h-amat0501_diak-mf_1felev

természetes
számok

0515. Természetes számok
összeadása, kivonása,
szorzása, osztása

Készítette: laczka gyuláné

52 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Egy kosárban összesen 100 piros és fehér gomb van.
a) Hozzáteszek 13 pirosat. Hány gomb van a kosárban összesen?
b) Hogyan változik a gombok száma, ha további 4 fehér gombot a kosárba teszünk?
c) Hogyan változik a gombok száma, ha még 5 piros gombot a kosárba teszünk?
d) Hogyan változik a gombok száma az eredetihez képest, ha 5 fehér gombot kiveszünk a kosár-

ból?
e) Hogyan változik a gombok száma, ha további 3 piros gombot kiveszünk a kosárból?

2. A következő nyitott mondatokban a p a piros gombok számát, f a fehér gombok számát jelöli. A fel-
adat elején p + f = 100. Párosítsd a nyitott mondatokat az előbbi feladatokkal és írd melléjük az
eredményt!

(p + 13 + 5) + (f + 4) =
p + (f – 5) =
(p + 13) + f =
(p + 13) + (f + 4) =
(p – 3) + (f – 5) =

3. Két kártyacsomagunk van A és B. Tudjuk, hogy a két kártyacsomagban összesen 100 kártya van.
a) Az A kártyacsomagból átteszünk 20 kártyát a B kártyacsomagba. Az eredetihez képest hogyan

változik az A – B különbség?
b) A B kártyacsomagból átteszünk 20 kártyát az A kártyacsomagba. Az eredetihez képest hogyan

változik az A – B különbség?

4. Két ujjam távolsága a földtől b és j. A bal kezem b, a jobb kezem j magasságban van. A magasságaik
különbsége 40 cm. Tehát b – j = 40. Minden részfeladat elején ebből induljunk ki.

a) Mennyi lesz a különbség, ha a bal kezem ujját 10 cm-rel megemelem?
b) Mennyi lesz a különbség, ha a bal ujjamat 10 cm-rel lejjebb rakom?
c) Mennyi lesz a különbség, ha a jobb kezem ujját 5 cm-rel megemelem?
d) Mennyi lesz a különbség, ha a jobb ujjamat 5 cm-rel lejjebb rakom?
e) Mennyi lesz a különbség, ha a jobb ujjamat 10 cm-rel lejjebb, a balt 12 cm-rel feljebb rakom?
f) Mennyi lesz a különbség, ha mindkét ujjamat ugyanannyival feljebb teszem?

5. Párosítsd a következő nyitott mondatokat az előbbi feladatokkal, és írd mindegyik mellé oda az
eredményt is!

(b – 10) – j =
b – (j – 5) =
(b +10) – j =
(b + 23 ) – (j +23) =
b – (j + 5) =
(b + 12) – (j – 10) =

tanulói munkafüzet 530515. Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása

6. Számold ki az alább kijelölt műveleteket, majd egészítsd ki a hiányos mondatokat!

132 + 64 = 232 + 64 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . növeltük az összeadás első tagját, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nőtt az összeg.

217 + 51 = 217 + 101 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeadás második tagját, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeg.

500 – 81 = 600 – 81 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a kisebbítendőt, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a különbség.

970 – 65 = 970 – 75 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a kivonandót, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a különbség.

7. Számold ki az alább kijelölt műveleteket, majd egészítsd ki a hiányos mondatokat!

320 + 47 = 300 + 47 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeadás első tagját, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeg.

218 + 25 = 218 + 15 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeadás második tagját, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeg.

680 – 40 = 640 – 40 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a kisebbítendőt, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a különbség.

1000 – 470 = 1000 – 400 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a kivonandót, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a különbség.

8. Számold ki a következő műveletsor eredményét. Azután tegyél be egy zárójel-párt a műveletsorba
minél többféleképpen. A csoportotokon belül osszátok szét a feladatokat és számoljátok ki, melyik
esetben mennyi lesz a végeredmény. Ahol az eredmény nem változott, ott kékkel színezzétek át a
zárójeleket. Ahol megváltozott, ott piros színű legyen a zárójel-pár.

200 – 10 + 66 – 20 + 40 – 50 =

54 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

ÖSSZEGZÉS

Összeadás során a tagokat tetszőlegesen csoportosíthatjuk, a zárójelet el is hagyhatjuk, be is tehetjük, az
összeg nem változik.
Ha a műveletsorban kivonás is van, akkor is szabadon csoportosíthatunk az összeadásjelektől elkezdve. Egy
összeadásjel után el is hagyhatjuk a zárójelet, be is tehetjük a zárójelet.

9. Fejben számolj!
A következő feladatok eredményét könnyen kiszámolhatod fejben, ha ügyesen zárójelezel, azaz,

ha ügyesen csoportosítod a benne szereplő műveleteket.

128 + 19 – 9 + 13 +17 =
92 + 24 + 16 + 35 – 25 =
121 – 21 + 26 + 52 – 42 =
132 + 18 + 51 – 31 + 9 =

10. A feladathoz kaptok egy borítékot, benne 4 kártyával. Alkossatok műveletsort ezekkel. Felváltva
húzzatok közülük egy-egy kártyát és alkossatok láncfeladatot a húzások sorrendjében, majd szá-
mítsátok ki a feladatot!

240 =

Keverjétek össze a kártyákat, és húzzatok újra!

240 =

Keverjétek össze a kártyákat, és húzzatok újra!

240 =

Beszéljétek meg, mit tapasztaltatok!

Ha egy műveletsorban csak összeadás és kivonás szerepel, akkor a műveletvégzés sorrendjét fel-
cserélhetjük, csupán arra kell ügyelnünk, hogy a számok és az előttük álló műveleti jelek összetar-
toznak, csak együtt lehet cserélgetni őket.

MINTAPÉLDA

Ha a következő műveletsorban ügyesen cserélgetjük a hozzáadás és elvétel sorrendjét, akkor könnyen
megkaphatjuk az eredményt fejben is:
528 + 133 – 13 + 90 + 52 – 18

Megoldás:
Az 528-ból először érdemes 18-at elvenni, azután 90-et hozzáadni, így 600-at kapunk. Ha ehhez

ezután hozzáadunk 133-at és el is veszünk 13-at, akkor éppen 720-at kapunk, amihez könnyen
hozzá tudjuk adni az 52-t.
528 + 133 – 13 + 90 + 52 – 18 = 528 – 18 + 90 + 133 – 13 + 52 = 772

tanulói munkafüzet 550515. Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása

11. Fejben számolj!
Változtasd ügyesen a műveletek sorrendjét!
1211 + 625 – 37 – 111 + 47 – 10 =
532 + 457 – 44 – 32 + 54 – 10 =
1574 + 27 – 500 + 26 – 17 + 32 =
245 + 57 – 121 – 145 + 821 – 500 =
1335 + 758 – 74 – 235 + 94 – 10 =

2. FELADATLAP

1. Oldd meg a következő feladatokat! A feladat megoldásához használhatsz számegyenest. A meg-
oldási tervet szorzatalakban írd fel! Figyeld meg a szorzat változását a tényezők változásától füg-
gően!

a) Mennyit fizetünk 4 m szalagért, ha 1 m ára 20 Ft?

1m 1m 1m 1m

b) Mennyit fizetünk, ha kétszer ennyi szalagot veszünk?
c) Mennyit fizetünk, ha fele ennyi szalagot veszünk?
d) Mennyit fizetünk 2 m szalagért, ha 1 m ára 40 Ft?
e) Mennyit fizetünk 2 m szalagért, ha 1 m ára 10 Ft?
f) Mennyit fizetünk 8 m szalagért, ha 1 m ára 10 Ft?

2. A pároddal közösen fejezzétek be a következő mondatokat!
Ha az egyik tényező a kétszeresére nő, a szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ha az egyik tényező a felére csökken, a szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ha mindkét tényező a kétszeresére nő, a szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ha egyik tényező a felére csökken, a másik pedig a kétszeresére nő, a szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. A pároddal közösen dolgozz!
a) A páros egyik tagja számítsa ki a 16 ∙ 53 szorzatot!
A másik tag az első tényező felezésével, a második tényező egyidejű kétszerezésével kapott

szorzást végezze el! Hasonlítsátok össze a szorzatokat!
b) Írjatok ki a szorzótáblából 3 olyan párt, amelyekben az egyik tényező felére csökken

(pl.: 8 ∙ 9; 4 ∙ 9)! Hasonlítsátok össze a szorzatokat!
c) Írjatok ki a szorzótáblából 3 olyan párt, amelyekben az egyik tényező háromszorosára nő!

Hasonlítsátok össze a szorzatokat!

4. Végezzétek el a szorzásokat, azután az egyik tényezőt növeljétek négyszeresére!
a) 250 ∙ 6 =
b) 25 ∙ 8 =
Hasonlítsátok össze az egy feladathoz tartozó 2-2 szorzatot!

56 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

5. Az alábbi szorzatokban mindkét tényező változik. Meg lehet-e előre állapítani, hogy miképp fog
változni a szorzat? Próbáljátok meg!
a) 12 ∙ 12
6∙6
4∙4
3∙3

b) 24 ∙ 18
12 ∙ 36
48 ∙ 9
4 ∙ 108

6. Változtassátok a tényezőket a következő szorzatokban úgy, hogy 10; 100, 1000 legyen az egyik
tényező, és a szorzat ne változzék!

a) 25 ∙ 8 = b) 125 ∙ 16 =

c) 138 ∙ 5 = d) 248 ∙ 50 =

7. Változtassátok az adott szorzatokban a két tényezőt, az egyiket szorozzátok, a másikat osszátok
ugyanazzal a számmal úgy, hogy az egyik 0-ra végződő szám legyen!

a) 4 ∙ 55 = b) 25 ∙ 104 =

8. a) Határozzátok meg, mennyi lehet A illetve B értéke, ha tudjuk, hogy A ∙ B = 150!
b) Anélkül, hogy elárulnám, mi van a kártyák hátoldalán, találd ki, hogy mennyi lesz a szorzat

értéke, ha
– az A kártyán levő számot megszorzom 3-mal;
– a B kártyán levő számot elosztom 5-tel;
– az A kártyán levő számot elosztom 3-mal, és a B kártyán levő számot megszorzom 5-tel;
– az A kártyán levő számot elosztom 5-zel és a B kártyán levő számot megszorzom 5-tel;
– az A kártyán levő számot megszorzom 2-vel, a B kártyán levő számot megszorzom 7-tel;
– az A kártyán levő számot elosztom 5-tel és a B kártyán levő számot is elosztom 5-tel

36 : 12 = 3

9.
a) Növeld az osztandót a négyszeresére és végezd el az osztást! Figyeld meg a hányadost!
b) Csökkentsd az osztót a harmadára, és végezd el úgy az osztást! Hogyan változott a hányados?
c) Növeld az osztandót és az osztót is ötszörösére és végezd el az osztást!
d) Növeld az osztandót a kétszeresére és változtasd az osztót úgy, hogy a hányados ne változzon!

