85 ใบงานที่ 1.7 เรื่อง ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด คำชี้แจง : ให้นักเรียนตรวจสอบฟังก์ชันต่อไปนี้ว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด คำชี้แจง : จากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ ให้นักเรียนหาช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด 1) 2) เฉลย ……………เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [-1,1] และ [2,4] …………………… ………………………………………………………………………………………… ……………เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง [1,2]……………………………………… ……………………………………………………………………………………….. ………………เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [2,-1] และ [1,2] ………………… ………………………………………………………………………………………… ………………เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง [-3,-2], [-1,1] และ [2,4]………… …………………………………………………………………………………………
86 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 รายวิชา เสริมทักษะคณิตศาสตร์2 รหัสวิชา ค31202 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง การใช้ฟังก์ชันในชีวิตจริง เวลา 2 ชั่วโมง ผู้สอน นางสาวอภิญญา เสริฐสาย โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน หาฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน 2. ใช้สมบัติของฟังก์ชันในการแก้ปัญหา สาระสำคัญ ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x1)= ax+b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันกำลังสอง คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax 2+bx+c เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ a≠0 สาระการเรียนรู้ ฟังก์ชันและกราฟ จุดประสงค์การเรียนรู้เมื่อเรียนจบคาบนี้แล้วนักเรียนสามารถ 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 บอกความหมายของฟังก์ชันเชิงเส้นและฟังก์ชันกำลังสองได้ 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 วาดกราฟฟังก์ชันเชิงเส้นและฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดให้ได้ 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 3.1 แสดงพฤติกรรมมีความรับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน 1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคิด 2.1 ทักษะการเปรียบเทียบ 2.2 ทักษะการแปลความ 3. ความสามารถในการแก้ปัญหา
87 กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 1 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูทบทวนความรู้เรื่องฟังก์ชัน โดยการอธิบายว่า ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกใน โดเมนแต่ละตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของความสัมพันธ์เพียงตัวเดียวเท่านั้น สัญลักษณ์และข้อตกลง เกี่ยวกับสัญลักษณ์ของฟังก์ชันดังนี้ ถ้า f เป็นฟังก์ชัน และ จะกล่าวว่า y เป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และการเขียนฟังก์ชันสามารถเขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ในเซตโดยใช้คู่อันดับ (x, y) แทนสมาชิกใด ๆ ในเซต ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 2. ครูอธิบายฟังก์ชันให้กับนักเรียนคือ ฟังก์ชันเชิงเส้น โดยฟังก์ชันเชิงเส้นจะอยู่ในรูป ฟังก์ชัน เชิงเส้น คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x1)= ax+b เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง และ a 0 กราฟของฟังก์ชัน เชิงเส้น จะเป็นกราฟเส้นตรง 3. จากนั้นครูสอนนักเรียนวาดกราฟ โดยการหาจุดตัดแกน x และ จัดตัวแกน y โดยมีวิธีการ หาคือ หาจุดตัดแกน x ให้ y=0 และ หาจุดตัดแกน y ให้ x=0 4. เมื่อนักเรียนได้ทราบวิธีการหาแล้วนั้น ครูจึงยกตัวอย่างให้นักเรียนได้ลองทำการวาดกราฟ นี้ ว่ามีลักษณะเป็นเส้นตรงหรือไม่ 5. ครูยกตัวอย่างต่อไปนี้ เพื่อให้นักเรียนได้ลองค้นหาและตรวจสอบ ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ y=x-2 วิธีทำ X 2 0 y 0 -2 หาจุดตัดแกน x โดยการแทน y=0 จะได้ว่า 0 = x-2 ดังนั้น x = 2 จุดตัดแกน x คือ (2,0) หาจุดตัดแกน y โดยการแทน x = 0 จะได้ว่า y = 0-2 ดังนั้น y = -2 จุดตัดแกน y คือ (0, -2) 6. ครูยกตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันในชีวิตประจำวัน ตัวอย่าง ฟังก์ชันแสดงราคาของรถยนต์ยี่ห้อหนึ่งเมื่อเวลาผ่านไปเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ถ้า ปัจจุบันรถยนต์มีราคา 500,000 บาท และในอีก 5 ปีข้างหน้ารถยนต์จะมีราคา 350,000 บาท จงหา 1) ฟังก์ชันแสดงราคาของรถยนต์เมื่อเวลาผ่านไป x ปี 2) เมื่อเวลาผ่านไปสองปี รถยนต์ยี่ห้อนี้จะมีราคาลดลงเหลือเท่าใด
88 วิธีทำ 1) ให้ P(x) = mx + 6 เป็นฟังก์ชันแสดงราคาของรถยนต์เมื่อเวลาผ่านไป x ปีโดย m และ b เป็นค่าคงตัว จากโจทย์ P(0)=500,000 และ P(S)=350,000 จะได้ b = 500,000 และ 350,000 = 5m+500,000 m = 350,000−500,000 5 = -30,000 ดังนั้น P(x) = 500,000-30,000x 2) เมื่อ x=2 จะได้ P(2) = 500,000-(30,000x2) = 440,000 ดังนั้น เมื่อเวลาผ่านไปสองปี รถยนต์ยี่ห้อนี้จะมีราคาลตลงเหลือ 440,000 บาท ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 7. ครูถามคำถามเพื่อสรุปความรู้เรื่อง ฟังก์ชันเชิงเส้น ดังนี้ - ฟังก์ชันเชิงเส้น มีความหมายว่าอย่างไร (แนวตอบ : ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันที่มีสมการอยู่ในรูป ()= ax+b เมื่อ a, b เป็น จำนวนจริง และ a 0) - ฟังก์ชันคงตัว มีความหมายว่าอย่างไร (แนวตอบ : ฟังก์ชันคงตัว คือ ฟังก์ชัน y = ax+b แล้ว a = 0 จะได้ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = b ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X) ชั่วโมงที่ 2 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูทบทวนความรู้เรื่องฟังก์ชันเชิงเส้น โดยครูอธิบายว่า ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันที่มี สมการอยู่ ในรูป y = ax+b เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริง และ a0 จากฟังก์ชัน y = ax+b ถ้า a = 0 จะได้ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = b ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X จะเรียกฟังก์ชัน แบบนี้ ว่า “ฟังก์ชันคงตัว” กราฟของเส้นตรง y = ax+b จะขนานกัน เมื่อ a มีค่าเท่ากัน และตัด แกนแกน Y ที่จุด b โดยที่จุดที่กราฟ ตัดแกน X จะให้ค่า y = 0 และจุดที่กราฟตัดแกน Y จะให้ค่า x = 0
