1.StructuralSteelDesign

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธชิ ัย แสงอาทิตย SUT 4-9

545 = 545 = 11.12 > 8.33 O.K.
Fy 2400
O.K.
และ d = 44 = 40.0
tw 1.1

5,366 = 5,366 = 109.53 > 40.0
Fy 2400

ดังนั้น คานมหี นาตัดอัดแนนตามที่ไดส มมุติไวแ ละ Fb = 0.66Fy

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธิชยั แสงอาทิตย SUT 4-10

ตัวอยา งท่ี 4-3
รูปที่ Ex 4-3 แสดงระบบพื้นของอาคารหลงั หน่งึ ซ่ึงถูกกระทาํ โดยนํา้ หนกั บรรทุกคงท่ี (dead load) เน่ืองจากนาํ้ หนกั

ของแผนพื้นคอนกรตี เสรมิ เหลก็ และนาํ้ หนกั บรรทกุ จร (live load) 200 kg/m2 จงออกแบบคานรองรบั พ้ืนที่มชี ว งคาน (span)
ยาว 7.50 m โดยเหล็กโครงสรา งรูปพรรณหนาตดั W ตามมาตรฐาน มอก.116-2529 ซ่ึงมี Fy = 2,400 kg/cm2

รูปที่ Ex 4-3

นํ้าหนักบรรทกุ :
กําหนดใหค อนกรตี มนี าํ้ หนัก 2,400 kg ตอหน่งึ ลกู บาศกเ มตร
นาํ้ หนกั พน้ื = 0.10(2,400) = 240 kg/m2
นํ้าหนักบรรทุกจร = 200 kg/m2
น้ําหนกั บรรทกุ รวมทง้ั หมด = 240 + 200 = 440 kg/m2
เน่ืองจากคานรองรบั พน้ื เปนความกวา ง 2 m ดังนั้น นํ้าหนกั บรรทุกรวมทัง้ หมดทก่ี ระทําตอคานมีคาเทากบั

= (2)440 = 880 kg/m

สมมตุ ิใหค านมนี ้ําหนกั 50 kg/m ดงั น้นั

w = 880 + 50 = 930 kg/m

M max = wL2 = 930(7.52 ) = 6,539 kg - m
8 8

สมมุติใหค านมีหนา ตดั อัดแนนและถูกรองรับทางดา นขา งอยา งเพียงพอ ดงั นั้น

Fb = 0.66(2,400) = 1,584 kg/cm2

section modulus ของหนา ตดั ของคานทต่ี อ งการจะมคี า เทากบั

S req'd = M max = 6,539(100) = 412.8 cm3
Fb 1,584

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธิชัย แสงอาทติ ย SUT 4-11

จากคุณสมบัตขิ องหนา ตัดเหลก็ มาตรฐานในภาคผนวกท่ี 1 เราจะพบวา หนา ตัดของเหลก็ โครงสรางรูปพรรณหนาตดั

เหลานีเ้ ปนหนาตัดท่ีเหมาะสมในการใชง าน

W250 × 41.1 kg/m มี S x = 502 cm3
W350 × 32.0 kg/m มี S x = 424 cm3
เลือกใชเ หลก็ โครงสรา งรปู พรรณหนาตัด W350 × 32.0 kg/m มี Sx = 424 cm3 ซ่ึงเปน หนา ตดั ที่เบาที่สุด และ
เนื่องจากคานมีนาํ้ หนักนอ ยกวาทสี่ มมตุ ไิ ว หนา ตัดนจ้ี ึงเปน หนา ตัดท่มี ขี นาดใหญพ อเพยี งในการตา นทานตอ โมเมนตดดั เนอื่ ง

จากแรงกระทาํ

ตรวจสอบความอดั แนนของหนาตัดคาน

สําหรบั ปกแบบยืน่ ปลาย (unstiffened element) ของคานหนา ตัดรูป W

b = 14.9 / 2 = 9.31 < 545 = 545 = 11.12 O.K.
tf 0.8 Fy 2400

และเอวของคาน

d = 29.8 = 54.18 < 5,366 = 5,366 = 109.53 O.K.
tw 0.55 Fy 2,400

ดังนั้น คานมหี นาตัดอดั แนน ตามที่ไดสมมุตไิ วและ Fb = 0.66Fy

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชัย แสงอาทิตย SUT 4-12

ตัวอยางท่ี 4-4
จงตรวจสอบวาคานหนา ตัด W250 × 82.2 kg/m ดังทแี่ สดงในรปู ที่ Ex 2-4 ถูกคํ้ายนั อยา งเพยี งพอหรอื ไม เมอ่ื

จุดคํ้ายันแสดงดว ยเครือ่ งหมาย × และ Fy = 2,400 kg/cm2

รปู ที่ Ex 2-4

คาโมเมนตสูงสุดเกิดขนึ้ ที่กงึ่ กลางคาน

M max = 4,500(4.5) − 3,00(3) + 82.2(92 ) = 12,082.3 kg - m
8

หนว ยแรงดดั สูงสดุ

fb = M max = 12,082.3(100) = 1,314.7 kg/cm2
Sx 919

หนวยแรงดัดที่ยอมให:

ระยะทีไ่ มม ีการค้ํายันสูงสุด L = 3.0 m

Lc = 637b f = 637(25.5) = 331.6 cm
Fy 2,400

Lc = 1.41(106 ) = 1.41(106 ) = 838.9 cm
Fy (d / A f ) 2,400[25.0 /(25.5 ×1.4)]

ใช Lc = 3.32 m

เนื่องจาก L < Lc ดังนั้น คานดังกลาวมกี ารรองรบั ทางดานขา งท่เี พยี งพอ และ

Fb = 0.66(2,400) = 1,584 kg/cm2 > fb = 1,314.7 kg/cm2 O.K.

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรียงโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทิตย SUT 4-13

4-5 การค้ํายนั ทางดานขางของคานท่ไี มเ พียงพอ
มาตรฐาน ว.ส.ท. ไดแ บง สมการท่ใี ชห าคาหนว ยแรงดดั ที่ยอมใหของคานหนาตดั แบบอดั แนน ซึ่งมีการคา้ํ ยันทางดาน

ขางทไ่ี มเพยี งพอ ( L > Lc ) ออกเปน 3 สมการ โดยมาตรฐาน ว.ส.ท. ไดใ ชค วามสามารถในการตานทานตอการบิดของหนา
ตัดคานทัง้ ที่เปน การบิดแบบสม่ําเสมอ (uniform warping หรอื Saint Venant’s torsion) และการบดิ แบบไมสม่าํ เสมอ

(nonuniform warping) เปนตัวกําหนดสมการดังกลาว และคาหนว ยแรงดัดทยี่ อมใหของคานทีห่ ามาไดจะตองมีคา ไดไมเกิน

0.60Fy

ในกรณีท่ีคานมกี ารบดิ แบบสมํา่ เสมอและเม่ือปกทรี่ บั แรงกดอดั มลี กั ษณะเปน สีเ่ หลี่ยมผนื ผาตนั และมพี ืน้ ที่เทา กบั หรือ

มากกวาปกท่ีรับแรงดึงแลว ความสัมพันธระหวางหนวยแรงดัดและระยะค้ํายันทางดา นขางของคานจะมีลักษณะดังทแี่ สดงใน

รูปท่ี 4-6 โดยที่เมอ่ื คานมีระยะคํ้ายันทีน่ อยแลว Fb = 0.60Fy และเมื่อระยะคํ้ายันของคานมีคา สงู ๆ แลว คาหนว ยแรงดดั ที่
ยอมใหของคานในกรณีนจี้ ะอยใู นรูป

843,600Cb สมการ ว.ส.ท. ท่ี 42-11
L d / Af
( )Fb =

รูปที่ 4-6

ในกรณีท่คี านมีการบดิ แบบไมส มา่ํ เสมอ ความสัมพนั ธระหวา งหนว ยแรงดดั และระยะค้ํายนั ทางดานขา งจะมลี กั ษณะ
ดังท่ีแสดงในรูปที่ 4-7 ซึ่งในกรณนี ้ี คาหนวยแรงดัดทย่ี อมใหของคานจะถูกแบงออกเปน 2 กรณีตามพฤติกกรมการรบั แรงบดิ คอื
การบิดไมส มา่ํ เสมอแบบ inelastic (จากจดุ b ถึง c ) และการบดิ ไมสมํา่ เสมอแบบ elastic (ต่ํากวาจุด c )

การบิดแบบไมส ม่ําเสมอท่ีเปนแบบ inelastic จะเกิดข้ึนเมือ่

717(104 )Cb ≤ L ≤ 3,585(104 )Cb
Fy rT Fy

คาหนวยแรงดัดทย่ี อมใหข องคานในกรณนี ีจ้ ะอยูใ นรปู

Fb = 2 − Fy (L / rT )2  สมการ ว.ส.ท. ท่ี 42-9
 10,756(104 )Cb  Fy
 3 

การบดิ แบบไมส มํา่ เสมอท่เี ปน แบบ elastic จะเกดิ ขึน้ เม่อื

L 3,585(104 )Cb
rT > Fy

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรียงโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทิตย SUT 4-14

คาหนวยแรงดัดท่ยี อมใหข องคานในกรณีนีจ้ ะอยูใ นรูป

Fb = 1,195(104 )Cb สมการ ว.ส.ท. ที่ 42-10
(L / rT )2

โดยที่ rT เปน radius of gyration รอบแกนรองของปก ที่รบั แรงกดอดั บวกกับเศษหนึ่งสว นสามของพน้ื ท่ขี อง web ดังท่ี

แสดงในรูปที่ 4-8 สําหรับคานหนาตดั รูปตัว I และ W นนั้

rT ≅ Af Iy /2 /6 ≈ 0.26b f
+ Aw

Cb เปน คา moment coefficient ซ่ึงพิจารณารวมถงึ ผลของการยดึ ร้ังทปี่ ลายคานและลักษณะของแรงกระทาํ ทีม่ ีผล

ตอการโกงเดาะทางดานขาง ซึง่ จะกลาวถึงตอ ไป

ในการใชส มการดังกลาวนั้น มาตรฐาน ว.ส.ท. ไดก าํ หนดใหใ ชคาที่มากสุดของสมการ ว.ส.ท. ท่ี 42-9 และ 42-10

และ 42-11 แตจะตอ งไมเกิน 0.60Fy และจะใชไดกบั คานท่มี หี นา ตดั ทีม่ แี กนสมมาตรในระนาบของ webs ของคานเทาน้ัน

รปู ท่ี 4-7

รูปที่ 4-8
พิจารณารูปที่ 4-9 ซ่งึ เปน คานชว งเด่ยี วแบบรองรับอยางงาย (simple beam) และคานชวงเดย่ี วแบบรองรบั ยดึ แนน
(fixed beam) ซึ่งมีความยาว L และถกู กระทําโดยแรงกระจายแบบสม่าํ เสมอ w เราจะเหน็ ไดว า โมเมนตสูงสุดที่เกิดขึน้ ใน

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทติ ย SUT 4-15

คานในรปู ที่ 4-9a ซึ่งหาไดจากสมการ wL2 / 8 จะมีคา สงู กวา โมเมนตสงู สดุ ทเี่ กดิ ขึน้ ในคานในรปู ที่ 4-9b ซ่ึงหาไดจ ากสมการ

wL2 /12 ถึง 50% นอกจากนั้นแลว ปก ทีร่ ับแรงกดอดั ของคานในรปู ท่ี 4-9a (ซึ่งมีการดัดโคงเพยี งดานเดยี ว) จะถูกกระทําโดย
แรงกดอดั ตลอดความยาว L ของคาน แตป ก ทร่ี บั แรงกดอดั ของคานในรูปที่ 4-9b (ซึ่งมีการดดั โคงสองดาน) จะถกู กระทาํ โดย
แรงกดอัดเปน ระยะประมาณ 0.6L ระหวา งจดุ ดดั กลับ (inflection point) ของคานเทานนั้ ดังนัน้ คานในรูปที่ 4-9a จะเกดิ การ
โกงเดาะในปกทร่ี ับแรงกดอดั ไดง า ยกวาคานในรูปท่ี 4-9b และถา กาํ หนดใหคา moment coefficient Cb ของคานในรปู ท่ี 4-9a
มีคา เทากบั 1.0 แลว คา Cb ของคานในรูปที่ 4-9b จะตองมคี า มากกวา 1.0

โดยทั่วไปแลว จุดรองรบั ของคานจะมีลักษณะทอ่ี ยรู ะหวา งจุดรองรบั อยา งงา ยและจดุ รองรบั แบบยดึ แนน ซง่ึ จะทําให
คานดังกลาวสามารถรับแรงกระทาํ ไดมากกวา คานท่มี ีการรองรับอยา งงา ยในรปู ท่ี 4-9a ดังนั้น มาตรฐาน ว.ส.ท. จึงกําหนดให
คา Cb ของคานดังกลาวมีคามากกวา 1.0 ซึ่งคา Cb นี้จะถูกนําไปคูณกับคาหนวยแรงดัดท่ียอมใหของคานในกรณีที่
Cb = 1.0 อยางไรก็ตาม ผลคูณของคา หนว ยแรงดัดทีย่ อมใหท ไี่ ดจะตอ งมคี านอยกวา หรอื เทากับ 0.60Fy

รปู ท่ี 4-9

มาตรฐาน ว.ส.ท. กําหนดใหคา Cb หาไดจ ากสมการ

Cb = 1.75 + 1.05 M1  + 0.3 M1  2 ≤ 2.3
M2 M2

โดยท่ี M1 และ M 2 จะเปน คาทน่ี อยกวาและคา ทีม่ ากกวา ของโมเมนตดดั ที่เกิดขน้ึ ท่ีปลายของระยะทม่ี ีการค้าํ ยนั ทางดาน

