135 เลขที่ ด้านคüามรู้ ด้านทักþะ กระบüนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 22 23 24 25 26 27 28 เกณฑ์การประเมิน นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึ้นไป ถือü่าผ่านเกณฑ์ ÿรุปผลการประเมิน ผ่านเกณฑ์ จำนüน....................คน ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนüน....................คน ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางÿาüอภิญญา เÿริฐÿาย) üันที่……..เดือน ……………………….พ.ý.…………….
136 แบบÿังเกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 คüามÿัมพันธ์และฟังก์ชัน คำชี้แจง ทำเครื่องĀมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติดังนี้ ระดับ 3 Āมายถึง แÿดงพฤติกรรมใĀ้เĀ็นมาก ระดับ 2 Āมายถึง แÿดงพฤติกรรมใĀ้เĀ็นปานกลาง ระดับ 1 Āมายถึง แÿดงพฤติกรรมใĀ้เĀ็นน้อย เลขที่ คüาม กระตือรือร้น มีระเบียบüินัย คüามรับผิด ชอบ คะแนนรüม เกณฑ์การประเมิน ĀมายเĀตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
137 เลขที่ คüาม กระตือรือร้น มีระเบียบüินัย คüามรับผิด ชอบ คะแนนรüม เกณฑ์การประเมิน ĀมายเĀตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 24 25 26 27 28 รายการประเมิน เกณฑ์การใĀ้คะแนน 3 2 1 1. คüาม กระตือรือร้น ตั้งใจเรียน และÿนใจใน การทำกิจกรรมตลอดเüลา ตั้งใจเรียน และÿนใจใน การทำกิจกรรมบางเüลา ไม่ตั้งใจเรียน และไม่ ÿนใจในการทำกิจกรรม 2. การมี ระเบียบüินัย ในการทำงาน ÿมุดงาน ชิ้นงาน ÿะอาด เรียบร้อย ÿมุดงาน ชิ้นงานÿ่üน ใĀญ่ÿะอาดเรียบร้อย ÿมุดงาน ชิ้นงานไม่ค่อย เรียบร้อย 3. คüาม รับผิดชอบ ÿ่งงานก่อนĀรือÿ่งตาม กำĀนด เüลานัดĀมาย ÿ่งงานช้ากü่ากำĀนด แต่มีการติดต่อครูผู้ÿอน มีเĀตุผลที่รับฟังได้ ÿ่งงานช้ากü่ากำĀนด เกณฑ์การประเมิน คะแนนรüม ระดับคุณภาพ 8 - 9 ดีมาก 6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์) 4 - 5 พอใช้ ต่ำกü่า 4 ปรับปรุง
138 ใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ คำชี้แจง : ใĀ้นักเรียนĀาคำตอบจากฟังก์ชันประกอบต่อไปนี้ 1) ถ้า g(x) = 2 + 1 และ h(x) = 4x2 + 4x + 7 แล้ü จงĀาฟังก์ชัน f ซึ่ง f ∘ g = h 2) กำĀนดใĀ้ f(x) = x − 5 และ g(x) = 1 − 2 จงĀา fog(x) และ gof(−1)
139 เฉลย ใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ คำชี้แจง : ใĀ้นักเรียนĀาคำตอบจากฟังก์ชันประกอบต่อไปนี้ 1) ถ้า g(x) = 2 + 1 และ h(x) = 4x2 + 4x + 7 แล้ü จงĀาฟังก์ชัน f ซึ่ง fog = h fog = h f(g(x)) = h f(2x + 1) = 4x2 + 4x + 7 = 4x2 + 4x + 1 + 6 = (2x + 1)2 + 6 ∴ f(x) = x2 + 6 2) กำĀนดใĀ้ f(x) = x − 5 และ g(x) = 1 − 2 จงĀา fog(x) และ gof(−1) fog(x) = f(g(x)) = f(1 − x2) = (1 − x2) − 5 = −x2 − 4 ∴ fog(x) = −x2 − 4 gof(−1) = g(f(−1)) เนื่องจาก f(−1) = (−1) − 5 = (−1) − 5 = −6 ดังนั้น g(f(−1)) = g(−6) = 1 − (−6) 2 = 1 − 36 = −35 ∴ gof(−1) = −3 fog(x) gof(−1)
140 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 12 รายวิชา เสริมทักษะคณิตศาสตร์2 รหัสวิชา ค31202 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน เวลา 1 ชั่วโมง ผู้สอน นางสาวอภิญญา เสริฐสาย โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน หาฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน 2. ใช้สมบัติของฟังก์ชันในการแก้ปัญหา สาระสำคัญ ให้ f เป็นฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน ก็ต่อเมื่อf เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง สาระการเรียนรู้ ฟังก์ชันผกผัน จุดประสงค์การเรียนรู้เมื่อเรียนจบคาบนี้แล้วนักเรียนสามารถ 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 อธิบายความหมายของฟังก์ชันผกผันได้ 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 เขียนแสดงวิธีการตรวจสอบว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันได้ 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 3.1 แสดงพฤติกรรมมีความรับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน 1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคิด 2.1 ทักษะการเปรียบเทียบ 2.2 ทักษะการแปลความ 3. ความสามารถในการแก้ปัญหา
