7 jurados cada) para o conselho? c) Suponha que existam 4 mulheres e 5 homens no grupo de indivíduos aptos a compor o Conselho de Sentença. Nessa situação, qual é a probabilidade de que as quatro mulheres participem, juntas, do conselho? 6. (FGV) a) De forma consecutiva extraímos de uma urna três bolas numeradas de 1 a 9, repondo a bola retirada após cada extração, formando um número de três algarismos. O primeiro algarismo sorteado é o algarismo das centenas; o segundo, o das dezenas; e o terceiro, o das unidades. Calcule a probabilidade de que saia um número: I. com três algarismos repetidos; II. sem nenhum algarismo repetido; III. com exatamente dois algarismos exatamente iguais. b) Em uma caixa com 10 lapiseiras, 4 delas estão com defeito. Se um cliente compra 2 lapiseiras escolhidas aleatoriamente, é certo afirmar que a probabilidade de que nenhuma lapiseira esteja com defeito é maior que 30% 7. (PUC-RJ) Temos uma urna com 100 bolas numeradas de 1 a 100. a) Escolhendo duas bolas distintas simultaneamente, qual a probabilidade de que a soma seja 3? b) Escolhendo duas bolas distintas simultaneamente, qual a probabilidade de que a soma seja menor ou igual a 7? c) Escolhendo duas bolas distintas simultaneamente, qual a probabilidade de que o produto seja um número par? 8. (FGV-RJ) Seis bolas brancas e seis bolas pretas estão distribuídas em três caixas e nenhuma caixa contém bolas de uma só cor. A primeira caixa contém 3 bolas, a segunda 4 bolas e a terceira 5 bolas. Sabe-se que a segunda caixa é a única em que o número de bolas pretas é maior do que o número de bolas brancas. Retirando uma bola de cada caixa, determine a probabilidade de que sejam da mesma cor. 9. (UFJF-PISM) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Cada bola tem peso proporcional ao número marcado nela, de modo que, após o sorteio de uma bola, a probabilidade de observarmos um número é proporcional a este número, com a mesma constante de proporcionalidade para todos os números. Determine a probabilidade de sortearmos: a) um número ímpar. b) um número par, maior ou igual a 6. 10. (UFU) A tabela que segue descreve o número de jogadores de uma equipe de vôlei, com suas respectivas idades, em que k é um número natural fixo. Número de jogadores Idade 1 19 5 21 k 23 3 24 Sabendo que a média de idade de todos os jogadores é 22 anos, elabore e execute um plano de resolução de forma a determinar: a) O número de formas distintas de se estruturar aleatoriamente uma comissão representativa da equipe composta por dois jogadores. b) A probabilidade de a média de idade dos dois jogadores da comissão ser superior a 22 anos. E.O. Enem 1. (Enem) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? a) __1 2 . b) __5 8 . c) __1 4 . d) __5 6 . e) ___5 14 .
61VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (Enem) No próximo final de semana, um grupo de alunos participará de uma aula de campo. Em dias chuvosos, aulas de campo não podem ser realizadas. A ideia é que essa aula seja no sábado, mas, se estiver chovendo no sábado, a aula será adiada para o domingo. Segundo a meteorologia, a probabilidade de chover no sábado é de 30% e a de chover no domingo é de 25%. A probabilidade de que a aula de campo ocorra no domingo é de: a) 5,0%. b) 7,5%. c) 22,5%. d) 30,0%. e) 75,0%. 3. (Enem) A probabilidade de um empregado permanecer em uma dada empresa particular por 10 anos ou mais é de ___1 6 . Um homem e uma mulher começam a trabalhar nessa companhia no mesmo dia. Suponha que não haja nenhuma relação entre o trabalho dele e o dela, de modo que seus tempos de permanência na firma são independentes entre si. A probabilidade de ambos, homem e mulher, permanecerem nessa empresa por menos de 10 anos é de: a) ___ 60 36 . b) ___ 25 36 . c) ___ 24 36 . d) ___ 12 36 . e) ___1 36 . 4. (Enem) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é: a) 23,7%. b) 30,0%. c) 44,1%. d) 65,7%. e) 90,0%. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Considere o conjunto de números naturais abaixo e os procedimentos subsequentes: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 1. Cada número primo de A foi multiplicado por 3. Sabe-se que um número natural P é primo se P > 1 e tem apenas dois divisores naturais distintos. 2. A cada um dos demais elementos de A, foi somado o número 1. 3. Cada um dos números distintos obtidos foi escrito em apenas um pequeno cartão. 4. Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamente dois cartões com números distintos ao acaso. A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado estar escrito um número par é: a) ___5 12 . b) ___7 12 . c) ___ 13 24 . d) 17 ___ 24 . E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Um alvo de dardos é formado por três círculos concêntricos que definem as regiões I, II e III, conforme mostra a ilustração. Um atirador de dardos sempre acerta alguma região do alvo, sendo suas probabilidades de acertar as regiões I, II e III denominadas, respectivamente, PI , PII e PIII. Para esse atirador, valem as seguintes relações: § PII = 3PI § PIII = 2PII Calcule a probabilidade de que esse atirador acerte a região I exatamente duas vezes ao fazer dois lançamentos. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos? b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 3/5, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.
62VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Gabarito E.O. Aprendizagem 1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. A 7. A 8. E 9. A 10. E E.O. Fixação 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. A 8. C 9. C 10. E E.O. Complementar 1. D 2. D 3. E 4. A 5. C E.O. Dissertativo 1. a) ___ 1 2 . b) ___ 6 51 . c) ____ 39 102 . 2. ___ 22 45 . 3. a) Será necessário retirar, no mínimo, 10 lápis, pois pode ocorrer: 3 lápis azuis + 3 lápis vermelhos + 3 lápis amarelos. Portanto, o próximo retirado garantirá 4 lápis de uma mesma cor. b) ___ 6 95 . 4. 13% 5. a) a = 10cm b) 36 c) 5/18 6. a) 8/27 b) 33% > 30% 7. a) 1/4950 b) 1/550 c) 149/198 8. 1/5 9. a) 5/11 b) 24/55 10. a) 55 b) 5/11 E.O. Enem 1. A 2. C 3. B 4. D E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. B E.O. UERJ Exame Discursivo 1. 1%. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) 47250. b) ____ 44 125 .
63VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UFG) O gráfico a seguir indica a preferência dos alunos de uma escola por apenas uma das revistas A, B, C ou D. De acordo com as informações apresentadas nesse gráfico, o número de alunos que preferem a revista D é: a) menor que a metade dos que preferem as revistas B ou C. b) maior que a metade do total de alunos da escola. c) igual à soma dos que preferem as revistas A ou B. d) igual à média aritmética dos que preferem as revistas A ou C. e) dez vezes maior do que aqueles que preferem a revista B. 2. (Ufrgs) O gráfico abaixo apresenta a evolução da emissão de dióxido de carbono ao longo dos anos. Com base nos dados do gráfico, assinale a alternativa correta. a) Ao longo do período, a emissão de dióxido de carbono apresentou crescimento constante. b) Em relação aos anos 80, os anos 90 apresentaram emissão de dióxido de carbono 30% maior. c) O ano de 2009 apresentou menor valor de emissão de dióxido de carbono da primeira década do século XXI. d) De 2000 a 2013, houve crescimento percentual de 11,7% na emissão de dióxido de carbono. e) Em relação a 2000, o ano de 2013 apresentou emissão de dióxido de carbono aproximadamente 50% maior. ESTATÍSTICA COMPETÊNCIA(s) 7 HABILIDADE(s) 27, 28, 29 e 30 MT AULAS 43 E 44
64VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (UEG) Em uma eleição estão concorrendo os candidatos A, B e C. Realizada uma pesquisa de intenção de voto com 1.000 eleitores, obteve-se o seguinte resultado, ilustrado no gráfico de setores a seguir. O valor do ângulo x do gráfico de setores é: a) 18 graus. b) 36 graus. c) 60 graus. d) 72 graus. 4. (Ufrgs) O gráfico a seguir representa a população economicamente ativa de homens e mulheres no Brasil de 2003 a 2015. Com base nos dados do gráfico, é correto afirmar que: a) no ano de 2009, a população economicamente ativa de mulheres era cerca de 50% da população economicamente ativa de homens. b) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a população economicamente ativa de homens cresceu mais do que a de mulheres. c) em relação a 2005, a população economicamente ativa de mulheres em 2011 cresceu cerca de 5%. d) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a população economicamente ativa de mulheres cresceu mais do que a de homens. e) em relação a 2007, a população economicamente ativa de homens em 2015 cresceu cerca de 3%.
65VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (Ufrgs) Observe o gráfico abaixo. Nele está retratado o número de transplantes realizados no Rio Grande do Sul, até julho de 2015, e a quantidade de pessoas que aguardam na fila por um transplante no Estado, no mês de julho de 2015. Assinale a alternativa que está de acordo com as informações do gráfico. a) Mais de 50% dos transplantes realizados no RS, até julho de 2015, foram transplantes de córnea. b) O percentual de pessoas que aguardavam transplante de pulmão em julho de 2015 era 70% do total de pessoas na fila de espera por transplantes. c) O transplante de fígado é o que apresenta maior diferença percentual entre o número de transplantes realizados e o número de pessoas que aguardavam transplante. d) O número de transplantes de fígado realizados até julho de 2015 é 288% maior do que o número de transplantes de pulmão realizados no mesmo período. e) O transplante de córneas é o que tem a menor quantidade de pessoas aguardando transplante. 6. Uma pesquisa foi realizada com 40 alunos de uma classe sobre a quantidade de filmes a que cada um assistiu durante o primeiro semestre. O resultado está representado no gráfico. A média aritmética do número de filmes assistidos pelos alunos é: a) 2,4. b) 2,6. c) 2,8. d) 3,2. e) 3,6. 7. (UFG) Na tabela apresentada a seguir estão listados os dez países com maior capacidade instalada de energia renovável no mundo. LÍDERES MUNDIAIS EM ENERGIA RENOVÁVEL INSTALADA País Capacidade total instalada (Gigawatts) China 133 Estados Unidos 93 Alemanha 61 Espanha 32 Itália 28 Japão 25 Índia 22 França 18 Brasil 15 Reino Unido 11 PEW ENVIROMENT GROUP (2011). Disponível em: <http://exame.abril.com.br/economia/noticias>. Acesso em: 1º abr. 2014. (Adaptado). Tomando por base os dados apresentados na tabela, conclui-se que a média aritmética da capacidade total instalada dos países situados no continente europeu representa, aproximadamente: a) 36,86% da média aritmética dos países situados fora do continente asiático. b) 37,97% da média aritmética dos países situados no continente asiático. c) 44,44% da média aritmética dos países situados no continente americano. d) 60,24% da média aritmética dos países situados fora do continente europeu. e) 68,49% da média aritmética dos dez países. 8. (UFSM) O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos, produzindo mais do que o necessário para alimentar sua população. Entretanto, grande parte da produção é desperdiçada. O gráfico mostra o percentual do desperdício de frutas nas feiras do estado de São Paulo.
66VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Considerando os dados do gráfico, a média aritmética, a moda e a mediana são, respectivamente: a) 28,625; 25 e 40; 25,5. b) 28,625; 25 e 40; 26. c) 28,625; 40; 26. d) 20,5; 25 e 40; 25,5. e) 20,5; 40; 25,5. 9. (UPE) O quadro abaixo mostra o número de gols marcados em cada uma das partidas do grupo do Brasil na primeira fase da Copa do Mundo de 2014. Partida Gols marcados Brasil × Croácia 4 México × Camarões 1 Brasil × México 0 Croácia × Camarões 4 Camarões × Brasil 5 Croácia × México 4 O desvio médio de gols marcados por partida nos jogos desse grupo foi de, aproximadamente: a) 3,0. b) 2,0. c) 1,7. d) 1,5. e) 1,2. 10. (UPE-SSA) Um professor de matemática costuma aplicar, durante o ano letivo, quatro provas para seus alunos, sendo uma prova com um peso por cada bimestre. A tabela abaixo representa as notas com seus respectivos pesos, obtidas por um determinado aluno nos quatro bimestres. Se o aluno foi aprovado com média anual final igual a 7,0(sete), a nota obtida por esse aluno na prova do I bimestre foi de: Provas Nota Peso I. bimestre ? 1 II. bimestre 7,3 2 III. bimestre 7,5 3 IV. bimestre 6,5 2 a) 5,3. b) 5,9. c) 6,2. d) 6,7. e) 7,0. E.O. Fixação 1. (UEMA) Analise o quadro seguinte que apresenta o saldo da balança comercial brasileira em 2009. Os dados estão em US$ milhões. Meses Valores em US$ milhões Janeiro 530 Fevereiro 1761 Março 1757 Abril 3695 Maio 2626 Junho 4604 Julho 2913 Agosto 3065 Setembro 1313 Outubro 1329 Novembro 613 Dezembro 2177 Fonte: BRASIL. (Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior). Disponível em: <www.mdic.org.br>. Acesso em: 21 ago. 2013. (adaptado) O gráfico que representa a análise da balança comercial no segundo trimestre de 2009, de acordo com os dados apresentados, no quadro, é: a) b) c) d) e)
67VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (CPS) O gráfico apresenta os valores médios dos preços de terras agrícolas da cidade de Andradina (SP), no período de 2004 a 2014, de acordo com o Instituto de Economia Agrícola (IEA). Fonte de dados: <http://tinurl.com/p46lwz7> . Acesso em: 23.08.2015 Com base no gráfico, pode-se afirmar corretamente que: a) em 2010, por hectare, a diferença entre o valor médio da terra de cultura de segunda e o valor da terra para pastagem foi maior que R$ 2.000,00. b) em 2011, por 10 hectares de terra para pastagem, se pagava, em média, cerca de R$ 120.500,00. c) em 2013, por hectare, o valor médio da terra de cultura de segunda era maior que o valor médio da terra para pastagem. d) em cada ano do período de 2004 a 2014, o valor médio da terra de cultura de primeira por hectare não ultrapassou R$ 20.000,00. e) em cada ano do período de 2012 a 2014, os quatro tipos de terras tinham valor médio por hectare maior que R$ 10.000,00. 3. (IFSP) O gráfico abaixo apresenta informações sobre a participação dos três únicos vendedores de uma pequena corretora no valor total de vendas de seguros, no segundo quadrimestre de 2015. Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa que contém uma afirmação correta. a) Não houve mês em que dois vendedores tiveram o mesmo valor de venda. b) O valor das vendas de Roberto, em junho, e o valor das vendas de Ana, em julho, foram necessariamente iguais. c) O valor das vendas de Mário, em agosto, foi necessariamente menor que o valor das vendas de Ana, em julho. d) No mês de maio, o valor das vendas de Ana necessariamente correspondeu a 250% do valor das vendas de Mário. e) Em todos os quatro meses do segundo trimestre de 2015, os valores em vendas da corretora foram iguais. 4. (ESPM) A nota final de um concurso é dada pela média aritmética das notas de todas as provas realizadas. Se um candidato conseguiu x notas 8, x + 1 notas 6 e x – 1 notas 5 e sua nota final foi 6,5, o número de provas que ele realizou foi: a) 6. b) 9. c) 7. d) 5. e) 12. 5. (Insper) Para fazer parte do time de basquete de uma escola, é necessário ter, no mínimo, 11 anos. A média das idades dos cinco jogadores titulares desse time é 13 anos, sendo que o mais velho deles tem 17 anos. Dessa forma, o segundo mais velho do time titular pode ter, no máximo: a) 17 anos. b) 16 anos. c) 15 anos. d) 14 anos. e) 13 anos. 6. (ESPM) Retirando-se o maior número do conjunto {12; 7; 9; 4; x ; 5}, a média aritmética dos seus elementos diminui 1 unidade. O produto dos valores que x pode assumir é igual a: a) 58. b) 62. c) 67. d) 75. e) 79.
68VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. (UFSM) O uso de biodiesel gera uma série de efeitos ambientais, tais como a redução da emissão de gases do efeito estufa e a diminuição da poluição atmosférica. O gráfico mostra a produção de biodiesel (em milhões de litros) em uma usina, durante o período de um ano. De acordo com os dados, a média, a mediana e a moda (em milhões de litros) são, respectivamente, iguais a: a) 8,5; 10 e 9. b) 8; 9 e 10. c) 8; 9,5 e 8. d) 8,5; 9 e 10. e) 8,5; 9,5 e 10. 8. (UFPR) Um professor de Estatística costuma fazer duas avaliações por semestre e calcular a nota final fazendo a média aritmética entre as notas dessas duas avaliações. Porém, devido a um problema de falta de energia elétrica, a segunda prova foi interrompida antes do tempo previsto e vários alunos não conseguiram terminá-la. Como não havia possibilidade de refazer essa avaliação, o professor decidiu alterar os pesos das provas para não prejudicar os alunos. Assim que Amanda e Débora souberam da notícia, correram até o mural para ver suas notas e encontraram os seguintes valores: Nome 1ª prova 2ª prova Nota final da disciplina Amanda 82 52 72,1 Débora 90 40 73,5 Qual foi o peso atribuído à segunda prova? a) 0,25. b) 0,30. c) 0,33. d) 0,35. e) 0,40. 9. (Insper) Uma empresa tem 15 funcionários e a média dos salários deles é igual a R$ 4.000,00. A empresa é dividida em três departamentos, sendo que: § A média dos salários dos 6 funcionários administrativos é igual a R$ 3.750,00 § A média dos salários dos 4 funcionários de desenvolvimento de produto é igual a R$ 4.125,00 A média dos salários dos outros funcionários, do departamento comercial, é igual a: a) R$ 3.800,00. b) R$ 3.900,00. c) R$ 4.000,00. d) R$ 4.100,00. e) R$ 4.200,00. 10. (UEG) Os números de casos registrados de acidentes domésticos em uma determinada cidade nos últimos cinco anos foram: 100, 88, 112, 94 e 106. O desvio padrão desses valores é, aproximadamente: a) 3,6. b) 7,2. c) 8,5. d) 9,0. e) 10,0. E.O. Complementar 1. (AFA) No Atlas de Desenvolvimento Humano no Brasil 2013 constam valores do Índice de Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM) de todas as cidades dos estados brasileiros. O IDHM é um número que varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, maior o desenvolvimento humano de um município, conforme escala a seguir.
69VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Abaixo estão relacionados o IDHM de duas cidades de Minas Gerais em condições extremas, Monte Formoso e Uberlândia, e uma em situação intermediária, Barbacena. Analisando os dados acima, afirma-se que: I. o município de maior crescimento do IDHM, nos períodos considerados, é Monte Formoso. II. na última década, Barbacena apresentou maior evolução do IDHM que Uberlândia. III. uma tabela que relaciona cidade, época e faixa de IDHM pode ser representada corretamente como: Monte Formoso Barbacena Uberlândia 1991 Muito baixo Baixo Baixo 2000 Muito baixo Alto Alto 2010 Baixo Alto Alto São corretas: a) apenas I e II. b) apenas II e III. c) apenas I e III. d) I, II e III. 2. (FGV) A média mínima para um aluno ser aprovado em certa disciplina de uma escola é 6. A distribuição de frequências das médias dos alunos de uma classe, nessa disciplina, é dada abaixo: A porcentagem de alunos aprovados foi: a) 62%. b) 63%. c) 64%. d) 65%. e) 66%. 3. O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas). De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas a produção de tecidos e malhas, em kton, é mais aproximada de: a) 16,0. b) 22,9. c) 32,0. d) 84,6. e) 106,6. 4. (ESPM) Durante os 5 primeiros dias de abril, o consumo médio diário de água numa residência esteve 40% acima da média diária para esse mês. Podemos afirmar que o consumo médio diário dos outros dias desse mês foi: a) 12% abaixo da média. b) 20% abaixo da média. c) 15% abaixo da média. d) 5% abaixo da média. e) 8% abaixo da média. 5. (AFA) Um cursinho de inglês avaliou uma turma completa sendo que parte dos alunos fez a avaliação A, cujo resultado está indicado no gráfico abaixo. Os demais alunos fizeram a avaliação B e todos tiveram 4 acertos. Assim, o desvio padrão obtido a partir do gráfico acima ficou reduzido à metade ao ser apurado o resultado da turma inteira. Essa turma do cursinho de inglês tem: a) mais de 23 alunos. b) menos de 20 alunos. c) 21 alunos. d) 22 alunos.
70VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (UPE-SSA 2) Preocupada com o hábito de leitura na escola onde trabalha, uma bibliotecária aplicou uma pesquisa, num grupo de 200 estudantes escolhidos de forma aleatória, sobre a quantidade de livros que cada aluno havia solicitado por empréstimo no primeiro semestre de 2015. Os dados coletados na pesquisa estão apresentados na tabela a seguir: Livros Emprestados por Aluno Número de Livros Números de Alunos 3 90 2 55 1 30 0 25 Total 200 Para esses dados, a média, a moda e a mediana são, respectivamente: a) 1,50; 2,00; 3,00. b) 1,50; 3,50; 2,00. c) 1,50; 3,00; 3,00. d) 2,05; 3,00; 2,00. e) 2,05; 3,00; 3,00. E.O. Dissertativo 1. (UFPR) O gráfico de setores a seguir ilustra como a massa de um homem de 80 kg está distribuída entre músculos, gordura, ossos e outros. O ângulo de cada setor está mostrado em graus. Com base nesse gráfico, responda às perguntas: a) Quantos quilogramas de músculos esse homem possui? b) Juntos, gordura e ossos representam que percentual da massa desse homem? 2. (UFG) As tabelas a seguir apresentam os casos de dengue no Brasil e na região Centro-Oeste, no período de 1º de janeiro a 16 de fevereiro de 2013. Casos de dengue por região Região 2013 Sudeste 80.876 Sul 12.420 Centro-Oeste 80.976 Casos de dengue por região Região 2013 Norte 18.435 Nordeste 11.943 Brasil 204.650 Casos de dengue na região Centro-Oeste Unidade Federativa 2013 População MS 42.015 2.587.269 MT 10.765 3.182.113 GO 27.376 6.434.048 DF 820 2.789.761 Disponível em: <www.ibge.gov.br> e <g1.globo.com/bemestar/ noticia/2013/02/casos-de-dengue-no-pais-190-nocomeco-de2013-dizgoverno.html>. Acesso em: 20 out. 2013. (Adaptado). De acordo com essas informações: a) Calcule a diferença entre a média dos casos de dengue por unidade federativa da região Centro-Oeste e a média dos casos de dengue por unidade federativa do Brasil no período considerado. b) Sabendo que é considerado estado de epidemia quando há incidência maior do que 300 casos para cada 100 mil habitantes, determine em quais unidades federativas da região Centro-Oeste ocorreu estado de epidemia de casos de dengue no período considerado. 3. O Brasil terá que manter uma tradição em 2016. Todo país que sedia as Olimpíadas tem um grande crescimento no quadro de medalhas, como aconteceu com a Grécia, a Austrália e a China, e já está ocorrendo com a Grã-Bretanha.
71VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Observando as informações contidas no texto e ilustração acima, responda às perguntas abaixo: a) Complete a tabela abaixo com a quantidade de medalhas obtidas pelo Brasil de 1996 até 2008: Ano da Olimpíada Quantidade de medalhas 1996 2000 2004 2008 b) Qual a quantidade média de medalhas conquistadas pelo Brasil nas últimas quatro Olimpíadas? c) Observando o resultado dos países que sediaram as últimas Olimpíadas, percebemos que a Austrália teve uma excelente ascensão no número de medalhas. Qual foi o crescimento percentual do número total de medalhas da Austrália? (Escreva sua resposta com aproximação de duas casas decimais) 4. Uma estimativa feita por cientistas da USP indica que as emissões de gases do efeito estufa no Brasil aumentaram 24,6% entre 1990 e 2005. Após a leitura das informações contidas no texto e ilustração acima, responda às perguntas abaixo: a) Mantendo a variação percentual de emissão de gases para os próximos 15 anos, quantos milhões de toneladas de CO2 estima-se que o Brasil deverá emitir em 2020? b) Qual a média de emissão de CO2 relativa aos anos observados na figura acima? 5. Os gráficos representados a seguir foram reproduzidos tendo por base a matéria jornalística “Barcas perdem passageiros de São Gonçalo”, veiculada no jornal O Globo, no dia 23/09/07. a) Considere o gráfico referente aos meios de transporte usados para chegar à estação de barcas. É possível que existam passageiros que cheguem de bicicleta à estação. Qual é a taxa percentual máxima desses passageiros? b) No gráfico referente à escolaridade dos entrevistados, observam-se cinco faixas de níveis de estudo. Sabendo-se que a pesquisa envolveu aproximadamente 2000 pessoas, quantas possuem curso superior? c) Considere o gráfico referente à renda dos usuários de barcas. Qual é a taxa percentual que representa os passageiros que recebem até R$ 3.800,00? É correto dizer que mais da metade dos passageiros está nessa faixa de renda?
72VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Enem 1. (Enem) O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a soma das taxas de desemprego aberto e oculto. Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011. Disponível em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento). Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de: a) 1,1. b) 3,5. c) 4,5. d) 6,8. e) 7,9. 2. (Enem) Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro em uma competição de salto em distância. Segundo o regulamento dessa competição, a medalha de ouro será dada ao atleta mais regular em uma série de três saltos. Os resultados e as informações dos saltos desses cinco atletas estão no quadro. Atleta 1º salto 2º salto 3º salto Média Mediana Desvio padrão I 2,9 3,4 3,1 3,1 3,1 0,25 II 3,3 2,8 3,6 3,2 3,3 0,40 III 3,6 3,3 3,3 3,4 3,3 0,17 IV 2,3 3,3 3,4 3,0 3,3 0,60 V 3,7 3,5 2,2 3,1 3,5 0,81 A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta número: a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 3. (Enem) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa a seguir, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente: a) 14%. b) 48% c) 54%. d) 60%. e) 68%.
73VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (Enem) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico. Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias? a) 75,28 b) 64,09 c) 56,95 d) 45,76 e) 30,07 5. (Enem) Uma revista publicará os dados, apresentados no gráfico, sobre como os tipos sanguíneos estão distribuídos entre a população brasileira. Contudo, o editor dessa revista solicitou que esse gráfico seja publicado na forma de setores, em que cada grupo esteja representado por um setor circular. O ângulo do maior desses setores medirá, em graus: a) 108,0. b) 122,4. c) 129,6. d) 151,2. e) 154,8. 6. (Enem) O gráfico a seguir ilustra a evolução do consumo de eletricidade no Brasil, em GWh, em quatro setores de consumo, no período de 1975 a 2005. Observa-se que, de 1975 a 2005, houve aumento quase linear do consumo de energia elétrica. Se essa mesma tendência se mantiver até 2035, o setor energético brasileiro deverá preparar-se para suprir uma demanda total aproximada de: a) 405 GWh. b) 445 GWh. c) 680 GWh. d) 750 GWh. e) 775 GWh. 7. (Enem) Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a seus funcionários, de acordo com o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$ 400.000,00, distribuídos de acordo com o Gráfico 1. No ano seguinte, a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o mesmo valor salarial para cada categoria. Os demais custos da empresa permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de instrução, está no Gráfico 2. Qual deve ser o aumento na receita da empresa para que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013? a) R$ 114.285,00. b) R$ 130.000,00. c) R$ 160.000,00. d) R$ 210.000,00. e) R$ 213.333,00. 8. (Enem) Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1.250 bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana.
74VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? a) Terça-feira. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira. d) Sexta-feira. e) Domingo. 9. (Enem) A taxa de fecundidade é um indicador que expressa a condição, reprodutiva média das mulheres de uma região, e é importante para uma análise da dinâmica demográfica dessa região. A tabela apresenta os dados obtidos pelos Censos de 2000 e 2010, feitos pelo IBGE, com relação à taxa de fecundidade no Brasil. Ano Taxa de fecundidade no Brasil 2000 2,38 2010 1,90 Disponível em: www.saladeimprensa.ibge.gov.br. Acesso em: 31 jul. 2013. Suponha que a variação percentual relativa na taxa de fecundidade no período de 2000 a 2010 se repita no período de 2010 a 2020. Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil estará mais próxima de: a) 1,14. b) 1,42. c) 1,52. d) 1,70. e) 1,80. 10. (Enem) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de suas propriedades. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m2 ). A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)2 é: a) 20,25. b) 4,50. c) 0,71. d) 0,50. e) 0,25. 11. (Enem) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária. O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é: a) 300,00. b) 345,00. c) 350,00. d) 375,00. e) 400,00. 12. (Enem) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribui duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é: a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor.
75VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame Discursivo TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO. Após serem medidas as alturas dos alunos de uma turma, elaborou-se o seguinte histograma: 1. (UERJ) Os dados do histograma também podem ser representados em um gráfico de setores. Observe: Calcule o maior ângulo central, em graus, desse gráfico de setores. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Em ocasiões de concentração popular, frequentemente lemos ou escutamos informações desencontradas a respeito do número de participantes. Exemplo disso foram as informações divulgadas sobre a quantidade de manifestantes em um dos protestos na capital paulista, em junho passado. Enquanto a Polícia Militar apontava a participação de 30 mil pessoas, o Datafolha afirmava que havia, ao menos, 65 mil. Tomando como base a foto, admita que: I. a extensão da rua plana e linear tomada pela população seja de 500 metros; II. o gráfico forneça o número médio de pessoas por metro quadrado nas diferentes sessões transversais da rua; III. a distribuição de pessoas por m2 em cada sessão transversal da rua tenha sido uniforme em toda a extensão da manifestação. Nessas condições, o número estimado de pessoas na foto seria de: a) 19 250. b) 5 500. c) 7 250. d) 38 500. e) 9 250. 2. (Fuvest) Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulheres e 6 são homens. A média das notas das mulheres no final do semestre ficou 1 ponto acima da média da classe. A soma das notas dos homens foi metade da soma das notas das mulheres. Então, a média das notas dos homens ficou mais próxima de: a) 4,3. b) 4,5. c) 4,7. d) 4,9. e) 5,1. 3. (Unesp) Em uma dissertação de mestrado, a autora investigou a possível influência do descarte de óleo de cozinha na água. Diariamente, o nível de oxigênio dissolvido na água de 4 aquários, que continham plantas aquáticas submersas, foi monitorado. Cada aquário continha diferentes composições do volume ocupado pela água e pelo óleo de cozinha, conforme consta na tabela. percentual do volume I II III IV óleo 0 10 20 30 água 100 90 80 70
76VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Como resultado da pesquisa, foi obtido o gráfico, que registra o nível de concentração de oxigênio dissolvido na água (C), em partes por milhão (ppm), ao longo dos oito dias de experimento (T). Tomando por base os dados e resultados apresentados, é correto afirmar que, no período e nas condições do experimento: a) não há dados suficientes para se estabelecer o nível de influência da quantidade de óleo na água sobre o nível de concentração de oxigênio nela dissolvido. b) quanto maior a quantidade de óleo na água, maior a sua influência sobre o nível de concentração de oxigênio nela dissolvido. c) quanto menor a quantidade de óleo na água, maior a sua influência sobre o nível de concentração de oxigênio nela dissolvido. d) quanto maior a quantidade de óleo na água, menor a sua influência sobre o nível de concentração de oxigênio nela dissolvido. e) não houve influência da quantidade de óleo na água sobre o nível de concentração de oxigênio nela dissolvido. 4. (Fuvest) Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana. a) 5, 5, 7, 8, 9, 10. b) 4, 5, 6, 7, 8, 8. c) 4, 5, 6, 7, 8, 9. d) 5, 5, 5, 7, 7, 9. e) 5, 5, 10, 10, 10, 10. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) A pizza é, sem dúvida, o alimento preferido de muitos paulistas. Estima-se que o consumo diário no Brasil seja de 1,5 milhão de pizzas, sendo o Estado de São Paulo responsável por 53% desse consumo. O gráfico abaixo exibe a preferência do consumidor paulista em relação aos tipos de pizza. a) Se não for considerado o consumo do Estado de São Paulo, quantas pizzas são consumidas diariamente no Brasil? b) Quantas pizzas de muçarela e de calabresa são consumidas diariamente no Estado de São Paulo? 2. (Unicamp) As mensalidades dos planos de saúde são estabelecidas por faixa etária. A tabela a seguir fornece os valores das mensalidades do plano “Geração Saúde”. Sabendo que o salário mínimo nacional vale, hoje, R$ 465,00, responda às perguntas a seguir. Faixa etária Mensalidade (R$) Até 15 anos 120,00 de 16 a 30 anos 180,00 de 31 a 45 anos 260,00 de 46 a 60 anos 372,00 61 anos ou mais 558,00 a) O gráfico em formato de pizza a seguir mostra o comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa que recebe 8 salários mínimos por mês e aderiu ao plano de saúde “Geração Saúde”. Em cada fatia do gráfico, estão indicados o item referente ao gasto e o ângulo correspondente, em graus. Determine a que faixa etária pertence essa pessoa. b) O comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa com o plano de saúde “Geração Saúde” varia de acordo com o salário que ela recebe. Suponha que x seja a quantidade de salários mínimos recebida mensalmente por uma pessoa que tem 56 anos, e que C(x) seja a função que fornece o comprometimento salarial, em porcentagem, com o plano de saúde. Note que x não precisa ser um número inteiro. Determine a expressão de C(x) para x ≥ 1, e traçe a curva correspondente a essa função no gráfico a seguir.
77VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (Unicamp) O Código de Trânsito Brasileiro classifica as infrações, de acordo com a sua natureza, em leves, médias, graves e gravíssimas. A cada tipo corresponde uma pontuação e uma multa em reais, conforme a tabela abaixo. Infração Pontuação Multa* Leve 3 pontos R$ 53,00 Média 4 pontos R$ 86,00 Grave 5 pontos R$ 128,00 Gravíssima 7 pontos R$ 192,00 * Valores arredondados a) Um condutor acumulou 13 pontos em infrações. Determine todas as possibilidades quanto à quantidade e à natureza das infrações cometidas por esse condutor. b) O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição de 1.000 infrações cometidas em certa cidade, conforme a sua natureza. Determine a soma das multas aplicadas. 4. (Unicamp) O peso médio (média aritmética dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginástica é igual a 75 kg. O peso médio dos homens é 90 kg e o das mulheres é 65 kg. a) Quantos homens frequentam a academia? b) Se não são considerados os 10 alunos mais pesados, o peso médio cai de 75 kg para 72 kg. Qual é o peso médio desses 10 alunos? Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. E 3. D 4. D 5. A 6. E 7. E 8. A 9. C 10. B E.O. Fixação 1. E 2. E 3. D 4. A 5. C 6. C 7. D 8. C 9. E 10. C E.O. Complementar 1. A 2. E 3. C 4. E 5. A 6. D E.O. Dissertativo 1. a) 30 kg. b) 37,5%. 2. a) 12664. b) Mato Grosso do Sul, Mato Grosso e Goiás. 3. a) Ano da Olimpíada Quantidade de medalhas 1996 15 2000 12 2004 10 2008 15 b) M = 13. c) 41,46%. 4. a) 2.492 milhões de toneladas. b) 1.796,5 milhões de toneladas. 5. a) 1%. b) 784 pessoas. c) 68%. Sim. E.O. Enem 1. E 2. C 3. D 4. C 5. E 6. C 7. B 8. A 9. C 10. E 11. C 12. B
78VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame Discursivo 1. 162°, correspondente ao setor B. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. C 3. B 4. D E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) 705 mil pizzas. b) 477 mil. 2. a) 61 anos ou mais. b) C(x) = ___ 80 x 3. a) (a, b, c, d) [ {(0, 2, 1, 0), (1, 0, 2, 0), (2, 0, 0, 1), (3, 1, 0, 0)}. b) R$ 122.900,00. 4. a) 40 homens. b) 102 kg.
MATEMÁTICA MATEMÁTICA e suas tecnologias 5 GEOMETRIAS ESPACIAL E ANALÍTICA
80VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (PUC-RS) Uma esfera de raio 1 cm está inscrita em um cubo cujo volume, em cm3 , é: a) 1. b) 2. c) 4. d) 8. e) 16. 2. (Ufrgs) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas extremidades, conforme representado na figura a seguir. O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 4dm, e o volume de uma esfera de raio r é ___4 3 pr 3 . Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da capacidade do reservatório, em litros, é : a) 50. b) 60. c) 70. d) 80. e) 90. 3. (FGV) Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma exposição. Se, para o revestimento total do piso, utilizou-se 78,5 m2 de lona, quantos metros quadrados de lona se utilizaria na cobertura completa do galpão? (Considerar p = 3,14). a) 31,4. b) 80. c) 157. d) 208,2. e) 261,66. 4. (UEG) Suponha que haja laranjas no formato de uma esfera com 6 cm de diâmetro e que a quantidade de suco que se obtém ao espremer cada laranja é ___2 3 de seu volume, sendo o volume dado em litros. Nessas condições, se quiser obter 1 litro de suco de laranja, deve-se espremer no mínimo: Use p = 3,14. a) 13 laranjas. b) 14 laranjas. c) 15 laranjas. d) 16 laranjas. 5. (Acafe) Um tubo cilíndrico reto de volume 128p cm3 , contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes entre si e tangentes externamente. Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de: a) 75. b) 50. c) 33. d) 66. 6. (UNEB) Sua bexiga é um saco muscular elástico que pode segurar até 500 ml de fluido. A incontinência urinária, no entanto, tende a ficar mais comum à medida que envelhecemos, apesar de poder afetar pessoas de qualquer idade; ela também é mais comum em mulheres que em homens (principalmente por causa do parto, mas também em virtude da anatomia do assoalho pélvico). (BREWER. 2013, p. 76.) Considerando-se que a bexiga, completamente cheia, fosse uma esfera e que p = 3, pode-se afirmar que o círculo máximo dessa esfera seria delimitado por uma circunferência de comprimento, em cm, igual a: a) 20. b) 25. c) 30. d) 35. e) 40. 7. (Udesc) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura. ESFERAS COMPETÊNCIA(s) 2 e 3 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9 e 14 MT AULAS 35 E 36
81VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Sabendo-se que o volume da bola é 2304p cm3 , então a área da superfície de cada faixa é de: a) 20p cm2 . b) 24p cm2 . c) 28p cm2 . d) 27p cm2 . e) 25p cm2 . 8. (UERN) Uma fruta em formato esférico com um caroço também esférico no centro apresenta ___7 8 de seu volume ocupado pela polpa. Desprezando-se a espessura da casca, considerando que o raio da esfera referente à fruta inteira é de 12 cm, então a superfície do caroço apresenta uma área de: a) 121p cm2 . b) 144p cm2 . c) 169p cm2 . d) 196p cm2 . 9. (Ucpel) Uma esfera metálica de 3 cm de raio é colocada em um congelador e, após algum tempo, acumula uma camada de gelo de 3 cm de espessura, mantendo a forma esférica. Então, o volume do gelo acumulado é: a) 198p cm3 . b) 215p cm3 . c) 252p cm3 . d) 207p cm3 . e) 225p cm3 . 10. (EEAR) Um escultor irá pintar completamente a superfície de uma esfera de 6 m de diâmetro, utilizando uma tinta que, para essa superfície, rende 3 m2 por litro. Para essa tarefa, o escultor gastará, no mínimo, _____ litros de tinta. (Considere π ≅ 3) a) 18 b) 24 c) 36 d) 48 E.O. Fixação 1. (Cefet-MG) Um artesão resolveu fabricar uma ampulheta de volume total V constituída de uma semiesfera de raio 4 cm e de um cone reto, com raio e altura 4 cm, comunicando-se pelo vértice do cone, de acordo com a figura abaixo. Para seu funcionamento, o artesão depositará na ampulheta areia que corresponda a 25% de V. Portanto o volume de areia, em cm3 , é: a) 16p. b) ____ 64p 3 . c) 32p. d) _____ 128p 3 . e) 64p. 2. (Espcex) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: a) 4 ____ 3 p 3 cm2 . b) 4 ____ 3 p 9 cm2 . c) 4 ____ 2 p 3 cm2 . d) 4 ____ 2 p 9 cm2 . e) 43 p cm2 . 3. (UECE) Um círculo de raio R gira em torno de seu diâmetro, gerando uma esfera de volume V. Se o raio do círculo é aumentado em 50%, então o volume da esfera é aumentado em: a) 100,0 %. b) 125,0 %. c) 215,0 %. d) 237,5 %. 4. (Ufrgs) Considere um cilindro reto de altura 32 e raio da base 3, e uma esfera com volume igual ao do cilindro. Com essas condições, o raio da esfera é: a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12. 5. (UFG) A figura a seguir representa um modelo esquemático aproximado para a estrutura interna da Terra em camadas concêntricas, da superfície ao centro, indicando as profundidades aproximadas das transições entre as camadas.
82VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Segundo modelos sísmicos, acredita-se que uma destas camadas é formada, predominantemente, por minerais metálicos, em altas temperaturas, e por duas partes, uma fluida e outra sólida, devido à altíssima pressão. A fração do volume da Terra ocupada por esta camada está entre: a) __1 8 e__1 5 . b) __1 5 e__1 4 . c) __1 4 e__1 2 . d) __1 2 e__2 3 . e) __2 3 e__3 4 . 6. (UFSM) Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria. Fonte: arquivo COPERVES. Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m2 de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use p = 3) a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60. 7. (UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16p cm3 , o raio da esfera é dado por: a) dXX3 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 4 + dXX2 cm. 8. (Epcar) Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 metros, está com água até __7 8 de sua altura. Dos sólidos geométricos abaixo, o que, totalmente imerso nessa caixa, NÃO provoca transbordamento de água é: a) uma esfera de raio 3 dXX2 dm. b) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas da base e altura meçam 30 cm. c) um cone reto, cujo raio da base meça dXX3dm e a altura 3 dm. d) um cilindro equilátero, cuja altura seja 20 cm. 9. (Ufrgs) Se um jarro com capacidade para 2 litros está completamente cheio de água, a menor medida inteira, em cm, que o raio de uma bacia com a forma semiesférica deve ter para comportar toda a água do jarro é: a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16. 10. (Espcex (Aman)) Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu ___9 16 R, então o raio da esfera mede: a) ___ 2 3 R b) ___ 3 4 R c) ___ 4 9 R d) ___ 1 3 R e) ___9 16 R E.O. Complementar 1. (Udesc) Seja S uma seção de uma esfera determinada pela interseção com um plano, conforme figura. Se S está a 3 cm do centro da esfera e tem área igual a 16p cm2 , então o volume desta esfera é: a) 36p cm3 . b) _____ 256p 3 cm3 . c) 100p cm3 .
83VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias d) 16p cm3 . e) _____ 500p 3 cm3 . 2. (Esc. Naval) Uma esfera confeccionada em aço é usada em um rolamento de motor de um navio da Marinha do Brasil. Se o raio da esfera mede dXXXXXXXXXXXX 3d XXXXXXXXXX 5d XXXXXXXX 3dXXXXXX 5dXX 3 ... cm, então seu volume vale: a) 45 · 10–3p dm3 . b) 0,45 · 10–3p dm3 . c) 60 · 10–3p dm3 . d) 0,15 · 103 p dm3 . e) 60 · 103 p dm3 . 3. (UEFS) Uma bolha de sabão, esférica, não estouraria se sua área superficial fosse, no máximo, 44% maior. Logo, ela poderia conter um volume de ar em seu interior, sem estourar, até: a) 32,4% maior. b) 44% maior. c) 53,6% maior. d) 66% maior. e) 72,8% maior. 4. (Efomm) Seja uma esfera de raio R, e um cubo de aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é igual a: a) ___1 √ __ π . b) √ ___ ___π 12 . c) √ ___ ___ 2π 3 . d) √ __ __ π 3 . e) √ __ __ π 6 . 5. (UECE) Duas esferas que se tangenciam estão em repouso sobre um plano horizontal. Os volumes das esferas são respectivamente 2304 π m3 e 36 π m3 . A distância, em metros, entre os pontos de contato das esferas com o plano é igual a: a) 9. b) 12. c) 15. d) 10. E.O. Dissertativo 1. (UEMA) Um clube de futebol, para agradar a sua torcida e a seus jogadores, resolveu homenagear os jogadores que mais se destacaram no clube na última temporada. Para isso, confeccionaram-se dezesseis troféus do mesmo tamanho, em formato de bola de futebol, com raio igual a 6. Determine: (use p = 3,14) a) a área total das superfícies consideradas. b) o volume total dos troféus. 2. (UFPR) Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 cm de altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água até quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para ficar totalmente cheia. a) Se uma bolinha de gude de 2 cm de diâmetro for colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que volume de água? b) Quantas bolinhas de gude de 2 cm de diâmetro serão necessárias para fazer com que a água se desloque até a borda superior da jarra? 3. (FGV) Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera (sorvete congelado) de raio 3 cm e um cone circular reto (casquinha), também com 3 cm de raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a casquinha completa e exatamente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa quando está congelado. Calcule a altura da casquinha. 4. (UFG) Uma fábrica de embalagens resolveu produzir um copo no formato de tronco de cone circular reto, com diâmetros superior e inferior de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A parte central do fundo do copo é côncava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, como indica a figura a seguir. Considerando-se o exposto, desenvolva a expressão que fornece o volume do tronco de cone em função da altura e dos raios das bases e calcule a altura aproximada desse copo para que ele tenha capacidade de 157 mL. Dados: p < 3,14, Vcone = pR2 _____ H 3 , Vesfera = 4pr 3 _____ 3 . 5. (UFF) Considere duas superfícies S = ABCD e S' = E'B'C' obtidas, respectivamente, pelas interseções de um cilindro circular reto e de uma semiesfera com semiplanos que formam um ângulo diedro de 60° , conforme as figuras a seguir. E D A S O B C 60º O’ S’ B’ C’ 60º E’ Tem-se: § O – centro da base do cilindro § OE – altura do cilindro
84VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias § OB – raio da base do cilindro § O'E' – raio da semi-esfera § OE = OB = O'E' Sendo área(S) a área da superfície S e área (S') a área da superfície S', calcule o valor de área (S) ________ área (S'). 6. (UFPE) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas? 7. (FGV) a) O volume do cubo da figura é 64 cm3 . O ponto V é o ponto de encontro das diagonais do cubo. Qual é o volume da pirâmide de vértice V? b) Uma bola de vidro que é uma esfera de centro O se encaixou num copo exatamente como mostra a figura. O raio da bola mede 13 cm e OC = 5 cm. O segmento ——AC é o raio do cilindro. O que tem o maior volume: a bola ou o copo? 8. (FGV-RJ) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 5175 cm3 , cabem exatamente três bolas de tênis. a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas. b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata? 9. (UFG) Considere que o planeta Terra é aproximadamente esférico, tendo a linha do Equador um comprimento de, aproximadamente, 40.000 km e que 30% da área do planeta é de terras emersas. Dados: Área da esfera = 4 π r2 Comprimento do círculo = 2π r π ≈ 3,14 Aproximando a atual população da Terra para um número inteiro de bilhões de pessoas, responda: a) Qual é a densidade demográfica nas terras emersas do planeta? b) Quantos metros quadrados caberiam a cada pessoa, se as terras emersas fossem divididas igualmente entre os habitantes da Terra? (Aproxime para um número inteiro de milhares de metros quadrados). 10. (ITA) Em um plano estão situados uma circunferência ω de raio 2 cm e um ponto P que dista 2√ __ 2cm do centro de ω. Considere os segmentos ——PA e ——PB tangentes a ω nos pontos A e B, respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos ——PA e ——PB e pelo arco menor AB em torno de um eixo passando pelo centro de ω e perpendicular ao segmento ——PA, obtém-se um sólido de revolução. Determine: a) A área total da superfície do sólido. b) O volume do sólido. E.O. Enem 1. (Enem) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para p. A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a: a) 168. b) 304. c) 306. d) 378. e) 514. 2. (Enem) A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada.
85VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a Figura 2. Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim? a) 1. b) 2√ ___ _____ 10 5 . c) √ ___ ____ 10 2 . d) 2. e) √ ___ 10 . 3. (Enem) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por __ 4 3 π ⋅ (R)3 . Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base ___R 3 , cujo volume será dado por π ( ___R 3 ) 2 ⋅ h, sendo h a altura da nova embalagem. Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a: a) 2 R. b) 4 R. c) 6 R. d) 9 R. e) 12 R. 4. (Enem) Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro. O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada. Dados: O volume de uma esfera de raio r é __ 4 3 ⋅ π ⋅ r 3 O volume do cilindro de altura h e área da base S é S⋅h; O volume do cone de altura h e área da base S é __1 3 ⋅S⋅h; Por simplicidade, aproxime π para 3. A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é: a) 45. b) 48. c) 72 d) 90. e) 99. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente, no interior de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Neste recipiente despeja-se a menor quantidade possível de água para que as esferas fiquem totalmente submersas, como mostra a figura. Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente.
86VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, corresponde, aproximadamente, a: a) 10,6. b) 12,4. c) 14,5. d) 25,0. 2. (UERJ) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas. Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema: Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida: a) πR2 ___ 2 . b) 3πR2 ____ 2 . c) 3πR2 ____ 4 . d) 4πR2 ____ 3 . 3. (UERJ) Observe o dado ilustrado a seguir, formado a partir de um cubo, com suas seis faces numeradas de 1 a 6. Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo. Considerando π = 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a: a) 6. b) 8. c) 9. d) 10. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Uma cuba de superfície semiesférica, com diâmetro de 8 cm, está fixada sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba. Desprezando a espessura do material usado para fabricar a cuba, determine: a) a maior área, em cm2 , pela qual a bola de gude poderá se deslocar na superfície da mesa; b) o volume, em cm3 , da maior esfera que poderia ser colocada embaixo dessa cuba. 2. (UERJ) Na figura anterior, há um círculo de raio R e uma reta (e) que contém o seu centro – ambos do mesmo plano. Fez-se uma rotação de uma volta desse círculo ao redor da reta (e). O menor arco AB nele assinalado descreveu a superfície de uma calota esférica, cuja área pode ser calculada através da fórmula 2πRm, sendo m a projeção ortogonal do arco AB sobre a reta (e). a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo original, em função de R e m. b) Demonstre que a área da calota esférica gerada pelo arco AB é equivalente à área plana limitada por uma circunferência de círculo cujo raio tem a mesma medida da corda AB. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a R, tem a mesma área de superfície total que uma esfera de raio: a) 2R. b) dXX3 R. c) dXX2 R. d) R.
87VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (Unesp) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de figuras. Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm3 e admitindo p > 3, a massa aproximada do porta-joias, em gramas, é: a) 636. b) 634. c) 630. d) 632. e) 638. 3. (Fuvest) A esfera «, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano a. O plano b é paralelo a e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de « com b e, como vértice, um ponto em a, é igual a: a) dXX3 r 3 _____ 4 . b) 5dXX3 r 3 _____ 16 . c) 3dXX3 r 3 _____ 8 . d) 7dXX3 r 3 _____ 16 . e) dXX3 r 3 ____ 2 . 4. (Fuvest) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x/h é igual a: a) (dXX3 ) ____ 6 . b) (dXX 3 ) ____ 3 . c) (2dXX 3 ) _____ 3 . d) dXX3 . e) (4dXX 3 ) _____ 3 . 5. (Fuvest) Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo μ e ρ respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a: Nota: Entende-se por “plano horizontal”, em um ponto da superfície terrestre, o plano perpendicular à reta que passa por esse ponto e pelo centro da Terra. a) ρ. b) μ. c) 90 – ρ. d) 90 – μ. e) 180 – ρ. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica.
88VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Sabe-se que uma calota esférica tem volume, Vcal = ph2 ____ 3 (3R – h), em que h é a altura da calota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por Acal = 2pRh. Atenção: não use um valor aproximado para p. a) Supondo que h = ___ R 2 , determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = ___ R 2 , determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. 2. (Unesp) Com um recipiente de vidro fino transparente na forma de um paralelepípedo reto-retângulo, que tem como base um quadrado cujo lado mede 15 cm e a aresta da face lateral mede 40 cm, Márcia montou um enfeite de natal. Para tanto, colocou no interior desse recipiente 90 bolas coloridas maciças de 4 cm de diâmetro cada e completou todos os espaços vazios com um líquido colorido transparente. Desprezando-se a espessura do vidro e usando (para facilitar os cálculos) a aproximação p = 3, a) dê, em cm2 , a área lateral do recipiente e a área da superfície de cada bola. b) dê, em cm3 , o volume do recipiente, o volume de cada esfera e o volume do líquido dentro do recipiente. 3. (Unesp) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida Rcm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura. R Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4pR2 cm2 , determine, em função de p e de R: a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico); b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia. 4. (Unesp) Em um tanque cilíndrico com raio de base R e altura H contendo água é mergulhada uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba __1 6 R, conforme mostra a figura. H R R/6 a) Calcule o raio r da esfera em termos de R. b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava __3 4 da altura do cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas à citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro sem transbordar. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. D 3. C 4. B 5. D 6. C 7. B 8. B 9. C 10. C E.O. Fixação 1. A 2. A 3. D 4. B 5. A 6. B 7. C 8. D 9. B 10. B E.O. Complementar 1. E 2. C 3. E 4. E 5. B E.O. Dissertativo 1. a) 7.234,56 u.a. b) 14.469,12 u.v. 2. a) ___ 4 3 p cm3 . b) 12 bolinhas. 3. 9,6 cm. 4. 8,25 cm. 5. 1. 6. 48. 7. a) V = ____ 32 3 cm3 . b) Vbola > Vcilindro. 8. a) 5175 - 3 ⋅ 1150 = 1725 cm3 . b) ______ 3450 5175 =___ 2 3 .
89VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. a) 7 ⋅ 109 _________ 1,5 ⋅ 108 ≈ 47 habitantes por km2 . b) 1,5 ⋅ 108 __________ 7 ⋅ 109 ≈ 21000 m2 . 10. a) A = 4π + 8π + 8π = 20 πcm2 . b) V = 8π --- 16 _____ π3 = ___ 8π3 cm3 . E.O. Enem 1. E 2. E 3. E 4. E E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. C 2. C 3. D E.O. UERJ Exame Discursivo 1. a) 8 πcm2 . b) 32π/3 cm3 . 2. a) O ∆ ABC é retângulo: ——AB2 = m ⋅ 2R ⇔ AB = √ ______ (2Rm). b) Área plana do interior dessa circunferência de raio ——AB é dado por π ——AB2 , então: π ——AB2 = π [R(2Rm)]2 = π . 2 Rm = 2 πRm. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. D 2. D 3. E 4. E 5. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) Va = p · R3 ______ 6 . b) (2 + dXX3 ) p · r2 . 2. a) 2.400 cm2 e 48 cm2 . b) 9.000 cm3 , 32 cm3 e 6.120 cm3 . 3. a) pR2 ____ 3 cm2 . b) 4pR2 _____ 3 cm2 . 4. a) r = ___R 2 . b) 6 esferas.
90VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (Uece) Considere um cubo Q inscrito na esfera S, isto é, os vértices de Q pertencem à superfície esférica de S. Se o volume de Q é igual a 1000 m3 , então, a medida, em metros, do raio da esfera S é a) 5dXX3 . b) 3dXX5. c) 10dXX2 . d) 5dXX2 . 2. (Uece) Considerando-se um cubo cuja medida de cada aresta é igual a 1 m pode-se afirmar corretamente que a medida do volume do poliedro convexo cujos vértices são os centros das faces desse cubo é a) __2 3 m3 . b) __2 7 m3 . c) __1 6 m3 . d) __4 7 m3 . 3. (Eear) Uma esfera está inscrita num cilindro equilátero cuja área lateral mede 16π cm2 . O volume da esfera inscrita é a) 8π b) 16π c) 32 ____ 3 π d) 256 ______ 3 π 4. (UEMG) Observe as figuras. Nas figuras acima, tem-se um cilindro circular equilátero (S1 ), circunscrevendo um cone (S2 ), e um cilindro circular oblíquo (S3 ). A razão determinada pelo volume de S3 com a superfície total de S2 é a) dXX5 -- 1 ________ 4 cm. b) dXX5 -- 1 cm. c) dXX5 -- 16 __________ 4 cm. d) dXX5 + 16 cm. 5.(Uece) Um cubo cuja medida de cada aresta é 3 dm está inscrito em uma esfera de raio R. A medida de um diâmetro (2 R) da esfera é a) 2dXX3 dm. c) 3dXX3 dm. b) 3dXX2 dm. d) 4dXX3 dm. 6. (PUC-RS) A circunferência de uma bola de voleibol é 66 cm. Para colocá-la em uma caixa cúbica, essa caixa deve ter, no mínimo, uma aresta interna, em centímetros, de a) 33 b) 33 ____ π c) 66 d) 66 ____ π e) ____ π 66 7. (Udesc) A base de um cone reto está inscrita em uma face de um cubo e seu vértice está no centro da face oposta. Se o volume do cone é 2π ____ 3 metros cúbicos, a área do cubo (em metros quadrados) é igual a: a) 8 b) 24 c) 16 d) 20 e) 4 8. (UEPB) Um cilindro reto está inscrito em um cubo de aresta b cm. A relação entre o volume do cubo e o volume do cilindro a) 2π b) π ____ 4 c) π d) 4 ____ π e) 1 ____ 2π INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS COMPETÊNCIA(s) 2 e 3 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9 e 14 MT AULAS 37 E 38
91VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. (UEL) Considere o prisma reto ABCDEFGH de altura 2h e bases quadradas ABCD e EFGH de arestas a. Retire desse prisma o octaedro MNPQRS onde M e S são os centros das bases e N, P, Q e R são os pontos médios das arestas AE, BF, CG e DH, respectivamente. O volume do sólido restante é: a) a2 h b) (a2 h) ______ 3 c) (4a2 h) ________ 3 d) (5a2 h) ________ 3 e) 2a2 h 10. (UEG) Um fabricante de bolas deseja adquirir uma caixa de forma cúbica para acondicionar uma bola de volume Vb. A razão entre os volumes dessa bola e do menor cubo possível para acondicioná-la é: a) π ____ 4 b) π ____ 5 c) π ____ 3 d) π ____ 6 E.O. Fixação 1. (Espcex (Aman)) Uma esfera de raio 10 cm está inscrita em um cone equilátero. O volume desse cone, em cm3 , é igual a a) 1000 π. b) 1500 π. c) 2000 π. d) 2500 π. e) 3000 π. 2. (Ufrgs) Considere o cubo e os tetraedros ABCD, EFGD e HIJD, nos quais os pontos A, C, E, G, H e J são pontos médios de arestas do cubo, como representado na figura abaixo. A razão entre a soma dos volumes dos tetraedros ABCD, EFGD e HIJD e o volume do cubo é a) __1 8 b) __1 6 c) __1 3 d) __2 3 e) __3 4 3. (Epcar (Afa) 2018) Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360° do triângulo ABC em torno da reta que passa por C e é paralela ao lado AB. Sabe-se que este triângulo é isósceles, com AC ≡ BC = RdXX2 m, AB = 2R m (sendo R uma constante real não nula), e que o volume do sólido obtido é V=4πdXX3 m3 . A medida de R, em metros, é igual a a) d 6 XX3 b) d 3 XX3 c) d 3 XX9 d) dXX3 4. (Ufrgs) Considere um cubo de aresta a. Os pontos I, J, K, L, M e N são os centros das faces ABCD, BCFG, DCGH, ADHE, ABFE e EFGH, respectivamente, conforme representado na figura abaixo. O octaedro regular, cujos vértices são os pontos I, J, K, L, M e N, tem aresta medindo a) adXX3. b) adXX2. c) adXX3 ________ 2 . d) adXX5 _________ 2 . e) adXX2 _________ 2 . TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A questão abaixo se refere às informações do quadro a seguir.
92VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias É possível construir um dado redondo e honesto, isto é, com probabilidade 1/6 para cada um dos seis valores que ele pode sortear. As marcações do dado redondo são pintadas sobre a superfície de uma esfera, usando-se uma disposição análoga à do cubo convencional. Dentro da esfera, encontra-se uma cavidade na forma de um octaedro. Dentro da cavidade, coloca-se uma pequena esfera metálica pesada, que fica solta. Quando o dado redondo é lançado, toda a estrutura tende a se equilibrar com a pequena esfera, ocupando a posição de um dos seis vértices do octaedro e fazendo com que o topo da superfície esférica apresente uma das seis marcações. (Disponível em: http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/ pdp-br.html. Acesso em 10 abr. 2015) 5. (UPF) Se o diâmetro do dado redondo mede 4 cm, a soma das medidas das arestas do octaedro dentro do dado é: a) 16 cm b) 24 cm c) 8dXX2 cm d) 12dXX2 cm e) 24dXX2 cm 6. (Udesc) Algumas caixas de pizza para entrega têm o formato de um prisma regular de base hexagonal. Considere uma caixa destas com altura de 4 cm e, com base, um polígono de perímetro 72 cm. Se a pizza tem o formato de um cilindro circular, então o volume máximo de pizza que pode vir nesta caixa é: a) 216dXX3 cm3 b) 576π cm3 c) 864dXX3 cm3 d) 108π cm3 e) 432π cm3 7. (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, um cone reto e um cilindro de bases comuns estão inscritos em uma esfera. O volume do cilindro é igual ao volume do cone. A distância do centro da esfera à base comum, em função da altura H do cone, é a) __ H 2 d) __ H 5 b) __ H 3 e) __ H 6 c) __ H 4 8. (Uespi) A ilustração a seguir é a planificação de um sólido: B, C e G são quadrados com lado medindo 3 cm; A, D e F são triângulos retângulos isósceles com catetos medindo 3 cm, e E é um triângulo equilátero com lado medindo 3dXX2 cm. Qual o volume do sólido? a) 22,5 cm3 d) 22,2 cm3 b) 22,4 cm3 e) 22,1 cm3 c) 22,3 cm3 9. (Fatec) A intersecção de um plano á com uma esfera de raio R é a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada da figura a seguir. Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano á ao centro O é igual a a) __R 5 b) __R 4 c) __R 3 d) 2R ____ 5 e) 2R ____ 3 E.O. Complementar 1. (Efomm) Seja a esfera de raio R inscrita na pirâmide quadrangular regular de aresta base 2 cm e aresta lateral √38 cm. Sabendo-se que a esfera tangencia todas as faces da pirâmide, o valor de R, em cm, é a) dXXX 37 + 1 ____________ 6 b) dXXX 39 -- 1 ___________ 38
93VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias c) 6dXXX 38 + 12 _____________ 17 d) dXXX 37 --- 1 ____________ 6 e) 6dXXX 38 -- 12 _______________ 17 2. (UFJF) Uma peça de ornamentação confeccionada com vidro possui a forma de um prisma regular reto, cuja base é um triângulo equilátero. Em seu interior, há uma esfera representando o globo terrestre, que tangencia cada face do prisma. Sabendo que o raio da esfera é r, qual é o volume do prisma? a) dXX3 r3 . b) 2dXX3 r3 . c) 3dXX3 r3 . d) 6dXX3 r3 . e) 8dXX3 r3 . 3. (Espcex (Aman)) Na figura abaixo, está representado um cubo em que os pontos T e R são pontos médios de duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo mede 2 cm. Assim, o volume do sólido geométrico definido pelos pontos PQRST, em cm3 , é: a) __2 3 b) __4 3 c) __5 3 d) 16 ____ 3 e) 32 ____ 3 4. (Espcex (Aman)) A figura espacial representada abaixo, construída com hastes de plástico, é formada por dois cubos em que, cada vértice do cubo maior é unido a um vértice correspondente do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma medida. Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm, a medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos é a) 6dXX2 cm b) 3dXX2 cm c) 2dXX3 cm d) 4dXX3 cm e) 6dXX3 cm 5. (ITA) Um cilindro reto de altura √ __ 6 /3 cm esta inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm3 , e igual a a) πdXX 3 ________ 4 b) πdXX 3 ________ 6 c) πdXX 6 ________ 6 d) πdXX 6 ________ 9 e) __π 3 E.O. Dissertativo 1. (ITA) Em um cone circular reto de altura 1 e raio da base 1 inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do tetraedro. 2. (UFG) Deseja-se transportar 12 bolas de boliche esféricas de mesmo raio R em uma caixa em forma de paralelepípedo reto retângulo, de modo que as bolas fiquem tangentes entre si, e aquelas situadas na extremidade de uma mesma fileira tangenciem as faces da caixa. Além disso, nenhuma bola tangencia faces opostas da caixa. Lembre-se de que a caixa terá de ser tampada. Sabendo que o volume das bolas ocupa __ π 6 do volume da caixa, determine, em função de R, as dimensões da caixa. 3. (ITA) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm3 . Calcule: a) As medidas das arestas do paralelepípedo. b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo. 4. (UFRN) Por motivo de segurança, construiu-se um superaquário de vidro, em formato esférico, dentro de um cilindro também de vidro, conforme esquematizado na figura a seguir. A esfera está completamente cheia de água e, caso quebre, toda a água passará para o cilindro.
94VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Desconsidere a pequena diferença entre os raios da esfera e do cilindro e o volume de água deslocado pelos pedaços de vidro da esfera quando quebrada. Supondo que R é igual a 2 m, determine: a) O volume de água da esfera. b) A capacidade volumétrica do cilindro. c) A altura do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre. 5. (UFSCar) A figura mostra um prisma retangular reto de base quadrada com um cilindro circular reto inscrito no prisma. O lado da base do prisma mede 4 dm e a altura é dada por h(x) = x3 – 5x2 + 8x dm, com x > 0. a) Calcule o volume do prisma para x = 3 dm. b) Para x = 1 dm o volume do cilindro inscrito é 16π dm3 . Encontre os outros valores de x para os quais isto acontece. 6. (FGV) Considere uma pirâmide regular de altura 3dXX 6 ________ 2 cuja base é um quadrado de lado 3. Calcule: a) o volume da pirâmide. b) o raio da esfera circunscrita à pirâmide. 7. (PUC-RJ) Um cilindro reto de base circular de raio r e altura h é inscrito numa esfera de raio 5. a) Encontre a altura do cilindro quando r=3. b) Calcule a área total do cilindro quando r=3. c) Escreva a área total do cilindro como função de r. 8. (Ufc) As arestas de um cubo medem 1 unidade de comprimento. Escolhido um vértice V do cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo que as arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas do cubo (como descrito na figura) e tenham a mesma medida, x = |VA| = |VB| = |VC|, com 0 ≤ × ≤ 1 a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x. b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determine o valor de x para que o plano determinado pelos pontos A, B e C seja tangente a essa esfera. E.O. Enem 1. Uma empresa de transporte disponibiliza, para embalagem de encomendas, caixas de papelão no formato de paralelepípedo retoretângulo, conforme dimensões no quadro. Modelo da caixa Comprimento (cm) Largura (cm) Altura (cm) 1 12 12 13 2 23 20 25 3 25 25 25 4 26 25 24 5 23 26 26 Para embalar uma encomenda, contendo um objeto esférico com 11 cm de raio, essa empresa adota como critério a utilização da caixa, dentre os modelos disponíveis, que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a encomenda e que possua a menor área de superfície total. Desconsidere a espessura da caixa. Nessas condições, qual dos modelos apresentados deverá ser o escolhido pela empresa? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. (Enem PPL) Em uma confeitaria, um cliente comprou um cupcake (pequeno bolo no formato de um tronco de cone regular mais uma cobertura, geralmente composta por um creme), semelhante ao apresentado na figura:
95VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Como o bolinho não seria consumido no estabelecimento, o vendedor verificou que as caixas disponíveis para embalar o doce eram todas em formato de blocos retangulares, cujas medidas estão apresentadas no quadro: Embalagem Dimensões: (comprimento× largura ×altura) I 8,5 cm × 12,2 cm × 9,0 cm II 10 cm × 11 cm × 15 cm III 7,2 cm × 8,2 cm × 16 cm IV 7,5 cm × 7,8 cm × 9,5 cm V 15 cm × 8 cm × 9 cm A embalagem mais apropriada para armazenar o doce, de forma a não o deformar e com menor desperdício de espaço na caixa, é a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano α de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração: Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT , em decímetros, corresponde a: a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um sólido de 12 faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma, conforme representado na figura. Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) A menor esfera na qual um paralelepípedo reto‐ retângulo de medidas: 7cm × 4cm × 4cm está inscrito tem diâmetro de a) 9 cm b) 10 cm c) 11 cm d) 12 cm e) 15 cm 2. (Unicamp) Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a a) 4 2 . 3 b) 4. 3 c) 3 2 . 4 d) 2. 3. (Fuvest) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é a) 1/8 b) 1/6 c) 2/9 d) 1/4 e) 1/3
96VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Considere a pirâmide reta de base quadrada, ilustrada na figura abaixo, com lado da base b = 6 m e altura a. a) Encontre o valor de a de modo que a área de uma face triangular seja igual a 15 m2 . b) Para a = 2 m, determine o raio da esfera circunscrita à pirâmide. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. A 2. C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. B 8. D 9. C 10. D E.O. Fixação 1. E 2. A 3. D 4. E 5. E 6. E 7. E 8. A 9. C E.O. Complementar 1. D 2. D 3. B 4. C 5. D E.O. Dissertativo 1. Admitindo que: a: aresta do tetraedro. h = adXX 6 __________ 3 (altura do tetraedro) R = adXX 3 __________ 3 (Raio da base do tetraedro regular) Os triângulos AO'B' e AOB são semelhantes, o que nos permite escrever que: 1 -- h __________ 1 = __R 1 ⇒1-- adXX 6 __________ 3 = adXX 3 __________ 3 ⇒ 3 -- adXX6 = adXX3 ⇒ ⇒ a(dXX6 + dXX3 ) = 3 ⇒ a = 3 ____________ dXX6 + dXX3 ⇒ a= dXX6 -- dXX3 Considerando que a= dXX6 -- dXX3 , podemos calcular o volume V do tetraedro regular: V = a3 dXX2 __________ 12 ⇒ V = (dXX6 -- dXX3 ) 3 . dXX2 ) _________________________ 12 ⇒ ⇒ V = (6dXX6 -- 18dXX3 + 9dXX6 -- 3dXX3 ) . dXX2 _____________________________________________ 12 ⇒ ⇒ V = 15d12XXX -- 21dXX6 _________________________ 12 ⇒ V = 3dXXX 6 . ( 5dXX2 -- 12) _________________________ 12 ⇒ ⇒ V = dXX6 . (5dXX2 -- 7) _____________________ 4 2. De acordo com as informações, uma possível configuração das esferas na caixa é a que segue. Com efeito, sendo 4R, 4R e 6R as dimensões da caixa, temos 12 . __4 3 π R3 = __π 6 . 4R . 4R . 6R . 16π R3 = 16π R3 . Portanto, as dimensões da caixa são 4R, 4R e 6R. 3. a) Considere a figura Sabendo que as medidas das arestas AB, AD e AE estão em progressão aritmética, e que sua soma é 12cm, façamos AB = x -- r, AD = x e AE = x + r. Logo, x -- r + x + x + r =12 ⇔ x = 4cm.
97VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Além disso, como o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm3 , temos __1 3 . AB . AD _______________ 2 . AE =10 ⇔ __1 6 . (4 -- r) . 4 . (4 + r) =10 ⇔16 -- r2 =15 ⇔ r = ± 1. Portanto, as arestas do paralelepípedo medem 3 cm, 4cm e 5cm. b) O volume do paralelepípedo é dado por 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 cm³ e sua área lateral total é igual a 2 ⋅ ( 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ) = 2 ⋅ 47 = 94 cm2 . 4. a) O volume de água na esfera é dado por __4 3 πR3 = __4 3 π ⋅ 23 = 32 ___ 3 π m3 . b) Como o cilindro é equilátero, segue que sua capacidade volumétrica é dada por 2πR3 = 2π ⋅ 23 = 16π m3 . c) A altura h do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre é tal que π ⋅ 22 ⋅ h = 32 ___ 3 ⋅ π ⇔ h = __8 3 m. 5. a) Seja V(x) = 42 ⋅ h (x) o volume do prisma. Para x = 3dm, temos: V(3) =16 ⋅ (33 − 5 ⋅ 32 + 8⋅3) =16 ⋅ 6 = 96 dm3 . b) Seja VC (x)=πr2 ⋅ h(x) o volume do cilindro circular reto de raio r = __l 2 = __4 2 = 2dm. Se VC (x) =16π dm3 , então π ⋅ 22 ⋅ (x3 − 5x2 + 8x) =16π ⇔ x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0. Logo, x =1 é raiz de x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0. Donde x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x −1) ⋅ (x2 − 4x + 4) = (x−1)⋅(x−2)2 = 0, isto é, x=2 é raiz de x3 -5x2 +8x-4=0 e, portanto, VC (x)=16π dm3 também para x = 2dm. 6. a) 9dXX 6 __________ 2 u.v. b) dXX6 u.c. 7. a) 8 u.c. b) 66 π u.a. c) 2πr [r + 2dXXXXXXXXXX 25 − r 2 ]u.a. 8. a) x3 _______ 6 b) x = 3 − dXX 3 __________ 2 E.O. Enem 1. E 2. D E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. C E.O. UERJ Exame Discursivo 1. Sendo 2l a medida da aresta da base do prisma, considere a seguinte vista superior. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABC, obtemos x2 = l2 + l2 − 2 ⋅ l ⋅ l ⋅ cos120°⇔ x2 = 2l2 − 2l2 ⋅ (− __1 2 ) ⇒ x = ldXX3 em que x é a medida da aresta da base das pirâmides hexagonais regulares obtidas pelo corte. Portanto, se h é a altura do prisma, segue que a razão pedida é dada por 2 ⋅ __1 3 ⋅ 3 ⋅ (ldXX3 ) 2 ________________ 2 ⋅ __h 2 3 ⋅ (2l) 2 ________________ 2 ⋅ h = __1 4 . E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. A 3. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto médio da aresta PQ.
98VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias Se a área da face VPQ é igual a 15 m2 então VM PQ 15 VM 6 15 2 2 VM 5 m. ⋅ = ⇔ ⋅= ⋅ ⇔ = Portanto, como OM 3 m, = segue-se que a VO 4 m. = = b) Seja R o raio da esfera. A área do triângulo VSQ é dada por 2 SQ VO (VSQ) 2 6 2 2 2 6 2m . ⋅ = ⋅ = = Sabendo que QS OQ 3 2, 2 = = pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo VOQ, obtemos 222 2 2 2 2 2 VQ VO OQ VQ 2 (3 2) VQ 22 m . = + ⇔ =+ ⇔ = Portanto, como os pontos V, S e Q pertencem a um círculo máximo da esfera e VS VQ, = tem-se VS VQ QS 22 6 2 (VSQ) 6 2 4R 4R 11 R m. 2 ⋅ ⋅ ⋅ = ⇔= ⇔ =
99VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (PUC-RJ) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é: a) (3, 4). b) (4, 6). c) (–4, –6). d) (1, 7). e) (2, 3). 2. (IBMEC-RJ) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale: a) 2dXX3 . b) 3. c) 5. d) 3dXX2 . e) 6. 3. (ITA) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a: a) __ 5 3 . b) ____ dXXX 97 3 . c) _____ dXXXX 109 3 . d) d ___ XX5 3 . e) 10 ___ 3 . 4. (CFT-MG) Os pontos A(– 5, 2) e C(3, – 4) são extremidades de uma diagonal de um quadrado. O perímetro desse quadrado é: a) 18dXX2 . b) 20dXX2 . c) 24dXX2 . d) 28dXX2 . 5. (PUC-RJ) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo, o ponto B é: a) (3, 1). b) (3, 6). c) (3, 3). d) (3, 2). e) (3, 0). 6. (PUC-MG) Os catetos AC e AB de um triângulo retângulo estão sobre os eixos de um sistema cartesiano. Se M = (–1, 3) for o ponto médio da hipotenusa BC, é correto afirmar que a soma das coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a: a) –4. b) –1. c) 1. d) 4. 7. (PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é: a) 1. b) 2. c) 4. d) dXX2 e) dXX3 8. (UFF) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, peri, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”. O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (−1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é: a) 10 + dXXX 29+ dXXX 26 . b) 16 + dXXX 29+ dXXX 26 . c) 22 + dXXX 26 . d) 17 + 2dXXX 26 . e) 17 + dXXX 29+ dXXX 26 . 9. (EEAR) Considere os segmentos de retas ——AB e ——CD, onde A(0, 10) B(2, 12) C(-2, 3) e D(4, 3). O segmento ——MN , determinado pelos pontos médios dos segmentos ——AB e ——CD é dado pelos pontos M e N, pertencentes respectivamente a ——AB e a ——CD. Assinale a alternativa que corresponde corretamente a esses pontos. a) M( ___ 1 2 , 1) e N(- 1, 3). b) M(-2, 10) e N(- 1, 3). c) M(1, - 2) e N(1, 3). d) M(1, 11) e N(1, 3). 10. (EEAR) Seja ABC um triângulo tal que A(1, 1), B(3, -1) e C(5, 3). O ponto ____ é o baricentro desse triângulo. a) (2, 1). b) (3, 3). c) (1, 3). d) (3, 1). GEOMETRIA ANALÍTICA: DISTÂNCIA E PONTO MÉDIO COMPETÊNCIA(s) 2 e 5 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22 e 23 MT AULAS 39 E 40
100VOLUME 5 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Fixação 1. (Ufrgs) Sendo os pontos A = (– 1, 5) e B = (2, 1) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é: a) 2. b) 2dXX2 . c) 3dXX2 . d) 5. e) 5dXX2 . 2. (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (-2, 4), e (x, 0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9. c) 11. d) 10. e) 5. 3. (PUC-RJ) Os pontos (0, 8), (3, 1) e (1, y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: a) 5. b) 6. c) 17/3. d) 11/2. e) 5,3. 4. (FGV) No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) são os pontos médios respectivamente dos lados AB, BC e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é: a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 0. 5. (Fatec) A circunferência que passa pelos pontos O = (0, 0), A = (2, 0) e B = (0, 3) tem raio igual a: a) ____ dXXX 11 4 . b) ____ dXXX 11 2 . c) ____ dXXX 13 4 . d) ____ dXXX 13 2 . e) ____ dXXX 17 4 . 6. (UFMG) Seja P = (a, b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1. As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado de vértices (0, 0), (2, 0), (0, 2) e (2, 2) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado nesta figura: Considere o ponto Q = (dXXXXXXXX (a2 + b2 ) , ab). Então, é correto afirmar que o ponto Q está na região: a) I. b) II. c) III. d) IV. 7. (FGV) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12. 8. (IFSP) Um triângulo é desenhado marcando-se os pontos A(3; 5), B(2; –6) e C(–4; 1) no plano cartesiano. O triângulo A’B’C’ é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A’B’C’ é: a) (3 ; 5). b) (–2 ; 6). c) (–2 ; –1). d) (–4 ; 5). e) (4 ; 1). 9. (UEA) Num plano cartesiano, sabe-se que os pontos A, B (1, 2) e C (2, 3) pertencem a uma mesma reta, e que o ponto A está sobre o eixo Oy. O valor da ordenada de A é: a) 0. b) 3. c) –1. d) 2. e) 1. 10. (UECE) O volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos X, da região do plano limitada pelo triângulo com vértices nos pontos (6,0), (8,0) e (8,9) é igual a: a) 81 π u⋅v. b) 72 π u⋅v. c) 64 π u⋅v. d) 54 π u⋅v.