h-amat0501_diak-mf_1felev

tanulói munkafüzet 0522. Távolság és távolságmérés síkon és gömbön 101

2. Folytassátok a megkezdett válogatást! Adjatok címkét a halmazoknak!

3. Álljatok padsoronként magasság szerint növekvő sorba!
Hozzatok létre két-két sorból egy magasság szerint növekvő sort!
Az új sorokat felhasználva az összes gyereket rendezzétek magasság szerint növekvő sorba!

Olvasmány a hosszúságmérés egységeiről

A műszaki szakemberek szerint: „Csak az van, amit mérni lehet”. A régi korokban országonként, tartomá-
nyonként különböző, és többnyire önmagában sem egységes mér¬tékeket használtak. Ezek közül sokat ma
is használunk, némelyekkel regényekben találkozunk.
A tudományos kutatások, a műszaki fejlesztések alapja, hogy a mérhető mennyiségeket minél pontosabban
megadják. Ma sok olyan iparág van, amely a termékeihez (pl. számítógépek, autók) szükséges alkatrészeket
a világ legkülönbözőbb pontján állíttatja elő.
Ezeket az alkatrészeket csak akkor lehet összeszerelni, ha az előírások szerint µm (mikrométer: a méter mil-
liomod része) pontossággal illeszkednek egymáshoz.
A szakemberek összeállítottak egy egységes mértékrendszert, rövidítve SI (Système Internationale d’Unités),
amelynek használata 1960-tól Magyarországon is kötelező.
Az SI rendszerben a hosszúságmérés egysége a méter. (A „méter” a görög „metron” szóból ered.)

A méter története

A hosszúság mérésének egy új alapegységének meghatározását, a francia Akadémia (L’Académie française)
által javasolt mérés elvégzését a Párizsban 1791. március 26.-án összehívott nemzetgyűlés rendelte el.
Az új alapegységet méternek nevezték el, és csillagászati mérésekkel a Föld Párizson áthaladó dél-
körének negyvenmilliomod részeként definiálták.
(A legújabb mérések szerint az akkor megállapított méter 0,2 mm-rel rövidebb a délkör negyvenmilliomod
részénél, tehát meglepően jó!)
Hamarosan elkészítették egy „méterrudat”, amit ősméternek tekintettek. Nézd meg a rajzon az alakját!

a méter etalon szerkezete

102 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

1878-ban Párizsban létrejött a Nemzetközi Mértékügyi Bizottság, amelynek elnöke csaknem húsz évig Krus-
pér István műegyetemi professzor volt.
Elkészítettek 30 db számozott másolatot az ősméterről, amelyeket sorsolással osztottak szét a résztvevő
országok között. Magyarországnak a 14. számú jutott.
A nemzeti ősmétert különleges bánásmódban részesítették. A Budapesti Nemzeti Bank pincéjében őrizték
egy gyapottal kibélelt, lepecsételt ládában. A gyapotbélés egy réztokot, az pedig magát a méterrudat tartal-
mazó, bársonybélésű tokot rejtette.
Készítettek két, a nemzeti ősméterhez hasonló „használati főmintát”. Az Országos Mérésügyi Hivatalban
ezekkel ellenőrizték a sárgaréz alapanyagú méterrudakat, amelyek alapján a mérőeszköz-gyártók dolgoztak.
1983-ban a Nemzetközi Súly- és Mértékügyi Hivatal Bay Zoltán magyar fizikus méter-definícióját fogadta el.
Eszerint egy méter az a távolság, amit a fény légüres térben 1 másodpercnek a 299792458-ad része

alatt megtesz.

4. A történetírók szerint a hosszúság volt az első mennyiség, amit mértek az emberek. Ehhez a saját
testrészeiket használták. Kösd össze, melyik mértékegység körülbelül milyen hosszú lehetett!

hüvelyk 42 cm

kisarasz 75 cm

nagyarasz 25 mm

láb 32 cm

könyök 16 cm

lépés 21 cm

Méréssel ellenőrizd, hogy milyen hosszú a kisaraszod, a nagyaraszod és egy lépésed!

5. N ézzétek meg, néhány régi mértékegység mennyit ér cm-ben!
Készítsetek csoportonként egy-egy plakátot, amelyen rajzzal bemutatjátok a régi mértékegysége-

ket!

Hüvelyk
A római eredetű mértékegység egész Európában általánosan használt volt.
Magyarországon a 13. századtól alkalmazták.
Elnevezései más nyelveken:
latinul digitus; németül Zoll (ejtsd: coll); angolul inch (ejtsd: incs).
Sok fajtája van, a legelterjedtebb az angol hüvelyk (2,54 cm) és a bécsi hüvelyk (2,63 cm)

Ujj
Latinul digitus.
Magyar mértékként 1244-től ismert.
1 ujj = 4 árpaszem = kb. 1,7 – 1,9 cm
1 királyi ujj = 1,953 cm

Láb
Latinul pes.
Magyar mértékként 1266-tól ismert..
1 láb = 16 ujj ~ 18,9-33,6 cm; a gyakorlatban általában 31,6 cm.

Arasz
Régi hosszmértékegység.
Kisarasz: a hüvelykujj hegyétől a mutatóujj hegyéig
Nagyarasz: a hüvelykujj hegyétől a kisujj hegyéig
A ruhák anyagát rőfben mérik a rőfösök, egy rőf 78 cm hosszú.

tanulói munkafüzet 0522. Távolság és távolságmérés síkon és gömbön 103

6. Keress a környezetedben olyan távolságokat, amelyek nem hosszabbak 3 lépésnél!

7. Zsinegből vagy cérnából vágj le akkora darabot, amelyik becslésed szerint éppen körüléri a leg-
nagyobb kör mentén a rajzgömböt! Utána próbáld rá a gömbre, és becsüld meg, mennyit tévedtél!
Hosszabb zsineg kellett volna, mint amennyit levágtál, vagy rövidebb? Számoljátok össze, hány
gyereknek volt túl rövid a zsinege, hánynak volt túl hosszú?

(Ne csalj! Elrontod a játékot, ha előbb próbálod rá a zsineget a gömbre!) Próbáld ki ugyanezt a
gömbi szögmérő kerületével! Mielőtt megmérnéd, becsüld meg, hogy szerinted hányad része a
szögmérő kerülete a nagy gömbi kör kerületének!

8. Pótold a hiányzó mértékegységeket!
Egy alma körmérete 24 .................... .
Egy kád mélysége 6 és fél .................... .
Egy szoba magassága 265 .................... .
Egy CD vastagsága 1 .................... .

9. Keress olyan tárgyat, ami körülbelül olyan széles, mint a tanterem ajtaja és az egyik ablaka együtt-
véve!

ÖSSZEGZÉS

A mérés azt jelenti, hogy a megmérendő mennyiséget összehasonlítjuk az egységül választott mennyiséggel.
Tehát a mérés összehasonlítást jelent.
A mérés eredménye a mennyiség, ami mérőszámból és mértékegységből áll.
Pl. Azt mondjuk egy mérés végén: „A terem szélessége 6 méter.”
mennyiség: 6 méter
mérőszám: 6
mértékegység: méter

2. FELADATLAP

1. Mérd meg a tankönyved nagyobbik oldalát kisarasszal, piros rúddal, vonalzóval! Mérési eredmé-
nyeidet írd be a megfelelő helyre!

............. kisarasz < a tankönyvem nagyobb oldalának hossza < ............. kisarasz

............. piros rúd < a tankönyvem nagyobb oldalának hossza < ............. piros rúd

............. cm < a tankönyvem nagyobb oldalának hossza < ............. cm

............. mm < a tankönyvem nagyobb oldalának hossza < ............. mm

104 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

2. Becsüld meg párod magasságát dm-pontossággal! Hány dm-nél magasabb, hány dm-nél alacso-
nyabb! Írd le matematikai jelekkel!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Becsüld meg a magasságát cm-pontossággal! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ezt követően kérdezd meg tőle, mekkora a magassága! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mennyit tévedtél? Ellenőrizhettek méréssel! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Pároddal gyűjtsetek példát olyan távolságokra, amelyeket

mm-pontossággal cm-pontossággal

méterpontossággal km-pontossággal

érdemes megadni!

4. Írd a nyilakra a megfelelő műveleteket és számokat! · ·
1m :
···

1 mm : 1 cm : 1 dm : 1 km :

5. Becsléssel rajzolj a füzetedbe, azután a gömbre 3 cm, 25 mm, fél dm hosszúságú szakaszt! Hasonlít-
sátok össze a rajzaitokat, beszéljétek meg, kié lehet legközelebb a kért hosszúsághoz! Ellenőrizzétek
méréssel! Hogyan lehet megmérni a távolságot a füzetben? Hogyan lehet megmérni a gömbön?