141 กิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูกล่าวกับนักเรียนว่าความสัมพันธ์ยังมีตัวผกผัน และนักเรียนคิดว่าฟังก์ชันมีตัวผกผัน หรือไม่ (แนวตอบ : มี โดยใช้วิธีเดียวกันในการหาตัวผกผันของความสัมพันธ์) 2. ครูยกตัวอย่างโจทย์ต่อไปนี้ 1) = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} ครูอธิบายว่าตัวผกผันของฟังก์ชันนี้เป็นดังนี้ −1 = {(2, 1), (4, 3), (6, 5)} 2) g = {(7, 8), (9, 0), (1, 0)} ครูอธิบายว่าตัวผกผันของฟังก์ชันนี้เป็นดังนี้ g −1 = {(8, 7), (0, 9), (0, 1)} จะพบว่าตัวผกผันของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชัน แต่ตัวผกผันของฟังก์ชัน g ไม่เป็นฟังก์ชัน ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 3. ครูอธิบายว่าถ้าตัวผกผันของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันแล้ว เรียกว่า −1 ว่าเป็น ฟังก์ชันผกผัน ของ f และกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันที่จะมีฟังก์ชันผกผันต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เชื่อมโยงไปสู่ทฤษฎีบท 1 ดังนี้ ทฤษฎีบท 1 ให้ เป็นฟังก์ชัน มีฟังก์ชันผกผัน ก็ต่อเมื่อ เป็นฟังก์ชัน 1-1 4. ครูอธิบายการตรวจสอบว่าตัวผกผันของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชัน การตรวจสอบว่าตัวผกผันของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชัน มี 2 วิธี คือ วิธีที่ 1 ใช้บทนิยามของฟังก์ชัน ให้ (x, y) ∊ −1 และ (x, z) ∊ −1 แล้วแสดงให้เห็นว่า y = z วิธีที่ 2 ใช้ทฤษฎีบท 1 โดยแสดงว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ให้ 1 และ 2 เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่งทำให้ f(1) = f(2) แล้วแสดงให้เห็นว่า 1 = 2 5. ครูยกตัวอย่างฟังก์ชันที่สามารถหาตัวผกผันได้พร้อมทั้งหาตัวผกผัน ตัวอย่างที่ 1 กำหนดฟังก์ชัน f = { (x, y) | y = 2x + 1} ให้ตรวจสอบว่า −1 เป็นตัวผกผัน ของฟังก์ชันหรือเป็นฟังก์ชันผกผัน
142 วิธีทำ วิธีที่ 1 ใช้บทนิยามของฟังก์ชัน จากฟังก์ชัน f = { (x, y) | y = 2x + 1} จะได้ −1 = { (x, y) | x = 2y + 1} หรือ −1 = {(x, y)|y = x−1 2 } ให้ x, y และ z เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่ง (x, y) ∊ −1 และ (x, z) ∊ −1 จะได้ y = x−1 2 และ = x−1 2 ดังนั้น y = z เสมอ นั่นคือ −1 เป็นฟังก์ชัน หรือกล่าวว่า −1 เป็นฟังก์ชันผกผันของ f วิธีที่ 2 ใช้ทฤษฎีบท 1 ให้ 1 และ 2 เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่งทำให้ f(1 ) = f(2 ) จาก f(x) = 2x + 1 จะได้ 21 + 1 = 22 + 1 1 = 2 ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน 1-1 และโดยทฤษฎีบท 1 จะได้ว่า −1 เป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างที่ 2 กำหนด f(x) = x 2 ให้เขียนกราฟของฟังก์ชัน f และตัวผกผันของฟังก์ชัน f บนระบบพิกัดฉากเดียวกัน และให้พิจารณาว่า ตัวผกผันของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันหรือไม่ วิธีทำ หา −1 (x) จาก f(x) = x 2 หรือ y = x 2 สลับที่ระหว่าง x กับ y จะได้ x = y 2 y = √x หรือ −√x ดังนั้น −1 (x) = √x หรือ −1 (x) = −√x เขียนกราฟของ f และ −1 โดยมีเส้นตรง y = x เป็นเส้นสะท้อน ได้ดังนี้ จากกราฟจะเห็นว่า ถ้าลากเส้นตรงขนานกับแกน Y จะตัดกราฟของ −1 ได้ มากกว่า 1 จุด ดังนั้น ตัวผกผันของฟังก์ชัน f ไม่เป็นฟังก์ชัน
143 6. ครูให้นักเรียนทำใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 7. ครูถามคำถามทบทวนความรู้รวบยอดของนักเรียน - ฟังก์ชันผกผันคืออะไร (แนวตอบ : ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเรนจ์ และเรนจ์เป็นโดเมน) - ฟังก์ชันผกผันจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอใช่หรือไม่ (แนวตอบ : ใช่) สื่อ/แหล่งการเรียนรู้ 1. สื่อการเรียนรู้ 1.1 หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน 1.2 แบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน 1.3 Power point นำเสนอการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 1.4 ใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน 2. แหล่งการเรียนรู้ 2.1 ห้องสมุด 2.2 อินเทอร์เน็ต การวัดและประเมินผล จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 อธิบายความหมายของฟังก์ชัน ผกผันได้ 1. การตอบคำถามใน ห้องเรียน 2. ใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน 1. สังเกตการตอบ คำถามในห้องเรียน 2. ตรวจใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 เขียนแสดงวิธีการตรวจสอบว่า ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันได้ 1. ใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน 1. ตรวจใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป
144 จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์(A) 3.1 แสดงพฤติกรรมมีความ รับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย 1. แบบสังเกตพฤติกรรม 2. ใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน 1. ตรวจแบบสังเกต พฤติกรรม 2. ตรวจใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน อยู่ในระดับ ดี ขึ้นไป
145 บันทึกหลังการสอน 1. ผลการจัดการเรียนการสอน 1.1 ด้านความรู้ ( K ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.2 ด้านทักษะกระบวนการ( P ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3 คุณลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ …………………………………… (ผู้สอน) (นางสาวอภิญญา เสริฐสาย) วันที่ ……………………………………
146 ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสาวรัดดาวรรณ เผื่อนผึ้ง) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสกาวเดือน เหมะธุลิน) หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ............../................../..............
147 แบบประเมินด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P) ประจำแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 12 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565 ด้านความรู้ ประเมินจาก 1. การตอบคำถามในห้องเรียน 2. ใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจาก 1. ใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
148 เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 22 23 24 25 26 27 28 เกณฑ์การประเมิน นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์ สรุปผลการประเมิน ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวอภิญญา เสริฐสาย) วันที่……..เดือน ……………………….พ.ศ.…………….
149 แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน คำชี้แจง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติดังนี้ ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก ระดับ 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นปานกลาง ระดับ 1 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นน้อย เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
150 เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 24 25 26 27 28 รายการประเมิน เกณฑ์การให้คะแนน 3 2 1 1. ความ กระตือรือร้น ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมตลอดเวลา ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมบางเวลา ไม่ตั้งใจเรียน และไม่ สนใจในการทำกิจกรรม 2. การมี ระเบียบวินัย ในการทำงาน สมุดงาน ชิ้นงาน สะอาด เรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานส่วน ใหญ่สะอาดเรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานไม่ค่อย เรียบร้อย 3. ความ รับผิดชอบ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม กำหนด เวลานัดหมาย ส่งงานช้ากว่ากำหนด แต่มีการติดต่อครูผู้สอน มีเหตุผลที่รับฟังได้ ส่งงานช้ากว่ากำหนด เกณฑ์การประเมิน คะแนนรวม ระดับคุณภาพ 8 - 9 ดีมาก 6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์) 4 - 5 พอใช้ ต่ำกว่า 4 ปรับปรุง
151 ใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน คำชี้แจง : ให้นักเรียนตรวจสอบฟังก์ชันต่อไปนี้ว่ามีตัวผกผันหรือไม่ ถ้ามีให้หาฟังก์ชันผกผัน 1) ให้ เป็นฟังก์ชัน กำหนดให้() = + 2) ให้ เป็นฟังก์ชัน กำหนดให้() = 1
152 เฉลย ใบงานที่ 1.10 เรื่อง ฟังก์ชันผกผัน คำชี้แจง : ให้นักเรียนตรวจสอบฟังก์ชันต่อไปนี้ว่าเป็นฟังก์ชันผกผันหรือไม่ ถ้ามีให้หาฟังก์ชัน ผกผัน 1) ให้ เป็นฟังก์ชัน กำหนดให้() = + ตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่ เขียนกราฟในรูปเซตได้ f(x) = {(x, y)|y = 2x + 5} ดังนั้นเป็นฟังก์ชัน 1-1 เขียนฟังก์ชันผกผันได้ว่า … f −1 (x) = {(x, y)|x = 2y + 5} 2) ให้ เป็นฟังก์ชัน กำหนดให้() = 1 ตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่ เขียนกราฟในรูปเซตได้ f(x) = {(x, y)|y = } ดังนั้นเป็นฟังก์ชัน 1-1 เขียนฟังก์ชันผกผันได้ว่า … f −1 (x) =