Végezd el a műveletet!

tanulói munkafüzet 570515. Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása

10. Egy autó kötelező biztosítása 3 év alatt 120 000 Ft volt. A díj azonos volt minden évben.
a) Hány Ft volt a biztosítás évi díja?
b) Ha a gépjármű tulajdonos CASCO biztosítást is kötne, a biztosítás díja háromszorosa lenne.

Hány Ft lenne az éves díj?

11. V áltoztasd a 150 : 5 osztásban az osztót úgy, hogy a hányados felére, harmadára, ötödére, hatodára,
tizedére csökkenjen! Alkoss szöveget a feladathoz!

12. V áltoztasd az osztandót és az osztót úgy, hogy 100, vagy 1000 legyen az osztó, és a hányados ne
változzék!

a) 186 : 20
b) 984 : 200
c) 1346 : 500
d) 729 : 250

13. A tejfölös poharakat 18 ládába helyezték el.
a) Azonos feltételek mellett hány ilyen láda kell, ha a tejfölös poharak száma harmadára csök-

ken?
b) Azonos feltételek mellett hány ládába fér el az eredeti tejfölös poharak számának háromszo-

rosa?

14. a) Határozzátok meg, mennyi lehet C illetve D értéke, ha tudjuk, hogy C : D = 6!
b) Anélkül, hogy elárulnám, mi van a kártyák hátoldalán találd ki, hogy mennyi lesz a hányados

értéke, ha
– az C kártyán levő számot megszorzom 3-mal;
– a D kártyán levő számot elosztom 5-tel;
– a C kártyán levő számot elosztom 3-mal, és a D kártyán levő számot megszorzom 2-vel;
– a C kártyán levő számot elosztom 5-tel, és a D kártyán levő számot is elosztom 5-tel;
– a C kártyán levő számot megszorzom 2-vel, a D kártyán levő számot is megszorzom 2-vel;
– a C kártyán levő számot elosztom 2-vel, és a D kártyán levő számot elosztom 4-gyel!

15. S zámold ki a következő műveletsor eredményét. Azután tegyél be egy zárójel-párt a műveletsorba
minél többféleképpen. A csoportotokon belül osszátok szét a feladatokat és számoljátok ki, melyik
esetben mennyi lesz a végeredmény. Ahol az eredmény nem változott, ott kékkel színezzétek át a
zárójeleket. Ahol megváltozott, ott piros színű legyen a zárójel-pár.

600 : 2 ∙ 6 ∙ 10 : 5 =

ÖSSZEGZÉS

Szorzásnál a tagokat tetszőlegesen csoportosíthatjuk, a zárójelet el is hagyhatjuk, be is tehetjük, a szorzat
nem változik.
Ha a műveletsorban osztás is van, akkor is szabadon csoportosíthatunk a szorzásjelektől elkezdve. Egy szor-
zásjel után el is hagyhatjuk a zárójelet, be is tehetjük a zárójelet.

58 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

16. Fejben számolj!
A következő feladatok eredményét könnyen kiszámolhatod fejben, ha ügyesen zárójelezel, azaz,

ha ügyesen csoportosítod a benne szereplő műveleteket.
16 ∙ 66 : 11 : 3 =
24 ∙ 63 : 7 : 3 =
79 ∙ 55 : 5 : 11 =
12 ∙ 320 : 8 : 4 =

17. A feladathoz kaptok egy borítékot, benne 4 kártyával. Alkossatok műveletsort ezekkel. Felváltva
húzzatok közülük egy-egy kártyát és alkossatok láncfeladatot a húzások sorrendjében, majd szá-
mítsátok ki a feladatot!

60 =

Végezzétek el az előző tevékenységet még néhányszor!

60 =

60 =

60 =

a) Fogalmazzátok meg, miben egyeznek, és miben különböznek ezek a feladatok!
b) Beszéljétek meg a tapasztalatok okát!
Ha egy műveletsorban csak szorzás és osztás szerepel, akkor a műveletvégzés sorrendjét felcse-

rélhetjük, csupán arra kell ügyelnünk, hogy a számok és az előttük álló műveleti jelek összetar-
toznak, csak együtt lehet cserélgetni őket.

MINTAPÉLDA

Ha a következő műveletsorban ügyesen cserélgetjük a szorzás és osztás sorrendjét, akkor könnyen
megkaphatjuk az eredményt fejben is:
360 ∙ 14 : 120 ∙ 9 : 3 : 7 =

Megoldás:
A 360-at először érdemes 120-szal, majd utána 3-mal elosztani, így 1-et kapunk. Azután 90-et hoz-
záadni. Ha ezt ezután megszorozzuk 14-gyel, és el is osztjuk 7-tel, akkor éppen 2-t kapunk, amit
könnyen meg tudunk szorozni 9-cel.
360 ∙ 14 : 120 ∙ 9 : 3 : 7 = 360: 120 : 3 ∙ 14 : 7 ∙ 9 = 18

18. Fejben számolj!
Cserélgesd ügyesen a műveletek sorrendjét!
555 ∙ 32 : 111 : 55 ∙ 7 : 4 =
66 ∙ 240 : 10 : 3 : 22 ∙ 2 =
72 ∙ 56 : 4 : 7 : 9 : 8 =
64 : 120 : 8 ∙ 480 : 4 ∙ 5 =
750 : 9 : 5 : 150 ∙ 81 ∙ 10 =

tanulói munkafüzet 590515. Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása

3. FELADATLAP

1. Készítsetek a feladatokhoz alkalmas ábrát!
a) Egy iskolásokat szállító autóbuszon 32 ülőhely és 17 állóhely van. Legfeljebb hány tanulót tud-

nak elszállítani, ha 4 ilyen buszt vesznek igénybe? Számítsátok ki többféleképpen!
b) Micimackó egy mézes csupra tele mézzel 84 dkg. A csupor 36 dkg. Hány dkg méz van csuprá-

ban, ha mindegyik tele van?
c) Egy állatkereskedésben 6 kakadu, és 18 hullámos papagáj van. Két kalitkába rakják őket úgy,

hogy ugyanannyi madár kerüljön mindkét fajból mindkettőbe. Hány madár lesz egy kalitká-
ban? Számolj kétféleképpen!
d) Sü sü egy hét alatt minden nap ugyanannyi rózsafát ültetett, összesen 84et. A királyi kertész

ugyanilyen módszerrel dolgozva egy hét alatt összesen 70 rózsafát ültetett. Hány rózsafával
ültetett Süsü többet egy nap alatt a királyi kertésznél?

2. Alkossatok szöveget a következő műveletekhez!
a) (62 + 25) ∙ 4 =
b) 12 ∙ 7 – 5 ∙ 7 =

3. Számold ki kétféleképpen!
a) (60 + 50) ∙ 7 = (60 ∙ 7) + (50 ∙ 7) =
b) (75 + 20) ∙ 7 =
c) (81 + 45) : 9 =
d) (72 – 56) : 8 =

4. Írd le a számítás tervét többféle alakban!
a) Egy ládában 15 kg alma van. A másik ládában ugyanilyen almából 18 kg van. Mennyibe kerül a

két láda alma, ha kilója 120 Ft?
b) Egy csokoládégyárban 600 tábla mogyorós csokoládét és 250 tábla fehér csokoládét csomagoltak

dobozokba. Minden dobozba 50 tábla fér. Mennyivel több dobozt töltöttek meg mogyorós cso-
koládéval, mint fehér csokoládéval?

5. Melyik az a szám, amelyik a 263 és a 85 összegének hatszorosánál 2-vel kevesebb?

6. Mely számok írhatók a keretbe úgy, hogy az egyenlőség igaz legyen?

a) 420 ∙ 28 + 420 ∙ = 420 ∙ 100

b) 54 ∙ 225 – ∙ 225 = 20 ∙ 225
c) 860 : 20 – : 20 = 500 : 20

60 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

7. Töltsd ki a következő táblázatot! Melyek azok a sorok, amelyek megegyeznek?

a 5 25 10
b 4 5 20
c 9 4 300
a∙b∙c
(a ∙ c) ∙ b
(a ∙ b) ∙ c
(a ∙ c) ∙ (b ∙ c)
(a + b) ∙ c
a∙c+b∙c

8. Hány kg almát vitt 10 ládában a zöldséges boltba a kereskedő, ha bármelyik almával teli láda 13 kg,
a láda pedig 2 kg?

9. Írd le zárójeles feladatként és számítsd ki:
a) 32, 24 és 40 összegének nyolcadrésze;
b) 32 és 24 különbségének negyedrésze meg 40 és 16 összegének négyszerese.

10. A számok közé tegyél műveleti jeleket úgy, hogy igaz állításokat kapj! Használhatsz zárójeleket
is.

35 42 3 = 21
35 42 3 = 161
35 42 3 = 49

11. A virágboltban csokrokat kötnek. Minden csokorba csak 5 tulipán és 7 nárcisz kerül. 3 csokorba
hány szál virágot kötnek?

12. A naposok az asztalokra asztalonként 12 tányért tesznek ki. Majd a hiányzók miatt minden asztal-
ról 4 tányért visszavisznek. Hány tányér kerül 5 asztalra?

13. Technika órán a gyerekek színes lapból hajtogatnak. Minden háromfős csoport 6 piros és 9 sárga
lapot kap. Hány lapból hajtogathat egy-egy tanuló, ha a színes lapokat egyenlően kellett szétosz-
tani maguk között?

14. Az iskola 20 labdát kap. Ebből 8 kosárlabda, a többi pöttyös gumilabda. Hány pöttyös labdát kap
egy-egy osztály, ha 4 osztály között egyenlően osztják szét őket?

tanulói munkafüzet 610515. Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása

4. FELADATLAP

1. Ádám 145 cm magas, míg Katalin 130 cm. (Minden részfeladatnál ebből induljunk ki.)
a) Mennyi Ádám és Katalin magasságának különbsége?
b) Mennyi lesz a különbség, ha Ádám feláll egy 40 cm magas székre?
c) Mennyi lesz a különbség, ha Katalin feláll egy tornapadra mely 15 cm magas?
d) Mennyi lesz a különbség, ha Katalin a lépcsőn 1 lépcsőfokkal lejjebb áll (1 lépcsőfok 20 cm)?