ขางของคาน (unbraced length) ตามลําดับ

M1 / M 2 จะเปนลบเมื่อโมเมนตด ัดที่เกิดขึ้นทปี่ ลายปลายของระยะทม่ี ีการค้าํ ยันทางดานขา งของคานมที ิศการหมุน
ที่สวนทางกัน (single curvature bending) ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 4-10

M1 / M 2 จะเปนบวกเมื่อโมเมนตดัดท่ีเกิดข้ึนที่ปลายปลายของระยะที่มีการคํ้ายันทางดานขางของคานมีทิศการ
หมุนไปทางเดียวกัน (reverse curvature bending)

รูปที่ 4-11 แสดงตัวอยางของคา Cb ของคานในลักษณะตางๆ

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทิตย SUT 4-16

รูปท่ี 4-10

รปู ที่ 4-11

นอกจากคา Lc แลว ASD specification ยังไดทําการกาํ หนดระยะคํา้ ยันของคานซึง่ จะทาํ ใหค านมคี าหนว ยแรงดัดท่ี

ยอมให Fb = 0.60Fy หรอื Lu โดยที่ Lu จะหาไดโดยการแทนคา Fb = 0.60Fy ลงในสมการของหนว ยแรงดัดทีย่ อมให

และให Cb = 1.0 ดังน้ัน จากสมการ ว.ส.ท. ท่ี 42-11 เราจะไดวา

843,600Cb
L d / Af
( )0.60Fy =

L1 = 1.41(106 )

 d  Fy
 Af 

และจากสมการ ว.ส.ท. ท่ี 42-9 เราจะไดว า

0.60Fy = 2 − Fy (L / rT )2 
 10,756(104 )Cb  Fy
 3 

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรียงโดย ผศ.ดร. สิทธิชัย แสงอาทิตย SUT 4-17

L2 = 2,678 rT
Fy

สําหรับหนาตดั รูปตวั I , rT = bf / 12 ดงั น้นั

L2 = 773b f
Fy

อยา งไรก็ตาม ASD specification กําหนดใหใช

L2 = 637b f
Fy

คา ที่นอ ยกวา ระหวาง L1 และ L2 จะเปน คา Lc สวนคาทมี่ ากกวา จะเปน คา Lu

โดยสรปุ แลว ASD specification กําหนดใหคา Lc และคา Lu จะถูกใชดังน้ี

1. ถา L ≤ Lc และหนาตดั คานเปนแบบ อัดแนน แลว Fb = 0.66Fy

2. ถา Lc < L ≤ Lu และหนา ตัดคานเปน แบบ อดั แนน แลว Fb = 0.60Fy

3. ถา L > Lu และหนา ตดั คานเปนแบบ อดั แนน แลว Fb < 0.60Fy

Appendix ท่ี 3 แสดงคา Lc และคา Lu ของคานหนาตดั มาตรฐานรูปตัว W ตาม ASD specification

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชยั แสงอาทติ ย SUT 4-18

ตวั อยางที่ 4-5

กําหนดใหคานรองรับอยา งงาย (simple beam) มีหนา ตัด W400 ×172 kg/m ถูกคํา้ ยันเฉพาะที่ปลายคาน ถา

คานทําดว ยเหล็กโครงสรางรูปพรรณ (Structural steel sections) Fe 24 ตามมาตรฐาน มอก.116-2529 จงคํานวณหาหนว ย

แรงดดั ท่ียอมใหเม่อื ชว งคาน (span) มีคา เทา กบั 4.0 m , 8.0 m , และ 15.0 m

ตรวจสอบความอดั แนน ของหนา ตัดคาน W400 ×172 kg/m

b = 40.0 / 2 = 9.52
tf 2.1

545 = 545 = 11.12 > 8.52 O.K.
Fy 2400 O.K.

และ d = 40 = 30.8
ดังน้นั คานมหี นาตัดอัดแนน tw 1.3

5,366 = 5,366 = 109.53 > 30.8
Fy 2,400

ระยะค้ํายัน

Lc = 637b f = 637(40) = 520 cm
Fy 2400

Lc = 1.41(106 ) = 1.41(106 ) = 1,233.8 cm
Fy (d / A f ) 2,400[40.0 /(40.0 × 2.1)]

ใช Lc = 5.20 m

ชวงคาน 4.0 m :

L < Lc

ดังน้ัน หนวยแรงดัดทยี่ อมใหเมอื่ ชว งคาน (span) มีคา เทา กบั 4 m มีคาเทา กบั

Fb = 0.66(2,400) = 1,584 kg/cm2

ชว งคาน 8.0 m :

L > Lc ดังนนั้ คานถูกรองรับอยา งไมพอเพยี ง

rT ≅ Af Iy /2 /6 = 22,400 / 2 = 11.0 cm
+ Aw 40.0(2.1) + 40(1.3) / 6

L = 800 = 72.7
rT 11.0

Cb = 1.0

717(104 )Cb = 717(104 )1.0 = 54.7
Fy 2400

3,585(104 )Cb = 3,585(104 )1.0 = 122.2
Fy 2,400

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธิชัย แสงอาทิตย SUT 4-19

เนือ่ งจาก 54.7 < L / rT < 122.2 ดงั นนั้

Fb = 2 − Fy (L / rT )2  = 2 − 2,400(72.7) 2  2400 = 1,317 kg/cm2
 10,756(104 )Cb  Fy  10,756(104 )1.0 
 3   3 

หรือ

843,600Cb 843,600(1.0) kg/cm 2
L d / Af
( )Fb = = 800(40.0 /[40.0(2.1)]) = 2,214.5

คา Fb สูงสุดจากสมการทั้งสองขา งตน สูงกวา 0.60Fy = 1,440 kg/cm2 ดังนั้น หนวยแรงดัดทีย่ อมใหเมอ่ื ชว ง

คาน (span) มีคาเทา กับ 8 m มคี า เทา กับ

Fb = 0.60Fy = 1,440 kg/cm2

ชว งคาน 15.0 m :

L = 1,500 = 136.4 > 122.2
rT 11.0

Fb = 1,195(10 4 )Cb 1,195(104 )1.0 = 800.2 kg/cm2
(L / rT )2 = (122.2)2

หรือ

843,600Cb 843,600(1.0) 1,181.0 2
L d / Af
( )Fb = = 1500(40.0 /[40.0(2.1)]) = kg/cm

ดังน้ัน หนว ยแรงดดั ที่ยอมใหเ มอ่ื ชวงคาน (span) มีคา เทากบั 15 m เทากับคา Fb สูงสุดจากสมการท้งั สองขา งตน

Fb = 1,181.0 kg/cm2

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชัย แสงอาทติ ย SUT 4-20

ตัวอยา งท่ี 4-6
กําหนดใหค านรองรบั อยา งงา ย (simple beam) ถูกค้ํายันเฉพาะที่ตาํ แหนงแสดงดว ยเครื่องหมาย × ดังท่แี สดงในรูป

ท่ี Ex 4-6 ถาคานทาํ ดว ยเหลก็ โครงสรางรปู พรรณ (Structural steel sections) Fe 24 ตามมาตรฐาน มอก.116-2529 จง
คํานวณหาขนาดหนา ตดั ของคาน โดยนํ้าหนกั บรรทกุ กระจายไดรวมนา้ํ หนักของคานเขา ไวด ว ยแลว

รูปท่ี Ex 4-6

จากการวิเคราะหคานเราจะไดแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ดังท่แี สดงในรปู ที่ Ex 4-6

สมมตุ ิให Fb = 0.66Fy = 0.66(2,400) = 1,584 kg/cm2
Section modulus ท่ีตอ งการ

S req'd = M max = 10,523(100) = 664.3 cm3
Fb 1,584

เลือกใชหนา ตัดทเี่ บาทส่ี ดุ และหาซือ้ ไดง า ยคือ หนา ตัด W350 × 49.6 kg/m ( bf = 17.5 cm , d = 35.0 cm ,

t f = 1.1cm , tw = 0.7 cm , S x = 775 cm3 , I x = 13,600 cm4 , และ I y = 984 cm4 )

ตรวจสอบความอดั แนน ของหนา ตดั คาน W350 × 49.6 kg/m

b = 17.5 / 2 = 7.96
tf 1.1

545 = 545 = 11.12 > 7.96 O.K.
Fy 2,400 O.K.

และ d = 35 = 50.0
ดังนนั้ คานมหี นาตัดอดั แนน tw 0.7

5,366 = 5,366 = 109.53 > 50.0
Fy 2,400

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทิตย SUT 4-21

ระยะค้าํ ยัน

Lc = 637b f = 637(17.5) = 228 cm
Fy 2,400

Lc = 1.41(106 ) = 1.41(106 ) = 323 cm
Fy (d / A f ) 2,400[35.0 /(17.5 ×1.1)]

ใช Lc = 2.28 m

ชวงคาน 1.5 m และชว งคาน 2.0 m :

L < Lc และคานมีหนาตัดอัดแนน ดังนัน้ หนว ยแรงดดั ทยี่ อมใหจ งึ ใชได
ชวงคาน 3.0 m :

L > Lc ดังนั้น คานถกู รองรับอยางไมพ อเพียง

rT ≅ Af Iy /2 /6 = 984 / 2 = 4.59 cm หรอื rT ≈ 0.26b f = 0.26(17.5) = 4.55 cm
+ Aw 17.5(1.1) + 35(0.7) / 6

L = 300 = 65.4
rT 4.59

Cb = 1.75 + 1.05 M1  + 0.3 M1  2 ≤ 2.3
M2 M2

= 1.75 + 1.05 − 6,807.75  0.3 − 6,807.75  2
 10,523   10,523 
Cb + = 1.20

717(104 )Cb = 717(104 )1.20 = 59.9
Fy 2,400

3,585(104 )Cb = 3,585(104 )1.2 = 133.9
Fy 2,400

เนื่องจาก 59.9 < L / rT < 133.9 ดงั น้ัน

Fb = 2 − Fy (L / rT )2  = 2 − 2,400(65.4) 2  2,400 = 1,409.1 kg/cm 2
 10,756(104 )Cb  Fy  10,756(104 )1.2 
 3   3 

หรือ

843,600Cb 843,600(1.2) 1,855.9 kg/cm 2
L d / Af
( )Fb = = 300(35.0 /[17.5(1.1)]) =

คา Fb สูงสุดจากสมการทงั้ สองขา งตน สูงกวา 0.60Fy = 1,440 kg/cm2 ดังน้ัน หนวยแรงดัดท่ยี อมใหในคาน

ชวงนม้ี คี าเทา กับ

Fb = 0.60Fy = 1,440 kg/cm2

Section modulus ท่ีตอ งการ

S req'd = M max = 10,523(100) = 730.8 cm3 < Sx O.K.
Fb 1,440

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธชิ ัย แสงอาทติ ย SUT 4-22

4-6 แรงเฉอื น
คานซง่ึ รองรับแรงกระทาํ ในแนวขวาง (transverse loads) ดังที่แสดงในรูปท่ี 4-12a จะถกู กระทาํ โดยแรงเฉือน ดังท่ี

แสดงโดย shear diagram ในรูปท่ี 4-12b จาก free-body diagram ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี 4-12c เราจะหาแรงเฉอื น V ท่ีระยะ x
จากทางซายมือของคานได คาแรงเฉือนน้ีจะทาํ ใหเกิดหนว ยแรงเฉอื นในแนวขวาง (transverse shear stress) และหนวยแรง
เฉือนในแนวยาว (longitudinal shear stress) ท่ีหนาตัดดังกลาว ซ่ึงจะมีคา เทากนั ท่จี ุดใดๆ บนหนาตดั ของคาน แตจะมีทศิ ทาง
ตั้งฉากกัน ดังท่แี สดงในรปู ท่ี 4-12d

รปู ที่ 4-12

จากรูปท่ี 4-12d หนวยแรงเฉือนในแนวขวางจะเปนหนว ยแรงเฉอื นทพี่ ยายามทําใหเกดิ การเลือ่ นในแนวดิ่งของสวน

ของคานท่ีอยูทางซายมือเมื่อเทียบกับสวนของคานทางดานขวามือ แตหนวยแรงเฉือนในแนวยาวจะเปนหนวยแรงเฉือนที่

พยายามทําใหเกิดการเลื่อนในแนวแกนของคาน หนว ยแรงเฉอื นท้งั สองน้ีจะมคี า สูงสดุ ทแ่ี กนสะเทินของคาน

หนวยแรงเฉือน fv ท่ีเกิดขนึ้ ในคานเหล็กจะถูกตา นทานโดยกําลังรบั แรงเฉือน Fv ของเหลก็ จากวชิ า mechanics of

materials เราจะหาคา fv ไดจากสมการ shear formula

fv = VQ
Ib

เมือ่ V = แรงเฉอื นภายในทเ่ี กิดขนึ้ บนหนา ตัดของคาน

Q = y ′A′ = โมเมนตข องพน้ื ทขี่ องสว นของคานท่ีอยเู หนือหรอื ใตจุดที่ตองการหาคา หนวยแรงเฉอื นรอบแกนสะเทิน

I = moment of inertia ของพ้ืนทห่ี นาตดั ของคานรอบแกนสะเทนิ

b = ความกวางของหนาตัดของคาน ที่จุดท่ีพจิ ารณา

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรียงโดย ผศ.ดร. สิทธิชัย แสงอาทิตย SUT 4-23