6. Rajzolj a papír síkjára egy egyenes vonalat, és jelölj ki rajta két pontot! Hány részre osztja a két pont
az egyenest? A részek közül melyiket lehet megmérni, melyiket nem? Miért?

7. Mindegyik sárga vonalon a szomszédos kék pontok a valóságban egymástól 1 cm-re vannak. Jelöld
a vonalakon a következő hosszúságokat! 1 cm, 2 cm, 20 mm, 2 és fél cm, 4 cm, 35 mm, 3 cm.

Mielőtt hozzákezdenél, gondold meg, hogy melyik távolságot melyik vonalon fogod megjelölni!
Amit jelöltél, írd a vonalra! Van-e olyan távolság, amelyiket nem tudsz pontosan, csak közelítőleg
bejelölni? Ha van ilyen, azt húzd alá!

tanulói munkafüzet 0522. Távolság és távolságmérés síkon és gömbön 105

8. Dolgozzatok csoportban! Mérjétek meg a tankönyvetek rövidebbik oldalát tetszőleges mértékegy-
séggel (pl. a füzet egy négyzetének oldalhosszával, fogpiszkálóval, egymás mellé helyezett egy-
forma pénzérmékkel, hüvelykkel stb.)

Ne áruljátok el, rejtsétek a mérést a többi csoport elől! A füzetbe csak a mérőszámot írjátok le! Gyűjt-
sétek a táblára a mérőszámokat, és döntsétek el, melyik csoport milyen mértékegységet választott!

9. Rajzolj a gömbre egy főkört, és jelölj ki rajta két pontot! Hány részre osztja a két pont a főkört? A
részek közül melyiket lehet lemérni, melyiket nem? Miért?

10. M i legyen a gömbön a távolság mértékegysége? Itt is sokféle mértékegységet használtak az embe-
rek, ugyanúgy, mint a síkon.

ÖSSZEGZÉS

A gömbvonalzó alap-főkörén, amit az ábrán kék színnel jelöltünk, 360 skálabeosztást látsz. Nevezzük el a
két szomszédos skálabeosztás közti gömbi távolságot 1 gömbi lépésnek! Ekkor egy teljes főkör hossza 360
gömbi lépés.
Legyen két gömbi pont távolsága
– az őket összekötő rövidebb főkör hossza,
– ha mindegyik főkör-darab egyforma hosszú, akkor bármelyiküknek a hossza.
11. Mekkora a földgömbön az Északi-sark és Déli-sark gömbi távolsága?
Mekkora az Északi-sark és az Egyenlítő valamelyik pontjának gömbi távolsága?
Körülbelül hol vannak azok a pontok, amelyek az Északi-sarktól 45 gömbi lépés távolságra esnek?

Mutasd meg ezeket a földgömbön!

106 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

3. FELADATLAP

1. Képzeld azt, hogy a képen látható mindhárom paradicsom tökéletes gömb!

Mind a három gömb-paradicsomon bejelölünk két, egymással átellenes pontot. Ha gömbi lépések-
ben mérjük a gömbi távolságot, melyik paradicsomon a legnagyobb a két pont gömbi távolsága?

2. a) Mekkora a legnagyobb távolság két különböző pont között a síkon?
b) Mekkora a legnagyobb távolság két különböző pont között a gömbön?
c) Mekkora a legkisebb távolság két különböző pont között a síkon?
d) Mekkora a legkisebb távolság két különböző pont között a gömbön?

3. a) Jelölj ki két pontot egy főkörön! Mérd meg a távolságukat gömbi távolságegységekben, a gömb-
vonalzó beosztása mentén!

b) Jelölj ki a gömbön ilyen távolságra eső két pontot:
90 gömbi lépés; 60 gömbi lépés; 45 gömbi lépés; 30 gömbi lépés; 120 gömbi lépés; 180 gömbi

lépés.
c) Ha egy főkör egyik pontjától elindulsz, és akkora óriás-ugrásokkal haladsz előre, hogy egy

ugrás akkora, mint 90 gömbi lépés, akkor hány ugrással érsz vissza a kiindulópontba?
d) Hány ugrással érsz vissza a kiindulópontba, ha egy óriás-ugrás
60 gömbi lépés;
45 gömbi lépés;
120 gömbi lépés;
180 gömbi lépés?

tanulói munkafüzet 0522. Távolság és távolságmérés síkon és gömbön 107

4. Kövesd Kolumbusz Kristóf útjának történetet térképen és a gömbön! Honnan indult és hova érke-
zett?

(Spanyolország déli részéből indult és a Bahama-szigetek egyikére érkezett.)
– Földrajzi atlasz világtérképén;
– Gömbön!

Körülbelül hány évszázad/évezred telt el Kolumbusz
felfedezése óta? Körülbelül hányszor annyi tengert,
mint szárazföldet találunk a Földön? Mutasd meg
egy almán vagy narancson ezt az arányt!
Kolumbusz Kristóf 1492 augusztusában (két évvel
Hunyadi Mátyás király halála után) indult el három
hajóval Spanyolországból. Célja az volt, hogy a göm-
bölyű Földön nem kelet felé, hanem nyugat felé
hajózva érjen Japánba, Kínába és Indiába. Kisebbnek
gondolta a Földet, mint amekkora valójában, és azt
hitte, hogy a Föld felszínének nagyobbik részét szá-
razföld borítja, tehát kevés hely marad a tenger szá-
mára. Ezért azt remélte, hogy nyugat felől hamar eléri majd Ázsia partjait. Ázsia helyett azonban, két
hónapi hajózás után, ismeretlen szigetekhez ért, amelyek a mai Közép-Amerika Bahama-szigetcso-
portjához tartoznak. Máig sem tudjuk pontosan, hogy melyik szigeten kötött ki először. Legtöbben a
mai San Salvador szigetére, az ott lakó indiánok nyelvén Guanahaní szigetére szavaznak. Kolumbusz
meg volt győződve arról, hogy Ázsiába érkezett. Következő évben, 1493 márciusában ért vissza Spa-
nyolországba, ahol nagy ünnepléssel fogadták. Évekkel később egy másik utazó, Amerigo Vespucci
volt az első, aki már nem Ázsiának, hanem „Új Világ”-nak tekintette az újonnan felfedezett földe-
ket. Amerigo Vespucci után nevezték el az új világrészt Amerikának. Még ezek után is sokan keres-
ték a nagy összefüggő déli kontinenst. Csak a tizennyolcadik században, majdnem háromszáz évvel
Kolumbusz felfedezése után, derült ki, hogy a Föld felszínének körülbelül háromnegyedét víz borítja,
a szárazföldekre csak a maradék, körülbelül negyedrész jut.

5. Keresd meg a földgömbön az Egyenlítőt! Keresd meg az Északi- sarkot és a Déli-sarkot! Keresd meg
Afrikát, és húzd végig az ujjadat a partvonalán!

6. Rajzolj a gömbre egy piros főkört! Legyen ez az Egyenlítő! Próbáld meg most rárajzolni a gömbre
Afrikát, körülbelül úgy, ahogyan a képen látod!

Jelöld meg Afrika legészakibb, legdélibb, legkeletibb és legnyugatibb pontját!
Körülbelül hány gömbi lépés távolságra van a legészakibb pont a legdélibb ponttól? Előbb becsüld
meg, aztán mérd meg a gömbvonalzóval!
Körülbelül hány gömbi lépés távolságra van a legkeletibb pont a legnyugatibb ponttól? Előbb
becsüld meg, aztán mérd meg a gömbvonalzóval!

108 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

7. A Föld, amelyen élünk, majdnem gömb alakú. A gömbnek képzelt Föld főkörének kerülete 360
gömbi lépés, kilométerben mérve körülbelül 40 000 kilométer. Egy gömbi lépés ezért 40 000 kilo-
méternek a 360-ad része, ami körülbelül 110 kilométernek felel meg.

Számítsd ki, hogy Afrika legészakibb pontja körülbelül hány kilométerre esik a legdélibb ponttól!
Számítsd ki, hogy Afrika legkeletibb pontja körülbelül hány kilométerre esik a legnyugatibb pont-

tól!