89 2. ครูยกตัวอย่างฟังก์ชัน y = ax 2+bx+c แล้วถามนักเรียนว่า ฟังก์ชันดังกล่าวเป็นฟังก์ชัน เชิง เส้นหรือไม่ (แนวตอบ : ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น เนื่องจาก ไม่ตรงกับนิยามฟังก์ชันเชิงเส้น) และครู อธิบาย เพิ่มเติมว่า ฟังก์ชันดังกล่าว เรียกว่า ฟังก์ชันกำลังสอง หรือ พาราโบลา ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 3. ครูอธิบายความหมายของฟังก์ชันกำลังสองให้นักเรียนเข้าใจดังนี้ฟังก์ชันกำลังสอง หรือ พาราโบลา คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax 2+bx+c เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวน จริงใด ๆ และ a0 ซึ่งลักษณะกราฟของฟังก์ชันกำลังสองขึ้นอยู่กับค่าของ a, b และ c และครูอธิบายกราฟ ของฟังก์ชัน กำลังสองหรือพาราโบลาว่า มีทั้งหมด 4 ลักษณะ แต่ในที่นี้จะเรียนแค่ 2 ลักษณะก่อน คือ พาราโบลา หงาย และพาราโบลาคว่ำ จากนั้น ครูย้ำนักเรียนว่ากราฟชนิดนี้มีชื่อว่า กราฟพาราโบลา โดยจะเป็นลักษณะกราฟหงาย หรือคว่ำ นั้นให้ขึ้นอยู่กับค่า a โดยครูมีเทคนิคการจำให้นักเรียนคือ a บวก แปะยิ้ม ซึ่งกราฟจะมีลักษณะเป็นหน้ายิ้ม (กราฟหงาย) a ลบ อาซิ่มโศก ซึ่งกราฟจะมีลักษณะเป็นหน้าบึ้ง (กราฟคว่ำ) และทำการสรุปให้ นักเรียนอีกครั้ง y = ax 2+bx+c , a 0 y = ax 2+bx+c , a 0 จากรูปจะเห็นว่า ถ้า a 0 กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น ถ้า a 0 กราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำลง 4. ครูบอกส่วนประกอบและชื่อเรียกของพาราโบลา ดังนี้ กราฟของฟังชันกำลังสองในรูปนี้มีชื่อเรียกว่า พาราโบลา เรียกจุดยอดของพาราโบลา คือ จุดวกกลับ เขียนจุดวกกลับของ f ในรูป (− 2 , (− 2 )) ถ้ากราฟพาราโบลาหงาย จะมีจุดวกกลับที่เป็น จุดสูงสุดและค่าต่ำสุด ถ้ากราฟพาราโบลาคว่ำ จะมีจุดวกกลับที่เป็น จุดสูงสุดและค่าต่ำสุด 5. ครูและนักเรียนร่วมกันวาดกราฟพาราโบลา โดยใช้ตารางแทนค่าในการวาดกราฟ ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของฟังก์ชันก าลังสองต่อไปนี้พร้อมทั้งหาจุดวกกลับและจุดสูงสุด หรือจุดต่ำสุดของกราฟ
90 จุดวกกลับ คือ(0,0) จุดต ่ำสุดคือ(0,0) จุดวกกลับ คือ(0,0) จุดต ่ำสุดคือ(0,0) 1) = 2 x y -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 2) = − 1 2 2 x y -2 -2 -1 − 1 2 0 0 1 − 1 2 2 -2 นอกจากวิธีวาดกราฟด้วยตารางแล้ว ยังมีอีกวิธีหนึ่งในการวาดกราฟ คือการใช้สูตรทั่วไปของ พาราโบลา แล้วหาจุด (h, k) เป็นจุดวกกลับ คือ y = a(x − ℎ) 2+k , a0 จากนั้นครูให้ตัวอย่าง นักเรียน เพิ่มเติมเพื่อให้นักเรียนเข้าใจ ตัวอย่าง จงหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของกราฟของฟังก์ชัน y = (x − 3) 2+3 วิธีทำ จากสูตรรูปทั่วไปของพาราโบลา y = a(x − ℎ) 2+k และจากโจทย์y = (x − 3) 2+3 จะได้ว่า a=1 , h=3 และ k=3 และเนื่องจาก a = 1 ซึ่งมากกว่า 0 จะได้ พาราโบลาหงาย จะได้ว่า จุดวกกลับ คือ (3,3) ที่เป็นจุดต่ำสุด ดังนั้น จุดต่ำสุด คือ (3,3) สามารถวาดกราฟได้ดังนี้
91 ตัวอย่าง ชายคนหนึ่งโยนลูกบอลขึ้นไปในอากาศในแนวดิ่ง ถ้าความสูงจากพื้นดินของลูกบอล มีหน่วยเป็นฟุต ซึ่งหาได้จาก () = − 2 + 2 + 3 เมื่อ t แทนระยะเวลาตั้งแต่เริ่มโยนลูกบอลมี หน่วยเป็นวินาที จงหาว่า 1) เมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด ลูกบอลจะอยู่สูงที่สุดจากพื้นดิน และลูกบอลจะอยู่สูงจากพื้นดินเท่าใด 2) เมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด ลูกบอลจึงตกถึงพื้นดิน วิธีทำ 1) กราฟของ y = ax 2+bx+c เมื่อ a0 จะมีจุดวกกลับ คือ (− 2 , (− 2 )) จาก () = − 2 + 2 + 3 จะได้จุดวกกลับเมื่อ = 2 2(−1) = 1 และ (1) = −(1) 2 + 2(1) + 3 = 4 นั่นคือ เมื่อเวลาผ่านไป 1 วินาทีลูกบอลจะอยู่สูงที่สุดและอยู่สูงจากพื้นดิน 4 ฟุต 2) เมื่อลูกบอลตกถึงพื้นดิน นั่นคือ f(1) เท่ากับศูนย์ จะได้ − 2 + 2 + 3 = 0 2 − 2 − 3 = 0 ( − 3)( + 1) = 0 ดังนั้น t = 3 หรือ t=-1 เนื่องจากระยะเวลาที่โยนลูกบอลขึ้นไปจนกระทั่งลูกบอลตกถึงพื้นดินจะต้องมากกว่าศูนย์ ดังนั้น ลูกบอลจะตกถึงพื้นดิน เมื่อโยนลูกบอลขึ้นไปนาน 3 วินาที 6. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกหัด 1.3ข ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 7. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปเกี่ยวกับการใช้ฟังก์ชันในชีวิตจริง สื่อ/แหล่งการเรียนรู้ 1. สื่อการเรียนรู้ 1.1 หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน 1.2 แบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน 2. แหล่งการเรียนรู้ 2.1 ห้องสมุด 2.2 อินเทอร์เน็ต
92 การวัดและประเมินผล จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 บอกความหมายของฟังก์ชันเชิง เส้นและฟังก์ชันกำลังสองได้ 1. การตอบคำถามใน ห้องเรียน 2. แบบฝึกหัด 1.3ข 1. สังเกตการตอบ คำถามในห้องเรียน 2. ตรวจแบบฝึกหัด 1.3ข ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 วาดกราฟฟังก์ชันเชิงเส้นและ ฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดให้ได้ 1. แบบฝึกหัด 1.3ข 1. ตรวจแบบฝึกหัด 1.3ข ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์(A) 3.1 แสดงพฤติกรรมมีความ รับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย 1. แบบสังเกต พฤติกรรม 2. แบบฝึกหัด 1.3ข 1. ตรวจแบบสังเกต พฤติกรรม 2. ตรวจแบบฝึกหัด 1.3ข อยู่ในระดับ ดี ขึ้นไป
93 บันทึกหลังการสอน 1. ผลการจัดการเรียนการสอน 1.1 ด้านความรู้ ( K ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.2 ด้านทักษะกระบวนการ( P ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3 คุณลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ …………………………………… (ผู้สอน) (นางสาวอภิญญา เสริฐสาย) วันที่ ……………………………………
94 ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสาวรัดดาวรรณ เผื่อนผึ้ง) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสกาวเดือน เหมะธุลิน) หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ............../................../..............