2. Keresd meg az egyenlő eredményű műveletsorokat számolás nélkül, majd számolással ellenőrizd
a megoldásod!

a) 360 – 38 + 92 – 65 + 25
b) 360 + 92 – 38 – 25 + 65
c) 360 + 25 – 65 – 38 + 92
d) 360 – 65 + 92 – 38 + 25
e) 360 – 38 + 92 – 25 + 65
f) 360 – 92 + 38 – 25 + 65

3. Számold ki a következő műveletsor eredményét. Azután tegyél be egy zárójel-párt úgy, hogy a
műveletsor eredménye ne változzon!

110 + 10 – 30 + 50 – 20 =

4. Fejben számolj!
a) 168 + 27 – 7 + 14 + 16 =
b) 227 + 42 – 22 + 36 + 4 =
c) 923 + 835 – 46 – 223 + 56 – 10 =
d) 1332 – 57 + 752 – 122 + 77 – 52 =

5. Végezd el a szorzásokat, azután az egyik tényezőt növeld háromszorosára! Hogyan változik a fel-
adatokhoz tartozó 2-2 szorzat?

a) 300 · 2 =
b) 30 · 4 =

6. Az alábbi szorzatokban mindkét tényező változik. Állapítsd meg, hogyan változik a szorzat!

a) 18 · 18 b) 12 · 12

9 · 9 24 · 16

6 · 6 3 · 128

3 · 3 48 · 8

62 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

7. a) Határozd meg, mennyi lehet A illetve B értéke, ha tudjuk, hogy A · B = 75.
b) Anélkül, hogy elárulnám, mi van a kártyák hátoldalán, találd ki, hogy mennyi lesz a szorzat

értéke, ha
– az A kártyán levő számot megszorzom 2-vel;
– a B kártyán lévő számot elosztom 5-tel;
– az A kártyán levő számot elosztom 5-tel, és a B kártyán lévő számot megszorzom 3-mal;
– az A kártyán levő számot elosztom 3-mal, és a B kártyán levő számot megszorzom 3-mal!

8. Változtasd a 120 : 3 osztásban az osztót úgy, hogy a hányados a felére, negyedére, nyolcadára, tize-
dére csökkenjen!

9. Egy építkezésre 24 teherautó földet rendeltek. Hány ilyen teherautó kell, ha a föld mennyiségének
a fele is elég?

10. a) H atározd meg, mennyi lehet A illetve B értéke, ha tudjuk, hogy A : B = 8.
b) Anélkül, hogy elárulnám, mi van a kártyák hátoldalán, találd ki, hogy menyi lesz a hányados

értéke, ha
– az A kártyán lévő számot megszorzom 2-vel;
– a B kártyán lévő számot elosztom 4-gyel;
– az A kártyán lévő számot elosztom 2-vel, a B kártyán lévő számot megszorzom 4-gyel;
– az A kártyán lévő számot elosztom 6-tal, és a B kártyán lévő számot is elosztom 6-tal!

11. Számold ki a következő műveletsor eredményét. Azután tegyél be egy zárójel-párt a műveletsorba,
minél többféleképpen úgy, hogy az eredmény ne változzon!

300 : 2 · 3 · 10 : 5 =

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Melyik több? Mennyivel?
a) 1228 – (516 + 20) 1228 – 516 + 20
b) 3416 – (1398 – 3) 3416 – 1398 – 3
c) 978 – (614 – 34) 978 – 614 + 34

2. Csoportosítsd a tagokat a könnyebb számolás érdekében!
490 + 530 + 270 =
370 + 110 + 430 + 290 =
617 + 220 + 83 + 76 =
206 + 154 + 44 + 16 =

tanulói munkafüzet 630515. Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása

3. Döntsd el, melyik állítás igaz!
190 + (20 + 10) = 190 + 20 + 10
190 – 20 – 10 = 190 – (20 – 10)
190 – (20 + 10) = 190 – 20 + 10
190 + 20 – 10 = 190 + (20 – 10)
(190 + 20) – 10 = 190 + 20 – 10
(190 – 20) – 10 = 190 – 20 – 10

4. A műveletek elvégzése nélkül döntsd el, melyik nagyobb és mennyivel!
a) 792 + 395 800 + 400
816 + 1722 800 + 1700
3178 + 406 3200 + 400
789 + 931 800 + 920

b) 975 – 343 960 – 343
2612 – 285 612 – 300
863 – 175 865 – 175
782 – 277 785 – 280

5. Változtasd az 1410 + 620 összeg tagjait úgy, hogy az összeg
a) 100-zal növekedjen;
b) 5-tel csökkenjen;
c) ne változzon!

6. A 250 + 70 + 81 összeg tagjait változtasd úgy, hogy az eredmény ne változzon!
a) Két tagját növeld, a harmadikat csökkentsd!
b) Egy tagját növeld, másik két tagját csökkentsd!

7. Valamelyik tag változtatásával soronként növeld az összeget 10-zel!
2325 + 15 =

64 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

8. Töltsd ki a táblázatot!

Két szám különbsége 30. biztos lehet, de lehetetlen
nem biztos

1. A különbségben a kisebbítendőt növelem, akkor nő
a különbség.

2. A különbségben a kivonandót növelem, akkor
csökken a különbség.

3. A különbségben a kisebbítendőt csökkentem, akkor
nő a különbség.

4. A különbségben a kivonandót csökkentem, akkor
csökken a különbség.

5. A különbségben a kivonandót növelem, a kisebbí-
tendőt csökkentem, akkor a különbség csökken.

6. A különbségben a kivonandót növelem, a kisebbí-
tendőt csökkentem, akkor a különbség csökken.

9. Írd fel az összeadásokat szorzatok összegeként! Használd a számjegyek valódi értékeit!

a) 3456 b) 12345 c) 49073
456 2345 9073
56 345 40073
+ 6 45 9003
+ 5 + 3

17. Hasonlítsd össze a szorzatokat!
a) Írj a szorzótáblákból 5 olyan párt, amelyekben az egyik tényező felére, harmadára, negyedére,

ötödére, hatodára csökken!
b) Írj a szorzótáblákból 5 olyan párt, amelyekben az egyik tényező háromszorosára, négyszere-

sére, ötszörösére, hatszorosára nő!

18. Könnyítsük meg a szóban számolást! Alakítsd át a szorzatokat úgy, hogy az egyik tényező egy­
jegyű legyen, de a szorzat ne változzék!

pl.: 38 ∙ 12 =  76 ∙ 6 =

23 ∙ 21 =  …………. 42 ∙ 14 =  ………….

17 ∙ 32 =  …………. 19 ∙ 24 =  ………….

19. Változtasd az osztandót és az osztót, hogy 10 legyen az osztó, és a hányados ne változzék!
a) 430 : 5 =
b) 520 : 20 =
c) 350 : 2 =
d) 975 : 5 =

tanulói munkafüzet 650515. Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása

20. S zámítsd ki az alábbi műveleteket, és hasonlítsd össze az egy-egy feladathoz tartozó eredménye-
ket!

a) (12 + 10) ∙ 5 = 12 + 10 ∙ 5 =

b) (25 + 15) ∙ 4 = 25 + 15 ∙ 4 =

c) (17 + 21) ∙ 8 = 17 + 21 ∙ 8 =

d) (42 – 8) ∙ 3 = 42 – 8 ∙ 3 =

21. Becsülj, melyik lesz a legkisebb! Sejtésedet ellenőrizd számítással!
450 – 150 : 5 + 25 =
(450 – 150) : 5 + 25 =
450 – 150 : (5 + 25) =
(450 – 150) : (5 + 25) =
450 – (150 : 5 + 25) =

22. A legegyszerűbben végezd el az osztásokat!
(32 + 48 + 80) : 8 =
(72 – 48) : 4 =
(65 + 45 – 35) : 5 =



természetes
számok

0516. Közelítő számolás,
mérés, kerekítés

Készítették: TÓTH LÁSZLÓ, PUSZTAI JULIANNA

68 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Olvassátok el a következő hírcsokrot! Húzzátok alá a benne szereplő számadatokat egyenes vagy
hullámos vonallal aszerint, hogy pontos vagy közelítő értékekre vonatkoznak!

a) Az országgyűlési választásokon a 386
képviselői hely elosztásáról 6 millió
ember szavazhatott. Összesen 12 párt
állított jelöltet, és a független jelöltek
száma is meghaladta a 100-at.

b) Mindössze 120 ezer kilométer távol-
ságban süvített el a Föld mellett 2005.
június 14-én egy kisbolygó. Ha becsa-
pódott volna a Földbe, nem okozott
volna olyan méretű katasztrófát, mint
a 65 millió évvel ezelőtti társa. Az
akkori kozmikus találkozás okozhatta
a dinoszauruszok uralmának a végét.
A Földközelbe került égitest átmérője
alig több mint 340 méter, de ezzel a méretével is körülbelül akkora kárt tehetett volna, mint
1908-ban, a Szibériában becsapódott Tunguzka meteorit, amely 20 km sugarú körben letarolta
az erdőt.

c) Általában nem könnyű bekerülni az egyetemekre. A legkedveltebb szakokon gyakran legalább
400 pont kell a bejutáshoz.

d) A Harry Potter sorozat 6. kötetét már az első nap 10 millióan vásárolták meg világszerte.
e) 78 000 néző előtt az első félidei 0 : 3-ról fordított a Bajnokok Ligája döntőjében a Liverpool.
f) Az Ötös Lottó 41. heti nyerőszámai a következők: 2, 5, 17, 36, 73. A 41. héten egy telitalálatos

szelvény akadt, a tulajdonosa így 1 milliárd 713 millió forinttal lett gazdagabb.

2. Az előző feladatban olvasható hírek alapján döntsétek el, hogy az alábbi adatok közül melyik fed-
heti a valóságot!

a) A képviselői helyek száma 400.
b) 107 pártoktól független jelölt indult.
c) 6 687 869 embernek volt szavazati joga
d) A kisbolygó a Föld–Hold távolság felével haladt el a Föld mellett. (A Hold átlagos távolsága a

Földtől 384 000 km.)
e) A kisbolygó mérete körülbelül tizede a Holdénak. (A Hold átmérője mintegy 3400 km.)
f) 50 millió éve egy égitest becsapódása pusztíthatta ki a dinoszauruszok nagy részét.
g) Az egyetemnek erre a szakára be lehetett jutni: 134 ponttal, 135 ponttal, 136 ponttal.
h) Az új Harry Potter kötetet 9 876 543 példányban adták el az első napon világszerte.
i) A nézők pontos száma 78 888 volt, a félidőben 4 gólos volt az angol csapat hátránya.
j) Majdnem félmillió Ft-tal kapott kevesebb pénzt a legutóbbi nyertes az újságban megjelent nye-

reménynél.

tanulói munkafüzet 690516. Közelítő számolás, mérés, kerekítés

3. Döntsétek el, hogy a következő mennyiségek közül melyiket érdemes (lehet) pontos és melyiket
közelítő értékkel megadni!

a) Távolság: lakóhelyem és az iskola távolsága – a maratoni futás távja.

b) Tömeg: egy birkózóé a mérkőzése előtt – egy labdarúgóé a mérkőzés után.

c) Idő: egy nyári napon a napsütéses idő hossza (13 óra) – június 21-én napkeltétől napnyugtáig
terjedő idő (15 óra 48 perc).

