บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 131 สรุปผลการทดลองและอภิปรายผลการทดลอง ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ คำถามท้ายกิจกรรม 1. กราฟการกระจัดกับเวลา และความเร็วกับเวลา มีลักษณะอย่างไร ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ 2. จากกราฟการกระจัดกับเวลา รถทดลองมีการกระจัดมากที่สุดและการกระจัดเป็นศูนย์(สมดุล) ณ เวลาใด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ 3. พิจารณากราฟการกระจัดกับเวลา เปรียบเทียบกับกราฟความเร็วกับเวลา 1. ขณะการกระจัดเป็นศูนย์ความเร็วของรถทดลองเป็นอย่างไร ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ 2. ขณะการกระจัดมากที่สุด ความเร็วของรถทดลองเป็นอย่างไร ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ 4. จากกราฟการกระจัดกับเวลาและกราฟความเร็วกับเวลาของรถทดลอง รถทดลองเคลื่อนที่ได้กี่รอบและใช้เวลาเท่าใด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ 5. จากกราฟความเร็วกับเวลา ความชันของกราฟแทนปริมาณใด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 132 6. จากกราฟความเร็วกับเวลา ก่อนผ่านและหลังผ่านตำแหน่งสมดุล ความเร่งรถทดลองมีขนาดเปลี่ยนแปลงอย่างไรและมี ทิศทางเทียบกับการกระจัดอย่างไร ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 30 จากรูปเมื่อดึงมวลห่างจากแนวสมดุล 20 cm จงหาความเร็วขณะผ่านแนวสมดุล ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 31 นำมวล 2 kg มาโยงด้วยสปริง 2 เส้นปกติสปริงยาว 2 m ถ้าดึงมวลไปทางขวา 1 m แล้วปล่อยจงหาความเร็วสูงสุดของมวล 2 kg ถ้าสปริงมีค่านิจ 16 N/m เท่ากัน ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 32 วัตถุเคลื่อนที่แบบ S.H.M. มีแอมปลิจูด 20 cm มีความถี่ 10 Hz จงหา ก. ความเร็วสูงสุด ข. ความเร่งสูงสุด ค. ขณะที่วัตถุมีการกระจัด 10 cm จะมีความเร็วเท่าใด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 133 ตัวอย่างที่33. แขวนมวล 10 kg กับสปริงอันหนึ่งแล้วปล่อยให้เคลื่อนที่ขึ้น - ลงในแนวดิ่งวัดคาบได้4 วินาที ถ้านำมวล 20 kg มาแขวนแทนมวล 10 kg แล้วปล่อยให้เคลื่อนที่ขึ้น - ลงในแนวดิ่งจะสั่นด้วยความถี่เท่าใด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 34 เมื่อออกแรง 10 N ดึงปลายสปริงของเครื่องชั่งมวลปลายสปริง เบนจากแนวสมดุล 10 cm ดังรูปจากนั้นติดมวล 0.4 kg ที่ปลายสปริงถ้าดึง ปลายสปริงให้เบนห่างแนวสมดุล 8 cm แล้วปล่อย จงหา ก. ความเร็วสูงสุด ข. ความเร่งสูงสุด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 134 7.5.2 ลูกตุ้มนาฬิกา การเคลื่อนที่แบบลูกตุ้มนาฬิกาพบว่าความเร่งของลูกตุ้มนาฬิกาจะแปรผันตรงกับการกระจัดและมีทิศ ทางตรงข้ามซึ่งถือว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิกอีกแบบหนึ่งโดยมวลไม่มีผลกับคาบและความถี่ ภาพที่7.17 การเคลื่อนที่แบบลูกตุ้มนาฬิกา พิจารณาการเคลื่อนตามภาพที่ 7.17 ในลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่ายจะถือว่ามุม มีขนาดเล็กมาก ๆ เพื่อ ง่ายต่อการคำนวณจากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน จากภาพที่ 7.17 จะได้ − = (− 2) − ( ) = (− 2) = √ (7.48) กิจกรรมที่7.4 การทดลองลูกตุ้มอย่างง่าย ชื่อสมาชิกในกลุ่ม 1...................................................................................... 2........................................................................................ 3...................................................................................... 4........................................................................................ 5...................................................................................... 6........................................................................................ จุดประสงค์ 1. หาคาบการแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย 2. หาความสัมพันธ์ระหว่างคาบการแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่ายกับรากที่สองของความเชือก วัสดุและอุปกรณ์ 1. ลูกกลมโลหะ 1 ลูก 2. เชือกเบา (ด้าย) 1 เมตร 3. ไม้เมตร 1 ชุด
