101VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. __15. 4. 12,5 m E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. B 2. D 3. C 4. B 5. E 6. B 7. A 8. D 9. A 10. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) A = 12 b) A = 12 c) S(A’B’C’D’) = 60 2. a) AP = 3dXXXXXXXX (2 + dXX3 ) b) AB = ___ 312 3. a) R$ 24.000,00 b) Observe a figura a seguir: 4. MN = 10 5. AB = 20 6. Área do triângulo ________________ Área do trapézio = ___ 16 65 7. Não há variação da área da intersecção, tem valor igual a 4cm2 . 8. a) H/h = 5. b) H = 15√ ___ ______ 15 4 9. a) S = x(17 – 2x) com 0 < x < 8,5 b) x = 4 m e y = 9 m 10. a) f(x) = –x2 + 50x, com 0 < x < 50. A área da figura A é 400 cm2 . Logo –x2 + 50x = 400 ä ä x2 – 50x + 400 = 0 ä ä x = 40 cm ou x = 10 cm. b) 625 cm2 .
102VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (IFSP) A figura representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado. Sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 3√ __ 8 cm, a área da figura, em centímetros quadrados, é igual a: Adote π = 3. a) 72. d) 45. b) 63. e) 30. c) 54. 2. (UTFPR) Seja a a circunferência que passa pelo ponto B com centro no ponto C e β a circunferência que passa pelo ponto A com centro no ponto C, como mostra a figura dada. A medida do segmento AB é igual à medida do segmento BC e o comprimento da circunferência α mede 12π cm. Então, a área do anel delimitado pelas circunferências a e β (região escura) é, em cm2 , igual a: a) 108π. d) 36π. b) 144π. e) 24π. c) 72π. 3. (UPE) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono. Considere: π ≅ 3 e √ __ 3 ≅ 1,7. Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada? a) 2,0 cm2 . d) 8,0 cm2 . b) 3,0 cm2 . e) 10,2 cm2 . c) 7,2 cm2 . 4. (UFRGS) Os círculos desenhados na figura abaixo são tangentes dois a dois. A razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada é: a) 1. d) _____ π 4 – π b) 2. e) _____ 2π 4 – π c) _____ 3 4 – π 5. (UEL) Considere que um tsunami se propaga como uma onda circular. Se a distância radial percorrida pelo tsunami, a cada intervalo de 1 hora, é de k quilômetros, então a área A, em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 horas e 10 horas é dada por: a) A = πk2 . b) A = 9 πk2 . c) A = 12 πk2 . d) A = 15 πk2 . e) A = 19 πk2 . ÁREA DO CÍRCULO, SETOR E SEGMENTO CIRCULAR COMPETÊNCIA(s) 2 e 3 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9 e 14 MT AULAS 21 E 22
103VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. A área do círculo, em cm², cuja circunferência mede 10 π cm, é: a) 10 π d) 50 π b) 36 π e) 25 π c) 64 π 7. (UPE) A logomarca de uma empresa é formada por dois círculos tangentes e por três segmentos de reta paralelos, sendo que o segmento AB contém os centros dos círculos, e os segmentos MN e PQ são tangentes ao círculo menor, medindo 6 cm cada um, como mostra a figura a seguir. Quanto mede a área da superfície cinza da logomarca? a) ___ 9π 2 . d) 3π. b) ___ 3π 2 . e) 2π. c) 9π. 8. (UFT) Considerando a circunferência da figura a seguir com centro no ponto O e diâmetro igual a 4 cm. Pode-se afirmar que o valor da área da região hachurada é: a) (√ __ 8 π - 4)cm2 . d) (π –1) cm2 . b) 2π cm2 . e) (4π – 2) cm2 . c) (2π – 4) cm2 . 9. (FGV) Cada um dos 7 círculos menores da figura a seguir tem raio 1 cm. Um círculo pequeno é concêntrico com o círculo grande, e tangencia os outros 6 círculos pequenos. Cada um desses 6 outros círculos pequenos tangencia o círculo grande e 3 círculos pequenos. Na situação descrita, a área da região sombreada na figura, em cm2 , é igual a: a) π. d) ___ 5π 2 . b) ___ 3π 2 . e) 3π. c) 2π. 10. Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência das circunferências de centros C1 , C2 e C3 . Sabe-se que os raios dessas circunferências formam uma progressão geométrica crescente. Se os raios das circunferências de centros C1 e C2 medem, respectivamente, 2r e 3r, então a área da região sombreada vale, em unidades de área: a) ___ 55 8 πr 2 . c) ___ 61 8 πr 2 . b) ___ 29 4 πr 2 . d) 8 πr 2 . E.O. Fixação TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 1. (UEL) Observe a simetria do corpo humano na figura acima e considere um quadrado inscrito em um círculo de raio R, conforme a figura a seguir.
104VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias A área da região sombreada é dada por: a) A = R2 (π - √ __ 2 ). b) A = R2 (π - 2) ________ 2 c) A = R2 (π - 4) ___________ 2 . d) A = R2 (π - √ __ 2 ) _________ 4 . e) A = R2 (π2 - √ __ 2 ) __________ 4 . 2. (EPCAR (CPCAR)) A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do “Colégio Alfa”. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base ——BC mede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm: O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pintar 5400 cm2 . Adote π = 3. Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as camisetas é igual a: a) 9. c) 11. b) 10. d) 12. 3. (CFTMG) A figura abaixo mostra uma semicircunferência de centro O e diâmetro ——AC. Em seu interior, encontram-se duas semicircunferências de centros O1 e O2 tangentes entre si. A medida do segmento ——BC é um quarto da medida do segmento ——AC. A razão entre a área da circunferência de diâmetro ——BD e da semicircunferência de centro O é: a) __3 8 . c) ___5 16 . b) ___3 16 . d) ___5 32. 4. (UFG) Alguns agricultores relataram que, inexplicavelmente, suas plantações apareceram parcialmente queimadas e a região consumida pelo fogo tinha o padrão indicado na figura a seguir, correspondendo às regiões internas de três círculos, mutuamente tangentes, cujos centros são os vértices de um triângulo com lados medindo 30, 40 e 50 metros. Nas condições apresentadas, a área da região queimada, em m2 , é igual a: a) 1100π. b) 1200π. c) 1300π. d) 1400π. e) 1550π. 5. (EPCAR (CPCAR)) Considere a área S da parte sombreada no triângulo retângulo isósceles 001 O2. AD, AB e BC são arcos de circunferência com centros em O2 , O e O1 respectivamente, cujos raios medem 2r. Das figuras abaixo, a única em que a área sombreada NÃO é igual a S, é: a) Circunferência de diâmetro ——AB e semicircunferências de diâmetros ——OA e ——OB. b) Circunferência de centro O.
105VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias c) Circunferência de centro O. d) Circunferência de centro O inscrita num quadrado. Dois setores circulares de raio r. 6. (CPS) Para preparar biscoitos circulares, após abrir a massa formando um retângulo de 20cm de largura por 40cm de comprimento, dona Maria usou um cortador circular de 4cm de diâmetro, dispondo-o lado a lado várias vezes sobre toda a massa para cortar os biscoitos, conforme a figura. Considere que: • os círculos que estão lado a lado são tangentes entre si e completam todo o retângulo com o padrão apresentado; • os círculos das bordas são tangentes aos lados do retângulo. Com a sobra de massa, dona Maria abre um novo retângulo, de mesma espessura que o anterior, para cortar mais biscoitos. Assim sendo, desconsiderando a espessura da massa, as dimensões desse novo retângulo podem ser: Dados: área do círculo de raio r: A = πr2 , adote: π = 3. a) 8cm × 30cm. d) 10 cm × 22 cm. b) 8cm × 25cm. e) 10 cm × 21cm. c) 9 cm × 24 cm. 7. (FGV) Na figura abaixo, o ângulo  do triângulo ABC inscrito na circunferência é reto. O lado ——AB mede 4, e o lado ——AC mede 5. A área do círculo da figura é: a) 9,75π. d) 10,50. b) 10π. e) 10,75π. c) 10,25π. 8. (UEL) Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, com as medidas indicadas na figura ao lado, qual a área aproximada do terreno? a) 38,28 km2 . d) 58,78 km2 . b) 45,33 km2 . e) 60,35 km2 . c) 56,37 km2 . 9. (FGV) A figura indica uma circunferência de diâmetro AB = 8 cm, um triângulo equilátero ABC, e os pontos D e E pertencentes à circunferência, com D em AC e E em BC. Em cm², a área da região hachurada na figura é igual a: a) 64. b) 8. c) 8(√ __ 3 – __π 3 ). d) 4(√ __ 3 – __π 3 ). e) 4( √ __ 3 – __π 2 ). 10. (UPE-SSA 1) O retângulo ABCD, representado a seguir, tem área cuja medida é de 18 cm2 . Qual é a razão entre a medida da área da parte pintada e a medida da área total do retângulo? Considere π = 3,0. a) 1/4. d) 1/7. b) 1/5. e) 1/8. c) 1/6.
106VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O Complementar 1. (UFTM) Na figura, ——AB, ——BC e ——CD são lados, respectivamente, de um octógono regular, hexágono regular e quadrilátero regular inscritos em uma circunferência de centro P e raio 6 cm. A área do setor circular preenchido na figura, em cm2 , é igual a: a) 16π. d) ____ 35π 2 . b) ____ 33π 2 . e) 18π. c) 17π. 2. (IME) Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos, traçados na figura abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, em cm2 , é: a) 6. d) 12. b) 8. e) 14. c) 10. 3. (EPCAR (AFA)) As circunferências λ1 e λ2 da figura abaixo são tangentes interiores e a distância entre os centros C1 e C2 é igual a 1 cm. Se a área sombreada é igual à área não sombreada na figura, é correto afirmar que o raio de λ2 , em cm, é um número do intervalo. a) ]2, ___ 11 5 [. c) ] ___ 23 10 , __5 2 [. b) ] ___ 11 5 , ___ 23 10 [. d) ] __5 2 , ___ 13 5 [. 4. (CFTMG) Uma circunferência de raio 2 tangencia outra e dois de seus raios, conforme figura seguinte. O valor da área hachurada é: a) 2π√ __ 2 . c) 2π(√ __ 2– 3). b) 3π(√ __ 2– 1). d) π(2√ __ 2– 1). 5. (FGV) Na figura, a reta suporte do lado BC do triângulo ABC passa pelo centro da circunferência λ. Se A = 15° , BC = 4 cm, e o raio de λ mede 2 cm, a área sombreada na figura, em cm2 , é igual a: a) (9 – π) ______ 3 . d) [3(√ __ 3 ) – π] __________ 3 . b) 6(√ __ 3 ) – 2π ___________ 3 . e) [2(√ __ 6 ) – π] __________ 3 . c) (9 – 2π) _______ 3 . E.O. Dissertativo 1. (CCAMPOS) Na figura abaixo, os retângulos PQRS e ABCD, com PQ // AB, representam, respectivamente o terreno e a casa da família Pinto Teixeira que ali vive com a cadelinha “poodle”, Hanna. A parte S, sombreada da figura, representa a superfície do terreno que Hanna pode alcançar, quando presa à uma guia de 30m que está fixada no ponto M, médio de ——AB. Sabendo ainda que AB = 12m e que BC = 18m, calcule o valor da área de S, usando 3 como valor aproximado de π.
107VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (UFG) O limpador traseiro de um carro percorre um ângulo máximo de 135°, como ilustra a figura a seguir. Sabendo-se que a haste do limpador mede 50 cm, dos quais 40 cm corresponde à palheta de borracha, determine a área da região varrida por essa palheta. 3. (UEG) A figura abaixo representa uma circunferência de raio r = 2 cm, em que AC é o diâmetro e AB é uma corda. Sabendo-se que o ângulo BÔC = 60º, calcule a área da região hachurada. 4. (UFTM) A figura mostra o projeto de um paisagista para um jardim em um terreno plano. Sabe-se que os círculos são concêntricos e que a área do quadrado ABCD é igual a 100m2 . No círculo inscrito no quadrado, haverá um espelho d’água, e na região sombreada do círculo circunscrito ao quadrado serão plantadas flores de várias espécies. Usando π = 3,1 determine a área aproximada: a) ocupada pelo espelho d’água. b) da região onde serão plantadas flores. 5. (Ufes) Para irrigar uma região retangular R de dimensões <×3<, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância ___ 3< 2 do ponto B , ele irriga um círculo de centro C e raio 2<(veja figura). a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o irrigador está no ponto C. b) Admitindo que o raio da região irrigada seja inversamente proporcional à distância do irrigador até a bomba, calcule o raio da região irrigada quando o irrigador é colocado no centro da região retangular R. 6. (UFRJ) Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados divide o interior do quadrado em duas regiões: a região A dos pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a região B dos pontos que não foram encobertos. O raio do disco mede 2 cm e o lado do quadrado mede 10 cm. Determine a área da região B. 7. (UFJF-PISM 1) Antônio, um fã de histórias em quadrinhos, decidiu confeccionar uma roupa para uma festa a fantasia. Para desenhar o símbolo da roupa, ele utilizou seus conhecimentos de matemática. Considere a figura do símbolo abaixo. a) Considere o triângulo ABC, de lado AB medindo 80 mm e inscrito em uma semicircunferência de raio 50 mm e centro O. Calcule os comprimentos dos segmentos OD e DC sabendo-se que BD é uma altura do triângulo ABC. Considere π = 3. b) Antônio deseja confeccionar o triângulo ABC e a semicircunferência de diâmetro DC com um tecido vermelho, e o restante do símbolo com um tecido azul. De quantos milímetros quadrados de cada tecido, Antônio vai precisar para confeccionar o símbolo para sua fantasia? Considere π = 3.
108VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 8. (UEL) Algumas figuras geométricas são utilizadas em símbolos, como, por exemplo, a “Estrela de David” (Figura 1). A partir das Figuras 1 e 2, desenhou-se um esquema, representado na Figura 3, que não obedece a uma escala. Sabe-se que, na Figura 3, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e um triângulo equilátero (ABC), inscrito nessa circunferência. Considerando que o raio da circunferência é de √ ___ 48 cm, responda aos itens a seguir. a) Determine a medida do lado do triângulo ABC. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item. b) Determine a área representada pela cor cinza na Figura 3. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item. 9. (PUC-RJ) A figura mostra um triângulo equilátero de lado 1, um círculo inscrito e um segundo círculo tangente a dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo. a) Encontre o raio do maior círculo. b) Encontre o raio do menor círculo. c) Encontre a área da região sombreada, limitada por um lado do triângulo e pelos dois círculos. E.O. Enem 1. (Enem) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2 , respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura. Área do setor circular: ASC = aR2 ____ 2 , α em radianos. A área da região S, em unidades de área, é igual a: a) 2πR2 ____ 3 – √ __ 3 R2 _____ 2 b) (2π - 3√ __ 3 )R2 ___________ 12 c) πR2 ____ 12 – R2 ___ 8 . d) πR2 ___ 2 . e) πR2 ___ 3 . 2. (Enem) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. Área do círculo: πr 2 As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que: a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 3. (Enem) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura: Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é: (Aproxime √ __ 3para 1,7 e π para 3.) a) 30. d) 61. b) 34. e) 69. c) 50.
109VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (Enem) Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilíndrico afiado para retirar parte do miolo de uma laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e a 3 cm, respectivamente. A área da maior fatia possível é: a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro. b) três vezes a área da secção transversal do cilindro. c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro. d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro. e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro. 5. (Enem) Para estimular a prática de atletismo entre os jovens, a prefeitura de uma cidade lançou um projeto de construção de ambientes destinados à prática de esportes. O projeto contempla a construção de uma pista de atletismo com 10 m de largura em torno de um campo de futebol retangular medindo 100 m x 50 m. A construção será feita da seguinte maneira: duas partes da pista serão paralelas às laterais do campo; as outras duas partes estarão, cada uma, entre duas semicircunferências, conforme a figura a seguir. A partir desses dados, é correto afirmar que a pista de atletismo terá uma área de: Use: π= 3,14. a) 2.184 m2 . b) 3.884 m2 . c) 3.948 m2 . d) 4.284 m2 . e) 4.846 m2 . E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central θ é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura. Sabendo que o ângulo θ satisfaz a igualdade tgu = 2u, calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do triângulo OPQ. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Logo, a área da região hachurada é: a) 1 - ( __π 6 ) + [ (√ __ 3 ) ____ 4 ]. b) 1 - ( __π 3 ) + [ (√ __ 3 ) ____ 2 ]. c) 1 - ( __π 6 ) - [ (√ __ 3 ) ____ 4 ]. d) 1 + ( __π 3 ) - [ (√ __ 3 ) ____ 2 ]. e) 1 - ( __π 3 ) - [ (√ __ 3 ) ____ 4 ]. 2. (Unicamp) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo. Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S(ϕ) e T(ϕ), podemos afirmar que a razãoS(ϕ)/T(ϕ) quando ϕ = π/2 radianos, é: a) π/2. c) π. b) 2π. d) π/4.
110VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (Fuvest) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A reta ‹ __› OC é perpendicular ao segmento ——AB e o ângulo A ^ O B mede π/3 radianos. Então, a área do triângulo ABC vale: a) a2 __ 8 . d) 3a2 ___ 4 . b) a2 __ 4 . e) a2 . c) a2 __ 2 . 4. (Unesp) No vazamento de petróleo da empresa americana Chevron do último dia 7 de novembro, na bacia de Campos/RJ, a mancha de óleo na superfície do mar assumiu grandes dimensões e teve seu pico de área entre os dias 12 e 14 daquele mês. O vazamento levou dias para ser contido, pois o petróleo continuava a escapar por fissuras, como mostrado na foto. A figura mostra, de forma hipotética e aproximada, em tom escuro, as áreas da mancha de óleo na superfície do mar. Dados 1 dm3 = 1 L e π ≅ 3 e sabendo que a altura média da lâmina de óleo sobre as águas era de 0,003 mm e que 1 barril de petróleo cru contém 160 litros de óleo, o número aproximado de barris que vazaram no incidente foi: a) 2 360. d) 3 320. b) 2 860. e) 5 250. c) 2 960. 5. (Unesp) Uma empresa tem o seguinte logotipo: Se a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado é 3 cm, a área, em cm2 , de toda a região pintada de preto é: a) 9 – ( ___ 9π 4 ). d) 36 – ( ___ 9π 4 ). b) 18 – ( ___ 9π 4 ). e) 36 ( ___ 9π 2 ). c) 18 – ( ___ 9π 2 ). E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unifesp) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas. Nestas condições, calcule: a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita. b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada. 2. (Fuvest) Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que: 1. O ponto O pertence ao segmento ——PQ . 2. OP = 1, OQ = √ __ 2 . 3. A e B são pontos da circunferência, ——AP é perpendicu-
111VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias lar a ——PQ e ——BQ é perpendicular a ——PQ. Assim sendo, determine: a) A área do triangulo APO. b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C . c) A área da região hachurada. 3. (Fuvest) Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta ‹ __› CD no ponto D, o qual pertence à reta ‹ ___› AO . Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB = 6√ __ 3e BC = 2 √ __ 3. Nessas condições, determine: a) a medida do segmento ——CD. b) o raio da circunferência. c) a área do triângulo AOB. d) a área da região hachurada na figura. 4. (Fuvest) São dadas três circunferências de raio r, duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são P1 , P2 e P3 . Calcule, em função de r, a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira. b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos ligando cada ponto P1 , P2 e P3 aos dois vértices do triângulo T mais próximos a ele. 5. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ. a) Para θ = 60º, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular. b) Determine o valor de cosθ no caso em que R = 4r. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. A 3. C 4. D 5. E 6. E 7. C 8. C 9. C 10. C E.O. Fixação 1. B 2. A 3. A 4. D 5. D 6. B 7. C 8. D 9. C 10. E E.O. Complementar 1. B 2. A 3. C 4. D 5. A E.O. Dissertativo 1. S = 2268 m2 2. A = 900π cm2 .
112VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. A = _____ 4π 3 - √ __ 3. 4. a) 77,5 m². b) 55 m². 5. a) A = <2 __ 6 (2π + 3 √ __ 3 ). b) r = ___ 6 5 ℓ. 6. 4(5 - π ) cm2 . 7. a) ——OD = 14 mm. b) Sverm = 2886 mm² e Sazul = 1801,5 mm² 8. a) ℓ = 12. b) Scinza ≈ 88 cm2 . 9. a) R = √ __ ___3 6 . b) r = √ __ ___3 18 . c) A = √ __ ___3 27 – ____π 324 – ___π 72. E.O. Enem 1. A 2. E 3. D 4. E 5. B E.O. UERJ Exame Discursivo 1. 1/2. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. A 3. B 4. B 5. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) 6(√ __ 3 ) - 2π unidades de área. b) 4π unidades de comprimento. 2. a) √ __ ____3 2 u.a. b) AÔB = ___ 5π 12 ou 75° c) 3√ __ 3 + 6 + 5π _____________ 6 u.a. 3. a) CD = 4√ __ 3 . b) r = 6. c) A = 9 √ __ 3 . d) A = 3(4π - 3√ __ 3 ). 4. a) ℓ = 2r · (√ __ 3+ 1). b) S = r2 · (√ __ 3+ 3). 5. a) Razão = __2 3 . b) cosθ = __7 9 .
113VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (CEFET–MG) No contexto da Geometria Espacial, afirma-se: I. Se uma reta é paralela a um plano, então ela está contida nesse plano. II. Duas retas sem ponto comum são paralelas ou reversas. III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela ao outro. IV. Duas retas distintas paralelas a um plano são paralelas entre si. São corretas apenas as afirmativas: a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV. 2. (INSPER) De cada vértice de um prisma hexagonal regular foi retirado um tetraedro, como exemplificado para um dos vértices do prisma desenhado a seguir. O plano que definiu cada corte feito para retirar os tetraedros passa pelos pontos médios das três arestas que concorrem num mesmo vértice do prisma. O número de faces do poliedro obtido depois de terem sido retirados todos os tetraedros é: a) 24. b) 20. c) 18. d) 16. e) 12. 3. (UFC) O número de faces de um poliedro convexo com 20 vértices e com todas as faces triangulares é igual a: a) 28. b) 30. c) 32. d) 34. e) 36. 4. (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente: a) 34 e 10. d) 12 e 10. b) 19 e 10. e) 19 e 12. c) 34 e 20. 5. (UPE) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o número esperado de vértices para este será: a) 10. d) 7. b) 9. e) 6. c) 8. 6. (UECE) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono é: a) 90. c) 60. b) 72. d) 56. 7. A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em Florença, na Itália. Esse instrumento tem a forma de um dodecaedro regular e, em cada uma de suas faces pentagonais, há a gravação de um tipo diferente de relógio. POLIEDROS E NOÇÕES DE GEOMETRIA MÉTRICA DE POSIÇÃO COMPETÊNCIA(s) 2 HABILIDADE(s) 6, 7, 8 e 9 MT AULAS 23 E 24
114VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783) descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, vale a relação V – A + F = 2. Ao se aplicar a relação de Euler no poliedro da figura, o número de arestas não visíveis é: a) 10. d) 16. b) 12. e) 18. c) 15. 8. (UNITAU) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale: a) 6. d) 12. b) 4. e) 9. c) 5. 9. (UECE) Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. O número de arestas deste poliedro é: a) 100. c) 90. b) 120. d) 80. 10. (UFJF-PISM 2) Observe, abaixo, uma imagem desse vírus que tem a forma de um sólido geométrico. Qual é a planificação do sólido representado por esse vírus? a) b) c) d) e) E.O. Fixação 1. (ESPCEX) Considere as seguintes afirmações: I. Se dois planos α e β são paralelos distintos, então as retas r1 ⊂ α e r2 ⊂ β são sempre paralelas. II. Se α e β são planos não paralelos distintos, existem as retas r1 ⊂ α e r2 ⊂ β tal que r1 e r2 são paralelas. III. Se uma reta r é perpendicular a um plano α no ponto P, então qualquer reta de α que passa por P é perpendicular a r. Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s): a) somente II. b) I e II. c) I e III. d) II e III. e) I, II e III. 2. (UEL) Sobre os conhecimentos de geometria tridimensional, considere as afirmativas: I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes. II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano. III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano. IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um único plano α que contém r e é paralelo a s. A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: a) I e II. b) I e IV. c) III e IV. d) I, II e III. e) II, III e IV. 3. (UFC) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vértices, então, o número de faces triangulares é: a) 12. b) 11. c) 10. d) 9. e) 8.
115VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (PUC-PR) Um poliedro convexo é formado por faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma dos ângulos de todas as faces é igual a 12 retos. Qual o número de arestas desse poliedro? a) 8. d) 2. b) 6. e) 1. c) 4. 5. (PUC-PR) Um poliedro convexo tem 7 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. Quantas arestas tem esse poliedro? a) 8. d) 14. b) 10. e) 16. c) 12. 6. (Cesgranrio) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 180º. b) 360º. c) 540º. d) 720º. e) 900º. 7. (PUC-Camp) Sobre as sentenças: I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas: a) I é verdadeira. b) II é verdadeira. c) III é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. e) II e III são verdadeiras. 8. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a: a) 16. d) 30. b) 18. e) 44. c) 24. 9. (UEM-PAS) Assinale o que for correto. 01) Sejam a reta r = π1 ∩ π2 , onde π1 e π2 são planos, e a reta s paralela a r, de tal forma que s ∉ π1 ∪ π2 . Então, toda reta perpendicular a r contida em um desses dois planos é reversa a s. 02) Dados um ponto P pertencente a um plano π e uma reta r perpendicular a π, tal que P ∈ r, temos que toda reta contendo P perpendicular a r está em π. 04) Dadas duas retas reversas, existe um plano que as contém. 08) Considere 6 retas contendo as arestas de um tetraedro regular. Fixada uma das retas, então ela é reversa a apenas uma dessas 6 retas. 16) A interseção de um poliedro convexo com um plano é uma região convexa. 10. Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2. Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a: a) 9, 20 e 13. b) 3, 24 e 13. c) 7, 15 e 12. d) 10, 16 e 5. e) 11, 16 e 5. E.O. Complementar 1. (FATEC) A reta r é a intersecção dos planos α e β, perpendiculares entre si. A reta s, contida em α, intercepta r no ponto P. A reta t, perpendicular a β, intercepta-o no ponto Q, não pertencente a r. Nessas condições, é verdade que as retas: a) r e s são perpendiculares entre si. b) s e t são paralelas entre si. c) r e t são concorrentes. d) s e t são reversas. e) r e t são ortogonais. 2. (UFJF) A figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo. O número de vértices deste poliedro é: a) 12. b) 14. c) 16. d) 20. e) 22.
116VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (PUC-PR) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 3/5 do número de faces? a) 60. d) 20. b) 30. e) 15. c) 25. 4. (ITA) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando- -o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então: a) m = 9, n = 7. d) m = 10, n = 8. b) m = n = 9. e) m = 7, n = 9. c) m = 8, n = 10. 5. (UFRG) As figuras a seguir representam um octaedro regular e uma de suas planificações. Aos vértices A, B, E, F do octaedro correspondem, respectivamente, os pontos a, b, e, f da planificação. Ao vértice D do octaedro correspondem, na planificação, os pontos: a) m, n, p. d) q, r, s. b) n, p, q. e) r, s, m. c) p, q, r. E.O. Dissertativo 1. (UFPE) Unindo-se o centro de cada face de um cubo, por segmentos de reta, aos centros das faces adjacentes, obtém-se as arestas de um poliedro regular. Quantas faces tem esse poliedro? 2. (UFPE) Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro. 3. (PUC-SP) Qual é o poliedro que tem 12 vértices e 30 arestas? 4. Um poliedro convexo possui a soma dos ângulos das faces 1080°. Sabendo que este possui 5 faces, quantas arestas o poliedro possui? 5. Qual o poliedro que possui 4 vértices e 6 arestas? Desenhe este poliedro. 6. Qual poliedro convexo regular possui 20 ângulos triédricos? 7. Um poliedro convexo possui 4 faces triangulares e x faces hexagonais. Quantas faces este poliedro possui, sabendo que possui 12 vértices? 8. (UFPE) Calcule a oitava potência do comprimento, em m, da aresta de um icosaedro regular, sabendo que sua área mede 15 m2 . 9. (UFG) Um joalheiro produzirá um ornamento para um pingente a partir de uma pedra preciosa, originalmente em forma de um cubo. Para isso, ele retirará de cada vértice do cubo um tetraedro cujos vértices são o vértice do cubo e os pontos médios das arestas que concorrem neste vértice. Os tetraedros serão descartados. Considerando-se as condições apresentadas, calcule: a) O número de faces do poliedro que constitui o ornamento. b) A fração do volume do cubo original que constitui cada tetraedro retirado. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Considere o icosaedro a seguir (Fig.1), construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados. A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro. Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado na figura 2. Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica (Fig. 3):
117VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias O número de arestas dessa estrutura é igual a: a) 90. c) 150. b) 120. d) 180. 2. (UERJ) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura. Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo. A soma V + F + A é igual a: a) 102. c) 110. b) 106. d) 112. 3. (UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a __1 3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras. Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: a) 7,0 m. c) 4,9 m. b) 6,3 m. d) 2,1 m. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unifesp) Considere o sólido geométrico exibido na figura, constituído de um paralelepípedo encimado por uma pirâmide. Seja r a reta suporte de uma das arestas do sólido, conforme mostrado. Quantos pares de retas reversas é possível formar com as retas suportes das arestas do sólido, sendo r uma das retas do par? a) 12. d) 7. b) 10. e) 6. c) 8. 2. (Unifesp) Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente: a) 8 e 8. d) 8 e 4. b) 8 e 6. e) 6 e 6. c) 6 e 8. 3. (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) No espaço tridimensional consideram-se duas retas r e s e os conjuntos: A, de todos os planos por r, B, de todos os planos por s. Descrever o conjunto A ∩ B, nos seguintes casos: a) r e s são paralelas; b) r e s são reversas. 2. (Fuvest) Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices e 9 arestas? Desenhe um poliedro que satisfaça essas condições. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. C 2. B 3. E 4. B 5. E 6. C 7. A 8. B 9. C 10. A
118VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Fixação 1. D 2. C 3. E 4. A 5. C 6. D 7. E 8. A 9. 01+02+08+16=27 10. A E.O. Complementar 1. E 2. A 3. B 4. B 5. D E.O. Dissertativo 1. 8. 2. 21. 3. Icosaedro. 4. 8. 5. Tetraedro. 6. Dodecaedro (12 faces). 7. 8 faces. 8. 9. 9. a) 14 faces. b) ___1 48 do volume do cubo . E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. B 2. D 3. B E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. B 3. E E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) Se as retas r e s são paralelas distintas, existe um único plano passando por r e s; portanto A ∩ B é um conjunto unitário. Se as retas são paralelas coincidentes, então A ∩ B = A = B. b) Se r e s são retas reversas, não existe um plano passando por r e s. Logo, A ∩ B = { }. 2. F = 5.
119VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (Cftsc) Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, aproximadamente quantos m2 de papelão serão necessários para a confecção das caixas? a) 0,328 m2 b) 1 120 m2 c) 112 m2 d) 3 280 m2 e) 1 640 m2 2. (UFPE) No cubo da figura a seguir, as arestas medem 4 cm. Quanto mede a diagonal AB? A 4 cm 4 cm 4 cm B a) 4dXX3 cm b) 2dXX3 cm c) 4dXX2 cm d) 2dXX2 cm e) 2 cm 3. (UFPB) Foram feitas embalagens de presente em forma de prisma regular de altura H = 6dXX3cm e base triangular de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura a seguir. Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o custo para a sua produção, por cm2 , é de R$ 0,05, o custo total de fabricação de cada unidade é : Dado: considere dXX3= 1,7 a) R$ 12,30. d) R$ 15,20. b) R$ 13,60. e) R$ 17,30. c) R$ 8,16. 4. (UNEB) A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma superfície de até 2 metros quadrados. Ela tem duas camadas principais: a epiderme, externa, e a derme, interna. (BREWER. 2013, p. 72). De acordo com o texto, a superfície máxima coberta pela pele humana é equivalente a de um cubo cuja diagonal, em m, é igual a: a) __1 3 . d) 1. b) ___ dXX3 3 . e) dXX3 . c) ___ dXX3 2 . 5. (Ufrgs) A figura 1, a seguir, representa um prisma reto de base hexagonal regular. I. II. III. PRISMAS COMPETÊNCIA(s) 2 HABILIDADE(s) 6, 7, 8 e 9 MT AULAS 25 E 26
120VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Considerando as planificações I, II e III. Quais delas podem ser do prisma? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e II. d) Apenas II e III. e) I, II e III. 6. (FGV - 2017) Cada aresta de um cubo é pintada de verde ou de amarelo. Após a pintura, em cada face desse cubo há pelo menos uma aresta pintada de verde. O número máximo de arestas desse cubo pintadas de amarelo é: a) 6. b) 9. c) 8. d) 10. e) 4. 7. (IFSP) A figura abaixo representa a planificação de um poliedro P: Avalie as afirmações I, II e III sobre o poliedro representado pela planificação: I. O número de arestas do poliedro P corresponde a uma vez e meia o número de vértices. II. O poliedro P tem, pelo menos, duas faces paralelas. III. O poliedro P pode ser classificado como pentágono. Contém uma afirmação verdadeira: a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 8. (Espcex (Aman)) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5 e a soma dessas medidas é igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em cm2 é. a) 752. b) 820. c) 1.024. d) 1.302. e) 1.504. 9. (Cefet - MG) A Organização Mundial da Saúde recomenda que, fazendo economia, um ser humano consuma 50 litros de água por dia. Uma família com quatro pessoas possui, em sua casa, uma caixa d’água na forma de um prisma reto com 1 metro quadrado de área da base cheia com 100 litros de água. A altura a ser completada de forma que a água da caixa seja o suficiente para abastecer a família por cinco dias, em metros, é de : a) 9,0 × 10-4. d) 9,0 × 10-1. b) 9,0 × 10-3. e) 9,0 × 10-0. c) 9,0 × 10-2. 10. (UEPG) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 1, 2 e 3 e sua área total é igual a 198 cm2 . Sobre esse paralelepípedo, assinale o que for correto. 01) Seu volume vale 162 cm3 . 02) As suas dimensões formam uma progressão aritmética. 04) A soma das medidas de todas as suas arestas é 72 cm. 08) Sua diagonal é maior que 11 cm. E.O. Fixação 1. (Udesc) Um bloco sólido de pedra com forma de paralelepípedo retângulo de 12 metros de altura, 10 metros de largura e 4 metros de profundidade é demarcado de forma a ser dividido em 30 paralelepípedos iguais e numerados, conforme mostra a figura. Se forem extraídos os paralelepípedos de número 7, 9, 12 e 20, então a nova área superficial do bloco será de: a) 480 m2 . d) 488 m2 . b) 104 m2 . e) 416 m2 . c) 376 m2 . 2. (Insper) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.
121VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm2 , é igual a: a) 72(3 + dXX3 ). b) 36(6 + dXX5 ). c) 108(2 + dXX5 ). d) 27(8 + dXX7 ). e) 54(4 + dXX7 ). 3. O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm. Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa. Considere 1,7 como aproximação para √ __ 3 . O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a a) 18. b) 26. c) 30. d) 35. e) 60. 4. (Upe) Para pintar completamente o cubo representado abaixo, são necessários 300 mililitros de tinta. Mantendo o mesmo rendimento de pintura, quantos litros seriam necessários para pintar completamente a peça representada abaixo, formada por 13 desses cubos, sabendo-se que não há cubos escondidos? a) 0,7 litro. b) 1,9 litros. c) 2,1 litros. d) 3,0 litros. e) 4,2 litros. 5. (IFSP) ABCDEFG é um cubo de aresta 4 cm. Unindo-se os pontos médios das arestas AD, ED, FG, CG e CD, obtém-se um polígono cujo perímetro, em centímetros, é igual a a) 6√ __ 2 . d) 15√ __ 2 . b) 9√ __ 2 . e) 18√ __ 2 . c) 12√ __ 2 . 6. (Esc. Naval) Qual é o menor ângulo formado por duas diagonais de um cubo de aresta L? a) arcsen __1 2 . d) arccos __1 3 . b) arccos __1 4 . e) arctg __1 4 . c) arcsen __1 3 . 7. (Esc. Naval) Num prisma hexagonal regular a área lateral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da base é a) ____ 2dXX5 3 d) ____ 2dXX3 5 b) ____ 3dXX3 2 e) ____ 5dXX2 3 c) ____ 5dXX3 2 E.O. Complementar 1. (ITA) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200° . O número de vértices deste prisma é igual a: a) 11. d) 20. b) 32. e) 22. c) 10. 2. (Uespi) Um paralelepípedo retângulo tem por base um quadrado com lado medindo 6 cm e tem altura 8 cm, conforme a ilustração a seguir. Qual a distância entre o vértice A e o plano passando pelos vértices B, C e D? a) ____ 21 dXXX 41 d) ____ 24 dXXX 41 b) ____ 22 dXXX 41 e) ____ 25 dXXX 41 c) ____ 23 dXXX 41
122VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativo 1. (UFG) Uma estrutura de arame foi construída a partir de dois cubos concêntricos de medidas diferentes e com faces paralelas, ligando cada vértice do cubo interno a um vértice do cubo externo, por segmentos de reta, como indica a figura a seguir. Considere que a aresta do cubo interno tem um terço do comprimento, ℓ, da aresta do cubo externo e que cada haste é formada por um único fio de arame esticado. Nessas condições, determine, em função de ℓ, o comprimento de arame necessário para a construção desta estrutura. 2. (PUC-RJ) Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com um volume de 10 m3 (conforme figura a seguir). O comprimento de um dos lados da base deve ser o dobro do comprimento do outro lado. O material para construir a base custa R$ 10,00 por metro quadrado, ao passo que o material para construir as laterais custa R$ 6,00 por metro quadrado. a) Se o lado p mede 2 metros, quanto vale n? b) Com os valores do item (a), calcule o custo de construção da caixa. c) Encontre o custo de construção da caixa em função de p. 3. (UFBA) Sendo θ o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo, determine _____ 1 sen2 θ . 4. (UFMG) Considere esta figura: Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem • ângulos retos nos vértices B e C; • ângulo de 45º no vértice A; • o lado AD apoiado sobre uma reta r; e • AB = 4dXX2, BC = 3dXX2e CD = dXX2 . Com base nessas informações, a) determine a distância h do ponto C à reta r; b) determine a distância H do ponto B à reta r; c) determine a função y = f(x), para 0 ≤ x ≤ H, tal que f(x) seja igual à área sombreada de uma figura como a ilustrada abaixo, que é a parte do quadrilátero ABCD compreendida entre a reta r e uma reta s, paralela à r, de modo que a distância entre r e s é igual a x. d) Considere, agora, um recipiente de comprimento 10, apoiado em um plano horizontal, cuja seção transversal é o quadrilátero ABCD, já mostrado nos itens anteriores desta questão: Suponha que esse recipiente está parcialmente cheio de água e que o nível dessa água é x. Com base nessas informações, I. Determine uma expressão para o volume V (x) da água contida no recipiente para 0 ≤ x ≤ H; II. Determine o nível x de água no recipiente para que o volume de água dentro dele seja igual à metade do volume total do mesmo recipiente. E.O. Enem 1. (Enem) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em __1 8 , preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é: a) ___ 1 8 . d) ___ 8 9 . b) ___ 7 8 . e) ___ 9 8 . c) ___ 8 7 . 2. (Enem) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm.
123VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo. O maior valor possível para x em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é a) 25. d) 45. b) 33. e) 49. c) 42. E.O. UERJ Exame Qualificação 1. (UERJ) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. Em relação ao prisma, considere: • cada um dos ângulos ^ A, ^ B, ^ Ce ^ D da base superior mede 120º; • as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$ 10,00 por m2 e que dXX3= 1,73. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: a) 0,50. b) 0,95. c) 1,50. d) 1,85. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a: a) (ad3 XX ) _____ 5 . d) adXX3 . b) (adXX3 ) _____ 3 . e) 2adXX3 . c) (adXX3 ) _____ 2 . 2. (Unifesp) Um cubo de aresta de comprimento a vai ser transformado num paralelepípedo reto retângulo de altura 25% menor, preservando-se, porém, o seu volume e o comprimento de uma de suas arestas. A diferença entre a área total (a soma das áreas das seis faces) do novo sólido e a área total do sólido original será: a) __1 6 a2 . d) __2 3 a2 . b) __1 3 a2 . e) __5 6 a2 . c) __1 2 a2 . 3. (Unesp) A figura mostra um paralelepípedo retorretângulo ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros. A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH vale: a) _____ dXX5 6 a. d) ____ dXX6 5 a. b) ____ dXX6 6 a. e) ______ dXXX 30 6 a. c) ____ dXX5 5 a.
124VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o ângulo BMH e por x a medida do segmento AM. a) Exprima cosθ em função de x. b) Para que valores de x o ângulo θ é obtuso? c) Mostre que, se x = 4, então θ mede menos do que 45º. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. A 3. B 4. D 5. D 6. B 7. B 8. E 9. D 10. 01 + 02 + 04 + 08 = 15 E.O. Fixação 1. A 2. E 3. A 4. C 5. C 6. D 7. B E.O. Complementar 1. E 2. D E.O. Dissertativo 1. 8ℓ ⋅ (2 + ___dXX3 3 ) u.c. 2. a) 1,25 m b) R$ 170,00 c) C(p) = 20p2 + ____ 180 p 3. 3 4. a) h = 1. b) H = 4. c) f(x) = 6x, se 0 ≤ x ≤ 1 –x2 + 8x – 1, se 1 < x ≤ 4 d) I. V(x) = 60x, se 0 ≤ x ≤ 1 150 – 10(– x2 –8x – 1), se 1 < x ≤ 4 II. x = 4 – ____ dXXX 30 2 . E.O. Enem 1. D 2. E E.O. UERJ Exame Qualificação 1. B E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. A 3. E E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) cos θ = x2 – x ____________________ dXXXXXXXXXXX x2 – 2x + 2 ⋅ d XXXXXX x2 + 1 b) S = {x ∈ R | 0 < x <1}. c) Para x = 4, cos u = √ __ ___2 2 , portanto u < 45º