A sarkkörön túl a nyári hónapokban a nap egyáltalán nem megy le,
tehát 24 órán keresztül a horizont felett tartózkodik. Az egy képre
sűrített felvételsorozat Norvégia legészakibb részén (Nordkapp)
készült az éjfélt megelőző és azt követő órákban. Tudod-e, milyen
hosszú a nappal ilyenkor a Déli-Sarkvidéken?

2. FELADATLAP

1. Kerekítsétek a következő számokat tízesekre, százasokra, ezresekre!

a szám tízesekre százasokra ezresekre

3 0 kerekített értéke 0
9 10 0 0
45 50 0 0
77 80 0 0
333 330 0
500 500 100 1000
2345 2350 300 2000
6750 6750 500 7000
299 792 2300
6800

Keressetek szabályszerűségeket a táblázat kitöltésénél!
a) Mikor jelenik meg először 0 a táblázat valamelyik sorában?
b) Mely számokat írhattátok változatlanul többször is egymás mellett és miért?
c) Igaz-e, hogy az eredeti szám kerekített értékei a tőle balra lévő szám kerekített értékével is meg-

egyeznek?
d) Írjatok példát olyan számra, ahol a százasokra kerekített érték ezresekre kerekítve nem ugyan-

annyi, mint az eredeti szám ezresekre kerekített értéke!

70 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

2. Kerekítsétek a következő adatokat! Vitassátok meg, mely helyiértékre vonatkozzon a kerekítés és
miért!

a) A májusi telefonszámla 9482 Ft volt.
b) A Miskolc–Tokaj–Tiszafüred–Miskolc kerékpár kör-

túra hossza 222 km.
Melyik két város között lehetett a túra legrövidebb,

illetve leghosszabb része?
Körülbelül hány km hosszúak lehettek az egyes sza-

kaszok?
Ha délelőtt 10-kor indultak a versenyzők és délután

15 órakor értek vissza, akkor körülbelül mikor lehet-
tek Tokajban, illetve Tiszafüreden?
c) A fény 299 792 km-t tesz meg másodpercenként.
d) Magyarország városainak száma 252.
További kérdések:
e) Legalább mennyivel kellett volna kevesebbnek lennie a telefonszámlának, hogy százasokra
kerekítve 9400 Ft legyen?
f) Legalább mennyivel kellett volna kevesebbnek lennie a telefonszámlának, hogy ezresekre kere-
kítve 8000 Ft legyen?
g) Legfeljebb mennyivel lehetett több a számlánk, ha ezresekre kerekítve 10 000 Ft volt?

3. A számegyeneseken egy-egy szám helyét ponttal jelöltük. Adjátok meg a számok kerekített érté-
két!

Kerekítsétek A-t és B-t tízesekre, C-t és D-t százasokra, E-t és F-et ezresekre! Satírozzátok be az első
számegyenesnek azt a részét, melynek kerekített értékei megegyeznek B kerekített értékével, a máso-
dik számegyenesnek azt a részét melynek 10-esre kerekített értéke egyenlő D 10-esre kerekített érté-
kével! A 3. számegyenesnek azt a részét színezzétek, melynek százasokra kerekített értéke 4500!
a) Soroljátok fel azokat a számokat, melyek tízesre kerekített értéke ugyanannyi, mint A, illetve B

tízesre kerekített értéke!
b) Adjátok meg azokat a számokat, amelyek százasokra kerekített értéke ugyanannyi, mint C,

illetve D százasokra kerekített értéke!
c) Melyik a legkisebb és a legnagyobb azon számok közül, amelyek ezresekre kerekített értéke

megegyezik F ezresekre kerekített értékével? Hány ilyen szám van?

tanulói munkafüzet 710516. Közelítő számolás, mérés, kerekítés

4. Jelöld be a számegyenesen azokat a számokat, melyek
a) tízesre kerekített értéke 130,

b) százasokra kerekített értéke 6700,

c) ezresekre kerekített értéke 77 000!

5. Töltsétek ki az alábbi TOTO-t a kerekítésről tanultak alapján!
a) Egy autó 100 km-es úton egészekre kerekítve 7 liter benzint fogyasztott. Mennyit fogyaszthatott

200 km úton?
1 – Pontosan 14 litert
X – 13 és fél és 14 és fél liter között
2 – 13 és 15 liter között
b) Péter pulzusa alvás közben tízesekre kerekítve 70 volt. Mennyit dobbanhatott a szíve 5 perc

alatt?
1 – Pontosan 350-et
X – 325 és 375 között
2 – 300 és 400 között
c) Hány olyan kétjegyű szám van, amelynek tízesre kerekített értéke egyenlő a számjegyek fel-

cserélésével kapott szám tízesre kerekített értékével?
1 – nincs ilyen szám
X – 1 ilyen szám van
2 – több ilyen szám is van
d) Egy téglalap oldalai cm-ekben olyan egész számok, melyek közül a rövidebbnek 40, a hosszabb-

nak 50 cm a tízesre kerekített értéke. Melyik állítás igaz?
1 – a területe kisebb lehet, mint 1500 m².
X – a kerülete százasokra kerekítve 200 cm
2 – A hosszabb oldal több, mint 20 cm-rel nagyobb a rövidebb oldalnál.
e) Egy háromjegyű szám tízesekre kerekítve 2-vel kisebb, százasokra kerekítve tízzel nagyobb

lesz, mint eredetileg volt.
1 – 1 ilyen szám van
X – több ilyen szám van
2 – ilyen szám nincs
f) A vas olvadáspontja százasokra kerekítve 1500 fok.
1 – Lehet, hogy 1445 fokon megolvad.
X – Biztos, hogy 1500 fokon megolvad.
2 – Biztos, hogy 1550 fokon megolvad.

6. A Mariana-árok, a Föld felszínének legmélyebb része, a Csendes-óceánban található. Legalább és
legfeljebb milyen mélyen lehet, ha

a) százasokra kerekítve 11 000 m,
b) ezresekre kerekítve 11 000 m mély?

72 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

7. Legalább és legfeljebb
a) hány méter magas lehet a lakihegyi rádióadó, ha tízesekre kerekített

magassága 310 m?
b) hány méter hosszú Magyarország leghosszabb hídja, az Árpád-híd, ha

hossza százasokra kerekítve 900 méter?
c) hány km2 a Balaton felszíne – azaz víztükrének területe, ha tízesekre

kerekített értéke 590 km2? Mennyi a területe százasokra kerekítve?
d) hány km lehet a Balaton partvonalának hossza, ha tízesekre kerekítve

200 km hosszú?
e) A Balaton hossza 78 km, szélessége 15 km. Mekkora lenne annak a tég-

lalapnak a kerülete, melybe a Balaton pontosan elférne? Mivel magya-
rázod, hogy a partvonal hossza ennél nagyobb, pedig a Balaton területe
kisebb, mint a bennfoglaló téglalapé?

78 km

15 km

8. Az amatőr ökölvívás súlycsoportjainak táblázata alapján döntsd el, hogy legalább és legfeljebb
hány kg lehet a teljes csapat tömege, ha minden súlycsoportban egy versenyző indul! A súlycsoport
melletti szám jelenti, hogy legfeljebb hány kg lehet az adott súlycsoportbeli versenyző.
Ökölvívás súlycsoportok:
Papírsúly (45-48 kg-ig)
Légsúly (51 kg-ig)
Harmatsúly (54 kg-ig)
Pehelysúly (57 kg-ig)
Könnyűsúly (60 kg-ig)
Kisváltósúly (63 és fél kg-ig)
Váltósúly (67 kg-ig)
Nagyváltósúly (71 kg-ig)
Középsúly (75 kg-ig)
Félnehézsúly (81 kg-ig)
Nehézsúly (81-91 kg-ig)

Hogyan lehetne könnyen megállapítani a két lehetséges csapat összsúlyának különbségét?

tanulói munkafüzet 730516. Közelítő számolás, mérés, kerekítés

3. FELADATLAP

1. Kerekítsd a kétjegyű számokat tízesekre, a háromjegyűeket százasokra, a négyjegyűeket ezre-
sekre!

37; 534; 1775; 149; 7491; 677; 3044; 508; 1508; 300; 6543

2. a) Add össze a következő számok előzőek szerinti kerekített értékeit fejben!
34 + 71 + 28 + 84 
82 + 15 + 33 + 74 
178 + 321 + 701 + 680 
549 + 32 
78 + 780 

b) Az előzőek szerinti kerekítés után a kerekített értékek összeszorzásával becsüld meg az ered-
ményt!

43 · 77  38 · 84  26 · 53 

378 · 725  107 · 484  978 · 823 

487 · 84  967 · 133  355 · 763 

Melyik eredmény térhet el leginkább a pontos szorzattól? Miért?

3. Melyik közelítés ad pontosabb eredményt a következő összeadásnál, illetve szorzásnál? A pontos
eredmény kiszámításával ellenőrizd a véleményed!

76 + 37 80 + 40, vagy 70 + 40

329 + 742 300 + 700, vagy 300 + 800

15 · 25 20 · 30, vagy 10 · 30, vagy 20 · 20

4. Az előző feladat megoldási módszereire gondolva próbáld közelíteni a tagokat, illetve a tényezőket
úgy, hogy minél pontosabb eredményt kapj!

47 + 78 + 89 + 27 
341 + 648 + 440 + 733 
23 · 34 
45 · 55 · 63 

5. a) Két egész szám tízesre kerekített értékét adtuk meg. Mennyi lehet legalább és legfeljebb a két
szám összege, illetve szorzata?

A  30; B  70

……... < A + B < …..…. ……... < A · B < ……...
b) Két egész szám százasokra kerekített értékét adtuk meg. Mennyi lehet legalább és legfeljebb a
két szám összege, illetve szorzata?

C  800; D  100

……... < C + D < ……... ……... < C · D < ……...