8. Készíts vakföldgömböt úgy, hogy a kontinensformákat körülrajzolod! Nem baj, ha nem egészen
pontos a rajzod! A kontinensformák sem pontosak, csak kontinens-vázlatok. A szigeteket pedig
nem is ábrázoljuk ezen a vakföldgömbön.

Jelölj be öt földrajzi helyet: a helység, ahol az iskolád van; az Északi-sark; a Déli-sark; Fokváros
Afrika déli csücskén (a gólyák Magyarországról odáig repülnek, ha jön az ősz); és még egy város,
amit válassz meg magad, bárhol a világon!

Becsüld meg akármelyik kettőnek a távolságát gömbi lépésben és kilométerben, azután mérd meg
a távolságot gömbvonalzóval és számolj!

alakzatok I. rész

0523. Szögtartomány
és szögmérés síkon
és gömbön

Készítették: lénárt istván, makara ágnes

110 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Rajzolj a gömbre egy pontot, és két olyan főkör-darabot, amely a pontból indul! Hosszabbítsd meg
a két főkör-darabot addig, amíg újra találkoznak! Milyen hosszú lesz ekkor a két főkör-darab?
Hány részre osztottad így az egész gömb felületét? Próbáld ki ugyanezt egy narancson úgy, hogy
a héjából kivágsz egy darabot!

2. Rajzolj a síkra egy pontot, és két olyan félegyenest, amely a pontból indul! Hosszabbítsd meg a két
félegyenest addig, amíg csak tudod! Hol találkozik ismét a két félegyenes? Hány részre osztottad a
két félegyenessel a síkot? Színezd különböző színekkel a részeket!

3. Rajzolj a síkra egy pontot! Most ebből a pontból indíts két olyan félegyenest, amelyek egy egyenesre
illeszkednek! Hosszabbítsd meg a két félegyenest addig, amíg csak tudod! Hol találkozik ismét a
két félegyenes? Hány részre osztottad a két félegyenessel a síkot? Színezd különböző színekkel a
részeket!

4. Rajzolj a gömbre egy pontot, és két olyan főkör-darabot, amely a pontból indul, és ugyanarra a
főkörre illeszkednek! Hosszabbítsd meg a két főkör-darabot addig, amíg újra találkoznak! Hány
részre osztottad így az egész gömb felületét?

5. Csoportosítsd a síkidomokat kétfelé! Az egyik halmazba kerüljenek azok, amelyeknek akármelyik
két pontját összeköthetjük a síkidom belsejében haladó szakasszal (ezeket konvex síkidomoknak
nevezzük)! A másik halmazba a többi síkidomot helyezd (ezeknek a neve: konkáv síkidom)!

Válogasd ki a síkidomok közül azokat, amelyeket csak egyenes darabok (szakaszok) határolnak!
1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12.

tanulói munkafüzet 0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön 111

6. Melyik szöget tennéd a konvex síkidomok közé?

ÖSSZEGZÉS

A gömbön:
Az egy pontból induló két főkör-darab a két szögszár. A két szögszár két szögcsúcsban találkozik. A szögszá-
rak a gömb felületét két szögtartományra osztják. Meg kell jelölnünk, hogy a két tartomány közül melyikre
gondolunk. Ha csak szögtartományról beszélünk, akkor mindig a kisebbik szögtartományra gondolunk.

A síkon:
Az egy pontból induló két félegyenes a két szögszár. A két szögszár egy szögcsúcsban találkozik. A szög-
szárak a sík felületét két szögtartományra osztják. Meg kell jelölnünk, hogy a két tartomány közül melyikre
gondolunk. Ha csak szögtartományról beszélünk, akkor mindig a kisebbik szögtartományra gondolunk.

A szögeket úgy jelöljük meg, hogy a körzőnket a szög csúcsába szúrjuk, és a szög két szára közé ívet rajzo-
lunk:

ab

A szögeket a görög ábécé kisbetűivel szokás elnevezni: α (alfa), β (béta), γ (gamma). A betűket beleírjuk a
szögtartományba.

112 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

Azokat a síkidomokat, amelyeknek akármelyik két pontját összekötő szakasz a síkidom belsejében van,
konvexnek nevezzük. Az olyan síkidomokat, melyeknél valamelyik összekötő szakasz kilép a síkidomból,
konkávnak nevezzük.

Azokat a síkidomokat, amelyeket egymáshoz kapcsolódó szakaszok határolnak, sokszögeknek nevezzük.
Ezek sokszögek:
Ezek nem sokszögek:

2. FELADATLAP

1. Rajzoljatok a gömbre közös pontból kiinduló két fél főkört! (Ezek a ponttal szemközti pontban is
metszik egymást.)

Hány részre bontja a két fél főkörív (meridián) a gömbfelületet? Nevezzük mindkét részt gömbi
szögtartománynak! A két gömbi szögtartomány közül válasszuk ki a kisebbiket, ezt színezzétek ki!

Ezzel fogunk most foglalkozni.
Szóforgóval gyűjtsetek erről minél több információt, írjátok ezeket egy lapra!

tanulói munkafüzet 0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön 113

2. Tanárotoktól páronként kaptok gömbfóliából kivágott gömbi szögtartományokat. Külön papírla-
pokra gyűjtsétek mindegyik szögtartománynak a tulajdonságait! Hasonlítsátok össze, írjátok le az
azonosságokat és a különbözőségeket!

3. A mérést követően a csoportban gyűjtsétek össze az alakzatokat! Keverjétek össze a róluk gyűjtött
információkat! Sorban húzzatok ez utóbbiakból egyet. Aki húzott, olvassa fel, és válassza ki, melyik
gömbfólia-darabról szólhatott az információ!

4. Válasszatok az alábbi tulajdonságok közül minél kevesebbet, ami elegendő ahhoz, hogy ezt ismerve
gömbkétszögre gondoljunk!

2 csúcsa van
2 oldala van
2 szöge van
mindegyik oldala 180 gömbi távolságegység
2 gömbi félkör határolja
2 csúcsa, a gömbön átellenes pont.

5. Papírból nyírjatok ki különböző nagyságú szögtartományokat – páronként 2-2 darabot! Figyeljétek
meg a síkbeli szögtartományoknál azokat a tulajdonságokat, amelyeket a gömbi kétszög esetében!

Hány csúcsa van a szögtartománynak?
Hány oldala, vagyis szögszára van a szögtartománynak?
Milyen hosszúak a szögszárak?
Hány szöge van a síkbeli szögtartománynak?

6. Miben különböznek a síkbeli szögtartományok? Hajtogass papírból derékszögmérőt, és ezzel
hasonlítsd össze a szögek nagyságát!

Így csoportosítsd a szögeket:
– derékszögnél kisebb
– derékszög,
– 1 derékszögnél nagyobb, de két derékszögnél kisebb
– két derékszöggel egyenlő, két derékszögnél nagyobb
– 4 derékszöggel egyenlő!
7. Vizsgálódjatok Magyarország térképén!
Tegyetek a térképre egy átlátszó papírt, és húzzatok Budapesttől dél felé, közel a Duna vonalán egy

félegyenest! Húzzatok egy másik félegyenest ugyancsak Budapesttől indulva, a Balaton keleti széle
felé! Hajtogassatok ekkora szöget! Mit gondolsz, ha átfordítod ezt a szöget az utóbb húzott egyenes
másik oldalára, belefér-e a szögtartományba a Balaton?

8. Töltsd ki a táblázatot! síkon gömbön
két félegyenes/ félfőkör által határolt
szögtartomány
csúcsainak száma
határoló vonalainak hossza
a szögtartomány szögeinek száma

114 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

ÖSSZEGZÉS

A gömbkétszög olyan gömbi alakzat, amelyet két félfőkör határol.
A szögeket nagyságuk szerint a következőképpen csoportosítjuk síkon és gömbön:
Hegyesszög (derékszögnél kisebb)
Derékszög
Tompaszög (derékszögnél nagyobb, de 2 derékszögnél kisebb)
Egyenesszög (2 derékszöggel egyenlő)
Homorú szög (2 derékszögnél nagyobb)
Teljes szög (4 derékszöggel egyenlő)

hegyesszög derékszög tompaszög egyenesszög

homorúszög teljes szög

3. FELADATLAP

1. Állj szembe a táblával, és jobb kezedet nyújtsd előre, a tábla felé!
a) Csinálj „hátraarcot”, „jobbra át”-ot, „balra át”-ot!
b) Most végezz teljes fordulatot, negyed fordulatot, fél fordulatot, három negyed fordulatot, negyed

fordulatnál kisebb fordulatot!
c) Mutasson a jobb kezed a tábla felé! Fordulj annyit, hogy a jobb kezed az ajtó felé mutasson!