95 แบบประเมินด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P) ประจำแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565 ด้านความรู้ ประเมินจาก 1. การตอบคำถามในห้องเรียน 2. แบบฝึกหัด 1.3ข ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจาก 1. แบบฝึกหัด 1.3ข เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
96 เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 22 23 24 25 26 27 28 เกณฑ์การประเมิน นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์ สรุปผลการประเมิน ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวอภิญญา เสริฐสาย) วันที่……..เดือน ……………………….พ.ศ.…………….
97 แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน คำชี้แจง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติดังนี้ ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก ระดับ 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นปานกลาง ระดับ 1 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นน้อย เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
98 เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 24 25 26 27 28 รายการประเมิน เกณฑ์การให้คะแนน 3 2 1 1. ความ กระตือรือร้น ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมตลอดเวลา ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมบางเวลา ไม่ตั้งใจเรียน และไม่ สนใจในการทำกิจกรรม 2. การมี ระเบียบวินัย ในการทำงาน สมุดงาน ชิ้นงาน สะอาด เรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานส่วน ใหญ่สะอาดเรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานไม่ค่อย เรียบร้อย 3. ความ รับผิดชอบ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม กำหนด เวลานัดหมาย ส่งงานช้ากว่ากำหนด แต่มีการติดต่อครูผู้สอน มีเหตุผลที่รับฟังได้ ส่งงานช้ากว่ากำหนด เกณฑ์การประเมิน คะแนนรวม ระดับคุณภาพ 8 - 9 ดีมาก 6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์) 4 - 5 พอใช้ ต่ำกว่า 4 ปรับปรุง
99 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 9 รายวิชา เสริมทักษะคณิตศาสตร์2 รหัสวิชา ค31202 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน เวลา 2 ชั่วโมง ผู้สอน นางสาวอภิญญา เสริฐสาย โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน หาฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน 2. ใช้สมบัติของฟังก์ชันในการแก้ปัญหา สาระสำคัญ การเขียนกราฟของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน จะต้องใช้การเลื่อนขนานของกราฟฟังก์ชันพื้นฐาน ถ้าทราบลักษณะ ของกราฟ y = f(x) แล้วสามารถเขียนการเลื่อนขนานของกราฟได้ดังนี้ − y = f(x) + k ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ขึ้นไปตามแนวตั้ง k หน่วย เมื่อ k > 0 − y = f(x) − k ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ลงไปตามแนวตั้ง k หน่วย เมื่อ k > 0 − y = f( + k) ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ไปทางซ้าย k หน่วย เมื่อ k > 0 − y = f( − k) ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ไปทางขวา k หน่วย เมื่อ k > 0 การหาค่าของฟังก์ชัน เมื่อ x เป็นค่าคงตัวใดๆ จะได้ค่าของฟังก์ชันเป็นค่าคงตัว และเมื่อ x เป็น จำนวนในรูปพหุนาม จะได้ค่าของฟังก์ชันเป็นจำนวนในรูปพหุนามเช่นกัน สาระการเรียนรู้ ฟังก์ชันและกราฟ จุดประสงค์การเรียนรู้เมื่อเรียนจบคาบนี้แล้วนักเรียนสามารถ 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 อธิบายความหมายของกราฟของฟังก์ชันได้ 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 สามารถเขียนกราฟของฟังก์ชันได้ 2.2 สามารถใช้เทคนิคในการเขียนกราฟของฟังก์ชันได้ 2.3 สามารถเขียนวิธีการหาค่าของฟังก์ชันได้ 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 3.1 แสดงพฤติกรรมมีความรับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย
100 สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน 1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคิด 2.1 ทักษะการเปรียบเทียบ 2.2 ทักษะการแปลความ 3. ความสามารถในการแก้ปัญหา กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่วโมงที่ 1 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูทบทวนการแยกตัวประกอบ เพื่อหาคู่อันดับในการเขียนกราฟของฟังก์ชัน ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 2. ครูยกตัวอย่างกราฟของฟังก์ชัน พร้อมทั้งอธิบายโดยละเอียด ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของ () = 3 − 4 วิธีทำ ให้() = 3 − 4 กราฟตัดแกน Y เมื่อ x=0 จะได้ y=0 ดังนั้น กราฟตัดแกน Y ที่จุด (0,0) กราฟตัดแกน X เมื่อ y=0 ดังนั้น 3 − 4 = 0 ( − 2)( + 2) = 0 = 0 หรือ = 2 หรือ = −2 ดังนั้น กราฟตัดแกน X ที่จุดสามจุด คือ (0,0), (2,0), และ (-2,0) X -3 -2 -1 0 1 2 3 y -15 0 3 0 -3 0 15
101 x, x ≥ 0 -x, x ≤ 0 ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของ f(x)= | x | วิธีทำ จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า | x | = ดังนั้น กราฟของ f(x)= | x | ประกอบด้วยสองส่วน คือ 1) กราฟของเส้นตรง y=x เมื่อ x ≥ 0 2) กราฟของเส้นตรง y=-x เมื่อ x < 0 เขียนกราฟของ f ได้ดังนี้ 3. ครูยกตัวอย่างฟังก์ชันขั้นบันไดประกอบเพื่อให้นักเรียนเริ่มเข้าใจมากขึ้น ตัวอย่าง งานการกุศลงานหนึ่ง ได้กำหนดราคาบัตรเข้าชมงานดังนี้ เด็กอายุต่ำกว่า 5 ปี เข้าชมฟรี ผู้ที่มีอายุตั้งแต่ 5 ถึง 12 ปี ราคาบัตรละ 10 บาท และผู้ที่มีอายุเกิน 12 ปีขึ้นไป ราคาบัตรละ 20 บาท จงเขียนฟังก์ชันแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอายุกับบัตรราคาเข้าชม พร้อมทั้งเขียนกราฟของ ฟังก์ชัน วิธีทำ เขียนฟังก์ชันในรูป f (x) โดยให้ x คืออายุ และ f (x) คือ อัตราค่าเข้างาน จะสามารถเขียน f (x) ได้ดังนี้ 0 ; 0 < x < 5 f(x) = 10 ; 5 < x < 12 20 ; x > 12 จากฟังก์ชัน เราสามารถเขียนกราฟได้ดังนี้ ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 4. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุป เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน
102 ชั่วโมงที่ 2 ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูเขียนกราฟของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน เพื่อให้นักเรียนสามารถเขียนกราฟได้สะดวกและ รวดเร็วขึ้น โดยใช้การเลื่อนขนานจากกราฟของฟังก์ชันพื้นฐาน กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานที่นักเรียน ต้องนำมาใช้ เพื่อเขียนกราฟโดยการเลื่อนขนาน มีดังนี้
103 ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 2. ครูยกตัวอย่างการเลื่อนขนานในแนวตั้งและการเลื่อนขนานในแนวนอน การเลื่อนขนานในแนวตั้ง ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ในระบบพิกัดฉาก เดียวกัน 1) y1 = x 2 , 2) y2 = x 2 + 2 และ 3) y3 = x 2 − 3 สามารถวาดกราฟได้ดังนี้ พิจารณาความสัมพันธ์ของกราฟเหล่านี้ เมื่อใช้กราฟ y1 = x 2 เป็นหลักในการอ้างอิง จะเห็นว่า กราฟ y2 = x 2 + 2 และกราฟ y3 = x 2 − 3 มีรูปร่างเหมือนกันกับกราฟ y1 = x 2 โดยกราฟ y2 = x 2 + 2 เกิดจากการเลื่อนกราฟ y1 = x 2 ขึ้น 2 หน่วย และกราฟ y3 = x 2 − 3 เกิดจากการเลื่อนกราฟ y1 = x 2 ลง 3 หน่วย ในกรณีทั่วไป ถ้านักเรียนทราบลักษณะของกราฟ y = f(x) แล้ว นักเรียนสามารถเขียนกราฟ y = f(x) + k และ y = f(x) - k โดยอาศัยการเลื่อนกราฟ y = f(x) ในแนวตั้ง ซึ่งสรุปได้ ดังนี้ - y = f(x) + k ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ขึ้นไปตามแนวตั้ง k หน่วย เมื่อ k > 0 - y = f(x) - k ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ลงไปตามแนวตั้ง k หน่วย เมื่อ k > 0 ตัวอย่าง ให้เขียนกราฟของฟังก์ชันแต่ละฟังก์ชันต่อไปนี้บนระบบพิกัดฉากเดียวกัน โดยใช้ กราฟพื้นฐาน y = | x | 1) y1 = | x | + 2 2) y2 = | x | - 3 วิธีทำ เขียนกราฟ y = | x | ซึ่งเป็นกราฟพื้นฐาน กราฟ y1 = | x | + 2 ต้องเลื่อนกราฟ y = | x | ขึ้นไปตามแนวตั้ง 2 หน่วย และกราฟ y2 = | x | - 3 ต้องเลื่อนกราฟ y = | x | ลงไปตามแนวตั้ง 3 หน่วย จะได้กราฟ ดังนี้
104 การเลื่อนขนานในแนวนอน ตัวอย่าง พิจารณาการเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้บนระบบพิกัดฉากเดียวกัน y1 = x 2 , y2 = (x + 2) 2 และ y2 = (x − 3) 2 สร้างตารางเลือกค่าของ x บางค่า แล้ว หาค่าของฟังก์ชัน ดังนี้ x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y1 = x 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 y2 = (x + 2) 2 4 1 0 1 4 9 16 25 36 y2 = (x − 3) 2 49 36 25 16 9 4 1 0 1 เขียนกราฟได้ดังรูป พิจารณาความสัมพันธ์ของกราฟเหล่านี้ เมื่อใช้กราฟ y1 = x 2 เป็นหลักในการอ้างอิง จะเห็น ว่ากราฟ y2 = (x + 2) 2และกราฟ y2 = (x − 3) 2 มีรูปร่างเหมือนกันกับกราฟ y1 = x 2 โดย กราฟ y2 = (x + 2) 2 เกิดจากการเลื่อนกราฟ y1 = x 2 ไปทางซ้าย 2 หน่วย และกราฟ y2 = (x − 3) 2 เกิดจากการเลื่อนกราฟ y1 = x 2 ไปทางขวา 3 หน่วย ในกรณีทั่วไป ถ้านักเรียนทราบลักษณะของกราฟ y = f(x) แล้ว นักเรียนสามารถเขียนกราฟ ของ y = f(x + k) และ y = f(x - k) โดยอาศัยการเลื่อนกราฟ y = f(x) ในแนวนอน ซึ่งสรุปได้ ดังนี้ - y = f(x + k) ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ไปทางซ้าย k หน่วย เมื่อ k > 0 - y = f(x - k) ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ไปทางขวา k หน่วย เมื่อ k > 0 3. ครูให้นักเรียนทำใบงานที่ 1.7 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 4. ครูถามตอบนักเรียนเพื่อทบทวนความรู้เรื่อง กราฟของฟังก์ชันและเทคนิคการเขียนกราฟ ของฟังก์ชัน ดังนี้ - เทคนิคการเลื่อนกราฟของฟังก์ชันมีกี่วิธี อะไรบ้าง สมการของกราฟคืออะไร (แนวตอบ: 2 วิธี ได้แก่ การเลื่อนกราฟในแนวตั้ง สมการคือ y = f(x) + k ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ขึ้นไปตามแนวตั้ง k หน่วย เมื่อ k > 0 y = f(x) − k ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ลงไปตามแนวตั้ง k หน่วย เมื่อ k > 0
105 การเลื่อนกราฟในแนวนอน สมการคือ y = f( + k) ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ไปทางซ้าย k หน่วย เมื่อ k > 0 y = f( − k) ได้จากการเลื่อนกราฟ y = f(x) ไปทางขวา k หน่วย เมื่อ k > 0) สื่อ/แหล่งการเรียนรู้ 1. สื่อการเรียนรู้ 1.1 หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน 1.2 แบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน 1.3 Power point นำเสนอการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 1.4 ใบงานที่ 1.7 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน 2. แหล่งการเรียนรู้ 2.1 ห้องสมุด 2.2 อินเทอร์เน็ต การวัดและประเมินผล จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 อธิบายความหมายของกราฟของ ฟังก์ชันได้ 1. การตอบคำถามใน ห้องเรียน 2. ใบงานที่ 1.7 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน 1. สังเกตการตอบ คำถามในห้องเรียน 2. ตรวจใบงานที่ 1.7 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 สามารถเขียนกราฟของฟังก์ชันได้ 2.2 สามารถใช้เทคนิคในการเขียน กราฟของฟังก์ชันได้ 2.3 สามารถเขียนวิธีการหาค่าของ ฟังก์ชันได้ 1. ใบงานที่ 1.7 2. เรื่อง กราฟของ ฟังก์ชัน 1. ตรวจใบงานที่ 1.7 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป
106 จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์(A) 3.1 แสดงพฤติกรรมมีความรับผิดชอบ ต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย 1. แบบสังเกต พฤติกรรม 2. ใบงานที่ 1.7 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน 1. ตรวจแบบสังเกต พฤติกรรม 2. ตรวจใบงานที่ 1.7 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน อยู่ในระดับ ดี ขึ้นไป