74 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

TUDNIVALÓ 1 m < 1 km
1000
A mérés összehasonlítás.
Eredménye egy mennyiség, amely a mérőszámból és a mértékegységből áll. 1 l < 1 hl
100
EMLÉKEZTETŐ

hosszúság mértékegységei: 1 mm < 1 cm < 1 dm <
10 10 10

űrtartalom mértékegységei: 1 ml < 1 cl < 1 dl <
10 10 10

4. FELADATLAP

1. Gyakorold a mértékváltást!

a) 2 és fél m = ............. dm = ............. cm = ............. mm

b) ............. m = ............. dm = 500 cm = ............. mm

c) ............. m = 60 dm = ............. cm = ............. mm

d) ............. km = 42 000 m = ............. dm ............. .............

e) 3 és fél l = ............. dl = ............. cl = ............. ml

f) ............. l = ............. dl = 200 cl = ............. ml

g) ............. l = 65 dl = ............. cl = ............. ml

h) ............. hl = 1500 l = ............. dl ............. .............

2. a) Hány dm lehet a szoba oldala, ha m pontossággal mérve 4 m?
b) Egy tolltartó 2 dm. Pontosabban mérve hány cm lehet a hosszúsága?
c) Az egyenes vonalzó 30 cm. Hány mm lehet?
d) Egy vödörben körülbelül 4 l víz van. Hány dl lehet ez?
e) Lehet-e pontosan 5 dl ital a félliteres üdítős üvegben? Hány ml lehet benne, ha az előírás szerint

legfeljebb fél cl eltérés lehet a megadott űrtartalomtól?

3. Becsüljétek meg három azonos magasságú edény (hen-
ger, gömb és kúp) űrtartalmát! (A gömb vagy üreges,
vagy két félgömbre osztható legyen) Melyiké a legna-
gyobb? Hányszorosa lehet a legkisebbnek? Töltsétek
meg folyadékkal (esetleg rizzsel, homokkal), majd
annak segítségével határozzátok meg az űrtartalmu-
kat!

tanulói munkafüzet 750516. Közelítő számolás, mérés, kerekítés

5. FELADATLAP

1. Csoporttársaiddal beszéljétek meg:
– Mit lehet elvégezni 1 óra alatt?
– Milyen állapot, történés, eseménysor tarthat egy hétig?
– Mi minden történhet 1 év alatt?

2. Mekkora a tömege? Becsülj és mérj!
Először becsüld meg, hogy a mérendő tárgyaknak (személyeknek) mekkora lehet a tömege!
Becslésedet, majd az elvégzett mérés eredményét is írd a táblázatba!
1. méréssorozat: válasszátok ki két társatokat, akiknek testtömegére kíváncsiak vagytok és két

iskolatáskátokat, amelynek tömegét mérni szeretnétek! A mérési eredményeket kg pontosság¬gal
olvassátok le!

a vizsgált tömegű tanuló neve becsült tömege (kg) mért tömege (kg)
illetve A vizsgált tömegű táska

tulajdonosa

2. méréssorozat: Becsüld, majd mérd meg a zacskóban lévő élelmiszerek tömegét dkg pontosság-
gal!

a mérendő anyag neve becsült tömege (kg) mért tömege (kg)

3. méréssorozat: Becsüld, majd mérd meg a tálcán található tárgyak tömegét g pontossággal!

a mérendő tárgy neve becsült tömege (kg) mért tömege (kg)

EMLÉKEZTETŐ

az idő mértékegységei: 1 másod- < 1 perc < 1 óra < 1 nap < 1 év
perc

60 60 24 365

a tömeg mértékegységei: 1 g < 1 dkg < 1 kg < 1 q < 1 t
10 100 100 10

1000 1000

76 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

3. Gyakoroljuk a mértékváltást!

a) 4 kg = ............. dkg = ............. g

b) 2 és fél kg = ............. dkg = ............. g

c) ............. kg = 2800 skg = ............. g

d) ............. kg = ............. dkg = 12000 g

e) 3 t = ............. kg = ............. dkg

f) ............. dkg = 1500 kg = ............. t

g) 1 óra = ............. perc = ............. másodperc

h) 3 óra = ............. perc

i) 48 óra = ............. nap

j) 5 nap = ............. óra

k) 1 hét = ............. óra

l) 10 év = ............. hónap

6. FELADATLAP

1. Egy községen átvezető úton gépjárműszámlálást tartottak. Az eredményeket táblázatba foglalták.
a) Töltsd ki a táblázat üres mezőit!

2–3 óra január 15. március 30. július 20. november 1.
7–8 óra 14 27 41 19
13–14 óra 413 543 650 368
20–21 óra 399 488 745 339
összesen 209 354 512 218
százasokra kerekítve
napi forgalom

b) Hogyan tudnál következtetni az egész napos forgalomra?
c) Hogyan tudnál következtetni az egész éves forgalomra?
d) Az év melyik időszakában lehet itt a legnagyobb a forgalom?
e) Igaz-e, hogy mindig a reggeli csúcsforgalom idején a legnagyobb a forgalom?
f) Mi okozhatja az egyetlen eltérést?
g) Becsüld meg az átlagos napi forgalmat
– télen,
– tavaszi, őszi időszakban,
– nyáron!
Becsüld meg az éves forgalmat!

tanulói munkafüzet 770516. Közelítő számolás, mérés, kerekítés

2. Panni kiszórta a karácsonyra kapott drazsét egy tál-
cára, hogy megszámolja. Segítsünk neki!

Hogyan segíthet a számlálásban a képre rajzolt négy-
zetháló?

Hány négyzetre osztottuk az eredeti képet?
Keresd meg, melyik cellában van a legtöbb, illetve a

legkevesebb drazsé.
Mennyi lehet a számuk egy átlagos cellában?
Hogyan becsülheted meg a cukorkák számát?

3. Hogyan tudnád egy kiló rizsben lévő rizsszemek, vagy hasonló tömegű mákban szereplő máksze-
mek számát közelítőleg megadni? Találjatok ki „gazdaságos” módszereket a számlálás egyszerűsí-
tésére!
A vérünkben lévő vörös vértestek számának becslését hasonló módon
végzik. Egy csepp vér elegendő a vizsgálathoz. Annak a rácsnak az oldalai
mindössze 5 század mm és a számlálást mikroszkóp alatt végzik. Így is
elegendő pontossággal tudnak következtetni a teljes számra. Egy felnőtt-
nek összesen mintegy 5 (és fél) liter vére van, és mintegy 5 milliárd vörös
vértest van minden ml vérben. Próbáld leírni és kimondani ennek alapján
egy emberben lévő vörös vértestek átlagos számát.
Az átlagos sejtszám: 5 · 5 000 000 000 · 1000 =

4. Vedd kézbe Molnár Ferenc: A Pál utcai fiúk című könyvét!
A 20. és 87. oldalak közül melyik oldalon található több betű?
Miért érdemes több oldalt is megvizsgálni?
Az a és az e betű közül melyik fordul elő többször a 20. oldalon?
Ennek alapján állíthatjuk-e, hogy a könyvben is gyakrabban fordul elő ez a betű?
Végezzük el a számlálást a 87. oldallal is! Ugyanazt a következtetést vonhatjuk le?
Ha tudjuk, hogy a könyv összesen 112 oldalas, hozzávetőleg mennyi lehet az a illetve az e betűk

száma?
Mit gondoltok, ha az a mellé az á betűket is odaszámítjuk, változik-e a sorrend?
Mi indokolhatja, hogy a betűk száma kevesebb, mint a becslésünk szerint várhattuk?

20. oldal 87. oldal a két oldal együtt

összes betű
a betűk száma
e betűk száma
á betűk száma

78 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

0516. – 1. tanulói melléklet

Részletek Molnár ferenc: A pál utacai fiúk
című könyvéből

A Pál utcai fiúk 20. oldal
– Itt, az Üllői úton?
– Dehogy! Megkerüljük a kertet. Hátul sokkal alacsonyabb a fal!
Azzal befordultak a sötét kis utcába, ahol a kőfalat csakhamar deszkapalánk váltotta fel. Itt baktattak
a palánk mellett, keresve valami alkalmas helyet, ahol be lehetne mászni. Egy helyen, ahová az utca-
lámpa világossága nem hatolt el, megállottak. A deszkapalánkon belül, közvet­lenül a palánk mellett
egy nagy akácfa állott.
– Ha itt fölmászunk – suttogta Boka –, akkor ezen az akácfán könnyű lesz lemászni. És azért is jó, mert
a fa tetejéről messzire elláthatunk, s megfigyelhetjük, hogy nincsenek-e a közelben.
Ezt a másik kettő is helyeselte. S a következő pillanatban már hozzá is fogtak a munkához. Csónakos
leguggolt, s kezével a palánknak támaszkodott. Boka óvatosan felállott a vállára, és benézett a kerí-
tésen. Nagy csöndben voltak, egyikük se pisszent. Miután Boka meggyőződött arról, hogy nincs a
közelben senki, intett a kezével.
Nemecsek pedig odasúgta Csónakosnak:
– Emeld!
És Csónakos beemelte a palánkon az elnököt. Az elnök felkapaszkodott a palánk tetejére, s ekkor
recsegni-ropogni kezdett alatta a korhadó alkotmány.
– Ugorj be! – súgta Csónakos.
Még néhány roppanás hallatszott, s a következő pillanatban tompa puffanás. Boka benn volt, egy vetemé-
nyeságy kellős közepén. Utána Nemecsek mászott be, majd Csónakos. De Csónakos előbb felmászott az
akácfára, ő értett a fára mászáshoz, mert ő vidéki fiú volt. A másik kettő alulról kérdezgette:
– Látsz valamit?
Fojtott hang felelt a fa tetejéről:
– Nagyon keveset, mert sötét van.
– A szigetet látod?
– Azt látom.
– Van ott valaki?
Csónakos figyelmesen hajolt jobbra-balra az ágak közt, s merően nézett a sötétbe, a tó felé.
– A szigeten nem látni semmit a fáktól meg a bokroktól... de a hídon...
Itt elhallgatott. Följebb mászott egy ággal. Onnan folytatta:
– Most már jól látom. A hídon két alak áll.
Boka csöndesen szólt:
– Ott vannak. A hídon, azok az őrök.
Aztán újra recsegtek az ágak. Csónakos lemászott a fáról. Nagy csöndben állottak ott hárman, s azon
gondolkoztak, hogy most mitévők legyenek. Legubbaszkodtak egy bokor mögé, hogy senki meg ne
láthassa őket, s ott csöndes, suttogó hangon indult meg a tanácskozás.
– A legjobb lesz – mondta Boka –, ha most itt a bokrok mentén valahogy eljutunk a várromig. Tudjá-
tok... van ott egy várrom, arra jobbra, egy domb szélébe van beépítve.