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 135 4. นาฬิกาจับเวลา 1 เรือน 5. ขาตั้ง 1 ชุด วิธีทำการทดลอง 1. จัดอุปกรณ์ โดยใช้เชือกผูกกับลูกกลมโลหะ และปลายเชือกอีกด้านหนึ่งผูกติดกับแขนของขาตั้ง และแขวนลูก กลมโลหะอยู่ในแนวดิ่ง 2. วัดความยาวเชือกโดยวัดจากตำแหน่งที่ตรึงเชือกถึงจุดศูนย์กลางมวลของลูกกลมโลหะ และบันทึกผลในตาราง 3. ดึงหรือไม้บรรทัดทำให้ลูกกลมโลหะทำมุม กับแนวดิ่ง โดย น้อยกว่า 10 องศา ปล่อยให้ลูกกลมโลหะแก ว่างพร้อมกับจับเวลาที่ใช้ในการแกว่ง 30 รอบ บันทึกเวลา จากนั้นทำการทดลองซ้ำอีกสองครั้ง 4. คำนวณเวลาเฉลี่ยที่ใช้ในการแกว่ง 30 รอบ (t30รอบ) คาบ (T) และบันทึกผลในตารางบันทึกผล 5. ทำซ้ำตามข้อ 1 – 4 โดยเปลี่ยนความยาวของเชือกอีก 4 ค่า 6. เขียนกราฟระหว่าง กับ โดยให้ อยู่บนแกนตั้ง อยู่บนแกนนอน 7. เขียนกราฟระหว่าง กับ √ โดยให้ อยู่บนแกนตั้ง √ อยู่บนแกนนอน ผลการทดลอง ความยาวเชือก (x10 -2 m) เวลาที่ใช้ในการแกว่ง 30 รอบ (s) คาบ (s) √ (m1/2 ) 30 40 50 60 70
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 136 สรุปผลการทดลองและอภิปรายผลการทดลอง ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ คำถามท้ายกิจกรรม 1. จากกราฟ กับ มีลักษณะอย่างไร เขียนความสัมพันธ์ของสองปริมาณนี้ได้อย่างไร ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ 2. จากกราฟ กับ √ มีลักษณะอย่างไร และปริมาณทั้งสองมีความสัมพันธ์เชิงเส้นหรือมไ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 137 ตัวอย่างที่ 35 ลูกตุ้มนาฬิกาผูกกับเชือกยาว 100 ซ.ม. เมื่อจับลกตุ้มให้เบนไปห่างแนวสมดุลเดิม 5 ซ.ม. แล้วปล่อยให้ เคลื่อนที่อิสระความเร็วสูงสุดในการแกว่งเป็นเท่าใด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่36 ลูกตุ้มมวล 5 กิโลกรัมแขวนกับเชือกยาว 1 เมตร เมื่อแกว่งแบบลูกตุ้มนาฬิกาจะมีคาบการแกว่ง 2 วินาที จงหาว่าถ้าเปลี่ยนลูกตุ้มเป็นมวล 10 กิโลกรัม และใช้เชือกยาว 4 เมตร จะมีคาบการแกว่งเท่าใด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 37 ลูกตุ้มนาฬิกาอันหนึ่งเมื่อใช้แกว่งบนโลกจะมีคาบการแกว่ง 4 วินาที ถ้านำไปแกว่งบนดวงดวงหนึ่งซึ่งมีมวล 64 เท่าของโลกรัศมีเป็น 2 เท่ารัศมีโลกจะมีคาบการแกว่งเท่าใด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ 7.6 การเคลื่อนที่แบบหมุน ถ้าพิจารณาการเคลื่อนที่จองวัตถุโดยทั่วไปแล้วในธรรมชาติจะพบว่านอกจากวัตถุเคลื่อนที่แบบเลื่อนที่แล้วยังมี การเคลื่อนที่แบบอื่นอีกเช่นการเคลื่อนที่ของลูกข่างพัดลมล้อรถจักรยานยนต์ลูกฟุตบอลเป็นต้นการเคลื่อนที่แบบนี้วัตถุจะ หมุนอยู่กับที่หรือหมุนไปด้วยเลื่อนที่ไปด้วยเรียกว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบหมุน การศึกษาการเคลื่อนที่แบบหมุนวัตถุที่เราศึกษาจะเป็นวัตถุที่มีรูปร่างแน่นอนเรียกว่าวัตถุแข็งเกร็งเมื่อมีแรง กระทำต่อวัตถุโดยแนวแรงผ่านจุดศูนย์กลางมวลจะทำให้วัตถุเคลื่อนที่แบบเลื่อนเพียงอย่างเดียวคือไม่มีการหมุนแต่ถ้าแนว แรงที่กระทำไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลจะมีโมเมนต์ของแรงหรือทอร์กที่ไม่เป็นศูนย์กระทำต่อวัตถุทำให้วัตถุมีการเคลื่อนที่ แบบหมุน
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 138 7.6.1 สูตรพื้นฐานการเคลื่อนที่แบบหมุน กำหนดให้ คือการกระจัดเชิงมุม (rad) คือความเร่งเชิงมุม (rad/s2 ) 1 คือความเร็วเชิงมุมตอนต้น (rad/s) 2 คือความเร็วเชิงมุมตอนปลาย (rad/s) คือรัศมีหรือระยะห่างจากจุดหมุน คือ ความเร็วเชิงเส้น (m/s) คือความเร่งเชิงเส้น(m/s2 ) ตารางเปรียบเทียบสูตร การเคลื่อนที่แนวตรงและการเคลื่อนที่แบบหมุน สูตรเดิมการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง สูตรการเคลื่อนที่แบบหมุน = + 2 = 1 + = + 1 2 2 = 1 + 1 2 2 = − 1 2 2 = 2 − 1 2 2 = ( + 2 ) = ( 1+2 2 ) 2 = 2 + 2 2 2 = 1 2 + 2 ตัวอย่างที่ 38 ล้อรถเริ่มจากจุดหยุดนิ่งเมื่อเวลาผ่านไป 10 วินาที มีอัตราเร็วเชิงมุม 40 เรเดียนต่อวินาทีจงหาความเร่ง เชิงมุม ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่าง 39 เจ้าของรถจักรยานยนต์คันหนึ่งไม่พอใจกับล้อรถขนาดมาตรฐานที่ได้มาพร้อมรถจึงเปลี่ยนล้อทั้งสองให้มี ขนาดเล็กจากเดิมที่มีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 18 นิ้ว เป็น 15 นิ้ว ถ้าในขณะขับขี่รถล้อชุดใหม่นั้นเขาอ่านมาตรวัดความเร็ว ได้ 60 