เมื่อใชส มการ shear formula หาคาหนวยแรงเฉอื นบนหนา ตดั ของคานรปู ตวั W และรปู ตวั I แลว จะพบวา คา

หนวยแรงเฉอื นที่เกิดข้ึนใน flanges ของคานจะมีคา ที่นอยมากๆ เม่ือเทียบกับคาหนวยแรงเฉือนที่เกดิ ข้นึ ใน web ของคานและ

จะมีการกระจายทีค่ อ นขา งคงท่ี ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี 4-13 ดงั นน้ั คา ของหนวยแรงเฉอื น fv บนหนา ตดั คานดงั กลา วจะประมาณ
ไดจากสมการ

fv = V )
tw (d − 2t f

โดยท่ี d เปนความลึกของหนา ตดั ของคาน,

t f เปน ความหนาของ flanges
tw เปน ความหนาของ web

โดยทัว่ ไปแลว คา fv ที่ไดจากสมการขา งตนจะมคี าตางจากคา ( )fv max ที่เกดิ ขึน้ จรงิ ไมเ กิน ± 10%

รูปที่ 4-13

มาตรฐาน ว.ส.ท. กําหนดใหห นวยแรงเฉอื นที่ยอมให (allowable shear stress) ของเหล็กจะตอ งมคี า ไมเ กิน

Fv = 0.40Fy

คาน้ีจะมคี า เทากับสองในสามของคาหนว ยแรงดึงท่ียอมให (allowable tensile stress) ดังน้นั คา แรงเฉอื นสูงสุดที่อนญุ าตให
คานรบั ไดจ ะมีคา เทา กับ

V = Fv dtw

โดยทั่วไปแลว แรงเฉือนจะไมทําใหคานเหล็กที่มีหนาตัดมาตรฐานเกิดการวิบัติ ยกเวนในกรณีท่ีคานดังกลาวมกี าร
บากท่ีปกและที่เอวของคานออกบางสวนเพ่ือความสะดวกในการเช่ือมตอคานและในกรณีที่คานเปนคานท่ีส้ันมากๆ และถูก
กระทาํ โดยนํา้ หนักบรรทุกเปน จดุ ทีม่ คี า สูงๆ

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชยั แสงอาทติ ย SUT 4-24

ตัวอยางท่ี 4-7
จงตรวจสอบวา คานหนา ตดั W350 × 49.6 kg/m ( d = 35.0 cm , t f = 1.1cm , และ tw = 0.7 cm ) ในตวั

อยา งท่ี 4-6 สามารถรองรับแรงเฉอื นสงู สุดทีเ่ กิดขน้ึ ในคานไดห รือไม

Vmax = 6,061.5 kg

คาหนว ยแรงเฉอื นสงู สดุ

fv = Vmax ) = 6,061.5 = 264.0 kg/cm2
tw (d − 2t f 0.7(35 − 2(1.1))

หนว ยแรงเฉือนทีย่ อมให (allowable shear stress) ของเหล็ก

Fv = 0.40Fy = 0.40(2,400) = 960 kg/cm2 > fv

แสดงวา คานหนาตดั W350 × 49.6 kg/m ในตวั อยา งท่ี 4-6 สามารถรองรับแรงเฉอื นสงู สุดทเ่ี กดิ ข้ึนในคานได

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรียงโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทติ ย SUT 4-25

4-7 ระยะโกง ตัว
โดยทั่วไปแลว ในการออกแบบโครงสรา ง เราจะตองจํากัดการโกง ตัว (deflection) ของโครงสรา งไมใ หมีคาสงู จนเกนิ

ไปเนอื่ งจาก
1. deflection ท่ีมีคาสูงเกินไปจะทาํ ใหว สั ดฉุ าบหรือสว นของโครงสรา งทถ่ี ูกรองรบั โดยโครงสรา งดังกลาว เชน ผนัง
อิฐกอ เปนตน เกิดการแตกรา วได
2. โครงสรางท่ีมี deflection ที่สูงเกินไปจะเปนโครงสรางท่ีสั่นสะเทือนไดงายและจะทําใหผูใชโครงสรางรูสึกไม
ปลอดภยั
3. deflection ท่ีมีคาสูงเกนิ ไปจะทาํ ใหรปู รา งของโครงสรางเสียความสวยงาม
มาตรฐาน ว.ส.ท. กําหนดใหคานทว่ั ๆ ไปจะมคี า การโกงตวั ไมเ กิน L / 300 และ L / 250 สําหรับชว งของคานย่ืน

เมือ่ L คือความยาว span ของคาน อยา งไรกต็ าม สําหรบั คานหรือองคอาคารรบั แรงดดั ทีร่ องรับฝา หรือพนื้ ปูนทต่ี องฉาบผวิ
คาการโกงตวั สงู สุดควรมีคาไมเกิน L / 360
การส่นั (Vibration)

ถึงแมนวาองคอาคารของโครงสรางเหล็กจะถูกออกแบบใหมีกําลังตานทานตอโมเมนตและแรงเฉือนอยางเพียงพอ
และมีคาการโกงตัวนอยกวาท่ีกําหนดแลวก็ตาม การสั่นของพ้ืนของโครงสรางก็อาจจะเกิดขึ้นไดในกรณีที่องคอาคารของโครง
สรา งเหล็กมี span ท่ียาวมากๆ และพน้ื มีชองเปดทมี่ ีขนาดใหญและไมม ีผนงั มารองรบั อยา งเหมาะสม

ในทางปฏิบัติ การส่ันสะเทอื นดงั กลา วจะลดลงไดโดยการเลือกคานใหมขี นาดความลกึ มากกวา 1/20 ของความยาว
span ของโครงสรา งเหลก็

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชัย แสงอาทติ ย SUT 4-26

ตวั อยา งท่ี 4-8
จงตรวจสอบวา คานหนา ตัด W350 × 49.6 kg/m ( I x = 13,600 cm4 และ E = 2.01(106 ) kg/cm2 ) ใน

ตัวอยางท่ี 4-6 มีระยะโกง ตัวตํ่ากวาทม่ี าตรฐาน ว.ส.ท. กําหนดคอื ไมเกนิ L / 300 หรือไม
จากวิชาทฤษฎโี ครงสรางเราจะพบวา ระยะโกงตวั สูงสุดของคานมคี าเทา กับ

∆ max = 1.57 cm

ระยะโกงตัวสูงสดุ ทีม่ าตรฐาน ว.ส.ท. ยอมใหคือ

L = 650 = 2.17 cm > ∆ max
300 300

แสดงวา วาคานหนา ตดั W350 × 49.6 kg/m ในตัวอยา งท่ี 4-6 มีระยะโกง ตัวตํา่ กวา ทมี่ าตรฐาน ว.ส.ท. กําหนด

แตสําหรับคานหรอื องคอาคารรบั แรงดัดที่รองรบั ฝา หรอื พ้นื ปนู ทต่ี อ งฉาบผวิ ระยะการโกง ตวั สงู สดุ ควรมีคา ไมเกิน

L = 650 = 1.81cm
360 360

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรียงโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ยั แสงอาทติ ย SUT 4-27

4-8 แผน รบั แรงแบกทาน (Bearing Plates) และแผนเสริมกาํ ลัง (Stiffener)
เมื่อองคอ าคารของโครงสรา งเหล็กถกู กระทําโดยแรงกระทําแบบเปน จดุ (concentrated loads) แลว เอว (web) และ

ปก (flange) ของชิ้นสว นของโครงสรางดังกลา วจะตอ งมกี ําลังที่พอเพียงในการตา นทานตอ การยขู องเอว (web crippling) การ
คลากท่เี อว (local web yielding) และการโกง เดาะของเอว (web buckling) และการโกงเดาะทป่ี ก (local flange buckling)
การยูของเอว (Web crippling)

การยขู องเอว (web crippling) ของคานเกดิ จากการกดอดั ของแรงกระทาํ เปนจุดผานปกมายังเอวของคาน โดยท่ัวไป
แลว ขนาดหนา ตดั มาตรฐานของคานปกติจะสามารถตา นทานตอ การโกงเดาะของเอวและการคลากท่ีเอวได แตจ ะไมสามารถ
ตานทานตอ การยูข องเอวได ดงั นน้ั เพื่อปองกนั เอวจากการรองรับหนวยแรงกดอัดทม่ี ากเกินไป เนื่องจากแรงปฏิกรยิ าทฐ่ี านรอง
รับ (support) และทจ่ี ดุ ท่ีแรงกระทําแบบเปน จุด เราจะใชแ ผน รับแรงแบกทาน (bearing plate) ดังทแี่ สดงในรปู ท่ี 4-14 ชวยใน
การกระจายหนว ยแรงกดอัดดงั กลาว

รูปท่ี 4-14

มาตรฐาน ว.ส.ท. กาํ หนดใหห นวยแรงท่ียอมใหในกรณขี องการยมู ีคา ไดไมเกิน 0.75Fy และความยาวของแผน รับ
แรงแบกทานจะคํานวณไดจากการสมมุตใิ หแรงกดอัดท่ีหนาตัดวกิ ฤติกระจายทํามมุ 45o กับแนวราบ ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 4-14

โดยทีค่ วามยาวของเสนประจะมีคา เทา กับความยาวของแผน รับแรงแบกทาน (bearing plate) N บวกกบั ระยะท่ีแรงกระทํา

กระจายออกไปดังนี้

กรณที ่ี 1 ที่ฐานรองรับ ระยะทแ่ี รงกระจายออกไปจะมีคาเทากับ k จากขอบของแผน รบั แรงแบกทาน โดยท่ี k เปน

ระยะจากดานนอกสดุ ของผิวของปกของคานถึงปลายของ fillet มีคาเทา กับ ความหนาของปก t f บวกรัศมีความโคง r ดงั ท่ี
แสดงในรูปท่ี 4-14

กรณีที่ 2 เม่ือแรงกระทาํ เปน จุดกระทาํ ทจี่ ุดซึง่ หา งจากปลายคานเปน ระยะไมนอ ยกวา ความลึก d ของคานแลว

ระยะที่แรงกระจายออกไปจะมคี าเทากบั 2k

ดังน้ัน ความยาวของแผน รับแรงแบกทาน N จะหาไดจ ากสมการตอ ไปนี้

ในกรณีที่ 1 ท่ฐี านรองรับ

R k) ≤ 0.75Fy
tw(N +

ในกรณที ่ี 2 ทจี่ ุดทแี่ รงกระทําเปนจุดกระทาํ

tw (N P 2.5k ) ≤ 0.75Fy
+

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ยั แสงอาทิตย SUT 4-28

ในกรณีทร่ี ะยะ N ท่ีคํานวณไดมีคานอ ยมากแลว เราควรท่จี ะใหคา N มีขนาดที่เหมาะสมในการกอ สรา ง เชน

ความยาวของ bearing plate ที่วางอยบู นผนงั อิฐกอรบั แรง (load-bearing wall) ควรมคี วามยาวอยา งนอ ย 10 cm เปน ตน

แผน รับแรงแบกทานของคาน

เมื่อคานถูกรองรับโดยคอนกรีตหรืออฐิ กอแลว แรงปฏกิ รยิ าของคานจะตองถกู ถายลงสคู อนกรีตหรอื อฐิ กออยา งปลอด

ภัย ซง่ึ จะทาํ ไดโ ดยใชแผน รบั แรงแบกทาน (bearing plates) ดังที่แสดงในรปู ท่ี 4-15 ในการออกแบบแผน รบั แรงแบกทานนนั้ เรา

มีข้นั ตอนดงั นี้

1. หาความยาว N ของแผนรบั แรงแบกทานเพ่ือปอ งกนั การยูของเอว (web crippling) และการ yield ของเอว

(web yielding)

2. หาความกวาง B ของแผนรับแรงแบกทานโดยใหพื้นที่ของแผนรับแรงแบกทานมีขนาดมากพอที่จะไมทําให

คอนกรีตหรืออิฐกอ เกิดการวิบัติ

3. หาความหนา t ของแผน รับแรงแบกทานซึ่งจะทําใหค า moment สูงสุดทเี่ กดิ ขึ้นในแผน รับแรงแบกทานมคี า นอ ย

กวา คา ทอ่ี นุญาตใหใช

พิจารณารูปท่ี 4-15 กําหนดใหแรงปฏกิ รยิ า R ถายผานแผน รบั แรงแบกทานไปยงั คอนกรตี แบบมกี ารกระจายอยา ง

สมํ่าเสมอ และใหคอนกรตี ตา นทานตอ แรงปฏิกรยิ าดว ยแรงท่ีมีการกระจายอยา งสมํ่าเสมอ f p ผานพืน้ ที่ของแผน รับแรงแบก
ทาน A1 แรงดันตา นนีจ้ ะทําใหเ กดิ โมเมนตด ดั ภายในแผน รับแรงแบกทานและปกดา นลางของคานและจะทาํ ใหเกิดการโกง ดดั
ข้ึนในแผน รับแรงแบกทานและปก ดา นลางของคานดวย อยา งไรกต็ าม ASD specification กําหนดใหแ ผน รบั แรงแบกทานทํา

หนา ทต่ี า นทานตอ โมเมนตดดั ดังกลา วเทานนั้ นอกจากนั้นแลว ASD specification ยังกําหนดใหหนาตัดท่วี ิกฤตทิ ีส่ ุดมีระยะ k

(ระยะจากดานนอกสุดของผิวของปกของคานถึงปลายของ fillet) จาก centerline ของคาน ดงั น้นั แผน รบั แรงแบกทานจะมี