tanulói munkafüzet 790516. Közelítő számolás, mérés, kerekítés

A Pál utcai fiúk 87. oldal
– Ejha! – mondta Áts Feri. – Ez éljenzés volt!
A kisebbik Pásztor izgatottan szólt:
– Aki bajban van, nem szokott éljenezni! Talán mégse kellett volna oly biztosra venni, hogy a bátyám
serege győzni fog...
És Áts Feri, aki okos fiú volt, most már érezte, hogy nem sikerült a számítása. Sőt már azt is érezte,
hogy ezzel az egész serege elvesztette a csatát, mert most őneki magának kell a Pál utcaiak egész sere-
gével fölvenni a harcot. Az utolsó reménye, a várva várt trombitajel pedig nem harsant fel...
Hanem felharsant ehelyett egy másik trombitajel. Egy ismeretlen trombita hangja, mely a Boka sere-
gének szólt. Ez azt jelentette, hogy a Pásztor serege utolsó szál emberéig el van fogva, be van zárva,
és hogy most kezdődik meg a támadás a telek felől. S valóban, a trombitajelre kettéoszlott a Mária
utcai hadsereg, s egyik része a kunyhó mellett, másik része pedig a hatos erőd mellett bukkant fel,
kissé megtépett ruhában, de csillogó szemmel, diadalmas jókedvben, egy győzelmes csata tüzében
megedzve.
Most már teljes bizonyossággal tudta Áts Feri, hogy Pásztor serege meg van verve. Egy-két pillanatig
farkasszemet nézett az újonnan érkezett két zászlóaljjal, s hirtelen a fiatalabbik Pásztorhoz fordult.
Izgatottan mondta:
– De hát ha megverték őket, hol vannak? Ha kiszorították őket az utcára, miért nem sietnek hoz-
zánk?
Kinéztek a Pál utcára, sőt Szebenics elrohant a Mária utcáig. Sehol senki. Egy téglás szekér cammogott
végig a Mária utcán, s néhány járókelő ment csöndesen a dolga után.
– Sehol senki! – jelentette kétségbeesve Szebenics.
– De hát mi lett velük?
És csak most jutott eszébe a kunyhó.
– Ezeket bezárták! – kiáltott magánkívül a haragtól. – Ezeket megverték, és bezárták a kunyhójukba!
Most pedig – az iménti cáfolat helyett – megerősítést kapott a kijelentése. Tompa dübörgés hallatszott
a kunyhó felől. A bezártak öklükkel verték a deszkát. De hiába. A kis kunyhó ezúttal a Pál utcai fiúk
pártján volt. Nem engedte kidönteni sem az ajtaját, sem az oldalát. Keményen állta az ökölcsapásokat.
És a foglyok pokoli hangversenyt rendeztek benne. Lármájukkal magukra akarták vonni Áts Feri
seregének figyelmét. Wendauer, szegény, akitől elvették a trombitát, tölcsért csinált a két tenyeréből,
és abba trombitált torkaszakadtából.
Áts Feri a seregéhez fordult.
– Fiúk – kiáltotta –, Pásztor elvesztette a csatát! Rajtunk áll, hogy megmentsük a vörösingesek becsü-
letét! Előre!
És úgy, ahogy állottak, egyetlen széles sorban bevonultak a telekre, és futólépésben támadtak. De
Boka most már megint a kunyhó tetején állott Kolnayval, s a lába alatt dörömbölő, lármázó, visító
pokolmuzsikát túlharsogva kiáltotta:
– Fújd meg a trombitát! Roham! Erődök, tűz!
És a sáncárkok felé rohanó vörösingesek egyszerre meghőköltek. Sorjában négy erőd kezdte őket
bombázni. Egy pillanatra elborította őket a homokfelhő, nem láttak.

80 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

0516. – 2. tanulói melléklet

INTERNET források:

Nappalok hossza:
Bár meteorológiai értelemben már június elején kezdetét vette a legmelegebb évszak, a nyári napfor-
dulóhoz valójában június 21-én 8 óra 46 perckor érkezünk el – a csillagászati nyár csak ekkor köszönt
be. Ez egyben az év legvilágosabb napja, mely a leghosszabb nappali periódussal és a legrövidebb
éjszakával bír. Központi csillagunk már reggel 4 óra 47 perckor felkel, és egészen 20 óra 45 percig
megvilágít bennünket éltető sugaraival. A nappal hossza tehát 15 óra 58 perc, ellentétben például a
téli napfordulóval, amikor mindössze 8 óra 56 percig nem kellett lámpát gyújtanunk otthonainkban
és irodáinkban.
http://www.evelet.hu:8080/ujsagok/evelet/archivum/2005/25/115

Balaton párolgási adatai:
Amivel viszont minden strandra járó találkozik: a Balaton vízszintje jelentősen csökkent. Ebben a
kánikulában naponta körülbelül hárommillió köbméter víz párolog el a tóból, ami láthatóan 2-3 cen-
timéteres vízszintcsökkenéssel jár.

http://www.zalamedia.hu/khely/0706/sz.html

Ökölvívás súlycsoportjai:

Ökölvívás – amatőr:
Papírsúly (48 kg)
Légsúly (51 kg)
Harmatsúly (54 kg)
Pehelysúly (57 kg)
Könnyűsúly (60 kg)
Kisváltósúly (63,5 kg)
Váltósúly (67 kg)
Nagyváltósúly (71 kg)
Középsúly (75 kg)
Félnehézsúly (81 kg)
Nehézsúly (91 kg)
http://www.magyar.sport.hu/sport/sportag/kuzdosport/kuzdosport.htm

1 mm3 vérben található vörösvérsejtszám: kb. ötmillió.
http://www.vital.hu/themes-inter/book/book.htm?t=385

tanulói munkafüzet 810516. Közelítő számolás, mérés, kerekítés

Vörösvérsejtszám meghatározása
1. Mikroszkópos számlálás Bürker-kamrában
*Bürker-kamra:
– vastag tárgylemez, középen vonalhálózattal
– beosztás: kis és nagy négyzetek, téglalapok
– kis négyzet területe: 1/400 mm2
– beosztás fölé fedőlemez kerül, alatta 0,1 mm mély vájat
*menete:
– vörösvérsejt-pipettába (Melanger) vért szívunk fel
– 0,5 jelig: 200x higítás, 1 jelig: 100x higítás
– 101-es jelig Hayem-oldatot szívunk fel
– összerázás, 2-3 csepp eltávolítása szűrőpapírral
– Bürker-kamra vájatának feltöltése, néhány percig állni hagyjuk
– sejtszámlálás 40 kis négyzetben, majd átlagolás 1 kis négyzetre
*számítás:
– db/mm3 = átlag x 4000 x higítás
– T/l = (db/mm3) / 106
*életani értékek (T/l): szm: 7; ló: 9,5; juh: 12; sertés: 6,52. Hematológiai automatával

http://www.georgikon.hu/tanszekek/takarmany/diagnosztika.htm

A maratoni futás és az angol királynő:

A maratoni futás távja száz-egynéhány méterrel hosszabb, mint az eredeti Athén-Maraton távolság. Ennek mi az
oka? A legenda szerint az első versenyen a királyi lelátót kellett ennyivel odébb építeni...
Van valami valóságalapja, még ha nem is pontosan igaz. Az első újkori olimpiát Athénban rendezték
1896-ban. A legnagyobb érdeklődés a Michel Bréal nyelvész és történész által megálmodott maratoni
futást övezte.

Walter Umminger A sport krónikája című könyve szerint a Philippidész futása ugyan nem hitelesített,
de valószínű. Már a 490-es marathóni csata előtt segítségért szalajtották Spártába az athéni Philippi-
dészt, hogy közölje a perzsa partraszállás hírét. A 255 km-es távot 24 óra alatt tette meg Argoliszba,
Arkadia hegyein keresztül futva. Miután egy napig hiába tárgyalt a spártaiakkal, 24 óra alatt ismét
visszafutott.

A Marathóntól Athénig tartó utat egyébként 40,42 km-nek mondták, valójában azonban csak 36,7 km
volt. Az első olimpiákon még csak körülbelül mérték le a legendás ókori hírvivő által állítólag lefutott
távot. Az 1908-as londoni olimpiára 42 kilométerre növelték a távot, ennyi volt ugyanis az út a Wind-
sori kastélyból a White-City stadionig. Ezt a 42 kilométert aztán még meg kellett toldani 195 méterrel,
miután Alexandra királynő tiltakozását fejezte ki amiatt, hogy a futók nem a stadion királyi díszpá-
holya előtt érnek célba. Az ezt követő olimpiai játékokon megint más távokat futottak a maratonisták.
A végleges és ma is érvényes hosszt 1921-ben rögzítette a nemzetközi atlétikai szövetség (IAAF), és
1924-ben már eszerint zajlott a verseny.

http://urbanlegends.freeblog.hu/archives/2005_ Jan_urbanlegends.htm#404890

A megyei jogú városok száma a fővárossal együtt: 23, a többi városé 229, a községeké pedig csaknem
2900 volt. Budapesten több mint 1,7 millióan éltek, utána Debrecen következett majdnem 205 ezer
lakossal, majd a százezren felüliek, sorrendben Miskolc, Szeged, Pécs, Győr és Székesfehérvár. Legki-
sebb városunk Visegrád és Zalakaros volt, mindkettő 2000 alatti lélekszámmal.
http://portal.ksh.hu/pls/portal/docs/PAGE/KSHPORTAL/SZOLGALTATASOK /SAJTOSZOBA/
HIRARCHIVUM/HIREK_ARCHIVUM2004/EVKONYV.DOC



természetes
számok

0517. Tömegjelenségek
gyakoriságának vizsgálata
(Kiegészítés a természetes
számok halmazához)

Készítette: GIDÓFALVI ZSUZSA – korrekció: Zsinkó Erzsébet

84 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

A. A. Milne Amikor még kicsik voltunk. (When We Were Very Young)

A három róka The Three Foxes

Egyszer volt, hol nem volt három kicsi róka, Once upon a time there little foxes
Nem húztak harisnyát születésük óta, Who didn’t wear stockings, and they didn’t wear sockses,
De mindnek volt zsebkendője, ha folyna az orra, But they all had handkerchiefs to blow their noses,
Zsebkendőjét mind a három dobozban tartotta. And they kept their handkerchiefs in cardboard boxes.

Az erdőben éldegéltek, három kicsi házban, They lived in the forest in three little houses,
Nem jártak télikabátban s nem jártak nadrágban. And they didn’t wear coasts, and they didn’t wear trousies.
Mezítláb futottak mindig széltében-hosszában. They ran through the woods on their little bare tootdies,
S Egérékkel fogóztak, ha unatkoztak hárman. And they played „touch last” with a family of mouses.