กิโลเมตรต่อชั่งโมง อยากทราบว่าความเร็วที่แท้จริงของรถขณะนั้นเป็นเท่าใด ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 139 7.6.2 โมเมนต์ความเฉื่อย โมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of Inertia / Angular Mass) คือสมบัติที่ต้านการเปลี่ยนแปลงสภาพการ หมุนหรือความเฉื่อยของการหมุนของวัตถุเปรียบเสมือนมวลในเรื่องการเคลื่อนที่เชิงเส้น ตามสมการ = 2 (7.49) เมื่อ = โมเมนต์ความเฉื่อย (kg-m2 ) = มวล (kg) = รัศมีหรือระยะห่างจากจุดหมุน (m) ถ้ามีมวลหลาย ๆ ก้อนมีการเคลื่อนที่แบบหมุนจะทำให้มีโมเมนต์ความเฉื่อยหลายค่าดังสมการ = 11 2 + 22 2 + 33 2 + ⋯ (7.50) ในรูปต่าง ๆ จะมีค่าโมเมนต์ที่แตกต่างกัน เป็นดังภาพที่7.18 ภาพที่7.18 โมเมนต์ตามลักษณะต่าง ๆ 7.6.3 ทอร์ก เราได้ทราบแล้วว่าเมื่อมีทอร์กไม่เป็นศูนย์มากระทำกับวัตถุจะทำให้วัตถุหมุนเปรียบเสมือนแรงในเรื่อง การเคลื่อนที่เชิงเส้น ซึ่งเมื่อแรงไม่เป็นศูนย์มากระทำกับวัตถุก็จะทำให้วัตถุเคลื่อนที่ = = (7.51) เมื่อ เป็นทอร์ก มีหน่วยเป็น นิวตันเมตร (Nm) 7.6.4 โมเมนตัมเชิงมุม วัตถุที่มีการเคลื่อนที่แบบหมุนจะรักษาสภาพการหมุนของวัตถุขึ้นอยู่กับความเร็วเชิงมุมและโมเมนต์ ความเฉื่อยผลคูณระห่างโมเมนต์ความเฉื่อยกับความเร็วเชิงมุมเรียกว่าโมเมนตัมเชิงมุม สามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์ของ โมเมนตัมได้ดังนี้ = = (7.52) เมื่อ เป็นโมเมนตัมเชิงมุม มีหน่วยเป็น กิโลกรัม เมตร 2 / วินาที(kg m2 /s)
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 140 7.6.5 กฎอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ถ้าทอร์กหรือผลรวมของทอร์กที่กระทำต่อวัตถุที่กำลังหมุนเท่ากับศูนย์การเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุมมีค่า เท่ากับศูนย์ด้วยหรือวัตถุมีโมเมนตัมเชิงมุมคงตัวความเร่งเชิงมุมก็มีค่าเท่ากับศูนย์คำกล่าวนี้ก็คือกฎอนุรักษ์ดมเมนตัม เชิงมุมดังสมการ ∑ ก่อน = ∑ หลัง (7.53) 7.6.6 พลังงานจลน์ของการหมุน เมื่อวัตถุเกิดการหมุนจะมีพลังงานจลน์ของการหมุนเกิดขึ้นด้วย ดังสมการ = 1 2 2 (7.53) เมื่อ เป็นพลังงานจลน์ของการหมุน มีหน่วยเป็นจูล (J) เมื่อพิจารณาพลังงานจลน์เมื่อวัตถุมีการเคลื่อนที่แบบหมุนในแนวระดับดังภาพที่ 7.19 จะได้สมการดังนี้ ∑ = 1 2 2 + 1 2 2 (7.54) ภาพที่7.19 การเคลื่อนแบบหมุนในแนวระดับ เมื่อพิจารณาพลังงานจลน์เมื่อวัตถุมีการเคลื่อนที่แบบหมุนบนพื้นเอียง ดังภาพที่7.20 จะได้สมการดังนี้ ภาพที่7.20 การเคลื่อนแบบหมุนบนพื้นเอียง ℎ = 1 2 2 + 1 2 2 (7.55)
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 141 ตัวอย่างที่ 40 ทรงกลมมวล 4 kg และ 10 kg ผูกติดกันด้วยเชือกยาว 2 m ถ้าให้ระบบหมุนรอบมวล 4 kg จงหาโมเมนต์ ความเฉื่อย ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 41 จากรูปท่อ PVCมวล 4 kg รัศมี20 cmถูกปล่อยให้เคลื่อนที่ลงตาม พื้นเอียงเมื่อถึงปลายพื้นเอียงท่อ PVC มีความเร็ว 1 m/s จงหาโมเมนต์ของความ เฉื่อย ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 42 จากรูปรอกมีมวล 2 kg รัศมี10 cm มีโมเมนต์ความเฉื่อย 8 kg.m2 เมื่อปล่อยให้ เคลื่อนที่จงหาแรงตึงเชือกและความเร่งของมวล 3 kg ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 142 ตัวอย่างที่ 43 นักกายกรรมคนหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อย 10 kg.m2 (เฉพาะลำตัว) ถ้าเขากางแขนออก (แขนยาวข้างละ 50 cm มวล 4 kg) และหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 2 rad/s หลังจากนั้นเขาหุบแขนทันทีจงหาอัตราเร็วเชิงมุมของลำตัว ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 44 วัตถุมวล 50 กรัม ผูกติดกับเชือกซึ่งลอดผ่านรูเล็กๆ ปลายเชือกข้างหนึ่งยึดไว้ด้วยแรงค่าหนึ่งแล้วเหวี่ยงให้ เป็นวงกลมรัศมี1 เมตร ถ้าดึงเชือกให้มีรัศมี 50 เซนติเมตร ทันทีวัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมเท่าใดถ้าเดิมมี ความเร็วเชิงมุม 3 เรเดียนต่อวินาที ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 45 ทรงกระบอกตันมวล 4 กิโลกรัม เส้นผ่าศูนย์กลาง 1 เมตรกลิ้งขึ้นพื้นเอียงโดยไม่ไถลศูนย์กลางมวลมี ความเร็วต้น 10 เมตรต่อวินาที จะขึ้นไปได้สูงสุดในแนวดิ่งเป็นระยะกี่เมตร ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................