Mennyit fordultál? Hányféleképpen tudod teljesíteni a feladatot?

2. Az alábbi rajzot úgy készítettük, mintha a játszótér felett lettünk volna. Eszter bal kezét előre-
nyújtva áll házukkal szemközt.

a) Rajzold be, merre mutat, ha „hátraarcot”, „jobbra át”-ot, „balra át”-ot csinál! Használj zöld ceru-
zát!

tanulói munkafüzet 0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön 115

b) Merre mutat, ha bal felé teljes fordulatot, negyed fordulatot, fél fordulatot, háromnegyed fordu-
latot, negyed fordulatnál kisebb fordulatot végez? Ezt kékkel rajzold!

c) Mutasson a jobb keze a ház felé! Forduljon annyit, hogy a jobb keze a ház felé mutasson! Men�-
nyit fordult? Hányféleképpen tudja teljesíteni a feladatot?

3. Párban dolgozzatok! Jelöljetek ki egy pontot a gömbön, és illesszétek rá a kis „sapkát” úgy, hogy
annak középpontja a ponton legyen! A gömbön jelöljétek meg piros ponttal a piros vonal végét,
zölddel a zöld vonal végét, feketével a fekete vonal végét és kékkel a kék vonal végét!

a) Forgassátok körbe a piros vonalat úgy, hogy visszaérjen a piros ponthoz! Merrefelé mutat most
a fekete vonal? Számít-e, hogy jobbra vagy balra forgattuk a süveget?

b) Most csináljatok félfordulatot a süveggel! Hová kerül a piros vonal vége? A többi pont vége
melyik ponthoz kerül? Számít-e, hogy jobbra vagy balra forgattuk a süveget?

c) Tegyetek negyed fordulatot a süveggel! Először jobbra, mint az óramutató. Hová kerül a piros
vonal vége? És a többi vonalé? Ha balra indultok negyed fordulat után ugyanahhoz a pontokhoz
kerülnek-e a vonalak?

d) Forgassátok tovább még egy negyeddel! Hová értünk? Voltunk-e már itt? Melyik fordulatnál?
4. Keressetek további példákat gömbi szögtartományokra valóságos tárgyak körében!

116 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

4. FELADATLAP

1. Helyezzetek el két félgömbfóliát a gömbön úgy, hogy azok négy egyforma gömbi tartományt hatá-
rozzanak meg!

2. A gömbvonalzó segítségével rajzolj merőleges főköröket! Keress különféle módszereket a rajzo-
lásra!

3. Vedd kézbe a gömbi szögmérőt! Figyeld meg: négyféle skálabeosztás van rajta! Mennyi a skálabe-
osztás a gömbi szögmérő négy skálája mentén? Előbb becsüld meg, aztán számlálj!

4. Hány szög van összesen a négy gömbi tartományban? Hogyan lehetne ezeket megmérni? Mekko-
rák ezek a szögek? Végezz mérést!

5. Állítsátok elő a gömbön
a) a derékszög felét;
b) a derékszög harmadát;
c) 60 fokos szögtartományt;
d) gömbi egyenesszöget;
e) jelöljetek egyenlő szögeket!
A gondolkodásban segíthet a kép:

6. Rajzolj három gömbi főkört két átellenes ponton keresztül, úgy, hogy hat körülbelül egyforma
szögtartományra bontsd a gömbfelületet! Mérd meg a gömbi szögmérővel a szögtartományok szö-
geit!

Összesen hány helyen mérhetjük meg itt a szögeket?
Mekkora szöget kaptál volna, ha sikerül egyenlő részekre osztanod a gömböt? Mekkora lett az

eltérés a te gömbödön?

7. Rajzolj 15, 30, 45, 60, 120 és 180 fokos gömbi szögtartományokat!

8. A piros, a kék és a sárga szögtartományokat úgy rendeztük el, hogy a közös részük egy sötét (majd-
nem fekete) háromszöget adjon. Tanárotok bemutat egy hasonló elrendezést. Először becsüljétek
meg, hány fokos a piros, a kék és a sárga szögtartomány, azután mérjetek!

tanulói munkafüzet 0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön 117

ÖSSZEGZÉS

Két gömbi főkört merőlegesnek nevezünk, ha a gömb felületét négy egyforma részre osztják fel.
A merőleges főkörök egymással derékszöget zárnak be. A gömbi szöget fokokban mérjük. A derékszög nagy-
sága 90 ° (90 fok).

Szögmérésnél először kiválasztunk egy gömbi szögtartományt, amit elnevezünk 1 gömbi szögegységnek
vagy 1 gömbi foknak. (Röviden 1°.) Olyan szögtartományt választunk szögegységnek, amiből 360 darab
éppen lefedi az egész gömböt. Ez a szögtartomány olyan keskeny, hogy nehéz megrajzolni:

Szögmérésnél azt mérjük, hogy a szögegység hányszor fér rá az adott szögtartományra.
A gömbi szög mértékét, a gömbi szöget gömbi szögmérővel mérhetjük. A szögmérő középpontját odailleszt-
jük a két szögcsúcs közül akármelyikhez, és megmérjük a gömbi szöget. Mind a két szögcsúcsnál ugyanazt
a szögmértéket kapjuk.

118 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

5. FELADATLAP

1. Két színes fóliadarabból állítsatok elő párhuzamos és metsző egyeneseket!
Mozgassátok az egyeneseket különböző helyzetbe, jegyezzétek le, milyen helyzetbe kerültek,
hány részre osztották a síkot, hány szögtartomány keletkezett, és milyenek ezek a szögek!
Ha úgy gondoljátok, hogy vannak köztük egyenlők, azt papírhajtogatással ellenőrizzétek!
Figyeljétek meg azt is, hogy mi lesz az a tartomány ahol a két félsík átfedi egymást?
2. Keressetek a tanteremben olyan egyenes vonalakat, amelyek merőlegesek egymásra!
Csoportban gyűjtsenek minél több, egymásra merőleges helyzetű vonalat, lehetőleg ne csak víz-

szintes és függőleges helyzetűt!

ÖSSZEGZÉS

Két félsík közös része egy szögtartomány, ha a két határoló egyenes metszi egymást, vagy pedig síksáv, ha a
két határoló egyenes párhuzamos.

Két félgömb közös része mindig egy gömbkétszög, vagyis egy gömbi szögtartomány.

3. Rajzolj a füzetedbe egy egyenest, helyezd rá az egyik fólián található egyenest úgy, hogy merőle-
gesek legyenek egymásra! Forgasd el az egyenest úgy, hogy a két egyenes által bezárt kisebbik szög
körülbelül fél derékszög legyen! Munkádat ellenőrizd papírból hajtogatott derékszögmérővel!

4. Mekkora szöget zár be két merőleges egyenes? Hány fokkal mérhető az egyenesszög?

5. Rajzolj a füzetedbe egy pontból kiinduló félegyeneseket, amelyek által bezárt szög körülbelül: 45°,
30°, 120°, 60°, 1°

Hogyan tudnád ellenőrizni a becslésedet?

tanulói munkafüzet 0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön 119

6. Becsüld meg, azután szögmérővel mérd meg a szöget!

becslés: ............. becslés: ............. becslés: .............
mérés: .............
mérés: ............. mérés: .............

7. Rajzolj a szögmérővel 20, 40, 60, 80, 100, 120 és 180 fokos szögtartományokat!

ÖSSZEGZÉS

Azokat az egyeneseket, amelyek 4 egybevágó szögtartományra bontják a síkot, egymásra merőleges egye-
neseknek nevezzük.
Szögmérésnél először kiválasztunk egy síkbeli szögtartományt, amit elnevezünk 1 síkbeli szögegységnek,
vagy 1 foknak (1°).
Olyan szögtartományt választunk szögegységnek, amiből 360 darab éppen lefedi az egész síkot. Ez a szög-
tartomány olyan keskeny, hogy nehéz megrajzolni.
(A babiloniak a teljes szöget (teljes körülfordulás) 360 egyenlő részre osztották. Akkor még 1 évet 360 napos-
nak hittek, és erre vezették vissza.) Egy ilyen részt 1 foknak nevezték, és 1°-nak jelölték.)

Szögmérésnél azt mérjük, hogy a szögegység hányszor fér rá az adott szögtartományra.

120 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

Síkbeli szöget síkbeli szögmérővel mérhetünk.