Nem a High Street-i boltokba mentek vásárolni, They didn’t go shopping in the High Street shopses.
Megszerezték az erdőben, ami kellett holmi, But caught what they wanted in the woods and copses.
A folyóból csak piócát sikerült kifogni, They all went fishing, and they caught three wormses,
Aztán méhekre vadásztak, csípésük: ehol ni! They went out hunting, and they caught three wopses.

Elmentek a vidámparkba s nyertek is a rókák They went to a Fair, and they all won prizes
Három csokis kuglófot és három almatortát, Three plum-puddingses and three mince-pieses.
Hintáztak, elefántoltak, élvezték a mókát, They rode on elephants and swang on swingses,
Aztán a célbadobást kókusszal gyakorolták. And hit three coco-nuts at coco – nut shieses.

Ezt mesélte el nekem a három kicsi róka, That’s all that I know of the three little foxes
Aki vászonzsebkendőjét dobozban tartotta. Who kept their handkechiefs in cardboard boxes.
Az erdőben éldegéltek három kicsi házban, They lived in the forest in three little houses,
Nem jártak télikabátban s nem jártak nadrágban, But they didn’t wear coast and they didn’t wear trousies.
S zoknit, harisnyát sem húztak születésük óta. And they didn’t wear stockings and they didn’t wear sockses.

1. Becsüljétek meg, hogy a magyar (M) és az angol (A) nyelvű szövegben hány szó, hány betű, hány
magánhangzó és hány mássalhangzó szerepel! A becslést írjátok a táblázatba!

Becslés

szavak száma betűk száma magánhangzók mássalhangzók
MA MA száma száma

MA MA

I. csoport
II. csoport
III. csoport
IV. csoport

tanulói munkafüzet 850517. Tömegjelenségek gyakoriságának vizsgálata

2. Becsüljétek meg, hogy a magyar (M) és az angol (A) nyelvű szöveg első három versszakában hány
szó, hány betű, hány magánhangzó és hány mássalhangzó szerepel! A becslést írjátok a táblá-
zatba!

Becslés

szavak száma betűk száma magánhangzók mássalhangzók
MA MA száma száma

MA MA

I. csoport
II. csoport
III. csoport
IV. csoport

3. Számoljátok meg, hogy a magyar (M) illetve az angol (A) nyelvű szöveg első három versszakában
hány szó, hány betű, hány magánhangzó és hány mássalhangzó szerepel! A számlálás eredményét
írjátok a táblázatba!

Számlálás

szavak száma betűk száma magánhangzók mássalhangzók
MA MA száma száma

MA MA

I. csoport
II. csoport
III. csoport
IV. csoport

Azt, hogy a magyar szövegben 170 magánhangzó szerepel, a magánhangzók gyakoriságának nevezzük az
adott szövegben.

4. A meserészlet címében és első három versszakában vizsgáld meg milyen betűk szerepelnek, szá-
mold meg, hogy melyik hányszor fordul elő! Az eredményeidet írd be az alábbi táblázatba!

A magyar nyelvű szöveg első három versszakában előforduló betűk gyakorisága

aábcdeé

f gh i í j k

l mn o ó ö ő

pq r s t uú

üű vwx y z

86 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

Az angol nyelvű szöveg első három versszakában előforduló betűk gyakorisága
abcde f g

hi jk l mn

opq r s t u

vwx y z

5. Összesítő táblázat a magyar és angol nyelvű szöveg első három versszakában előforduló betűk
gyakoriságáról.

betűk aábcdeé
magyar f gh i í j k
angol l mn o ó ö ő
pq r s t uú
magyar üű vwx y z
angol

magyar
angol

magyar
angol

magyar
angol

tanulói munkafüzet 870517. Tömegjelenségek gyakoriságának vizsgálata

6. Készíts gyakorisági diagrammot!
Magyar nyelvű szöveg diagramja

Betűk előfordulási gyakorisága adott szövegben

80
70
60
50
40
30
20
10
0

a á b c d e é f g h i í j k l mn o ó ö ő p q r s t u ú ü ű vwx y z

Fogalmazz meg igaz állításokat a grafikon segítségével!

Angol nyelvű szöveg diagramja

Betűk előfordulási gyakorisága adott szövegben

80
70
60
50
40
30
20
10
0

a b c d e f g h i j k l mn o p q r s t u vwx y z

Fogalmazz meg igaz állításokat a grafikon segítségével!

7. Hasonlítsd össze a két grafikont! Gyűjts róluk igaz állításokat!

88 matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok tanulói munkafüzet

8. A.A. Mille: Amikor még kicsik voltunk című könyvéből

Teddy Mackó Teddy Bear

Egy medvének, ha lusta ő A bear, however hard he tries,
Bizony hamar pocakja nő Grows tubby without exercise.
Így csodálkozni nem lehet, Our Teddy Bear is short and fat,
Hogy Teddy Mackónak ily kerek, Which is not to be wondered at;
Egyetlen mutatványa van; He gets what exercise he can
Az ágyról földre zuhan. By falling off the ottoman,
De vissza már kecmereg, But generally seems to lack
Mivel túlságosan merev. The energy to clamber back.

A kövérség olyan dolog, Now tubbiness is just the thing
Mely töprengésre ad okot; Which gets a fellow wondering;
És Teddy eltöprenghetett, And Teddy worried lots about
The fact that he was rather stout.
Hogy teltsége miből ered. He thought: „If only I were thin!
But how does anyone begin?
Így szólt: „Bár lennék ösztövér, He thought: „It really isn’t fair
És nem ilyen telt, sőt, kövér. To grudge me exercise and air.”

De igazán nem jó dolog,
Hogy kint sosem mozoghatok.

A négy versszak közül kettőben megszámoltuk, melyik betű hányszor fordul elő bennük. Melyik
versszakból készültek a táblázatok és a grafikonok?

1. táblázat
aábcdeé
15 5 1 4 6 20 1
f gh i í j k
1755118
l mn o ó ö ő
9 11 12 7 2 1 2
pq r s t uú
1076731
üű vwx y z
0060095

2. táblázat
aábcdeé
15 0 9 7 6 28 0
f gh i í j k
4 5 11 8 0 0 2
l mn o ó ö ő
6 3 8 14 0 0 0
pq r s t uú
0 0 15 10 19 5 0
üű vwx y z
0016250

tanulói munkafüzet 890517. Tömegjelenségek gyakoriságának vizsgálata

1. sz. grafikon 2. sz. grafikon



alakzatok I. rész

0521. A geometria tárgya;
pont és egyenes síkon és
gömbön

Készítették: lénárt istván, makara ágnes

92 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Válogasd szét a képen látható tárgyakat geometriai és nem geometriai tulajdonságok szerint!

2. Rajzolj vonalakat gyufásdobozra, pingponglabdára, flakonra!
3. V álogasd szét minél többféle szempont alapján a Síkbeli vonalak kártyakészlet (1. tanulói mellék-

let) lapjait!
4. Gyűjtsd össze tapasztalataid alapján a testek, felületek, vonalak geometriai tulajdonságait!

ÖSSZEGZÉS

Mindennapi életünkben tárgyak vesznek körül bennünket. Ha a tárgyaknak az alakját és a méretét figyeljük,
akkor geometriai szempontból vizsgáljuk azokat.
Ha egy tárgyat geometriai tulajdonságai szerint vizsgálunk, akkor a tárgyat geometriai testnek szokás
nevezni.
A testeket felületek határolják. A felületek lehetnek görbék vagy síklapok. A síklapú testeket lapok határolják.
A lapok élekben, az élek csúcsokban találkoznak.
A felületekre rajzolhatunk vonalakat. A vonalak egyenesek vagy görbék lehetnek.

2. FELADATLAP

1. Rajzoljatok pontot a lapra zsírkrétával, filctollal, hegyes ceruzával, és nézzétek meg nagyítóval! Mit
gondoltok a megrajzolt pontokról?

2. Rajzoljatok pontot a gömbre!

3. Rajzoljatok fél pontot!

4. Rajzoljatok különböző vonalakat a lapra és a gömbre!
Gyűjtsetek példákat vonalakra! Mondjatok a valóságban fellelhető dolgokat, amelyekről azt mond-

hatjuk, hogy „vonal alakú”.

tanulói munkafüzet 930521. A geometria tárgya; pont és egyenes síkon és gömbön

5. Rajzoljatok egy görbe és egy egyenes vonalat a síkra! Rajzolj egy görbe és egy egyenes vonalat a
gömbre! Találsz-e olyan vonalat a sárgadinnye héján, amit gömbi egyenes vonalnak gondolsz?

6. Mondjatok példát síkfelületre! Mondjatok görbe felületre! Próbáljátok megfogalmazni, mi a geo-
metriában a sík!

7. Mondjatok példákat olyan tárgyakra, amelyeknek a geometriai alakja olyan, mint a gömb, a tégla-
test, a kocka, a tórusz!

ÖSSZEGZÉS

A geometria a tárgyak kiterjedésével, alakjával, méreteivel foglalkozik.
Az igazi pont, amit a matematikában pontnak nevezünk, csak a mi képzeletünkben létezik: még soha, senki
sem látta. Semmije sincs, csak a helye. Nincs kiterjedése, csak azt tudjuk róla, hol van.
A geometriában a pontot ezentúl kis ×-szel jelöljük meg, az × szárainak metszésében képzeljük a pont
helyét. A pontokat rajzon nagy betűkkel szokás elnevezni.
Az igazi vonalnak nincs vastagsága, de nemcsak helye van, mint a pontnak, hanem alakja és hosszúsága is.
Geometriai vonal csak a képzeletünkben létezik.
A síkot úgy képzeljük, mintha egy kis edényben lévő víz felületét minden irányban bármilyen nagyságban
kiterjesztenénk, és mindenhol változatlan maradna. Azt mondjuk, hogy az igazi síknak nincs vastagsága, és
minden irányban végtelen. Ez is csak a képzeletünkben létezik.

3. FELADATLAP

1. a) Rajzoljatok két pontot a füzetbe, zsineg segítségével keressétek meg a legrövidebb utat a két
pont között!

b) Hosszabbítsátok meg ezt a vonalat mind a két irányban, amíg csak lehetséges! Milyen vonalat
kaptatok?

c) Lehetne-e ezt a vonalat tovább folytatni mind a két irányban? Milyen vonal lesz ez?

2. Most játsszuk el ugyanazt a gömbön, amit eddig a síkon eljátszottunk!

94 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

3. Rajzoljatok vonalzóval egyenest a síkra! Fordítsátok meg a vonalzót, és így is rajzoljátok meg ugyan-
ezt az egyenest!

Próbáljátok ugyanezt a gömbön a gömbfólia segítségével!