107 บันทึกหลังการสอน 1. ผลการจัดการเรียนการสอน 1.1 ด้านความรู้ ( K ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.2 ด้านทักษะกระบวนการ( P ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3 คุณลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ …………………………………… (ผู้สอน) (นางสาวอภิญญา เสริฐสาย) วันที่ ……………………………………
108 ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสาวรัดดาวรรณ เผื่อนผึ้ง) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสกาวเดือน เหมะธุลิน) หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ............../................../..............
109 แบบประเมินด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P) ประจำแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 9 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565 ด้านความรู้ ประเมินจาก 1. การตอบคำถามในห้องเรียน 2. ใบงานที่ 1.7 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจาก 1. ใบงานที่ 1.7 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
110 เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 21 22 23 24 25 26 27 28 เกณฑ์การประเมิน นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์ สรุปผลการประเมิน ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวอภิญญา เสริฐสาย) วันที่……..เดือน ……………………….พ.ศ.…………….
111 แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน คำชี้แจง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติดังนี้ ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก ระดับ 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นปานกลาง ระดับ 1 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นน้อย เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
112 เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 24 25 26 27 28 รายการประเมิน เกณฑ์การให้คะแนน 3 2 1 1. ความ กระตือรือร้น ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมตลอดเวลา ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมบางเวลา ไม่ตั้งใจเรียน และไม่ สนใจในการทำกิจกรรม 2. การมี ระเบียบวินัย ในการทำงาน สมุดงาน ชิ้นงาน สะอาด เรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานส่วน ใหญ่สะอาดเรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานไม่ค่อย เรียบร้อย 3. ความ รับผิดชอบ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม กำหนด เวลานัดหมาย ส่งงานช้ากว่ากำหนด แต่มีการติดต่อครูผู้สอน มีเหตุผลที่รับฟังได้ ส่งงานช้ากว่ากำหนด เกณฑ์การประเมิน คะแนนรวม ระดับคุณภาพ 8 - 9 ดีมาก 6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์) 4 - 5 พอใช้ ต่ำกว่า 4 ปรับปรุง
113 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน คำชี้แจง : ให้นักเรียนเขียนกราฟที่กำหนดให้โดยใช้เทคนิคการเลื่อนกราฟ กำหนดกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ดังรูป เขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1. y = f(x − 1) 2. y = f(x + 2) 3. y = f(x) − 1 4. y = f(x) + 2 ใบงานที่ 1.7
114 เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน คำชี้แจง : ให้นักเรียนเขียนกราฟที่กำหนดให้โดยใช้เทคนิคการเลื่อนกราฟ กำหนดกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ดังรูป เขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1. y = f(x − 1) 2. y = f(x + 2) ขยับกราฟไปทางขวา 1 หน่วย ขยับกราฟไปทางซ้าย 2 หน่วย 3. y = f(x) − 1 4. y = f(x) + 2 ขยับกราฟลงมา 1 หน่วย ขยับกราฟขึ้นไป 2 หน่วย ใบงานที่ 1.7 เฉลย
115 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10 รายวิชา เสริมทักษะคณิตศาสตร์2 รหัสวิชา ค31202 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชัน (1) เวลา 1 ชั่วโมง ผู้สอน นางสาวอภิญญา เสริฐสาย โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน หาฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน 2. ใช้สมบัติของฟังก์ชันในการแก้ปัญหา สาระสำคัญ กำหนดให้f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง ผลบวก (sum) ผลต่าง (difference) ผลคูณ (product) และผลหาร (quotient) ของฟังก์ชันกำหนดโดย (f + g)(x) = f(x) + g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg (f − g)(x) = f(x) − g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg (f ∙ g)(x) = f(x) ∙ g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg ( f g ) (x) = f(x) g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 สาระการเรียนรู้ การบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน จุดประสงค์การเรียนรู้เมื่อเรียนจบคาบนี้แล้วนักเรียนสามารถ 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 อธิบายความหมายของการดำเนินการของฟังก์ชันได้ 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 เขียนแสดงวิธีการหาค่าการดำเนินการของฟังก์ชันได้ 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 3.1 แสดงพฤติกรรมมีความรับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน 1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคิด 2.1 ทักษะการเปรียบเทียบ