6. FELADATLAP

1. A gömbvonalzó segítségével szerkesszünk egymásra merőleges gömbi egyeneseket, vagyis főkö-
röket! (Segíthet, ha megfigyeled a képen a gömbvonalzóról készült fotókat. A kékkel és a pirossal
színezett élek merőlegesek egymásra.)

Minden gömbi egyeneshez tartozik két sarkpont – akárcsak a Földön az egyenlítőhöz az Északi és
Déli sark.

Ha egy ilyen sarkponton át tetszőleges egyenest húzol, akkor az merőleges lesz az eredeti egye-
nesre – akárcsak a Földön az Északi és Déli sarkokon áthaladó hosszúsági körök merőlegesek az
egyenlítőre.

2. A következő képen azt is láthatod, hogyan lehet a vonalzó segítségével megtalálni egy egyeneshez
a sarkpontját.

A gömbvonalzó alapfőkörének, mint egyenlítőnek, egyik sarkpontja a nyergen levő fél napocska
középpontja:

A sarkpont nem más, mint az alapfőkör egyik gömbfelületi, gömbi középpontja.
3. Hajtogass tépett szélű papírlapból merőleges egyeneseket!

tanulói munkafüzet 0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön 121

4. Rajzolj egy egyenest és rá egy merőleges egyenest a derékszögű vonalzó két rövidebb oldalát hasz-
nálva!

5. Rajzolj egy egyenest és rajta kívül egy pontot a síkon. Rajzolj a ponton keresztül az egyenesre
merőleges egyenest!

6. Rajzolj egy egyenest, és vegyél fel rajta egy pontot! Rajzolj ebben a pontban az egyenesre merőleges
egyenest!

7. Á llíts elő párhuzamos egyenes párt papírlap hajtogatásával!

8. Rajzolj egy egyenest és derékszögű síkvonalzó segítségével két másik egyenest, amelyek merőlege-
sek erre!

Hogyan állnak az egyenesre merőleges egyenesek egymáshoz képest?

9. Rajzoljunk a gömbre egy egyenest és gömbi vonalzó segítségével két másik egyenest, amelyek
merőlegesek erre!

Hogyan állnak az egyenesre merőleges egyenesek egymáshoz képest? Párhuzamosak-e egymás-
sal?

Próbáljuk ki azt a csúsztatásos módszert adott főkörre merőleges, két főkör rajzolására, amit a sík-
beli egyenesekkel már kipróbáltunk!

10. Négyzetrácsos papírból vágd ki az alábbi kockahálókat!

ÖSSZEGZÉS

– Párhuzamos egyenesek rajzolása eltolással
Egyenes vonalzó mentén (mint egy kis sínen) elcsúsztatjuk a háromszögvonalzót:

122 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

– Párhuzamos rajzolása merőleges egyenes segítségével:
Rajzolunk egy a egyenest; a egyenesre állítunk egy merőleges b egyenest; a b egyenesre állítunk egy c egye-
nest. Az a és a c egyenesek párhuzamosak egymással.

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Rajzolj a síkon két olyan pontot, amelyek távolsága egymástól 60 mm!
2. Rajzolj a gömbre két olyan pontot, amelyek távolsága egymástól 60 gömbi lépés!
3. Rajzolj egy egyenest, és mérj ki rajta 5 cm-es szakaszt!
4. Rajzolj egy főkört a gömbre, és mérj ki rajta 30 gömbi lépés hosszúságú főkörívet!
5. Derékszögű vonalzóval rajzolj négyzetet, amelynek oldalhosszúsága 4 cm!
6. Rajzolj konvex háromszöget, négyszöget, ötszöget!
7. Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek van két párhuzamos oldala!
8. Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek van két egymásra merőleges szomszédos oldala!
9. Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek van két egyenlő hosszúságú oldala!
10. Rajzolj konkáv (nem konvex) háromszöget, négyszöget, ötszöget!
11. V egyél a kezedbe egy kockát! Jelöld meg egy élét! Számláld meg, hány ezzel az éllel párhuzamos

és hány, ehhez az élhez képest kitérő éle van a kockának!
12. Jelöld meg a kocka egyik lapjának átlóját! Keress olyan lapátlót, amely kitérő helyzetű!
13. A kocka nem látszó lapjain olyan jelzés van, mint a vele szemközti lapon. Készíts két különböző

kockahálót, és rajzold rá a lapokon található jelzéseket!

tanulói munkafüzet 0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön 123

14. Szívószálakból cérnával összefűzve vagy hurkapálcikákból gyurmagolyók felhasználásával készít-
hetsz kockát. A rajzon ilyen kockát látsz. Csúcsait betűkkel jelöltük meg. A csúcsokat minden lehet-
séges módon összekötjük. Az a feladatod, hogy az így kapott szakaszok között keresd meg:

– az egyenlő hosszúságúakat
– a párhuzamosokat
– az egymásra merőlegeseket
– a kitérő szakaszokat
– azokat, amelyekre síkot fektethetünk!
Válaszaidat indokold megmutatással, magyarázattal!

15. „Rácsozz be” egy sima, tépett szélű papírlapot! Vonalzó segítségével négyzetrácsot készíts!
Ha ügyes vagy, készíts téglalap-rácsot is!
16. Szögek mérőszámát úgy adtuk meg, hogy a szögmérés egysége a derékszög. Rajzold meg a szöge-

ket! Számold át fokokba a mérőszámukat, majd ellenőrizd számolásodat szögmérővel!
2 harmad; fél; másfél; 2; 3; 1 hatod.

17. A szögmérés egysége a derékszög. Rajzolj olyan szögeket, amelyekre igaz

1 < α < másfél; 2 < β < 3; 0 < γ < fél!

18. K ét metsző egyenes négy tartományra osztja a síkot. A keletkezett négy szög közül az egyik 83°.
Mekkora a másik három szög?

19. A gömbfelületet két főkör négy tartományra osztja. A keletkezett 8 szög közül az egyik 83°. Mek-
korák a többiek?

20. Mérd meg két különböző háromszög alakú vonalzó szögeit!

21. R ajzolj két párhuzamos egyenest! Rajzolj harmadik egyenest, amely elmetszi a párhuzamosokat!
Hány szög keletkezett így? Mekkorák ezek a szögek?

22. Hány fokos szöget zárnak be az óramutatók?

124 matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész tanulói munkafüzet

23. Hány fokot fordult el az óra nagymutatója 15 perc alatt, 20 perc alatt, 30 perc alatt, 50 perc alatt?
24. K aticabogár sétálni indul. Útja egyenes. Először megtesz 3 cm-t, megpihen egy kicsit. Megy tovább,

50 mm után talál egy pajzstetves rózsát, megebédel. Jóllakottan folytatja útját, szép lassan bandu-
kolva még 4 cm 3 mm-t tesz meg, aztán visszafordul. Mennyi utat kell megtennie, hogy visszaérjen
kiindulási helyéhez? Rajzold le Katicabogár útját!
25. Katicabogár egy kocka A csúcsából indul, és az éleken sétálgat. Milyen úton mehet (mindig csak
az éleken), hogy visszaérkezzen az A csúcsba, és egy élen ne menjen kétszer? Segíthet, ha kézbe
veszel egy kockát, és a csúcsait betűkkel megjelölöd.
26. K atica a síkon sétál. Rajzold le az útját vonalzóval, szögmérővel! Az indulási pontját jelöld A-val!
Tehát elindul, és megy egyenesen 35 mm-t, akkor balra fordul. Így halad 4 cm-t, ott úgy változtatja
irányát, hogy az új útja 60 fokot zár be az előbbivel, és ezen az úton egyenesen 5 cm-t sétál. Megáll,
szuszog. (Hová érkezhetett? Jelöld B-vel!) Nagyon elfáradt, s a legrövidebb úton szeretne visszaér-
kezni az A pontba. Sehol semmi akadály, akármerre mehet. Mérd meg mekkora az a távolság, amit
a visszaúton meg kell tennie!
27. Katica a gömbön sétál. Rajzold le az útját vonalzóval, szögmérővel! Az indulási pontját jelöld A-val!
Mindig főkörök mentén halad. Tehát elindul, és megy 30 gömbi lépést, akkor derékszögben befor-
dul balra, és ezen a főkörön halad 50 gömbi lépést. Megáll, gondolkodik, majd elfordul úgy, hogy
a két út 60 fokos szöget zár be. Ezen az úton megy még 40 gömbi lépést. (Hol lehet most? Jelöld
B-vel.) Mivel elfáradt, a lehető legrövidebb úton szeretne A-ba visszajutni. Rajzold le és mérd meg
a visszafelé útját!
28. K ét félsíknak mi lehet a közös része? Előbb gondold ki, azután vizsgáld meg fóliák segítségével!
29. K ét félgömb-fóliának mi lehet a közös része? Előbb gondold ki, azután vizsgáld meg fóliák segít-
ségével!
30. K aticabogár egy kocka felületén úgy sétál, hogy csak a lapok átlóin halad. Az A csúcsból indul, és
ugyanazon az átlón csak egyszer megy végig. Hányféleképpen tervezheti meg az útját, ha sétája
végén ismét az A csúcsban szeretne lenni? Találd meg a legrövidebb és a leghosszabb séta-utat!