ลักษณะเหมือนกบั คานย่นื ซ่ึงมคี วามยาวเทา กับ

n = B − 2k
2

และมีความกวางเทา กบั N

รปู ที่ 4-15

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชยั แสงอาทติ ย SUT 4-29

เมื่อพจิ ารณาเฉพาะความกวา ง 1 หนวยของแผนรับแรงแบกทานแลว เราจะหาความหนาของแผนรบั แรงแบกทานได

ดงั น้ี

M = f p n n = f pn2
2 2

S = I = (1/12)(1)(t 3 ) = t2
c t/2 6

M = Fb
S

f p (n2 / 2) = Fb
t2 /6

t= 3 fpn2
Fb

โดยที่ Fb = 0.75Fy สําหรับแผนเหล็กซึง่ มีหนาตดั สเ่ี หล่ียมตนั และดัดรอบแกนรอง

ถาแผนรบั แรงแบกทานมีความยาวเทา กับความกวา งของผนังทร่ี องรับแลว

Fp = 0.35 fc′

และในกรณอี ืน่ ๆ นอกเหนือจากน้นั

Fp = 0.35 fc′ A2 ≤ 0.70 f ′
A1

โดยที่ fc′ เปนกําลงั รบั แรงกดอดั ของคอนกรตี ที่อายุ 28 วัน

A1 เปน พื้นท่ขี องแผนรบั แรงแบกทาน

A2 เปนพ้ืนท่ที ้ังหมดของการรองรับ ซง่ึ มคี าเทา กับพ้นื ทีข่ องเสน ประที่แสดงในรูปท่ี 4-16

รูปที่ 4-16

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรียงโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชยั แสงอาทติ ย SUT 4-30

ตวั อยางท่ี 4-9
จงออกแบบแผนรับแรงแบกทาน (bearing plate) เพ่ือทีจ่ ะกระจายแรงปฏิกรยิ าขนาด 6,061.5 kg จากคานหนา

ตัด W350 × 49.6 kg/m ( b f = 17.5 cm , d = 35.0 cm , t f = 1.1cm , tw = 0.7 cm , และ r = 1.4 cm ) ในตัว
อยางที่ 4-6 ลงบนผนังคอนกรตี ซ่ึงมกี ําลงั รบั แรงกดอดั ประลยั fc′ = 210 kg/cm2 กําหนดใหแผนรบั แรงแบกทานทาํ ดว ย
เหลก็ ตามมาตรฐาน มอก.107-2517 มี Fy = 2,400 kg/cm2
การยูของเอวทีจ่ ดุ รองรบั :

R k) = 0.75Fy
tw(N +

k = t f + r = 1.1 + 1.4 = 2.5 cm

6,061.5 = 0.75(2,400)
0.7(N + 2.5)

ดังน้ัน ความยาวของแผนรับแรงแบกทานตอ งมคี า ไมน อ ยกวา N = 2.31cm ลองใช N = 10 cm

แรงแบกทาน:

สมมตุ ิหนว ยแรงแบกทานท่ยี อมใหข องคอนกรีต

Fp = 0.35 fc′ = 0.35(210) = 73.5 kg/cm2

ดังนนั้ แผนรบั แรงแบกทานควรมคี วามกวาง

B= R = 6,061.5 = 8.3 cm
NFp 10(73.5)

เนื่องจากแผน รบั แรงแบกทานและคานจะตองถกู ยดึ เขา กับผนังคอนกรีต ดังนนั้ แผนรบั แรงแบกทานควรมคี วามกวาง

กวา ปกของคาน 10 cm ดงั นั้น

B = b f + 10 = 17.5 + 10.0 = 27.5 cm

ความหนาของแผนรบั แรงแบกทาน:

n= B − 2k = 27.5 − 2(2.5) = 11.25 cm
2 2

Bearing pressure

fp = R = 6,061.5 = 22.0 kg/cm2
BN 27.5(10)

t= 3 fpn2 = 3(22.0)11.252 = 2.15 cm
Fb 0.75(2,400)

ใชแ ผนเหล็ก PL 275 ×100 × 22 mm

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ยั แสงอาทติ ย SUT 4-31

การโกง เดาะที่ปก (Local flange buckling)
จากรูปท่ี 4-17 กาํ หนดใหค านถกู เชือ่ มตอ เขา กบั เสาแบบแกรง (rigid) เมื่อคาหนว ยแรงดัดที่เกิดขึน้ ในปก ของเสามี

คาที่สูงมากๆ แลว ปก ของเสาจะเกดิ การโกง เดาะ ซึง่ เรยี กวา การโกงเดาะทป่ี ก ดงั ทแี่ สดงโดยเสน ประในรูปที่ 4-17c และเราจะ
ตองใสแ ผน เสรมิ กาํ ลัง (stiffener) ใหกับเสาเพื่อเสริมความตา นทานตอ การโกงเดาะดงั กลาว

รูปท่ี 4-17

จากการทดสอบ ASD specification กําหนดใหใ สแผน เสรมิ กําลัง ดงั ท่ีแสดงในรปู ที่ 4-17a แกเสาโดยมีพ้ืนทหี่ นาตดั

เทากบั Ast เมื่อสมการตอไปนม้ี ีคาเปนบวก

Ast = Pbf − Fyct(tb + 5k)
Fyst

เมื่อ Pbf = 5 × แรงที่กระทําตอ ปก ของเสา เนื่องจากโมเมนตที่เกิดจากนํา้ หนักบรรทกุ คงทีแ่ ละนํา้ หนักบรรทุกจร, kg
3

Pbf = 4 × แรงท่ีกระทําตอปกของเสา เนื่องจากโมเมนตที่เกิดจากนํา้ หนกั บรรทกุ คงที่และนาํ้ หนักบรรทกุ จรบวกแรง
3

ลมหรือแรงแผน ดินไหว, kg

อยา งไรก็ตาม Pbf จะตองมคี าไมเ กินผลคูณของพนื้ ทหี่ นาตัดของปกของคาน ( Af ) กบั Fy
Fyc เปน คา yield stress ของเสา, kg/cm2
Fst เปน คา yield stress ของแผน เสรมิ กาํ ลัง, kg/cm2
t = ความหนาของเอวของเสา, cm

tb = ความหนาของปก ของคาน, cm
k เปนระยะจากดานนอกสุดของผิวของปกของคานถงึ ปลายของ fillet ดังท่แี สดงในรปู ที่ 4-18

ถา สมการของ Ast ใหคาเปนลบแลว เสาจะตองถูกเสรมิ ดว ยแผนเสรมิ กาํ ลังในแนวเดยี วกับปก ของคานทรี่ ับแรงกด
อัดเพื่อปองกันการโกง เดาะของเอวของเสาเม่ือความลกึ ของเสา ดังที่แสดงในรปู ที่ 4-18

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรียงโดย ผศ.ดร. สิทธชิ ยั แสงอาทติ ย SUT 4-32

dc > 34,400t 3 Fyc

Pbf

รูปที่ 4-18

นอกจากน้ันแลว เพือ่ ควบคุมหนวยแรงดัดในปก ของเสา เสาจะตอ งถกู เสริมดวยแผน เสริมกําลงั ในแนวเดียวกบั ปกของคานทีร่ บั
แรงดึงเมื่อความหนาของปก ของเสา

t f < 1.016 Pbf
Fyc

แตสมการน้ไี มจ าํ เปน ตอ งตรวจสอบถาความยาวของแรงกระทํามคี านอ ยกวา 0.15 เทาของความกวา งของปก ของเสา

นอกจากน้นั แลว แผนเสริมกาํ ลังดังกลาวจะตอ งมีลักษณะดงั ที่แสดงในรูปท่ี 4-19 ดงั น้ี

1. ความกวางของแผน เสรมิ กาํ ลงั ตองมากกวา 2/3 เทาของความกวางของปก ของคาน

2. ความหนา tst ของแผนเสรมิ กําลงั ตอ งไมน อยไปกวาครึ่งหนึ่งของความหนาของปก ของคาน
3. อัตราสวนของความกวางของแผน เสรมิ กําลงั b ตอ ความหนา tst ไมเกนิ 796 / Fy เพื่อปอ งกนั การดกง

เดาะของแผน เสริมกําลงั

รูปท่ี 4-19
แรงเฉอื นในเอวของเสา

การถายโมเมนตจ ากคานไปยังเสาจะทาํ ใหเ กดิ หนว ยแรงเฉือนข้นึ ในเอวของเสา เชน ในชว ง ABCD ของเสา ดงั ท่ี

แสดงในรูปท่ี 4-20 เปน ตน ในกรณนี ี้โมเมนตส ุทธิ M จะทําใหเกดิ แรงเฉือน P โดยประมาณเทากบั M / 0.95db ซ่ึงจะถูก
ตา นทานโดยพน้ื ท่รี ับแรงเฉอื น A = dct และจะทาํ ใหเกดิ หนวยแรงเฉือนเฉลยี่ เทา กับ

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธชิ ยั แสงอาทิตย SUT 4-33

PM
A = 0.95dbdct

ถากําหนดใหหนวยแรงเฉือนเฉล่ียมีคาเทากบั หนวยแรงเฉือนทีย่ อมให 0.40Fyc แลว เราจะไดวา เอวของเสาตองมี

ความหนาอยา งนอยเทากบั

t = M
0.38db dc Fyc

เพื่อปองกันการวบิ ัติโดยหนวยแรงเฉอื นที่เอวของเสา ในกรณที ่เี อวของมคี วามหนานอ ยกวาที่กาํ หนด เราจะตองเสริมแผน เหลก็

เสรมิ ทแยงจากจดุ C ไปยงั จดุ C ใหกับเสา

รปู ท่ี 4-20

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรียงโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชัย แสงอาทิตย SUT 4-34

ตวั อยางท่ี 4-10
จุดเช่ือมตอ คานเขากบั เสาตอ งถา ยโมเมนตจ ากคาน 13,000 kg - m จากคานไปยังเสา ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี Ex 4-10

จงทําการออกแบบแผน เสรมิ กําลงั ของเสา (column stiffener) และแผน เสรมิ เอว (web reinforcement)

รูปท่ี Ex 4-10

แผนเสรมิ กําลังของเสา (column stiffener):

แรงกดอดั ทีเ่ กิดขน้ึ ทปี่ กของคาน = M = 13,000(100) = 29,954 kg
d − tb 44.6 −1.2

Pbf = 5 (29,954) = 49,923 kg
3

แรงกดอัดท่ีมากทส่ี ุดท่ีเกดิ ขน้ึ ทปี่ ก ของคาน = Af Fy = 19.9(1.2)2,400 = 57,312 kg > Pbf

ดงั น้นั ใช Pbf = 49,923 kg

ASD specification กําหนดใหใสแ ผนเสริมกาํ ลงั แกเสา ถา Ast มีคา เปน บวกเมอื่

Ast = Pbf − Fyct(tb + 5k) = 49,923 − 2,400(0.8)[1.2 + 5(2.5)] = 9.84 cm2
Fyst 2,400

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทติ ย SUT 4-35

เน่ืองจาก Ast มีคาเปนบวก ดังน้ัน เราตองใสแผนเสรมิ กาํ ลงั แกเสาโดยตองมีพ้ืนท่หี นา ตดั ไมน อยกวา 9.84 cm2
ตรงตําแหนง ทต่ี รงกันขามกบั ปกของคาน และแผนเสริมกําลงั ดงั กลา วจะตองมลี กั ษณะดงั น้ี

1. ความกวางของแผนเสรมิ กาํ ลังตองมากกวา 2/3 เทา ของความกวางของปกของคาน

(2 / 3)W − t f = (2 / 3)19.9 − 0.8 = 6.23 cm
2 2

2. ความกวางของแผนเสริมกาํ ลังตอ งไมม ากกวาปก ของเสา

bf −tf = 20 − 0.8 = 9.60 cm
2 2

3. ความหนา tst ของแผน เสรมิ กําลังตองไมน อ ยไปกวาครงึ่ หนง่ึ ของความหนาของปก ของคาน

tb = 1.2 = 0.6 cm
2 2

ลองใชแ ผนเหลก็ ขนาด 7.5×1.0 cm

Ast = 7.5(1.0) × 2 stiffeners = 15.0 cm2 > 9.84 cm2 O.K.