116 2.2 ทักษะการแปลความ 3. ความสามารถในการแก้ปัญหา กิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน 1. ครูกล่าวว่าการบวก การลบ การคูณ และการหาร เป็นการดำเนินการของจำนวนสอง จำนวน จากนั้นถามนักเรียนว่า “นักเรียนคิดว่าฟังก์ชันมีการบวก การลบ การคูณ และการหาร” หรือไม่ (แนวตอบ : ฟังก์ชันมีการบวก การลบ การคูณ และการหาร เรียกว่า “การดำเนินการของ ฟังก์ชัน” และเรียกผลจากกระบวนการนี้ว่า “พีชคณิตของฟังก์ชัน”) ขั้นที่ 2 ขั้นสอน 2. ครูอธิบายบทนิยาม ดังนี้ บทนิยาม กำหนดให้f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง ผลบวก (sum) ผลต่าง (difference) ผลคูณ (product) และผลหาร (quotient) ของฟังก์ชันกำหนดโดย (f + g)(x) = f(x) + g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg (f − g)(x) = f(x) − g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg (f ∙ g)(x) = f(x) ∙ g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg ( f g ) (x) = f(x) g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 3. ครูอธิบายตัวอย่าง พร้อมทั้งแสดงวิธีทำอย่างละเอียดบนกระดาน ตัวอย่างที่ 1 ให้ f(x) = x 3 + 1 และ g(x) = √x 1) จงหา + , − , และ พร้อมทั้งโดเมนของแต่ละฟังก์ชัน 2) จงหา ( + )(1), ( − )(1), ()(2)และ ( )(2) วิธีทำ 1) เนื่องจากโดเมนของ คือ R และโดเมนของ g คือ [0,∞] จะได้โดเมนของ + , − และ คือ Df ∩ Dg= [0,∞] และโดเมนของ คือ Df ∩ Dg − { ∈ Dg |() = 0} = (0, ∞) ( + )() = () + () = x 3 + 1 + √x ( − )() = () − () = x 3 + 1 − √x ()() = ()() = (x 3 + 1)(√x) ( ) () = () () = x 3+1 √x
117 2) ( + )(1) = (1) + (1) = (1 3 + 1) + √1 = 3 ( − )(1) = (1) − (1) = (1 3 + 1) − √1 = 1 ()(2) = (2)(2) = (2 3 + 1)(√2) = 9√2 ( ) (2) = (2) (2) = 2 3+1 √2 = 9 √2 ตัวอย่างที่ 2 ให้ = {(1,6), (2,16), (3,12), (5,18)} และ = {(1,6), (2,11), (3,0), (4,1)} จงหา + , และ พร้อมทั้งโดเมนของแต่ลฟังก์ชัน วิธีทำ เนื่องจากโดเมนของ คือ {1, 2, 3, 5} และโดเมนของ g คือ {1, 2, 3, 4} จะได้โดเมนของ + และ คือ Df ∩ Dg= {1, 2, 3} ( + )(1) = (1) + (1) = 6 + 6 = 12 จะได้(1,12) + ( + )(2) = (2) + (2) = 16 + 11 = 176 จะได้(2,27) + ( + )(3) = (3) + (3) = 12 + 0 = 12 จะได้(3,12) + ดังนั้น + = {(1,12), (2,27), (3,12)} ()(1) = (1)(1) = (6)(6) = 36 จะได้(1,36) ()(2) = (2)(2) = (16)(11) = 176 จะได้(2,176) ()(3) = (3)(3) = (12)(0) = 0 จะได้(3,0) ดังนั้น = {(1,36), (2,176), (3,0)} โดเมนของ คือ Df ∩ Dg − { ∈ Dg |() = 0} = (1,2) ( ) (1) = (1) (1) = 6 6 = 1 จะได้(1,1) ( ) (2) = (2) (2) = 16 11 จะได้(2, 16 11) ดังนั้น = {(1,1), (2, 16 11)} 4. ครูให้นักเรียนทำใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชัน ขั้นที่ 3 ขั้นสรุป 5. ครูถามคำถามเพื่อทบทวนความรู้รวบยอดของนักเรียน - การดำเนินการของฟังก์ชันคืออะไร (แนวตอบ : เป็นการดำเนินการทางพีชคณิตของฟังก์ชัน ซึ่งเทียบได้กับการบวก การลบ การคูณ หรือ การหารในระบบจำนวนจริง)
118 สื่อ/แหล่งการเรียนรู้ 1. สื่อการเรียนรู้ 1.1 หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน 1.2 แบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน 1.3 Power point นำเสนอการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 1.4 ใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชัน 2. แหล่งการเรียนรู้ 2.1 ห้องสมุด 2.2 อินเทอร์เน็ต การวัดและประเมินผล จุดประสงค์ เครื่องมือ วิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 อธิบายความหมายของการ ดำเนินการของฟังก์ชันได้ 1. การตอบคำถามใน ห้องเรียน 2. ใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของ ฟังก์ชัน 1. สังเกตการตอบ คำถามในห้องเรียน 2. ตรวจใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของ ฟังก์ชัน ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) 2.1 เขียนแสดงวิธีการหาค่าการ ดำเนินการของฟังก์ชันได้ 1. ใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของ ฟังก์ชัน 1. ตรวจใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของ ฟังก์ชัน ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์(A) 3.1 แสดงพฤติกรรมมีความ รับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย 1. แบบสังเกตพฤติกรรม 2. ใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของ ฟังก์ชัน 1. ตรวจแบบสังเกต พฤติกรรม 2. ตรวจใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของ ฟังก์ชัน อยู่ในระดับ ดี ขึ้นไป
119 บันทึกหลังการสอน 1. ผลการจัดการเรียนการสอน 1.1 ด้านความรู้ ( K ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.2 ด้านทักษะกระบวนการ( P ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3 คุณลักษณะอันพึงประสงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.4 สมรรถนะสำคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ …………………………………… (ผู้สอน) (นางสาวอภิญญา เสริฐสาย) วันที่ ……………………………………
120 ความเห็น/ข้อเสนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสาวรัดดาวรรณ เผื่อนผึ้ง) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. ความเห็น/ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางสกาวเดือน เหมะธุลิน) หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ............../................../..............
121 แบบประเมินด้านความรู้ (K) และด้านทักษะกระบวนการ (P) ประจำแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565 ด้านความรู้ ประเมินจาก 1. การตอบคำถามในห้องเรียน 2. ใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชัน ด้านทักษะกระบวนการ ประเมินจาก 1. ใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชัน เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
122 เลขที่ ด้านความรู้ ด้านทักษะ กระบวนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 21 22 23 24 25 26 27 28 เกณฑ์การประเมิน นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 70 ขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์ สรุปผลการประเมิน ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ไม่ผ่านเกณฑ์ จำนวน....................คน ลงชื่อ……………………………………………..…ผู้ประเมิน (นางสาวอภิญญา เสริฐสาย) วันที่……..เดือน ……………………….พ.ศ.…………….