แผนผังมโนทัศน์ (Mind mapping) 143 แผนผังมโนทัศน์ (Mind mapping) บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ
แบบฝึกหัด บทที่ 7 144 แบบฝึกหัด บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 1. การยิงวัตถุแบบโพรเจคไทล์ด้วยอัตราเร็วตันและมุมยิงเดียวกันบนดวงจันทร์ที่มีแรงโน้มถ่วงต่ำกว่า บนโลก เมื่อ เปรียบเทียบกับบนโลกจะเป็นตามข้อใด กำหนด เส้นประ แทนแนวการเคลื่อนที่บนโลก เส้นทึบ แทนแนวการเคลื่อนที่บนดวงจันทร์ 2. ยิงวัตถุจากพื้นด้วยความเร็วต้น ทำมุม กับพื้น วัตถุตกไกลจากจุดยิงเป็นระยะ ข้อใดถูก ก. ∝ sin2 เมื่อ คงที่ ข. ∝ cos 2 เมื่อ คงที่ ค. ∝ √ เมื่อ คงที่ ง. ∝ 2 เมื่อ คงที่ 3. เตะลูกบอลขึ้นจากพื้นโดยมีเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา ณ ตำแหน่งใดที่มีความเร็วของลูกบอลมีทิศตั้ง ฉากกับความเร่งของลูกบอล ก. ทุก ๆ ตำแหน่งของการเคลื่อนที่ ข. ตำแหน่งสูงสุดของการเคลื่อนที่ ค. ตำแหน่งลูกบอลกระทบพื้น ง. ไม่มีตำแหน่งดังกล่าว
แบบฝึกหัด บทที่ 7 145 4. ยิงวัตถุทรงกลมขึ้นท้องฟ้าทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ หากเราเปลี่ยนจากวัตถุดังกล่าวเป็นลูกขนไก่ที่มีมวล เท่ากับวัตถุตีให้มีอัตราเร็วต้นเท่าเดิมในทิศทางเดียวกัน ผลของแรงต้านอากาศ ลจะทำให้เส้นทางการเคลื่อนที่แตกต่างไป อย่างไร 5. วัตถุ และ เริ่มไถลพร้อมกันบนพื้นเอียงไร้ความเสียดทาน ด้วยอัตราเร็วต้น และ ตามลำดับ ทิศของความเร็วต้นของ วัตถุ ทำมุม กับสันของพื้นเอียงดังรูป เงื่อนไขใดที่สามารถ ทำให้วัตถุทั้งสองลงมาถึงพื้นราบพร้อมกันได้ 1) = ≠ 0 และ = 0° 2) = 0, ≠ 0 และ = 0° 3) = 0, ≠ 0 และ > 0° 4) ≠ 0, ≠ 0 และ > 0 ก. 1) และ 2) ข. 3) และ 4) ค. 1) และ 3) ง. 2) และ 4) 6. ยิงวัตถุด้วยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที ทำมุม 30° กับแนวระดับ พบว่าวัตถุตกไม่โดนเป้าหมายขาดไปอีก 2 เมตร ถ้า ยิงวัตถุครั้งที่สองด้วยมุมเท่าเดิม ความเร็วที่ยิงจะอยู่ในช่วงใด ถึงจะโดนเป้าหมาย ก. (20.0,20.4) เมตรต่อวินาที ข. (20.4,20.6) เมตรต่อวินาที ค. (20.6,20.8) เมตรต่อวินาที ง. (20.8,21.0) เมตรต่อวินาที
แบบฝึกหัด บทที่ 7 146 7. ปืน M16 รุ่น A1 สามารถยิงกระสุนออกไปในแนวระดับด้วยอัตราเร็ว 990 เมตรต่อวินาที ถ้าเป้าห่างออกไป 460 เมตร เราต้องเล็งปืนให้สูงกว่าเป้าประมาณกี่เมตร กระสุนจึงจะใกล้เป้ามากที่สุด ก. 0.5 ข. 1.1 ค. 1.6 ง. 2.2 8. ขว้างลูกบอลขึ้นจากพื้นห่างกำแพง 6 เมตรกำแพงสูง 6 เมตร จงหาความเร็วที่น้อยที่สุดที่จะทำให้ลูกบอลลอยข้าม กำแพงได้พอดี ก. 5 6 m/s ข. 6 5 m/s ค. 3 2 m/s ง. 2 3 m/s 9. ขว้างลูกบอลด้วยความเร็ว 10 m/s ทำมุม 37๐ กับแนวระดับ เมื่อลูกบอลตกกระทบพื้นเกิดการสูญเสียพลังงานทำให้ กระดอนขึ้นและทำมุมเท่าเดิมแต่ความสูงสุดเป็นครึ่งหนึ่งของครั้งก่อนทุกครั้งจงหาว่าลูกบอลเมื่อหยุดนิ่งแล้ว (ไม่กระดอน ขึ้นอีก) จะอยู่ห่างจุดเริ่มต้นเทาใด ก. 9.6 เมตร ข. 10.0 เมตร ค. 14.4 เมตร ง. 19.2 เมตร 10. ข้อใดกล่าวถูกต้องเกี่ยวกับวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมระนาบอย่างสม่ำเสมอ ก. ความเร็วของวัตถุคงที่ ข. อัตราเร็วของวัตถุคงที่ ค. แรงที่กระทำกับวัตถุคงที่ ง. มีข้อถูกมากกว่า 1 ข้อ 11. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอบนพื้นราบด้วยขนาดของความเร็ว 2 เมตรต่อวินาที โดยมี รัศมี 0.5 เมตร งานเนื่องจากแรงสู่ศูนย์กลางเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ได้ครึ่งรอบเป็นเท่าใด ก. 0 จูล ข. 2 จูล ค. 4 จูล ง. 8 จูล 12. ชายคนหนึ่งนำเชือกไปผูกกับลูกตุ้มแล้วนำมาแกว่งเหนือศรีษะเป็นวงกลมระนาบขนานกับผิวโลก จงเลือกแรงที่เพียงพอต่อการพิจารณาสภาพการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม ก. (1) และ (2) ข. (1), (2) และ (4) ค. (1), (2), (3) และ (4) ง. (1) และ (4)
แบบฝึกหัด บทที่ 7 147 13. วัตถุก้อนหนึ่งวางอยู่บนจานราบที่หมุนในแนวระดับ ที่มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานเท่ากับ 0.4 และวัตถุอยู่ห่างจาก จุดหมุน 0.1 เมตร โดยวัตถุไม่ไถลพอดี จงหาว่าจานหมุนหมุนด้วยคาบเท่าใด ก. 1 วินาที ข. 2 วินาที ค. 3 วินาที ง. 4 วินาที 14. ถ้าหมุนไม้AB ทำให้วัตถุมวล m แกว่งเป็นวงกลมในแนวระดับ ดัง รูป จงหาว่าต้องหมุนไม้ AB เท่ากับกี่รอบต่อวินาที (AC ยาวน้อยมาก) ก. 1 2 5 4 ข. 1 2 5 2 ค. 1 2 4 5 ง. 1 2 2 5 15. เชือกยาว 2 เมตร ที่ปลายด้านล่างผูกมวล ดังรูปปล่อยให้ เคลื่อนที่ตามส่วนโค้ง แนวเชือกไปกระทบ ตะปูที่จุด แล้วเคลื่อนที่ เป็น วงกลม จงหาว่าตะปูอยู่ห่างจากจุด กี่เมตร ก. 0.4 ข. 0.8 ค. 1.2 ง. 1.6 16. รถไต่ถังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 108 km/h เป็นวงกลมในแนวราบถ้ารัศมีของถังเท่ากับ 5 เมตร จงหาสัมประสิทธิ์ ความเสียดทานระหว่างล้อรถกับถัง ก. 0.33 ข. 0.11 ค. 0.06 ง. 0.01 17. ถ้ายานอวกาศลำหนึ่งสามารถเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบดวงจันทร์ที่มีรัศมี1.6x106 m จงหาความถี่การโคจรของยาน อวกาศ เมื่อความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงที่บริเวณนั้นของดวงจันทร์มีค่าเท่ากับ 1 4 ของผิวโลก ก. 1x10-4 Hz ข. 2x10-4 Hz ค. 3x10-4 Hz ง. 4x10-4 Hz 18. แขวนมวล 10 kg กับสปริงอันหนึ่งแล้วปล่อยให้เคลื่อนที่ขึ้น – ลงในแนวดิ่งวัดคาบได้ 4 วินาทีถ้าเอามวล 10 kg ออก สปริงจะสั้นกว่าตอนที่แขวนมวลเท่าใด ( = 3.1, = 9.81) ก. 0.87 m ข. 0.95 m ค. 0.99 m ง. 1.04 m
แบบฝึกหัด บทที่ 7 148 19. จากรูปท่อ PVC 4 kg รัศมี 20 cm ถูกปล่อยให้เคลื่อนที่ลงตามพื้นเอียง เมื่อถึงปลายพื้นเอียงท่อ PVC มีความเร็ว 2 m/s จงหาโมเมนต์ของความ เฉื่อยและพื้นเอียงมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานเท่ากับ 0.5 ก. 1.44 kg.m2 ข. 1.89 kg.m2 ค. 2.21 kg.m2 ง. 2.57 kg.m2 20. นักกายกรรมคนหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อย 10 kg.m2 (เฉพาะลำตัว) ถ้าเขากางแขนออกข้างเดียว (แขนยาว 40 cm มวล 4 kg) และหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 10 rad/s หลังจากนั้นเขาหุบแขนทันทีจงหาอัตราเร็วเชิงมุมของลำตัว ก. 10.16 rad/s ข. 10.32 rad/s ค. 10.64 rad/s ง. 11.28 rad/s 21. เครื่องบินกำลังบินในแนวระดับสูงจากพื้น 500 เมตร และบินด้วยความเร็ว 500 m/s ได้ทิ้งระเบิดลงมาเป้าหมายคือ รถข้าศึกที่จอดนิ่งอยู่บนพื้น หลังจากทิ้งระเบิด 2 วินาทีทหารบนรถข้าศึกมองเห็นเครื่องบินทิ้งระเบิดจึงยิงขีปนาวุธด้วย ความเร็ว 625 m/s ทำมุมกับแนวระดับ 37๐ จงหาว่าขีปนาวุธชนกับลูกระเบิดสูงจากพื้นเท่าใด 22. กรวยกลมผิวในเอียงทำมุม 45๐ มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานภายในเท่ากับ 0.25 มีมวลก้อนหนึ่งวางอยู่ภายใน ถ้า กรวยกลมหมุนรอบแกนในแนวดิ่ง จะทำให้มวล m เคลื่อนที่ตามไปด้วยโดย เกาะที่ผิวกรวยไม่ตกลงมา จงหาว่าอัตราเร็ว เชิงมุมของกรวยจะต้องมีค่าอย่างน้อยที่สุดเท่าใดมวลจึงจะไม่ไถลลง ถ้ามวล m มีรัศมีวงกลมในแนวราบ 1 เมตร 23. มวล 0.5 kg ผูกด้วยเชือกยาว 1 เมตรแกว่งให้เป็นวงกลมในแนวดิ่ง ถ้าเชือกขาดขณะเคลื่อนที่มาถึงจุดต่ำสุดวัตถุจะ ตกห่างจากจุดหมุนในแนวราบเท่าใด ถ้าจุดหมุนอยู่สูงจากพื้น 5 เมตร 24. รถและสิ่งของรวมมวล 1000 kg วิ่งบนทางตรงด้วยความเร็ว 20 m/s ก่อนเข้าทางโค้งคนบนรถได้โยนสิ่งของทิ้งไป 200 kg ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างยางรถกับถนนเท่ากับ 0.4 ถนนมีรัศมีความโค้งจะต้องมีค่าเท่าใดจึงจะ เคลื่อนที่บนทางโค้งอย่างปลอดภัย 25. นักขับรถมอเตอร์ไซด์ไปบนถนนราบแห่งหนึ่ง เมื่อถึงทางโค้งรัศมี 20 m เขาขับด้วยความเร็ว 20 m/s อย่างปลอดภัย ถ้าเขาขับรถคันเดิมเข้าโค้งรัศมี80 m ด้วยความเร็วเท่าใดจึงจะปลอดภัยถ้าเขาเอียงตัวทำมุมกับแนวดิ่งเหมือนเดิม 26. ยานอวกาศถูกยิงขึ้นไปโคจรห่างผิวโลกเท่ากับรัศมีของโลกหลังจากนั้นก็ไปโคจรรอบดาวพฤหัสโดยมีรัศมีวงโคจร เท่ากับ 8 เท่ารัศมีของโลก ถ้าดาวพฤหัสมีมวล 4 เท่าของโลก คาบของการเคลื่อนที่รอบดาวพฤหัสจะเป็นกี่เท่าของโลก
แบบฝึกหัด บทที่ 7 149 27. ดาวเทียมดวงหนึ่งโคจรรอบโลกรัศมีวงโคจรเท่ากับ 4 เท่าของรัศมีโลก จงหาอัตราเร็วของดาวเทียมขณะนั้น (กำหนด โลกมีรัศมี6400 กิโลเมตร) 28. นำมวล 2 kg มาโยงด้วยสปริง 3 เส้น ดังรูป ปกติสปริงยาว 2 m ถ้าดึงมวลไปทางขวา 0.5 m แล้วปล่อย จงหาความเร็ว สูงสุดของมวล 2 kg ถ้าสปริงมีค่านิจ 6 N/m เท่ากัน 29. จากรูป รอกมีมวล 2 kg รัศมี 20 cm มีโมเมนต์ความเฉื่อย 10 kg.m2 เมื่อ ปล่อยให้เคลื่อนที่ จงหาความเร่งเชิงมุมของรอก 30. ปล่อยยวัตถุก้อนหนึ่งให้แกว่งลงมาดังรูป ความเร่งที่ตำแหน่งต่ำสุดมีขนาดเท่าใด กำหนดให้ g = 9.8 m/s2 31. นำเชือกเบาและเหนียมมากเส้นหนึ่งยาว 50 เซนติเมตร ผูกลูกตุ้มมวล 1.0 กิโลกรัม ที่ปลายข้างหนึ่ง ถ้าจับปลายเชือก อีกข้างหนึ่งแกว่งให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบดิ่ง ด้วยอัตราเร็วคงตัว 3.0 เมตรต่อวินาที แรงดึงในเส้นเชือกมีค่า ต่ำสุดกี่นิวตัน 32. รั้งมวล ให้เคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวระนาบดิ่งด้วยเชือกเบา ซึ่งหย่อนพอดี ที่จุดสูงสุด () จงหาขนาดของความเร็ว เมื่อมวลอยู่ที่จุดต่ำสุด () ก. √ ข. √2 ค. √3 ง. √4 จ. √5