4. อัตราสว นของความกวา งของแผน เสริมกาํ ลัง b ตอ ความหนา tst ไมเกนิ 796 / Fy

b = 7.5 = 7.5
t st 1.0

796 = 796 = 16.25 > 7.5 O.K.
Fy 2400

เนื่องจากคานเชอ่ื มตอ เขา กบั เสาเพยี งดา นเดียว ดังนนั้ แผนเสรมิ กาํ ลงั ไมจาํ เปน จะตอ งยาวเทาความลึกของเสาและ

d / 2 = 20.0 / 2 = 10.0 cm ใชแ ผน เสริมกําลงั ยาว 10.0 cm

สรุปแผน เสรมิ กําลัง: 7.5×1.0 cm -10 cm ดงั ท่แี สดงในรปู ที่ Ex 4-10b

แผนเสรมิ เอว (web reinforcement):

เอวของเสาตองมคี วามหนาอยางนอยเทา กับ

t = M = 13,000(100) = 1.6 cm >t = 0.80 cm
0.38db dc Fyc 0.38(20.0)44.6(2,400)

และความหนาของเอวที่ตอ งเพมิ่ ข้ึน td = 1.6 − 0.8 = 0.8 cm ดังน้ัน ใชแผน เสรมิ เอวทแยง ดงั ท่แี สดงในรูปที่ Ex 4-10c

แรงเฉือนทค่ี วามหนาของแผนเสรมิ เอวรบั = 0.40Fytd dc = 0.40(2,400)0.8(20.0) = 15,360 kg

กําหนดใหแรงเฉือนดังกลาวเปนองคประกอบของแรงในแนวนอนของแรงกดอัด P ท่ีเกิดข้ึนในแผนเสรมิ เอวทแยง

เม่ือ θ = tan −1(44.6 / 20.0) = 65.85o

P= 15,360 = 37,543 kg
cos 65.85o
กําหนดใหห นว ยแรงกดอัดยอมใหในแผน เสรมิ เอวทแยง

Ft = 0.60Fy = 0.60(2,400) = 1,440 kg/cm2

พ้ืนท่หี นา ตดั ของแผนเสรมิ เอวทแยง

Ast = 37,543 = 26.1 cm2
1,440

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธิชัย แสงอาทิตย SUT 4-36

ใชแผนเสรมิ เอวทแยงขนาด 7.5 ×1.75 − 2 stiffeners ซ่ึงมีพ้นื ทห่ี นาตดั = 2(7.5)1.75 = 26.25 cm2

ตรวจสอบอัตราสวนของความกวางของแผนเสริมเอวทแยง

b = 7.5 = 4.3
t st 1.75

796 = 796 = 16.25 > 4.3 O.K.
Fy 2400

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรียงโดย ผศ.ดร. สิทธชิ ยั แสงอาทติ ย SUT 4-37

4-9 การดดั ท่ีไมสมมาตร (Unsymmetrical Bending)
จากวิชา mechanics of materials เราทราบมาแลววา หนาตดั ของคานใดๆ จะมีแกนอยูส องแกน ( x และ y ) ซ่ึงตง้ั

ฉากซึง่ กันและกันและมคี า product of inertia ∫ xy dA ของพ้ืนท่ีหนาตัดเทา กับศนู ย ซึ่งแกนท้ังสองนจ้ี ะถกู เรียกวา principal
A

axes ของหนาตัด และการดัดใดๆ ซึ่งไมไดเกิดข้ึนรอบแกนทั้งสองนี้จะถูกเรียกวา การดัดที่ไมสมมาตร (unsymmetrical

bending)

ในกรณีเชนน้ี เราจะทําการแตกโมเมนตซึ่งมีทิศทางใดๆ เขาสูแกนหลักดังกลาว แลวทําการรวมองคประกอบของ

โมเมนตเหลา นนั้ เขาดวยกันในแตละแกน ดงั ที่แสดงในรปู ที่ 4-21 จากน้ัน คา หนวยแรงดัด (bending stress) ที่เกิดขึ้นบนจุด

ใดๆ บนหนา ตดั ของคานจะหาไดโดยใช flexural formula

fb = Mxy ± Myx = Mx ± My
Ix Iy Sx Sy

รูปที่ 4-21

ในทาํ นองเดียวกัน หนว ยแรงเฉอื น (shear stress) ที่เกิดขน้ึ ในคานดงั กลา วจะหาไดจากสมการ

fv = VxQy ± VyQx
by I y bx I x

สมการขา งตน จะใชไ ดใ นกรณีที่แรงกระทําทั้งในแนวดงิ่ และแนวราบกระทําผานจุด centroid ของคาน เชน คานท่รี อง

รับเครนซึ่งจะถกู กระทาํ โดยแรงในแนวนอนเนือ่ งจากการเคลอ่ื นที่ของเครนและโดยนาํ้ หนักบรรทกุ ในแนวดิง่ รวมกัน เปนตน

อีกตัวอยา งหน่งึ ขององคอ าคารของโครงสรา งท่ถี กู กระทาํ โดยการดัดท่ีไมสมมาตรคือ แป (purlins) ที่รองรบั แผน มงุ

หลังคาของหลังคา แปมกั จะถูกวางเอยี งต้ังฉากกบั แนวหลงั คาและถูกกระทําโดยนาํ้ หนกั บรรทุกในแนวด่ิงที่ปก บนของแป ดงั ที่

แสดงในรปู ท่ี 4-22 น้าํ หนกั บรรทุกดังกลา วจะถูกแตกเขา สูแ กน x และแกน y ของหนา ตัดของแป ซง่ึ น้าํ หนกั บรรทกุ ในแกน

x จะทําใหเกิดโมเมนตบิดกระทําตอแป ดังน้นั ในการออกแบบแป เราจะสมมตุ ใิ หแ รงดงั กลา วถกู รองรับโดยปกบนของแปเทา

น้ัน ดงั น้ัน ในการนาํ flexural formula มาออกแบบแปนั้น section modulus รอบแกน y ของหนาตดั ของแปจะตองถกู ลดลง

ครึ่งหนึ่ง ซึง่ จะทาํ ใหสมการดังกลา วอยใู นรูป

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชยั แสงอาทติ ย SUT 4-38

fb = Mx ± My
Sx Sy /2

รูปท่ี 4-22

แปสวนใหญจะมีหนา ตดั ซึง่ ไมแ ขง็ แรงตอ การดดั รอบแกนรอง ดงั นนั้ แปจึงถูกค้ํายนั โดยใช sag rods ดังท่ีแสดงในรปู
ท่ี 4-22 ซึ่งจะทําใหแปมีลกั ษณะเปนคานตอ เนอื่ งและจะทําใหคา moment สูงสุดรอบแกนรองมีคาลดลง ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 4-
23 โดยที่ L เปน ความยาวของ span ของแป และ wx และ wy เปน องคป ระกอบของแรงกระทาํ ในแนวแกน x และแกน y
ตามลําดบั ในทางปฏิบัติ ระยะหางระหวางแปจะมีคาในชวง 0.60 ถึง 1.80 เมตรและความยาวของ span ของแปจะมีคา
ประมาณ 24 เทาของความลกึ

รปู ท่ี 4-23

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธชิ ัย แสงอาทติ ย SUT 4-39

ตวั อยา งที่ 4-11
หลังคานโครงขอ หมนุ ดงั ท่แี สดงในรูปที่ Ex 4-11 มีระยะหางระหวา งโครงขอหมนุ 4.5 m โดยท่แี ปวางอยใู นตําแหนง

ในรปู และยดึ ดวย sag rod ท่ีกึ่งกลางความยาวของแป กาํ หนดใหหลังคามีนา้ํ หนักบรรทุกคงท่ี (dead load) 30 kg/m2 และ
นํ้าหนกั บรรทุกจร 50 kg/m2 จงออกแบบแปหนาตัด W150 โดยใชเหล็ก Fe 24 ตามมาตรฐาน มอก. 116-2529

รปู ที่ Ex 4-11

ความกวางของหลังคาทแี่ ปหนึ่งตวั รองรับ = 4.5 10 = 2.372 m
2 3

น้ําหนกั บรรทุกทก่ี ระทําตอแป = (30 + 50)2.372 = 189.8 kg/m

แรงทก่ี ระทําตอแปในแนวตง้ั ฉากกับหลงั คา = 3 (189.8) = 180 kg/m

10

แรงท่ีกระทาํ ตอแปในแนวขนานกับหลงั คา = 1 (189.8) = 60 kg/m

10

โมเมนตส งู สดุ ท่เี กดิ ขึน้ ในแป

Mx = 1 (180)4.52 (100) = 45,563 kg - cm
8

เนื่องจากแปถูกยึดดวย sag rod ที่ก่ึงกลางความยาวของแป จากรูปที่ 4-23

My = 1 (60)(4.5)2 (100) = 3,797 kg - cm
32

ลองใชหนาตดั W150 × 31.5 kg/m

f bx = Mx = 45,563 = 208.1 kg/cm2
Sx 219

f by = My = 3,797 = 101.1 kg/cm2
Sy (75.1/ 2)

หา Fbx :

ความยาวที่ไมมกี ารการคาํ้ ยันทางดานขางของแป L = 4.5 / 2 = 2.25 m

จากภาคผนวกที่ 3 จะได Lc = 2.0 m และ Lu = 5.9 m ซ่ึง Lc < L < Lu ดังน้ัน

Fbx = 0.60Fy = 0.60(2,400) = 1,440 kg/cm2

หา Fby :
เนื่องจากหนา ตดั W150 × 31.5 kg/m เปน หนา ตัดท่ีอัดแนน

Fby = 0.75Fy = 0.75(2,400) = 1,800 kg/cm2

จากสมการ interaction

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรียงโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทติ ย SUT 4-40

f bx + f by = 208.1 + 101.1 = 0.145 + 0.056 = 0.201 < 1.0 O.K.
Fbx Fby 1,440 1,800

ซ่ึงเราจะเหน็ ไดวา ถึงหนา ตดั W150 × 31.5 kg/m จะใชไ ด แตค อ นขา งจะใหญม ากเกินไป

ลองใชหนาตดั W150 ×14.0 kg/m

f bx = Mx = 45,563 = 513.1 kg/cm2
Sx 88.8

f by = My = 3,797 = 575.3 kg/cm 2
Sy (13.2 / 2)

หา Fbx :

จากภาคผนวกที่ 3 จะได Lc = 1.0 m และ Lu = 2.1m ซ่งึ Lu < 2.25 m ดังนั้น คานถกู รองรับอยา งไมพ อ

เพยี ง

rT ≈ 0.26b f = (0.26)7.5 = 1.95 cm

L = 225 = 115.4
rT 1.95

M1 = 0 =0
M2 46,540

Cb = 1.75

717(104 )Cb = 717(104 )1.75 = 72.3
Fy 2400

3,585(104 )Cb = 3,585(104 )1.75 = 161.7
Fy 2,400

เน่ืองจาก 72.3 < L / rT < 161.7 ดงั น้นั

Fb = 2 − Fy (L / rT )2  = 2 − 2,400(115.4) 2 2,400 = 1,192.5 kg/cm2
 10,756(104 )Cb  Fy  10,756(104 )1.75 
 3   3

หรอื

843,600Cb 843,600(1.75) 2,296.5 kg/cm 2
L d / Af
=( )Fb = 225(15.0 /[7.5(0.7)]) =

คา Fb สูงสุดจากสมการท้งั สองขางตน สูงกวา 0.60Fy = 1,440 kg/cm2 ดังน้ัน

Fbx = 0.60Fy = 1,440 kg/cm2

หา Fby :

เนอ่ื งจากหนาตดั W150 × 21.1kg/m เปนหนา ตดั ที่อดั แนน

Fby = 0.75Fy = 0.75(2,400) = 1,800 kg/cm2

จากสมการ interaction

f bx + f by = 513.1 + 575.3 = 0.356 + 0.320 = 0.676 < 1.0 O.K.
Fbx Fby 1,440 1,800

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธิชัย แสงอาทิตย SUT 4-41

ตรวจสอบกาํ ลังรับแรงเฉอื น O.K.

Vy = 189.8(4.5) = 427 kg
2

fv = Vy = 427 = 56.94 kg/cm2
dt w 15.0(0.5)

Fv = 0.40Fy = 0.40(2,400) = 960 kg/cm2 > fv

ดังนั้น ใชหนา ตดั W150 ×14.0 kg/m

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรียงโดย ผศ.ดร. สิทธิชัย แสงอาทติ ย SUT 4-42

ตวั อยา งที่ 4-12 O.K.
O.K.
จงออกแบบแปในตวั อยา งท่ี 4-11 โดยใชหนาตัด C O.K.

โมเมนตสูงสุดทีเ่ กิดข้นึ ในแป

M x = 45,563 kg - cm และ M y = 3,797 kg - cm

ลองใชห นาตดั C150 × 75 ×18.6 kg/m

f bx = Mx = 45,563 = 396.2 kg/cm 2
Sx 115

f by = My = 3,797 = 339.0 kg/cm2
Sy (22.4 / 2)

เนื่องจากแปมีการคา้ํ ยันทางดานขางตลอดและแปไมม ีความสมมาตรสองแกน ดงั นัน้

Fbx = 0.60Fy = 0.60(2,400) = 1,440 kg/cm2

จากสมการ interaction

f bx + f by = 396.2 339.0 = 0.511 < 1.0
Fbx Fby 1,440 + 1,440

ลองใชหนาตดั C125 × 65 ×13.4 kg/m

f bx = Mx = 45,563 = 672.0 kg/cm 2
Sx 67.8

f by = My = 3,797 = 566.7 kg/cm2
Sy (13.4 / 2)

จากสมการ interaction

f bx + f by = 672.0 + 566.7 = 0.860 < 1.0
Fbx Fby 1,440 1,440

ตรวจสอบกําลังรับแรงเฉือน

fv = Vy = 427 = 56.93 kg/cm2
dt w 12.5(0.6)

Fv = 0.40Fy = 0.40(2,400) = 960 kg/cm2 > fv

ดังนน้ั ใชห นาตดั C125 × 65 ×13.4 kg/m

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ยั แสงอาทติ ย SUT 5-1

บทท่ี 5
องคอ าคารรบั โมเมนตด ัดและแรงกดอัดรว มกัน

5-1 บทนํา
องคอาคารของโครงสรา งทีถ่ กู กระทาํ โดยโมเมนตดดั (bending moment) และแรงกดอดั ในแนวแกน (axial load) ใน

เวลาเดยี วกันจะถกู เรียกวา beam-column เชน เสาของโครงสรางซึง่ ถกู กระทําโดยนํา้ หนกั บรรทกุ และแรงกระทาํ ทางดา นขาง
(lateral loads) ดังที่แสดงในรูปที่ 5-1 และเสาซ่ึงถูกกระทาํ โดยแรงกดอัดเยื้องศนู ยจ ากจุด centroid ของหนาตดั ของเสา
เปน ตน