mérések, kerület,
terület, felszín

0531. A kerület fogalmának
kialakítása

Készítette: pusztai julianna

126 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

1. feladatlap

1. A rajzok mutatják, hogy mit mértünk.
Javítsd, ha valahol hibát találsz, pótold, ha valahol hiányt látsz!

TUDNIVALÓ

A téglalap legfontosabb tulajdonságai:
Tükrös négyszög.
Szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak.
Szomszédos oldalai merőlegesek egymásra.
Mind a négy szöge egyenlő: derékszög.
Átlói egyenlőek és felezik egymást.
A négyzet:
Olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő.

tanulói munkafüzet 0531. A kerület fogalmának kialakítása 127

2. A négyzethálós füzetlapra tegyél fóliát!
Rajzolj a négyzethálós rácsra olyan téglalapokat, amelyeknek kerülete 4, 6, 8, 10, 20 egység! Keress

több megoldást! Írd táblázatba az összegyűjtött megoldásokat!

kerület egyik oldal másik oldal ellenőrzés

2. FELADATLAP

EMLÉKEZTETŐ

1 mm < 1 cm < 1 dm < 1 m < 1 km
· 10 · 10 · 10 · 1000

1. Dominózzatok a dominókészlettel! Tanárotok elmondja a játékszabályokat!

EMLÉKEZTETŐ

A kerület a határoló oldalak hosszainak összege.

2. Számozd meg a sokszögeket a kerületük nagysága szerint! Kezdd a sorszámozást a legkisebb kerü-
letűvel! Becslésedet ellenőrizd méréssel!

128 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

3. FELADATLAP

1. Drótból téglalapokat hajtogatunk. Melyik téglalaphoz milyen hosszú drótra lesz szükségünk?

a) a = 23 mm, b = 39 mm

K =

b) a = 85 dm, b = 56 dm

K =

c) a = 125 mm, b = 25 cm

K =

2. Négyzet alakú terítők szélére díszítő zsinórt varrunk. Van egy 18 cm, egy 1 m, egy 17 dm és egy
75 cm hosszú zsinórunk. Be tudjuk-e szegni velük a terítőket?

a) a = 420 mm
K =
b) a = 7 cm 5 mm
K =
c) a = 4 dm 3 cm 2 mm
K =

3. Számítsd ki a háromszög kerületét, ha oldalai:

a = 15 cm b = 230 mm c = 33 cm

K=

4. Egy téglalap egyik oldala 28 cm, a másik oldal ennél 2 dm-rel nagyobb. K = ?

5. Egy négyzet oldala 90 mm, egy másik négyzet oldala fél cm-rel kisebb.
Mennyivel nagyobb az első négyzet kerülete a másodikénál?

6. Egyenlőoldalú háromszög oldala 6 cm, egy másiké 12 cm, a harmadiké 18 cm, a negyediké 24 cm.
Mit gondolsz a kerületükről? Miért gondolod ezt?

7. Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek kerülete:
a) K = 20 cm

8. Mekkora a téglalap másik oldala, ha
a) egyik oldala 2 m, és kerülete: 6 m

tanulói munkafüzet 0531. A kerület fogalmának kialakítása 129

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Határozd meg a rácssokszögek kerületét, ha az egység 1 rács; továbbá, ha az egység 1 cm!

2. Mérd meg a szobád oldalainak hosszát! Milyen hosszú szegőléc kell a padló bekerítéséhez? (Gon-
dolj az ajtóküszöbre is!)

Van-e otthon a lakásotokban olyan helyiség, amelyben a padló kerülete körülbelül 8 méter?
A lakásotok melyik helyiségében kisebb 20 méternél a padló kerülete?

3. Gyakoroljuk a mértékváltást!
a) Fejezd ki méterben: 3 km, 12 km, 4 és fél km, negyed km!
b) Fejezd ki deciméterben: 8 m, 35 m, 2 és fél m, tizedméter, 5 tized m!
c) Fejezd ki cm-ben: 8 dm, 5 dm 3 cm, 15 dm 2 cm, 3 m, 5 század m!
d) Fejezd ki cm-ben: 5 m, 10 dm, fél m, 3 m 2 dm 6 cm!

4. a) Melyik nagyobb, tedd ki a relációs jeleket!

15 m 150 cm 2 km 2100 m
3500 dm 3500 cm 9 km 900 dm
5700 cm
750 m 7 km 57 m

b) Rendezd növekvő sorrendbe a mennyiségeket!
5 m; 50 mm; 500 cm; 5 km; 5000 dm

5. Mérd meg a négyzet oldalát, és számítsd ki a kerületét!

Mekkora lenne annak a négyzetnek a kerülete, amelynek kétszer ekkorák az
oldalai?

130 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

6. Rajzolj téglalapot, amelynek oldalai: a = 3 cm és b = 47 mm! Számítsd ki a kerületét!

7. Számítsd ki a téglalap kerületét, ha oldalai:
a) a = 4 dm és b = 29 cm
b) a = 32 cm és b = 1 m 15 cm
c) a = 1 km 200 m és b = 620 m!

8. Számítsd ki a négyzet kerületét, ha oldala:

a) a = 17 cm b) a = 1 dm 25 mm c) a = 2 m 4 dm 5 cm !

9. Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek kerülete:

a) K = 20 cm b) K = 36 mm c) K = 232 dm d) K = 2 m 28 cm?

10. Mekkora a téglalap másik oldala, ha
a) egyik oldala 2 m és kerülete: 6 m
b) kerülete 40 cm, egyik oldala 12 cm
c) kerülete 30 dm, egyik oldala 70 cm?

11. Számítsd ki a sokszögek kerületét!
a) háromszög oldalai: 23 mm, 4 cm, 3 cm
b) egyenlő oldalú háromszög 1 oldala: 2 dm 8 cm
c) egyenlő oldalú hatszög 1 oldala: 7 cm
d) egyenlő oldalú ötszög oldala: 5 dm
e) egyenlő oldalú hétszög oldala: 2 és fél cm

12. Egy téglalap alakú kert hossza 84 m, szélessége ennél 24 m-rel rövidebb. Dróthálóval bekerítjük.
4 m-enként tartóoszlopokat ásunk be. Hány tartóoszlop szükséges?

13. Ennek a teleknek a négy sarkára 4 cölöpöt állítottak. Milyen hosszú drótot kell a cölöpök között
kifeszíteni a telekhatár kijelölésére?

A cölöpök távolságát mérd meg vonalzóval!
1 mm a valóságban 2 m-t jelent.

tanulói munkafüzet 0531. A kerület fogalmának kialakítása 131

14. Ami a térképen 1 cm, az a valóságban 100 m.
Milyen hosszú út vezet a tó körül?
(Cérnával mérd meg a tó kerületét!)

15. Az ábrán látható várfal alaprajz méretei néhány  ….. m 3m
helyen elmosódtak.
3m
Ha figyelmesen tanulmányozod a rajzot,
megállapíthatod a hiányzó adatokat, 5m
és kiszámíthatod a fal hosszát. 2m
Ugye, meg tudod csinálni?

15 m



….. m

8m



mérések, kerület,
terület, felszín

0532. A terület fogalmának
kialakítása

Készítette: pusztai julianna

134 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

1. feladatlap

1. 1 cm2-es négyzetrács, és 1 cm2-es négyzetrács fóliáját illesszétek a falevélre és számoljátok meg
4
mindkét négyzethálón, hogy hány négyzet van teljesen a levél belsejében, és hány fedi le teljesen

a levelet! ...... < T < ......



 

...... ......

...... < T < ......

2. Hány ilyen lappal

és hány ilyen lappal

fedhető le az ábra ?

T= ......

T=......


