CadernoEO-MatemáticaV3_2022

51VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Complementar 1. (UEL) A expressão cos [( ___ 3p 2 ) + x] é equivalente a: a) –sen x. d) cos x. b) –cos x. e) sen x. c) sen x · cos x. 2. (Mackenzie) I. sen 2 > sen 3. II. sen 1 > sen 30°. III. cos 2 > cos 3. Relativamente às desigualdades acima, é correto afirmar que: a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) somente I e II são verdadeiras. d) somente II e III são verdadeiras. e) somente I e III são verdadeiras. 3. (UFF) Para u = 89°, conclui-se que: a) tg u < sen u < cos u. b) cos u < sen u < tg u. c) sen u < cos u < tg u. d) cos u < tg u < sen u. e) sen u < tg u < cos u. 4. (ESPCEX) O valor numérico da expressão ___ sec 1320º 2 – 2 cos ( ____ 53p 3 ) + (tg 2220º)2 é: a) –1. d) 1. b) 0. e) – ___ dXX3 2 . c) __1 2 . 5. (INSPER) Considere o produto abaixo, cujos fatores são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas medidas, em graus, são números inteiros pertencentes ao intervalo [91, 269]. P = cos 91º · cos 92º · cos 93º · ... · cos 268º · cos 269º Nessas condições, é correto afirmar que: a) –1 < P < – __1 4 . d) 0 < P < __1 4 . b) – __1 4 < P < 0. e) __1 4 < P < 1. c) P = 0. E.O. Dissertativo 1. O radiano é uma unidade de medida de arco que corresponde ao arco cujo comprimento equivale ao raio da circunferência. Como vemos na figura a seguir, AB delimita um arco na circunferência. Se “esticarmos” o segmento de arco AB, o comprimento AB’ deve ser igual ao raio, se o arco for de 1 radiano. Sabendo disso, calcule quanto vale, aproximadamente, 1 radiano em graus. 2. Transforme em radianos e em graus as seguintes medidas: a) 30°. b) 45°. c) 120°. d) 180°. e) 300°. f) __ p 3 . g) ___ 5p 6 . h) ___ 3p 4 . i) ___ 5p 2 . j) ___ 4p 3 . 3. Aprendemos que para calcular o comprimento de um segmento de arco medido em graus em uma circunferência utilizamos L =_____ a 360º 2pR, pois 2pR corresponde ao comprimento total da circunferência e a fração _____ a 360º corresponde à quantas partes da circunferência a delimita. Se utilizarmos o ângulo θ em radianos, a fórmula fica: L = ___u 2p 2pR → L = uR Desta forma vemos que para calcular o comprimento de um arco na circunferência, basta multiplicar a medida do arco (em radianos) pelo raio. Sendo assim, calcule o comprimento de um arco de 120° contido numa circunferência de raio igual a 5 m. 4. Sabendo que a circunferência abaixo possui raio de 10 cm e que o comprimento do menor arco formado pelos pontos AB mede ____ 10p 3 cm, dê a medida do ângulo A ^ C B em graus. 5. Uma das medidas que utilizamos para a medida de arcos em uma circunferência é o grau (°). Suas subdivisões são o minuto (‘) e o segundo (‘’). Um grau corresponde à 60 minutos, e cada minuto à 60 segundos. Devemos tomar cuidado ao realizar operações

52VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias aritméticas ou algébricas utilizando medidas de arcos em graus, minutos e segundos simultaneamente. Por exemplo, se tivermos um arco de medida 20°15’ e quisermos transformá-lo em radianos, primeiramente, podemos transformar os 15’ em graus e somá-lo ao 20°: 15’ = ___ 15 60 = 0,25° Dividimos 15 minutos por 60, da mesma forma que transformamos as unidades de tempo. Portanto, 20°15’ = 20°+0,25° = 20,25°. Agora, fazemos: _______ 360º 20,25º =___ 2p x Da mesma forma, transforme em radianos os seguintes arcos: a) 60°30’. c) 50°15’. b) 120°45’. d) 20°6’. 6. Encontre a primeira determinação positiva dos arcos a seguir, o número de voltas e indique-os no círculo trigonométrico: a) 1110°. b) 780°. c) 1500°. d) –1590°. e) ____ 23p 6 . f) ____ 29π 3 . g) _____ – 14π 3 . h) _____ 103π 6 . 7. Escreva a expressão geral para os arcos côngruos (em radianos) das seguintes medidas de arco: a) 90°. b) 30°. c) 180°. d) 150°. 8. Em cada item, escreva em graus e em radianos os arcos que representam os pontos simétricos A, B e C. a) b) c) 9. Calcule o valor da soma cos2 0° + cos2 2° + cos2 4° + cos2 6° + ... + cos2 358° + cos2 360°. 10. Encontre o valor numérico de y = sen2 10° + sen2 20° + sen2 30° + sen2 40° + sen2 50° + sen2 60° + sen2 70° + sen2 80° + sen2 90°. E.O. Enem 1. (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a: a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. C 3. C 4. C 5. A 6. C 7. A 8. A 9. D E.O. Fixação 1. A 2. D 3. D 4. C 5. E 6. C 7. C 8. E 9. D 10. D E.O. Complementar 1. E 2. A 3. B 4. D 5. B

53VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativo 1. Fazendo p = 3, temos que 1 radiano é aproximadamente 60°. 2. a) __p6 . b) __p4 . c) ___ 2p3 . d) p. e) ___ 5p3 . f) 60°. g) 150°. h) 135°. i) 450°. j) 240°. 3. ____ 10p3 m. 4. A ^C B = 30°. 5. a) _____ 121p 360 . b) _____ 161p 240 . c) ____ 67p 240 . d) ____ 67p 600 . 6. a) 30°, 3 voltas. b) 60°, 2 voltas. c) 60°, 4 voltas. d) 210°, 4 voltas. e) ____ 11p6 , 1 volta. f) ___ 5p3 , 4 voltas. g) ___ 4p3 , 2 voltas. h) ___ 7p6 , 8 voltas. 7. a) __p2 + 2kp, k [ Z. b) __p6 + 2kp, k [ Z. c) p + 2kp, k [ Z. d) ___ 5p6 + 2kp, k [ Z. 8. a) A = 150°, ___ 5p6 rad, B = 210°,___ 7p 6 rad e C = 330°,____ 11p 6 rad. b) A = 60°, __p 3 rad, B = 240°, ___ 4p3 rad e C = 300°,___ 5p3 rad. c) A = 45°, __ p4 rad, B = 135°, ___ 3p4 rad e C = 225°,___ 5p4 rad. 9. 91. 10. 5. E.O. Enem 1. D.

54VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. Em um triângulo ABC, o lado AC mede 16 cm e a altura relativa ao lado BC mede 8 cm. A medida do ângulo ACB é: a) 60°. d) 30° ou 150°. b) 60° ou 120°. e) 45°. c) 30°. 2. (PUC-RJ) Se cos 2u = ___7 25 e u pertence ao primeiro quadrante, então cos u é igual a: a) __4 5 . b) __3 5 . c) (dXX5 ) ____ 3 . d) __5 7 . e) (dXX3 ) ____ 2 . 3. (CFT-CE) No intervalo [0, 2p], o número de soluções distintas da equação sen2 (x) = 1 + cos(x) __________ 2 é: a) 0. d) 3. b) 1. e) 4. c) 2. 4. (PUC-RS) Na equação tan(x) = cot(x) em R, onde 0 < x < __ p 2 o valor de x é: a) –1. b) 1. c) __ p 3 . d) __ p 4 . e) __ p 6 . 5. (UECE) Se p e q são duas soluções da equação 2sen2 x – 3sen x + 1 = 0 tais que sen p ≠ sen q, então o valor da expressão sen2 p – cos2 q é igual a: a) 0. b) 0,25. c) 0,50. d) 1. 6. (UCPEL) Sendo x ∈ [0, 2p] e 2sen2 x – 3cos x = 0, então x vale: a) __ p 3 . d) ___ 3p 4 . b) ___ 2p 3 . e) ___ 5p 6 . c) ___ 2p 5 . 7. (FGV) No intervalo [0, π], a equação 8sen2 x = 4senx – admite o seguinte número de raízes: a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. e) 1. 8. (Espcex (Aman) 2019) O número de raízes reais da equação 2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0 no intervalo ]0, 2p[ é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 9. (Acafe) Se x ∈ ]3p/2, 2p[ e sen x + cos x = 5-1,então o valor da expressão 75/11 (sec x + cossec x – sen x) é: a) 4/5 b) -3/5 c) 5/4 d) 11/60 10. (Unisinos 2017) As funções seno e cosseno de qualquer ângulo x satisfazem a seguinte identidade: sen2 x + cos2 x = 1. Se cos x = 0,5, quais são os possíveis valores do seno deste ângulo x? Lembre que sen2 x = (sen x)2. a) –dXX5/2 e dXX5/2 b) –dXX3/2 e dXX3/2 c) –1/2 e 1/2 d) –dXX2/2 e dXX2/2 e) –3/4 e 3/4 E.O. Fixação 1. (PUC-RJ) Os ângulos (em graus) θ entre 0° e 360° para os quais sen θ = cos θ são: a) 45° e 90°. b) 45° e 225°. c) 180° e 360°. d) 45°, 90° e 180°. e) 90°, 180° e 270°. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA COMPETÊNCIA(s) 2, 3, 4 e 6 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9, 14, 15 e 24 MT AULAS 21 E 22

55VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (Mackenzie) Se sen4 x = 1 + cos2 x, então x pode pertencer ao intervalo: a) [ __ p 4 ; ___ 3p 4 ]. b) [0; __ p 6 ]. c) [p; ___ 5p 4 ]. d) [ __ p 6 ; __ p 3 ]. e) [ ___ 5p 3 ; 2p]. 3. (Cesgranrio) O número de raízes reais da equação ( __ 3 2 ) + cosx = 0 é: a) 0. d) 3. b) 1. e) maior do que 3. c) 2. 4. (PUC-RS) Se 0 ≤ x < 2π, então o conjunto solução da equação sen(x) = dXXXXXXXXX 1 – cos2 x é: a) [0; __ p 2 ). b) [ __ p 2 ; p]. c) [p; ___ 3p 2 ]. d) [0; 2p). e) [0; p]. 5. (UECE) O número de soluções da equação 3 sen² x – 3  sen x  + cos² x = 0 que estão no intervalo [0, 2p] é: a) 2. c) 4. b) 8. d) 6. 6. (Cesgranrio) O número de soluções da equação sen2 x = 2 sen x, no intervalo [0,2π], é: a) 0. d) 3. b) 1. e) 4. c) 2. 7. (FGV) Resolvendo a equação log2 (sen x) = log4 (cos x) no intervalo 0º < x < 90º o valor de x é tal que: a) 45º < x < 60º. b) 30º < x < 45º. c) 0º < x < 30º. d) 75º < x < 90º. e) 60º < x < 75º. 8. (Acafe 2018) Analise as alternativas a seguir e assinale a correta. a) Sabendo que x R; x 2 ð ∈ < < ð p p e que sen(x) = 0,8, o valor de y = sec2 (x) + tg2 (x) é y = 41/9. b) Se sen(x) ∙ cos(x) = k, então, o valor de y para que y = sen4 (2x) - cos4 (2x) é y = 8k2 + 1. c) O maior valor possível para y, sabendo que y = 2 ∙ sen (2x) ∙ cos (2x) – 3 é y = 2. d) sen(p/2) < sen(2). 9. (Udesc 2017) A expressão 2 2 2 2 sec (x) 1 cossec (x) 1 tg (x) 1 cot g (x) 1 − + + + + é igual a: a) 1 – 2 cos2 (x) d) 1 b) 3 – 2 cos2 (x) e) 1 + 2 sen2 (x) c) 3 + 2 sen2 (x) 10. (Udesc 2018) A soma de todas as raízes reais da função 2 2 5 f(x) cot g (x) 2 4 sen (x) =− + pertencentes ao intervalo , 3 2 ð ð       p p é igual a: a) 4p b) 53p/6 c) 9p d) 35p/6 e) 73p/6 E.O. Complementar 1. (UECE) Usando a expressão clássica do desenvolvimento da potência (a + b)n onde a e b são números reais e n é um número natural, pode-se resolver facilmente a equação sen4 x – 4sen3 x + 6 sen2 x – 4senx + 1 = 0. Então, para os valores de x encontrados, teremos que cos x é igual a: a) 1. c) ___ dXX2 2 . b) ___ dXX3 2 . d) 0. 2. (UFPE) Sabendo-se que sen2 x – 3sen x · cos x + 2cos2 x = 0, temos que os possíveis valores para tg x são: a) 0 e –1. d) –1 e –2. b) 0 e 1. e) –2 e 0. c) 1 e 2. 3. (Mackenzie) Em [0, 2p], a soma das soluções reais da equação[2 – d1 – cos XXXXXXXXX 2 x ] · [0,5 – d1– sen XXXXXXXXX 2 x ] = 0 é: a) p. b) 2p. c) 3p. d) 4p. e) 5p. 4. (Mackenzie) Em [0, 2p], a soma das raízes da equação (dXXXXXXXXX 1 – cos2 x ) + sen x = 1 é: a) 3p. b) 2p. c) 4p. d) 0. e) p. 5. (Mackenzie) Em [0, 2p], o número de soluções reais da equação dXX3sen x + cos x = 2 é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. E.O. Dissertativo 1. (PUC-RJ) Quantas soluções de sen(x) + cos(x) = 0 existem para x entre 0 e 2p? 2. (UFSCar) Sendo sen a + cos a = __1 5 : a) determine sen a e cos a. b) represente no círculo trigonométrico todos os ângulos α que satisfazem a igualdade dada.

56VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (UFRJ) A equação x2 – 2x · cos u + sen2 u = 0 possui raízes reais iguais. Determine u, 0 ≤ u ≤ 2p. 4. (UFMG) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo (0, p) que satisfazem a equação 3 tg x + 2 cos x = 3 sec x. 5. (Ime 2018) Sabendo que |x| 6 ð ≤ p e que x satisfaz a equação abaixo 2 3 cos x(4 cos x sen x) 1 10 sen x 8 sen x cos x 2 − + = − Determine os possíveis valores de x. 6. (Uerj 2015) Considere a função real f, de variável real x, definida pelo seguinte determinante: 2cos(x) 2 f(x) para 0 x 1 2cos(x) = ≤ ≤pð Observe o gráfico da função f. Determine os valores de x para os quais f (x) = 1. 7. (Ime 2014) Resolva a equação (logcos xsen2 x) ∙ (log cos2x sen x) = 4 8. (Uftm 2011) Dado um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 20 cm, e o ângulo a formado por esses dois lados, tal que 4sena = 3cosa determine: a) O valor numérico de sena. b) O perímetro desse triângulo. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Seja x real tal que cos x = tg x. O valor de sen x é: a) ______ dXX3– 1 2 . c) ______ dXX5– 1 2 . b) ______ 1 – dXX3 2 . d) ______ 1 – dXX5 2 . 2. (Fuvest) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos2 a) x2 - (4 cos a sen b) x + (__3 2 ) sen b = 0,sendo a e b os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura a seguir. Pode-se então afirmar que as medidas de α e β são, respectivamente: a) __ π 8 e___ 3π 8 . b) __ π 6 e__ π 3 . c) __ π 4 e__ π 4 . d) __ π 3 e__ π 6 . e) ___ 3π 8 e __ π 8 . 3. (Fuvest) A soma das raízes da equação sen2 x – 2cos4 x = 0, que estão no intervalo [0,2p] é: a) 2p. b) 3p. c) 4p. d) 6p. e) 7p. 4. (Fuvest) Se a está no intervalo [0, __ p 2 ] e satisfaz sen4 a – cos4 a = __1 4 , então o valor da tangente de a é: a) dXX __3 5 . d) dXX __7 3 . b) dXX __5 3 . e) dXX __5 7 . c) dXX __3 7 . E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Determine as soluções da equação (2cos2 x + 3sen x) (cos2 x – sen2 x) = 0 que estão no intervalo [0,2 p]. 2. (Fuvest) Seja x no intervalo ]0, __π 2 [ satisfazendo a equação tg x + ( ___2 dXX5 ) sec x = __3 2 . Assim, calcule o valor de: a) sec x. b) sen (x + ( __ p 4 )). 3. (Unicamp 2020) Seja a função 2 senx f(x) , 2 cos x + = + definida para todo número real x. a) Mostre que f f f( )f . 22 4 ðð ð ð         +− =     p p p p b) Seja u um número real tal que f (u) = 2. Determine os possíveis valores para senu. 4. (Unicamp 2016) Considere o triângulo exibido na figura abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e ângulos a, b e g.

57VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias a) Suponha que a sequência a,b, g é uma progressão aritmética (PA). Determine a medida do ângulo b. b) Suponha que a sequência (a,b,c) é uma progressão geométrica (PG) de razão q 2. = Determine o valor de tan b. 5. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo. A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo u com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo a com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de a e o seno de u. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. A 3. D 4. D 5. B 6. A 7. B 8. D 9. C 10. B E.O. Fixação 1. B 2. A 3. A 4. E 5. D 6. D 7. A 8. A 9. E 10. B E.O. Complementar 1. D 2. C 3. D 4. E 5. A E.O. Dissertativo 1. 2 soluções entre 0 e 2p 2. a) sen a = ___ 4 5 e cos a = – ___3 5 ou sen a = – ___3 5 e cos a = ___ 4 5 . b) 3. u = __p 4 ou ___ 3p 4 ou ___ 5p 4 ou ___ 7p 4 . 4. V = { __ p 6 , ___ 5p 6 } . 5. De x , 6 ð ≤ p ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 6 6 x x 66 6 3 cos x 4cos x senx 1 10sen x 8senxcos x 2 2 3 4cos x senxcos x 10sen x 8senxcos x 6 8cos x 2senxcos x 10 1 cos x 8senxcos x 6 8cos x 2senxcos x 10 10cos x 8senxcos x 2cos x 6senxcos x 4 cos x 3senx ð ð ðð ð −≤≤ ≤ ⇒− ≤ ≤ − + = − ⋅− − = − − − =− − − − =− − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos x 2 1 sen x 3senxcos x 2 sen x 3senxcos x 1 sen x 3senxcos x sen x cos x 2sen x cos x 3senxcos x 0 2sen x 2senxcos x cos x senxcos x 0 2senx senx cos x cos x senx cos x 0 senx cos x 2senx cos x 0 = −+ = −+ = −+ = + +− = − +− = −− −= −⋅ − = p p p p p

58VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Da equação senx - cos x = 0, senx = cosx Note que senx ≠ 0 e cos x ≠ 0 . Daí, senx/cosx = 1 tgx = 1 Como x , 6 6 ð ð −≤≤ p p a equação tgx = 1 não admite solução. Da equação 2 senx – cosx = 0, 2 senx = cos x Note que senx ≠ 0 e cosx ≠ 0. Daí, senx/cosx = 1/2 tgx = 1/2 Como x , 6 6 ð ð −≤≤ p p a equação tgx = 1/2 admite a solução x = arctg (1/2) 6. Desenvolvendo o determinante, temos: 2 2 2 f(x) 4cos x 2 fazendo f(x) 1 1 4cos x 2 4cos x 3 3 5 cos x x ou x 26 6 ð ð = − = = − = =± ⇒ = = p p 2 2 2 f(x) 4cos x 2 fazendo f(x) 1 1 4cos x 2 4cos x 3 3 5 cos x x ou x 26 6 ð ð = − = = − = =± ⇒ = = 7.( ) ( 2 ) 2 cos x cos x log sen x log senx 4 ⋅ = senx 0 C.E. cos x 0 cos x 1  >   >  ≠  ( ) ( ) ( ) 2 2 cos x cos x cos x cos x 2 cos x cos x cos x 2 2 log sen x log senx 4 1 2 log senx log senx 4 2 log senx 4 log senx 2 ou log senx 2 1 senx cos x ou senx (não convém) cos x ⋅ = ⋅⋅ = = ⇒ = =− ⇒ = = Resolvendo o sistema 2 2 2 sen x cos x 1 senx cos x   + =   = Temos, 2 sen x senx 1 1 5 1 5 senx ou senx 2 2 + = − + − − = = Como senx > 0, temos: 1 5 senx 2 − + = Logo, a solução será dada por 5 1 S x R / x arcsen k 2 ,k Z . 2 ð     − = ∈ =   +⋅ ∈     p 8. a) Sabendo que 2 2 sen cos 1 aá á + = a e 4 cos sen , 3 aá á = a então: 2 2 2 4 25 sen sen 1 sen 1 3 9 3 sen . 5 áá á á   + =⇔ =     ⇒ = a a a a b) Seja ℓ a medida do lado oposto ao ângulo e sabendo que cos a = 4/3 sen a e sen a 3/5, então cos a = 4/5. Logo, pela Lei dos Cossenos, encontramos: 2 22 2 2 4 20 20 2 20 20 800 640 5 160 4 10 cm. = + −⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = − ⇔ = ⇒ = Portanto, o perímetro do triângulo é dado por: 20 20 4 10 4(10 10)cm. ++ = + E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. D 3. C 4. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. { __ p 4 , ___ 3p 4 , ___ 7p 6 , ___ 5p 4 , ___ 7p 4 , ____ 11p 6 }. 2. a) ___ dXX5 2 . b) _____ 3dXXX 10 10 . 3. a) Tem-se que 2 sen 2 3 f 2 2 2 cos 2 ð ð ð +     = =   + p p p e 2 sen 2 1 f . 2 2 2 cos 2 ð ð ð   + −        −= =     + −    p p p Daí, vem 3 1 f f 2. 2 2 22    ð ð    +− =+=    p p Por outro lado, temos 2 sen f( ) 2 2 cos ð ð ð + = = + p p p e 2 2 sen 2 4 2 f 1. 4 2 2 cos 2 4 2 ð ð ð + +     = = =   + + p p p Logo, segue que f( )f 2 1 2. 4 ð ð     = ⋅=   p p A identidade é verdadeira. b) Se f(θ) = 2,então 2 2 2 2 2 sen 2 2cos sen 2 2 cos 4cos sen 4sen 4 4(1 sen ) sen 4sen 4 sen (5sen 4) 0 4 sen 0 ou sen . 5 è è è è èèè è èè è è è è + =⇔ = − + ⇔ =−+ ⇔− = − + ⇔ −= ⇔= = u u u u u u u u u u u u u u Portanto, como os valores obtidos para sen θ produzem valores compatíveis para cos θ, segue o resultado.

59VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. a) Se (a, b, g) é uma PA, então a soma de seus termos será 180, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º. Assim, pode-se escrever: ( ) PA ( , , ) ( r, , r) r r3 S 180 180 3 60 2 áâã â ââ â â â â ⇒ =− + −+ + ⋅ = = ⇒ = ⇒= ° a b b b b b b b b g b) Se (a,b,c) é uma PG de raiz q 2, = então pode-se escrever: PG (a, b, c) (a, a 2, 2a) ⇒ = Pela lei dos cossenos, tem-se: ( ) ( ) 2 2 2 2 22 3 a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos 4 = + −⋅⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = bâ â â ( ) 2 2 22 3 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos 4 + −⋅⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = â bâ âb Pela relação fundamental: 22 2 9 77 2 sen cos 1 sen 1 sen sen 16 16 4 ââ â â â   + =⇒ + =⇒ = ⇒ =     b b b 2 9 77 2 1 sen 1 sen sen 16 16 4 â â â   =⇒ + =⇒ = ⇒ =     b b Por fim, calculando a tangente: 7 sen 4 7 4 7 tg tg cos 4 3 3 3 4 â â â â b = = = ⋅⇒ = b b b 5. Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T pertencente a L. Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo, RS 2 ST = ⋅ e, portanto, RT 3 ST. = ⋅ Do triângulo PRT, vem PT tg60 PT 3 3 ST RT °= ⇔ = ⋅ e PT 3 3 ST sen60 PR PR 3 2 PR 6 ST. ⋅ °= ⇔ = ⇔ =⋅ Do triângulo PST, obtemos PT 3 3 ST tg tg ST ST tg 3 3. á á á ⋅ =⇔= ⇔ = a a a Sabendo que cossec2 α = 1 + cotg2 α e que a é agudo, encontramos 2 2 1 27 cossec 1 sen 3 3 28 3 21 sen . 14 á á á   =+ ⇒ =     ⇔ = a a a Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem PR QR RS 2 2 ST sen sen 3 21 sen 14 21 sen . 7 áè è è ⋅ =⇔ = ⇔ = a u u u

60VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (UFJF) Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a ____ 12 13 . O cosseno desse ângulo é igual a: a) ___5 13. d) – ___1 13. b) ___ 1 13 . e) – ___ 12 13. c) – ___5 13. 2. (CFT-MG) Sabendo-se que cos a = __3 5 e 0 <a < __ p 2 , podese afirmar que tg α vale: a) __4 3 . c) __5 6 . b) 1. d) __3 4 . 3. (UFSJ) Considerando os valores de u, para os quais a expressão sen u cos u + cossec u sec u é definida, é CORRETO afirmar que ela está sempre igual a: a) 1. c) sen θ. b) 2. d) cos θ. 4. (UEL) Se a medida x de um arco é tal que __ p 2 < x < π, então: a) sen (x + p) > 0. b) cos (x + p) < 0. c) tg (x + p) > 0. d) cos (x + 2p) > 0. e) sen (x + 2p) > 0. 5. (IFCE) Se sen (x) = – __2 3 , cos (2x) sen (–x) é: a) __2 9. d) – ___2 27. b) ___ 2 27 . e) – ___ 9 27 . c) – __2 9 . 6. (UFES) Se x = 105°, então sen x é: a) 6dXX2– 2 _______ 8 . b) 6dXX3– 7 _______ 4 . c) _______ 7dXX3– 5 8 . d) (3 + dXX2 ) dXX3 __________ 8 . e) (1 + dXX3 ) dXX2 __________ 4 . 7. (PUC-RJ) Sabendo que p < x < ___ 3p 2 e sen (x) = – __1 3 , é correto afirmar que sen (2x) é: a) – __2 3 . d) ___1 27 . b) – __1 6 . e) ____ 4dXX2 9 . c) ___ dXX3 8 . 8. (PUC-RJ) Sendo x um arco e satisfazendo __ p 2 < x < p e sen (x) = ___ 24 25, o valor de cos ( __x 2 ) é: a) ___1 25. d) – __3 5 . b) – 1 __ 5 . e) __3 5 . c) __1 5 . 9. (UPE) Num triângulo retângulo, temos que tg x = 3. Se x é um dos ângulos agudos desse triângulo, qual o valor de cos x? a) __1 2 d) __1 4 b) ___ dXX5 10 e) ____ dXXX 10 10 c) ___ dXX2 2 10. (IFCE) O valor de cos(105º) é a) √ __ ___3 2 d) √ __ 2+ √ __ 6 _______ 2 b) √ __ 2+ √ __ 6 _______ 4 e) √ __ 2– √ __ 6 _______ 4 c) √ __ 2– √ __ 6 _______ 2 E.O. Fixação 1. (IFSC) Se cos (x) = ____ –12 13 , p < x < ___ 3p 2 e x [ (3º quadrante), então é CORRETO afirmar que o valor de tg (x) é: a) ___ –5 13 b) ___ –5 12 c) ___5 13 d) ___5 12 e) 0,334. TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COMPETÊNCIA(s) 2, 4 e 6 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9, 14, 15 e 24 MT AULAS 23 E 24

61VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (UNIOESTE) É correto afirmar que a expressão cos2 (x) – sen2 (x) + 3 tg (2x) ___________________________ 1 – (sen (x) – cos (x))2 é igual a: a) 3 tg (2x). b) cotg (2x) + 3 sec (2x). c) tg (2x) + 3 cossec (2x). d) tg (2x) + 3 sec (2x). e) cotg (2x) + 3 cossec (2x). 3. (FATEC) Se f é uma função real definida por f(x) = (2tgx) _________ (1 + tg2 x) , então f(x) é igual a: a) cosec 2x. d) cos 2x. b) sec 2x. e) sen 2x. c) tg 2x. 4. (FATEC) Se x – y = 60°, então o valor de (sen x + sen y)2 + (cos x + cos y) 2 é igual a: a) 0. d) 3. b) 1. e) 4. c) 2. 5. (UEG) Considerando-se que sen (5º) = ___2 25, tem-se que cos (50º) é: a) ___ dXX2 50 (dXXXX 621+ 2). b) ___ dXX2 50 (dXXXX 621– 2). c) ___ dXX2 50 (1 – dXXXX 621 ). d) ___ dXX2 50 (dXXXX 621– 1). 6. (FGV) Se cos x + sec (–x) = t, então, cos2 x + sec2 x é igual a: a) 1. d) t2 – 2. b) t2 + 2. e) t2 + 1. c) t2. 7. (CEFET-MG) A função f(x) = sec x · sen (2x) · sen2 ( x + __ p 2 ) · cos (p – x) tg2 x deve ser reescrita como produto de uma constante pelas funções seno e cosseno, calculadas no mesmo valor x, como f (x) = k · senm x · cosn x. O valor de m é: a) –2. b) –1. c) 1. d) 2. e) 3. 8. (UEL) Se cos(2x) = __1 3 , onde x [ (0, p) então o valor de y = [sen (3x) – sen (x)] ___________________ cos (2x) é: a) –1. d) (2dXX3 ) _____ 3 . b) (dXX3 ) ____ 3 . e) 1. c) ___3 dXX3 . 9. (Mackenzie) A expressão cos (a2 – 2b2 ) · cos (b2 ) – sen (a2 – 2b2 ) · sen (b2 ) é igual a: a) cos (a2 + b2 ). b) sen (b2 ). c) cos (a2 ). d) sen [(a + b) · (a – b)]. e) cos [(a + b) · (a – b)]. 10. (UEG) Sabendo-se que sen(x) = __1 2 e que x é um ângulo do 1º quadrante, o valor da expressão sen(4x) – cos(4x) é a) √ __ ______ 3– 1 2 b) __1 2 c) √ __ ______ 3+ 1 2 d) 2 E.O. Complementar 1. (ITA) Se cos 2x= __1 2 , então um possível valor de cotg x –1 _________________________ cossec (x – p) – sec (p – x) é: a) ___ dXX3 2 . d) dXX3 . b) 1. e) 2. c) dXX2 . 2. (UESPI) Seja f: R – {–1} → R uma função satisfazendo f ( _____ x + 1 x – 1 ) =__1 x, para todo x real e diferente de 1 e de 0. Qual o valor de f (tg2 a) para a real e a ≠ __ p 2 +kp, k inteiro? a) cos (2a). d) –sen (2a). b) sen (2a). e) tg a. c) –cos (2a). 3. (FGV) Uma esfera de raio r está apoiada sobre o chão plano em um dia iluminado pelo sol. Em determinado horário, a sombra projetada à direita do ponto onde a esfera toca o chão tinha comprimento de 10 m, como indica a figura. Nesse mesmo horário, a sombra projetada por uma vareta reta de 1 m, fincada perpendicularmente ao chão, tinha 2 m de comprimento. Assumindo o paralelismo dos raios solares, o raio da esfera, em metros, é igual a: a) 5√ __ 5– 10. b) 10√ __ 5– 20. c) 5√ __ 5– 5. d) 5√ __ 5– 2. e) 10√ __ 5– 10.

62VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 4. (G1 – IFAL) O valor da expressão sen 30º + tg 225º _______________ cos __π 2 – sen(-60º) é: a) 1. d) √ __ 3. b) __1 2 . e) – __1 2 . c) –√ __ 3. 5. (EEAR) O valor de cos 735º é: a) __1 4 . c) √ __ 2+ √ __ 6 _______ 4 . b) √ __ ___3 4 . d) √ __ 2+ √ __ 6 _______ 8 . E.O. Dissertativo 1. (UFV) Resolva os itens a seguir. a) Complete as lacunas a seguir: 1) cos é positivo no _______ e _______ quadrantes. 2) sen é negativo no _______ e _______ quadrantes. 3) tg é negativo no _______ e _______ quadrantes. 4) sec é positivo no _______ e _______ quadrantes. b) Sabendo-se que cos 30° = √ __ ___3 2 , calcule cos 15°. 2. (UFSC) Na figura a seguir determine a medida do segmento AB, em cm, sabendo que sen a = 0,6. 3. (UFG) Um time de futebol conseguiu um terreno para seu futuro centro de treinamento (CT). O terreno tem a forma de um triângulo retângulo e suas dimensões são apresentadas na figura a seguir. O projeto de construção do CT prevê um muro ligando os pontos A e C. Sabendo que o segmento AD é a bissetriz do ângulo com vértice em A, calcule a medida, em metros, do muro AC. 4. (UFRJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos os valores possíveis para sen 2x + cos 2x. 5. (UFJF-PISM 2) Seja ABC um triângulo cujas medidas dos ângulos internos formam uma progressão aritmética não constante e cujos lados AB e AC têm medidas √ __ 6 cm e 3 cm respectivamente. a) Prove que um dos ângulos internos desse triângulo mede 60º. b) Suponha que o ângulo A^ B C seja o que mede 60º. Determine a medida do ângulo A^ CB. c) Com as hipóteses do item anterior, determine o seno do ângulo B^ AC. 6. (UEMA) Considere as expressões trigonométricas abaixo: cos(a + b) = cosacosb – senasenb e sen(a + b) = sencosb + senbcosa. Para calcular o cos2a e o sen2a basta fazer a = b e, a partir das expressões trigonométricas, obtêm-se: cos2a = cos(a + a) = cos2 a – sen2 a e sen2a = sen(a + a) = 2senacosa. De modo semelhante ao cálculo acima, desenvolva o cos3a e o sen3a. 7. (UFC) Os números reais a, b e y são tais que a ≠ 0 e a cos y ≠ b sen y . Se tg = a seny + b cosy ______________ a cosy – b seny calcule o valor de tg (x – y) em função de a e b somente. 8. (UFSCAR) Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e raio R. Na figura, está representado o planeta Terra e uma nave espacial N. A fração visível da superfície da Terra por um astronauta na nave N é dada em função do ângulo θ, mostrado na figura, pela expressão: f(θ) = __1 – sen ______θ 2 a) Determine o ângulo θ, em graus, para o qual é visível da nave a quarta parte da superfície da Terra e a distância da nave à superfície da Terra neste caso. (Use a aproximação R = 6.400 km.) b) Se um astronauta numa nave, a uma distância d da Terra, avista a superfície da Terra com ângulo θ = 15o , determine a fração visível da superfície da Terra pelo astronauta. (Use as aproximações √ __ 2 = 1,4 e √ __ 6 = 2,4.) 9. (UFC) ABC é um triângulo retângulo em A, com catetos AB e AC de medidas respectivamente iguais a 3 cm e 4 cm. Com centros em B e em C, traçamos dois círculos b e g, de raios respectivamente 3 cm e 4 cm, e, em seguida, uma reta r que passa por A e intersecta b e g respectivamente nos pontos P e Q, com P, Q ≠ A. Calcule o maior valor possível do produto dos comprimentos dos segmentos PA e QA.

63VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa. Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, h1 , h2 e h3 , conclui-se que h1 + h2 é igual a: a) h3 dXX3 . b) h3 dXX2 . c) 2h3 . d) h3 . 2. (UERJ 2017) No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r. A medida θ do ângulo C^ AP pode ser determinada a par - tir da seguinte identidade trigonométrica: tg(a – b) = tga – tgb ______________ 1 + (tga)(tgb) . O valor da tangente de θ é igual a: a) 0,65. b) 0,60. c) 0,55. d) 0,50. 3. (UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema a seguir. A altura da torre, em metros, equivale a: a) 96. b) 98. c) 100. d) 102. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Alguns cálculos matemáticos ficam mais simples quando usamos identidades, tais como: a2 – b2 = (a + b)(a – b) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 ) Considerando essas identidades, calcule os valores numéricos racionais mais simples das expressões: a) (57,62)2 – (42,38)2 . b) cos6 15° + sen6 15°. 2. (UERJ) Considere o teorema e os dados a seguir. Se a, b e a + b são três ângulos diferentes de π/2 + kπ, k ∈ então tg(a + b) = tga + tgb ______________ 1 – (tga)(tgb) . a, b e c são três ângulos, sendo tgb = 2 e tg(a + b + c) = __4 5 . Calcule tg(a – b + c). 3. (UERJ) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ângulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente. Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, nas seguintes condições: a) sen A + sen B + sen C = (3 + √ __ 3 ) __________ 2 . b) ——AB = 2 ——BC. 4. (UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de área e seus lados ——AB e ——AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm. Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área. 5. (UERJ) Observe a figura abaixo: Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de lado, que foi dobrado na linha AM, em que M é o ponto médio do lado ——BC. Se, após a dobra, A, B, C, D e M são coplanares, determine: a) a distância entre o ponto B e o segmento ——CD. b) o valor de tgθ.

64VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) No quadrilátero ABCD onde os ângulos ^ A e^ C são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de sen ^ B é: a) ___ dXX5 5 . d) __2 5 . b) ____ 2 dXX5 5 . e) __1 2 . c) __4 5. 2. (Fuvest) Os números reais sen ___p 12, sen a, sen ___ 5p 12 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é: a) __1 4 . d) ___ dXX6 4 . b) ___ dXX3 6 . e) ___ dXX3 2 . c) ___ dXX2 4 . 3. (Fuvest) Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = __ p 2 . Sabendo-se que sen (y – x) = __1 3 , o valor de tg2 y – tg2 x é igual a: a) __3 2 . d) __1 4 . b) __5 4 . e) __1 8 . c) __1 2 . 4. (Fuvest) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12 cm e o cateto BC mede 6 cm. Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo M^ AC é igual a: a) ___ dXX2 7 . d) ____ 2dXX2 7 . b) ___ dXX3 7 . e) ____ 2dXX3 7 . c) __2 7 . 5. (Fuvest) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos A^ B C e A^ DC são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e ——BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo B ^ CD vale: a) √ __ ___3 5 . d) 2√ __ ____3 5 . b) __2 5 . e) __4 5 . c) __3 5 . 6. (Fuvest) Sabe-se que existem números reais A e x0 , sendo A > 0, tais que senx + 2 cosx = A cos(x – x0 ) para todo x real. O valor de A é igual a: a) √ __ 2 . d) 2√ __ 2. b) √ __ 3 . e) 2√ __ 3. c) √ __ 5. 7. (Fuvest) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente, Dados: √ __ 3 ≅ 1,73; sen2 (__θ 2 ) = ________ 1 – cosθ 2 . a) 7 m. d) 52 m. b) 26 m. e) 67 m. c) 40 m. 8. (Fuvest) A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em ——BC, ——BF mede √ __ ___5 4 , o ponto E está em ——CD e ——AF é bissetriz do ângulo B^ AE. Nessas condições, o segmento ——DE mede: a) 3√ __ ____5 40 . d) 11√ __ _____5 40 . b) 7√ __ ____5 40 . e) 13√ __ _____5 40 . c) 9√ __ ____5 40 . E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest)

65VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP1 tem comprimento 6 e o braço P1 P2 tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor do que P1 e a distância de O a P2 é 2d10XXX. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine: a) o seno e o cosseno do ângulo P2 ^ O Q entre a reta _____› OP 2 e o plano do chão. b) a medida do ângulo O^ P 1 P2 entre os braços do guindaste. c) o seno do ângulo P1 ^ O Q entre o braço OP1 e o plano do chão. 2. (Unesp) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo a, conforme a figura: x 36 m α a) Admitindo-se que sen(a) = __3 5 , calcule a distância x. b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo α passou exatamente para 2a, calcule a nova distância x' a que o barco se encontrará da base do farol. 3. (Unicamp) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura __3 4 a. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo u em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo. a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo θ. b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan (u) = __1 4 , com 0 < u < __ p 2 , calcule o valor numérico da expressão cos (2u) – sen (2u). 4. (Unifesp) Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo θ, conforme mostra a figura. a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo u. b) Calcule tg(u), dado que a distância de P a O vale 3 metros. 5. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central u. a) Para u = 60º, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular. b) Determine o valor de cos u no caso em que R = 4r. 6. (Unesp) Sabendo-se que cos(2x) = cos2 x – sen2 x, para quais valores de x a função f(x) = cosx + __1 2 · cos(2x) as - sume seu valor mínimo no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π? 7. (Fuvest) Sejam x e y dois números reais, com 0 < x < __π 2 e π/2 < y < π, satisfazendo seny = __4 5 e 11senx + 5cos(y – x) = 3. Nessas condições, determine: a) cosy. b) sen2x. 8. (Unicamp) De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de 2 m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60°, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75°. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6 m do nível da base da escarpa, responda às questões a seguir. a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa? b) Qual a altura da escarpa?

66VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9. (Fuvest) Na figura a seguir, as circunferências têm centros A e B. O raio da maior é __5 4 do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à circunferência menor no ponto Q. Calcule: a) cos A ^ BQ. b) cos A ^ BP. c) cos Q ^ BP. 10. (Fuvest) Determine os números reais x e y, com 0 ≤ x + y ≤ π e 0 ≤ y ≤ π, tais que. senx seny = – __1 4 cos(x + y) + cos(x – y) = __3 2 . Gabarito E.O. Aprendizagem 1. C 2. A 3. A 4. E 5. B 6. E 7. E 8. E 9. E 10. E E.O. Fixação 1. D 2. B 3. E 4. D 5. B 6. D 7. E 8. D 9. E 10. C E.O. Complementar 1. A 2. C 3. B 4. D 5. C E.O. Dissertativo 1. a) 1) 1º. e 4º . 2) 3º. e 4º. 3) 2º. e 4º. 4) 1º. e 4º. b) cos 15° = d XXXXX _____ dXX3 +2 4 . 2. 96 cm. 3. 780 m. 4. –1 e 1. 5. a) Sejam θ - r, θ e θ + r os ângulos internos do triângulo ABC. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer mede 180º, temos: θ – r + θ + θ + r = 180º ⇔ θ = 60º. b) A^ C B = 45º. c) sen B^ AC = √ __ 2+ √ __ 6 ________ 4 . 6. cos3a = cos3 a – 3sen2 acosa. sen3a = 3senacos2 a – sen3 a. 7. tg(x – y) = __b a. 8. a) θ = 30º e d = 6.400 km. b) __3 8 . 9. PA ∙ QA = 24. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. D 2. B 3. A E.O. UERJ Exame Discursivo 1. a) 1.524. b) ___ 13 16 . 2. –32. 3. A = 30º, B = 60º e C = 90º. 4. 20%. 5. a) 2. b) tgθ = __3 4 . E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. D 3. A 4. B 5. C 6. C 7. B 8. D E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) sen (P2 ^ OQ) = ____ dXXX 10 10 . cos (P2 ^ OQ) _____ 3dXXX 10 10 . b) O^ P 1 P2 = 90º. c) ___3 5 . 2. a) x = 48 m. b) x' = 10,5 m.

67VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. a) tg u = ___ 12 . b) ____ 7 17 . 4. a) Para provarmos que o ponto O se encontra sobre a bissetriz do ângulo u, devemos mostrar que os ângulos OPT e OPS são congruentes. De fato: Como PS e PT são segmentos tangentes à circunferência de centro O e raio 1, com origem no mesmo ponto (P), PS = PT. Por LLL, os triângulos retângulos OTP e OSP são congruentes. Logo, a = b = __u2 e, desse modo, OP é bissetriz do ângulo u. b) tg u = (4dXX2 ) ______ 7 . 5. a) pr2 ___________ pR2 · _____ 60º 360º = 6 · ( __rR )2 = __23 b) __79. 6. Para 0 ≤ x ≤ 2π, a função f(x) assume o valor mínimo para x = ____ 2π3 ou x = ___4π_ 3 . 7. a) cos y = – ___3 5 . b) sen2x = _____ 120 169 . 8. a) (3 + 2√ __3 ) m. b) (1,6 + √ __3 ) m. 9. a) __45. b) __25 . c) (8 + 3√ ___ 21 ) ___________ 25 . 10. x = –π/6 e y = π/6 ou. x = –5π/6 e y = 5π/6.

68VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. A soma das raízes da equação sen² x + sen (–x) = 0, no intervalo [0, 2p] é: a) ___ 7p 2 . d) 3p. b) ___ 9p 2 . e) ___ 3p 2 . c) ___ 5p 2 . 2. Todo x, com 0º ≤ x ≤ 360º, que satisfaz a equação 16sen2 x ______ 45sen x = ___1 64 , pertence ao intervalo: a) 0º ≤ x ≤ 72º. b) 72º ≤ x ≤ 144º. c) 144° ≤ x ≤ 216º. d) 216º ≤ x ≤ 288º. e) 288º ≤ x ≤ 360º. 3. (UFSM) A soma das raízes da equação cos2 x + cos x = 0, no intervalo 0 < x < 2p, é: a) p. d) ___ 7p 2 . b) 4p. e) ___ 5p 2 . c) 3p. 4. (FATEC) O conjunto solução da equação 2cos2 x + cos x – 1 = 0, no universo U = [0, 2p], é: a) { __ p 3 , p, ___ 5p 3 }. b) { __ p 6 , p, ___ 5p 6 }. c) { __ p 3 , __ p 6 , p}. d) { __ p 6 , __ p 3 , p, ___ 2p 3 , ___ 5p 3 }. e) { __ p 3 , ___ 2p 3 , p, ___ 4p 3 , ___ 5p 3 , 2p}. 5. (PUC-RS)A solução da equação cos [3x – ( __ p 4 )] = 0, quando 0 ≤ x ≤ __ p 2 , é: a) __ p 4 . b) – __ p 4 . c) ___ 7p 12 . d) __ p 2 . e) 0. 6. (UFRGS) No intervalo [0, p] a equação tan (x) – 1 = 0: a) não possui raízes. b) possui uma única raiz. c) possui apenas 2 raízes. d) possui exatamente 4 raízes. e) possui infinitas raízes. 7. (PUC-RS) O conjunto solução da equação sen(x) – cos(x) = 0 em [0; 2p] é: a) { }. b) {0}. c) {– __ p 4 , __ p 4 }. d) { __ p 4 , ___ 3p 4 }. e) { __ p 4 , ___ 5p 4 }. 8. (UFRGS) O número de soluções da equação 2cos x = sen x que pertencem ao intervalo [– ____ 16p 3 , ____ 16p 3 ] é: a) 8. d) 11. b) 9. e) 12. c) 10. 9. (FATEC) No intervalo ]0, p[ , os gráficos das funções definidas por y = sen x e y = sen 2x interceptam-se em um único ponto. A abscissa x desse ponto é tal que: a) 0 < x < __ p 4 . b) __ p 4 < x < __ p 2 . c) x = __ p 4 . d) __ p 2 < x < ___ 3p 4 . e) ___ 3p 4 < x < 2p. 10. (UNIRIO) O conjunto-solução da equação cos 2x = __1 2 , onde x é um arco da 1a volta positiva, é dado por: a) {60° , 300° }. b) {30° , 330° }. c) {30° , 150° }. d) {30° , 150° , 210° , 330° }. e) {15° , 165° , 195° , 345° }. 11. (FGV) No intervalo [0, 2p], a equação trigonométrica sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale: a) p. d) 4p. b) 2p. e) 5p. c) 3p. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COMPETÊNCIA(s) 2, 4 e 6 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9, 15 e 24 MT AULAS 25 E 26

69VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 12. (PUC-RS) Se x ∈ , então a equação cos(x) = cos(–x) apresenta o conjunto solução: a) . d) (–∞, 0]. b) [–1, 1]. e) {–1, 0, 1}. c) [0, +∞). E.O. Fixação 1. (UPF) Dentre as equações abaixo, assinale aquela que tem uma única solução em ]– p, p]. a) tg a = 1. b) sen a = 0. c) cos a = –1. d) tg a = 0. e) cos a = – 2. 2. (PUC-RJ) Assinale o valor de θ para o qual sen2u = tgu: a) __ p 2 . d) ___ 4p 3 . b) __ p 3 . e) ___ 3p 4 . c) ___ 2p 3 . 3. (UFU) Se os números reais x1 e x2 , tais que 0 ≤ x1 < x2 ≤ __ π 2 , são soluções da equação [ ________ 1 (sen x)2 ] + [ _______ 1 (cos x)2 ] = 16, então x2 – x1 é igual a: a) __ p 4 . c) __ p 6 . b) __ p 3 . d) ___ p 12. 4. (UFSJ) Sendo x um arco tal que 0 ≤ x < 2p e dXX3 · (tgx) = 2 · senx, é CORRETO afirmar que: a) a soma das soluções dessa equação é igual a p b) as extremidades de todos os arcos x que são solução dessa equação estão no terceiro quadrante. c) nesse intervalo, a equação tem dois arcos distintos como soluções. d) para qualquer solução dessa equação,tg x = sen x. 5. (UFSCAR) O conjunto solução da equação sen [( ___ 8p 9 ) + ( ___ 8p 27 ) + ( ___ 8p 81 ) ...] = cos x, com x ∈ [0,2π[, é: a) { ___ 2p 3 , ___ 4p 3 }. d) { __ p 6 , ____ 11p 6 }. b) { ___ 5p 6 , ___ 7p 6 }. e) { __ p 3 , ___ 5p 3 }. c) { ___ 3p 4 , ___ 5p 4 }. 6. (Esc. Naval) A soma dos quadrados das raízes da equação |senx| = 1 – 2sen2 x, quando 0 < x < 2p vale: a) ___ 49 36 p2 . d) ___ 14 9 p2 . b) ___ 49 9 p2 . e) ___ 49 6 p2 . c) __7 3 p2 . 7. (UECE) O número de soluções da equação |sen2x| = |cosx|, no intervalo [0,2p] é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 8. (FEI) Se cotg(x) + tg(x) = 3, então sen(2x) é igual a: a) 1/3. b) 3/2. c) 3. d) 2/3. e) Nenhuma anterior é correta. 9. (UEL) Se x ∈ [0,2p], o número de soluções da equação cos2x = sen ( __π 2 – x) é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 10. (CFT-MG) O conjunto formado pelas raízes da função f(x) = cos ( ___ 2x 3 ) · cos ( ___ 3x 2 ) que estão contidas no intervalo [0, p] é: a) { __ π 3 , p }. b) { ___ 3π 4 , p }. c) { ___ 3π 4 , ___ 4π 3 }. d) { __ π 3 , ___ 3π 4 , p }. 11. (PUC-RS) O conjunto solução da equação sen(x) = cos[x-(π/2)] em IR é: a) {-1, 0, 1}. b) [-1, 1]. c) {x ∈ IR ∈ x = (π/2) + k π, k ∈ Z}. d) {x ∈ IR ∈ x = k π, k ∈ Z}. e) IR. 12. (ESPCEX) A soma das soluções da equação cos(2x) – cos(x) = 0, com x ∈ [0, 2π), é igual a: a) ___ 5π 3 . b) 2π. c) ___ 7π 3 . d) π. e) ___ 8π 3 . 13. (FGV) Uma possível solução da equação sen2x ∙ sen3x = cos2x ∙ cos3x com 0º ≤ x < 90º, é a) 72º. b) 36º. c) 24º. d) 18º. e) 15º.

70VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Complementar 1. (UDESC) A soma de todos os valores dex ∈ [0, 2p] que satisfazem a equação cos2 (2x) – sen2 (x) = cos6 (x) é igual a: a) p. d) 3p. b) 2p. e) 4p. c) 5p. 2. (UFRGS) O conjunto das soluções da equação sen [( __ p 2 ) log x] = 0 é: a) {1, 10, 102 , 103 , 104 , ...}. b) {..., 10-3, 10-2, 10-1, 1, 10, 102 , 103 , 104 , ...}. c) {..., 10-6, 10-4, 10-2, 1, 102 , 104 , 106 , ...}. d) {..., -10-6, -10-4, -10-2, 1, 102 , 104 , 106 , ...}. e) {..., -103 , -102 , -10, 1, 10, 102 , 103 , 104 , ...}. 3. (UFRGS) Considere a equação cos x = cos (x + p). Se 0 ≤ x < 2p, esta equação: a) não tem solução. b) tem apenas 1 solução. c) tem somente soluções 0 e p. d) tem somente as soluções __ p 2 e ___ 3p 2 . e) tem infinitas soluções. 4. (ITA) A soma das raízes da equação (dXX3)tg x – (dXX3) sen 2x + cos 2x = 0, que pertencem ao intervalo [0, 2p], é: a) ____ 17p 4 . b) ____ 16p 3 . c) ____ 15p 4 . d) ____ 14p 3 . e) ____ 13p 4 . 5. (UFRGS) Considere as funções f e g definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. O número de raízes da equação f(x) = g(x) no intervalo [–2π, 2π] é a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. E.O. Dissertativo 1. Resolva as seguintes equações: a) sen(x) = 1. b) cos(x) = 1. c) sen(x) = __1 2 . d) cos(x) = __1 2 . e) tg(x) = dXX3 . 2. Resolva a equação para 0 ≤ x < 2p, 2sen (–x) cos (–x) = –cos (x). 3. (FGV) Resolva as seguintes equações trigonométricas: a) sen x = ___ dXX2 2 , onde 0 ≤ x ≤ 2π. b) sen x = cos 2x, onde 0 ≤ x ≤ 2π. 4. (UFV) Determine todos os pares (x,y) de números reais que satisfazem o sistema a seguir: sen2 x = sen2 2y cos2 x = sen2 y sendo 0 ≤ x ≤ p e 0 ≤ y ≤ p. 5. (Ufes) Determine todos os valores de u para os quais sen3 u cos u – sen u cos3 u =__1 4 . 6.(Ita)Obtenha todos os pares (x, y), com x, y [ [0, 2p], tais que sen (x + y) + sen (x – y) = __1 2 . sen x + cos y = 1. 7. (UFPE) Quantas soluções a equação trigonométrica sen x = dXXXXXXXXX 1 – cos2 xadmite, no intervalo [0, 80p)? 8. (UFPR) Considere o hexágono indicado na figura abaixo. a) Qual é a área do hexágono, quando a = 60º? b) Sabendo que a expressão que fornece a área em função do ângulo é A (a) = 2 sen ( d ___XX a 2 ) + sen(a) e que o ângulo a que fornece a área máxima é uma solução da equação trigonométrica cos ( __ a 2 ) + cos (a) = 0, resolva a equação e calcule a área máxima do hexágono. 9. (UFBA) Sendo x a medida de um arco, em radianos, determine as soluções da equação 4 cos2 ( __π 4 ) cosx ∙ sen( __π 2 – x) – cos(x + 7π) + sen( ____ 11π 2 ) = 0 que pertencem ao intervalo [−6, 8]. 10. (UFPE) Quantas soluções a equação trigonométrica sen2 x + cosx = 5/4 admite no intervalo [0,60 π]? Parte do gráfico da função sen2 x + cosx está esboçada abaixo.

71VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 11. (UFBA) Dadas as funções reais f(x) = { senx, 0 ≤ x < __π 2 1 + cosx, __π 2 ≤ x ≤ π}e g(x) = { f(x + __π 2 ), – __π 2 ≤ x < 0 1 + f(x + __π 2 ), 0 ≤ x ≤ __π' 2 } determine x, pertencente ao intervalo [0, __π 2 [ tal que [f(x)]2 + g(x) – __7 4 = 0. 12. (ITA) Considere a equação (3 – 2cos2 x)(1 + tg2__x 2 ) – 6tg __x 2 = 0. a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, π[. b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x. 13. (UFSCAR) O número de turistas de uma cidade pode ser modelado pela função f(x) = 2,1 + 1,6 sen (πx/6), onde x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x (em milhares). a) Determine quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas. b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal que x ∈ [1, 12], e determine a diferença entre o maior e o menor número de turistas da cidade em um ano. 14. (UNIRIO) Considere a função definida por f(x) = tg3 [x + (π/2)] – tg [(x + (π/2)], sendo, x ∈ ]0, π[. Determine os valores de x tais que f(x) = 0. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) A figura representa parte dos gráficos das funções f(x) = 1 + sen(2x) e g(x) = 1 + cos(x). Se x1 , x2 e x3 são, respectivamente, as abscissas dos pontos P, Q e R de intersecção dos gráficos das funções f(x) e g(x) no intervalo [0, π], a soma x1 + x2 + x3 é: a) ___ 2π 3 . b) ___ 4π 3 . c) ___ 3π 2 . d) ___ 5π 6 . e) ___ 7π 12. 2. (Unicamp 2018) Seja X um número real tal que sen x + cos x = 0,2. Logo, | sen x - cos x| é igual a a) 0,5. b) 0,8. c) 1,1. d) 1,4. 3. (Fuvest 2002) Se á está no intervalo [0, 2] π e satisfaz 4 4 1 sen cos , 4 α− α= então o valor da tangente de α é: a) 3 5 d) 7 3 b) 5 3 e) 5 7 c) 3 7 4. (Fuvest 2000) O dobro do seno de um ângulo α, 0 < α < π/2, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor de seu cosseno é: a) 2 3 b) 3 2 c) 2 2 d) 1 2 e) 3 3 E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Ache todas as soluções da equação sen3 x cos x - 3 sen x cos3 x = O no intervalo [0,2π). 2. (Unicamp) Considere a equação trigonométrica sen2 u – 2 cos2 u + ( __1 2 ) sen 2u = 0. a) Mostre que NÃO são soluções dessa equação os valores de u para os quais cos u = 0. b) Encontre todos os valores de cos u que são soluções da equação. 3. (Fuvest) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2p] que satisfazem a equação cos2 2x = __1 2 – sen2 x. 4. (Fuvest) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5 cos(2x) + 3 sen x = 4. Determine os valores de sen x e cos x.

72VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (Fuvest) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz __ p 2 < x < π e verifica a equação sen x + sen 2x + sen 3x = 0. Assim, a) determine x. b) calcule cos x + cos 2x + cos 3x. 6. (Unicamp 2017) Sabendo que k é um número real, considere a função f(x) = k senx + cosx, definida para todo número real a) Seja t um número real tal que f(t) = 0. Mostre que f(2t) = –1. b) Para k = 3 encontre todas as soluções da equação f(x)2 + f(–x)2 = 10 para 0 ≤ x ≤ 2π. 7. (Unifesp) Na procura de uma função y = f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma f(t) = A + B sen [(π/90) (t – 105)], com o argumento medido em radianos. a) Encontre os valores de A e B para que a função f satisfaça as condições dadas. b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio. 8. (Unesp) A temperatura, em graus Celsius (°C), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, das 0 hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela função: f(t) = cos___π 12 t – cos__π 6 t, 0 ≤ t ≤ 24, com t em horas. Determine: a) a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas e às 9 horas (use as aproximações √ __ 2= 1,4 e √ __ 3= 1,7) b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0 °C. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. A 2. B 3. C 4. A 5. A 6. B 7. E 8. C 9. B 10. D 11. E 12. A E.O. Fixação 1. C 2. E 3. B 4. C 5. B 6. B 7. D 8. D 9. D 10. D 11. E 12. B 13. D E.O. Complementar 1. C 2. C 3. D 4. B 5. B E.O. Dissertativo 1. a) S = {x [ R | x = __ p 2 + 2k p, com k [ Z}. b) S = {x [ R | x = 2kp, com k [ Z}. c) S = {x [ R | x = __ p 6 + 2kp ou x = ___ 5p 6 + 2kp, com k [ N}. d) S = {x [ R | x = __ p 3 + 2kp ou ___ 5p 3 + 2kp, com k [ N}. e) S = {x [ R | x = __ p 3 + kp, com k [ Z}. 2. S = { __ p 2 , ___ 3p 2 , __ p 6 , ___ 5p 6 } 3. a) { __ p 4 , ___ 3p 4 }. b) { __ p 6 , ___ 5p 6 , ___ 3p 2 }. 4. V = {( __ p 3 , __ p 6 ); ( ___ 2p 3 , __ p 6 ); (0, __ p 2 ); (p, __ p 2 ); ( __ p 3 , ___ 5p 6 ); ( ___ 2p 3 , ___ 5p 6 )} 5. θ = ___ 3p 8 + ___ kp 2 , k [ Z. 6. ( __ p 6 ; __ p 3 ), ( __ p 6 ; ___ 5p 3 ), ( ___ 5p 6 ; __ p 3 ) e ( ___ 5p 6 ; ___ 5p 3 ). 7. 80. 8. a) ___ dXX3 2 + 1. b) α = 120º. Área máxima do hexágono é igual a ____ 3dXX3 2 . 9. S = {– ____ 5π 3 , –π, ___π 3 ,___π 3 , π, ____ 5π 3 e ____ 7π 3 } 10. 60 soluções 11. x = ___π 6 12. a) S = { __π 6 , __π 2 , ___ 5π 6 } b) cotg __π 6 =√ __ 3 , cotg __π 2 = 0, cotg ___ 5π 6 = – √ __ 3 13. a) Julho e novembro. b) 3200 turistas. 14. __π 4 ou __π 2 ou ___3π 4 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. C 2. D 3. B 4. B

73VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. S = {0; __p3 ; __p2 ; ___ 2p3 ; p; ___ 4p3 ; ___ 3p2 ; ___ 5p3 }. 2. a) sen2 u – 2 · cos2 u + __12 · sen (2 · u) = 0 ⇒ ⇒ 1 – cos2 u – 2 · cos2 u + __12 · 2 · sen u · cos u = 0 ⇒ ⇒ 1 – 3 · cos2 u + sen u · cos u = 0. Os valores de u, para os quais cos u = 0, não são soluções da equação dada, pois, neste caso, a sentença resultante é 1 – 0 + 0 = 0, que é falsa. b) ± ___ dXX2 2 ou ± ___ dXX5 5 . 3. S = { __p6 , __p4 , ___ 3p4 , ___ 5p6 , ___ 7p6 , ___ 5p4 , ___ 7p4 , ____ 11p6 }. 4. sen x = – __15 e cos x = – 2√ __ ____6 5 . 5. a) ___ 2p3 . b) 0. 6. a) Se f(t) = 0, então k sen t + cos t = 0 ⇔ k = – _____ cos t sen t f(2t) = k sen 2t + cos 2t f(2t) = – _____ cos t sen t ·2 sen t cos t + cos2 t – sen2t f(2t) = –1 b) S = { __π4 ,___ 3π4 , ___ 5π4 , ___ 7π4 } 7. a) A = 12 e B = +–2,4. b) t = 15. 8. a) f(2) = 0,35 ºC; f(9) = –0,7 ºC. b) 0h, 8h, 16h e 24h.

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ANOTAÇÕES 74VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias

MATEMÁTICA MATEMÁTICA e suas tecnologias 3 GEOMETRIAS PLANA E ESPACIAL

76VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (IFSP) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, a medida de um ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de: a) 50°. d) 80°. b) 60°. e) 90°. c) 70°. 2. (UTF-PR) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é: a) 180º. d) 720º. b) 360º. e) 900º. c) 540º. 3. (PUC-RJ) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo mede: a) 90°. d) 105°. b) 65°. e) 80°. c) 45°. 4. (IFCE) A respeito das diagonais de um hexágono regular de lado medindo 1 cm, é CORRETO afirmar-se que: a) são nove, de três comprimentos diferentes, e as menores medem √ __ 3 cm. b) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as maiores medem √ __ 3 cm. c) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem √ __ 3 cm. d) são doze, de três comprimentos diferentes, e as maiores medem √ __ 3 cm. e) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem √ __ 3 cm. 5. (Eear) Ao somar o número de diagonais e o número de lados de um dodecágono obtém-se a) 66. b) 56. c) 44. d) 42. 6. (UFSCar) A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes. Figura 1 Figura 2 Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que: a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 15°. b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°. c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°. d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles. e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos. 7. (UFES) s a b g δ r Na figura acima, as retas r e s são paralelas. A soma α + β + γ + δ das medidas dos ângulos indicados na figura é: a) 180°. b) 270°. c) 360°. d) 480°. e) 540°. POLÍGONOS COMPETÊNCIA(s) 2 HABILIDADE(s) 7, 8 e 9 MT AULAS 17 E 18

77VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 8. (Mackenzie) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20º. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90. d) 135. b) 104. e) 152. c) 119. 9. (Uece) Se a partir de cada um dos vértices de um polígono convexo com n lados podemos traçar tantas diagonais quanto o total das diagonais de um hexágono convexo, então, o valor de n é a) 9. c) 11. b) 10. d) 12. 10. (USF) O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo é o: a) pentágono. b) hexágono. c) octógono. d) decágono. e) dodecágono. E.O. Fixação 1. (CFT-RJ) Manuela desenha os seis vértices de um hexágono regular (figura abaixo) e une alguns dos seis pontos com segmentos de reta para obter uma figura geométrica. Essa figura não é seguramente um: a) retângulo. b) trapézio. c) quadrado. d) triângulo equilátero. 2. (Cesgranrio) A B C D N M a No quadrilátero ABCD da figura anterior, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo α. A soma dos ângulos internos ^ A e ^ D desse quadrilátero corresponde a: a) __ α 4 . b) __ α 2 . c) α. d) 2α. e) 3α. 3. (UEG) Na figura a seguir, para quaisquer que sejam x e y, as medidas dos ângulos satisfazem a relação: x y a) y = 90° – x . b) y = 180° – x . c) y = 2x . d) y = 3x. 4. (ITA) Considere as afirmações sobre polígonos convexos: I. Existe apenas um polígono, cujo número de diagonais coincide com o número de lados. II. Não existe polígono, cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados. III. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar. a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. c) Apenas (I) é verdadeira. d) Apenas (III) é verdadeira. e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. 5. (IFSP) Ana estava participando de uma gincana na escola em que estuda e uma das questões que ela tinha de responder era “quanto vale a soma das medidas dos ângulos internos do polígono regular da figura?” Para responder a essa pergunta, ela lembrou que seu professor ensinou que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, e que todo polígono pode ser decomposto em um número mínimo de triângulos. Sendo assim, Ana respondeu corretamente à pergunta dizendo: a) 720º. b) 900º. c) 540º. d) 1.080º. e) 630º.

78VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (UECE) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é: a) 9. b) 11. c) 13. d) 15. 7. (FAAP) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é: 25centavos a) 60°. b) 45°. c) 36°. d) 83°. e) 51°. 8. (CFT-CE) Se a razão entre o número de diagonais d e de lados n, com n > 3, de um polígono, é um número inteiro positivo, então o número de lados do polígono: a) é sempre par. b) é sempre ímpar. c) é sempre múltiplo de 3. d) não existe. e) é sempre primo. 9. (CFTMG) Na figura a seguir, o pentágono regular está inscrito numa circunferência de centro O e as semirretas _____› PAe _____› PB são tangentes à circunferência nos pontos A e B respectivamente. A medida do ângulo A^ P B, em graus, é igual a a) 36. c) 108. b) 72. d) 154. 10. (FEI) A sequência a seguir representa o número de diagonais d de um polígono regular de n lados: n 3 4 5 6 7 ... 13 d 0 2 5 9 14 x O valor de x é: a) 44. d) 77. b) 60. e) 91. c) 65. E.O. Complementar 1. (Fatec) O lado de um octógono regular mede 8 cm. A área da superfície desse octógono, em centímetros quadrados, é igual a: a) 128 ⋅ (1 + √ __ 2 ). b) 64 ⋅ (1 + √ __ 2 ). c) 32 ⋅ (1 +√ __ 2 ). d) 64 + √ __ 2 . e) 128 + √ __ 2 . 2. (ITA) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 63. b) 65. c) 66. d) 70. e) 77. 3. (ESPM) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF é um triângulo isósceles, onde ——AF = ——AB. A medida do ângulo α é: a) 120°. b) 135°. c) 127,5°. d) 122,5°. e) 110,5°. 4. (UFSC) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. O perímetro do hexágono é: A 23 B C E D F 15 13 20 a) 92. d) 99. b) 95. e) 100. c) 96.

79VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (ITA) Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2 , então a razão A1 /A2 é igual a: a) √ __ __5 8 . d) 4 √ __ ________ 2+ 1 8 . b) 9 √ ___ ___2 16. e) 2 + √ __ ______2 4 . c) 2√ __ 2– 1. E.O. Dissertativo 1. (UFJF) Na figura a seguir, representa-se um hexágono regular ABCDEF em que cada lado mede 12 centímetros. Determine: a) O valor da medida do perímetro e da área do hexágono regular ABCDEF. b) O valor das medidas das diagonais —CF e ——CE deste hexágono regular c) A razão entre as medidas dos comprimentos dos círculos circunscrito e inscrito, ao hexágono regular ABCDEF. 2. Determine x: x x x 105º 105º 3. Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é 1080°? 4. (ITA) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n – 1 ângulos (internos) do polígono é 2004°, determine o número n de lados do polígono. 5. (CFT-CE) A medida do ângulo central de um polígono regular é 24°. De acordo com esta informação, determine as medidas: a) do ângulo interno. b) do ângulo externo. 6. (CFT-CE) Um polígono regular tem 4 lados a mais que outro, e o seu ângulo interno excede em 15° o ângulo interno do outro. Quais são esses polígonos? 7. O ângulo interno de um polígono regular é o triplo do ângulo externo. Qual é esse polígono? 8. O apótema de um triângulo equilátero mede 3 cm. Determine o lado do triângulo. 9. O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 8√ __ 3 cm. Determine o apótema do quadrado inscrito na mesma circunferência. 10. A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1440°. Determine a medida do ângulo central. E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) No toldo da barraca de seu Antônio, decorado com polígonos coloridos, destaca-se um dodecágono, cujos vértices são obtidos a partir de quadrados construídos em torno de um hexágono regular, conforme mostra o desenho a seguir. A H B G C I F L K D J E a) Demonstre que o dodecágono ABCDEFGHIJKL é um polígono regular. b) Tomando o quadrado de lado ——AB como unidade de área, calcule a área desse dodecágono. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unifesp) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. θ Nestas condições, o ângulo θ mede: a) 108°. d) 36°. b) 72°. e) 18°. c) 54°.

80VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 2. (Unifesp) A soma de n – 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900°. O ângulo remanescente mede: a) 120°. d) 80°. b) 105°. e) 60°. c) 95°. 3. (Unesp) O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por N(x) = x2 _________ – 3x 2 . Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é: a) 10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6. 4. (Fuvest) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é: A B E C D α a) 32°. d) 38°. b) 34°. e) 40°. c) 36°. 5. (Fuvest) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais ângulos internos medem 128° cada um. O número de lados do polígono é: a) 6. b) 7. c) 13. d) 16. e) 17. E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unicamp) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular, cujo lado mede 1,5 cm. Calcule: a) o comprimento de cada lado do triângulo. b) a razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 2. (Unesp) Um artesão foi contratado para ornamentar os vitrais de uma igreja em fase final de construção. Para realizar o serviço, ele precisa de pedaços triangulares de vidro, os quais serão cortados a partir de um vidro pentagonal, com ou sem defeito, que possui n bolhas de ar (n = 0, 1, 2…). Sabendo que não há 3 bolhas de ar alinhadas entre si, nem 2 delas alinhadas com algum vértice do pentágono, e nem 1 delas alinhada com dois vértices do pentágono, o artesão, para evitar bolhas de ar em seu projeto, cortou os pedaços de vidro triangulares com vértices coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos vértices do pentágono. vidro pentagonal bolha de ar Nessas condições, determine a lei de formação do número máximo de triângulos (T) possíveis de serem cortados pelo artesão, em função do número (n) de bolhas de ar contidas no vidro utilizado. Gabarito E.O. Aprendizagem 1. B 2. D 3. B 4. C 5. A 6. D 7. E 8. D 9. D 10. C E.O. Fixação 1. C 2. D 3. B 4. B 5. B 6. A 7. E 8. B 9. C 10. C E.O. Complementar 1. A 2. B 3. C 4. D 5. E E.O. Dissertativo 1. a) Perímetro: 72 cm Área: 216√ __ 3 cm2 b) ——CE = 12√ __ 3cm e ——CF = 24 cm c) 2√ __ ____3 3 2. x = 110° 3. Octógono 4. n = 14 5. a) 156° b) 24° 6. Octógono e dodecágono.

81VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. Octógono 8. 6√ __ 3 9. a = 4√ __ 6 10. 36° E.O. UERJ Exame Discursivo 1. a) P E F H G Na figura acima, sendo o ângulo F^ P G = a, temos: a + 90º + 120º + 90º = 360º ⇔ a = 60º Como os lados adjacentes ao ângulo a são os lados de quadrados congruentes, o triângulo FGP é isósceles de base FG. Consequentemente, os ângulos G^ F P e F^ G P são congruentes. Daí, o triângulo FGP é equilátero. Portanto, o dodecágono é equilátero. Os ângulos internos do dodecágono são dados por 90º + 60º = 150º, logo, concluímos que o mesmo é equiângulo e regular. b) ℓ2 (6 + 3√ __ 3 ) E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. D 2. D 3. E 4. C 5. B E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. a) 3 cm b) 3/2 2. Soma dos ângulos internos de um pentágono: 180º (5 – 2) = 540º. Ao redor de cada bolha temos 360° Seja T o número de triângulos e n o número de bolhas, temos a seguinte relação: T ⋅ 180º – n ⋅ 360º = 540º (:180º) T – 2n = 3 T = 2n + 3

82VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias E.O. Aprendizagem 1. (PUC-RJ) Um show de rock foi realizado em um terreno retangular de lados 120 m e 60 m. Sabendo que havia, em média, um banheiro por cada 100 metros quadrados, havia no show: a) 20 banheiros. b) 36 banheiros. c) 60 banheiros. d) 72 banheiros. e) 120 banheiros. 2. (UFRN) A figura a seguir representa uma área quadrada, no jardim de uma residência. Nessa área, as regiões sombreadas são formadas por quatro triângulos cujos lados menores medem 3 m e 4 m, onde será plantado grama. Na parte branca, será colocado um piso de cerâmica. O proprietário vai ao comércio comprar esses dois produtos e, perguntado sobre a quantidade de cada um, responde: a) 24 m2 de grama e 25 m2 de cerâmica. b) 24 m2 de grama e 24 m2 de cerâmica. c) 49 m2 de grama e 25 m2 de cerâmica. d) 49 m2 de grama e 24 m2 de cerâmica. 3. (IFSP) Uma praça retangular é contornada por uma calçada de 2 m de largura e possui uma parte interna retangular de dimensões 15 m por 20 m, conforme a figura. Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a: a) 148. d) 160. b) 152. e) 164. c) 156. 4. (PUC-MG) De uma placa quadrada de 16cm2 , foi recortada uma peça conforme indicado na figura. A medida da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é: a) 4. c) 6. b) 5. d) 7. 5. (INSPER) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale: a) S(2dXX2+1). d) 2S(dXX2+ 2). b) S(dXX2+ 2). e) 4S(dXX2+ 1). c) 2S(dXX2+ 1). 6. (IFSC) Considere os dois retângulos da figura abaixo. O retângulo ABCD tem 2 cm de largura e 9 cm de comprimento, e o retângulo EFGH tem 4 cm de largura e 12 cm de comprimento. ÁREAS DOS QUADRILÁTEROS E RAZÃO DE SEMELHANÇAS PARA ÁREAS COMPETÊNCIA(s) 2 e 3 HABILIDADE(s) 6, 7, 8, 9 e 14 MT AULAS 19 E 20

83VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias É CORRETO afirmar que a razão da área do retângulo ABCD para a do retângulo EFGH é: a) __3 4 . d) __3 8 . b) __8 3 . e) ___ 11 16 . c) __1 2 . 7. (Mackenzie) Um quadrado é dividido em quatro retângulos congruentes traçando-se três linhas paralelas a um dos lados, conforme a figura. Se a área de cada um desses quatro retângulos é 48 cm2 , então o perímetro, em centímetros, do quadrado original é: a) 64. b) 48dXX3 . c) 48dXX2 . d) 32dXX3 . e) 32dXX2 . 8. (CPS) Na figura, temos a representação de um terreno na forma do trapézio retângulo ABCD, e parte desse terreno é o quadrado DEFG onde será construída uma casa. Sabendo-se que AB = 20, BC = 25, AD = 15 e AE = 7, medidas na mesma unidade de comprimento, então a razão da área da casa para a área do terreno é: a) 1 para 25. b) 2 para 25. c) 3 para 23. d) 4 para 25. e) 1 para 5. 9. (UCS) O piso de uma sala de 210 m2 , em um Centro de Eventos, tem a forma de um trapézio, em que as bases medem 15 m e 20 m. Ao dividir-se a sala por meio do levantamento de uma parede, passando pelos pontos médios dos lados não paralelos do piso, obtêm-se duas novas salas. A área da sala, em m2 que conterá o lado maior do piso da sala inicial será igual a: a) 105,0. b) 107,5. c) 112,5. d) 92,5. e) 101,5. 10. (UEL) Um losango com lado 20 cm e um ângulo de 30° tem área de: a) 57 cm2 . d) 346 cm2 . b) 87 cm2 . e) 400 cm2 . c) 200 cm2 . TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO A pipa, também conhecida como papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique de fora. 11. (CPS) 32 Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: a) 576. d) 1 150. b) 704. e) 1 472. c) 832. 12. (IBMEC-RJ) O mosaico da figura adiante foi desenhado em papel quadriculado 1 × 1. A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a: a) __1 2 b) __1 3 c) __3 5 d) __5 7 e) __5 8

84VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 13. (CFTMG) Um triângulo equilátero ABC de lado 1 cm está dividido em quatro partes de bases paralelas e com a mesma altura, como representado na figura abaixo. A parte I tem a forma de um trapézio isósceles, cuja área, em cm2 , é: a) ___ dXX3 16. c) ____ 7dXX3 64 . b) ____ 5dXX3 32 . d) ____ 9dXX3 128 . 14. (UFSM) Para facilitar o estudo dos triângulos, uma menina foi orientada por sua professora a trabalhar com jogos educativos. O TANGRAM é um quebra-cabeça de origem chinesa. É formado por cinco triângulos retângulos isósceles T1 , T2 , T3 , T4 e T5 , um paralelogramo P e um quadrado Q que, juntos formam um quadrado, conforme a figura apresentada. Se a área de Q é 1, é correto afirmar: a) A área do quadrado maior é 4. b) A área de T1 é o dobro da área de T3 . c) A área de T4 é igual à área de T5 . d) A área de T5 é __1 4 da área do quadr ado maior. e) A área de P é igual à área de Q. 15. (PUC-MG) Sobre a placa retangular representada na figura, foram desenhados mais dois retângulos, conforme indicado. Se a medida da área do retângulo hachurado é 30 cm2 , a medida da área dessa placa, em centímetros quadrados, é: a) 120. c) 360. b) 240. d) 480. 16. (UFRGS) Na figura a seguir, AD e BC são perpendiculares a AB. Sabendo que a área do trapézio ABCD é igual ao dobro da área do triângulo OAD, temos que a razão OB/OA é igual a: a) dXX2 . b) dXX3 . c) (dXX2 ) – 1. d) (dXX3 ) – 1. e) (dXX3 ) – dXX2 . 17. (CFTPR) Um mapa está na escala 1 : 500.000. Se um quadrado deste mapa tem 4 cm2 de área, então a área real deste quadrado em km2 é: a) 10. d) 100. b) 20. e) 200. c) 50. 18. (UFJF-PISM 1) Marcos comprou a quantidade mínima de piso para colocar em toda a sua sala que tem o formato abaixo e pagou R$ 48,00 o metro quadrado. Quanto ele gastou comprando o piso para essa sala? a) R$ 288,00 b) R$ 672,00 c) R$ 1.152,00 d) R$ 1.440,00 e) R$ 2.304,00 19. (FGV) Um canteiro com formato retangular tem área igual a 40 m2 e sua diagonal mede √ ___ 89m. O perímetro desse retângulo é: a) 20 m b) 22 m c) 24 m d) 26 m e) 28 m

85VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 20. (IFAL) Para colocar o piso em um salão de formato retangular, cujas dimensões são 6 metros de largura e 8 metros de comprimento, gasta-se R$ 18,00 por cada metro quadrado. Qual o valor total do gasto para colocar o piso em todo o salão? a) R$ 486,00 b) R$ 648,00 c) R$ 684,00 d) R$ 846,00 e) R$ 864,00 E.O. Fixação 1. (ESPM) A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão contidos os quadrados A, B e C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm, fazendo com que os lados dos três quadrados se alterem. Dentro desse intervalo, o maior valor que a área do polígono P pode ter é igual a: a) 18 cm2 b) 15 cm2 c) 17 cm2 d) 19 cm2 e) 16 cm2 2. (UFMG) Observe esta figura: Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem como vértices os pontos médios dos lados do retângulo EFGH, que, por sua vez, está inscrito em uma circunferência. O segmento AC e o raio dessa circunferência medem, respectivamente, 12 cm e 7 cm. Assim sendo, é CORRETO afirmar que a área do quadrilátero ABCD, em cm2 , é: a) 6dXXX 13 . b) 8dXXX 13 . c) 12dXXX 13 . d) 4dXXX 13 . 3. (UFRGS) Na figura abaixo, os triângulos retângulos são congruentes e possuem catetos com medidas a e b: A área da região sombreada é: a) 2ab b) a2 + b2 c) a2 + 2ab + b2 d) a2 – 2ab + b2 e) a2 – b2 4. (CFTRJ) Em uma parede retangular de 12m de comprimento, coloca-se um portão quadrado, deixando-se 3m à esquerda e 6m à direita. A área da parede ao redor do portão é 39m2 (figura abaixo). Qual é a altura da parede? a) 3 m b) 3,9 m c) 4 m d) 5 m 5. (UFSJ) A seguinte figura é composta por polígonos regulares, cada um deles tendo todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes. A medida do lado de cada um desses polígonos é igual a b unidades de comprimento. Com relação a essa figura, é INCORRETO afirmar que: a) a área total ocupada pelo hexágono é __3 2 d XX3 b2 unidades de área. b) a área total da figura é (12 + 6dXX3)b2 unidades de área. c) a área total ocupada pelos triângulos é __3 2 d XX3 b2 unidades de área. d) a área total ocupada pelos quadrados é 12b2 unidades de área.

86VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (UPE) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um paralelogramo, como mostra a figura abaixo: Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede 4,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo? a) 12 cm2 b) 16 cm2 c) 24 cm2 d) 32 cm2 e) 36 cm2 7. (CFTMG) A área de um paralelogramo ABCD é 54 dm2 . Aumentando-se 6 unidades na sua altura e diminuindo-se 4 unidades na base, sua área aumenta de 6 dm2 . Dessa forma, a razão entre as medidas da base e da altura desse paralelogramo será: a) __3 2 b) __2 3 c) __1 2 d) __1 3 8. (IFPE) O Sr. Joaquim comprou um terreno em um loteamento numa praia do litoral sul de Pernambuco. O terreno tem a forma de um paralelogramo (figura abaixo) com a base medindo 20 metros e a altura medindo 15 metros. Os pontos M e N dividem a diagonal BD em três partes iguais. No triângulo CMN, ele vai cultivar flores. Qual é a área que o Sr. Joaquim destinou para esse cultivo, em m2 ? a) 37 b) 39 c) 45 d) 48 e) 50 9. (CFTMG) Se a área de um retângulo, cujos lados são denominados a e b, em que a > b, é igual a 120 m2 e seu perímetro é igual a 52 m, então, é correto afirmar que a) a – b = 0. b) a – b = 2. c) a – b = 14. d) a – b = 68. 10. (UFG) No trapézio ABCD a seguir, o segmento AB mede a, o segmento DC mede b, M é o ponto médio de AD e N é o ponto médio de BC. Nestas condições, a razão entre as áreas dos trapézios MNCD e ABNM é igual a: a) (a + 2b) _______ 3a + b b) (a + 3) _______ (2a + b) c) (a + 3b) _______ (3a + b) d) (a + 2b) _______ (2a + b) e) (3a + 2b) ________ (2a + 3b) 11. (UTFPR) A área de uma sala com a forma da figura a seguir é de: a) 30 m2 b) 26,5 m2 c) 28 m2 d) 24,5 m2 e) 22,5 m2 12. (CFTMG) Na figura, ABCD é um retângulo onde AB = a e AE = ( __1 4 )CD. Se a área do triângulo ADE é 16 cm2 , a área do trapézio BCDE, em cm2 , vale: a) 72 c) 112 b) 90 d) 256

87VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 13. (Mackenzie) Unindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular H1 , obtém-se um hexágono regular H2 . A razão entre as áreas de H1 e H2 é: a) __4 3 d) __3 2 b) __6 5 e) __5 3 c) __7 6 14. (CFTMG) Um fazendeiro de um determinado lugar está muito incomodado. Uma rodovia de 4 m de largura foi construída atravessando um dos seus pastos retangulares, dividindo-o em dois. Como resultado, ele perdeu um pouco de suas terras. Se todas as dimensões da figura estão em metros, a área do terreno que ele perdeu, em m2 , é: a) 120 c) 160 b) 150 d) 200 15. (UFPE) Qual a área do triângulo hachurado na figura, sabendo-se que o lado do quadrado ABCD vale 2cm? a) __1 2 cm2 b) [( __1 3 ) + ( __1 2 )] cm2 c) __1 2 cm2 d) __1 6 cm2 e) ___1 16 cm2 16. (UFSCAR) A figura mostra um círculo de centro O e raio R = 18 cm. O segmento AB é o lado de um hexágono regular inscrito e ACE, um triângulo equilátero inscrito. Nessas condições, a área do paralelogramo EFBG é: a) 216 dXX3 cm2 b) 180 dXX3 cm2 c) 116 dXX3 cm2 d) 120 dXX3 cm2 e) 108 dXX3 cm2 17. (UFRN) Miguel pintará um painel retangular com motivos geométricos. As duas regiões destacadas, a região 1 (FGKM), contida no quadrado FGLM, e a região 2 (HILK), contida no paralelogramo HILM, conforme figura a seguir, serão pintadas de vermelho. Sabe-se que a tinta utilizada para pintar uma região qualquer depende proporcionalmente de sua área. Se Miguel gastasse na pintura da região 1, __3 7 da tinta vermelha de que dispõe, poderíamos afirmar que: a) o restante de tinta vermelha daria , exatamente, para a pintura da região 2. b) o restante de tinta vermelha seria insuficiente para a pintura da região 2. c) a região 2 seria pintada e ainda sobrariam __3 7 de tinta vermelha. d) a região 2 seria pintada e ainda sobraria __1 7 de tinta vermelha. 18. (UFRN) Na figura a seguir, r, s, t e u são retas PARALELAS e EQUIDISTANTES. Os segmentos EF, GH, IJ e KL são congruentes. Se S(Ri) representa a área da região Ri, i = 1,2,3, então: a) S(R1 ) = S(R2 ) < S(R3 ) b) S(R1 ) = S(R2 ) = S(R3 ) c) S(R2 ) > S(R3 ) > S(R1 ) d) S(R1 ) < S(R2 ) < S(R3 ) 19. (G1 - ifsc) Na figura a seguir, o lado do quadrado ABCD mede a = 6 cm; o lado do quadrado CEFG mede b = 2 cm e a altura do triângulo BCH mede h = 4 cm.

88VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Assinale a alternativa CORRETA. Com base nesses dados, calcule a área da parte acinzentada da figura. a) 52 cm2 b) 40 cm2 c) 44 cm2 d) 48 cm2 e) 50 cm2 20. (Upe-ssa 1) Em torno de um canteiro retangular de 12 m de comprimento por 8 m de largura, pretende-se construir uma calçada. Qual deve ser a largura máxima dessa calçada, se o material disponível só é suficiente para cimentar uma área de 69 m2 ? a) 1,0 m b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,5 m e) 3,0 m E.O. Complementar 1. (FGV) Três irmãos receberam de herança um terreno plano com a forma de quadrilátero convexo de vértices A, B, C e D, em sentido horário. Ligando os vértices B e D por um segmento de reta, o terreno fica dividido em duas partes cujas áreas estão na razão 2:1, com a parte maior demarcada por meio do triângulo ABD. Para dividir o terreno em áreas iguais entre os três irmãos, uma estratégia que funciona, independentemente das medidas dos ângulos internos do polígono ABCD, é fazer os traçados de BD e DM, sendo a) M o ponto médio de AB. b) M o ponto que divide AB na razão 2:1. c) M a projeção ortogonal de D sobre AB. d) DM a bissetriz de A ^ DB. e) DM a mediatriz de AB. 2. (Epcar (Cpcar)) A figura abaixo representa um octógono regular tal que CH = 6 cm. A área desse polígono, em cm2 , é igual a: a) 56 (dXX2– 1) b) 64 (dXX2– 1) c) 72 (dXX2– 1) d) 80 (dXX2– 1) 3. (IFCE) Em um trapézio, a área é numericamente igual à altura. Sobre isso, é correto afirmar-se que: a) a soma das bases é igual a 1. b) a base maior é igual a 1. c) a base menor é menor do que 1. d) a base maior é menor do que 1. e) a altura é igual a 1. 4. (IFCE) Na figura abaixo, podemos visualizar o gráfico da função y = ax + b , com a, b, ∈ R, a ≠ 0 e b ≠ 0. A função g: (1, `+) → R associa, a cada x [ R, x > 1 a área g(x) da região sombreada na figura, delimitada pelo eixo das abscissas, pelo gráfico de y = ax + b e pelas retas verticais X = 1 e X = x. Se g(x) = x2 + 3x – 4, a e b são, respectivamente, a) 1 e 2. d) 2 e 3. b) 2 e 1. e) 1 e 3. c) 3 e 2. 5. (UFPR) A soma das áreas dos três quadrados da figura é igual a 83 cm2 . Qual é a área do quadrado maior? a) 36 cm2 b) 20 cm2 c) 49 cm2 d) 42 cm2 e) 64 cm2 6. (CFTMG) UVWX é um paralelogramo com área de 24 cm2 . M e N são os pontos médios de UX e VW, respectivamente. Os pontos X, N, P e Q, M, W estão alinhados. A área do triângulo QOP, em cm2 , é a) 27 c) 32 b) 30 d) 36

89VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 7. (UFPE) O paralelogramo ABCD está dividido em quatro paralelogramos, como ilustrado na figura a seguir. As áreas de EBFI, IFCG e HIGD são dadas por 15x, 10x2 e 14x para algum real positivo x, respectivamente. Qual a área de AEIH? a) 15 b) 21 c) 24 d) 25 e) 28 8. (Epcar (Afa)) Considere, no triângulo ABC abaixo, os pontos P ∈ ——AB, Q ∈ ——BC, R ∈ ——AC e os segmentos ——PQ e ——QR paralelos, respectivamente, a ——AC e ——AB. Sabendo que ——BQ = 3 cm, ——QC = 1 cm e que a área do triângulo ABC é 8 cm2 , então a área do paralelogramo hachurado, em cm2 é igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 9. (FGV-RJ) A área de um trapézio mede 1.800 cm2 . A altura desse trapézio mede 50 cm. Considere o problema de determinar as medidas das bases desse trapézio, sabendo que essas medidas, em centímetros, são números inteiros divisíveis por 8. O número de soluções desse problema é: a) 3. d) 4. b) 2. e) 5. c) 1. 10. (CFTMG) Na figura a seguir ATD é uma semicircunferência inscrita no trapézio ABCD e A, T e D são pontos de tangência. Se os lados paralelos desse trapézio medem 4 cm e 9 cm, então sua área, em cm2 , é igual a a) 22. b) 45. c) 78. d) 90. E.O. Dissertativo 1. Calcule a área do losango que tem diagonal maior igual a 8m e diagonal menor igual a 70 dm. 2. (FAAP) As bases de um trapézio são 80 cm e 60 cm e sua altura 40 cm. A 10 cm da base maior, traça-se uma paralela às bases, que determina dois trapézios. Qual é a área de cada um? 3. (GCP)Na figura abaixo, as bases do trapézio isósceles ABCD medem 10 cm e 30 cm e a medida do ângulo BÂD é 60º. Além disso, AE = EB a) Determine a altura do trapézio ABCD. b) Utilizando o Teorema de Pitágoras, encontre a medida DE. c) Calcule a medida da área do triângulo DCE. 4. (UFTM) O trapézio retângulo ABCD representa um terreno, com área de 800 m2 , situado em certo condomínio. Uma das cláusulas que regulamentam as construções nesse condomínio exige que a área construída, indicada pelo trapézio AECD na figura, ocupe no mínimo 50% e no máximo 70% da área do terreno. Desse modo, determine: a) o intervalo de todos os possíveis valores que x pode assumir para atender à cláusula especificada. b) o valor de x, se a área não construída ocupar __2 5 da área total do terreno.

90VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 5. (UFG) Um agricultor pretende dividir um terreno em duas partes que possuam a mesma área. A figura a seguir representa o terreno e a divisão deve ser feita ao longo da linha vertical tracejada. Considerando-se o exposto, determine o valor de x, com precisão de uma casa decimal. Dado: d34XXX= 5,83. 6. (UFJF) Em um trapézio ABCD, com lados AB e CD paralelos, sejam M o ponto médio do segmento CD e S1 a área do triângulo BMC. a) Considere P o ponto de interseção do segmento AM com BD. Sabendo que a área do triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, deduza a relação existente entre a altura H do triângulo BMC relativa à base MC e altura h do triângulo DPM relativa à base MD. b) Sabendo que CD = 2 e AB = 6, calcule a área do trapézio em função da altura H do triângulo BMC. 7. (UFPE) A figura a seguir possui x unidades de área. Determine o inteiro mais próximo de x. 8. (UFRJ) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado L. Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma B das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifique sua resposta. 9. (UFMG) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem área igual a 126. Os pontos P e Q dividem o segmento AB em três partes iguais, assim como os pontos M e N dividem o segmento BC em três partes iguais. Com base nessas informações, a) Determine a área do triângulo QBN. b) Determine a área do triângulo sombreado PQM. 10. (UFG) A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua aparência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pitagórica abaixo foi construída a partir de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB = 3, AC = 4 e CB = 5, e de quadrados construídos sobre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos ^ C, ^ Fe ^ I são congruentes, seguindo um processo iterativo que pode se estender infinitamente. Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica. 11. (UFPR) Um canteiro de flores possui 25 m2 de área e tem o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos, conforme indica a figura a seguir.

91VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Qual é a área do trapézio hachurado indicado na figura? 12. (UFRRJ) Esboce graficamente as retas y = x – 1, y = x – 3, y = – x + 1 e y = 1 e determine a área da região delimitada por estas retas. 13. (CFTRJ) Um trapézio propriamente dito é um quadrilátero em que há um par de lados paralelos chamados bases cujas medidas são denotadas usualmente por b e B, e outros dois lados que não são as bases e não são paralelos entre si. Chama-se altura do trapézio propriamente dito a distância entre suas bases e usa-se a notação h para sua medida. Desse modo, a área A de um trapézio propriamente dito é dada pela expressão A = (B + b) _______ 2 × h A figura a seguir mostra um trapézio propriamente dito com bases medindo 17 e 34, com os comprimentos dos lados medidos em centímetros. Qual será a área desse trapézio, em centímetros quadrados? 14. (CFTRJ) Na figura abaixo: • Os pontos B, F e E são colineares; • Os pontos A, D e E são colineares; • ABCD é um quadrilátero equiângulo; • O segmento ——EB é bissetriz do ângulo C^ E A; • O ângulo A ^ B E mede 60º e o segmento ——BC mede 18 cm. Com essas informações, calcule a medida da área, em cm2 do triângulo BCE. 15. (FGV) A figura a seguir representa a tela de um quadro pós-moderno, um quadrado cujos lados medem 2 metros. Deseja-se pintar o quadro nas cores cinza e preta, como descrito na figura. a) Qual a área que deverá ser pintada em preto? Expresse a resposta em metros quadrados. Qual é a proporção de cor preta para cor cinza? b) Se a pintura na cor preta custa R$ 100,00 o metro quadrado, e a pintura na cor cinza, R$ 200,00 o metro quadrado, qual será o custo total de pintura do quadro? c) Se as cores forem invertidas (sendo a área cinza pintada de preto e a área preta pintada de cinza), qual será a variação percentual do custo total de pintura do quadro, com relação ao custo total obtido no item B? 16. (PUC-RJ) Na figura abaixo, temos que: ——AB = ——AF = 6 cm ——BC = 3 cm CD = ——EF = 2 cm a) Calcule o valor de ——DE. b) Calcule a área do polígono ABCDEF.

92VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 17. (PUC-RJ) Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC medindo 15 m e o lado AE medindo 6 m, A distância entre A e B é 7 m. Fabio quer construir uma cerca do ponto A ao ponto D passando por B. Veja a figura abaixo. a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100 reais o metro e a cerca entre os pontos B e D custa 200 reais o metro, qual o custo total da cerca? b) Calcule a área da região hachurada ABDE. c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figura abaixo. Sabendo-se que o triângulo BB’D’ possui cateto BB' = 2BC, calcule a área do triângulo BB’D’. 18. (UEL) João é dono de um food truck, uma espécie de lanchonete estruturada em uma carroceria de um veículo móvel (caminhão) e utilizada para preparar e vender lanches. Ele quer enfeitar uma das faces da carroceria de seu caminhão, cujo formato é retangular, contornando-a com fita de led. Considerando que João precisa de exatamente 700 cm de fita de led e que a área retangular limitada pela fita de led deve ser igual a 30.000 cm2 , determine as dimensões desse retângulo. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão. 19. (PUC-RJ) De uma folha de papelão de lados de medidas 23 e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. c) Determine o volume da caixa formada. E.O. Enem 1. (Enem) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 55 m por 45 m Terreno 2: 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno 4: 70 m por 20 m Terreno 5: 95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. 2. (Enem) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada. A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a: a) __N 9 d) 3N b) __N 6 e) 9N c) __N 3 3. (Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

93VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) 2xy b) 15 – 3x c) 15 – 5y d) –5y – 3x e) 5y + 3x – xy 4. (Enem) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem __1 4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2 , e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2 . De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00 5. (Enem) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm × 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm × 100 cm). O valor da segunda encomenda será a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. 6. (Enem) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012. Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4%. b) 20%. c) 36%. d) 64%. e) 96%. 7. (Enem) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3 /s. O cálculo da vazão, Q em m3 /s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m2 , pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes. Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? a) 90 m3 /s. d) 1.512 m3 /s. b) 750 m3 /s. e) 2.009 m3 /s. c) 1.050 m3 /s.

94VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 8. (Enem) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = ___ BC 2 , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = ___ AB 5 é lado do quadrado. Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. c) triplicasse a área do quadrado. d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%. 9. (Enem) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3. Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a a) 4 cm2 . b) 8 cm2 . c) 12 cm2 . d) 14 cm2 . e) 16 cm2 . 10. (Enem) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio). Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. (UERJ) Unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo ABC, obtém-se um novo triângulo A’B’C’, como mostra a figura. Se S e S’ são, respectivamente, as áreas de ABC e A’B’C’, a razão S/S’ equivale a: a) 4 c) dXX3 b) 2 d) __3 2 2. (UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm × 14 cm, é dobrada como indicado na figura 2.

95VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm2 , é igual a: a) 112 c) 64 b) 88 d) 24 3. (UERJ) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo. 1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente: 2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN: 3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2 , é igual a: a) 25 (4 – √ __ 3 ) b) 25 (6 – √ __ 3 ) c) 50 (2 – √ __ 3 ) d) 50 (3 – √ __ 3 ) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO – Uma área agrícola, próxima a um lago, precisa ser adubada antes do início do plantio de hortaliças. – O esquema (figura 1) indica as medidas do terreno a ser plantado. Os dois lados paralelos distam 10 km e os três ângulos obtusos indicados são congruentes. – Para corrigir a elevada acidez do solo, o produto recomendado foi o calcário (CaCO3 ), na dosagem de 5 g/m2 de solo. – Para a adubação do terreno, emprega-se um pulverizador com 40 m de comprimento, abastecido por um reservatório de volume igual a 2,16 m3 , que libera o adubo à vazão constante de 1.200 cm3 /s. Esse conjunto, rebocado por um trator que se desloca à velocidade constante de 1 m/s, está representado na figura 2. – A partir do início da adubação, a qualidade da água do lago passou a ser avaliada com regularidade. 4. (UERJ) A área do terreno a ser plantada é, em km2 , igual a: a) 160 c) 170 b) 165 d) 175 E.O. UERJ Exame Discursivo 1. (UERJ) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema: As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20 m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. 2. (UERJ) No triângulo ABC a seguir, os lados BC, AC e AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonalmente no ponto G. Conhecidos a e b, determine: a) o valor de c em função de a e b; b) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG.

96VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 3. (UERJ) Uma piscina, cujas dimensões são 4 metros de largura por 8 metros de comprimento, está localizada no centro de um terreno ABCD, retangular, conforme indica a figura a seguir. Calcule a razão entre a área ocupada pela piscina e a área ABCD. 4. (UERJ) Um atleta está treinando em uma pista retilínea e o gráfico a seguir apresenta dados sobre seu movimento. A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado. Calcule essa distância. E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Unesp) A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo. Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED, em cm2 , é: a) 84. d) 150. b) 96. e) 192. c) 120. 2. (Unesp) A figura representa uma chapa de alumínio de formato triangular de massa 1250 gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC e, que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de AD por AB. Dado: d11XXX≈ 3,32 a) 88,6. d) 66,4. b) 81,2. e) 44,0. c) 74,8. 3. (Unifesp) Na figura, o ângulo C é reto, D é ponto médio de AB, DE é perpendicular a AB, AB = 20 cm e AC = 12 cm. E A área do quadrilátero ADEC, em centímetros quadrados, é: a) 96. d) 48. b) 75. e) 37,5. c) 58,5. 4. (Unesp) A figura representa um trapézio retângulo em que a medida de AB é k centímetros, o lado AD mede 2k e o ângulo DÂE mede 30° . Nestas condições, a área do trapézio, em função de k, é dada por: a) k2 (2 + dXX3 ). d) 3k2 dXX3. b) k2 [ (2 + dXX3 ) _______ 2 ]. e) k2 dXX3. c) 3k2 (dXX3 ) ____ 2 . 5. (Fuvest) O mapa de uma região utiliza a escala de 1:200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF = 15,

97VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias AG = 12, AB = 6, CD = 3 e DF = 5dXX5indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é: a) 100 km2 d) 240 km2 b) 108 km2 e) 444 km2 c) 210 km2 6. (Fuvest) Na figura a seguir , a reta r é paralela ao segmento AC, sendo E o ponto de intersecção de r com a reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 21, então a área do triângulo BCE é: a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8 7. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = __3 2 , então a área do paralelogramo DECF vale a) ___ 63 25 d) ___ 56 25 b) ___ 12 5 e) ___ 11 5 c) ___ 58 25 8. (Unicamp 2017) Considere o quadrado de lado a > 0 exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que associa a cada 0 ≤ x ≤ a a área da região indicada pela cor cinza. O gráfico da função y = A(x) no plano cartesiano é dado por a) b) c) d) 9. (Unesp 2017) O hexágono marcado na malha quadriculada sobre a fotografia representa o contorno do câmpus da Unesp de Rio Claro, que é aproximadamente plano.

98VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias A área aproximada desse câmpus, em km2 , é um número pertencente ao intervalo a) [0,8; 1,3[ b) [1,8; 2,3[ c) [2,3; 2,8[ d) [1,3; 1,8[ e) 0,3; 0,8[ 10. (Unesp) Renata pretende decorar parte de uma parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida em um quadrado central, de lado x, e quatro retângulos laterais, conforme mostra a figura. Se o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual a a) 1 + 2√ __ 3 b) 2 + 2√ __ 3 c) 2 + √ __ 3 d) 1 + √ __ 3 e) 4 + √ __ 3 E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 1. (Fuvest) Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA', BB', CC' e DD'. Dado que AB = 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’. 2. (Fuvest) No paralelogramo ABCD a seguir, tem-se que AD = 3 e DAB = 30° . Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DÂB. a) Calcule AP. b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é 21. 3. (Unicamp) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimensões: AB = 25 m, BC = 24 m, CD = 15 m. a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno? b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos PARALELOS AO LADO BC. Faça uma figura para ilustrar sua resposta, indicando nela as dimensões das divisões no lado AB. 4. (Unesp) O lado BC do triângulo ABC mede 20 cm. Traça-se o segmento MN, paralelo a BC conforme a figura, de modo que a área do trapézio MNBC seja igual a 3/4 da área do triângulo ABC. Calcule o comprimento de MN. 5. (Fuvest) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10.Calcule AB.

99VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 6. (Fuvest) Na figura, BC é paralela a DE. AB = 4 BD = 5 Determine a razão entre as áreas do triângulo ABC e do trapézio BCDE. 7. (Unicamp) Considere dois quadrados congruentes de lado 4 cm. O vértice de um dos quadrados está no centro do outro quadrado, de modo que esse quadrado possa girar em torno de seu centro. Determine a variação da área obtida pela intersecção das áreas dos quadrados durante a rotação. 8. (Unicamp) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas: ——AB = 20, ——BC = 15 e ——AC = 10. a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que ——BD = 3 e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H. b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC. 9. (Unesp 2003) Em um acidente automobilístico, foi isolada uma região retangular, como mostrado na figura. Se 17 m de corda (esticada e sem sobras) foram suficientes para cercar 3 lados da região, a saber, os dois lados menores de medida x e um lado maior de medida y, dados em metros, determine: a) a área (em m2 ) da região isolada, em função do lado menor; b) a medida dos lados x e y da região retangular, sabendo-se que a área da região era de 36 m2 e a medida do lado menor era um número inteiro. 10. (Unifesp) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm2 e 600 cm2 , respectivamente. A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 – x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B. a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A. b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.

100VOLUME 3 MATEMÁTICA e suas tecnologias Gabarito E.O. Aprendizagem 1. D 2. A 3. C 4. C 5. C 6. D 7. D 8. D 9. C 10. C 11. C 12. A 13. C 14. E 15. D 16. B 17. D 18. D 19. D 20. E E.O. Fixação 1. A 2. C 3. D 4. C 5. B 6. E 7. A 8. E 9. C 10. C 11. B 12. C 13. A 14. C 15. E 16. A 17. D 18. B 19. C 20. B E.O. Complementar 1. A 2. C 3. C 4. D 5. C 6. A 7. B 8. B 9. D 10. C E.O. Dissertativo 1. A = 28 m2 2. 2025 cm2 e 775 cm2 3. a) tg 60º= ___h 10 ⇔ h = 10 · dXX3 cm b) DE = 5dXXX 13 cm c) A = 10 · 10dXX3 __________ 2 = 50dXX3 cm2 4. a) 10 m ≤ x ≤ 26 m. b) x = 18 m 5. x = 191,5 m 6. a) H = 4h b) A = 4H 7. 15 8. Sejam A1 e A2 , respectivamente, as áreas dos pentágonos da figura 1 e da figura 2. Como os pentágonos são regulares, segue que eles são semelhantes. Desse modo, A___1 A2 =( ___4L L ) 2 = 16 ⇒ A1 = 16A2 portanto, a área do pentágono da figura 1 é igual à soma das áreas dos 16 pentágonos da figura 2. 9. a) 14 u.a. b) 28 u.a. 10. 1536 _____ 625 u.a. 11. 12 m2 12. Observe a figura abaixo: A = A1 + A 2 = 3 u.a. 13. A = 180 cm2 14. S∆ = 81√ __ 3 cm2 . 15. a) A proporção da cor preta para a cor cinza será de __5 3 . b) R$ 550,00. c) 18,18%. 16. a) ED = √ ___ 13cm. b) A = 27 cm2 . 17. a) R$ 2.700,00. b) 66 m2 . c) 48 m2 . 18. 150 e 200 centímetros 19. a) 74 u.c. b) 286 u.a. c) 408 u.v. E.O. Enem 1. C 2. A 3. E 4. B 5. B 6. C 7. D 8. C 9. B 10. C E.O. UERJ Exame de Qualificação 1. A 2. C 3. B 4. D E.O. UERJ Exame Discursivo 1. x = 100 m 2. a) c = √ __________ [ (a2 + b2) ________ 5 ] b) S __1 S2 = 1, em que S1 e S2 são, respectivamente, as áreas dos triângulos ADG e BEG.