รูปที่ 5-1

โมเมนตดัดท่ีเกิดข้ึนในองคอาคารรับแรงดึงจะมีผลตอองคอาคารดังกลาวนอยกวาโมเมนตดัดท่ีเกิดขึ้นในองคอาคาร
รับแรงกดอัด เน่ืองจากแรงดงึ จะชว ยลดการโกงตัวทางดานขา งขององคอ าคารลง แตแ รงกดอัดจะทําใหก ารโกง ตัวทางดานขาง
ขององคอาคารมคี าเพม่ิ ขนึ้ เมอ่ื การโกง ตวั ทางดานขา งมีคาเพ่มิ ขน้ึ แลว โมเมนตดัดทเ่ี กดิ ขน้ึ บนองคอาคารรบั แรงกดอัดกจ็ ะมคี า
เพ่ิมขึ้นไปอีกเทากับผลคูณของคา แรงกดอดั ในแนวแกนและคาการโกง ตวั ขององคอ าคาร ซ่งึ จะเปน ผลตอ เนอ่ื งทําใหคาการโกง
ตัวทางดานขา งมคี า เพ่ิมขึ้นดวย ปรากฏการณดงั กลา วจะดําเนินไปจนกวาองคอาคารรับแรงกดอดั จะอยูใ นสภาวะสมดุล ดังน้ัน
องคอาคารดงั กลาวจะตอ งมคี วามแกรง ที่พอเพียง เพ่ือปองกนั ไมใ หการโกงตวั ทางดา นขา งมผี ลตอ เสถียรภาพของโครงสรา ง
5-2 สมการ Interaction ของ Beam-Column

รูปท่ี 5-2

การคํานวณหาคา หนวยแรงท่ีเกดิ ขนึ้ ใน beam-column ดังท่ีแสดงในรปู ที่ 5-2 น้นั ทําไดยาก เนื่องจากการวิเคราะห
ตองกระทําเปนลาํ ดับข้ันตอนจนกระทงั่ beam-column อยูในสมดุล ดงั นั้น ถา เราไมน ําผลของการเพ่มิ ขึน้ ของการโกงตวั ทาง

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ยั แสงอาทิตย SUT 5-2

ดานขา งและการเพ่มิ ขึ้นของโมเมนตด ดั เนอ่ื งจากการโกงตวั ทีเ่ พ่ิมขนึ้ มาพจิ ารณาแลว จาก principle of superposition คา

หนวยแรงดัด (flexural stress) ท่ีเกิดขึ้นใน beam-column จะหาไดจ ากสมการ

f = P ± Mc
A I

โดยท่ีคา หนว ยแรงดังกลา วจะตอ งมีคานอยกวา คา หนวยแรงท่ยี อมให (allowable stress)

อยา งไรก็ตาม ในการออกแบบ beam-column นั้น มาตรฐาน ว.ส.ท. กําหนดใหใชสมการซึง่ แสดงถึงความสมั พันธ

ของผลของการท่ีแรงกดอดั ในแนวแกนกระทํารว มกับโมเมนตด ัดในรูปของสมการ interaction

fa + fb ≤ 1.0
Fa Fb

โดยที่ fa = P เปนหนว ยแรงกดอดั (axial stress) ที่เกิดจากแรงกดอดั P
A

Fa เปน หนวยแรงกดอัดทยี่ อมให (allowable axial stress) ในกรณที ี่มีเฉพาะแรงกดอัดกระทําตอ beam-column

เทา นัน้

fb = Mc เปน หนวยแรงดดั (flexural stress) ท่ีเกดิ ข้นึ เนอ่ื งจากโมเมนตดัด
I

Fb เปนหนว ยแรงดดั ทย่ี อมให (allowable flexural stress) ในกรณที มี่ เี ฉพาะโมเมนตด ัดกระทาํ ตอ beam-column

เทา นั้น

สมการ interaction น้ีเปนสมการท่ีแปรผนั กบั กําลงั การรบั แรงกดอดั และกาํ ลังการรับโมเมนตดัดของ beam-column

โดยที่เมื่อหนวยแรงดัดมีคาที่สงู เมื่อเทียบกับหนว ยแรงกดอดั แลว คา หนว ยแรงรว มท่ียอมให (allowable combined stress) จะ

มีคาท่ีใกลเคียงกบั คา หนว ยแรงดดั ทยี่ อมให ในทางตรงกนั ขาม ถาหนว ยแรงกดอัดมคี า ท่สี ูงเมื่อเทยี บกับหนว ยแรงดัดแลว คา

หนวยแรงรวมท่ียอมใหจ ะมคี า ท่ใี กลเคยี งกับคาหนว ยแรงกดอัดทยี่ อมให

เน่อื งจากสมการ interaction ดังกลาวมีขอจาํ กัดในการใชง านจรงิ ดังนัน้ มาตรฐาน ว.ส.ท. จึงดัดแปลงสมการ

interaction นี้ใหเ หมาะสมกบั กรณีตางๆ ซึง่ จะกลา วถงึ ตอไป

ในกรณที มี่ กี ารดัดเกดิ ข้นึ รอบแกน x และแกน y ในเวลาเดียวกนั แลว คาหนว ยแรงดดั ทเ่ี กิดขนึ้ จะหาไดจากสมการ

f = P ± M x y ± M y x
A I x I y

และสมการ interaction ในกรณนี จี้ ะอยใู นรปู

fa + f bx + f by ≤ 1.0
Fa Fbx Fby

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธิชยั แสงอาทติ ย SUT 5-3

ตัวอยางท่ี 5-1
กําหนดให beam-column ดังท่แี สดงในรปู ที่ Ex 5-1 ถูกรองรบั ทางดา นขางเฉพาะที่จุดรองรบั เทา นัน้ และถกู กระทาํ

โดยโมเมนตร อบแกนหลัก จงตรวจสอบวา หนว ยแรงที่เกดิ ขึ้นภายใน beam-column สอดคลอ งกับสมการ interaction หรอื ไม

รูปท่ี Ex 5-1

หนวยแรงกดอดั เฉลยี่

fa = P = 8,000 = 125.9 kg/cm2
A 63.53

อัตราสวนความชลูดสงู สดุ = KL = 1.0(5)(100) = 99.6
ry 5.02

จากภาคผนวกที่ 2 เราจะไดวา

Fa = 895.4 − (895.4 − 887.4)0.6 = 890.6 kg/cm2

M max = PL = 4,000(5)100 = 500,000 kg - cm
4 4

หนว ยแรงดดั สูงสดุ รอบแกนหลัก

fb = M max = 500,000 = 1,059.3 kg/cm2
Sx 472

จากภาคผนวกท่ี 2 เราจะไดวา Lc = 2.6 m และ Lu = 7.1 m เนื่องจาก Lc < L < Lu ,

Fb = 0.60Fy = 0.60(2,400) = 1,440 kg/cm2

สมการ interaction

fa + fb = 125.9 + 1,059.3 = 0.877 ≤ 1.0
Fa Fb 890.6 1,440

ดังนน้ั หนวยแรงท่เี กดิ ขน้ึ ภายใน beam-column สอดคลอ งกบั สมการ interaction

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชยั แสงอาทติ ย SUT 5-4

5-3 แฟคเตอรข ยายโมเมนต (Moment Amplification) และแฟคเตอรป รบั แกโ มเมนต (Moment Modification)
เม่ือ beam-column ถูกกระทาํ โดยโมเมนตดดั แลว beam-column จะเกดิ การโกงตวั ทางดา นขา งในระนาบของการ

ดัด ซ่ึงจะกอ ใหเกิดโมเมนตรอง (secondary moment) เพ่ิมขึ้นเทากบั แรงกดอดั ในแนวแกนคณู กับคาการโกง ตวั ดงั กลาว จาก
รูปที่ 5-3 เราจะเหน็ ไดว า

1. คาโมเมนตดัด M b จะทําใหเสาเกดิ การโกงตวั ทก่ี ง่ึ กลางเสาเทากับ d
2. แรงกดอัดในแนวแกน P จะทําใหโมเมนตดดั ท่ีกระทาํ ตอ เสามคี าเพิม่ ขนึ้ เทา กับ Pd
3. คาโมเมนต M b + Pd นี้จะทําใหเสาเกดิ การโกง ตวั มากขึ้นจาก d เปน d + d1
4. แรงกดอดั ในแนวแกน P จะทาํ ใหโมเมนตดดั ที่กระทําตอเสามคี าเพม่ิ ข้ึนอกี เทากับ Pd1
5. การเพิ่มขึ้นของโมเมนตดดั และการโกงตวั ของเสาจะดาํ เนนิ ไปเร่อื ยๆ จนถงึ จดุ ทีเ่ สาอยูในสภาวะสมดลุ

รปู ที่ 5-3

จากข้นั ตอนการวิเคราะหขางตน เราจะเหน็ ไดวา การคาํ นวณหาคา โมเมนตด ัดและหนวยแรงดดั ท่เี กดิ ขึ้นในเสาจะทาํ
ไดโดยการทาํ การวิเคราะหซํา้ ไปซํ้ามา จนกระท่งั การโกงตวั ของเสามีคาที่นอ ยมาก การวิเคราะหใ นลักษณะน้จี ะมคี วามยงุ ยาก
มาก ดังน้ัน เพ่อื ทําใหการคํานวณหาคา หนว ยแรงดดั มีความงายข้นึ มาตรฐาน ว.ส.ท. จึงกําหนดใหค า หนว ยแรงดดั ทเ่ี กดิ ขนึ้ ใน
beam-column จะหาไดจ ากผลคณู ของหนว ยแรงดดั กับแฟคเตอรข ยาย (amplification factor)

อยา งไรก็ตาม ในบางกรณที แี่ ฟคเตอรข ยายดังกลาวจะทาํ ใหหนว ยแรงดัดมีคาสงู เกนิ ความจรงิ ได ดงั นนั้ แฟคเตอรดัง
กลาวจึงตองถกู คูณดว ยแฟคเตอรป รบั แก (modification factor) Cm ซ่ึงมีคานอยกวาหรือเทา กบั 1.0 เพ่ือทําใหหนวยแรงดดั มี
คาใกลเคยี งความจริงมากขน้ึ
แฟคเตอรขยาย (Amplification Factors)

พจิ ารณา beam-column ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 5-4 เราจะหาสมการของแฟคเตอรข ยายไดดงั น้ี
1. จากสมการของการดดั ของคาน เราจะเขียนสมการของการโกง ตัวของ beam-column เนื่องจากการกระทําของ

โมเมนตด ัด M ซึ่งเปน ผลรวมของโมเมนตดัดเน่ืองจากแรงกระทําในแนวขวางและ secondary moment เนื่อง
จากแรงในแนวแกนไดใ นรปู

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชัย แสงอาทิตย SUT 5-5

d2y = − M
dx 2 EI

2. สมมตุ สิ มการของการโกงตัวของ beam-column ใหสอดคลองกับ boundary conditions ของ beam-column

ในรูป

y = ∆ sin πx
L

โดยท่ี ∆ เปนคาการโกง ตวั ท่ีกง่ึ กลางความยาวของ beam-column

รปู ท่ี 5-4

3. หาสมการของโมเมนตดดั สูงสุดทีเ่ กดิ ขน้ึ ใน beam-column

ทาํ การ differentiate สมการของ y สองคร้ังแลว แทนลงลงในสมการของการโกง ตวั ของ beam-column

เราจะได

− ∆ π2 sin πx = − M
L2 L EI

โมเมนตด ัดสูงสุดจะเกดิ ขนึ้ ที่ก่งึ กลาง beam-column ที่ระยะ x = L / 2 ดังนน้ั

M bm = EI∆ π2
L2
จาก flexural formula fbm = M bmc / I ดังน้ัน การโกง ตวั สงู สุดจะเขยี นใหมไ ดในรูป

∆ = f bm L2
π 2 Ec
4. หาสมการของหนวยแรงดดั เนื่องจากโมเมนตด ัดและ secondary moment ท่ีจุดกึง่ กลางของ beam-column

f bm = M bmc = (M b + P∆) c
I I

= Mbc + P∆ c
I I
แทน ∆ ลงใน fbm

f bm = Mbc + P f bm L2  c
I π 2 Ec I

f bm = fb + f bm  π 2 P / L2 
 EI 

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรียงโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชัย แสงอาทติ ย SUT 5-6

จากสมการของ Euler

PE = π 2 EI / L2

ดังน้นั เราจะไดห นว ยแรงดดั อยูใ นรปู

f bm = f b  1 − 1 PE 
P/

เม่ือหารแรง P และแรง PE ดว ยพนื้ ทีห่ นาตดั ของ beam-column A แลว เราจะไดหนวยแรงดัดอยูในรูป

f bm = fb 1 − 1 fE 
fa /

ในการคาํ นวณหาหนว ยแรงดัดทีเ่ กิดข้นึ ในชว งท่ใี ชง านจรงิ น้ัน Euler stress fE จะตอ งถกู หารดว ยคา factor of

safety เทากับ 23/12 เม่ือกาํ หนดให FE′ = 12 fE / 23 ดังนัน้ สมการของแฟคเตอรขยายจะถูกเขยี นใหมไดใ นรูป

1 − 1 
f a / FE′

แฟคเตอรปรบั แก (Magnification Factors)

ในบางสถานการณ แฟคเตอรขยายจะทําใหค าหนวยแรงดดั ที่คาํ นวณไดม ีคาสงู เกินจรงิ ยกตัวอยา งเชน

1. เมื่อโมเมนตด ัดทีป่ ลายดา นหนึง่ ของเสามคี า เปนศนู ยแลว คาการโกงตัวของเสาทีเ่ กิดขน้ึ จริงจะมีคา ประมาณคร่ึง

หนงึ่ ของคาทคี่ ํานวณไดจ ากสมการแฟคเตอรขยายเทานน้ั

2. เม่ือเสาถูกกระทําโดยโมเมนตดัดที่มีคาท่ีเทากันและมที ศิ ทางเดยี วกนั ที่ปลายท้งั สองของเสาแลว เสาจะเกิดการ

ดัดในทิศทางตรงกันขามและจะทําใหคาการโกงตัวท่ีก่ึงกลางความสูงของเสาและคา หนว ยแรงดัดท่ีจดุ ดงั กลาวมี

คา เปน ศนู ย ดงั เชนเสา AB ที่แสดงในรูปท่ี 5-5

รูปท่ี 5-5
จากสถานการณใ นลักษณะดงั กลาว มาตรฐาน ว.ส.ท. จึงไดก าํ หนดใหแฟคเตอรขยายจะตองถูกคณู ดว ยแฟคเตอร

ปรับแก Cm เพื่อทีจ่ ะทําใหหนวยแรงดัดที่คํานวณโดยใชสมการ interaction มีคาสอดคลอ งกับความเปน จรงิ มากขึ้น และสม
การ interaction จะถกู เขยี นไดในรูป

fa + Cm fb ≤ 1.0
Fa 1 − fa Fb
Fe′

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธิชยั แสงอาทิตย SUT 5-7

โดยที่

Cm ≥ 1.0

1− fa
Fe′

5-4 สมการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท.