3. Mekkora a területe a sokszögeknek a háromfajta egységgel mérve?

T = ………… T = …………
T = ………… T = …………
T = ………… T = …………

T = ………… T = …………
T = ………… T = …………
T = ………… T = …………

tanulói munkafüzet 0532. A terület fogalmának kialakítása 135

4. A téglalapok területének méréséhez 1 cm oldalú négyzetlapokat használunk.
Az 1 cm² egységterületekkel rakd ki a téglalapokat, és számold meg, hány db fedi le a teljes terüle-

tét!

T = 1 cm2 ∙ .......... = .......... cm2

T = 1 cm2 ∙ .......... = .......... cm2

T = 1 cm2 ∙ .......... = .......... cm2

2. FELADATLAP

TUDNIVALÓ

1 mm2 < 1 cm2 < 1 dm2 < 1 m2 < 1 ha < 1 km2
100 100 100 10 000 100

1. Melyik igaz, melyik hamis?
1 m² lefedhető 100 dm²-rel.
1 cm² lefedéséhez nem elegendő 10 dm².
1 dm² lefedéséhez 10 cm²-es négyzetnél több kell.
1 km² ugyanakkora, mint 100 m².
1 m² -nyi terület 100 -szor nagyobb, mint 1 cm².
1 ha a területe egy 10 m oldalhosszú négyzetnek.

136 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

2. Írd be a hiányzó mérőszámot!
1 m² = .............. dm² = .............. cm² = .............. mm²
1 ha = .............. a = .............. m²
1 km² = .............. ha = . . . . . . . . . . a = . . . . . . . . . . m²
1 km² = .............. m²
1 dm² = .............. cm²
1 ha = .............. m²
1 m² = .............. cm²

3. Írd be a hiányzó mértékegységet!

100 cm² = 1 .............. 1 m² = 10 000 ..............

100 dm² = 1 .............. 1 dm² = 10 000 ..............

100 ha = 1 .............. 1 ha = 10 000 ..............

4. Írd be a hiányzó mérőszámot! 400 dm² = .............. m²
5 m² = .............. dm² 14 000 dm² = .............. m²
25 m² = .............. dm² 140 000 cm² = .............. m²
8 dm² = .............. mm²

TUDNIVALÓ T = a · b.
T = a · a.
A téglalap területe:
A négyzet területe:

5. Rajzold le a téglalapot, és számítsd ki a területét!
A csoport minden tagja más-más feladatot oldjon meg, majd hasonlítsátok össze, hogy ki, milyen

adatokkal, milyen eredményt kapott!

a) a = 4 cm b) a = 46 mm c) a = 8 cm d) a = 20 mm
b = 23 mm b = 40 mm b = 46 mm b = 46 mm

6. Rajzolj olyan téglalapokat a négyzethálós füzetedbe, amelyeknek oldalai cm-ben mérve egész szá-
mok, és területe mindegyiknek 16 cm²! Mekkora a kerületük, és melyiknek a legkisebb a kerü-
lete?

7. Rajzolj olyan téglalapokat a négyzethálós füzetedbe, amelyeknek oldalai cm-ben mérve egész szá-
mok, és kerülete mindegyiknek 16 cm! Mekkora a területük, és melyiknek a legnagyobb a terü-
lete?

tanulói munkafüzet 0532. A terület fogalmának kialakítása 137

3. FELADATLAP

1. Határozzuk meg a sokszögek területét! Mindegyik sokszöget egy vagy két vágással átdarabolha-
tod vele egyenlő területű téglalappá. Tervezd meg, hogyan fogod vágni! Előre berajzolhatod a
vágás vonalát.
Ha jól sikerült a darabolás, ragaszd
ide az összeillesztett téglalapot!



1.

T1 = .............. cm2
2.

T2 = .............. cm2
3.

T3 = .............. cm2
4.

T4 = .............. cm2

138 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

2. Figyeld meg a téglalap T1, valamint a belerajzolt sokszög T2 területét!
Határozd meg mindkettőt!
Rajzold be a képzeletbeli vágásvonalakat, és színezd azonos színnel az egyenlő területrészeket!

A tapasztalatokat beszéljétek meg egymással!
a) Háromszögek kiegészítése

T1 = .............. cm2 T1 = .............. cm2 T1 = .............. cm2
T2 = .............. cm2 T2 = .............. cm2 T2 = .............. cm2
b) Négyszögek kiegészítése

T1 = .............. cm2 T1 = .............. cm2 T1 = .............. cm2
T2 = .............. cm2 T2 = .............. cm2 T2 = .............. cm2

3. Zsuzsi és bátyja szüleiktől a kertjükben egy 7 m oldalú, négyzet alakú kiskertet kaptak művelésre.
1 m-es sávot veteményeskertnek hagytak, az ábrán jelzett területekre virágokat ültettek, a közepét
pedig napozáshoz füvesítették. Mekkora a veteményes, a virágos és a füves terület?
veteményes

tanulói munkafüzet 0532. A terület fogalmának kialakítása 139

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Határozd meg a következő síkidomok kerületét, majd területét!
Ésszerűsítsd a munkádat!

2. Állítsd területük szerinti nagyságrendbe!

C D

AB E

3. Hány cm², hány mm² a sokszögek területe?

4. Melyik sokszög területe 1 cm²?

5. H ány 1 m²-es lappal tudnád a szobád padlóját lefedni? Becsülj, mérj, számolj!

6. S zámítsd ki az alakzatok területét!
a) b) c)
5 cm 5 cm 5 cm

140 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

7. Egy téglalap alakú kert hosszúsága 24 m, szélessége 12 m.
Mekkora a kert területe?

8. 4 m széles bekötőutat építenek a főúttól a faluig. A falu 5 és fél km-re van a főúttól.
Mekkora felületet kell aszfaltozni?

9. Egy négyzet alakú szoba területe 25 m². Mekkora az oldala?

10. Mekkora a négyzet területe, ha a kerülete 48 cm?

11. Mekkora a téglalap egyik oldala, ha T = 2 dm² és a másik oldal 25 cm?

12. Melyik a nagyobb mennyiség? Tedd ki közéjük a megfelelő jelet (< > =)!

4 m² .............. 400 dm² 750 cm² .............. 75 200 mm²

82 cm² .............. 8 dm² 3 m² .............. 3000 cm²

5000 m² .............. 5 ha 10 km² .............. 10 000 ha

13. Pótold a hiányzó mérőszámokat! A füzetedbe dolgozz!

a) 5 cm² = .......... mm² b) 1500 mm² = .......... cm²

25 cm² = .......... mm² 20 500 mm² = .......... cm²

2 és fél cm² = .......... mm² 350 mm² = .......... cm²

c) 3 dm² = .......... cm² = .......... mm² d) 50 000 mm² = .......... cm² = .......... dm²

32 dm² = .......... cm² = .......... mm² 45 000 mm² = .......... cm² = .......... dm²

e) 6 m² = .......... dm² = .......... cm² = .......... mm²
3 és fél m² = .......... dm² = .......... cm² = .......... mm²

f) .......... cm² = 700 dm² = .......... m²
.......... mm² = .......... cm² = 5000 dm² = .......... m²

g) 4 ha = .......... m² h) 70 000 m² = .......... ha

24 ha = .......... m² 250 000 m² = .......... ha

5 és fél ha = .......... m² 35 000 m² = .......... ha

i) 6 km² = .......... ha = .......... m² j) .......... m² = 300 ha = .......... km²

2 és fél km² = .......... ha .......... m² 4 500 000 m² = .......... ha = .......... km²

tanulói munkafüzet 0532. A terület fogalmának kialakítása 141

14. Hány hektár a téglalap területe, ha: b) a = 17 km és b = 17 km?
a) a = 600 m és b = 500 m

15. Számítsd ki a téglalapok területét!
a) a = 7 és fél dm, b = 250 cm
b) a = 105 cm és b = 2 m

16. Számítsd ki a téglalap ismeretlen oldalát, ha
a) az ismert oldala 6 cm és a területe 48 cm²;
b) az ismert oldala 70 cm és a területe 3500 cm²;
c) az ismert oldala 6 dm és a területe 36 dm²;
d) az ismert oldala 70 cm és a területe 3 és fél m²;
e) az ismert oldala 12 km és a területe 36 ha;
f) az ismert oldala 9 m és a területe 8100 dm²!