123 แบบสังเกตพฤติกรรมรายบุคคลชั้น ม.4 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน คำชี้แจง ทำเครื่องหมาย ✔ ลงในช่องระดับคะแนนพฤติกรรมที่นักเรียนปฏิบัติดังนี้ ระดับ 3 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นมาก ระดับ 2 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นปานกลาง ระดับ 1 หมายถึง แสดงพฤติกรรมให้เห็นน้อย เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
124 เลขที่ ความ กระตือรือร้น มีระเบียบวินัย ความรับผิด ชอบ คะแนนรวม เกณฑ์การประเมิน หมายเหตุ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ผ่าน ไม่ผ่าน 24 25 26 27 28 รายการประเมิน เกณฑ์การให้คะแนน 3 2 1 1. ความ กระตือรือร้น ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมตลอดเวลา ตั้งใจเรียน และสนใจใน การทำกิจกรรมบางเวลา ไม่ตั้งใจเรียน และไม่ สนใจในการทำกิจกรรม 2. การมี ระเบียบวินัย ในการทำงาน สมุดงาน ชิ้นงาน สะอาด เรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานส่วน ใหญ่สะอาดเรียบร้อย สมุดงาน ชิ้นงานไม่ค่อย เรียบร้อย 3. ความ รับผิดชอบ ส่งงานก่อนหรือส่งตาม กำหนด เวลานัดหมาย ส่งงานช้ากว่ากำหนด แต่มีการติดต่อครูผู้สอน มีเหตุผลที่รับฟังได้ ส่งงานช้ากว่ากำหนด เกณฑ์การประเมิน คะแนนรวม ระดับคุณภาพ 8 - 9 ดีมาก 6 - 7 ดี (ผ่านเกณฑ์) 4 - 5 พอใช้ ต่ำกว่า 4 ปรับปรุง
125 ใบงานที่ 1.8 เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชัน คำชี้แจง : ให้นักเรียนหาคำตอบจากการการดำเนินการของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1)ถ้า f(x) = x 2 + 3x − 2 และ g(x) = 5 − 3x จงหา f + g, f − g และfg
126 เฉลย f + g f − g fg ใบงานที่1.8 เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชัน คำชี้แจง : ให้นักเรียนหาคำตอบจากการการดำเนินการของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1) ถ้า f(x) = x 2 + 3x − 2 และ g(x) = 5 − 3x จงหา f + g, f − g และfg f(x) + g(x) = (x 2 + 3x − 2) + (5 − 3x) = x 2 + 3x − 2 + 5 − 3x = x 2 − 2 + 5 = x 2 + 3 ∴ f + g = x 2 + 3 f(x) − g(x) = (x 2 + 3x − 2) − (5 − 3x) = x 2 + 3x − 2 − 5 + 3x = x 2 + 6x − 2 − 5 = x 2 + 6x − 7 = (x + 7)(x − 1) ∴ f − g = (x + 7)(x − 1 ) f(x) ⋅ g(x) = (x 2 + 3x − 2) ⋅ (5 − 3x) = (5x2 + 15x − 10 − 3x 3 − 9x 2 + 6x) = (−3x 3 − 4x 2 + 21x − 10) ∴ fg = (−3x 3 − 4x2 + 21x − 10)
127 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 11 รายüิชา เÿริมทักþะคณิตýาÿตร์2 รĀัÿüิชา ค31202 กลุ่มÿาระการเรียนรู้คณิตýาÿตร์ Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง คüามÿัมพันธ์และฟังก์ชัน ภาคเรียนที่ 2/2565 เรื่อง การดำเนินการของฟังก์ชัน (2) เüลา 1 ชั่üโมง ผู้ÿอน นางÿาüอภิญญา เÿริฐÿาย โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. Āาผลลัพธ์ของการบüก การลบ การคูณ การĀารฟังก์ชัน Āาฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน 2. ใช้ÿมบัติของฟังก์ชันในการแก้ปัญĀา ÿาระÿำคัญ กำĀนดใĀ้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นÿับเซตของจำนüนจริง ฟังก์ชันประกอบ ของ fและ g เขียนแทนด้üย gof คือ ฟังก์ชันที่กำĀนดโดเมนโดย Dgof = {x ∈ Df|f(x) ∈ Dg} และกำĀนด gof โดย (gof)(x) = g(f(x)) ÿาระการเรียนรู้ ฟังก์ชันประกอบ จุดประÿงค์การเรียนรู้เมื่อเรียนจบคาบนี้แล้üนักเรียนÿามารถ 1. ด้านคüามรู้ (K) 1.1 อธิบายคüามĀมายของฟังก์ชันประกอบได้ 2. ด้านทักþะ/กระบüนการ (P) 2.1 เขียนแÿดงüิธีการĀาค่าของฟังก์ชันประกอบได้ 3. ด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ (A) 3.1 แÿดงพฤติกรรมมีคüามรับผิดชอบต่อĀน้าที่ที่ได้รับมอบĀมาย ÿมรรถนะÿำคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 2. คüามÿามารถในการคิด 2.1 ทักþะการเปรียบเทียบ 2.2 ทักþะการแปลคüาม 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา
128 กิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นที่ 1 ขั้นนำเข้าÿู่บทเรียน 1. ครูÿร้างฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต C เขียนแทนฟังก์ชันนี้ด้üย gof (อ่านü่า จีโอเอฟ) และ เรียกü่า ฟังก์ชันประกอบ ของ f และ g (1) = ((1)) = (2) = ((2)) = (3) = ((3)) = นั่นคือ = {(1, ), (2, ), (3, )} จากแผนภาพ ÿำĀรับแต่ละ x ในเซต A ถ้ามี y=f(x) ในเขต B และมี z=g(y) ในเซต c จะĀา g(f(x) ได้ ซึ่งเท่ากับ z ÿถานการณ์ข้างต้นทำใĀ้เกิดฟังก์ชันประกอบ gof เพราะฉะนั้นการเกิด gof มีเงื่อนไขÿำคัญคือ ต้องมี y อยู่ใน และ พร้อมกัน นั่นคือ ∩ ต้องไม่ใช่เซตü่าง ดังนั้น จึงใĀ้บทนิยามของฟังก์ชัน gof ขั้นที่ 2 ขั้นÿอน 2. ครูอธิบายบทนิยาม โดยละเอียดพร้อมยกตัüอย่างเพื่อคüามเข้าใจ บทนิยาม 12กำĀนดใĀ้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นÿับเซตของจำนüนจริง ฟังก์ชันประกอบของ fและ g เขียนแทนด้üย gof คือ ฟังก์ชันที่กำĀนดโดเมนโดย Dgof = {x ∈ Df|f(x) ∈ Dg} และกำĀนด gof โดย (gof)(x) = g(f(x)) ตัüอย่างที่ 1 กำĀนด f(x) = x2- 2 และ g(x) = x + 1 Āาฟังก์ชัน gof และ fog พร้อมทั้ง โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบทั้งÿอง üิธีทำ จาก Df = R และ Rf = [-2, ∞) Dg= R และ Rg = R เนื่องจาก Rf ∩Dg = [-2, ∞) จึงมี gof และ Rg ∩Df = R จึงมี fog จาก (gof)(x) = g(f(x)) = g(x2- 2) = (x2- 2) + 1 = x2 - 1