มาตรฐาน ว.ส.ท. ไดแบง สมการที่จะใชในการออกแบบ beam-column ออกเปน 3 กรณดี ังนี้

กรณี 1 เปนสมการที่ใชใ นการตรวจสอบเสถียรภาพโดยรวมของ beam-column ซ่ึงจะใชเ มอื่ โมเมนตดัดมีคา สูงสดุ ท่ี

บริเวณกึ่งกลางความสงู ของ beam-column

fa + Cmx f bx + Cmy f by ≤ 1.0
Fa 1 − fa Fbx 1 − fa 
Fe′x Fe′y  Fby

กรณี 2 เปนสมการท่ีใชในการตรวจสอบสภาวะของหนวยแรงที่เกิดขึ้นที่ปลายของ beam-column ซึ่งจะใชเมื่อ

โมเมนตดดั มีคา สงู สดุ ที่บริเวณปลายของ beam-column

fa + f bx + f by ≤ 1.0
0.60 f y Fbx Fby

สมการน้มี ักจะเปนสมการที่ควบคมุ การออกแบบ beam-column ท่ีถูกคาํ้ ยันไมใหเ กิดการเซ (sidesway) และถกู กระทาํ โดย

โมเมนตด ดั ท่ีมีทิศทางไปทางเดยี วกนั ทปี่ ลายของ beam-column

กรณี 3 เปนสมการท่ีใชเมื่อแรงกดอัดในแนวแกนมคี าคอนขางนอยเม่ือเทยี บกับคา หนว ยแรงกดอดั ทย่ี อมใหค ือเมือ่

fa / Fa ≤ 0.15 ซ่ึงคาของแรงกดอดั ในแนวแกนดังกลา วจะมีผลตอ โมเมนตที่เพ่มิ ขึน้ นอยมาก

fa + f bx + f by ≤ 1.0
Fa Fbx Fby

โดยท่ี fa เปนหนว ยแรงกดอดั ที่เกิดจากแรงกดอัดในแนวแกน P

Fa เปนหนวยแรงกดอดั ทีย่ อมให ในกรณที มี่ เี ฉพาะแรงกดอดั ในแนวแกน P กระทําตอ beam-column เทา น้นั

fb เปนหนว ยแรงดดั ทเ่ี กิดขึ้นเน่อื งจากโมเมนตดัด

Fb เปนหนวยแรงดดั ท่ียอมใหในกรณีทม่ี เี ฉพาะโมเมนตด ดั กระทําตอ beam-column เทา น้ัน

Fe′ เปน Euler stress ท่ีหารดว ยคา factor of safety เทากับ 23/12 ซ่ึงอยูใ นรปู

Fe′ = 12π 2 E

23 KLb  2
rb

เมื่อ Lb เปน unsupported length ในระนาบของการดดั และ rb เปน radius of gyration ที่สอดคลองกับทศิ ทางการดดั ของ

beam-column

ตารางท่ี 5-1 แสดงคา ของ Fe′ เมื่อ KLb / rb มคี า ตางๆ กัน
มาตรฐาน ว.ส.ท. ไดแ บง คา Cm ออกเปน 3 กรณี ซงึ่ เราจะเห็นตวั อยางในแตล ะกรณไี ดโดยการพิจารณาเสา AB
ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 5-6 คอื

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธิชัย แสงอาทติ ย SUT 5-8

รูปท่ี 5-6
แบบที่ 1 เม่ือ beam-column มีการเซ (sidesway) เกิดขน้ึ ภายใตแรงกระทํา ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี 5-6a แลว

Cm = 0.85

แบบที่ 2 เม่ือ beam-column ถูกยึดรั้งไมใหมกี ารเซเกิดขนึ้ และไมถูกกระทําโดยแรงกระทําทางดา นขา ง ดังทแี่ สดงใน

รูปที่ 5-6b แลว

Cm = 0.6 − 0.4 M1
M2

โดยท่ี M1 / M 2 เปนอัตราสวนของโมเมนตดัดท่ีมีคานอยกวาตอโมเมนตดัดท่ีมีคามากกวาท่ีเกิดที่ปลายของ beam-

column

M1 / M 2 จะมคี าเปน ลบเมือ่ โมเมนตด ดั ทั้งสองมีทิศทางตรงกนั ขา ม (single curvature)
M1 / M 2 จะมคี าเปนบวกเมือ่ โมเมนตด ดั มีทิศทางเดียวกนั (reverse curvature)
การที่ M1 / M 2 มีคาเปนลบและบวกในลกั ษณะดงั กลา ว เนอื่ งมาจากวา ถา beam-column มีการโกง ตวั แบบ
single curvature แลว beam-column ดังกลาวจะมคี าการโกงตัวดานขางมากกวา beam-column ที่มีการโกง ตัวแบบ reverse

curvature ดังน้ัน คา โมเมนตดัด เน่ืองจากแรงกดอัดในแนวแกนจะมีคาสงู กวาและหนวยแรงดัดทเี่ กิดขึ้นก็จะมีคามากกวาตาม

ไปดวย ซง่ึ จะทาํ ใหค า หนวยแรงดดั ทย่ี อมใหข อง beam-column ในกรณี single curvature มีคา ตํา่ กวาในกรณี reverse
curvature

แบบที่ 3 เมอื่ beam-column ถูกกระทําโดยแรงกระทําทางดานขา งและโครงสรางถูกคํา้ ยนั ไมใ หเ กดิ การเซ ดงั ที่
แสดงในรปู ท่ี 5-6c แลว คา Cm ของ beam-column แบบที่ 3 นถี้ ูกแบง ออกเปน 2 กรณคี อื

1. เมื่อ beam-column ถูกยึดร้ังทปี่ ลายท้ังสองแลว

Cm = 0.85

2. เม่ือ beam-column ไมถูกยดึ ร้งั ทีป่ ลายทงั้ สองแลว

Cm = 1.0

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธิชัย แสงอาทติ ย SUT 5-9

ตารางท่ี 5-1 คา Fe′ (kg/cm2 )

KLb Fe′ KLb Fe′ KLb Fe′ KLb Fe′ KLb Fe′ KLb Fe′ KLb Fe′
rb rb rb rb rb rb rb

21 24,520.9 49 4,503.8 77 1,823.9 105 980.8 133 611.3 161 417.2 189 302.7
22 22,342.4 50 4,325.5 78 1,777.4 106 962.4 134 602.2 162 412.0 190 299.5
23 20,441.8 51 4,157.5 79 1,732.7 107 944.5 135 593.3 163 407.0 191 296.4
24 18,773.8 52 3,999.2 80 1,689.6 108 927.1 136 584.7 164 402.1 192 293.3
25 17,301.9 53 3,849.7 81 1,648.2 109 910.2 137 576.1 165 397.2 193 290.3
26 15,996.6 54 3,708.4 82 1,608.2 110 893.7 138 567.8 166 392.4 194 287.3
27 14,833.6 55 3,574.8 83 1,569.7 111 877.7 139 559.7 167 387.7 195 284.4
28 13,793.0 56 3,448.2 84 1,532.6 112 862.1 140 551.7 168 383.1 196 281.5
29 12,858.1 57 3,328.3 85 1,496.7 113 846.9 141 543.9 169 378.6 197 278.6
30 12,015.2 58 3,214.5 86 1,462.1 114 832.1 142 536.3 170 374.2 198 275.8
31 11,252.6 59 3,106.5 87 1,428.7 115 817.7 143 528.8 171 369.8 199 273.1
32 10,560.3 60 3,003.8 88 1,396.4 116 803.6 144 521.5 172 365.5 200 270.3
33 9,929.9 61 2,906.1 89 1,365.2 117 790.0 145 514.3 173 361.3
34 9,354.4 62 2,813.1 90 1,335.0 118 776.6 146 507.3 174 357.2
35 8,827.5 63 2,724.5 91 1,305.8 119 763.6 147 500.4 175 353.1
36 8,343.9 64 2,640.1 92 1,277.6 120 751.0 148 493.7 176 349.1
37 7,899.0 65 2,559.5 93 1,250.3 121 738.6 149 487.1 177 345.2
38 7,488.7 66 2,482.5 94 1,223.8 122 726.5 150 480.6 178 341.3
39 7,109.6 67 2,408.9 95 1,198.2 123 714.8 151 474.3 179 337.5
40 6,758.6 68 2,338.6 96 1,173.4 124 703.3 152 468.0 180 333.8
41 6,432.9 69 2,271.3 97 1,149.3 125 692.1 153 461.9 181 330.1
42 6,130.2 70 2,206.9 98 1,126.0 126 681.1 154 456.0 182 326.5
43 5,848.4 71 2,145.2 99 1,103.3 127 670.5 155 450.1 183 322.9
44 5,585.6 72 2,086.0 100 1,081.4 128 660.0 156 444.4 184 319.4
45 5,340.1 73 2,029.2 101 1,060.1 129 649.8 157 438.7 185 316.0
46 5,110.4 74 1,974.7 102 1,039.4 130 639.9 158 433.2 186 312.6
47 4,895.3 75 1,922.4 103 1,019.3 131 630.1 159 427.7 187 309.2
48 4,693.4 76 1,872.2 104 999.8 132 620.6 160 422.4 188 306.0

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทิตย SUT 5-10

นอกจากน้ันแลว ในกรณีท่ีตอ งการคา Cm ท่ีมีความถูกตอ งมากขึ้นแลว ASD specification ไดกาํ หนดใหหาคา Cm
ของ beam-column แบบที่ 3 นี้ไดโดยใชส มการดังทแี่ สดงในตารางท่ี 5-2

ตารางที่ 5-2 Magnification factors Cm ของ beam-column แบบท่ี 3 (ASD specification)
Case ψ Cm
0 1.0

-0.4 1-0.4 fa

Fe′

-0.4 1-0.4 fa

Fe′

-0.2 1-0.2 fa

Fe′

-0.3 1-0.3 fa

Fe′

-0.2 1-0.2 fa

Fe′

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธิชยั แสงอาทติ ย SUT 5-11

ตัวอยา งท่ี 5-2
กําหนดให beam-column หนา ตัด W200 × 49.9 kg/m ดังทีแ่ สดงในรูปที่ Ex 5-2 ถูกรองรบั ทางดา นขา งเฉพาะที่

จุดรองรบั เทานั้นและถกู กระทาํ โดยโมเมนตดัดรอบแกนหลกั (แกน x ) จงตรวจสอบวา beam-column สอดคลอ งกบั สมการ
ออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. หรือไม

รปู ท่ี Ex 5-2

หนว ยแรงกดอดั เฉลย่ี

fa = P = 8,000 = 125.9 kg/cm2
A 63.53

อัตราสว นความชลูดสงู สุด = KL = 1.0(3)(100) = 59.8
ry 5.02

จากภาคผนวกท่ี 2 เราจะไดวา

Fa = 1,178.2 − (1,178.2 −1,172.1)0.8 = 1,173.3 kg/cm2

fa = 125.9 = 0.107 < 0.15
Fa 1,173.3

ทําการตรวจสอบโดยใชสมการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. แบบท่ี 3

M max = PL + wL2 = 8,000(3) (49.9)(32 ) = 6,056.1 kg - cm
4 8 4 +8

หนว ยแรงดัดสงู สุดรอบแกนหลัก

f bx = Mx = 6,056.1(100) = 1,283.1 kg/cm2
Sx 472

จากภาคผนวกท่ี 2 เราจะไดว า Lc = 2.6 m และ Lu = 7.1 m เนอื่ งจาก Lc < L = 3 m < Lu ,

Fb = 0.60Fy = 0.60(2,400) = 1,440 kg/cm2

สมการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. แบบท่ี 3

fa + f bx = 0.107 + 1,283.1 = 0.998 ≤ 1.0
Fa Fbx 1,440

ดังน้ัน หนาตัด W200 × 49.9 kg/m สามารถรองรบั แรงกระทําดังกลา วได

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรยี บเรยี งโดย ผศ.ดร. สิทธชิ ยั แสงอาทิตย SUT 5-12

ตัวอยา งท่ี 5-3
กาํ หนดให beam-column ดังที่แสดงในรูปท่ี Ex 5-3 เปนสวนหนงึ่ ของโครงสรางที่มกี ารคํา้ ยนั (braced frame) ถูก