แบบฝึกหัด บทที่ 7 150 ข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย B-MAT - ช่วงของปี2564 – 2566 ไม่ออกเรื่องนี้ วิชาสามัญ (เดิม) หรือ A-LEVEL 1. ดันวัตถุที่อยู่บนพื้นลื่นและอยู่ชิดกับปลายด้านหนึ่งของสปริง ที่มีค่าคงตัวสปริง k ทำให้สปริงหดเป็นระยะ x จาก ตำแหน่งสมดุล จากนั้นปล่อยให้วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ด้งภาพ พบว่า เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ผ่านตำแหน่งสมดุลของสปริง วัตถุมีอัตราเร็วเป็น v และเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ต่อไปบนพื้นฝืด จะ เคลื่อนที่ได้เป็นระยะทาง s ก่อนจะหยุดนิ่ง กำหนดให้ g เป็นขนาดของความเร่งโน้มถ่วง เป็นสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างวัตถุกับพื้นฝืด วัตถุมีขนาดเล็กมาก จึงไม่พิจารณาขนาดของวัตถุระยะทาง s ที่วัตถุนี้เคลื่อนที่ได้มีค่าเท่าใด (2566) 1. 2 2 2. 2 3. 2 2 4. 2 2 5. 2 2. นักกอล์ฟตีลูกกอล์ฟขึ้นจากพื้น A ในทิศทำมุม กับแนวระดับพบว่าเมื่อเวลาผ่านไป 4.00 วินาที ลูกกอล์ฟผ่านยอด ต้นไม้พอดี ซึ่งต้นไม้อยู่บนพื้น B ที่อยู่สูงกว่าพื้น A 1.00 เมตร และอยู่ห่างออกไป 72.0 เมตร จากจุดตีลูกกอล์ฟ ดังภาพ กำหนดให้ = 0.800 และ = 0.600 ไม่คิดแรงต้านอากาศ และไม่คิดขนาดของลูกกอล์ฟ ยอดต้นไม้อยู่สูงจากพื้น B กี่เมตร (2566) 1. 7.4 2. 10.6 3. 16.6 4. 17.6 5. 18.6
แบบฝึกหัด บทที่ 7 151 3. ปล่อยวัตถุหนึ่งให้ตกในบริเวณที่มีสนามโน้มถ่วงคงตัวใกล้ผิวโลก พบว่าวัตถุตกถึงพื้นในเวลา 1.0 วินาที เมื่อวัตถุนี้ถูก ปล่อยจากระดับความสูงเดียวกันใกล้ผิวดาวเคราะห์ A พบว่า วัตถุตกถึงพื้นในเวลา 5.0 วินาที ถ้ารัศมีดาวเคราะห์ A มีค่า 10 เท่าของรัศมีโลก มวลดาวเคราะห์ A จะเป็นกี่เท่าของมวล กำหนดให้ การเคลื่อนที่ของวัตถุพิจารณาเฉพาะผลจากแรง โน้มถ่วงเท่านั้น (ข้อสอบอัตนัย 2566) 4. เจ้าหน้าที่กู้ภัยต้องการโยนอุปกรณ์ให้คนที่อยู่ในตึกซึ่งอยู่ห่าง 5 เมตร และอยู่สูง 5√3 2 เมตร ดังภาพ กำหนดให้ ไม่คิด แรงต้านอากาศ เจ้าหน้าที่กู้ภัยต้องโยนอุปกรณ์ด้วยมุมกี่องศาเทียบกับแนวระดับ เพื่อให้อุปกรณ์ขณะรับมีความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์ (2565) 1. 30 2. 37 3. 45 4. 53 5. 60 5. ลูกกลมมวล m1 มีมวลเป็นครึ่งหนึ่งของ m2 ถูกผูกด้วยเชือกที่ยาวไม่เท่ากันไว้ที่ จุดตรึ่งหนึ่ง เมื่อแกว่งลูกลมทั้งสองลูกให้เริ่มเคลื่อนที่ไปพร้อมกันเป็นวงกลมใน ระนาบเดียวกันและมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน พบว่า รัศมีการเคลื่อนที่ของลูกกลม m2 มีค่าเป็นสองเท่าของรัศมีการเคลื่อนที่ของลูกกลม m1 ดังภาพ ข้อใดถูกต้อง (2565) 1. คาบของ m1 มีค่าน้อยกว่าคาบของ m2 2. ความถี่เชิงมุมของ m1 มีค่าน้อยกว่าความถี่เชิงมุมของ m2 3. อัตราเร็วเชิงมุมของ m1 มีค่าเท่ากับอัตราเร็วเชิงมุมของ m2 4. อัตราเร็วเชิงเส้นของ m1 มีค่าเท่ากับอัตราเร็วเชิงเส้นของ m2 5. แรงสู่ศูนย์กลางของ m1 มีค่ามากกว่าแรงสู่ศูนย์กลางของ m2
แบบฝึกหัด บทที่ 7 152 6. แกว่างลูกตุ้มมวล m ที่ผูกเชือกยาว L ให้เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายระหว่างจุด A และ B ดังภาพ พบว่า ลูกตุ้ม แกว่งครบ 10 รอบใช้เวลา 2 วินาทีพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. เมื่อจุด A และ B ขนาดของความเร็วมีค่าเท่ากันและไม่เท่ากับศูนย์ ข. เมื่อแกว่งลูกตุ้มมวล m ที่ผูกเชือกยาว L คาบการแกว่งเท่ากับ 0.2 วินาที ค. เมื่อแกว่งลูกตุ้มมวล 