17. E gy kert szélessége 18 m, hosszúsága 42 m. A rajta lévő ház alapterülete 156 m². Mekkora terület
marad művelésre?

18. A téglalap egyik oldala 4 cm, kerülete 22 cm. Számítsd ki a területét!

19. Egy téglalap alakú telek 25 m széles. Kerülete 130 m. Van-e 1 hektár a területe?

20. Számítsd ki a 0531. modul feladatgyűjteményének 15. feladatában szereplő vár területét!



mérések, kerület,
terület, felszín

0533. A felszín fogalma

Készítette: pusztai julianna

144 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

TUDNIVALÓ

A téglatest legfontosabb tulajdonságai:
– 6 téglalap határolja,
– a szemben lévő lapok párhuzamosak és egybevágóak, a szomszédos lapok merőlegesek egymásra.
– A téglatestnek 12 éle és 8 csúcsa van.
– 4-4 él párhuzamos és egyenlő hosszú. Az egy csúcsból kiinduló élek merőlegesek egymásra.

A kocka:
– olyan téglatest, amelynek határoló lapjai egybevágó négyzetlapok.
– minden éle egyenlő hosszú.

Hálózat: a test határoló lapjai a síkban kiterítve.

Felszín: a testet határoló lapok területeinek összege. Jelölése: A

1. FELADATLAP

1. S zámítsd ki a kocka felszínét, ha egy éle:

a) a = 8 cm; b) a = 15 dm c) a = 8 cm 2 mm d) a = 3 és fél dm

2. E gy kocka éle 5 cm. Számítsd ki a felyzínét! Mekkora a felszíne a 10 cm, 15 cm élű kockáknak?
Hogyan változik a kocka feszíne, ha az éle kétszer, háromszor akkora?

3. 8 db egységkockából rakj össze egy nagyobb kockát! Mekkora ennek egy éle? Mekkora a felszíne?
a) Hányszorosa a nagyobb kocka felszíne az egységkocka felszínének?
b) Hányszorosa a nagyobb kocka felszíne az egységkockák együttes felszínének?

2. FELADATLAP

1. Számítsd ki annak a téglatestnek a felszínét, amelynek a hálózatát itt látod! Egy csúcsból kiinduló
élei: a = 5 cm; b = 4 cm; c = 3 cm. Mit gondolsz, kisebb vagy nagyobb a test felszíne 1 dm²-nél?

a = 5 cm c = 3 cm T1 =
T2 =
b = 4 cm T3 =

A=

tanulói munkafüzet 0533. A felszín fogalma 145

2. Ennek a doboznak nincs fedele. Számítsd ki, mennyi karton szükséges az elkészítéséhez, ha
a = 3 dm; b = 2 dm; c = 8 cm! Segíti a számítást, ha lerajzolod a doboz kicsinyített hálózatát.

cb
a

3. Rajzold le az ábrán látható téglatest hálózatát, és számítsd ki a felszínét!
(Készíts vázlatrajzot!)

c = 3 cm
b = 3 cm

a = 4 cm

4. a) Mekkora egy 45 mm oldalélű kocka hálózatának területe (a kocka felszíne)?
b) Elfér-e ez a hálózat egy füzetlapon?

a = 45 mm

b = 204 mm

c = 140 mm

5. Számítsd ki a téglatestek felszínét! Minden feladat elvégzése előtt készíts vázlatrajzot a testről!

a) a = 18 dm b = 70 cm c=2m

b) a = 2 dm 2 cm b = 15 cm c = 8 cm

c) a = b = 30 cm c = fél méter

d) a = b = c = 80 cm

146 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

3. FELADATLAP

1. A szoba hosszúsága 5 m 5 dm, szélessége 4 m, Magassága 3 m. (Váltsd dm-be az adatokat, és úgy
számolj!)

ablak a = 5 m 5 dm

b=4m

m=3m

ajtó

ajtó

a) Hány m² a parketta területe?
b) Hány m hosszú szegőléc szükséges a parketta köré, ha a két ajtó szélessége összesen 3 m?
(Ide nem kell szegőléc.)
c) Mekkora falfelületet kell befesteni, ha az ablak és az ajtók összesen 7 m² területűek?
(Ezt nem kell befesteni.)

2. Írd be a hiányzó mérőszámokat, mértékegységeket!

a) 1 és fél m = ............. dm = 150 .............

b) ............. m² = 1500 dm² = 150 000 .............

c) 2m = ............. mm =

d) 43 ............. = 43 000 m =

e) 940 cm² = ............. mm² =

f) 4 3 ha = 430 000 .............

3. Építsetek testeket 1, 2, 3, … egységkocka felhasználásával! Figyeljétek meg és határozzátok meg a
felépített testek felszínét, készítsetek a füzetetekbe jegyzeteket ily módon:

db a különálló kockák felszínének az összetett test felszíne
összege (egység) (egység)

1

2

3

4

5

6

tanulói munkafüzet 0533. A felszín fogalma 147

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Tervezd meg annak a téglatestnek a hálózatát, amelynek élei: 1 cm; 2 cm; 3 cm!
Több, egymástól különbözőt is készíts!
Négyzethálós lapon dolgozz, vágd ki a hálózatokat és hajtogasd össze a testeket!
Számíts felszínt!

2. Melyik alakzat lehet téglatest hálója? Mérd meg a megfelelő éleket, és számítsd ki a hálózat terüle-
tét, vagyis a téglatest felszínét!

3. Számítsd ki a téglatestek felszínét – figyelve a mértékegységekre –, ha éleik:

a) a = 7 cm, b = 1 dm, c = 15 cm c) a = 85 mm, b = 3 cm, c = fél dm

b) a = 2 dm, b = 15 cm, c = 5 dm d) a = 32 dm, b = 7 dm, c = 70 cm !

4. Számítsd ki a kocka felszínét, ha egy éle:

a) 20 cm b) 5 dm 7 cm c) 2 és fél m

5. Ha ismerjük a kocka felszínét, hogyan számíthatjuk ki egy határoló lapjának területét?
Mekkora a kocka egy határoló lapjának területe, ha
a) A = 54 cm2 b) A = 150 cm² c) A = 12 cm²?
Milyen hosszú lehet ezeknek a kockáknak egy éle?

6. Apuka Panni lányának akváriumot készített.
Az akvárium fél m hosszú, 25 cm széles és 30 cm magas. Mekkora a felhasznált üveg területe?

148 matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület… tanulói munkafüzet

7. Édesapa Pisti fiának 1 m hosszú, 60 cm széles és 60 cm magas nyúlketrecet készített deszkából.
Mekkora a nyúlketrec deszkával borított részének a külső felszíne?

Mekkora területű drótháló került az ól elejére?

8. 2 m hosszú, másfél m széles, 30 cm magas dobogót készítenek deszkalécekből. Mekkora felületet
kell a lécekkel beborítani, ha a dobogó alulról nyitott marad?

Hány db-ot használnak fel 2 m hosszú, 15 cm széles lécekből?

egész számok

0541. Negatív számok
fogalma és modelljei

Készítették: HUMENYÁNSZKYNÉ HEGEDŰS HAJNALKA, ZSINKÓ ERZSÉBET
FOTÓ, ÁBRA: KÁMÁN BALÁZS

150 matematika „A” – 5. évfolyam – 054. egész számok tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Mérd meg a hőmérsékletet a megadott időpontokban, és írd a mérési eredményedet a megfelelő
helyre! Figyeld az időjárás-jelentést (rádióban, tv-ben, napilapban vagy Interneten), és ez alapján
írd be a táblázatba a napi minimum és maximum hőmérsékleteket!

Napok: H K Sz Cs P Sz V

Reggel
(7 órai hőmérséklet)
Délután
(14 órai hőmérséklet)
Este
(20 órai hőmérséklet)
Napi minimum
hőmérséklet
Napi maximum
hőmérséklet

2. A táblázatban található adatokat november elején mérték. Mit tudsz leolvasni a táblázatról? Vála-
szolj a kérdésekre!

Hétfő 12 óra 14 óra 16 óra
Kedd 4 °C 2 °C 0 °C
Szerda 2 °C 0 °C –2 °C
Csütörtök 0 °C –1 °C –4 °C
Péntek 5 °C 6 °C 5 °C
3 °C 0 °C –1 °C

a) Melyik nap volt a leghidegebb?
b) Hogyan változott a hőmérséklet az egyes napokon? Jelöld nyilakkal!
c) Melyik napokon csökkent a hőmérséklet 4°C-kal 4 óra alatt?
d) Melyik napon változott legkevesebbet a hőmérséklet? Ekkor csökkent vagy nőtt a hőmérsék-

let?
e) 14 órakor melyik napon volt a leghidegebb? Hány fok volt ezen a napon?
f) Szerdán hány órakor volt a leghidegebb? Hány fok volt ekkor?