รองรับทางดานขา งเฉพาะท่ีจุดรองรบั เทานัน้ และถูกกระทําโดยโมเมนตด ัดรอบแกนหลกั จงตรวจสอบวา beam-column สอด
คลองกบั สมการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. หรอื ไม

รูปท่ี Ex 5-3

หนวยแรงกดอัดเฉล่ีย

fa = P = 45,000 = 488.2 kg/cm2
A 92.18

ในการที่จะหา Fa เราจะตอ งทราบ K ซง่ึ จะหามาไดโดยใช alignment chart สําหรบั โครงสรางทีม่ กี ารคา้ํ ยัน แต

เน่ืองจากโจทยไมไดกําหนดรายละเอียดของการเช่ือมตอคานเขากับเสา เราจะสมมุติให K = 1.0 ซ่ึงเปนคาที่ปลอดภัย

สําหรบั โครงสรางทมี่ กี ารคา้ํ ยัน

อัตราสวนความชลดู สูงสุด = KL = 1.0(5)(100) = 79.5
ry 6.29

จากภาคผนวกท่ี 2 เราจะไดวา

Fa = 1,042.8 kg/cm2

fa = 488.2 = 0.468 > 0.15
Fa 1,042.8

ดังนั้น ตรวจสอบโดยใชส มการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. แบบที่ 1 และแบบที่ 2

หนวยแรงดดั สูงสดุ รอบแกนหลกั

f bx = Mx = 8,500(100) = 980.4 kg/cm2
Sx 867

จากภาคผนวกที่ 2 เราจะไดวา Lc = 3.3 m และ Lu = 8.2 m เน่อื งจาก Lc < L = 5.0 m < Lu ,

Fbx = 0.60Fy = 0.60(2,400) = 1,440 kg/cm2

ทําการตรวจสอบโดยใชส มการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. แบบที่ 2 ซงึ่ เปนการตรวจสอบสภาวะ

ของหนว ยแรงทเี่ กดิ ขึน้ ท่ปี ลายของ beam-column ซึ่งจะใชเมื่อโมเมนตดัดมีคาสูงสุดที่บริเวณปลายของ beam-column ดังนน้ั

คาหนวยแรงดดั ทย่ี อมใหใ นกรณีนจ้ี ะถูกหามาโดยสมมุติใหป กของเสาท่ีรับแรงกดอดั มกี ารรองรับตลอดแนว และเน่ืองจากหนา

ตัด W250 × 72.4 kg/cm2 เปน หนาตดั ทีอ่ ัดแนน ดงั นั้น เราจะให Fbx ในกรณนี เ้ี ทา กบั 0.66Fy

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรยี บเรียงโดย ผศ.ดร. สิทธิชัย แสงอาทิตย SUT 5-13

fa + f bx = 488.2 + 980.4 = 0.339 + 0.619 = 0.958 < 1.0 O.K.
0.60 f y Fbx 0.60(2,400) 0.66(2,400)
O.K.
ทําการตรวจสอบโดยใชส มการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. แบบที่ 1

M1 = − 4,500 = −0.529
M2 8,500

Cm = 0.6 − 0.4 M 1 ≥ 0.4
M 2

= 0.6 − 0.4(−0.529) = 0.812

KLx = 1.0(5)(100) = 46.3
rx 10.8

12π 2 E 12π 2 (2.1)10 6 = 5,044.4 kg/cm2

Fe′ = KLx  2 = 23(46.3)2
rx
23

fa + Cmx f bx = 488.2 + 0.812(980.4) = 0.951 < 1.0
Fa 1042.8
1 − fa Fbx 1 − 488.2 1,440
Fe′x  5,044.4 

ดังนัน้ หนา ตดั W250 × 72.4 kg/cm2 สอดคลอ งกบั สมการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท.

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทิตย SUT 5-14

5-5 การออกแบบ Beam-Columns

ข้ันตอนในการออกแบบ beam-column เปนข้ันตอนแบบทม่ี ีการลองผดิ ลองถกู (trial-and-error) โดยมขี ้ันตอนดงั นี้

1. ทําการเลือกหนา ตัดขนึ้ มาหนาตัดหนึ่งโดยประมาณ

2. ใชส มการ interaction equation ท่ีเหมาะสมในการตรวจสอบหนาตดั ของ beam-column ดังกลาววา ใหญเ กนิ ไป

(overdesigned) หรือเลก็ เกนิ ไป (underdesigned) หรือไม

3. ถาหนาตดั ดงั กลาวใหญเ กินไปหรอื เล็กเกนิ ไปแลว ทาํ การเลือก beam-column ใหเหมาะสมมากขน้ึ แลว ทําการ

ตรวจสอบอีกครง้ั

ดังน้นั ถาเราเลอื กหนาตดั ของ beam-column ในข้ันตอนท่ี 1 ไดอยางเหมาะสมแลว เราจะไมต อ งทาํ การตรวจสอบหลายครง้ั

ASD Specification ไดเ สนอใหใ ชวิธีแรงกดอดั ในแนวแกนทส่ี มมูล (equivalent axial load method) ในการชว ยเลอื ก

หนาตดั ของ beam-column ไดใกลเคียงกับความเปนจรงิ ในวธิ กี ารนี้ เราจะแปลงโมเมนตดัดใหเ ปน แรงกดอดั ในแนวแกนทม่ี ี

ขนาดที่ทําใหเ กดิ คาหนว ยแรงสงู สดุ เทากบั คา หนวยแรงสูงสุดทเี่ กดิ จากโมเมนตดัดดงั กลา ว จากนัน้ ทาํ การหาคา แรงกดอดั ใน

แนวแกนสมมลู (equivalent axial load) Peq โดยรวมแรงกดอัดในแนวแกนทีไ่ ดจ ากการแปลงโมเมนตดัดขางตน เขา กับแรงกด
อดั ในแนวแกนจรงิ Po และใหก ระทาํ ตอ beam-columns สุดทา ย ทาํ การออกแบบ beam-columns เหมือนกับการออกแบบ
เสาที่ถูกกระทําโดยแรงกดอัดในแนวแกนเทาน้ัน อยางไรก็ตาม สมการของแรงกดอัดในแนวแกนที่สมมูลของ ASD

Specification มีความซับซอ นมาก ซงึ่ จะใชไ ดดีถา ทําอยูในรูปของตารางชว ยการคาํ นวณ

Yura, J.A. (1988) ไดเสนอสมการของแรงกดอดั ในแนวแกนทสี่ มมลู อกี รปู แบบหน่ึงซงึ่ สะดวกในการคํานวณมอื หรือ

เขยี นเปนตารางคาํ นวณใน Excel ซ่ึงสมการดังกลาวอยใู นรูป

P* = P+ 2M x + 7.5M y
d b

เมอ่ื

P* เปนแรงกดอดั ในแนวแกนทีส่ มมลู (equivalent axial load)

P เปนแรงกดอัดในแนวแกนจรงิ ท่กี ระทําตอ beam-columns

M x และ M y เปนโมเมนตดดั รอบแกน x และแกน y
d และ b เปน ความลกึ ของเอวและความกวางของปกของ beam-columns

โดยมีขั้นตอนการออกแบบ beam-columns ดังตอไปน้ี

1. จากสมการของแรงกดอัดในแนวแกนท่ีสมมูล เลอื กคา d และ b ของ beam-columns ท่ีเหมาะสมใหม ีคา ไม

นอยกวาขนาดของปกของคานทเี่ ชอ่ื มตอ

2. หาขนาดของ beam-columns ภายใตแรงกดอดั ในแนวแกนท่สี มมูล ดังตวั อยางท่ีแสดงในบทที่ 3

3. ตรวจสอบขนาดของ beam-columns โดยใชส มการการออกแบบ beam-column ดังที่แสดงในหวั ขอ ที่ 5-4

ขอใหเราทราบดว ยวา

1. เมื่อเราทราบคาความยาวประสิทธผิ ล (effective length) แลว Fa จะหาไดจากตารางในภาคผนวกท่ี 2
2. ถาหนา ตดั ของ beam-column เปนหนาตดั มาตรฐาน ซึ่งมักจะเปนหนา ตดั แบบอดั แนน (compact section)

Fbx = 0.66Fy ตาม ASD specification
Fbx = 0.60Fy ตามมาตรฐาน ว.ส.ท.
Fby = 0.75Fy

เอกสารประกอบการสอนวชิ า Steel Design เรียบเรยี งโดย ผศ.ดร. สทิ ธชิ ยั แสงอาทติ ย SUT 5-15

ตวั อยา งท่ี 5-4

กาํ หนดให beam-column ถูกกระทําโดยแรงกดอัดในแนวแกน 45,000 kg โมเมนตด ัด M x = 6,000 kg - m
และ M y = 3,000 kg - m มีความยาวประสิทธิผล (effective length) (KL)x = (KL) y = 4.0 m และ modification
factor Cmx = Cmy = 0.85 เนอื่ งจากคานท่ีเช่อื มตอเขา กบั beam-column มีหนา ตดั W250 จงออกแบบหาขนาดหนาตดั
W250 หรอื W300 ท่ีเบาท่ีสดุ ของ beam-column โดยใชเ หลก็ ที่มี Fy = 3,200 kg/cm2
1. เลือกคา d และ b ของ beam-columns

แรงในแนวแกนสมมูล (equivalent axial load)

P* = P+ 2M x + 7.5M y
d b

P* = 45,000 + 2(6,000)(100) + 7.5(3,000)100 = 45,000 + 1,200,000 + 2,250,000
d b d b

จากตารางหนาตัดเหล็กในภาคผนวกท่ี 1

d (cm) b (cm) P* (kg)

25.0 25.0 183,000
30.0 20.0 197,500
30.0 30.0 160,000

เลือกใชห นา ตัด W300 เน่ืองจาก P* มคี า ต่าํ สดุ

2. หาขนาดของ beam-columns ภายใตแ รงกดอัดในแนวแกนที่สมมูล

2.1 สมมุตคิ า อัตราสว นความชะลูด KL / r

สมมุติให KL / r = 50

2.2 หาคาหนว ยแรงกดอดั ท่ยี อมให Fa
จากภาคผนวกที่ 2 เราจะไดว า

Fa = 1,581.2 kg/cm2

2.3 หาพื้นทีห่ นา ตัดของเสาและเลอื กขนาดหนา ตดั ของเสา

Areq'd = 160,000 = 101.1cm2
15,81.2

จากภาคผนวกที่ 2 เราจะลองใชหนาตัด W300 × 84.5 kg/m ซึ่งมี A = 107.7 cm2 และ rx =

12.5 cm ry = 7.16 cm

2.4 อัตราสวนความชะลดู ที่แทจรงิ สูงสุดของเสา

KL = 1(400) = 52.6
ry 7.16

จากภาคผนวกท่ี 2 เราจะไดว า

Fa = 1,562.4 − (1,562.4 −1,552.9)0.6 = 1,556.7 kg/cm2

เอกสารประกอบการสอนวิชา Steel Design เรียบเรียงโดย ผศ.ดร. สิทธชิ ยั แสงอาทิตย SUT 5-16

คา แรงกดอัดท่ยี อมให

Pa = 1,556.7(107.7) = 167,657 kg > 160,000 kg O.K.

ดังนัน้ หนาตดั W300 × 84.5 kg/m ใหญพ อท่ีจะรองรบั แรงในแนวแกนสมมูล

3. ตรวจสอบขนาดของ beam-columns โดยใชส มการการออกแบบ beam-column

หนว ยแรงกดอดั เฉล่ยี

fa = P = 45,000 = 417.8 kg/cm2
A 107.7

fa = 417.8 = 0.268 > 0.15
Fa 1,556.7

ดังนั้น ตรวจสอบโดยใชสมการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. แบบที่ 1 และแบบท่ี 2

หนว ยแรงดดั สูงสดุ รอบแกนหลกั

f bx = Mx = 6,000(100) = 521.7 kg/cm2
Sx 1,150

จากภาคผนวกที่ 2 เราจะไดว า Lc = 3.9 m และ Lu = 7.2 m เนื่องจาก Lc < L = 4.0 m < Lu ,

Fbx = 0.60Fy = 0.60(3,200) = 1,920 kg/cm2

หนว ยแรงดดั สงู สดุ รอบแกนรอง

f by = My = 3,000(100) = 821.9 kg/cm 2
Sy 365

เนอ่ื งจากหนา ตัดเปนแบบอดั แนน

Fby = 0.75Fy = 0.75(3,200) = 2,400 kg/cm2

ทําการตรวจสอบโดยใชสมการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. แบบที่ 2 ซึ่งเปนการตรวจสอบสภาวะ

ของหนวยแรงทเี่ กดิ ขึ้นท่ปี ลายของ beam-column ซึ่งจะใชเ มือ่ โมเมนตด ัดมีคาสงู สดุ ทบี่ ริเวณปลายของ beam-column ดงั นั้น

fa + f bx + f by = 417.8 + 521.7 + 821.9 O.K.
0.60 f y Fbx Fby 0.60(3,200) 1,920 2,400

= 0.218 + 0.272 + 0.342 = 0.832 < 1.0

ทําการตรวจสอบโดยใชสมการออกแบบ Beam-Column ตามมาตรฐาน ว.ส.ท. แบบที่ 1

จากโจทย Cmx = Cmy = 0.85 KLx = (4.0)(100) = 32.0
จากตารางที่ 5-1 หรือจากสมการ rx 12.5

KL y = (4.0)(100) = 55.9
ry 7.16

12π 2 E 12π 2 (2.1)10 6 = 10,560.2 kg/cm2

Fe′x = KLx  2 = 23(32.0)2
rx
23