129 ดังนั้น gof = { (x, y) |y = x2 - 1 } จะได้ Dgof = { x ∊ Df ∙ f(x) ∊ Dg} = { x ∊ R ∙ f(x) ∊ R } = R Āา Rgof จาก (gof)(x) = x2 - 1, x∊R จะได้ x2 ≥ 0 x2 + (-1) ≥ 0 + (-1) x2 - 1 ≥ -1 ดังนั้น Rgof = [-1, ∞) จาก (fog)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2- 2 ดังนั้น fog = { (x, y) |y = x2- 2x - 1 } จะได้ Dfog = { x∊Dg| g(x)∊ Df } = { x∊R ∙ g(x)∊R } = R Āา Rfog จาก (fog)(x) = (x + 1)2- 2, x∊R จะได้ (x + 1)2≥ 0 (x + 1)2+(-2) ≥ 0 + (-2) (x + 1)2- 2 ≥ -2 ดังนั้น Rfog= [-2, ∞) ตัüอย่างที่2 กำĀนดแผนภาพของฟังก์ชัน f และ g ใĀ้Āาฟังก์ชันประกอบ g◦f üิธีทำ จากแผนภาพ เขียนโดเมนและเรนจ์ของ f และ g ดังนี้ Df = { 1, 2, 3, 4 } และ Rf = { 5, 8, 11, 14 } Dg = { -1, -2, 5, 8, 11 } และ Rg = { 5, 7, -7, -13, -19 } จะได้ Rf ∩Dg = { 5, 8, 11 } จึงเกิดฟังก์ชันประกอบ g◦f โดยมี 5, 8 และ 11 เป็นตัüถ่ายทอด จาก (1, 5)∊ f และ (5, -7) ∊ g จะได้ (g◦f)(1) = -7 (2, 8)∊ f และ (8, -13)∊ g จะได้ (g◦f)(2) = -13 (3, 11)∊ f และ (11, -19)∊ g จะได้ (g◦f)(3) = -19 จะได้ g◦f = { (1, -7), (2, -13), (3, -19)
130 3. ครูใĀ้นักเรียนทำใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ ขั้นที่ 3 ขั้นÿรุป 4. ครูถามคำถามเพื่อประเมินคüามรู้รüบยอดของนักเรียน ดังนี้ - ฟังก์ชันประกอบคืออะไร (แนüตอบ: ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทนด้üย gof คือ ฟังก์ชันที่กำĀนด โดเมนโดย Dgof = {x ∈ Df|f(x) ∈ Dg} และกำĀนด gof โดย (gof)(x) = g(f(x))) ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ 1. ÿื่อการเรียนรู้ 1.1 Āนังÿือเรียนรายüิชาเพิ่มเติม คณิตýาÿตร์ ม.4 เล่ม 2 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 คüามÿัมพันธ์ และฟังก์ชัน 1.2 แบบฝึกĀัดรายüิชาเพิ่มเติม คณิตýาÿตร์ ม.4 เล่ม 2 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 คüามÿัมพันธ์ และฟังก์ชัน 1.3 Power point นำเÿนอการÿอน เรื่อง คüามÿัมพันธ์และฟังก์ชัน 1.4 ใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ 2. แĀล่งการเรียนรู้ 2.1 Ā้องÿมุด 2.2 อินเทอร์เน็ต การüัดและประเมินผล จุดประÿงค์ เครื่องมือ üิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 1. ด้านคüามรู้ (K) 1.1 อธิบายคüามĀมายของฟังก์ชัน ประกอบได้ 1. การตอบคำถามใน Ā้องเรียน 2. ใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ 1. ÿังเกตการตอบ คำถามในĀ้องเรียน 2. ตรüจใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป 2. ด้านทักþะ/กระบüนการ (P) 2.1 เขียนแÿดงüิธีการĀาค่าของ ฟังก์ชันประกอบได้ 1. ใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ 1. ตรüจใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 70 ขึ้นไป
131 จุดประÿงค์ เครื่องมือ üิธีการ เกณฑ์การ ประเมิน 3. ด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์(A) 3.1 แÿดงพฤติกรรมมีคüาม รับผิดชอบต่อĀน้าที่ที่ได้รับมอบĀมาย 1. แบบÿังเกตพฤติกรรม 2. ใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ 1. ตรüจแบบÿังเกต พฤติกรรม 2. ตรüจใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ อยู่ในระดับ ดี ขึ้นไป
132 บันทึกĀลังการÿอน 1. ผลการจัดการเรียนการÿอน 1.1 ด้านคüามรู้ ( K ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.2 ด้านทักþะกระบüนการ( P ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3 คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.4 ÿมรรถนะÿำคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ …………………………………… (ผู้ÿอน) (นางÿาüอภิญญา เÿริฐÿาย) üันที่ ……………………………………
133 คüามเĀ็น/ข้อเÿนอแนะของครูพี่เลี้ยง …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางÿาüรัดดาüรรณ เผื่อนผึ้ง) ครูพี่เลี้ยง ............../................../.............. คüามเĀ็น/ข้อเÿนอแนะของĀัüĀน้ากลุ่มÿาระการเรียนรู้คณิตýาÿตร์ …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… …………………………………………….………………………………………………………………………………………….…… ลงชื่อ.......................................................... (นางÿกาüเดือน เĀมะธุลิน) ĀัüĀน้ากลุ่มÿาระการเรียนรู้คณิตýาÿตร์ ............../................../..............
134 แบบประเมินด้านคüามรู้ (K) และด้านทักþะกระบüนการ (P) ประจำแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 11 เรื่อง คüามÿัมพันธ์และฟังก์ชัน ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2/2565 ด้านคüามรู้ ประเมินจาก 1. การตอบคำถามในĀ้องเรียน 2. ใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ ด้านทักþะกระบüนการ ประเมินจาก 1. ใบงานที่ 1.9 เรื่อง ฟังก์ชันประกอบ เลขที่ ด้านคüามรู้ ด้านทักþะ กระบüนการ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม (.......) คะแนนเต็ม (.......) ได้ ร้อยละ ได้ ร้อยละ ผ่าน ไม่ผ่าน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21