CadernoEO-MatemáticaV3_2022

Caro aluno O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às melhores universidades do Brasil. Ao elaborar o seu Sistema de Ensino, o Hexag Medicina considerou como principal diferencial em relação aos concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios: Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixação da matéria dada em aula. Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, buscando a consolidação do aprendizado. Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade. Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais vestibulares do Brasil. Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparando o aluno para esse tipo de exame. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das universidades públicas de São Paulo. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase das universidades públicas de São Paulo Uerj (exame de qualificação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolidação do aprendizado para o vestibular da Uerj. Uerj (exame discursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do aprendizado para o vestibular da Uerj. Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado receberão o encarte Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manuseio, a que conteúdo do livro teórico corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo a diagnosticar em quais assuntos você encontra mais dificuldade. Essa é uma inovação do material didático. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande aliado para seu sucesso nos vestibulares. Bons estudos!

SUMÁRIO MATEMÁTICA ÁLGEBRA 3 AULAS 17 E 18: FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 4 AULAS 19 E 20: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS 16 AULAS 21 E 22: DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 22 AULAS 23 E 24: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 27 AULAS 25 E 26: FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 34 TRIGONOMETRIA ARITMÉTICA 43 AULAS 17 E 18: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 44 AULAS 19 E 20: CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS 49 AULAS 21 E 22: RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA 54 AULAS 23 E 24: TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 60 AULAS 25 E 26: EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 68 GEOMETRIAS PLANA E ESPACIAL 75 AULAS 17 E 18: POLÍGONOS 76 AULAS 19 E 20: ÁREAS DOS QUADRILÁTEROS E RAZÃO DE SEMELHANÇAS PARA ÁREAS 82 AULAS 21 E 22: ÁREA DO CÍRCULO, SETOR E SEGMENTO CIRCULAR 102 AULAS 23 E 24: POLIEDROS E NOÇÕES DE GEOMETRIA MÉTRICA DE POSIÇÃO 113 AULAS 25 E 26: PRISMAS 119

MATEMÁTICA MATEMÁTICA e suas tecnologias 3 ÁLGEBRA

4 VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (Ufrgs) Dada a função f, definida por f(x) = x² + 9 – 6x, o número de valores de x que satisfazem a igualdade f(x) = –f(x) é: a) 0. d) 3. b) 1. e) 4. c) 2. 2. (PUC-RJ) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = x + 1 e g(x) = 1 + 2x2 . Os valores de x tais que f(x) = g(x) são: a) x = 0 ou x = 1. b) x = 0 ou x = 2. c) x = 1 ou x = __1 2 . d) x = 2 ou x = 1. e) x = 0 ou x = __1 2 . 3. (UERN) Seja uma função do 2º grau y = ax2 + bx + c, cujo gráfico está representado a seguir. A soma dos coeficientes dessa função é: a) –2. c) –4. b) –3. d) –6. 4. (Espcex) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x² – 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² – 40x – 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a: a) 4 lotes. d) 7 lotes. b) 5 lotes. e) 8 lotes. c) 6 lotes. 5. (Ulbra) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os gestores contrataram um matemático para modelar o custo de produção de um dos seus produtos. O modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C = 15000 – 250n + n2 , onde C representa o custo, em reais, para se produzirem n unidades do determinado produto. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? a) –625 d) 625 b) 125 e) 315 c) 1.245 6. (Ufrgs) Considere as funções f e g tais que f(x) = 4x – 2x2 –1 e g(x) = 3 – 2x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem a igualdade f(x) = g(x) é: a) –4. b) –2. c) 0. d) 3. e) 4. 7. A receita obtida pela venda de um determinado produto é representada pela função R(x) = – x2 + 100 x, onde x é a quantidade desse produto. O gráfico da referida função é apresentado abaixo. É CORRETO afirmar que as quantidades a serem comercializadas para atingir a receita máxima e o valor máximo da receita são, respectivamente: a) 50 e 2.000. d) 100 e 2.500. b) 25 e 2.000. e) 50 e 2.500. c) 100 e 2.100. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU COMPETÊNCIA(s) 3, 4 e 5 HABILIDADE(s) 13, 15, 19, 20 e 21 MT AULAS 17 E 18

5VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 8. (UFSM) Um jogador de basquete lança uma bola em direção à cesta e ela descreve um arco de parábola. A lei que descreve essa parábola é h(t) = –__1 3 t² +__5 3 t + 2, onde t é o tempo decorrido em segundos após o lançamento, e h é a altura em metros. Assim, é correto afirmar: a) A bola atinge o solo em 5 s. b) A imagem de h(t) é dada pelo conjunto {y [ R | y ≥ ___ 49 9 }. c) O vértice da parábola é o ponto ( __5 2 , ___ 49 12 ). d) Para todo t [ [–6,1], h(t) ≥ 0. e) A altura máxima atingida pela bola é igual a __7 3 m. 9. Seja f(x) = 3 · (x – __1 2 ) ² – 4, onde x é um número real qualquer. O menor valor que f(x) pode assumir é: a) –3. c) –5. b) –4. d) –6. E.O. Fixação 1. A função real representada pelo gráfico é definida por: a) f(x) = 2x² – x – 1. b) f(x) = 2x² + 3x – 1. c) f(x) = x² – 3x + 1. d) f(x) = 2x² – 3x + 1. 2. (UFPB) Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade indicou que a taxa média diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de C(p) = 0,5p + 1 partes por milhão, para uma quantidade de (p) milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população nessa região será de p(t) = 2t² – t + 110 milhares de habitantes. Nesse contexto, para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham sido transcorridos no mínimo: a) 2 anos. b) 2 anos e 6 meses. c) 3 anos. d) 3 anos e 6 meses. e) 4 anos. 3. (UEG) Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular, conforme figura abaixo. Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente: a) 2,0 m e 4,5 m. b) 3,0 m e 4,0 m. c) 3,5 m e 5,0 m. d) 2,5 m e 7,0 m. 4. Se a função L(x) = 10 · (x – 2) · ( ___1 10 – x) representa o lucro de uma indústria em que x é a quantidade de unidades vendida, então o lucro será: a) mínimo para x = 3. b) positivo para x ≥ 2. c) máximo para x = ___1 10. d) positivo para ___1 10 < x < 2. 5. (Unisc) O gráfico da parábola cuja função é f(x)=40x–10x²+50 mostra a velocidade, em quilômetros por hora, de um automóvel num intervalo (Dx) de 0 até 5 segundos. Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. I. A maior velocidade que o automóvel atingiu supera a velocidade inicial em 40 km/h. II. A maior velocidade ocorreu quando o cronômetro indicava x = 2,5 segundos. III. O automóvel estava parado quando o cronômetro indicava x = 5 segundos. a) Todas as afirmativas estão corretas. b) Somente as afirmativas II e III estão corretas. c) Somente as afirmativas I e III estão corretas. d) Somente as afirmativas I e II estão corretas. e) Apenas uma das afirmativas está correta. 6. (UFSJ) Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma parábola, conforme a figura a seguir.

6 VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Nessa trajetória, a altura máxima, em metros, atingida pelo corpo foi de: a) 0,52 m. c) 0,58 m. b) 0,64 m. d) 0,62 m. 7. (UFRN) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de R$ 3,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches. Considerando o custo de R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é: a) R$ 2,50. b) R$ 2,00. c) R$ 2,75. d) R$ 2,25. 8. (Pucsp) Para abastecer seu estoque, um comerciante comprou um lote de camisetas ao custo de 16 reais a unidade. Sabe-se que em um mês, no qual vendeu (40 – x) unidades dessas camisetas ao preço unitário de x reais, o seu lucro foi máximo. Assim sendo, pela venda de tais camisetas nesse mês, o percentual de aumento repassado aos clientes, calculado sobre o preço unitário que o comerciante pagou na compra do lote, foi de: a) 80%. b) 75%. c) 60%. d) 45% 9. (UFSM) Uma pessoa ingere uma certa substância que se concentra em seu cérebro. O gráfico a seguir mostra essa concentração em função do tempo t. Admitindo que a concentração y seja dada por uma função quadrática y = at2 + bt + c, é correto afirmar que: a) a > 0 e b2 – 4ac > 0. b) a > 0 e b2 – 4ac < 0. c) a < 0 e b2 – 4ac > 0. d) a < 0 e b2 – 4ac < 0. e) a ≠ 0 e b2 – 4ac = 0. 10. (Epcar) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau y = f(x), que tem como coordenadas do vértice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passará pelo ponto de coordenadas: a) (1, 18). b) (0, 26). c) (6, 4). d) (–1, 36). E.O. Complementar 1. (Insper) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau. O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é: a) b) c) d) e)

7VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (Insper) O número n de pessoas presentes em uma festa varia ao longo do tempo t de duração da festa, em horas, conforme mostra o gráfico a seguir. Das opções abaixo, aquela que melhor descreve a função n(t) é: a) n(t) = –10t2 + 4t + 50. b) n(t) = –10t2 + 40t + 50. c) n(t) = –10t2 + 4t. d) n(t) = –t2 + 40t. e) n(t) = –10t2 + 40t. 3. (Ufrgs) O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x) = ax² + bx + c está representado a seguir. Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar que os coeficientes a, b e c satisfazem as desigualdades: a) a > 0; b < 0; c < 0. b) a > 0; b < 0; c > 0. c) a > 0; b > 0; c > 0. d) a > 0;b > 0; c < 0. e) a < 0; b < 0; c < 0. 4. (Fatec) Seja f a função quadrática, de R em R, definida por f(x) = (k + 3) · (x2 + 1) + 4x, na qual k é uma constante real. Logo, f(x) > 0, para todo x real, se, e somente se: a) k > –3. b) k > –1. c) –3 < k < 1. d) k < 1 ou k > 5. e) k < –5 ou k > –1. 5. Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do filme, sendo que: • nos 10 primeiros dias desse período, as vendas foram feitas exclusivamente nas bilheterias; • nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultaneamente nas bilheterias e pela internet. Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o tempo t. No período de vendas simultâneas nas bilheterias e pela internet, a função v(t) é dada por: v(t) = –0,1t2 + 4t – 10. O número de ingressos vendidos apenas nos 10 dias que antecederam a exibição do filme foi: a) 10 milhões. d) 40 milhões. b) 20 milhões. e) 50 milhões. c) 30 milhões. E.O. Dissertativo 1. Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) = x² + ax + b definidas para todo x real. a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto. 2. (UFPR) Considere as funções f(x) = x – 1 e g(x) = __2 3 ∙ (x – 1) ∙ (x – 2). a) Esboce o gráfico de f(x) e g(x) no sistema cartesiano abaixo. b) Calcule as coordenadas (x, y) dos pontos de interseção dos gráficos de f(x) e g(x). 3. (UFBA) Sabendo que os gráficos das funções quadráticas f(x) = x2 − 4x + 3 e g(x) = –x2 – bx + c se intersectam em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determine o valor de b4 c. 4. Na figura abaixo, os gráficos das funções reais f e g são tangentes. Sabendo que f(x) = x² + 2k e g(x) = 2x + k, calcule f(2) + g(3).

8 VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (Udesc) Considere a região limitada pela parábola y = kx² e pela reta y = ka² sendo k e a números reais positivos, sombreada na figura abaixo. A área desta região é calculada pela expressão A = 4ka3 _____ 3 unidades de área. Resolva os itens abaixo explicitando seus cálculos com a maior clareza possível. a) Represente geometricamente e hachure a região delimitada pelas parábolas y = x² e y = 12 – 2x². b) Determine a área da região obtida no item (a). 6. (UFPR) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 20 · t – t² sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) = 50 + 30 · N. a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 2300 milhares de reais? 7. (PUC-RJ) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação y = __x² 6 – ___ 11 6 x + 3e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo. Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. 8. (UFTM) Certa fonte multimídia promove um balé de água, luzes, cores, música e imagens. Sabe-se que bombas hidráulicas fazem milhares de litros de água circularem por minuto em alta pressão por canos de aço, dando vida a um show de formas, entre as quais parábolas, conforme ilustra a figura. A trajetória de uma dessas parábolas pode ser descrita pela função h(t) = 12t – t², com t ≥ 0, onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura, em metros, do jato no instante t. Nessas condições: a) determine, após o lançamento, a altura máxima que o jato alcança. b) construa o gráfico da função, explicando o que acontece no instante t = 12 s. 9. (UEL) O óxido de potássio, K2 O, é um nutriente usado para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu conforme mostra a tabela a seguir. Dose do nutriente (kg/hectare) Produção de cana-de-açúcar (toneladas/hectare) 0 42 70 56 140 61 Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode ser descrita por uma função do tipo y(x) = ax² + bx + c, determine a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare. Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. 10. (UFRJ) Determine a equação da parábola que passa pelo ponto P1 = (0,a) e é tangente ao eixo x no ponto P2 = (a,0), sabendo que a distância de P1 a P2 é igual a 4. E.O. Enem 1. (Enem) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = – t 2 __ 4 + 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? a) 19,0 d) 38,0 b) 19,8 e) 39,0 c) 20,0

9VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (Enem) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3 para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira: • A nota zero permanece zero. • A nota 10 permanece 10. • A nota 5 passa a ser 6. A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é: a) y = – ____ 1 25 x² +___ 7 5 x. b) y = – ____ 1 10 x² + 2x. c) y = ____ 1 24 x² +____ 7 12 x. d) y = ___ 4 5 x + 2. e) y = x. 3. (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = __3 2 x² – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é: a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6. 4. (Enem) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho. Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele? a) b) c) d) e) 5. (Enem) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é: a) V = 10.000 + 50x – x2 . b) V = 10.000 + 50x + x2 . c) V = 15.000 – 50x – x2 . d) V = 15.000 + 50x – x2 . e) V = 15.000 – 50x + x2 .

10VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (Enem) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: y = 9 – x2 sendo x e y medidos em metros. Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel. Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado? a) 18 b) 20 c) 36 d) 45 e) 54 7. (Enem) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = –h2 + 22h – 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Intervalos de temperatura (ºC) Classificação T < 0 Muito baixa 0 ≤ T ≤ 17 Baixa 17 < T < 30 Média 30 ≤ T ≤ 43 Alta T > 43 Muito alta Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como: a) muito baixa. d) alta. b) baixa. e) muito alta. c) média. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ 2017) No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f(x) = x2 + 2, com x ∈ e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP. Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados. Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois quadrados, é: a) 20. c) 36. b) 28. d) 40. 2. (UERJ) Observe a função f, definida por: f(x) = x2 – 2kx + 29, para x ∈ . Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4. Assim, o valor positivo do parâmetro k é: a) 5 c) 10 b) 6 d) 15 3. (UERJ) A figura a seguir mostra um anteparo parabólico que é representado pela função f(x) = ( –√ __ ____3 3 ) x2 + 2√ __ 3 x. α 0 x f(x) Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma trajetória retilínea. Ao incidir no vértice do anteparo é refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em relação ao eixo da parábola. O valor do ângulo de incidência a corresponde a: a) 30°. c) 60°. b) 45°. d) 75°. 4. (UERJ) Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t. gráfico I V1 t1 O t (segundos) hs (metros) 2t t (segundos) 1 0 h V2 gráfico II s (metros)

11VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias No gráfico I, a função horária é definida pela equação S = a1 t 2 + b1 t e, no gráfico II, por S = a2 t 2 + b2 t. Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II. Assim, a razão a __1 a2 é igual a: a) 1. b) 2. c) 4. d) 8. 5. (UERJ) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 0). O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5. O comprimento do segmento AB corresponde a: a) 5. b) 6. c) 3√ __ 5 . d) 6√ __ 2 . 6. (UERJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais: Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é y = –x2 ___ 75 + ___ 2x 5 . Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: a) 38. b) 40. c) 45. d) 50. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Em um triângulo equilátero de perímetro igual a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo que um de seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Observe a figura: Admitindo que o retângulo possui a maior área possível, determine, em centímetros, as medidas x e y de seus lados. 2. (UERJ) Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos ——PA e ——CQ em três partes, como mostra a figura. Admita que os segmentos de reta ——PA e ——CQ estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S. Determine o maior valor, em m2 , que S pode assumir. 3. (UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como função do dia de colheita. b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor. 4. (UERJ) Considere as seguintes funções, relativas a uma ninhada de pássaros: C = 5 + 10 n; C = custo mensal, em reais, para a manutenção de n pássaros. V = –5 n2 + 100 n – 320; V = valor arrecadado, em reais, com a venda de n pássaros, 4 ≤ n ≤ 16. Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela diferença entre os valores de venda V e custo C. a) Determine os possíveis valores de n, para que haja lucro nas vendas. b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucro possível e o valor, em reais, desse lucro.

12VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (UERJ) A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8 m e altura central OC = 5,6 m. Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico. Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy. 6. (UERJ) Observe a parábola de vértice V, gráfico da função quadrática definida por y = ax2 + bx + c, que corta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A B x y V Calcule o valor numérico de ∆ = b2 – 4ac, sabendo que o triângulo ABV é equilátero. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado? a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) 180 2. (Unicamp) Seja a um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas y = x2 + 2x + 2 e y = 2x2 + ax + 3. Essas parábolas não se interceptam se e somente se: a)  a = 2 b)  a < 2. c)  a – 2 < 2. d)  a – 2 ≥ 2. 3. (Fuvest) A função f: R é R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) – f(x) = 6x – 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a: a) ___ 11 6 . b) __7 6 . c) __5 6. d) 0. e) – __5 6 . E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) No plano cartesiano 0xy, considere a parábola P de equação y = –4x2 + 8x + 12 e a reta r de equação y = 3x + 6. Determine: a) os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V da parábola P. b) o ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r. c) a área do quadrilátero de vértices A, B, C e V.

13VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (Unicamp 2017) Sejam c um número real e f(x) = x2 – 4x + c uma função quadrática definida para todo número real x. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de y = f(x). a) Determine c no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o respectivo gráfico para 0 ≤ x ≤ 4. b) Considere os pontos de coordenadas A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), onde a e b são números reais com a < b. Sabendo que o ponto médio do segmento ——AB é M = (1, c), determine a e b. 3. (Unicamp) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, gerando CO2 , além de outros gases e resíduos poluentes. a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7 kg de CO2 a cada litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO2 ele emitiu em uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso? b) A quantidade de CO2 produzida por quilômetro percorrido depende da velocidade do carro. Suponha que, para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de CO2 , em g/km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada por um polinômio do segundo grau. Determine esse polinômio com base nos dados da tabela abaixo. Velocidade (km/h) Emissão de CO2 (g/km) 20 400 30 250 40 200 4. (Unesp) O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água. tempo (segundos) 0 1 altura (metros) -2 -4 a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água? b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por: f(t) = ( -__3 4 ) t2 + 6t – 9. Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em metros, atingida no salto. 5. (Unifesp) A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial C(t) = –0,05t2 + 2t + 25. Nessa função, considera-se t = 0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento. Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma segunda-feira. a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez? b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a segunda dose? 6. (Unifesp) A densidade populacional de cada distrito da cidade de South Hill, denotada por D (em número de habitantes por km2 ) está relacionada à distância x, em quilômetros, do distrito ao centro da cidade. A fórmula que relaciona D e x é dada por D = 5 + 30x – 15x2 . a) Um distrito, localizado no centro da cidade de São Paulo, tem densidade populacional de 16,5 hab/km2 . Comparando a densidade populacional do distrito que fica no centro da cidade de South Hill com a do distrito do centro da cidade de São Paulo, a segunda supera a primeira em y%. Calcule y. b) Determine a que distância do centro da cidade de South Hill a densidade populacional é máxima. Qual é o valor dessa densidade máxima? Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. E 3. C 4. D 5. B 6. C 7. E 8. C 9. B E.O. Fixação 1. D 2. B 3. A 4. D 5. C 6. B 7. C 8. B 9. C 10. A E.O. Complementar 1. C 2. E 3. A 4. B 5. A

14VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativo 1. a) a = ± 2 e b = 1 b) (1, 2) 2. a) b) Os pontos de intersecção entre f(x) e g(x) são (1, 0) e (7/2, 5/2 ). 3. b4 · c = 24 · 3 = 48. 4. f(2) + g(3) = 2² + 2 + 2 · 3 + 1 = 13 5. a) b) A = ___ 32 3 + ___ 64 3 = ___ 96 3 = 32 6. a) C(t) = –30t2 + 600t + 50 b) t = 5h 7. a) A=(3,-1) b) C = (8,0) c) A área do retângulo ABCD é 5 u.a. 8. a) A altura máxima que o jato alcança é 36 m no instante t = 6 s. b) Quando t = 12 s, h é igual a zero, ou seja, o jato retorna ao solo. 9. xv = 37 · 35/9 ≈ 143,88 kg 10. y = √ __ ___2 4 (x – 2√ __ 2 ) ² ou y = – √ __ ___2 4 (x + 2√ __ 2 ) ² E.O. Enem 1. D 2. A 3. E 4. D 5. D 6. C 7. D E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. D 2. A 3. A 4. C 5. C 6. B E.O. UERJ Exame Discursivo 1. y = √ __ ___3 2 e x = 1. 2. 20.000 m² 3. a) 160 + 0,4 n – 0,02 n2 b) 11º dia 4. a) n ∈ tal que 5 < n < 13. b) 9 filhotes gerando 80 reais de lucro. 5. 3 m 6. ∆ = 12 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. D 2. C 3. C E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) A(–1, 0), B(3, 0) e V = (1, 16) b) C(2, 12) c) A = 36 u.a

15VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. a) c = 2 Portanto, segue o gráfico de f. b) a = 1 – √ __ 3 b = 1 + √ __ 3 3. a) 75,6 kg b) __1 2 v2 – 40v + 1000 4. a) f(t) = 2t – 4 para 0 ≤ t ≤ 2; 2 s b) 4 s; 3 m 5. a) 21 h. b) 7 horas da terça-feira. 6. a) y = 230% b) Distância: 1 km Densidade máxima: 20 hab/km²

16VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60.000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação V(t) = 60.000 · 2 , onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3.750,00. c) R$ 10.000,00. b) R$ 7.500,00. d) R$ 20.000,00. 2. (Mackenzie) O valor de x na equação ( ___ dXX3 9 ) 2x–2 = ___1 27 é: a) tal que 2 < x < 3. b) negativo. c) tal que 0 < x < 1. d) múltiplo de 2. e) 3. 3. (PUC-RJ) A equação 2x2 – 14 = _____ 1 1024 tem duas soluções reais. A soma das duas soluções é: a) –5. b) 0. c) 2. d) 14. e) 1024. 4. (IFSUL) O esboço gráfico que melhor representa a função real de variável real y = ex+2 é: a) b) c) d) 5. (UPE) Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t, em minutos, de acordo com a lei Q(t) = Q0 ∙ ekt sendo k > 0 uma constante que depende da natureza das bactérias; o número irracional e vale aproximadamente 2,718 e Q0 é a quantidade inicial de bactérias. Se uma cultura tem inicialmente 6.000 bactérias e, 20 minutos depois, aumentou para 12.000, quantas bactérias estarão presentes depois de 1 hora? a) 1,8 × 104 . d) 3,6 × 104 . b) 2,4 × 104 . e) 4,8 × 104 . c) 3,0 × 104 . 6. O número real a satisfaz a sentença 32a – 1 < ____1 9a + 1 se, e somente se: a) a < 4. d) ___1 4 < a < 0. b) 4 ≤ a < 1. e) a > 4. c) a < – ___1 4 . 7. O conjunto solução da inequação (__ 1 2 ) x – 3 ≤ __1 4 é: a) (–∞, 5]. b) [5, +∞). c) [–5, +∞). d) [4, +∞). e) (–∞, –5]. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS COMPETÊNCIA(s) 1, 5 e 6 HABILIDADE(s) 3, 4, 5, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 e 26 MT AULAS 19 E 20

17VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 8. Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x , a solução da inequação f(x) > g(2 – x) é: a) x > 0. b) x > 0,5. c) x > 1. d) x > 1,5. e) x > 2. 9. (UFES) O conjunto solução, em R, da inequação 3x – 3 >(1/9)x + 3 é: a) {x ∈ R | x > –3}. b) {x ∈ R | 0 < x < 1}. c) {x ∈ R | x > 1}. d) {x ∈ R | x < 1}. e) {x ∈ R | x > –1}. 10. (PUC-RS) O domínio da função definida por f(x) = √ ______ 2x – 1é: a) (-∞; 0) ∪ (0; +∞). b) [0; +∞). c) (-∞; 0]. d) (1; +∞). e) (-∞; -1). E.O. Fixação 1. (ACAFE) Um dos perigos da alimentação humana são os micro-organismos, que podem causar diversas doenças e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando sua população a cada 20 minutos, pode-se concluir que o tempo que a população de 100 micro-organismos passará a ser composta de 3.200 indivíduos é: a) 1 h e 35 min. b) 1 h e 40 min. c) 1 h e 50 min. d) 1 h e 55 min. 2. (CFTMG) A solução da equação 3x+1 – 3x+2 = –54 é: a) –2. b) –1. c) 0. d) 2. 3. (UFRGS) Considere a função f tal que f(x) = k + ( __5 4 ) 2x–1 , com k > 0. Assinale a alternativa correspondente ao gráfico que pode representar a função f. a) b) c) d) e) 4. (ESPM) Se (4x ) ² = 16 · 2x², o valor de xx é: a) 27. d) 1. b) 4. e) – ___1 27 . c) __1 4 . 5. (UFPB) O total de indivíduos, na n-ésima geração, de duas populações P e Q, é dado, respectivamente, por P(n) = 4n e Q(n) = 2n . Sabe-se que, quando P(n)/Q(n) ≥ 1024, a população Q estará ameaçada de extinção. Com base nessas informações, essa ameaça de extinção ocorrerá a partir da: a) décima geração. b) nona geração. c) oitava geração. d) sétima geração. e) sexta geração. 6. (UFRGS) O conjunto solução da inequação ( __ 1 2 ) x2 > 1 é: a) ∅. d) (-∞, 0). b) (-1, 1). e) R. c) (0, +∞). 7. (Mackenzie) O maior valor inteiro pertencente ao conjunto solução da inequação [(2x+2 - 2x+1)/2x-2] < 0,25x é: a) –3. b) –2. c) –1. d) 1. e) 2.

18VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 8. (UPE) Antônio foi ao banco conversar com seu gerente sobre investimentos. Ele tem um capital inicial de R$ 2.500,00 e deseja saber depois de quanto tempo de investimento esse capital, aplicado a juros compostos, dobrando todo ano, passa a ser maior que R$ 40.000,00 Qual a resposta dada por seu gerente? a) 1,5 anos b) 2 anos c) 3 anos d) 4 anos e) 5 anos 9. (ESPCEX) A inequação 10x + 10x + 1 + 10x + 2 + 10x + 3 + 10x + 4 < 11111 em que x é um número real: a) não tem solução. b) tem apenas uma solução. c) tem apenas soluções positivas. d) tem apenas soluções negativas. e) tem soluções positivas e negativas. 10. (IFSUL) Uma aplicação bancária é representada graficamente conforme figura a seguir. M é o montante obtido através da função exponencial M = C · (1,1)t , C é o capital inicial e t é o tempo da aplicação. Ao final de 04 meses o montante obtido será de: a) R$ 121,00 b) R$ 146,41 c) R$ 1.210,00 d) R$ 1.464,10 E.O. Complementar 1. (UNIOESTE) O Saccharomyces cerevisiae é um fungo com bastante importância econômica. É utilizado como fermento para a massa de pão, produzindo dióxido de carbono e fazendo a massa crescer. É também utilizado na produção de bebidas alcoólicas fermentadas, pois converte o açúcar em álcool etílico. Sob certas condições de cultura, este fungo cresce exponencialmente de forma que a quantidade presente em um instante t dobra a cada 1,5 horas. Nestas condições, se colocarmos uma quantidade q0 deste fungo em um meio de cultura, a quantidade q(t) existente do fungo, decorridas t horas com t ∈ [0, ∞), pode ser calculada pela função: a) q(t) = q0 · 43t. b) q(t) = __4 9 t²q0 + q0 . c) q(t) = ( __3 2 q0) ² . d) q(t) = q0( __3 2 ) 2t . e) q(t) = 3 dXX4t q0 . 2. (UFV) Se 2a · x2 + 4a+1 · x + 8 > 0, para todo x ∈ R, é CORRETO afirmar que: a) a ≤ 1/3. b) a < 1/3. c) a ≥ 1/3. d) a < 0. e) a > 1. 3. (ITA) Seja a um número real, com 0 < a < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que a2x( ___1 dαXX ) 2x2 < 1. a) ]–∞, 0] ∪ [ 2, +∞[. b) ]–∞, 0[ ∪ ] 2, +∞[. c) ]0, 2[. d) ]–∞, 0[. e) ]2, +∞[. 4. (UDESC) O Conjunto solução da inequação [3 dXXXXXXX (2x – 2) ] x + 3 > 4x é: a) S = {x ∈ R | – 1 < x < 6}. b) S = {x ∈ R | x < –1 ou x > 1}. c) S = {x ∈ R | x < –1 ou x > 6}. d) S = {x ∈ R | –6 < x < 1}. e) S = {x ∈ R | x < –dXX6ou x > dXX6 }. 5. (EPCAR (AFA)) A função real f definida por f(x) = a · 3x + b, sendo a e b constantes reais, está graficamente representada abaixo. Pode-se afirmar que o produto (a · b) pertence ao intervalo real: a) [–4, –1[. b) [–1, 2[. c) [2, 5[. d) [5, 8].

19VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativo 1. (UFU) Na elaboração de políticas públicas que estejam em conformidade com a legislação urbanística de uso e ocupação do solo em regiões metropolitanas, é fundamental o conhecimento de leis descritivas do crescimento populacional urbano. Suponha que a lei dada pela função p(t) = 0,5 · (2kt) expresse um modelo representativo da população de uma cidade (em milhões de habitantes) ao longo do tempo t (em anos), contados a partir de 1970, isto é, t = 0 corresponde ao ano de 1970, sendo k uma constante real. Sabendo que a população dessa cidade em 2000 era de 1 milhão de habitantes: a) Extraia do texto dado uma relação de forma a obter o valor de k. b) Segundo o modelo de evolução populacional dado, descreva e execute um plano de resolução que possibilite estimar em qual ano a população desta cidade atingirá 16 milhões de habitantes. 2. (UFMG) Um grupo de animais de certa espécie está sendo estudado por veterinários. A cada seis meses, esses animais são submetidos a procedimentos de morfometria e, para tanto, são sedados com certa droga. A quantidade mínima da droga que deve permanecer na corrente sanguínea de cada um desses animais, para mantê-los sedados, é de 20mg por quilograma de peso corporal. Além disso, a meia-vida da droga usada é de 1 hora — isto é, a cada 60 minutos, a quantidade da droga presente na corrente sanguínea de um animal reduz-se à metade. Sabe-se que a quantidade q(t) da droga presente na corrente sanguínea de cada animal, t minutos após um dado instante inicial, é dada por q(t) = q0 2–kt, em que: • q0 é a quantidade de droga presente na corrente sanguínea de cada animal no instante inicial; e • k é uma constante característica da droga e da espécie. Considere que um dos animais em estudo, que pesa 10 quilogramas, recebe uma dose inicial de 300 mg da droga e que, após 30 minutos, deve receber uma segunda dose. Suponha que, antes dessa dose inicial, não havia qualquer quantidade da droga no organismo do mesmo animal. Com base nessas informações, a) calcule a quantidade da droga presente no organismo desse animal imediatamente antes de se aplicar a segunda dose. b) calcule a quantidade mínima da droga que esse animal deve receber, como segunda dose, a fim de ele permanecer sedado por, pelo menos, mais 30 minutos. 3. (UFF) a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio: “Como __1 4 >__1 8 tem-se ( __1 2 ) 2 > ( __1 2 ) 3 e conclui-se que 2 > 3.” Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda. b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação: ( __ 1 2 ) 4/m > ( __1 4 ) m+1 4. Resolva as seguintes inequações exponenciais: a) 53x – 1 > ___1 25 b) 82 __ 36 ≥(dXX __3 2 ) x c) ( __1 2x ) 3 < ___ dXX8 16 5. Encontre os valores de x que satisfazem a inequação 2(x – 1) · (4 – x) > 1. 6. (PUC-RJ) Seja f(x) = 4x – 6 · 2x + 8. a) Calcule f(0). b) Encontre todos os valores reais de x para os quais f(x) = 168. c) Encontre todos os valores reais de x para os quais f(x) < 0. 7. (UFPR) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante conhecido por matemáticos e biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de proteção ambiental: P(t) = _______ 500 1 + 22–t , sendo t o tempo em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado. a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos? b) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproxima de qual valor? Justifique sua resposta. 8. (UFPE) Em uma aula de Biologia, os alunos devem observar uma cultura de bactérias por um intervalo de tempo e informar o quociente entre a população final e a população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias por 10 minutos e informa um valor Q. Iniciando a observação no mesmo instante que Antônio, Beatriz deve dar sua informação após 1 hora, mas, sabendo que a população de bactérias obedece à equação P(t) = P0 · ekt, Beatriz deduz que encontrará uma potência do valor informado por Antônio. Qual é o expoente dessa potência? 9. (UEL) A espessura da camada de creme formada sobre um café expresso na xícara, servido na cafeteria A, no decorrer do tempo, é descrita pela função E(t) = a2bt, onde t ≥ 0 é o tempo (em segundos) e a e b são números reais. Sabendo que inicialmente a espessura do creme é de 6 milímetros e que, depois de 5 segundos, se reduziu em 50%, qual a espessura depois de 10 segundos? Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Considere uma folha de papel retangular que foi dobrada ao meio, resultando em duas partes, cada uma com metade da área inicial da folha, conforme as ilustrações.

20VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Esse procedimento de dobradura pode ser repetido n vezes, até resultar em partes com áreas inferiores a 0,0001% da área inicial da folha. Calcule o menor valor de n. Se necessário, utilize em seus cálculos os dados da tabela. x 2x 9 102,70 10 103,01 11 103,32 12 103,63 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que: a) M(t) = 24 – (t/75). b) M(t) = 24 – (t/50). c) M(t) = 25 – (t/50). d) M(t) = 25 – (t/150). 2. (Fuvest) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = ca–kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos? a) 10%. d) 3%. b) 5%. e) 2%. c) 4%. 3. (Fuvest) Seja f(x) = a + 2bx+c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]–1, ∞[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, –3/4). Então, o produto abc vale: a) 4. b) 2. c) 0. d) –2. e) –4. 4. (Fuvest) Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda per capita desse país. Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de 2% ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente à taxa constante de, aproximadamente, Dado: 20√ __ 2 ≅ 1,035. a) 4,2%. d) 7,5%. b) 5,6%. e) 8,9%. c) 6,4%. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unifesp) A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função f(x) = 2x + ( __1 2 ) x , com domínio [A, B]. a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio? b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento do cabo seguir precisamente a função dada? 2. (Unesp) Resolva as equações exponenciais, determinando os correspondentes valores de x. a) 7x-3 + 7x-2 + 7x-1 = 57. b) (1/3)x + (1/3)x+1 – (1/3)x-2 = –207. 3. (Unicamp) Considere a equação 2x + m22-x – 2m – 2 = 0, onde m é um número real. a) Resolva essa equação para m = 1. b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real. 4. (Unesp) Seja a, 0 < a < 1, um número real dado. Resolva a inequação exponencial a2x+1 > (1/a)x–3

21VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. D 3. B 4. D 5. E 6. C 7. B 8. B 9. E 10. B E.O. Fixação 1. B 2. D 3. A 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. D 10. D E.O. Complementar 1. E 2. B 3. C 4. C 5. A E.O. Dissertativo 1. a) k = 1/30. b) t = 150. Portanto, 1970 + 150 = 2.120. 2. a) Sabendo que a meia-vida da droga é de 1h = 60min, temos que: q(60) = ____ 300 2 ⇔ 150 = 300 · 2–k60 ⇔ 2–k60 = 2–1 ⇔ k = ___1 60. Desse modo, a quantidade da droga presente no organismo desse animal imediatamente antes de se aplicar a segunda dose é: Q(30) = 150√ __ 2 mg. b) De acordo com o enunciado, o animal fica sedado se 10 · 20 mg = 200 mg da droga estiverem presentes em seu organismo. A fim de manter o animal sedado por mais 30 minutos, temos que a quantidade de droga presente no organismo desse animal, adicionada à quantidade da segunda dose, deve ser tal que: q(30) ≥ 200 mg ⇔ q0 · 2–1/60 · 30 ≥ 200 ⇔ q0 ≥ 200dXX2 mg. Portanto, sabendo que, após 30 minutos da aplicação da primeira dose, havia 150 dXX2mg da droga no organismo do animal (item (a)), segue que a quantidade de droga na segunda dose deve ser de: 200dXX2– 150dXX2= 50dXX2 mg. 3. a) José cometeu o erro na última etapa do seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por f(x) = ( __1 2 ) x é decrescente. b) O menor número inteiro e positivo m que satisfaz a inequação é 2. 4. a) x > – __1 3 . b) x ≤ – 12. c) x > __5 6 . 5. 1 < x < 4. 6. a) f(0) = 3. b) x = 4. c) x ∈ / 1 < x < 2. 7. a) t = 4. b) O número de pássaros dessa espécie se aproxima a 500. 8. O expoente é 6. 9. 1,5 mm. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. A área A(n) de cada parte, após n dobraduras, é dada por A(n) = A0 · 2–n, com A0 sendo a área inicial da folha. O menor valor de n para o qual A(n) < 0,0001% · A0 é tal que: A0 · 2–n < 0,0001% · A0 ⇔ 2–n < 10–6 ⇔ 2n > 106 Considerando as aproximações fornecidas na tabela, obtemos 219 = 210 · 29 ≅ 103,01 · 102,70 = 105,71 < 106 e 220 = (210) 2 · (103,01) 2 = 106,02 > 106 Portanto, o menor valor de n que satisfaz a condição do enunciado é 20. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. C 3. A 4. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) A menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio é dada por: f(0) = 20 + ( __1 2 ) 0 = 1 + 1 = 2m. b) A distância entre as hastes é 2B, pois 0 é o ponto médio de AB. Logo, f(B) = 1 ou f(B) = –1. Como B > 0 segue que 2B = 2 ⇒ B = 1. 2. a) x = 3. b) x = –3. 3. a) 1 b) m = 1 ou m ≤ 0. 4. f(x) é estritamente decrescente pois 0 < a < 1,ou seja, x1 < x2 ⇔ f(x1 ) > f(x2 ). Logo: a2x + 1 > (1/a)x – 3 ⇔ a2x + 1 > a–x + 3 ⇔ 2x + 1 < –x + 3 ⇔ x < ___2 3 V = ]–∞; ___ 2 3 [

22VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a. 2. (Cesgranrio) Se log10(2x – 5) = 0, então x vale: a) 5. d) 7/3. b) 4. e) 5/2. c) 3. 3. (UFRGS) O número log2 7 está entre: a) 0 e 1. d) 3 e 4. b) 1 e 2. e) 4 e 5. c) 2 e 3. 4. (UFJF) Sejam a, b e c números reais positivos, com c ≠ 1. Sobre a função logarítmica, é correto afirmar: a) Se logc a = y, então ay = c. b) logc (a + b) = (logc a) · (logc b). c) logc ( __a b ) = logc a _____ logc b. d) logc ( __1 a ) = –logc a. e) logc (a – b) = logc a – logc b. 5. (FEI) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log___ 32 27 em função de a e b obtemos: a) 2a + b. b) 2a – b. c) 2ab. d) ___ 2a b . e) 5a – 3b. 6. (Cesgranrio) O valor de logx ( x√ __ x) é: a) __3 4 . b) __4 3 . c) __2 3 . d) __3 2 . e) __5 4 . 7. (IFPE) Biólogos estimam que a população P de certa espécie de aves é dada em função do tempo t, em anos, de acordo com a relação P(t) = 250 ∙ (1,2)t/5 sendo t =0 o momento em que o estudo foi iniciado. Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar? Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48. a) 45. d) 18. b) 25. e) 30. c) 12. 8. (Mackenzie) Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão logA B3 · logB A2 é: a) 10. d) A · B. b) 6. e) 12. c) 8. 9. (ESPM) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do log9 160 é igual a: a) ______ 4a + b 2 . d) ______ 4b + 2 a . b) ______ 4a + 1 2b . e) _____ a + 1 3b . c) _______ 2a + 3b 2 . 10. (UPF) Sendo loga x = 2,logb x = 3 e logc x = 5 o valor de logabc x é: a) 30. d) ___ 30 31 . b) 31. e) __1 3 . c) ___ 31 30 . E.O. Fixação 1. (UPE) Terremotos são eventos naturais que não têm relação com eventos climáticos extremos, mas podem ter consequências ambientais devastadoras, especialmente quando seu epicentro ocorre no mar, provocando tsunamis. Uma das expressões para se calcular a violência de um terremoto na escala Richter é M = __2 3 · log10 ( __E E0 ) onde M é a magnitude do terremoto, E é a energia liberada (em joules) e E0 = 104,5 joules é a energia liberada por um pequeno terremoto usado como referência. Qual foi a ordem de grandeza da energia liberada pelo terremoto do Japão de 11 de março de 2011, que atingiu magnitude 9 na escala Richter? DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS COMPETÊNCIA(s) 1, 3 e 5 HABILIDADE(s) 1, 3, 4, 10, 11, 12, 13 e 21 MT AULAS 21 E 22

23VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) 1014 joules. d) 1018 joules. b) 1016 joules. e) 1019 joules. c) 1017 joules. 2. (UDESC) Se log3 (x – y) = 5 e log5 (x + y) = 3, então log2 (3x – 8y) é igual a: a) 9. b) 4 + log2 5. c) 8. d) 2 + log2 10. e) 10. 3. A solução, em R da equação 62x – 4 · 6x = 0 é: a) 0. c) log4 6. b) 1. d) log6 4. 4. (FGV) Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o tempo necessário para que o valor dessa grandeza se reduza à metade. Uma substância radioativa decresce exponencialmente de modo que sua quantidade, daqui a t anos, é Q = A · (0,975)t . Adotando os valores ln2 = 0,693 e ln 0,975 = –0,025, o valor da meia-vida dessa substância é aproximadamente: a) 25,5 anos. d) 28,8 anos. b) 26,6 anos. e) 29,9 anos. c) 27,7 anos. 5. (ESPCEX (AMAN)) Considerando log2 = 0,30 e log3 = 0,48, o número real x, solução da equação 5x – 1 = 150, pertence ao intervalo: a) ]–`, 0]. d) [0, 2[. b) [4, 5[. e) [5, +`[. c) ]1, 3[. 6. (CFTMG) Se M = (4log5 9 ) log4 5 então, o valor de M é igual a: a) 3. c) 27. b) 9. d) 81. 7. (UFRGS) Atribuindo para log2 o valor 0,3 então o valor de 1000,3 é: a) 3. b) 4. c) 8. d) 10. e) 33. 8. (UEL) Considere A, B e C números reais positivos com A ≠ 1, B ≠1 e C ≠ 1. Se logA B = 2 e logC A = __3 5 , conclui-se que o valor de logB C é: a) __1 2 . b) __5 3 . c) __1 6 . d) __5 6. e) __6 5. 9. (UFSCAR) Adotando-se log 2 = a e log 3 = b, o valor de log1,5 135 é igual a: a) (3ab) ______ (b – a). b) (2b – a + 1) __________ (2b – a) . c) (3b – a) _______ (b – a) . d) (3b + a) _______ (b – a) . e) (3b – a + 1) __________ (b – a) . 10. (FEI) Considere a > 1 e a expressão adiante x = loga2a + loga a2 , então o valor de x é: a) 2 d) __2 5 b) __3 2 e) 1 c) __5 2 E.O. Complementar 1. (ESPM) Seja A o conjunto de todos os valores de k para os quais a equação, em x: logx – 3 (5 – x) = k admite uma raiz inteira. O número de elementos de A é igual a: a) 0. d) 3. b) 1. e) 4. c) 2. 2. (ESPCEX) Sendo x = 6 d __ XXX a² b com log2 a = 4 e log2 b = 5 em que a e b são números reais não nulos e diferentes de 1, então logx 2 é igual a: a) 16. d) 4. b) 8. e) 2. c) 6. 3. (UFRGS) Aproximando log 2 por 0,301, verificamos que o número 1610 está entre a) 109 e 1010. b) 1010 e 1011. c) 1011 e 1012. d) 1012 e 1013. e) 1013 e 1014. 4. (IME) Se log10 2 = x e log10 3 = y, então log5 18 vale: a) x + 2y ______ 1 – x . b) x + y _____ 1 – x . c) 2x + y ______ 1 + x . d) x + 2y ______ 1 + x . e) 3x + 2y _______ 1 – x .

24VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (IFSUL) Tendo-se a e b como números reais positivos, e sendo b ≠ 1, se log2 a +______ 1 logb 2 = 6, então a ∙ b é igual a: a) 12. c) 32. b) 16. d) 64. E.O. Dissertativo 1. (UFC) Sendo a e b números reais positivos tais que: log a = 224 e log b = 218 Calcule o valor de __a b . 2. (UFRRJ) Ao se estudar o crescimento das palmeiras na cidade de Palmeirópolis, constatou-se que a função que descreve esse crescimento em metros, após t anos, é: f(t) = 3log2(2t – 1) Quantos anos são necessários para que uma determinada palmeira atinja 27 metros de altura? 3. (UFPE) A expressão log(6 – x – x2 ) assume valores reais apenas para x pertencente a um intervalo de números reais, onde log é o logaritmo decimal. Determine o comprimento deste intervalo. 4. (UFJF) Uma pessoa aplicou uma quantia inicial em um determinado fundo de investimento. Suponha que a função F, que fornece o valor, em reais, que essa pessoa possui investido em relação ao tempo t, seja dada por: F(t) = 100(1,2)t . O tempo t, em meses, é contado a partir do instante do investimento inicial. a) Qual foi a quantia inicial aplicada? b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento após 5 meses da aplicação inicial? c) Utilizando os valores aproximados log10 2 = 0,3 e log10 3 = 0,48, quantos meses, a partir do instante do investimento inicial, seriam necessários para que essa pessoa possuísse, no fundo de investimento, uma quantia igual a R$ 2.700,00? 5. (FGV) O diretor de uma editora estima que, se x exemplares de um novo livro de Cálculo para o Ensino Superior forem entregues aos professores para análise, as vendas do livro no primeiro ano serão de aproximadamente f(x) = 1000 (15 – 24e–0,003x) exemplares. Use a aproximação ln2 = 0,69 para responder às questões. a) Quantos exemplares a editora deverá distribuir para análise, para vender cerca de 9.000 exemplares no primeiro ano? b) O diretor afirmou que, no primeiro ano, não conseguirão vender mais de 15.000 exemplares, qualquer que seja a quantidade de exemplares entregues aos professores para análise. É correta a sua afirmação? Justifique. 6. (UFF) São dados os números reais positivos n, i e x tais que n ≠ 1 e i ≠ 1. Sabe-se que logn x = 2 e logi x = 4. Calcule logni ndXXx. 7. (IME) Considerando log 2 = a e log 3 = b, encontre em função de a e b, o logaritmo do número 5 √ ______ 11,25 no sistema de base 15. 8. (UFSCAR) Sejam x e y números reais positivos e diferentes de 1. Sejam números reais positivos n, j e i, tais que n ± i ≠ 1, j ≠ 1. a) Verifique que logx y = _____ 1 logy x . b) Se 2 logn + i j · logn – i j = logn + i j + logn – i j, mostre que n, j e i são, respectivamente, a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo. 9. (UFPE) Admita que a população humana na terra seja hoje de 7 bilhões de habitantes e que cresce a uma taxa cumulativa anual de 1,8%. Em quantos anos, a população será de 10 bilhões? Dados: use as aproximações log10 ( ___ 10 7 ) ≈ 0,15 e log10 1,018 ≈ 0,0075. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por: P(t) = [280 – 190 e–0,019 · (t – 1970)] Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logaritmo natural: ln( ___ 14 95 ) @ –1,9 a população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de: a) 2065. d) 2080. b) 2070. e) 2085. c) 2075. 2. (Fuvest) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações: I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas. II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3. Está correto o que se afirma somente em:

25VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) I. d) I e II. b) II. e) I e III. c) III. 3. (Fuvest) Sabendo-se que 5n = 2, podemos concluir que log2 100 é igual a: a) __2 n d) 2 + 2n b) 2n e) ______ 2 + 2n n c) 2 + n2 4. (Fuvest) Se log10 8 = a, então log105 vale a) a3 d) 1 + __a 3 b) 5a – 1 e) 1 – __a 3 c) ___ 2a 3 5. (Fuvest) Tendo em vista as aproximações log10 2 < 0,30, log10 3 < 0,48, então o maior número inteiro n, satisfazendo 10n ≤ 12418, é igual a a) 424 d) 451 b) 437 e) 460 c) 443 E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em milhares de reais pela função L(x) = log10 (100 + x) + k, com k constante real. a) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k. b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais. 2. (Unesp) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão: Q(t) = log10 [ 10n _____ t + 1 ] com n uma constante positiva e t em horas. a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante n. b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará? 3. (Unicamp) Calcule o valor da expressão a seguir, onde n é um número inteiro, n ≥ 2. Ao fazer o cálculo, você verá que esse valor é um número que não depende de n. logn (logn n dXXX n dXXn ) 4. (Unesp) Sejam x e y números reais positivos. Se log(xy) = 14 e log ( x2 __ y ) = 10, em que os logaritmos são considerados numa mesma base, calcule, ainda nessa base: a) log x e log y b) log (√ ____ x ∙ y ). 5. (Unesp) Sejam a e b constantes reais, com a > 0 e b > 0, tais que log10 a = 0,5 e log10 b = 0,7. a) Calcule log10 ab, onde ab indica o produto de a e b. b) Determine o valor de x [ R que satisfaz a equação (___ ab 10 ) x = (ab) 2 . 6. (Unesp) Sejam i e j números reais maiores que zero e tais que i · j = 1. Se i ≠ 1 e logi x = logj y, determine o valor de xy. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. C 3. C 4. D 5. E 6. D 7. E 8. B 9. B 10. D E.O. Fixação 1. D 2. E 3. D 4. C 5. B 6. B 7. B 8. D 9. E 10. C E.O. Complementar 1. A 2. E 3. D 4. A 5. D E.O. Dissertativo 1. __a b = 27. 2. 4,5 anos ou 4 anos e 6 meses. 3. 05. 4. a) 100 reais. b) 248,83 reais. c) 18 meses. 5. a) 460. b) 1000(15 – 24e–0,003x) > 15000 ⇒ –24e–0,003x > 0 ⇒ e–0,003x < 0 (impossível) Logo, a afirmação do diretor está correta. 6. logni n√ __ x = __4 3 . 7. 2b – 3a + 1 ___________ 5b – 5a + 5. 8. a) Sendo logx y=a e logy x=t, temos pela definição de logaritmo, que: xa =y e yt =x. Dessas duas igualdades, resulta (yt ) a =y, ou ainda, a = 1/t. Portanto, logx y = 1/(logy x).

26VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias b) Usando a propriedade logx y = 1/(logy x) na igualdade 2logn + i j · logn – i j = logn + i j + logn – i j, temos: 2{1/[logj (n+i).logj (n-i)]} = logj (n – i) + logj (n + i) ______________________ logj (n + i) · logj (n – i) 2 = logj (n – i) + logj (n + i) 2 = logj [(n – i) · (n + i)] 2 = logj (n2 – i2 ) j2 = n2 – i2 n2 = j2 + i2 9. t = 20 anos. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. B 2. D 3. E 4. E 5. D E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) –2. b) 900 peças. 2. a) 1. b) 9 horas. 3. –2 4. a) log x = 8 e log y = 6 b) log √ ____ xy= 7 5. a) log (a · b) = 1,2 b) x = 12 6. xy = 1

27VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (CFTMG) O valor de x, na equação log3 (2x – 1) - log3 (5x + 3) = –1, é: a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. 2. (ESPM) Se log x + log x2 + log x3 + log x4 = –20, o valor de x é: a) 10. b) 0,1. c) 100. d) 0,01. e) 1. 3. (INSPER) O número de soluções reais da equação logx (x + 3) + logx (x – 2) = 2 é: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 4. (UFSM) Suponha que um campo de futebol seja colocado em um sistema cartesiano ortogonal, conforme mostra a figura. Para que o ponto A (log10(x + 1) +1, log10(x2 + 35)) tenha abscissa e ordenada iguais, é necessário e suficiente que: a) x > –1. b) x = 5. c) x < –1. d) x = –5. e) x > 5. 5. (UECE) Pode-se afirmar corretamente que a equação: log2 (1 + x4 + x2 ) + log2 (1 + 2x2 ) = 0: a) não admite raízes reais. b) admite exatamente uma raiz real. c) admite exatamente duas raízes reais, as quais são iguais. d) admite exatamente quatro raízes reais. 6. (UEPB) A equação x2 – 4x + log2 (m + 3) = 0 não admite solução real quando: a) m ≤ 12. b) m < 13. c) m < 10. d) m < 5. e) m > 13. 7. (PUC-PR) Os valores de x que satisfazem à inequação log4 (x + 3) ≥ 2 estão contidos no intervalo: a) x ≥ 2. b) –2 ≤ x ≤ 2. c) 0 ≤ x ≤ 20. d) 2 ≤ x ≤ 15. e) 13 ≤ x < ∞. 8. (UFRGS) Um número real satisfaz somente uma das seguintes inequações. I. log x ≤ 0. II. 2log x ≤ log (4x). III. 2x2 + 8 ≤ 26x. Então, esse número está entre: a) 0 e 1. b) 1 e 2. c) 2 e 3. d) 2 e 4. e) 3 e 4. 9. (Mackenzie) Assinale, dentre os valores abaixo, um possível valor de x, tal que: log __1 4 x > log 4 7. a) ___ 1 14 b) ___ 14 15 c) __1 5 d) √ __ ___2 2 e) __3 5 EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS COMPETÊNCIA(s) 5 e 6 HABILIDADE(s) 19, 21, 22, 23 e 25 MT AULAS 23 E 24

28VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 10. (EEAR) Se log 2 ≅ 0,3 e log 36 ≅ 1,6, então log 3 ≅ _____. a) 0,4. b) 0,5. c) 0,6. d) 0,7. E.O. Fixação 1.(IFAL) A solução da equação logarítmica log4 (x – 6) – log2 (2x – 16) = –1 é o número real “m”. Desse modo, podemos afirmar que: a) m = 7 ou m = 10. b) o logaritmo de m na base dez é igual a um. c) m = 10, pois m > 6. d) m = 7, pois m > 6. e) m2 = 20. 2. (Mackenzie) Considerando a solução (x, y) do sistema log4 x + log2 y = 5 log2 x – log4 y = 0 , com x Þ 1, o valor de logx ( __x y ) é: a) 1. b) 4. c) –1. d) __1 2 . e) __1 4 . 3. (IFCE) Seja (a, b) a solução do sistema linear 2 log2 x + log2 y = 5. log2 x + 3 log2 y = 10. O valor de ab será igual a: a) 2. d) 64. b) 10. e) 256. c) 16. 4. (UEL) Os números reais que satisfazem à equação log2 (x2 − 7x) = 3 pertencem ao intervalo a) ]0, + ∞ [. b) [0, 7]. c) ]7, 8]. d) [-1, 8]. e) [-1, 0]. 5. (UEPB) A solução da inequação logarítmica log __1 2 x + log __1 2 (x–2) > –3 é: a) S = {x ∈ R/ x > 0}. b) S = {x ∈ R/ x > 4}. c) S = {x ∈ R / 0 < x < 4}. d) S = {x ∈ R / 2 < x < 4}. e) S = {x ∈ R / 0 < x < 2}. 6. (PUC-Camp) As soluções reais da inequação a seguir são todos os números tais que: ( __1 2 ) log5(x + 3) > 1 a) –3 < x < –2. b) x > –3. c) x > –2. d) x < –2. e) 0 < x < 3. 7. (Mackenzie) O menor valor inteiro de x, tal que 9log3 x ⋅ 3log9 x > 1, é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. e) 9. 8. (UEL) A escala Richter atribui um número M para quantificar a magnitude de um tremor, ou seja, M(A) = Log10A – Log10A0 , onde A > 0 é a amplitude máxima das ondas sísmicas medidas a 100 km do epicentro do sismo e A0 > 0 é uma amplitude de referência. Por exemplo, em 1945, no Japão, o tremor gerado pela bomba atômica teve magnitude aproximada de 4,9 na escala Richter, enquanto que o tremor ocorrido naquele país, em março de 2011, teve magnitude de 8,9. Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir. I. A amplitude máxima das ondas sísmicas do tremor de 2011 foi 10.000 vezes maior do que a amplitude máxima das ondas sísmicas geradas pela bomba de Hiroshima. II. A diferença de magnitude de dois tremores, em relação às respectivas amplitudes máximas das ondas sísmicas, é uma função quadrática. III. Um tremor de magnitude 8,0 na escala Richter tem ondas sísmicas com amplitude máxima 10 vezes maior do que a amplitude máxima em um tremor de magnitude 7,0. IV. Se a amplitude máxima das ondas sísmicas de um tremor for menor que a amplitude de referência A0 , tem-se que a magnitude deste tremor é positiva. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são corretas. b) Somente as afirmativas I e III são corretas. c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e IV são corretas. e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas. 9. (ESPCEX (AMAN)) O número N de bactérias de uma cultura é dado em função do tempo t (em minutos), pela fórmula N(t) = (2,5)1,2t. Considere log10 2 = 0,3, o tempo (em minutos) necessário para que a cultura tenha 1084 bactérias é: a) 120. d) 185. b) 150. e) 205. c) 175.

29VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 10. (UFRGS) Se 10x = 20y , atribuindo 0,3 para log2, então o valor de __x y é: a) 0,3. d) 1. b) 0,5. e) 1,3. c) 0,7. E.O. Complementar 1. (CFTMG) O conjunto solução da equação log2 (x2 – 7x + 10) – log2 (x – 5) = log2 10 é: a) {5, 12}. b) {12}. c) {5}. d) \ . 2. (UEL) A solução real da equação –1 = log5[ _______ 2x (x + 1) ] é a) 1/9. b) – 1/5. c) – 1. d) – 5. e) – 9. 3. (UECE) Se a função f: (–1, 1) → R é definida por f(x) = log10 ( _____ 1+x 1–x ), então os valores de x para os quais f(x) < 1 são todos os valores que estão no domínio de f e são: a) menores que – ___9 11 . b) maiores que – ___9 11 . c) menores que ___9 11 . d) maiores que ___9 11 . 4. (ITA) Dado um número real a, com a > 1, seja S o conjunto solução da inequação. log __1 a loga( __1 a ) x – 7 ≤ log __1 a(x – 1). Então S é o intervalo: a) [4, + ∞[. b) [4, 7[. c) ]1, 5]. d) ]1, 4]. e) [1, 4[. 5. (Mackenzie) Relativamente às afirmações a seguir, assinale: I. log2 3 > log __1 4 __1 9 II. 2 log4 15 = √ ___ 15 III. log __1 3 9 < log __1 3 5 a) se somente III estiver correta. b) se somente I e III estiverem corretas. c) se somente II e III estiverem corretas. d) se somente I e II estiverem corretas. e) se somente II estiver correta. E. O. Dissertativo 1. (UFSC) Se os números reais positivos a e b são tais que a – b = 48 log2 a – log2 b = 2 calcule o valor de a + b. 2. (UFRRJ) Determine o conjunto das soluções reais da equação a seguir: log2 3 · log3 4 · log4 5 · log5 x = log4 (–2x – 1). 3. (UFF) Resolva, em R* +, o sistema log2 ( __1 x + y __ 2 ) = log ( __1 x + y __ 2 ). log x + log y =0. 4. Leia a matéria publicada em junho de 2016. Energia eólica deverá alcançar 10 GW nos próximos dias: O dia mundial do vento, 15 de junho, terá um marco simbólico este ano. Antes do final do mês, a fonte de energia que começou a se tornar realidade no país há seis anos alcançará 10 GW, sendo que o potencial brasileiro é de 500 GW. A perspectiva é a de que, em metade deste tempo, o Brasil duplique os 10 GW. (www.portalabeeolica.org.br. Adaptado.) Considerando que a perspectiva de crescimento continue dobrando a cada três anos, calcule o ano em que o Brasil atingirá 64% da utilização do seu potencial eólico. Em seguida, calcule o ano aproximado em que o Brasil atingirá 100% da utilização do seu potencial eólico, empregando um modelo exponencial de base 2 e adotando log 2 ≅ 0,3 no cálculo final. 5. (ITA) Seja f a função definida por f(x) = logx+1(x2 – 2x – 8). Determine: a) O domínio Df da função f. b) O conjunto de todos os valores de x ∈ Df tais que f(x) = 2. c) O conjunto de todos os valores de x ∈ Df tais que f(x) > 1. 6. (FGV) Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taxa de juro composto de 1% ao mês. Neste problema, desprezando qualquer tipo de correção monetária devido à inflação, responda as perguntas a seguir. a) Neste investimento, após 2 meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.020,00. Calcule o valor inicialmente aplicado. b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente aplicado em 139,3 meses. Caso o cálculo fosse feito adotando-se log2 = 0,301 e log202 = 2,305, que são logaritmos com apenas 3 casas decimais de aproximação, seria obtido um valor aproximado de t anos. Chamando de E = t – 139,3 ao erro cometido no cálculo devido ao uso de apenas 3 casas decimais de aproximação nos logaritmos indicados, calcule E.

30VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. (UFG) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado 10% a cada mês em relação ao mês anterior. Assim, a produção no mês m, em toneladas, tem sido de 1800 × 1,1m–1. Se a indústria mantiver este crescimento exponencial, quantos meses, aproximadamente, serão necessários para atingir a meta de produzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um? Dado: log1,1 ≈ 0,04. 8. (UFPR) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão S = –18 ∙ log(t + 1) + 86. a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado? b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%? 9. (UFPR) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log2 (1,06) ≈ 0,084.) E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x. Então, a soma das raízes de log2 x - log x3 = 0 é igual a: a) 1. b) 101. c) 1000. d) 1001. 2. (UERJ) Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de base 10, com expoente n inteiro, para 10n - __1 2 ≤ x < 10n + __1 2 . Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que log10 E = 15,3. A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a: a) 1014. b) 1015. c) 1016. d) 1017. 3. (UERJ) Seja b a altura de um som, medida em decibéis. Essa altura b está relacionada com a intensidade do som, I, pela expressão a seguir (figura 1), na qual a intensidade padrão, I0 , é igual a 10–12 W/m2 . Observe a tabela a seguir. Nela, os valores de I foram aferidos a distâncias idênticas das respectivas fontes de som. Figura 1 β = 10 × log ( __I I 0 ) fonte de som I (W/m2 ) turbina 1,0 × 102 amplificador de som 1,0 triturador de lixo 1,0 × 10–4 TV 3,2 × 10–5 Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a partir de 90 dB, o número de fontes da tabela cuja intensidade de emissão de sons está na faixa de risco é de: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Ao digitar corretamente a expressão log10(–2) em uma calculadora, o retorno obtido no visor corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse logaritmo não é um número real. Determine todos os valores reais de x para que o valor da expressão log0,1(log10(log0,1(x))) seja um número real. 2. (UERJ) Considere a equação: (log2 x)2 – log3 √ _ 2 x = 0 com x > 0. Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a solução dessa equação: (log2 x)2 = log 3 √ _ 2 x (log2 x)2 = 3(log2 x) (log2 x) = 3 x = 23 x = 8 S = {8}. O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incompleto. Resolva a equação e determine corretamente o seu conjunto-solução. 3. (UERJ) Suponha que x e y são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, conforme as igualdades a seguir: log9 x = log6 y = log4 (x + y). Calcule a razão y __ x .

31VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (UERJ) A International Electrotechnical Commission – IEC padronizou as unidades e os símbolos a serem usados em Telecomunicações e Eletrônica. Os prefixos kibi, mebi e gibi, entre outros, empregados para especificar múltiplos binários são formados a partir de prefixos já existentes no Sistema Internacional de Unidades - SI, acrescidos de bi, primeira sílaba da palavra binário. A tabela na figura 1 indica a correspondência entre algumas unidades do SI e da IEC. Um fabricante de equipamentos de informática, usuário do SI, anuncia um disco rígido de 30 gigabytes. Na linguagem usual de computação, essa medida corresponde a p × 230 bytes. Considere a tabela de logaritmos na figura 2. Figura 1 SI nome símbolo magnitude quilo k 103 mega M 106 giga G 109 IEC nome símbolo magnitude kibi Ki 210 mebi Mi 220 gibi Gi 230 Figura 2 x 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 Log x 0,301 0,342 0,380 0,415 0,447 0,477 Calcule o valor de p. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) A solução da equação na variável real x logx (x + 6) = 2, é um número: a) primo. c) negativo. b) par. d) irracional. 2. (Fuvest) O número x >1 tal que logx 2 = log4 x é: a) √ __ ___2 2 . d) 2√ __ 2 . b) 2 . e) 4 . c) √ __ 2 . 3. (Fuvest) Os números reais x e y são soluções do sistema: 2 log2 x – log2 (y – 1) = 1 log2 (x + 4) – ( __1 2 ) log2 y = 2 Então 7(√ __ y– x) vale: a) –7. d) 1. b) –1. e) 7. c) 0. 4. (Unesp ) Em que base o logaritmo de um número natural n, n > 1, coincide com o próprio número n? a) nn . d) n. b) __1 n . e) n √ __ n. c) n2 . 5. (Fuvest) O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação 2 log2 (1 +√ __ 2x) – log2 (√ __ 2x ) = 3. Então, log2 ( ______ 2a + 4 3 ) é igual a: a) __1 4 . b) __1 2 . c) 1. d) __3 2 . e) 2. 6. (Fuvest) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão S = ____________ 1 2 ∙ log2 2016 + ____________ 1 5 ∙ log3 2016 + _____________ 1 10 ∙ log7 2016 O valor de S é: a) __1 2 . b) __1 3 . c) __1 5 . d) __1 7 . e) ___ 1 10 . 7. (Unesp) Sejam x e y números reais. Se x > 0, x ≠ 1 e logx 10 > logx (10)y , então: a) y < 0. b) y > 1 e x > 1. c) y < 1 e x < 1. d) y < 1 e x > 1 ou y > 1 e x < 1. e) y > 0. 8. (Fuvest) O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log2 (2x + 5) - log2 (3x - 1) >1 é o intervalo: a) ]– ∞, –5/2[. b) ]7/4, ∞[. c) ]–5/2, 0[. d) ]1/3, 7/4[. e) ]0, 1/3[. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Determine a solução (x, y), y > 1, para o sistema de equações logy (9x – 35) = 6 log3y (27x – 81) = 3

32VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (Fuvest) Resolva as inequações: a) x3 – x2 – 6x > 0. b) log2 (x3 – x2 – 6x) ≤ 2. 3. (Unifesp) A intensidade luminosa na água do mar razoavelmente limpa, que é denotada por I, decresce exponencialmente com o aumento da profundidade, que por sua vez é denotada por x e expressa em metro, como indica a figura. a) Utilizando as informações da figura e denotando por I 0 a constante que representa a intensidade luminosa na água razoavelmente limpa ao nível do mar, determine I em função de x, com x sendo um inteiro positivo. b) A relação empírica de Bouguer-Lambert nos diz que um feixe vertical de luz, quando penetra na água com intensidade de luz I0 , terá sua intensidade I de luz reduzida com a profundidade de x metros determinada pela fórmula I = I0 e–μx, com e sendo o número de Euler, e μ um parâmetro denominado de coeficiente de absorção, que depende da pureza da água e do comprimento de onda do feixe. Utilizando a relação de Bouguer-Lambert no estudo da intensidade luminosa na água do mar razoavelmente limpa (dados da figura), determine o valor do parâmetro μ. Adote nos cálculos finais ln2 = 0,69. 4. (Unicamp) A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320.000 m2 de área, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma faixa de terra livre, denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100 m, medidos a partir da borda do reservatório. a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso. b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão V(t) = V0 2–t em que V0 é o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10% do volume inicial? Utilize, se necessário, log10 2 ≈ 0,30. 5. (Fuvest) O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo t, de acordo com a expressão N(t) = N0 e–λt , sendo N0 o número de átomos deste isótopo em t = 0 e λ a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do log10N em função de t, obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável ( 99mTc), muito utilizado em diagnósticos do coração. A partir do gráfico, determine a) o valor de log10N0 . b) o número N0 de átomos radioativos de 99mTc. c) a meia-vida (T1/2) do 99mTc. Note e adote: A meia-vida (T1/2) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade; log10 2 = 0,3; log10 5 = 0,7. 6. (Unesp) Resolva a inequação (16 – x2 ) · log3 (x – 2) > 0. 7. (Fuvest) É dada a função f definida por: f(x) = log2 x – log4 (x – 3) a) Determine os valores de x para os quais f(x) ≤ 2. b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2. 8. (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p(t), o preço após t anos, pede-se: a) a expressão para p(t); b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: log 2 ≈ 0,301 e log 3≈0,477. 9. (Fuvest) Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade; |log16 (1 – x2 ) – log4 (1 + x)| < __1 2 Gabarito E.O. Aprendizagem 1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. E 7. E 8. B 9. A 10. B

33VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Fixação 1. B 2. C 3. E 4. D 5. D 6. A 7. B 8. B 9. C 10. E E.O. Complementar 1. B 2. A 3. C 4. D 5. C E. O. Dissertativo 1. 80. 2. S = \. 3. x = ___ 3 2 e y = ___ 2 3 . 4. O Brasil atingirá 64% da utilização do seu potencial eólico em 2031. Em 2033 atingirá 100%. 5. a) D = ]4, +∞[. b) S = ∅. c) S = ] 3 + 3 √ __ 5 ________ 2 , +∞[. 6. a) R$ 200.000,00. b) E = 11,2 meses. 7. 28 meses 8. a) 68%. b) 1h 39min. 9. Aproximadamente 11,9 anos. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. D 2. B 3. B E.O. UERJ Exame Discursivo 1. S = {x ∈ | 0 < x < 0,1}. 2. S = {1, 8}. 3. y __ x = 1 + √ __ 5 _______ 2 . 4. p = 28 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. B 3. D 4. E 5. B 6. E 7. D 8. D E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. Resposta: (11; 2). 2. a) S = {x ∈ | –2 < x < 0 ou x > 3}. b) S = ]–2, 1 – √ __ 5 ] ∪ [–1,0[ ∪ ] 3, 1 + √ __ 5 ]. 3. a) I(x) = I0 · 4–x. b) μ = 1,38. 4. a) A = 10000(24 + π)m2. b) Aproximadamente 3 meses e 10 dias. 5. a) log10 N0 = 6. b) N0 = 1.000.000. c) t = 6 horas. 6. v = ]3; 4[ 7. a) V = {x ∈ R | 4 ≤ x ≤ 12} b) V = {x ∈ R | 3 < x < 4 ou x > 12} 8. a) p(t) = F (0,81)t b) 15 anos 9. S = {x ∈ R / - ___3 5 < x < ____ 3 5 }

34VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (PUCRS) A representação é da função dada por y = f(x) = logn (x). O valor de logn (n3 +8) é: a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10. 2. (CFTMG) Sabe-se que ( __1 3 , 1) pertence ao gráfico de f(x) = logn x. O valor de b é: a) 27. c) ___1 27 . b) 81. d) ___1 81 . 3. (ESPCEX (AMAN)) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = log x. Nesta representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a: a) log2 + log3 + log5. b) log30. c) 1 + log30. d) 1 + 2log15. e) 1 + 2log30. 4. (FGV) Considere o gráfico das funções reais f(x) = 2 log x e g(x) = log 2x, nos seus respectivos domínios de validade. A respeito dos gráficos de f e g, é correto afirmar que: a) não se interceptam. b) se interceptam em apenas um ponto. c) se interceptam em apenas dois pontos. d) se interceptam em apenas três pontos. e) se interceptam em infinitos pontos. 5. (UFPR) Considere o gráfico da função f(x) = log2 x e a reta r que passa pelos pontos A e B como indicado na figura abaixo, sendo k a abscissa do ponto em que a reta r intersecta o eixo Ox. Qual é o valor de k? a) 17/12. b) 14/11. c) 12/7. d) 11/9. e) 7/4. 6. (PUC-RS) O estudo dos logaritmos e de suas propriedades nos leva a efetuar simplificações que facilitam nossos cálculos. Nesse sentido, a representação gráfica que melhor se adapta à da função f dada por f(x) = (√ ___ 10 ) logx é: FUNÇÕES LOGARÍTMICAS COMPETÊNCIA(s) 1, 5 e 6 HABILIDADE(s) 3, 4, 5, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 e 26 MT AULAS 25 E 26

35VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) b) c) d) e) 7. (UFJF-PISM 1) Para qual das funções abaixo, a equação f(x) – 1 = 0 não possui uma raiz real? a) f(x) = ex . d) f(x) = 2x. b) f(x) = log10 x . e) f(x) = 1. c) f(x) = –x2 . 8. (UEG) O gráfico da função y = log(x + 1) é representado por: a) b) c) d) 9. (IFAL) Resolvendo a equação, log2x + log(1 + 2x ) = log20, encontramos o valor de x real igual a: a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. E.O. Fixação 1. (ESPM) O domínio da função real f(x) = logx (x2 – 4x + 3) é dado por: a) ]–`, 1[ ø ]3, +`[. b) ]–`, 0[ ø ]3, +`[. c) ]–`, –1[ ø ]3, +`[. d) ]0, 1[ ø ]3, +`[. e) ]1, 3[. 2. (ESPCEX (AMAN)) Na figura abaixo, dois vértices do trapézio sombreado estão no eixo x e os outros dois vértices estão sobre o gráfico da função real f(x) = logk x, com k > 0 e k ≠ 1. Sabe-se que o trapézio sombreado tem 30 unidades de área; assim, o valor de k + p – q é: a) –20. b) –15. c) 10. d) 15. e) 20. 3. (UFMG) Observe a figura.

36VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Nessa figura está representado o gráfico da função: f(x) = log2 ______ 1 (ax +b) . Então, f (1) é igual a: a) –3. d) – __1 2 . b) –2. e) – __1 3 . c) –1. 4. (ESPM) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P = 0,1 + log2 (x – 1996), onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. Considerando √ __ 2 ≅ 1,4, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: a) 2005. d) 2007. b) 2002. e) 2004. c) 2011. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Um dos principais impactos das mudanças ambientais globais é o aumento da frequência e da intensidade de fenômenos extremos, que quando atingem áreas ou regiões habitadas pelo homem, causam danos. Responsáveis por perdas significativas de caráter social, econômico e ambiental, os desastres naturais são geralmente associados a terremotos, tsunamis, erupções vulcânicas, furacões, tornados, temporais, estiagens severas, ondas de calor etc. (Disponível em: <www.inpe.br>. Acesso em: 20 maio 2015.) 5. (UEL) Em relação aos tremores de terra, a escala Richter atribui um número para quantificar sua magnitude. Por exemplo, o terremoto no Nepal, em 12 de maio de 2015, teve magnitude 7,1 graus nessa escala. Sabendo- -se que a magnitude y de um terremoto pode ser descrita por uma função logarítmica, na qual x representa a energia liberada pelo terremoto, em quilowatts-hora, assinale a alternativa que indica, corretamente, o gráfico dessa função. a) c) b) d) e) 6. (PUC-RS) O modelo da cobertura que está sendo colocada no Estádio Beira-Rio está representado na figura abaixo. Colocada devidamente em um plano cartesiano, é possível afirmar que, na forma em que está, a linha em destaque pode ser considerada uma restrição da representação da função dada por: a) y = log(x). b) y = x2. c) y = x. d) y = √ ___ –x . e) y = 10x . 7. (CFTMG) Na figura abaixo estão representadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = log2 ( __x 2 ). Sabendo-se que o ponto A tem abscissa 8, a área do quadrilátero OABC é: a) 53. b) 56. c) 1.014. d) 1.814. 8. (UECE) O domínio da função real de variável real definida por f(x) = log7 (x2 – 4x) · log3 (5x – x2 ) é o intervalo aberto cujos extremos são os números: a) 3 e 4. b) 4 e 5. c) 5 e 6. d) 6 e 7.

37VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES Informação I A figura a seguir exibe parte do gráfico da função f(x) = log0,85x, cujo domínio é {x ∈  0 < x ≤ 0,85}. Informação II Um carro, que no ato da compra vale R$40.000,00, tem uma desvalorização de 15% ao ano. Ou seja, após um ano, o carro tem, a cada instante, um valor 15% menor do que o valor que tinha exatamente um ano antes. 9. (INSPER) Passados 20 anos, o carro valerá cerca de: a) R$ 600,00. b) R$ 1.600,00. c) R$ 6.000,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 25.000,00. 10. (INSPER) Para que o carro perca 80% do seu valor, é necessário que se passem: a) entre 5 e 6 anos. b) entre 6 e 7 anos. c) entre 7 e 8 anos. d) entre 8 e 9 anos. e) entre 9 e 10 anos. E.O. Complementar 1. (CEFET MG) O conjunto dos valores de x [ R* para que log(1 – 2x) (2 – x – x2 ) exista como número real é a) {x [ R | x < –2 ou x > 1} b) {x [ R* | –2 < x < __1 2 } c) {x [ R | x < –2 ou x > __1 2 } d) {x [ R | –2 < x < 1} e) {x [ R* | x < __1 2 } 2. (EPCAR (AFA)) No plano cartesiano, seja P(a,b) o ponto de interseção entre as curvas dadas pelas funções reais f e g definidas por f(x) = ( __1 2 ) x e g(x) = log x. É correto afirmar que: a) a = log2 ( _______ 1 log2 ( __1 a ) ) . b) a = log2 (log2 a). c) a = log (log ( __1 a )). d) a = log2 (log a). 3. (ITA) Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por f(x) = ex2 + ax + b e g(x) = ln ( ___ ax 3b ), em que a e b são números reais. Se f(–1) = 1 = f (–2) então pode-se afirmar sobre a função composta g o f que: a) g o f(1) = ln 3. b) E g o f(0). c) g o f nunca se anula. d) g o f está definida apenas em {x [ R : x > 0}. e) g o f admite dois zeros reais distintos. 4. (UDESC) Considere a função f(x) = log8 (x + 3)3 . A quantidade de números inteiros que pertencem ao conjunto solução da inequação 4f(x) ≤ 2x + 105 é igual a: a) 8. b) 12. c) 21. d) 19. e) 11. 5. (EPCAR (AFA)) Considere a função real f definida por f(x) = ax com a ∈ ]0 ,1[. Sobre a função real g definida por g(x) = –b – f(x) com b ∈ ]–∞, –1[, é correto afirmar que: a) possui raiz negativa e igual a loga (–b). b) é crescente em todo o seu domínio. c) possui valor máximo. d) é injetora. E.O. Dissertativo 1. (INSPER) Considere a função real f, dada pela lei f(x) = logx xx . a) Desenhe o gráfico de f(x). b) Calcule k, k [ R de modo que se tenha 16f(k) = 40. Se necessário, utilize a aproximação log2 = 0,30. 2. (UFRJ) Seja f: ]0, ∞[ → R dada por f(x) = log3 x.

38VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Sabendo que os pontos (a, –b), (b, 0), (c, 2) e (d, b) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad. 3. (UFG) Dados dois números reais positivos a e n, com n ≠ 1, o número y tal que ny = a é denominado logaritmo de a na base n, e é representado por logn a. Faça o que se pede: a) Faça um esboço do gráfico da função f(x) = log 2x, x > 0. b) Mostre que log2 ( __1 2 ) = log 2. 4. (UFC) Considere o número real 3√ __ 4,1 . a) Mostre que 3√ __ 4,1> 9. b) Mostre que 3√ __ 4,1< 10. Sugestão: log10 3 < 0,48 e √ ___ 4,1< 2,03. 5. (UFJF-PISM 1) No gráfico a seguir, representou-se a função f : * + → definida por f(x) = log2 x. Define-se ainda, conforme a figura, um triângulo retângulo MNP, reto em N, com os vértices M e P pertencendo à curva definida por f. A partir das informações apresentadas no gráfico de f, responda às questões a seguir detalhando os seus cálculos: a) Qual o valor de a e b obtidos a partir do gráfico de f. b) Calcule a medida da área do triângulo MNP. c) Determine o(s) valor(es) de x tal que [f(x)]2 –5 · [f(x)] = –6. 6. Um analgésico é aplicado via intravenosa. Sua concentração no sangue, até atingir a concentração nula, varia com o tempo de acordo com a seguinte relação: c(t) = 400 − klog3 (at + 1), em que t é dado em horas e c(t) é dado em mg/L. As constantes a e k são positivas. a) Qual é a concentração do analgésico no instante inicial t = 0? b) Calcule as constantes a e k, sabendo que, no instante t = 2, a concentração do analgésico no sangue é metade da concentração no instante inicial e que, no instante t = 8, a concentração do analgésico no sangue é nula. 7. Considere as funções f e g definidas por f(x) = 2log2 (x – 1), se x ∈ , x > 1, g(x) = log2(1 – __x 4 ), se x ∈ , x < 4. a) Calcule f( __3 2 ), f(2), f(3), g(–4), g(0) e g(2). b) Encontre x,1 < x < 4, tal que f(x) = g(x). c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), esboce os gráficos de f e de g no sistema cartesiano abaixo. 8. Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções: altura: H(t) = 1 + (0,8) ∙ log2 (t + 1) diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) ∙ 2 ___t 7 com H(t) e D(t) em metros e t anos. a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas. b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros. 9. Considere as funções f(x) = __x 2 e g(x) = log 2 x, para x > 0. a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas retangulares, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8. b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solução da inequação__x 2 < log2 x, e justifique por que __ π 2 < log2 π. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Observe no gráfico a função logaritmo decimal definida por y = log(x). Admita que, no eixo x, 10 unidades correspondem a 1 cm e que, no eixo y, a ordenada log(1000) corresponde a 15 cm.

39VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias A escala x:y na qual os eixos foram construídos equivale a: a) 5:1. b) 15:1. c) 50:1. d) 100:1. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) A curva da figura que se segue representa o gráfico da função y = log10x, para x > 0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos dois retângulos, é: a) log10 2. d) log10 5. b) log10 3. e) log10 6. c) log10 4. 2. (Fuvest) Se x é um número real, x > 2 e log2 (x – 2) – log4 x = 1, então o valor de x é: a) 4 – 2√ __ 3 . d) 4 + 2√ __ 3 . b) 4 – √ __ 3 . e) 2 + 4√ __ 3 . c) 2 + 2√ __ 3 . 3. (Unesp) Considere a função f, definida por f(x) = logn x. Se f(n) = m e f(n + 2) = m + 1, os valores respectivos de n e m são: a) 2 e 1. d) 3 e 2. b) 2 e 2. e) 4 e 1. c) 3 e 1. 4. (Unesp) A figura representa o gráfico de y = log10x. Sabe-se que OA = BC. Então, pode-se afirmar, que: a) loga b = c. d) ab = c. b) a + b = c. e) 10a + 10b = 10c . c) aC = b. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) = 0,5 + log3 (t + 1), onde o tempo t ≥ 0 é dado em anos. a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m? b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t) = h(3t + 2). Verifique que a diferença g(t) – h(t) é uma constante, isto é, não depende de t. 2. (Unesp) Considere as funções: f(x) = log3 (9x2 ) e g(x) = log3 ( __1 x ), definidas para todo x > 0. a) Resolva as duas equações: f(x) = 1 e g(x) = –3. b) Mostre que 1 + f(x) + g(x) = 3 + log3 x. 3. (Unesp) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 3 × 1013 km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula M = m + 5 ∙ log3 (3 ∙ d–0,48) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta –6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. 4. (Unifesp) A área da região hachurada na figura A vale log10 t, para t > 1. a) Encontre o valor de t para que a área seja 2. b) Demonstre que a soma das áreas das regiões hachuradas na figura B (onde t = a) e na figura C (onde t = b) é igual à área da região hachurada na figura D (onde t = ab).

40VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. B 3. D 4. B 5. A 6. B 7. C 8. D 9. B E.O. Fixação 1. D 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. C 8. B 9. B 10. E E.O. Complementar 1. B 2. A 3. E 4. E 5. A E.O. Dissertativo 1. a) b) k = __4 3 . 2. b + c + ad = 11. 3. a) b) Pela definição: log2 __1 2 = p⇔ 2p = __1 2 ⇒ 2p = 2–1 ⇒ p = –1; log1/2 2 = q ⇔ ( __1 2 ) q = 2 ⇒ 2–q = 2 ⇒ q = –1. Logo, p = q e, portanto, log2 __1 2 = log1/2 2. 4. a) 2 < √ ____ 4,1 ⇒ 32 < 3√ __ 4,1 ⇔ 9 < 3√ __ 4,1 b) log10 3√ __ 4,1= √ ____ 4,1 · log10 3 < 2,03 · 0,48 = 0,9744 < 1 = log10 10 log10 3√ __ 4,1< log10 10 ⇒ 3√ __ 4,1< 10 5. a) a = 2, b = 4. b) área = 21 u.a. c) x = 4 ou x = 8. 6. a) c(0) = 400 mg/L. b) a = 1 e k = 200. 7. a) f( __3 2 ) = –2 f(2) = 0 f(3) = 2 g(–4) = 1 g(0) = 0 g(2) = –1. b) x = __7 4 . c) 8. a) altura 1 metro; diâmetro 10 cm. b) 20 cm. 9. a) b) S = ]2; 4[. f(π) < g(π) logo __π 2 < log2 π.

41VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. C E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. A 2. D 3. A 4. D E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) 2 anos. b) g(t) – h(t) = 1 + h(t) – h(t) = 1, para todo t ≥ 0. 2. a) Sf = { ___ dXX3 3 } e Sg = {27}. b) 1 + f(x) + g(x) = 1 + log3 (9x2 ) + log3 ( __1 x ) = = 1 + log3 (9x2 · __1 x ) = = 1 + log3 (9x) = = 1 + log3 9 + log3 x = = 1 + 2 + log3 x = = 3 + log3 (x) 3. 7,29 × 1015 km. 4. a) t = 100. b) Se (SB), (SC) e (SD) forem, respectivamente, as áreas hachuradas das figuras B, C e D, então: (SB) + (SC) = log10a + log10b = log10(a.b) = (SD), portanto (SB)+(SC)=SD.

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MATEMÁTICA MATEMÁTICA e suas tecnologias 3 TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA

44VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (FGV) Sandra fez uma aplicação financeira, comprando um título público que lhe proporcionou, após um ano, um montante de R$ 10.000,00. A taxa de juros da aplicação foi de 10% ao ano. Podemos concluir que o juro auferido na aplicação foi: a) R$ 1.000,00. b) R$ 1.009,09. c) R$ 900,00. d) R$ 909,09. e) R$ 800,00. 2. João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria: a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial. 3. (CFTMG) O pagamento de uma televisão foi feito, sem entrada, em 5 parcelas mensais iguais, corrigidas a juros simples pela taxa de 0,7% ao mês. Dessa forma, no final do período, o valor total pago, em percentual, será maior do que o inicial em a) 2,1. c) 4,2. b) 3,5. d) 7,3. 4. (PUC-RJ) Em março de 2011, a garrafa de 500 ml de suco de bujurandu custava R$ 5,00. Em abril, o valor subiu 10% e, em maio, caiu 10%. Qual o preço da garrafa em junho? a) R$ 4,50 d) R$ 5,50 b) R$ 4,95 e) R$ 6,00 c) R$ 5,00 5. Gabriel aplicou R$ 6.500,00 a juros simples em dois bancos. No banco A, ele aplicou uma parte a 3% ao mês durante __5 6 de um ano; no banco B, aplicou o restante a 3,5% ao mês, durante __3 4 de um ano. O total de juros que recebeu nas duas aplicações foi de R$ 2.002,50. Com base nessas informações, é correto afirmar que: a) é possível comprar um televisor de R$ 3.100,00 com a quantia aplicada no banco A. b) o juro recebido com a aplicação no banco A foi menor que R$ 850,00. c) é possível comprar uma moto de R$ 4.600,00 com a quantia recebida pela aplicação no banco B. d) o juro recebido com a aplicação no banco B foi maior que R$ 1.110,00. E.O. Fixação 1. Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas: Investimento A 3% ao mês Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades: n 1,03n 3 1,093 6 1,194 9 1,305 12 1,426 Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá: a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS COMPETÊNCIA(s) 2 e 3 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9 e 14 MT AULAS 17 E 18

45VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias b) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B. 2. (Uepg – adaptada) Os capitais C1 = R$ 2.000,00 e C2 = R$ 1.500,00 são aplicados a juros simples de 1% ao mês e 18% ao ano, respectivamente, durante t meses. Após esse tempo, a soma dos montantes produzidos pelas duas aplicações é de R$3840,00. Nesse contexto, assinale o que for correto. a) O tempo t de aplicação é superior a 6 meses. b) O montante produzido por C2 é R$ 1.980,00 c) C1 rendeu R$ 250,00 de juros. d) O tempo t de aplicação é de 270 dias. 3. João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os pontos possíveis, é de R$ 21.000,00 e esse valor não será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro, João deverá esperar: a) dois meses, e terá a quantia exata. b) três meses, e terá a quantia exata. c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00. d) quatro meses, e terá a quantia exata. e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00. 4. (UECE) Um comerciante comprou um automóvel por R$ 18.000,00, pagou R$ 1.000,00 de imposto e, em seguida, vendeu-o com um lucro de 20% sobre o preço de venda. O lucro do comerciante foi: a) R$ 3.750,00. b) R$ 4.050,00. c) R$ 4.350,00. d) R$ 4.750,00. 5. (Uepg - adaptado) Uma pessoa aplicou, no prazo de dois anos, os capitais C1 e C2 a juros simples, o primeiro a 18% a.a e o segundo a 24% a.a. Sabendo que o rendimento das duas aplicações totalizou R$ 487,00 e que o capital C1 é 40% menor que C2 , assinale o que for correto. a) Se f(x) = x – 770 então f(C2 ) > 0. b) Os dois capitais juntos totalizam R$ 1.120,00. c) C2 corresponde a mais que R$ 750,00. d) A diferença entre os capitais é maior que R$ 300,00. e) C1 corresponde a R$ 600,00. E.O. Complementar 1. Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento: • Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55.000,00 • Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30.000,00 e mais uma prestação de R$ 26.000,00 para dali a 6 meses. • Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20.000,00 mais uma prestação de R$ 20.000,00 para dali a 6 meses e outra de R$ 18.000,00 para dali a 12 meses da data da compra. • Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15.000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39.000,00 • Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60.000,00 Arthur tem o dinheiro para pagar a vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor), em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo. Após avaliar a situação do ponto financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 2. (UFRN) Maria pretende comprar um computador cujo preço é R$ 900,00. O vendedor da loja ofereceu dois planos de pagamento: parcelar o valor em quatro parcelas iguais de R$ 225,00, sem entrada, ou pagar à vista, com 5% de desconto. Sabendo que o preço do computador será o mesmo no decorrer dos próximos quatro meses, e que dispõe de R$ 855,00, ela analisou as seguintes possibilidades de compra: Opção 1 Comprar à vista, com desconto. Opção 2 Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 1% de juros compostos ao mês e comprar, no final dos quatro meses, por R$ 900,00. Opção 3 Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 1% de juros compostos ao mês e comprar a prazo, retirando, todo mês, o valor da prestação. Opção 4 Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 2,0% de juros compostos ao mês e comprar, três meses depois, pelos R$ 900,00. Entre as opções analisadas por Maria, a que oferece maior vantagem financeira no momento é a: a) opção 2. b) opção 1. c) opção 4. d) opção 3.

46VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (FGV) César aplicou R$ 10.000,00 num fundo de investimentos que rende juros compostos a uma certa taxa de juro anual positiva i. Após um ano, ele saca desse fundo R$ 7.000,00 e deixa o restante aplicado por mais um ano, quando verifica que o saldo é R$ 6.000,00. O valor de (4i – 1)2 é: a) 0,01. d) 0,04. b) 0,02. e) 0,05. c) 0,03. E.O. Dissertativo 1. (FGV) Em 1º de junho de 2009, João usou R$ 150.000,00 para comprar cotas de um fundo de investimento, pagando R$ 1,50 por cota. Três anos depois, João vendeu a totalidade de suas cotas, à taxa de R$ 2,10 cada uma. Um apartamento que valia R$ 150.000,00 em 1º de junho de 2009 valorizou-se 90% nesse mesmo período de três anos. (Nota: a informação de que a valorização do apartamento foi de 90% nesse período de três anos deve ser usada para responder a todos os itens a seguir). a) Se, ao invés de adquirir as cotas do fundo de investimento, João tivesse investido seu dinheiro no apartamento, quanto a mais teria ganhado, em R$, no período? b) Para que, nesse período de três anos, o ganho de João tivesse sido R$ 20.000,00 maior com o fundo de investimento, na comparação com o apartamento, por quanto cada cota deveria ter sido vendida em 1º de junho de 2012? c) Supondo que o regime de capitalização do fundo de investimento seja o de juros simples, quanto deveria ter sido a taxa de juros simples, ao ano, para que a rentabilidade do fundo de investimento se igualasse à do apartamento, ao final do período de três anos? Apresente uma função que relacione o valor total das cotas de João (Y) com o tempo t, em anos. 2. (PUC-RJ) Responda: a) Maria fez uma aplicação em um investimento que deu prejuízo de 10% e resgatou R$ 45.000,00. Qual foi o valor da aplicação? b) João aplicou R$ 5.000,00 em um investimento que rendeu 10%, mas sobre o rendimento foi cobrada uma taxa de 15%. Qual foi o valor líquido que João resgatou? c) Pedro aplicou R$ 70.000,00, parte no investimento A e parte no investimento B, e no final não teve lucro nem prejuízo. O investimento A rendeu 12%, e o investimento B deu prejuízo de 3%. Qual foi o valor que Pedro aplicou no investimento A? Qual foi o valor que Pedro aplicou no investimento B? 3. (UFES) Num país longínquo, a tributação sobre a venda de veículos novos é feita por meio de um imposto único de 8%, que incide sobre o valor de venda estipulado pelas concessionárias. O preço final de um veículo ao consumidor é o valor estipulado pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto, que as concessionárias então repassam ao governo. Como as vendas vinham caindo muito, em decorrência da crise mundial, o governo resolveu reduzir temporariamente esse imposto para 4%. a) Determine a queda percentual no preço final de um veículo novo ao consumidor. Essa queda depende do preço de venda estipulado pelas concessionárias? Justifique a sua resposta. b) A redução do imposto veio acompanhada de um acréscimo de 20% nas vendas, o que não impediu que o governo perdesse receita. Determine a queda percentual da receita do governo advinda do imposto sobre a venda de veículos novos. c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o governo poderia ter reduzido o imposto para x%. Admitindo que, com a redução do imposto para x%, houvesse um aumento de 5(8 − x)% nas vendas, o governo arrecadaria uma fração f (x) do que arrecadava antes. Determine f (x), 0 ≤ x ≤ 8 , e esboce o gráfico de f . 4. (CFTRJ) Marcelo comprou um móvel de R$ 1.000,00 de forma parcelada, com juros de 5% ao mês. Sabendo que Marcelo pagou R$ 400,00 no ato da compra e o restante um mês depois, qual foi o valor dessa segunda parcela, 30 dias após a compra? 5. (FGV) O Sr. Alfredo costuma aplicar seu dinheiro num fundo de investimento que rende juros compostos. a) Quanto deverá aplicar hoje, para ter um montante de R$ 13.310,00 daqui a 3 anos, se a taxa de juros for de 10% ao ano? b) Se ele aplicar hoje R$ 8.000,00, qual a taxa anual de juros (constante) que o fundo deverá render para que ele possa sacar R$ 6.000,00 daqui a 1 ano e R$ 9.000,00 daqui a 2 anos, esgotando seu saldo? 6. (FGV) Como resultado de um processo ganho na justiça, Hélio deveria ter recebido, no início de 2006, a quantia de R$ 4.000,00 da empresa Alfa. No mesmo período (início de 2006), Hélio devia R$ 1.000,00 em sua fatura de cartão de crédito. Nenhuma dessas quantias foi quitada à época. Para atualizar (corrigir) valores monetários ao longo do tempo, pode-se utilizar o regime de capitalização de juros compostos. É válida a seguinte relação matemática: M = C ∙ (1 + i)n , em que M é o montante; C é o capital; i é a taxa de juros e n é o número de períodos de capitalização. Por exemplo, aplicando-se o capital de R$ 1.000,00 à taxa de 5,00% ao mês, por um mês, obtém-se o montante de R$ 1.050,00 A tabela abaixo contém valores para o termo (1 + i)n , para i e n selecionados. n (meses) i (% meses) 1 12 108 120 132 1,00 1,0100 1,1268 2,9289 3,3004 3,7190 2,00 1,0200 1,2682 8,4883 10,7652 13,6528 3,00 1,0300 1,4258 24,3456 34,7110 49,4886 4,00 1,0400 1,6010 69,1195 110,6626 177,1743 5,00 1,0500 1,7959 194,2872 348,9120 626,5958

47VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Utilize as informações do enunciado para responder às seguintes questões: Nota: taxa de juro utilizada para atualizar: • o valor recebido por Hélio da empresa Alfa: 1,00% ao mês. • a dívida da fatura de cartão de crédito: 4,00% ao mês. a) Suponha que a taxa de juro utilizada para atualizar o valor que Hélio tem a receber da empresa Alfa seja igual a 1,00% ao mês. Qual será o valor que a empresa Alfa deverá pagar a Hélio no início de 2016, ou seja, após exatos 10 anos? b) Suponha que a taxa de juro utilizada para atualizar a dívida da fatura de cartão de crédito seja igual a 4,00% ao mês. No início de 2016, ou seja, após exatos 10 anos, qual é o valor atualizado dessa dívida de Hélio? c) Suponha que Hélio receba da empresa Alfa, no início de 2016, o valor devido. Quanto, no máximo, poderia ter sido a dívida de Hélio em sua fatura de cartão de crédito, em valores do início de 2006, de forma que ele pudesse quitá-la, no início de 2016, com o valor recebido da empresa Alfa? E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) João abriu uma caderneta de poupança e, em 1º de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa de juros, nesse ano, de 20%. Em 1º de janeiro de 2007, depositou mais R$ 1.000,00. Para que João tenha, nessa poupança, em 1º de janeiro de 2008, um montante de R$ 1.824,00, a taxa de juros do segundo ano deve corresponder a: a) 12%. b) 14%. c) 16%. d) 18%. 2. (UERJ) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: • à vista, no valor de R$ 860,00 • em duas parcelas fixas de R$ 460,00 sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois. A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: a) 10%. b) 12%. c) 15%. d) 18%. 3. (UERJ) João, na compra de um produto pago por meio de um sistema de crédito, optou por dividir o pagamento em 5 parcelas iguais. Esse sistema cobra, ao final de cada mês, a partir da data da compra, juros de 10% sobre a quantia que ainda resta a ser paga. A percentagem total que João pagará de juros, nesta compra, será aproximadamente de: a) 50%. b) 32%. c) 25%. d) 20%. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson e R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3% durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de: a) R$ 400,00. b) R$ 500,00. c) R$ 600,00. d) R$ 700,00. e) R$ 800,00. 2. (Fuvest) No próximo dia 08/12, Maria, que vive em Portugal, terá um saldo de 2.300 euros em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12. Maria está considerando duas opções para pagar a prestação: 1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao dia sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias; 2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2% sobre o valor total da prestação. Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, em relação à opção 1: a) desvantagem de 22,50 euros. b) vantagem de 22,50 euros. c) desvantagem de 21,52 euros. d) vantagem de 21,52 euros. e) vantagem de 20,48 euros. 3. (Unesp) Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de: a) R$ 3.015,00. b) R$ 3.820,00. c) R$ 4.011,00. d) R$ 5.011,00. e) R$ 5.250,00.

48VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (Unicamp) Uma compra no valor de 1.000 reais será paga com uma entrada de 600,00 reais e uma mensalidade de 420 reais. A taxa de juros aplicada na mensalidade é igual a: a) 2%. c) 8%. b) 5%. d) 10%. 5. Em todos os dias 10 dos meses de janeiro, fevereiro e março de um certo ano, o Sr. João aplicou a mesma quantia de R$ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 10% ao mês. Podemos concluir que o montante dessa aplicação no dia 10 de abril desse mesmo ano foi de: a) R$ 4.203,00. b) R$ 3.641,00. c) R$ 4.015,00. d) R$ 3.135,00. e) R$ 3.968,00. 6. (Unicamp) Um determinado cidadão recebe um salário bruto de R$ 2.500,00 por mês, e gasta cerca de R$ 1.800,00 por mês com escola, supermercado, plano de saúde etc. Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa com esse perfil tem seu salário bruto tributado em 13,3% e paga 31,5% de tributos sobre o valor dos produtos e serviços que consome. Nesse caso, o percentual total do salário mensal gasto com tributos é de cerca de: a) 40%. c) 45%. b) 41%. d) 36%. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) O valor presente, Vp , de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula a seguir, em que r é o percentual mensal de juros (0 ≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela. Vp = _________ P [1+ ____r 100 ] n a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp , supondo uma taxa de juros de 1% ao mês. b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp , e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. E 3. B 4. B 5. C E.O. Fixação 1. C 2. A 3. C 4. D 5. B E.O. Complementar 1. D 2. C 3. D E.O. Dissertativo 1. a) R$ 75.000,00 b) R$ 3,05 c) 30%; Y = 150.000 + 45.000 · t 2. a) R$ 50.000,00 b) R$ 5.425,00 c) O valor aplicado no investimento A foi R$14.000,00, e o valor aplicado no investimento B foi R$ 56.000,00. 3. a) 3,7% b) 40% c) f(x) = 28x – x2 ________ 160 O gráfico é uma parábola, representado pela figura abaixo: 4. R$ 630,00 5. a) 10.000,00 b) 50% 6. a) R$ 13.201,60 b) R$ 110.662,60 c) R$ 119,30 E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. B 2. C 3. B E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. C 3. C 4. B 5. B 6. D E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) R$ 398,02. b) 1,97p; 1,5%

49VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UEL) O valor da expressão cos ___ 2p 3 + sen ___ 3p 2 + tg ___ 5p 4 é: a) ______ dXX2– 3 2 . d) __1 2 . b) – __1 2 . e) d ___XX3 2 . c) 0. 2. (UFAL) O seno de um arco de medida 2340° é igual a: a) - 1. d) √ __ ___3 2 . b) – __1 2 . e) __1 2 . c) 0. 3. (CFT-MG) O número N = 3 cos180° – 4 sen 210° + 2 tg 135° ______________________________ 6 sen2 45° pertence ao intervalo: a) ] –4, –3 [. c) [ –2, –1 ]. b) [ –3, –2 [. d) ] –1, 0 ]. 4. (CFT-MG) O valor de y = cos 150° + sen 300° – tg 225° – cos 90° é: a) dXX3+ 1. d) –dXX2 . b) –dXX2+ 2. e) 1. c) –dXX3– 1. 5. (UEL) O valor da expressão sen ___ 8p 3 – cos 5p _______________ tg ____ 13p 6 é: a) 3 + 2dXX3 _______ 2 . d) 3dXX2+ 2dXX3 . b) 3dXX2+ 2dXX3 __________ 2 . e) 3 (dXX2+ dXX3 ). c) 3 + 2dXX3 . 6. (Espcex) O valor de (cos 165º + sen 155º + cos 145º – sen 25º + cos 35º + cos 15º) é: a) dXX2 . d) 1. b) –1. e) __1 2 . c) 0. 7. (CFT-MG) Na figura, P e Q são pontos da circunferência trigonométrica de centro O e raio unitário. sen α: ordenada do ponto P cos α: abscissa do ponto P sen β: ordenada do ponto Q cos β: abscissa do ponto Q O valor de α + β em radianos, é: a) 2p. c) ____ 13p 6 . b) ____ 11p 6 . d) 25p ____ 12 . 8. (PUC-RJ) Assinale a alternativa correta. a) cos (2000º) < 0. b) sen (2000º) > 0. c) sen (2000º) = cos (2000º). d) sen (2000º) = – sen (2000º). e) sen (2000º) = – cos (2000º). 9. (IFAL) O valor da expressão sen 30º + tg 225º ___________________ cos π/2 – sen (-60º) é: a) 1. d) √ __ 3. b) __1 2 . e) – __1 2 . c) – √ __ 3. E.O. Fixação 1. (PUC-RJ) Assinale a alternativa correta. a) sen (1000º) < 0. b) sen (1000º) > 0. c) sen (1000º) = cos (1000º). d) sen (1000º) = – sen (1000º). e) sen (1000º) = – cos (1000º). 2. (ESPCEX) Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1,0), denominados respectivamente α e β medidos no sentido positivo. O valor de tg (α + β) é: CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS COMPETÊNCIA(s) 2 e 3 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9 e 14 MT AULAS 19 E 20

50VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) ______ 3 + dXX3 3 . b) 3 – √ __ _______3 3 . c) 2 + dXX3 . d) 2 – dXX3 . e) –1 + dXX3 . 3. (UFRGS) Considere as afirmativas abaixo: I. tan 92° = –tan 88°. II. tan 178° = tan 88°. III. tan 268° = tan 88°. IV. tan 272° = –tan 88°. Quais estão corretas? a) Apenas I e III. b) Apenas III e IV. c) Apenas I, II e IV. d) Apenas I, III e IV. e) Apenas II, III e IV. 4. (Mackenzie) I. cos 225° < cos 215°. II. tg (5π/12) > sen (5π/12). III. sen 160° > sen 172°. Das afirmações acima: a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) somente II e III são verdadeiras. d) somente II é verdadeira. e) somente I e II são verdadeiras. 5. (INSPER) Considere dois ângulos agudos cujas medidas a e b, em graus, são tais que a + b = 90º e 4sen a – 10sen b = 0. Nessas condições, é correto concluir que: a) tg a = 1 e tg b = 1. b) tg a = 4 e tg b = __1 4 . c) tg a = __1 4 e tg b = 4. d) tg a = __2 5 e tg b = __5 2 . e) tg a = __5 2 e tg b = __2 5 . 6. (INSPER) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos » AP e» AQ têm medidas iguais a a e b, respectivamente, com 0 < a < b < p. Sabendo que cos a = 0,8, pode-se concluir que o valor de cos b é: a) −0,8. d) 0,6. b) 0,8. e) −0,2. c) −0,6. 7. (FGV) No círculo trigonométrico de raio unitário indicado na figura, o arco » AB mede a. Assim, PM é igual a: a) –1 – tg a. b) 1 – cos a. c) 1 + cos a. d) 1 + sen a. e) –1 + cotg a. 8. (Insper) O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras científicas no modo “radianos” e calculassem o valor de sen__π 2 . Tomando um valor aproximado, Artur digitou em sua calculadora o número 1,6 e, em seguida,calculou o seu seno, encontrando o valor A. Já Bia calculou o seno de 1,5, obtendo o valor B. Considerando que __ π 2 vale aproximadamente 1,5708, assinale a alternativa que traz a correta ordenação dos valores A, B e sen __ π 2 . a) sen __ p 2 < A < B. b) A < sen __ π 2 < B. c) A < B < sen __ π 2 . d) B < sen __ π 2 < A. e) B < A < sen __ π 2 . 9. (PUC-SP) Na sequência de termo geral an = 5n + sen (n · __ p 2 ), com n [ N*, a soma dos 20 primeiros termos de ordem ímpar é igual a: a) 1800. d) 2000. b) 1874. e) 2024. c) 1896. 10. (FEI) Se 0 < x < __ p 4 , é válido afirmar-se que: a) sen ( __ p 2 – x) = sen x. b) cos (p – x) = cos x. c) sen (p + x) = sen x. d) sen [( __ p 2 – x)] = cos x. e) cos (p + x) = sen x.