4. Vegyétek elő a gömbvonalzót! Látjátok, ezen is van skálabeosztás, ez mutatja a legrövidebb utat a
gömbön.

Rajzoljatok két pontot a gömbre, és kössétek össze azokat a vonalzó mentén!
Milyen vonalat kaptatok?
Lehetne-e ezt a vonalat tovább folytatni mind a két irányban?
Milyen vonal lesz ez?
A gömbvonalzónak mindegyik éle ugyanilyen vonalat rajzol? Azok is, amelyek mentén nincs ská-

labeosztás?

ÖSSZEGZÉS

Síkfelületen két különböző pont között az egyenes szakasz mutatja meg a legrövidebb utat. Az egyenes
szakasz mindkét irányban akármeddig meghosszabbítható, végtelen hosszú. Ezt a végtelen hosszú vonalat
nevezzük egyenes vonalnak.

A gömbfelületen két különböző gömbi pont között a gömbi főkörív, vagy más néven gömbi szakasz mutatja
meg a legrövidebb utat. Ha a gömbi főkörívet mindkét irányban meghosszabbítjuk, akkor ez a vonal körbeéri
a gömböt, és gömbi körré változik. Ez a gömbi kör abban különbözik a gömb többi körétől, hogy ez a lehető
legnagyobb kör, amit a gömbre rajzolhatunk. Ezt a legnagyobb gömbi kört gömbi főkörnek, vagy gömbi
egyenesnek nevezzük.

5. Gyakoroljátok a gömbvonalzó használatát! Rajzoljatok gömbi köröket a vonalzó segítségével! Fel-
váltva dolgozzatok, egymást segítve!

tanulói munkafüzet 950521. A geometria tárgya; pont és egyenes síkon és gömbön

6. Figyeljétek meg egy vízcsepp útvonalát, ha ferde síklapon halad, és ha a gömbön halad!
7. Képzeld azt, hogy az almák tökéletesen gömb alakúak! Melyik vágásvonal halad gömbi egyenesen,

vagyis főkörön?

8. Jelölj ki egy pontot a síkon! Hány egyenes húzható a síkon ezen a ponton át?
Jelölj ki egy pontot a gömbön! Hány főkör húzható a gömbön ezen a ponton át?
9. Rajzoljatok egy egyenes vonalat a síkra, és jelöljetek ki rajta egy pontot! Mit gondoltok, hány részre,

hány egyenes darabra bontja szét ez a pont az egyenest?
10. Rajzoljatok egy főkört a gömbre, és jelöljetek ki rajta egy pontot! Mit gondoltok, hány részre, hány

főkör darabra bontja szét ez a pont a főkört?
11. S zínezzétek ki a különböző egyenes darabokat más-más színnel! Színezzétek ki a különböző főkör

darabokat más-más színnel!
12. a) Rajzolj a papír síkjára egy egyenest, és jelölj ki rajta két pontot! Hány részre osztja a két pont

az egyenest? Színezd a különböző részeket más-más színnel! Melyik rész véges? Melyik rész
végtelen?
b) Rajzolj a gömbre egy főkört, és jelölj ki rajta két pontot! Hány részre osztja a két pont a főkört?
Színezd a különböző részeket más-más színnel! Melyik rész véges? Melyik rész végtelen?
13. a) Vegyél fel két pontot a síkon! Hány egyenest tudsz rajzolni ezeken a pontokon át?
b) Vegyél fel két pontot a gömbön! Hány főkört tudsz rajzolni ezeken a pontokon át?

96 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

ÖSSZEGZÉS

A síkban egy megadott pontján át végtelen sok egyenes húzható. Ez a gömbön is így van: egy adott gömbi
ponton át végtelen sok gömbi főkör megy át.
A síkban két megadott pontján át egyetlen egyenes húzható.
A gömbön más a helyzet. Általában igaz, hogy két pontot egyetlen gömbi főkör köt össze.
Ha a két pont átellenes (egymással szemközt helyezkednek el a gömbfelületen), akkor végtelen sok gömbi
főkör illeszkedik rájuk.
A pont az elképzelt, végtelen hosszú egyenest két darabra bontja. Ezeknek az egyenes daraboknak félegye-
nes a nevük.
A pont a főkört nem bontja két darabra.
Az egyenest két pontja három részre bontja: Két végtelen félegyenesre és egy szakaszra. A két pont közötti
véges egyenes darab neve: szakasz.
A főkört két pontja két véges főkörívre bontja.

4. FELADATLAP

1. Rajzoljatok egy egyenes vonalat a füzet lapjára és egy gömbi főkört a gömbre!
Figyeljétek meg, hogyan osztja szét az egyenes a síkot és a kör a gömböt!
Fogalmazzatok meg azonosságot és különbözőséget!
2. És ha feljebb rajzoljuk az egyenest, most már úgy, hogy a két tartomány a füzetlapon nem látszik

egyformának?
És ha csak egy pici csücsök marad az egyenes darab egyik oldalán, és a füzetlap legnagyobb része

a másik oldalra kerül?
És ha máshová rajzoljuk a főkört?
3. Rajzoljatok vonalat a skálázott él és a skálázatlan él mentén!
Hasonlítsátok össze a két vonalat és a keletkezett részeket!
Fogalmazzátok meg a különbséget!
Ha a skálázott élek mentén vágnánk szét a gömböt, egyforma darabokat kapunk?
És ha bármely skálázatlan él mentén vágnánk ketté a gömböt, egyforma darabokat kapnánk-e?

tanulói munkafüzet 970521. A geometria tárgya; pont és egyenes síkon és gömbön

4. a) Képzeld a narancsot tökéletes gömbnek, és rajta piros, kék és zöld befőttes gumit tökéletes főkö-
röknek! Melyik befőttes gumi osztja szét két egyforma félgömbre a narancs felületét?

b) Képzeld a papír síkján rajzolt narancssárga vonalakat végtelen egyeneseknek! Melyik egyenes
osztja szét két egyforma félsíkra a végtelen síkot?

5. Vedd a kezedbe a színesrúd-készlet egy darabját!
a) Mutass rajta két olyan lapot, amelyek nem metszik egymást! Milyen helyzetűnek mondtuk a

test nem metsző lapjait?
b) Mutass két olyan lapot, amelyek metszik egymást! Húzd végig az ujjadat a két lap közös részén!

Hogyan neveztük azt az egyenes darabot, amelyben két szomszédos lap találkozik?
c) Keress három olyan lapot, amelyek „találkoznak”! Mi a három lap közös része? Hogyan nevez-

tük ezt?

6. Vedd a kezedbe ismét a színes rudat! Húzd végig az ujjadat a párhuzamos éleken! Keress metsző
éleket! Keress olyanokat, amelyek nem metszők, de nem is párhuzamosak!

7. Két ceruzával (amit képzeletünkben most végtelen hosszú egyenesnek gondolhatunk) mutass pár-
huzamos, metsző, kitérő egyeneseket!

8. Hasáb felületére rajzoljatok párhuzamos, metsző, kitérő egyeneseket! Dolgozzatok párban!

9. Gyűjts a környezetedben párhuzamos vonalakat!

10. Figyeljétek meg két főkör illetve két egyenes lehetséges helyzetét!
Használjatok két félgömbfóliát és a síkfóliákra rajzolt egyenes vonalakat! Dolgozzatok párban!

11. a) Rajzoljatok különböző helyzetben két főkört a gömbre!
Tudjátok meg, hogyan állhat két főkör a gömbön egymáshoz képest!
Hogyan osztják szét a főkörök a gömb felületét?
Hány színnel színezhetnénk ki a részeket?
b) Rajzoljatok különböző helyzetben két egyenes vonalat a síkra!
Gondoljátok meg, hogyan állhat két egyenes egymáshoz képest!
Hogyan osztják szét az egyenesek a síkot?
Hány színnel színezhetnénk ki a részeket?
c) Lehet-e két gömbi főkör párhuzamos? Rajzoljatok két párhuzamos főkört!

98 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

12. a) Rajzolj két metsző egyenest a síkra, és jelöld a metszéspontjukat! Hány egyenes húzható ezen a
ponton át a síkon?

b) Rajzolj két főkört a gömbre, és jelöld a metszéspontjaikat! Hány főkör húzható ezeken a ponto-
kon át a gömbön?

13. Keresd meg a földgömbön az Egyenlítőt és a Ráktérítőt! Azt mondja valaki: „Nem igaz, hogy nin-
csenek párhuzamos főkörök a gömbön, hiszen az Egyenlítő párhuzamos a Ráktérítővel.”

Igaza van-e?

ÖSSZEGZÉS

A síkot egy egyenese két végtelen tartományra: két félsíkra osztja. A gömböt egy főköre két félgömbre osztja.
A két félgömb véges.
A térben két egyenes lehet metsző, párhuzamos vagy kitérő.
A sík két egyenese párhuzamos helyzetű, vagy metszik egymást.
A gömbön csak egymást metsző főkörök rajzolhatók. Két főkör 2 átellenes pontban metszi egymást.

alakzatok I. rész

0522. Távolság és
távolságmérés síkon és
gömbön

Készítették: lénárt istván, makara ágnes

100 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Válogatások
Darabos és folytonos mennyiségek:
Ha mozijegyet veszel, vagy megszámolod, hány gyerek van az osztályban, akkor egy természetes
számot kell mondanod: „Három jegyet kérek.” „Húsz gyerek van az osztályban.” Nem mondha-
tod: „Három és fél mozijegyet kérek” vagy „Húsz és egynegyed gyerek van az osztályban. Ezek
darabos mennyiségek.
Ha porcukrot veszel, vagy megméred a testsúlyodat, akkor nemcsak egész számot, hanem bármi-
lyen pozitív számot mondhatsz: „Kérek negyed kiló porcukrot”. „Negyvenegy és fél kiló vagyok.”
Akármilyen kis mennyiséget is mondhatsz, ha van olyan eszköz, amivel még azt a kis mennyiséget
is meg lehet mérni. Ezek folytonos mennyiségek.
Sokszor nehéz eldönteni, hogy darabos vagy folytonos mennyiséggel van-e dolgunk. A paprikát
árulják darabra is, és súlyra is, tehát hol darabos, hol folytonos mennyiségre gondolunk: „Kérek két
darab paprikát.” „Kérek negyed kiló paprikát.”
A tanár által adott kártyakészletben olyan mennyiségek képeit látod, amelyekről el lehet dönteni,
hogy darabosak-e vagy folytonosak:
Találd ki, melyik kártya mit ábrázol, és válogasd szét a kártyákat aszerint, hogy darabos vagy foly-
tonos mennyiségeket ábrázolnak!

alma autó betű utazás víz sebesség

SMS-üzenet fekvő- gól puszi hang- idő test-
támasz erősség magas-
ság