2m ที่ผูกเชือกยาว L ความถี่เชิงมุมมากกว่าเมื่อแกว่งลูกตุ้มตาม m ที่ผูกเชือกยาว 2L ข้อความใดถูกต้อง (2565) 1. ก เท่านั้น 2. ข เท่านั้น 3. ค เท่านั้น 4. ก และ ข 5. ข และ ค 7. ดาวเทียม A มวล m โคจรรอบโลกเป็นแนววงกลมรัศมี RA ด้วย อัตราเร็วเชิงเส้น vA ดังภาพ ซึ่งมีคาบการโคจรรอบโลก TA ถ้าต้องการ ส่งดาวเทียม B มวล 2m ให้โคจรรอบโลกเป็นแนววงกลมด้วยคาบ เท่ากับคาบของดาวเทียม A จะต้องให้ดาวเทียม B โคจรด้วยรัศมี RB และอัตราเร็วเชิงส้น vB เป็นอย่างไรเมื่อเปรียบเทียบกับดาวเทียม A (2564) 1. RB มากกว่า RA และ vB เท่ากับ vA 2. RB เท่ากับ RA และ vB เท่ากับ vA 3. RB เท่ากับ RA และ vB มากกว่า vA 4. RB น้อยกว่า RA และ vB เท่ากับ vA 5. RB น้อยกว่า RA และ vB มากกว่า vA
แบบฝึกหัด บทที่ 7 153 8. ติดวัตถุมวล M เข้ากับปลายสปริงและวางบนพื้นเรียบลื่น ดังภาพ ก เมื่อดึงวัตถุมวล M แล้วปล่อยให้เคลื่อนที่แบบฮาร์ มอนิกอย่างง่าย พบว่าวัตถุมวล M เคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลา √2 วินาทีจากนั้น ติดวัตถุมวล 1.0 กิโลกรัม บนวัตถุมวล M ดังภาพ ข และทำให้วัตถุทั้งสองเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย พบว่าวัตถุทั้งสองเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลา √3 วินาที วัตถุมวล M ในภาพ ก เคลื่อนที่ด้วยความถี่เชิงมุมกี่เรเดียนต่อวินาที และมวล M มีค่ากี่กิโลกรัม ตามลำดับ (2564) 1. √2 2 และ 3.0 2. √2 และ 1.2 3. √2 และ 2.0 4. 2√2 และ 2.0 5. 2√2 และ 3.0 9. ในพิธีเปิดกีฬาครั้งหนึ่ง นักกีฬายิงลูกธนูติดไฟให้ตกบนยอดหอคบเพลิงซึ่งอยู่สูงจากพื้น 2.0 เมตร โดยทำมุม 45 องศา กับพื้น และลูกธนูใช้เวลาในการเคลื่อนไปถึงยอดหอคบเพลิง 4.0 วินาทีดังภาพ กำหนดให้ ไม่คิดแรงต้านของอากาศ ความเร่งโน้มถ่วงบริเวณผิวโลก g = 9.8 m/s2 ลูกธนูถูกยิงห่างจากหอคอยเพลิงในแนวระดับเป็นระยะทางกี่เมตร (ข้อสอบอัตนัย 2564)
แบบฝึกหัด บทที่ 7 154 NETSAT 1. จากรูป พื้นเอียงและพื้นราบไม่มีแรงเสียดทาน จงหาระยะที่กล่องเคลื่อนที่ไปได้(2/2565) (1) ถึงปลายพื้นเอียง (2) เคลื่อนที่บนพื้นราบได้ไกล 200 ซม. (3) ดันสปริงยุบไป 10 ซม. (4) ดันสปริงยุบจนเหลือ 10 ซม. 2. การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ภายใต้แรงดึงดูดของโลก ข้อใดถูกที่สุด (1/2565) (1) จะมีการเคลื่อนที่แนวดิ่งทิศทางเดียว (2) ถ้าวัตถุกำลังเคลื่อนที่ขึ้น ความเร่งจะมีทิศทางตามทิศการเคลื่อนที่ (3) ความเร่งของการเคลื่อนที่ในแนวราบมีค่าคงที่ (4) จรวดมีการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์
เอกสารอ้างอิง 155 เอกสารอ้างอิง [1] สสวท. (2563). ฟิสิกส์ เล่ม 2. สกสค. [2] เลี้ยง ชาตาธิคุณ. (2566). เอกสารประกอบการสอนวิชาฟิสิกส์ประยุกต์ 1. โรงพิมพ์ขอนแก่นการพิมพ์. [3] นิรันดร์ สุวรัตน์. (2560). ฟิสิกส์ ม.4 – 6 เล่ม 2. สำนักพิมพ์ พ.ศ. พัฒนา จำกัด. [4] Paul R. Berman (2018). Introductory Quantum Mechanics. Springer International Publishing. [5] Hafez A. Radi John O. Rasmussen (2013). Principles of Physics for Scientists and Engineers. Springer International Publishing.